1

Παρουσίαση

της ερευνητικής εργασίας – project

«μαθηματική μοντελοποίηση»

Έτος: 2011-20121ο Λύκειο Αγ.ΒαρβάραςΛύκειο Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης

2

Αξιότιμοι κύριοι και κυρίες, Αγαπητοί συμμαθητές και συμμαθήτριες,

Στην αρχή της φετινής χρονιάς στα πλαίσια του μαθήματος

project μαζί με την καθηγήτρια των μαθηματικών κ.

Καράμπαλη Ευθυμία ξεκινήσαμε συζήτηση για τα

μαθηματικά στην καθημερινή ζωή μας. Έτσι αποφασίσαμε να

ασχοληθούμε με την εκπόνηση μιας Ερευνητικής εργασίας με

θέμα «Μαθηματική μοντελοποίηση»και η κ. Καράμπαλη

υπεύθυνη της εργασίας μας ενημέρωσε σχετικά με τη μέθοδο

project.

3

Στην ομάδα μας Α- project 2 συμμετέχουμε συμμαθητές και συμμαθήτριες από τα τμήματα Α1, Α2, Α3 της Α λυκείου του 1ου Γενικού Λυκείου Αγίας Βαρβάρας

Aθανασιάδου Πηνελόπη

Αθανασίου Στέφανος

Βουσκουδάκης Μιχαήλ

Ελευθερίου Σμαράγδα

Θέος Ευάγγελος

Καρακάση Βαλεντίνα

Κουλούρης Δημήτριος

Λαζαροπούλου Αγγελική

Λαζαροπούλου Μαρίνα

Μιχαηλίδη Μαρία

Μιχαηλίδου Φωτεινή

Μπιρσάν Λαρίσα - Μαρία

Μπούτσαλη Γεωργία

Παπανικολάου Χρήστος

Παύλου Βασιλική

Στυλιανού Αιμιλία

Τσιλιγιάννης Ιωάννης

Φράγκου Γεωργία

Χτενάς Γεώργιος

Ψαραδέλλης Δημήτριος

4

Συντάξαμε και υπογράψαμε το συμβόλαιό μας.

Σχεδιάσαμε τις ατομικές μας ασπίδες και

χωριστήκαμε σε ομάδες. Ο χωρισμός σε

ομάδες έγινε με κοινωνιόγραμμα ανάλογα με

τις προτιμήσεις μας και η κάθε ομάδα επέλεξε

το δικό της όνομα.

5

ΟΜΑΔΙΚΟ ΣΥΜΒΟΛΑΙΟ

• Λέω πάντα τη γνώμη μου στην ομάδα μου, όταν έρθει η σειρά μου. Αν

θέλω να ξαναπάρω το λόγο, περιμένω να τελειώσουν οι προηγούμενοι.

• Σέβομαι τις απόψεις που εκφράζουν οι συμμαθητές μου στην ομάδα και

ταυτόχρονα κάνω ελεύθερα την κριτική μου σ’ αυτές χωρίς κακόβουλα

σχόλια.

• Σέβομαι την άποψη της πλειοψηφίας της ομάδας όπου αυτό χρειάζεται.

• Φροντίζω όσο μπορώ να κάνω με συνέπεια το κομμάτι της δουλειάς που

μου αναλογεί ώστε να μην «ρίχνω την ομάδα».

6

Ατομική ασπίδα

Η ταυτότητα μου

Τι με χαρακτηρίζει;

Ποιοι είναι οι στόχοι μου;

Πως θα επιτύχω τους στόχους μου;

Ένα ρητό που μου δίνει θετική ενέργεια

7

Προτιμήσειςαρχή κοινωνιογράμματος

• Ονοματεπώνυμο……………………………………..

• Με ποιους συμμαθητές σου θέλεις να είσαι στην ίδια ομάδα στο μάθημα project με

θέμα «Μαθηματική Μοντελοποίηση» τη σχολική χρονιά 2011-2012;

• Γράψε τέσσερις συμμαθητές σου με σειρά προτίμησης.

• 1η προτίμηση…………………………………………………………………

• 2η προτίμηση…………………………………………………………………

• 3η προτίμηση…………………………………………………………………

• 4η προτίμηση ……………………………………………………….………..

8

Η ομάδα «ρίζα πέντε» (Μιχαηλίδου Φωτεινή, Λαζαροπούλου Αγγελική,

Βουσκουδάκης, Ελευθερίου, Αθανασίου) ασχολήθηκε με τη διοργάνωση μιας

σχολικής εκδρομής.

Η ομάδα «μαθηματικές ιδιοφυίες» (Ψαραδέλης, Στυλιανού, Αθανασιάδου, Φράγκου,

Παύλου) ασχολήθηκε με την αγορά και κόστος συντήρησης ενός αυτοκινήτου.

Η ομάδα «τα παιδιά του Πυθαγόρα» (Παπανικολάου, Χτενάς, Μιχαηλίδου Μαρία,

Μπούτσαλη, Μπιρσάν) σχολήθηκε με την αναζήτηση εταιρείας παροχής σταθερής

και κινητής τηλεφωνίας και υπηρεσιών διαδικτύου

Η ομάδα «τα παιδιά του Νεύτωνα» (Κουλούρης, Λαζαροπούλου Μαρίνα,

Τσιλιγιάννης, Θέος, Καρακάση) με τον φυσικό νόμο του ohm.

9

Προσπαθήσαμε να διερευνήσουμε προβλήματα της καθημερινής ζωής.

Μεταπλάσαμε προβλήματα από την καθημερινότητα μας σε μαθηματικά

προβλήματα (μαθηματική μοντελοποίηση) και στη συνέχεια με τη χρήση

μαθηματικών διαδικασιών και εννοιών να τα επιλύσουμε.

Διευκολυνθήκαμε ιδιαίτερα από τη χρήση των νέων τεχνολογιών

συγκεκριμένα με το διαδίκτυο και το εκπαιδευτικό πρόγραμμα Function

Probe, πολυεποπτικό εργαλείο για τη σύγχρονη άλγεβρα, την

τριγωνομετρία και την ανάλυση, που επιτρέπει τη διερεύνηση των

συναρτήσεων και τη μαθηματική μοντελοποίηση. Η εκμάθηση του έγινε

στο εργαστήριο πληροφορικής και ευχαριστούμε την κ. Ψαρρή για την

πολύτιμη βοήθειά της.

10

Πολλοί αναρωτιούνται για τη χρησιμότητα των

μαθηματικών στη ζωή μας.

Από την παιδική μας ηλικία, στην καθημερινότητά μας,

χρησιμοποιούμε μαθηματικά σε διάφορες εκφάνσεις

και τομείς της ζωής μας από την οικονομική

οργάνωση της οικογένειας μέχρι τα επαγγελματικά

μας ή ακόμα σε τυχερά παιχνίδια κ.α.

11

• Ένα συνηθισμένο ερώτημα που κάνουν οι μαθητές στους καθηγητές τους

είναι «Γιατί μαθαίνουμε Μαθηματικά;» και «Πού θα μας χρησιμεύσουν;»

Η απάντηση είναι πάντα η ίδια «Επειδή είναι χρήσιμα στη ζωή μας». Η

αλήθεια είναι ότι κανένας δεν μένει ικανοποιημένος από αυτή την

απάντηση. Θα μπορούσε να είναι χρήσιμα μέχρι να μάθουμε τις τέσσερις

πράξεις για τους καθημερινούς λογαριασμούς και υπολογισμούς μας. Τότε

όμως γιατί μαθαίνουμε όλα αυτά τα Μαθηματικά; Είναι αλήθεια ότι

προτιμούμε τα εύκολα και απλά πράγματα και όχι τα δυσνόητα . Όμως τα

πράγματα είναι τελείως διαφορετικά. Τα μαθηματικά βρίσκονται παντού

γύρω μας, μόνο που χρειάζεται κάποια προσπάθεια να τα ανακαλύψουμε.

12

• Όλες οι επιστήμες χρησιμοποιούν τα μαθηματικά για να λύσουν τα δικά

τους προβλήματα. Οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι δεν θα μπορούσαν να ξαναβρούν

τα όρια των χωραφιών τους μετά από κάθε πλημμύρα του Νείλου, αν δεν

χρησιμοποιούσαν τη γεωμετρία, ούτε θα μπορούσαν να κτίσουν τις

πυραμίδες, ούτε ποτέ ο Κολόμβος θα είχε ανακαλύψει την Αμερική αν δεν

χρησιμοποιούσε τριγωνομετρία για να διαβάσει τ' αστέρια, ούτε τα

διαστημόπλοια θα είχαν φτάσει στον Άρη αν δεν είχαν σχεδιαστεί με

λεπτομέρεια  οι τροχιές τους με μαθηματικούς υπολογισμούς. Ούτε

φυσικά θα υπήρχαν οι ηλεκτρονικοί  υπολογιστές και πολλά ακόμα. Η

φυσική, η πληροφορική, η βιολογία, η ιατρική, η γεωλογία ακόμη και οι

οικονομικές επιστήμες στηρίζονται στα μαθηματικά. Έτσι λοιπόν τα

Μαθηματικά  που φαίνονται απομακρυσμένα από την πραγματικότητα

δίνουν απαντήσεις και αποκαλύπτουν  με τεράστια επιτυχία τα φαινόμενα

του κόσμου που είναι κατανοητά και συγκεκριμένα.

13

• Τα Μαθηματικά δεν είναι λοιπόν ένα μάθημα  που απευθύνεται σε 

“λίγους και έξυπνους”, αλλά ένα μάθημα απαραίτητο σε κάθε άνθρωπο,

όπως είναι και η γλώσσα. Ακόμη και άνθρωποι που δεν έχουν πάει ποτέ

σχολείο χρησιμοποιούν καθημερινά στη ζωή τους τα Μαθηματικά

14

• Στα πλαίσια του project επισκεφτήκαμε το μουσείο «Ηρακλειδών» στο

Θησείο. Εκεί μας έδειξαν πώς τα μαθηματικά συνδυάζονται με την τέχνη

(μουσική) και πώς ένα αγγείο που με την πρώτη ματιά φαίνεται απλό και

συνηθισμένο μετατρέπεται σε μαθηματικό έκθεμα ύστερα από προσεκτική

παρατήρηση των διακοσμητικών μοτίβων που αποτελούνται από

γεωμετρικά σχήματα.

Στο σημείο αυτό θα θέλαμε να ευχαριστήσουμε τον κ. Αριστοτέλη

Παναγιωτόπουλο που μας βοήθησε στην κατανόηση της σχέσης τέχνης-

μαθηματικών.

15

• Επισκεφθήκαμε την έκθεση «Χρώμα και γραμμή» . Τα λιτά γεωμετρικά

σχήματα και οι αναρίθμητοι συνδυασμοί χρώματος και γραμμής που

χαρακτηρίζουν το έργο του διαπρεπούς, Αμερικανού καλλιτέχνη Sol

LeWitt (1928 - 2007) μπορεί για τον σημερινό θεατή να αποτελούν κυρίως

μία πρόκληση στο βλέμμα και την παρατήρηση, έχουν όμως και μία

«ιστορική» αξία καθώς παραπέμπουν στο καινοτόμο για την εποχή του ’60

κίνημα της εννοιολογικής τέχνης της οποίας ο LeWitt υπήρξε ένας από

τους μεγαλύτερους εκπροσώπους. Με τη χρήση της ισομετρικής προβολής

έδινε στα δισδιάστατα έργα του την εντύπωση τρισδιάστατης μορφής.

16

17

Ευχαριστίες στους καθηγητές μας

Ευχαριστούμε θερμά τους καθηγητές μας για τις συνεντεύξεις που μας

έδωσαν, τον κ. Μπισμπίκο και τον κ. Μάλλη για την βοήθειά τους στη

κατανόηση της σχέσης μαθηματικών και φυσικής και τον κ. Ευθυμίου για

τη σχέση των Μαθηματικών με την Αστρονομία.

Τέλος ευχαριστούμε την κ. Ψαρρή για την πολύτιμη βοήθεια της στη χρήση

Η/Υ.

18

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ – ΠΗΓΕΣ• Πρακτικά 28ου Πανελληνίου Συνεδρίου Μαθηματικής Μοντελοποίησης

• G.POLYA «Πώς να το λύσω» εκδόσεις σπηλιώτη.

• http://users.sch.gr/pfotiou/wp-content/uploads/mathimatiki-modelopoiisi-FINAL-PETRESCOU_

8-5-2011.pdf

Ερευνητική εργασία Πετρέσκου στη μαθηματική μοντελοποίηση

• http://www.math.uoa.gr/me/conf2/papers/kanterak.pdf μαθηματική μοντελοποίηση στη λύση

προβλημάτων του Καντεράκη

• http://www.hms.gr/ Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία

• http://el.wikipedia.org/

19

• Στοιχεία Αστρονομίας και Διαστημικής Β' τάξης Λυκείου

• www.wind.gr

• www.forthnet.gr

• www.conn-x.gr

• http://www.4troxoi.gr/ 4 τροχοί

• http://phet.colorado.edu/el/simulations/translated/el προσομοιώσεις φυσικής μεταφρασμένες στα ελληνικά

• Προβλήματα από τον διαγωνισμό PIZA

20

Τα προβλήματα μοντελοποίησης είναι μια μεγάλη κατηγορία

προβλημάτων τα όποια συμπεριλαμβάνονται στα αναλυτικά

προβλήματα των μαθηματικών.

Η ενασχόληση με προβλήματα μοντελοποίησης καλλιεργεί τις

δεξιότητες της διερεύνησης και διαμορφώνει το πλαίσιο για

την ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης. Η διαδικασία της

μοντελοποίησης εστιάζει στην μεταφορά από τον πραγματικό

κόσμο στον μαθηματικό και στην επιστροφή στον

πραγματικό.

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ

21

Αν προσπαθήσουμε να περιγράψουμε μία εντύπωση,

μία σκέψη, μία πραγματική κατάσταση το

αποτέλεσμα της περιγραφής είναι ένα μοντέλο.

Οι διαφορετικές εκδοχές που μπορούμε να δώσουμε

στην περιγραφή χρειάζονται και την κατάλληλη

γλώσσα για να διατυπωθούν. Μεταφορική,

φιλοσοφική, μαθηματική κλπ.

22

Αν η γλώσσα που χρησιμοποιήσαμε είναι η μαθηματική το

αποτέλεσμα είναι ένα μαθηματικό μοντέλο.

Σπάνια συμπεριλαμβάνουμε όλες τις σκέψεις μας σ’ αυτό το

μοντέλο γι’ αυτό παραλείπουμε τις λεπτομέρειες.

Μπορούμε να κατασκευάσουμε πολλά μοντέλα της ίδιας

κατάστασης ανάλογα με το ποιες και πόσες λεπτομέρειες θα

λάβουμε υπόψη μας για να ενισχύσουμε την άποψή μας. Έτσι

το μοντέλο που θα χρησιμοποιήσουμε μας βοηθά να

αναλύσουμε την κατάσταση ή να μεταδώσουμε τη σκέψη μας.

23

Η σπουδαιότερη λειτουργία του μοντέλου είναι να

γεννά και να αναπαριστά ένα απεριόριστο πλήθος

ιδιοτήτων ξεκινώντας από ένα περιορισμένο αριθμό

στοιχείων.

Είναι δηλαδή ένας τρόπος αναπαράστασης που μας

οδηγεί σε νέες πληροφορίες.

24

Γενικά μαθηματικό μοντέλο είναι ένα μοντέλο

που αποτελείται από μαθηματικές έννοιες,

σταθερές, μεταβλητές, συναρτήσεις,

εξισώσεις, ανισώσεις κλπ. οι οποίες

μπορούν να παρασταθούν συμβολικά είτε

γραφικά.

25

Μοντελοποίηση στα μαθηματικά εννοούμε όλες εκείνες τις ενέργειες που

αποσκοπούν σ’ έναν πλήρη κύκλο με τα παρακάτω στάδια:

26

Ομάδα «τα παιδιά του Πυθαγόρα»• ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΣ: Όταν οι προσφορές των εταιρειών τηλεφωνίας οι

οποίες παρέχουν και πρόσβαση στο Διαδίκτυο υπόσχονται όλο και

περισσότερο χρόνο ομιλίας καθώς και τη γρηγορότερη ταχύτητα ADSL,η

οποία αγγίζει συνήθως τα 24Mbps, στη χαμηλότερη δυνατή τιμή.

27

• Eίναι φανερό να διερωτάται κανείς για το είδος της επιλογής που πρέπει να

κάνει με σκοπό να πληρώνει κανείς όσο το δυνατό λιγότερα χρήματα για

να καλύψει τις συγκεκριμένες τηλεπικοινωνιακές του ανάγκες. Με ποιο

τρόπο λοιπόν θα μπορούσε να επιλέξει το συμφερότερο πρόγραμμα από τα

προσφερόμενα;

28

Οριοθέτηση του προβλήματοςΕμείς, λοιπόν, αποφασίσαμε να εξετάσουμε 3 προγράμματα που παρέχουν τα

ακόλουθα:

• απεριόριστες αστικές και υπεραστικές κλήσεις

• 60' λεπτά προς κινητά τηλέφωνα

• απεριόριστες κλήσεις προς εξωτερικό

• απεριόριστο broadband ADSL έως 24Mbps

Τα προγράμματα στα οποία και καταλήξαμε είναι τα εξής:

• Wind Double Play L της Wind με 41,24Ε/μήνα

• Forthnet Double Play της Forthnet με 41,24Ε/μήνα

• ΟΤΕ Conn-X του ΟΤΕ με 50,10Ε/μηήνα

29

Παρατίθεται πίνακας των εταιρειών και των παροχών που

αυτές προσφέρουν.

Forthnet WIND Conn-X

Αστικές κλήσεις απεριόριστες απεριόριστες απεριόριστες

Υπεραστικές κλήσεις απεριόριστες απεριόριστες απεριόριστες

Λεπτά προς κινητά 60'(0,1710Ε) 60'(0,1666Ε) 60'(0,1054Ε)

Κλήσεις προς εξωτερικό απεριόριστες απεριόριστες απεριόριστες

Broadband ADSL 24Mbps 24Mbps 24Mbps

30

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΡΓΑΛΕΙΟΥ ΣΥΛΛΟΓΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

• Φανερό είναι ότι υπάρχει σχέση μεταξύ χρόνου και κόστους. Θεωρήσαμε

άγνωστο x τον αριθμό ομιλίας προς κινητά. Κρατήσαμε σταθερό το πάγιο και

υπολογίσαμε το y κόστος ανά μήνα. Πινακοποιήσαμε τα δεδομένα. Με τη

βοήθεια του Function Probe παραστήσαμε γραφικά τις τρεις εξισώσεις που

σχηματίσαμε στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων.

31

• Kαι οι τρείς ήταν ευθείες της μορφής y=a*x+b. Είδαμε από το γράφημα πού

τέμνονται οι τρεις γραφικές παραστάσεις, τί παριστάνει το σημείο τομής τους.

Αποφασίσαμε ποιο πρόγραμμα θα επιλέξουμε τελικά δικαιολογώντας

μαθηματικά την επιλογή μας.

32

33

Γραφική παράσταση

34

Ομάδα «ρίζα πέντε»

• Η «Διοργάνωση μιας εκδρομής» είναι το θέμα που η ομάδα μας

ασχολήθηκε και ερεύνησε για μοντελοποίηση. Η αρχική σκέψη ήταν να

πάρουμε πραγματικές τιμές από κάποια ταξιδιωτικά γραφεία.

Αντιμετωπίσαμε όμως προβλήματα γιατί ήθελαν πραγματικό προορισμό

και δεν μας έδιναν στοιχεία ώστε να οδηγηθούμε στη δημιουργία μιας

προβληματικής κατάστασης. Στραφήκαμε προς τη Μαθηματική εταιρεία

και τα πρακτικά της απ’ όπου πήραμε σημαντικές πληροφορίες και

στοιχεία σχετικά με το πρόβλημά μας. Από την εισήγηση του κ. Γεωργίου

Μπατέλη και του κ. Τάσου Πατρώνη «ανάλυση ενός διδακτικού σεναρίου

πάνω στο θέμα της διοργάνωσης μιας σχολικής εκδρομής»

35

Πρόβλημα Μπήκε η άνοιξη, και μία τάξη 100 μαθητών θέλει να πάει εκδρομή. Σε

συνεννόηση με το διευθυντή του σχολείου, η τάξη απευθύνεται για

προσφορές σε δύο εταιρείες οι οποίες κάνουν τις παρακάτω προτάσεις:

1) 2000 ευρώ πάγια πληρωμή και 1 ευρώ για κάθε χιλιόμετρο που θα

διανύσει το όχημα.

2) 1000 ευρώ πάγια πληρωμή και 2 ευρώ για κάθε χιλιόμετρο που θα

διανύσει το όχημα.

Με κριτήριο τα χιλιόμετρα ποια προσφορά συμφέρει περισσότερο και

γιατί; Σε ποια περίπτωση συμφέρει η πρώτη προσφορά και σε ποια η

δεύτερη;

36

O πρόεδρος της τάξης γίνεται δέκτης παραπόνων καθώς κάποιοι μαθητές

υποστηρίζουν ότι υπάρχει μια καλύτερη Τρίτη προσφορά η οποία

είναι:500 ευρώ πάγια πληρωμή και 3 ευρώ για κάθε χιλιόμετρο που

διανύσει το όχημα.

Bοηθήστε τους μαθητές να δείξουν στον πρόεδρο της τάξης πότε

συμφέρει αυτή η προσφορά.

Αφού ολοκλήρωσαν την έρευνα αγοράς πρέπει να αποφασίσουν για το

που θα πάνε. Υπάρχουν δύο συγκεκριμένες προτάσεις με τόπους που ο

ένας είναι 600 χιλιόμετρα μακριά και ο άλλος 80 χιλιόμετρα . Ποια

εταιρεία συμφέρει να επιλέξουν σε κάθε περίπτωση και γιατί; Ποιο είναι

το κόστος κατά άτομο σε κάθε περίπτωση;

37

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΡΓΑΛΕΙΟΥ ΣΥΛΛΟΓΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

• Φανερό είναι ότι υπάρχει σχέση μεταξύ χιλιομέτρων και κόστους. Θεωρήσαμε

άγνωστο x τον αριθμό των χιλιομέτρων. Κρατήσαμε σταθερό το πάγιο και

υπολογίσαμε το y κόστος της εκδρομής. Πινακοποιήσαμε τα δεδομένα. Με τη

βοήθεια του Function Probe παραστήσαμε γραφικά τις τρεις εξισώσεις που

σχηματίσαμε στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων.

38

• Kαι οι τρείς ήταν ευθείες της μορφής y=a*x+b. Είδαμε από το γράφημα πού

τέμνονται οι τρεις γραφικές παραστάσεις, τί παριστάνουν τα σημεία τομής τους.

Αποφασίσαμε ποια πρόταση θα επιλέξουμε τελικά δικαιολογώντας μαθηματικά την

επιλογή μας. Τέλος υπολογίσαμε το κόστος κατά άτομο στις τελευταίες προτάσεις

του προέδρου της τάξης.

39

Πινακοποίηση δεδομένων

40

Γραφική παράσταση

41

Ομάδα «μαθηματικές ιδιοφυίες»

42

Εισαγωγή

• Διανύουμε μια περίοδο, η οποία είναι δύσκολη για την ελληνική κοινωνία, καθώς ο ελληνικός λαός βιώνει και αντιμετωπίζει καθημερινά τη σκληρή πραγματικότητα, η οποία είναι αποτέλεσμα της οικονομικής κρίσης που πλήττει όλη την Ευρωπαϊκή ζώνη.

• Στηριζόμενη σε αυτό, η ομάδα μας αποφάσισε να πραγματοποιήσει την επίλυση ενός από τα προβλήματα που αντιμετωπίζει ο μέσος Έλληνας πολίτης, που είναι η αγορά αυτοκινήτου με χαμηλή κατανάλωση καυσίμων.

43

• Έτσι, επιλέξαμε να συγκρίνουμε τέσσερα αυτοκίνητα με μέση τιμή 17.000 ευρώ,

εφόσον τα χρήματα που διαθέταμε δεν ξεπερνούσαν το ποσό των 20.000 ευρώ.

Επίσης, το καθένα από αυτά καταναλώνει διαφορετικό είδος καυσίμου, δηλ. ένα

βενζινοκίνητο, ένα πετρελαιοκίνητο, ένα υβριδικό και ένα με υγραέριο.

Εκτός από αυτά, λάβαμε υπόψη μας για την επιλογή αυτοκινήτου τα παρακάτω

στοιχεία:

• Την τιμή του service σε διάρκεια ενός χρόνου ( 170 ευρώ για όλα τα αυτοκίνητα)

• Τα τέλη κυκλοφορίας ( που διαφέρουν σε κάθε αυτοκίνητο )

• Την ασφάλεια σε διάρκεια ενός χρόνου ( 270 ευρώ για όλα τα αυτοκίνητα )

• Την κατανάλωση καυσίμου σε αστικό κύκλο ( lt/100 χλμ )

• Την τιμή του πετρελαίου κίνησης ( 1,449 ευρώ/lt ), την τιμή της βενζίνης ( 1,595

ευρώ/lt ), την τιμή του υγραερίου ( 0,85 ευρώ/lt )

44

Τα αυτοκίνητα που διαλέξαμε είναι τα εξής:

• Το Mazda 3 Hatchback 1.6 Touring (το οποίο είναι πετρελαιοκίνητο)

• Το Mitsubishi Lancer Sportsedan 1.5 Invite (το οποίο είναι βενζινοκίνητο)

• Το Hyundai i30 5d 1.4 Special F/L (το οποίο χρησιμοποιεί υγραέριο)

• Το Honda Jazz Hybrid (το οποίο είναι υβριδικό)

45

• Οι τιμές των παραπάνω αμαξιών κυμαίνονται από 10.000 έως 20.000 περίπου και πιο συγκεκριμένα

αναφέρονται στο παρακάτω πινακάκι :

• Αυτοκίνητα Mazda 3 Mitsubishi Hyundai i30 5d Honda Jazz

Hatchback 1.6 Lancer Sportsedan 1.5 Special F/L ( υγραέριο ) Hybrid ( υβριδικό )

Touring ( πετρέλαιο) Invite ( βενζίνη )

Τιμή 17.900 ευρώ 18.630 ευρώ 15.500 ευρώ 17.890 ευρώ

(+ 1.000 ευρώ )=16.500 ευρώ

Τέλη

Κυκλοφορίας 223 ευρώ 216 ευρώ 217 ευρώ 5 χρόνια

χωρίς τέλη κυκλοφορίας

Ασφάλεια 270 ευρώ 270 ευρώ 270 ευρώ 270 ευρώ

Service 170 ευρώ 170 ευρώ 170 ευρώ 40% μείωση, άρα

170 *40/100=68 ευρώ

46

Πάγια έξοδα ανά έτος

• Για το πετρελαιοκίνητο έχουμε:

170+223+270=663 ευρώ

• Για το βενζινοκίνητο έχουμε: 170+216+270=656

ευρώ

• Για το υγραεριοκίνητο έχουμε:

170+217+270=657 ευρώ• Για το υβριδικό έχουμε: 68+270=338 ευρώ

47

• Το κάθε αμάξι καίει συγκεκριμένα lt ανά 100 χλμ. Για να βρούμε πόσο κοστίζει

κάθε φορά θα πολλαπλασιάσουμε τα lt με το ανάλογο καύσιμο, για παράδειγμα

τα lt που καίει το πετρελαιοκίνητο ανά 100 χλμ είναι 8,3, επομένως το

πολλαπλασιάζουμε με την τιμή του πετρελαίου η οποία είναι 1,449 ευρώ ανά

lt.Το αποτέλεσμα που θα προκύψει είναι: 8,3*1,449=13,079 ευρώ.

Το ίδιο θα γίνει παρακάτω

• Τιμή πετρελαίου κίνησης 1,449 €/lt

• Τιμή βενζίνης 1,595 €/lt

• Τιμή υγραερίου 0,85 €/lt

• Tιμή καυσίμου για το υβριδικό ( βενζίνη ) 1,595 €/lt

48

Πινακοποίηση αποτελεσμάτων

Χ Πετρελαιοκίνητο Βενζινοκίνητο Υγραεριοκίνητο Υβριδικό 0 χλμ 663 ευρώ 650 ευρώ 657 ευρώ 338 ευρώ

100 χλμ8,3lt/100 χλμ, 8,2lt/100 χλμ, 7,6lt/100 χλμ, 6,5lt/100 χλμ

12,0267 ευρώ, 13,079 ευρώ 6,46 ευρώ 10,3675 ευρώ

200 χλμ16,6lt/200 χλμ, 16,4lt/200 χλμ, 15,2lt/200 χλμ, 13lt/200

24,0534 ευρώ χλμ, 26,158 ευρώ 12,92 ευρώ 26,158 ευρώ

300 χλμ24,9lt/300 χλμ, 24,6lt/300 χλμ, 22,8Lt/300 χλμ, 19,5lt/300 χλμ

36,0801 ευρώ, 39,237 ευρώ 19,38 ευρώ 31,1025 ευρώ

400 χλμ33,2lt/400 χλμ, 32,8lt/400 χλμ, 30,4lt/400 χλμ, 26lt/400 χλμ,

48,10688 ευρώ 52,316 ευρώ 25,84 ευρώ 41,47 ευρώ

500 χλμ41,5lt/500 χλμ, 41lt/500 χλμ, 38Lt/500 χλμ, 32,5lt/500 χλμ,

60,1335 ευρώ 65,395 ευρώ 32,3 ευρώ 51,8375 ευρώ

49

Υλοποίηση δραστηριότητας

Καταγράψαμε τα αποτελέσματα στο πίνακα τιμών του Function Probe

μεταβάλλοντας την κλίμακα του διαγράμματος καταφέραμε να

απεικονίσουμε και τις τρεις γραφικές παραστάσεις στο ίδιο σύστημα

συντεταγμένων. Η κίτρινη γραμμή απεικονίζει το υβριδικό, η μπλε το

υβριδικό, η μαύρη το πετρελαιοκίνητο και η γαλάζια το υγραεριοκίνητο

αυτοκίνητο. Είναι φανερό ποια ήταν η συμφέρουσα επιλογή για κάποιον

που κινείται μέσα στην πόλη από την γραφική παράσταση.

50

Πίνακας τιμών

51

Γραφική παράσταση

52

Ομάδα «τα παιδιά του Νεύτωνα»

Ασχοληθήκαμε με το νόμο του Οhm.

Η τάση στα άκρα του κυκλώματος ισούται με το

γινόμενο της τιμής της αντίστασης επί την

τιμή του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα

V=I*R

53

• Κατεβάσαμε το εργαστήριο προσομοίωσης κλειστού κυκλώματος και

μεταβάλλοντας κάθε φορά την τάση, με συγκεκριμένη αντίσταση παίρναμε

τιμές για την ένταση του ρεύματος. Καταγράψαμε τις τιμές και τις

εισάγαμε σε πίνακα τιμών του Function Probe. Το διάγραμμά μας είναι μία

συνάρτηση της μορφής f(x)=a*x δηλαδή μία ευθεία που διέρχεται από την

αρχή των αξόνων. Πράγματι η αντίσταση που εξετάσαμε ήταν ωμική. Ο

υπολογισμός της αντίστασης έγινε βρίσκοντας τον αντίστροφο αριθμό της

κλίσης της ευθείας. Δηλαδή R=1/a =σφω όπου ω η γωνία που σχηματίζει η

ευθεία μας με τον άξονα χχ΄.

54

Εργαστήριο προσομοίωσης του ν.Ohm

55

56

Συμπεράσματα

• Η μοντελοποίηση περιλαμβάνει προβλήματα της καθημερινής ζωής. Οι αυθεντικές προβληματικές καταστάσεις αποτελούν προεκτάσεις των γνώσεων, των ενδιαφερόντων και των εμπειριών μας και μας δίνει κίνητρα για να ασχοληθούμε.

57

Ευχαριστούμε για την προσοχή σας!