1

Προσφορά Εργασίας- Έστω ότι υπάρχουν δύο αγαθά Α και Χ στην οικονομία.• Το αγαθό Α παριστάνει τα διάφορα καταναλωτικά αγαθά.• Το αγαθό Χ παριστάνει τον ελεύθερο χρόνο.

Προτιμήσεις και Συνάρτηση Χρησιμότητας

- Το άτομο επιλέγει έναν καταναλωτικό συνδυασμό (Χ,Α) κατάτρόπο ώστε να επιτυγχάνει τη μέγιστη δυνατή ικανοποίηση τωνπροτιμήσεών του.

- Οι προτιμήσεις του ατόμου παριστάνονται από μια συνάρτησηχρησιμότητας U(X,A): , τέτοια ώστε:2

+ℜ →ℜ

0 0 1 1( , ) ( , )U X A U X A⇔ ≥0 0( , )X A 1 1( , )X A- To άτομο προτιμά τον καταναλωτικό συνδυασμό (Χ0,Α0) έναντιτου συνδυασμού (Χ1,Α1) αν και μόνο αν ο συνδυασμός (Χ0,Α0) αποδίδει στο άτομο μεγαλύτερη χρησιμότητα από το συνδυασμό(Χ1,Α1).

2

- Η συνάρτηση χρησιμότητας αποδίδει μια αριθμητική τιμή σε κάθεκαταναλωτικό συνδυασμό, κατατάσσοντας έτσι τους διαφορετικούςσυνδυασμούς σύμφωνα με τις προτιμήσεις του ατόμου.

- Η οριακή χρησιμότητα του αγαθού Α δείχνει πόσο αυξάνεται ηχρησιμότητα του ατόμου όταν αυξάνεται κατά μία μονάδα ηκατανάλωση του αγαθού Α:

( , )A

U X AMUA

∂=

∂- Η οριακή χρησιμότητα του αγαθού Χ δείχνει πόσο αυξάνεται ηχρησιμότητα του ατόμου όταν αυξάνεται κατά μία μονάδα ηκατανάλωση του αγαθού Χ:

( , )X

U X AMUX

∂=

∂

3

Καμπύλες Αδιαφορίας και Οριακός ΛόγοςΥποκατάστασης

- Ορισμός: Μια καμπύλη αδιαφορίας (IC) παριστάνει το σύνολοτων καταναλωτικών συνδυασμών (Χ,Α) που αποδίδουν το ίδιοεπίπεδο χρησιμότητας στο άτομο (δηλ. το σύνολο των συνδυασμώνμεταξύ των οποίων το άτομο είναι αδιάφορο).

Χ

Α

IC

•

•

Υ

ΖMRSΥ

MRSΖ

1X

1A

0A

0X

•Η

0 1

2X X+

0 1

2A A+

IC΄

IC΄΄

↑u

4

0 0 1 1

- Ο καταναλωτής είναι αδιάφορος μεταξύ των συνδυασμών ( , ) και ( , ).Y X A Z X A

- H κλίση της καμπύλης αδιαφορίας είναι αρνητική.

• Αν μειωθεί η ποσότητα του αγαθού Α , τότε πρέπει ηποσότητα του αγαθού Χ να αυξηθεί ώστε οκαταναλωτής να παραμείνει αδιάφορος μεταξύ των συνδυασμών Υκαι Ζ.

- Στο επίπεδο (Χ-Α) υπάρχουν άπειρες καμπύλες αδιαφορίας, καθεμιάεκ των οποίων αντιστοιχεί σε ένα συγκεκριμένο επίπεδοχρησιμότητας.

- Το σύνολο των καμπυλών αδιαφορίας αποτελεί το χάρτη αδιαφορίαςτου ατόμου.

- Κάθε κίνηση προς τη βορειοανατολική κατεύθυνση (προς τα πάνωκαι δεξιά) συνεπάγεται υψηλότερο επίπεδο χρησιμότητας, διότιαντιστοιχεί σε μεγαλύτερες ποσότητες των αγαθών Χ και Α.

0 1(από Α σε Α )0 1(από Χ σε Χ )

5

- Οι καμπύλες αδιαφορίας του ατόμου δεν μπορούν να τέμνονται.

IC1

IC0

•E

Υ••Ζ

Χ

Α

Χ0 Χ1

Α0

Α1

- Απόδειξη: Έστω ότι οι IC0, IC1 τέμνονται στο σημείο Ε. Τότε:

• Υ ~ Ε (το άτομο είναι αδιάφορο μεταξύ των Υ και Ε) (1)• Ζ ~ Ε (το άτομο είναι αδιάφορο μεταξύ των Ζ και Ε) (2) Από (1), (2) => Υ ~ Ζ : Αντίφαση, διότι Ζ Υ. ■

- Το αντίθετο της κλίσης μιας καμπύλης αδιαφορίας σε κάποιοσημείο της ονομάζεται οριακός λόγος υποκατάστασης (MRS) σεαυτό το σημείο:

σταθερή/ uMRSdX

= −dA

6

- Ο MRS δείχνει πόσες μονάδες του αγαθού Α είναι διατεθειμένοςνα θυσιάσει ο καταναλωτής για να αποκτήσει μια πρόσθετη μονάδατου αγαθού Χ.

- Αρχή του φθίνοντος MRS: Καθώς αυξάνεται η ποσότητα τουαγαθού Χ (και μειώνεται η ποσότητα του αγαθού Α), ο MRS μειώνεται (MRSΖ< MRSΥ).

- Καθώς αυξάνεται το επίπεδο κατανάλωσης του αγαθού Χ, το άτομοείναι διατεθειμένο να θυσιάσει ολοένα λιγότερες μονάδες του αγαθούΑ για να αποκτήσει μια πρόσθετη μονάδα του αγαθού Χ.

Κυρτότητα Καμπυλών Αδιαφορίας

- Η καμπύλη αδιαφορίας IC είναι κυρτή αν κάθε γραμμικόςσυνδυασμός των σημείων Υ, Ζ (δηλ. κάθε σημείο επί τουευθύγραμμου τμήματος που ενώνει τα Υ, Ζ) είναι προτιμότερος απότα σημεία Υ, Ζ.

7

0 1 0 1 Παράδειγμα: Ο συνδυασμός H ( , ) είναι2 2

προτιμότερος από τους συνδυασμούς Y και Z.

X X A A+ +i

⇒ Η καμπύλη αδιαφορίας (IC) είναι κυρτή.

- Οικονομική ερμηνεία κυρτής καμπύλης αδιαφορίας: Οιισορροπημένοι συνδυασμοί αγαθών (όπως ο Η) είναι προτιμότεροιαπό ακραίους συνδυασμούς που δίνουν μεγάλη βαρύτητα σε κάποιοαπό τα δύο αγαθά (όπως οι συνδυασμοί Υ και Ζ).

- Παρατήρηση. Οι ακόλουθες εκφράσεις είναι ισοδύναμες μεταξύτους:

(1) Ο MRS είναι φθίνων.(2) Οι καμπύλες αδιαφορίας είναι κυρτές.(3) Η συνάρτηση χρησιμότητας είναι οιονεί κοίλη.

8

Μαθηματική Εξαγωγή του MRS

- Έστω η συνάρτηση χρησιμότητας

- Αν τα μεταβληθούν κατά , τότε η συνολική επίπτωσηστη χρησιμότητα δίνεται από το ολικό διαφορικό:

( , ).U X A

,X A ,dX dA

(3)U UdU dX dAX A∂ ∂

= +∂ ∂

- Αν οι ποσότητες των αγαθών Χ και Α μεταβάλλονται έτσι ώστε ηχρησιμότητα να παραμένει σταθερή (dU=0), τότε:

σταθερή/(3) 0 /

/ uU U dA U XdX dA MRSX A dX U A∂ ∂ ∂ ∂

⇔ = + ⇔ − = =∂ ∂ ∂ ∂

9

Παραδείγματα Συναρτήσεων Χρησιμότητας

(1) Συνάρτηση Χρησιμότητας Cobb-Douglas

( , ) , , 0U X A A Xα β α β= >

- Παρατήρηση. Ο μονοτονικός (λογαριθμικός) μετασχηματισμός:

( , ) ln[ ( , )] ln ln v X A U X A a A Xβ= = +παριστάνει τις ίδιες προτιμήσεις με την αρχική συνάρτηση U.

1/ 2 1/ 2- Παράδειγμα: 1/ 2 ( , )U X A X Aα β= = ⇒ =

(i) Η γενική εξίσωση των καμπυλών αδιαφορίας της U είναι:2

1/ 2 1/ 2

1

= (4)

Για =10, είναι: 100(4) (IC )

UU X A AX

U

AX

⇔ =

⇔ =

10

(ii) / (φθίνων MRS)/

U X AMRSU A X

∂ ∂= =∂ ∂

A

IC1( 10) U = X0

(2) Τέλεια Υποκατάστατα Αγαθά( , ) , , 0U X A aA Xβ α β= + >

- Έστω 3, 2 ( , ) 3 2U X A A Xα β= = ⇒ = +

(i) Η γενική εξίσωση των καμπυλών αδιαφορίας της U είναι:

11

2

22 3 (5)3 3

- Για =30, είναι: 2(5) 10 (IC )3

UU X A A X

U

A X

= + ⇔ = −

⇔ = −

(ii) / 2 / 3 (σταθερός MRS)/

U XMRSU A

∂ ∂= =∂ ∂

XIC2

A

15

10

0 ( 30) U =

12

(3) Τέλεια Συμπληρωματικά Αγαθά( , ) min{ , } , , 0U X A aA Xβ α β= >

- Τα αγαθά X, A καταναλώνονται μαζί (προτιμώνται σε σταθερέςαναλογίες).

- Παράδειγμα: α=2, β=1( , ) min{ ,2 } U X A X A⇒ =

Χ

IC31

0

Α

2

3

/ 2A X=

2 4 6

( 2) U =

( 4) U =

( 6) U =

13

- Οι καμπύλες αδιαφορίας έχουν σχήμα L.

- To άτομο προτιμά να καταναλώνει τα αγαθά σε σταθερέςαναλογίες, πάνω στα σημεία-κορυφές των καμπυλών αδιαφορίας(όπου ισχύει: Α/Χ=1/2).

/ udAMRSdX

= − =i

, αν / 1/ 2 A X∞ >

δεν ορίζεται , αν / 1/ 2 A X =

0 , αν / 1/ 2 A X <

14

(4) Χρησιμότητα Σταθερής Ελαστικότητας Υποκατάστασης (CES)

( , )U X A = , αν δ 1, δ 0X Aδ δ

δ δ+ ≤ ≠

ln ln , αν δ=0X A+

- Ελαστικότητα Υποκατάστασης: ( / ) 1( / ) 1

A X MRSMRS A X

σδ

∂= ⋅ =

∂ −

1-/ (φθίνων MRS)/

U X AMRSU A X

δ∂ ∂ ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠i

Παραδείγματα

(α)

(β)

(γ)

0 1, ( , ) ln ln (Cobb-Douglas)U X A X Aδ σ= ⇒ = = +

1 , ( , ) (Τέλεια Υποκατάστατα)U X A X Aδ σ= ⇒ = ∞ = +

0, ( , ) min{ , } (Τέλεια Συμπληρωματικά)U X A X Aδ σ= −∞⇒ = =

15

(δ) 1 11 1/ 2, ( , ) U X AX A

δ σ= − ⇒ = = − −

(i) Η γενική εξίσωση των καμπυλών αδιαφορίας της U είναι:1 1 (6)

1- Για 2, είναι:

(6) 2 1

XU AX A UX

UXA

X

= − − ⇔ = −+

= −

⇔ =−

2/ (φθίνων MRS)/

U X AMRSU A X

∂ ∂ ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠(ii)

16

(5) Οιονεί Γραμμική Συνάρτηση Χρησιμότητας

( , ) ( ) U X A A X A Xφ= + = +

(i) Η γενική εξίσωση των καμπυλών αδιαφορίας της U είναι:

(7)U A X A U X= + ⇔ = −

4

- Για 10, είναι:

(7) 10 (IC )

U

A X

=

⇔ = −

/ 1/ 2

U XMRSU A X

∂ ∂= =∂ ∂

: Ο MRS μειώνεται καθώς αυξάνεται ηποσότητα του αγαθού X αλλά είναι ανεξάρτητοςαπό την ποσότητα του αγαθού A.

ΧIC4

100

10

0

Α

••

Οι καμπύλες αδιαφορίας πουαντιστοιχούν σε μια οιονεί γραμμικήσυνάρτηση χρησιμότητας είναι“καθέτως παράλληλες”.

17

Διαφορές στις Προτιμήσεις και Προσφορά Εργασίας

- Ο MRS (δηλαδή η κλίση της καμπύλης αδιαφορίας) δείχνει πόσεςμονάδες του καταναλωτικού αγαθού (Α) είναι διατεθειμένο ναθυσιάσει το άτομο για να αποκτήσει μια πρόσθετη μονάδαελεύθερου χρόνου (Χ).

- Επειδή τα άτομα έχουν διαφορετικές προτιμήσεις για τα αγαθά Χκαι Α, η μορφή των καμπυλών αδιαφορίας θα είναι επίσηςδιαφορετική μεταξύ των ατόμων.

- Παράδειγμα 1: Έστω ότι το άτομο έχει σχετικά μεγάλη προτίμησηγια το αγαθό Χ (δηλαδή αποδίδει μεγάλη αξία στον ελεύθερο χρόνο).

⇒ Το άτομο είναι πρόθυμο να θυσιάσει πολλές μονάδεςκαταναλωτικού αγαθού (Α) για να αποκτήσει μια πρόσθετη μονάδαελεύθερου χρόνου (Χ).

⇒ Ο MRS είναι μεγάλος, δηλαδή οι καμπύλες αδιαφορίας τουατόμου έχουν μεγάλη κλίση (είναι σχετικά κατακόρυφες).

18

• Στην περίπτωση αυτή, το άτομο θα τείνει να καταναλώνει μεγάληποσότητα ελεύθερου χρόνου και, επομένως, θα τείνει να προσφέρειμικρή ποσότητα εργασίας.

Χ

Α

0

- Παράδειγμα 2. Έστω ότι το άτομο έχει σχετικά μικρή προτίμησηγια το αγαθό Χ (δηλαδή αποδίδει μικρή αξία στον ελεύθερο χρόνο).

⇒ Το άτομο είναι πρόθυμο να θυσιάσει λίγες μονάδεςκαταναλωτικού αγαθού (Α) για να αποκτήσει μια πρόσθετη μονάδαελεύθερου χρόνου (Χ).

IC IC ΄ IC΄ ΄

19

⇒ Ο MRS είναι μικρός, δηλαδή οι καμπύλες αδιαφορίας έχουνμικρή κλίση (είναι σχετικά οριζόντιες).

• Στην περίπτωση αυτή, το άτομο θα τείνει να καταναλώνει μικρήποσότητα ελεύθερου χρόνου και, επομένως, θα τείνει να προσφέρειμεγάλη ποσότητα εργασίας.

Χ0

Α

IC

IC ΄

IC΄ ΄

20

- Άρα: Οι διαφορές στις προτιμήσεις μεταξύ των ατόμων αποτελούνβασικό προσδιοριστικό παράγοντα της απόφασής τους για προσφοράεργασίας.

- Αλλά: Οι διαφορές στις προτιμήσεις είναι δύσκολο να μετρηθούν

⇒Μπορεί να υποστηριχθεί ότι τα διαφορετικά πρότυπασυμπεριφοράς των ατόμων οφείλονται απλώς στις διαφορετικέςπροτιμήσεις τους, χωρίς να είναι δυνατή η εμπειρική επαλήθευση ήαπόρριψη αυτού του ισχυρισμού.

⇒ Για το λόγο αυτό, τα οικονομικά υποδείγματα εστιάζουν σεεκείνους τους προσδιοριστικούς παράγοντες της προσφοράς εργασίαςπου μπορούν να μετρηθούν και επιδέχονται επαλήθευσης ήαπόρριψης (όπως είναι ο μισθός και το εισόδημα που δεν προέρχεταιαπό εργασία).

21

Μεγιστοποίηση της Χρησιμότητας και ΠροσφοράΕργασίας

- Το άτομο επιλέγει έναν καταναλωτικό συνδυασμό (Χ,Α) υπό ένασύνολο φυσικών και οικονομικών περιορισμών κατά τρόπο ώστε ναμεγιστοποιεί τη χρησιμότητά του.(i) Φυσικοί περιορισμοί , 0 (μη αρνητικό επίπεδο κατανάλωσης για κάθε αγαθό)X A ≥i

- Έστω Χ : οι ώρες ελεύθερου χρόνου (ανάπαυσης) πουκαταναλώνει το άτομο.

L : οι ώρες εργασίας που προσφέρει το άτομοΤ : ο συνολικός διαθέσιμος χρόνος του ατόμου

- Το άτομο κατανέμει τον συνολικό διαθέσιμο χρόνο (Τ) μεταξύανάπαυσης (Χ) και εργασίας (L).

- Δηλαδή, το άτομο αντιμετωπίζει τον εξής περιορισμό:Χ + L = T (Χρονικός περιορισμός του ατόμου) (8)

22

(ii) Οικονομικοί περιορισμοί■ Βασικές Υποθέσεις:

(α) Πληρότητα (οικουμενικότητα) των αγορών:

• Τα αγαθά Χ και Α είναι εμπορεύματα, δηλαδή αποτελούναντικείμενο συναλλαγής στην αγορά.

• Έστω ότι η τιμή του αγαθού Χ είναι w και η τιμή του αγαθού Αείναι p.

(β) To άτομο είναι αποδέκτης τιμών (price-taker).• Το άτομο δεν μπορεί να επηρεάσει τις τιμές των αγαθών.

To Εισόδημα του Ατόμου- Το άτομο έχει δύο πηγές εισοδήματος:

• Εισόδημα που προέρχεται από εργασία: w·L• Εισόδημα που δεν προέρχεται από εργασία: V

(π.χ. κληρονομιά, μερίσματα, κέρδη από τυχερά παιχνίδια κ.λπ.)=> Συνολικό Εισόδημα ατόμου: w·L + V

23

=> Οικονομικός Περιορισμός: To άτομο που αντιμετωπίζει έναδιάνυσμα τιμών (w,p) και έχει χρηματικό εισόδημα w·L + V μπορείνα καταναλώσει μόνο εκείνες τις ποσότητες του αγαθού Α τωνοποίων το κόστος είναι μικρότερο από το εισόδημά του:

(8)

( )pA wL V pA w T X V

wX pA wT V M

≤ + ⇔ ≤ − + ⇔

+ ≤ + = : Εισοδηματικός Περιορισμός

- Παρατήρηση: Το εισόδημα (Μ) του ατόμου ισούται με την αξία τηςπεριουσίας του.

• Η περιουσία του ατόμου είναι το εισόδημα (V) που δεν προέρχεταιαπό εργασία και οι Τ μονάδες χρόνου που διαθέτει.

=> Συνολική αξία περιουσίας του ατόμου: Μ = wT+V

24

- Το σύνολο είναι τοσύνολο των εφικτών καταναλωτικών συνδυασμών.

- Η ευθεία είναι η γραμμήτου εισοδηματικού περιορισμού.

- Η κλίση της γραμμής του εισοδηματικού περιορισμού είναι: (-w / p),όπου (w / p) είναι ο πραγματικός μισθός του ατόμου.

• Ο πραγματικός μισθός δείχνει πόσες μονάδες του αγαθού Α μπορείνα αγοράσει το άτομο αν θυσιάσει μία επιπλέον μονάδα ελεύθερουχρόνου (δηλαδή αν εργαστεί μία επιπλέον ώρα στην αγορά εργασίας).

- Παρατήρηση: Αν το άτομο καταναλώσει απλώς την αρχικήπεριουσία του (δηλαδή αν Χ=Τ, οπότε το άτομο δεν εργάζεταικαθόλου), τότε: Α = V / p .

=> Ο καταναλωτικός συνδυασμός Ε (Χ=Τ, Α=V/p) ονομάζεταιαρχικό απόθεμα του ατόμου.

2{( , ) : } X A wX pA M wT VB += ∈ℜ + ≤ = +

(ή: ) wT V wwX pA wT V A Xp p+

+ = + = −

25

Χ

Α

Τ

wX pA wT V

V/p

0

+ = +

Β•E

wT Vp+

Μαθηματική Διατύπωση Προβλήματος

{ , }max ( , )

. . 0

0

X AU X A

s t wX pA M wT VX T

A

+ ≤ = +≤ ≤≥

Πρόβλημα Μεγιστοποίησης τηςΧρησιμότητας

(UMP)

26

( , ) ( ) ( )

:

0, 0

0, 0

0, 0

0, 0

, 0

, 0

L U X A wT V wX pA T X

FOCs

L U Lw XX X XL U Lp AA A AL LwT V wX pA

L LT X

X A

λ μ

λ μ

λ

λλ λ

μμ μ

λ μ

= + + − − + −

∂ ∂ ∂= − − ≤ =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂= − ≤ =

∂ ∂ ∂

∂ ∂= + − − ≥ =

∂ ∂

∂ ∂= − ≥ =

∂ ∂

≥

≥

· Υπόθεση: . Τότε:0, 0A X T> < <

27

/0 0 0 (9)L U XX wX pA wT VX w

λ∂ ∂ ∂> ⇒ = ⇔ = > ⇒ + = +

∂

/0 0 . Άρα:L U AAA p

λ∂ ∂ ∂> ⇒ = ⇔ =

∂

/ / / (10)/

U X U A w U X MRSw p p U A

λ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = ⇔ = =

∂ ∂

0X T μ< ⇒ =

- Άρα: Για να μεγιστοποιήσει τη χρησιμότητά του, ο καταναλωτής θαδαπανήσει ολόκληρο το εισόδημά του (εφόσον ισχύει η υπόθεσητου μη κορεσμού των προτιμήσεών του: )./ 0U X∂ ∂ >

- Στο σημείο μεγιστοποίησης της χρησιμότητας, ο ψυχικός λόγοςανταλλαγής (MRS) μεταξύ των αγαθών X, A πρέπει να είναι ίσος μετον αγοραίο λόγο ανταλλαγής (δηλαδή με το λόγο των τιμών w /p).

28

- Αν MRS ≠ w/p, o καταναλωτής μπορεί να αυξήσει τη χρησιμότητάτου πραγματοποιώντας τις κατάλληλες ανταλλαγές στην αγορά(επομένως, η αρχική κατανομή δεν είναι άριστη / δε μεγιστοποιεί τηχρησιμότητά του).

X0

A

T

••

•

C

DG

IC1IC2

IC3

x*

A*

Διαγραμματική Ανάλυση Μεγιστοποίησης της Χρησιμότητας

•E

•H

V/p

wT Vp+

29

- To σημείο C είναι εφικτό αλλά δε μεγιστοποιεί τη χρησιμότητα (τοάτομο δε δαπανά όλο το εισόδημά του).

- To σημείο Η είναι εφικτό αλλά δε μεγιστοποιεί τη χρησιμότητα (τοάτομο δαπανά μεν όλο το εισόδημά του αλλά μπορεί να αυξήσει κιάλλο τη χρησιμότητα ανακατανέμοντας το εισόδημα μεταξύ τωναγαθών Χ και Α).- Το σημείο G δεν είναι εφικτό.- To άτομο μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά του επιλέγοντας το σημείο D.- To σημείο μεγιστοποίησης της χρησιμότητας είναι το σημείοεπαφής μεταξύ της γραμμής του εισοδηματικού περιορισμού καιτης καμπύλης αδιαφορίας IC2.- Στο σημείο D, ισχύει:Κλίση εισοδηματικού περιορισμού (= ) = κλίση IC2 =

wp

− σταθ/ udAdX

.

σταθ./ /

/ uw dA U XMRSp dX U A

∂ ∂⇔ = − = =

∂ ∂

30

- Γενικό Συμπέρασμα: Στο σημείο μεγιστοποίησης τηςχρησιμότητας, ικανοποιούνται οι εξής δύο συνθήκες:

(1) Ο καταναλωτής αγοράζει ποσότητες αγαθών τέτοιες ώστε ναδαπανάται ολόκληρο το εισόδημά του (ο εισοδηματικόςπεριορισμός ισχύει με ισότητα).

(2) ΜRS = w / p (o ψυχικός λόγος ανταλλαγής ισούται με τον αγοραίολόγο ανταλλαγής μεταξύ των αγαθών).

Συνθήκες 2ης τάξης (Ικανές Συνθήκες Μεγιστοποίησης)

- Αν η συνάρτηση χρησιμότητας U(X,A) είναι οιονεί κοίλη (δηλαδήαν οι καμπύλες αδιαφορίας είναι κυρτές – π.χ. Διάγραμμα σελ. 28), τότε κάθε λύση των FOCs αποτελεί ολικό μέγιστο.

31

Συναρτήσεις Ζήτησης και Συνάρτηση ΠροσφοράςΕργασίας

- Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης της χρησιμότητας (UMP) και βρίσκουμε τις άριστες ζητούμενες ποσότητες

* *

* *

( , , , )( , , , )

X X w p V TA A w p V T

=

=Μαρσαλιανές Συναρτήσεις Ζήτησης

* *, :X A

• Η συνάρτηση ζήτησης δείχνει τη ζητούμενηποσότητα ελεύθερου χρόνου (Χ) ως συνάρτηση των w, p ,V και Τ.

*( , , , )X w p V T

• Η συνάρτηση ζήτησης δείχνει τη ζητούμενηποσότητα του καταναλωτικού αγαθού (Α) ως συνάρτηση των w, p, Vκαι Τ.

- Στη συνέχεια, υπολογίζουμε τη συνάρτηση προσφοράς εργασίας:

*( , , , )A w p V T

* *( , , , ) ( , , , )L w p V T T X w p V T= −

32

- Η συνάρτηση προσφοράς εργασίας δείχνει τηνπροσφερόμενη ποσότητα εργασίας εκ μέρους του ατόμου ωςσυνάρτηση των w, p, V και Τ.

*( , , , )L w p V T

Παράδειγμα- Έστω η συνάρτηση χρησιμότητας Cobb-Douglas:

1/ 2 1/ 21 2( , )u x x X A=

- Το πρόβλημα μεγιστοποίησης της χρησιμότητας γράφεται ως εξής:1/ 2 1/ 2

{ , }max ( , )

. .

0

0

X AU X A X A

s t wX pA wT V

X T

A

=

+ ≤ +

≤ ≤

≥

(UMP)

33

- Η λύση του προβλήματος είναι:

( , , , )X w p V T =

, αν /2 2T V w V T

w+ ≥

, αν /T w V T≤

( , , , )A w p V T =

, αν /2

wT V w V Tp+

≥

/ , αν /V p w V T≤

(Συνάρτηση ΖήτησηςΕλεύθερου Χρόνου)

(Συνάρτηση ΖήτησηςΚαταναλωτικού Αγαθού)

- Η συνάρτηση προσφοράς εργασίας είναι:

( , , , ) ( , , , ) . Επομένως:L w p V T T X w p V T= −

34

( , , , )L w p V T =

, αν /2 2T V w V T

w− ≥

0 , αν /w V T≤(Συνάρτηση Προσφοράς

Εργασίας)

Μισθός Επιφύλαξης

- Ορισμός: Μισθός επιφύλαξης (reservation wage) είναι οελάχιστος μισθός που απαιτεί το άτομο για να προσφέρει θετικήποσότητα εργασίας. - Στο παράδειγμα, ο μισθός επιφύλαξης είναι:

• Για , η προσφορά εργασίας είναι μηδέν – δηλαδήτο άτομο καταναλώνει απλώς το αρχικό του απόθεμα (Χ=Τ, L=0, A=V/p : Σημείο Ε).• Για , η προσφορά εργασίας είναι θετική.

Rw

/Rw V T=

/Rw w V T≤ =

/Rw w V T≥ =

35

- Αριθμητικό Παράδειγμα 1 (Εσωτερική Λύση).

• Για w=4, V=2, p=1, T=1 η λύση είναι: Χ*=3/4, L*=1/4, A*=3(Σημείο D)

- Αριθμητικό Παράδειγμα 2 (Γωνιακή Λύση). • Για w=1, V=2, p=1, T=1 η λύση είναι: Χ*=1, L*=0, A*=2

(Σημείο Ε)

X0

A

1

•D3

• E2

6

3/4

. : 4 6B C X A+ =

X0

A

3

•E

2

. : 3B C X A+ =

* 2U =1

Παράδειγμα 1 Παράδειγμα 2

* 3/ 2U =

36

Προσδιοριστικοί Παράγοντες Μισθού Επιφύλαξης

(1) Οι Προτιμήσεις του ατόμου

- Όσο μεγαλύτερη είναι η προτίμηση του ατόμου για ελεύθεροχρόνο, τόσο υψηλότερος θα είναι ο μισθός επιφύλαξης (δηλαδή ομισθός που απαιτεί το άτομο για να εισέλθει στην αγορά εργασίας).

(2) Το Εισόδημα (V) που δεν προέρχεται από εργασία

- Όσο υψηλότερο είναι το εισόδημα που δεν προέρχεται απόεργασία, τόσο υψηλότερος θα είναι ο μισθός επιφύλαξης

• Εξήγηση: Η αύξηση του V οδηγεί σε αύξηση της ζήτησης γιαελεύθερο χρόνο (εφόσον ο ελεύθερος χρόνος είναι κανονικό αγαθό).

⇒ Το άτομο είναι λιγότερο πρόθυμο να εργαστεί.

⇒ Ο μισθός που απαιτεί το άτομο για να εισέλθει στην αγοράεργασίας (μισθός επιφύλαξης) αυξάνεται.