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  • Divulgaciones Matematicas Vol. 16 No. 2 (2008), pp. 299326

    desde sus bases

    from its foundations

    Douglas Jimenez (dougjim@cantv.net)Seccion de Matematica

    Universidad Nacional Experimental PolitecnicaAntonio Jose de Sucre

    Vicerrectorado de BarquisimetoBarquisimeto, Venezuela

    Resumen

    Todo estudiante de matematica responde de inmediato las preguntasbasicas acerca de : el area del crculo, la longitud de la circunferencia,la irracionalidad de y sus aproximaciones decimales. Sin embargo,muy pocos de ellos han visto una demostracion rigurosa de cualquie-ra de las respuestas. Este artculo muestra las cuatro respuestas con unlenguaje adaptado a las notaciones modernas, pero respetando el espri-tu historico con el cual fueron expuestas por vez primera. Asimismo seda el credito correspondiente a los matematicos que las produjeron.Palabras y frases clave: , principio de Arqumedes, polgonos regu-lares inscritos y circunscritos, area del crculo, longitud de la circunfe-rencia, irracionalidad, aproximaciones decimales.

    Abstract

    Every math student knows the basic questions about and can an-swer them inmediately: area of the circle, length of the circumference, is irrational and its decimal approximations. However, very few of thesestudents have seen a rigurous proof of the mentioned answers. This ar-ticle shows the four answers with a language that follows the modernnotations, but preserving the historical spirit of their first expositions.Also, the authors of the answers are credited.Key words and phrases: , Archimedes principle, inscribed andcircunscribed regular polygons, area of the circle, length of the circum-ference, irrationality, decimal approximations.

    Recibido 2008/09/04. Aceptado 2008/12/15.MSC (2000): Primary 51-01; Secondary 51-03, 01-01.

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    Las primeras preguntas acerca de

    Hay algunas preguntas que un estudiante de matematica (o de carreras que deella requieran, como la ingeniera por ejemplo) contesta apenas se le formulen.Entre otras, podramos escoger las cuatro siguientes (con sus respuestas):

    1. Cual es el area de un crculo?

    R. A = r2.

    2. Cual es la longitud de una circunferencia?

    R. L = 2r.

    3. Es un numero racional o irracional?

    R. es irracional.

    4. Cual es el valor decimal de ?

    R. = 3, 14 . . ..

    Sin embargo, la gran mayora quedara muda cuando le pregunten: Hasvisto la demostracion de alguna de estas respuestas? Realmente es asombroso:el estudiante puede decir cosas tan avanzadas de como que ei + 1 = 0 omanejarlo en ambientes tan extranos a su origen como la teora de la proba-bilidad y, sin embargo, desconocer las bases que sustentan la existencia y lanaturaleza de este tan omnipresente numerito.

    Evidentemente, muchos se interrogan al respecto desde muy temprano yno faltara quien ensaye respuestas tomadas de conocimientos basicos. Porejemplo, cuando omos la tan manida frase la integral es el area bajo lacurva, no podemos esperar hasta estar en capacidad de calcular r

    r

    r2 x2 dx,

    para lo cual, luego del aprendizaje de los metodos de calculo de antiderivadas,nos sentimos harto felices de escribir r

    r

    r2 x2 dx = x

    r2 x2

    2+r2

    2arc sen

    x

    r

    r

    r

    =1

    2r2.

    Listo! Problema resuelto!Pero... siempre hay un pero! De donde salio en el calculo anterior?

    Bueno... dearc sen(1) =

    2,

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    que no significa nada distinto a que un cuarto de arco de la circunferenciaunitaria mide /2... es decir, que la circunferencia unitaria mide 2... lo cualno es otra cosa que volver al principio! En otras palabras: estamos dandovueltas en crculo. Pues... nada mas propio de que hacernos dar vueltas encrculo... Lo que sucede es que la trigonometra esta montada sobre la basedel conocimiento de , y la integral anterior precisa para su resolucion de unabuena dosis de trigonometra.

    Claro como el agua aparece entonces la necesidad de buscar otros caminos,lo que nos hace recordar que tambien se nos dijo que los griegos haban resueltoel problema por el procedimiento de aproximar el crculo (o la circunferencia)mediante polgonos regulares inscritos y circunscritos al mismo. El sentido yproposito de este artculo es llenar los vacos elementales que vamos dejando de; para ello usaremos el procedimiento de verter el vino viejo en botas nuevas,es decir, usar las demostraciones que legaron los griegos pero expresandolasen el lenguaje de la matematica moderna.

    En la historia de los polgonos regulares, sin embargo, hay dos cabos suel-tos que no se suelen mencionar. Una es el hecho de que las demostracionesse realizaron por el metodo de la reduccion al absurdo; de hecho una doblereduccion al absurdo, puesto que la negacion de la igualdad entre cantidadesimplica dos proposiciones opuestas: o bien que una de ellas es menor que laotra, o bien que esta misma es mayor que la otra. De ser cierta la igualdad,ambas suposiciones deben conducir a contradiccion.

    Lo segundo es que los griegos evadan el infinito como concepto tangible.Por lo tanto, cualquier razonamiento que implicara caer en el, deba ser tratadode manera que su resolucion se consiguiera mediante un numero finito depasos. Esto ameritaba de un principio suficientemente solido y fue Eudoxo de la escuela platonica quien lo proveyo aunque nosotros lo solemos adjudicara Arqumedes, por el uso definitivamente consistente que este ultimo le dio.Recordemoslo:

    Lema 1 (Principio de EudoxoArqumedes). Dados dos numeros reales po-sitivos a y b existe un numero entero n tal que na > b.

    Para el problema que nos ocupa se uso una forma derivada de este lema,que expresa que una cantidad cualquiera se puede hacer menor que otra res-tando de ella mas de su mitad y, en caso de no alcanzar lo buscado, volvemosa restar mas de la mitad hasta que, en un numero finito de restas sucesivas,alcancemos el proposito. En terminos rigurosos queda as:

    Lema 2. Sean a y b numeros reales positivos y supongamos que la sucesion

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    {a1, a2, a3, . . .} es tal que

    a1 = a, an a = a1. Si n = 1 entonces a1 < b y el lema esta demostrado.Supongamos entonces que n 2.

    Como

    b 12nb

    entonces

    nb b nb 12nb,

    que equivale a

    (n 1)b 12nb >

    1

    2a1 > a2.

    Si n 1 = 1 entonces a2 < b y el lema esta demostrado. Supongamos quen 1 2, entonces de

    b 12

    (n 1)b,

    se obtiene:

    (n 2)b = (n 1)b b (n 1)b 12

    (n 1)b

    12

    (n 1)b

    >1

    2a2

    > a3

    Continuando de esta manera, despues de n 1 pasos se tendra que

    [n (n 1)]b > an,

    es decirb > an,

    tal como queramos demostrar.Tanto el principio de Arqumedes como el lema 2 aparecen en el libro de los

    Elementos de Euclides, el primero como la definicion V.4 (esto es, definicion

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    4 del libro V... son 13 libros) y el segundo como la proposicion (quiere decir,teorema) X.1. La demostracion (ya lo dijimos: verter el vino viejo en botasnuevas) es identica a la nuestra, excepto por la notacion.

    Este conocimiento nos coloca en situacion de volver a los polgonos inscri-tos y circunscritos. A los primeros el crculo los aventaja en area, mientras quelos segundos ganan un area respecto al crculo. El proximo paso es demostrarque estas diferencias de area, tanto en un caso como en el otro, satisfacen lashipotesis del lema 2, cuando pasamos de cierto polgono a aquel que tiene eldoble del numero de lados.

    Lema 3. Sea C un crculo de area A y pn, n 3, el polgono regular de nlados inscrito en C. Sea an el area de pn. Entonces

    A a2n 1

    2;

    en efecto, suponiendo lo contrario llegamos a

    (MRQ) 12 2(MRQ)

    (MQST ) ,

    lo cual es contradictorio.Pero MR y RQ son dos lados de p2n, lo cual (si se aplica este resultado a

    cada uno de los lados de pn) demuestra el teorema.

    Lema 4. Sea C un crculo de area A y Pn, n 3, el polgono regular de nlados circunscrito a C. Sea An el area de Pn. Entonces

    A2n A S1T ; peroS1T = S1T1, pues son segmentos tangentes a C desde el mismo punto. Entonces

    (S1TT1) B.

    Sea P el polgono regular de igual numero de lados de Q inscrito en C1;supongamos que su area es AP . Por el lema 5

    APAQ

    =d21d22,

    por lo tantoA1B

    =APAQ

    .

    Pero A1 > AP , por ser P polgono inscrito en C1 lo que, de acuerdo a laproporcion anterior, significara que B > AQ, lo cual es contradictorio.

    ii. A2 < B.

    Podemos reescribirB

    A1=d22d21.

    Consideremos ahora que D es la cuarta proporcional entre B, A1 y A2, esdecir

    B

    A1=A2D.

    Como B > A2, esta ultima proporcion implica que A1 > D. Ademas

    A2D

    =d21d22,

    con lo cual reproducimos el caso i que ya constatamos contradictorio.

    La doble contradiccion garantiza que

    A1A2

    =d21d22,

    como queramos demostrar.Estamos listos entonces para la entrada en escena de nuestro protagonista

    principal.

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  • 310 Douglas Jimenez

    Corolario 1. Si C es un crculo cualquiera de area A y radio r, existe unaconstante > 0 tal que

    A = r2.

    Demostracion La tesis del teorema anterior puede escribirse en la forma

    A1d21

    =A2d22,

    lo que significa que la razon (area del crculo)(cuadrado del diametro) es unaconstante k > 0 para cualquier crculo. En nuestro caso particular

    A

    (2r)2= k,

    de dondeA = (4k)r2.

    Haciendo = 4k se tiene el