ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ NQM

7/26/2019 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ NQM

http://slidepdf.com/reader/full/-nqm 1/49

Μηχανική των υλικών

Διαγράμματα εντατικών μεγεθών

Επιβλέπων: Γ. Αγγελόπουλος, καθηγητήςΕπιμέλεια: ήττας !ων"ταντ#νος, $ιπλ. %η&. %η&.

'μήμα (ημικών %η&ανικών



Άδειες Χρήσης

• 'ο παρόν εκπαι$ευτικό υλικόυπόκειται "ε ά$ειες &ρή"ης )*+-/+)011023.

• Για εκπαι$ευτικό υλικό, όπωςεικόνες, που υπόκειται "ε άλλουτ4που ά$ειας &ρή"ης, η ά$εια

&ρή"ης ανα5έρεται ρητώς.



Χρηματοδότηση

• 'ο παρόν εκπαι$ευτικό υλικό έ&ει αναπτυ&θε# "ταπλα#"ια του εκπαι$ευτικο4 έργου του $ι$ά"κοντα.

• 'ο έργο 6Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στοΠανεπιστήμιο Πατρών7 έ&ει &ρηματο$οτή"ειμόνο τη ανα$ιαμόρ5ω"η του εκπαι$ευτικο4υλικο4.

• 'ο έργο υλοποιε#ται "το πλα#"ιο τουΕπι&ειρη"ιακο4 ρογράμματος 6Εκπα#$ευ"η και

Δια 8#ου %άθη"η7 και "υγ&ρηματο$οτε#ται απότην Ευρωπα9κή νω"η ;Ευρωπα9κό !οινωνικό 'αμε#ο< και από εθνικο4ς πόρους.



Σκοπο ενότητας

• =α ε>οικειωθε# ο 5οιτητής με τα$ιά5ορα ε#$η 5ορτ#ων.

• =α ε#ναι "ε θέ"η να θέτει τις ε>ι"ώ"εις

ι"ορροπ#ας και να υπολογ#?ει τιςαντι$ρά"εις "τήρι>ης.

• =α μπορε# να υπολογ#?ει τις

"υναρτή"εις των εντατικών μεγεθών.• =α ε#ναι "ε θέ"η να &αρά>ει τα

$ιαγράμματα εντατικών μεγεθών.



Περιεχόμενα ενότητας

• Ε#$η "τήρι>ης

• Ε#$η $οκών

•

@πολογι"μός αντι$ρά"εων• Δοκο# A+*B+*

• Εντατικά μεγέθη C,D,E

•

αρα$ε#γματα &άρα>ης C,D,E



• !ορ"ας# κάθε "ώμα που μπορε# να $ε&τε# ε>ωτερικά5ορτ#α.

• $οκός# γραμμικός 5ορέας "τον οπο#ο μπορο4ν να $ρουνε>ωτερικά 5ορτ#α οποιου$ήποτε ε#$ους.

• Σ%νθετη καταπόνηση# α>ονική, καμπτική, "τρεπτικήκαι $ιατμητική.

•

&'ωτερικά (ορτα# τρ#α εντατικά μεγέθη• % F ροπή κάμGης• D F τέμνου"ες $υνάμεις• = F α>ονική ;ορθή< $4ναμη

)ασικ"ς "ννοιες



&δη στήρι'ης με τις

δυνάμεις και ροπ"ς πουμετα("ρουν



*%λιση# "την κ4λι"η το "ημε#ο "τήρι>ης ε#ναι ελε4θερο ναμετακινε#ται &ωρ#ς τριβές με τη βοήθεια του ε$ράνουκ4λι"ης κατά μ#α μόνο $ιε4θυν"η. H αντ#$ρα"η της κ4λι"ης"τη $οκό ε#ναι μία δύναμη που $ιέρ&εται από το "ημε#ο"τήρι>ης και ε#ναι κάθετη "την κ4λι"η. Iυμβολ#?εται με +,

και ,-.

Άρθρωση# H άρθρω"η επιτρέπει την ελε4θερη "τρο5ή της$οκο4. Επιτυγ&άνεται με τη βοήθεια ενός πε#ρου. Hαντ#$ρα"η της άρθρω"ης έ&ει οποια$ήποτε $ιε4θυν"η.

Αναλ4εται "υνήθως "ε δύο κάθετες μετα>4 τους"υνι"τώ"ες, μ#α ορι?όντια και μ#α κατακόρυ5η.Iυμβολ#?εται με ;JK, LK< ή .,/0 ,-12

Πάκτωση# H πάκτω"η $εν επιτρέπει καμ#α μετακ#νη"η ή

"τρο5ή της $οκο4. Mι αντι$ρά"εις ε#ναι N O δύο "υνι"τώ"ες της $4ναμης ;, 0 , < και μία ροπή ;ροπή

Ανάλυση στηρ'εων



&δη δοκών



Για τον υπολογι"μό των αγνώ"των αντι$ρά"εων Oε5αρμό?ουμε τις N εξισώσεις στατικής ισορροπίας.

Σ3/ F P Σ3- F P ΣΜΑ F P

;Α ένα οποιο$ήποτε "ημε#ο $οκο4<

Qταν οι αντι$ρά"εις R F N O S"ο"τατική $οκός R T N O υπερ"τατική $οκός R U N O υπο"τατική $οκός

4πολο5ισμός

αντιδράσεων



Έστω αμφιέριστη δοκός με

φορτίο μεταβαλλόμενο κατά μήκος.

S"ορροπ#α

Σ3/ F P FT VW F P

Σ3- F P FT D F VW X VY

ΣΜ F P: %Α F P %8 F P

αδόν επιφάνειας φόρτισης F συνισταμένη όλων των φορ

α

α

Παράδει5μα υπολο5ισμο%

(ορτων



Για να βρεθε# το "ημε#ο ;έ"τω η από"τα"η α< πουα"κε#ται η "υνι"ταμένη $4ναμη D, η οπο#α ι"ο4ται με όλοτο κατανεμημένο 5ορτ#ο, ε5αρμό?ουμε το θεώρημα τουL*[202 κατά το οπο#ο η ροπή της "υνι"ταμένης ι"ο4ταιμε το άθροι"μα των ροπών των "υνι"τω"ών.

Mπότε

H από"τα"η α "υμπ#πτει με την τετμημένη του κέντρουβάρους ! της επι5άνειας 5όρτι"ης.

Mι αντι$ρά"εις ,- και 6- προκ4πτουν "ε "υνάρτη"η με

την από"τα"η α από %ΑFP και %8FP

4πολο5ισμός

δυνάμεων



$οκό

ς

ικ"ς σχ"σεις υπολο5ισμο%

ιδράσεων$&Σ



&ντατική κατάσταση

δοκο%

"τω ότι έ&ουμε μ#α $οκό που$έ&εται μ#α τυ&α#α καταπόνη"η. Iεμια κάθετη τομή εμ5αν#?ονται ταεντατικά μεγέθη που ακολουθο4ν.



&ντατική κατάσταση

δοκο%

Για να ι""οροπε# το τμήμα αυτό υπότην επ#$ρα"η των ε>ωτερικών$υνάμεων πρέπει να α"κε#ται μια$4ναμη R $ιαμέ"ου της $ιατομής

;αναλ4εται "ε α>ονικό 5ορτ#ο = καιμ#α τέμνου"α $4ναμη D< και μ#α



Πρόσημα (ορτων

διατομήςτ

τ

Iε μ#α τυ&α#α τομήκάθετα της $ιατομής ας$ο4με τις θετικές 5ορέςτων εντατικών μεγεθών



Σ%μ7αση θετικών

προσμων

Γενικά θεωρο4με θετικά πρό"ημα :• "το α>ονικό 5ορτ#ο που τε#νει να ε5ελκ4"ειτο ελέυθερο άκρο της $οκο4• "την τέμνου"α $4ναμη που τε#νει να"τρ#Gει την $ιατομή $ε>ιό"τρο5α•

την καμπτική ροπ4 που τε#νει να "τρέGειτα κο#λα της $οκο4 προς τα πάνω



$οκο 89:69:

H $οκός A+*B+* ε#ναι ένας"υν$ια"μός από αμ5ιέρι"τες καιπροέ&ου"ες $οκο4ς πουενώνονται με αρθρώ"εις οιοπο#ες $εν μετα5έρουν α>ονικά

5ορτ#α. Από τις υπόλοιπες"τηρ#>εις η μ#α ε#ναι άρθρω"ηκαι όλες οι άλλες κυλ#"εις. Iτο"&ήμα β βλέπουμε πώςαναλ4ονται οι $υνάμεις "το ΔΕI.

I&ήμα α.

I&ήμα β.



&ντατικά με5"θη σε

$οκο%ς 89:69:Ε$ώ βλεπουμε πωςεπηρεά?ονται ταεντατικά μεγέθη. Ε#ναι>εκάθαρο ότι $εν

μετα5έρονται α>ονικά5ορτ#α ενώ "τιςαρθρώ"ειςμη$εν#?ονται οι ροπές.Mι τέμνου"ες $υνάμεις

παραμένουνανεπηρέα"τες.



&ντατικά με5"θη;0<0=



Ε"τω ότι έ&ουμε αυτή την $οκό. Για την&άρα>η των =,D,E θα ακολουθή"ουμε τα

ε>ής "τά$ια που ακολουθο4ν.

)ήματα 5ια χάρα'η

δια5ραμμάτων εντατικώνμε5εθών >?@0 ><@0 >=@





•Αρ&ικά αναλ4ουμε όποιες $υνάμεις ε#ναιυπο κλ#"η ή αν έ&ουμε κατανεμημένα5ορτ#α ;τριγωνικά ή το>οει$ή< βρ#"κουμετα κέντρα βάρους τους , τα "ημε#α $ηλα$ήπου α"κε#ται η "υνι"ταμένη $4ναμη.•Iτην "υνέ&εια κατα"κευά?ουμε το$ιάγραμμα ελευθέρου "ώματος

τοποθετόντας όλες τις $υνάμεις.• 'έλος ορ#?ουμε $ε>ιό"τρο5ο "4"τημα





Ε5αρμό?ουμε τις "τερεο"τατικές ε>ι"ώ"εις γιατον υπολογι"μό των άγνω"τον αντι$ρά"εων





Mρ#?ουμε τις θετικές 5ορές τωνC,D,% όπως ε#παμε και νωρ#τερα και

τις διατηρο%με καθA όλη τηνδιάρκεια της επλυσης τηςάσκησης.





\εκινώντας απ το αρι"τερό μέρος της $οκο4και κινο4μενοι προς τα $ε>ιά πρ#ν και μετάαπό κάθε $4ναμη κάνουμε τομέςαπομακρ4νοντας το $ε>ιό τμήμα καιπρο"θέτοντας "το "ημε#ο τομής τα μεγέθηCDE με την θετική τους 5ορά.




δια5ραμμάτων εντατικώνμε5εθών >?@0 ><@0 >=@Αυτά ε#ναι τα τμήματαπου προκ4πτουν απ] τιςτομές που &αρά>αμε

προηγουμένως.

Α1

)

1

B1

Δεν >ε&νάμε ναε5αρμό"ουμετον κανόνα του

θετικο4προ"ήμου "εκάθε τομή.



)ήματα 5ια χάρα'ηδια5ραμμάτων εντατικώνμε5εθών >?@0 ><@0 >=@

Από τις "υνθήκες ι"ορροπ#ας υπολογ#?ουμε την τιμήπου πα#ρνουν τα C,D,E "ε κάθε τομή, $ηλα$ήυπολογ#?ουμε την τιμή τους για κάθε τμήμα μετα>4 $4ο$υνάμεων ώ"τε "το τέλος να έ&ουμε μια πλήρη εικόνατης κατανομής των εντατικών μεγεθών "ε όλη την$οκό ω"τε να μπορο4με να &αρά>ουμε και τα

$ιαγράμματα των ^C_ , ^D_ , ^E_ όπως θα $ο4με "τη"υνέ&εια.

W



Σχ"ση μετα'% >?@0 ><@0 >=@

Αυτό που έ&ει εν$ια5έρον ε#ναι ο "υ"&ετι"μός μετα>4των εντατικών μεγεθών. Διακρ#νουμε N περιπτώ"εις γιαμ#α $ιατομή ενός τμήματος της $οκο4 μετα>4 τ`τ καιτ]`τ].

. "το τμήμα αυτό $εν ε5αρμό?εται κανένα 5ορτ#ο.. ε5αρμό?εται "υγκεντρωμένο 5ορτ#ο a που $ρά

"ημειακά.. ε5αρμό?εται κατανεμημένο 5ορτ#ο b;W<.

.cα $ο4με τώρα τις "&έ"εις που προκ4πτουν μετα>4των CDE . Ε"τω οτι μελετάμε την παρακάτω $οκόλοιπόν.



$ιατομή άνευ (ορτου

Iτην περ#πτω"η μή 4παρ>ης$4ναμης μετα>4 των τομώντότε ι"&4ει ότι :



$ιατομή με κατανεμημ"νο(ορτο

dρα λοιπόνπροκ4πτει ότι

:O

O

O

Ε5αρμό?ουμε την "υνθήκηι"ορροπ#ας ροπών και$υνάμεων :



$ιατομή μεσυ5κεντρωμ"νο (ορτο

Αν ενεργε# "υγκεντρωμένο 5ορτ#οτότε από "υνθήκη ι""οροπ#ας$υνάμεων προκ4πτει ότι D]FD`V$ηλα$ή :

που "ημα#νει ότι η "υνάρτη"η τωντεμνου"ών $υνάμεων ε#ναι "ταθερήκαι #"η με a. Αυτό πρακτικά "ημα#νει

ότι από το "ημε#ο που ε5αρμό?εται η$υναμη a $#νει ένα άλμα "τηνγρα5ική παρά"τα"η των D;W<, έναε#$ος α"υνέ&ειας $ηλα$ή που"υμβα#νει από την απότομη μεταβολήτης τέμνου"ας $4ναμης όπως θα

$ο4με παρακάτω.



Παραδε5ματαδια5ραμμάτων ?<=



Παραδε5ματα χάρα'ης>;@ 0 ><@ 0 >=@ σε δοκο%ςπου ("ρουν δια(ορετικά

εδη (όρτισης2



Απλή δοκός με (ορτο στοκ"ντρο

)ήμα C : @πολογι"μόςαντι$ρά"εων

)ήμα D : !ατα"κευά?ουμε τοΔιάγραμμα ελευθέρου "ώματος



'ομή Α

'ομή 8

Απλή δοκός με (ορτο στοκ"ντρο )ήμα E : @πολογι"μός D;W<, E;W<

Iτην τομή Α

Iτην τομή8



Απλή δοκός με (ορτο στοκ"ντρο

&οντας πλέον βρε# τις"υναρτή"εις D;W<, E;W<μπορο4με να &αρά>ουμε τα$ιαγράματα τεμνου"ών$υνάμεων και καμπτικώνροπών.

Ε#ναι "ημαντικό ναπαρατηρή"ουμε ότι πάντα "το "ημε#ο που το $ιάγραμματεμνου"ών $υνάμεων ε#ναιμη$έν το $ιάγραμμα ροπών

παρου"ιά?ει μέγι"το.



Απλή δοκός με (ορτο υποκλση στο κ"ντρο

Iε περ#πτω"η που το 5ορτ#οήταν υπο κλ#"η τότε τοαναλ4ουμε "ε κάθετες

"υνι"τώ"ες και το μόνο πουαλλά?ει "την όλη $ια$ικά"#αε#ναι ότι μέ&ρι το "ημε#ο Γόπως προκ4πτει απ τηνι"ορροπ#α $υνάμεων "τονά>ονα & ότι έ&ουμε καια>ονικό 5ορτ#ο.

Mπότε εκτός από τα

$ιαγράμματα D,Eκατα"κευά ου ε και αυτό



$οκός με κατανεμημ"νο(ορτο

)ήμα D : !ατα"κευά?ουμε ΔΕI

)ήμα C : @πολογ#?ουμεαντι$ρά"εις




)ήμα E : @πολογι"μός DW, EW,CW




(αρά"ουμε τα CDE καιπαρατηρο4με ότι $ενυπάρ&ει α>ονικό 5ορτ#ο και

ότι το $ιάγραμμα καμπτικώνροπών ε#ναι παραβολή ββαθμο4.



Πρό7ολος με δ%ναμη στο"να άκρο

)ήμα D : !ατα"κευά?ουμε τοΔΕI)ήμα C : @πολογ#?ουμε τιςαντι$ρά"εις αντι$ρά"εις.

)ήμα C : @πολογ#?ουμε DW,CW, EW



Πρό7ολος με δ%ναμη στο"να άκρο

Αυτά ε#ναι τα$ιαγράμματαεντατικών μεγεθών που

προκ4πτουν.



Πρό7ολος μεκατανεμημ"νο (ορτο)ήμα D : !ατα"κευά?ουμε το ΔΕI

)ήμα C : @πολογ#?ουμεανι$ρά"εις

)ήμα E : @πολογι"μός DW, EW



Πρό7ολος μεκατανεμημ"νο (ορτο

>?@ Qπως ήταν λογικό το$ιάγραμμα καμπτικώνροπών που προκ4πτει ε#ναιπαραβολική καμπ4λη γβαθμο4.



$οκός με κατανεμημ"νοτρι5ωνικό (ορτο

)ήμα D : !ατα"κευά?ουμε το ΔΕI

)ήμα C : @πολογ#?ουμε τιςαντι$ρά"εις

)ήμα E : υπολογι"μός DW, EW



$οκός με κατανεμημ"νοτρι5ωνικό (ορτο

Αυτά ε#ναι τα τελικά$ιαγράμματα εντατικώνμεγεθών που

προκ4πτουν.

I # ή έ



Iημε#ωμα &ρή"ης έργωντρ#των

• 'Ε(=S!H %H(Α=S!H, Δρ . Α.8M@cM@=HI



'έλος Ενότητας

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ NQM

Documents

Transcript of ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ NQM