0

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Θα ξεκινήσουµε µε µια επισκόπηση των περιοχών της θεωρίας υπολογισµού πουθα παρουσιάσουµε στο βιβλίο αυτό. Μετά από αυτήν την επισκόπηση, θα έχετετη δυνατότητα να γνωρίσετε ή να θυµηθείτε κάποιες µαθηµατικές έννοιες πουθα σας χρειαστούν στη συνέχεια.

0.1

ΑΥΤΟΜΑΤΑ, ΥΠΟΛΟΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ,

ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ

Το βιβλίο αυτό επικεντρώνεται σε τρεις καθιερωµένες κεντρικές περιοχές τηςθεωρίας υπολογισµού: τα αυτόµατα, την υπολογισιµότητα, και την πολυπλοκό-τητα. Οι περιοχές αυτές συνδέονται µεταξύ τους µέσω του ερωτήµατος:

Ποιες είναι οι θεµελιώδεις δυνατότητες και ποιοι οι εγγενείς περιορισµοί τωνυπολογιστών;

Το ερώτηµα αυτό χρονολογείται από τη δεκαετία του 1930, όταν οι επιστήµονεςτης µαθηµατικής λογικής ξεκίνησαν να διερευνούν την έννοια του υπολογισµού.Από τότε µέχρι σήµερα, οι τεχνολογικές εξελίξεις έχουν αυξήσει σηµαντικά τηνικανότητά µας να υπολογίζουµε, και έχουν µετατοπίσει το παραπάνω ερώτηµααπό τη σϕαίρα της θεωρίας στο πεδίο των πρακτικών δραστηριοτήτων.

1

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 / ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Σε καθεµία από τις τρεις παραπάνω περιοχές –τα αυτόµατα, την υπολογισι-µότητα, και την πολυπλοκότητα– το ερώτηµα ερµηνεύεται διαϕορετικά, και οιαπαντήσεις ποικίλλουν ανάλογα µε την ερµηνεία. Μετά από το εισαγωγικό αυ-τό κεϕάλαιο, θα διερευνήσουµε την κάθε περιοχή στο δικό της, ξεχωριστό µέροςαυτού του βιβλίου. Στην παρούσα ενότητα, θα παρουσιάσουµε αυτά τα µέρη µετην αντίστροϕη σειρά, διότι ξεκινώντας από το τέλος µπορείτε να αντιληϕθείτεκαλύτερα τους λόγους που υπαγορεύουν τη συγκεκριµένη διάταξη της ύλης τουβιβλίου.

0.1.1 ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ

Τα προβλήµατα που µπορούν να αντιµετωπιστούν µέσω των υπολογιστών είναιδιαϕόρων ειδών. κάποια από αυτά είναι εύκολα και κάποια δύσκολα. Το πρό-βληµα της ταξινόµησης, παραδείγµατος χάριν, είναι εύκολο. Έστω ότι θέλετε ναδιατάξετε ένα σύνολο αριθµών κατ’ αύξουσα σειρά. Ακόµη και ένας µικρός υπο-λογιστής είναι σε θέση να ταξινοµήσει ένα εκατοµµύριο αριθµούς σχετικά γρήγο-ρα. Από την άλλη πλευρά, θεωρήστε το πρόβληµα του χρονοπρογραµµατισµού.Έστω π.χ. ότι θέλετε να καταρτίσετε ένα ωρολόγιο πρόγραµµα για τα µαθήµαταόλων των τµηµάτων του πανεπιστηµίου το οποίο να ικανοποιεί κάποιους εύλο-γους περιορισµούς, όπως λόγου χάριν ότι κανένα ζεύγος µαθηµάτων δεν είναιδυνατόν να πραγµατοποιηθεί ταυτόχρονα στην ίδια αίθουσα. Αυτό το πρόβληµατου χρονοπρογραµµατισµού ϕαίνεται να είναι πολύ δυσκολότερο από το πρό-βληµα της ταξινόµησης. Ακόµη και αν έχετε χίλια µόνο µαθήµατα, η εύρεση τουκαλύτερου ωρολόγιου προγράµµατος πιθανόν να απαιτεί αιώνες, ακόµη και µεέναν υπερυπολογιστή.

Τι είναι αυτό που κάνει κάποια προβλήµαταυπολογιστικώς δύσκολα και κάποια άλλα εύκολα;

Αυτό είναι το κεντρικό ερώτηµα της θεωρίας πολυπλοκότητας. Είναι εντυπωσια-κό ότι, παρά την εντατική σχετική έρευνα που έχει πραγµατοποιηθεί από το 1965(περίπου) και µετά, η απάντηση εξακολουθεί να µας είναι άγνωστη. Παρακάτωσε αυτό το βιβλίο θα µελετήσουµε το συναρπαστικό αυτό ερώτηµα και κάποιεςαπό τις συνέπειές του.

Ένα από τα σηµαντικότερα επιτεύγµατα της θεωρίας πολυπλοκότητας µέχρισήµερα είναι ότι οι ερευνητές έχουν ανακαλύψει ένα κοµψό σύστηµα ταξινόµη-σης των προβληµάτων µε βάση την υπολογιστική τους δυσκολία. Το σύστηµααυτό είναι ανάλογο µε τον Περιοδικό Πίνακα για την ταξινόµηση των χηµικώνστοιχείων µε βάση τις χηµικές τους ιδιότητες. Χρησιµοποιώντας το, µπορούµε νακαταστρώσουµε µια µέθοδο η οποία να παρέχει κάποιες ενδείξεις ότι ένα πρόβλη-µα είναι υπολογιστικά δύσκολο, ακόµη και όταν δεν µπορούµε να αποδείξουµεότι όντως είναι.

Όταν αντιµετωπίζουµε κάποιο πρόβληµα που ϕαίνεται να είναι υπολογιστικάδύσκολο, έχουµε διάϕορες επιλογές. Πρώτον, εάν κατανοήσουµε ποιο χαρακτη-

0.1 ΑΥΤΟΜΑΤΑ, ΥΠΟΛΟΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ, ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ 3

ριστικό του προβλήµατος προκαλεί τη δυσκολία, ίσως να καταϕέρουµε να τοτροποποιήσουµε ώστε το πρόβληµα να επιλύεται ευκολότερα. ∆εύτερον, ίσως ναµπορούµε να αρκεστούµε σε µια κάπως ατελή λύση. Σε ορισµένες περιπτώσεις, ηεύρεση λύσεων που απλώς προσεγγίζουν την τέλεια είναι σχετικά εύκολη. Τρίτον,ορισµένα προβλήµατα είναι δύσκολα µόνο στη χειρότερη περίπτωση, ενώ στιςπερισσότερες περιπτώσεις είναι εύκολα. Ανάλογα µε την εϕαρµογή, πιθανόν ναµας αρκεί µια διαδικασία που, παρ’ ότι µερικές ϕορές είναι αργή, συνήθως εκτε-λείται γρήγορα. Τέλος, µπορούµε να εξετάσουµε εναλλακτικούς τύπους υπολο-γισµού, όπως π.χ. ο πιθανοκρατικός, οι οποίοι µπορούν να επιταχύνουν κάποιεςεργασίες.

Μια περιοχή εϕαρµογών που έχει επηρεαστεί άµεσα από τη θεωρία πολυπλο-κότητας είναι ο καθιερωµένος από την αρχαιότητα τοµέας της κρυπτογραϕίας.Στους περισσότερους τοµείς εϕαρµογών, τα εύκολα υπολογιστικά προβλήµαταείναι προτιµότερα από τα δύσκολα, διότι έχουν µικρότερο κόστος επίλυσης. Αν-τίθετα, η κρυπτογραϕία απαιτεί αποκλειστικώς δύσκολα και όχι εύκολα υπολο-γιστικά προβλήµατα, διότι θα πρέπει να είναι δύσκολο για κάποιον να σπάσειέναν µυστικό κώδικα χωρίς το αντίστοιχο µυστικό κλειδί. Η θεωρία πολυπλο-κότητας έχει στρέψει τους κρυπτογράϕους προς την κατεύθυνση των δύσκολωνυπολογιστικών προβληµάτων, για την επίλυση των οποίων αυτοί έχουν σχεδιάσεικαινοτόµους νέους κώδικες.

0.1.2 ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑΣ

Κατά την πρώτη πεντηκονταετία του εικοστού αιώνα, µαθηµατικοί όπως ο KurtGödel, ο Alan Turing, και ο Alonzo Church ανακάλυψαν ότι ορισµένα βασικάπροβλήµατα δεν είναι δυνατόν να επιλυθούν µε υπολογιστές. Ένα παράδειγµατέτοιου προβλήµατος είναι η απόδειξη ή η κατάρριψη µιας µαθηµατικής πρότα-σης. Το έργο αυτό αποτελεί µια από τις τυπικές αρµοδιότητες ενός µαθηµατικού.Καθώς εµπίπτει αυστηρά στη σϕαίρα των µαθηµατικών, θα περίµενε κανείς ότισυνιστά τυπική περίπτωση προβλήµατος που µπορεί να επιλυθεί µε υπολογιστή.Και όµως, κανένας αλγόριθµος δεν είναι σε θέση να εκτελέσει αυτή την εργασία.

Ένα από τα επακόλουθα αυτού του θεµελιώδους συµπεράσµατος ήταν η ανά-πτυξη διαϕόρων εννοιών σχετικά µε τα θεωρητικά µοντέλα των υπολογιστών,τα οποία µε τη σειρά τους συνέβαλαν τελικά στην κατασκευή των πραγµατικώνυπολογιστών.

Οι θεωρίες της υπολογισιµότητας και της πολυπλοκότητας συνδέονται στενάµεταξύ τους. Στη θεωρία υπολογισιµότητας, ο στόχος είναι να χαρακτηρίσουµετα διάϕορα προβλήµατα ως επιλύσιµα ή ανεπίλυτα, ενώ η θεωρία πολυπλοκό-τητας στοχεύει στην ταξινόµηση των επιλύσιµων προβληµάτων σε εύκολα καιδύσκολα. Επιπλέον, αρκετές από τις έννοιες που χρησιµοποιούνται στη θεωρίαπολυπλοκότητας εισάγονται από τη θεωρία υπολογισιµότητας.

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 / ΕΙΣΑΓΩΓΗ

0.1.3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

Η θεωρία αυτοµάτων πραγµατεύεται τους ορισµούς και τις ιδιότητες των µα-θηµατικών µοντέλων της υπολογιστικής επιστήµης. Τα µοντέλα αυτά χρησιµο-ποιούνται σε αρκετές περιοχές εϕαρµογών της επιστήµης υπολογιστών. Παρα-δείγµατος χάριν, το λεγόµενο πεπερασµένο αυτόµατο χρησιµοποιείται στην επε-ξεργασία κειµένου, στη σχεδίαση µεταϕραστών, και στη σχεδίαση υλισµικού. Έναάλλο µοντέλο, η λεγόµενη ασυµϕραστική γραµµατική, χρησιµοποιείται στη σχε-δίαση γλωσσών προγραµµατισµού και στην τεχνητή νοηµοσύνη.

Καθώς λοιπόν εισάγει έννοιες σχετικές µε άλλες, µη θεωρητικές, περιοχές τηςεπιστήµης υπολογιστών, η θεωρία αυτοµάτων είναι ιδιαίτερα ενδιαϕέρον πεδίο.Επιπλέον, αποτελεί εξαιρετική αϕετηρία για τη γενικότερη µελέτη της υπολογι-στικής. Μας επιτρέπει να εξοικειωθούµε µε τυπικούς ορισµούς της υπολογιστι-κής, οι οποίοι θα µας ϕανούν πολύ χρήσιµοι στις θεωρίες της υπολογισιµότηταςκαι της πολυπλοκότητας, που απαιτούν ένα σαϕή ορισµό του υπολογιστή.

0.2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΟΛΟΓΙΑ

Όπως σε κάθε κλάδο των µαθηµατικών, θα ξεκινήσουµε παρουσιάζοντας τα βα-σικά µαθηµατικά αντικείµενα και εργαλεία που πρόκειται να χρησιµοποιήσουµε,καθώς και τον αντίστοιχο συµβολισµό.

0.2.1 ΣΥΝΟΛΑ

Σύνολο είναι µια οµάδα αντικειµένων τα οποία αναπαρίστανται ως µία οντότητα.Ένα σύνολο µπορεί να περιέχει αντικείµενα οποιουδήποτε τύπου: αριθµούς, σύµ-βολα, ακόµη και άλλα σύνολα. Τα αντικείµενα που ανήκουν σε κάποιο σύνολολέγονται στοιχεία ή µέλη του συνόλου.

Η τυπική περιγραϕή ενός συνόλου µπορεί να γίνει µε διάϕορους τρόπους.Ένας τρόπος είναι να παραθέσουµε τα στοιχεία του µέσα σε άγκιστρα. Έτσι, τοσύνολο

{7, 21, 57}περιέχει τα στοιχεία 7, 21, και 57. Τα σύµβολα ∈ και �∈ δηλώνουν ότι ένα αντικεί-µενο ανήκει ή δεν ανήκει, αντίστοιχα, σε κάποιο σύνολο. Παραδείγµατος χάριν,γράϕουµε 7 ∈ {7, 21, 57} και 8 �∈ {7, 21, 57}. Για δύο σύνολα A και B, λέµε ότιτο A είναι υποσύνολο του B, και γράϕουµε A ⊆ B, εάν κάθε µέλος του A είναικαι µέλος του B. Εάν το A είναι υποσύνολο του B αλλά όχι ίσο µε το B, λέµε ότιείναι γνήσιο υποσύνολο του B, και γράϕουµε A � B.

Η σειρά µε την οποία παρατίθενται τα στοιχεία ενός συνόλου, όπως και η επα-νάληψη κάποιων στοιχείων, δεν έχει σηµασία. Έτσι, το σύνολο {57, 7, 7, 7, 21}

0.2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΟΛΟΓΙΑ 5

συµπίπτει απολύτως µε το σύνολο που αναϕέραµε αµέσως παραπάνω. Εάν όν-τως θέλουµε να λάβουµε υπ’ όψιν το πλήθος των εµϕανίσεων κάθε στοιχείου,τότε αποκαλούµε την οµάδα των στοιχείων πολυσύνολο, αντί για σύνολο. Έτσι,οι οντότητες {7} και {7, 7} διαϕέρουν ως πολυσύνολα, αλλά ταυτίζονται ως σύ-νολα.

Ένα άπειρο σύνολο περιέχει απειράριθµα στοιχεία. Καθώς είναι αδύνατον ναπαραθέσουµε ρητά όλα τα στοιχεία ενός άπειρου συνόλου, χρησιµοποιούµε συ-χνά τον συµβολισµό «. . .», που σηµαίνει ότι «η αλληλουχία συνεχίζεται επ’ άπει-ρον». Έτσι, το σύνολο N των ϕυσικών αριθµών γράϕεται ως

{1, 2, 3, . . .}.Το σύνολο Z των ακεραίων γράϕεται ως

{ . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .}.Το σύνολο που περιέχει 0 µέλη είναι το κενό σύνολο, και συµβολίζεται µε ∅.

Όταν θέλουµε να περιγράψουµε ένα σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία πουικανοποιούν κάποιον κανόνα, γράϕουµε {n| κανόνας για το n}. Έτσι, η έκϕρα-ση {n| n = m2 για κάποιο m ∈ N} αναπαριστά το σύνολο όλων των τέλειωντετραγώνων.

Για δύο δεδοµένα σύνολα A και B, η ένωση των A και B, η οποία συµβολίζεταιµε A∪B, είναι το σύνολο που παίρνουµε όταν συγκεντρώσουµε όλα τα στοιχείατου A και όλα τα στοιχεία του B σε ένα και µόνο σύνολο. Η τοµή των A καιB, η οποία συµβολίζεται µε A ∩ B, είναι το σύνολο των στοιχείων που ανήκουνταυτόχρονα και στο A και στο B. Το συµπλήρωµα του A, που συµβολίζεται µε A,είναι το σύνολο όλων των υπό µελέτη αντικειµένων τα οποία δεν ανήκουν στο A.

Συχνά στα µαθηµατικά µπορούµε να αποσαϕηνίσουµε µια έννοια µε τη βοή-θεια ενός σχήµατος. Για τα σύνολα χρησιµοποιούµε ένα είδος σχήµατος που λέ-γεται διάγραµµα Venn. Σε ένα τέτοιο διάγραµµα, τα σύνολα αναπαρίστανται σανπεριοχές του επιπέδου οι οποίες περικλείονται από κύκλους. Παραδείγµατος χά-ριν, έστω ότι ορίζουµε ως ΑΠΟ-τ το σύνολο όλων των λέξεων της ελληνικήςγλώσσας που αρχίζουν από το γράµµα «τ». Το σύνολο αυτό αναπαρίσταται απότον κύκλο που απεικονίζεται στο παρακάτω σχήµα. ∆ιάϕορα µέλη του συνόλουαναπαρίστανται από σηµεία εντός του κύκλου.

AΠΟ-ττετριμμένοςτύχητέρμα

Σχήµα 0.1 ∆ιάγραµµα Venn για το σύνολο των λέξεων της ελληνικής που αρχί-ζουν από το γράµµα «τ».

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 / ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Παροµοίως, το σύνολο ΣΕ-ς των λέξεων της ελληνικής γλώσσας που τελειώ-νουν µε το γράµµα «ς» αναπαρίσταται από τον κύκλο του ακόλουθου σχήµατος.

ΣΕ-ςάνδρας

βάθοςγρίφος

Σχήµα 0.2 ∆ιάγραµµα Venn για το σύνολο των λέξεων της ελληνικής που τε-λειώνουν µε το γράµµα «ς».

Για να αναπαραστήσουµε και τα δύο σύνολα στο ίδιο διάγραµµα Venn, θα πρέ-πει να σχεδιάσουµε τους αντίστοιχους κύκλους έτσι ώστε να επικαλύπτονται,προκειµένου να υποδείξουµε ότι τα σύνολα διαθέτουν κάποια κοινά µέλη, όπωςϕαίνεται στο παρακάτω σχήµα. Παραδείγµατος χάριν, η λέξη «τετριµµένος» ανή-κει και στα δύο σύνολα. Το σχήµα περιλαµβάνει επίσης έναν κύκλο για το σύνολοΑΠΟ-γ, ο οποίος δεν επικαλύπτεται µε τον κύκλο του ΑΠΟ-τ, αϕού δεν υπάρχεικαµία λέξη που να ανήκει ταυτόχρονα και στα δύο σύνολα.

ΑΠΟ-τ ΣΕ-ς ΑΠΟ-γ

τετριμμένος γρίφος

Σχήµα 0.3 Οι επικαλυπτόµενοι κύκλοι υποδεικνύουν ότι υπάρχουν κοινά στοι-χεία.

Τα επόµενα δύο διαγράµµατα Venn απεικονίζουν την ένωση και την τοµή δύοσυνόλων A και B.

(αʹ) (βʹ)

Σχήµα 0.4 ∆ιαγράµµατα για τα σύνολα (αʹ) A ∪ B και (βʹ) A ∩ B.

0.2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΟΛΟΓΙΑ 7

0.2.2 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΠΛΕΙΑΔΕΣ

Μια ακολουθία αντικειµένων είναι ένας κατάλογος των αντικειµένων αυτών µεκάποια καθορισµένη σειρά. Για να περιγράψουµε µια ακολουθία, συνήθως πα-ραθέτουµε τον σχετικό κατάλογο µέσα σε παρενθέσεις. Παραδείγµατος χάριν, ηακολουθία 7, 21, 57 γράϕεται ως

(7, 21, 57).

Αντίθετα απ’ ό,τι στα σύνολα, στις ακολουθίες η σειρά των αντικειµένων έχει ση-µασία. Έτσι, η ακολουθία (7, 21, 57) είναι διαϕορετική από την (57, 7, 21). Οµοί-ως, ενώ σε ένα σύνολο η επανάληψη στοιχείων δεν παίζει κανένα ρόλο, σε µιαακολουθία έχει σηµασία. Έτσι, η ακολουθία (7, 7, 21, 57) είναι διαϕορετική καιαπό τις δύο παραπάνω ακολουθίες, ενώ τα σύνολα {7, 21, 57} και {7, 7, 21, 57}ταυτίζονται.

Όπως και τα σύνολα, οι ακολουθίες µπορεί να είναι πεπερασµένες ή άπειρες.Οι πεπερασµένες ακολουθίες λέγονται συχνά και πλειάδες. Μια ακολουθία µε kστοιχεία λέγεται k-άδα. Η ακολουθία (7, 21, 57), π.χ., είναι µια τριάδα. Μια δυάδαλέγεται επίσης ζεύγος.

Τα σύνολα και οι ακολουθίες µπορούν να περιλαµβάνουν ως στοιχεία άλλασύνολα και ακολουθίες. Παραδείγµατος χάριν, το δυναµοσύνολο P(A) ενός συ-νόλου A είναι το σύνολο όλων των υποσυνόλων του A. Έτσι, εάν το A είναιτο σύνολο {0, 1}, το δυναµοσύνολό του είναι το {∅, {0}, {1}, {0, 1}}. Παροµοί-ως, το σύνολο όλων των ζευγών τα οποία έχουν ως µέλη το 0 και το 1 είναι το{(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}.

Για δύο σύνολα A και B, το καρτεσιανό γινόµενο των A και B, το οποίο συµ-βολίζεται A × B, είναι το σύνολο όλων των ζευγών που έχουν ως πρώτο τουςστοιχείο κάποιο µέλος του A και ως δεύτερο στοιχείο κάποιο µέλος του B.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 0.1

Εάν A = {1, 2} και B = {x, y, z}, τότεA×B = { (1, x), (1, y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z) }.

Με τον ίδιο τρόπο, µπορούµε να ορίσουµε το καρτεσιανό γινόµενο k συνόλων,A1, A2, . . . , Ak, το οποίο συµβολίζεται A1 × A2 × · · · × Ak. Πρόκειται για τοσύνολο που αποτελείται από όλες τις k-άδες (a1, a2, . . . , ak) όπου ai ∈ Ai.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 0.2

Για τα σύνολα A και B του Παραδείγµατος 0.1, έχουµε ότι

A × B × A = { (1, x, 1), (1, x, 2), (1, y, 1), (1, y, 2), (1, z, 1), (1, z, 2),(2, x, 1), (2, x, 2), (2, y, 1), (2, y, 2), (2, z, 1), (2, z, 2)

}.

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 / ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Για το καρτεσιανό γινόµενο ενός συνόλου µε τον εαυτό του χρησιµοποιούµετη συντοµογραϕία

k ϕορές︷ ︸︸ ︷A × A × · · · × A = Ak.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 0.3

Το σύνολο N 2 είναι το N ×N . Αποτελείται από όλα τα ζεύγη ϕυσικών αριθµών.Μπορεί να γραϕεί και ως {(i, j)| i, j ≥ 1}.

0.2.3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΕΣΕΙΣ

Η έννοια της συνάρτησης είναι θεµελιώδης για τα µαθηµατικά. Με τον όροσυνάρτηση εννοούµε κάποιο αντικείµενο που ορίζει έναν συσχετισµό εισόδου-εξόδου, δηλαδή που δέχεται µια είσοδο και παράγει µια έξοδο.1 Σε κάθε συνάρτη-ση, η ίδια είσοδος παράγει πάντα την ίδια έξοδο. Εάν η f είναι κάποια συνάρτησηπου δίνει ως έξοδο την τιµή b όταν δέχεται ως είσοδο την τιµή a, γράϕουµε

f(a) = b.

Μια συνάρτηση λέγεται επίσης απεικόνιση και, εάν f(a) = b, λέµε ότι η f απει-κονίζει το a στο b.

Παραδείγµατος χάριν, η συνάρτηση «απόλυτης τιµής» απόλυτο δέχεται ωςείσοδο έναν αριθµό x και επιστρέϕει είτε τον ίδιο τον x, εάν ο x είναι θετι-κός ή µηδέν, είτε τον −x, εάν ο x είναι αρνητικός. Έτσι, έχουµε απόλυτο(2) =απόλυτο(−2) = 2. Ένα άλλο παράδειγµα συνάρτησης είναι η πρόσθεση, η οποίαγράϕεται άθροισµα. Η συνάρτηση αυτή δέχεται ως είσοδο ένα ζεύγος αριθµώνκαι επιστρέϕει ως έξοδο το άθροισµά τους.

Το σύνολο όλων των δυνατών εισόδων µιας συνάρτησης λέγεται πεδίο ορι-σµού της συνάρτησης. Αντιστοίχως, το σύνολο από το οποίο επιλέγονται οι έξο-δοι της συνάρτησης είναι το πεδίο τιµών της. Για να δηλώσουµε ότι η f είναιµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το D και πεδίο τιµών το R χρησιµοποιούµε τονσυµβολισµό

f : D−→R.Στην περίπτωση της συνάρτησης απόλυτο, και εϕόσον εργαζόµαστε µε ακεραί-ους, τόσο το πεδίο ορισµού όσο και το πεδίο τιµών είναι το Z , οπότε γράϕουµεαπόλυτο : Z−→Z . Στην περίπτωση της συνάρτησης πρόσθεσης για ακεραίους,το πεδίο ορισµού είναι το σύνολο όλων των ζευγών ακεραίων Z×Z και το πεδίοτιµών είναι το Z , οπότε γράϕουµε άθροισµα : Z × Z−→Z . Σηµειωτέον ότι µια

1ΣτΕ: Οι όροι «είσοδος» και «έξοδος» χρησιµοποιούνται καταχρηστικά για την περιγραϕήτων εισαγόµενων δεδοµένων και των εξαγόµενων αποτελεσµάτων, αντίστοιχα.

0.2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΟΛΟΓΙΑ 9

συνάρτηση ενδέχεται να µη χρησιµοποιεί όλα τα στοιχεία του πεδίου τιµών της.Παραδείγµατος χάριν, η συνάρτηση απόλυτο δεν παίρνει ποτέ την τιµή −1, παρ’ότι −1 ∈ Z . Όταν µια συνάρτηση συµβαίνει να χρησιµοποιεί όλα τα στοιχεία τουπεδίου τιµών, λέµε ότι η συνάρτηση είναι επί του πεδίου τιµών (ή ότι αποτελείεπιµορϕισµό).

Υπάρχουν διάϕοροι τρόποι να περιγράψουµε µια συγκεκριµένη συνάρτηση.Ένας τρόπος είναι να παραθέσουµε µια διαδικασία που µε δεδοµένη την είσοδουπολογίζει την έξοδο. Ένας άλλος τρόπος είναι να συντάξουµε έναν πίνακα πουνα περιλαµβάνει όλες τις δυνατές εισόδους καθώς και την έξοδο για καθεµία απόαυτές.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 0.4

Θεωρήστε τη συνάρτηση f : {0, 1, 2, 3, 4}−→{0, 1, 2, 3, 4}:n f(n)0 11 22 33 44 0

Η συνάρτηση αυτή προσθέτει στην τιµή εισόδου της το 1 και στη συνέχεια επι-στρέϕει ως έξοδο το αποτέλεσµα της πρόσθεσης αυτής modulo 5. Υπενθυµίζουµεότι η πράξη modulo m δίνει το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός αριθµού δια m. Πα-ραδείγµατος χάριν, ο λεπτοδείκτης ενός ρολογιού δείχνει τα λεπτά του εικοσιτε-τραώρου modulo 60. Όταν ασχολούµαστε µε «υπολοιπική» αριθµητική, ορίζουµεσύνολα του τύπου Zm = {0, 1, 2, . . . , m−1}. Με αυτόν το συµβολισµό, η παρα-πάνω συνάρτηση f έχει τη µορϕή f : Z5−→Z5.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 0.5

Όταν το πεδίο ορισµού µιας συνάρτησης είναι το καρτεσιανό γινόµενο δύο συνό-λων, η συνάρτηση αναπαρίσταται ενίοτε από έναν πίνακα διπλής εισόδου. Θεω-ρήστε π.χ. τη συνάρτηση g : Z4×Z4−→Z4 η οποία περιγράϕεται από τον παρα-κάτω πίνακα. Το στοιχείο το οποίο βρίσκεται στη γραµµή που επιγράϕεται i καιστη στήλη που επιγράϕεται j είναι η τιµή g(i, j).

g 0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2

Η g είναι η συνάρτηση της πρόσθεσης modulo 4.

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 / ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Όταν το πεδίο ορισµού µιας συνάρτησης f είναι το καρτεσιανό γινόµενοA1 × · · · × Ak, για κάποια σύνολα A1, . . . , Ak, τότε κάθε είσοδος της f είναιµια k-άδα (a1, a2, . . . , ak). Τα ai λέγονται παράµετροι ή ορίσµατα της f . Μια συ-νάρτηση µε k παραµέτρους λέγεται k-παραµετρική, ενώ ο αριθµός k ονοµάζεταιπαραµετρικότητα της συνάρτησης. Αν το k είναι 1, η f έχει µόνο µία παράµετροκαι λέγεταιµονοπαραµετρική. Αν το k είναι 2, η f είναι µια διπαραµετρική συνάρ-τηση. ∆ιάϕορες οικείες διπαραµετρικές συναρτήσεις εκϕράζονται στον λεγόµενοενθηµατικό συµβολισµό, στον οποίο το σύµβολο της συνάρτησης τοποθετείταιανάµεσα στις δύο παραµέτρους της, αντί του προθηµατικού συµβολισµού, στονοποίο το σύµβολο της συνάρτησης προηγείται. Η συνάρτηση άθροισµα, π.χ., γρά-ϕεται συνήθως ενθηµατικά, µε το σύµβολο + ανάµεσα στις δύο παραµέτρους της,όπως στην έκϕραση a + b, αντί της προθηµατικής έκϕρασης άθροισµα(a, b).Κατηγόρηµα ή ιδιότητα είναι οποιαδήποτε συνάρτηση µε πεδίο τιµών το σύ-

νολο {ΑΛΗΘΕΣ, ΨΕΥ∆ΕΣ}. Παραδείγµατος χάριν, έστω άρτιος κάποια ιδιότητα ηοποία παίρνει την τιµή ΑΛΗΘΕΣ όταν η είσοδός της είναι άρτιος αριθµός και τηντιµή ΨΕΥ∆ΕΣ όταν η είσοδός της είναι περιττός αριθµός. Στην περίπτωση αυτή,έχουµε άρτιος(4) = ΑΛΗΘΕΣ και άρτιος(5) = ΨΕΥ∆ΕΣ.

Κάθε ιδιότητα µε πεδίο ορισµού ένα σύνολο k-άδων A × · · · × A λέγεταισχέση ή k-µελής σχέση (στο A). Η πιο συνηθισµένη περίπτωση είναι αυτή τωνδιµελών σχέσεων. Όταν γράϕουµε µια έκϕραση που περιλαµβάνει κάποια διµελήσχέση, χρησιµοποιούµε συνήθως τον ενθηµατικό συµβολισµό. Παραδείγµατοςχάριν, η σχέση «µικρότερο από» γράϕεται συνήθως µε το ενθηµατικό σύµβο-λο

0.2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΟΛΟΓΙΑ 11

ρεί να γραϕεί ως (D, S), όπου S = {a ∈ D| P (a) = ΑΛΗΘΕΣ}, ή απλώς ως S,όταν το πεδίο ορισµού D είναι προϕανές από τα συµϕραζόµενα. Έτσι, η σχέσηκερδίζει µπορεί να γραϕεί ως εξής:

{(ΠΕΤΡΑ, ΨΑΛΙ∆Ι), (ΨΑΛΙ∆Ι, ΧΑΡΤΙ), (ΧΑΡΤΙ, ΠΕΤΡΑ)}.Όταν θέλουµε να περιγράψουµε την ισότητα κάποιων αντικειµένων ως προς

κάποιο χαρακτηριστικό τους, χρησιµοποιούµε συνήθως µια ειδική κατηγορία δι-µελούς σχέσης, που ονοµάζεται σχέση ισοδυναµίας. Συγκεκριµένα, µια διµελήςσχέση R αποτελεί σχέση ισοδυναµίας εάν ικανοποιεί τις εξής τρεις συνθήκες:

1. η R είναι ανακλαστική: για κάθε x, ισχύει xRx.2. η R είναι συµµετρική: για κάθε x και y, εάν xRy τότε και yRx. και3. η R είναι µεταβατική: για κάθε x, y, και z, εάν xRy και yRz τότε και xRz.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 0.7

Θεωρήστε τη σχέση ισοδυναµίας ≡7 στους ϕυσικούς αριθµούς, που ορίζεται ωςεξής: για κάθε i, j ∈ N , λέµε ότι i ≡7 j εάν η διαϕορά i − j είναι πολλαπλάσιοτου 7. Η ≡7 είναι σχέση ισοδυναµίας, καθώς ικανοποιεί και τις τρεις παραπάνωσυνθήκες. Πρώτον, είναι ανακλαστική: η διαϕορά i−i = 0 είναι πολλαπλάσιο του7. ∆εύτερον, είναι συµµετρική: εάν η διαϕορά i− j είναι πολλαπλάσιο του 7, τότετο ίδιο ισχύει και για τη διαϕορά j − i. Τρίτον, είναι µεταβατική: εάν η διαϕοράi− j είναι πολλαπλάσιο του 7 και η διαϕορά j − k είναι επίσης πολλαπλάσιο του7, τότε η διαϕορά i − k = (i − j) + (j − k) είναι επίσης πολλαπλάσιο του 7, ωςάθροισµα δύο πολλαπλασίων του 7.

0.2.4 ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ

Ακατεύθυντο γράϕηµα, ή απλώς γράϕηµα, είναι ένα σύνολο σηµείων και ένα σύ-νολο γραµµών οι οποίες συνδέουν µεταξύ τους κάποια από αυτά τα σηµεία. Τασηµεία ονοµάζονται κόµβοι ή κορυϕές, και οι γραµµές ονοµάζονται ακµές. Στοπαρακάτω σχήµα απεικονίζονται δύο ενδεικτικά γραϕήµατα.

(αʹ) (βʹ)

Σχήµα 0.5 Ενδεικτικά γραϕήµατα.

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 / ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Το πλήθος των ακµών που απολήγουν σε κάποιον συγκεκριµένο κόµβο λέγε-ται βαθµός του κόµβου αυτού. Στο Σχήµα 0.5(αʹ) όλοι οι κόµβοι έχουν βαθµό 2,ενώ στο Σχήµα 0.5(βʹ) όλοι οι κόµβοι έχουν βαθµό 3. Σηµειωτέον ότι δύο οποιοι-δήποτε κόµβοι δεν επιτρέπεται να συνδέονται µεταξύ τους µε περισσότερες απόµία ακµές.

Σε ένα γράϕηµα G το οποίο περιέχει τους κόµβους i και j, το ζεύγος (i, j)αναπαριστά την ακµή που συνδέει τους δύο αυτούς κόµβους. ∆εδοµένου ότι τογράϕηµα είναι ακατεύθυντο, η σειρά των i και j δεν παίζει κανένα ρόλο, και επο-µένως τα ζεύγη (i, j) και (j, i) αναπαριστούν την ίδια ακµή. Εναλλακτικά, αϕούη σειρά των κόµβων δεν έχει σηµασία, µπορούµε να αναπαριστούµε τις ακµές µεσύνολα αντί για ζεύγη, δηλαδή ως {i, j}.

Εάν ονοµάσουµε V το σύνολο των κόµβων του G και E το σύνολο των ακµώντου, λέµε ότι G = (V, E). Μπορούµε να περιγράψουµε ένα γράϕηµα µέσω ενόςδιαγράµµατος ή, σε πιο τυπική µορϕή, παραθέτοντας ρητά τα σύνολα V και E.Μια τυπική περιγραϕή του γραϕήµατος του Σχήµατος 0.5(αʹ), π.χ., είναι η εξής:({1, 2, 3, 4, 5}, {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 1)}).Η αντίστοιχη περιγραϕή του γραϕήµατος του Σχήµατος 0.5(βʹ) είναι η εξής:({1, 2, 3, 4}, {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}).

Τα γραϕήµατα χρησιµοποιούνται συχνά για αναπαράσταση δεδοµένων. Λό-γου χάριν, οι κόµβοι µπορεί να αναπαριστούν πόλεις και οι ακµές αυτοκινητοδρό-µους οι οποίοι συνδέουν τις πόλεις αυτές. ή οι κόµβοι µπορεί να αναπαριστούνστοιχεία ηλεκτρικών κυκλωµάτων και οι ακµές τα καλώδια που συνδέουν τα στοι-χεία αυτά. Μερικές ϕορές, χάριν εποπτείας, σηµαίνουµε τους κόµβους και/ή τιςακµές ενός γραϕήµατος µε κατάλληλες επιγραϕές, οπότε λέµε ότι το αντίστοι-χο γράϕηµα είναι ενεπίγραϕο. Στο Σχήµα 0.6 βλέπουµε ένα γράϕηµα στο οποίοοι κόµβοι αναπαριστούν πόλεις και η επιγραϕή κάθε ακµής αντιπροσωπεύει τηντιµή (σε ευρώ) του ϕθηνότερου διαθέσιµου εισιτηρίου για µια απευθείας πτήσηανάµεσα στις δύο αντίστοιχες πόλεις, εϕόσον υπάρχει τέτοια πτήση.

Λονδίνο

Παρίσι Αθήνα

Βέρνη

Βερολίνο

Σχήµα 0.6 Φθηνότατα εισιτήρια για απευθείας πτήσεις µεταξύ κάποιων πόλεων.

0.2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΟΛΟΓΙΑ 13

Ένα γράϕηµα G ονοµάζεται υπογράϕηµα ενός γραϕήµατος H εάν οι κόµβοιτου G αποτελούν υποσύνολο των κόµβων του H , και οι ακµές του G είναι οι ακ-µές του H οι οποίες συνδέουν τους αντίστοιχους κόµβους. Στο ακόλουθο σχήµαβλέπουµε ένα γράϕηµα H και ένα υπογράϕηµα G του H .

γράφημα

υπογράφημα(έντονες γραμμές)

Σχήµα 0.7 Το γράϕηµα G (έντονες γραµµές) αποτελεί υπογράϕηµα του H .

∆ιαδροµή σε ένα γράϕηµα είναι οποιαδήποτε ακολουθία κόµβων οι οποίοισυνδέονται διαδοχικά µεταξύ τους µε ακµές. Εάν κάθε κόµβος µιας διαδροµήςεµϕανίζεται σε αυτήν µία µόνο ϕορά, η διαδροµή λέγεται απλή (Σχήµα 0.8(αʹ)).Εάν ο πρώτος και ο τελευταίος κόµβος µιας διαδροµής ταυτίζονται, η διαδροµήλέγεται κύκλος.Απλός κύκλος είναι κάθε κύκλος που περιέχει τουλάχιστον τρειςκόµβους, από τους οποίους ταυτίζονται µόνο ο πρώτος και ο τελευταίος (Σχή-µα 0.8(βʹ)).

Ένα γράϕηµα λέγεται συνδεδεµένο εάν όλοι οι κόµβοι του συνδέονται ανά δύοµεταξύ τους µέσω κάποιας διαδροµής. Ένα συνδεδεµένο γράϕηµα που δεν περιέ-χει απλούς κύκλους ονοµάζεται δένδρο. (Σχήµα 0.8(γʹ)). Ένα δένδρο ενδέχεταινα περιέχει κάποιον ιδιαίτερο, διακεκριµένο κόµβο ο οποίος ονοµάζεται ριζικόςκόµβος ή ρίζα. Οι κόµβοι του δένδρου οι οποίοι έχουν βαθµό 1, εκτός από τονριζικό, ονοµάζονται καταληκτικοί κόµβοι ή ϕύλλα.

(αʹ) (βʹ) (γʹ)

Σχήµα 0.8 (αʹ) Μια απλή διαδροµή σε γράϕηµα. (βʹ) Ένας απλός κύκλος σε γρά-ϕηµα. (γʹ) Ένα δένδρο.

Αν ένα γράϕηµα έχει βέλη αντί για γραµµές, ονοµάζεται κατευθυντό γράϕηµα.

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 / ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Στο παρακάτω σχήµα βλέπουµε ένα παράδειγµα κατευθυντού γραϕήµατος. Τοπλήθος των βελών που εκκινούν από έναν κόµβο λέγεται βαθµός εξόδου τουκόµβου. αντίστοιχα, το πλήθος των βελών που απολήγουν στον κόµβο λέγεταιβαθµός εισόδου του κόµβου.

Σχήµα 0.9 Ένα κατευθυντό γράϕηµα.

Σε ένα κατευθυντό γράϕηµα, η ακµή από τον κόµβο i στον κόµβο j αναπαρί-σταται από το ζεύγος (i, j). Η τυπική περιγραϕή ενός κατευθυντού γραϕήµατοςG είναι το ζεύγος (V, E), όπου V το σύνολο των κόµβων και E το σύνολο τωνακµών. Για το γράϕηµα του Σχήµατος 0.9 η τυπική περιγραϕή είναι η εξής:({1, 2, 3, 4, 5, 6}, {(1, 2), (1, 5), (2, 1), (2, 4), (5, 4), (5, 6), (6, 1), (6, 3)}).

Κάθε διαδροµή στην οποία η κατεύθυνση όλων των βελών είναι η ίδια µε τηνκατεύθυνση των βηµάτων της διαδροµής λέγεται κατευθυντή. Ένα κατευθυντόγράϕηµα λέγεται ισχυρά συνδεδεµένο εάν για οποιουσδήποτε δύο κόµβους καιγια οποιαδήποτε από τις δύο κατευθύνσεις µεταξύ τους υπάρχει κατευθυντή δια-δροµή που συνδέει τους κόµβους µε τη συγκεκριµένη κατεύθυνση.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 0.8

Το ακόλουθο κατευθυντό γράϕηµα αναπαριστά τη σχέση του Παραδείγµα-τος 0.6.

ΨΑΛΙΔΙ ΧΑΡΤΙ

ΠΕΤΡΑ

Σχήµα 0.10 Το γράϕηµα της σχέσης κερδίζει.

0.2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΟΛΟΓΙΑ 15

Τα κατευθυντά γραϕήµατα αποτελούν έναν εύχρηστο τρόπο αναπαράστα-σης διµελών σχέσεων. Συγκεκριµένα, κάθε διµελής σχέση R µε πεδίο ορισµούD × D αναπαρίσταται από το ενεπίγραϕο γράϕηµα G = (D, E), όπου E ={(x, y)| xRy}. Στο Σχήµα 0.10 βλέπουµε ένα παράδειγµα τέτοιας αναπαράστα-σης.

0.2.5 ΛΕΞΕΙΣ ΚΑΙ ΓΛΩΣΣΕΣ

Οι ακολουθίες (τυπογραϕικών) χαρακτήρων είναι θεµελιώδη δοµικά στοιχείαστην επιστήµη υπολογιστών. Το αλϕάβητο επί του οποίου ορίζονται οι ακολου-θίες αυτές µπορεί να ποικίλλει ανάλογα µε την εϕαρµογή. Για τους σκοπούς τουβιβλίου αυτού, ορίζουµε ως αλϕάβητο οποιοδήποτε µη κενό πεπερασµένο σύ-νολο, και ως σύµβολα του αλϕαβήτου τα µέλη του συνόλου αυτού. Γενικά, θαχρησιµοποιούµε τα κεϕαλαία γράµµατα Σ και Γ για να αναϕερόµαστε σε αλϕά-βητα, και τη γραµµατοσειρά ενιαίου πλάτους (ή Courier, όπως είναι γνωστή) γιανα αναϕερόµαστε στα σύµβολά τους. Παραδείγµατα αλϕαβήτων είναι τα εξής:

Σ1 ={0, 1},Σ2 ={α, β, γ, δ, ε, ζ, η, θ, ι, κ, λ, μ, ν, ξ, ο, π, ρ, σ, τ, υ, φ, χ, ψ, ω},Γ ={0, 1, x, y, z}.

Λέξη επί ενός αλϕαβήτου είναι οποιαδήποτε πεπερασµένη ακολουθία συµβό-λων του αλϕαβήτου αυτού. Τα σύµβολα της ακολουθίας γράϕονται συνήθως τοένα δίπλα στο άλλο, χωρίς ενδιάµεσα κόµµατα. Παραδείγµατος χάριν, η ακολου-θία 01001 είναι µια λέξη επί του Σ1, και η ακολουθία καλημερα είναι µια λέξη επίτου Σ2. Το µήκος µιας λέξης w επί ενός αλϕαβήτου Σ είναι το πλήθος των συµ-βόλων που περιέχει, και συµβολίζεται µε |w|. Η λέξη µηδενικού µήκους είναι ηλεγόµενη κενή λέξη, και συµβολίζεται µε ε. Ο ρόλος της είναι παρόµοιος µε τονρόλο του 0 στην πρόσθεση. Εάν η λέξη w έχει µήκος n, µπορούµε να γράϕουµεw = w1w2 · · ·wn, όπου κάθε wi ∈ Σ. Η ανάστροϕη της w συµβολίζεται wR, καιείναι η λέξη που προκύπτει όταν γράψουµε τα σύµβολα της w µε την αντίστρο-ϕη σειρά (δηλαδή ως wnwn−1 · · ·w1). Μια λέξη z ονοµάζεται υπόλεξη της w εάνεµϕανίζεται αυτούσια (δηλαδή, ως διαδοχή συνεχόµενων συµβόλων) µέσα στηνw. Παραδείγµατος χάριν, η λέξη λημ είναι µια υπόλεξη της λέξης καλημερα.

Για δύο δεδοµένες λέξεις x και y µήκους m και n, αντίστοιχα, η συναρµογή τωνx και y, η οποία συµβολίζεται xy, είναι η λέξη που παίρνουµε όταν συνάψουµε τηνy στο τέλος της x, ως εξής: x1 · · ·xmy1 · · · yn. Για να συναρµόσουµε περισσότερααπό ένα αντίγραϕα της ίδιας λέξης χρησιµοποιούµε τον συµβολισµό της ύψωσηςσε δύναµη:

k ϕορές︷ ︸︸ ︷xx · · ·x = xk.

Η λεξικογραϕική διάταξη λέξεων είναι η συνήθης διάταξη που ακολουθούν ταλεξικά, µε τη µόνη διαϕορά ότι οι βραχύτερες λέξεις προηγούνται των µακρύτε-

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 / ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ρων. Έτσι, η λεξικογραϕική διάταξη όλων των λέξεων επί του αλϕαβήτου {0, 1}είναι η ακόλουθη:

(ε, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000, . . .).

Οποιοδήποτε σύνολο λέξεων ονοµάζεται γλώσσα.

0.2.6 ΛΟΓΙΣΜΟΣ BOOLE

Ο λογισµός Boole είναι ένα µαθηµατικό σύστηµα δοµηµένο πάνω στις δύο τι-µές ΑΛΗΘΕΣ και ΨΕΥ∆ΕΣ. Αν και αρχικά αναπτύχθηκε ως επινόηση των καθα-ρών µαθηµατικών, σήµερα θεωρείται το θεµέλιο της ψηϕιακής ηλεκτρονικής καιτης σχεδίασης υπολογιστών. Οι τιµές ΑΛΗΘΕΣ και ΨΕΥ∆ΕΣ είναι οι λεγόµενεςλογικές τιµές και συχνά αναπαρίστανται µε τις τιµές 1 και 0. Οι λογικές τιµέςχρησιµοποιούνται σε καταστάσεις όπου υπάρχουν δύο δυνατότητες, όπως στηνπερίπτωση ενός αγωγού που µπορεί να έχει υψηλή ή χαµηλή τάση, µιας πρότασηςπου µπορεί να είναι αληθής ή ψευδής, ή µιας απάντησης σε κάποια ερώτηση πουµπορεί να είναι «ναι» ή «όχι».

Ο χειρισµός των λογικών τιµών γίνεται µε ειδικά σχεδιασµένες πράξεις, τις λε-γόµενες λογικές πράξεις. Η απλούστερη από αυτές είναι η άρνηση, ή πράξη ΟΧΙ,που συµβολίζεται µε ¬: η άρνηση µιας λογικής τιµής είναι απλώς η άλλη λογικήτιµή, δηλαδή ¬0 = 1 και ¬1 = 0. ∆ύο πιο σύνθετες πράξεις είναι η σύζευξη, ήπράξη ΚΑΙ, που συµβολίζεται µε ∧, και η διάζευξη, ή πράξη Ή, που συµβολίζεταιµε ∨. Η σύζευξη δύο λογικών τιµών δίνει αποτέλεσµα 1 εάν και οι δύο τιµές είναι1, ενώ η διάζευξη δύο λογικών τιµών δίνει αποτέλεσµα 1 εάν τουλάχιστον µίααπό τις τιµές είναι 1. Οι ορισµοί αυτοί συνοψίζονται ως εξής:

0 ∧ 0 = 0 0 ∨ 0 = 0 ¬0 = 10 ∧ 1 = 0 0 ∨ 1 = 1 ¬1 = 01 ∧ 0 = 0 1 ∨ 0 = 11 ∧ 1 = 1 1 ∨ 1 = 1

Ακριβώς όπως µε τις αριθµητικές πράξεις + και × µπορούµε να κατασκευά-ζουµε σύνθετες αριθµητικές εκϕράσεις, έτσι και µε τις λογικές πράξεις µπορούµε,συνδυάζοντας απλές προτάσεις, να κατασκευάζουµε πιο σύνθετες λογικές εκ-ϕράσεις. Παραδείγµατος χάριν, εάν η λογική τιµή P αναπαριστά το αληθές τηςπρότασης «ο ήλιος λάµπει» και η λογική τιµή Q αναπαριστά το αληθές της πρότα-σης «σήµερα είναι ∆ευτέρα», µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την έκϕραση P∧Qγια να αναπαραστήσουµε το αληθές της πρότασης «ο ήλιος λάµπει και σήµεραείναι ∆ευτέρα» ή, αντίστοιχα, την έκϕραση P ∨ Q για την ίδια πρόταση µε τοή στη θέση του και. Οι λογικές τιµές που συµµετέχουν σε τέτοιες λογικές πρά-ξεις (όπως οι P και Q στα παραπάνω παραδείγµατα) ονοµάζονται τελεστέοι τηςεκάστοτε πράξης.

Στον λογισµό Boole χρησιµοποιούνται ενίοτε και κάποιες άλλες λογικές πρά-ξεις. Η αποκλειστική διάζευξη, ή πράξη ΕΙΤΕ, συµβολίζεται µε ⊕, και δίνει αποτέ-

0.3 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ, ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 17

λεσµα 1 εάν ένας και µόνο ένας από τους δύο τελεστέους της είναι 1. Η ισότητασυµβολίζεται µε ↔, και δίνει αποτέλεσµα 1 εάν οι δύο τελεστέοι της έχουν τηνίδια τιµή. Τέλος, η συνεπαγωγή συµβολίζεται µε →, και δίνει αποτέλεσµα 0 εάνο πρώτος τελεστέος της είναι 1 και ο δεύτερος 0. σε όλες τις άλλες περιπτώσεις,δίνει αποτέλεσµα 1. Οι ορισµοί αυτοί συνοψίζονται ως εξής:

0 ⊕ 0 = 0 0 ↔ 0 = 1 0 → 0 = 10 ⊕ 1 = 1 0 ↔ 1 = 0 0 → 1 = 11 ⊕ 0 = 1 1 ↔ 0 = 0 1 → 0 = 01 ⊕ 1 = 0 1 ↔ 1 = 1 1 → 1 = 1

Οι λογικές αυτές πράξεις συνδέονται µεταξύ τους µε διάϕορες σχέσεις. Μάλι-στα, όλες τους µπορούν να εκϕραστούν συναρτήσει των πράξεων ΟΧΙ και ΚΑΙ,όπως ϕαίνεται στις παρακάτω ταυτότητες. Οι δύο εκϕράσεις που παρατίθενται σεκάθε γραµµή είναι ισοδύναµες. Σε κάθε γραµµή, η πράξη στα αριστερά εκϕράζε-ται στα δεξιά συναρτήσει της ΟΧΙ, της ΚΑΙ, και των πράξεων των προηγούµενωνγραµµών:

P ∨ Q ¬(¬P ∧ ¬Q)P → Q ¬P ∨ QP ↔ Q (P → Q) ∧ (Q → P )P ⊕ Q ¬(P ↔ Q).

Τον χειρισµό λογικών εκϕράσεων διευκολύνει η επιµεριστικότητα καθεµίαςαπό τις πράξεις Ή και ΚΑΙ ως προς την άλλη. Η ιδιότητα αυτή είναι παρόµοιαµε την επιµεριστική ιδιότητα του συνηθισµένου πολλαπλασιασµού ως προς τηνπρόσθεση, σύµϕωνα µε την οποία a × (b + c) = (a × b) + (a × c). Η αντίστοιχηιδιότητα στον λογισµό Boole έχει δύο σκέλη. Η πράξη ΚΑΙ είναι επιµεριστική ωςπρος την πράξη Ή:

• η έκϕραση P ∧ (Q ∨ R) ισούται µε την (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R),ενώ το ίδιο ισχύει και για την Ή ως προς την ΚΑΙ:

• η έκϕραση P ∨ (Q ∧ R) ισούται µε την (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R).Σηµειωτέον ότι η συµµετρική αυτή ιδιότητα δεν ισχύει στις αριθµητικές πράξεις,δηλαδή η συνήθης πρόσθεση εν γένει δεν είναι επιµεριστική ως προς τον πολλα-πλασιασµό.

0.3

ΟΡΙΣΜΟΙ, ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ, ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Τα θεωρήµατα και οι αποδείξεις είναι η καρδιά και η ψυχή των µαθηµατικών, ενώοι ορισµοί είναι το πνεύµα τους. Οι τρεις αυτές οντότητες κατέχουν κεντρικήθέση σε κάθε µαθηµατικό αντικείµενο, συµπεριλαµβανοµένης της θεωρίας υπο-

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 / ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΣΥΝΟΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΟΡΩΝ

ακµή γραµµή ή βέλος σε ένα γράϕηµαακολουθία κατάλογος αντικειµένωναλϕάβητο πεπερασµένο σύνολο αντικειµένων, που ονοµάζονται σύµβολααπλή διαδροµή διαδροµή χωρίς επαναλήψεις κόµβωνγλώσσα σύνολο λέξεωνγράϕηµα συλλογή σηµείων και γραµµών οι οποίες συνδέουν κάποια

σηµεία ανά δύοδένδρο συνδεδεµένο γράϕηµα χωρίς απλούς κύκλουςδιαδροµή ακολουθία κόµβων γραϕήµατος που συνδέονται µεταξύ τους

µε ακµέςδιάζευξη η λογική πράξη Ήδιµελής σχέση σχέση µε πεδίο ορισµού ένα σύνολο ζευγώνένωση πράξη σε σύνολα η οποία συγκεντρώνει όλα τα στοιχεία σε ένα

σύνολοζεύγος κατάλογος δύο αντικειµένων, που ονοµάζεται επίσης δυάδαιδιότητα κατηγόρηµαk-άδα κατάλογος k αντικειµένωνκαρτεσιανό γινόµενο πράξη σε σύνολα η οποία σχηµατίζει ένα σύνολο όλων των

πλειάδων µε στοιχεία από τα αντίστοιχα σύνολακατευθυντό γράϕηµα συλλογή σηµείων και βελών τα οποία συνδέουν κάποια σηµεία

ανά δύοκατηγόρηµα συνάρτηση µε πεδίο τιµών το σύνολο {ΑΛΗΘΕΣ, ΨΕΥ∆ΕΣ}κενή λέξη η λέξη µηδενικού µήκουςκενό σύνολο το σύνολο που δεν έχει κανένα µέλοςκόµβος σηµείο σε γράϕηµακορυϕή κόµβοςκύκλος διαδροµή που αρχίζει και τελειώνει στον ίδιο κόµβολέξη πεπερασµένη ακολουθία συµβόλων από ένα αλϕάβητολογική πράξη πράξη σε λογικές τιµέςλογική τιµή καθεµία από τις τιµές ΑΛΗΘΕΣ και ΨΕΥ∆ΕΣ, που συχνά

αναπαρίστανται ως 1 και 0 αντίστοιχαµέλος αντικείµενο σε ένα σύνολοόρισµα παράµετροςπαράµετρος είσοδος σε συνάρτησηπεδίο ορισµού το σύνολο όλων των δυνατών εισόδων σε µια συνάρτησηπεδίο τιµών το σύνολο από όπου αντλούνται οι έξοδοι µιας συνάρτησηςστοιχείο µέλοςσύζευξη η λογική πράξη ΚΑΙσύµβολο µέλος ενός αλϕαβήτουσυµπλήρωµα πράξη σε σύνολο η οποία δίνει το σύνολο των στοιχείων που

δεν ανήκουν στο αρχικό σύνολοσυναρµογή πράξη που συνάπτει λέξειςσυνάρτηση πράξη που µετασχηµατίζει εισόδους σε εξόδουςσυνδεδεµένο γράϕηµα γράϕηµα στο οποίο όλοι οι κόµβοι συνδέονται ανά δύο µε

κάποια διαδροµήσύνολο οµάδα αντικειµένωνσχέση κατηγόρηµα, συνήθως µε πεδίο ορισµού ένα σύνολο k-άδωνσχέση ισοδυναµίας ανακλαστική, συµµετρική, και µεταβατική διµελής σχέσητοµή πράξη σε σύνολα που επιστρέϕει το σύνολο των κοινών στοιχείων

0.3 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ, ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 19

λογισµού.Οι ορισµοί περιγράϕουν τα αντικείµενα και τις έννοιες που χρησιµοποιούµε.

Ένας ορισµός µπορεί να είναι απλός, όπως ο ορισµός του συνόλου που δώσαµεπροηγουµένως σε αυτό το κεϕάλαιο, ή σύνθετος, όπως ο ορισµός της ασϕάλειαςενός κρυπτοσυστήµατος. Σε κάθε περίπτωση, ένας µαθηµατικός ορισµός θα πρέ-πει να είναι ακριβής. Θα πρέπει να καθιστά σαϕές ποια αντικείµενα εµπίπτουνστον ορισµό και ποια όχι.

Αϕού ορίσουµε διάϕορες έννοιες και αντικείµενα, διατυπώνουµε συνήθως κά-ποιες σχετικές µαθηµατικές προτάσεις. Συνήθως µια πρόταση δηλώνει ότι κάποιοαντικείµενο έχει κάποια συγκεκριµένη ιδιότητα. Ανεξάρτητα από το εάν είναιαληθής ή όχι, η πρόταση θα πρέπει να είναι ακριβής, όπως ένας ορισµός. ∆ενθα πρέπει να υπάρχει καµία ασάϕεια ως προς τη σηµασία της.Απόδειξη είναι κάποιο πειστικό λογικό επιχείρηµα υπέρ της ισχύος µιας πρό-

τασης. Στα µαθηµατικά, ένα επιχείρηµα θα πρέπει να είναι αδιαϕιλονίκητο, δηλα-δή πειστικό µε την απόλυτη έννοια. Στην καθηµερινή ζωή ή στη νοµική επιστήµη,δεν υπάρχουν τόσο υψηλές απαιτήσεις όσον αϕορά την απόδειξη. Παραδείγµα-τος χάριν, σε µια δίκη για ϕόνο απαιτείται απλώς απόδειξη «πέραν πάσης λογικήςαµϕιβολίας». Οι ένορκοι είναι δυνατόν να δεχθούν την αθωότητα ή την ενοχή τουκατηγορουµένου βασιζόµενοι απλώς στη βαρύτητα των ενδείξεων. Αντιθέτως, σεµια µαθηµατική απόδειξη οι ενδείξεις δεν παίζουν κανένα ρόλο. Ένας µαθηµατι-κός απαιτεί απόδειξη πέραν πάσης αµϕιβολίας.Θεώρηµα είναι µια µαθηµατική πρόταση που έχει αποδειχθεί αληθής. Εν γέ-

νει, ο όρος αυτός χρησιµοποιείται µόνο για προτάσεις ιδιαίτερου ενδιαϕέροντος.Μερικές ϕορές, οι προτάσεις που αποδεικνύουµε είναι ενδιαϕέρουσες µόνο επει-δή βοηθούν στην απόδειξη κάποιας άλλης, πιο σηµαντικής πρότασης. Τέτοιεςπροτάσεις λέγονται λήµµατα. Κάποιες άλλες ϕορές, ένα θεώρηµα ή η απόδειξήτου µπορεί να µας επιτρέπουν να συµπεράνουµε απευθείας ότι άλλες, σχετικέςπροτάσεις είναι αληθείς. Αυτές οι συνακόλουθες προτάσεις λέγονται πορίσµατατου θεωρήµατος.

0.3.1 ΕΥΡΕΣΗ ΑΠΟΔΕΙΞΕΩΝ

Ο µόνος τρόπος για να αποϕανθούµε περί του αληθούς ή ψευδούς µιας µαθη-µατικής πρότασης είναι µέσω µιας µαθηµατικής απόδειξης. ∆υστυχώς, η εύρεσηαποδείξεων δεν είναι πάντοτε εύκολη. ∆εν µπορεί δηλαδή να αναχθεί σε ένα απλόσύνολο κανόνων ή µεθόδων. Ωστόσο, κατά τη διάρκεια αυτού του µαθήµατος, θασας ζητηθεί να καταστρώσετε αποδείξεις για διάϕορες προτάσεις. ∆εν θα πρέπεινα σας τροµάζει αυτή η προοπτική! Αν και κανείς δεν γνωρίζει κάποια έτοιµησυνταγή παραγωγής αποδείξεων, εντούτοις υπάρχουν κάποιες χρήσιµες γενικέςστρατηγικές.

Κατ’ αρχάς, διαβάστε προσεκτικά την πρόταση που θέλετε να αποδείξετε. Κα-ταλαβαίνετε όλα τα σύµβολα που χρησιµοποιούνται; Ξαναγράψτε την πρότασηµε δικά σας λόγια. Χωρίστε την σε τµήµατα και εξετάστε το καθένα χωριστά.

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 / ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Σε κάποιες περιπτώσεις δεν είναι αµέσως προϕανές ποια είναι τα διάϕορα σκέ-λη µιας σύνθετης πρότασης. Ένα είδος σύνθετης πρότασης που εµϕανίζεται συ-χνά είναι η έκϕραση «P εάν και µόνο εάν Q», όπου P και Q µαθηµατικές προτά-σεις. Η έκϕραση αυτή είναι συντοµογραϕία µιας δισκελούς πρότασης. Το πρώτοσκέλος είναι η πρόταση «P µόνο εάν Q», που σηµαίνει «εάν η P είναι αληθής, τότεκαι η Q είναι αληθής», και γράϕεται P ⇒ Q. Το δεύτερο σκέλος είναι η πρόταση«P εάν Q», που σηµαίνει «εάν η Q είναι αληθής, τότε και η P είναι αληθής» καιγράϕεται P ⇐ Q. Λέµε ότι το πρώτο σκέλος είναι η ορθή κατεύθυνση του «εάνκαι µόνο εάν», ενώ το δεύτερο σκέλος είναι η αντίστροϕη κατεύθυνση. Συνολικά,η πρόταση «P εάν και µόνο εάν Q» γράϕεται P ⇐⇒ Q, και για να την αποδείξετεθα πρέπει να αποδείξετε και την ορθή και την αντίστροϕη κατεύθυνση. Συχνά, ηµία από αυτές είναι ευκολότερο να αποδειχθεί απ’ ό,τι η άλλη.

Ένα άλλος είδος σύνθετης πρότασης είναι η δήλωση ότι δύο σύνολα A και Bείναι ίσα. Το πρώτο σκέλος της δηλώνει ότι το A είναι υποσύνολο του B, και τοδεύτερο ότι το B είναι υποσύνολο του A. Με άλλα λόγια, ένας συνήθης τρόποςγια να αποδείξουµε ότι A = B είναι να δείξουµε ότι κάθε στοιχείο του A ανήκειεπίσης στο B και ότι κάθε στοιχείο του B ανήκει επίσης στο A.

Όταν λοιπόν θέλετε να αποδείξετε µια πρόταση ή ένα σκέλος της, προσπαθή-στε να αντιληϕθείτε διαισθητικά, δηλαδή µε το ένστικτό σας, τον λόγο για τονοποίο οϕείλει η πρόταση να είναι αληθής. Ιδιαίτερα χρήσιµος για αυτόν τον σκο-πό είναι ο πειραµατισµός µε παραδείγµατα. Εάν π.χ. η πρόταση δηλώνει ότι όλατα αντικείµενα κάποιου τύπου έχουν µια συγκεκριµένη ιδιότητα, διαλέξτε µερι-κά αντικείµενα αυτού του τύπου και ελέγξτε εάν όντως έχουν τη συγκεκριµένηιδιότητα. Στη συνέχεια, προσπαθήστε να βρείτε ένα αντικείµενο που να µη δια-θέτει την ιδιότητα, δηλαδή ένα αντιπαράδειγµα. Εάν η πρόταση είναι πράγµατιαληθής, δεν θα καταϕέρετε να βρείτε κανένα τέτοιο αντικείµενο. Εντοπίζοντας τιακριβώς είναι αυτό που σας δυσκολεύει να βρείτε κάποιο αντιπαράδειγµα, ίσωςνα κατανοήσετε ευκολότερα γιατί τελικά η πρόταση είναι αληθής.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 0.9

Έστω ότι θέλετε να αποδείξετε την πρόταση: σε κάθε γράϕηµα, το άθροισµα τωνβαθµών όλων των κόµβων είναι άρτιος αριθµός.

Κατ’ αρχάς, επιλέξτε µερικά γραϕήµατα και παρατηρήστε την πρόταση στηνεϕαρµογή της. ∆ύο σχετικά παραδείγµατα είναι τα παρακάτω γραϕήµατα.

άθροισμαάθροισμα

0.3 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ, ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 21

Κατόπιν, προσπαθήστε να βρείτε ένα αντιπαράδειγµα, δηλαδή ένα γράϕηµα στοοποίο το άθροισµα να είναι περιττός αριθµός.

Κάθε φορά που προστίθεται μια ακμή,το άθροισμα αυξάνεται κατά 2.

Μπορείτε τώρα να αντιληϕθείτε γιατί η πρόταση είναι αληθής και πώς να τηναποδείξετε;

Αν εξακολουθείτε να βρίσκεστε σε αδιέξοδο, δοκιµάστε κάτι ευκολότερο. Προ-σπαθήστε να αποδείξετε µια ειδική περίπτωση της πρότασης. Παραδείγµατος χά-ριν, εάν πρέπει να αποδείξετε ότι κάποια ιδιότητα είναι αληθής για κάθε k > 0,δοκιµάστε πρώτα να την αποδείξετε για k = 1. Αν τα καταϕέρετε, δοκιµάστε τοίδιο για k = 2, κ.ο.κ., µέχρι να είστε σε θέση να κατανοήσετε την πιο γενική περί-πτωση. Αν δυσκολευτείτε να αποδείξετε κάποια ειδική περίπτωση, δοκιµάστε µιαάλλη ειδική περίπτωση ή ίσως κάποια ειδική περίπτωση της ειδικής περίπτωσης.

Τελικά, όταν θεωρείτε ότι έχετε βρει την απόδειξη, θα πρέπει να την καθαρο-γράψετε. Μια καλογραµµένη απόδειξη είναι µια ακολουθία από προτάσεις, καθε-µία από τις οποίες προκύπτει από εκείνες που προηγούνται στην ακολουθία µέσωµιας απλής αιτιολόγησης. Η προσεκτική σύνταξη µιας απόδειξης είναι σηµαντι-κή, αϕ’ ενός διότι επιτρέπει στον αναγνώστη να την κατανοήσει, και αϕ’ ετέρουεπειδή επιτρέπει σε εσάς τους ίδιους να βεβαιωθείτε ότι δεν περιέχει λάθη.

Μερικές ακόµη υποδείξεις για την εύρεση αποδείξεων:

• Να είστε υποµονετικοί. Η εύρεση µιας απόδειξης είναι χρονοβόρα διαδικα-σία. Αν δεν αντιλαµβάνεστε αµέσως πώς να προχωρήσετε, µην αγχώνεστε.Μερικές ϕορές οι ερευνητές δουλεύουν για εβδοµάδες, ακόµη και για χρό-νια, προκειµένου να βρουν µία και µόνο απόδειξη.

• Ξαναδείτε το. Εξετάστε την πρόταση που θέλετε να αποδείξετε, σκεϕτείτετην για λίγο, αϕήστε την, και επιστρέψτε µερικά λεπτά ή µερικές ώρες αργό-τερα. ∆ώστε την ευκαιρία στο ασυνείδητο, διαισθητικό τµήµα του νου σαςνα δουλέψει.

• ∆ουλέψτε µε τάξη. Για να αναπτύξετε τη διαίσθησή σας για την πρότασηπου προσπαθείτε να αποδείξετε, χρησιµοποιήστε απλά, σαϕή σχήµατα και/ήαπλό, σαϕές κείµενο. Η προχειρότητα δυσχεραίνει την προσπάθειά σας νακατανοήσετε την πρόταση βαθύτερα. Παροµοίως, εάν γράϕετε κάποια από-δειξη µε σκοπό να διαβαστεί από άλλους, η καθαρότητα θα βοηθήσει τοναναγνώστη να παρακολουθήσει τους συλλογισµούς σας.

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 / ΕΙΣΑΓΩΓΗ

• Να είστε λακωνικοί. Η λακωνικότητα και η περιεκτικότητα σας βοηθά να εκ-ϕράζετε γενικές έννοιες χωρίς να χάνεστε στις λεπτοµέρειες. Ασϕαλώς, ένασηµαντικό εργαλείο στην προσπάθεια να εκϕραστείτε συνοπτικά είναι και οεύστοχος µαθηµατικός συµβολισµός. Ωστόσο, µην ξεχνάτε ότι η αιτιολόγη-ση που θα συµπεριλάβετε τελικά στην απόδειξη θα πρέπει να είναι αρκετάαναλυτική ώστε να επιτρέπει στον αναγνώστη να κατανοήσει εύκολα τι προ-σπαθείτε να πείτε.

Ως εξάσκηση, ας αποδείξουµε έναν από τους τύπους του DeMorgan.

ΘΕΩΡΗΜΑ 0.10

Για οποιαδήποτε δύο σύνολα A και B, A ∪ B = A ∩ B.

Κατ’ αρχάς, είναι το νόηµα αυτού του θεωρήµατος ξεκάθαρο; Αν δεν καταλα-βαίνετε τη σηµασία των συµβόλων ∪ ή ∩ , ή της υπεργράµµισης, ανατρέξτε στησχετική παρουσίαση του συµβολισµού στη σελίδα 5.

Για να αποδείξουµε αυτό το θεώρηµα θα πρέπει να δείξουµε ότι τα δύο σύνολαA ∪ B και A ∩ B είναι ίσα. Όπως ήδη αναϕέρθηκε, ένας τρόπος να αποδείξου-µε ότι δύο σύνολα είναι ίσα είναι να δείξουµε ότι κάθε µέλος του ενός συνόλουανήκει επίσης στο άλλο, και αντιστρόϕως. Προτού διαβάσετε την απόδειξη πουακολουθεί, εξετάστε µερικά παραδείγµατα και στη συνέχεια προσπαθήστε νααποδείξετε το θεώρηµα µόνοι σας.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Το θεώρηµα δηλώνει ότι δύο σύνολα, τα A ∪ B και A ∩ B, είναιίσα. Για να αποδείξουµε αυτόν τον ισχυρισµό, θα δείξουµε ότι κάθε στοιχείο τουενός συνόλου ανήκει επίσης στο άλλο σύνολο, και αντιστρόϕως.

Έστω x κάποιο στοιχείο του A ∪ B. Τότε, από τον ορισµό του συµπληρώµατοςσυνόλου, έπεται ότι το x δεν ανήκει στο A ∪ B. Εποµένως, από τον ορισµό τηςένωσης συνόλων, έπεται ότι το x δεν ανήκει ούτε στο A ούτε στο B. Με άλλαλόγια, το x ανήκει στο A και επίσης στο B. Άρα, από τον ορισµό της τοµής δύοσυνόλων, έχουµε ότι το x ανήκει στο A ∩ B.

Όσον αϕορά το αντίστροϕο, ας υποθέσουµε ότι το x ανήκει στο A ∩ B. Άρα,το x ανήκει και στο A και στο B. Εποµένως, δεν ανήκει ούτε στο A ούτε στο B.Συνεπώς, δεν ανήκει ούτε και στην ένωση των δύο συνόλων, οπότε ανήκει στοσυµπλήρωµα αυτής της ένωσης. Με άλλα λόγια, το x ανήκει στο σύνολο A ∪ B(ό.έ.δ.).

Ας αποδείξουµε τώρα την πρόταση του Παραδείγµατος 0.9.

ΘΕΩΡΗΜΑ 0.11

Σε κάθε γράϕηµα, το άθροισµα των βαθµών όλων των κόµβων είναι άρτιος αριθ-µός.

0.4 ΕΙΔΗ ΑΠΟΔΕΙΞΕΩΝ 23

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω γράϕηµα G. Κάθε ακµή του G συνδέει δύο κόµβους. Άρα,κάθε ακµή συνεισϕέρει 1 µονάδα στον βαθµό καθενός από τους κόµβους πουσυνδέει. Εποµένως, κάθε ακµή συνεισϕέρει 2 µονάδες στο άθροισµα των βαθ-µών όλων των κόµβων του γραϕήµατος. Συνεπώς, εάν το G περιέχει e ακµές, τοάθροισµα των βαθµών όλων των κόµβων του G ισούται µε 2e, το οποίο είναι άρ-τιος αριθµός.

0.4

ΕΙΔΗ ΑΠΟΔΕΙΞΕΩΝ

Κάποια είδη αιτιολόγησης εµϕανίζονται τακτικά στις µαθηµατικές αποδείξεις.Στην ενότητα αυτή, θα περιγράψουµε µερικά που απαντούν συχνά στη θεωρίαυπολογισµού. Σηµειώστε ότι µια απόδειξη είναι δυνατόν να περιέχει περισσότε-ρα από ένα είδη αιτιολόγησης, καθώς µπορεί να εµπεριέχει αρκετές επιµέρουςαποδείξεις.

0.4.1 ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΕ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ

Κάποια θεωρήµατα ισχυρίζονται ότι υπάρχουν αντικείµενα κάποιου συγκεκριµέ-νου τύπου. Για να αποδείξουµε ένα τέτοιο θεώρηµα, αρκεί να περιγράψουµε πώςµπορεί να κατασκευαστεί ένα τέτοιο αντικείµενο. Η τεχνική αυτή λέγεται από-δειξη µε κατασκευή.

Θα χρησιµοποιήσουµε την απόδειξη µε κατασκευή για να αποδείξουµε το πα-ρακάτω θεώρηµα. Ορίζουµε ότι ένα γράϕηµα είναι k-κανονικό εάν κάθε κόµβοςτου έχει βαθµό k.

ΘΕΩΡΗΜΑ 0.12

Για κάθε άρτιο αριθµό n µεγαλύτερο του 2, υπάρχει 3-κανονικό γράϕηµα µε nκόµβους.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω n ένας άρτιος αριθµός, µεγαλύτερος του 2. Κατασκευάζουµετο γράϕηµα G = (V, E) µε n κόµβους ως εξής. Το σύνολο των κόµβων του G είναιτο V = {0, 1, . . . , n − 1} και το σύνολο των ακµών του είναι το

E = {{i, i + 1}| για 0 ≤ i ≤ n − 2} ∪ {{n− 1, 0}}∪ {{i, i + n/2}| για 0 ≤ i ≤ n/2 − 1}.

Φανταστείτε τους κόµβους αυτού του γραϕήµατος τοποθετηµένους διαδοχικάκατά µήκος της περιϕέρειας ενός κύκλου. Στην περίπτωση αυτή, οι ακµές πουπεριγράϕονται στην πρώτη γραµµή του ορισµού του E συνδέουν διαδοχικούςκόµβους κατά µήκος του κύκλου. Από την άλλη πλευρά, οι ακµές που περιγρά-ϕονται στη δεύτερη γραµµή του ορισµού συνδέουν αντιδιαµετρικούς κόµβους

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 / ΕΙΣΑΓΩΓΗ

πάνω στον κύκλο. Αυτή η νοερή εικόνα δείχνει µε σαϕή τρόπο ότι κάθε κόµβοςτου G έχει βαθµό 3.

0.4.2 ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΕ ΑΠΑΓΩΓΗ ΣΕ ΑΤΟΠΟ

Ένα συνήθης τρόπος αιτιολόγησης για την απόδειξη ενός θεωρήµατος είναι ναυποθέσουµε ότι το θεώρηµα δεν ισχύει και στη συνέχεια να δείξουµε ότι αυτήη υπόθεση µας οδηγεί σε κάποιο εµϕανώς εσϕαλµένο συµπέρασµα, που λέγε-ται άτοπο. Όπως ϕαίνεται στο επόµενο παράδειγµα, αυτό το είδος αιτιολόγησηςχρησιµοποιείται συχνά και στην καθηµερινή ζωή.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 0.13

Ο ∆ηµήτρης βλέπει τη Φανή, που έχει µόλις µπει στο σπίτι ερχόµενη από έξω.Παρατηρώντας ότι είναι εντελώς στεγνή, συµπεραίνει ότι έξω δεν βρέχει. Η «από-δειξή» του για το ότι δεν βρέχει είναι ότι, εάν έβρεχε (η υπόθεση ότι η πρότασηδεν ισχύει), η Φανή θα ήταν βρεγµένη (ένα εµϕανώς εσϕαλµένο συµπέρασµα).Εποµένως, ο ∆ηµήτρης συµπεραίνει ότι δεν βρέχει.

Στη συνέχεια, θα αποδείξουµε µε απαγωγή σε άτοπο ότι η τετραγωνική ρί-ζα του 2 είναι άρρητος αριθµός. Ένας αριθµός ονοµάζεται ρητός εάν ισούται µεκάποιο κλάσµα m/n, όπου m και n ακέραιοι αριθµοί. Με άλλα λόγια, ρητός αριθ-µός είναι οποιοσδήποτε λόγος δύο ακεραίων, όπως π.χ. ο 2/3.Άρρητος είναι κάθεαριθµός που δεν είναι ρητός.

ΘΕΩΡΗΜΑ 0.14

Ο αριθµός√

2 είναι άρρητος.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Κατ’ αρχάς, προκειµένου στη συνέχεια να καταλήξουµε σε άτοπο,υποθέτουµε ότι ο

√2 είναι ρητός, οπότε έχουµε

√2 =

m

n,

για κάποιους ακέραιους αριθµούς m και n. Εάν υπάρχει ακέραιος µεγαλύτεροςτου 1 ο οποίος διαιρεί αµϕότερους τους m και n, βρίσκουµε τον µεγαλύτερο τέ-τοιο ακέραιο και διαιρούµε µε αυτόν και τους δύο αριθµούς. Μετά από αυτό, ητιµή του κλάσµατος δεν έχει αλλάξει και τουλάχιστον ένας από τους m και n είναιπεριττός.

Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο µέλη της ισότητας µε n, παίρνουµε

n√

2 = m.

Υψώνοντας και τα δύο µέλη στο τετράγωνο, έχουµε ότι

2n2 = m2.

0.4 ΕΙΔΗ ΑΠΟΔΕΙΞΕΩΝ 25

Αϕού ο αριθµός m2 ισούται µε 2 επί τον ακέραιο n2, έπεται ότι είναι άρτιος.Εποµένως, ο m είναι επίσης άρτιος, δεδοµένου ότι το τετράγωνο ενός περιττούαριθµού είναι πάντοτε περιττό. Συνεπώς, µπορούµε να γράψουµε m = 2k γιακάποιον ακέραιο k. Εάν τώρα θέσουµε όπου m το 2k, έχουµε

2n2 = (2k)2

= 4k2.

∆ιαιρώντας και τα δύο µέλη δια 2, καταλήγουµε στη σχέση

n2 = 2k2.

Αυτό όµως σηµαίνει ότι ο n2 είναι άρτιος, και εποµένως ότι ο n είναι επίσης άρ-τιος. Άρα, έχουµε αποδείξει ότι τόσο ο m όσο και ο n είναι άρτιοι. Νωρίτερα όµωςτους είχαµε απλοποιήσει ώστε να µην είναι και οι δύο άρτιοι, όπερ άτοπον.

0.4.3 ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΕ ΕΠΑΓΩΓΗ

Η επαγωγή είναι µια κάπως πιο σύνθετη µέθοδος που χρησιµοποιούµε για νααποδείξουµε ότι όλα τα στοιχεία ενός άπειρου συνόλου έχουν κάποια καθορισµέ-νη ιδιότητα. Παραδείγµατος χάριν, µέσω της επαγωγής µπορούµε να δείξουµε ότιµια αριθµητική έκϕραση δίνει κάποια ζητούµενη ποσότητα για οποιεσδήποτε τι-µές των µεταβλητών της, ή ότι ένα πρόγραµµα λειτουργεί σωστά σε κάθε τουβήµα, ή για όλες τις εισόδους του.

Για να αντιληϕθούµε πώς δουλεύει η επαγωγική απόδειξη, ας υποθέσουµε ότιτο άπειρο σύνολο είναι οι ϕυσικοί αριθµοί N = {1, 2, 3, . . .}, και ας ονοµάσουµετην αποδεικτέα ιδιότητα P . Στόχος µας είναι να αποδείξουµε ότι η πρόταση P(k)είναι αληθής για κάθε ϕυσικό αριθµό k. Με άλλα λόγια, θέλου�