11. FUNCIONES DE DISTRIBUCIN ESPECIALES DISTRIBUCIN CHI2 CUADRADO DE PEARSON Si (X1,X2,...,Xn) son n variables aleatorias normales independientes de media 0 y varianza 1, la variable definida como n 2 2 Yn = X1 + + X n = i=1 X i2 se dice que tiene una distribucin CHI con n grados de libertad. Su funcin de densidad esf (x) = 1 x ( n 2 ) / 2 e x / 2 n 2 n 2

x >0

( siendo P) = X P 1e x dx la funcin gamma de Euler, con P>0. La funcin de 0

distribucin viene dada porx 0

F( x ) = P( X x ) = f ( x )dx La media de esta distribucin es E(X)=n y su varianza V(X)=2n. Esta distribucin es bsica en un determinado nmero de pruebas no paramtricas. Si consideramos una variable aleatoria Z~N(0,1), la variable aleatoria X=Z2 se distribuye segn una ley de probabilidad distribucin CHI con un grado de libertad Si tenemos n variable aleatoria independientes Zi~N(0,1), la suma de sus cuadrados respectivos es una distribucin CHI con n grados de libertad, Z i N (0,1) Z i2 2 ni =1 n

La media y varianza de esta variable son respectivamente, E(X)=n y V(X)=2n Ejemplo, El espesor de un semiconductor se controla mediante la variacin estndar no mayor a =0.60 mm. Para mantener controlado el proceso se toman muestras aleatoriamente de tamao de 20 unidades, y se considera que el sistema est fuera de control cuando la probabilidad de que 2 tome valor mayor o igual al valor de la muestra observado es que es 0.01. Que se puede concluir si s=0.84mm?

1

Solucin. Existe fuera de control si ( n 1)s 2 / 2 con n=20 y =0.60, excede2 0.01 ,19 = 36 .191

(n 1)s 2 19 * 0.84 2 = = 37.24 2 0.60 2 Por tanto, el sistema est fuera de control

Entonces,

La funcin de distribucin CHI tienen importantes variaciones de acuerdo con los grados de libertad y del tamao muestral (menor tamao muestral y mayor tamao muestral respectivamente),

En consecuencia, si tenemos X1,..,Xn, variable aleatoria independientes, donde cada X i N (i , i ) , se tieneX i i i =1 in

2 n

2

La distribucin Chi muestra su importancia cuando queremos determinar la variabilidad (sin signo) de cantidades que se distribuyen en torno a un valor central siguiendo un mecanismo normal. Teorema (Cochran). Sean X1,,Xn con distribucin N( , ), la variable aleatoria independiente, entoncesX=

Xi =1

n

i

n

N , n

X X 2 y i n 1 i =1 n

2

2

La funcin Chi-cuadrado es igual a la funcin normal elevada al cuadrado. Esto es, el producto de dos distribuciones de Gauss es una distribucin de Chi-cuadrado. Si de una poblacin normal, o aproximadamente normal, se extraen muestras aleatorias e independientes, y se le calcula el estadgrafo 2 usando el valor muestral de la varianza y el poblacional con: ( n 1)s 2 2 = 2 Esta funcin matemtica est caracterizada por el valor del nmero de grados de libertad =n-1 (donde n es el tamao muestral). Al igual que la t-Student, el valor total del rea bajo la curva es igual a la unidad, pero la diferencia principal es que esta no es simtrica respecto al origen, sino que se extiende desde 0 hasta + porque no puede ser negativa.

A medida que los grados de libertad aumentan, la curva cambia de forma y sus valores se han tabulado en el anexo de tablas estadsticas, donde se muestran los valores del rea bajo la curva, para los principales valores de 2, a la derecha de ste. O sea, se muestra la zona de rechazo para diferentes niveles de significacin y de grados de libertad, lo cuales varan entre 1 y 100. Ms all, conviene usar directamente la funcin de Gauss. Para cada grado de libertad hay una tabla de valores que pueden obtenerse variando el nivel de significacin, parecida a la de Gauss. El problema de calcular los valores crticos, para un nivel de confianza dado, se resuelve de dos maneras: usando computadoras para resolver los clculos, y la otra ms comn, usando tablas resumidas, en forma anloga a la vista para el modelo de t-Student. La distribucin de 2 se usa principalmente para analizar dispersiones. Se compara la dispersin muestral

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expresada a travs de sus cuadrados medios contra la dispersin poblacional cuantificada a travs de la varianza (2). Existen otros criterios, como el de Thonks, que usa un error relativo admisible mximo, y se calcula como un cuarto del rango de los valores normales de referencia, dividido por el valor medio de dicho intervalo (referido a la magnitud clnica en cuestin y expresado en porcentajes). Tambin se emplea a este modelo para realizar la llamada prueba de chi-cuadrado en las comparaciones de frecuencias observadas contra las frecuencias esperadas, con datos de recuento. Ms adelante se desarrolla mejor este tema, lo mismo que su so para testear la independencia de dos o ms factores en una Tabla de Contingencia. En la industria farmacutica se la usa para analizar la dispersin de los componentes de los productos terminados. Todo remedio fabricado debe cumplir estrictas normas de calidad, generalmente referidas al contenido en peso de sus principales componentes. Se usan dos lmites: el superior e inferior, dentro de los cuales se los debe mantener controlados. Este rango de valores define la dispersin mxima admisible y lo ideal es que la dispersin de los productos terminados sea bastante inferior a dicho rango. Ese control de la dispersin es muy similar al explicado ms arriba, para los bioqumicos. Ejemplo. Un bioqumico sospecha que su micro-centrfuga no mantiene constante su velocidad mientras trabaja, lo cual le da una variabilidad indeseada en sus determinaciones. Para controlarla, consigue un tacmetro regulado y mide cada minuto la velocidad durante 10 minutos. Los resultados fueron: una velocidad promedio en las 10 mediciones de 3098 rpm con una desviacin de 100,4 rpm. Testear para un error relativo mximo del 2% o menos, si la centrfuga es estable.

La desviacin estndar es H0: max62 rpm H1: max62 rpm

max

=2%*3098=62 rpm, luego,

4

2 =

( n 1)s 2 (10 1) * 100 .4 2 = = 23.6 2 62 2

De la Tabla de valores crticos surge: 20,99;9=21,666 y 20,991;9=27,877. Por lo tanto, el bioqumico ha encontrado una muy fuerte evidencia que la velocidad del equipo oscila en forma indeseada, tal como sospechaba. Y deber ajustarlo si desea disminuir la variabilidad de sus mediciones. Los resultados fueron muy significativos 2 = 23,6 Ejemplo. Un farmacutico Jefe del Dpto. Control de Calidad en una industria alimenticia, descubre que en su proceso de produccin el contenido de ciclamato en su lnea de mermeladas dietticas vara en forma indeseada. Sospechando que se trata de una falla en el dosificador, decide tomar 10 muestras seguidas del mismo. Encuentra un promedio de 20 gramos con una desviacin de 8 gramos. Si en su protocolo de fabricacin la variacin mxima permitida es del 3%, determinar si el dosificador debe ser corregido. El desviacin estndar aceptable es: mx = 3% de 20 g = 6 g. Luego: H0: mx 6 g.: el dosificador funciona correctamente H1: mx > 6 g.: el dosificador debe ser cambiado( n 1)s 2 (10 1) * 8 2 = = = 16 2 622

De la Tabla de valores crticos surge: 20,95;9=16,9. Por lo tanto, el farmacutico no ha encontrado evidencia que respalde sus sospechas. Sin embargo, el valor hallado es muy cercano al crtico, por lo que le convendra hacer ms pruebas. En estadstica, la distribucin Chi-cuadrado, tambin denominada Chi-cuadrado de Pearson, es una distribucin de probabilidad continua con un parmetro k que representa los grados de libertad de la variable aleatoria: 2 X = Z1 + Z 2 + + Z 2 2 k donde Zi son variables de distribucin normal, N(0,1) o de media cero y varianza uno. Se suele usar la denominada prueba Chi-cuadrado como test de independencia y como test de bondad de ajuste. La funcin de densidad Chi-cuadrado esf k (x) = (1 / 2) k / 2 k / 2 1 x / 2 x e (k / 2) x 0

es la funcin gamma. La funcin de distribucin esFk ( x ) = (k / 2, x / 2) (k / 2)

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donde (k,z) es la funcin gamma incompleta. El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribucin Chicuadrada son E[X] = k V[X] = 2k La distribucin Chi-cuadrado tiene muchas aplicaciones en inferencia estadstica, por ejemplo en el test Chi-cuadrado y en la estimacin de varianzas. Tambin est involucrada en el problema de estimar la media de una poblacin normalmente distribuida y en el problema de estimar la pendiente de una recta de regresin lineal, a travs de su papel en la distribucin t-Student, y participa en todos los problemas de anlisis de varianza, por su papel en la distribucin F-Snedecor, que es la distribucin del cociente de dos variables aleatorias de distribucin Chi-cuadrado e independientes. Relacin con otras distribuciones. La Chi cuadrado es una distribucin binomial inversa cuyo coeficiente de variabilidad es 10.1, esta tiene un intervalo de confianza de 2.3 grados en la escala de desviaciones estndar. Posee una distribucin de Poisson elevada la cual asciende a 56.5 m Eq en los tres primeros cuartiles de la recta. Para k=2 la distribucin es una distribucin exponencial. La prueba de Chi-cuadrado es una prueba no paramtrica que mide la discrepancia entre una distribucin observada y otra terica (bondad de ajuste), indicando en qu medida las diferencias existentes entre ambas, de haberlas, se deben al azar. Tambin se utiliza para probar la independencia de dos muestras entre s, mediante la presentacin de los datos en tablas de contingencia. La frmula que da el estadstico es la siguiente:

=2

(V

Oa l bo Vsr e Ta r lve) o a r dr io c o V Ta l e o r r i c o2

Los grados de libertad nos vienen dados por: gl= (r-1)(k-1). Donde r es el nmero de filas y k el de columnas.

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Criterio de decisin: Se acepta H0 cuando < ,n 1 . En caso contrario se rechaza. Donde representa el valor proporcionado por las tablas, segn el nivel de significacin elegido. Cuanto ms se aproxima a cero el valor de Chi-cuadrado, ms ajustadas estn ambas distribuciones.2 2

CORRECCIN DE YATES La correccin de Yates se aplica a la prueba Chi-cuadrado cuando la frecuencia de las observaciones en alguna de las celdas es menor de 10. La Chi-cuadrado corregida:

=2

( V Oa l boV s r Tea r le 0vo.5) ar r di co o2

V T a le o r r i c o

En general, se aplica la correccin de Yates o tambin correccin por continuidad cuando aproximamos una variable discreta a una distribucin continua. La correccin consiste en aadir y substraer 0,5 a la variable en cuestin. Por ejemplo, obtener 3 caras al lanzar una moneda es una medida discreta (nominal) que se ajusta a la distribucin binomial. Mientras que si la aproximramos a la distribucin normal, su valor oscilar entre 2,5 y 3,5. DISTRIBUCIN F SNEDECOR O F-FISHER Si U y V son dos variables aleatorias independientes que tienen distribucin Chi Cuadrada con n1 y n2 grados de libertad, respectivamente, entonces, la variable aleatoria U n1 F= tiene funcin de distribucin F-Snedecor V n2

h (f ) =

( (n 1 + n 2 ) / 2)( n 1 / n 2 ) ( n 1 / 2) ( n 2 / 2)

n1 / 2

(1 + n 1f / n 2 ) ( n + n ) / 21 2

f ( n1 2 ) / 2

Que es la llamada funcin de distribucin F-Snedecor o F-Fisher con n1 y n2 grados de libertad

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Ejemplo, Un valor de f con 6 y 10 grados de libertad para un rea de 0.95 a la derecha es, f0.95,6,10=1/(f0.05,10,6)=1/4.06=0.246 Si de dos poblaciones normales, o aproximadamente normales, se extraen dos muestras aleatorias e independientes, y a cada una se le calcula su respectiva 2 2 varianza, el cociente de ambos valores F = s1 s 2 (con F>1, esto es, siempre se coloca el ms grande como numerador) tendr una distribucin de Fisher, cuyos valores crticos fueron obtenidos por W. Snedecor en una tabla que se caracteriza por tener dos grados de libertad: el correspondiente al numerador 1=n1-1 y el del denominador 2=n2-1. Programas de computacin permiten calcular los valores crticos respectivos

En las Tablas se presenta una hoja para cada nivel de confianza, se eligen los ms apropiados como: 95% ; 97,5% ; 99% ; 99,5% y 99,9%. Como siempre, el rea total bajo la curva es la unidad y se extiende desde 0 a + . La forma es muy parecida a la Chi-cuadrado. se muestran tres casos, con diferentes grados de libertad, y se marca el valor de F=2,5 con una ,lnea punteada vertical. El principal uso de esta funcin es el Anlisis de Varianza, que se ver ms adelante, y es para cuando se necesita comparar ms de dos medias mustrales a la vez. En estos casos la idea es detectar si el efecto de uno o ms tratamientos afecta a las muestras testeadas. En cambio, cuando se tiene el caso de dos muestras, la idea es testear si hay homocedasticidad en las dos poblaciones en estudio. Una vez verificado este supuesto, se puede avanzar ms verificando si hay diferencia entre las medias mustrales, y as verificar si ambas muestras tienen igual media y varianza, porque eso significa que en realidad provienen de la misma poblacin normal. Eso probara que no hay efecto de un tratamiento si se lo compara con un placebo, o que dos tcnicas de laboratorio son equivalentes.

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Si el experimento no verifica esto, entonces se deber elegir el caso que presente menor varianza, para tener menor variabilidad en las mediciones. En Gentica se puede verificar si una generacin de cras es ms variable en un carcter que la de sus padres. En Sistemtica se puede testear si dos poblaciones locales tienen la misma variabilidad. En Bioqumica y Farmacia el uso ms frecuente es comparar el error casual de mediciones de laboratorio, al introducir algn efecto o cambiar el mtodo de medicin. En el caso de testear si dos tcnicas de laboratorio tienen igual dispersin, o bien, para elegir aquella con mayor precisin, conviene pensar el problema como la incidencia de un factor en estudio en lugar de dos tcnicas totalmente diferentes entre s. Por ejemplo, se trata de una misma prctica, pero se usan dos espectrofotmetros diferentes, y se trata de determinar si la modificacin de la varianza se debe al uso de un aparato diferente. El factor ac sera: tipo de espectros. Tambin se puede estudiar la incidencia del factor humano, realizando las mismas mediciones a dos personas diferentes. De esa forma se puede imaginar que las dos muestras provienen de diferentes poblaciones, o que el efecto del factor analizado no es despreciable cuando se rechaza la hiptesis nula. En la figura se muestra el caso de dos poblaciones. En el caso (a) ambas poblaciones tienen la misma media, pero por efecto del error casual sus varianzas son diferentes. Si esta diferencia es significativa, resulta evidenciada por el Modelo de Fisher que permite la comparacin de ambas.

En el caso (b) hay un error sistemtico que desplaza la media, pero sus varianzas permanecen iguales. Es lo mismo que sumar una constante a todos los valores; ocurre un desplazamiento hacia la derecha. t-Student se usa para detectar esto cuando se hace el test de comparacin de dos medias independientes. Como se ver ms adelante, se puede construir todo un bagaje de mtodos para efectuar un Control de Calidad interno en un laboratorio de medicin clnica. Por ahora, basta decir que se puede controlar la exactitud con los modelos de t-Student y la precisin con los de Chi-cuadrado y Fisher. Con esto se pueden comenzar a controlar y calibrar los sistemas de medicin. Las limitaciones de todo esto son dos: la primera es que se puede estudiar el efecto del factor analizado en solo dos muestras y no en ms de dos. La segunda es que si la9

calidad se entiende como exactitud y precisin, solo se pueden emplear estos modelos para magnitudes de tipo cuantitativas como las de la Qumica Clnica, pero no en magnitudes cualitativas como las usuales en Microbiologa, Bacteriologa, Micologa, etc. En magnitudes cuantitativas, por calidad se entiende precisin y exactitud, en lugar de la capacidad de una prueba clnica para diagnosticar. Sin embargo, a pesar de estas limitaciones sigue siendo una herramienta sencilla y poderosa de control. Para poder aplicar este modelo se deben tener en cuenta los requisitos siguientes: - Las muestras fueron extradas de una poblacin normal o aproximadamente normal. - La seleccin de las muestras se hizo en forma aleatoria. - Las muestras son independientes entre s. Ejemplo, El jefe de un laboratorio se encuentra con una tcnica de medicin fuera del control estadstico. Para investigar las causas decide investigar si el factor humano tiene incidencia, y toma una muestra de suero cualquiera la divide en 20 alcuotas. Luego elige 10 de ellas al azar y se las entrega al laboratorista 1 para que haga las determinaciones; las restantes las encomienda al laboratorista 2 para que las mida. Los resultados obtenidos son: s12=2,4 es la varianza obtenida por el laborista, 1 y s22=0,8 para el otro. Decidir si hay diferencia en dispersin entre ambos.

2 H0: 1 = 2 2 2 H1: 1 2 2 El estadgrafo es 2 2.4 F= 1 = = 3.0 2 0.8 2

Como se trata de un ensayo de dos colas, para un nivel del 95% de confianza, se busca en las tablas para: 1=2=n1-1=9 grados de libertad, mientras que = 0,025 para el lmite inferior y = 0,975 para el superior. Estos valores son F0,975;(9,9) = 4,03. Luego, para calcular el valor no tabulado = 0,025 se aprovecha una propiedad que tiene la funcin F usando la inversa: F0,025;(9,9) =1/F0,975; (9,9) =1/4,03 = 0,248 Como el valor hallado F=3 cae dentro de la zona de aceptacin, no hay evidencia significativa10

como para decir que el factor humano tiene incidencia en la dispersin de las mediciones. La distribucin F de Snedecor aparece en los contrastes asociados a comparaciones entre las varianzas de dos poblaciones normales. Si (X1,X2,...,Xm) y (Z1,Z2,...,Zn) son m+n variables aleatorias normales independientes de media =0 y varianza 2, la variable 1 n 2 Xi m i=1 Yn = 1 n 2 Zi n i=1 tiene una distribucin Fm,n-Snedecor de m y n grados de libertad. Su funcin de densidad es

m + n m (m+2)/ f(x)= 2 n (m2)/1x + m x m n n 2 2( con x > 0, siendo P) = X P 1e x dx la funcin gamma de Euler con P>0. 0

m/2

Finalmente, la funcin de distribucin viene dada porF( x ) = P ( X x ) = f ( t )dt0 x

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y sus momentos por la media y la varianza sonE(X) = n n 2 y V(X ) = 2 n 2 ( m + n 2) m ( n 2) 2 ( n 4)

Definindole de otra manera, sean independientes, entonces,F= mX Fn , m n Y

X 2 n

y Y 2 variables aleatorias m

sigue una distribucin de probabilidad F-Snedecor, con (n,m) grados de libertad. Obsrvese que Fn,mFm,n

Es claro que la distribucin F-Snedecor no es simtrica, pues slo tienen densidad de probabilidad distinta de cero, y adems

F Fn,m e n t o nFc 1 e Fsm,n

DISTRIBUCIN t-STUDENT Si (X,X1,X2,...,Xn) son n+1 variables aleatorias normales independientes de media 0 y varianza 2, la variable X Yn = 1 n 2 Xi n i =1 tiene una distribucin t-Student con n grados de libertad. Su funcin de densidad es

12

f (x) =

n +1 2 1 2 1 + x n n n 2

n +1 2

x >0

( siendo P) = X P 1e x dx la funcin gamma de Euler con P>0. La media de la 0

distribucin t-Student es E(X)=0 y su varianza V(X)=n/(n-2), la cual no existe para grados de libertad menores que 2. Esta distribucin aparece en algunos contrastes del anlisis normal. La distribucin t-Student se construye como un cociente entre una normal Z~N(0,1) y la raz de una Chi 2 independientes. De modo preciso, llamamos distribucin tn Student con n grados de libertad, tn a la de una variable aleatoria T, X Z T= tn T= tn 2 1 2 y adems, n n Xi i 1 n n i =1 i

Para calcular n +1 2 t t 2 1 + x P(T t ) = f ( t )dt = n n n 2 ( n +1) / 2

dx

Sea un estadgrafo t calculado para la media con la relacin

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t=

( x ) n

Ejemplo, En 16 recorridos de prueba de una hora cada uno, el consumo de gasolina de un motor es de 16.4 gal, con una desviacin estndar de 2.1 gal. Demuestre que la afirmacin que el consumo promedio de gasolina de este motor es 12.0 gal/hora Solucin, Sustituyendo n=16, =12.0, x =16.4 y s=2.1 en la formula de t-Student, se tienet= x n s = 16 .4 12 .0 2.1 16 = 8.38

0,375

Para el cual en las tablas, para =5% y 15 gl es insignificante, y por tanto se puede concluir que el consumo de 12 gal/h es real Ejemplo, Encuentre los valores de la funcin para: a. 14 gl, =97.5%t0.975=-t2.5%=-2.145 b. P(-t0.025 = 0,55 o lo que es lo mismo (V N ) = = 0,55 H1 : .V N . = ... < = 0,55 cuyo equivalente es (V N ) = 0,55

Se toma una muestra de N=96 individuos a los cuales se le aplica el mtodo nuevo, los valores encontrados fueron un promedio de 2,68 l / min. / m2, y un desviacin estndar de 0,26 l / min. / m2 luego ser, ( x ) = 2.68 2.75 = 2.642 t= 0.26 n 96 Como se observa t=-2.642 es mayor que t0.99,95=-2.62, lo que indica que hay evidencia significativa como para rechazar a H0

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La conclusin final es que se puede usar el mtodo nuevo en lugar del viejo, con una gran ventaja para el paciente, pues ahora ya no tendr que ser cateterizado para efectuarle su medicin del ndice cardaco. A este procedimiento estadstico aparecido en los ltimos aos en Medicina se lo conoce tambin con el nombre de test de equivalencias mdicas o biolgicas. - t-Student para dos muestras apareadas. El modelo de t-Student se puede usar para el caso especial de muestras apareadas, esto es, cuando se le efectan dos tratamientos a la misma muestra; por ejemplo, del tipo antes despus donde al mismo individuo se lo mide dos veces para ver el efecto del tratamiento realizado, o el caso de mtodo nuevo contra el mtodo viejo, donde al mismo grupo de pacientes se le hacen dos mediciones a cada uno, la del mtodo de rutina habitual y una extra con el nuevo mtodo a probar para decidirse entre ambos. La idea bsica es como sigue: se sacan n muestras aleatorias e independientes de una poblacin normal. A cada muestra se le aplican dos tratamientos A y B diferentes y lo que interesa detectar es si producen algn efecto apreciable. Este caso es muy diferente al anterior si bien las muestras son independientes entre s, los tratamientos no lo son, porque a un mismo individuo se le aplican ambos tratamientos. Entonces, la misma persona aparecer dos veces en los resultados: uno en el grupo A y el otro en el grupo B. El truco para resolver este problema de la independencia es trabajar con la diferencia de los resultados de cada par de mediciones efectuadas: d=xA-xB. Luego se tendrn n diferencias d1;d2;d3...dn, que son independientes entre s, puesto que cada valor di corresponde a un solo individuo. Luego, se le aplica el modelo t-Student para una sola muestra, ensayando la hiptesis de que no hay diferencias entre ambos grupos. O sea, efectuandot= d O n

Las hiptesis Inicial y alterna implica un efecto diferente para cada grupo, H 0:d=0 H1:d0. Si se prueba que el valor esperado del promedio de las diferencias es diferente de cero, entonces el tratamiento aplicado produce un efecto demostrable. Para aclarar estas ideas se presenta el siguiente caso: Ejemplo. Se escogen 5 pacientes al azar, del grupo que concurre diariamente al Laboratorio de Anlisis Clnicos a efectuarse una determinacin de Uremia. Las muestras extradas se miden con el procedimiento habitual y adems con una nueva tcnica clnica que se desea probar. Ver si hay diferencia entre ambas tcnicas. Los resultados expresados en g/l fueron:

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Paciente Vieja Nueva Diferencia

1 0.38 0.33 0.05

2 0.54 0.45 0.09

3 0.22 0.15 0.07

4 0.11 0.09 0.02

5 0.23 0.22 0.01

Promedio y desviacin estndar, respectivamente: 0.048 y 0.033 Con los valores de las diferencias se calculant= 0.048 0.033 5 = 3.25d = 0.048 y = 0.033

, luego

Que obviamente es mayor que t0.95,4=2.776, entonces O cae por fuera del intervalo, y entonces se tienen evidencia significativa de que hay diferencia entre ambas tcnicas TABLAS En el Anexo de incluyen las tablas de las funciones Normal, Chi Cuadrado, t-Student y F-Snedecor

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