Η ΕΞΙΩΗ KLEIN-GORDON

Ξεκινάμε με τη σχετικιστική σχέση ενέργειας-ορμής:

2 2 2 2 4E c P m c (1)

τη συνέχεια θεωρούμε τους κβαντομηχανικούς τελεστές:

P i (2)

E it

(3)

Εισάγοντας τους τελεστές στην σχέση (1), έχουμε:

22 2 2 2 2 4

2( ) ( , ) [ ( ) ] ( , )i r t c i m c r t

t

ή

22 2 2 2 2 4

2( , ) ( , ) ( , )r t c r t m c r t

t

ή

2 2 22

2 2 2

1( , ) ( , ) ( , )

m cr t r t r t

c t

ή

2 2 22

2 2 2

1( ) ( , ) 0

m cr t

c t

(4)

Η σχέση (4) είναι η εξίσωση Klein – Gordon ελεύθερου

σωματιδίου.

Για την χρονικά ανεξάρτητη εξίσωση Klein – Gordon, έχουμε:

2 22

2( ) ( ) 0

m cr

(5)

ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ

Η εξίσωση K – G είναι δεύτερης τάξης ως προς το χρόνο, σε

αντίθεση με τη μη-σχετικιστική εξίσωση του Schrödinger που είναι

πρώτης τάξης. Έτσι ενώ για τη λύση της Schrödinger χρειαζόμαστε

την τιμή της ( , )r t κάποια δεδομένη χρονική στιγμή (μία αρχική

συνθήκη), για την λύση της K – G απαιτείται πέραν της τιμής της

( , )r t και η τιμή της

( , )r t

t

κάποια δεδομένη χρονική στιγμή.

Λόγω του γεγονότος ότι η εξίσωση είναι δεύτερης τάξης ως

προς το χρόνο, στις λύσεις ( . . )

( , )i

P r E t

r t e

, η ενέργεια μπορεί να είναι

2 2 2E c P m c είτε 2 2 2E c P m c . (Οι λύσεις θετικής ενέργειας

περιγράφουν σωματίδια ενώ οι λύσεις αρνητικής ενέργειας

περιγράφουν αντισωματίδια).

Η εξίσωση είναι επιλύσιμη για το δυναμικό Coulomb.

H (4) μπορεί να γραφεί και με τη μορφή:

2( ) ( , ) 0r t

(6)

όπου: 2

2

2 2

1

c t , ο τελεστής D’ Alembert (Νταλαμπερσιανή)

και mc

.

Αξίζει να σημειωθεί ότι κάθε λύση της εξίσωσης Dirac είναι

και λύση της K – G, ενώ δεν ισχύει το αντίστροφο.

Σέλος η εξίσωση Klein – Gordon, εκτός του ότι δέχεται και

λύσεις αρνητικής ενέργειας παρουσιάζει και άλλες «παθογένειες»,

όπως: η μη ύπαρξη κάτω φράγματος στην ενέργεια, καθώς και η

αδυναμία να ερμηνευθεί κάποια ποσότητα ως ρεύμα πιθανότητας.

(Σο γεγονός ότι δεν υπάρχει κάτω φράγμα στην ενέργεια σημαίνει

ότι κάποιο σωμάτιο ευρισκόμενο σε κάποια στάθμη θα μπορεί πάντα

να μεταπέσει σε άλλη χαμηλότερης ενέργειας, αφού πάντα θα

υπάρχει τέτοια, αποδίδοντας έτσι «άπειρη» ενέργεια).

ΙΣΟΡΙΑ

Η εξίσωση οφείλει την ονομασία της στους φυσικούς Oskar

Klein και Walter Gordon, οι οποίοι στα 1926 την πρότειναν σαν την

εξίσωση που περιγράφει τα σχετικιστικά ηλεκτρόνια.

Oskar Klein

Ονομάζεται επίσης και εξίσωση Klein-Fock-Gordon, αφού την

ίδια χρονιά προτάθηκε και από τον Ρώσο φυσικό Vladimir Fock.

Vladimir Fock

Βέβαια η σωστή περιγραφή των ηλεκτρονίων (φερμιονίων με

spin ½) δόθηκε τελικά στα 1928 από τον Paul Dirac, με την

διάσημη εξίσωσή του που περιγράφει τα στοιχειώδη σωματίδια με

spin ½, η οποία ως γνωστόν τον οδήγησε στην ανακάλυψη της

«αντιύλης».

Paul Dirac

Η εξίσωση Klein-Fock-Gordon περιγράφει σωστά τα

σωμάτια με spin 0, όπως πχ το πιόνιο. Σο πιόνιο βέβαια είναι

σύνθετο σωμάτιο. Μέχρι σήμερα δεν έχουν ανακαλυφθεί στοιχειώδη

σωμάτια με spin 0. (Σο μποζόνιο του Higgs, όπως προβλέπεται από

το Καθιερωμένο πρότυπο – Standard Model – είναι ένα μποζόνιο

μηδενικού spin).

την εξίσωση K – G είχε καταλήξει και ο ίδιος ο Schrödinger

στα τέλη του 1925, επειδή όμως η εφαρμογή της στο άτομο του

υδρογόνου δεν προέβλεπε σωστά την λεγόμενη «λεπτή υφή» του

ατόμου (επειδή δεν λαμβάνοταν υπόψη το spin του ηλεκτρονίου),

οδήγησε το διάσημο Αυστριακό φυσικό στο να δημοσιεύσει τελικά

την (πασίγνωστη πλέον) μη σχετικιστική εξίσωσή του.

Erwin Schrödinger

ΑΘΗΝΑ, ΑΤΓΟΤΣΟ 2012

ΥΙΟΡΕΝΣΙΝΟ ΓΙΑΝΝΗ