Κατακτώ την κορυφή...

Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά

ΣΤ’ Δημοτικού

Μαρία Λάτση, Γιώργος Μπεκιάρης

1-6_Layout 1 29/08/2014 1:28 μ.μ.

Εκδόσεις Πατάκη – ΕκπαίδευσηΜαρία Λάτση – Γιώργος Μπεκιάρης, Κατακτώ την κορυφή – Μαθηματικά ΣΤ́ ΔημοτικούΕικονογράφηση εσωτερικού και εξωφύλλου: Ευθύμιος ΑργυράτοςΣυγγραφή λύσεων των ασκήσεων του σχολικού βιβλίου: Βασίλης ΚαραγιάννηςΔιορθώσεις: Μάγδα ΤικοπούλουΥπεύθυνος έκδοσης: Βαγγέλης ΜπακλαβάςDtp: Χριστίνα ΚωνσταντινίδουΦιλμ – μοντάζ: Μαρία Ποινιού-ΡένεσηCopyright© Σ. Πατάκης Α.Ε.Ε.Δ.Ε. (Εκδόσεις Πατάκη), Μαρία Λάτση και Γιώργος Μπεκιάρης, Αθήνα,

2013Copyright© για την εικονογράφηση Σ. Πατάκης Α.Ε.Ε.Δ.Ε. (Εκδόσεις Πατάκη), Αθήνα, 2014Πρώτη έκδοση από τις Εκδόσεις Πατάκη, Αθήνα, Σεπτέμβριος 2014ΚΕΤ 8866 – ΚΕΠ 589/14ISBN 978-960-16-5290-0

ΠΑΝΑΓΗ ΤΣΑΛΔΑΡΗ 38, 104 37 ΑΘΗΝΑ, ΤΗΛ.: 210.36.50.000, 210.52.05.600, ΦΑΞ: 210.36.50.069ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ: ΕΜΜ. ΜΠΕΝΑΚΗ 16, 106 78 ΑΘΗΝΑ, ΤΗΛ.: 210.38.31.078YΠOKΑΤΑΣΤΗMA: ΚΟΡΥΤΣΑΣ (ΤΕΡΜΑ ΠΟΝΤΟΥ – ΠΕΡΙΟΧΗ Β’ ΚΤΕΟ),

570 09, ΚΑΛΟΧΩΡΙ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, Τ.Θ. 1213, ΤΗΛ.: 2310.70.63.54, 2310.70.67.15, ΦΑΞ: 2310.70.63.55

Το παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις της ελληνικής νομοθεσίας (Ν. 2121/1993, όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικήςιδιοκτησίας. Απαγορεύεται απολύτως άνευ γραπτής αδείας του εκδότη η κατά οποιονδήποτε τρόπο ή μέσο(ηλεκτρονικό, μηχανικό ή άλλο) αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δα-νεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή και η εν γένει εκμετάλλευσητου συνόλου ή μέρους του έργου.

Θέση υπογραφής δικαιούχων δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση.

1-6_Layout 1 29/08/2014 1:28 μ.μ.

Περιεχόμενα

1Ë £ÂÌ·ÙÈÎ‹ ∂ÓfiÙËÙ·: Πράξεις και αριθμοί. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Κεφάλαιο 1 Φυσικοί αριθμοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Κεφάλαιο 2 Δεκαδικοί αριθμοί. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Κεφάλαιο 3 Μετατροπή δεκαδικών σε κλάσματα και αντίστροφα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Κεφάλαιο 4 Σύγκριση φυσικών ή δεκαδικών αριθμών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Κεφάλαιο 5 Πρόσθεση και αφαίρεση φυσικών και δεκαδικών αριθμών. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Κεφάλαιο 6 Πολλαπλασιασμός φυσικών και δεκαδικών αριθμών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Κεφάλαιο 7 Διαίρεση φυσικών και δεκαδικών αριθμών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Κεφάλαιο 8 Πράξεις με μεικτές αριθμητικές παραστάσεις. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Κεφάλαιο 9 Λύνω σύνθετα προβλήματα των 4 πράξεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Κεφάλαιο 10 Η χρήση του υπολογιστή τσέπης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Κεφάλαιο 11 Στρογγυλοποίηση φυσικών και δεκαδικών αριθμών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Κεφάλαιο 12 Διαιρέτες ενός αριθμού – Μ.Κ.Δ. αριθμών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Κεφάλαιο 13 Κριτήρια διαιρετότητας. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Κεφάλαιο 14 Πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Κεφάλαιο 15 Παραγοντοποίηση φυσικών αριθμών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Κεφάλαιο 16 Πολλαπλάσια ενός αριθμού – Ε.Κ.Π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Κεφάλαιο 17 Δυνάμεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Κεφάλαιο 18 Δυνάμεις του 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Κεφάλαιο 19 Κλάσματα ομώνυμα και ετερώνυμα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Κεφάλαιο 20 Το κλάσμα ως ακριβές πηλίκο της διαίρεσης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Κεφάλαιο 21 Ισοδύναμα κλάσματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117Κεφάλαιο 22 Σύγκριση – Διάταξη κλασμάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122Κεφάλαιο 23 Προβλήματα με πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Κεφάλαιο 24 Προβλήματα με πολλαπλασιασμό και διαίρεση κλασμάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Ανακεφαλαίωση. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1451ο Κριτήριο αξιολόγησης. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

2Ë £ÂÌ·ÙÈÎ‹ ∂ÓfiÙËÙ·: Εξισώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Κεφάλαιο 25 Η έννοια της μεταβλητής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153Κεφάλαιο 26 Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι προσθετέος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158Κεφάλαιο 27 Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι μειωτέος ή αφαιρετέος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164Κεφάλαιο 28 Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι παράγοντας γινομένου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170Κεφάλαιο 29 Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι διαιρετέος ή διαιρέτης. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176Ανακεφαλαίωση. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1822ο Κριτήριο αξιολόγησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

3Ë £ÂÌ·ÙÈÎ‹ ∂ÓfiÙËÙ·: Λόγοι – Αναλογίες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187Κεφάλαιο 30 Λόγος δύο μεγεθών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189Κεφάλαιο 31 Από τους λόγους στις αναλογίες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194Κεφάλαιο 32 Αναλογίες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199Κεφάλαιο 33 Σταθερά και μεταβλητά ποσά . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204Κεφάλαιο 34 Ανάλογα ποσά . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207Κεφάλαιο 35 Λύνω προβλήματα με ανάλογα ποσά . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212Κεφάλαιο 36 Αντιστρόφως ανάλογα ή αντίστροφα ποσά . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217Κεφάλαιο 37 Λύνω προβλήματα με αντιστρόφως ανάλογα ποσά. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222Κεφάλαιο 38 Η απλή μέθοδος των τριών στα ανάλογα ποσά . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

3

1-6_Layout 1 29/08/2014 1:28 μ.μ.

Κεφάλαιο 39 Η απλή μέθοδος των τριών στα αντίστροφα ποσά. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232Κεφάλαιο 40 Εκτιμώ το ποσοστό . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236Κεφάλαιο 41 Παίζοντας με τα ποσοστά . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246Κεφάλαιο 42 Λύνω προβλήματα με ποσοστά: Βρίσκω την τελική τιμή. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250Κεφάλαιο 43 Λύνω προβλήματα με ποσοστά: Βρίσκω την αρχική τιμή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257Κεφάλαιο 44 Λύνω προβλήματα με ποσοστά: Βρίσκω το ποσοστό στα εκατό. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262Ανακεφαλαίωση. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2673ο Κριτήριο αξιολόγησης. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

4Ë £ÂÌ·ÙÈÎ‹ ∂ÓfiÙËÙ·: Συλλογή και επεξεργασία δεδομένων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271Κεφάλαιο 45 Απεικονίζω δεδομένα με ραβδογράμματα και εικονογράμματα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273Κεφάλαιο 46 Ταξινομώ δεδομένα – Εξάγω συμπεράσματα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 Κεφάλαιο 47 Άλλοι τύποι γραφημάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Κεφάλαιο 48 Βρίσκω τον μέσο όρο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291Ανακεφαλαίωση. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2964ο Κριτήριο αξιολόγησης. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

5Ë £ÂÌ·ÙÈÎ‹ ∂ÓfiÙËÙ·: Μετρήσεις – Μοτίβα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301Κεφάλαιο 49 Μετρώ το μήκος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303Κεφάλαιο 50 Μετρώ το βάρος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308Κεφάλαιο 51 Μετρώ τον χρόνο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313Κεφάλαιο 52 Μετρώ την αξία με χρήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318Κεφάλαιο 53 Γεωμετρικά μοτίβα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323Κεφάλαιο 54 Αριθμητικά μοτίβα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327Κεφάλαιο 55 Σύνθετα μοτίβα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332Ανακεφαλαίωση. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3375ο Κριτήριο αξιολόγησης. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

6Ë £ÂÌ·ÙÈÎ‹ ∂ÓfiÙËÙ·: Γεωμετρία. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341Κεφάλαιο 56 Γεωμετρικά σχήματα – Πολύγωνα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343Κεφάλαιο 57 Γωνίες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349Κεφάλαιο 58 Σχεδιάζω γωνίες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354Κεφάλαιο 59 Μεγεθύνω – Μικραίνω σχήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359Κεφάλαιο 60 Αξονική συμμετρία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363Κεφάλαιο 61 Μετρώ επιφάνειες. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367Κεφάλαιο 62 Βρίσκω το εμβαδόν παραλληλογράμμου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372Κεφάλαιο 63 Βρίσκω το εμβαδόν τριγώνου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 Κεφάλαιο 64 Βρίσκω το εμβαδόν τραπεζίου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383Κεφάλαιο 65 Βρίσκω το εμβαδόν κυκλικού δίσκου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 Κεφάλαιο 66 Κύβος και ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο: Έδρες και αναπτύγματα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393Κεφάλαιο 67 Κύβος και ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο: Ακμές και κορυφές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398Κεφάλαιο 68 Κύλινδρος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403Κεφάλαιο 69 Όγκος – Χωρητικότητα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407Κεφάλαιο 70 Όγκος κύβου και ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412Κεφάλαιο 71 Όγκος κυλίνδρου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417Ανακεφαλαίωση. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4236ο Κριτήριο αξιολόγησης. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424

Δημιουργικά μαθηματικά . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427Λύσεις των ασκήσεων των κεφαλαίων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447Λύσεις των ασκήσεων στα δημιουργικά μαθηματικά . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502

4

Περιεχόμενα

1-6_Layout 1 29/08/2014 1:28 μ.μ.

Σημείωμα για εκπαιδευτικούς και γονείς

Το βιβλίο αυτό στηρίζεται στα σύγχρονα επιστημονικά δεδομένα της διδακτικής των μαθηματικών και είναι προϊόντης πολυετούς εμπειρίας των συγγραφέων στη διδασκαλία των μαθηματικών σε δημόσια και ιδιωτικά δημοτικάσχολεία. Είναι δομημένο σύμφωνα με την ύλη των σχολικών βιβλίων (βιβλίο μαθητή – τετράδια εργασιών) της ΣΤ’Δημοτικού και απευθύνεται σε μαθητές, στους γονείς τους και σε δασκάλους. Εκκινώντας από μια εποικοδομιστικήθεώρηση της μαθησιακής διαδικασίας έχει στόχο να βοηθήσει τους μαθητές να νοηματοδοτήσουν τις μαθηματικέςέννοιες, να συμβάλει στην ανάπτυξη μαθηματικών δεξιοτήτων και να καλλιεργήσει τη δημιουργική και κριτική σκέψη.

Ειδικότερα: Η θεωρία παρουσιάζεται απλά, κατανοητά και παραστατικά. Έχει εμπλουτιστεί με πλήθος παραδειγμάτων, λυμένες

ασκήσεις και προβλήματα, ενώ συνοδεύεται από την αντίστοιχη μεθοδολογία για την πρακτική εφαρμογή της. Έχει δοθεί έμφαση στη χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων (π.χ. εικόνες, πλαίσια, σχήματα, σύμβολα) με στόχο

όχι τόσο την απλή εικονογράφηση του βιβλίου, αλλά κυρίως την οργάνωση της πληροφορίας, την κατανόησηαφηρημένων μαθηματικών εννοιών, την καλλιέργεια της οπτικής αντίληψης και την ανάπτυξη του οπτικού συλλο-γισμού.

Οι ασκήσεις και τα προβλήματα για εξάσκηση καλύπτουν τις ποικίλες περιπτώσεις που σχετίζονται με τη θεωρίακαι είναι διαβαθμισμένης δυσκολίας.

Στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχει ειδική κατηγορία ασκήσεων-προβλημάτων που απευθύνονται σε «δυνατούςλύτες».

Υπάρχουν ανακεφαλαιώσεις και κριτήρια αξιολόγησης ανά θεματική ενότητα του σχολικού βιβλίου με σκοπότην επανάληψη και τον έλεγχο του βαθμού κατανόησης της αντίστοιχης ύλης.

Μετά την ολοκλήρωση των ενοτήτων του σχολικού βιβλίου, υπάρχει το ειδικό ένθετο Δημιουργικά Μαθηματικά,το οποίο καλύπτει περιπτώσεις προβλημάτων που απαιτούν ιδιαίτερα ευέλικτη και δημιουργική λογικομαθηματικήσκέψη για την επίλυσή τους. Στην ενότητα αυτή έχουν ενταχθεί και προβλήματα μαθηματικών διαγωνισμών ή πα-ρόμοια που (σε συνδυασμό με την ειδική κατηγορία ασκήσεων-προβλημάτων που απευθύνονται σε «δυνατούςλύτες») βοηθούν ιδιαίτερα τους μαθητές να προετοιμαστούν για τη συμμετοχή τους σε τέτοιου είδους διαγωνι-σμούς, καθώς και για τη συμμετοχή τους στις εξετάσεις εισαγωγής στα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια.

Στο τέλος του βιβλίου υπάρχουν οι λύσεις των ασκήσεων του βοηθήματος και σε ειδικό αποσπώμενο ένθετο οιαναλυτικές λύσεις των ασκήσεων του σχολικού βιβλίου του μαθητή και των τετραδίων εργασιών.

Η «κατάκτηση της κορυφής» είναι για κάθε μαθητή η κατάληξη μιας μαθησιακής διαδρομής. Σημασία έχει να θέτεισε κάθε σημείο της σχολικής του πορείας τους στόχους του, ως μικρές κορυφές, και να προσπαθεί, με βάση τηναφετηρία του, να καλύψει την απόσταση που τον χωρίζει από αυτούς. Στο ελκυστικό αυτό ταξίδι της γνώσης η γοητείακρύβεται στη διαδρομή. Καλό ταξίδι στον συναρπαστικό κόσμο των μαθηματικών!

Οι συγγραφείς του σχολικού βοηθήματος

5

1-6_Layout 1 29/08/2014 1:28 μ.μ.

1 ENOTHTA_7-150_Layout 1 29/08/2014 1:29 μ.μ. Page 7

Παραδείγματα

Οι φυσικοί αριθμοί

ποιοι είναι Οι αριθμοί 0, 1, 2, 3, …, 100, …, 1.000, … που χρησιμοποιούνται

καθημερινά λέγονται φυσικοί αριθμοί.

τι εκφράζουν Οι φυσικοί αριθμοί εκφράζουν πλήθος, σειρά, τιμή μεγέθους, κώ-

δικα επικοινωνίας κτλ.

πώς γράφονται Για τη γραφή τους χρησιμοποιούνται τα ψηφία: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

πώς σχηματίζονται Κάθε φυσικός αριθμός, εκτός από το 0, σχηματίζεται από τον προ-

ηγούμενό του με την πρόσθεση του αριθμού 1. Οι αριθμοί που δια-φέρουν κατά μία μονάδα από τον γειτονικό τους ονομάζονταιδιαδοχικοί. π.χ. 7 + 1 = 8, 49 + 1 = 50

Οι φυσικοί αριθμοί είναι άπειροι (δεν τελειώνουν).

πλήθος ψηφίων Ανάλογα με το πλήθος των ψηφίων τους, οι φυσικοί αριθμοί διακρί-

νονται σε μονοψήφιους (0 – 9), διψήφιους (10 – 99), τριψήφιους(100 – 999), τετραψήφιους (1.000 – 9.999) κ.ο.κ.

αξία ψηφίων Κάθε ψηφίο, ανάλογα με τη θέση που βρίσκεται στον αριθμό, έχει

διαφορετική αξία. Η αξία του είναι 10 φορές μεγαλύτερη από τηναξία του αμέσως επόμενου ψηφίου προς τα δεξιά.π.χ. 1ΜΧ = 10Ε, 1Ε = 10Δ, 1Δ = 10Μ, 5.555 = 5.000 + 500 + 50 + 5

9

Φυσικοί αριθμοί 1Κεφάλαιο

Βρίσκω τι εκφράζει το κυκλω-μένο ψηφίο και υπολογίζωτην αξία του:23. 4 67 ➟ Ε

(4 � 100 = 400)

4 7 6.128 ➟ ΔΧ

(7 � 10.000 = 70.000)

2 9.458.129 ➟ ΜΕ

(9 � 1.000.000 = 9.000.000)

Βρίσκω τι εκφράζουν τα ψη-φία του αριθμού:346.348 ➟ 3ΕΧ + 4ΔΧ + 6ΜΧ

+ 3Ε + 4Δ + 8Μ

Φυσικοί αριθμοί 1Κεφάλαιο

Η αξία της θέσης των ψηφίων

Εκατομμύρια Χιλιάδες Μονάδες

Ε Δ Μ Ε Δ Μ Ε Δ Μ100.000.000 10.000.000 1.000.000 100.000 10.000 1.000 100 10 1

4 5 2. 7 3 5. 2 4 9

ΕΕ ΔΕ ΜΕ ΕΧ ΔΧ ΜΧ Ε Δ Μ

Εκατ

οντά

δες

εκατ

ομμυ

ρίω

νΔ

εκάδ

εςεκ

ατομ

μυρί

ων

Μον

άδες

εκ

ατομ

μυρί

ων

Εκατ

οντά

δες

χιλι

άδω

νΔ

εκάδ

ες

χιλι

άδω

ν

Μον

άδες

χι

λιάδ

ων

Εκ

ατον

τάδε

ς

Δεκ

άδες

Μον

άδες

Όταν οι φυσικοίαριθμοί έχουν

περισσότερα από3 ψηφία, τους

χωρίζω από ταδεξιά προς τα αριστερά με

τελείες σε τριψήφιατμήματα.

452.735.249

Με τους φυσικούς αριθμούςεκφράζεται:το πλήθος: 3 μήλα

η σειρά: 2ος

η τιμή μεγέθους: 1 μ.

ο κώδικας επικοινωνίας: 112

Άρτιοι ή ζυγοί είναι οιαριθμοί που τελειώνουν

σε 0,2,4,6,8, και περιττοίή μονοί σε 1,3,5,7,9.


Ονομασία φυσικών αριθμώνΟι φυσικοί αριθμοί διαβάζονται από αριστερά προς τα δεξιά προφέροντας και το όνομα του τριψήφιου τμή-ματος που εκφράζουν. Στην εκφώνησή τους παραλείπω τη λέξη «μονάδες», καθώς και το τριψήφιο τμήμαπου όλα τα ψηφία του είναι μηδενικά.

1.1 Τοποθετώ στον πίνακα τους αριθμούς που υπάρχουν στο κείμενο:

1.2 Χωρίζω τα τμήματα των αριθμών με τελείες. Στη συνέχεια γράφω τι εκφράζει το ψηφίο που είναι μεκόκκινο χρώμα και υπολογίζω την αξία του:

10

1Κεφάλα

ιο Φυσικοί αριθμοί

Η Φινλανδία έχει έκταση 338.145 τ.χμ.και πληθυσμό 5.325.115 κατοίκους. Τοψηλότερο όρος της χώρας είναι το Χαλ-τιατουντούρι με ύψος 1.324 μ. Η παλαι-ότερη πόλη της Φινλανδίας και πρω-τεύουσά της έως τις αρχές του 19ου αι.είναι η Όουλου. Στη Φινλανδία υπάρ-χουν 187.888 λίμνες και από αυτές οι60.000 είναι μεγάλες.

Εκατομμύρια Χιλιάδες ΜονάδεςΕ Δ Μ Ε Δ Μ Ε Δ Μ

Αριθμός Εκφράζει Αξία ψηφίου

1.367 Εκατοντάδες (Ε) 3 � 100 = 300

78569

78468

2254763

2254763

Ασκήσεις εξάσκησης

Αριθμοί με ψηφία Αριθμοί με λέξεις12.367 Δώδεκα χιλιάδες τριακόσια εξήντα επτά

45.286.027 Σαράντα πέντε εκατομμύρια διακόσιες ογδόντα έξι χιλιάδες είκοσι επτά3.000.417 Τρία εκατομμύρια τετρακόσια δέκα επτά


1.3 Συμπληρώνω τον πίνακα:

1.4 Βρίσκω τους δύο μεγαλύτερους και τους δύο μικρότερους φυσικούς αριθμούς που μπορούν να σχη-ματιστούν χρησιμοποιώντας για τον καθένα μία φορά το κάθε ψηφίο:

1.5 Βρίσκω τον προηγούμενο και τον επόμενο φυσικό αριθμό (διαδοχικοί αριθμοί):

α. ➟ ➟ β. ➟ ➟

γ. ➟ ➟ δ. ➟ ➟

1.6 Βρίσκω σε ποιον από τους παρακάτω αριθμούς το ψηφίο 3 έχει τη μεγαλύτερη αξία:

423 1.235 3.678 55.739 863.691 64.952.367 1.396.001

999800

99.9991.000.000

11

1ΚεφάλαιοΦυσικοί αριθμοί

Αριθμοί με ψηφία Αριθμοί με λέξεις

57.195

Εβδομήντα δύο χιλιάδες τριακόσια έξι

698.004

Πενήντα έξι εκατομμύρια εννέα χιλιάδες διακόσια τρία

567.000.241

Τρία εκατομμύρια τετρακόσια δέκα επτά

Ψηφία Μεγαλύτεροι Μικρότεροι

4, 9, 2

6, 3, 0, 4

6, 8, 4, 5

5, 8, 1, 2, 9

6, 0, 5, 7, 1, 4, 9

Το ψηφίο 0μπορεί να χρη-

σιμοποιηθείστην αρχή του

αριθμού μόνο όταναυτός εκφράζει κώδικα

επικοινωνίας.


1.7 Βρίσκω τους αριθμούς που έχουν:

1.8 Τοποθετώ τα γράμματα που αντιστοιχούν στις χρονολογίες στη γραμμή:

Α: Το έτος της γέννησής μου.Β: Το έτος που είχαμε 17 χρόνια πριν τη γέννησή μου.Γ: Το έτος που έκανα τα πέμπτα γενέθλιά μου.Δ: Το έτος που είμαστε σήμερα.Ε: Το έτος που θα έχουμε σε 12 χρόνια.

1.9 Βρίσκω αν οι προτάσεις είναι σωστές ή λάθος (Σ ή Λ):

α. Οι φυσικοί αριθμοί είναι άπειροι.

β. Στον αριθμό 2.632.589 το ψηφίο 3 φανερώνει δεκάδες.

γ. Κάθε τάξη ψηφίων είναι 100 φορές μεγαλύτερη από την τάξη που βρίσκεται δύο θέσεις πιο δεξιά.

δ. Το ψηφίο 3 εμφανίζεται 10 φορές στους αριθμούς που υπάρχουν ανάμεσα στο 29 και το 40.

ε. Η αξία του ψηφίου 8 στον αριθμό 2.895 είναι μεγαλύτερη 710 μονάδες από την αξία του ψηφίου 9.

στ. Ο μεγαλύτερος εξαψήφιος αριθμός είναι το 999.000.

ζ. Οι μονοψήφιοι αριθμοί είναι 9.

η. Όλοι οι φυσικοί αριθμοί έχουν έναν προηγούμενο φυσικό αριθμό εκτός από το μηδέν.

12

1Κεφάλα


5 μονάδες χιλιάδων7 εκατοντάδες4 δεκάδες 9 μονάδες

……………………………… ……………………………… ……………………………… ………………………………

4 εκατοντάδες6 δεκάδες χιλιάδων7 μονάδες2 δεκάδες

2 δεκάδες εκατομμυρίων

3 μονάδες χιλιάδων6 δεκάδες

3 εκατοντάδες25 δεκάδες 16 μονάδες

Όπου δεναναφέρεται η τάξη

των ψηφίων βάζω 0.

π.χ. 3ΜΧ 6Δ ➟ 3.060

Κάθε τάξη ψηφίων μπορεί να φτάσει ως το 9. Όταν μουδίνεται μεγαλύτερος αριθμός, τότε μεταφέρω το ψηφίοπου εκφράζει μεγαλύτερη τάξη στη θέση του.

π.χ. 4Ε 7Δ 25Μ ➟ 4Ε 9Δ 5Μ ➟ 495, 5ΜΧ 34Δ 53Μ ➟ 5ΜΧ 39Δ 3Μ ➟ 8ΜΧ 9Δ 3Μ ➟ 893

1980 1990 2000 2010 2020 2030 2040


1.10 Αναλύω τον αριθμό με βάση την αξία των ψηφίων του:

35.643.176 ➟ 3ΔΕ + 5ΜΕ + 6ΕΧ + 4ΔΧ + 3ΜΧ + 1Ε + 7Δ + 6Μ =3 �10.000.000 + 5 �1.000.000 + 6 �100.000 + 4 �10.000 + 3 �1.000 + 1 �100 + 7 �10 + 6 = 30.000.000 + 5.000.000 + 600.000 + 40.000 + 3.000 + 100 + 70 + 6

4.709.403 ➟ …………………………………………………………………………………………………………………………

➟ …………………………………………………………………………………………………………………………

➟ …………………………………………………………………………………………………………………………


1.12 Κάνω τις μετατροπές που μου ζητούνται στον αριθμό 5.769.364:

Τον αυξάνω κατά 5 εκατοντάδες ➟ ………………………………..

Τον ελαττώνω κατά 10 μονάδες χιλιάδων ➟ ………………………………..

Τον αυξάνω κατά 7 εκατοντάδες ➟ ………………………………..

Τον ελαττώνω κατά 18 δεκάδες χιλιάδων ➟ ………………………………..

1.13 Βρίσκω τον πενταψήφιο αριθμό που θα προκύψει, αν από τον μεγαλύτερο τετραψήφιο αριθμό αφαι-ρέσω τον μικρότερο τριψήφιο και στη συνέχεια τον πολλαπλασιάσω με τον μεγαλύτερο μονοψήφιοαριθμό:

13

1ΚεφάλαιοΦυσικοί αριθμοί

18 μονάδες5 εκατοντάδες2 δεκάδες χιλιάδων

……………………………… ……………………………… ……………………………… ………………………………

23 δεκάδες 45 εκατοντάδες7 δεκάδες χιλιάδων

17 μονάδες9 δεκάδες29 εκατοντάδες

345 μονάδες χιλιάδων7 εκατοντάδες

Για δυνατούς λύτες


1.14 Βρίσκω τον πενταψήφιο αριθμό που:

Το ψηφίο των δεκάδων χιλιάδων είναι ο μεγαλύτερος μονοψήφιος ζυγός αριθμός και είναι διπλάσιο απότο ψηφίο των δεκάδων.

Το ψηφίο των εκατοντάδων είναι 6. Το ψηφίο των μονάδων είναι μεγαλύτερο από το ψηφίο των μονάδων χιλιάδων. Ένα από τα ψηφία του είναι το 0. Τα ψηφία του έχουν άθροισμα 20.

1.15 Βρίσκω τον πενταψήφιο κωδικό ενός χρηματοκιβωτίου ο οποίος:

Είναι ζυγός αριθμός. Το πρώτο ψηφίο του είναι τετραπλάσιο του τελευταίου. Ένα από τα ψηφία του είναι το 5. Το ψηφίο των μονάδων χιλιάδων είναι τριπλάσιο από το ψηφίο των δεκάδων. Τα ψηφία του έχουν άθροισμα 27.

1.16 Βρίσκω το δισέλιδο του βιβλίου μου που οι αριθμοί των σελίδων του έχουν άθροισμα 151:

………………………………………

1.17 Βρίσκω τρεις διαδοχικούς αριθμούς που έχουν άθροισμα 150:

………………………………………

1.18 Τοποθετώ στον πίνακα τους αριθμούς 0, 3, 9, έτσι ώστε, αν προστεθούν, οι τριψήφιοι αριθμοί ορι-ζόντια και κάθετα να σχηματίζουν τα μεγαλύτερα αθροίσματα:

1.19 Τοποθετώ στον πίνακα τους αριθμούς 10, 20, 40, 50, 60, 70, 80, 90, έτσι ώστε οριζόντια και κάθετανα σχηματίζονται ίσα αθροίσματα: (Μπορώ να χρησιμοποιήσω κάθε αριθμό από μία φορά.)

14

1Κεφάλα


5 7

4 2

6 1


15

Δεκαδικοί αριθμοί 2Κεφάλαιο

Παραδείγματα

Βρίσκω τι εκφράζει το κυκλω-μένο ψηφίο:

5, 4 67 ➟ δέκατα

4,0 7 ➟ εκατοστά

453,67 9 ➟ χιλιοστά Διαγράφω όπου μπορώ μη-

δενικά χωρίς να αλλάξει ηαξία του δεκαδικού αριθμού(μόνο στο τέλος):

0,6 0,60 3,05 0,400 Βάζω την υποδιαστολή στην

κατάλληλη θέση ώστε το 4 ναδηλώνει δέκατα:

34 1345 140 4 ➟ 3,4 13,45 1,40 0,4

2,5 μήλα

Άλμα εις ύψος: 1,79 μ.

Οι δεκαδικοί αριθμοί χρησιμοποιούνται για να εκφραστούν με ακρίβεια μετρήσεις μεγεθών που

περιλαμβάνουν μέρος τηςακέραιης μονάδας.

1 1,1 1,2 1,3 1,4

1,35Οι δεκαδικοί αριθμοί

ποιοι είναι Οι αριθμοί που αποτελούνται από ακέραιο και δεκαδικό μέρος ονο-

μάζονται δεκαδικοί αριθμοί.π.χ. 0,7 3,2 4,25 6,789Τα δύο μέρη χωρίζονται μεταξύ τους με την υποδιαστολή (,).

πώς γράφονται Γράφω πρώτα το ακέραιο μέρος του αριθμού, βάζω υποδιαστολή και

στη συνέχεια γράφω τα δεκαδικά ψηφία του με τη σειρά: δέκατα,εκατοστά, χιλιοστά.

αξία ψηφίων Όπως και στους φυσικούς αριθμούς, η αξία κάθε δεκαδικού ψηφίου

είναι 10 φορές μεγαλύτερη από την αξία του αμέσως επόμενου ψη-φίου προς τα δεξιά.

1 μονάδα = 10 δέκατα = 100 εκατοστά = 1.000 χιλιοστά1 δέκατο = 10 εκατοστά = 100 χιλιοστά

1 εκατοστό = 10 χιλιοστά

ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΕΡΟΣ ΔΕΚΑΔΙΚΟ ΜΕΡΟΣ

ακέραιομέρος

δεκαδικόμέρος

6 5 6 2,

χιλιοστά

εκατοστά

δέκατα

μονάδες

Ακέραιομέρος

Υποδια-στολή

Δεκαδικόμέρος

Ε Δ Μ,

δεκ. εκ. χιλ.4 7 3 6 2 9

Όταν το δεκαδικό μέρος ενόςαριθμού δεν έχει δέκατα ή εκατο-στά ή χιλιοστά, η τάξη του καθενόςσυμπληρώνεται με το ψηφίο μηδέν.π.χ. 0,4 3,04 5,072

1 0,1 0,01 0,001ακέραιη μονάδα δέκατο εκατοστό χιλιοστό

δεκαδικές μονάδες

υποδιαστολή


Ονομασία δεκαδικών αριθμών

Διαβάζω πρώτα το ακέραιο μέρος του δεκαδικού αριθμού.Προσθέτω τη λέξη «και» (ή «κόμμα») για την υποδιαστολή.Διαβάζω το δεκαδικό μέρος αναφέροντας και την αξία του τελευταίου ψηφίου του.

2.1 Τοποθετώ στον πίνακα τους αριθμούς που υπάρχουν στις προτάσεις:

2.2 Τοποθετώ στην αριθμογραμμή τους αριθμούς που δείχνουν τα αποτελέσματα στον τελικό του μήκους ανδρών:

Ευρωπαϊκό Πρωτάθλημα Κλειστού Στίβου στο Γκέτεμποργκ, 2013 1. Αλεξάντρ Μενκόφ (Ρωσία): 8,31 μ.2. Μίκελ Τορνέους (Σουηδία): 8,29 μ.3. Κρίστιαν Ρέιφ (Γερμανία): 8,07 μ.4. Έρο Χαάπαλα (Φινλανδία): 8,05 μ.5. Λούης Τσάτουμας (Ελλάδα): 8 μ.6. Τόμι Εβίλα (Φινλανδία): 7,96 μ.

16

2Κεφάλα

ιο Δεκαδικοί αριθμοί

Ο ψηλότερος άνθρωπος στον κόσμο είναι 2,47 μ. Το μήκος των γηπέδων μπάσκετ του NBA είναι 28,64 μ. Το πλάτος μιας σελίδας Α4 είναι 0,297 μ. Το βάρος ενός μικρού αυτοκινήτου είναι 1,488 τόνοι. Οι λίμνες Χιούρον και Μίτσιγκαν έχουν συνολικό μήκος

117,702 χμ. Το μισό κιλό ψωμί κοστίζει 0,90 €.

Αριθμοί με ψηφία Αριθμοί με λέξεις2,3 Δύο και τρία δέκατα

14,57 Δεκατέσσερα και πενήντα επτά εκατοστά5,236 Πέντε και διακόσια τριάντα έξι χιλιοστά0,34 Τριάντα τέσσερα εκατοστά

671,008 Εξακόσιες εβδομήντα μία χιλιάδες και οκτώ χιλιοστά

Ασκήσεις εξάσκησης

7,90 8 8,10 8,20 8,30 8,40

Ακέραιο μέρος Δεκαδικό μέροςΕ Δ Μ δεκ. εκ. χιλ.

,

,

,

,

,

,


17

2ΚεφάλαιοΔεκαδικοί αριθμοί

2.3 Γράφω τι εκφράζει το ψηφίο 2.4 Συμπληρώνω τον πίνακα:που είναι με κόκκινο χρώμα:

2.5 Τοποθετώ την υποδιαστολή στην κατάλληλη θέση, ώστε το ψηφίο 7 να εκφράζει:

α. δέκατα 3475 455678 47 5697 75 7

β. εκατοστά3475 455678 47 5697 75 7

2.6 Σβήνω τα μηδενικά όπου δε χρειάζονται:

5,60 32,001 6,900 0,02 3,010 6,0

2.7 Βρίσκω στην αριθμογραμμή τους αριθμούς που αντιστοιχούν στα γράμματα:

Α = ……….. Β = ………..

Γ = ……….. Δ = ………..


Αριθμός Εκφράζει

2,36

0,079

267,9

83,005

123,458

Αριθμοί με ψηφία Αριθμοί με λέξεις

87,63 Ογδόντα επτά και εξήντα τρία εκατοστά

6,9

Εκατό και πέντε εκατοστά

0,59

Εννέα και εξακόσια τρία χιλιοστά

702,004

Η αξία ενός δεκαδικούαριθμού δεν αλλάζει ανπροσθέσω ή διαγράψω

μηδενικά στο τέλος του. π.χ. 0,400 = 0,4 3,4 = 3,40 = 3,400

0 1 2 3 4 5Α B Γ Δ

2 δέκατα

4 εκατοστά

……………………………… ……………………………… ……………………………… ………………………………

ακέραιο μέρος 25

1 δέκατο

1 χιλιοστό

9 εκατοντάδες

6 μονάδες

4 δέκατα

2 χιλιοστά

2 μονάδες χιλιάδων

6 εκατοντάδες

8 δεκάδες

3 χιλιοστά


2.9 Ελαττώνω και αυξάνω τους αριθμούς κατά:

α. 1 δέκατο β. 1 εκατοστό γ. 1 χιλιοστό

➟ ➟ ➟ ➟ ➟ ➟

➟ ➟ ➟ ➟ ➟ ➟

2.10 Βρίσκω αν οι προτάσεις είναι σωστές ή λάθος (Σ ή Λ):

α. Τα εκατοστά έχουν μεγαλύτερη αξία από τα δέκατα στους δεκαδικούς αριθμούς.

β. Ο αριθμός 3,7 είναι μικρότερος από τον αριθμό 3,700.

γ. Τα 3,40 € είναι ίσα με 34 λεπτά του ευρώ.

δ. Μεταξύ των αριθμών 6 και 7 υπάρχουν 9 δεκαδικοί αριθμοί.

ε. Στον αριθμό 8,759, αν αλλάξουν θέση μεταξύ τους τα ψηφία 7 και 9, ο αριθμός θα μικρύνει.

στ. Τα 6 δέκατα είναι ίσα με 600 χιλιοστά.

ζ. Η αξία του ψηφίου 6 στο ακέραιο μέρος του αριθμού 6,506 είναι 1.000 φορές μεγαλύτερη από την αξία του ψηφίου 6 στο δεκαδικό μέρος του.

η. Αν στον αριθμό 2.376,4 μετακινηθεί η υποδιαστολή δύο θέσεις αριστερά, ο αριθμός θα μικρύνει100 φορές.

2.11 Πόσα χρήματα κοστίζει το βιβλίο, αν ο Βασίλης χρησιμοποίησε 7 φορές το καθένα από τα πα-ρακάτω νομίσματα για να το αγοράσει;

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

7,968

17,56 17,56 17,56

7,968 7,968

18

2Κεφάλα

ιο Δεκαδικοί αριθμοί

…………. €


2.12 Κάνω τις μετατροπές που μου ζητούνται στον αριθμό 19,457:

Τον αυξάνω κατά 5 εκατοστά ➟ ………………………………..

Τον ελαττώνω κατά 17 χιλιοστά ➟ ………………………………..

Τον αυξάνω κατά 8 δέκατα ➟ ………………………………..

Τον ελαττώνω κατά 20 δέκατα και κατά 6 εκατοστά ➟ ………………………………..

2.13 Βρίσκω τον τριψήφιο ακέραιο και με τριψήφιο δεκαδικό μέρος που:

Το ψηφίο των εκατοντάδων είναι ζυγός αριθμός και μαζί με το ψηφίο των χιλιοστών έχει άθροισμα 17.

Το ψηφίο των μονάδων είναι διπλάσιο από το ψηφίο των εκατοστών.

Ένα από τα ψηφία του είναι το 5.

Τα ψηφία του έχουν άθροισμα 40.

2.14 Γράφω δύο αριθμούς που βρίσκονται ανάμεσα στο 3,1 και στο 3,2:

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.15 Τοποθετώ κάθε φορά κατάλληλα τις χάντρες που χρειάζονται στις στήλες του άβακα, έτσι ώστενα δημιουργήσω τον δεκαδικό αριθμό:

α. Με το μεγαλύτερο διψήφιο ακέραιο μέρος και το μικρότερο τριψήφιο δεκαδικό μέρος.

➟ ……………………

β. Με το μικρότερο τριψήφιο ακέραιο μέρος και το μεγαλύτερο διψήφιο δεκαδικό μέρος.

➟ ……………………

α. β.

6 ,

19

2ΚεφάλαιοΔεκαδικοί αριθμοί


Δ Μ δεκ. εκ. χιλ., ΔΕ Μ δεκ. εκ.,


57

Λύνω σύνθετα προβλήματα των 4 πράξεων 9Κεφάλαιο

Για την κατανόηση τουπροβλήματος μπορώ νααπεικονίσω τα δεδομένα

του με: πίνακες – λίστες σκίτσα – σχήματα γραφήματα αντικείμενα

Λέω το πρόβλημα με δικά μου λόγια και προσπαθώ να καταλάβω τιακριβώς ζητάει.

Αναζητώ και υπογραμμίζω τις λέξεις-κλειδιά που θα με βοηθήσουνστη λύση του.

Εντοπίζω τυχόν αριθμητικά δεδομένα που δεν είναι απαραίτητα γιατη λύση του, π.χ. μια χρονολογία που δε σχετίζεται με τα ζητούμενατου προβλήματος. Επίσης, αναζητώ λέξεις που κρύβουν αριθμούς,π.χ. «διπλασιάστηκαν».

Βρίσκω τα δεδομένα που μπορούν να συσχετιστούν και τα ομαδο-ποιώ (π.χ. ένα είδος με την αντίστοιχη τιμή του).

Βήμα 1: Μελέτη – Κατανόηση του προβλήματος

Διαβάζω όσες φορές είναι απαραίτητο το πρόβλημα (κείμενο, εικόνα,πίνακας, γράφημα) μέχρι να κατανοήσω: Τα γνωστά στοιχεία (δεδομένα) Τα άγνωστα στοιχεία (ζητούμενα)

Εξηγώ τον τρόπο σκέψης μου σχετικά με τις πράξεις που θα χρησιμοποιήσω, προκειμένου να απαντήσωμέσω υπολογισμών στα επιμέρους ερωτήματα και στο τελικό ερώτημα του προβλήματος.

Προσπαθώ να εντοπίσω την κατηγορία στην οποία ανήκει το πρόβλημα (π.χ. προβλήματα με επιπλέονποσότητες), ώστε να αξιοποιήσω την εμπειρία μου από τη λύση αντίστοιχων προβλημάτων.

Βήμα 2: Οργάνωση σχεδίου λύσης

Καταστρώνω ένα σχέδιο λύσης του προβλήματος και αποφασίζω ποιες πράξεις θα κάνω για να το λύσω.

Πριν την εκτέλεση των πράξεων, εκτιμώ το τελικό απο-τέλεσμα, ώστε να το έχω στον νου μου κατά την πορείατης λύσης.

Κάνω τις επαληθεύσεις των πράξεων (ένα λάθος σε επι-μέρους αποτέλεσμα θα επηρεάσει και τις υπόλοιπεςπράξεις).

Στο αποτέλεσμα κάθε πράξης γράφω ένα σύντομοσχόλιο, για να ξέρω στη συνέχεια τι φανερώνει και νατο εντοπίζω πιο γρήγορα.

Βήμα 3: Εκτέλεση πράξεων

Εφαρμόζω το σχέδιο λύσης του προβλήματος εκτελώ-ντας τις πράξεις προσεκτικά και με τη σειρά.

Συγκρίνω την αρχική μου εκτίμηση με τοαποτέλεσμα και ελέγχω την πορείαλύσης του προβλήματος και την ορθό-τητα των πράξεων.

Ελέγχω αν μπορώ να λύσω το πρόβλημακαι με άλλον τρόπο.

Βήμα 4: Απάντηση – Έλεγχος

Απαντώ στην ερώτηση του προβλήματοςκαι ελέγχω αν η απάντηση είναι λογική.


11.8 Στρογγυλοποιώ τον δεύτερο αριθμό στο ψηφίο της κατάλληλης τάξης, για να προκύψει το αποτέ-λεσμα:

α. 34,60 + 65,36 ➟ 100 β. 180 – 94,68 ➟ 85,3 γ. 20 � 22,175 ➟ 443,6

11.9 Ποιοι είναι οι διψήφιοι και ποιοι οι τριψήφιοι αριθμοί που, όταν στρογγυλοποιούνται στις δεκάδες,το αποτέλεσμα είναι 100;

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

11.10 Απόσπασμα από την κινηματογραφική ταινία «Της κακομοίρας» (1963):

ΚΥΡ ΠΑΝΤΕΛΗΣ: Έλα δω, ρε, να παραδώσεις. Λέγε, τι έπιασες σήμερα; ΖΗΚΟΣ: Έπιασα, τι έπιασα; Δεκάρες έπιασα. Βερεσετζήδες και όλοι οι σπαγγοραμένοι. Τι έπιασα; Ήρθε οστραβάραπας ο ντενεκετζής, με κείνον τον άλλον τον πουρτουφουλά, αυτός που είνι έτσι. Ήπιαν κάτι ούζα,τσ’ έδωσα κάτι αυγά, λίγο σαλαμάκι σάπιο εκεί, λίγο τυράκι, 9 και 80, πες 9. ΚΥΡ ΠΑΝΤΕΛΗΣ: Γιατί να πω 9; ΖΗΚΟΣ: Ήρθε μετά ο άλλος, εκείνος ο πορτοφολάς, που τον κυνηγά η αστυνομηνία όλο. Ξέρεις ποιος σελέω. Εκείνος που είναι έτσι, που φοράει την τραγιάσκα ανάποδα και σε κλέβει με το ένα μάτι. Ήρθε με μιαπαρέα, ήπιαν κάτι ούζα, 2 κατοστάρια, τσ’ έφτιαξα 2 αυγά, λίγο σαλαμάκι, 16 και 40, πες 15. ΚΥΡ ΠΑΝΤΕΛΗΣ: Γιατί 15, ρε; ΖΗΚΟΣ: Πες 15 για τη στρογγυλοποίηση, τι θα κάνουμε τώρα; Θα πάμε κόντρα τσι δεκαδικούς αριθμούςτώρα; Ήρθε κι ο άλλος, ξέρεις ποιον λέω ε; Εκείνος που σε μιλάει εσένα και κοιτάει στο Τόκιο. Έφερε μιαμεγάλη παρέα, τσ' έδωσα κάτι κονσέρβες σάπιες που είχαμε, λίγο τυρί, κάτι ψωμιά, κάτι αυτά... 43 και 20,πες 40.ΚΥΡ ΠΑΝΤΕΛΗΣ: Όχι, ρε, δε λέω 40 , γιατί, άμα πω 40, 40 θα είναι οι ώρες σου!

Στο απόσπασμα της ταινίας ο Ζήκος τρεις φορές επιχειρείνα κάνει στρογγυλοποίηση στις εισπράξεις. Βρίσκω τα λάθηπου έκανε και υποδεικνύω τον σωστό τρόπο. (Η στρογγυλο-ποίηση να γίνει στις μονάδες.)

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

72

11Κεφάλαιο Στρογγυλοποίηση φυσικών και δεκαδικών αριθμών

…………… …………… ……………


Αντίστροφοι αριθμοί Είναι οι αριθμοί που το γι-νόμενό τους είναι ίσο με 1. π.χ.

313

31

13

3 11 3

33

1⋅ = ⋅ = ⋅⋅

= =

45

54

4 55 4

2020

1⋅ = ⋅⋅

= =

0,5 25

1021

5 210 1

1010

1⋅ = ⋅ = ⋅⋅= =

Διαίρεση ακέραιου μεκλάσμα

Μετατρέπω τον ακέραιο σεκλάσμα και στη συνέχειακάνω τη διαίρεση των κλα-σμάτων.

π.χ.

4 :23

41

32

4 31 2

122

6= ⋅ = ⋅⋅

= =

137

24ΚεφάλαιοΠροβλήματα με πολλαπλασιασμό και διαίρεση κλασμάτων

«Η Λένα για να φτιάξει ένα μικρό

κέικ χρησιμοποιεί το ενός μπολ

με αλεύρι. Αν έχει στη διάθεσή της3 μπολ με αλεύρι, πόσα κέικ μπορείνα φτιάξει;»

Σχεδιάζω το κάθε μπολ με αλεύρι ως διάγραμμα χωρισμένο σε 4 ίσαμέρη:

Παρατηρώ πως σε κάθε διάγραμμα (μπολ) υπάρχει 4 φορές το

(η ποσότητα αλευριού που χρειάζεται για ένα κέικ), δηλαδή στα 3μπολ υπάρχει 4 � 3 = 12 φορές. Επομένως, θα φτιάξει 12 κέικ.

Μπορώ να υπολογίσω τα κέικ που θα φτιάξει με διαίρεση (μέτρησης):

12 κέικ.

(Διαιρετέος είναι η ποσότητα που θέλω να μοιράσω.)

14

14

3:14

31

41

3 41 1

121

12:1= ⋅ = ⋅⋅

= = =

Διαίρεση κλασμάτωνΑντιστρέφω τους όρους τουδιαιρέτη και αντί για διαίρε-ση κάνω πολλαπλασιασμό.π.χ.

Αν στη διαίρεση υπάρχεικαι μεικτός αριθμός, τονμετατρέπω σε κλάσμα. π.χ.

23

:54

23

45

2 43 5

815

= ⋅ = ⋅⋅

=

313

:53

103

:53

= =

103

35

3015

2⋅ = = Α. Προβλήματα πολλαπλασιασμού

Στα προβλήματα με κλάσματα κάνω πολλαπλασιασμό: Όταν γνωρίζω την τιμή της μιας ακέραιης μονάδας και ψά-

χνω την τιμή των πολλών ακέραιων μονάδων. Όταν γνωρίζω την τιμή της μιας ακέραιης μονάδας (του

όλου) και ψάχνω την τιμή ενός μέρους της (τμήματος).

Διαίρεση κλασμάτων


ii. Με ποια από τις παρακάτω ισότητεςμπορώ να υπολογίσω το εμβαδόν τουδιπλανού σχήματος;

α. Ε = (13 χμ. � 6 χμ.) + (11 χμ. � 18 χμ.)

β. Ε = (13 χμ. � 6 χμ.) + (24 χμ. � 11χμ.)

γ. Ε = (24 χμ. � 6 χμ) + (11 χμ. � 24 χμ.)

δ. Ε = (11 χμ. � 18 χμ.) + (13 χμ. � 24 χμ.)

iii. Ο ιδιοκτήτης ενός παιδότοπου αποφάσισε να επεκτείνει την έκταση που καταλαμβάνουν τα φουσκωτάπαιχνίδια κατά χ μέτρα, όπως φαίνεται στο σχεδιάγραμμα. Με ποια από τις παρακάτω εξισώσεις μπορώνα υπολογίσω το εμβαδόν της επιφάνειας που καταλαμβάνουν τα φουσκωτά παιχνίδια μετά την επέ-κταση;

α. Ε = (40 μ. � 17 μ.) + (χ � χ)

β. Ε = (40 μ. � 17 μ.) + (2 � χ)

γ. Ε = 40 μ. � 17 μ. � χ

δ. Ε = (40 μ. + χ) � (17 + χ)

iv. Ποιο είναι το εμβαδόν του Παρθενώνα;

α. Ε = 2.625 τ.μ.

β. Ε = 5.250 τ.μ.

γ. Ε = 1.250 τ.μ.

δ. Ε = 2.250 τ.μ.

v. Ένα ορθογώνιο και ένα τετράγωνο έχουν την ίδια περίμετρο. Το ορθογώνιο έχει πλάτος 20 μ. και μήκος1.000 εκ. Πόσο πιο μεγάλο είναι το εμβαδόν του τετραγώνου;α. 25 τ.μ. β. 50 τ.μ. γ. 10 τ.μ. δ. 15 τ.μ.

61.5 Το δωμάτιο του Δημήτρη έχει μήκος 4 μ. και πλάτος 300 εκ. Οι γονείς του αποφάσισαν να το στρώ-σουν με τετράγωνες πλάκες πλευράς 1 μ. Πόσες τέτοιες πλάκες θα χρειαστούν;

61.6 Ένα ορθογώνιο και ένα τετράγωνο έχουν την ίδια περίμετρο. Το ορθογώνιο έχει μήκος 15 μ. καιπλάτος 5 μ. μικρότερο από το μήκος του. Ποιο είναι το εμβαδόν του τετραγώνου;

370

61Κεφάλα

ιο Μετρώ επιφάνειες

24 χμ.

13 χμ.

18 χμ.

11 χμ.

6 χμ.

40 μ.1

7 μ

.x

x

Μπορώ να υπο-λογίσω το εμβα-δόν ενός σύνθε-

του σχήματος, αντο αναλύσω σε άλλα

απλούστερα γεωμετρικάσχήματα.

Εδώ μπορώ να χωρίσωτο σχήμα σε δύο

ορθογώνια.

Κάτοψη του Παρθενώνα του Ικτίνου, 448-437 π.Χ.

Κλίμακα 1 : 500

15 εκ.

7 ε

κ.


61.7 Το διπλανό σχήμα που αποτελείται από δύο ίσα τετράγωνα και το ορθογώνιοπαραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ έχει συνολικό εμβαδόν 212 τ.μ. Πόσα μέτρα είναιτο πλάτος του ορθογωνίου παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ;

61.8 Το διπλανό σχεδιάγραμμα δείχνει μια αυλή με διαστάσεις 4,5 μ. επί3,5 μ. Το σκιασμένο μέρος δείχνει τον χώρο που θα καλυφθεί με τε-τράγωνα πλακάκια πλευράς 50 εκ. Το κάθε πλακάκι κοστίζει 0,75 €.Βρίσκω πόσα χρήματα θα κοστίσουν τα πλακάκια που χρειάζονται.

61.9 Το παραλληλόγραμμο είναι χωρισμένο σε ίσα τετράγωνα.Το εμβαδόν της σκιασμένης επιφάνειας είναι 32 τ.μ. Βρίσκω:α. το εμβαδόν της συνολικής επιφάνειας του παραλληλο-γράμμου και β. την περίμετρο του σκιασμένου σχήματος.

61.10 Δύο χαρτιά Α4, αν ενωθούν, μου δίνουν ένα χαρτί Α3, δύο χαρτιά Α3μου δίνουν ένα χαρτί Α2, δύο χαρτιά Α2 μου δίνουν ένα χαρτί Α1 καιδύο χαρτιά Α1 μου δίνουν ένα χαρτί Α0. Ένα χαρτί Α0 έχει εμβαδόν 1τ.μ. α. Υπολογίζω το εμβαδόν της σκιασμένης επιφάνειας. β. Τι μέρος(κλάσμα) ενός χαρτιού Α0 είναι σκιασμένο;

61.11 Σε ένα τετράγωνο τραπέζι με πλευρά 1,5 μ. μπορούν να καθίσουν4 άτομα, ένα σε κάθε πλευρά. Αν ενώσω 6 τέτοια τραπέζια, ώστενα σχηματιστεί ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο τραπέζι, μπορώνα υπολογίσω: α. πόσα άτομα μπορούν να καθίσουν γύρω απότο ορθογώνιο τραπέζι, β. ποιο είναι το εμβαδόν και ποια η περί-μετρος του ορθογώνιου τραπεζιού που προέκυψε.

61.12 Έχω ένα σκοινί 40 μ. Ποια είναι η μεγαλύτερη επιφάνεια ορθογωνίουπαραλληλογράμμου που μπορώ να περιφράξω, αν το μήκος και τοπλάτος του παραλληλογράμμου είναι ακέραιοι αριθμοί και διαφορε-τικοί μεταξύ τους;

371

ΚεφάλαιοΜετρώ επιφάνειες

12 μ.

4 μ. 4 μ.

A Β

Δ Γ

2,5 μ.

2,5

μ.

3,5

μ.

4,5 μ.

A4

A3

A1

A2

A4

61



372

1. Βρίσκω το εμβαδόν των παρακάτω παραλληλογράμμων:

Ε(ΕΖΗΘ)

= βάση � ύψος = 6 εκ. � 3 εκ. = 18 τ.εκ.

Βάση(ΚΛΜΝ)

= 40 χιλ. = 4 εκ. Ε

(ΚΛΜΝ)= βάση � ύψος = 4 εκ. � 3 εκ. = 12 τ.εκ.

Βρίσκω το εμβαδόν παραλληλογράμμου62Κεφάλαιο

Βάση παραλληλογράμμουΕίναι οποιαδήποτε πλευρά τουπαραλληλογράμμου.

Ύψος παραλληλογράμμουΟνομάζεται κάθε ευθύγραμμοτμήμα που φέρνω κάθετα απόοποιοδήποτε σημείο της βά-σης προς την ευθεία της απέ-ναντι πλευράς.

Κάθε παραλληλόγραμμο έχει2 διαφορετικού μήκους ύψη(εκτός από τον ρόμβο, που όλατα ύψη του είναι ίσα).

Σχεδιάζω το ύψος παραλληλογράμμου

Τοποθετώ τον γνώμονα με τημία κάθετη πλευρά πάνω στηβάση του παραλληλογράμ-μου και σχεδιάζω την κάθετηπρος την απέναντι παράλλη-λη πλευρά.

Αν χρειαστεί, σέρνω τον γνώ-μονα κατά μήκος της ευθείαςτης βάσης (την οποία μπορώνα προκτείνω) μέχρι να συ-ναντήσω ένα σημείο της απέ-ναντι παράλληλης πλευράς.

Βάση

Ε Ζ

Θ Η

Βάση

Κ Λ

Ν Μ

Ύψος

Ε Ζ

Θ Η

Κ Λ

Ν Μ

Ύψος

Βάση

Ύψος

Βάση

Ύψος

Βάση

Ύψος

Εμβαδόν

Βρίσκω το εμβαδόν του πλάγιου παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ.

Αν κόψω το τρίγωνο ΑΔΕ και το μεταφέρω, όπως δείχνει το σχήμα, δη-μιουργείται ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με το ίδιο εμβαδόν μετο πλάγιο παραλληλόγραμμο και διαστάσεις: μήκος = 4 εκ. και πλάτος= 3 εκ.

Παρατηρώ ότι το μήκος του ορθογώνιου που δημιουργήθηκε από τη με-ταφορά του τριγώνου είναι ίσο με τη βάση του πλάγιου παραλληλο-γράμμου και ότι το πλάτος του ορθογώνιου είναι ίσο με το ύψος τουπλάγιου παραλληλογράμμου. Άρα:

Εμβαδόν(πλάγ. παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ)

= βάση � ύψος = 3 εκ. � 4 εκ. = 12 τ.εκ.

Το εμβαδόν κάθε παραλληλογράμμου ισούται με το γινόμενο μιας βά-σης του επί το αντίστοιχο ύψος.

Ε(παραλληλογράμμου)

= βάση � ύψος

βάση = 4 εκ.

ύψος = 3 εκ.

A B

Δ E EΓ βάση = 4 εκ.

ύψος = 3 εκ.

A B

Δ Γ

✁

4 εκ.

3 ε

κ.

A B

Δ Γ

Λυμένα προβλήματα

βάση = 6 εκ.

ύψος

= 3

εκ.

Ε Z

Θ H

βάση = 40 χιλ.

ύψος

= 3

εκ.

Κ Λ

Ν Μ

Για να βρω το εμβαδόν μιαςεπιφάνειας, πρέπει οι διαστάσειςτης να εκφράζονται με την ίδια

μονάδα μήκους. Διαφορετικά,κάνω τις απαραίτητες μετατροπές.


422

Ανακεφαλαίωση

6η

ενότητα

Πολύγωνο Κανονικό πολύγωνο

Κλειστό επίπεδο σχήμα που αποτελείται από ευθύ-γραμμα τμήματα και έχει τουλάχιστον 3 πλευρέςκαι 3 γωνίες.

Το πολύγωνο που έχει όλες τις πλευρές του καιόλες τις γωνίες του ίσες μεταξύ τους.

Άθροισμα γωνιών τριγώνου Άθροισμα γωνιών τετραπλεύρου

α̂ = 100°

β̂ = 40°

γ̂ = 40°

α̂ = 80°

β̂ = 60°

γ̂ = 70°

δ̂ = 150°

Κλίμακα

Για τη μεγέθυνση ή σμίκρυνση ενός σχήματος τηρώαναλογία με την κλίμακα.

Κλίμακα: 1 : 4.000.000

Γωνία

Μια γωνία σχηματίζεται από2 ημιευθείες με κοινή αρχή.

Είδη γωνιών

Ισόπλευροτρίγωνο

(κανονικότρίγωνο)

Τετράγωνο(κανονικό

τετράπλευρο)

Κανονικόπεντάγωνο

Κανονικόεξάγωνο

Εξάγωνο ΠεντάγωνοΤετράπλευρο

A

Β

πλευρές

κορυφή Γ

O O

90° 90°ή

O O

ήO O

ή

ΟρθήΓωνία 90°

ΟξείαΓωνία < 90°

ΑμβλείαΓωνία > 90°

α

γ

β

αγ

β

δ

180ο 360°

Κλίμακααπόσταση 2 σημείων στο σχέδιο

πραγματική απόσταση των 2 σημείων=

Συμμετρία

Ο άξονας συμμετρίας χωρίζει το σχή-μα σε δύο τμήματα, έτσι ώστε το ένανα είναι αντανάκλαση του άλλου.

α̂ + β̂ + γ̂ = 180° α̂ + β̂ + γ̂ + δ̂ = 360°

Το άθροισμα των γωνιών ενός τετραπλεύρου είναι 360°.Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180ο.


424

1. Βρίσκω αν οι προτάσεις είναι σωστές ή λάθος (Σ ή Λ):

α. Τα διπλανά σχήματα είναι πολύγωνα:

β. Κανονικό είναι το πολύγωνο που έχει όλες τις πλευρές του και όλες τις γωνίες του ίσες μεταξύ τους.

γ. Οι διαγώνιοι του ρόμβου τέμνονται κάθετα.

δ. Το ισοσκελές τρίγωνο είναι ένα κανονικό πολύγωνο.

ε. Η γωνία ΑΟ̂Β είναι οξεία.

στ. Μπορεί να κατασκευαστεί αμβλυγώνιο τρίγωνο με γωνίες Α̂ = 120°, Β̂ = 40° και Γ̂ = 30°.

ζ. Η διακεκομμένη ευθεία είναι άξονας συμμετρίας του σχήματος.

2. Επιλέγω τη σωστή απάντηση:

i. Ξέρω ότι η μία γωνία ενός τριγώνου είναι 105°. Το τρίγωνο αυτό είναι:α. οξυγώνιο β. αμβλυγώνιο γ. ορθογώνιο δ. ισόπλευρο

ii. Ποιες είναι οι οξείες γωνίες του τετραπλεύρου;

α. η γωνία α̂ και η γωνία β̂ γ. η γωνία α̂ και η γωνία γ̂

β. η γωνία γ̂ και η γωνία δ̂ δ. η γωνία β̂ και η γωνία γ̂

iii. Αν η γωνία Λ̂ του ορθογώνιου τριγώνου ΙΛ̂Κ είναι 40°, η γωνία Κ̂ είναι:

α. 90° β. 50° γ. 60° δ. 45°

iv. Αν χρησιμοποιήσω το σύμβολο χ για το μέγεθος της άγνωστης γωνίας ΓΟ̂Β, ποια από τις παρακάτω εξι-σώσεις θα με βοηθήσει να βρω το μέγεθός της;

α. χ + ΑΟ̂Β = 360°β. χ + ΑΟ̂Β = 180°γ. ΑΟ̂Β – χ = 180°δ. 360 – χ = 180°

Κριτήριο αξιολόγησης6ο

O

Β

AΖ

αβ

δ

γ

Λ

40°

;

Ι Κ

AΓ O

Β


v. Ένα σχέδιο κατασκευάστηκε με κλίμακα 9 : 3. Αυτό σημαίνει ότι το αρχικό σχήμα:α. μεγεθύνθηκε 9 φορές γ. μεγεθύνθηκε 3 φορές β. σμικρύνθηκε 9 φορές δ. σμικρύνθηκε 3 φορές

vi. Η Μαρία έφτιαξε ένα σχέδιο του σπιτιού της υπό κλίμακα. Η περίφραξη του σπιτιού της έχει μήκος 48 μ.Τι κλίμακα χρησιμοποίησε η Μαρία, αν στο σχέδιό της η περίφραξη έχει μήκος 12 εκ.;α. 1 : 400 β. 400 : 1 γ. 1 : 40 δ. 4 : 1

3. Επιλέγω τη σωστή απάντηση:

i. Σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις η διακεκομμένη γραμμή είναι άξονας συμμετρίας;

α. σε όλες γ. σχ. 2, σχ. 3, σχ. 4 β. σχ. 1, σχ. 2, σχ. 3 δ. σχ. 3 και σχ. 4

ii. Μια εταιρεία αγόρασε μια έκταση 5 στρεμμάτων και πλήρωσε 250.000 €. Ποια είναι η αξία ανά τετρα-γωνικό μέτρο αυτής της έκτασης;α. 25 € ανά τ.μ. β. 500 € ανά τ.μ. γ. 50 € ανά τ.μ. δ. 50.000 € ανά τ.μ.

iii. Με ποια από τις παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις μπορώ ναυπολογίσω το εμβαδόν του πλάγιου παραλληλογράμμου που ει-κονίζεται;

α. 30 μ. � 36 μ. γ. 30 μ. � 36 μ. � 24 μ.β. 36 μ. � 24 μ. δ. 24 μ. � 30 μ.

iv. Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ του διπλανού σχήματος είναι ίσο με:

α. 16 τ.μ. γ. 8 τ.μ. β. 40 τ.μ. δ. 24 τ.μ.

v. Με ποια από τα παρακάτω αναπτύγματα μπορεί να κατασκευαστεί κύβος;

α. με όλα β. 4, 5, 6 γ. 1, 2, 3 δ. 1, 3

425


36 μ.

30 μ. 24 μ.

3 μ.

8 μ.

5 μ.Γ Β

A

Σχ. 1 Σχ. 2 Σχ. 3

Σχ. 4

1 2 3 4 5 6


4. Ένα μυρμήγκι ξεκίνησε από το σημείο Α ενός κύβου και «περπάτησε» μέχρι το σημείο Γ, ακολουθώ-ντας τη διαδρομή που δείχνουν τα βέλη. Αν η ακμή του κύβου έχει μήκος 8 εκ., πόσα εκ. περπάτησετο μυρμήγκι;

……………………………………………………………………………….…………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………….……………

……………………………………………………………………………………………………………………….…

5. Βρίσκω το εμβαδόν του σχήματος, θεωρώντας ότι κάθε τετραγωνάκι έχει πλευρά 1 εκ.

……………………………………………………………………………….………………………

………………………………………………………………………………………………………

……………………….…………………….…………………………………………………………

…….……………………………………………………………….…………………………………

…………………………….…………………………………………………………………………

6. Ένας σιδηρουργός ανέλαβε να φτιάξει από λαμαρίνα 8 μπουριά σόμπας με μήκος 60 εκ. καιδιάμετρο 10 εκ. το καθένα. Πόσο θα του κοστίσουν, αν κάθε τ.μ. λαμαρίνας κοστίζει 5 €;

……………………………………………………………………………….………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………….………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

7. Μια δεξαμενή πετρελαίου έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αντο πετρέλαιο που περιέχει φτάνει σε ύψος τα 50 εκ., βρίσκω: α. Πόσα λίτρα πετρέλαιο περιέχει η δε-ξαμενή. β. Πόσα λίτρα πετρέλαιο πρέπει να προστεθούν για να γεμίσει.

……………………………………………………………………………….……………………

……………………………………………………………………………………………………

…………………………….………………………………………………………………………

8. Υπολογίζω τον όγκο του παρακάτω στερεού, αν ξέρω ότι το συνολικό μήκοςτων ακμών ενός κύβου είναι 36 εκ.

……………………………………………………………………………….………………………………

426


1 μ.

2 μ.2 μ.

AΓ


1. Τα σχήματα Α, Β, Γ και Δ είναι όλα τετράγωνα. Η περίμετρος του Α είναι12 εκ. και η περίμετρος του Β 20 εκ. Η περίμετρος του Δ είναι:

Α. 32 εκ. Γ. 48 εκ.

Β. 52 εκ. Δ. 240 εκ.

2. Πόσες οξείες γωνίες σχηματίζονται με κορυφή το Ο;

Α. 2 Β. 4 Γ. 8 Δ. 10

3. Πόσες αμβλείες γωνίες μικρότερες των 180° σχηματίζονται με κορυφή το Ο;

Α. 2 Β. 4 Γ. 3 Δ. 8

4. Ποιο είναι το εμβαδόν του εξαγώνου ΑΒΓΔΕΖ, αν το εμβαδόν του παραλληλο-γράμμου ΑΚΕΖ είναι ίσο με 40 τ.εκ., το εμβαδόν του παραλληλογράμμου ΓΔΕΛείναι ίσο με αυτό του ΑΚΕΖ και το εμβαδόν του παραλληλογράμμου ΛΕΚΒ είναιτο μισό του ΓΔΕΛ;

Α. 40 τ.εκ. Β. 80 τ.εκ. Γ. 100 τ.εκ. Δ. 60 τ.εκ.

5. Αν το χαρτί διπλωθεί κατά μήκος της διακεκομμένης γραμμής, ποια γράμ-ματα δε θα καλυφθούν από τα σκούρα τετράγωνα;

Α. Θ, Ι, Κ Β. Θ, Ι Γ. Ι, Κ Δ. Θ, Κ

6. Ποια αριθμητική παράσταση μου δίνει την περίμετρο του σχήματος;

Α. (2 � 24 εκ.) + (2 � 20 εκ.) Γ. 24 εκ. � 20 εκ.

Β. (3 � 8 εκ.) + (2 � 5 εκ.) + 10 εκ. Δ. (2 � 5 εκ. � 8 εκ.) + (10 εκ. � 8 εκ.)

442

Δημιουργικά μαθηματικά

6η

ενότητα

6η Ενότητα – Γεωμετρία

ΑΒ

Γ

Δ

Ο

50°

30°

20°

10°

Ο

50°

30°

20°

10°

Λ Κ

Ζ ΔB

A Γ

E

Α

Β

Γ

Δ

Λ

Κ

Μ

Η

Ι

Ζ

Θ

Ε

8 εκ.

8 εκ.

8 εκ.

10 εκ.

5 εκ.

5 εκ.


7. Ποιο είναι το εμβαδόν της σκιασμένης επιφάνειας του τετραγώνου:

Α. 60 τ.εκ. Γ. 40 τ.εκ.

Β. 20 τ.εκ. Δ. 70 τ.εκ.

8. Ένας κύβος αποτελείται από 64 μικρούς άσπρους κύβους. Αν βαφτούν ροζ οι4 έδρες της παράπλευρης επιφάνειας του κύβου, πόσοι μικροί κύβοι θα έχουν2 έδρες βαμμένες ροζ;

Α. 8 κύβοι Β. 12 κύβοι Γ. 16 κύβοι Δ. 20 κύβοι

9. Ένας κύβος αποτελείται από 27 μικρούς άσπρους κύβους. Αν βαφτούν γκρι καιοι 6 έδρες του, πόσοι μικροί κύβοι θα έχουν μόνο μια έδρα βαμμένη γκρι;

Α. 6 κύβοι Β. 12 κύβοι Γ. 18 κύβοι Δ. 24 κύβοι

10. Το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχει μήκη κάθετων πλευρών 8 εκ. και 6εκ., ενώ το ορθογώνιο τρίγωνο ΔΕΖ έχει μήκη κάθετων πλευρών 12εκ. και 7 εκ. Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ, έχουν ένα κοινό τμή-μα, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ποιο είναι το εμβαδόν του ροζ τμήμα-τος, αν το γκρι τμήμα έχει εμβαδόν 15 τ.εκ.;

Α. 43 τ.εκ. Γ. 68 τ.εκ.

Β. 33 τ.εκ. Δ. 29 τ.εκ.

11. Η Καίτη ζωγράφισε έναν πύργο, όπως δείχνει το σχήμα. Ο πύργος αποτελείται απότρία κομμάτια, ένα τετράγωνο, ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και ένα ισόπλευροτρίγωνο. Τα τρία κομμάτια έχουν την ίδια περίμετρο. Αν η κάθε πλευρά του τετραγώ-νου είναι 9 εκ., πόσο είναι το μήκος της σημειωμένης πλευράς του ορθογωνίου;

Α. 4 εκ. Β. 5 εκ. Γ. 6 εκ. Δ. 7 εκ.

Θέμα από τον διαγωνισμό «Καγκουρό», 2009

443

Δημιουργικά μαθηματικά6η ενότητα

6η

ενότητα

4 εκ.

4 εκ.

6 εκ.

6 εκ.

8 εκ.

6 ε

κ.Δ

Ζ Ε

Α

Β Γ

12 εκ.

7 ε

κ.

9 εκατοστά

;


Κατακτώ την κορυφή...

Documents

Transcript of Κατακτώ την κορυφή...