Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά97 Οι κλασματικοί αριθμοί...

36
Μαρία Λάτση, Γιώργος Μπεκιάρης Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά Ε’ Δημοτικού

Transcript of Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά97 Οι κλασματικοί αριθμοί...

Page 1: Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά97 Οι κλασματικοί αριθμοί 13 Κ ε φ ά λ αιο Κάθε κλάσμα αποτελείται από δύο

1

Μαρία Λάτση, Γιώργος Μπεκιάρης

Κατακτώ την κορυφήΜαθηματικά

Ε’ Δημοτικού

Mathimatika_E Dim.indb 1 17/10/2018 12:55 μ.μ.

Page 2: Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά97 Οι κλασματικοί αριθμοί 13 Κ ε φ ά λ αιο Κάθε κλάσμα αποτελείται από δύο

2

Εκδόσεις Πατάκη – ΕκπαίδευσηΜαρία Λάτση – Γιώργος Μπεκιάρης, Κατακτώ την κορυφή – Μαθηματικά Ε’ ΔημοτικούΕικονογράφηση εσωτερικού: Κώστας Ξύγκας, Ευθύμιος Αργυράτος,

Ζαχαρίας ΠαπαδόπουλοςΕικονογράφηση εξωφύλλου: Κώστας ΞύγκαςΣυγγραφή λύσεων των ασκήσεων του σχολικού βιβλίου: Μαρία ΠριοβόλουΔιορθώσεις: Κώστας ΣίμοςΥπεύθυνοι έκδοσης: Νίκος Κύρος, Βαγγέλης ΜπακλαβάςDtp: Χριστίνα ΚωνσταντινίδουΦιλμ – μοντάζ: Κέντρο Γρήγορης ΕκτύπωσηςCopyright© Σ. Πατάκης Α.Ε.Ε.Δ.Ε. (Εκδόσεις Πατάκη), Μαρία Λάτση και Γιώργος

Μπεκιάρης, Αθήνα, 2018Copyright© για την εικονογράφηση Σ. Πατάκης Α.Ε.Ε.Δ.Ε. (Εκδόσεις Πατάκη), Αθήνα,

2014-2018Πρώτη έκδοση από τις Εκδόσεις Πατάκη, Αθήνα, Οκτώβριος 2018ΚΕΤ Β863 – ΚΕΠ 790/18ISBN 978-960-16-7929-7

ΠΑΝΑΓΗ ΤΣΑΛΔΑΡΗ 38, 104 37 ΑΘΗΝΑ, ΤΗΛ.: 210.36.50.000, 210.52.05.600, ΦΑΞ: 210.36.50.069ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ: ΕΜΜ. ΜΠΕΝΑΚΗ 16, 106 78 ΑΘΗΝΑ, ΤΗΛ.: 210.38.31.078YΠOKΑΤΑΣΤΗMA: ΚΟΡΥΤΣΑΣ (ΤΕΡΜΑ ΠΟΝΤΟΥ – ΠΕΡΙΟΧΗ Β’ ΚΤΕΟ), 570 09, ΚΑΛΟΧΩΡΙ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, Τ.Θ. 1213, ΤΗΛ.: 2310.70.63.54, 2310.70.67.15, ΦΑΞ: 2310.70.63.55Web site: http://www.patakis.gr e-mail: [email protected], [email protected]

«Το παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις της ελληνικής νομοθε σίας (Ν. 2121/1993 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβά-σεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Απαγορεύεται απολύτως η άνευ γραπτής άδειας του εκδότη κατά οποιονδήποτε τρόπο ή μέσο (ηλεκτρονικό, μηχανικό ή άλλο) αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου».

Θέση υπογραφής δικαιούχων δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση.

Mathimatika E Dim_1-6.indd 2 22/10/2018 3:33 μ.μ.

Page 3: Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά97 Οι κλασματικοί αριθμοί 13 Κ ε φ ά λ αιο Κάθε κλάσμα αποτελείται από δύο

3

Περιεχόμενα

Ενότητα 1η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Θυμάμαι από την Δ’ Δημοτικού . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Κεφάλαιο 1 Υπενθύμιση – Α’ μέρος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Κεφάλαιο 2 Υπενθύμιση – Β’ μέρος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Κεφάλαιο 3 Πώς λύνουμε ένα πρόβλημα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Κεφάλαιο 4 Οι φυσικοί αριθμοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Κεφάλαιο 5 Αξία θέσης ψηφίου στους φυσικούς αριθμούς . . . . . . . . . . . . . . 33Κεφάλαιο 6 Σύγκριση και διάταξη στους φυσικούς αριθμούς. . . . . . . . . . . . . 39Κεφάλαιο 7 Στρογγυλοποίηση στους φυσικούς αριθμούς . . . . . . . . . . . . . . . 441o Eπαναληπτικό (κεφάλαια 1-7). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Ενότητα 2η. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Κεφάλαιο 8 Η πρόσθεση και η αφαίρεση στους φυσικούς αριθμούς . . . . . . 61Κεφάλαιο 9 Ο πολλαπλασιασμός στους φυσικούς αριθμούς. . . . . . . . . . . . . 68Κεφάλαιο 10 Πολλαπλάσια και διαιρέτες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Κεφάλαιο 11 Κριτήρια διαιρετότητας. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Κεφάλαιο 12 Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852o Eπαναληπτικό (κεφάλαια 8-12) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Ενότητα 3η. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Κεφάλαιο 13 Οι κλασματικοί αριθμοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Κεφάλαιο 14 Κλάσματα μεγαλύτερα της ακέραιης μονάδας . . . . . . . . . . . . . 111Κεφάλαιο 15 Το κλάσμα ως πηλίκο διαίρεσης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Κεφάλαιο 16 Ισοδυναμία κλασμάτων – Απλοποίηση κλασμάτων. . . . . . . . . . 126Κεφάλαιο 17 Σύγκριση και διάταξη κλασμάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Κεφάλαιο 18 Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138Κεφάλαιο 19 Πολλαπλασιασμός φυσικού αριθμού ή κλάσματος

με κλάσμα – Αντίστροφοι αριθμοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Κεφάλαιο 20 Διαίρεση κλασμάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Κεφάλαιο 21 Αναγωγή στην κλασματική μονάδα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1613o Eπαναληπτικό (κεφάλαια 13-21) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Ενότητα 4η. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171Κεφάλαιο 22 Συλλογή, οργάνωση και αναπαράσταση δεδομένων . . . . . . . . 173Κεφάλαιο 23 Χαρακτηριστικές τιμές δεδομένων – Μέση τιμή. . . . . . . . . . . . . 179Κεφάλαιο 24 Πιθανότητες. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1854o Eπαναληπτικό (κεφάλαια 22-24) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Mathimatika_E Dim.indb 3 17/10/2018 12:55 μ.μ.

Page 4: Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά97 Οι κλασματικοί αριθμοί 13 Κ ε φ ά λ αιο Κάθε κλάσμα αποτελείται από δύο

4

Περιεχόμενα

Ενότητα 5η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197Κεφάλαιο 25 Δεκαδικά κλάσματα – Δεκαδικοί αριθμοί . . . . . . . . . . . . . . . . . 199Κεφάλαιο 26 Διάταξη δεκαδικών αριθμών – Αξία θέσης ψηφίου

στους δεκαδικούς. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207Κεφάλαιο 27 Η στρογγυλοποίηση στους δεκαδικούς αριθμούς . . . . . . . . . . 213Κεφάλαιο 28 Πρόσθεση και αφαίρεση με δεκαδικούς αριθμούς. . . . . . . . . . 218Κεφάλαιο 29 Ο πολλαπλασιασμός στους δεκαδικούς αριθμούς. . . . . . . . . . 225Κεφάλαιο 30 Η διαίρεση στους δεκαδικούς αριθμούς . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231Κεφάλαιο 31 Η έννοια του ποσοστού . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238Κεφάλαιο 32 Διαφορετικές εκφράσεις των αριθμών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2455o Eπαναληπτικό (κεφάλαια 25-32) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

Ενότητα 6η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257Κεφάλαιο 33 Οι αρνητικοί αριθμοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259Κεφάλαιο 34 Γεωμετρικά και αριθμητικά μοτίβα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264Κεφάλαιο 35 Ισότητες και ανισότητες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2726o Eπαναληπτικό (κεφάλαια 33-35) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

Ενότητα 7η. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283Κεφάλαιο 36 Μετράω και σχεδιάζω σε κλίμακες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285Κεφάλαιο 37 Προσανατολισμός στον χώρο. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291Κεφάλαιο 38 Είδη γωνιών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298Κεφάλαιο 39 Μέτρηση γωνιών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302Κεφάλαιο 40 Είδη τριγώνων ως προς τις γωνίες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308Κεφάλαιο 41 Είδη τριγώνων ως προς τις πλευρές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313Κεφάλαιο 42 Καθετότητα – Ύψη τριγώνου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318Κεφάλαιο 43 Συμμετρία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324Κεφάλαιο 44 Κύκλος – Μήκος κύκλου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3297o Eπαναληπτικό (κεφάλαια 36-44) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

Ενότητα 8η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337Κεφάλαιο 45 Μονάδες μέτρησης του μήκους . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339Κεφάλαιο 46 Γεωμετρικά σχήματα – Η περίμετρος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345Κεφάλαιο 47 Μονάδες μέτρησης της επιφάνειας. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351Κεφάλαιο 48 Εμβαδόν τετραγώνου, ορθογωνίου και ορθογώνιου τριγώνου. 357Κεφάλαιο 49 Γεωμετρικά στερεά – Ο όγκος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361Κεφάλαιο 50 Μονάδες μέτρησης του όγκου και της χωρητικότητας . . . . . . . 368Κεφάλαιο 51 Μονάδες μέτρησης της μάζας. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374Κεφάλαιο 52 Μονάδες μέτρησης του χρόνου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3798o Eπαναληπτικό (κεφάλαια 45-52) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

Λύσεις στις ασκήσεις εξάσκησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

Περιεχόμενα

Mathimatika_E Dim.indb 4 17/10/2018 12:55 μ.μ.

Page 5: Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά97 Οι κλασματικοί αριθμοί 13 Κ ε φ ά λ αιο Κάθε κλάσμα αποτελείται από δύο

5

Περιεχόμενα

Σημείωμα για εκπαιδευτικούς και γονείς

Το βιβλίο αυτό στηρίζεται στα σύγχρονα επιστημονικά δεδομένα της διδακτικής των μαθηματικών και είναι προϊόν της πολυετούς εμπειρίας των συγγραφέων στη διδασκα-λία των μαθηματικών σε δημόσια και ιδιωτικά δημοτικά σχολεία. Είναι δομημένο σύμ-φωνα με την ύλη των σχολικών βιβλίων (Βιβλία Μαθητή και Τετράδια Εργασιών) της Ε’ Δημοτικού και απευθύνεται σε μαθητές, στους γονείς τους και σε δασκάλους. Εκ-κινώντας από μια εποικοδομιστική θεώρηση της μαθησιακής διαδικασίας έχει ως στό-χο να βοηθήσει τους μαθητές να νοηματοδοτήσουν τις μαθηματικές έννοιες, να συμ-βάλει στην ανάπτυξη μαθηματικών δεξιοτήτων και να καλλιεργήσει τη δημιουργική και κριτική σκέψη. Ειδικότερα:�Η θεωρία παρουσιάζεται απλά, κατανοητά και παραστατικά. Έχει εμπλουτιστεί με

πλήθος παραδειγμάτων, λυμένες ασκήσεις και προβλήματα, ενώ συνοδεύεται από την αντίστοιχη μεθοδολογία για την πρακτική εφαρμογή της.�Έχει δοθεί έμφαση στη χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων (π.χ. εικόνες, πλαί-

σια, σχήματα, σύμβολα) όχι τόσο με στόχο την απλή εικονογράφηση του βιβλίου, αλλά κυρίως με στόχο την οργάνωση της πληροφορίας, την κατανόηση αφηρη-μένων μαθηματικών εννοιών, την καλλιέργεια της οπτικής αντίληψης και την ανά-πτυξη του οπτικού συλλογισμού.�Οι ασκήσεις και τα προβλήματα για εξάσκηση καλύπτουν τις ποικίλες περιπτώ-

σεις που σχετίζονται με τη θεωρία και είναι διαβαθμισμένης δυσκολίας.�Στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχει ειδική κατηγορία ασκήσεων-προβλημάτων

που απευθύνονται σε «δυνατούς λύτες».�Σε κάθε θεματική ενότητα υπάρχουν κριτήρια αξιολόγησης με σκοπό την επανά-

ληψη και τον έλεγχο του βαθμού κατανόησης της αντίστοιχης ύλης.�Στο τέλος του βιβλίου υπάρχουν οι λύσεις των ασκήσεων του βοηθήματος και

σε ειδικό αποσπώμενο ένθετο οι αναλυτικές λύσεις των ασκήσεων του σχολικού βιβλίου του μαθητή και των τετραδίων εργασιών.

Η «κατάκτηση της κορυφής» είναι για κάθε μαθητή η κατάληξη μιας μαθησιακής διαδρομής. Σημασία έχει να θέτει σε κάθε σημείο της σχολικής του πορείας τους στόχους του ως μικρές κορυφές και να προσπαθεί, με βάση την αφετηρία του, να κα-λύψει την απόσταση που τον χωρίζει από αυτούς. Στο ελκυστικό αυτό ταξίδι της γνώσης η γοητεία κρύβεται στη διαδρομή. Καλό ταξίδι στον συναρπαστικό κόσμο των μαθη-ματικών!

Οι συγγραφείς του σχολικού βοηθήματος

Mathimatika E Dim_1-6.indd 5 21/10/2018 1:30 μ.μ.

Page 6: Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά97 Οι κλασματικοί αριθμοί 13 Κ ε φ ά λ αιο Κάθε κλάσμα αποτελείται από δύο

Βιογραφικά των συγγραφέων

Η Μαρία Λάτση εργάζεται ως δασκάλα σε ιδιωτικά και δημόσια δημοτικά σχολεία για περισσότερα από 20 χρόνια. Έχει δίπλωμα μεταπτυχιακής ειδίκευσης από το UCL Insti-tute of Education του Πανεπιστημίου του Λονδίνου και είναι Διδάκτωρ της Φιλοσοφικής Σχολής του Πανεπιστημίου Αθηνών. Τα ερευνητικά της ενδιαφέροντα αφορούν τη διδακτική των μαθηματικών με τη χρήση ψηφιακών εργαλείων και έχει δημοσιεύσει εργασίες της σε ελληνικά και ξενόγλωσσα επιστημονικά περιοδικά. Είναι επιμορφώτρια Β’ επιπέδου των εκπαιδευτικών της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης σχετικά με την εφαρμογή και αξιοποίηση των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και της Επικοινωνίας στη διδακτική πράξη. Ως συνεργάτης του Πανεπιστημίου Αθηνών, διδάσκει στο ΦΠΨ και έχει εργαστεί σε διάφορα έργα έρευνας και ανάπτυξης που αφορούν καινοτόμες χρήσεις των ψηφιακών εργαλείων στην εκπαίδευση. Πρόσφατα εργάστηκε στο ΙΤΥΕ «Διόφαντος» ως συνεργάτης εκπαιδευτικός για τον εμπλουτισμό των διαδραστικών βιβλίων των μαθηματικών του δημοτικού σχολείου, ενώ υπήρξε μέλος της ομάδας κρίσης/ αξιολόγησης των νέων βιβλίων των μαθηματικών της Ε’ δημοτικού.

Ο Γιώργος Μπεκιάρης εργάζεται ως δάσκαλος σε ιδιωτικά και δημόσια δημοτικά σχολεία για περισσότερα από 20 χρόνια. Έχει ολοκληρώσει διετή μετεκπαίδευση στο Διδασκαλείο του Παιδαγωγικού Τμήματος του Πανεπιστημίου Πατρών και είναι απόφοιτος του Τμήματος Θεατρικών Σπουδών του ίδιου πανεπιστημίου. Ασχολείται ιδιαίτερα με τη διδακτική των μαθηματικών στο δημοτικό σχολείο αξιοποιώντας και εναλλακτικές θεατρικές πρακτικές. Έχει συγγράψει το βιβλίο «Πρακτική Αριθμητική», που κυκλοφορεί από τις Εκδόσεις Γρηγόρη, για τους διαγωνισμούς του ΑΣΕΠ. Ως εμπειρογνώμονας του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (ΙΕΠ) για το Νέο Σχολείο, συμμετέχει στη συγγραφική ομάδα για το Πρόγραμμα Σπουδών και τον Οδηγό Εκπαιδευτικού στο μάθημα της Θεατρικής Αγωγής.

Mathimatika_E Dim.indb 6 17/10/2018 12:55 μ.μ.

Page 7: Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά97 Οι κλασματικοί αριθμοί 13 Κ ε φ ά λ αιο Κάθε κλάσμα αποτελείται από δύο

97

Οι κλασματικοί αριθμοί 13 Κεφάλαιο

Κάθε κλάσμα αποτελείται από δύο φυσικούς αριθ-μούς, τον αριθμητή και τον παρονομαστή, που ονομά-ζονται όροι του κλάσματος και χωρίζονται μεταξύ τους με την κλασματική γραμμή:

π.χ. 3

6

1

3

Κλασματική μονάδα ονομάζεται το κλάσμα με αριθμη-τή το 1 και φανερώνει ότι πήρα 1 από τα ίσα μέρη που χώρισα την ακέραιη μονάδα:

π.χ. ένα τέταρτο 1

4

Κάθε κλάσμα δημιουργείται από την επανάληψη της κλασματικής μονάδας:

π.χ. 2

3

1

3

1

3 ή 2

1

3= + ×

2

3

Σχέση κλασμάτων με την ακέραιη μονάδα

Κλάσματα ίσα με την Α.Μ.αριθμητής =

παρονομαστής

π.χ. 2

21,

9

91= =

3

31=

Τα κλάσματα στα οποία ο αριθμητής είναι μι-κρότερος από τον πα-ρονομαστή είναι μικρό-τερα από την ακέραιη μονάδα:

π.χ. 3

41,

7

101< <

<

2

31

3

3

14

34

34

κλασματική γραμμή

παρονομαστής Σε πόσα ίσα μέρη χώρισα την Α.Μ.

αριθμητής Πόσα μέρη πήρα.

τρία τέταρτα

13

13

13

13

13

13

Κλάσμα ονομάζεται ο αριθμός που δηλώνει το μέρος ενός «όλου», δηλαδή το μέρος της ακέραιης μονάδας (Α.Μ.).

Κλάσμα – Κλασματική μονάδα

αριθμητής (πόσα ίσα κομμάτια πήρα)

παρονομαστής (σε πόσα ίσα κομμάτια χώρισα την Α.Μ.)

14

Χώρισα την ακέραιη μο-νάδα (1 τούρτα) σε 4 ίσα κομμάτια και πήρα το 1.

Χώρισα την ακέραιη μονά-δα (8 μήλα) σε 4 ίσα κομμά-τια (4 ομάδες) και πήρα το 1 (μία ομάδα των 2 μήλων).

13

13

13

Οι κλασματικοί αριθμοί 13

Mathimatika_E Dim.indb 97 17/10/2018 12:56 μ.μ.

Page 8: Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά97 Οι κλασματικοί αριθμοί 13 Κ ε φ ά λ αιο Κάθε κλάσμα αποτελείται από δύο

13Κεφάλαιο

Οι κλασματικοί αριθμοί

98

Λυμένα προβλήματα

1. Από μία σοκολάτα με 12 κομμάτια παίρνω κάθε φορά όσα κομμάτια της σοκο-λάτας εκφράζουν τα κλάσματα:

α)1

2 Τοκλάσμα

1

2φανερώνειότιθαχωρίσωτησοκολάτασε

2ίσαμέρηκαιθαπάρωτο1.Θαπάρωδηλαδή1κλασμα-τικήμονάδα.

Επειδήτακομμάτιατηςσοκολάταςείναι12,ανταχωρίσωστα2,θαπάρω12:2=6κομμάτια.

β)2

3 Τοκλάσμα

2

3φανερώνειπωςθαχωρίσωτησοκολάτασε

3ίσαμέρηκαιθαπάρωτα2.Θαπάρωδηλαδή2φορές

τηνκλασματικήμονάδα1

3.

Επειδήτακομμάτιατηςσοκολάταςείναι12,ανταχωρίσω

στα3,θαπάρω12:3=4κομμάτια(το1

3).Επαναλαμβά-

νωτηνακέραιημονάδα2φορές(2×1

3

2

3= ),δηλαδή

2×4=8κομμάτια.

Πώς βρίσκω την κλασμα-τική μονάδα που δηλώνει τη σχέση μιας ποσότητας προς την ακέραιη μονάδα:

π.χ. τα15λεπτάτηςώρας

είναιτο1

4τηςώρας,επειδή

60:15=4.

Αντίστροφα,το1

4τηςώραςείναι15λεπτά,επειδή60:4=15.

Ωςακέραιημονάδαθεωρείται:•ένααντικείμενο,π.χ.έναμήλο•έναπλήθοςομοειδώναντικει-μένων, π.χ. τα βιβλία ενόςραφιού

•μιαοποιαδήποτεποσότητα,π.χ.ταλεπτάμιαςώρας

1

2

2

2

Οι κλασματικοί αριθμοί

1

3

1

3

2

3+ =

Mathimatika E Dim_Enotita 3_B diorth.indd 98 21/10/2018 1:43 μ.μ.

Page 9: Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά97 Οι κλασματικοί αριθμοί 13 Κ ε φ ά λ αιο Κάθε κλάσμα αποτελείται από δύο

13Κεφάλαιο Οι κλασματικοί αριθμοί

99

2. Σχεδιάζω στην αριθμογραμμή τα τμήματα που φανερώνουν τα κλάσματα 15

, 35

:

Θα εργαστώ όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα με τη σοκολάτα:

3. Βρίσκω το μέρος του συνόλου:

α) Τα 2

3 των μαθητών μιας τάξης που έχει 24 μαθητές:

Βρίσκω πρώτα την κλασματική μονάδα χωρίζοντας την ακέραιη μονάδα (24 μαθη-τές) στα ίσα κομμάτια (μέρη) που φανερώνει ο παρονομαστής: 24 : 3 = 8 μαθητές.Επαναλαμβάνω την κλασματική μονάδα όσες φορές φανερώνει ο αριθμητής:

2 × 8 = 16 μαθητές.

β) Τα 3

4 του κιλού σε γραμμάρια:

Με τον ίδιο τρόπο βρίσκω:

Το 1 κιλό (4

4) έχει 1.000 γραμμάρια.

1.000 : 4 = 250 γραμμάρια (το 1

4 του κιλού)

3 × 250 = 750 γραμμάρια (τα 3

4 του κιλού)

0 1

1

5

10

1

5

1

5

1

5

1

5

1

5

1

5

3

5+ + =5

5

24 μαθητές

;

1

3

1

3

1

3

1.000 γρ.

;

=1

4250 γρ.

Mathimatika_E Dim.indb 99 17/10/2018 12:56 μ.μ.

Page 10: Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά97 Οι κλασματικοί αριθμοί 13 Κ ε φ ά λ αιο Κάθε κλάσμα αποτελείται από δύο

13Κεφάλαιο

Οι κλασματικοί αριθμοί

100

Ασκήσεις εξάσκησης

13.1 Κυκλώνω τις κλασματικές μονάδες:

1

2 ,

2

5 ,

1

8 ,

7

5 ,

1

9 ,

3

1 ,

15

15 ,

1

11 ,

10

100 ,

10

5 ,

1

6

13.2 Γράφω με κλάσμα το χρωματισμένο μέρος κάθε σχήματος:

13.3 Γράφω την κλασματική μονάδα που εκφράζει το χρωματισμένο μέρος κάθε σχήματος:

13.4 Χρωματίζω το μέρος του συνόλου που εκφράζουν τα κλάσματα:

1

6

1

2

1

4

1

3

3

4

1

3

2

3

2

4

α) γ) ε)β) δ) στ)

α) γ) ε)β) δ)

Mathimatika_E Dim.indb 100 17/10/2018 12:56 μ.μ.

Page 11: Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά97 Οι κλασματικοί αριθμοί 13 Κ ε φ ά λ αιο Κάθε κλάσμα αποτελείται από δύο

13Κεφάλαιο Οι κλασματικοί αριθμοί

101

13.5 Γράφω με κλασματικές μονάδες το μέρος του συνόλου που αντιπροσωπεύει το κάθε σχήμα:

13.6 Δημιουργώ ακέραιες μονάδες (ολόκληρα τα σχήματα) με κλασματικές μονάδες που έχουν ίδιο παρονομαστή:

α) 11

3= + + β) 1= ............................ γ) 1= .............................

13.7 Συμπληρώνω τον πίνακα:

Κλασματικός αριθμός

5

8

6

9

3

15

12

125

250

500

800

1 000.

568

10 000.

Κλασματική μονάδα

1

8

13.8 Χρωματίζω κάθε φορά όσα κουτάκια εκφράζουν τα κλάσματα:

α) 1

6 γ)

1

3

β) 1

2 δ)

2

3

= …………… = …………… = ……………

Mathimatika_E Dim.indb 101 17/10/2018 12:56 μ.μ.

Page 12: Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά97 Οι κλασματικοί αριθμοί 13 Κ ε φ ά λ αιο Κάθε κλάσμα αποτελείται από δύο

13Κεφάλαιο

Οι κλασματικοί αριθμοί

102

13.9 Μοιράζω σε κάθε πιάτο το μέρος της πίτσας που δηλώνουν τα κλάσματα, χρω-ματίζοντας τον αντίστοιχο αριθμό κομματιών:

13.10 Δημιουργώ την ακέραιη μονάδα, όπως στο παράδειγμα:

α) Αν τα τρίγωνα είναι το

1

3 του συνόλου, πόσα είναι όλα τα τρίγωνα;

Τα 4 τρίγωνα είναι το 1

3 των συνολικών τριγώνων.

Άρα το σύνολο των τριγώνων (η Α.Μ. = 3

3 ) είναι 3 × 4 = 12 τρίγωνα.

β) 1

2 του συνόλου Το σύνολο είναι:

γ) 1

4 του συνόλου Το σύνολο είναι:

δ) 2

3 του συνόλου Το σύνολο είναι:

3

8

1

2

1

4

Mathimatika_E Dim.indb 102 17/10/2018 12:56 μ.μ.

Page 13: Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά97 Οι κλασματικοί αριθμοί 13 Κ ε φ ά λ αιο Κάθε κλάσμα αποτελείται από δύο

13Κεφάλαιο Οι κλασματικοί αριθμοί

103

ε) 2

5 του συνόλου Το σύνολο είναι:

στ) Αν οι 42 μαθητές είναι το 1

5 του συνόλου, πόσο είναι το σύνολο των μαθητών του

σχολείου;

ζ) Αν τα 125 γραμμάρια είναι το 1

8 του περιεχομένου ενός πακέτου ζάχαρης, πόσο

ζυγίζει συνολικά το πακέτο;

13.11 Εκφράζω με κλασματικές μονάδες, όπως στο παράδειγμα:

π.χ. τα 20 λεπτά του €.

Το 1 € έχει 100 λεπτά. Άρα, τα 20 λεπτά είναι 100 : 20 = 5, δηλαδή το 1

5 του €.

α) τους 3 μήνες του έτους δ) τα 125 μέτρα του χιλιομέτρου

β) τα 10 χρόνια ενός αιώνα ε) τα 12 λεπτά της ώρας

γ) τα 50 λεπτά του € στ) τις 4 ώρες της ημέρας (24 ώρες)

13.12 Βρίσκω την ποσότητα που εκφράζουν τα κλάσματα: (Υπολογίζω πρώτα την κλασματική μονάδα.)

α) τα 2

5 του € � …………… λ. δ) τα

2

3 της ώρας � …………… λ.

β) τα 3

4 του μέτρου � …………… εκ. ε) τα

4

9 του 45 � ……………

γ) τα 4

5 του κιλού � …………… γρ. στ) τα

2

10 του 120 �……………

Mathimatika_E Dim.indb 103 17/10/2018 12:56 μ.μ.

Page 14: Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά97 Οι κλασματικοί αριθμοί 13 Κ ε φ ά λ αιο Κάθε κλάσμα αποτελείται από δύο

13Κεφάλαιο

Οι κλασματικοί αριθμοί

104

13.13 Σε μια έρευνα που έγινε στους 240 μαθητές ενός σχολείου για το άθλημα που προτιμούν περισσότερο καταγράφηκαν τα αποτελέσματα που εμφανίζονται στη γραφική παράσταση:

α) Με βάση το ραβδόγραμμα γράφω τον αριθμό των μαθητών που προτιμούν κάθε άθλημα και υπολογίζω τι μέρος του συ-νόλου των μαθητών αποτελούν:

Όλοι οι μαθητές που πήραν μέρος στην έρευνα ήταν 120 + 60 + 40 + 20 = 240.

ποδόσφαιρο: 120 μαθητές � 240 : 120 = 2, άρα απο-

τελούν το 1

2 των μαθητών.

μπάσκετ:

……… μαθητές � …………………………,

άρα αποτελούν το ___ των μαθητών.

βόλεϊ:

……… μαθητές � …………………………, άρα αποτελούν το ___ των μαθητών.

χάντμπολ:

……… μαθητές � …………………………, άρα αποτελούν το ___ των μαθητών.

β) Σκιάζω στα κουτάκια που βρίσκονται κάτω από κάθε αριθμογραμμή τα κατάλληλα τμήματα, ώστε να φαίνονται οι προτιμήσεις των μαθητών για κάθε άθλημα:

ποδόσφαιρο βόλεϊ

μπάσκετ χάντμπολ

γ) Μεταφέρω τις προτιμήσεις των μαθητών για το αγαπημένο τους άθλημα επιλέγοντας τα τμήματα του κυκλικού δίσκου:

0

20

40

60

80

100

120

140

Ποιο είναι το πιο αγαπημένο σου άθλημα;

Ποδόσφαιρο

ΜπάσκετΒόλεϊ

Χάντμπολ

0 60 120 180 240

0 60 120 180 240

0 60 120 180 240

0 60 120 180 240

Mathimatika_E Dim.indb 104 17/10/2018 12:56 μ.μ.

Page 15: Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά97 Οι κλασματικοί αριθμοί 13 Κ ε φ ά λ αιο Κάθε κλάσμα αποτελείται από δύο

13Κεφάλαιο Οι κλασματικοί αριθμοί

105

13.14 Στα παρακάτω σχήματα, βρίσκω τι μέρος του συνολικού σχήματος είναι το κάθε κομμάτι (κλασματική μονάδα):

13.15 Το παρακάτω σχήμα δείχνει την πρόοδο λήψης ενός αρχείου στο κινητό τη-λέφωνο:

α) Τι μέρος της συνολικής λήψης του αρχείου έχει ολοκληρωθεί;β) Αν η λήψη του αρχείου γίνεται με σταθερή ταχύτητα και έχουν περάσει έως τώρα 2

λεπτά, σε πόση ώρα θα ολοκληρωθεί η λήψη του;

13.16 Ο Δήμος Πατρέων αγόρασε ένα οικόπεδο. Στη μισή έκτασή του θα χτίσει

αθλητικές εγκαταστάσεις και στα 23

από την υπόλοιπη θα κατασκευάσει παιδική

χαρά. Χρωματίζω στο σχήμα την έκταση που θα αξιοποιηθεί για αθλητικές εγκατα-στάσεις και με άλλο χρώμα την έκταση για την παιδική χαρά:

13.17 Βρίσκω αν οι προτάσεις είναι σωστές ή λάθος (Σ ή Λ):

α) Οι κλασματικές μονάδες έχουν παρονομαστή τη μονάδα.

β) Στα κλάσματα που είναι ίσα με την ακέραιη μονάδα ο αριθμητής είναι ίσος με τον παρονομαστή.

A

A

1

2

1

2

Β

Γ

ΔΕ

Β

Γ

Δ

Ε

A

Β

Δ

Ε

Γ

Δ

B E

Mathimatika_E Dim.indb 105 17/10/2018 12:56 μ.μ.

Page 16: Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά97 Οι κλασματικοί αριθμοί 13 Κ ε φ ά λ αιο Κάθε κλάσμα αποτελείται από δύο

13Κεφάλαιο

Οι κλασματικοί αριθμοί

106

γ) Τα κλάσματα που ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή είναι μικρότερα από την ακέραιη μονάδα.

δ) Το κλάσμα 7

8 δημιουργήθηκε από την επανάληψη της κλασματικής

μονάδας 1

8 8 φορές.

ε) Τα 12 λεπτά είναι το 1

4 της ώρας.

στ) Αν το 1

3 της τιμής μιας κασετίνας είναι 6 €, η κασετίνα κοστίζει 18 €.

13.18 Το 15

του χρόνου μιας τηλεοπτικής εκπομπής ήταν 12 λεπτά. Πόσα λεπτά ήταν

η διάρκεια της εκπομπής;

13.19 Μια τάξη έχει 24 μαθητές. Από αυτούς το 13

είναι αγόρια. Πόσα αγόρια και

πόσα κορίτσια υπάρχουν στην τάξη;

13.20 Η Αναστασία έχει μια συλλογή από 80 χάντρες. Από αυτές το 14

είναι κόκκινες

και το 15

ροζ. Πόσες είναι οι υπόλοιπες χάντρες;

13.21 Το 15

ενός διαμερίσματος είναι 40 τετραγωνικά μέτρα. Πόσα τετραγωνικά

μέτρα είναι τα 35

του διαμερίσματος;

13.22 Σε μια θεατρική παράσταση το 14

των θεατών ήταν 40 παιδιά. Πόσοι ήταν οι

υπόλοιποι θεατές;

Mathimatika_E Dim.indb 106 17/10/2018 12:56 μ.μ.

Page 17: Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά97 Οι κλασματικοί αριθμοί 13 Κ ε φ ά λ αιο Κάθε κλάσμα αποτελείται από δύο

13Κεφάλαιο Οι κλασματικοί αριθμοί

107

13.23 Μια τάξη έχει 24 μαθητές. Από αυτούς το 12

έχει καστανά μάτια, το 14

μαύρα,

το 16

πράσινα και οι υπόλοιποι γαλάζια. Πόσοι μαθητές έχουν γαλάζια μάτια στην

τάξη;

13.24 Στους σχολικούς αγώνες ποδοσφαίρου πήρε μέρος το 13

των μαθητών του Ε1

και το 13

των μαθητών του Ε2. Αν το Ε

1 έχει 24 μαθητές και το Ε

2 έχει 21 μαθητές,

πόσοι μαθητές και από τα δύο τμήματα πήραν μέρος στους αγώνες;

13.25 Ο Τάσος είχε στο πορτοφόλι του 72 € και ξόδεψε τα 24 € για ένα φούτερ, 8 € για ένα βιβλίο και 12 € για ένα παιχνίδι. Βρίσκω με κλασματικές μονάδες τι μέρος των χρημάτων του ξόδεψε για το κάθε είδος.

13.26 Αν με το 13

ενός μπουκαλιού χυμού γεμίζουν 2 ποτήρια, πόσα ποτήρια γεμί-

ζουν με 2 ίδια μπουκάλια;

Για δυνατούς λύτες

13.27 Τα 24

των μαθητών μιας τάξης είναι 10 μαθητές. Πόσοι μαθητές είναι τα 34

της

τάξης;

13.28 Ο Σπύρος έχει κάποια χρήματα στον κουμπαρά του. Αν ξοδέψει

τα 23

των χρημάτων του για την αγορά μιας μπάλας, θα του μείνουν

10 €. Πόσα χρήματα έχει στον κουμπαρά του;

13.29 Η Έλλη χάρισε στη Χριστίνα 12 αυτοκόλλητα, τα οποία ήταν ίσα με το 15

των

αυτοκόλλητων που είχε. Στη συνέχεια, χάρισε στην αδερφή της το 13

από τα υπό-

λοιπά της αυτοκόλλητα. Πόσα αυτοκόλλητα της έμειναν;

Mathimatika E Dim_Enotita 3_B diorth.indd 107 21/10/2018 1:46 μ.μ.

Page 18: Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά97 Οι κλασματικοί αριθμοί 13 Κ ε φ ά λ αιο Κάθε κλάσμα αποτελείται από δύο

13Κεφάλαιο

Οι κλασματικοί αριθμοί

108

13.30 Δημιουργώ ακέραιες μονάδες (ολόκληρα τα σχήματα) από κλασματικές μο-νάδες που έχουν διαφορετικό παρονομαστή, όπως στο παράδειγμα:

α) = + + +11

2

1

4

1

8

1

8 β) 1= ...................... γ) 1= .....................

13.31 Γράφω με κλασματική μονάδα τι μέρος του κάθε σχήματος αντιπροσωπεύει το γκρι τμήμα του:

13.32 Τι μέρος του κάθε σχήματος αποτελεί το χρωματισμένο τμήμα του;

α) ___ β) ___ γ) ___ δ) ___

1

81

8

1

4

1

31

2

α) γ)β)

Mathimatika_E Dim.indb 108 17/10/2018 12:56 μ.μ.

Page 19: Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά97 Οι κλασματικοί αριθμοί 13 Κ ε φ ά λ αιο Κάθε κλάσμα αποτελείται από δύο

Επαναληπτικό

191

4ο1. Βρίσκω αν οι προτάσεις είναι σωστές ή λάθος (Σ ή Λ):

α) Ο μέσος όρος των αριθμών 3, 4 και 5 είναι 12.

β) Ο μέσος όρος των αριθμών 6, 7 και 8 είναι 7.

γ) Αν ρίξω ένα ζάρι, έχω 6 πιθανά αποτελέσματα.

δ) Έχω δύο σακουλάκια. Το α’ σακουλάκι έχει 1 κόκκινο, 1 πράσινο και 1 μπλε κύβο και το β’ έχει 2 κόκκινους, 2 πράσινους και 2 μπλε κύβους. Και στα δύο σακουλάκια έχω τις ίδιες πιθανότητες να τραβήξω στην τύχη

1 κόκκινο κύβο.

ε) Αν η πιθανότητα να φέρω μπλε χρώμα σε έναν τροχό της τύχης

είναι 1

3, η πιθανότητα να μη φέρω μπλε χρώμα είναι

2

3.

2. Τα παιδιά της Ε’ τάξης έκαναν έρευνα σχετικά με το ποιο είναι το αγαπημένο τους χρώμα. Κάθε μαθητής διάλεξε ένα χρώμα. Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται τα δεδομένα που συνέλεξαν. Με (Μ) συμβολίζεται το μπλε, με (Π) το πράσινο, με (Κι) το κίτρινο και με (Κο) το κόκκινο:

Το αγαπημένο μου χρώμαΚο Κο Π Κο Π Π Μ ΚοΠ Π Κο Κο Κο Κο Κο ΚοΚι Κι Π Μ Κι Μ Μ Κι

α) Οργανώνω τα δεδομέ- να σε έναν πίνακα συ-χνοτήτων:

β) Αναπαριστώ τα δεδομένα σε ένα ραβδόγραμμα:

…………

…………

…………

……………………

………………………………………

……

……

……

……

………… …………

…………

…………

…………

…………

………… …………

Χρώμα Καταμέτρηση με γραμμές

Συχνότητα εμφάνισης με αριθμό

Μπλε

Πράσινο

Κίτρινο

Κόκκινο

Δεν ξεχνώ να βάλω τίτλο στο ραβδό-γραμμά μου, καθώς και τίτλους στον οριζόντιο και κατακόρυφο άξονα.

4ο

Mathimatika E Dim_Enotita 4_D diorth.indd 191 23/10/2018 7:27 μ.μ.

Page 20: Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά97 Οι κλασματικοί αριθμοί 13 Κ ε φ ά λ αιο Κάθε κλάσμα αποτελείται από δύο

4ο Επαναληπτικό

192

γ) Ποιο χρώμα προτιμούν οι περισσότεροι μαθητές; ....................................δ) Πόσοι ήταν οι μαθητές της Ε’ τάξης που πήραν μέρος στην έρευνα; ....................................

3. Το παρακάτω διάγραμμα δείχνει τις μέγιστες θερμοκρασίες που καταγράφηκαν μια εβδομάδα του Φεβρουαρίου στο Ορμένιο της Θράκης, που είναι το βορειότερο σημείο της Ελλάδας. Ο πίνακας δείχνει τις μέγιστες θερμοκρασίες που καταγράφηκαν την ίδια εβδομάδα στη Γαύδο, που είναι το νοτιότερο σημείο της Ελλάδας:

Γαύδος

ΗμέραΘερμοκρασία σε βαθμούς

κελσίουΔευτέρα 15Τρίτη 14Τετάρτη 14Πέμπτη 15Παρασκευή 13Σάββατο 12Κυριακή 14

α) Με βάση τα στοιχεία του πίνακα, σχεδιάζω με το μολύβι μου στο παραπάνω διά-γραμμα τη γραμμή για τις θερμοκρασίες που καταγράφηκαν στη Γαύδο.

β) Ποια ημέρα καταγράφηκαν οι χαμηλότερες θερμοκρασίες για κάθε πόλη;

...........................................................................................................................................γ) Ποια πόλη είχε τη χαμηλότερη θερμοκρασία την Πέμπτη; Πόσους βαθμούς χαμη-

λότερη σε σχέση με τη θερμοκρασία της άλλης πόλης;

...........................................................................................................................................

4. Βρίσκω τον μέσο όρο του μήκους των 5 μεγα-λύτερων ποταμών της Ελλάδας και τον σχεδιάζω με μια κόκκινη γραμμή:

4ο Επαναληπτικό

0

Μέγιστες θερμοκρασίες

Βαθμ

οί Κ

ελσ

ίου

Ημέρα

2

4

Δευτέρα

6

8

10

12

14

16

ΤρίτηΤετά

ρτηΠέμπτη

Παρασκευή

Σάββατο

Κυριακή

Ορμένιο

Τα μεγαλύτερα σε μήκος ελληνικά ποτάμια

0 50 100 150 200 250 300 350

50

100

150

200

250

300

350

130

130

204200

205

205

220

220

298

295

Μήκ

ος σ

ε χμ

. Νέστος

Νέστος

Έβρος

Έβρος

Πηνειός

Πηνειός

Αχελώος

ΑχελώοςΑλιάκμονας

Αλιάκμονας

Τα μεγαλύτερα σε μήκος ελληνικά ποτάμια

Μήκος σε χλμ.

Mathimatika E Dim_Enotita 4_D diorth.indd 192 23/10/2018 7:27 μ.μ.

Page 21: Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά97 Οι κλασματικοί αριθμοί 13 Κ ε φ ά λ αιο Κάθε κλάσμα αποτελείται από δύο

4ο Επαναληπτικό

193

5. Επιλέγω τη σωστή απάντηση:

i. Σε ποια θέση της παρακάτω αριθμογραμμής πρέπει να τοπο-θετήσω την πιθανότητα το βέλος στον διπλανό τροχό της τύ-χης να δείξει ροζ χρώμα, αν το περιστρέψω;

α) στη θέση Α γ) στη θέση Γ ε) στη θέση Εβ) στη θέση Β δ) στη θέση Δ

ii. Σε ποια θέση της παρακάτω αριθμητικής γραμμής πρέπει να τοποθετήσω την πιθανότητα το βέλος στον διπλανό τροχό της τύχης να δείξει λευκό χρώμα, αν το περιστρέψω;

α) στη θέση Α γ) στη θέση Γ ε) στη θέση Εβ) στη θέση Β δ) στη θέση Δ

iii. Ρίχνω ένα ζάρι. Ποια η πιθανότητα να δείξει το ζάρι άρτιο αριθμό;

α) 3

6 β)

2

4 γ)

2

3 δ)

6

6

iv. Τρία άτομα βρίσκονται σε ένα ασανσέρ και έχουν μέσο όρο βάρους 75 κ. Ο α’ έχει βάρος 90 κ. και ο β’ 70 κ. Πόσο κιλά είναι ο γ’;

α) 70 κιλά β) 75 κιλά γ) 60 κιλά δ) 65 κιλά

v. Στο τμήμα της Ελένης συγκεντρώθηκαν 138 € για φιλανθρωπικό σκοπό. Αν κάθε παιδί πρόσφερε κατά μέσο όρο 6 €, πόσοι είναι οι μαθητές στο τμήμα της Ελένης;

α) 23 β) 26 γ) 18 δ) 20

A B Γ

το ίδιο πιθανό να συμβεί όσο

και να μη συμβεί

Δ Ε

0 1

αδύνατον να συμβεί

λίγο πιθανό να συμβεί

πολύ πιθανό να συμβεί

βέβαιο ότι θα συμβεί

A B Γ

το ίδιο πιθανό να συμβεί όσο

και να μη συμβεί

Δ Ε

0 1

αδύνατον να συμβεί

λίγο πιθανό να συμβεί

πολύ πιθανό να συμβεί

βέβαιο ότι θα συμβεί

Mathimatika E Dim_Enotita 4_D diorth.indd 193 23/10/2018 7:27 μ.μ.

Page 22: Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά97 Οι κλασματικοί αριθμοί 13 Κ ε φ ά λ αιο Κάθε κλάσμα αποτελείται από δύο

4ο Επαναληπτικό

194

6. Το παρακάτω εικονόγραμμα δείχνει το πλήθος των λογαριασμών που έστειλε ταχυδρομικά μια εταιρεία κινητής τηλεφωνίας.α) Πόσους λογαριασμούς έστειλε συνολικά η εταιρεία μέσω ταχυδρομείου το διά-στημα Ιουνίου-Οκτωβρίου; β) Πόσους λογαριασμούς έστειλε κατά μέσο όρο τον μήνα;

........................................................................

........................................................................

........................................................................

........................................................................

........................................................................

7. Σε μια έρευνα ρωτήθηκαν 100 παιδιά σχετικά με το μεταφορικό μέσο που χρησιμοποίησαν στις τελευταίες τους διακοπές. Τα αποτελέσματα της έρευνας φαίνονται στον διπλανό πίνακα:

Επιλέγω το κυκλικό διάγραμμα που αναπαριστά σωστά τα δεδομένα:

8. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τους βαθμούς που πήραν οι μαθητές στο τμήμα του Σταύρου:

Βαθμός Αριθμός μαθητώνΑ 8Β 12Γ 4

Αν επιλέξω τυχαία έναν μαθητή από το συγκεκριμένο τμήμα, ποια η πιθανότητα να επιλέξω έναν μαθητή που έχει:

Μήνες Αριθμός επιστολών

Ιούνιος Ιούλιος Αύγουστος Σεπτέμβριος Οκτώβριος

= 2.000 επιστολές

Πλοίο Πλοίο ΠλοίοΠλοίο

ΑυτοκίνητοΑεροπλάνο

Πούλμαν ΠούλμανΠούλμαν

Πούλμαν

Αεροπλάνο

Αεροπλάνο Αεροπλάνο

Αυτοκίνητο ΑυτοκίνητοΑυτοκίνητο

α) β) γ) δ)

Μεταφορικό μέσο Πλοίο 25Αυτοκίνητο 50Αεροπλάνο 5Πούλμαν 20

Mathimatika E Dim_Enotita 4_D diorth.indd 194 23/10/2018 7:27 μ.μ.

Page 23: Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά97 Οι κλασματικοί αριθμοί 13 Κ ε φ ά λ αιο Κάθε κλάσμα αποτελείται από δύο

4ο Επαναληπτικό

195

α) Βαθμό Α; .........................................................................................................................

β) Βαθμό Β; ..........................................................................................................................

γ) Βαθμό Γ; ..........................................................................................................................

9. Τα παρακάτω ραβδογράμματα δείχνουν τα αποτελέσματα διαφορετικών πειρα-μάτων τύχης που έκανε ο Γιώργος με 5 διαφορετικούς τροχούς.

α) Σε ποιον τροχό τύχης είναι πιο πιθανό να αντιστοιχεί κάθε ραβδόγραμμα;

Α

0

50

100

Ροζ

ΚόκκινοΓκρι

Άσπρο

0

10

20

30

Ροζ

ΚόκκινοΓκρι

Άσπρο

0

50

100

150

Ροζ

ΚόκκινοΓκρι

Άσπρο

0

20

40

60

Ροζ

ΚόκκινοΓκρι

Άσπρο

0

20

40

60

Ροζ

ΚόκκινοΓκρι

Άσπρο

Γ

Δ

Ε

Β

1

2

3

4

5

Mathimatika E Dim_Enotita 4_D diorth.indd 195 23/10/2018 7:27 μ.μ.

Page 24: Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά97 Οι κλασματικοί αριθμοί 13 Κ ε φ ά λ αιο Κάθε κλάσμα αποτελείται από δύο

4ο Επαναληπτικό

196

β)� Ποια�η�πιθανότητα�το�βέλος�να�δείξει�γκρι�χρώμα:

στον�τροχό�A:� �............................... � στον�τροχό�Δ:� �................................

στον�τροχό�B:� �............................... � στον�τροχό�Ε:� �................................

στον�τροχό�Γ:� �...............................

Mathimatika_E Dim.indb 196 17/10/2018 1:00 μ.μ.

Page 25: Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά97 Οι κλασματικοί αριθμοί 13 Κ ε φ ά λ αιο Κάθε κλάσμα αποτελείται από δύο

259

Οι αρνητικοί αριθμοί 33 Κεφάλαιο

Οι αρνητικοί αριθμοί 33

Οι αρνητικοί αριθμοί στη ζωή μας

Αρνητικοί αριθμοί στα

κουμπιά του ανελκυστήρα.

Οι ρίζες του δέντρου

φτάνουν σε βάθος 3 μ.

Το υποβρύχιο ταξιδεύει

σε βάθος 200 μ. κάτω

από τη θάλασσα.

3

2

1

0

–1

–2

6

5

4

3

2

1

0

–1

–2

–3

0

–100

Βάθος σε μ.

–200

–300

Οι αρνητικοί αριθμοί στην αριθμογραμμή

Στα θερμόμετρα παρακάτω φαίνονται οι θερμοκρασίες 6 ευρωπαϊκών πόλεων στις 24 Φεβρουαρίου.

α) Τοποθετώ τις θερμοκρασίες των πόλεων στην αριθ-μογραμμή.

Οι αρνητικοί αριθμοί τοποθετούνται αριστερά από το 0 στην αριθμογραμμή.

β) Ποια από τις παραπάνω πόλεις έχει την υψηλότερη και ποια τη χαμηλότερη θερμοκρασία;

Την υψηλότερη θερμοκρασία έχει η Αθήνα, γιατί η τιμή 8 βρίσκεται δεξιότερα στην αριθμογραμμή. Τη χαμηλό-τερη θερμοκρασία έχει το Όσλο, γιατί η τιμή –6 βρίσκε-ται αριστερότερα στην αριθμογραμμή.Όσο πιο αριστερά βρίσκεται ένας αριθμός στην αριθ-μογραμμή τόσο μικρότερος είναι.

°C

Δουβλίνο 4°C

0

4

-10

10

°C

Όσλο –6°C

0

-6

-10

10

°C

Λονδίνο 2°C

02

-10

10

°C

Παρίσι –2°C

0-2

-10

10

°C

Πράγα –4°C

0

-4

-10

10

°C

Αθήνα 8°C

0

8

-10

10

–10 –6 –5 –2

Παρίσι Λονδίνο Δουβλίνο

–4

Πράγα ΑθήναΌσλο

0 2 4 5 8 10

Παρατηρώ ότι ο αριθμός 2 βρίσκεται δεξιά από το 0, ενώ ο αριθμός –2 αριστερά από το 0. Και οι δύο απέχουν το ίδιο από το 0.

Οι αριθμοί που έχουν μπροστά το σύμβολο «–» ονομά-ζονται αρνητικοί. Οι αρνητικοί αριθμοί είναι μικρότεροι από το 0.

Οι φυσικοί αριθμοί (0, 1, 2, 3, 4…) μαζί με τους αντί-στοιχούς τους αρνητικούς αριθμούς (–1, –2, –3, –4,…) αποτελούν τους ακέραιους αριθμούς.

Mathimatika_E Dim.indb 259 17/10/2018 1:01 μ.μ.

Page 26: Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά97 Οι κλασματικοί αριθμοί 13 Κ ε φ ά λ αιο Κάθε κλάσμα αποτελείται από δύο

33Κεφάλαιο

Οι αρνητικοί αριθμοί

260

Ασκήσεις εξάσκησης

33.1 Το Δημοτικό Μέγαρο Θεσσαλονίκης έχει συνολικά 8 ορόφους, 5 πάνω από το έδαφος και 3 κάτω από το έδαφος (υπόγειους). Στη διπλανή εικόνα φαίνονται τα κουμπιά στον ανελκυστήρα του κτιρίου. Επιλέγω τη σωστή απάντηση:

i. Αν θέλω να πάω τρεις ορόφους κάτω από το έδαφος, τι πρέπει να γράφει το κουμπί που θα πατήσω στον ανελκυστήρα;

α) 3 β) –3 γ) –2 δ) 4

ii. Αν από το 2ο υπόγειο (δύο ορόφους κάτω από το έδαφος), θέλω να πάω στον 2ο όροφο, τι πρέπει να γράφει το κουμπί που θα πατήσω;

α) –2 β) 4 γ) 2 δ) –1

iii. Αν από το 2ο υπόγειο (δύο ορόφους κάτω από το έδαφος), πάω στον 2ο όροφο, πόσους ορόφους θα ανέβω;

α) –2 β) 4 γ) 2 δ) 5

iv. Αν από το 3ο υπόγειο (τρεις ορόφους κάτω από το έδαφος), θέλω να ανεβώ 7 ορό-φους, τι θα γράφει το κουμπί που θα πατήσω;

α) –2 β) 4 γ) 2 δ) 5

v. Αν από τον 5ο όροφο κατέβηκα 6 ορόφους, τι έγραφε το κουμπί που πάτησα; α) 0 β) 2 γ) –2 δ) –1

33.2 α) Τοποθετώ τους αριθμούς στην αριθμογραμμή:

Οι αρνητικοί αριθμοί

γ) Πόσους βαθμούς °C υψηλότερη είναι η θερμοκρα-σία στην Αθήνα σε σχέση με το Παρίσι;

Η θερμοκρασία στην Αθήνα είναι κατά 10 βαθμούς °C υψηλότερη από αυτήν του Παρισιού, γιατί από το –2 έως το 0 είναι 2 βαθμοί, ενώ από το 0 έως το 8 είναι άλλοι 8 βαθμοί: 2 + 8 = 10 βαθμοί.

Παρίσι Λονδίνο ΔουβλίνοΠράγα ΑθήναΌσλο

10–10 –6 –5 –2–4 2 4 5 80

2 8

°C

0

-50-40-30-20-10

50

10203040

Στον νότιο πόλο η θερμο-κρασία αγγίζει τους –49°C.

-3 3ο υπόγειο3 3

-2 2ο υπόγειο2 2

-1 υπόγειο1

0 ισόγειο0

11

22

33

44

5

-6 12 8 -3 3 -8 -18

20-20 100

Mathimatika_E Dim.indb 260 17/10/2018 1:01 μ.μ.

Page 27: Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά97 Οι κλασματικοί αριθμοί 13 Κ ε φ ά λ αιο Κάθε κλάσμα αποτελείται από δύο

33Κεφάλαιο Οι αρνητικοί αριθμοί

261

β) Διατάσσω, από τον μεγαλύτερο στον μικρότερο, τους αριθμούς που έβαλα στην αριθμογραμμή:

33.3 Υπολογίζω τι θερμοκρασία θα δείχνει το θερμόμετρο μετά από κάθε μεταβολή και τη γράφω στο πλαίσιο κάτω από κάθε θερμόμετρο:

33.4 Στον όμιλο της ρομποτικής, τα παιδιά προγραμματίζουν ρομποτάκια να κινού-νται πάνω σε μια αριθμογραμμή που έχουν κολλήσει στο πάτωμα. Βλέπω τη θέση από την οποία ξεκινά κάθε ρομπότ και υπολογίζω πού θα σταματήσει, αν ακολου-θήσει την εντολή που του δίνεται κάθε φορά:

α)

β)

γ)

δ)

50 1 2 3 4 6 7-3-7 -6 -5 -4 -2 -1

Αφαιρώ: 4

Σταματώ:

50 1 2 3 4 6 7-3-7 -6 -5 -4 -2 -1

Προσθέτω: 2

Σταματώ:

50 1 2 3 4 6 7-3-7 -6 -5 -4 -2 -1

Προσθέτω: 4

Σταματώ:

50 1 2 3 4 6 7-3-7 -6 -5 -4 -2 -1

Αφαιρώ: 7

Σταματώ:

°C

0

-10

-5

Αύξηση κατά 3°C

10

°C

0

-10

10

°C

0

-10

10

°C

0

5 5 5 5

-10

-5 -5 -5

10

Αύξηση κατά 3°C

Αύξηση κατά 10°C

Μείωση κατά 10°C

α) β) γ) δ)

Mathimatika_E Dim.indb 261 17/10/2018 1:01 μ.μ.

Page 28: Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά97 Οι κλασματικοί αριθμοί 13 Κ ε φ ά λ αιο Κάθε κλάσμα αποτελείται από δύο

33Κεφάλαιο

Οι αρνητικοί αριθμοί

262

33.5 Στο ρομποτάκι που υπάρχει στην αριθμογραμμή, δόθηκε η παρακάτω σύνθετη εντολή. Υπολογίζω σε ποιον αριθμό θα σταματήσει το ρομπότ:

Το σταμάτησε στον αριθμό ....................... .

33.6 Στον πίνακα φαίνονται η μέγιστη και η ελάχιστη θερμοκρασία στο χιονοδρομι-κό κέντρο της Βασιλίτσας στα Γρεβενά, την πρώτη βδομάδα του Απριλίου:

Ημέρα Ελάχιστη θερμοκρασία Μέγιστη θερμοκρασίαΔευτέρα –3°C 5°C

Τρίτη –4ο C 8°C

Τετάρτη –1°C 10°C

Πέμπτη 1°C 12°C

Παρασκευή –1°C 5°C

Σάββατο 0°C 2°C

Κυριακή –2°C 6°C

α) Ποιες μέρες η διαφορά ανάμεσα στη μέγιστη και την ελάχιστη θερμοκρασία ήταν 8°C;

...................................................................................................................

β) Ποιες μέρες η διαφορά ανάμεσα στη μέγιστη και την ελάχιστη θερμοκρασία ήταν 11°C;

...................................................................................................................

γ) Ποια μέρα υπήρχε η μεγαλύτερη διαφορά ανάμεσα στη μέγιστη και την ελάχιστη θερμοκρασία στη Βασιλίτσα;

...................................................................................................................

100 2 4 6 8 12 14 15-6-14 -12 -10 -8 -4 -2 9-1 1 3 5 7 11 13-7-15 -13 -11 -9 -5 -3

ΑΡΧΗ ΤΕΛΟΣ

Προσθέτω 2Αφαιρώ 5 Αφαιρώ 6 Προσθέτω 4 Αφαιρώ 3

°C

02468

–8–6–4–2

–10

1012

Χρησιμοποιώ το θερμόμετρο για να βοηθηθώ στους υπολογι-σμούς μου.

Mathimatika_E Dim.indb 262 17/10/2018 1:01 μ.μ.

Page 29: Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά97 Οι κλασματικοί αριθμοί 13 Κ ε φ ά λ αιο Κάθε κλάσμα αποτελείται από δύο

33Κεφάλαιο Οι αρνητικοί αριθμοί

263

33.7 Το ψάρι ζαργάνα κολυμπά συνήθως σε βάθος 6 μ., ενώ το ψάρι δράκαινα σε βάθος 50 μ. Ένας γλάρος ψάχνει τα θηράμα-τά του πετώντας σε ύψος 2 μ. πάνω από τη θάλασσα. Βρίσκω:α) Πόσα μέτρα είναι η απόσταση ανάμεσα στη ζαργάνα και τη δρά-

καινα;

...............................................................................................................β) Πόσα μέτρα είναι η απόσταση ανάμεσα στη ζαργάνα και τον

γλάρο;

...............................................................................................................γ) Πόσα μέτρα είναι η απόσταση ανάμεσα στη δράκαινα και τον

γλάρο;

...............................................................................................................

Για δυνατούς λύτες

33.8 Η ακακία είναι ένα πολύ ανθεκτικό δέντρο. Μπο-ρεί να φτάσει σε ύψος έως και 17 μ., ενώ οι ρίζες της εισχωρούν πολύ βαθιά στο έδαφος. Οι ρίζες της ακα-κίας που φυτρώνει στην έρημο Καλαχάρι μπορεί να φτάσουν σε βάθος έως και 60 μ. Αν ένα σκουλήκι βρίσκεται στην άκρη της ρίζας μιας ακακίας στην έρη-μο Καλαχάρι, πόσα μέτρα απέχει από την κορυφή του δέντρου;

33.9 Ο Γιάννης έπαιξε σε ένα τηλεπαιχνίδι. Στο τέλος του 3ου γύρου είχε συγκεντρώ-σει 50 πόντους. Παρατηρώ στο παρακάτω διάγραμμα τους πόντους που κέρδισε και έχασε ο Γιάννης και υπολογίζω πόσους πόντους είχε στην αρχή του 3ου γύρου:

–30

–40

Βάθος σε μέτρα

–10

–20

0

10

–50

–6

2

ΑΡΧΗ ΤΕΛΟΣ

Χάνω 100Χάνω 150 Χάνω 100 Κερδίζω 150 Κερδίζω 100 50

20 1710

0-10-20-30-40

-50

-60Ύψ

ος σ

ε μ.

Mathimatika_E Dim.indb 263 17/10/2018 1:01 μ.μ.

Page 30: Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά97 Οι κλασματικοί αριθμοί 13 Κ ε φ ά λ αιο Κάθε κλάσμα αποτελείται από δύο

291

Προσανατολισμός στον χώρο 37 Κεφάλαιο

Προσανατολισμός στον χώρο37

Προσδιορισμός της θέσης σημείου

Για�να�προσδιορίσω�τη�θέση�ενός�σημείου�χρησιμο-ποιώ�δύο κάθετες�μεταξύ�τους�αριθμογραμμές, μία�οριζόντια�και�μια�κατακόρυφη.�Το�σημείο�όπου�τέμνο-νται�οι�αριθμογραμμές�ονομάζεται�σημείο αναφοράς.

Η�θέση�κάθε�σημείου�προσδιορίζεται�από�ένα�ζευγάρι�τιμών.�H�πρώτη�τιμή�δείχνει�πόσο απέχει το σημείο από την κατακόρυφη και η δεύτερη πόσο απέχει το σημείο από την οριζόντια αριθμογραμμή:π.χ.��θέση� :�4�μονάδες�από�την�κατακόρυφη�και�9�από�την�οριζόντια�αριθμογραμμή.�Γράφεται�σύντομα�(4,�9).�θέση :�5�μονάδες�από�την�κατακόρυφη�και�6�από�την�οριζόντια�αριθμογραμμή.�Γράφεται�σύντομα�(5,�6).��θέση :�8�μονάδες�από�την�κατακόρυφη�και�3�από�την�οριζόντια�αριθμογραμμή.�Γράφεται�σύντομα�(8,�3).θέση :�4�μονάδες�από�την�κατακόρυφη�και�0�από�την�οριζόντια�αριθμογραμμή.�Γράφεται�σύντομα�(4,�0).

0σημείο αναφοράς(0, 0)

(4, 0)

(8, 3)

(5, 6)

(4, 9)

Οριζόντια αριθμογραμμή

Κάθετηαριθμογραμμή

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1

1

2

3

4

5

-4

-5

-3

-2

-12 3 4 5-5 -4 -3 -2 -1

Κάθετες αριθμογραμμές

Για�να�προσδιορίσω�τη�θέση�ενός�σημείου�μπορώ�να�επεκτείνω�τις� αριθμογραμμές�όσο�θέλω�και� προς�τις�δύο�κατευθύνσεις.

Θέση :�(2,�4)Θέση :�(–2,�3)Θέση :�(2,�–4)Θέση :�(–3,�–2)

Στο�ζευγάρι�τιμών�που�προσδιορίζουν�τη�θέ-ση�ενός�σημείου:�Αν�η�1η�τιμή�είναι�αρνητι-κή,�το�σημείο�βρίσκε-ται�στα�αριστερά�της�κατακόρυφης� αριθ-μογραμμής.�Αν�η�2η�τιμή�είναι�αρνητική,�το�σημείο�βρίσκεται�κά-τω�από�την�οριζόντια�αριθμογραμμή.

Mathimatika_E Dim.indb 291 17/10/2018 1:02 μ.μ.

Page 31: Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά97 Οι κλασματικοί αριθμοί 13 Κ ε φ ά λ αιο Κάθε κλάσμα αποτελείται από δύο

37Κεφάλαιο

Προσανατολισμός στον χώρο

292

Λυμένο πρόβλημα

Τα παιδιά παίζουν το παιχνίδι του κρυμμένου θησαυρού. Ξεκινούν από την εκκλησία και έχουν στη διά- θεσή τους τον διπλανό χάρτη.α) Η πρώτη οδηγία λέει να ψάξουν

για τον 1ο γρίφο στο σημείο που βρίσκεται 4 τετράγωνα ανα-τολικά και 4 τετράγωνα βόρεια. Ποιο είναι αυτό το σημείο; Προσ-διορίζω τη θέση του στον χάρτη:

Ο�χάρτης�που�έχουν�τα�παιδιά�δείχνει�στο�επάνω��μέρος��τον�βορρά�και�δε-ξιά�την�ανατολή.�Άρα,�το�σημείο�που�ψάχνουν�είναι�το�Α,�το�οποίο�βρίσκε-ται�4�τετράγωνα�δεξιά�(ανατολικά)�και�4�τετράγωνα�πάνω�(βόρεια)�από�την�εκκλησία�όπου�βρίσκονται�τα�παιδιά.�Η�θέση�του�σημείου�Α�στον�χάρτη�είναι�(4,�4).

β) Τα παιδιά βρίσκονται στο σημείο Α και παίρνουν την οδηγία να μετακινηθούν 1 τετράγωνο δυτικά και 3 τετράγωνα βόρεια από το σημείο όπου βρίσκονται, για να βρουν τον επόμενο γρίφο. Ποιο είναι αυτό το σημείο; Προσδιορίζω τη θέση του στον χάρτη:

1�τετράγωνο�αριστερά�(δυτικά)�και�3�τετράγωνα�προς�τα�πάνω�(βόρεια)�από�το�σημείο�Α,�όπου�βρίσκονται�τα�παιδιά,�είναι�το�σημείο�Κ.Η�θέση�του�σημείου�Κ�στον�χάρτη�είναι�(3,�7).

Ασκήσεις εξάσκησης

37.1 Βρίσκω αν οι προτάσεις είναι σωστές ή λάθος (Σ ή Λ):

α)� �Αν�ένα�σημείο�βρίσκεται�στη�θέση�(0,�10),�τότε�βρίσκεται�πάνω�στην� οριζόντια�αριθμογραμμή.

Προσανατολισμός στον χώρο

Β

Ν

0 1

1

M

2

3

4

5

6

7

8

2 3 4 5 6 7 8

A

K B

Π

Mathimatika_E Dim.indb 292 17/10/2018 1:02 μ.μ.

Page 32: Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά97 Οι κλασματικοί αριθμοί 13 Κ ε φ ά λ αιο Κάθε κλάσμα αποτελείται από δύο

37Κεφάλαιο Προσανατολισμός στον χώρο

293

β)� �Αν�ένα�σημείο�βρίσκεται�στη�θέση�(10,�0),�τότε�βρίσκεται�πάνω�στην�� κατακόρυφη�αριθμογραμμή.

γ)� Ένα�σημείο�Α�βρίσκεται�στη�θέση�(0,�6)�και�ένα�σημείο�Β�στη�θέση�(6,�0). Και�τα�δύο�σημεία�βρίσκονται�στην�ίδια�θέση.

δ)� �Αν�θέλω�να�βρω�σε��έναν�χάρτη�το�σημείο�(0,�5)�και�βρίσκομαι�στο� σημείο�(0,�0),�θα�κινηθώ�5�τετράγωνα�δεξιά.

ε)� �Αν�θέλω�να�βρω�σε��έναν�χάρτη�το�σημείο�(3,�5)�και�βρίσκομαι�στο�σημείο� (0,�5),�θα�κινηθώ�3�τετράγωνα�δεξιά.

στ)��Το�σημείο�(0,�0)�σε�δύο�κάθετες�μεταξύ�τους�αριθμογραμμές�ονομάζεται και�σημείο�αναφοράς.

ζ)� �Υπολογίζω�τις�τιμές�που�προσδιορίζουν�τη�θέση�ενός�σημείου�σε�σχέση� με�το�σημείο�αναφοράς�(0,�0).

37.2 Παρατηρώ τον χάρτη και επιλέγω τη σωστή απάντηση:

�i.� �Αν�προσδιορίσω�τη�θέση�του�σπι-τιού�στον�χάρτη�με�ένα�ζευγάρι�τιμών,�η�πρώτη�τιμή�θα�είναι:�

� α)�0��� γ)�5� β)�1���� δ)�3

ii. Η�τιμή�που�δείχνει�την�απόσταση�του�σχολείου�από� την� κατακό-ρυφη�αριθμογραμμή�είναι:�

� α)�0��� γ)�5� β)�1����� δ)�3

iii.� Στη�θέση�(5,�1)�βρίσκεται:�� α)�το�δέντρο� γ)�η�λιμνούλα�� β)�το�σχολείο� δ)�το�γήπεδο

iv.� Στη�θέση�(1,�5)�βρίσκεται:�� α)�το�δέντρο� β)�το�σχολείο� γ)�η�λιμνούλα� δ)�το�γήπεδο

v.� Η�θέση�που�βρίσκεται�η�εκκλησία�είναι�η:� α)�(4,�0)��� β)�(1,�0)�� γ)�(3,�2)�� δ)�(3,�3)

vi.� �Αν�ξεκινήσω�από�την�εκκλησία�και�κινηθώ�2�τετράγωνα�ανατολικά�και�1�νότια�θα�βρεθώ:

� α)�στο�σχολείο�� β)�στο�δέντρο�� γ)�στο�γήπεδο�� δ)�στο�σπίτι

0

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6

Β

Ν

Mathimatika_E Dim.indb 293 17/10/2018 1:02 μ.μ.

Page 33: Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά97 Οι κλασματικοί αριθμοί 13 Κ ε φ ά λ αιο Κάθε κλάσμα αποτελείται από δύο

37Κεφάλαιο

Προσανατολισμός στον χώρο

294

vii.��Ποια�σημεία�στον�χάρτη�έχουν�την� ίδια�πρώτη�τιμή�στο�ζευγάρι�αριθμών�που�προσδιορίζει�τη�θέση�τους;

� α)�το�σχολείο�και�το�σπίτι� γ)�το�γήπεδο�και�η�λιμνούλα� β)�το�σχολείο�και�η�λιμνούλα�� δ)�το�σπιτάκι�και�το�γήπεδο

viii.��Ποια�σημεία�στον�χάρτη�έχουν�την�ίδια�δεύτερη�τιμή�στο�ζευγάρι�αριθμών�που�προσδιορίζει�τη�θέση�τους;

� α)�το�σχολείο�και�το�σπίτι� γ)�το�γήπεδο�και�η�λιμνούλα� β)�το�σχολείο�και�η�λιμνούλα���� δ)�το�σπιτάκι�και�το�γήπεδο

ix.� �Βρίσκομαι�στο�στάδιο�και�θέλω�να�πάω�στη�λιμνούλα.�Ποια�από�τις�παρακάτω�διαδρομές�πρέπει�να�ακολουθήσω;

� α)�4�τετράγωνα�ανατολικά��και�3�βόρεια��� β)�5�τετράγωνα�δυτικά�και�3��βόρεια� γ)�5�τετράγωνα�δυτικά�και�4�βόρεια��� δ)�4�τετράγωνα�δυτικά�και�4�βόρεια

x.� �Βρίσκομαι�στη�λιμνούλα�και�θέλω�να�πάω�στην�εκκλησία.�Ποια�διαδρομή�πρέπει�να�ακολουθήσω;

� α)�3�τετράγωνα�νότια�και�2�ανατολικά�� β)�3�τετράγωνα�βόρεια�και�2�ανατολικά�� γ)�2�τετράγωνα�ανατολικά�και�3�νότια��� δ)�είτε�τη�διαδρομή�α�είτε�τη�διαδρομή�γ

37.3 Βρίσκω τις θέσεις κάθε κουκκίδας που βρίσκεται στα μνημεία του χάρτη της Ακρόπολης των Αθηνών στη δι-πλανή εικόνα:

Ωδείο�Ηρώδου�Αττικού� (......,�......)

Θέατρο�Διονύσου� (......,�......)

Προπύλαια� (......,�......)

Ιερό�Αφροδίτης� (......,�......)

Ιερό�Διός� (......,�......)

Αρχαϊκός�Ναός�Αθηνάς� (......,�......)

Ερέχθειο� (......,�......)

Παρθενώνας� (......,�......)0 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2 3 4 5 6 7 8

ΘΕΑΤΡΟ ΔΙΟΝΥΣΟΥ

ΠΑΡΘΕΝΩΝΑΣ

ΩΔΕΙΟΗΡΩΔΟΥ ΑΤΤΙΚΟΥ

ΑΡΧΑΪΚΟΣ ΝΑΟΣ

ΑΘΗΝΑΣ

ΠΡΟΠΥΛΑΙΑ

ΕΡΕΧΘΕΙΟ

ΙΕΡΟΑΦΡΟΔΙΤΗΣ

ΙΕΡΟΔΙΟΣ

Mathimatika_E Dim.indb 294 17/10/2018 1:02 μ.μ.

Page 34: Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά97 Οι κλασματικοί αριθμοί 13 Κ ε φ ά λ αιο Κάθε κλάσμα αποτελείται από δύο

37Κεφάλαιο Προσανατολισμός στον χώρο

295

α)�Αν�κάθε�τετράγωνο�στον�χάρτη�έχει�πλευρά�80�μ.:i.� �πόσα��μέτρα�πρέπει�να�περπατήσω��για�να�βρεθώ,�από�την�κουκκίδα�των�Προπυ-λαίων,�στην�κουκκίδα�του�Παρθενώνα;�

....................................................................................................................................................

ii.� �πόσα��μέτρα�πρέπει�να�περπατήσω��για�να�βρεθώ,�από�την�κουκκίδα�του�Αρχαϊκού�Ναού�της�Αθηνάς,�στην�κουκκίδα�του�Ερεχθείου;

....................................................................................................................................................

β)�Αν�τοποθετήσω�το�σημείο�αναφοράς�(0,�0)�στα�Προπύλαια,�σε�ποια�θέση�θα�βρίσκεται�ο�Παρθενώνας,�και�σε�ποια�το�Θέατρο�Διονύσου;

Παρθενώνας���(......,�......)�

Θέατρο�Διονύσου����(......,�......)

37.4 Τα παιδιά στο τμήμα του Γιώργου έχουν χωριστεί σε δύο ομάδες και παίζουν ναυμαχία (βλέπε επόμενη σελίδα). Η κάθε ομάδα έχει 6 πλοία, αλλά δε γνωρίζει πού βρίσκονται τα πλοία της άλλης ομάδας, οπότε ρίχνει 6 βόμβες σε τυχαία σημεία. Νικήτρια είναι η ομάδα που θα βυθίσει τα περισσότερα πλοία. Παρατηρώ τις θέσεις των πλοίων και τα σημεία στα οποία έπεσαν οι βόμβες, και βρίσκω τη νικήτρια ομάδα:

ΘΕΑΤΡΟ ΔΙΟΝΥΣΟΥ

ΠΑΡΘΕΝΩΝΑΣ

ΩΔΕΙΟΗΡΩΔΟΥ ΑΤΤΙΚΟΥ

ΑΡΧΑΪΚΟΣ ΝΑΟΣ

ΑΘΗΝΑΣ

ΠΡΟΠΥΛΑΙΑ

ΕΡΕΧΘΕΙΟ

ΙΕΡΟΑΦΡΟΔΙΤΗΣ

ΙΕΡΟΔΙΟΣ

Για� να�βοηθηθώ�σχεδιάζω�με�κόκκινο�μια�κάθετη�και�μια�οριζό-ντια�αριθμογραμμή,�οι�οποίες�να�τέμνονται�στα�Προπύλαια.

Mathimatika_E Dim.indb 295 17/10/2018 1:02 μ.μ.

Page 35: Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά97 Οι κλασματικοί αριθμοί 13 Κ ε φ ά λ αιο Κάθε κλάσμα αποτελείται από δύο

37Κεφάλαιο

Προσανατολισμός στον χώρο

296

Πλοία ομάδας Α Πλοία ομάδας Β

Σημεία�όπου�έπεσαν�οι�βόμβες�της�ομάδας�Β:�

Σημεία�όπου�έπεσαν�οι�βόμβες�της�ομάδας�Α:

(7,�6)���(5,�4)���(3,�5)���(6,�5)���(6,�6)���(3,�6) (2,�2)���(5,�1)���(5,�5)���(1,�5)���(4,�4)���(3,�6)

Νικήτρια�είναι�η�ομάδα�………�,�γιατί�βύθισε�………�πλοία�της�ομάδας�………�.

37.5 Στο παρακάτω πλέγμα σχεδιάζω τα σημεία Α (1, 4), Β (7, 4) και Γ (7, 7). Αν θέλω τα σημεία ΑΒΓ να είναι οι κορυφές ενός ορθογωνίου, πού πρέπει να σχεδιάσω το σημείο Δ στο πλέγμα; Σχεδιάζω στο πλέγμα το ορθογώνιο:

0 1

1

2

3

4

5

6

7

8

2 3 4 5 6 7 8

θέση�του�σημείου�Δ�(......,�......)

0

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7 0

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7

Mathimatika_E Dim.indb 296 17/10/2018 1:02 μ.μ.

Page 36: Κατακτώ την κορυφή Μαθηματικά97 Οι κλασματικοί αριθμοί 13 Κ ε φ ά λ αιο Κάθε κλάσμα αποτελείται από δύο

37Κεφάλαιο Προσανατολισμός στον χώρο

297

Για δυνατούς λύτες

37.6 Προσδιορίζω τη θέση των σημείων:

37.7 Τοποθετώ στο πλέγμα τα σημεία Α (0, 0) και Β (0, 3):

α)��Πόσα�διαφορετικά�τετράγωνα�με�πλευρά�ΑΒ�μπορώ�να�φτιάξω;�Τα�σχεδιάζω.

β)��Προσδιορίζω� τη�θέση� των�ση-μείων�που�ένωσα�για�να�σχημα-τίσω�τις�πλευρές�κάθε�τετραγώ-νου.

..............................................................

..............................................................

..............................................................

..............................................................

(......,�......)

(......,�......)

(......,�......)

(......,�......)

-3

-2

-4-5

-3

-4

-5

-10

1

2

3

4

5

-2 -1 1 2 3 4 5

0 1

1

2

3

4

5

-4

-5

-3

-2

-12 3 4 5-5 -4 -3 -2 -1

Mathimatika_E Dim.indb 297 17/10/2018 1:02 μ.μ.