1

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ:

πλευρές γωνίες

ΔΙΑΚΡΙΣΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

· Με κριτήριο τις πλευρές ΣΚΑΛΗΝΟ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ

‘Εχει όλες τις πλευρές του ‘Εχει δύο ίσες πλευρές. ‘Εχει όλες τις πλευρές

άνισες. του ίσες.

· Με κριτήριο τις γωνίες ΟΞΥΓΩΝΙΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΑΜΒΛΥΓΩΝΙΟ ‘Εχει όλες τις γωνίες ‘Εχει μία ορθη και ‘Εχει μία αμβλεία και οξείες. δύο οξείες γωνίες. δύο οξείες γωνίες.

2

ΔΕΥΤΕΡΕΥΟΝΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΥΨΟΣ ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ Είναι το ευθυγραμμο Είναι το κάθετο ευθύ- μίας γωνίας τριγώνου τμήμα που ενώνει μία γραμμο τμήμα που φέρεται λέγεται το ευθύγραμμο κορυφή με το μέσο της από μία κορυφή προς την τμήμα της γωνίας,από απέναντι πλευράς. απέναντι πλευρά. την κορυφή της μέχρι την απέναντι πλευρά.

Συμβολισμοι

· Οι πλευρές ΑΒ,ΑΓ,ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ μπορούν να συμβολιστούν αντίστοιχα και με ένα μικρό γράμμα γ,β,α από τις απέναντι κορυφές.

· Η διάμεσος ΑΜ μπορει να συμβολιστεί και με μα.Ομοίως οι άλλες δύο είναι μβ,μγ.

· Το ύψος ΑΕ μπορεί να συμβολιστεί και υα.Ομοίως τα άλλα δύο ύψη είναι υβ,υγ. · Η διχοτόμος ΑΔ μπορεί να συμβολιστεί και δαΟμοίως οι άλλες δύο διχοτόμοι

είναι δβ,δγ.

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

1ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ (Π-Γ-Π)

Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες ,τότε είναι ίσα.

Προσοχή: ‘Οταν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες,δεν αρκεί να βρούμε ένα οποιαδήποτε ζεύγος γωνιών ίσο ,για να τα βγάλουμε ίσα,οι ίσες γωνίες πρέπει να είναι οι περιεχόμενες στις ίσες πλευρές.

2ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ (Γ-Π-Γ)

Αν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μί προς μία,τότε είναι ίσα.

Προσοχή: ‘Οταν δύο τρίγωνα εχουν μία πλευρά ίση,όπως και παραπάνω δεν αρκούν δύο οποιεσδήποτε γωνίες ίσες,πρέπει να είναι οι προσκείμενες στις ίσες πλευρές.

3

3ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ (Π-Π-Π)

Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία,τότε είναι ίσα.

Παρατήρηση: Σε ίσα τρίγωνα,απέναντι από τις ίσες πλευρές βρίσκονται οι ίσες γωνίες και αντίστροφα απέναντι από τις ίσες γωνίες βρίσκονται οι ίσες πλευρές. Αύτη η παρατήρηση μας βοηθάει να βρίσκουμε όλα τα ίσα στοιχεία δύο ίσων τριγώνων.

Προσοχή: Δύο τρίγωνα που έχουν όλες τις γωνίες τους ίσες μία προς μία δεν είναι ίσα αλλά όμοια.

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΙΣΟΣΚΕΛΟΥΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

· Οι προσκείμες στη βάση γωνίες είναι ίσες(βάση στο ισοσκελές ονομάζεται η πλευρά που δεν είναι ίδια με τις δύο ίσες).

· Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι ύψος και διάμεσοςς. · Η διάμεσος που αντιστοιχεί στην βάση είναι ύψος και διχοτόμος. · Το ύψος που αντιστοιχεί στην βάση είναι διάμεσος και διχοτόμος.

‘Οταν μας ζητείται να αποδείξουμε ένα τρίγωνο ισόσκελές:

Αποδυκνείουμε ή ότι έχει δύο πλευρές ίσες ή καάποια από τις παραπάνω ιδιότητες.

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

· ‘Ολες οι γωνίες του είναι ίσες. · ‘Ολες οι διχοτόμοι είναι ύψη και διάμεσοι. · ‘Ολες οι διάμεσοι είναι ύψη και διχοτόμοι. · ‘Ολα τα ύψη είναι διάμεσοι και διχοτόμοι.

Μεσοκάθετος Ευθυγράμμου Τμήματος

Ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος(ένα σύνολο σημείων με κοινή ιδιότητα)των σημείων του επίπέδου,που ισαπέχουν από τα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος.

Ιδιότητα των Σημείων της Μεσοκαθέτου

Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθυγράμμου τμήματος ισαπέχει από τα άρα του ευθυγράμμου τμήματος και αντίστροφα κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος ανήκει στην μεσοκάθετό του.

4

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

· Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα ,όταν έχουν δύο ομόλογες πλευρές ίσες μία προς μία.

· Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα ,όταν έχουν μία πλευρά και μία οξεία γωνία ίσες.

ΕΠΙΚΕΝΤΡΕΣ ΓΩΝΙΕΣ-ΧΟΡΔΕΣ-ΤΟΞΑ-ΑΠΟΣΤΗΜΑΤΑ Αν έχουμε στον ίδιο κύκλο ή σε ίσους κύκλους,δύο:

· ίσες επίκεντρες γωνίες,τότε και οι αντίστοιχες χορδες,τα αντίστοιχα τόξα και αποστήματα θα είναι ίσα.

· ίσες χορδές,τότε και οι αντίστοιχες επίκεντρες γωνίες, τα αντίστοιχα τόξα και αποστήματα θα είναι ίσα.

· ίσα τόξα,τότε και οι αντίστοιχες χορδες, οι αντίστοιχες επίκεντρες γωνίες και τα αποστήματα θα είναι ίσα.

· ίσα αποστήματα,τότε και οι αντίστοιχες χορδες, οι αντίστοιχες επίκεντρες γωνίες και τα τόξα θα είναι ίσα.

ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ ΓΩΝΙΑΣ

Είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου,που ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας.

Ιδιότητα των Σημείων της Διχοτόμου μιας Γωνίας:

Κάθε σημείο που ανήκει στην διχοτόμο μίας γωνίας,ισαπέχει από της πλευρές της γωνίας και αντίστροφα αν ένα σημείο ισαπέχει απο τις πλευρές μίας γωνίας τότε βρίσκεται στην διχοτόμο της.