φαινόμενο Doppler

1

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας 27 – 9 -2013

Φαινόμενο Doppler

Πολλές φορές έχουμε ακούσει τη σειρήνα ενός ασθενοφόρου να αλλάζει συχνότητα τη

στιγμή που περνά από μπροστά μας. Ακούστε τη στο παρακάτω audio.

Listen to this sound clip:

http://academic.greensboroday.org/~regesterj/potl/Waves/Doppler/doppler.htm

Μια οπτικοποίηση του φαινομένου φαίνεται στο animation που ακολουθεί:

Η κόκκινη γραμμή στο γράφημα παριστάνει τη συχνότητα που ακούει ο παρατηρητής, ενώ

η μπλε τη συχνότητα που εκπέμπει η σειρήνα του πυροσβεστικού οχήματος.

Ο παρατηρητής τα πρώτα 9 sec δεν ακούει τίποτα. Γιατί; Ο ήχος ταξιδεύει με πεπερασμένη

ταχύτητα (343,6 m/sec). Χρειάζεται 9 ms για να φτάσει στον παρατηρητή.

Πόσα μέτρα μακρυά βρίσκεται ο παρατηρητής από το όχημα, τη στιγμή που βάζει μπροστά

τη σειρήνα; 343,6 m/sec x 0,009 sec = 3,1 m.

Ο παρατηρητής ακούει μετά τον ήχο με συχνότητα 1,54 kHz (πιο ψηλό), ενώ η πραγματική

συχνότητα είναι 1 kHz. Αυτό διαρκεί μέχρι το 26ο ms. Τι συνέβη τότε; Το όχημα πέρασε

μπροστά από το παρατηρητή και άρχισε τώρα να απομακρύνεται. Τώρα ο παρατηρητής

ακούει τον ήχο με συχνότητα 0,74 kHz (πιο μπάσσο).

Εικόνα 1. Από το λογισμικό YENKA – Crocodile physics.

2


Με ποια ταχύτητα κινείται το όχημα; 3,1 m / 0,026 sec = 120 m/sec (για την ακρίβεια

120,26 m/sec, που είναι το 35% της ταχύτητας του ήχου).

Θα μάθουμε πώς να υπολογίζουμε τη συχνότητα που ακούει ο παρατηρητής, όταν τον

πλησιάζει και όταν απομακρύνεται το όχημα απ’ αυτόν.

Ανοίγουμε το site:

http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/more_stuff/flashlets/doppler.htm

Εικόνα 2

Η πηγή κινείται προς τα δεξιά με ταχύτητα 0,5 (ρυθμίζεται από το χρήστη).

Πιάνουμε το μικρόφωνο και το βάζουμε στη πορεία της πηγής. Με τα βελάκια κινούμε τη

πηγή μπροστά ή πίσω. H συχνότητα της πηγής είναι 2 κύματα ανά δευτερόλεπτο

(waves/second). Μετράμε και ακούμε τη συχνότητα που συλαμβάνει το μικρόφωνο (4 όταν

πλησιάζει η πηγή, 1,33 όταν απομακρύνεται). Ο ήχος ταξιδεύει με ταχύτητα 1.

Geogebra Ανοίγουμε το λογισμικό Geogebra. Πηγαίνουμε στο www.geogebratube.com, γράφουμε

“doppler” και πατάμε αναζήτηση. Επιλέγουμε το αρχείο “doppler effect” που

δημιουργήθηκε από το “vlado”. Πατάμε “Λήψη” - “Λήψη Αρχείου (.ggb)” Εύρεση ή

αποθήκευση. Θέτουμε ταχύτητα ήχου vw = 0, ταχύτητα πηγής vs = 0 και ταχύτητα

παρατηρητή vo = 0 και απόσταση παρατηρητή 4 m. (w = wave = κύμα, s = source = πηγή,

ο = observer =παρατηρητής). Το αρχείο Geogebra είναι προγραμματισμένο να παράγει ένα

ηχητικό κύμα κάθε sec (To=1 sec). Μετακινούμε το δρομέα του χρόνου t, και παίρνουμε

στιγμιότυπα της κίνησης ανά 1 sec. Υπολογίζουμε τη συχνότητα του ήχου που φτάνει στα

αυτιά του παρατηρητή.

3


Η πηγή εκπέμπει από το σημείο (2, 4).

Πότε φτάνει στο παρατηρητή το πρώτο κύμα και πότε το δεύτερο; t=2, t=3 sec

Άρα η περίοδος του ηχητικού κύματος είναι: Τ = 3 - 2 = 1 sec.

Ποιο είναι το μήκος κύματος; λ = 2 m

Πόση είναι η ταχύτητα διάδοσης του ήχου; vw = λ/T = 2/1 = 2 m/sec.

Πόση είναι η συχνότητα του ήχου; f = 1/T = 1

/1= 1 Hz

Ελέγχουμε αν ισχύει η βασική εξίσωση της κυματικής: v = f.λ � 2 m/sec = 1 Hz x 2 m.

Μαθηματικός τρόπος Θέτουμε τώρα ταχύτητα πηγής vs = 1 m/sec και επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία:

Εικόνα 3. Το αρχείο της Geogebra “doppler effect.ggb”. Ακίνητη πηγή.

Εικόνα 4. Κινούμενη πηγή

4


Το πρώτο κύμα φτάνει σε χρόνο 2 sec και το δεύτερο σε χρόνο 2,5 sec. Άρα ο παρατηρητής

αντιλαμβάνεται τη περίοδο του ηχητικού κύματος T’ = 2,5 – 2 = 0,5 sec και τη συχνότητα f’ = 1/0,5 = 2 Hz.

Γιατί το δεύτερο κύμα έφτασε πιο γρήγορα; Γιατί η πηγή κινείται.

Μια απόσταση ίση με ένα μήκος κύματος, λ = 2 m, διανύεται κατά το ήμισυ από το κύμα

και κατά το ήμισυ από τη πηγή: λ =vwt+vst � t = λ/(vw+vs)

Έστω t1 η χρονική στιγμή που εκπέμφθηκε το πρώτο ηχητικό σήμα,

t2 η χρονική στιγμή που εκπέμφθηκε το δεύτερο ηχητικό σήμα,

t3 η χρονική στιγμή που έφτασε το πρώτο ηχητικό σήμα στ’ αυτιά του παρατηρητή,

t4 η χρονική στιγμή που έφτασε στ’ αυτιά του παρατηρητή το δεύτερο ηχητικό σήμα,

Δt1 το χρονικό διάστημα που χρειάστηκε το πρώτο ηχητικό σήμα για να φτάσει στο

παρατηρητή από τη στιγμή που εκπέμφθηκε,

Δt2 το χρονικό διάστημα που χρειάστηκε το δεύτερο ηχητικό σήμα για να φτάσει στο

παρατηρητή από τη στιγμή που εκπέμφθηκε, άρα

t3 = t1 + Δt1 και t4 = t2 + Δt2

Η πηγή εξέπεμψε το πρώτο κύμα από το σημείο S0 (2, 4), ενώ το δεύτερο κύμα από το

σημείο St (3, 4) (εικόνα 3). Άρα το πρώτο κύμα έπρεπε να καλύψει απόσταση s1 = S0O0 = 4 m,

ενώ το δεύτερο s2 = StO0 = 3 m. Άρα το πρώτο κύμα χρειαζόταν vw = s1/Δt1 � Δt1 = 4/2 = 2

sec, από τη στιγμή που εκπέμφθηκε, ενώ το δεύτερο κύμα χρειάστηκε vw = s2/Δt2 � Δt2 = 3/2

= 1,5 sec, από τη στιγμή που εκπέμφθηκε. Το πρώτο κύμα εκπέμφθηκε τη στιγμή t1 = 0, ενώ

Εικόνα 5. Η πηγή εκπέμπει από το σημείο St το δεύτερο κύμα, ενώ το πρώτο που

εκπέμφθηκε από το S0, έχει φτάσει στο παρατηρητή Ο0

5


το δεύτερο τη στιγμή t2 = �� = 1 sec (�� = 1 sec). Η πηγή προχώρησε κατά διάστημα

vs.T = 1 m/sec . 1 sec = 1 m, γιατί ο χρόνος που μεσολάβησε από την εκπομπή του πρώτου

κύματος, μέχρι την εκπομπή του δεύτερου κύματος, είναι μία περίοδος Τ.

s1 – s2 = vs.T � 4 - 3 = 1 m

Ο παρατηρητής αντελήφθη το πρώτο κύμα τη χρονική στιγμή t3 = t1 + Δt1 = 0 +

s1/vw = 4/2 = 2 sec, ενώ το δεύτερο κύμα το αντελήφθη τη χρονική στιγμή t4 = �� + Δt2 = 1 +

1,5 = 2,5 sec. Άρα ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται σαν περίοδο εκπομπής των ηχητικών

σημάτων Τφ = t4 - t3 = 2,5 – 2 = 0,5 sec � fφ = 2 Hz.

��

� 0 � ��

� ��

� �� . ��

� �� 1 � ��

�

�� 1��

� 1�� 1 � ��

� ��. 11 � ��

� ��. 1��

� ��. ��

� �� . �� . ��

� �� . 11 � � , ό"#$ % � ��

��

H fφ είναι, σ’ αυτή τη περίπτωση, μεγαλύτερη από την f, δηλαδή ο ήχος ακούγεται πιο οξύς.

Όσο μεγαλώνει η ταχύτητα της πηγής, τόσο με πιο μεγάλη συχνότητα ακούγεται ο ήχος, με

όριο τη ταχύτητα του ήχου (343,60 m/sec).

Στο αρχικό παράδειγμα της YEKNA, έχουμε:

% � ��

� 0,35 και �� . 11 � � � 1. 1

1 � 0,35 � 10,65 � 1,54 *+,

Όσο πιο γρήγορα κινείται η πηγή, τόσο πιο ψηλός είναι ο ήχος.

Πειραματικός τρόπος Η περίοδος Τ, μετριέται από το δρομέα του χρόνου, σε δύο στιγμιότυπα, κατά τα οποία δύο

διαδοχικά κύματα φτάνουν στο παρατηρητή. Στο προηγούμενο παράδειγμα, αυτό

συμβαίνει τις χρονικές στιγμές, t3 = 2 sec και t4 = 2,5 sec (ενδείξεις του δρομέα – εικόνα 2).

Άρα Τ = 2,5 - 2 = 0,5 sec.

Θα μεταβάλλουμε τις ταχύτητες vw και vs και θα μετράμε τη περίοδο Τ (αρχική απόσταση

πηγής – παρατηρητή 4 m).

Γιάννης Μίχας, υπεύθυνος ΕΚΦΕ Εύβοιας

Μεταβολή της (

Να γίνει γραφική παράσταση

t3

1 1,00 4,00

2 0,50 2,00

3 0,33 1,33

4 0,25 1,00

5 0,20 0,80

Από το σημείο τομής της ευθείας με τον άξονα

δηλαδή αν ο ήχος ταξίδευε με τη ταχύτητα του φωτός. Τότε ο παρατηρητής θα

αντιλαμβανόταν τη πραγματική περίοδο του κύματος, αφού αυτό θα μεταδιδόταν

ακαριαία. Άρα Τ= yo =1 sec.

Υπολογίζουμε τις μονάδες για τη κλίση της ευθείας:

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,2

T,

sec

ΕΚΦΕ Εύβοιας 27

Μεταβολή της

Να γίνει γραφική παράσταση T = f(1/vw) να γίνει γραφική παράσταση Τ

t4 Tφ t3

4,50 0,50 1 0,80

2,75 0,75 2 0,80

2,17 0,84 3 0,80

1,87 0,87 4 0,80

1,70 0,90

Από το σημείο τομής της ευθείας με τον άξονα y (yo=1), βρίσκουμε τη περίοδο για



Υπολογίζουμε τις μονάδες για τη κλίση της ευθείας:

y = -0,5.x + 1

R² = 0,9995

0,4 0,6 0,8 1

1/vw, sec/m

T = f(1/vw)

Διάγραμμα 1.

6

27 – 9 -2013

να γίνει γραφική παράσταση Τ = f(vs)

t4 Tφ

1,60 0,80

1,40 0,60

1,20 0,40

1,00 0,20

=1), βρίσκουμε τη περίοδο για vw = ∞,



1,2


Για vs = 0 έχουμε Τ = 1 sec, που είναι η πραγματική περίοδος.

Αρα από τις δύο γραφικές παραστάσεις έχουμε:

Δηλαδή η διαφορά της πραγματικής από φαινόμενη περίοδο είναι ανάλογη της ταχύτητας

της πηγής και αντιστρόφως ανάλογη της ταχύτητας του κύματος.

εξίσωση: .

Αντικαθιστώντας τις τιμές για τα ΔΤ,

παραπάνω πίνακες, βρίσκουμε

είναι μια σταθερά αναλογίας (δεν είναι ένα μεταβλητό μέγεθος), και επειδή η πραγματική

περίοδος είναι 1 sec, πρέπει

επαναλαμβάναμε τη παραπάνω διαδικασία με τροποποίηση του αρχείου της

ώστε να έχουμε Τo = 2 sec, οπότε θα περιμέναμε να πάρουμε σταθερά αναλογίας

Καταλήγουμε λοιπόν:

Διερεύνηση

vs = vw vs>vw

(για animation δείτε: http://en.wikipedia.org/wiki/Doppler_effect

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0

T,

sec


, που είναι η πραγματική περίοδος.

Αρα από τις δύο γραφικές παραστάσεις έχουμε:


της πηγής και αντιστρόφως ανάλογη της ταχύτητας του κύματος. Aυτά συνδυάζονται σε μία

Αντικαθιστώντας τις τιμές για τα ΔΤ, vs και vw, από ένα οποιοδήποτε πείραμα από τους

παραπάνω πίνακες, βρίσκουμε k=-1. Οι μονάδες του k είναι sec. Άρα k=-1 sec


πρέπει k=-To. Αυτό θα μπορούσαμε να το ελέγξουμε, αν

επαναλαμβάναμε τη παραπάνω διαδικασία με τροποποίηση του αρχείου της

οπότε θα περιμέναμε να πάρουμε σταθερά αναλογίας

http://en.wikipedia.org/wiki/Doppler_effect)

y = -0,2x + 1

R² = 1

1 2 3vs, m/sec

T = f(vs)

Διάγραμμα 2.

7

27 – 9 -2013

και


υτά συνδυάζονται σε μία

δήποτε πείραμα από τους

sec. Επειδή το k


αν

επαναλαμβάναμε τη παραπάνω διαδικασία με τροποποίηση του αρχείου της Geogebra,

οπότε θα περιμέναμε να πάρουμε σταθερά αναλογίας k=-2 sec.

0,2x + 1

R² = 1

4

8


Όταν η ταχύτητα της πηγής είναι ίση με τη ταχύτητα του ήχου, η πηγή ταξιδεύει μαζί με το

κύμα. Ο παρατηρητής δεν θα ακούσει τίποτα μέχρι να περάσει η πηγή από μπροστά του.

Όταν περνάει από μπροστά του θα ακούσει �� . -.-./-0

� ∞. Οταν περάσει η πηγή θα

ακούει �� 0,5��.

Όταν η ταχύτητα της πηγής είναι μεγαλύτερη της ταχύτητας του ήχου, η πηγή ταξιδεύει πιο

γρήγορα από τον ήχο, με αποτέλεσμα ο παρατηρητής να βλέπει το όχημα, να περνά από

μπροστά του, πριν ακούσει τον ήχο. Ο ήχος που θα ακούσει θα έχει συχνότητα μικρότερη

της πραγματικής.

Η πηγή κινείται με ταχύτητα 1,4, ενώ ο ήχος με ταχύτητα 1 (υπερηχητικά). ΑΡΙΣΤΕΡΑ - Το

μικρόφωνο δεν συλλαμβάνει κανένα ήχο, αν και η πηγή έχει περάσει ήδη από μπροστά του.

ΔΕΞΙΑ - το μικρόφωνο συλλαμβάνει τον ήχο, όταν η ευθεία που είναι εφαπτομενη σε όλους

τους κύκλους περάσει από πάνω του.

Ο ήχος που κάνει το μαστίγιο οφείλεται στο ότι κινείται πιο γρήγορα από τον ήχο

Εικόνα 5.

Εικόνα 6

9


Εργασίες για το σπίτι. Το ⅓ της τάξης αναλαμβάνει την εργασία 1, το δεύτερο τρίτο της τάξης την εργασία 2 και το

τρίτο την εργασία 3:

Να εργασθείτε στο σπίτι σας με το αρχείο της Geogebra “doppler effect”. Να επαναλάβετε

όλα τα βήματα του μαθηματικού και του πειραματικού τρόπου και να εξάγετε μια μαθητική

εξίσωση, που να μας δίνει τη συχνότητα που ακούει ο παρατηρητής, όταν έχουμε:

Εργασία 1. Ακίνητη πηγή και κινούμενο παρατηρητή που πλησιάζει.

Εργασία 2. Ακίνητη πηγή και κινούμενο παρατηρητή που απομακρύνεται.

Εργασία 3. Ακίνητο παρατηρητή και κινούμενη πηγή που απομακρύνεται.

Doppler στα φωτεινά κύματα Το φαινόμενο Doppler έχει εφαρμογή και στο φως, αφού και το φως είναι κύμα. Επειδή

όμως η ταχύτητα του φωτός είναι πολύ μεγάλη (c = 3 x 108 m/sec), πρέπει και η πηγή να

κινείται με ανάλογη ταχύτητα και να εκπέμπει φως. Αυτό συμβαίνει μόνο με κάποιους

απομακρυσμένους γαλαξίες. Σ’ αυτές τις ταχύτητες, όμως δεν ισχύει η κλασσική φυσική,

αλλά η θεωρία της σχετικότητας και επομένως πρέπει ο τύπος που δίνει τη συχνότητα να

τροποποιηθεί, αναλόγως.

Όταν όμως αλλάζει η συχνότητα ενός χρώματος, φαίνεται σαν άλλο χρώμα. Το φαινόμενο

αυτό στην αστρονομία λέγεται μετατόπιση προς το κόκκινο (red shift).

Εικόνα 7

ΗΛΙΟΣ Μακρινός

γαλαξίας


Μετατόπιση προς το κόκκινο

ενός μακρινού γαλαξία (δεξιά

- αριστερά) φαίνεται πράσινο (δεξιά). Από τη

υπολογίζουμε τη ταχύτητα του γαλαξία και από αυτή την απόσταση γης

Hubble). http://en.wikipedia

Εφαρμογές

Radar Τροχαίας

Ο αστυνομικός στέλνει έναν υπέρηχο πάνω στο αυτοκίνητο που κινείται. Αυτός ανακλάται

πάνω στο αυτοκίνητο και επιστρέφει στο ραντάρ του αστυνομικού. Επειδή το αυτοκίνητο

κινείται προς το μέρος του αστυνομικού, το μήκος κύματος που δέχεται το ραντάρ

μικρότερο από αυτό που εκπέμπει. Όσο πιο γρήγορα κινείται το αυτοκίνητο, τόσο

μεγαλύτερη είναι διαφορά Δλ.

Ιατρική – Μέτρηση της ταχύτητας ρ

Ο γιαρός στέλνει έναν υπέρηχο στη καρδιά, στη διεύθυνση της ροής του αίματος

δεν είναι δυνατόν, λαμβάνει υπόψη του το συνθ)

πάνω στα κύτταρα του αίματος και επιστρέφει

πληροφορίες για τη ταχύτητα των κυττάρων, κατ’ ανάλογο τρόπο με το ραντάρ της

τροχαίας.

Αν πολλαπλασιάσουμε τη ροή του αίματος επί το εμβαδόν διατομής της βαλβίδας της

καρδιάς, βρίσκουμε τον όγκο του αίματος που αποστέλλεται από τη καρδιά στο σώμ

παλμό. Αν αυτός ο αριθμός πολλαπλασιαστεί επί τον αριθμό των παλμών ανά λεπτό,

βρίσκουμε τη παροχή σε αίμα της καρδιάς ανά λεπτό (

http://en.wikipedia.org/wiki


προς το κόκκινο (Redshift) των φασματικών γραμμών του ορατού

δεξιά) και του ήλιου (αριστερά). Το θαλασσί χρώμα (τέταρτο βέλος

πράσινο (δεξιά). Από τη μετατόπιση προς το κόκκινο, μπορούμε να

υπολογίζουμε τη ταχύτητα του γαλαξία και από αυτή την απόσταση γης- γαλαξία (νόμος

wikipedia.org/wiki/Doppler_effect



προς το μέρος του αστυνομικού, το μήκος κύματος που δέχεται το ραντάρ


μεγαλύτερη είναι διαφορά Δλ.

Μέτρηση της ταχύτητας ροής του αίματος στη καρδιά

Εικόνα 8

υπέρηχο στη καρδιά, στη διεύθυνση της ροής του αίματος

δεν είναι δυνατόν, λαμβάνει υπόψη του το συνθ). Ο υπέρηχος, με συχνότητα,

πάνω στα κύτταρα του αίματος και επιστρέφει με μεγαλύτερη συχνότητα, fr



καρδιάς, βρίσκουμε τον όγκο του αίματος που αποστέλλεται από τη καρδιά στο σώμ

Αν αυτός ο αριθμός πολλαπλασιαστεί επί τον αριθμό των παλμών ανά λεπτό,

βρίσκουμε τη παροχή σε αίμα της καρδιάς ανά λεπτό (cardiac output).

wiki/Cardiac_output

Πομπός υπερήχων

δέρμα

10

27 – 9 -2013

ορατού φάσματος

Το θαλασσί χρώμα (τέταρτο βέλος

μπορούμε να

γαλαξία (νόμος



προς το μέρος του αστυνομικού, το μήκος κύματος που δέχεται το ραντάρ είναι


υπέρηχο στη καρδιά, στη διεύθυνση της ροής του αίματος (ή αν αυτό

με συχνότητα, fo, ανακλάται

r, δίνοντας



καρδιάς, βρίσκουμε τον όγκο του αίματος που αποστέλλεται από τη καρδιά στο σώμα ανά

Αν αυτός ο αριθμός πολλαπλασιαστεί επί τον αριθμό των παλμών ανά λεπτό,

Πομπός υπερήχων

δέρμα

αρτηρία

11


Κίνηση στο νερό

Εικόνα 9. Το φαινόμενο Doppler στη ροή του νερού γύρω από ένα κύκνο και μια πάπια

Εικόνα 10. Πάπια που κινείται με ταχύτητα μεγαλύτερη της ταχύτητας διάδοσης ων κυμάτων του νερού, με

αποτέλεσμα να δημιουργεί τη χαρακτηριστική γωνία που βλέπουμε και στην εικόνα 5 (δεξιά) και στην εικόνα

6 (δεξιά).

12


φαινόμενο Doppler

Documents

Transcript of φαινόμενο Doppler