Ο ΤΡΙΤΟΣ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ KEPLER (ΜΕ ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ

ΑΝΑΛΥΣΗ)

Με αφορμή την ανάρτηση του Δημήτρη Αναγνώστου: «Άσκηση με Κίνηση

Δορυφόρου» μια προσπάθεια «εξαγωγής» του τρίτου νόμου του Kepler με τη βοήθεια

της διαστατικής ανάλυσης.

Ας υποθέσουμε (για ευκολία) ότι η Γη ή κάποιος άλλος πλανήτης κινείται γύρω

από τον Ήλιο ακολουθώντας κυκλική τροχιά με ακτίνα R. Έστω επίσης ότι η περίοδος

της περιστροφής είναι Τ. Είναι λογικό να υποθέσουμε ότι η περίοδος αυτή θα εξαρτάται

από τη δύναμη F που ασκεί ο Ήλιος στον πλανήτη, από την μάζα Pm του πλανήτη και

από την ακτίνα R της (υποτιθέμενης κυκλικής) του τροχιάς. Έτσι λοιπόν θα έχουμε:

( , , )PT f F m R (1)

Έχουμε λοιπόν:

a b c

PT F m R (2)

Οπότε:

1 2a a b cs Kg m s Kg m ή

1 2a b a c as Kg m s (3)

Έτσι λοιπόν έχουμε το σύστημα:

0

0

1 2

a b

a c

a

1

2a και

1

2b c

Έτσι λοιπόν η (2) δίνει:

Pm RT

F, ή

2 Pm RT

F (4)

Στη συνέχεια ας προσποιηθούμε ότι δε γνωρίζουμε το νόμο της παγκόσμιας έλξης

του Νεύτωνα. Είναι λογικό να θεωρήσουμε ότι η δύναμη ανάμεσα στον Ήλιο και τον

πλανήτη θα είναι συνάρτηση της μάζας Μ του Ήλιου, της μάζας Pm του πλανήτη της

σταθεράς G της βαρύτητας και της απόστασης R μεταξύ των δύο σωμάτων. Δηλαδή:

a b c d

PF G M m R (5)

Τώρα λόγοι συμμετρίας στην «εναλλαγή» των μαζών ώστε να ισχύει ο τρίτος νόμος

του Νεύτωνα (δράση – αντίδραση) μας οδηγούν στη σκέψη ότι πρέπει να είναι: b=c,

οπότε η σχέση (5) γίνεται:

( )a b d

PF G Mm R (6)

Οπότε έχουμε:

1 1 2 3 2 2a a a b dKg m s Kg m s Kg m ή

1 1 2 2 3 2a b a d aKg m s Kg m s

Έχουμε λοιπόν το ακόλουθο σύστημα:

1 2

1 3

2 2

b a

a d

a

1a , 1b , 2d

Έτσι λοιπόν η (6) δίνει:

2

PGMmF

R (7)

Συνδιάζοντας τις σχέσεις (4) και (7) έχουμε:

2

2

P

P

m RT

GMm

R

ή

3

2 RT

GM (8)

Στη σχέση λοιπόν (8) με δεδομένο το ότι το γινόμενο GM είναι σταθερό,

αναγνωρίζουμε τον τρίτο νόμο του Κέπλερ.

Παρατήρηση:

Θεωρώντας γνωστές τις διαστάσεις του G είναι σαν να γνωρίζουμε ήδη το νόμο της

δύναμης. Στην εργασία όμως σκοπός δεν ήταν ο νόμος της παγκόσμιας έλξης αλλά ο

τρίτος νόμος του Κέπλερ. Έτσι ουσιαστικά η εργασία "τελειώνει" στη σχέση (4), στην

οποία μπορούσαμε να αντικαταστήσουμε το F με το (γνωστό μας) νόμο του Νεύτωνα

και να καταλήξουμε στον τρίτο νόμο του Κέπλερ. (Για το λόγο αυτό και έγραψα "ας

προσποιηθούμε", κάνοντας κατόπιν τις πράξεις απλά σαν έλεγχο διαστάσεων). Ιστορικά

βέβαια τα πράγματα έγιναν "ανάποδα". Ο Νεύτωνας βασίσθηκε στους νόμους του

Κέπλερ για να φτάσει στο νόμο της παγκόσμιας έλξης. Και αυτό που είναι σημαντικό με

τη διαστατική ανάλυση είναι το γεγονός ότι αν φθάσουμε στη σχέση (4), φαίνεται ότι,

προκειμένου ο λόγος 2

3

T

R να είναι σταθερός (κάτι που γνώριζε ήδη ο Κέπλερ) η δύναμη

πρέπει να είναι αντίστροφα ανάλογη του R2.

Σημείωση:

Ευχαριστώ πολύ τους συναδέλφους Δημήτρη Γκενέ και Βαγγέλη Κουντούρη για

τις εύστοχες παρατηρήσεις τους.

Γιοχάνες Κέπλερ

ΑΘΗΝΑ , ΑΠΡΙΛΗΣ 2012

ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ