ΦΥΣ102 1

ΔΙΑΛΕΞΗ 10Μηχανική των ρευστών

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου ΚύπρουΧειμερινό Εξάμηνο 2016/2017ΦΥΣ102 –Φυσική για ΧημικούςΔιδάσκων: Μάριος Κώστα

ΦΥΣ102 2

Πυκνότητα

Πυκνότητα είναι η μάζα ανά μονάδα όγκου, δηλ. εάν η μάζα mενός υλικού έχει όγκο V τότε η πυκνότητα ρ του ισούται με:

𝜌 =𝑚

𝑉

Η μονάδα μέτρησης στο S.I. είναι 𝐾𝑔/𝑚3.Το πιο πυκνό υλικό στη Γη είναι το μεταλλικό όσμιο με 22500 𝐾𝑔/𝑚3.

Σχετικό ειδικό βάρος ή ειδική βαρύτητα

Σχετικό ειδικό βάρος ή ειδική βαρύτητα ενός υλικού είναι ο λόγος της πυκνότητας του προς την πυκνότητα του νερού.

𝜌𝜈𝜀𝜌𝜊ύ = 1000 𝐾𝑔/𝑚3

ΦΥΣ102 3

Πίεση (p)

Πίεση είναι το πηλίκο της δύναμης που ασκείται κάθετα σε μια επιφάνεια προς το εμβαδόν της επιφάνειας αυτής.

𝑝 =𝐹⊥𝐴

• Δεν είναι διάνυσμα!• Μονάδα μέτρησης στο S.I. είναι το pascal: 1Pa = 1N/𝑚2.

Ρευστά (υγρό ή αέριο) είναι τα σώματα που δεν έχουν σταθερό σχήμα. Όταν ένα ρευστό ηρεμεί, δηλ. βρίσκεται σε ισορροπία, εξασκεί μια κάθετη δύναμη σε κάθε επιφάνεια με την οποία βρίσκεται σε επαφή.

Π.χ.: το νερό όταν βουτάμε σε αυτό ή ο ατμοσφαιρικός αέρας που πιέζει τα τύμπανα των αυτιών μας → αίσθημά πόνου όταν καταδυόμαστε σε μεγάλος βάθος ή όταν ανεβαίνουμε σε μεγάλο υψόμετρο.

ΦΥΣ102 4

Πίεση στα ρευστά

Ορίζουμε την πίεση 𝑝 σε κάποιο σημείο του ρευστού, ως το λόγο της κάθετης δύναμης 𝑑𝐹⊥ που ασκείται σε μία μικρή επιφάνεια 𝑑𝐴:

𝑝 =𝑑𝐹⊥𝑑𝐴

Υδροστατική πίεση: είναι η πίεση που ασκεί ένα υγρό που ισορροπεί.

Ατμοσφαιρική πίεση: είναι η πίεση που ασκεί ο ατμοσφαιρικός αέρας.

ΦΥΣ102 5

Ατμοσφαιρική πίεση

Είναι η πίεση της ατμόσφαιρας της Γης, η πίεση βάση του αέριου όγκου μέσα στον οποίο ζούμε.

Η ατμοσφαιρική πίεση εξαρτάται από: • Τις καιρικές συνθήκες.• Το ύψος από την επιφάνεια της θάλασσας.

Τα ανώτερα στρώματα της ατμόσφαιρας της Γης πιέζουν, λόγω του βάρους τους, τα κατώτερα με αποτέλεσμα η τιμή της πίεσης στην επιφάνεια της της θάλασσας να είναι μεγαλύτερη.

Η τιμή της ατμοσφαιρικής πίεσης στην επιφάνεια της της θάλασσας ονομάζεται πίεση μιας ατμόσφαιρας (1 𝑎𝑡𝑚) και ισούται με (μέση τιμή):

(𝑝𝑎)𝑎𝑣= 1,013 × 105 𝑃𝑎 = 1 𝑎𝑡𝑚

ΦΥΣ102

6

Υδροστατική πίεση

H Υδροστατική πίεση οφείλεται στην βαρύτητα, αυξάνεται με το βάθος h και εξαρτάται από το είδος (πυκνότητα) του υγρού.

Το νερό που βγαίνει από τη χαμηλότερη τρύπα φτάνει πιο μακριά.

Συμπέρασμα:Η Υδροστατική Πίεση αυξάνεται με το βάθος.

Η πιο κάτω εξίσωση ονομάζεται νόμος υδροστατικής πίεσης:

𝑝 = 𝜌𝑔ℎ

Θεωρήστε ότι το υγρό είναι ασυμπίεστο (σταθερή πυκνότητα). Ένα λεπτό στοιχείο ρευστού, πάχους dy, με εμβαδόν κάτω και πάνω επιφάνειας Α και βρίσκονται σε ύψος y και y+dy.Ο όγκος του ρευστού είναι dV = A dy, η μάζα του dm=ρ dV = ρ A dy και το βάρος του dw = g dm= g ρ A

dy.

Τα υγρά ασκούν πιέσεις προς κάθε κατεύθυνση.

ΦΥΣ102 7

Ποιες άλλες δυνάμεις ασκούνται σε αυτό το στοιχείο ρευστού εκτός από το βάρος του;

Αν η πίεση στο κάτω μέρος της επιφάνειας είναι p τότε η ολική y συνιστώσα της προς τα πάνω δύναμης είναι p A. H πίεση στην πάνω επιφάνεια είναι p + dp, άρα η δύναμη προς τα κάτω είναι –(p+dp)A. Το ρευστό αυτού του όγκου ισορροπεί και συνεπώς:

𝐹𝑦 = 0 ⇒𝑝 𝐴 − 𝑝 + 𝑑𝑝 𝐴 − 𝑤 = 0

𝑝 𝐴 − 𝑝 + 𝑑𝑝 𝐴 − 𝜌 𝑔 𝐴 𝑑𝑦 = 0 ⇒𝑑𝑝

𝑑𝑦= −𝜌𝑔

𝑝2 − 𝑝1 = −𝜌𝑔 𝑦2 − 𝑦1 ⇒ 𝑝 = 𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ

Όπου 𝑝0 είναι η πίεση σε μηδενικό βάθος (ατμοσφαιρική).

ΦΥΣ102

8

Αρχή του Pascal

Κάθε μεταβολή της πίεσης σε οποιοδήποτε σημείο ενός περιορισμένου ρευστού που είναι ακίνητο, προκαλεί ίση μεταβολή της πίεσης σε όλα του τα σημεία.

Υδραυλικό πιεστήριο: Ένα έμβολο με μικρή διατομή 𝐴1εξασκεί μια δύναμη 𝐹1 στην επιφάνεια του ρευστού (π.χ. λάδι). Η εφαρμοσμένη πίεση 𝑝μεταδίδεται μέσω του σωλήνα σύνδεσης σε ένα έμβολο διατομή 𝐴2. Η εφαρμοζόμενη πίεση είναι ίδια και στους δύο κυλίνδρους:

𝑝 =𝐹1𝐴1=𝐹2𝐴2⇒ 𝐹2 =

𝐴2𝐴1𝐹1

ΦΥΣ102 9

Συγκοινωνούντα δοχεία

Δύο σημεία ενός υγρού που ισορροπεί έχουν την ίδια πίεση όταν βρίσκονται στο ίδιο βάθος (ίδιο οριζόντιο επίπεδο). Το σχήμα του δοχείου δεν επηρεάζει την πίεση.

ΦΥΣ102 10

Διαφορική, απόλυτη και σχετική πίεση

Τα αισθητήρια πίεσης, συνήθως, διατίθενται σε τρεις μορφές, που επιτρέπουν τη μέτρηση:

• απόλυτης (absolute): Πίεση αναφοράς είναι πίεση του κενού που θεωρείται (εξ ορισμού) ίση με μηδέν.

• διαφορικής (differential): Τα αισθητήρια διαφορικής πίεσης μετρούν τη διαφορά πίεσης μεταξύ δύο σημείων (πηγών πίεσης) π.χ. διαφορά πίεσης από την ατμοσφαιρική.

• σχετικής (gauge) πίεσης: Αν η πίεση αναφοράς είναι του περιβάλλοντος (ατμοσφαιρική πίεση)

ΦΥΣ102 11

Εντός κυλινδρικού δοχείου βρίσκονται: υδράργυρος που καταλαμβάνει ύψος 80 cm, πετρέλαιο ύψους 60cm και νερό ύψους 128cm. Να βρεθεί η υδροστατική πίεση στον πυθμένα του δοχείου.

υδράργυρος

πετρέλαιο

νερό

hHg=80cm

hν=128cm

hπ=60cm

hpA Α

Γ

Β hpp vAB

AB ppp HgHguu hhhp HggB hpp

hhp vB hpp vAB hhp vB

HgHghhhp

ΦΥΣ102 12

Μετρητές πίεσης

Τα πιο συνηθισμένα όργανα μετρήσεις είναι:• Μανόμετρο ανοικτού σωλήνα.

Εξισώνουμε την πίεση στο σημείοΑ και Β:

• Υδραργυρικό βαρόμετρο.

𝑝 = 𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ

Αναστραμμένος (σε μία λεκάνη με υδράργυρο), κλειστός στο ένα άκρο σωλήνα που γεμίστηκε με υδράργυρο.

𝑝 = 𝑝𝑎 = 0 + 𝜌𝑔ℎ

ΦΥΣ102 13

Αρχή του Αρχιμήδη – Άνωση

Τα υγρά ασκούν δύναμη σε κάθε σώμα που βυθίζεται μέσα σε αυτά. Η δύναμη αυτή ονομάζεται Άνωση, είναι κατακόρυφη , με φορά προς τα πάνω και το μέτρο της ισούται με βάρος του υγρού που εκτοπίζει.

ΦΥΣ102 14

Άνωση

Άνωση ονομάζεται η συνισταμένη δύναμη που δέχεται ένα σώμα από το ρευστό μέσα στο οποίο βρίσκεται. Η άνωση έχει κοινή διεύθυνση με το βάρος του σώματος, και αντίθετη φορά. Η άνωση αναφέρεται σε συστήματα που βρίσκονται σε ηρεμία και δεν πρέπει να συγχέεται με την άντωση*.

Η αντίστοιχη μαθηματική έκφραση είναι:

𝐴 = 𝜌ρευστού 𝑔 𝑉βυθ. σώματος

*Άντωση ενός σώματος που κινείται μέσα σε ένα ρευστό, είναι η συνιστώσα της δύναμης που ασκείται στο σώμα από το ρευστό, σε διεύθυνση κάθετη στην κίνηση του σώματος.

ΦΥΣ102 15

Συνθήκη Πλεύσης (Ένα σώμα σε ένα δοχείο με ρευστό)

• Αν w>A: βυθίζεται.𝑚𝑔 > 𝜌ρευστού 𝑔 𝑉σώματος

𝜌σώματος 𝑔 𝑉σώματος > 𝜌ρευστού 𝑔 𝑉σώματος

• Αν w=A: διατηρείται σε σταθερό βάθος (δεν βυθίζεται επιπλέει).

• Αν w<A: Συνθήκη πλεύσης → w=A’.

𝜌σώματος > 𝜌ρευστού

𝜌σώματος = 𝜌ρευστού

𝜌σώματος < 𝜌ρευστού

ΦΥΣ102 16

Επιφανειακή Τάση – Δυνάμεις συνοχής

Η συνοριακή επιφάνεια ενός υγρού και ενός αερίου συμπεριφέρεται σαν μία επιφάνεια υπό τάση, η δύναμη ανά μονάδα κατά μήκος μίας γραμμής της επιφάνειας ονομάζεται επιφανειακή τάση και συμβολίζεται με το γράμμα γ.

𝛾 =𝐹

𝑑

Οι δυνάμεις συνοχής (των μορίων του υγρού) αντιστέκονται σε κάθε παραμόρφωση της ελεύθερης επιφάνειας του υγρού.

Μια σταγόνα υγρού σε ελεύθερη πτώση είναι πάντοτε σφαιρική γιατί μια επιφάνεια υπό τάση τείνει να αποκτήσει το ελάχιστο δυνατό εμβαδόν.

ΦΥΣ102 17

Πίεση στο εσωτερικό μιας φυσαλίδας

Η επιφανειακή τάση προκαλεί διαφορά στην πίεση στο εσωτερικό από το εξωτερικό μιας σαπουνόφουσκας ή μιας σταγόνας υγρού. • Η ολική δύναμη από την επιφανειακή τάση για κάθε επιφάνεια (εσωτερική και εξωτερική) είναι γ(2πR). Η ολική και από τις δύο μαζί είναι 2γ(2πR).

• Η δύναμη που οφείλεται στην πίεση του αέρα p επί το εμβαδόν κύκλου πάνω στον οποίο δρα είναι: 𝑝 𝜋R2

Για να είναι μηδενική η συνισταμένη δύναμη αυτών των δύο

πρέπει: 2γ(2πR)=𝑝 𝜋R2 ⇒ 𝑝 =4𝛾

R

Στην γενική περίπτωση πρέπει να συμπεριλάβουμε και την μη μηδενική εξωτερική πίεση (πίεση της ατμόσφαιράς):

Σαπουνόφουσκα: 𝑝 = 𝑝𝑎 +4𝛾

R

Σταγόνα υγρού (έχει μόνο μία επιφάνεια): 𝑝 = 𝑝𝑎 +2𝛾

R

ΦΥΣ102 18

Τριχοειδή φαινόμενα

Όταν η διαχωριστική επιφάνεια υγρού-αερίου εγγίσει την επιφάνεια ενός στερεού, π.χ. το τοίχωμα ενός δοχείου, καμπυλώνεται προς τα πάνω ή προς τα κάτω, κοντά στην επιφάνεια του στερεού.

• Η επιφανειακή τάση προκαλεί αυτή την ανύψωση ή ταπείνωση του υγρού σε ένα σωλήνα. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται τριχοειδικό.

• Η καμπυλωμένη επιφάνεια του υγρού ονομάζεται μηνίσκος.

• Ο μηνίσκος στον υδράργυρο (μη διαβρέχον υγρό) καμπυλώνεται προς τα πάνω.

ΦΥΣ102 19

Η γωνία μεταξύ της επιφάνειας του στερεού και της εφαπτομένης στην επιφάνεια του υγρού στο σημείο επαφής ονομάζεται γωνία επαφής. Θα λέμε ότι το υγρό διαβρέχει το στερεό όταν η γωνία επαφής β είναι μικρότερη από π/2 (σχ. α) και ότι δεν το διαβρέχει όταν είναι μεγαλύτερη από π/2 (σχ. β).

ΦΥΣ102 20

Ροή των ρευστών

• Pοή ονομάζεται η κίνηση ρευστού σε περιοχή του χώρου.

• Η διαδρομή που θα ακολουθήσει ένα σωμάτιο ενός κινούμενου ρευστού ονομάζεται γραμμή ροής.

• Καθώς αυτά κινούνται η ταχύτητα τους μπορεί να μεταβάλλεται σε μέτρο και κατεύθυνση.

• Η ταχύτητα τους σε κάθε σημείο θα είναι εφαπτόμενη της γραμμής ροής (ρευματική γραμμή).

• Οι γραμμές ροής δεν τέμνονται πουθενά γιατί τότε το «σωματίδιο» που θα έφτανε σε αυτή την τομή θα είχε ταυτόχρονα δύο ταχύτητες – ΑΔΥΝΑΤΟ.

ΦΥΣ102 21

Ιδανικό ρευστό

Εξειδικευμένο μοντέλο: Ιδανικό ρευστό (το θεωρούμε ασυμπίεστο, χωρίς εσωτερική τριβή ή ιξώδες).

ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ

1. ΜΟΝΙΜΗ – ΣΤΡΩΤΗ ΡΟΗ: Aν ο στοιχειώδης όγκος του ρευστού, που περνά από το τυχαίο σημείο του πεδίου ροής, διαγράφει πάντοτε την ίδια γραμμή ροής ενώ η ταχύτητά του στο δεδομένο σημείο είναι ανεξάρτητη του χρόνου, η ροή ονομάζεται μόνιμη (steady). Στην ειδική περίπτωση που η μόνιμη ροή γίνεται κατά παράλληλα στρώματα, καθένα από τα οποία έχει καθορισμένη ταχύτητα, η ροή ονομάζεται στρωτή (laminar).

2. ΑΣΥΜΠΙΕΣΤΑ: Η πυκνότητα των ιδανικών ρευστών είναι παντού σταθερή.

3. Η ΡΟΗ ΔΕΝ ΣΥΝΑΝΤΑ ΚΑΜΙΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ (Nonviscousflow).

4. Μη περιστροφική κίνηση (Irrotational flow).

ΦΥΣ102 22

Μελέτη κίνηση σε σωλήνα – φλέβα λαμβάνοντας υπόψη της προηγούμενες υποθέσεις.

Β: το ρευστό κινείται με ταχύτητα 𝑣1. Στο χρονικό διάστημα dt, ένα «σωματίδιο» ρευστού θα διανύσει απόσταση 𝑣1 dt και όγκος dV = 𝐴1 𝑣1dt θα περάσει από την 𝐴1. Αφού το ρευστό είναι ασυμπίεστο ο ίδιος όγκος θα περάσει από το C(διατήρηση μάζας κατά τη ροή ενός ρευστού: εξίσωσή συνέχειας).

C: Εάν η ταχύτητα εκεί είναι 𝑣2 τότε:𝑑𝑚1 = 𝑑𝑚2 ⇒ 𝜌 𝑑𝑉1 = 𝜌 𝑑𝑉2

𝜌 𝐴1 𝑣1 𝑑𝑡 = 𝜌 𝐴2 𝑣2 𝑑𝑡 ⇒ 𝐴1 𝑣1 = 𝐴2 𝑣2 = 𝐴𝑣

Άρα:𝑑𝑉

𝑑𝑡= 𝐴𝑣 = 𝜎𝜏𝛼𝜃𝜀𝜌ό

Το γινόμενο 𝐴𝑣 είναι ο ρυθμός παροχής όγκου, ο ρυθμός με τον οποίο ο όγκος περνάει από την διατομή του σωλήνα. Η παροχή αυτή είναι σταθερή κατά μήκος του σωλήνα όταν μικραίνει το Aαυξάνεται το v και αντίθετα.

ΦΥΣ102 23

Εξίσωση του Bernoulli (για στρωτή, ασυμπίεστη, χωρίς εσωτερικές τριβές ροή)

• Η Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας στον φορμαλισμό της ρευστομηχανικής.

• Ο νόμος Bernoulli απαιτεί την ανυπαρξία απώλειών μηχανικής ενέργειας κατά τη ροή, δηλαδή την ανυπαρξία εσωτερικής τριβής.

• Θεωρήστε τη χωρίς εσωτερικές τριβές, στρωτή, ασυμπίεστη ροή ενός ρευστού μέσα από ένα σωλήνα ή μια φλέβα ροής

ΦΥΣ102 24

Για να εξάγουμε την εξίσωση του Bernoulli, εφαρμόζουμε το θεώρημα έργου-ενέργειας στο ρευστό, σε ένα τμήμα σωλήνα ροής: W = ΔΚ (Το έργο που παράγεται από τη συνισταμένη δύναμη η οποία δρα πάνω σε ένα σύστημα ισούται με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος). Αφού ρ=σταθερό (Ασυμπίεστο ρευστό):

ΔK =1

2𝑑𝑚𝑣2

2 −1

2𝑑𝑚𝑣1

2 =1

2𝜌 𝑑V 𝑣2

2 − 𝑣12

ΦΥΣ102 25

Οι δυνάμεις που παράγουν έργο πάνω στο σύστημα, υποθέτοντας ότι μπορούμε να αγνοήσουμε τις δυνάμεις τριβής, είναι οι δυνάμεις πίεσης 𝑝1𝐴1και 𝑝2𝐴2 που δρουν στο αριστερό και δεξί άκρο του συστήματος αντίστοιχα και η δύναμη βαρύτητας. Καθώς το ρευστό ρέει μέσα στο σωλήνα το συνολικό αποτέλεσμα είναι η ανύψωση ενός ποσού ρευστού που δείχνεται με τη γραμμοσκιασμένη περιοχή του (α) στη θέση που δείχνει το (β). Το ποσό του ρευστού που παριστάνεται με τις οριζόντιες γραμμές δεν έχει μεταβληθεί κατά τη ροή.

ΦΥΣ102 26

Από την δύναμη βαρύτητας:

Το έργο που παράγεται πάνω στο σύστημα από τη βαρύτητα συνδέεται με την ανύψωση του γραμμοσκιασμένου ρευστού μάζας dm από το ύψος 𝑦1 του επιπέδου εισαγωγής του ρευστού σε ύψος 𝑦2 στο επίπεδο εξόδου.

𝑊𝑔= - dm g (𝑦2 − 𝑦1) = - ρ g dV (𝑦2 – 𝑦1)

Το έργο είναι αρνητικό αφού η κάθετη μετατόπιση («προς τα πάνω») έχει αντίθετη κατεύθυνση από το βάρος («προς τα κάτω»). Δηλ. παράγεται έργο από το σύστημα ενάντια στη δύναμη βαρύτητας.

ΦΥΣ102 27

Από τις δυνάμεις πίεσης 𝑝1𝐴1(στο άκρο εισόδου) και 𝑝2𝐴2 (στο άκρο εξόδου)

Γενικά: Το έργο που παράγεται από μια δύναμη F που κινεί ρευστό κατά απόσταση dx μέσα σε σωλήνα διατομής Α, είναι:

F dx = (p Α) dx = p (Α dx) = p dV

Υποθέτουμε για το σχήμα: 𝑝1 > 𝑝2 (ροή από αριστερά προς τα δεξιά) - Στο άκρο εισόδου: Έργο θετικό, δύναμη-ροή ίδια κατεύθυνση +𝑝1 dV - Στο άκρο εξόδου: Έργο αρνητικό, δύναμη-ροή αντίθετη κατεύθυνση -𝑝2 dV (αρνητικό σημαίνει ότι θετικό έργο παράγεται από το σύστημα για να σπρώξει το υγρό προς τα εμπρός.

𝑊𝑝 = 𝑝1 − 𝑝2 𝑑𝑉

⇒ 𝑊𝑡𝑜𝑡 = 𝑊𝑔 +𝑊𝑝 = − ρ g dV (𝑦2 – 𝑦1) + 𝑝1 − 𝑝2 𝑑𝑉

ΦΥΣ102

28

𝑊𝑡𝑜𝑡 = Δ𝐾

− ρ g dV (𝑦2 – 𝑦1) + 𝑝1 − 𝑝2 𝑑𝑉 =1

2𝜌 𝑑V 𝑣2

2 − 𝑣12

𝑝1 + ρ g 𝑦1 +1

2𝜌 𝑣12 = 𝑝2 + ρ g 𝑦2 +

1

2𝜌 𝑣22

Οι δείκτες 1 και 2 αναφέρονται σε οποιαδήποτε δύο σημεία κατά μήκος του σωλήνα ροής, οπότε μπορούμε να γράψουμε:

𝑝 + ρ g 𝑦 +1

2𝜌 𝑣2 = σταθερό

H πίεση p ονομάζεται στατική, είναι εκείνη που θα μετρηθεί με μανόμετρο τοποθετημένο στη φλέβα, και συνδέεται με τις δυνάμεις που προκαλούν τη ροή του ρευστού. Μπορεί να λεχθεί ότι η στατική πίεση είναι, στην περίπτωση αυτή, το έργο που παράγεται από τις δυνάμεις αυτές σε κάθε μονάδα όγκου του ρευστού.

H πίεση 1

2𝜌 𝑣2 ονομάζεται

δυναμική και συνδέεται με την κινητική ενέργεια του ρευστού, είναι δηλαδή η κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου.

O όρος ρgh είναι η υδροστατική πίεση που συνδέεται με τη δυναμική ενέργεια, δηλαδή απεικονίζει την επίδραση του πεδίου βαρύτητας στην κίνηση του ρευστού.

ΦΥΣ102 29

ΦΥΣ102 30