Το Έργο Του Igor Sharigin Filename: Το έργο του Igor Sharigin Ανδρέας...

8/16/2019 Το Έργο Του Igor Sharigin Filename: Το έργο του Igor Sharigin Ανδρέας Πούλος.docx

1/13

Με αφορμή το έργο του Igor Shariginγια την κατασκευή μαθηματικών προβημ!τ"ν

Ανδρέας Πούλος

Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Θεσσαλονίκης

an!"#a$ % &$"n"$ '(!

#ερ$η%η&) *(&! +,a!-(-n .ταν μια ε/αιρετικ. 0ερί0τ1ση συνθέτη 0ροβλημ2τ1ν 3ια

μαθηματικούς δια31νισμούς ο ο0οίος 0ροσ02θησε με την αρθρο3ρα4ία και τα

μαθ.ματα 0ου 0αρέδιδε να αναδεί/ει 0ώς ακριβώς συντελείται η διαδικασία

κατασκευ.ς 0ροβλημ2τ1ν' Με α4ορμ. τις ερ3ασίες του 3ια την σύνθεση0ροβλημ2τ1ν 0αρουσι25ουμε κ20οιες σχετικές έρευνες εκ μέρους της 6ιδακτικ.ς

τ1ν Μαθηματικών και ιδέες με σκο0ό την εκ0αίδευση στην 0αρα313. ελκυστικών

και 0ρ1τότυ01ν 0ροβλημ2τ1ν'

S'((ar)&*(&! +,a!-(-n 789:;>?@ AaB a CDBB-an #a$,"#a$-E-an A,& AaB -B$-n(D-B," -n

F!&GH"# F&B-n(I "BF"E-aHHJ K&! F!&GH"#B DB" -n La$,"#a$-EaH MHJ#F-aB'

N,!&D(, ,-B F!&K"BB-&naH H-K" A!&$" B"O"!aH a!$-EH"B "PFH-Ea$-n( $," F!&E"BB &K

E!"a$-&n &K -n$"!"B$-n( #a$,"#a$-EaH F!&GH"#B' Q" aHB& DB" $& (-O" "P"#FHa!J

H"BB&nB K&! $," $"aE,"!B &K #a$,"#a$-EB' N," F!"B"n$ FaF"!I -nBF-!" GJ +,a!-(-n

A&!RI &KK"!B B" -"aB $,a$ Ean -n-$-a$" #a$,"#a$-EB $"aE,"!BI an B$D"n$B aB

A"HHI $& $," aE$ 7an a!$@ &K F!&GH"# F&B-n(' N,"B" -"aB #-(,$ G" aHB& DB"KDH K&!

$," !"B"a!E,"!B -n $," K-"H'

M *(&! S"&!&O-E, +,a!J(-n 3ενν.θηκε στη Μόσχα το 89:; και 0έθανε

εκεί το =>>?' Tς μαθητ.ς είχε διακριθεί σε 0ολλούς μαθηματικούς

δια31νισμούς και )λυμ0ι2δες' Σ0ούδασε στο Uμ.μα Μαθηματικών και

Μηχανικ.ς του Πανε0ιστημίου της Μόσχας α0ό ό0ου και έλαβε το

διδακτορικό του σε θέμα της μαθηματικ.ς Αν2λυσης' V3ραWε 0ερισσότερα

α0ό :> βιβλία σχετικ2 με την ε0ίλυση 0ροβλημ2τ1ν κυρί1ς Xε1μετρίας'

)ρισμένα α0ό αυτ2 έχουν μετα4ραστεί και σε 2λλες 3λώσσες' Μερικ2 α0ό

τα βιβλία του .ταν σχολικ2 ε3χειρίδια 3ια τα σχολεία της Y'Σ'Σ'6' Zταν

μέλος της συντακτικ.ς ε0ιτρο0.ς του 3ν1στού 0εριοδικού [ Μαθηματικά

για το Σχολείο\ 3ια θέματα 0ου α4ορούσαν την ε0ίλυση 0ροβλημ2τ1ν' Α0ότο 89;> .ταν μέλος της συντακτικ.ς ε0ιτρο0.ς του δι2σημου 0εριοδικού

]Oan$8 0ου ίδρυσε ο Ακαδημα^κός Α' ]&H#&(&!&O' _ατ2 την 0ερίοδο 8999<

1 Uο 0εριοδικό αυτό με τον τίτλο `Dan$D# εκδίδονταν σε μετ24ραση και στις

'Π'Α' 3ια το α33λό41νο ανα3ν1στικό κοινό' _ατ2 το χρονικό δι2στημα 899?<

=>>8 εκδόθηκε και στην ελληνικ. 3λώσσα α0ό το [_2το0τρο\' τελευταία

ανα4ορ2 δεν είναι τυχαία' 6ηλώνει ότι ερ3ασίες του +,a!-(-n υ02ρχουν και στην

mailto:[email protected]:[email protected]


2/13

=>>= εκλέχθηκε μέλος της διεθνούς ε0ιτρο0.ς της *'b'L'c' Zτανσυντονιστ.ς τ1ν ε0ιτρο0ών 3ια την 0ροετοιμασία τ1ν μαθητών σε

Πανρ1σικό ε0ί0εδο 3ια τους μαθηματικούς δια31νισμούς και κυρί1ς 3ια τις

διεθνείς μαθηματικές )λυμ0ι2δες 7d'Μ')'@' Μ2λισταI 0ροβλ.ματα 0ου

είχαν 0ροταθεί α0ό τον ίδιοI είχαν τεθεί 1ς θέματα σε αυτές'

Θε1ρούσε ότι τα Μαθηματικ2 και ειδικ2 η Xε1μετρίαI αν διδαχθούν με

τον κατ2λληλο τρό0ο καλλιερ3ούν αρετέςI ενισχύουν το αίσθημα της

δικαιο


3/13

0ροβλημ2τ1ν' Vλε3ε ότι ένας καλός μαθηματικός μ0ορεί να διακρίνει τηδια4ορ2 αν2μεσα σε μια αισθητικ2 όμορ4η λύση και σε μια μέτρια λύση'

Yιδικ2 στα 3ε1μετρικ2 0ροβλ.ματα η δια4ορ2 αυτ. είναι 2μεσα εμ4αν.ς'

Uο βασικό κείμενο 0ου θα χρησιμο0οι.σουμε 3ια την έκθεση τ1ν ιδεών

του +,a!-(-n σχετικ2 με τη σύνθεση μαθηματικών 0ροβλημ2τ1ν είναι αυτό

0ου στην ελληνικ. έκδοση του `Dan$D# 4έρει τον τίτλο [ &'ς γεννι(ται

(να πρ)*λημα+ , τ(χνη της σ-νθεσης προ*λημάτων\I 7+,a!-(-nI =>>8@' Σε

αυτό ο συ33ρα4έας σημειώνει ότι [θα προσπαθήσω να σας *οηθήσω με τη

μακρ)χρονη εμπειρία μου στη σ-νθεση γεωμετρικ'ν προ*λημάτων. να σας

αποκαλ-/ω μερικά απ) τα μυστικά μου και να διατυπ'σω ορισμ(νες

αισθητικ(ς και )σο κι αν ακο-γεται παράδο0ο. μερικ(ς ηθικ(ς αρχ(ς \I

7+,a!-(-nI =>>8I σελ' 8=@' Uο κείμενο του /εκιν2 α0ό τις α0λούστερες τ1ντεχνικών οι ο0οίες είναι οικείες και σε 2τομα μέτριας ε/οικεί1σης με τη

σύνθεση 0ροβλημ2τ1ν και 0ροχ1ρ2 σταδιακ2 σε 0ροχ1ρημένες τεχνικές'

Μια α0ό τις 0ρακτικές 0ου ακολουθεί j ομολο3ουμέν1ς 0ρόκειται 3ια

συν.θη 0ρακτικ. j είναι αυτ. της *απ+κρυ%η,- ενός 3ε1μετρικού

0ροβλ.ματος . 2σκησης με έναν αλ3εβρικό μανδύα' 6ίνει 1ς 0αρ2δει3μα

αυτ.ς της 0ρακτικ.ς την ε0ίλυση του 0αρακ2τ1 συστ.ματος ε/ισώσε1ν με

α3νώστους PI JI k και σταθερές aI GI E'

√ x2−c2+√ y2−c2= z I √ y2−a2+√ z2−c2= x I

√ z2−b2+√ x2−b2= y'

Uο ισοδύναμο 3ε1μετρικό 0ρόβλημα είναι η κατασκευ. ενός τρι3ώνου με

0λευρές PI JI kI όταν δίνονται τα μ.κη τ1ν υWών του aI GI E' Α0οδεικνύεται

ότι το αλ3εβρικό σύστημα και το αντίστοιχο 3ε1μετρικό 0ρόβλημα έχουν το

0ολύ μία λύση' Σύμ41να με αυτ. την ιδέα μ0ορούμε να

[μεταμορ4ώσουμε\ ένα 3ε1μετρικό 0ρόβλημα σε μια τέτοια αλ3εβρικ.

μορ4. 0ου να α0έχει ρι5ικ2 α0ό την αρχικ. του 3ε1μετρικ. κατα313.' Tς

τέτοιο δίνουμε το 0ρ23ματι δύσκολο 0ρόβλημα της α0όδει/ης της

αλ3εβρικ.ς ανισότητας

√ ( x+ y)2+a2−2a ( x+ y ) cosφ+√ a2+ x2+2axcosφ>¿

√ ( x+ y)2+a2+2a ( x+ y ) cosφ+√ a

2+ x2−2axcosφ με δεδομένο τις

συνθ.κες 9>& l 4 l 8f>ο και aI PI J m >'

Uο αντίστοιχο 3ε1μετρικό 0ρόβλημα δημοσιεύθηκε στο La$,"#a$-Ea στην

,$$FhiiAAA'#a$,"#a$-Ea'(!iK&!D#iO-"A$&F-E'F,FKop=q$or=r>f

Αυτ. την 0ρακτικ. του μετασχηματισμού ενός 3ε1μετρικού

0ροβλ.ματος σε αλ3εβρικό . αντίστρο4αI την χρησιμο0οιούν και τα

σχολικ2 μας ε3χειρίδια 3ια να τονίσουν την α/ία της 0ολλα0λ.ς θεώρησης

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=62&t=52508http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=62&t=52508


4/13

και 0ροσέ33ισης τ1ν 0ροβλημ2τ1ν και την ιδέα της ενότητας τ1νΜαθηματικών' Xια 0αρ2δει3μα η τρι31νικ. ανισότητα . το 3ε1μετρικό

θεώρημα [το 2θροισμα δύο 0λευρών τρι3ώνου είναι με3αλύτερο α0ό το

μ.κος της τρίτης 0λευρ2ς του\ έχει 1ς αλ3εβρικό ισοδύναμο την α0όδει/η

της ανισότητας √ (a−c )2+(b−d )2+√ (c−e)

2+(d− f )2≥√ (a−e)2+(b−f )2

I ό0ου s7aI G@I t7EI @I b7"I K@ είναι οι συντετα3μένες τ1ν κορυ4ών ενός

τρι3ώνου stb' Με την ίδια 0ρακτικ. μ0ορούμε να συνθέτουμε 0οικιλία

μαθηματικών 0ροβλημ2τ1ν μετασ.ηματ$/οντ!, τα α0ό 3ε1μετρικ2I σε

τρι31νομετρικ2I σε αλ3εβρικ2I σε 0ροβλ.ματα διακριτών Μαθηματικών

κλ0' Xια 0αρ2δει3μα η εύρεση του 0λ.θους τ1ν τηλε41νημ2τ1ν μετα/ύ n

ατόμ1ν 70ρόβλημα Συνδυαστικ.ς@ μετατρέ0εται στο 3ε1μετρικό 0ρόβληματης εύρεσης του αθροίσματος του 0λ.θους τ1ν κορυ4ών και δια31νί1ν

ενός n>8I σελ'

8?@' Πολύ 3ν1στό 0αρ2δει3μα 0ροβλ.ματος το ο0οίο έχει 0ολύ δύσκολο

αντίστρο4ο είναι το 0ρόβλημα τ1ν +$"-n"!


5/13

μ0ορεί να 4τ2σει σε α0λούστερη και συντομότερη λύση α0ό τηναναμενόμενηI 7=>>8I σελ' 8?@'

Μια 2λλη 0ρακτικ. κατασκευ.ς 0ροβλημ2τ1ν είναι αυτ. τ"ν ει0ικών

περιπτώσε"ν' 6ίνει ένα χαρακτηριστικό 0αρ2δει3μα αυτ.ς της 0ρακτικ.ς'

) κατασκευαστ.ς . ο συνθέτης ενός νέου 0ροβλ.ματος 3ν1ρί5ει το

θεώρημα του vaBEaH στη Xε1μετρίαI [Αν έχουμε έ/ι σημεία sI tI bI wI cI S

σε έναν κύκλοI τότε τα τρία σημεία στα ο0οία τέμνονται τα 5εύ3η τ1ν

ευθειών stI wcI tb και cSI SsI bw αντίστοιχα είναι συνευθειακ2\' Με

β2ση το θεώρημα αυτό διατυ0ώνει το ε/.ς 0ρόβλημαI [Uο τετρ20λευρο

stbw είναι ε33ε3ραμμένο σε κύκλο και οι 0λευρές του st και bw

τέμνονται στο σημείο L' )ι 0λευρές του tw και sb τέμνονται στο σημείο

]' xα α0οδεί/ετε ότι οι ε4α0τόμενες του κύκλου στα σημεία y και bτέμνονται ε0ί της ευθείας _Μ\' Πρόκειται 3ια ειδικ. 0ερί0τ1ση του

θε1ρ.ματος του vaBEaH' ) υ0οW.4ιος λύτης μ0ορεί να ανακαλύWει έναν

0ροσ10ικό τρό0ο ε0ίλυσης ανε/2ρτητο α0ό το θεώρημα αυτό' ) +,a!-(-n

σε σχέση με αυτ. την 0ρακτικ. σημειώνει ότι [οι επαγγελματίες

μαθηματικοί που *οηθο-ν στη διοργάνωση μαθηματικ'ν Ολυμπιάδων

παράγουν συχνά κομ/ά και ενδια1(ροντα προ*λήματα απ) την επιστημονική

τους εργασία+ Οι ειδικ(ς περιπτ'σεις θεμελιωδ'ν θεωρημάτων και τα

αναρίθμητα λήμματα που προκ-πτουν απ) την απ)δει0η τ(τοιων

θεωρημάτων μπορο-ν συχνά να αναδιατυπωθο-ν ως προ*λήματα για

μαθητ(ς 4υκείου\I 7=>>8I σελ' 8p@'

Μια 2λλη 0ρακτικ. κατασκευ.ς 0ροβλημ2τ1ν είναι αυτ. της ααγή,

στη 0ιατ1π"ση εν+, αρ.ικο1 προβήματο,' Αυτ. η 0ρακτικ.I όσο κι αν

4αίνεται α0λ. . α0λο^κ.I α0αιτεί εμ0ειρία ώστε να α0οδώσει ένα [καλό\

0ρόβλημα' Μ2λισταI ό01ς τονίσει ο +,a!-(-nI 7=>>8I σελ' 8;@I [πολλ(ς

1ορ(ς μικρ(ς αλλαγ(ς στη διατ-πωση εν)ς προ*λήματος μπορεί να (χουν ως

συν(πεια τεράστιες αλλαγ(ς στο επίπεδο δυσκολίας του\' 6ίνει 1ς

0αραδεί3ματα τα ε/.ς 0ροβλ.ματαh 8' xα κατασκευαστεί τρί31νο όταν

δίνονται οι τρεις 0λευρές τουI =' xα κατασκευαστεί τρί31νο όταν δίνονται

οι τρεις δι2μεσοί τουI :'xα κατασκευαστεί τρί31νο όταν δίνονται τα τρία

ύWη τουI ?' xα κατασκευαστεί τρί31νο όταν δίνονται οι τρεις εσ1τερικοί

διχοτόμοι του' Uα 0ροβλ.ματα αυτ2 έχουν αυ/ανόμενη δυσκολία ε0ίλυσης1ς 0ρος τη σειρ2 διατύ01σης τουςI μ2λιστα το ?ο δεν μ0ορεί να ε0ιλυθεί με

κανόνα και διαβ.τη'

Μια 2λλη 0ρακτικ. σύνθεσης 0ροβλημ2τ1ν είναι η 0ιατ1π"ση

γενικε1σε"ν' z01ς τονί5ει ο +,a!-(-n [οι γενικε-σεις μπορεί να

ακολουθο-ν διά1ορες διευθ-νσεις+ Μερικ(ς 1ορ(ς (χουμε τη δυνατ)τητα να

α1αιρ(σουμε ορισμ(νους περιορισμο-ς απ) κάποιο πρ)*λημα ή να

επεκτείνουμε μια πρ)ταση σε (να ευρ-τερο σ-νολο αντικειμ(νων\I 7=>>8I


6/13

σελ' 89@' Παρ2δει3μα 0ροβλ.ματος στο ο0οίο α4αιρούμε κ20οιους0εριορισμούς είναι το ακόλουθοI [Αν η 0λευρ2 Α6 ενός ε33ε3ραμμένου

τετρ20λευρου ΑyX6 είναι δι2μετρος κύκλου και οι διχοτόμοι τ1ν 31νιών y

και X τέμνονται 02ν1 στην 0λευρ2 Α6I τότε να α0οδεί/ετε ότι ισχύει Αy {

X6 o Α6\' Α4αιρώντας τον 0εριορισμό η Α6 να είναι δι2μετρος κύκλουI

5ητ2με να ε/εταστεί αν ισχύει η 0αρα02ν1 0ρόταση' Uελικ2I α0οδεικνύεται

ότι και η νέα 0ρόταση ισχύει' Μια κλασικ. μορ4. 3ενίκευσης 3ε1μετρικών

0ροβλημ2τ1ν είναι η ανα5.τηση της επέκταση, τ"ν ι0ιοτήτ"ν 0ου

ισχύουν σε ένα ε0ί0εδο σχ.μα στο χώρο τ1ν τριών διαστ2σε1ν' Xια

0αρ2δει3μαI είναι 3ν1στό ότι [σε κ2θε τρί31νο οι δι2μεσοι διέρχονται α0ό

το ίδιο σημείο\' dσχύει αντίστοιχη 0ρόταση στον τρισδι2στατο χώρο|

6ηλαδ. ισχύει η 0ρόταση [τα τμ.ματα 0ου συνδέουν τις κορυ4ές ενόςτετραέδρου με τα κέντρα β2ρους τ1ν α0έναντι εδρώνI διέρχονται 02ντα

α0ό το ίδιο σημείο\| Vνα 0ρόβλημα μετ2βασης α0ό τη Xε1μετρία του

ε0ι0έδου σε αυτ. του χώρου τ1ν τριών διαστ2σε1ν είναι αυτό 0ου 0ρότεινε

ο +,a!-(-n 3ια τη μαθηματικ. )λυμ0ι2δα της Μόσχας το 899:I το ο0οίο

έλυσε τότε ε0ιτυχώς μόνον ο μαθητ.ς +"!("J La!R"H&O 7899fI σελ' 8r>@'

Uο 0ρόβλημα αυτό διατυ0ώνεται 1ς ε/.ςh [xα βρεθεί η ελ2χιστη διαδρομ.

ε0ί τ1ν τεσσ2ρ1ν εδρών ενός κανονικού τετραέδρου\' Uο αντίστοιχο

0ρόβλημα στην ε0ί0εδη Xε1μετρία μ0ορεί να είναι [6ίνεται ένα σημείο 6

σε μία 0λευρ2 ενός τρι3ώνου ΑyX' xα βρεθεί η ελ2χιστη διαδρομ. 0ου

διέρχεται α0ό τα σημεία 6I YI } ό0ου τα σημεία Y και } βρίσκονται στις

2λλες δύο 0λευρές του τρι3ώνου ΑyX\'

Uο ερώτημα τ1ν τεχνικών και 0ρακτικών 0ου ακολουθεί ένας συνθέτης

0ροβλημ2τ1ν 3ια να δημιουρ3.σει ένα 0ρ1τότυ0ο και ταυτόχρονα δύσκολο

0ρόβλημα έχει α0ασχολ.σει τους μαθηματικούςI τους ερευνητές της

6ιδακτικ. τ1ν ΜαθηματικώνI τους Wυχολό3ους και 2λλους ε0ιστ.μονες'

Vχουν .δη 0ερ2σει 0ερισσότερα α0ό :> χρόνια α0ό τότε 0ου εκδόθηκε το

0ρώτο βιβλίο 0ου ανα4έρεται α0οκλειστικ2 στη σύνθεση 0ροβλημ2τ1νI

7t!&An και ~aH$"!I 89fr@ και α0ό τότε καθιερώθηκε ο όρος [ 5o6789

5o:$%g \' )ι ερευν.τριες +$&Jan&Oa και cHH"!$&nI εδώ και => χρόνιαI

7+$&Jan&Oa q cHH"!$&nI 899p@ έκαναν μια ε0ισκό0ηση του 0λαισίου

ερ3ασίας 0ροη3ούμεν1ν ερευνητών 3ια τα θέματα της σύνθεσης0ροβλημ2τ1ν και 0ρότειναν ένα 0λαίσιο ερ3ασίας 3ια έρευνα σε μαθητές

υWηλού ε0ι0έδου στο 5.τημα αυτό' 6ια0ίστ1σαν ότι η έννοια της σύνθεσης

0ροβλημ2τ1ν ορί5εται α0ό δια4ορετικούς ερευνητές με χαρακτηριστικ2

0ου όχι μόνον 0οικίλουνI αλλ2 και σε μερικές 0ερι0τώσεις είναι και

αντίθετα μετα/ύ τους' Xια 0αρ2δει3μαI η σύνθεση 0ροβλ.ματος θε1ρείται

1ς η 0αρα313. ενός νέου 0ροβλ.ματος . η αναδιαμόρ41ση ενός

δεδομένου 0ροβλ.ματοςI 7wDnE"!I 89?r@' )ρί5εται 1ς μια ακολουθία


7/13

μαθηματικών 0ροβλημ2τ1ν 0ου 0η325ει α0ό μια δεδομένη κατ2στασηI7+,DRRAanI 899:@I . 1ς μια 0ροκύ0τουσα δραστηριότητα 7!"BDH$an$

aE$-O-$J@ α0ό ένα 0ρόβλημα 0ου χρησιμεύει 1ς 3ενν.τορας νέ1ν

0ροβλημ2τ1νI 7La#&na


8/13

τροχιές μ2θησης 7"A5oB"8B$C#7 78#%$%g B#D8CBo$8:@ 0ου θα συνδέονται μετο μ2θημα στην τ2/η' Xια τον σκο0ό αυτό 0ροσανατολίστηκαν σε δρ2σεις

0ου α4ορούσαν ερευνητές μαθηματικούςI δασκ2λους τ1ν Μαθηματικών

και διδακτορικούς 4οιτητές' Θεώρησαν ότι ένα με32λο λ2θος στη μετεκ0αί<

δευση τ1ν διδασκόντ1ν τα Μαθηματικ2 είναι ότι τους 0ροσ4έρεται μόνο

μαθηματικ. 3νώση σαν να .ταν 4οιτητές στο Πανε0ιστ.μιοI αντί να τους

μαθαίνουν 0ώς να κατασκευ25ουν 0ροβλ.ματα με σα4είς στόχους'

6ι24ορες ερευνητικές ερ3ασίες δίνουν έμ4αση στην α/ία της διατύ01σης

και της ε0αλ.θευσης εικασιών κατ2 τη διαδικασία της μ2θησης τ1ν

Μαθηματικών' Μ2λισταI θε1ρούν ότι η χρ.ση της τεχνολο3ίας σ.μερα

0ροσ4έρεται 0ολύ 3ια την ε/ερεύνηση τ1ν εικασιώνI κ2τι 0ου σχετί5εται

2μεσα με την κατασκευ. 0ροβλημ2τ1ν' Vνας στόχοςI . μια στοχευόμενηδραστηριότητα μετατρέ0εται σε 0ρόβλημα 7. σε 0ροβληματισμό@I όταν ο

λύτης . μια συνερ3α5όμενη ομ2δα λυτών 0ρέ0ει να ανα0τύ/ει ένα

0αρα313ικότερο τρό0ο σκέWης 3ια να υ0ερβεί αυτό τον στόχοI 7u"B, q

€aA&"ABR-I =>>;I σελ' ;f=@' Vνα α0ό τα 0λεονεκτ.ματα τ1ν

ηλεκτρονικών υ0ολο3ιστών στη διερεύνηση εικασιών είναι ότι η ο0τικ. και

εμ0ειρικ. 0ροσέ33ιση μέσ1 τ1ν λο3ισμικών 0ροσ4έρει αρκετές

0ληρο4ορίες 3ια την εκ0λ.ρ1ση του στόχουI συσχετί5ουν τα δεδομένα και

τα 5ητούμενα και 0αρέχουν νέες ιδέες 3ια την ε0αλ.θευση τ1ν εικασιών'

‚0ο3ραμμί5ουμε ότι α0ό μόνη της η διαδικασία ε0ίλυσης ενός

σύνθετου μαθηματικού 0ροβλ.ματος μ0ορεί να οδη3.σει στη σύνθεση νέ1ν

0ροβλημ2τ1ν' εμ0ειρία έχει δεί/ει ότι 0ολλές 4ορές κατ2 την

0ροσ02θεια μας να ε0ιλύσουμε ένα [δύσκολο\ 0ρόβλημαI ανακαλύ0τουμε

την ύ0αρ/η ενός 2λλου 0ροβλ.ματος το ο0οίο σχετί5εται 2μεσα με αυτό

0ου 0ροσ0αθούμε να ε0ιλύσουμε' Αυτό βέβαια δεν σημαίνει ότι η

διαδικασία διατύ01σης και συνειδητ.ς σύνθεσης 0ροβλημ2τ1ν 3ίνεται με

τυχαίο τρό0ο' )ι έρευνες έχουν αναδεί/ει ότι συχν2 κατ2 την ε0ίλυση ενός

0ροβλ.ματος εμ4ανί5εται το 4αινόμενο [E"#B $F %oBG\I ό01ς το έχουν

0ερι3ρ2Wει με σα4.νεια οι t!&An και ~aH$"!I 789fr@' Αυτό σημαίνει ότι

όταν ο λύτης ενός 0ροβλ.ματος αναρ1τηθεί [3ια να δούμε τι συμβαίνει αν

δεν ισχύει αυτ. η συνθ.κη\ . μια 0οικιλία συνα4ών ερ1τ.σε1ν και

α0οριώνI ουσιαστικ2 0ρόκειται 3ια μια 0ρώτη μορ4. σύνθεσης0ροβλ.ματος . διατύ01σης ενός σοβαρού 0ροβληματισμού 0ου μ0ορεί με

κατ2λληλη διαμόρ41ση να οδη3.σει σε ένα ενδια4έρον 0ρόβλημα'

Αν2λο3ο 0ροβληματισμό 3ια τη σύνθεση 0ροβλημ2τ1ν θέτει ο κ2τοχος

του βραβείου S-"HB και 0αιδί


9/13

υ0οδεικνύει να μεταβ2λλουμε 70ροσ1ριν2@ τα στοιχεία ενός αρχικού0ροβλ.ματος 3ια δια0ιστώσουμε 0ώς αυτ2 συμ0ερι4έρονται στις νέες

συνθ.κεςI τότε μ0ορεί να έχουμε νέο 0ρόβλημα' VτσιI κατ2 την [ελα4ρ2

τρο0ο0οίηση ενός 0ροβλ.ματος\I ό01ς την ονομ25ειI μ0ορεί να υ02ρχουν

οι ε/.ς ε0ιλο3έςh

α@ να θε1ρ.σουμε μια ειδικ. 0ερί0τ1ση του 0ροβλ.ματοςI ό01ς είναι μια

οριακ. θέση . οι ειδικές 0ερι0τώσεις'

β@ να ε0ιλύσουμε μια α0λο0οιημένη εκδοχ. του 0ροβλ.ματοςI

3@ να διατυ0ώσουμε μια εικασίαI η ο0οία θα μας οδη3.σει στη λύση και θα

α0οδεί/ουμε 0ρώτα την εικασία αυτ.ν'

δ@ να βρούμε κ20οια ε0ακόλουθα του 0ροβλ.ματος και 0ροσ0αθ.σουμε ναα0οδεί/ουμε 0ρώτα ότι αυτ2 ισχύουν'

ε@ να αναδιατυ0ώσουμε το 0ρόβλημα 70'χ' να μελετ.σουμε το αντιστρο4ο<

αντίθετο 0ρόβλημα . να κ2νουμε α0όδει/η με α0α313. σε 2το0ο . να

0ροσ0αθ.σουμε να κ2νουμε κ20οια αντικατ2σταση@'

στ@ να ε/ετ2σουμε λύσεις όμοι1ν 0ροβλημ2τ1ν'

5@ να 3ενικεύσουμε το 0ρόβλημα'

) Na& ανα4έρει ότι αυτ. η τελευταία 0ρακτικ. είναι χρ.σιμηI ειδικ2

όταν δεν μ0ορούμε να κ2νουμε ένα καλό /εκίνημα 3ια τη λύση του

0ροβλ.ματοςI ε0ειδ. μερικές 4ορές η ε0ίλυση ενός α0λούστερου

0ροβλ.ματος δεν μας δείχνει τη βασικ. μέθοδο 3ια την ε0ίλυση του

3ενικότερου' ƒαινομενικ2I είναι 0αρ2δο/ο να ε0ιλύουμε [ευκολότερα\ ένα

3ενικότερο 0ρόβλημα το ο0οίο μας βοηθ.σει να ε0ιλύσουμε μια ειδικ.

0ερί0τ1ση' Θυμί5ουμε όμ1ςI ότι την ε0ισ.μανση αυτ. έκανε και ο

+,a!-(-nI 7=>>8@'

Στη δεύτερη 0ρακτικ. [της ρι5ικ.ς τρο0ο0οίησης ενός 0ροβλ.ματος\I

η 0ιθανότητα να οδη3ηθούμε στη σύνθεση ενός νέουI ε/ίσου

ενδια4έροντοςI 0ροβλ.ματος είναι αυ/ημένη' Xια την 0ρακτικ. αυτ. ο Na&

ανα4έρει ότιh [ Σε αυτήν την πιο επιθετική μορ1ή στρατηγικής. προ0ενο-με

μεγάλες αλλαγ(ς στο πρ)*λημα. )πως απαλοι1ή δεδομ(νων. αλλαγή

δεδομ(νων σε σχ(ση με τον αρχικ) στ)χο. ή αναίρεση του στ)χου. δηλαδή.

της λ-σης του προ*λήματος. προσπαθ'ντας να δια/ε-σουμε μια πρ)ταση.παρά να την αποδεί0ουμε+ Hασικά. προσπαθο-με να οδηγήσουμε το

πρ)*λημα στη λ-ση του και μετά προσπαθο-με να διαπιστ'σουμε την

ορθ)τητα της λ-σης+ &ρ(πει να αντιλη1θο-με ποια είναι τα κομ*ικά σημεία

των δεδομ(νων και που (γκειται η *ασική δυσκολία για την τελική λ-ση+

υτ(ς οι πρακτικ(ς. μας *οηθο-ν να κατανοήσουμε ποιες στρατηγικ(ς είναι

συνήθως επιτυχείς και ποιες συνήθως αποτυγχάνουν\I 7Na&I =>>p@'


10/13

Tς τη βασικότερη 0ρο„0όθεση 3ια ασχοληθεί κ20οιος με τη σύνθεση0ροβλημ2τ1ν είναι να έχει 0ρα3ματικό ενδια4έρον 3ια την ε0ίλυση

0ροβλημ2τ1νI να έχει διαμορ4ώσει μια θετικ. στ2ση 3ια τη διαδικασία

αυτ.' Μόλις εδραι1θεί αυτό μέσ1 μιας συστηματικ.ς εκ0αίδευσης στη

δημιουρ3ία 0ροσ10ικών 0ροβλημ2τ1ν μ0ορεί να ε0ιτύχει ικανο0οιητικ2

α0οτελέσματα και στον τομέα αυτόν' z01ς τονίσει ο +,a!-(-nI [ Για να

διατυπ'σει κάποιος (να ενδια1(ρον και σημαντικ) πρ)*λημα. πρ(πει να (χει

κατανοήσει σε *άθος τα Μαθηματικά\I 7=>>8I σελ' =8@' Y0ίσηςI [ , κ-ρια

πηγή ν(ων προ*λημάτων είναι η περι(ργεια. η επιθυμία να ανακαλ-/ουμε

την ουσία εν)ς προ*λήματος. η ικαν)τητα να παρατηρήσουμε (να γνωστ)

γεγον)ς απ) καινο-ργια οπτική γωνία\I 7=>>8I σελ' =>@'

Θε1ρούμε ότι αυτές οι τεχνικές 0ου μας 0αρουσίασε ο +,a!-(-n σεσυνδυασμό με τις δύο [ε0ιθετικές\ 0ρακτικές του Na& 3ια την αντιμετώ0ιση

0ροβλημ2τ1νI δίνουν μια καλ. β2ση 3ια να βελτιώσουμε το 0ροσ10ικό μας

στυλ σύνθεση νέ1ν 0ροβλημ2τ1ν' βασικ. 0η3. έμ0νευση είναι 4υσικ2 η

ίδια η διαδικασία ε0ίλυση 0ροβλημ2τ1νI η ο0οία είναι μια διαδικασία 0ου

α0αιτεί συνεχ. ενασχόλησηI ενδια4έρονI δημιουρ3ικότητα και 0ολύ κό0ο'

2ιβιογραφ$α&

• t!&AnI +$"F,"nI q ~aH$"!I La!-&nI 7=>>r@' J"8 KB oF Lo6789 Lo:$%g '

7:n "'@ La,Aa,I …†h uaA!"nE" c!HGaD# sBB&E-a$"B' S-!B$ c-$-&n 89fr'

• b&n$!"!aBI †'I q La!$‡n"k@'

b&HD#GDBI MQh

• wDnER"!I ]' 789?r@' Mn F!&GH"#8'

• u"B, C-E,a! q †D-$, €aA&"ABR-I 7=>>;@' v!&GH"# B&HO-n( an

#&"H-n(' *n S' u"B$"! 7c'@' J"8 !8Co%M "#%M6ooU oF 8:8#C" o%


11/13

9#B"89#B$C: B8#C"$%g #%M 78#%$%g. =h ;p:?' b,a!H&$$"I …b'*nK&!#a$-&n s(" vDGH-B,-n('

• La#&na


12/13

J8C"%o7ogA $% N#B"89#B$C: OMTC#B$o%I r8f


13/13

Το Έργο Του Igor Sharigin Filename: Το έργο του Igor Sharigin Ανδρέας...

Documents

Transcript of Το Έργο Του Igor Sharigin Filename: Το έργο του Igor Sharigin Ανδρέας...