Κβαντικοί Υπολογιστές

κβαντικοί υπολογιστές7th Conference on Informatics in EducationΗ Πληροφορική στην Εκπαίδευση

Θεόδωρος Ανδρόνικος9/10/2015

Τμήμα ΠληροφορικήςΙόνιο Πανεπιστήμιο

0

εισαγωγή

ένα κβαντικό παιχνίδι - captain picard vs. q

∙ Το παιχνίδι ”PQ Penny Flip” το επινόησε ο φυσικός David A. Meyerτο 1999.

∙ Το διαστημόπλοιο Enterprise βρίσκεται σε κίνδυνο. Ο Qπροσφέρεται να βοηθήσει με την προϋπόθεση ο Captain Picardκαταφέρει να τον κερδίσει στο ακόλουθο παιχνίδι:

∙ Ο Picard τοποθετεί ένα νόμισμα σε ένα κουτί στη θέση ”κεφάλι”.∙ Ο Q επιλέγει είτε να επιδράσει στο νόμισμα είτε όχι.∙ Μετά ο Picard επιλέγει αν θα αναποδογυρίσει το νόμισμα είτε όχι.∙ Στο τέλος πάλι ο Q επιλέγει είτε να επιδράσει στο νόμισμα είτε όχι.∙ Αν ανοίγοντας το κουτί το νόμισμα είναι στη θέση ”κεφάλι”, κερδίζειο Q. Διαφορετικά κερδίζει ο Captain Picard.

2

το αποτέλεσµα

∙ Ο Picard, πιστεύοντας ότι έχει πιθανότητα 0,5 να κερδίσει,δέχεται να παίξει.

∙ Παίζουν και ο Q κερδίζει το παιχνίδι.∙ Ο Picard, επικαλούμενος ότι ο Q κάνει δύο κινήσεις, ενώ ο ίδιοςμία, πείθει τον Q να παίξουν το ίδιο παιχνίδι άλλες 9 φορές.

∙ Ο Q δέχεται.∙ Ο Q κερδίζει όλες τις φορές.∙ Ο Captain Picard αναρωτιέται αν ο Q κλέβει. Τι ακριβώςσυμβαίνει;

3

βασικές αρχές

ο νόµος του moore

∙ Το 1965 ο Gordon Earle Moore, συνιδρυτής της Intel,παρατήρησε ότι οι πυκνότητες τρανζίστορ στα ολοκληρωμένακυκλώματα διπλασιάζονται περίπου κάθε 24 μήνες. Προέβλεψεότι η τάση αυτή θα συνεχιστεί και στο μέλλον: ”The number oftransistors incorporated in a chip will approximately doubleevery 24 months.”

∙ Ο 8086 (1978) ήταν 16-bit, είχε 29.000 τρανζίστορ και για τηνκατασκευή χρησιμοποιήθηκε τεχνολογία ολοκλήρωσης 3.2 μm.

∙ Σήμερα ένας σύγχρονος μικροεπεξεργαστής έχει περισσότερααπό ένα δισεκατομμύριο τρανζίστορ. Η προηγούμενη γενιά τηςIntel (Haswell-E) κατασκευάστηκε με τεχνολογία ολοκλήρωσης22nm και περιείχε 2,6 δισεκατομμύρια τρανζίστορ. Η τελευταίαγενιά (Skylake) κατασκευάζεται με τεχνολογία ολοκλήρωσης14nm.

5

συνέπειες του νόµου του moore

∙ Ο Νόμος του Moore είναι μια εμπειρική παρατήρηση τηςαύξησης του αριθμού των τρανζίστορ. Είναι εκπληκτικό ότι για50 χρόνια διαδοχικές γενιές ολοκληρωμένων τον έχουν τηρήσει,ανεξαρτήτως των μεταβολών που έχουν συμβεί στην τεχνολογίακατασκευής τρανζίστορ!

∙ Λόγω της ολοένα και περισσότερο σμίκρυνσης της τεχνολογίαςολοκλήρωσης, φαίνεται πως βρισκόμαστε στο προοίμιο μιαςνέας εποχής, όπου τα τρανζίστορ θα τείνουν να φτάσουν τομέγεθος των ατόμων. Τότε οι σημερινές τεχνικές σχεδίασης δενθα είναι εφαρμόσιμες.

6

κβαντικοί υπολογιστές

∙ Ερώτηση: Πως και πότε θα κατασκευάσουμε πραγματικούςκβαντικούς υπολογιστές;

∙ Απάντηση: Σήμερα (2015) δεν μπορούμε με βεβαιότητα νααπαντήσουμε. Υπάρχουν ιδέες, αλλά είναι ακόμη σε ερευνητικό &πειραματικό στάδιο.

∙ Ερώτηση: Τότε τι μπορούμε να κάνουμε σήμερα;∙ Απάντηση: Μπορούμε να μελετήσουμε τι θα είναι σε θέση νακάνουν οι κβαντικοί υπολογιστές όταν κατασκευαστούν,αγνοώντας τις κατασκευαστικές λεπτομέρειες.

∙ Το ίδιο ισχύει και για τους κλασικούς υπολογιστές - ο μέσοςχρήστης δεν γνωρίζει τη φυσική που διέπει τη λειτουργία τωντρανζίστορ.

7

κβαντικοί υπολογιστές

∙ Ερώτηση: Τελικά τι είναι ένας κβαντικός υπολογιστής;∙ Απάντηση: Κβαντικός είναι ένας υπολογιστής που εκτελείυπολογισμούς βασισμένους σε συγκεκριμένους και πολύ ειδικούςμετασχηματισμούς, όμοιους με αυτούς που διέπουν την εξέλιξητων κβαντικών συστημάτων. Οι μετασχηματισμοί αυτοί θαπρέπει να πραγματοποιούνται σε ελεγχόμενες συνθήκες καισύμφωνα με τους νόμους της κβαντικής μηχανικής.

∙ Ερώτηση: Αρκεί να πούμε ότι ένας κβαντικός υπολογιστήςβασίζεται στους νόμους της κβαντικής μηχανικής;

∙ Απάντηση: Όχι, γιατί το τρανζίστορ και άρα όλοι οι κλασικοίυπολογιστές βασίζονται στους νόμους της κβαντικής μηχανικής.

∙ Η αρχική ιδέα ήταν του διάσημου φυσικού Richard Feynmanστις αρχές της δεκαετίας του ’80 (1982).

8

κβαντικά bits και κβαντικές πύλες

∙ Στους κλασικούς υπολογιστές τα δεδομένα κωδικοποιούνται σεbits. Επεξεργαζόμαστε τα bits με τη χρήση κυκλωμάτων πουαποτελούνται από λογικές πύλες. Με αυτή τη διαδικασίαμετασχηματίζονται τα δεδομένα και πραγματοποιείται οεπιθυμητός υπολογισμός.

∙ Για τους κβαντικούς υπολογιστές και τον κβαντικό υπολογισμό τοαντίστοιχο του κλασικού bit είναι το κβαντικό bit, ή πιο απλάqubit, που είναι η στοιχειώδης μονάδα κβαντικής πληροφορίας.

∙ Ένας κβαντικός υπολογιστής επενεργεί στα qubits μέσω τωνκβαντικών πυλών που υλοποιούν κβαντικούς μετασχηματισμούς.Με κατάλληλη χρήση κβαντικών πυλών μπορούν να επιτευχθούνπερίπλοκοι μετασχηματισμοί, ώστε να βρεθούν τα qubits σε μιαεπιθυμητή τελική κατάσταση. Στο τέλος του υπολογισμού μέσωτης μέτρησης θα προκύψει το τελικό αποτέλεσμα.

9

qubits

∙ Η θεμελιώδης διαφορά του qubit από το κλασσικό bit είναι ότιενώ ένα bit μπορεί να βρίσκεται σε μόνο μια από δύο δυνατέςκαταστάσεις (0 ή 1), ένα qubit βρίσκεται σε επαλληλία (ήυπέρθεση - ο αγγλικός όρος είναι superposition) και των δύοκαταστάσεων ταυτόχρονα.

∙ Αν μετρήσουμε ένα qubit, τότε αυτό περιέρχεται σε μία από τιςδύο καταστάσεις με συγκεκριμένη πιθανότητα για κάθε μία. Τοάθροισμα των πιθανοτήτων είναι ίσο με 1.

∙ ΠΡΟΣΟΧΗ! Ένα qubit δεν είναι ισοδύναμο με ένα κλασικό bitακόμη και αν η πιθανότητα το bit να είναι στην κατάσταση 0 ή 1είναι ίση με την πιθανότητα το qubit να βρεθεί στην ίδιακατάσταση όταν μετρηθεί. Στην κβαντική υπέρθεση του qubitυφίσταται και μια σχετική φάση μεταξύ των δύο καταστάσεων.Αυτό ενδέχεται να οδηγήσει στην εμφάνιση φαινομένωνσυμβολής των δύο καταστάσεων.

10

ο συµβολισµός του dirac

∙ Για να περιγράψουμε κβαντικούς υπολογισμούς και αλγόριθμουςχρησιμοποιούμε το συμβολισμό που εισήγαγε ο διάσημοςφυσικός Paul Dirac.

∙ Η κατάσταση 0 συμβολίζεται με το ket |0⟩ και η κατάσταση 1συμβολίζεται με το ket |1⟩. Κάθε ket αντιστοιχεί σε ένα διάνυσμαενός (κατάλληλου) χώρου Hilbert. Στη συγκεκριμένη περίπτωσητα kets |0⟩ και |1⟩ μπορούν να αντιστοιχηθούν σε διανύσματαστήλες, όπως φαίνεται παρακάτω:

|0⟩ =[10

], |1⟩ =

[01

]. (1)

11

kets και bras

∙ Στη γενική περίπτωση ένα qubit βρίσκεται στην κατάσταση |ψ⟩που περιγράφεται από την παρακάτω σχέση:

|ψ⟩ = c0 |0⟩+ c1 |1⟩ (2)

όπου c0 και c1 ονομάζονται πλάτη πιθανότητας (probabilityamplitudes) και είναι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει|c0|2 + |c1|2 = 1.

∙ Σε κάθε ket |ψ⟩ αντιστοιχεί ένα bra ⟨ψ| ώστε να ισχύει:

⟨ψ| = c∗0 ⟨0|+ c∗1 ⟨1| (3)

όπου c∗0 και c∗1 είναι οι μιγαδικοί συζυγείς των c0 και c1.

12

ορολογία και συµβολισµοί

∙ Για την περιγραφή των κβαντικών χρησιμοποιούμε στοιχεία τηςθεωρίας των μιγαδικών χώρων Hilbert.

∙ Ερώτηση: Τι είναι ένας χώρος Hilbert;∙ Απάντηση: Χώρος Hilbert είναι ένας διανυσματικός χώρος στονοποίο έχει οριστεί ένα εσωτερικό γινόμενο και ο οποίος είναιπλήρης ως προς τη μετρική που ορίζεται από το εσωτερικόγινόμενο.

∙ Ερώτηση: Τι πραγματικά σημαίνει ο παραπάνω ορισμός;∙ Απάντηση: Πρόκειται για ένα τεχνικό ορισμό κατάλληλο γιαμαθηματικούς και φυσικούς. Ευτυχώς, για τη θεωρία τουκβαντικού υπολογισμού μπορούμε να περιοριστούμε σεμιγαδικούς χώρους Hilbert πεπερασμένης διάστασης, δηλαδήαπλά στους απλούς μιγαδικούς διανυσματικούς χώρους πουξέρουμε.

13


∙ Ερώτηση: Αυτό διευκολύνει την κατάσταση;∙ Απάντηση: Πάρα πολύ, γιατί οι καταστάσεις που περιγράφουν τοσύστημα θα είναι απλά διανύσματα και οι τελεστές (operators)που δρουν πάνω στο σύστημα θα είναι απλοί πίνακες.

∙ Με Hn συμβολίζουμε ένα χώρο Hilbert διάστασης n.∙ Cn×n είναι το σύνολο των πινάκων n× n με στοιχεία μιγαδικούςαριθμούς.

∙ Αν U είναι ένας τετραγωνικός πίνακας n× n, τότε U είναι οσυζυγής του και U† ο ανάστροφος συζυγής του (adjoint).

∙ Η χρονική εξέλιξη των κβαντικών συστημάτων περιγράφεται απόμοναδιαίους τελεστές (unitary operators). Για εμάς έναςμοναδιαίος τελεστής είναι απλά ένας μοναδιαίος πίνακας U μεμιγαδικά στοιχεία.

14


∙ Οι μοναδιαίοι πίνακες έχουν πολλές χρήσιμες ιδιότητες:∙ Διατηρούν το μέγεθος (norm) των διανυσμάτων στα οποίαεπενεργούν.

∙ Έχουν αντίστροφο πίνακα για τον οποίο ισχύει U−1 = U†, ή αλλιώς,U†U = UU† = I.

∙ Κάθε παρατηρήσιμο (observable) φυσικό μέγεθος αντιστοιχεί σεέναν ερμιτιανό, αλλιώς αυτοσυζυγή (self-adjoint), τελεστή. Γιαεμάς ένας ερμιτιανός τελεστής είναι απλά ένας U, δηλαδή έναςπίνακας που έχει την ιδιότητα U = U†.

∙ Το αποτέλεσμα μιας μέτρησης είναι πάντα μία από τις ιδιοτιμές(eigenvalues) του ερμιτιανού πίνακα.

15

κβαντικός υπολογισµός

∙ Μια βασική κατάσταση συνήθως αναπαρίσταται από το ket|i⟩ = (0, . . . , 1, . . . , 0)T. πρόκειται για το ket που έχει 0 σε κάθεθέση εκτός από τη θέση i όπου υπάρχει η τιμή 1.

∙ Γενικότερα, κάθε κατάσταση |ψ⟩ του συστήματος μπορεί ναπεριγραφεί ως μια επαλληλία από kets της μορφής:

|ψ⟩ =n∑i=1

ci |i⟩ , (4)

όπου:∙ n ο αριθμός των βασικών καταστάσεων,∙ |i⟩ είναι η βασική κατάσταση i και∙ ci ∈ C είναι τα πλάτη πιθανότητας που ικανοποιούν τη σχέση|c1|2 + |c2|2 + · · ·+ |cn|2 = 1.

16

ο αλγόριθµος του deutsch

∙ Ο πρώτος κβαντικός αλγόριθμος αναπτύχθηκε από τον Deutsch(1985, 1989). Ο αλγόριθμος αυτός, αν και λύνει ένα τετριμμένοπρόβλημα, δείχνει ξεκάθαρα τη διαφορά ανάμεσα σε κλασικό καικβαντικό υπολογισμό.

∙ Δίνεται μία συνάρτηση f(x) : {0, 1} −→ {0, 1}. Για κάθε τέτοιασυνάρτηση υπάρχουν δύο περιπτώσεις: (1) f(0) = f(1), οπότε ησυνάρτηση ονομάζεται σταθερή και (2) f(0) = f(1), οπότε ησυνάρτηση ονομάζεται ισορροπημένη.

∙ Ζητούμενο: Δεν γνωρίζουμε τη συνάρτηση f(x) και θέλουμε ναμάθουμε αν είναι σταθερή ή ισορροπημένη υπολογίζοντας τηντιμή της μόνο μία φορά.

18


∙ Με έναν κλασικό υπολογιστή πρέπει να υπολογίσουμε και τις δύοτιμές f(0) και f(1) και να συγκρίνουμε τα αποτελέσματα. Αν όμωςχρησιμοποιήσουμε το κβαντικό κύκλωμα που φαίνεταιπαρακάτω μπορούμε, κάνοντας έναν μόνο υπολογισμό της f(x),να μάθουμε αν είναι σταθερή ή ισορροπημένη.

Figure: Ο αλγόριθμος του Deutsch.

19


∙ Αν εκτελέσουμε τις πράξεις που φαίνονται στο προηγούμενοδιάγραμμα θα διαπιστώσουμε ότι η κατάσταση του κβαντικούκυκλώματος ακριβώς πριν τη μέτρηση είναι:

∙ (±1) |0⟩ ( |0⟩−|1⟩√2 ), f(x), αν η f(x) είναι σταθερή.

∙ (±1) |1⟩ ( |0⟩−|1⟩√2 ), f(x), αν η f(x) είναι ισορροπημένη.

∙ Για να συμπεράνουμε αν η f(x) είναι σταθερή ή ισορροπημένη,μετράμε το άνω qubit.

20

ο αλγόριθµος του shor

∙ Σήμερα οι δημοφιλέστεροι αλγόριθμοι κρυπτογράφησηςδημόσιων κλειδιών (όπως ο RSA) βασίζονται στην δυσκολία τηςπαραγοντοποίησης μεγάλων αριθμών. Πιστεύεται ότι σήμεραείναι υπολογιστικά ανέφικτη η ανάλυση μεγάλων αριθμών σεπαράγοντες πρώτων αριθμών.

∙ Με τον αλγόριθμο του Peter Shor (1994) ένας κβαντικόςυπολογιστής θα μπορούσε να λύσει αυτό το πρόβλημααποτελεσματικά (δηλαδή πολυωνυμικά), με ότι αυτό συνεπάγεταιγια το ηλεκτρονικό απόρρητο και στην ασφάλεια.

21

ο αλγόριθµος του grover

∙ Ας υποθέσουμε ότι έχουμε έναν αταξινόμητο πίνακα n στοιχείωνκαι ότι θέλουμε να βρούμε ένα συγκεκριμένο στοιχείο.

∙ Για να εντοπίσουν το συγκεκριμένο στοιχείο, οι γνωστοί κλασικοίαλγόριθμοι χρειάζονται στη χειρότερη περίπτωση n βήματα καιn/2 βήματα κατά μέσο όρο.

∙ Ο Grover το 1997 παρουσίασε έναν κβαντικό αλγόριθμο(”Quantum mechanics helps in searching for a needle in ahaystack”) που λύνει το πρόβλημα σε

√n βήματα.

22

κβαντική κρυπτογραϕία

∙ Η Alice επιθυμεί να επικοινωνήσει με ασφάλεια με τον Bob, ενώ ηEve προσπαθεί να κρυφακούσει.

∙ Ας υποθέσουμε ότι η Alice χρησιμοποιεί qubits αντί για bits.∙ Ακόμη και αν η Eve καταφέρει να υποκλέψει το μήνυμα, δενμπορεί να αποθηκεύσει αντίγραφα. Αυτό οφείλεται στοεκπληκτικό θεώρημα της μη κλωνοποίησης (no-cloningtheorem).

∙ Για να διαβάσει τα qubits η Eve, έχει επέμβει με την πράξη τηςμέτρησης δραστικά στο μήνυμα. Αυτή η επέμβαση μπορεί ναγίνει αντιληπτή από την Alice και τον Bob, οι οποίοικαταλαβαίνουν την παρουσία της Eve.

23

θεώρηµα µη κλωνοποίησης (no-cloning theorem)

∙ Έστω ότι υπάρχει τρόπος να κλωνοποιήσουμε μια κβαντικήκατάσταση μέσω ενός τελεστή C.

∙ Αν εφαρμόσουμε τον C στην κατάσταση |x⟩+|y⟩√2 ⊗ |0⟩, θα

προκύψει η κατάσταση |x⟩+|y⟩√2 ⊗ |x⟩+|y⟩√

2 .∙ Οι τελεστές που δρουν στα κβαντικά συστήματα είναι γραμμικοί.Αυτό σημαίνει αν γράψουμε την αρχική κατάσταση ως(|x⟩⊗|0⟩)+(|y⟩⊗|0⟩)√

2 και μετά δράσουμε με τον C, η νέα κατάστασηπου θα είναι η (|x⟩⊗|x⟩)+(|y⟩⊗|y⟩)√

2 .

∙ Προφανώς |x⟩+|y⟩√2 ⊗ |x⟩+|y⟩√

2 = (|x⟩⊗|x⟩)+(|y⟩⊗|y⟩)√2 και άρα δεν μπορεί

να υπάρξει ένας τελεστής κλωνοποίησης.∙ Αυτό που επιτρέπεται είναι η (τηλε)μεταφορά.

24

d-wave

∙ Η D-Wave Systems είναι η πρώτη εταιρεία που κατασκεύασεεμπορικούς κβαντικούς υπολογιστές.

∙ Ο D-Wave One (Μάιος 2011) ήταν ο πρώτος εμπορικά διαθέσιμοςκβαντικός υπολογιστής και βασιζόταν σε έναν επεξεργαστή128-qubit.

∙ Ο D-Wave Two (Vesuvius) παρουσιάστηκε το 2013, ήταν οδεύτερος εμπορικά διαθέσιμος κβαντικός υπολογιστής καιβασιζόταν σε έναν επεξεργαστή 512-qubit.

∙ Ο D-Wave 2X παρουσιάστηκε τον Αύγουστο του 2015 καιχρησιμοποιεί έναν κβαντικό επεξεργαστή 1000+ qubits.

∙ Πρόκειται για υπολογιστή ειδικού σκοπού που σύμφωνα με τιςμετρήσεις της εταιρείας για συγκεκριμένες κατηγορίεςπροβλημάτων υπερέχει των κλασικών υπολογιστών.

∙ Ο D-Wave μέχρι σήμερα είναι αμφιλεγόμενος, καθώς αρκετοίερευνητές από τον ακαδημαϊκό χώρο αμφισβητούν τουςισχυρισμούς της εταιρείας.

25

επίλογος

γιατί κέρδισε ο q το παιχνίδι

∙ Η κατάσταση του νομίσματος μπορεί να παρασταθεί με ένα ketαπό το δισδιάστατο χώρο Hilbert H2.

∙ Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι η κατάσταση που αντιστοιχεί στηθέση ”κεφάλι” είναι αυτή που φαίνεται παρακάτω:

|H⟩ = |0⟩ =[10

]. (5)

∙ Οι επιλογές του Captain Picard αντανακλούν το κλασικό πεδίοκαι είναι μόνο δύο: είτε θα αφήσει το νόμισμα ως έχει (επιλογήI2) είτε θα το αναποδογυρίσει (επιλογή F). Οι επιλογές αυτέςμπορούν να παρασταθούν από τους ακόλουθους δύο πίνακες:

I2 =[1 00 1

], F =

[0 11 0

]. (6)

27


∙ O Q, σε αντιδιαστολή με τον Picard, έχει την ευχέρεια να παίξει σεκβαντικό επίπεδο και, άρα, έχει περισσότερες επιλογές. Η επιλογήτου είναι να δράσει και τις δύο φορές πάνω στο νόμισμα μέσωτου μοναδιαίου (unitary) τελεστή Hadamard που περιγράφεταιαπό τον πίνακα Hadamard U:

U =1√2

[1 11 −1

]. (7)

∙ Αν ο Captain Picard επιλέξει να αφήσει το νόμισμα ως έχει(επιλογή I2), τότε η τελική κατάσταση του νομίσματος θα είναι:

UI2U |H⟩ = U(I2(U |H⟩)) = |H⟩ . (8)

28


∙ Αν ο Captain Picard επιλέξει να αναποδογυρίσει το νόμισμα(επιλογή F), τότε η τελική κατάσταση του νομίσματος θα είναι:

UFU |H⟩ = U(F(U |H⟩)) = |H⟩ . (9)

∙ Η επαλήθευση γίνεται εύκολα, κάνοντας τους αντίστοιχουςπολλαπλασιασμούς πινάκων.

∙ Το συμπέρασμα είναι ότι ο Picard με κλασική στρατηγική δεν θανικήσει ποτέ τον Q που χρησιμοποιεί κβαντική στρατηγική.

29

Ερωτήσεις;

30

Κβαντικοί Υπολογιστές

Education

Transcript of Κβαντικοί Υπολογιστές