Φαινόμενο Hall

Πανεπιστήμιο Κρήτης – Τμήμα Φυσικής

Προχωρημένα Εργαστήρια Φυσικής I – Πείραμα 3: Φαινόμενο Hall 1

Ομάδα: 1 Ονοματεπώνυμο: Ζαχαριουδάκης Νίκος Α.Μ: 2980 Ονοματεπώνυμο: Ζαγοριανός Απόστολος Α.Μ: 3020 Ημερομηνία εκτέλεσης πειράματος: 24.10.2007 Ημερομηνία παράδοσης αναφοράς: 31.10.2007

Εργαστηριακή Αναφορά

Πείραμα 3: Φαινόμενο Hall



Σχήμα 1

Σχήμα 2

Σχήμα 3

ΣΣκκοοππόόςς ττηηςς άάσσκκηησσηηςς::

Σκοπός του πειράματος είναι η παρατήρηση του φαινομένου Hall σε θερμοκρασία δωματίου, σε ένα λεπτό υμένιο ημιαγωγού GaAs και η χρήση του φαινομένου για τη μέτρηση χαρακτηριστικών ιδιοτήτων του όπως το είδος, η πυκνότητα και η ευκινησία των φορέων.

ΘΘεεωωρρίίαα::

Κλασσικό φαινόμενο Hall

Το φαινόμενο Hall παρατηρήθηκε το 1879 από τον Edwin Hall. Ο Hall παρατήρησε ότι αν θέσουμε σε μαγνητικό πεδίο ένα αγώγιμο έλασμα που διαρρέεται από ρεύμα, τότε αναπτύσσεται διαφορά δυναμικού σε διεύθυνση που είναι κάθετη στο ρεύμα και στο μαγνητικό πεδίο. Το φαινόμενο αυτό, γνωστό ως φαινόμενο Hall, το προξενεί η μονομερής απόκλιση των φορέων φορτίου, λόγω της αλληλεπίδρασης με το μαγνητικό πεδίο. Η σωστή ανάλυση των πειραματικών αποτελεσμάτων δίνει πληροφορίες για το πρόσημο του

φορτίου των φορέων και για την πυκνότητα τους. Το φαινόμενο Hall χρησιμοποιείται επίσης για την μέτρηση μαγνητικών πεδίων.

Για να παρατηρήσουμε το φαινόμενο Hall, παίρνουμε ένα αγωγό σε σχήμα πλάκας (Σχήμα 1), ο οποίος διαρρέεται από ρεύμα I

κατά την θετική κατεύθυνση του άξονα x .

Κατά την κατεύθυνση του άξονα y , υπάρχει ομογενές μαγνητικό πεδίο B . Εάν οι φορείς φορτίου είναι αρνητικά φορτισμένοι (ηλεκτρόνια), η επάνω πλευρά

αποκτά περίσσευμα αρνητικού φορτίου και το σημείο c έχει χαμηλότερο δυναμικό από το a (Σχήμα 2).

Όταν οι φορείς είναι θετικά φορτισμένοι (οπές), η επάνω πλευρά αποκτά περίσσευμα θετικού φορτίου και το σημείο c έχει υψηλότερο δυναμικό από το a

(Σχήμα 3).



Και στις δύο περιπτώσεις παύουν να εκτρέπονται οι φορείς φορτίου όταν οι πλευρές φορτιστούν πλήρως, δηλ. όταν επέλθει ισορροπία ανάμεσα στην ηλεκτροστατική δύναμη και στη μαγνητική δύναμη. Η διαφορά δυναμικού στα σημεία a και c ονομάζεται τάση Hall, HV . Αυτή είναι ανάλογη του μέτρου του μαγνητικού πεδίου και της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το δείγμα. Η μέτρηση της τάσης Hall, δίνει συμπεράσματα για το είδος, τον αριθμό και την ευκινησία των φορέων του δείγματος.

Στερεό σώμα με ένα είδος φορέων Θα εξετάσουμε την περίπτωση δείγματος (μεταλλικός αγωγός, ημιαγωγός τύπου n ) με ένα είδος μόνο φορέων, π.χ. ηλεκτρόνια. Η πυκνότητα ρεύματος που διαρρέει το δείγμα είναι ίση με

e e e e eJ v en vρ= = −

(1) και οι συνιστώσες αυτής

( )2 21e e

ex x e ye

enJ E BEB

µ µµ

= −+

(2)

( )2 2 01

e eey y e x y e x

e

enJ E BE E BEB

µ µ µµ

= − = ⇔ = −+

(3).

(κατά τον άξονα y δεν έχουμε ροή ρεύματος)

Όπου,

ev

η μέση ταχύτητα που αποκτούν οι φορείς των ηλεκτρονίων en η αριθμητική πυκνότητα των φορέων

eµ η ευκινησία των φορέων

Αντικαθιστώντας την 3 στην 2, παίρνουμε

ex e e xJ en Eµ=

(4),

Ενώ από τις σχέσεις 3, 4 και τον ορισμό του συντελεστή Hall, έχουμε:

1ye

ex e

ER

J B n e= = −

(5)

Επομένως, ο συντελεστής Hall εξαρτάται μόνο από το πρόσημο και την πυκνότητα των φορέων φορτίου.

Μαγνητοαντίσταση Η αντίσταση τόσο των μετάλλων όσο και των ημιαγωγών μεταβάλλεται όταν τοποθετηθούν σε μαγνητικό πεδίο. Αυτό το φαινόμενο λέγεται μαγνητοαντίσταση και παρατηρείται πιο έντονο σε χαμηλές θερμοκρασίες. Σε μονοσθενικά μέταλλα όπως ο Χρυσός ( )Au , η μαγνητοαντίσταση είναι σχετικά χαμηλή, ενώ σε πιο σύνθετα μέταλλα, όπως το Αρσενικό ( )As , Βισμούθιο ( )Bi και Αντιμόνιο ( )Sb , είναι πολύ μεγαλύτερη.



Σχήμα 4 – Δομή GaAs

Μια εισαγωγή στους ημιαγωγούς Ημιαγωγοί ορίζονται τα δυνητικά αγώγιμα υλικά, δηλ. αυτά που άγουν το ρεύμα κάτω από ορισμένες συνθήκες. Π.χ., υλικά όπως το πυρίτιο (Si), όταν εκτεθούν σε σχετικά αυξημένη θερμοκρασία ή όταν προσπέσει φώς στην επιφάνεια τους, άγουν επιλεκτικά το ρεύμα. Τους ημιαγωγούς τους διακρίνουμε στους ενδογενείς και στους εξωγενείς.

Οι ενδογενείς ημιαγωγοί είναι κρύσταλλοι σε καθαρή κατάσταση που εμφανίζουν ηλεκτρική αγωγιμότητα, αλλά πολύ μικρή. Στο κρυσταλλικό πλέγμα ενός ενδογενούς ημιαγωγού, μπορεί να υπάρξει ένα ηλεκτρόνιο ( e− ) που δεν βρίσκεται στη θέση του. Το τελευταίο, χάρη σε θερμική κινητική ενέργεια ή σε ένα φωτόνιο, ελευθερώθηκε από τον ομοιοπολικό δεσμό σθένους αφήνοντας τη θέση αυτή κενή, δημιουργώντας αντί αυτού μια οπή, p (positive - θετικό φορτίο). Καθώς το ελεύθερο ηλεκτρόνιο μπορεί να κινηθεί αδέσμευτο μέσα στο πλέγμα, συμβάλλει στην αγωγιμότητα τού κρυστάλλου. Η οπή μπορεί να συμπληρωθεί εύκολα από ένα γειτονικό ηλεκτρόνιο διότι τα ηλεκτρόνια ταλαντεύονται γύρω από τη θέση ισορροπίας τους κι ένα από αυτά μπορεί να εγκατασταθεί στη θέση της συμπληρώνοντας τον ατελή δεσμό. Τότε βέβαια μια άλλη οπή θα εμφανισθεί στη δική του προηγούμενη θέση με αποτέλεσμα την ψευδό-μετατόπιση της αρχικής οπής. Αν τώρα εφαρμοσθεί ηλεκτρικό πεδίο θα έχουμε μετακίνηση φορτίου, λόγω της προσανατολισμένης κίνησης των ελευθέρων ηλεκτρονίων και της προσανατολισμένης μετατόπισης των οπών. Παρατηρούμε λοιπών ότι οι δύο μετακινήσεις φορτίων γίνονται κατά αντίθετη φορά και επομένως αμφότεροι οι δύο φορείς ( ),e p−

συμβάλλουν στην αγωγιμότητα του

κρυστάλλου κατά την ίδια φορά. Οι εξωγενείς ημιαγωγοί δημιουργούνται με την διαδικασία εμπλουτισμού ή αλλιώς

νόθευσης (doping). Η διαδικασία αυτή συνίσταται στην εισαγωγή ενός πεντασθενούς ή ενός τρισθενούς στοιχείου στον κρύσταλλο του καθαρού ημιαγωγού. Με τον τρόπο αυτό

επιτυγχάνεται ο έλεγχος της συγκέντρωσης των φορέων του ρεύματος δηλαδή της αγωγιμότητας του ημιαγωγού. Η διαδικασία εμπλουτισμού δημιουργεί τους λεγόμενους

ημιαγωγούς τύπου n (negative) όταν εισαχθούν πεντασθενή στοιχεία στον κρύσταλλο του καθαρού ημιαγωγού όπως Φωσφόρος ( )P ή Αρσενικό ( )As , ενώ εάν εισαχθούν

προσμίξεις από ένα τρισθενές στοιχείο όπως το Βόριο ( )B , το

Αλουμίνιο ( )Al ή το Γάλλιο ( )Ga , τότε δημιουργούνται ημιαγωγοί τύπου p (positive).

Επίσης υπάρχουν και οι ημιαγωγοί που δημιουργούνται από

τις ενώσεις στοιχείων των ομάδων τρία (III) και πέντε (V) του περιοδικού συστήματος και καλούνται ημιαγωγοί III-V, ( ),GaAs InP και ημιαγωγοί που δημιουργούνται από ενώσεις

στοιχείων των ομάδων δύο (ΙΙ) και έξι (VI) και καλούνται ημιαγωγοί II-VI ( )ZnS .

Καθετήρας Hall:

Η λειτουργία του οργάνου αυτού στηρίζεται στο φαινόμενο Hall. Δείγμα ημιαγωγού, γνωστού HR διαρρέεται από σταθερό ρεύμα. Τότε η τάση Hall που δείχνει το όργανο είναι ανάλογη του μαγνητικού πεδίου που θέλουμε να μετρήσουμε. Η σταθερά αναλογίας είναι γνωστή: 1mV αντιστοιχεί σε 10mT .



Σχήμα 5

Μέθοδος μετρήσεων του Van Der Pauw:

Η μελέτη των βασικών ηλεκτρικών ιδιοτήτων των ημιαγωγών (ειδική αντίσταση, τύπος αγωγιμότητας, ευκινησία και συγκέντρωση φορέων) απαιτεί χρήση εξειδικευμένων μεθόδων με προτιμότερη αυτή του Van Der Pauw. Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό της τεχνικής αυτής, είναι η δυνατότητα υπολογισμού της επιφανειακής αντίστασης, της επιφανειακής συγκέντρωσης και ευκινησίας των φορέων του ημιαγωγού, χωρίς να είναι γνωστή καμία διάσταση του εξεταζόμενου δείγματος. Βασική προϋπόθεση χρήσης της μεθόδου αυτής είναι το δείγμα να είναι επίπεδο, ομογενές, ισοτροπικό, συνεχές (χωρίς τρύπες) και να φέρει σημειακές επαφές στην περιφέρεια του.

ΠΠεειιρρααμμααττιικκήή ΔΔιιααδδιικκαασσίίαα κκααιι ΑΑννάάλλυυσσηη ΜΜεεττρρήήσσεεωωνν::

ΜΜέέρροοςς ΑΑ:: ΔΔηημμιιοουυρργγίίαα κκααιι μμέέττρρηησσηη ττοουυ μμααγγννηηττιικκοούύ ππεεδδίίοουυ

Συνδεσμολογούμε το κύκλωμα του Σχήματος 5, προσέχοντας το διάκενο μεταξύ των πόλων του ηλεκτρομαγνήτη να είναι τέτοιο ώστε να χωράει ακριβώς το δείγμα ημιαγωγού1, χωρίς όμως να εφάπτεται.

1 Προς αποφυγή παρανόησης, σημειώνουμε, ότι, το δείγμα ημιαγωγού συμμετέχει στα επόμενα μέρη της πειραματικής διαδικασίας.

Με την βοήθεια της παραπάνω διάταξης, θα δημιουργήσουμε το μαγνητικό πεδίο B που θα χρειαστούμε στα επόμενα μέρη του πειράματος. Σκοπός μας είναι να μετρήσουμε το B με στόχο την κατασκευή της καμπύλης βαθμονόμησης του.

Προτού κάνουμε τις απαραίτητες μετρήσεις, θα πρέπει ο πυρήνας του ηλεκτρομαγνήτη να είναι απομαγνητισμένος καθώς επίσης να απομαγνητίζεται πριν τον έκαστο προσδιορισμό του B . Μπορούμε να επιτύχουμε την απομαγνήτιση του πυρήνα αν χρησιμοποιήσουμε εναλλασσόμενη τάση (συνεπώς εναλλασσόμενο ρεύμα) ή αυξομειώνοντας το πεδίο με αλλαγή φοράς του συνεχούς ρεύματος, δηλ. 0 5 0 5 0A A→ → →− → .

Θέτουμε σε λειτουργία το κύκλωμα του σχήματος 5. Για πολλαπλές τιμές συνεχούς ρεύματος

mI , ακολουθώντας την ροή 0 5 0 5 0A A→ → →− → με βήμα 1A , καταγράφουμε τις τιμές διαφοράς δυναμικού HV που δημιουργείται μεταξύ των πόλων του μαγνήτη με τον καθετήρα Hall.



Συστηματοποιώντας τα πειραματικά δεδομένα, προκύπτουν οι παρακάτω πίνακες 1α, 1β και κατά επέκταση το διάγραμμα ( )mB f I= (1).

mI ± 0,1 ( )A B ( )mT B±∆ ( )mT

5,0 565 1 4,0 504 1 3,0 407 1 2,0 277 1 1,0 141,3 0,1 0,0 15,28 0,01 -1,0 -120,2 0,1 -2,0 -251 1 -3,0 -381 1 -4,0 -486 1 -5,0 -559 1

mI ± 0,1 ( )A B ( )mT B±∆ ( )mT

-5,0 -558 1 -4,0 -498 1 -3,0 -393 1 -2,0 -266 1 -1,0 -134,8 0,1 0,0 -6,55 0,01 1,0 128,7 0,1 2,0 260 1 3,0 388 1 4,0 495 1 5,0 570 1

Πίνακας 1β

Πίνακας 1α

Διάγραμμα 1



Από το διάγραμμα 1, παρατηρούμε ότι η εξάρτηση ( )mB f I= παρουσιάζει γραμμική τάση. Προσαρμόζοντας ευθεία στο παραπάνω διάγραμμα, προσδιορίζουμε την εξίσωση βαθμονόμησης του μαγνητικού πεδίου B , η οποία έχει ως εξής:

= 127,446 +4,353mB I

( ) ( ) ( )22 2

2 2 2m m m

m

B B BB b I a I b b I ab I a

∂ ∂ ∂ ∆ = ± ∆ + ∆ + ∆ = ± ∆ + ∆ + ∆ ∂ ∂ ∂

ΜΜέέρροοςς ΒΒ11:: ΜΜέέττρρηησσηη ττηηςς εειιδδιικκήήςς ααννττίίσστταασσηηςς δδεείίγγμμααττοοςς ηημμιιααγγωωγγοούύ GGaaAAss

Στο μέρος αυτό θα προσδιορίσουμε την ειδική αντίσταση ρ ενός δείγματος ημιαγωγού GaAs , κάνοντας χρήση της μεθόδου Van Der Pauw.

Αρχικά, κατασκευάζουμε την διάταξη κυκλώματος του σχήματος 6. Θα συμβολίσουμε τις έκαστες αντιστάσεις ως

,kl k l

ij klij ij

V V VRI I

−= = (6),

όπου, ,i j ο θετικός και ο αρνητικός αντίστοιχα πόλος της πηγής έντασης ρεύματος ,k l ο θετικός και ο αρνητικός αντίστοιχα πόλος του βολτομέτρου.

Η ειδική αντίσταση ρ , με 0B = , προσδιορίζεται ως εξής:

, ,

ln 2 2ij kl ki ljR Rt fπρ

+ =

(7)

( ) ( )21,34 12,34 32,41 23,41 43,12 34,12 14,23 41,231

ln 2 8 A Bt R R R R f R R R R fπρ = − + − + − + − (8)

2 2 2 2 2 2 2

21,34 12,34 32,41 23,41 43,12 34,12 14,23 41,21,34 12,34 32,41 23,41 43,12 34,12 14,23 41,23

R R R R R R R RR R R R R R R Rρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρρ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∆ = ± ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( ) ( )

2

23

2 22 22 221,34 12,34 32,41 23,41 43,12 34,12 14,23 41,23 21,34 12,34 32,41 23,41 43,12 34,12 14,23 41,23

1ln 2 8 A B A B

t f R R R R f R R R R R R R R f R R R R fπ

=

= ± ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + − + − ∆ + − + − ∆

Όπου,

t το πάχος του αγώγιμου στρώματος του δείγματος ημιαγωγού Af , Bf τιμές του παράγοντα διόρθωσης για ασυμμετρίες του δείγματος

Σχετικά με τις τιμές του παράγοντα διόρθωσης, Af & Bf , τις προσδιορίζουμε μέσω της καμπύλης f Q− (Σχήμα 7), όπου Q ο παράγοντας συμμετρίας:

32,41 23,41

21,34 12,34A

R RQ

R R−

=− (9)

Σχήμα 6



2 2 2 2

32,41 23,41 21,34 12,3432,41 23,41 21,34 32,41

2 2

32,41 23,4132,41 23,41 2

21,34 12,34 21,34 12,34 21,34

1 1

A A A AA

Q Q Q QQ R R R RR R R R

R RR R

R R R R R

∂ ∂ ∂ ∂∆ = ± ∆ + ∆ + ∆ + ∆ = ∂ ∂ ∂ ∂

−= ± ∆ + − ∆ + − ∆ − −

2 2

32,41 23,4121,34 12,342

12,34

R RR R

R −

+ ∆

14,23 41,23

43,12 34,12B

R RQ

R R−

=− (10)

2 2 2 2

14,23 41,23 43,12 34,1214,23 41,23 43,12 34,12

2 2

14,23 41,2314,23 41,23 2

43,12 34,12 43,12 34,12 43,12

1 1

B B B BB

Q Q Q QQ R R R RR R R R

R RR R

R R R R R

∂ ∂ ∂ ∂∆ = ± ∆ + ∆ + ∆ + ∆ = ∂ ∂ ∂ ∂

−= ± ∆ + − ∆ + − ∆ − −

2 2

14,23 41,2343,12 34,122

34,12

R RR R

R −

+ ∆

Για κάθε δυνατή συνδεσμολογία του κυκλώματος (Σχήμα 6), μεταβάλλουμε την τιμή της έντασης του ρεύματος ijI ή I που διαρρέει το δείγμα ημιαγωγού, προκαλώντας έτσι αντίστοιχη μεταβολή της τιμής τάσης klV ή HV .

Συστηματοποιώντας τα πειραματικά δεδομένα, προκύπτει ο παρακάτω πίνακας 2 και κατά επέκταση το διάγραμμα ( )HV f I= για έκαστη από τις παρακάτω δυνατές συνδεσμολογίες του κυκλώματος. Οι κλίσεις των διαγραμμάτων (2 έως 9), όπως ευνόητα προκύπτει, θα αποτελούν τις αντίστοιχες τιμές αντίστασης ,ij klR .

I ± 0,2( )mA

21,34R 12,34R 32,41R 23,41R 43,12R 34,12R 14,23R 41,23R

HV ( )mV

HV( )mV

HV( )mV

HV( )mV

HV( )mV

HV( )mV

HV( )mV

HV( )mV

HV∆( )mV

0,0 0,0 0,0 0,1 -0,1 0,0 -0,1 0,1 -0,1 0,1 1,0 71,7 -69,9 99,9 -102,2 69,8 -74,1 103,3 -102,4 0,1 2,0 138,4 -139,9 188,9 -198,4 141,1 -144,3 199,0 -199,0 0,1 3,0 204 -208 274 -287 207 -213 296 -295 1 4,0 269 -275 363 -376 275 -285 389 -390 1 5,0 334 -343 449 -468 344 -355 488 -482 1

Σχήμα 7

Πίνακας 2



Συνεπώς, βάση των παραπάνω, έχουμε:

32,41 23,41

21,34 12,34

1,3849 0,0347A

R RQ

R R−

= = ±−

0,9 0,1A Bf f≈ ≈ ±

14,23 41,23

43,12 34,12

1,3934 0,0217B

R RQ

R R−

= = ±−

310t mm−=

( ) ( )21,34 12,34 32,41 23,41 43,12 34,12 14,23 41,23

4 4

1ln 2 83,420 10 0,382 10

A Bt R R R R f R R R R f

m

πρ

− −

= − + − + − + − =

= ⋅ ± ⋅ Ω

Αξίζει να σημειωθεί, ότι, ένα σφάλμα που υπεισέρχεται στις μετρήσεις με τη μέθοδο Van Der Pauw, οφείλεται στο πεπερασμένο μέγεθος των μεταλλικών επαφών, αντί σημειακών επαφών που υποθέτει το μοντέλο Van Der Pauw. Αυτό το καταλαβαίνουμε από την έλλειψη ακρίβειας στο διάγραμμα του παράγοντα διόρθωσης f .

ΜΜέέρροοςς ΒΒ22:: ΜΜέέττρρηησσηη ττοουυ σσυυννττεελλεεσσττήή HHaallll δδεείίγγμμααττοοςς ηημμιιααγγωωγγοούύ GGaaAAss

Στο μέρος αυτό θα υπολογίσουμε το συντελεστή Hall HR ενός δείγματος ημιαγωγού GaAs , κάνοντας χρήση της μεθόδου Van Der Pauw, με τους εξής δύο τρόπους:

1ος τρόπος

Συνδεσμολογούμε τα κυκλώματα του σχήματος 5 και 7, όπου το τελευταίο θα τοποθετείται δυνητικά ανάμεσα στο πόλους του πηνίου του πρώτου. Η λειτουργία της διάταξης (5-7) είναι απλή. Ενώ βρίσκεται το δείγμα ημιαγωγού υπό την επίδραση μαγνητικού πεδίου B , η μία διαγώνιος του (1,3) διαρρέεται από ρεύμα I . Τότε παρατηρούμε μια διαφορά δυναμικού στα άκρα που

ορίζει η άλλη διαγώνιος (2,4), δηλ. μια τάση Hall. Με λίγα λόγια, έχουμε σε εξέλιξη το φαινόμενο Hall.

Ρυθμίζουμε το κύκλωμα του σχήματος 5, ώστε το πηνίο να διαρρέεται με σταθερή τιμή έντασης ρεύματος mI . Έτσι, κατορθώνουμε σταθερής έντασης μαγνητικό πεδίο B ,

εκτιμούμενο βάση της εξίσωσης βαθμονόμησης του Α΄ μέρους. Για να παρατηρήσουμε το φαινόμενο Hall, αρκεί να τοποθετήσουμε την διάταξη του σχήματος 7 σε αυτήν του 5. Επομένως για έκαστη δυνατή συνδεσμολογία στα άκρα του δείγματος ημιαγωγού, έχουμε:

( ) ( )2

0 0H ij i j i jB BV t V V V V

≠ == − − − (11)

,,

H ij ij klH ij

kl

V t R tR

BI B= = (12)

Σχήμα 7



, ,

2lk ij ij kl

H

R RtRB

+ =

(13)

2 Εδώ, να σημειώσουμε, ότι, η τάση Hall προσδιορίζεται από την διαφορά των τάσεων που μετρώνται χωρίς μαγνητικό πεδίο και υπό την παρουσία μαγνητικού πεδίου («… θα τοποθετείται δυνητικά ανάμεσα στο πόλους του πηνίου του πρώτου…»). Ο συντελεστής Hall, HR , προσδιορίζεται ως εξής:

31,42 13,42 42,13 24,13 13,42 31,42 24,13 42,13

8

B B B B B B B B

H

R R R R R R R RtRB B

+ + + + − − − −

+ −

− + − − + −= +

(14)

31,42 13,42 42,13 24,13 31,42 13,42

31,42 13,42 42,13 24,13 31,42 13,42

2 2 2 2 22B B B B B BH H H H H H H

H B B B B B B

R R R R R R RR B R R R R R RB R R R R R R

+ + + + + − −+ + + + + − −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∆ = ± ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + + ∆ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( )

42,13 24,13

42,13 24,13

31,42 13,42 42,13 24,13 31,42 13,42 42,13 24,13 31,42

2 2 2 2

2 2 2

8 8 8

B BH H HB B

B B B B B B B B B

R R RR R BR R B

t t tR R R R R R R R B R

− − −− − −

+ + + + − − − − + +

∂ ∂ ∂ + ∆ + ∆ + ∆ = ∂ ∂ ∂

= ± − + + + − + − + + ∆ + 13,42 42,13 24,13 31,42 13,42 42,13 24,13

2 2 2 2 2 2 2

8 8 8 8 8 8 8B B B B B B Bt t t t t t tB R B R B R B R B R B R B R+ + + + + + − − − − − − − − ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆

Μια παρατήρηση:

Μεγάλης ακρίβειας μετρήσεις απαιτούν να εξαλείψουμε από τις μετρούμενες τάσεις Hall διάφορες παρασιτικές τάσεις, γεγονός που επιτυγχάνεται με τον συνδυασμό (μέσον όρο) μετρήσεων που αντιστοιχούν και στις δύο πολικότητες του ρεύματος mI και μαγνητικού

πεδίου B .

Για κάθε δυνατή συνδεσμολογία του κυκλώματος (Σχήμα 7), μεταβάλλουμε την τιμή της έντασης του ρεύματος klI ή I που διαρρέει το δείγμα ημιαγωγού προκαλώντας έτσι αντίστοιχη μεταβολή της τιμής τάσης HijV ή HV .

Συστηματοποιώντας τα πειραματικά δεδομένα, προκύπτουν οι παρακάτω πίνακες 3 έως 11 και κατά επέκταση το διάγραμμα ( )HV f I= για έκαστη από τις παρακάτω δυνατές συνδεσμολογίες του κυκλώματος. Οι κλίσεις των διαγραμμάτων (10 έως 17), όπως ευνόητα προκύπτει, θα αποτελούν τις αντίστοιχες τιμές αντίστασης

,ij kl

BR± .

Για 0 0mI B= ⇔ = :

I ± 0,2 ( )mA 31,42R 13,42R 42,13R 24,13R

0BijV =

( )mV 0B

ijV = ( )mV 0B

ijV = ( )mV 0B

ijV = ( )mV 0B

ijV =∆ ( )mV

0,0 0,0 -0,2 -0,2 -0,1 0,1 1,0 26,0 -39,6 -30,6 31,0 0,1 2,0 45,8 -56,7 -57,2 61,7 0,1 3,0 63,3 -80,4 -80,4 90,9 0,1 4,0 81,7 -103,7 -102,8 119,2 0,1 5,0 100,1 -124,8 -123,8 148,4 0,1

Πίνακας 3



Για [ ] [ ]3,0 0,1 387 44mI A B mT= ± ⇔ = ± :

I ± 0, 2 ( )mA 31,42R

0BijV ≠

( )mV 0B

ijV ≠∆ ( )mV HV ( )mV HV∆ ( )mV

0,0 -0,1 0,1 -0,1 0,1 1,0 -38,5 0,1 -64,5 0,1 2,0 -79,9 0,1 -125,7 0,1 3,0 -119,0 0,1 -182,3 0,1 4,0 -152,7 0,1 -234,4 0,1 5,0 -198,3 0,1 -298,4 0,1

I ± 0, 2 ( )mA 13,42R

0BijV ≠

( )mV 0B


0,0 0,0 0,1 0,2 0,1 1,0 34,0 0,1 73,6 0,1 2,0 71,6 0,1 128,3 0,1 3,0 108,5 0,1 188,9 0,1 4,0 146,8 0,1 250,5 0,1 5,0 184,2 0,1 309,0 0,1

Πίνακας 4

Πίνακας 5




I ± 0, 2 ( )mA 42,13R

0BijV ≠

( )mV 0B


0,0 -0,2 0,1 0,0 0,1 1,0 -94,1 0,1 -63,5 0,1 2,0 -186,6 0,1 -129,4 0,1 3,0 -266 1 -186 1 4,0 -348 1 -245 1 5,0 -449 1 -325 1

I ± 0, 2 ( )mA 24,13R

0BijV ≠

( )mV 0B


0,0 0,1 0,1 0,2 0,1 1,0 97,7 0,1 66,7 0,1 2,0 192,6 0,1 130,9 0,1 3,0 280 1 189 1 4,0 369 1 250 1 5,0 456 1 308 1

Πίνακας 6

Πίνακας 7




Για [ ] [ ]3,0 0,1 -378 44mI A B mT= − ± ⇔ = ± :

I ± 0, 2 ( )mA 31,42R

0BijV ≠

( )mV 0B


0,0 0,1 0,1 0,1 0,1 1,0 86,7 0,1 60,7 0,1 2,0 167,2 0,1 121,4 0,1 3,0 241 1 178 1 4,0 315 1 233 1 5,0 390 1 290 1

I ± 0, 2 ( )mA 13,42R

0BijV ≠

( )mV 0B


0,0 -0,1 0,1 0,1 0,1 1,0 -92,8 0,1 -53,2 0,1 2,0 -180,4 0,1 -123,7 0,1 3,0 -260 1 -180 1 4,0 -340 1 -236 1 5,0 -418 1 -293 1

Πίνακας 8

Πίνακας 9




I ± 0, 2 ( )mA 42,13R

0BijV ≠

( )mV 0B


0,0 0,0 0,1 0,2 0,1 1,0 36,0 0,1 66,6 0,1 2,0 72,2 0,1 129,4 0,1 3,0 111,0 0,1 191,4 0,1 4,0 149,2 0,1 252,0 0,1 5,0 190,9 0,1 314,7 0,1

I ± 0, 2 ( )mA 24,13R

0BijV ≠

( )mV 0B


0,0 -0,1 0,1 0,0 0,1 1,0 -34,9 0,1 -65,9 0,1 2,0 -68,7 0,1 -130,4 0,1 3,0 -100,5 0,1 -191,4 0,1 4,0 -133,4 0,1 -252,6 0,1 5,0 -166,1 0,1 -314,5 0,1

Πίνακας 10

Πίνακας 11




Συνεπώς, βάση των παραπάνω, έχουμε:

310t mm−=

31,42 13,42 42,13 24,13 13,42 31,42 24,13 42,13

36 61 -162,2 10 1,9 10

8B B B B B B B B

Ht mR R R R R R R R RB Cbπ

+ + + + − − − − − − = − + − + − + − = ⋅ ± ⋅

3

-6100,8 10HmRCbθ = ⋅

Παρατηρούμε, ότι, 0HR π < . Η εξέλιξη αυτή ήταν αναμενόμενη, διότι η θετική και αρνητική ένταση μαγνητικού πεδίου είναι θέμα σύμβασης. Κατά την εκτέλεση του πειράματος χρησιμοποιήσαμε αντίθετη σύμβαση από αυτή του βιβλίου, συνεπώς καταλήξαμε στο αρνητικού πρόσημου αποτέλεσμα. Το γεγονός αυτό σε καμιά περίπτωση δεν αμφισβητεί την ποιότητα των αποτελεσμάτων μας, αφού, εάν αντιστρέψουμε την σύμβαση που πήραμε, καταλήγουμε στο ίδιο, θετικό αυτή τη φορά, αποτέλεσμα.

Συγκρίνοντας της τιμές HR π και HR θ , έχουμε:

1% 100 60,93%H H

H

R RRουπ θ

θ

δ−

= ⋅ =

Παρατηρούμε, ότι, η απόκλιση από τη θεωρητική τιμή είναι σημαντική. Αυτό μπορεί να συμβαίνει λόγω του ότι το δείγμα ημιαγωγού δεν ήταν σε καλή κατάσταση. Συγκεκριμένα, η μόνωση ενδέχεται να ήταν ελλιπής με αποτέλεσμα την μη καλή προστασία του δείγματος.

2ος τρόπος

Συνδεσμολογούμε τα κυκλώματα του σχήματος 5 και 7 ( )24,13R , όπου το τελευταίο θα

βρίσκεται ανάμεσα στο πόλους του πηνίου του πρώτου. Η λειτουργία της διάταξης (5-7) είναι απλή. Ενώ βρίσκεται το δείγμα ημιαγωγού υπό την επίδραση μαγνητικού πεδίου B , η μία διαγώνιος του (1,3) διαρρέεται από ρεύμα I . Τότε παρατηρούμε μια διαφορά δυναμικού στα άκρα που ορίζει η άλλη διαγώνιος (2,4), δηλ. μια τάση Hall. Με λίγα λόγια, έχουμε σε εξέλιξη το φαινόμενο Hall.

Ρυθμίζουμε το κύκλωμα του σχήματος 7 ( )24,13R , ώστε το δείγμα ημιαγωγού να

διαρρέεται με σταθερή τιμή έντασης ρεύματος I . Μεταβάλλουμε την τιμή της έντασης του ρεύματος mI που διαρρέει το πηνίο του κυκλώματος (Σχήμα 5), προκαλώντας έτσι αντίστοιχη

μεταβολή της τιμής έντασης του μαγνητικού πεδίου B . Ή έκαστη τιμή του τελευταίου, εκτιμάται βάση της εξίσωσης βαθμονόμησης του Α΄ μέρους.

Συστηματοποιώντας τα πειραματικά δεδομένα, προκύπτει ο παρακάτω πίνακας 12 και κατά επέκταση το διάγραμμα ( )HB f V= (18).



Για [ ]3,0 0,2I mA= ± :

3 93,5H HV V= −

mI ± 0,1 ( )A 24,13R

BV ( )mV BV∆ ( )mV 3

HV ( )mV HV∆ ( )mV B ( )mT B∆ ( )mT

5,0 362 1 269 1 642 71 4,0 333 1 240 1 514 58 3,0 287 1 194 1 387 44 2,0 224 1 131 1 259 31 1,0 156,7 0,1 63,2 0,1 132 19 0,0 93,5 0,1 0,0 0,1 4 13 -1,0 28,9 0,1 -64,6 0,1 -123 19 -2,0 -33,2 0,1 -126,7 0,1 -251 31 -3,0 -96,5 0,1 -190,0 0,1 -378 44 -4,0 -149,2 0,1 -242,7 0,1 -505 58 -5,0 -183,6 0,1 -277,1 0,1 -633 71

Πίνακας 12




Από την σχέση 12 και λαμβάνοντας υπόψη τα παραπάνω, έχουμε:

24,24

13

HH H

H

V t tR B VBI R I

= ⇔ =

( )3

6 618 160,41 10 11,23 10HH

t t mί b RR I bI Cb

κλ ση δ − − = = ⇔ = = ⋅ ± ⋅

2 2 2 2

2 2H H

HR R t tR b I b Ib I b I bI

∂ ∂ ∆ = ± ∆ + ∆ = ± ∆ + ∆ ∂ ∂

3

-6100,8 10HmRCbθ = ⋅

Συγκρίνοντας της τιμές HR π και HR θ , έχουμε:

2% 100 59,13%H H

H

R RRουπ θ

θ

δ−

= ⋅ =

Η απόκλιση από τη θεωρητική τιμή είναι σημαντική. Αυτό μπορεί να συμβαίνει λόγω του ότι το δείγμα ημιαγωγού δεν ήταν σε καλή κατάσταση. Συγκεκριμένα, η μόνωση ενδέχεται να ήταν ελλιπής με αποτέλεσμα την μη καλή προστασία του δείγματος.

Παρατηρούμε, ότι,

1 2% %ου ουδ δ> ,

συνεπώς ο δεύτερος τρόπος προσδιορισμού του συντελεστή Hall είναι πιο ακριβής από τον αντίστοιχο πρώτο.

ΜΜέέρροοςς ΓΓ:: ΜΜέέττρρηησσηη ττωωνν ββαασσιικκώώνν ηηλλεεκκττρριικκώώνν ιιδδιιοοττήήττωωνν ττοουυ δδεείίγγμμααττοοςς ηημμιιααγγωωγγοούύ GGaaAAss

Οι βασικές ηλεκτρικές ιδιότητες ενός ημιαγωγού, είναι η ειδική αντίσταση ρ ή καλύτερα η ειδική αγωγιμότητα σ , η ευκινησία µ και η πυκνότητα n φορέων φορτίου.

Ειδική αγωγιμότητα, σ , δείγματος ημιαγωγού GaAs :

[ ] 1 11 2924 326 mσρ

− −= = ± Ω (15)

2

2

σ ρσ ρρ ρ

∂ ∆∆ = ± ∆ = ∂

Με βάση την θεωρία του πειράματος, γνωρίζουμε ότι το δείγμα ημιαγωγού GaAs που χρησιμοποιήσαμε καθόλη την διάρκεια της πειραματικής διαδικασίας, είναι τύπου n



(negative) και κατά συνέπεια αποτελείται μόνο από φορείς ηλεκτρονίων e− . Επιπλέον, να σημειώσουμε, ότι, για τους παρακάτω υπολογισμούς, όπου απαιτείται, θα χρησιμοποιήσουμε την πειραματική τιμή του συντελεστή Hall που προσδιορίσαμε με τον 2ο τρόπο του Β2, καθότι πιο ακριβής.

Ευκινησία φορέων e− , e

µ − , δείγματος ημιαγωγού GaAs :

[ ] 10, 469 0,062HeR Tππ

µ σ−−= = ± (16)

( )22

2e eH H He

H

R R RR

π ππ π ππ

π

µ µµ σ σ σ

σ− −

−

∂ ∂ = ± ∆ + ∆ = ± ∆ + ∆ ∂ ∂

310,68 0,68

e

m TCbθ

µ −−= =

Ω Συγκρίνοντας της τιμές

e πµ − και

e θµ − , έχουμε:

% 100 31,03%e e

e

π θ

θ

µ µδ

µ− −

−

−= ⋅ =

Πυκνότητα φορέων e− ,

en − , δείγματος ημιαγωγού GaAs :

16 16 31 3,896 10 0,273 10e

H

n cmR eπ

π−

− = − = ⋅ ± ⋅

(17)

2

2e H

HeH H

n Rn RR R e

π πππ

π π

−

−

∂ ∆= ± ∆ = ± ∂

Όπου e το φορτίο του ηλεκτρονίου.

16 36, 2 10

en cm

θ−−= ⋅

Συγκρίνοντας της τιμές

en

π− και e

nθ−

, έχουμε:

% 100 37,16%e e

e

n nnπ θ

θ

δ− −

−

−= ⋅ =

Στην περίπτωση της πυκνότητας και ευκινησίας φορέων αναμέναμε μεγάλη απόκλιση από τις θεωρητικές τους τιμές, καθώς προκύπτουν από μεγέθη που μας παρουσίασαν αρκετά μεγάλα σφάλματα όπως ο συντελεστής Hall.



ΜΜέέρροοςς ΔΔ:: ΑΑππααννττήήσσεειιςς σσττιιςς εερρωωττήήσσεειιςς ττοουυ εερργγαασσττηηρριιαακκοούύ οοδδηηγγοούύ

1) Μήπως μπορείτε να δικαιολογήσετε γιατί είναι πειραματικά πιο δύσκολη η μέτρηση του συντελεστή Hall στα μέταλλα από ότι στους ημιαγωγούς;

Ο συντελεστής Hall είναι αντιστρόφως ανάλογος της πυκνότητας των φορέων (ne ή nh, ανάλογα αν έχουμε ηλεκτρόνια ή οπές). Ακόμα στα μέταλλα η πυκνότητα των φορέων είναι πολύ μεγαλύτερη, για αυτό τον λόγω τα μέταλλα είναι πολύ πιο αγώγιμα. Λόγω των παραπάνω σε ένα πείραμα θα έπρεπε να έχουμε πολύ ακριβή όργανα για να παρατηρήσουμε μετρήσουμε με ακρίβεια μια τόσο μικρή τιμή.

2) Πού περιμένετε να επηρεασθούν περισσότερο τα αποτελέσματά σας με την αύξηση

της θερμοκρασίας του δείγματος: σε έναν ημιαγωγό ή σε έναν αγωγό; Σε έναν αγωγό η ειδική αντίσταση είναι ανάλογη της θερμοκρασίας

( )( )0 01 a T Tρ ρ= + −

(18)

Αντίθετα στους ημιαγωγούς η ειδική αντίσταση είναι πιο ευαίσθητη λόγω του ότι όσο αυξάνεται η θερμοκρασία αυξάνονται και οι φορείς του ημιαγωγού.

3) Βασική προϋπόθεση στην εξαγωγή πολλών σχέσεων της θεωρίας είναι ότι το πεδίο

είναι ασθενές. Η υπόθεση αυτή εκφράζεται ως 2 2 1Bµ << . Ισχύει η υπόθεση αυτή στις μετρήσεις που κάνατε;

Στο πείραμά μας είχαμε 3I A= , άρα το μαγνητικό πεδίο ήταν 0,387B T=

και το

10, 499Tµ −= , έτσι παίρνουμε 2 2 1Bµ <<

2 2 0,030 1Bµ = << . Άρα ισχύει η υπό8εση στο πείραμά μας και σωστά χρησιμοποιούμε τις σχέσεις του βιβλίου.

4) Τι είναι το κβαντικό φαινόμενο Hall και ποιες οι πιο σημαντικές εφαρμογές του;

Σε πειράματα, πάνω στο φαινόμενο Hall σε ημιαγωγούς, παρατηρήθηκε ότι η αγωγιμότητα έπαιρνε συγκεκριμένες κβαντισμένες τιμές. Συγκεκριμένα,

2ei

hσ =

(19),

όπου σ η αγωγιμότητα i ένας μικρός ακέραιος αριθμός e το φορτίο του ηλεκτρονίου h η σταθερά του Planck.

Τα πειράματα αυτά έγιναν σε χαμηλές θερμοκρασίες και ισχυρά μαγνητικά πεδία. Αργότερα παρατηρήθηκε ότι η αγωγιμότητα δεν παίρνει μόνο τιμές ακέραια



πολλαπλάσια του 2e h αλλά και κλασματικές τιμές του. Μια εφαρμογή του κβαντικού φαινομένου Hall είναι η μέτρηση με μεγάλη ακρίβεια της ποσότητας 2e h , συγκεκριμένα η μέτρηση έχει σφάλμα της τάξης του 510− . Έτσι μπορούμε να υπολογίσουμε με ακρίβεια και την σταθερά λεπτής υφής, η οποία ισούται με

2 1

137eahc

= ≈ ,

όπου a η σταθερά λεπτής υφής c η ταχύτητα του φωτός στο κενό.

Ακόμα με το κβαντικό φαινόμενο Hall μπορούμε να ένα νέο, εύχρηστο πρότυπο αντίστασης.

Φαινόμενο Hall

Documents

Transcript of Φαινόμενο Hall