ΚατηγορηματικήΛογικήfotakis/data/PLH20/PLH20_OSS3(color).pdfΠΛΗ20, ΑΘΗ3...

ΠΛΗ 20, 3η ΟΣΣ(Κατηγορηματική Λογική)

Δημήτρης Φωτάκης

Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική ΛογικήΠληροφορική

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο

ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 (2019 - 2020) 3η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) 2

2η Εργασία: Γενική ΕικόναΠολύ καλή βαθμολογική εικόνα ( μ.ο.: 7.5 ).

Σημαντική προσπάθεια και ενθαρρυντική εικόνα.Δικαιολογημένες δυσκολίες σε κάποια ερωτήματα (π.χ. 1.β). Αρκετές εργασίες έδειχναν μελέτη σε βάθος και μεγάλη διάθεση.Θέματα εξετάσεων αντίστοιχης δυσκολίας με ερ. 2.α, 3, και 4.α.

Χρειάζεται μεγάλη προσοχή σε:Ταυτολογικές συνεπαγωγές, τυπικές αποδείξεις, εγκυρότητα-πληρότητα, μαθηματική επαγωγή. Σαφήνεια και ακρίβεια στη διατύπωση.

Βαθμολογία δεν αποδίδει (μόνη της) τη γενική εικόνα. «Ποιοτικά» σχόλια αντικατοπτρίζουν εικόνα με ακρίβεια.Σε συγκεκριμένα ερωτήματα (π.χ., 1.α, 1.β, 2.β, 4.α, υποερωτήματατου 5), η βαθμολόγηση ήταν επιεικής.


Ερώτημα 4.αΝδο { φ → ψ, ¬χ → φ, ¬ψ } |– χ

Τυπικό θεώρημα: |– ¬¬φ → φ (ισχύει ακόμη ότι |– φ → ¬¬φ )Άρα αρκεί νδο { φ → ψ, ¬χ → φ, ¬ψ } |– ¬¬χ

1η προσέγγιση: απαγωγή σε άτοπο.Το σύνολο { φ → ψ, ¬χ → φ, ¬ψ , ¬χ } είναι αντιφατικό.Έχουμε { φ → ψ, ¬χ → φ, ¬ψ , ¬χ } |– ¬ψ και{ φ → ψ, ¬χ → φ, ¬ψ , ¬χ } |– ψ .

2η προσέγγιση: αντιθετοαναστροφή.Αρκεί να δείξουμε ότι { φ → ψ, ¬χ → φ, ¬χ} |– ¬¬ψΑποδεικνύουμε ότι { φ → ψ, ¬χ → φ, ¬χ} |– ψΕφαρμόζουμε |– ψ → ¬¬ψ


Ενδιάμεση ΕξέτασηΚατηγορηματική Λογική: 3η Εργασία (παράδοση 22.1)Ενδιάμεση εξέταση: Σάββατο 8 Φεβρουαρίου, 13:30.

Συνδυαστική και Μαθηματική Λογική, 60% συνολικής βαθμολογίας.Α’ μέρος: 6x4 Σ/Λ (χωρίς αιτιολόγηση), 3-4 Λογική, 2-3 Συνδυαστική, 24% συνολικής βαθμολογίας. Β’ μέρος: 3 ασκήσεις (με υποερωτήματα), 36% συνολικής βαθμολ.

Συνδυαστική (βλ. ερ. 1, 2, 3.α και 3.β)Προτασιακή Λογική (βλ. ερ. 2.α, 3, 4.α, 5): ταυτολογίες, ταυτολογικές συνεπαγωγές,απλοποίηση τύπων, εγκυρότητα-πληρότητα, τυπική απόδειξη.Κατηγορηματική Λογική (βλ. ερωτήματα 3ης εργασίας).


Κατηγορηματική ΛογικήΠροτασιακή Λογική: πλαίσιο διατύπωσης και μελέτηςεπιχειρημάτων για πεπερασμένο πλήθος «λογικών αντικειμένων».

«Λογικό αντικείμενο»: παίρνει τιμές αλήθειας, Α ή Ψ. Διαφορετικά, «μη λογικό αντικείμενο», π.χ. αριθμοί, σύνολα, ...

Κατηγορηματική (ή Πρωτοβάθμια) Λογική: πλαίσιο διατύπωσηςκαι μελέτης επιχειρημάτων για:

«Μη λογικά αντικείμενα» (αριθμούς, σύνολα, γραφήματα). Πράξεις (συναρτήσεις) και σχέσεις (κατηγορήματα) μεταξύ τους. Άπειρο πλήθος αντικειμένων: ποσοδείκτες.«Κάθε φυσικός αριθμός είναι είτε άρτιος είτε περιττός». «Υπάρχει σύνολο που είναι υποσύνολο κάθε συνόλου». Τύποι ΚΛ είναι «λογικά αντικείμενα» που μπορεί νααφορούν / αναφέρονται σε «μη λογικά αντικείμενα».


Δομή – ΣτόχοιΚατανόηση συντακτικού πρωτοβάθμιας γλώσσας καιδομής όρων και τύπων. Εφαρμογή ποσοδεικτών, ελεύθερες και δεσμευμένες μεταβλητές. Εκφραστικότητα πρωτοβάθμιας γλώσσας.

Παραδείγματα όπου απλές ιδιότητες εκφράζονται σε πρωτοβάθμιαγλώσσα (συνήθως υποθέτουμε κατάλληλη ερμηνεία). Προτάσεις τις πρωτοβάθμιας γλώσσας «μεταφράζονται» σεφυσική γλώσσα (συνήθως υποθέτουμε κατάλληλη ερμηνεία).

Ερμηνεία, σημασιολογική προσέγγιση, ορισμός αλήθειας Tarski. Εφαρμογή ορισμού αλήθειας Tarski.

Νόμοι ποσοδεικτών, κανονική ποσοδεικτική μορφή.Βοηθούν σημαντικά παλιές 3ες εργασίες (ειδικά των 3 - 4τελευταίων ετών).


ΣυντακτικόΠρωτοβάθμιας Γλώσσας

«Λογικά Σύμβολα»: έχουν συγκεκριμένη ερμηνεία,λειτουργούν πάντα με τον ίδιο τρόπο:

Λογικοί σύνδεσμοι: ¬, ∧, ∨, →, ↔

Ποσοδείκτες: ∀ και ∃

∀ (για κάθε): σύζευξη για όλα στοιχεία δομής (δυνάμει άπειρη).

∃ (υπάρχει): διάζευξη για όλα στοιχεία δομής (δυνάμει άπειρη). Ισότητα =: ελέγχει ταύτιση.

Λειτουργεί ως κατηγορηματικό σύμβολο, αλλά εντάσσεται στα«λογικά σύμβολα» γιατί έχει συγκεκριμένη ερμηνεία.

Σημεία στίξης και παρενθέσεις.



«Μη Λογικά Σύμβολα»: ερμηνεία καθορίζει λειτουργία τους.Ορισμός γλώσσας και έλεγχος αλήθειας απαιτούν ερμηνεία(πολυσημία, εκφραστικότητα!). Μεταβλητές x, y, z, …

Ερμηνεία καθορίζει πεδίο ορισμού μεταβλητών: σύμπαν.Ελεύθερες: τιμή τους καθορίζεται με αποτίμηση. Δεσμευμένες: ποσοδείκτες καθορίζουν «συμπεριφορά» τους.

Σύμβολα σταθερών c, c1, c2, …Αναπαριστούν συμβολικά συγκεκριμένες τιμές σύμπαντος. Ερμηνεία καθορίζει τιμή κάθε συμβόλου σταθεράς. Πρόκειται για 0-θέσια συναρτησιακά σύμβολα.



«Μη Λογικά Σύμβολα»: ερμηνεία καθορίζει λειτουργία τους.Συναρτησιακά σύμβολα f, g, h, …, με αντίστοιχο πλήθος ορισμάτων.

Π.χ. f είναι 2-θέσιο συναρτησιακό σύμβολο. Εκφράζουν «πράξεις» μεταξύ στοιχείων σύμπαντος. Ερμηνεία καθορίζει πεδίο ορισμού, πεδίο τιμών, και λειτουργία.

Κατηγορηματικά σύμβολα P, Q, R, …, με αντίστοιχο πλήθος ορισμάτων.Π.χ. Q είναι 2-μελές κατηγορηματικό σύμβολο. Εκφράζουν «σχέσεις» μεταξύ στοιχείων σύμπαντος. Ερμηνεία καθορίζει πεδίο ορισμού και λειτουργία.

Κατηγορηματικά σύμβολα υλοποιούν «μετάβαση» από«μη λογικό» σε «λογικό» κόσμο.

Q(x, y) δέχεται δύο στοιχεία σύμπαντος (π.χ. αριθμούς), «ελέγχει»αν σχετίζονται με συγκεκριμένο τρόπο, και «απαντά» Α ή Ψ.


Δομή ΤύπωνΠρωτοβάθμιας Γλώσσας


Δομή ΤύπωνΠρωτοβάθμιας Γλώσσας: Όροι

Όροι παίρνουν τιμές στο σύμπαν. Μεταβλητές x, y, z, ... Σταθερές c, c1, c2, ..Οτιδήποτε προκύπτει από (σωστή) εφαρμογή συναρτησιακούσυμβόλου σε ήδη σχηματισμένους όρους.

Π.χ. f(x, y), f(g(x), c), g(f(x, g(y)), c ⊕ f(x, y), …

Όροι δεν μπορούν να συνδέονται με λογικούς συνδέσμους!Δομή αναπαρίσταται με δενδροδιάγραμμα, ισχύει μοναδικήαναγνωσιμότητα, ιδιότητες αποδεικνύονται με δομική επαγωγή.


Δομή ΤύπωνΠρωτοβάθμιας Γλώσσας: Τύποι

Ατομικοί τύποι προκύπτουν εφαρμόζονταςισότητα ή κατηγορηματικό σύμβολο σε όρους.

Π.χ. x = c, f(x, y) = g(c), Q(x, y), R(f(x, y)), …«Λογικές» τιμές Α ή Ψ, βασικά («λογικά») δομικά στοιχεία τύπων.

Τύπος: Ατομικός τύπος (βάση επαγωγικού ορισμού). Εφαρμογή λογικών συνδέσμων σε τύπους φ, ψ: ¬φ, φ ∨ ψ, φ ∧ ψ, φ → ψ, φ ↔ ψ.Εφαρμογή ποσοδεικτών σε τύπο φ: ∃xφ, ∀xφ.

Τύποι: τιμή Α ή Ψ. Όροι: τιμές στο σύμπαν. Δομή αναπαρίσταται με δενδροδιάγραμμα, ισχύει μοναδικήαναγνωσιμότητα, ιδιότητες αποδεικνύονται με δομική επαγωγή.


ΠαράδειγμαΠοιά από τα παρακάτω είναι όροι ή τύποι (ή συντακτικό λάθος);

Q(f(c, y), P(x)) g(Q(c, y), P(y)) Q(f(c, y), P(x)) g(Q(c, y), P(y))

∀x P(g(x)) ∀x g(P(x)) ∀x P(g(x)) (τ) ∀x g(P(x))

x = y ∨ c x = f(y, c)x = y ∨ c x = f(y, c) (ατ)

∀x P(P(x)) ∃x Q(x, c1)∀x P(P(x)) ∃x Q(x, c1) (τ)

∃x (P(x) ∨ ¬∀x P(x, x)) ∃x(x = y ∧ Q(x, y))∃x (P(x) ∨ ¬∀x P(x, x)) ∃x(x = y ∧ Q(x, y)) (τ)


ΠαράδειγμαΠοιά από τα παρακάτω είναι όροι ή τύποι (ή συντακτικό λάθος);

P(x) ∨ g(x) ∀y ∃x (Q(x, g(y)) ∨ P(g(x)))P(x) ∨ g(x) ∀y ∃x (Q(x, g(y)) ∨ P(g(x))) (τ)

∃x Q(x, c) ∀∃x Q(x, y)∃x Q(x, c) (τ) ∀∃x Q(x, y)

x + y = x ∗ y (3 + 1) + 10x + y = x ∗ y (ατ) (3 + 1) + 10 (ορ)

∀x ∃y (x + y = x ∗ y) ∀x ∃y (P(x) ∨ (Q(x, y) → ¬P(x)))∀x ∃y (x + y = x ∗ y) (τ) ∀x ∃y (P(x) ∨ (Q(x, y) → ¬P(x))) (τ)


Ελεύθερες καιΔεσμευμένες Μεταβλητές

Δεσμευμένη εμφάνιση μεταβλητής: εμπίπτει σεπεδίο εφαρμογής ποσοδείκτη.

Ποσοδείκτης καθορίζει πως αποτιμάται η μεταβλητή.∀ (∃): σύζευξη (διάζευξη) για όλες τιμές σύμπαντος. Δεσμευμένες εμφανίσεις μεταβλητής x που εμπίπτουν στον ίδιοποσοδείκτη: «ίδια» δεσμευμένη μεταβλητή. Δεσμευμένες εμφανίσεις μεταβλητής x που εμπίπτουν σεδιαφορετικό ποσοδείκτη: «διαφορετικές» δεσμευμένες μεταβλητές.

Ελεύθερη εμφάνιση μεταβλητής: δεν εμπίπτει σε πεδίοεφαρμογής κάποιου ποσοδείκτη.

Μπορεί να έχει οποιαδήποτε τιμή, η οποία καθορίζεται από αποτίμηση.Όλες οι ελεύθερες εμφανίσεις μεταβλητής y: «ίδια» μεταβλητή.

∀x(P(x) ∨ Q(x, y)) ∧ P(y) ∧ P(x) και ∀xP(x) ∧ ∃xQ(x, y) ∧ P(y)



Ελεύθερη μεταβλητή αν εμφανίζεται ελεύθερη (τουλ. μία φορά), διαφορετικά δεσμευμένη.

Πρόταση: τύπος χωρίς ελεύθερες μεταβλητές. Τιμή αλήθειας πρόταση δεν εξαρτάται από αποτίμηση.



Ποιές εμφανίσεις μεταβλητών είναι ελεύθερες καιποιές δεσμευμένες; Ποιοι τύποι είναι προτάσεις;

∀y∃x(P(x, f(y)) ∨ Q(x)) ∀x∃y(Q(x) ∨ P(x, y)) → ¬Q(x)∀y∃x(P(x, f(y)) ∨ Q(x)) ∀x∃y(Q(x) ∨ P(x, y)) → ¬Q(x)

∀xP(x, y) → ∀zP(z, x) Q(z) → ¬∀x∀yP(x, y)∀xP(x, y) → ∀zP(z, x) Q(z) → ¬∀x∀yP(x, y)

∀xQ(x) → ∀yP(x, y) ∀x∀y∀z(x > y ∧ y > z) → ∃w(x > w)∀xQ(x) → ∀yP(x, y) ∀x∀y∀z(x > y ∧ y > z) → ∃w(x > w)

y + x = x + y ∃y(x + x = x ∗ y)y + x = x + y ∃y(x + x = x ∗ y)

Μετονομασία όλων εμφανίσεων της «ίδιας» μεταβλητής διατηρείαπαράλλακτο τον τύπο: αλφαβητική παραλλαγή.



Ελεύθερη μεταβλητή αν εμφανίζεται ελεύθερη (τουλ. μία φορά), διαφορετικά δεσμευμένη.

Πρόταση: τύπος χωρίς ελεύθερες μεταβλητές. Τιμή αλήθειας πρόταση δεν εξαρτάται από αποτίμηση.

Ελεύθερες μεταβλητές χρειάζονται «αρχικοποίηση».Όλες οι ελεύθερες εμφανίσεις μιας μεταβλητής «αρχικοποιούνται»στην ίδια τιμή (αυτή που καθορίζεται από αποτίμηση).

Δεσμευμένες εμφανίσεις μεταβλητών δεν χρειάζονται«αρχικοποίηση».

Ποσοδείκτης που τις δεσμεύει καθορίζει αποτίμηση. Μεταβλητές που δεσμεύονται από διαφορετικούς ποσοδείκτες είναι«διαφορετικές» (ακόμη και αν έχουν το ίδιο όνομα).


Ερμηνεία (ή Δομή)Ορισμός Πρωτοβάθμιας Γλώσσας απαιτεί ερμηνεία«μη λογικών» συμβόλων.Ερμηνεία (ή δομή) A καθορίζει:

Σύμπαν |Α|: πεδίο ορισμού σταθερών, μεταβλητών, συναρτήσεων, και κατηγορημάτων.

|Α| είναι το σύνολο αντικειμένων στα οποία αναφερόμαστε. Ορισμός τιμής για κάθε σύμβολο σταθεράς.Ορισμός συναρτησιακών συμβόλων: «πράξη» που αντιστοιχούν.

Τι «επιστρέφει» κάθε συναρτησιακό σύμβολο. Ορισμός κατηγορηματικών συμβόλων: «σχέση» που αντιστοιχούν.

Πότε κατηγορηματικό σύμβολο «επιστρέφει» Α και πότε Ψ.

Γλώσσα Θεωρίας Αριθμών: Σύμπαν Ν, σταθερά 0,συναρτησιακά ⊕, ⊗, και ’, κατηγορηματικό <.


Εξάσκηση μεΕναλλαγή Ποσοδεικτών

P(x, y): ο x θαυμάζει τον y

όλοι θαυμάζουν κάποιον (όχιαναγκαία τον ίδιο, μπορεί τονεαυτό τους). όλοι θαυμάζονται από κάποιον(όχι αναγκαία από τον ίδιο, μπορεί από τον εαυτό τους).

όλοι θαυμάζουν τους πάντες(και τον εαυτό τους).

υπάρχει ζευγάρι (όχι αναγκαίαδιαφορετικών) που ο έναςθαυμάζει τον άλλο.

υπάρχει κάποιους που τουςθαυμάζει όλους (και εαυτό του).υπάρχει κάποιος που τονθαυμάζουν όλοι (και εαυτός του).

P(x, y): x ≤ y

κάθε αριθμός έχει κάποιονμεγαλύτερο ή ίσο του.

κάθε αριθμός έχει κάποιονμικρότερο ή ίσο του.

για κάθε ζευγάρι αριθμών, οένας είναι μικρότερος ή ίσοςτου άλλου.

υπάρχουν αριθμοί που ο έναςείναι μικρότερος ή ίσος τουάλλου.

υπάρχει αριθμός μικρότεροςή ίσος όλων (κάτω φράγμα).υπάρχει αριθμός μεγαλύτεροςή ίσος όλων (άνω φράγμα)


ΕκφραστικότηταΠρωτοβάθμιας Γλώσσας

Δεδομένης ερμηνείας (π.χ. φυσικοί αριθμοί, σύνολα, γραφήματα), διατύπωση προτάσεων – ιδιοτήτων σε πρωτοβάθμια γλώσσα.

Όλοι οι άνθρωποι θαυμάζουνκάποιον άλλο.Υπάρχει κάποιος που δενθαυμάζει κανέναν άλλο.Υπάρχει κάποιος που θαυμάζειτον εαυτό του και μόνον αυτόν. Όλοι θαυμάζονται από κάποιον άλλο.Υπάρχει κάποιος που θαυμάζειόλους τους άλλους.Υπάρχει κάποιος που δεν θαυμάζει κανέναν. Δεν υπάρχει κανένας άνθρωπος πουνα τον θαυμάζουν όλοι οι άλλοι.

Νόμοι Άρνησης Ποσοδεικτών:


Εκφράσεις Ελληνικής σεΠρωτοβάθμια Γλώσσα

Απλές γλωσσικές δομές συνήθως επαρκούν.Κάθε αντικείμενο με ιδιότητα P έχει ιδιότητα Q.

Ο επόμενος κάθε περιττού αριθμού είναι άρτιος.

Κάθε πολλαπλάσιο του 4 είναι άρτιος.

Υπάρχει αντικείμενο με ιδιότητα P και ιδιότητα Q

Δεν είναι όλοι οι άρτιοιπολλαπλάσια του 4.



Υπάρχει μοναδικό αντικείμενομε ιδιότητα Ρ. Υπάρχει μέγιστο (ελάχιστο) στοιχείο με ιδιότητα Ρ.

Υπάρχει μοναδικός φυσικός πουείναι μικρότερος του 1.

Το άθροισμα δύο περιττώνείναι άρτιος.Ο x διαιρεί ακριβώς τον y: O x είναι μικρότερος ή ίσος του y:Ο x είναι πρώτος αριθμός:



Ερμηνεία με σύμπαν δυναμοσύνολο πεπερασμένου συνόλου S,2-μελές κατηγορηματικό σύμβολο Q με ερμηνεία Q(x, y) ≡ x ⊆ y,και σταθερά c που ερμηνεύεται με το κενό σύνολο (∅).

Δυναμοσύνολο P(S): σύνολο με στοιχεία όλα τα υποσύνολα του S. Π.χ. δυναμοσύνολο {1, 2, 3}:P({1, 2, 3}) = {∅ , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}Υπάρχει σύνολο που περιέχει (ως υποσύνολα) κάθε σύνολο.Το κενό σύνολο έχει μόνο έναυποσύνολο, τον εαυτό του.Για κάθε ζευγάρι συνόλων υπάρχει κοινό υποσύνολο που είναι τομεγαλύτερο δυνατό (τομή συνόλων).

Για κάθε ζευγάρι συνόλων υπάρχει κοινό υπερσύνολο που είναι τοελάχιστο δυνατό (ένωση συνόλων).


Ερ. 1, 3η Εργ. 10-11Διατύπωση σε πρωτοβάθμια γλώσσα:

Υπάρχει πληροφορικός που δεν συμπαθεί κανένα μαθηματικό.

Κανένας μαθηματικός δεν συμπαθεί δύο ή περισσότερουςπληροφορικούς.

Αν ένας μαθηματικός συμπαθεί δύο πληροφορικούς, τότετουλάχιστον ένας από αυτούς είναι μαθηματικός.

Αν ένα λειτουργικό σύστημα χρησιμοποιείται από τουλάχιστον δύοπληροφορικούς, τότε κάποιος μαθηματικός δεν το χρησιμοποιεί.


Ερ. 1, 3η Εργ. 10-11Τι εκφράζουν σε φυσική γλώσσα:

Υπάρχει πληροφορικός που χρησιμοποιεί κάθε λειτουργικό σύστημα.

Κανένα λειτουργικό δεν χρησιμοποιείται από όλους τουςπληροφορικούς.

Όλοι όσοι είναι μαθηματικοί και πληροφορικοί ταυτόχροναχρησιμοποιούν κάποιο λειτουργικό σύστημα.

Όποτε κάποιος πληροφορικός συμπαθεί κάποιον μαθηματικό, αυτοίχρησιμοποιούν ένα κοινό λειτουργικό σύστημα.


Σημασιολογική ΠροσέγγισηΑ |= φ[v] : στην ερμηνεία Α, η αποτίμηση v επαληθεύει(ή ικανοποιεί) τον φ.

Αποτίμηση v καθορίζει τιμές ελεύθερων μεταβλητών του φ και μόνο.

Α |= φ : ο φ ικανοποιείται από κάθε αποτίμηση στην ερμηνεία Α. Ο φ αληθής στην Α ή η ερμηνεία Α αποτελεί μοντέλο για τον φ.

|= φ : ο φ ικανοποιείται σε κάθε ερμηνεία.Ο φ είναι (λογικά) έγκυρος (αντίστοιχο ταυτολογίας).Ταυτολογίες «δίνουν» λογικά έγκυρους τύπους με συντακτικήαντικατάσταση.

Εγκυρότητα / ικανοποιησιμότητα / αλήθεια φ ελέγχεται μεεφαρμογή του ορισμού αλήθειας του Tarski.

Δεν είναι ανάγκη να επιμείνετε στον βαρύ συμβολισμό του βιβλίου, να επιμείνετε μόνο στην ουσία του ορισμού.


Ορισμός TarskiΕρμηνεύει λογικούς συνδέσμους και ποσοδείκτες. Ορίζει ότι ένας τύπος φ αληθεύει (σε μια ερμηνεία Α, για μιααποτίμηση v) ανν το νόημα του εκφράζει μια αλήθεια στην Α. Η έννοια Α |= φ[v] ορίζεται αναδρομικά ως εξής:

Α |= (x = y)[v] ανν ( v(x) = v(y) ).A |= Q(x1, …, xn)[v] ανν ( (v(x1), …, v(xn)) ∈ QA ).A |= ¬ψ[v] ανν ( δεν ισχύει ότι A |= ψ[v] ). A |= (ψ ∧ χ)[v] ανν ( A |= ψ[v] και A |= χ[v] ).A |= (ψ ∨ χ)[v] ανν ( A |= ψ[v] ή A |= χ[v] ).A |= (ψ → χ)[v] ανν ( όταν A |= ψ[v], τότε A |= χ[v] ).A |= (ψ ↔ χ)[v] ανν ( A |= ψ[v] ανν A |= χ[v] ). A |= ∀xψ[v] ανν ( για κάθε α ∈ |Α|, Α |= ψ[v(x|α)] ).A |= ∃xψ[v] ανν ( υπάρχει α ∈ |Α| τέτοιο ώστε Α |= ψ[v(x|α)] ).


Σημασιολογική ΠροσέγγισηΓια να ελέγξουμε αν μια πρόταση αληθεύει σε συγκεκριμένηερμηνεία, συνήθως δεν ακολουθούμε κατά γράμμα τονφορμαλισμό του ορισμού Tarski, αλλά απλά «αποκωδικοποιούμε»την πρόταση (στην συγκεκριμένη ερμηνεία) και εξηγούμεπειστικά αν αληθεύει ή όχι.


Ερώτημα 2, 3η Εργ. 11-12Αληθεύουν οι παρακάτω τύποι στους φυσικούς:

Οι φυσικοί έχουν ελάχιστο στοιχείο: ναι, το 0.

Για κάθε ζεύγος φυσικών x, y ισχύει ότι:Υπάρχει φυσικός z τέτοιος ώστε οι x, y και μόνον αυτοίείναι μικρότεροι του z. Όχι, π.χ. για x = 0 και y = 5, κανένα z δεν έχει τηνιδιότητα.


Ερώτημα 2, 3η Εργ. 11-12Αληθεύουν οι παρακάτω τύποι στους φυσικούς:

Δύο φυσικοί είναι ίσοι ανν έχουν το ίδιο σύνολο μικρότερων.Ναι. Θεωρούμε δύο τυχόντες φυσικούς x, y:

Αν x = y, προφανές. Αν x ≠ y, υπάρχει φυσικός (ο μικρότερος των x, y) που είναιμικρότερος του ενός αλλά όχι του άλλου.


Ερώτημα 1, 3η Εργασία 09-10Τύπος φ(x) με ελεύθερη μεταβλητή x ορίζει σύνολο

Αφ = { α ∈ |Α|: φ(α) αληθεύει στην Α }φ(x): ιδιότητα στοιχείων της δομής (όπως κατηγορήματα). Πρόταση ψ: ιδιότητα της ίδιας της δομής.

Να ορίσετε έτσι τα {0} και {1} (χωρίς σταθερά 0, συνάρτηση ’).x είναι ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης: φ0(x) ≡ ∀y(x + y = y).Η δομή έχει ουδέτερο στοιχείο για την πρόσθεση: ∃x∀y(x + y = y).x είναι ουδέτερο στοιχείο του πολ/μού: φ1(x) ≡ ∀y(x × y = y).Η δομή έχει ουδέτερο στοιχείο για τον πολ/μό: ∃x∀y(x × y = y).


Σημασιολογική ΠροσέγγισηΔίνεται συγκεκριμένη πρόταση και ζητείται δομή πουνα (μην) την ικανοποιεί.

Νδο παρακάτω πρόταση δεν είναι λογικά έγκυρη περιγράφονταςερμηνεία της Γλώσσας Θ. Αριθμών που δεν την ικανοποιεί.

Αν Q(x, y) ≡ x < y, υπόθεση αληθής και συμπέρασμα ψευδές!


Λογική ΕγκυρότηταΝα εξετάσετε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι λογικά έγκυρες:

Ότι μια πρόταση δεν είναι λογικά έγκυρη αποδεικνύεται με«αντιπαράδειγμα» (ερμηνεία που δεν την ικανοποιεί):

Για την (i), φυσικοί αριθμοί, P(x) δηλώνει ότι x άρτιος, Q(x) δηλώνει ότι x περιττός.

Λογική εγκυρότητα αποδεικνύεται με εφαρμογή ορισμού Tarski.Επιμένουμε περισσότερο στην ουσία και λιγότερο στον συμβολισμό.Για αυθαίρετη ερμηνεία Α, πρόταση (ii) δηλώνει ότι: αν για κάθε στοιχείο α ∈ |Α|, Α |= P(α) και Α |= Q(α), τότε για κάθε στοιχείο α ∈ |Α|, Α |= P(α) ή Α |= Q(α).Αυτό αληθεύει για κάθε δομή Α.


Λογική ΕγκυρότηταΝδο |= ∃x(P(x) → Q(x)) → (∀xP(x) → ∃xQ(x))

Θεωρούμε αυθαίρετη δομή Α. Πρέπει νδο: Αν (i) υπάρχει α∈|Α|: Α |= P(α) → Q(α),τότε (ii) αν για κάθε β∈|Α|, Α |= Ρ(β),

τότε (iii) υπάρχει γ∈|Α|: Α |= Q(γ).Αρκεί νδο αν ισχύουν τα (i) και (ii), τότε ισχύει και το (iii). Λόγω (i): υπάρχει α∈|Α|: Α |= P(α) → Q(α).Λόγω (ii): A |= P(α).Άρα Α |= Q(α).Συνεπώς, αν ισχύουν τα (i) και (ii), υπάρχει στοιχείοτου |Α| για το οποίο αληθεύει το Q στην ερμηνεία Α.


Λογική Εγκυρότητα: Ερώτημα 3, 3η Εργ. 14-15

Να διερευνήσετε αν οι παρακάτω τύποι είναι λογικά έγκυροι:

Αν σχέση P είναι π.χ. ανακλαστική, τότε σχέση Ρ δεν έχει «ελάχιστο στοιχείο». Δεν είναι λογικά έγκυρο, π.χ. φυσικοί με P(x, y) ≡ x ≤ y.

Αν όταν το Ρ αληθεύει πάντα τότε και το Q αληθεύει πάντα,τότε τα κατηγορήματα Ρ και Q ταυτίζονται.Δεν είναι λογικά έγκυρο, π.χ. Ρ δεν αληθεύει για κάποιαστοιχεία και Q αληθεύει για όλα τα στοιχεία.

Λογικά έγκυρο, π.χ. μετακίνηση ποσοδεικτών.


Λογική Συνεπαγωγή: Ερ. 4, 3η Εργ. 11-12

Δίνονται τρεις προτάσεις:

Η σχέση Ρ είναι μεταβατική.

Η σχέση Ρ είναι αντισυμμετρική.

Αν κάθε στοιχείο Ρ-σχετίζεται με κάποιο στοιχείο,υπάρχει στοιχείο με το οποίο Ρ-σχετίζονται όλα τα στοιχεία.

{ (α), (β) } |= (γ); Όχι, π.χ. φυσικοί με P(x, y) ≡ x ≤ y.

{ (α), (γ) } |= (β);Όχι, π.χ. αν P(x, y) αληθεύει πάντα.

{ (β), (γ) } |= (α);Όχι, π.χ. σύμπαν = {0, 1, 2} και P(x, y) αληθεύει για {(0,1), (1,2)}.


Κανονική Ποσοδεικτική ΜορφήΓια κάθε τύπο φ, μπορούμε να βρούμε λογικάισοδύναμο τύποόπου Qi ποσοδείκτες και φ’(x1, …, xn) ανοικτός τύπος.

φ* αποτελεί Κανονική Ποσοδεικτική Μορφή (ΚΠΜ) φ. Για υπολογισμό ΚΠΜ, χρησιμοποιούμε:

Νόμους μετακίνησηςποσοδεικτών (μόνοαν x δεν εμφανίζεταιελεύθερη στον φ):Νόμους άρνησηςποσοδεικτών:Νόμους κατανομήςποσοδεικτών:


Κανονική Ποσοδεικτική ΜορφήΝα βρείτε μια ΚΠΜ του τύπου

ΚατηγορηματικήΛογικήfotakis/data/PLH20/PLH20_OSS3(color).pdfΠΛΗ20, ΑΘΗ3...

Documents

Transcript of ΚατηγορηματικήΛογικήfotakis/data/PLH20/PLH20_OSS3(color).pdfΠΛΗ20, ΑΘΗ3...