repository.kallipos.gr...παραδειγµάτων 9.1.6 που έχει αύξοντα...

ΘΕΟΔΩΡΑ ΘΕΟΧΑΡΗ-ΑΠΟΣΤΟΛΙΔΗΚαθηγήτρια

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΟΜΑΔΩΝ

Εισαγωγή στη Θεωρία Οµάδων

ΣυγγραφήΘεοδώρα Θεοχάρη-Αποστολίδη

Κριτικός ΑναγνώστηςΙωάννης Αντωνιάδης

Συντελεστές ΄ΕκδοσηςΓλωσσική Επιµέλεια : Θεοδώρα Θεοχάρη-Αποστολίδη

Γραφιστική Επιµέλεια : Ιωάννης ΚαρύδηςΤεχνική Επεξεργασία : Θεοχάρη-Αποστολίδη

ISBN: 978-960-603-334-6

Copyright ©ΣΕΑΒ, 2015

Το παρόν έργο αδειοδοτείται υπό τους όρους της άδειας Creative CommonsΑναφορά ∆ηµιουργού - Μη Εµπορική Χρήση - ΄Οχι Παράγωγα ΄Εργα 3.0.Για να δείτε ένα αντίγραφο της άδειας αυτής επισκεφτείτε τον ιστότοπο

https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/

Σ΄ΥΝ∆ΕΣΜΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΑΚΑ∆ΗΜΑΪΚΩΝ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚ΄ΩΝΕθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 15780 Ζωγράφου

http://www.kallipos.gr

https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/http://www.kallipos.gr

Στον σύζυγό µου Τάσο και στην κόρη µου Ζωή-Λυδία

Συντοµογραφίες

ΑΠΘ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣΕΚΠ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟΜΚ∆ ΜΕΓΙΣΤΟΣ ΚΟΙΝΟΣ ∆ΙΑΙΡΕΤΗΣ∆ΗΛ. ∆ηλαδήΒΛ. ΒλέπεΚ.Λ.Π. Και λοιπάΚ.Ο.Κ. Και ούτω καθεξήςΠ.Χ. Παραδείγµατος χάρινPDF Portable Document FormatHTML5 Hyper Text MArkup Language 5ΠΠ Πεπερασµένα Παραγόµενη

Περιεχόµενα

Εισαγωγή iii

Κατάλογος Πινάκων και Σχηµάτων vii

Πίνακας Συµβόλων ix

1 Βασικές ΄Εννοιες 11.1 Ορισµός οµάδας - Παραδείγµατα . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Βασικές ιδιότητες της έννοιας της Οµάδας . . . . . . . . . . . . . 181.3 ∆υνάµεις στοιχείων οµάδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Υποοµάδες και οµοµορφισµοί οµάδων 332.1 Υποοµάδες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2 Τάξη στοιχείου - Κυκλικές οµάδες . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.3 Οµοµορφισµοί οµάδων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3 Οµάδα πηλίκο - Θεωρήµατα ισοµορφίας 673.1 ∆είκτης υποοµάδας - Θεώρηµα Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 673.2 Κανονικές υποοµάδες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.3 Θεωρήµατα Ισοµορφίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.4 Σχέσεις ορισµού και παράσταση οµάδας . . . . . . . . . . . . . . 98

4 Ευθέα γινόµενα οµάδων 1014.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.2 Ευθέα εσωτερικά γινόµενα οµάδων . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5 ∆ράση οµάδας 1175.1 Ορισµοί - Βασικές έννοιες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.2 Τύπος του Burnside και εφαρµογές στη δράση . . . . . . . . . . 1315.3 Θεωρήµατα του Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

i

ii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες 1476.1 Το ϐασικό ϑεώρηµα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.2 Πεπερασµένες αβελιανές οµάδες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1516.3 Πεπερασµένες αβελιανές p-οµάδες . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536.4 Ταξινόµηση των πεπερασµένα παραγόµενων αβελιανών οµάδων . 157

7 Σειρές Οµάδων 1637.1 Σειρές σύνθεσης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1637.2 Επεκτάσεις οµάδων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1707.3 Επιλύσιµες οµάδες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1777.4 Η Οµάδα µεταθετών και επιλύσιµες οµάδες . . . . . . . . . . . . 181

8 Η οµάδα Sn 1878.1 Βασικές ιδιότητες της Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1878.2 Επιλυσιµότητα της Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

9 Οµάδες συγκεκριµένης τάξης 2019.1 Οµάδες τάξης pq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2019.2 Οµάδες τάξης 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2039.3 Οµάδες τάξης 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

Παραρτήµατα 208

Αʹ Στοιχεία από τη Θεωρία Συνόλων 209

Βʹ Στοιχεία από τη Θεωρία Αριθµών 217

Γʹ Στοιχεία από την ΄Αλγεβρα 219

∆ʹ Στοιχεία από τη Γραµµική ΄Αλγεβρα 221

Βιβλιογραφία 223

Ευρετήριο ΄Ορων 226

Εισαγωγή

Το ϐιβλίο αυτό είναι αποτέλεσµα καλύτερης επεξεργασίας και εµπλουτισµούτου οµότιτλου ϐιβλίου µου, που δηµοσιεύτηκε το 1991 για τις διδακτικέςανάγκες του µαθήµατος «Θεωρία Οµάδων» που διδάσκεται στο Τµήµα Μαθη-µατικών του Αριστοτέλειου Πανεπιστηµίου Θεσσαλονίκης (Α.Π.Θ.) Η έννοιατης οµάδας παίζει σηµαντικό ϱόλο στη µαθηµατική σκέψη και χωρίς να επι-χειρούµε αξιολόγηση µαθηµατικών εννοιών ϑα µπορούσαµε να ισχυριστούµε,ότι µετά την έννοια της συνάρτησης η σηµαντικότερη έννοια είναι αυτή τηςοµάδας.

Η πρώτη εργασία στην ΄Αλγεβρα σχετικά µε τη ϑεωρία οµάδων είναι τουJoceph-Louis Lagrange (1736-1813) το 1771 που εφάρµοσε τη ϑεωρία τηςοµάδας µεταθέσεων, Sn, για την επίλυση των αλγεβρικών εξισώσεων. Τότεακόµη δεν ήταν γνωστός ο ορισµός της οµάδας. ΄Οµως, µέσα από τις ιδιότητεςτης Sn διαφαίνονταν ιδιότητες της έννοιας της οµάδας, όπως αυτή αργότεραορίστηκε και µελετήθηκε. Η οµάδα µεταθέσεων Sn έπαιξε πρωταγωνιστικόϱόλο στις εργασίες του Paolo Ruffini(1765-1822) το 1799, του Niels HenrikAbel (1802-1829) το 1824 και του Evariste Galois (1811-1832) το 1830, οιοποίοι χρησιµοποίησαν επίσης την Sn για τις µελέτες τους στην επιλυσιµότητατων αλγεβρικών εξισώσεων.

Οι µαθηµατικοί επηρεασµένοι από το µεγαλειώδες έργο του Galois, αλλάκαι των Lagrange, Abel, Ruffini µέχρι το τέλος περίπου του 19ου αιώνα µελε-τούσαν κυρίως την οµάδα Sn. Ο Arthur Cayley (1821-1895) το 1850 έδωσετις πρώτες ιδέες για τη µελέτη των αφηρηµένων οµάδων αν και ο ίδιος µελε-τούσε κυρίως οµάδες µετασχηµατισµών. Ο Leopold Kronecker (1823-1891)το 1870 ήταν ο πρώτος, ο οποίος όρισε την αφηρηµένη αβελιανή οµάδα.Αργότερα, το 1882, ο Walter von Dyck(1856-1934) και ο Heinrich MartinWeber(1842-1913), ανεξάρτητα ο ένας του άλλου, όρισαν την (αφηρηµένη)έννοια της οµάδας.

Η ϑεωρία αριθµών µε τη µελέτη της οµάδας Zn των κλάσεων υπολοίπωνmodn ήταν µία πηγή εξέλιξης της ϑεωρίας οµάδων. Η γεωµετρία ήταν επίσηςµία πηγή εξέλιξης της ϑεωρίας οµάδων λόγω της χρήσης οµάδων µετασχη-µατισµών στη µελέτη των γεωµετριών. Επίσης, οι οµάδες εµφανίστηκαν στις

iii

iv Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων

δυνατές δοµές των κρυστάλλων, µε αποτέλεσµα να αναπτυχθεί ιδιαίτερα ηδράση των πεπερασµένων οµάδων στα γεωµετρικά αντικείµενα.

Στο τέλος του 19ου αιώνα το Erlanger Programm του Felix Klein(1849-1925), ο οποίος ανέπτυξε ένα πρόγραµµα για τη µελέτη γεωµετριών µε όρουςοµάδων µετασχηµατισµών, που αφήνουν σταθερό ένα συγκεκριµένο γεωµε-τρικό σχήµα, κέντρισε το ενδιαφέρον των µαθηµατικών για τη ϑεωρία οµάδων.΄Ετσι αναδείχθηκε, επίσης, ο ϱόλος της έννοιας της οµάδας στο ϐαθύτατο ϑέ-µα της συµµετρίας στη ϕύση, που ο άνθρωπος προσπαθεί να εξιχνιάσει απόαρχαιοτάτων χρόνων.

Σήµερα, η ϑεωρία οµάδων εφαρµόζεται σε όλους τους κλάδους των µαθη-µατικών αλλά και στη Φυσική, στη Χηµεία, στην Επιστήµη των Υπολογιστώνκλπ. Καθηµερινά µας εκπλήσσουν οι εφαρµογές της ϑεωρίας οµάδων, πουαποτελεί έναν συνεχώς εξελισσόµενο ϐασικό κλάδο των µαθηµατικών.

Θα µπορούσαµε να πούµε σήµερα ότι η ϑεωρία οµάδων είναι η µελέτητης συµµετρίας. Η σύγχρονη ϑεωρία σωµατιδίων δεν ϑα υπήρχε χωρίς τη ϑε-ωρία οµάδων. Είναι ενδιαφέρον να παρατηρήσουµε ότι µε τη ϑεωρία οµάδωνέχουν προβλεφθεί σωµατίδια, πριν ακόµη αυτά εντοπιστούν πειραµατικά. Ηδοµή και η συµπεριφορά των µορίων και των κρυστάλλων εξαρτάται από τησυµµετρία τους, έτσι η ϑεωρία οµάδων είναι ένα ϐασικό εργαλείο µελέτηςτους. Στα [13], [14], [21], µπορεί ο αναγνώστης να καταφύγει για περαιτέρωαναζήτηση σε εφαρµογές στη ϑεωρία οµάδων.

Οι υπολογιστικές µέθοδοι µε τη νέα τεχνολογία έχουν αναπτυχθεί ιδιαί-τερα σε όλο το εύρος της ϑεωρίας οµάδων, το [22] είναι µία εξαιρετική πηγήσχετικής αναζήτησης.

Σε αυτό το κείµενο εισαγάγουµε τον αναγνώστη στην έννοια της οµάδαςκαι αναπτύσσουµε ένα κείµενο που καλύπτει τις απαιτήσεις ενός εξαµηνιαί-ου µαθήµατος µαθηµατικών ή µη πανεπιστηµιακών τµηµάτων στη ΘεωρίαΟµάδων.

Στο Κεφάλαιο 1 δίνονται οι ϐασικές ιδιότητες της έννοιας της οµάδας µεπολλά παραδείγµατα ώστε ο αναγνώστης να αντιληφθεί το εύρος των επιστη-µονικών πεδίων που εφαρµόζεται η έννοια της οµάδας.

Στο Κεφάλαιο 2 µελετάµε τους οµοµορφισµούς οµάδων. Την έννοια πουµας ϐοηθάει να συγκρίνουµε τις διάφορες οµάδες µεταξύ τους.

Στο Κεφάλαιο 3 ορίζουµε την οµάδα πηλίκο, µία εξαιρετική κατασκευήπου παίζει το ϱόλο της διαίρεσης στους αριθµούς. Επίσης, αποδεικνύου-µε τα ϑεωρήµατα ισοµορφίας των οµάδων που αποτελούν το µέσον για ναοδηγούµεθα σε ταξινοµήσεις.

Στο Κεφάλαιο 4 εξετάζουµε την κατασκευή γινοµένου οµάδων, αλλά και τηδυνατότητα ανάλυσης µίας οµάδας σε γινόµενο υποοµάδων της. Πάντα στηνΕπιστήµη και ιδιαίτερα στα µαθηµατικά, µας ενδιαφέρει από τα συστατικά

Εισαγωγή v

ενός επιστηµονικού αντικειµένου να εξάγουµε συµπεράσµατα για το όλον,που συνήθως είναι πλέον δύσκολο στη µελέτη του.

Στο Κεφάλαιο 5 εισαγάγουµε τον αναγνώστη στον υπέροχο κόσµό τηςδράσης οµάδας σε σύνολο και δίνουµε ως εφαρµογές της δράσης το Θεώρηµατου Burnside, αλλά και τα ϑεωρήµατα του Sylow.

Στο Κεφάλαιο 6 δίνουµε µία ταξινόµηση στη ϑεωρία οµάδων και ταξινο-µούµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες.

Στο Κεφάλαιο 7 ορίζουµε τις κανονικές σειρές οµάδων που επίσης µαςϐοηθούν να καταλάβουµε τις οµάδες µέσα από κατάλληλες υποοµάδες τους,αλλά και πώς να δηµιουργήσουµε ϑεωρίες για να κατασκευάσουµε οµάδες α-πό κατάλληλες υποοµάδες τους. Ιδιαίτερα εξετάζουµε τις επιλύσιµες οµάδες,που παίζουν σηµαντικό τόλο στην επιλυσιµότητα των αλγεβρικών εξισώσεων.

Στο Κεφάλαιο 8 εξετάζουµε λεπτοµερέστερα την οµάδα Sn µε στόχο νααπαντήσουµε στο ερώτηµα πότε είναι επιλύσιµη.

Στο Κεφάλαιο 9 ταξινοµούµε οµάδες µικρής τάξης, αλλά και τάξης γινο-µένου δύο πρώτων ϕυσικών αριθµών.

Για την παρακολούθηση του κειµένου απαιτούνται αρχικές έννοιες πουαναφέρονται σε άλλους κλάδους των µαθηµατικών. Για τη χρήση ενιαίαςορολογίας και για τη διευκόλυνση του αναγνώστη δίνονται όλες οι προαπαι-τούµενες γνώσεις στα Παραρτήµατα.

Στο Παράρτηµα δίνονται στοιχεία από τη ϑεωρία συνόλων, τη ϑεωρία α-ϱιθµών, την άλγεβρα και τη γραµµική άλγεβρα, ώστε το όλο κείµενο να είναιαυτάρκες.

Κύριες αναφορές για την ανάπτυξη των κεφαλαίων αποτελούν τα : [1], [6],[9], [10], [11], [12], [17], [18], [20], [24], [25], [26], [28], [29], [31], [32], [33],[34], [35] και για τα παραρτήµατα τα: [1], [4], [5], [17], [30].

Κάθε κεφάλαιο χωρίζεται σε έναν αριθµό εδαφίων. Τα ϑεωρήµατα, οιορισµοί, τα παραδείγµατα και οι παρατηρήσεις αριθµούνται ως εξής : ο πρώ-τος δηλώνει το κεφάλαιο που ϐρίσκεται, ο δεύτερος τον αύξοντα αριθµό τουεδαφίου και ο τρίτος τον αύξοντα αριθµό στο εδάφιο. Για παράδειγµα τοΘεώρηµα 3.1.12 έχει αύξοντα αριθµό 12 στο πρώτο εδάφιο του κεφαλαίου3. Ιδιαίτερα ένα συγκεκριµένο παράδειγµα περιγράφεται µε τέσσερις αριθ-µούς, π.χ. το Παράδειγµα 9.1.6.2 είναι το δεύτερο παράδειγµα της οµάδαςπαραδειγµάτων 9.1.6 που έχει αύξοντα αριθµό 6 στην ενότητα 1 κεφαλαίου9. Την πρώτη ϕορά που εµφανίζεται ένας νέος όρος δίνεται σε παρένθεσηο αντίστοιχος αγγλικός όρος για να µπορεί ο αναγνώστης να χειριστεί τηναγγλική ορολογία. Το τέλος κάθε απόδειξης σηµειώνεται µε το σύµβολο ∎.

Ο αναγνώστης οφείλει να προσπαθήσει να λύσει της προτεινόµενες ασκή-σεις, οι περισσότερες από τις οποίες απαιτούν την κατανόηση των εννοιών.Τα παραδείγµατα που δίδονται σε κάθε εδάφιο ϐοηθούν στην επίλυση τωνασκήσεων, οι οποίες δίδονται στο τέλος κάθε εδαφίου.

vi Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων

Επιθυµώ να ευχαριστήσω ιδιαίτερα εκείνους τους ϕοιτητές µου, που µετον ενθουσιασµό τους, την αγάπη τους για τα µαθηµατικά και την ενεργόπαρακολούθησή τους στα µαθήµατά µου στη Θεωρία Οµάδων µε ϐοήθησανσηµαντικά στην πραγµατοποίηση της επιθυµίας µου να αποτυπώσω τις σκέ-ψεις µου για ένα εισαγωγικό µάθηµα της Θεωρίας Οµάδων. Το Πρόγραµµα«Κάλλιπος» µε ενθάρρυνε να ολοκληρώσω αυτό το ϐιβλίο και γι΄ αυτό το ευχα-ϱιστώ. Επίσης ευχαριστώ ϑερµά τον κριτικό αναγνώστη του ϐιβλίου καθηγητήτου Πανεπιστηµίου Κρήτης, κύριο Ιωάννη Αντωνιάδη για τις χρήσιµες παρα-τηρήσεις του. Πολλές ευχαριστίες στον µαθηµατικό M.Sc Στράτο Στράτογλουκαι τον Dr. Κωνσταντίνο Κανάκογλου για τη ϐοήθεια που µου πρόσφερανστην ηλεκτρονική µεταφορά του κειµένου. Επίσης ευχαριστώ ϑερµά τον Dr.Ιωάννη Καρύδη για την ηλεκτρονική µετατροπή του κειµένου σε µορφή H-TML 5 και την κυρία Μαρία-Ιωάννα Χριστοφορίδου για την επιµέλεια τουεξωφύλλου.

Κατάλογος Πινάκων καιΣχηµάτων

Πίνακας 1.1 σελ. 11 Πίνακας CayleyΠίνακας 1.2 σελ. 12 Ο πίνακας Cayley της < i >Πίνακας 1.3 σελ. 12 Ο πίνακας ορισµού του XX , για X = {αβ}Πίνακας 1.4 σελ. 12 Ο πίνακας Cayley του XX , για X = {alp, β}Πίνακας 1.5 σελ. 12 Ο πίνακας Cayley της SX , για X = {α,β}Πίνακας 1.6 σελ. 15 Ο πίνακας Cayley της D2⋅3Πίνακας 1.7 σελ. 16 Ο πίνακας Cayley της D2⋅4Πίνακας 1.8 σελ. 23 Ο πίνακας Cayley της οµάδας τάξης 1Πίνακας 1.9 σελ. 23 Ο πίνακας Cayley της οµάδας τάξης 2Πίνακας 1.10 σελ. 23 Ο πίνακας Cayley της οµάδας τάξης 3Πίνακας 1.11 σελ. 24 Πίνακας Cayley οµάδαςΠίνακας 1.12 σελ. 26 Πίνακας Cayley οµάδας τάξης 4Πίνακας 1.13 σελ. 26 Ο πίνακας Cayley οµάδας τάξης 4Πίνακας 1.14 σελ. 26 Ο πίνακας Cayley οµάδας τάξης 4Πίνακας 1.15 σελ. 26 Ο πίνακας Cayley οµάδας τάξης 4Πίνακας 1.16 σελ. 27 Τµήµα πίνακα CayleyΠίνακας 1.17 σελ. 28 Ο πίνακας Cayley οµάδας τάξης 5Πίνακας 1.18 σελ. 29 Τµήµα πίνακα CayleyΠίνακας 2.1 σελ. 46 Ο πίνακας Cayley της S3Πίνακας 3.1 σελ. 77 Ο πίνακας Cayley της Q

vii

viii Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων

Σχήµα 1.1 σελ. 13 Ισόπλευρο τρίγωνοΣχήµα 1.2 σελ. 13 Η συνάρτηση ρ120Σχήµα 1.3 σελ. 13 Οι συναρτήσεις ρ240 και ρ0Σχήµα 1.4 σελ. 14 Η συνάρτηση εΣχήµα 1.5 σελ. 14 Η συνάρτηση ρ120 ○ εΣχήµα 1.6 σελ. 14 Η συνάρτηση ρ240 ○ εΣχήµα 1.7 σελ. 15 Το τετράγωνοΣχήµα 2.1 σελ. 36 ∆ιάγραµµα υποοµάδων της GLn(R)Σχήµα 3.1 σελ. 74 Το διάγραµµα υποοµάδων της Z4Σχήµα 3.2 σελ. 74 Το διάγραµµα υποοµάδων της οµάδας του KleinΣχήµα 3.3 σελ. 74 Το διάγραµµα υποοµάδων της S3Σχήµα 3.4 σελ. 74 Το διάγραµµα υποοµάδων της D2⋅4Σχήµα 3.5 σελ. 74 Το διάγραµµα υποοµάδων της QΣχήµα 3.6 σελ. 93 ∆ιάγραµµα υποοµάδων στο Θεώρηµα του

παραλληλογράµµουΣχήµα Π.1 σελ. 211 ∆ιάγραµµα ολικά διατεταγµένου συνόλουΣχήµα Π.2 σελ. 211 α. ∆ιάγραµµα διατεταγµένου συνόλουΣχήµα Π.3 σελ. 212 ϐ. ∆ιάγραµµα διατεταγµένου συνόλου

Πίνακας Συµβόλων

∈ σελ. 209 (G,∗) σελ. 1∉ σελ. 209 e σελ. 1∀ σελ. 209 α−1 σελ. 2

A ∪B σελ. 209 Q σελ. 214A ∩B σελ. 209 Qp σελ. 35A / σελ. 209 R σελ. 214∅ σελ. 209 R2 σελ. 39∶= σελ. 209 C σελ. 214⊍ σελ. 209 Q∗ σελ. 2

A ×B σελ. 209 R∗ σελ. 2X/R σελ. 210 C∗ σελ. 2(X,

x Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων

Dn(C) σελ. 36Tn(C) σελ. 36UTn(C) σελ. 36Isom(X) σελ. 38Trans(R2) σελ. 39Rot(R2, s) σελ. 40

D2n σελ. 41< g > σελ. 44

G =< S > σελ. 45Aut(G) σελ. 58Inn(G) σελ. 66< S > σελ. 45ord(g) σελ. 49G↪H σελ. 57Kerφ σελ. 62G/H σελ. 70∣G∣ σελ.

[G ∶H] σελ. 71H ⊴ G σελ. 81Z(G) σελ. 84∐ σελ. 107⊙ σελ. 109⊕ σελ. 109

N ⋊K σελ. 173CG(α) σελ. 125P(A) σελ. 128NG(H) σελ. 129GLn σελ. 3det σελ. 3G′ σελ. 173G(s) σελ. 183

Κεφάλαιο 1

Βασικές ΄Εννοιες

1.1 Ορισµός οµάδας - Παραδείγµατα

Συχνά στα µαθηµατικά µας ενδιαφέρει να εξετάσουµε αν κάποια ϕαινόµεναπου ισχύουν σε αριθµητικά συστήµατα ισχύουν σε ένα γενικότερο περιβάλ-λον, όπως π.χ. σε τυχαία σύνολα. Για την έννοια της οµάδας ένα ερώτηµααφετηρίας είναι πώς γενικεύεται η αριθµητική δοµή (Z,+) όταν στη ϑέση τουσυνόλου των ακέραιων είναι ένα τυχαίο σύνολο και στη ϑέση της πρόσθεσηςµία τυχαία πράξη ; Θα µπορούσε να µας ενδιαφέρει ένα τέτοιο επίτευγµα ;

Γνωρίζουµε τις ιδιότητες της πρόσθεσης στο Z από τις πρώτες ενασχολή-σεις µας µε την αριθµητική, έτσι ας ασχοληθούµε µε το πρώτο από τα δύοπαραπάνω ερωτήµατα. Το δεύτερο ϑα µας απασχολεί συνεχώς σε αυτό τοκείµενο και ϑα έχουµε απαντήσεις.

Για τις έννοιες που δεν αναφέρονται εδώ ο αναγνώστης παραπέµπεται σταΠαραρτήµατα.

Ορισµός 1.1.1 ΄Εστω G ένα µη κενό σύνολο εφοδιασµένο µε µία πράξη ∗.Η αλγεβρική δοµή (G,∗) λέγεται οµάδα (group) αν ισχύουν οι επόµενεςιδιότητες :

i. Η πράξη ∗ είναι προσεταιριστική (associative), δηλαδή

(α ∗ β) ∗ γ = α ∗ (β ∗ γ),

για όλα τα στοιχεία α,β, γ ∈ G.

ii. Υπάρχει ένα στοιχείο, έστω e, στο G τέτοιο ώστε

e ∗ α = α = α ∗ e,

για κάθε α ∈ G. Το στοιχείο e ∈ G λέγεται ουδέτερο ή ταυτοτικό στοιχείο(neutral or identity) της G.

1

2 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων

iii. Αν α ∈ G, υπάρχει ένα στοιχείο α−1 ∈ G ώστε

α ∗ α−1 = e = α−1 ∗ α.

Το στοιχείο α−1 λέγεται αντίστροφο (inverse) του α.

Ιδιαίτερα αν η πράξη είναι αντιµεταθετική, δηλαδή αν

α ∗ β = β ∗ α,

για όλα τα α,β ∈ G, τότε η οµάδα (G,∗) λέγεται αντιµεταθετική (commu-tative) ή αβελιανή (abelian) ή οµάδα του Abel.

Ο συµβολισµός του αντίστροφου στοιχείου προέρχεται από τον συµβο-λισµό του αντίστροφου στοιχείου στις αριθµητικές δοµές. Αν η πράξη τηςοµάδας συµβολίζεται µε + ονοµάζεται πρόσθεση (addition). Σε αυτήν τηνπερίπτωση το ουδέτερο στοιχείο λέγεται µηδενικό (zero) και συµβολίζεταιµε 0, ενώ το αντίστροφο του α λέγεται αντίθετο (opposite) και συµβολίζεται−α. Αν η πράξη λέγεται πολλαπλασιασµός (multiplication), τότε συµβο-λίζεται µε ⋅ όπως στις αριθµητικές δοµές και το ουδέτερο στοιχείο λέγεταιεπίσης µοναδιαίο (unit). Θα συµβολίζουµε µε e το ουδέτερο στοιχείο για τιςπολλαπλασιαστικές δοµές. Για τα συγκεκριµένα παραδείγµατα όπως οι αριθ-µητικές δοµές ή τα σύνολα πινάκων ή συναρτήσεων ϑα χρησιµοποιούµε τουςγνωστούς και καθιερωµένους συµβολισµούς για το αντίστροφο, το αντίθετο,το µοναδιαίο ή το µηδενικό στοιχείο. Αυτό γίνεται σαφές στα παραδείγµαταπου ακολουθούν.

Παραδείγµατα 1.1.2

1. Οι αριθµητικές δοµές (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+) είναι αβελιανές(προσθετικές) οµάδες.

2. Συµβολίζουµε µε Q∗ ∶= Q/{0} ∶= {α ∈ Q ∣ a ≠ 0} και ανάλογα R∗ ∶=R/{0}, C∗ ∶= C/{0}. Εύκολα ϐλέπουµε ότι οι αριθµητικές δοµές (Q∗, ⋅),(R∗, ⋅), (C∗, ⋅) είναι αβελιανές (πολλαπλασιαστικές) οµάδες. Ενώ οι αριθµη-τικές δοµές (Q, ⋅), (Z, ⋅) δεν είναι οµάδες.

3. ΄Εστω 2Z ∶= {2α ∣ α ∈ Z}, παρατηρούµε ότι η (2Z,+) είναι µία αβελιανήοµάδα, ενώ η (2Z, ⋅) δεν είναι οµάδα.

4. ΄Εστω n, m ϕυσικοί αριθµοί και X ένα µη κενό σύνολο. Θυµίζουµε ότιµε τον όρο n ×m-πίνακας (matrix) µε συντελεστές από το X εννοούµε µίασυνάρτηση

{1,2, . . . , n} × {1,2, . . . ,m}→X, (i, j)↦ (xij)

Κεφάλαιο 1 Εδάφιο 1.1 Ορισµός οµάδας - Παραδείγµατα 3

και τον συµβολίζουµε µε

⎛⎜⎜⎜⎝

x11 x12 ⋯ x1mx21 x22 ⋯ x2m⋮ ⋮ ⋱ ⋮xn1 xn2 ⋯ xnm

⎞⎟⎟⎟⎠

Με Mn×m(X) συµβολίζουµε το σύνολο των n ×m-πινάκων (xij), µε xij ∈ X,για 1 ≤ i ≤ n και 1 ≤ j ≤ m. Η αλγεβρική δοµή (Mn×m(Z),+) είναι µίααβελιανή οµάδα, όπου µε + συµβολίζουµε το άθροισµα των n ×m-πινάκων,δηλαδή αν (αij), (βij) ∈Mn×m(Z), τότε

(αij) + (βij) = (αij + βij).

Το µηδενικό στοιχείο τηςMn×m(Z) είναι ο µηδενικός n×m-πίνακας 0, δηλαδήαυτός για τον οποίο αij = 0, για 1 ≤ i ≤ n και 1 ≤ j ≤m. Αντίθετος του πίνακα(αij) ∈Mn×m(Z) είναι ο πίνακας (−αij), δηλαδή −(αij) = (−αij).

Ανάλογα οι αλγεβρικές δοµές (Mn×m(Q),+), (Mn×m(R),+), (Mn×m(C),+)είναι προσθετικές αβελιανές οµάδες.

Συµβολίζουµε µεMn(X) ∶= {(αij)∣αij ∈X,1 ≤ i, j ≤ n} το σύνολο των n×n-πινάκων µε συντελεστές από το σύνολο X. Παρατηρούµε ότι η (Mn(X),+),όπου X ∈ {Z,Q,R,C}, είναι επίσης µία προσθετική αβελιανή οµάδα.

5. ΄Εστω X ∈ {Q,R,C}. Συµβολίζουµε µε

GLn(X) ∶= {(αij) ∈Mn(X)∣det(αij) ≠ 0},

όπου µε det(αij) συµβολίζουµε την ορίζουσα του πίνακα (αij). Από τηΓραµµική ΄Αλγεβρα γνωρίζουµε ότι αν για τον πίνακα (αij) ∈ Mn(X) ισχύειdet(αij) ≠ 0, τότε και µόνον τότε ορίζεται ο αντίστροφος πίνακας (αij)−1 γιατον οποίο ισχύουν οι σχέσεις det((αij)−1) = (det(αij))−1 και

(αij)−1(αij) = In = (αij)(αij)

−1,

όπου µε In συµβολίζουµε τον λεγόµενο µοναδιαίο (unit) n × n-πίνακα, δη-λαδή αυτόν που όλα τα στοιχεία του πάνω στην κύρια διαγώνιο ισούνται µε 1και όλα τα άλλα στοιχεία του είναι ίσα µε µηδέν.

Παρατηρούµε αµέσως ότι το σύνολο GLn(X) µε πράξη τον πολλαπλασια-σµό πινάκων αποτελεί οµάδα µε µοναδιαίο στοιχείο το In και αντίστροφο του(αij) ∈ GLn(X) τον πίνακα (αij)−1. Η οµάδα (GLn(X), ⋅), για n > 1, δενείναι αβελιανή, αφού δεν ισχύει πάντα η αντιµεταθετικότητα των πινάκων,δηλαδή, δεν ισχύει

(αij)(βij) = (βij)(αij),


για όλα τα (αij), (βij) ∈ GLn(X). Η GLn(X) λέγεται γενική γραµµικήοµάδα (general linear group).

6. Ας ϑεωρήσουµε ένα µη κενό σύνολο X και το σύνολο XX όλων τωνσυναρτήσεων f ∶ X → X. Συµβολίζουµε, ως συνήθως, µε ○ τη σύνθεσησυναρτήσεων. Είναι ϕανερό ότι η σύνθεση συναρτήσεων στο XX ορίζεται καιότι έχει την προσεταιριστική ιδιότητα. ΄Ετσι η (XX , ○) είναι µία αλγεβρικήδοµή. Από τη ϑεωρία των συναρτήσεων γνωρίζουµε ότι η ταυτοτική συνάρτηση1X στο σύνολο X έχει την ιδιότητα

1X ○ f = f = f ○ 1X ,

δηλαδή η 1X είναι ουδέτερο στοιχείο της (XX , ○). Είναι η (XX , ○) οµάδα ;Για να συµβαίνει αυτό ϑα πρέπει, για κάθε στοιχείο f ∈ XX , να υπάρχει µίασυνάρτηση g ∈ XX έτσι ωστε g ○ f = 1X = f ○ g. Γνωρίζουµε, όµως, απότη ϑεωρία συναρτήσεων ότι η ύπαρξη µίας τέτοιας συνάρτησης ισοδυναµείµε το γεγονός ότι η f είναι αµφιµονότιµη και επί συνάρτηση. ΄Οµως, κάθεσυνάρτηση f ∈ XX δεν έχει αυτές τις ιδιότητες. Εποµένως η (XX , ○) δενµπορεί να είναι οµάδα.

Συµβολίζουµε µε SX το σύνολο των αµφιµονότιµων και επί συναρτήσεωντου συνόλου X. Βέβαια SX ⊆ XX . Το SX λέγεται σύνολο των µετασχηµατι-σµών (transformations) του συνόλουX. Είναι εύκολο να διαπιστώσουµε ότιη αλγεβρική δοµή (SX , ○) είναι οµάδα µε τη συνάρτηση 1X να είναι ουδέτεροστοιχείο και την αντίστροφη συνάρτηση f−1 της f ∈ SX να είναι το αντίστροφοστοιχείο της f . Βέβαια η οµάδα (SX , ○) δεν είναι αντιµεταθετική, αφού ησύνθεση συναρτήσεων (όταν αυτή ορίζεται) δεν έχει πάντα την αντιµεταθετικήιδιότητα.

Η οµάδα (SX , ○) λέγεται οµάδα µετασχηµατισµών (transformationgroup) του συνόλου X και, όπως ϑα διαπιστώσουµε από την ανάπτυξη τηςϑεωρίας οµάδων, παίζει εξαιρετικά ενδιαφέροντα ϱόλο τόσο για τη ϑεωρίαοµάδων όσο και για τις εφαρµογές της σε άλλους επιστηµονικούς κλάδους.

Οι οµάδες µετασχηµατισµών είναι από τις ϐασικές οµάδες που εµφανί-Ϲονται στις εφαρµογές της ϑεωρίας οµάδων. Το 1872 ο Felix Klein ανακοίνωσετο Erlangen Program σύµφωνα µε το οποίο επιχειρούσε να ταξινοµήσει τιςγεωµετρίες χρησιµοποιώντας τη σηµασία των οµάδων µετασχηµατισµών.

Το ενδιαφέρον της Γεωµετρίας για τις οµάδες µετασχηµατισµών εµφανίζε-ται όταν το σύνολο X είναι το σύνολο των σηµείων κάποιου γεωµετρικού αν-τικειµένου π.χ. της πραγµατικής ευθείας, του επιπέδου, της σφαίρας κ.ο.κ.

Παρατηρούµε ότι κάθε στοιχείο f ∶ X → X της οµάδας SX ικανοποιεί τησχέση f(X) = X, όµως δε συµβαίνει f(x) = x, ∀x ∈ X, εκτός αν η f είναιη ταυτοτική συνάρτηση. Γι΄ αυτόν τον λόγο κάθε στοιχείο της SX λέγεταισυµµετρία (symmetry) του X και η οµάδα SX οµάδα των συµµετριών


του X (group of symmetries of X). Στα παραδείγµατα 1.1.4 ϑα δούµεσυγκεκριµένες περιπτώσεις.

7. Ας ϑεωρήσουµε το σύνολο {x1, x2, . . . , xn}. Τότε το σύνολο SX εί-ναι ακριβώς το σύνολο των αµφιµονότιµων και επί συναρτήσεων του συνό-λου X στον εαυτό του, δηλαδή το σύνολο των µεταθέσεων των αντικειµένωνx1, x2, . . . , xn. Η οµάδα (SX , ○) σε αυτήν την περίπτωση λέγεται οµάδα µε-ταθέσεων (permutation group) των n αντικειµένων και συµβολίζεται µεSn. Τα αντικείµενα τα συµβολίζουµε µε τους αριθµούς 1,2,⋯, n για να α-πλουστευτεί ο συµβολισµός.

Είναι εύκολο να αποδείξουµε ότι το πλήθος των στοιχείων του συνόλου Snείναι n!. ΄Ενα στοιχείο της Sn συµβολίζεται αναλυτικότερα

σ = (1 2 . . . n

σ(1) σ(2) . . . σ(n)) ,

όπου σ(i) είναι η εικόνα του i µέσω της σ. Αν σ, τ ∈ Sn, τότε το γινόµενοσ ○τ και απλούστερα στ είναι η σύνθεση των συναρτήσεων σ, τ . ΄Ετσι στ(i) =σ(τ(i)), ∀i ∈X. Το αντίστροφο του σ ∈ Sn είναι το

σ−1 = (σ(1) σ(2) . . . σ(n)

1 1 . . . n) .

Στο σηµείο αυτό ας παρατηρήσουµε ότι το στοιχείο σ ϑα µπορούσε να γραφτείκατά τους n ισοδύναµους τρόπους :

σ = (1 2 . . . n

σ(1) σ(2) . . . σ(n)) = (

2 3 . . . n 1σ(2) σ(3) . . . σ(n) σ(1)

) =

κ.ο.κ.. Αν

σ = (1 2 3 4 52 5 1 4 3

) ∈ S5,

τότε το σ−1 είναι το

σ−1 = (2 5 1 4 31 2 3 4 5

) = (1 2 3 4 53 1 5 4 2

) .

Ιδιαίτερα υπολογίζουµε ότιS1 = {1},

S2 =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

(1 21 2

) ,(1 22 1

)

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

,


S3 =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

(1 2 31 2 3

) ,(1 2 31 3 2

) ,(1 2 33 2 1

) ,(1 2 32 1 3

) ,(1 2 32 3 1

) ,

(1 2 33 1 2

)

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

.

8. Το παράδειγµα που ϑα παρουσιάσουµε τώρα είναι από το σύνολο τωνµιγαδικών αριθµών. Αν p είναι ένας συγκεκριµένος πρώτος ακέραιος αριθ-µός, ορίζουµε

C∞p = {c ∈ C ∶ cpn

= 1,για κάποιο ϕυσικό αριθµό n}.

Παρατηρούµε ότι ο αριθµός n εξαρτάται από τον c. Το σύνολο C∞p µε πράξητον συνήθη πολλαπλασιασµό των µιγαδικών αριθµών αποτελεί αντιµεταθετικήοµάδα. Πράγµατι :i. Αν α,β ∈ C∞p , τότε υπάρχουν ϕυσικοί αριθµοί n, m τέτοιοι ωστε

αpn= 1 και βpm = 1 ⇒ (αβ)pk = 1 ,

όπου k είναι ο µεγαλύτερος από τους n,m. Αυτό σηµαίνει ότι αβ ∈ C∞p , δη-λαδή ο πολλαπλασιασµός είναι πράξη στο C∞p .ii. Αφού C∞p ⊂ C, έπεται ότι ο πολλαπλασιασµός στο C∞p διατηρεί τις ιδιότητεςπου έχει στο C. ΄Ετσι η πράξη στο C∞p είναι προσεταιριστική και αντιµεταθε-τική.iii. Είναι ϕανερό ότι 1 ∈ C∞p .iv. Αν c ∈ C∞p , τότε ϑα υπάρχει ϕυσικός αριθµός n τέτοιος ώστε cp

n= 1. Τότε,

όµως,

(1

c)pn

= 1.

΄Αρα 1c ∈ C∞p και c ⋅

1c = 1.

Από τα i. − iv. έπεται ότι το C∞p είναι αβελιανή οµάδα. Η C∞p λέγεταισχεδόν κυκλική οµάδα (almost cyclic group).

9. Το σύνολο Zn των κλάσεων υπολοίπων modn, n ∈ N και n > 1, είναιτο επόµενο παράδειγµα που ϑα µας απασχολήσει. Χωρίς µαθηµατική αυ-στηρότητα µπορούµε να περιγράψουµε το Zn ως εξής : Το σύνολο Zn είναιένα σύνολο µε στοιχεία σύνολα. Σε κάθε στοιχείο του Zn ανήκουν όλοι οιακέραιοι αριθµοί που διαιρούµενοι δια του n αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο. Ανα είναι αυτό το υπόλοιπο, τότε το στοιχείο αυτό του Zn το συµβολίζουµε µεα. Τα δυνατά υπόλοιπα που παρουσιάζονται, αν διαιρέσουµε κάθε ακέραιοδια του n, είναι 0,1,2, ..., n − 1. ΄Ετσι

Zn = {0,1, ..., n − 1},

όπου 0 = {kn ∶ k ∈ Zn}, 1 = {kn + 1 ∶ k ∈ Zn} κ.ο.κ.


Θα κατασκευάσουµε, τώρα, το Zn. Στο σύνολο Z ορίζουµε τη σχέση

α ∼ β⇔ α − β = kn, για κάποιο k ∈ Z.

Η σχέση αυτή είναι σχέση ισοδυναµίας. (Να αποδειχθεί ως άσκηση). Συµβο-λίζουµε µε α την κλάση που ανήκει ο ακέραιος αριθµός α. Το σύνολο τωνκλάσεων ισοδυναµίας που χωρίζει αυτή η σχέση ισοδυναµίας το Z, δηλαδήτο σύνολο πηλίκο Z/ ∼, το συµβολίζουµε µε Zn. ΄Ετσι

Zn = {α ∶ α ∈ Zn}.

Από τις ιδιότητες των σχέσεων ισοδυναµίας ισχύουν οι σχέσεις

i. Z = ⋃α ∈ Zα.

ii. α⋂β = ∅ ή α⋂β = α, για α,β ∈ Zn.

Είναι ϕανερό ότιZn ⊇ {0,1, ..., n − 1}.

Από την άλλη µεριά, όµως, αφού

∀α ∈ Z, α = kn + υ, για k, υ ∈ Z και 0 ≦ υ ≦ n − 1,

έπεται ότι{α ∶ α ∈ Zn} ⊆ {0,1, ..., n − 1}.

Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι

Zn = {0,1, ..., n − 1}.

Στο σύνολο Zn ορίζουµε την πρόσθεση ως εξής :

+ ∶ Zn ×Zn → Zn, (α,β)↦ α + β.

Θα αποδείξουµε ότι η + είναι συνάρτηση, δηλαδή η + είναι πράξη στο Zn. Αν(α,β) = (γ, δ), τότε α = γ και β = δ. ΄Αρα γ − α = kn και όµοια δ − β = λn,για κάποιους ακεραίους k, λ. ΄Ετσι γ + δ = α + β + (k + λ)n και γ + δ = α + β.Εποµένως η + είναι πράξη στο Zn.

΄Οµοια µπορεί να αποδειχθεί ότι ο πολλαπλασιασµός

⋅ ∶ Zn ×Zn → Zn, (α,β)↦ α ⋅ β

είναι πράξη στο Zn.Εξετάζουµε τώρα τις ιδιότητες των πράξεων αυτών στο Zn.


1. Αν α,β, γ ∈ Z, τότε

α + (β + γ) = α + (β + γ) = (α + β) + γ = α + β + γ = (α + β) + γ,

δηλαδή η πρόσθεση στο Zn είναι προσεταιριστική.

2. Αν α ∈ Z, τότε α + 0 = α + 0 = α, δηλαδή το 0 είναι µηδενικό στοιχείο.

3. Αν α ∈ Z, τότε α + (−α) = α + (−α) = 0, δηλαδή το (−α), η κλάση µεαντιπρόσωπο το −α, είναι αντίθετο του α.

4. Αν α,β ∈ Z, τότε α+β = α + β = β + α = β+α, δηλαδή η πρόσθεση είναιαντιµεταθετική πράξη.

΄Οµοια µπορούν να αποδειχθούν οι ιδιότητες

5. Αν α,β, γ ∈ Z, τότε (α ⋅ β) ⋅ γ = α ⋅ (β ⋅ γ).

6. Αν α ∈ Z, τότε α ⋅ 1 = α.

7. Αν α,β ∈ Z, τότε α ⋅ β = β ⋅ α.

Από τα παραπάνω καταλήγουµε στο επόµενο συµπέρασµα.

Συµπέρασµα: Η (Zn,+) είναι αντιµεταθετική οµάδα, ενώ η (Zn, ⋅) δενείναι οµάδα.

10. Θεωρούµε το σύνολο Z∗n = {α ∶ α ∈ Zn, (α,n) = 1}. Είναι ϕανερόότι Z∗n ⊆ Zn. Τα στοιχεία του Z∗n λέγονται πρώτες κλάσεις υπολοίπωνmodn (prime classes modn). Ο πολλαπλασιασµός στο Zn εξακολουθεί ναείναι πράξη στο Z∗n. Πράγµατι : Αν α, β είναι ακέραιοι αριθµοί τέτοιοι ώστε(α,n) = 1 και (β,n) = 1, τότε είναι γνωστό ότι (αβ,n) = 1. ΄Αρα, αν α,β ∈ Z∗n,τότε αβ ∈ Z∗n.

Ο πολλαπλασιασµός στο Z∗n είναι προσεταιριστική και αντιµεταθετικήπράξη, αφού αυτό συµβαίνει στο Zn. Ακόµη, είναι ϕανερό ότι 1 ∈ Z∗n αφού(1, n) = 1.

Θα δείξουµε, τώρα, ότι κάθε στοιχείο του Z∗n έχει αντίστροφο στο Z∗n. Αν(α,n) = 1, τότε κα + λn = 1 για κάποιους ακεραίους κ,λ. ΄Ετσι 1 = κα + λn =κα = κ α. ΄Οµως, κ ∈ Z∗n γιατί για τους ακέραιους α,λ ισχύει κα + λn = 1.΄Αρα η κ ∈ Z∗n είναι η αντίστροφη κλάση της α ∈ Z∗n. Αποδείχθηκε, εποµένως,ότι η (Z∗n, ⋅) είναι αβελιανή οµάδα.


΄Ενα εύλογο ερώτηµα είναι αν και πότε συµβαίνει Z∗n = Zn /{0}. Παρατη-ϱούµε ότι αν ο n είναι σύνθετος ακέραιος, δηλαδή έχει µία ανάλυση n =ms,m ≠ ±1, s ≠ ±1, τότε υπάρχουν στοιχεία του Zn που δεν ανήκουν στο Z∗n,π.χ. m̄, s̄ ∉ Z∗n. ΄Αρα Z∗n ⫋ Zn. Αν n = p, όπου p είναι πρώτος ϕυσικός αριθ-µός, τότε είναι ϕανερό ότι Z∗p = Zp /{0}, αφού (p,α) = 1, για 1 ≤ α ≤ p − 1.Καταλήγουµε, λοιπόν, στο συµπέρασµα:

Συµπέρασµα: ΄Εστω Z∗n = {α ∈ Zn, (α,n) = 1}. Ικανή και αναγκαίασυνθήκη για να ισχύει Z∗n = Zn /{0}, είναι ο n να είναι πρώτος ϕυσικόςαριθµός.

11. ΄Εστω G1,G2 δύο οµάδες. Σχηµατίζουµε το καρτεσιανό γινόµενο

G1 ×G2 = {(g1, g2) ∶ g1 ∈ G1, g2 ∈ G2}.

Στο σύνολο G1 ×G2 ορίζουµε την πράξη

(g1, g2)(g′1, g

′2) = (g1g

′1, g2g

′2), (1.1.1)

όπου gi, g′i ∈ Gi, i = 1,2.Είναι εύκολο να αποδείξουµε ότι η πράξη αυτή στο G1 ×G2 είναι προσε-

ταιριστική. Ακόµη αν ei είναι το ουδέτερο στοιχείο της Gi, i = 1,2, τότε τοστοιχείο (e1, e2) είναι το ουδέτερο στοιχείο του G1 ×G2. Πράγµατι

(e1, e2)(g1, g2) = (e1g1, e2g2) = (g1, g2)

και(g1, g2)(e1, e2) = (g1e1, g2e2) = (g1, g2).

΄Αρα το (e1, e2) είναι το ουδέτερο στοιχείο του G1 ×G2. Αν (g1, g2) ∈ G1 ×G2,τότε ϐλέπουµε ότι

(g1, g2)(g−11 , g

−12 ) = (g1g

−11 , g2g

−12 ) = (e1, e2)

και(g−11 , g

−12 )(g1, g2) = (g

−11 g1, g

−12 g2) = (e1, e2).

΄Αρα το (g−11 , g−12 ) είναι το αντίστροφο του (g1, g2), δηλ.

(g1, g2)−1 = (g−11 , g

−12 ), gi ∈ Gi, i = 1,2.

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι το G1 × G2 µε την πράξη (1.1.1) είναιοµάδα. Η οµάδα G1 ×G2 είναι αβελιανή αν και µόνον αν η G1 και η G2 είναιαβελιανές οµάδες. Ο αναγνώστης καλείται να αποδείξει την αλήθεια αυτήςτης πρότασης. Ας ϑεωρήσουµε, τώρα, έναν ϕυσικό αριθµό n και έστω

G1 ×G2 × ⋅ ⋅ ⋅ ×Gn ∶= {(g1, g2, . . . , gn) ∣ gi ∈ Gi,1 ≤ i ≤ n},


το καρτεσιανό γινόµενο των οµάδων Gi, i ≤ i ≤ n. Ανάλογα µε την οµάδαG1 ×G2, µπορούµε να δώσουµε στο G1 ×G2 × ⋅ ⋅ ⋅ ×Gn τη δοµή µίας οµάδας.Πράγµατι ορίζουµε στο G1 ×G2 × ⋅ ⋅ ⋅ ×Gn την πράξη:

(g1, g2, . . . , gn)(g′1, g

′2, . . . , g

′n) = (g1g

′1, g2g

′2, . . . , gng

′n)

όπου gi, g′i ∈ Gi για 1 ≤ i ≤ n. Η πράξη αυτή είναι προσεταιριστική, όπωςκαλείται να αποδείξει ο αναγνώστης. Ακόµη, αν ei είναι το ουδέτερο στοιχείοτης Gi,1 ≤ i ≤ n, το (e1, e2, . . . , en) είναι το ουδέτερο στοιχείο του G1×G2×⋅ ⋅ ⋅×Gn. Επίσης το (g−11 , g−12 , . . . , g−1n ) είναι αντίστροφο στοιχείο του (g1, g2, . . . , gn),δηλ.

(g1, g2, . . . , gn)−1 = (g−11 , g

−12 , . . . , g

−1n ).

Ο αναγνώστης καλείται να εκτελέσει τις απαιτούµενες πράξεις. ΄Ετσι τοG1 ×G2 × ⋅ ⋅ ⋅ ×Gn µε αυτήν την πράξη είναι οµάδα.

Η οµάδα G1 ×G2 × ⋅ ⋅ ⋅ ×Gn λέγεται ευθύ εξωτερικό γινόµενο (externaldirect product) των οµάδων G1,G2, . . . ,Gn.

Από τα παραδείγµατα που προηγήθηκαν διαπιστώνουµε ότι η έννοια τηςοµάδας συναντάται πολύ συχνά στα µαθηµατικά. Πριν προχωρήσουµε σε πε-ϱισσότερα παραδείγµατα αλλά και σε ιδιότητες των οµάδων, ϑα σχολιάσουµετον ορισµό της οµάδας και συγκεκριµένα ϑα µας απασχολήσει η µοναδικό-τητα ή µη του ουδέτερου στοιχείου µίας οµάδας και η µοναδικότητα ή µητου αντίστροφου στοιχείου α−1 ενός στοιχείου α ∈ G. Βέβαια οι πληροφορίεςαυτές δεν προσφέρονται αµέσως από τον ορισµό της οµάδας. Ο ορισµός τηςοµάδας απαιτεί την ύπαρξη αυτών των στοιχείων, η µοναδικότητα ϑα απαιτή-σει λίγο κόπο, όπως ϑα δούµε αµέσως.

Πρόταση 1.1.3 ΄Εστω (G,∗) µία οµάδα. ΗG έχει µοναδικό ουδέτερο στοιχείοκαι κάθε στοιχείο g ∈ G έχει µοναδικό αντίστροφο στοιχείο.

Απόδειξη: ΄Εστω e1 και e2 δύο ουδέτερα στοιχεία της G, τότε

e1 ∗ e2 = e2,

αφού το e1 είναι ουδέτερο στοιχείο της G, και

e1 ∗ e2 = e1,

αφού το e2 είναι ουδέτερο στοιχείο της G. ΄Αρα e1 = e2, δηλαδή το ουδέτεροστοιχείο της G είναι µοναδικό.

΄Εστω, τώρα, ότι g1, g2 ∈ G είναι αντίστροφα στοιχεία του στοιχείου g ∈ G.Τότε

g1 ∗ g = e⇒ (g1 ∗ g) ∗ g2 = e ∗ g2,


αφού η ∗ είναι συνάρτηση. ΄Οµως, η ∗ είναι προσεταιριστική πράξη, έτσι απότην τελευταία σχέση και τον ορισµό της οµάδας προκύπτει ότι

g1 ∗ (g ∗ g2) = g2 ⇒ g1 ∗ e = g2 ⇒ g1 = g2

΄Αρα κάθε στοιχείο της οµάδας G έχει µοναδικό αντίστροφο στοιχείο. ∎

΄Εστω (G,∗) µία οµάδα και ας υποθέσουµε ότιG = {α1, α2, . . . , αn}, δηλα-δή το σύνολο G είναι πεπερασµένο. Μπορούµε να γράψουµε τα n2 πλήθουςστοιχεία αi ∗ αj, 1 ≤ i, j ≤ n, σχηµατίζοντας τον ακόλουθο πίνακα

∗ α1 α2 . . . αnα1 α1 ∗ α1 α1 ∗ α2 . . . α1 ∗ αnα2 α2 ∗ α1 α2 ∗ α2 . . . α2 ∗ αn⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮αn αn ∗ α1 αn ∗ α2 . . . αn ∗ αn

Πίνακας 1.1

όπου στη ϑέση i-γραµµή και j-στήλη τοποθετούµε το στοιχείο αi ∗ αj . ΄Ετσιτα στοιχεία κάθε γραµµής και κάθε στήλης του παραπάνω πίνακα ανήκουνστο σύνολο G. Ο πίνακας αυτός λέγεται πίνακας Cayley της οµάδας G(multiplication Cayley table or multiplication table of G). Από τον πί-νακα Cayley της οµάδας (G,∗) µπορούν να διαπιστωθούν διάφορες ιδιότητεςτης οµάδας. Π.χ. αν η οµάδα (G,∗) είναι αβελιανή, τότε ο πίνακας των στοι-χείων αi∗αj είναι συµµετρικός ως προς την κύρια διαγώνιο που σχηµατίζουντα στοιχεία αi ∗ αi, 1 ≤ i ≤ n, αλλά ισχύει και το αντίστροφο. Βέβαια αν τοσύνολο G έχει µεγάλο πλήθος στοιχείων, τότε ο πίνακας Cayley της G δενείναι πρακτικός.

Με τον ίδιο τρόπο µπορούµε να δηµιουργήσουµε τον πίνακα Cayley γιατην τυχούσα αλγεβρική δοµή (A,∗), χωρίς απαραίτητα να είναι οµάδα.


1. Θεωρούµε το υποσύνολο G = {1,−1, i,−i} του συνόλου των µιγαδικώναριθµών, δηλαδή i2 = −1, και την αλγεβρική δοµή (G, ⋅) µε πράξη τον πολ-λαπλασιασµό των µιγαδικών αριθµών. Είναι εύκολο να διαπιστώσουµε ότι η(G, ⋅) είναι αβελιανή οµάδα µε πίνακα Cayley τον ακόλουθο Πίνακα 1.2


⋅ 1 −1 i −i1 1 −1 i −i−1 −1 1 −i ii i −i −1 1−i −i i 1 −1

Πίνακας 1.2

2. ΄Εστω X = {α,β}, τότε το σύνολο XX = {f, φ, g, h}, όπου τα στοιχείαf ,φ,g,h είναι οι συναρτήσεις που περιγράφονται από τον Πίνακα 1.3

α βf α αφ β βg α βh β α

Πίνακας 1.3

Η αλγεβρική δοµή (XX , ○) µε πράξη τη σύνθεση συναρτήσεων είναι ηµιοµά-δα, αφού η ○ είναι προσεταιριστική. Ο πίνακας Cayley της (XX , ○) είναι οακόλουθος

○ f φ g hf f f f fφ φ φ φ φg f φ g hh φ f h g

Πίνακας 1.4

Από το Παράδειγµα 1.1.2.6 η (XX , ○) δεν είναι οµάδα. Παρατηρώντας ότιµόνον οι g, h είναι αµφιµονότιµες και επί, το (SX , ○) µε SX = {g, h}, είναιοµάδα µε πίνακα Cayley

○ g hg g hh h g

Πίνακας 1.5

3. Θεωρούµε ένα ισόπλευρο τρίγωνο µε κορυφές 1, 2, 3 και κέντρο Ο όπωςστο σχήµα:


1

2 3

Σχήµα 1.1

Ας καλέσουµε X το σύνολο των σηµείων του επιπέδου που περικλείονταιαπό τις πλευρές του τριγώνου. ΄Εστω ρ120 η στροφή ως προς το κέντρο του Οτου τριγώνου κατά γωνία 120○ µε ϕορά αντίστροφη των δεικτών του ϱολογιού.Βέβαια η στροφή ρ120 είναι µία συνάρτηση από το X στο X η οποία είναιϕανερό ότι είναι αµφιµονότιµη και επί, δηλαδή ρ120(X) = X. ΄Οµως, κάθεσηµείο τουX δεν µένει στη ϑέση του π.χ. ρ120(1) = 2, ρ120(2) = 3, ρ120(3) = 1.Ας συµβολίσουµε ως ακολούθως

ρ120 ∶

1

2 3

Ð→

3

1 2

Σχήµα 1.2

τη µεταβολή του τριγώνου από τη στροφή ρ120. ΄Οµοια

ρ240 ∶

1

2 3

Ð→

2

3 1

ενώ

ρ0 ∶

1

2 3

Ð→

1

2 3

Σχήµα 1.3


Παρατηρούµε ότι ρ0 = ρ2κπ, µε κ ∈ N, και

ρ120 ○ ρ120 = ρ240, και ρ120 ○ ρ240 = ρ0.

Μπορούµε εύκολα να διαπιστώσουµε ότι το σύνολο {ρ0, ρ120, ρ240} µε πράξητη σύνθεση συναρτήσεων αποτελεί οµάδα.

Ας συµβολίσουµε τώρα µε ε τη στροφή του τριγώνου κατά 180○ ως προςάξονα τη µεσοκάθετο του τριγώνου που διέρχεται από την κορυφή 1. Τότε ηε είναι επίσης µία αµφιµονότιµη και επί συνάρτηση του συνόλου X επί τουX και

ε ∶

1

2 3

Ð→

1

3 2

Σχήµα 1.4

Τώρα παρατηρούµε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι επίσης αµφιµονότιµεςκαι επί :

ρ120 ○ ε ∶

1

2 3

Ð→

2

1 3

Σχήµα 1.5

ρ240 ○ ε ∶

1

2 3

Ð→

3

2 1

Σχήµα 1.6

Ακόµη, ϐλέπουµε αµέσως ότι ισχύουν οι σχέσεις :

ε ○ ρ120 = ρ240 ○ ε και ε ○ ρ240 = ρ120 ○ ε.

Ας συµβολίσουµε ρ ∶= ρ120, ρ2 ∶= ρ240, e ∶= ρ0 και

D2⋅3 = {e, ρ, ρ2, ε, ρε, ρ2ε}.


Η σύνθεση συναρτήσεων ϐέβαια ορίζεται στο σύνολο D2⋅3, άρα µπορούµε ναδηµιουργήσουµε τον Πίνακα 1.6 που είναι ο πίνακας Cayley της (D2⋅3, ○)

e ρ ρ2 ε ρε ρ2εe e ρ ρ2 ε ρε ρ2ερ ρ ρ2 e ρε ρ2ε ερ2 ρ2 e ρ ρ2ε ε ρεε ε ρ2ε ρε e ρ2 ρρε ρε ε ρ2ε ρ e ρ2

ρ2ε ρ2ε ρε ε ρ2 ρ e

Πίνακας 1.6

και να διαπιστώσουµε ότι η (D2⋅3, ○) είναι µία µη αβελιανή οµάδα.Τα στοιχεία της οµάδας D2⋅3 ονοµάζονται συµµετρίες του ισόπλευρου τρι-

γώνου. Η γραµµική άλγεβρα µας ϐεβαιώνει ότι αυτές είναι όλες οι συµµετρίεςτου ισόπλευρου τριγώνου, αλλά η απόδειξη δε ϑα µας απασχολήσει τώρα. Αρ-γότερα, όµως, ϑα δώσουµε περισσότερες πληροφορίες.

4. Ας ϑεωρήσουµε ως Y το σύνολο των σηµείων ενός τετραγώνου µε κο-ϱυφές 1, 2, 3, 4 και κέντρο Ο όπως στο Σχήµα 1.7:

1 2

O

4 3

Σχήµα 1.7

Ας συµβολίσουµε µε ρ = ρ90 τη στροφή του τετραγώνου κατά 90○ ως προςτο κέντρο Ο µε ϕορά αντίστροφη των δεικτών του ϱολογιού, µε ρ180 = ρ2,ρ270 = ρ3, ρ0 = e. Ακόµη, έστω ε η στροφή κατά 180○ του τετραγώνου ως προςάξονα την ευθεία που διέρχεται από το µέσον της πλευράς των σηµείων 1,4και το κέντρο Ο. ΄Οπως πριν ας συµβολίσουµε

D2⋅4 = {e, ρ, ρ2, ρ3, ε, ρε, ρ2ε, ρ3ε}.

Η αλγεβρική δοµή (D2⋅4, ○) είναι επίσης µία µη αβελιανή οµάδα, η οποίαλέγεται οµάδα συµµετρίας του τετραγώνου. ΄Εχει 8 στοιχεία και γεωµετρικά,όπως πριν, µπορούµε να διαπιστώσουµε τις σχέσεις :

ερ = ρ3ε, ερ2 = ρ2ε, ερ3 = ρε,


(ερ)2 = e, (ερ2)2 = e, και (ερ3)2 = e

Ο πίνακας Cayley της D2⋅4 είναι ο Πίνακας 1.7

e ρ ρ2 ρ3 ε ρε ρ2ε ρ3εe e ρ ρ2 ρ3 ε ρε ρ2ε ρ3ερ ρ ρ2 ρ3 e ρε ρ2ε ρ3ε ερ2 ρ2 ρ3 e ρ ρ2ε ρ3ε ε ρερ3 ρ3 e ρ ρ2 ρ3ε ε ρε ρ2εε ε ρ3ε ρ2ε ρε e ρ3 ρ2 ρρε ρε ε ρ3ε ρ2ε ρ e ρ3 ρ2

ρ2ε ρ2ε ρε ε ρ3ε ρ2 ρ e ρ3

ρ3ε ρ3ε ρ2ε ρε ε ρ3 ρ2 ρ e

Πίνακας 1.7

Ας παρατηρήσουµε από τον παραπάνω πίνακα ότι η ({e, ρ, ρ2, ρ3}, ○) είναιεπίσης οµάδα.

Για την οικονοµία των εκφράσεων ϑα δώσουµε τους ακόλουθους ορισµούς.

Ορισµός 1.1.5 Μία αλγεβρική δοµή (A,∗), όπουA είναι ένα µη κενό σύνολο,λέγεται ηµιοµάδα (semigroup) αν η πράξη ∗ είναι προσεταιριστική. Η (A,∗)λέγεται µονοειδές (monoid) αν είναι ηµιοµάδα και έχει ουδέτερο στοιχείο.

΄Ετσι οι αλγεβρικές δοµές

(Z, ⋅), (Q, ⋅), (R, ⋅), (C, ⋅), (Zn, ⋅), (XX , ○), (Mn(Q), ⋅)

είναι µονοειδή, αλλά όχι οµάδες.Μία οµάδα είναι ένα µονοειδές που κάθε στοιχείο του έχει αντίστροφο

στοιχείο.Ο επόµενος ορισµός χαρακτηρίζει τις οµάδες ανάλογα µε το πλήθος των

στοιχείων του συνόλου τους.

Ορισµός 1.1.6 Η οµάδα (G,∗) λέγεται πεπερασµένη (finite) αν το σύνολοG είναι πεπερασµένο, διαφορετικά λέγεται άπειρη (infinite). Το πλήθος τωνστοιχείων ∣G∣ του συνόλου G λέγεται τάξη (order) της οµάδας G.

΄Ετσι αν ∣G∣ < ∞, τότε η (G,∗) είναι πεπερασµένη. Ενώ αν ∣G∣ = ∞, τότε η(G,∗) είναι άπειρη. Η οµάδα (Sn, ○) έχει τάξη n!, ενώ η οµάδα (Z,+) είναιάπειρη. ΄Απειρες είναι επίσης οι οµάδες (Q,+), (R,+), (C,+), (Q∗, ⋅), (R∗, ⋅),(C∗, ⋅).


Παρατήρηση

΄Εχουµε διαπιστώσει µέχρι τώρα ότι η οµάδα είναι µία δυάδα που αποτελείταιαπό ένα σύνολο και µία πράξη. Στο ίδιο σύνολο µπορούν να οριστούν πε-ϱισσότερες από µία πράξεις και διαφορετικές πράξεις στο ίδιο σύνολο δίνουνδιαφορετικές αλγεβρικές δοµές. Μία ακόµη σηµαντική διαπίστωση είναι ότιστον ορισµό της οµάδας δεν µας ενδιαφέρει η ϕύση των στοιχείων, π.χ. δε µαςενδιαφέρει αν είναι αριθµοί, ή πίνακες, ή συναρτήσεις, ή κλάσεις ισοδυναµί-ας, ή στροφές, ή συµµετρίες γεωµετρικών σχηµάτων. Η ϕύση των στοιχείωνµας ενδιαφέρει αν έχουµε να εξετάσουµε µία συγκεκριµένη οµάδα π.χ. τηνοµάδα (Z,+) ή την GLn(Q) κ.ο.κ.

Επίσης διαπιστώνουµε ότι για τον ορισµό της οµάδας και τη µελέτη τωνϐασικών ιδιοτήτων της, η αριθµητική στο σύνολο Q ή στο R ή στο C είναι ένακίνητρο που επηρεάζει και τις ιδέες µας αλλά και τους συµβολισµούς µας.

Λαµβάνοντας όλα αυτά υπόψη και προκειµένου να έχουµε κατά το δυνα-τόν απλούστερους συµβολισµούς, στο εξής µία οµάδα ϑα τη συµβολίζουµε µεένα κεφαλαίο γράµµα του συνόλου της π.χ. G ή A κ.λ.π.. Πράξη της οµάδαςϑα εννοείται ο πολλαπλασιασµός και δε ϑα συµβολίζεται, έτσι ϑα γράφουµεG και όχι (G, ⋅) για την οµάδα, εκτός αν ϑέλουµε να δώσουµε έµφαση στηνπράξη. Με e συµβολίζουµε το ουδέτερο στοιχείο της G.

Ασκήσεις

1. Να υπολογίσετε το αντίστροφο του στοιχείου

(1 2 3 4 5 6 72 7 3 5 6 4 1

)

της S7.2. Να υπολογίσετε τον πίνακα Cayley των οµάδων (Z4,+), S3.3. Να αποδείξετε ότι η οµάδα GLn(Q) είναι αβελιανή αν και µόνον αν n = 1.4. Να αποδείξετε ότι το σύνολο

SLn(Q) = {A ∈ GLn(Q)∣detA = 1}

µε πράξη τον πολλαπλασιασµό πινάκων αποτελεί οµάδα. Η οµάδα (SLn(Q), ⋅)λέγεται ειδική γραµµική οµάδα (special linear group) των n × n-πινάκωνµε στοιχεία από το Q. (Ανάλογα ορίζονται οι οµάδες

(SLn(Z), ⋅), (SLn(R), ⋅), (SLn(C), ⋅) )

5. Να αποδείξετε ότι

i. GL1(Z) = {−1,1},


ii. SL1(Q) = SL1(R) = SL1(Z) = {1}.

6. ∆ίνεται το σύνολο G = {I,A,B,Γ,∆,E} των συναρτήσεων ενός συνόλουX ⊂ C που ορίζονται ως εξής : I(x) = x, A(x) = 11−x , B(x) = 1 −

1x , Γ(x) =

1x ,

∆(x) = 1−x, E(x) = xx−1 , ∀x ∈X. Να αποδείξετε ότι το σύνολο G είναι οµάδαµε πράξη τη σύνθεση συναρτήσεων. Να σχηµατίσετε τον πίνακα Cayley τηςG. Είναι η G αβελιανή ;7. Αν i είναι ο µιγαδικός αριθµός που ορίζεται από τη σχέση i2 = −1, νααποδείξετε ότι το σύνολο

Q =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

(1 00 1

) ,(−1 00 −1

) ,(0 1−1 0

) ,(0 ii 0

) ,

(0 −i−i 0

) ,(−i 00 i

) ,(i 00 −i

) ,(0 −11 0

) ,

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

αποτελεί οµάδα µε πράξη τον πολλαπλασιασµό πινάκων. Να σχηµατίσετε τονπίνακα Cayley της Q.8. Να αποδείξετε ότι δεν είναι πεπερασµένες οι οµάδες (GL2(Q), ⋅), (SL2(Z), ⋅).9. ΄Εστω G ∶= G1 × G2 × ⋅ ⋅ ⋅ × Gn το ευθύ εξωτερικό γινόµενο των οµάδωνGi, 1 ≤ i ≤ n, όπου n ≥ 2 ϕυσικός αριθµός.

i. Να αποδείξετε ότι η G είναι αβελιανή αν και µόνον αν η Gi είναι αβε-λιανή, για 1 ≤ i ≤ n.

ii. Αν ∣Gi∣ = ki, 1 ≤ i ≤ n, τότε ∣G∣ = k1k2 . . . kn.

iii. Η G είναι άπειρη αν µία τουλάχιστον από τις οµάδες Gi, 1 ≤ i ≤ n, είναιάπειρη.

1.2 Βασικές ιδιότητες της έννοιας της Οµάδας

Στην παράγραφο αυτή ϑα εξετάσουµε ισοδύναµους ορισµούς της οµάδας καιϐασικές ιδιότητες της οµάδας.

Θεώρηµα 1.2.1 ΄Εστω G ένα µη κενό σύνολο και ⋅ µία πράξη στο G. Η (G, ⋅)είναι οµάδα αν και µόνον αν :

i. Η ⋅ είναι προσεταιριστική.

ii. Υπάρχει ένα στοιχείο e ∈ G τέτοιο ώστε

eg = g,

για κάθε στοιχείο g ∈ G.

Κεφάλαιο 1 Εδάφιο 1.2 Βασικές ιδιότητες της έννοιας της Οµάδας 19

iii. Για κάθε στοιχείο g ∈ G, υπάρχει ένα στοιχείο g−1 ∈ G τέτοιο ώστε

g−1g = e.

Απόδειξη: Αν η (G, ⋅) είναι οµάδα, τότε από τον Ορισµό 1.1.1 προκύπτουναµέσως τα i), ii), iii) του Θεωρήµατος.

Αντίστροφα, έστω ότι ισχύουν τα i), ii), iii). Πρέπει να αποδείξουµε ότι,για κάθε g ∈ G, ισχύουν οι

ge = g gg−1 = e.

Από το iii), για κάθε στοιχείο g ∈ G, έχουµε

g−1g = e⇒ (g−1g)g−1 = eg−1 ⇒

g−1(gg−1) = g−1 ⇒

⇒ (g−1)−1[g−1(gg−1)] = (g−1)−1g−1 ⇒

⇒ [(g−1)−1g−1](gg−1) = e⇒

⇒ e(gg−1) = e⇒ gg−1 = e

Εποµένωςg−1g = e = gg−1, (1.2.1)

δηλαδή αποδείχθηκε το iii) του Ορισµού 1.1.1. Χρησιµοποιώντας τη σχέση(1.2.1), έχουµε

ge = g(g−1g) = (gg−1)g = eg = g,

δηλαδήge = g, (1.2.2)

για κάθε g ∈ G. Τώρα από το ii) και τη σχέση (1.2.2) προκύπτει ότι, για κάθεg ∈ G,

eg = g = ge,

δηλαδή το ii) του Ορισµού 1.1.1 και ολοκληρώθηκε η απόδειξη. ∎

Ανάλογα µε το Θεώρηµα 1.2.1 µπορούµε να αποδείξουµε τον επόµενοισοδύναµο ορισµό της έννοιας της οµάδας.

Θεώρηµα 1.2.2 ΄Εστω G ένα µη κενό σύνολο και ⋅ µία πράξη στο G. Η (G, ⋅)είναι οµάδα αν και µόνον αν :


i. Η ⋅ είναι προσεταιριστική.

ii. Υπάρχει ένα στοιχείο e ∈ G τέτοιο ώστε

ge = g,

για κάθε στοιχείο g ∈ G.

iii. Για κάθε στοιχείο g ∈ G, υπάρχει ένα στοιχείο g−1 ∈ G τέτοιο ώστε

gg−1 = e.

Το στοιχείο e της G που ικανοποιεί το ii) του Θεωρήµατος 1.2.1 λέγεταιαριστερό ουδέτερο στοιχείο (left unit element) της (G,∗), ενώ το στοι-χείο g−1 ∈ G που ικανοποιεί το iii) του ίδιου Θεωρήµατος λέγεται αριστερόαντίστροφο (left inverse) του στοιχείου g ∈ G.

΄Ετσι ο ισχυρισµός του Θεωρήµατος 1.2.1 είναι ότι µία ηµιοµάδα είναιοµάδα αν και µόνον αν υπάρχει αριστερό ουδέτερο στοιχείο στο G και κάθεστοιχείο g ∈ G έχει αριστερό αντίστροφο.

Ανάλογα ένα στοιχείο e της ηµιοµάδας (G, ⋅) λέγεται δεξιό ουδέτεροστοιχείο (right unit) της (G, ⋅) αν ικανοποιείται το ii) του Θεωρήµατος1.2.2. Ενώ το στοιχείο g−1 ∈ G που ικανοποιεί το iii) του Θεωρήµατος 1.2.2λέγεται δεξιό αντίστροφο (right inverse) του στοιχείου g ∈ G.

΄Ετσι ο ισχυρισµός του Θεωρήµατος 1.2.2 είναι, ότι µία ηµιοµάδα (G, ⋅)είναι οµάδα αν και µόνον αν υπάρχει δεξιό ουδέτερο στοιχείο στο G και κάθεστοιχείο του G έχει δεξιό αντίστροφο στοιχείο στο G.

Συνεχίζουµε µε την εξέταση ϐασικών ιδιοτήτων των οµάδων και µε ένανακόµα ισοδύναµο ορισµό της έννοιας της οµάδας.

Πρόταση 1.2.3 Σε κάθε οµάδα (G, ⋅) ισχύει η απλοποίηση και από αριστεράκαι από δεξιά, δηλαδή ισχύουν οι επόµενες προτάσεις :

i. Αν αβ = αγ, για α,β, γ ∈ G, τότε β = γ

ii. Αν αβ = γβ, για α,β, γ ∈ G, τότε α = γ

Απόδειξη: i) ΄Εστω στοιχεία α,β, γ στοιχεία της οµάδας (G, ⋅), από τη σχέση

αβ = αγ ⇒ α−1(αβ) = α−1(αγ)⇒

⇒ (α−1α)β = (α−1α)γ ⇒ eβ = eγ ⇒

⇒ β = γ


ii). ΄Οµοια αποδεικνύεται η ii). ∎

΄Ετσι παρατηρούµε ότι η απλοποίηση επιτρέπεται στις οµάδες (Z,+),(C,+), (C {0}, ⋅). ΄Οµως στην αλγεβρική δοµή (C, ⋅) δεν επιτρέπεται η α-πλοποίηση αφού από τη σχέση

0 ⋅ α = 0 ⋅ β ⇏ α = β.

Πρόταση 1.2.4 ΄Εστω (G, ⋅) µία οµάδα.

i. Για κάθε στοιχείο g ∈ G ισχύει

(g−1)−1 = g.

ii. Αν g1, g2, . . . , gn είναι τυχαία στοιχεία του G, τότε

(g1g2 . . . gn)−1 = g−1n . . . g

−12 g

−11 .

Απόδειξη: i) ΄Εστω g ∈ G. Από τη σχέση

gg−1 = e

προκύπτει, αφού το αντίστροφο στοιχείο ορίζεται µοναδικά, ότι το g είναι τοαντίστροφο του στοιχείου g−1. ΄Αρα

(g−1)−1 = g.

ii) Επειδή ισχύει ο γενικευµένος προσεταιριστικός νόµος (ϐλ. ΠαράρτηµαΑ) το στοιχείο g1g2 . . . gn ορίζεται µοναδικά στο σύνολο G χωρίς να υπάρχουνπαρενθέσεις, για n ∈ N ∖ {0}. Παρατηρούµε ότι

g−1n g−1n−1 . . . g

−12 g

−11 g1g2 . . . gn = e.

Εποµένως(g1g2 . . . gn)

−1 = g−1n g−1n−1 . . . g

−12 g

−11 .

΄Αρα ολοκληρώθηκε η απόδειξη. ∎

Πρόταση 1.2.5 ΄Εστω (G, ⋅) µία οµάδα.

i. Η αντιστοιχίαϕ ∶ G→ G, g ↦ g−1

είναι αµφιµονότιµη και επί.


ii. ΄Εστω α ένα στοιχείο της G, τότε οι αντιστοιχίες

f1 ∶ G→ G, g ↦ αg

f2 ∶ G→ G, g ↦ gα

είναι αµφιµονότιµες και επί συναρτήσεις.

Απόδειξη: i. Η ϕ είναι αµφιµονότιµη συνάρτηση, γιατί αν g1, g2 ∈ G, τότε

g1 = g2 ⇔ g−11 g1 = g−11 g2 ⇔ e = g

−11 g2 ⇔

⇔ eg−12 = g−11 g2g

−12 ⇔

⇔ g−12 = g−11 .

Η ϕ είναι επί συνάρτηση γιατί, αν g είναι τυχαίο στοιχείο της G, τότε g−1 ∈ Gκαι σύµφωνα µε την Πρόταση 1.2.4

ϕ(g−1) = (g−1)−1 = g.

΄Αρα η ϕ είναι αµφιµονότιµη και επί συνάρτηση.ii. Η f1 είναι αµφιµονότιµη συνάρτηση γιατί από τον ορισµό της πράξης καιτην Πρόταση 1.2.3 έχουµε, για g1, g2 ∈ G,

g1 = g2 ⇔ αg1 = αg2 ⇔ f1(g1) = f1(g2).

Η f1 είναι επί συνάρτηση γιατί αν g ∈ G, τότε υπάρχει το στοιχείο α−1g ∈ G ώ-στε f1(α−1g) = α(α−1g) = g. ΄Αρα η f1 είναι αµφιµονότιµη και επί συνάρτηση.΄Οµοια αποδεικνύεται ότι η f2 είναι επίσης αµφιµονότιµη και επί συνάρτηση.∎

Παρατήρηση: Η Πρόταση 1.2.5, i) ουσιαστικά µας λέει ότι όταν έναστοιχείο της οµάδαςG διατρέχει όλα τα στοιχεία τηςG, τότε και το αντίστροφοτου διατρέχει όλα τα στοιχεία της G.

Το ii) της Πρότασης 1.2.5 µας προσφέρει µία ενδιαφέρουσα πληροφορίαγια τον πίνακα Cayley µίας οµάδας (G, ⋅). Μία γραµµή αυτού του πίνακα,έστω αυτή που το αριστερό στοιχείο της είναι το α ∈ G, έχει ως στοιχείατα α ⋅ g, όπου το g διατρέχει όλα τα στοιχεία της G. Αυτά τα στοιχεία είναιδιακεκριµένα και ακριβώς όλα τα στοιχεία τηςG, σύµφωνα µε τις ιδιότητες τηςσυνάρτησης f1 της Πρότασης 1.2.5. ΄Ετσι κάθε γραµµή του πίνακα Cayley της(G, ⋅) περιέχει ακριβώς όλα τα στοιχεία του G. Ανάλογο συµπέρασµα ισχύειγια τις στήλες του πίνακα Cayley της (G, ⋅): Κάθε στήλη περιέχει ακριβώςόλα τα στοιχεία του G.



1. Υπάρχει οµάδα µε ένα µόνον στοιχείο ; Μία τέτοια οµάδα έχει σύνολοτο {e} και πίνακα Cayley τον

⋅ ee e

Πίνακας 1.8

Βέβαια δεν υπάρχει οµάδα µε σύνολο το ∅.Μπορούµε να κατασκευάσουµε µία οµάδα µε δύο στοιχεία, έστω G =

{e, g}; Αν υπάρχει µία τέτοια οµάδα ϑα έχει πίνακα Cayley τον ακόλουθο:

⋅ e ge e gg g e

Πίνακας 1.9

δηλαδή αναγκαστικά g ⋅ g = e, ισοδύναµα g = g−1. Κατασκευάσαµε εποµένωςµία οµάδα µε δύο στοιχεία. Παρατηρούµε ότι η (Z2,+) είναι µία οµάδα µεδύο στοιχεία (ϐλ. Παράδειγµα 1.1.2.9).

Με την παραπάνω διαδικασία µπορούµε να κατασκευάσουµε µία οµάδαµε τρία στοιχεία. Πράγµατι, έστω G = {e,α, β} το σύνολο της οµάδας (G, ⋅)µε τρία στοιχεία, µε e το ουδέτερο στοιχείο της. Ο πίνακας Cayley της (G, ⋅)σύµφωνα µε το περιεχόµενο της παραπάνω Παρατήρησης πρέπει να είναι οακόλουθος

⋅ e α βe e α βα α β eβ β α e

Πίνακας 1.10

διότι σε κάθε γραµµή και σε κάθε στήλη του πίνακα πρέπει να υπάρχουν όλατα στοιχεία του G. Εποµένως για µία τέτοια οµάδα έχουµε τις σχέσεις

αα = β, ααα = e, αβ = e = βα,

δηλαδή α−1 = β.2. Στο σύνολο A = {e,α, β, γ} ορίζουµε µία πράξη ⋅ όπως περιγράφεται

στον ακόλουθο πίνακα Cayley


⋅ e α β γe e α β γα α β γ eβ β γ e αγ γ e α β

Πίνακας 1.11

Είναι ϕανερό ότι το e είναι το ουδέτερο στοιχείο της (A, ⋅). Η πράξη ⋅ είναιαντιµεταθετική, αφού ο πίνακας Cayley είναι συµµετρικός. Παρατηρούµεότι α−1 = γ, γ−1 = α, β−1 = β. Τέλος εύκολα, αλλά µε δουλειά ϱουτίνας,µπορούµε να διαπιστώσουµε ότι η πράξη ⋅ είναι προσεταιριστική. ΄Αρα η(A, ⋅) είναι µία αβελιανή οµάδα τάξης 4.

3. Θεωρούµε το σύνολο

G = {(α α0 0

) ∶ α ∈ C /{0}}.

Παρατηρούµε ότι ο πολλαπλασιασµός 2 × 2- πινάκων ορίζεται στο G, αφούγια α,β ∈ C /{0}

(α α0 0

)(β β0 0

) = (αβ αβ0 0

) ∈ G.

΄Ετσι η (G, ⋅) είναι αλγεβρική δοµή. Ο πολλαπλασιασµός πινάκων όταν ο-ϱίζεται είναι προσεταιριστική πράξη. ΄Αρα η πράξη αυτή στο G είναι προσε-ταιριστική. Είναι ϕανερό ότι η πράξη είναι αντιµεταθετική στο G. Ακόµηϐλέπουµε ότι

(1 10 0

)(α α0 0

) = (α α0 0

) ∈ G

και

(α−1 α−1

0 0)(

α α0 0

) = (1 10 0

) ∈ G,

δηλαδή το ( 1 10 0

) είναι το αριστερό µοναδιαίο στοιχείο και το τυχαίο στοι-

χείο ( α α0 0

) ∈ G έχει αριστερό αντίστροφο το ( α−1 α−1

0 0) ∈ G. Εποµένως

η (G, ⋅) είναι αβελιανή οµάδα. Τέλος ∣G∣ = ∞, δηλαδή η (G, ⋅) είναι άπειρηοµάδα.

Θεώρηµα 1.2.7 Η αλγεβρική δοµή (G, ⋅) είναι οµάδα αν και µόνον αν

i. Η ⋅ είναι προσεταιριστική, δηλαδή η (G, ⋅) είναι ηµιοµάδα.


ii. Κάθε µία από τις εξισώσεις

α ⋅ x = β και x ⋅ α = β,

για όλα τα α,β ∈ G, έχει λύση στο σύνολο G.

Απόδειξη: Ας υποθέσουµε ότι η (G, ⋅) είναι οµάδα, ϕυσικά η i) ισχύει απότον ορισµό της οµάδας. Για την απόδειξη του ii) παρατηρούµε ότι για α,β ∈ G

αx = β ⇒ α−1αx = α−1β ⇒ x = α−1β,

δηλαδή η εξίσωση αx = β έχει λύση στο σύνολο το α−1β, η οποία είναι µο-ναδική αφού η ⋅ είναι συνάρτηση. ΄Οµοια η x ⋅ α = β έχει, επίσης µοναδική,λύση στο G την x = βα−1.

Αντίστροφα τώρα υποθέτουµε ότι ισχύουν τα i) και ii). Θα αποδείξουµετα i) και ii) του Θεωρήµατος 1.2.1. Υποθέτουµε ότι οι εξισώσεις

αx = β και xα = β

έχουν λύση στο G, για όλα τα α,β ∈ G. Η εξίσωση αx = β για α = β,ϐεβαιώνει ότι υπάρχει στοιχείο ε ∈ G, ώστε εα = α. Θα αποδείξουµε ότι το εείναι αριστερό ουδέτερο στοιχείο της (G, ⋅), δηλαδή εg = g, ∀g ∈ G. Η εξίσωσηαx = g έχει λύση στο G, έστω την ω, για το τυχαίο g ∈ G. ∆ηλαδή αω = g, γιαg ∈ G. Εποµένως, για κάθε g ∈ G, έχουµε

εg = ε(αω) = (εα)ω = αω = g.

Με άλλα λόγια το ε είναι αριστερό ουδέτερο στοιχείο της (G, ⋅), αυτό αποδει-κνύει το i) του Θεωρήµατος 1.2.1.

Τέλος, για το τυχαίο στοιχείο g ∈ G, υπάρχει ένα στοιχείο g1 ∈ G που είναιλύση της εξίσωσης xg = ε. Αυτό σηµαίνει ότι το g1 είναι το αριστερό συµµε-τρικό στοιχείο του g στην G, αυτό αποδεικνύει το ii) του Θεωρήµατος 1.2.1.΄Αρα η (G, ⋅) είναι οµάδα. ∎

Παρατήρηση: Από την Πρόταση 1.2.5 και την Παρατήρηση που τηνακολουθεί, είδαµε ότι σε κάθε γραµµή και σε κάθε στήλη του πίνακα Cayleyµίας οµάδας υπάρχουν ακριβώς όλα τα στοιχεία της οµάδας. Το Θεώρηµα1.2.7 απαντά καταφατικά στο ερώτηµα: Αν έχουµε τον πίνακα Cayley µίαςηµιοµάδας, δηλαδή η πράξη είναι προσεταιριστική, και σε κάθε γραµµήκαι σε κάθε στήλη του πίνακα ϐρίσκονται όλα τα σ

repository.kallipos.gr...παραδειγµάτων 9.1.6 που έχει αύξοντα...

Documents

Transcript of repository.kallipos.gr...παραδειγµάτων 9.1.6 που έχει αύξοντα...