Definición de límite infinito en un punto

OXOY

OZ

(a,b)δδδδ

N

δ<−+−< 22 )()(0 byax Nyxf >),(

1) Sea f: A →→→→ R con A ⊂⊂⊂⊂ R2, y (a,b) un punto de acumulación de A. Diremos que f tiene límite + ∞∞∞∞ si , si ∀∀∀∀ N ∃∃∃∃ δδδδ > 0 //// ∀∀∀∀ (x,y) ∈∈∈∈ ΑΑΑΑ tal que,

2) Sea f: A →→→→ R con A ⊂⊂⊂⊂ R2, y (a,b) un punto de acumulación de A. Diremos que f tiene límite - ∞∞∞∞ si , si ∀∀∀∀ N ∃∃∃∃ δδδδ > 0 //// ∀∀∀∀ (x,y) ∈∈∈∈ ΑΑΑΑ tal que,

( ) ( ) δ<−+−< 220 byax Nyxf <),(

Definición de límite finito en el infinito

Sea f: A →→→→ R con A ⊂⊂⊂⊂ R2. Diremos que si ∀∀∀∀ εεεε > 0 ∃∃∃∃ M //// ∀∀∀∀ (x,y) ∈∈∈∈ ΑΑΑΑ tal que,

Myx >+ 22 ε<− Lyxf ),(

Lyxfyx

=∞→

),(lim),(

Definición de límite infinito en el infinito

Sea f: A →→→→ R con A ⊂⊂⊂⊂ R2. Diremos que si ∀∀∀∀ N ∃∃∃∃ M ////∀∀∀∀ (x,y) ∈∈∈∈ ΑΑΑΑ tal que,

Myx >+ 22 Nyxf >),(

+∞=∞→

),(lim),(

yxfyx

Sean f y g infinitésimos en (a,b), tales que .

Entonces se dice que f y g son infinitésimos equivalentes en (a,b) .

Una función f:R 2 →→→→ R es un infinitésimo en el punto (a,b) si

Definición de infinitésimo

0),(lim),(),(

=→

yxfbayx

1),(

),(lim

),(),(=

→ yxg

yxfbayx

Definición de infinitésimos equivalentes

NOTA: Se puede sustituir un infinitésimo por otro e quivalente al calcular el límite de un producto o un cociente.

Proposición : Si f es una función acotada en un entorno reducid o del punto (a,b) y g es un infinitésimo en (a,b) entonces la f unción producto f.g es un infinitésimo en (a,b).

Definición de continuidad en un punto

Una función f es continua en un punto (a,b) si exis te límite en el punto y coincide con el valor que toma la función en dicho punto. Es decir, f es continua en a si, y sólo si,

( )),(lim

),(,yxf

bayx →

i) ∃∃∃∃ f(a,b)

ii) ∃∃∃∃

iii) ( )

),(),(lim),(,

bafyxfbayx

=→

),(),(lim),(),(

bafyxfbayx

=→

Diferentes tipos de discontinuidad

Sea una función f discontinua en el punto (a,b). Se dice que:

1) f tiene una discontinuidad evitable en (a,b) si existe y es finito el

.

2) f tiene una discontinuidad no evitable en (a,b) en caso contrario.

),(lim),(),(

yxfbayx →

Continuidad en un conjunto

Definición de continuidad en un conjuntoLa función f: A →→→→ R es continua en el conjunto A ⊂⊂⊂⊂R2 si es continua en todos los puntos de A.