00-1 ΜΔΕ Δ - ziti.grτο βάλουμε σε κάποιο γένος, να το...

ii Περιεχόμενα

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη

ΘΩΜΑΣ Α. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ • Γεννήθηκε το 1947 στο Νέο Πετρίτσι του Ν. Σερρών. • Το 1965 αποφοίτησε από το εξατάξιο Γυμνάσιο Σιδηροκάστρου του Ν. Σερρών

και εγγράφηκε στο Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. • Πήρε το πτυχίο των Μαθηματικών το 1969. • Αναγορεύτηκε διδάκτορας στο τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης το 1979 και από το 1972 μέχρι σήμερα εργάζεται σ’ αυτό. ISBN 978-960-456-183-4

Aπαγορεύεται η με κάθε τρόπο αντιγραφή ή αναπαραγωγή μέρους ή όλου του βιβλίου χωρίς την έγγραφη άδεια του συγγραφέα και του εκδότη.

Copyright © 2009 ΘΩMAΣ A. KYBENTIΔHΣ, Eκδόσεις ZHTH

18ο χλμ Θεσσαλονίκης - ΠεραίαςT.Θ. 4171 • Περαία Θεσσαλονίκης • T.K. 570 19Tηλ.: 2392.072.222 - Fax: 2392.072.229 • e-mail: [email protected]

Π. ZHTH & Σια OEΦωτοστοιχειοθεσίαEκτύπωση

Βιβλιοδεσία

www.ziti.gr

BIBΛIOΠΩΛEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ - KENTPIKH ΔIAΘEΣH:Aρμενοπούλου 27 - 546 35 Θεσσαλονίκη • Tηλ.: 2310-203.720 • Fax 2310-211.305e-mail: [email protected]

BIBΛIOΠΩΛEIO AΘHNΩN - ENΩΣH EKΔOTΩN BIBΛIOY ΘEΣΣAΛONIKHΣ:Στοά του Bιβλίου (Πεσμαζόγλου 5) - 105 64 AΘHNA • Tηλ.-Fax: 210-3211.097

AΠOΘHKH AΘHNΩN - ΠΩΛHΣH XONΔPIKH:Aσκληπιού 60 - Eξάρχεια 114 71, Aθήνα • Tηλ.-Fax: 210-3816.650 • e-mail: [email protected]

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ: www.ziti.gr

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις iii

“H Φύση είναι μια συνέχεια απέραντη, χωρίς αρχή και τέλος, ένα αδιά-κοπο γίγνεσθαι. Εκείνος που παρατηρεί, κάνει αναγκαστικά ένα κομμάτια-σμα στη Φύση, ξεσηκώνει αυθαίρετα ένα κομμάτι και του βάζει ο ίδιος αρχή και τέλος. Το φαινόμενο που το πήραμε έτσι χωριστά, το ειδικεύουμε, μπορούμε να το βάλουμε σε κάποιο γένος, να το θεωρήσουμε όμοιο με άλλα φαινόμενα. Το ξεχώρισμα αυτό το τεχνητό επιτρέπει να το περιγράψουμε, να το τα-ξινομήσουμε, να του δώσουμε όνομα και να το μετρήσουμε.

Στη Φύση όμως τίποτε δεν είναι όμοιο, πολύ λιγότερο το ίδιο μ’ ένα άλ-λο. Τα πράγματα γίνονται όμοια αν κλείσουμε το μάτι στις διαφορές τους.

Η επιστήμη είναι μια γλώσσα που μας χρησιμεύει για να μεταφράσουμε σ’ αυτή τα φαινόμενα. Στη γλώσσα αυτή τίποτε δεν είναι κυριολεξία παρά όλα μεταφορές.

Το γεγονός είναι μεταφορά του δοσμένου, ο νόμος πάλι μεταφορά του πρώτου, δηλαδή μεταφορά μεταφοράς.” Χ. ΘΕΟΔΩΡΙΔΗ, “Εισαγωγή στη Φιλοσοφία” (2η Έκδοση) (Γνωσιοθεωρία - ΙΙ. Το πρόβλημα για τη δυνατότητα) Εκδόσεις ΕΣΤΙΑΣ, Αθήνα, 1955

iv Περιεχόμενα

Αφιερώνεται

σ’ όλους όσους αγωνίζονται για το σεβασμό και την αλληλοκατανόηση

της διαφορετικότητας των λαών, και τη διατήρηση της παγκόσμιας ειρήνης.

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις v

Πρόλογος Τα φυσικά φαινόμενα συνήθως εκφράζονται καλύτερα με τις μερικές διαφορι-κές εξισώσεις, γι’ αυτό και η γνώση τους, μετά τις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις, είναι απαραίτητες για τη μελέτη και την ανάλυση των προβλημάτων.

Στο βιβλίο αυτό παρουσιάζονται οι μαθηματικές μέθοδοι για τη μελέτη και την επίλυση των διαφόρων μορφών των μερικών διαφορικών εξισώσεων.

Στο κεφάλαιο 1 αναφέρονται οι γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις πρώ-της τάξης, το πρόβλημα του Cauchy (το πρόβλημα της αρχικής τιμής), οι εξισώ-σεις ολικών διαφορικών και η μέθοδος του Charpit για τις μη γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης.

Στο κεφάλαιο 2 μελετώνται οι βασικές μορφές, οι ομογενείς και οι μη ομογενείς γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς και μη σταθερούς συντελε-στές δεύτερης τάξης, η μέθοδος της αναγωγής στην κανονική μορφή, το πρόβλη-μα του Cauchy (το πρόβλημα της αρχικής τιμής) και η μέθοδος του διαχωρισμού των μεταβλητών.

Στο κεφάλαιο 3 γίνεται ταξινόμηση των γραμμικών συστημάτων μερικών δια-φορικών εξισώσεων και αναπτύσσεται μέθοδος επίλυσης των ολικά υπερβολικών γραμμικών συστημάτων μερικών διαφορικών εξισώσεων.

Στο κεφάλαιο 4 δίνονται αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης των μερικών διαφορι-κών εξισώσεων (μερικές εξισώσεις διαφορών, μέθοδοι πεπερασμένης διαφοράς, μέθοδος των χαρακτηριστικών).

Σε κάθε κεφάλαιο περιέχονται αρκετά παραδείγματα για την καλύτερη κατα-νόηση των μεθόδων που αναπτύσσονται και ασκήσεις.

Στο κεφάλαιο 5 παραθέτουμε λυμένα προβλήματα που αναφέρονται σ’ όλη την ύλη των προηγούμενων κεφαλαίων και στο Κεφάλαιο 6 δίνονται ορισμένες χαρακτηριστικές εφαρμογές των μερικών διαφορικών εξισώσεων.

Τέλος, ο τίτλος του βιβλίου είναι μετάφραση της αγγλικής ονομασίας “Partial Differential Equations”. Θεσσαλονίκη, 2009 Θ. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις vii

Περιεχόμενα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

1. Βασικές έννοιες και ορισμοί .................................................................................. 3 2. Ταξινόμηση των μερικών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης ................... 5 3. Εξισώσεις της Μαθηματικής Φυσικής ................................................................. 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΜΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ

1. Γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης................................... 21 1.1 Το πρόβλημα του Cauchy ........................................................................................ 35 2. Εξισώσεις ολικών διαφορικών ............................................................................. 51 3. Μη γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις

πρώτης τάξης – Μέθοδος του Charpit ............................................................... 60 3.1 Το πρόβλημα του Cauchy ........................................................................................ 69 4. Ασκήσεις.................................................................................................................. 75

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ

1. Ειδικές μορφές........................................................................................................ 83 2. Ομογενείς γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις

με σταθερούς συντελεστές ................................................................................... 88 2.1 Αναγωγή στην κανονική μορφή ............................................................................. 95 2.2 Μέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών...................................................... 101 3. Μη ομογενείς γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις

δεύτερης τάξης – Αναγωγή στην κανονική μορφή ........................................ 105 4. Το πρόβλημα του Cauchy .................................................................................. 120 5. Διαχωρισμός των μεταβλητών .......................................................................... 139 6. Ασκήσεις................................................................................................................ 144

viii Περιεχόμενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕΡΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

1. Ταξινόμηση των γραμμικών συστημάτων μερικών διαφορικών εξισώσεων ............................................................................................................. 151

2. Ολικά υπερβολικά γραμμικά συστήματα μερικών διαφορικών εξισώσεων.............................................................................................................. 164

3. Ασκήσεις................................................................................................................ 186

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ

ΜΕΡΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

1. Αναγωγή μερικών διαφορικών εξισώσεων σε μερικές εξισώσεις διαφορών ......................................................................... 191

1.1 Μέθοδος των τελεστών ......................................................................................... 194 1.2 Μέθοδος του Laplace ............................................................................................. 205 1.3 Μέθοδος του Lagrange – Μέθοδος του διαχωρισμού των μεταβλητών .................................................. 209 1.4 Συστήματα μερικών εξισώσεων διαφορών ......................................................... 215 2. Μέθοδοι πεπερασμένης διαφοράς .................................................................... 219 3. Μέθοδος των χαρακτηριστικών ....................................................................... 228 4. Ασκήσεις ............................................................................................................... 244

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΛΥΜΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Λυμένα προβλήματα .................................................................................................. 249

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΜΕΡΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

1. Κυματική εξίσωση ............................................................................................... 329 2. Εξίσωση της θερμότητας ................................................................................... 335 3. Εξίσωση του τηλεγράφου .................................................................................. 338 4. Εξίσωση του Schrödinger .................................................................................. 342 5. Το άτομο του υδρογόνου .................................................................................. 347

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις ix

6. Εξίσωση του Helmholtz ..................................................................................... 350 7. Εξισώσεις του Maxwell .......................................................................................353 8. Εξίσωση της Ελαστικότητας ..............................................................................357 Βιβλιογραφία ..............................................................................................................371

Ευρετήριο όρων ..........................................................................................................372

x Περιεχόμενα

Βιβλία του συγγραφέα ΘΩΜΑ ΚΥΒΕΝΤΙΔΗ

Α. Διακριτά Μαθηματικά

1. EΞIΣΩΣEIΣ ΔIAΦOPΩN ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ, (σελ. 552, 2001). 2. ΔYNAMIKH TΩN ΠΛHΘYΣMΩN (Διακριτά Μοντέλα), (σελ. 164, 2001).

Β. Διαφορικές Εξισώσεις

1. ΔΙΑΦOPIKEΣ ΕΞIΣΩΣEIΣ, Tόμος Πρώτος, (σελ. 480, 1987). 2. ΔIAΦOPIKEΣ ΕΞIΣΩΣEIΣ ΜE ΜEPIKEΣ ΠAPAΓΩΓOYΣ, Tόμος Δεύτερος,

(σελ. 400, 1988). 3. ΔIAΦOPIKEΣ EΞIΣΩΣEIΣ, Tόμος Tρίτος, (σελ. 478, 1991),

(Ποιοτική Θεωρία Διαφορικών Εξισώσεων). 4. ΔIAΦOPIKEΣ EΞIΣΩΣEIΣ (Aσκήσεις), (σελ. 560, 1998). 5. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, (σελ. 512, 2007). 6. ΔYNAMIKH TΩN ΠΛHΘYΣMΩN (Συνεχή Μοντέλα), (σελ. 128, 1993). 7. ΛOΓIΣMOΣ METABOΛΩN, (σελ. 320, 1994). 8. ΜΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ, (σελ. 384, 2009).

Γ. Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός

1. ΔIAΦOPIKOΣ ΛOΓIΣMOΣ Συναρτήσεων Μιας Πραγματικής Μεταβλητής, (Τεύχος Πρώτο, σελ. 640, 2001 – Τεύχος Δεύτερο, σελ. 312, 2001).

2. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων Μιας Πραγματικής Μεταβλητής, (σελ. 624, 2005).

3. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών, (σελ. 240, 2007).

Δ. Σειρά Μαθηματικών

1. ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, Τόμος Πρώτος, (σελ. 628, 2005). (Άλγεβρα, Αναλυτική Γεωμετρία, Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός)

2. ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, Τόμος Δεύτερος, (σελ. 616, 2006). (Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός Συναρτήσεων Πολλών Μεταβλητών)

3. ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, Τόμος Τρίτος, (σελ. 504, 2005). (Διανυσματική Ανάλυση, Σειρές Fourier, Μιγαδικές Συναρτήσεις, Διαφορικές Εξισώσεις, Εξισώσεις Διαφορών).

Ε. Τοπολογία

1. ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ (Ασκήσεις), (σελ. 400, 1977). 2. ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ (σελ. 336, 2009).

Εισαγωγή 3

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

1 Βασικές έννοιες και ορισμοί

Πολλά φυσικά φαινόμενα, όπως στον τομέα της δυναμικής των ρευστών, του ηλεκτρισμού, του μαγνητισμού, της οπτικής ή της διάδοσης της θερμότητας, μπορούν να περιγραφούν, γενικά, με μερικές διαφορικές εξισώσεις. Οι μερικές διαφορικές εξισώσεις συνήθως περιγράφουν με περισσότερη ακρί-βεια τα φυσικά προβλήματα και η μελέτη τους παρουσιάζει μεγαλύτερες δυσκο-λίες από τις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις. Με την έκφραση μερική διαφορική εξίσωση (θα γράφουμε σύντομα ΜΔΕ) εννοούμε μια εξίσωση της μορφής

2 2 2

1 2 2 21 2 1 21 2

, , , , , , , , , , , 0nu u u u u

F x x x ux x x xx x

Ê ˆ∂ ∂ ∂ ∂ ∂º º º =Á ˜∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂Ë ¯

όπου 1 2( , , , )nu u x x x= º , δηλαδή περιέχει τις ανεξάρτητες μεταβλητές 1 2, , , nx x xº , την άγνωστη συνάρτηση αυτών 1 2( , , , )nu u x x x= º και τις με-

ρικές παραγώγους της μέχρι μιας ορισμένης τάξης. Η μεγαλύτερη τάξη της παραγώγου της u λέγεται τάξη της μερικής διαφορι-κής εξίσωσης. Λύση της ΜΔΕ είναι μια συνάρτηση

1 2 1 2( , , , ) , ( , , , )n

n nu φ x x x x x x D= º º Œ Ão

που ικανοποιεί την εξίσωση

2 2 2

1 2 2 21 2 1 21 2

, , , , , , , , , , , 0nφ φ φ φ φ

F x x x φx x x xx x

Ê ˆ∂ ∂ ∂ ∂ ∂º º º =Á ˜∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂Ë ¯

,

για κάθε 1 2( , , , )nx x x Dº Œ . Π.χ. η ΜΔΕ

2

2 0u u

yx∂ ∂

+ =∂∂

,

4 Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

όπου ( , )u u x y= , είναι δεύτερης τάξης και μία λύση της είναι η συνάρτηση

2 22 , ( , )u x y x y= - Œo που την επαληθεύει.

Μερική λύση της ΜΔΕ είναι μία λύση της η οποία δεν εξαρτάται από αυθαίρετες σταθερές ή συναρτήσεις.

• Υπενθυμίζουμε εδώ την έννοια της μερικής παραγώγου συνάρτησης τριών μεταβλητών 3( , , ) , ( , , )u u x y z x y z D= Œ Ão .

Οι μερικές παράγωγοι ορίζονται από τα παρακάτω όρια

0

( , , ) ( , , )limxh

u x h y z u x y zuu

x hÆ+ -∂

= =∂

,

0

( , , ) ( , , )limyh

u x y h z u x y zuu

y hÆ+ -∂

= =∂

,

0

( , , ) ( , , )limzh

u x y z h u x y zuu

z hÆ+ -∂

= =∂

.

Ανάλογα, ορίζονται και οι μερικές παράγωγοι ανώτερης τάξης

2 2 2 2 2 2 3

2 2 2, , , , , , ,u u u u u u u

x y y z x z x y zx y z∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

º∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

Π.χ. αν είναι 2 2 3, ( , , )u x y y z x y z D= + Œ Ão τότε έχουμε

2xu

u xyx

∂= =∂

2 2yu

u x yzy

∂= = +∂

, 2zu

u yz

∂= =∂

2

2 2xxu

u yx∂

= =∂

, 2

2 2yyu

u zy∂

= =∂

, 2

2 0zzu

uz

∂= =∂

22xy

uu x

x y∂

= =∂ ∂

,

22yz

uu y

y z∂

= =∂ ∂

,

20xz

uu

x z∂

= =∂ ∂

20

ux y z∂

=∂ ∂ ∂

, 3

2 2,u

x y∂

= º∂ ∂

Πρακτικά, όταν παραγωγίζουμε ως προς μία μεταβλητή, θεωρούμε τις υπό-λοιπες μεταβλητές ως σταθερές, και εφαρμόζουμε τους κανόνες παραγώγισης συνάρτησης μιας μεταβλητής.

Εισαγωγή 5

Τα παραπάνω γενικεύονται, ανάλογα για συναρτήσεις της μορφής

1 2 1 2( , , , ) , ( , , , )n

n nu u x x x x x x D= º º Œ Ão .

Η γενική λύση μιας ΜΔΕ εξαρτάται από αυθαίρετες συναρτήσεις και συνήθως υπάρχει αντιστοιχία μεταξύ της τάξης της ΜΔΕ και του πλήθους των αυθαίρε-των συναρτήσεων.

Π.χ. η ΜΔΕ

20

ux y∂

=∂ ∂

έχει τη γενική λύση ( ) ( )u f x g y= + , όπου ,f g είναι

αυθαίρετες συναρτήσεις, ενώ η ΜΔΕ xu

ey

∂=

∂ έχει τη γενική λύση

( )xu ye f x= + , όπου f αυθαίρετη συνάρτηση. Η παρουσία αυθαίρετων συναρτήσεων στην έκφραση της γενικής λύσης μιας ΜΔΕ δείχνει τις δυσκολίες που παρουσιάζονται στην μελέτη τους. Τα βασικά ερωτήματα είναι: α) Κάτω από ποιές προϋποθέσεις υπάρχει λύση του προβλήματος; (Πρόβλημα Ύπαρξης)

β) Αν υπάρχει λύση του προβλήματος, αυτή είναι μοναδική; (Πρόβλημα μοναδικότητας)

2 Ταξινόμηση μερικών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης

Οι μερικές διαφορικές εξισώσεις είναι γενικά περίπλοκες και δύσκολες στην αναζήτηση των λύσεών τους, ειδικά όταν η F δεν είναι γραμμική. Αλλά η ποικιλία των ΜΔΕ που εμφανίζονται στα φυσικά προβλήματα και τις εφαρμογές είναι αρκετά περιορισμένη και μπορεί να συνοψισθεί στην ημιγραμμι-κή ΜΔΕ δεύτερης τάξης

2 2 2

2 2( , ) ( , ) ( , ) , , , , z z z z z

α x y β x y γ x y f x y zx y x yx y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂Ê ˆ+ + = Á ˜∂ ∂ ∂ ∂Ë ¯∂ ∂. (1)

Όταν η συνάρτηση f είναι της μορφής

1 2 3 4, , , , ( , ) ( , ) ( , ) ( , )z z z z

f x y z f x y z f x y f x y f x yx y x y∂ ∂ ∂ ∂Ê ˆ = + + +Á ˜∂ ∂ ∂ ∂Ë ¯

τότε η ΜΔΕ (1) λέγεται γραμμική.


Η ΜΔΕ (1) ταξινομείται στους παρακάτω τύπους:

• υπερβολικού τύπου, όταν ισχύει 2 4 0α βγ- > , 21( , )x y D" Œ Ão ,

• παραβολικού τύπου, όταν ισχύει 2 4 0α βγ- = , 22( , )x y D" Œ Ão ,

• ελλειπτικού τύπου, όταν ισχύει 2 4 0α βγ- < , 23( , )x y D" Œ Ão .

Ειδικά, όταν η ΜΔΕ (1) είναι γραμμική, μπορεί να μελετηθεί ως προς τον τύ-πο της και με τον παρακάτω τρόπο: Αν υπάρχει 0 0( , )x y DŒ τέτοιο ώστε 0 0( , ) 0α x y π ή 0 0( , ) 0β x y π ή

0 0( , ) 0γ x y π και 1 2,λ λ είναι οι δύο πραγματικές ιδιοτιμές (χαρακτηριστικές τιμές) του πίνακα

0 0 0 0

0 0 0 0

( , ) ( , )( , ) ( , )

α x y β x yβ x y γ x yÈ ˘Í ˙Î ˚

,

τότε η γραμμική ΜΔΕ (1) ταξινομείται ως εξής:

• αν 1 2 0λ λ◊ < , είναι υπερβολικού τύπου

• αν 1 2 0λ λ◊ = , είναι παραβολικού τύπου

• αν 1 2 0λ λ◊ > , είναι ελλειπτικού τύπου

σε κάποια ανοικτή περιοχή D , με 20 0( , )x y DŒ Ão . Π.χ. η κυματική εξίσωση

2 22

2 2 ( , ) , 0z z

c f x y cx y∂ ∂

- = >∂ ∂

είναι υπερβολικού τύπου, ενώ η εξίσωση της θερμικής αγωγιμότητας

22

2 ( , ) , 0z z

α f x y αx y∂ ∂

- = >∂ ∂

είναι παραβολικού τύπου.

Η εξίσωση Laplace 2 2

2 2 0z z

x y∂ ∂

+ =∂ ∂

και η εξίσωση Poisson 2 2

2 2 ( , )z z

f x yx y∂ ∂

+ =∂ ∂

,

όπου ( , )f x y είναι το δυναμικό, είναι ελλειπτικού τύπου.

Εισαγωγή 7

3 Εξισώσεις της Μαθηματικής Φυσικής

Οι μορφές των ΜΔΕ που εμφανίζονται στα φυσικά προβλήματα είναι ουσια-στικά τρεις. Η πλειοψηφία των φυσικών προβλημάτων μπορούν (με ακρίβεια ή προσεγγιστικά) να περιγραφούν με μία από τις παρακάτω ΜΔΕ:

2

2 22u

k ut

∂=

∂∇ , η κυματική εξίσωση (υπερβολική)

2u

λ ut

∂=

∂∇ , η εξίσωση θερμότητας (παραβολική)

2 0u =∇ , η εξίσωση Laplace (ελλειπτική)

2 ( , , )u f x y z=∇ , η εξίσωση Poisson (ελλειπτική)

όπου 2u∇ είναι η λαπλασιανή

2 2 22

2 2 2 , ( , , , )u u u

u u u x y z tx y z∂ ∂ ∂

= + + =∂ ∂ ∂

∇

και ,k λ είναι θετικές σταθερές. Οι παραπάνω εξισώσεις είναι γραμμένες με τη χρήση διαφορικών τελεστών, αλλά για να λυθεί η ΜΔΕ πρέπει αυτή η μορφή τους να μετατραπεί σε κάποια άλλη σε δοσμένο σύστημα αναφοράς. Οι βασικοί διαφορικοί τελεστές είναι: κλίση, απόκλιση, στροφή. Α. Κλίση (gradient)

Αν ( , , )f x y z είναι πραγματική (βαθμωτή) συνάρτηση τότε η κλίση της δί-νεται από τον τύπο

0 0 0f f f

grad f f x y zx y z∂ ∂ ∂

= = + +∂ ∂ ∂

∇ ,

όπου 0 0 0, , x y z οι διανυσματικές μονάδες των αξόνων , , Ox Oy Oz , αντίστοι-χα και ∇ είναι το σύμβολο ανάδελτα

0 0 0x y zx y z∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

∇ .

Είναι 2 f f=∇ ∇ ∇◊ («◊ » εσωτερικό γινόμενο) η προβολή του διανύσματος


της κλίσης της f κατά τη διεύθυνση της παραγώγισης, και σε καρτεσιανό σύ-στημα Oxyz γράφεται

2 2 22

2 2 2f f f

fx y z

∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂

∇ .

Β. Απόκλιση (divergence)

Αν είναι 1 0 2 0 3 0 1 2 3( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )u u x y z x u x y z y u x y z z u u u= + + = διανυ-σματική συνάρτηση λέμε απόκλιση της u τον αριθμό

31 2 uu udiv u u

x y z∂∂ ∂

= = + +∂ ∂ ∂

∇◊ ,

όπου «◊ » σημαίνει εσωτερικό γινόμενο. Αν είναι u f=∇ το διανυσματικό πεδίο u λέγεται συντηρητικό και η αριθ-μητική συνάρτηση f λέγεται δυναμικό του. Γ. Στροφή (rotation)

Αν είναι 1 0 2 0 3 0 1 2 3( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )u u x y z x u x y z y u x y z z u u u= + + = διανυ-σματική συνάρτηση λέμε στροφή της u το διάνυσμα

3 32 1 2 10 0 0

u uu u u urot u x y z

y z z x x y∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂Ê ˆ Ê ˆ Ê ˆ= - + - + -Á ˜Á ˜ Á ˜Ë ¯∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂Ë ¯ Ë ¯

που γράφεται rot u u= ¥∇ , όπου « ¥ » σημαίνει εξωτερικό γινόμενο. Συμβολικά, η στροφή γράφεται

0 0 0

1 2 3

x y z

rot u ux y z

u u u

∂ ∂ ∂= ¥ =

∂ ∂ ∂∇

και θεωρούμε το ανάπτυγμα της ορίζουσας κατά τα στοιχεία της πρώτης γραμ-μής. �

Επομένως οι προηγούμενες βασικές μερικές διαφορικές εξισώσεις, γράφονται στο καρτεσιανό σύστημα Oxyz με τις μορφές:

Εισαγωγή 9

2 2 2 2

22 2 2 2u u u u

kt x y y

Ê ˆ∂ ∂ ∂ ∂= + +Á ˜∂ ∂ ∂ ∂Ë ¯

, η κυματική εξίσωση,

2 2 2

2 2 2u u u u

λt x y y

Ê ˆ∂ ∂ ∂ ∂= + +Á ˜∂ ∂ ∂ ∂Ë ¯

, η εξίσωση θερμότητας,

2 2 2

2 2 2 0u u u

x y z∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂

, η εξίσωση Laplace,

2 2 2

2 2 2 ( , , )u u u

f x y zx y z∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂

, η εξίσωση Poisson.

• Ένα βασικό πρόβλημα είναι το πρόβλημα της μετάβασης από ένα καρτεσιανό σύστημα αναφοράς Oxyz σ’ ένα άλλο 1 2 3Ox x x .

Θεωρούμε τη διανυσματική συνάρτηση

1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3( , , ) , ( , , ) , ( , , )( )F f x x x f x x x f x x x=

η οποία μεταφέρει το σύστημα αναφοράς Oxyz στο 1 2 3Ox x x με τις εξισώσεις.

1 1 2 3( , , )x f x x x= , 2 1 2 3( , , )y f x x x= , 3 1 2 3( , , )z f x x x= .

Το τελευταίο σύστημα των τριών εξισώσεων έχει λύση της μορφής

1 1( , , )x g x y z= , 2 2( , , )x g x y z= , 3 3( , , )x g x y z=

σε κάποιο τόπο 3DÃo , αν και μόνον αν η ιακωβιανή ορίζουσα

1 1 1

1 2 3

1 2 3 2 2 2

1 2 3 1 2 3

3 3 3

1 2 3

( , , )( , , )

f f fx x x

D f f f f f fJ

D x x x x x xf f fx x x

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂= =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

είναι διάφορη του μηδενός στον τόπο 3DÃo . Μετρικοί συντελεστές

Αν Oxyz είναι το καρτεσιανό σύστημα αναφοράς και 1 2 3Ox x x το σύστημα αναφοράς που μεταβαίνουμε με τη διανυσματική συνάρτηση


1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3( , , ) , ( , , ) , ( , , ) ( , , )( )F f x x x f x x x f x x x x y z= = ,

τότε η στοιχειώδης απόσταση δύο σημείων (ευκλείδεια απόσταση) δίνεται από τη σχέση

2 2 2 2 2 2 211 1 22 2 33 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ds dx dy dz g dx g dx g dx= + + = + + ,

όπου τα 11 22 33, , g g g είναι οι μετρικοί συντελεστές

22 2

111 1 1

yx zg

x x x∂∂ ∂Ê ˆÊ ˆ Ê ˆ= + +Á ˜ Á ˜ Á ˜∂ ∂ ∂Ë ¯ Ë ¯ Ë ¯

, 22 2

222 2 2

yx zg


,

22 2

333 3 3

yx zg


.

Θέτουμε 11 22 33G g g g= και έχουμε τους τύπους:

•

30

1

1i

iiii

ff x

xg=

∂=

∂Â∇ ,

όπου 0 0 01 2 3, , x x x τα μοναδιαία διανύσμα-τα στο σύστημα αναφοράς 1 2 3Ox x x ,

•

13 2

1

1

=

∂ Ê ˆ= Á ˜∂ Ë ¯◊ Â i

i iii

Gu u

x gG∇ ,

όπου 1 2 3( , , )u u u u= στο σύστημα ανα-φοράς 1 2 3Ox x x ,

•

32

1

1

i ii ii

fGf

x g xG=

È ˘∂∂= Í ˙

∂ ∂Î ˚Â∇ , όπου ( , , )f f x y z= , 2 =f f∇ ∇ ∇◊ .

Για παράδειγμα να γραφούν οι διαφορικοί τελεστές

f∇◊ , u∇◊ , 2 f∇

σε κυλινδρικές συντεταγμένες ( , , )ρ θ z , οι οποίες σχετίζονται με τις καρτεσιανές συντεταγμένες ( , , )x y z με τους τύπους

, , , 0 , [0, 2 ]x ρσυν θ y ρσυν θ z z ρ θ π= = = ≥ Œ .

Εδώ είναι ( , , ) ( , , )F ρ θ z ρσυν θ ρσυν θ z= , οπότε είναι

1 2 3, , x f ρσυν θ y f ρημθ z f z= = = = = =

και έχουμε τις μερικές παραγώγους

Εισαγωγή 11

1f

συν θρ

∂=

∂ , 1

fρημθ

θ∂

= -∂

, 1 0fz

∂=

∂

2f

ημθρ

∂=

∂ , 2

fρσυν θ

θ∂

=∂

, 2 0fz

∂=

∂

3 0fρ

∂=

∂ , 3 0

fθ

∂=

∂ , 3 1

fz

∂=

∂.

Άρα, η ιακωβιανή ορίζουσα είναι

1 2 30

( , , )0 0,

( , , )0 0 1

συν θ ρημθD f f f

J ημθ ρσυν θ ρD ρ θ z

-

= = = π για 0ρ >

οπότε η αλλαγή μεταβλητών μπορεί να γίνει. Ακόμη, έχουμε

22 2

2 211 1

yx zg συν θ ημ θ

ρ ρ ρ∂∂ ∂Ê ˆÊ ˆ Ê ˆ= + + = + =Á ˜ Á ˜ Á ˜∂ ∂ ∂Ë ¯ Ë ¯ Ë ¯

,

22 2

2 2 2 2 222

yx zg ρ συν θ ρ ημ θ ρ

θ θ θ∂∂ ∂Ê ˆÊ ˆ Ê ˆ= + + = + =Á ˜ Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯ Ë ¯∂ ∂ ∂

,

22 2

233 1 1

yx zg

z z z∂∂ ∂Ê ˆÊ ˆ Ê ˆ= + + = =Á ˜ Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯ Ë ¯∂ ∂ ∂

,

και 211 22 22 G g g g ρ G ρ= = fi = . Επομένως, οι διαφορικοί τελεστές γίνονται:

0 0 011 22 33

1 1 1∂ ∂ ∂= + + + =

∂ ∂ ∂

f f ff ρ θ z

ρ θ zg g g∇

0 0 01∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

f f fρ θ z

ρ ρ θ z,

όπου 0 0 0, , ρ θ z οι διανυσματικές μονάδες στο καρτεσιανό σύστημα Ορθz , και

11

1 2 322 33

1 G G Gu u u u

ρ θ zG g g g

È ˘È ˘ È ˘ È ˘∂ ∂ ∂= + + =Í ˙Í ˙ Í ˙ Í ˙

∂ ∂ ∂Í ˙ Í ˙Í ˙Í ˙ Î ˚ Î ˚Î ˚Î ˚

∇◊


1 2 31

1 1ρ ρ ρ

u u uρ ρ θ ρ z

∂ ∂ ∂È ˘È ˘ È ˘ È ˘= + + =Í ˙Í ˙ Í ˙ Í ˙∂ ∂ ∂Î ˚ Î ˚Î ˚Î ˚

1 2 31

( ) ( ) ( )ρu u ρuρ ρ θ z

∂ ∂ ∂È ˘= + + =Í ˙∂ ∂ ∂Î ˚

3 31 2 1 1 211 1∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂È ˘

= + + + = + + +Í ˙∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂Î ˚

u uu u u u uu ρ ρ

ρ ρ θ z ρ ρ ρ θ z,

όπου 1 2 3( , , ) , ( , , ) , ( , , )( )u u ρ θ z u ρ θ z u ρ θ z= , και

11

2

22 33

1 È ˘È ˘ È ˘ È ˘∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂= + + =Í ˙Í ˙ Í ˙ Í ˙

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂Î ˚ Î ˚Í ˙Í ˙Î ˚Î ˚

f f fG G Gf

ρ g ρ θ g θ z g zG∇

1 1∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂È ˘È ˘ È ˘ È ˘

= + + =Í ˙Í ˙ Í ˙ Í ˙∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂Î ˚Î ˚ Î ˚Î ˚

f f fρ ρ

ρ ρ ρ θ ρ θ z z

2 2 2

2 2 21 1È ˘∂ ∂ ∂ ∂

= + + + =Í ˙∂ ∂ ∂ ∂Í ˙Î ˚

f f f fρ ρ

ρ ρ ρρ θ z

2 2 2

2 2 2 21 1∂ ∂ ∂ ∂

= + + +∂∂ ∂ ∂

f f f fρ ρρ ρ θ z

.

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξης 15

1 ΜΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Μια μερική διαφορική εξίσωση (θα γράφουμε στο εξής ΜΔΕ) πρώτης τάξης είναι μια εξίσωση που συνδέει δύο ή περισσότερες ανεξάρτητες μεταβλητές

1 2, , , nx x xº μια άγνωστη συνάρτηση αυτών 1 2( , , , )nz z x x x= º και τις με-ρικές παραγώγους πρώτης τάξης της z . Π.χ. οι ΜΔΕ

z zz

x y∂ ∂

+ =∂ ∂

, 2z z z

yx y x∂ ∂ ∂Ê ˆ+ + =Á ˜Ë ¯∂ ∂ ∂

.

Αν έχουμε τη ΜΔΕ , , , , 0Ê ˆ∂ ∂

=Á ˜∂ ∂Ë ¯z z

F x y zx y

, τότε μια συνάρτηση ( , )z z x y=

είναι λύση της, αν την επαληθεύει ταυτοτικά. Π.χ. η συνάρτηση ( )xz e y x= - είναι λύση της ΜΔΕ

z zz

x y∂ ∂

+ =∂ ∂

γιατί έχουμε ( )x xz

e y x ex∂

= - -∂

, xz

ey∂

=∂

και ισχύει η ταυτότητα

( ) ( )x x x xe y x e e e y x- - + ∫ - .

• Ορισμένες απλές μορφές ΜΔΕ μπορούν να λυθούν με απευθείας ολοκλήρω-ση ή με μεθόδους των συνήθων διαφορικών εξισώσεων.

Π.χ. η ΜΔΕ 2z

x yx∂

= +∂

, με ολοκλήρωση ως προς x , έχει τη λύση

31 ( )3

z x xy φ y= + + ,

όπου ( )φ y είναι μια αυθαίρετη συνάρτηση του y .

16 Κεφάλαιο 1

Η ΜΔΕ 1z

yzx∂

- =∂

λύνεται ως γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης

(η μεταβλητή y θεωρείται σαν σταθερή)

1 ( ) ( )y dx y dx xy xyz e e dx φ y e e dx φ y- -È ˘Ú Ú È ˘= + = + =Í ˙ Î ˚Î ˚Ú Ú

1 1

( ) ( ) ( )xy xy xye e d xy φ y e φ yy y

-

È ˘= - - + = - +Í ˙

Î ˚Ú ,

όπου ( )φ y είναι αυθαίρετη συνάρτηση του y . Παρατηρείστε ότι, στη θέση των αυθαίρετων σταθερών, θέτουμε αυθαίρετες συναρτήσεις της μεταβλητής που θεωρούμε σαν σταθερή. Η γενική λύση μιας ΜΔΕ πρώτης τάξης δίνεται από μία κατάλληλη αυθαίρετη συνάρτηση και κάθε λύση της που εξαρτάται από δύο αυθαίρετες σταθερές λέγε-ται πλήρης λύση της. Κωνικό στοιχείο

Αν ( , )z φ x y= είναι η εξίσωση μιας επιφάνειας, τότε έχουμε

z zdz dx dy pdx qdy

x y∂ ∂

= + = +∂ ∂

, όπου φ φ

p qx y

∂ ∂= =∂ ∂

,

οπότε τα διανύσματα [ , , ]dx dy dz (εφαπτόμενα στην επιφάνεια) και [ , , 1]N p q - (κάθετα στην επιφάνεια) είναι κάθετα μεταξύ τους. Σ’ ένα σημείο ( , , )M x y z και ένα ζεύγος , p q , που επαληθεύουν τη ΜΔΕ

( , , , , ) 0F x y z p q = , (1)

φέρουμε από το M το κάθετο διάνυσμα [ , , 1]N p q - (από το M παράλληλα προς τον άξονα Ox παίρνουμε απόσταση p , παράλληλα προς τον άξονα Oy παίρνουμε απόσταση q και απόσταση 1- παράλληλα προς τον άξονα Oz ). Στο σημείο M κατασκευάζουμε ένα μικρό τμήμα του καθέτου επιπέδου στο διάνυσμα N (που εξαρτάται από τα ,p q ), το οποίο το λέμε επίπεδο επαφής. Κρατώντας το M σταθερό, για όλα τα ,p q που επαληθεύουν τη ΜΔΕ (1) δημι-ουργούμε τα επίπεδα επαφής στο σημείο M . Κατασκευάζουμε τέτοια επίπεδα επαφής και στ’ άλλα σημεία του χώρου όπου ορίζεται η ΜΔΕ (1), κι έτσι σχηματίζεται ένα πεδίο επιπέδων επαφής. Η ΜΔΕ (1) σε κάθε σημείο ( , , )M x y z ορίζει μια μονοπαραμετρική οικογέ-νεια επιπέδων επαφής. Από τη ΜΔΕ (1) έχουμε (λύνοντας ως προς q )


( , , , )q f x y z p= , (2)

οπότε σ’ ένα δοσμένο σημείο ( , , )M x y z , το p παίρνει αυθαίρετη τιμή και σε κάθε τέτοια τιμή του p , το q προσδιορίζεται από την εξίσωση (2).

επίπεδοεπαφής

Λύση z = φ(x,y)

M (x, y, z)

N [p, q, –1]

Nκωνικόστοιχείο N

Καθώς το p μεταβάλλεται κατά συνεχή τρόπο, το επίπεδο επαφής εφάπτεται συνέχεια μιας επιφάνειας και περνάει από το M , οπότε παράγεται μια κωνική ε-πιφάνεια με κορυφή στο σημείο M , που λέγεται κωνικό στοιχείο του σημείου M . Επομένως, η ικανή και αναγκαία συνθήκη, ώστε μια επιφάνεια ( , )z φ x y= να είναι λύση της ΜΔΕ (1) είναι σε κάθε σημείο της να εφάπτεται στο κωνικό στοιχείο του σημείου.

• Σημειώνουμε ότι, όταν η ΜΔΕ (1) είναι γραμμική πρώτης τάξης

( , ) ( , ) ( , ) ( , )A x y p B x y q Γ x y z Δ x y+ + =

τότε το επίπεδο επαφής σ’ ένα σημείο, καθώς το p μεταβάλλεται περιστρέφεται γύρω από μια ευθεία και το κωνικό στοιχείο εκφυλίζεται σ’ αυτήν την ευθεία. � Το αντίστροφο πρόβλημα είναι να βρεθεί η ΜΔΕ πρώτης τάξης της οποίας έχουμε μία πλήρη λύση της ή τη γενική λύση της. Α) Απαλοιφή αυθαίρετων σταθερών

Να βρεθεί η ΜΔΕ που έχει πλήρη λύση τη συνάρτηση 2 2( ) ( )z x α y β= - + - , , α β αυθαίρετες σταθερές.

1.


� Παραγωγίζουμε τη συνάρτηση z ως προς x και ως προς y , και έχουμε

2( )z

p x αx∂

= = -∂

, 2( )z

p y βy∂

= = -∂

(χρησιμοποιούμε τους συμβολισμούς zpx∂

=∂

, z

qy∂

=∂

), απ’ όπου παίρνουμε

2p

α x= - + , 2q

β y= - + .

Αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές των ,α β στη δοσμένη συνάρτηση προκύ-πτει η ζητούμενη ΜΔΕ

22 2 22 2 4

2 2 4 4p q p q z z

z x x y y z zx y

Ê ˆ∂ ∂Ê ˆ Ê ˆ Ê ˆ= + - + + - fi = + fi = +Á ˜Á ˜ Á ˜ Á ˜Ë ¯Ë ¯ Ë ¯ ∂ ∂Ë ¯.

Να βρεθεί η ΜΔΕ που έχει ως λύση τη συνάρτηση

z αxy= , α αυθαίρετη σταθερή.

• Παραγωγίζουμε τη συνάρτηση z ως προς x

pz

p αy αx y∂

= = fi =∂

και αντικαθιστώντας στη συνάρτηση z αxy= παίρνουμε τη ΜΔΕ

z

z px z xx∂

= fi =∂

.

• Παραγωγίζουμε τη συνάρτηση z ως προς y

qz

q αx αy x∂

= = fi =∂

και αντικαθιστώντας στη συνάρτηση z αxy= παίρνουμε τη ΜΔΕ

z

z qy z yy∂

= fi =∂

.

• Εξισώνοντας τις δύο τιμές της αυθαίρετης σταθερής α παίρνουμε τη ΜΔΕ

0 0z z

px qy x yx y∂ ∂

- = fi - =∂ ∂

.

2.


Σημείωση

Για να έχουμε μία ακριβώς ΜΔΕ τάξης 1n≥ , από απαλοιφή αυθαίρετων σταθε-

ρών, πρέπει στην πλήρη λύση να εμφανίζονται ( 3)

2n n+

αυθαίρετες σταθερές.

Π.χ. για 1n= έχουμε 1(1 3)

22+

= αυθαίρετες σταθερές.

Β) Απαλοιφή αυθαίρετης συνάρτησης

Να βρεθεί η ΜΔΕ που έχει γενική λύση

2 2 2( , ) 0Φ x y z x y z- + - - = , όπου Φ είναι αυθαίρετη συνάρτηση.

� Θέτουμε u x y z= - + , 2 2 2υ x y z= - - . Παραγωγίζουμε την Φ ως προς x και έχουμε

0∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂Ê ˆ Ê ˆ+ + + =Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Φ u u z Φ υ υ zu x z x υ x z x

fi (1 ) (2 2 ) 0Φ Φ

p x zpu υ

∂ ∂+ + - =

∂ ∂. (i)

Παραγωγίζουμε την Φ ως προς y και έχουμε

0Ê ˆ Ê ˆ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + =Á ˜ Á ˜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂Ë ¯ Ë ¯Φ u u z Φ υ υ zu y z y υ y z y

fi ( 1 ) ( 2 2 ) 0Φ Φ

q y zqu υ

∂ ∂- + + - - =

∂ ∂. (ii)

Το σύστημα (i), (ii) έχει μη μηδενική λύση ως προς , Φ Φu υ

∂ ∂

∂ ∂, όταν η ορί-

ζουσα των συντελεστών του ισούται με μηδέν.

Μ’ αυτόν τον τρόπο κάνουμε την απαλοιφή των , Φ Φu υ

∂ ∂

∂ ∂, δηλαδή της αυ-

θαίρετης συνάρτησης Φ . Έχουμε λοιπόν

1 2 20 (1 )( 2 2 ) ( 1 )(2 2 ) 0

1 2 2p x zp

p y zq q x zpq y zq

+ -

= fi + - - - - + - =- + - -

1.


(1 )(2 2 ) ( 1 )(2 2 ) 0p y zq q x zpfi + + + - + - =

2 2 2 2 2 2 2 2 0y zq yp zpq x zp xq zpqfi + + + - + + - =

0 ( ) ( ) ( ) 0y zq yp x zp xq y x p y z q z xfi + + - + + = fi - + + + + = . Παρατήρηση

Η παραπάνω διαδικασία καταλήγει στον τύπο:

11

0 1 1 1 02 2 2

p qp q

u u ux y z

x y zυ υ υx y z

--

∂ ∂ ∂= fi - =

∂ ∂ ∂- -

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

(2 2 ) ( 2 2 ) ( 1)( 2 2 ) 0p y z q z x y xfi + - - - + - - + =

( ) ( ) 0y z p x z q y xfi + + + + - = .

Αν έχουμε τη συνάρτηση 2 2 2( )x y z f x y z- + = - - , όπου f είναι αυθαί-ρετη συνάρτηση, τότε γράφουμε

2 2 2( )z y x f x y z= - + - -

και θέτουμε 2 2 2υ x y z= - - . Παραγωγίζοντας την z (που είναι ( , )z z x y= ) προς x και ως προς y , παίρ-νουμε

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂Ê ˆ= = - + + fi = - + -Á ˜Ë ¯∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂1 1 (2 2 )

f fz υ υ zp p x zp

x υ x z x υ,

1 1 ( 2 2 )Ê ˆ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

= = + + fi = + - -Á ˜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂Ë ¯f fz υ υ z

q q y zqy υ y z y υ

.

Λύνουμε τις εξισώσεις αυτές ως προς fυ∂

∂ και τις εξισώνουμε

1 12 2 2 2

f p qυ x zp y zq∂ + -

= =∂ - - -

fi 2 2 2 2 2 2 2 2yp zpq y zq xq zpq x zp- - - - = - - +

fi ( ) ( ) 0y z p x z q y x+ + + + - = .

2.


Ασκήσεις Να βρεθούν οι η ΜΔΕ που έχουν:

α) την πλήρη λύση 2 2 , ,z αx βy α β= - αυθαίρετες σταθερές,

β) τη γενική λύση ( , ) 0Φ x y z xyz+ + = , Φ αυθαίρετη συνάρτηση,

γ) τη γενική λύση ( ) ( )z x y f xyz= - + + , f αυθαίρετη συνάρτηση.

1 Γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης

Η γενική μορφή της ΜΔΕ πρώτης τάξης είναι

, , , , 0z z

F x y zx y

Ê ˆ∂ ∂=Á ˜∂ ∂Ë ¯

(1)

και αν η (1) μπορεί να πάρει τη μορφή

( , , ) ( , , ) ( , , )z z

P x y z Q x y z R x y zx y∂ ∂

+ =∂ ∂

(1.1)

τότε λέγεται σχεδόν γραμμική ΜΔΕ πρώτης τάξης. Αν η ΜΔΕ (1) μπορεί να πάρει τη μορφή

( , ) ( , ) ( , , )z z

P x y Q x y R x y zx y∂ ∂

+ =∂ ∂

(1.2)

τότε λέγεται ημι-γραμμική ΜΔΕ πρώτης τάξης, και αν μπορεί να πάρει τη μορφή

( , ) ( , ) ( , ) ( , )z z

P x y Q x y R x y z Δ x yx y∂ ∂

+ + =∂ ∂

(1.3)

τότε λέγεται γραμμική ΜΔΕ πρώτης τάξης. I) Μέθοδος των χαρακτηριστικών Για τη γραμμική ΜΔΕ (1.3) θεωρούμε ότι οι συναρτήσεις , , P Q R και Δ είναι συνεχείς πραγματικές συναρτήσεις σ’ έναν τόπο 2DÃo και μία τουλάχι-στον από τις συναρτήσεις P και Q δεν μηδενίζεται στο D , δηλαδή

( , ) 0P x y π ή ( , ) 0 , ( , )Q x y x y Dπ " Œ .


Θεωρώντας το διάνυσμα ( , ) ( , ) , ( , )( )α x y P x y Q x y= η (1.3) γράφεται

( , ) ( , )z α R x y z Δ x y+ =∇◊

, με , ∂ ∂Ê ˆ= Á ˜∂ ∂Ë ¯

z zz

x y∇ ,

όπου z α∇◊

(εσωτερικό γινόμενο) είναι η παράγωγος της ( , )z z x y= κατά τη διεύθυνση του διανύσματος α . Αν έχουμε την καμπύλη 0 0 0: ( ) ( ) ( )c r s x s x y s y= + , s IŒ Ão , όπου s είναι το αλγεβρικό μήκος τόξου της 0c , που μετριέται από ένα σταθερό σημείο της (φυσική παράμετρος), για την οποία ισχύει

dr αds α

= ,

όπου α το ευκλείδειο μήκος του διανύσματος α , τότε το διάνυσμα α είναι ε-φαπτόμενο σε κάθε σημείο της καμπύλης 0c , και η 0c λέγεται χαρακτηριστική της (1.3).

Άρα, θα έχουμε dr

α αds

= , αφού 0dr

εds

= είναι το μοναδιαίο εφαπτόμενο

διάνυσμα της καμπύλης 0c . Επομένως, έχουμε («

◊» εσωτερικό γινόμενο)

dr dr dz

z α z α α z αds ds ds

= = =∇ ∇ ∇◊ ◊ ◊

,

όπου ( ) ( ), (( ))z z s z x s y s= = στα σημεία της χαρακτηριστικής, οπότε η ΜΔΕ (1) παίρνει τη μορφή

( , ) ( , )dz

α R x y z Δ x yds

+ = .

Από την ΜΔΕ (1.3) προκύπτει επίσης ότι ισχύει

( , ) ( , )dz z z

α z α P x y Q x yds x y

∂ ∂= = +

∂ ∂∇◊

,

ενώ είναι

0 0dy dydz z dx z dx dr

z x y zds x ds y ds ds ds ds

∂ ∂ Ê ˆ= + = + =Á ˜Ë ¯∂ ∂∇ ∇◊ ◊

.

Έχουμε λοιπόν τις ισότητες

( , ) , ( , )dydx

α P x y α Q x yds ds

= =


απ’ όπου παίρνουμε

( , ) ( , )( , ) ( , )

dydx dsP x y dy Q x y dx

P x y Q x y α= = fi =

που είναι η δ.ε. των χαρακτηριστικών της ΜΔΕ (1.3). Π.χ. να βρεθούν οι χαρακτηριστικές της ΜΔΕ

1 2 1 21 , , z z

α α α αx y∂ ∂

+ = Œ∂ ∂

o .

Η διαφορική εξίσωση των χαρακτηριστικών αυτής της ΜΔΕ είναι

1 2 1 2 α dy α dx α dy α dx= fi =Ú Ú

fi 1 2 3α y α x α= + , 3α αυθαίρετη σταθερή 32

1 1

ααy x αx β

α αfi = + = + ,

όπου 21

αα

α= (δοσμένη σταθερή) και 3

1

αβ

α= αυθαίρετη σταθερή.

Άρα, οι χαρακτηριστικές της ΜΔΕ είναι οι ευθείες γραμμές με συντελεστή

διεύθυνσης 21

αα

α= .

Παραδείγματα

Να λυθεί η ΜΔΕ

1z z

x yx y∂ ∂

+ =∂ ∂

. (1)

� Βρίσκουμε τις χαρακτηριστικές της ΜΔΕ (1). Η διαφορική εξίσωση των χαρακτηριστικών είναι

= fi = fi =Ú Údy y dy dydx dxdx x y x y x

, 0xy π

fi ln ln ln y x α y αx= + fi = , α αυθαίρετη σταθερή.

Εκτελούμε την αλλαγή μεταβλητών (η επιλογή του ξ είναι αυθαίρετη)

ξ xy

ηx

=

=

fi

2

1 , 0

1,

ξ ξx yη y ηx y xx

∂ ∂= =

∂ ∂

∂ ∂= - =

∂ ∂

, με

2

1 0( , ) 1

0,1( , )

D ξ ηy

D x y xxx

= = π

-

για 0x π

1.


και με τον κανόνα της αλυσίδας έχουμε

2η yz z ξ z z z

x ξ x η x ξ ηx∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + = -∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

,

1ηz z ξ z z

y ξ y η y η x∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

.

Αντικαθιστώντας στην ΜΔΕ (1) παίρνουμε

2 1 1y yz z z z

z ξξ η x η ξx

∂ ∂ ∂ ∂Ê ˆ- + = fi =Á ˜∂ ∂ ∂ ∂Ë ¯

fi , 0 ln ( )ξ

z ξ z ξ f ηξ∂

∂ = π fi = + ,

όπου f είναι αυθαίρετη συνάρτηση. Άρα, η γενική λύση της ΜΔΕ (1) είναι

lny

z x fx

Ê ˆ= + Á ˜Ë ¯ ,

όπου f αυθαίρετη συνάρτηση.


2 0 , , 0z z

xy y xz x yx y∂ ∂

- + = Œ >∂ ∂

o . (1)

� Η διαφορική εξίσωση των χαρακτηριστικών της ΜΔΕ (1) είναι

2dy ydx xy

= - , 0x π

και έχει τις λύσεις

0 ( ) 0 x dy y dx d xy xy α+ = fi = fi = , α αυθαίρετη σταθερή

που είναι οι χαρακτηριστικές της (1). Με το μετασχηματισμό ξ xy= , η y= (η επιλογή του η είναι αυθαίρετη) έχουμε

ξ

yx∂

=∂

, ξ

xy∂

=∂

, 0ηx∂

=∂

, 1ηy

∂=

∂, με

( , )0

0 1( , )y xD ξ η

yD x y

= = > ,

2.


και z z

yx ξ∂ ∂

=∂ ∂

, z z z

xy ξ η∂ ∂ ∂

= +∂ ∂ ∂

οπότε η ΜΔΕ(1) γίνεται

3 0 , , 0

zη ξz ξ η

η∂

+ = Œ >∂

o .

Η γενική λύση της τελευταίας γραμμικής διαφορικής εξίσωσης είναι

231 220 0( , ) ( ) ( ) , , 0

η ξ ξξ dtηtz z ξ η f ξ e f ξ e ξ η

-

-Ú= = = Œ >o

και αν θέσουμε 20( ) ( ) , ξ

f ξ f ξ e ξ-

= Œo , τότε παίρνουμε τον τύπο

22( , ) ( ) , , 0

ξηz ξ η f ξ e ξ η= Œ >o .

Άρα, η γενική λύση της ΜΔΕ (1) δίνεται από τη σχέση

2( , ) ( ) , , 0yx

z x y f xy e x y= Œ >o

όπου f είναι αυθαίρετη συνάρτηση.


22 0z z

xy x yzx y∂ ∂

- + =∂ ∂

, 0 , 0x y> > . (1)

� Η διαφορική εξίσωση των χαρακτηριστικών της ΜΔΕ (1) είναι

22 2 2 0

dy x xy dy x dx

dx xy y= - = - fi + =

και έχει τις λύσεις 2 22y x α+ = , α αυθαίρετη σταθερή, που είναι οι χαρακτηρι-στικές της (1). Με το μετασχηματισμό ξ x= , 2 22η y x= + (η επιλογή του ξ είναι αυθαίρε-τη) έχουμε

1 , 0

4 , 2

ξ ξx yη η

x yx y

∂ ∂= =

∂ ∂

∂ ∂= =

∂ ∂

, με

1 0( , )2 0

4 2( , )D ξ η

yx yD x y

= = > , για 0y > ,

3.


και

4 , 2z z z z z

x yx ξ η y η∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

.

Αντικαθιστώντας στη ΜΔΕ (1) παίρνουμε

0 0z z ξ

ξ zξ z ξ∂ ∂ ∂

+ = fi + =∂

, 0z π

ln ln ( ) ( )zξ f η zξ f ηfi = fi = ,

όπου f είναι αυθαίρετη συνάρτηση.

Άρα, η γενική λύση της ΜΔΕ (1) είναι 2 21

( 2 )z f y xx

= + , όπου f αυθαίρετη

συνάρτηση.

IΙ) Μέθοδος των πρώτων ολοκληρωμάτων Θεωρούμε μια ΜΔΕ πρώτης τάξης σχεδόν γραμμική, δηλαδή της μορφής

( , , ) ( , , ) ( , , )z z


+ =∂ ∂

(1)

ή

( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )u u u

P x y z u Q x y z u R x y z u T x y z ux y z

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂ (1)ʹ

όπου τα , , ,P Q R T είναι συναρτήσεις των ανεξάρτητων μεταβλητών τους και της άγνωστης συνάρτησης ( , )z z x y= για την (1) και ( , , )u u x y z= για την (1)ʹ. Υποθέτουμε ότι οι συναρτήσεις , , ,P Q R T δεν μηδενίζονται συγχρόνως σ’ έναν τόπο 3DÃo ή 4DÃo , αντίστοιχα, και είναι κλάσης 1C .

θEΩPHMA: Αν ο συναρτήσεις 1( , , )u x y z α= , 1( , , )υ x y z β= είναι δύο ανεξάρ-τητα πρώτα ολοκληρώματα του συστήματος ΔΕ

( , , ) ( , , ) ( , , )

dydx dzP x y z Q x y z R x y z

= = (2)

τότε η αυθαίρετη συνάρτηση


1( ( , , )Φ u x y z , 1( , , ) 0υ x y z = , με 0Φz

∂π

∂,

είναι η γενική λύση της ΜΔΕ (1)

Απόδειξη

Από το σύστημα ΔΕ (2) έχουμε

0 dydx dz

λ dx λPP Q R

= = = π fi = , dy λQ= , dz λR= (i)

και διαφορίζοντας τα πρώτα ολοκληρώματα παίρνουμε

1 1 1 0u u u

dx dy dzx y z

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂,

1 1 1 0υ υ υ

dx dy dzx y z

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂.

Απ’ αυτές τις εξισώσεις και τις σχέσεις (i) καταλήγουμε στο σύστημα των εξι-σώσεων (είναι 0λπ )

1 1 1

1 1 1

,

.

u u uP Q R

x y z

υ υ υP Q R

x y z

∂ ∂ ∂+ = -

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ = -

∂ ∂ ∂

(ii)

Λύνουμε το (ii) ως γραμμικό σύστημα ως προς ,P Q :

1 1

1 1

( , )( , )

( , )( , )

D u υRD y z

P D u υD x y

= ,

1 1

1 1

( , )( , )

( , )( , )

D u υRD z xQ D u υ

D x y

=

με ιακωβιανή ορίζουσα

1 1

1 1

1 1

( , )0

( , )

∂ ∂

∂ ∂= π

∂ ∂

∂ ∂

u ux yD u υυ υD x yx y

,

απ’ όπου τελικά παίρνουμε


1 1 1 1 1 10( , ) ( , ) ( , )

(( , ) ( , ) ( , )

P Q RμD u υ D u υ D u υ

D y z D z x D x y

= = = π . (iii)

Από τη σχέση 1( , , )(Φ u x y z , 1( , , ) 0)υ x y z = , με παραγώγιση ως προς x και y , παίρνουμε το σύστημα

1 1 1 11 1

0u u υ υΦ Φ

p pu x z υ x z

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂Ê ˆ Ê ˆ+ + + =Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂,

1 1 1 11 1

0u u υ υΦ Φ

q qu y z υ y z

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂Ê ˆ Ê ˆ+ + + =Á ˜ Á ˜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂Ë ¯ Ë ¯,

το οποίο έχει μη μηδενική λύση ως προς 1

Φu∂

∂,

1

Φυ∂

∂, όταν η ορίζουσα των συ-

ντελεστών του είναι μηδέν, δηλαδή όταν είναι

1 1 1 1

1 1 1 10

u u υ υp p

x z x zu u υ υ

q qy z y z

∂ ∂ ∂ ∂+ +

∂ ∂ ∂ ∂=

∂ ∂ ∂ ∂+ +

∂ ∂ ∂ ∂

.

Αναπτύσσοντας την ορίζουσα καταλήγουμε στην εξίσωση

1 1 1 1 1 1( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )

D u υ D u υ D u υp q

D y z D z x D x y+ = ,

την οποία αν πολλαπλασιάσουμε με ( 0)πμ μ , λόγω των σχέσεων (iii), παίρ-νουμε τη ΜΔΕ

( , , ) ( , , ) ( , , )P x y z p Q x y z q R x y z+ = . (1)

Άρα, η συνάρτηση ( , ) 0Φ u υ = είναι λύση της ΜΔΕ (1).

• Η συνθήκη 0Φz

∂π

∂ εξασφαλίζει τον ορισμό των μερικών παραγώγων

zp

x∂

=∂

, z

qy∂

=∂

από τις σχέσεις

0∂ ∂ ∂

+ =∂ ∂ ∂

Φ Φ zx z x

, 0∂ ∂ ∂

+ =∂ ∂ ∂

Φ Φ zy z y

.

• Η υπόθεση ότι οι συναρτήσεις , ,P Q R είναι κλάσης 1C , δηλαδή είναι συνε-


χείς, με μερικές παραγώγους πρώτης τάξης συνεχείς, εξασφαλίζει τη μοναδι-κότητα των λύσεων του συστήματος ΔΕ (2) και την ύπαρξη των δύο ανεξάρ-τητων πρώτων ολοκληρωμάτων του (2). �

Στο Κεφάλαιο 5, Λυμένο Πρόβλημα 1, αποδεικνύονται οι παρακάτω Προτά-σεις 1 και 2.

ΠΡΟΤΑΣΗ 1: Aν ( , )z z x y= είναι λύση της ΜΔΕ (1), που περνάει από το σημείο 0 0 0( , , )M x y z , τότε αυτή περιέχει και τη λύση του συστήματος ΔΕ (2) που

περνάει από το σημείο Μ .

ΠΡΟΤΑΣΗ 2: Θεωρούμε την επιφάνεια ( , , ) 0F x y z = που είναι μια μονοπαραμε-τρική οικογένεια λύσεων του συστήματος ΔΕ (2). Αν η επιφάνεια ( , , ) 0F x y z = , έχει την ιδιότητα, το εφαπτόμενο επίπεδό της σε κάθε σημείο της δεν είναι παράλληλο προς τον άξονα Oz , τότε είναι λύση της ΜΔΕ (1).

ΠΡΟΤΑΣΗ 3: Κάθε επιφάνεια ( , )z z x y= που είναι λύση της ΜΔΕ (1), μπορεί να παραχθεί από μία μονοπαραμετρική οικογένεια καμπύλων που είναι λύσεις του συστήματος ΔΕ (2).

Απόδειξη

Θεωρούμε μια επιφάνεια ( , )z z x y= που είναι λύση της ΜΔΕ (1) και πάνω της μια καμπύλη c που δεν είναι λύση του συστήματος ΔΕ (2). Η μονοπαραμετρική οικογένεια των λύσεων του (2) που είναι καμπύλες και τέμνουν την καμπύλη c , παράγουν τη δοσμένη επιφάνεια ( , )z z x y= που είναι λύση της ΜΔΕ (1) (Πρόταση 1). Από τις εξισώσεις των δύο ανεξάρτητων πρώτων ολοκληρωμάτων του (2)

1( , , )u x y z α= , 1( , , )υ x y z β= , ,α β αυθαίρετες σταθερές,

και από τις εξισώσεις της καμπύλης c απαλείφουμε τις μεταβλητές , ,x y z και βρίσκουμε μία σχέση ( )β φ α= . Επομένως, οι καμπύλες που είναι λύσεις του συστήματος ΔΕ (2) και τέμνουν την καμπύλη c δίνονται από τις εξισώσεις

1( , , )u x y z α= , 1( , , ) ( )υ x y z φ α= ,

όπου α είναι αυθαίρετη σταθερή (παράμετρος).


Σημειώσεις

α) Από το θεώρημα προκύπτει ότι η σχέση 1 1 1 2u α υ α= + , όπου 1 2,α α είναι αυθαίρετες σταθερές, είναι μια πλήρης λύση της ΜΔΕ (1).

β) Αν δύο λύσεις της ΜΔΕ (1) τέμνονται σ’ ένα σημείο Μ , η τομή τους είναι λύση του συστήματος ΔΕ (2) που περνάει από το σημείο Μ , επειδή αυτό α-νήκει και στις δύο επιφάνειες που είναι λύσεις της (1) (Πρόταση 1).

γ) Σύμφωνα με τις Προτάσεις 1, 2, 3, η λύση ( , )z z x y= της ΜΔΕ (1) είναι μια επιφάνεια που σχηματίζεται από τη συνένωση καμπύλων που είναι λύσεις του συστήματος ΔΕ (2). �

• Για τη ΜΔΕ (1) το σύστημα διαφορικών εξισώσεων

( , , ) ( , , ) ( , , )


= = (2)

και για τη ΜΔΕ (1)ʹ το σύστημα διαφορικών εξισώσεων

( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )

dydx dz duP x y z u Q x y z u R x y z u T x y z u

= = = (2)ʹ

λέγεται χαρακτηριστικό σύστημα της ΜΔΕ (1) και (1)ʹ, αντίστοιχα.

• Σημειώνουμε ότι, οι λύσεις του συστήματος ΔΕ (2) (αντ. (2)ʹ) λέγονται χαρα-κτηριστικές καμπύλες της ΜΔΕ (1) (αντ. (1)ʹ), και οι προβολές τους στο επί-πεδο Οxy λέγονται χαρακτηριστικές της ΜΔΕ (1) (αντ. (1)ʹ).

Αναζητούμε πρώτα ολοκληρώματα του χαρακτηριστικού συστήματος (2) ή (2)ʹ, τα οποία να είναι ανεξάρτητα σ’ έναν τόπο 3DÃo ή 4DÃo , αντίστοιχα.

• Αν 1( , , )u x y z α= , 1( , , )υ x y z β= , ,α β αυθαίρετες σταθερές, είναι δύο ανε-ξάρτητα πρώτα ολοκληρώματα του συστήματος (2), τότε η γενική λύση της ΜΔΕ (1) δίνεται από τη σχέση

1 1( , , ) , ( , , ) 0( )Φ u x y z υ x y z = ,

όπου Φ είναι αυθαίρετη συνάρτηση, με 0Φz

∂π

∂.

• Αν 1 1( , , , )u x y z u α= , 2 2( , , , )u x y z u α= , 3 3( , , , )u x y z u α= , όπου 1α , 2α , 3α αυθαίρετες σταθερές, είναι τρία ανεξάρτητα πρώτα ολοκληρώματα του συ-στήματος (2)ʹ, τότε η γενική λύση της ΜΔΕ (1)ʹ δίνεται από τη σχέση

1 2 3( , , , ) , ( , , , ) , ( , , , ) 0( )F u x y z u u x y z u u x y z u = ,


όπου F είναι αυθαίρετη συνάρτηση, με 0Fu

∂π

∂.

Τα πρώτα ολοκληρώματα είναι ανεξάρτητα σ’ έναν τόπο D όταν ο πίνακας

1 1 1

1 1 1

u u ux y zυ υ υx y z

∂ ∂ ∂È ˘Í ˙∂ ∂ ∂Í ˙∂ ∂ ∂Í ˙

Í ˙∂ ∂ ∂Î ˚

ή

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

u u u ux y z u

u u u ux y z uu u u ux y z u

∂ ∂ ∂ ∂È ˘Í ˙∂ ∂ ∂ ∂Í ˙∂ ∂ ∂ ∂Í ˙Í ˙∂ ∂ ∂ ∂Í ˙∂ ∂ ∂ ∂Í ˙Í ˙∂ ∂ ∂ ∂Î ˚

έχει ορίζουσα 2 2¥ ή 3 3¥ , αντίστοιχα, διάφορη του μηδενός στον τόπο 3DÃo ή 4DÃo , αντίστοιχα.

Πώς θα βρούμε πρώτα ολοκληρώματα

Σημειώνουμε ότι πρώτο ολοκλήρωμα του συστήματος ΔΕ (2) ή (2)ʹ είναι μια επι-φάνεια, από τα σημεία της οποίας περνάνε λύσεις του (καμπύλες) που βρίσκο-νται πάνω στην επιφάνεια.

Α) Στο αντίστοιχο χαρακτηριστικό σύστημα αναζητούμε ισότητες λόγων οι ο-ποίες είναι ολοκληρώσιμες διαφορικές εξισώσεις.

Προσοχή! Καμία από τις μεταβλητές , ,x y z του (2) ή , , ,x y z u του (2)ʹ δεν μπορεί να θεωρηθεί σαν σταθερή.

Β) Μπορούμε να κάνουμε συνδυασμούς λόγων με σκοπό: i) να μηδενίζεται ο παρονομαστής και ο αριθμητής να είναι ολικό διαφορικό

κάποιας συνάρτησης, ii) εξισώνοντας αυτόν το λόγο με έναν άλλο λόγο να δημιουργείται ολο-

κληρώσιμη διαφορική εξίσωση.

Γ) Αν κάποιο πρώτο ολοκλήρωμα που βρήκαμε είναι απλής μορφής μπορούμε ν’ απαλείψουμε (λύνοντάς το ως προς μια μεταβλητή) από το χαρακτηριστικό σύστημα μια μεταβλητή έτσι ώστε να προκύψει ολοκληρώσιμη διαφορική εξίσωση.

Παραδείγματα

Να λυθεί η ΜΔΕ 2 2( ) ( )z z

y zx x yx x yx y∂ ∂

+ - + = -∂ ∂

. (1) 4.


� Σχηματίζουμε το αντίστοιχο χαρακτηριστικό σύστημα

2 2( )dydx dz

y zx x yz x y= =

+ - + -

(2)

απ’ όπου κάνοντας συνδυασμούς των λόγων παίρνουμε:

2 2 2

2 2 21

1( )2

0 0

d x y zx dx y dy z dzu x y z α

Ê ˆ+ -Ë ¯+ -= fi = + - =

και

12 2 2 2 ( ) 0 ( )y dx x dy dz

d xy dz υ xy z βx y x y+

= fi + = fi = + =

- - -

τα δύο ανεξάρτητα, για x yπ ± , πρώτα ολοκληρώματα.

Άρα, η γενική λύση της ΜΔΕ (1) είναι 2 2 2( , ) 0Φ x y z xy z+ - + = , όπου Φ αυθαίρετη συνάρτηση.

Να λυθεί η ΜΔΕ z z

z z x yx y∂ ∂

+ = +∂ ∂

. (1)

� Από το αντίστοιχο χαρακτηριστικό σύστημα

dydx dz

z z x y= =

+

, 0z π , 0x y+ π (2)

παίρνουμε την ισότητα λόγων

1 dydx

dx dy u y x αz z= fi = fi = - = , α αυθαίρετη σταθερή,

που είναι πρώτο ολοκλήρωμα.

Θέτοντας την τιμή y x α= + στην ισότητα λόγων

(2 )2

dx dz dx dzx α dx z dz

z x y z x α= fi = fi + =

+ +

απ’ όπου προκύπτει 2

2

2z

x αx β= + + , και επειδή α y x= - , παίρνουμε το δεύ-

τερο πρώτο ολοκλήρωμα 2

21 ( )2

zυ x y x x β= - - - = , β αυθαίρετη σταθερή.

Το 1υ μπορεί να γραφεί 2

1 2υ z xy β= - = (θέσαμε πάλι β αντί 2β).

5.


Τα πρώτα ολοκληρώματα 1u y x α= - = , 2

1 2υ z xy β= - = είναι ανεξάρτητα, για 0x π , οπότε η γενική λύση της ΜΔΕ (1) είναι

2( , 2 ) 0Φ y x z xy- - = ,

όπου Φ αυθαίρετη συνάρτηση.

Να λυθεί η ΜΔΕ 2 22 (2 ) ( 4 ) 2 0

z zy x x z x yz

x y∂ ∂

- + + - + =∂ ∂

. (1)

� Από το αντίστοιχο χαρακτηριστικό σύστημα

2 2 22 (2 ) 24dydx dz

y x yzx z y x= =

- -+ - -

(2)

προκύπτουν οι ολοκληρώσιμες διαφορικές εξισώσεις

1(2 )

, 2 , 0 2 2 2dx dz d x dz z

x z u αx z x z x

-= π π fi = fi = =

- - - -

και (για 0z π )

2 2 2

12 2 2 2 2 2 2 2 2( )

2( )

x dx y dy z dz d x y zdz dz zυ β

yz zy x y z x y z x y z+ + + +

= fi = fi = =

-- + + + + + +

,

όπου , α β είναι αυθαίρετες σταθερές. Τα πρώτα ολοκληρώματα 1 1, u υ είναι ανεξάρτητα, για 0yz π , 2x π , οπό-τε η γενική λύση της ΜΔΕ (1) δίνεται από τη σχέση

2 2 2, 02z z

Φx x y z

Ê ˆ =Á ˜- + +Ë ¯,

όπου Φ είναι αυθαίρετη συνάρτηση. Εφαρμογή: Επιφάνειες ορθογώνιες σε μονοπαραμετρική οικογένεια επιφανειών. Δίνεται η μονοπαραμετρική οικογένεια επιφανειών

( , , )f x y z c= , c παράμετρος (α)

και θέλουμε να βρούμε τις επιφάνειες που τέμνουν ορθογώνια κάθε επιφάνειά της.

6.


Το κάθετο διάνυσμα σε σημείο ( , , )M x y z μιας επιφάνειας της οικογένειας (α) έχει τους αριθμούς διεύθυνσης

[ , , ] , ,f f f

P Q R fx y y∂ ∂ ∂È ˘

= =Í ˙∂ ∂ ∂Î ˚∇ κλίση της f .

Αν η επιφάνεια ( , )z z x y= τέμνει τις επιφάνειες της οικογένειας (α) ορθο-γώνια, τότε το κάθετο διάνυσμά της στο σημείο ( , , )M x y z έχει αριθμό διεύ-θυνσης

, , 1z zx y∂ ∂È ˘

-Í ˙∂ ∂Î ˚

και είναι κάθετο στο προηγούμενο διάνυσμα [ , , ]P Q R . Επομένως, έχουμε το εσωτερικό γινόμενο

[ , , ] , 1 0 z z z z

P Q R P Q Rx y x y∂ ∂ ∂ ∂È ˘

- = fi + =Í ˙∂ ∂ ∂ ∂Î ˚◊

fi f f fz zx x y y z∂ ∂ ∂∂ ∂

+ =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

. (β)

Άρα, κάθε λύση της ΜΔΕ (β) τέμνει ορθογώνια τις επιφάνειες της οικογένει-ας (α), οπότε η γενική λύση της δίνει τις ζητούμενες ορθογώνιες επιφάνειες στις επιφάνειες (α). Δηλαδή, οι ορθογώνιες επιφάνειες της οικογένειας (α) είναι οι επιφάνειες που σχηματίζονται από τη συνένωση των καμπύλων οι οποίες είναι λύσεις του συ-στήματος ΔΕ

dydx dzf f fx y z

= =∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

που είναι το αντίστοιχο χαρακτηριστικό σύστημα της ΜΔΕ (β).

Π.χ. να βρεθούν οι επιφάνειες οι οποίες τέμνουν ορθογώνια τις επιφάνειες της μονοπαραμετρικής οικογένειας των ελλειπτικών παραβολοειδών

2 2 2x y z c+ - = , c παράμετρος.

� Εδώ είναι 2 2( , , ) 2f x y z x y z c= + - = (α), οπότε έχουμε

2f

xx∂

=∂

, 2f

yy∂

=∂

, 2fz

∂= -

∂


και οι ζητούμενες επιφάνειες είναι λύσεις της ΜΔΕ

2 2 2∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

+ = fi + = -∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

f f fz z z zx y

x x y y z x y

ή ακόμη 1z z

x yx y∂ ∂

+ = -∂ ∂

. (β)

Σχηματίζουμε τ’ αντίστοιχο χαρακτηριστικό σύστημα της ΜΔΕ (β)

1dydx dz

x y= =

-

απ’ όπου βρίσκουμε τα δύο ανεξάρτητα πρώτα ολοκληρώματά του:

dydx

x αyx y

= fi = ( , , )x

u x y z αy

fi = = ,

1

zdydx xe βx

= fi =

-

( , , )fi = =zυ x y z xe β ,

όπου ,α β είναι αυθαίρετες σταθερές. Επομένως, οι ζητούμενες ορθογώνιες επιφάνειες στις επιφάνειες της οικογέ-νειας (α) δίνονται από τη συνάρτηση

, 0zx

Φ xey

Ê ˆ =Á ˜Ë ¯,

όπου Φ είναι αυθαίρετη συνάρτηση, με 0∂

π∂

Φz

. �

1.1 Το πρόβλημα του Cauchy Δίνονται η ΜΔΕ

( , , ) ( , , ) ( , , )z z


+ =∂ ∂

(1)

και η καμπύλη

: ( )c x x t= , ( )y y t= , ( )z z t= , t IŒ Ão , t παράμετρος

ή 1: ( , , ) 0c f x y z = , 2 ( , , ) 0f x y z = , ως τομή δύο επιφανειών.

Το πρόβλημα της εύρεσης της λύσης της ΜΔΕ (1) που περνάει από τη δοσμέ-νη καμπύλη c είναι γνωστό ως πρόβλημα του Cauchy ή πρόβλημα αρχικής τιμής.


z = z(x, y)λύση της (1)

χαρακτηριστικέςκαμπύλες της (1)

χαρακτηριστική της (1)

z

yc0 (προβολή της c)

x

O

c

Η λύση ( , )=z z x y της ΜΔΕ (1) είναι μια επιφάνεια που σχηματίζεται

από τη συνένωση χαρακτηριστικών καμπύλων της. Το πρόβλημα έχει μοναδική λύση όταν ισχύει η σχέση

( ) , ( ) , ( ) ( ) , ( ) , ( ) 0 , ( ) ( )dydxD Q x t y t z t P x t y t z t t Ιdt dt

= - π " Œ .

Για να βρούμε αυτήν τη λύση βρίσκουμε δύο ανεξάρτητα πρώτα ολοκληρώ-ματα του αντίστοιχου χαρακτηριστικού συστήματος της ΜΔΕ (1)

( , , ) ( , , ) ( , , )


= = , (2)

έστω τα 1( , , )u x y z α= , 1( , , )υ x y z β= και εργαζόμαστε ως εξής:

α) Από τις εξισώσεις

1 ( ) , ( ) , ( )( )u x t y t z t α= , 1 ( ) , ( ) , ( )( )υ x t y t z t β= απαλείφουμε την παράμετρο t και παίρνουμε τη σχέση ( , ) 0ρ α β = . Η ζητούμενη λύση είναι 1 1( , , ) , ( , , ) 0( )ρ u x y z υ x y z = . β) Από τις τέσσερις εξισώσεις

1( , , )u x y z α= , 1( , , )υ x y z β= , 1( , , ) 0f x y z = , 2 ( , , ) 0f x y z =

απαλείφουμε τις μεταβλητές , ,x y z και παίρνουμε τη σχέση ( , ) 0ρ α β = . Η ζητούμενη λύση είναι 1 1( , , ) , ( , , ) 0( )ρ u x y z υ x y z = .

HistoryItem_V1 AddMaskingTape Range: current page Mask co-ordinates: Horizontal, vertical offset 388.52, 638.24 Width 50.35 Height 16.33 points Origin: bottom left

1 0 BL Both 1 CurrentPage 1

CurrentAVDoc

388.5237 638.2356 50.3516 16.3303

QITE_QuiteImposingPlus2 Quite Imposing Plus 2 2.0c Quite Imposing Plus 2 1

1 10 1 1

1



CurrentAVDoc

60.558 638.916 119.0747 14.289


2 10 2 1

1



CurrentAVDoc

386.4825 638.916 53.0733 14.9694


3 10 3 1

1



CurrentAVDoc

61.2384 639.5964 117.0334 12.9282


4 10 4 1

1



CurrentAVDoc

59.8776 640.9573 119.7551 12.2477


00-1 ΜΔΕ Δ - ziti.grτο βάλουμε σε κάποιο γένος, να το...

Documents

Transcript of 00-1 ΜΔΕ Δ - ziti.grτο βάλουμε σε κάποιο γένος, να το...