Κβαντικοί υπολογιστές

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ∆ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Μεταπτυχιακή ∆ιπλωµατική Εργασία

Κβαντικοί Αλγόριθµοι – Κβαντικοί Υπολογιστές

Μεταπτυχιακό Εφαρµοσµένης Πληροφορικής

Εξειδίκευση: Συστήµατα Υπολογιστών

Κουρτελής Αλέξιος

Επιβλέπων:

Παπαρρίζος Κωνσταντίνος, Καθηγητής, Τµήµα Εφαρµοσµένης Πληροφορικής

Εξεταστές: Παπαρρίζος Κωνσταντίνος, Καθηγητής

Σαµαράς Νικόλαος, Επίκουρος Καθηγητής

Θεσσαλονίκη, Νοέµβριος 2008

iii

Περίληψη

Στην παρούσα διπλωµατική εργασία παρουσιάζονται θέµατα που αφορούν τους κβαντικούς υπολογιστές, µε απλό και κατανοητό τρόπο. Συγκεκριµένα, παρουσιάζονται τα κβαντικά bit (qubit), οι κβαντικοί καταχωρητές, οι κβαντικές πύλες, οι κβαντικοί υπολογισµοί και οι τρεις κυριότεροι κβαντικοί αλγόριθµοι (Deutsch, Grover και Shor). Όλα τα θέµατα εξηγούνται αναλυτικά µε τη χρήση πολλών παραδειγµάτων. Τέλος, γίνεται αναφορά στις κυριότερες τεχνολογίες που δοκιµάζονται για την κατασκευή των κβαντικών υπολογιστών.

v

Abstract

In this thesis, subjects that deal with quantum computers are presented in a simple and comprehensible manner. More specifically, subjects, such as the quantum bits (qubits), the quantum registers, the quantum gates, the quantum computation and the three famous quantum algorithms (Deutsch, Grover and Shor), are presented. All the subjects are explained analytically using many examples. Finally, readers will be informed about the major technologies that are experimented for the manufacture of quantum computers (physical implementation).

vii

Ευχαριστίες

Καταρχήν, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή µου, κύριο Παπαρρίζο Κωνσταντίνο, ο οποίος µου παρείχε την άρτια επιστηµονική καθοδήγηση για την ολοκλήρωση της παρούσας διπλωµατικής εργασίας. Τους καθηγητές µου στο Τµήµα Εφαρµοσµένης Πληροφορικής, τους καθηγητές µου στο Μεταπτυχιακό της Εφαρµοσµένης Πληροφορικής, και ιδιαιτέρως τον κύριο Σαµαρά Νικόλαο για τη συνεισφορά του ως µέλος της εξεταστικής επιτροπής. Τους γονείς µου, Χρήστο και Αλεξάνδρα, και τον αδερφό µου Βίκτωρα, για την κάθε είδους βοήθεια τόσο κατά τη διάρκεια των σπουδών µου, όσο και κατά την εκπόνηση της διπλωµατικής µου.

ix

Περιεχόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 – ΕΙΣΑΓΩΓΗ......................................................................................1 ΜΕΡΟΣ Α΄....................................................................................................................7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

2.1 Εισαγωγή ............................................................................................................. 9 2.2 Η ακτινοβολία του µέλανος σώµατος................................................................ 10 2.3 Το φωτοηλεκτρικό φαινόµενο ........................................................................... 14 2.4 Φαινόµενο Compton (Κόµπτον)........................................................................ 18

2.4.1 Οι ακτίνες X................................................................................................ 18 2.4.2 Η σκέδαση Compton .................................................................................. 19

2.5 Η κυµατική φύση της ύλης ................................................................................ 20 2.6 Η διπλή υπόσταση της ύλης .............................................................................. 23 2.7 Η αρχή της αβεβαιότητας .................................................................................. 24 2.8 Κυµατοσυνάρτηση και εξίσωση Schrödinger (Σρέντινγκερ)............................ 28 Παράρτηµα κεφαλαίου - Τα τέσσερα αξιώµατα της Κβαντοµηχανικής ................. 31 Σύνοψη 2ου κεφαλαίου............................................................................................. 33 Βιβλιογραφία 2ου κεφαλαίου ................................................................................... 34

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - ΚΒΑΝΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ∆ΥΟ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ

3.1 Το κβαντικό κέρµα .............................................................................................. 35 3.2 ∆ιανύσµατα Bra και Ket ...................................................................................... 41

3.2.1 ∆ιανύσµατα Ket.......................................................................................... 42 3.2.2 ∆ιανύσµατα Bra.......................................................................................... 43

3.3 Εσωτερικό και εξωτερικό γινόµενο...................................................................... 44 3.3.1 Εσωτερικό γινόµενο ................................................................................... 45 3.3.2 Εξωτερικό γινόµενο.................................................................................... 47

3.4 Τελεστές αλλαγής της κατάστασης ενός κλασικού κέρµατος................................ 48 3.5 Τελεστές αλλαγής της κατάστασης ενός κβαντικού κέρµατος .............................. 50 3.6 Πώς κέρδισε ο Quant το κβαντικό παιχνίδι .......................................................... 54 Bιβλιογραφία 3ου κεφαλαίου ................................................................................... 59

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 - ΚΒΑΝΤΙΚΑ BIT ΚΑΙ ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ

4.1 Το κβαντικό bit ..................................................................................................60 4.2 Αναπαράσταση του qubit - Σφαίρα Bloch......................................................... 63 4.3 Μέτρηση ενός qubit........................................................................................... 67 4.4 Ο κβαντικός καταχωρητής................................................................................. 68

4.4.1 Kβαντικός καταχωρητής µε δύο qubits ...................................................... 69 4.4.2 Kβαντικός καταχωρητής µε τρία qubits ..................................................... 74 4.4.3 Kβαντικός καταχωρητής µε n qubits.......................................................... 77

4.5 Μέτρηση ενός κβαντικού καταχωρητή ............................................................. 78 Βιβλιογραφία 4ου κεφαλαίου ................................................................................... 79

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 - ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ

5.1 Τι είναι οι κβαντικές πύλες ................................................................................. 81 5.2 Κβαντικές πύλες που δρουν σε ένα qubit .......................................................... 83

5.2.1 Η κβαντική πύλη αδρανείας (Ι) .................................................................. 84 5.2.2 Η κβαντική πύλη µετατόπισης φάσης (Φ)..................................................85

x

5.2.3 H κβαντική πύλη Hadamard (Η) ................................................................ 87 5.2.4 Η κβαντική πύλη (ΝΟΤ) ............................................................................. 90

5.3 Κβαντικές πύλες που δρουν σε δύο qubits .......................................................... 91 5.3.1 Η κβαντική πύλη ελεγχόµενου ΟΧΙ (CNOT)............................................. 91 5.3.2 Η κβαντική πύλη ελεγχόµενης µετατόπισης φάσης (CΦ).......................... 94 5.3.3 Η κβαντική πύλη εναλλαγής (SWAP)........................................................ 96

5.4 Κβαντικές πύλες που δρουν σε τρία qubits ......................................................... 97 5.4.1 Η κβαντική πύλη διπλά ελεγχόµενου ΟΧΙ (CCNOT) ................................ 97 5.4.2 Η κβαντική πύλη Fredkin (F) ................................................................... 100

5.5 Κβαντικό κύκλωµα για υπολογισµό συνάρτησης.............................................. 103 5.6 Πίνακες Pauli.................................................................................................... 104 5.7 H αδυναµία αντιγραφής ενός άγνωστου qubit..................................................106 5.8 Κβαντική τηλεµεταφορά (quantum teleportation)............................................. 109 Σύνοψη 5ου κεφαλαίου........................................................................................... 110 Βιβλιογραφία 5ου κεφαλαίου ................................................................................. 111

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 - ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ

6.1 Το κυκλωµατικό µοντέλο των κβαντικών υπολογισµών ................................ 113 6.1.1 Εισαγωγή .................................................................................................. 113 6.1.2 Παράδειγµα............................................................................................... 114 6.1.3 Πλεονεκτήµατα κυκλωµατικού µοντέλου ................................................ 116 6.1.4 Μειονεκτήµατα κυκλωµατικού µοντέλου ................................................ 116

6.2 Ένας αναλυτικός κβαντικός υπολογισµός ....................................................... 117 6.3 Κβαντικοί υπολογισµοί (γενική περίπτωση) ................................................... 126

6.3.1 Γενική περίπτωση ..................................................................................... 126 6.3.2 Παράδειγµα............................................................................................... 128

Σύνοψη 6ου κεφαλαίου........................................................................................... 132 Βιβλιογραφία 6ου κεφαλαίου ................................................................................. 133

ΜΕΡΟΣ Β΄................................................................................................................134 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 - Ο ΚΒΑΝΤΙΚΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΟΥ DEUTSCH

7.1 Εισαγωγή ......................................................................................................... 136 7.2 Βήµατα του αλγορίθµου .................................................................................. 138 7.3 Ερµηνεία του αλγορίθµου ............................................................................... 139 7.4 Παράδειγµα......................................................................................................143 Βιβλιογραφία 7ου κεφαλαίου ................................................................................. 145

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 - Ο ΚΒΑΝΤΙΚΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΟΥ GROVER

8.1 Αναζήτηση σε µη δοµηµένες βάσεις δεδοµένων............................................. 146 8.2 Ο κβαντικός αλγόριθµος του Grover............................................................... 148

8.2.1 ∆ράση του κβαντικού oracle .................................................................... 150 8.2.2 Τελεστής του κβαντικού oracle ................................................................ 153 8.2.3 Τελεστής G του Grover ............................................................................ 154 8.2.4 Περιγραφή του αλγορίθµου...................................................................... 154 8.2.5 Βήµατα του αλγορίθµου ........................................................................... 156

8.2.6 Το κβαντικό κύκλωµα του αλγορίθµου του Grover...................................157 8.3 Γεωµετρικές ερµηνείες του κβαντικού αλγορίθµου του Grover ..................... 158

1η γεωµετρική ερµηνεία.................................................................................... 158 2η γεωµετρική ερµηνεία (σχηµατική)............................................................... 161

8.4 Σηµαντικές παρατηρήσεις .............................................................................. 164

xi

8.5 Ένα παράδειγµα............................................................................................. 165 Bιβλιογραφία 8ου κεφαλαίου ................................................................................. 168

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 - Ο ΚΒΑΝΤΙΚΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΤΟΥ SHOR

9.1 Η κβαντική διεµπλοκή..................................................................................... 170 9.1.1 Εισαγωγή .................................................................................................. 170 9.1.2 ∆ιαφορά µεταξύ υπέρθεσης και διεµπλοκής ............................................ 173 9.1.3 Παραγωγή κβαντικής διεµπλοκής ............................................................ 174

9.2 Ο κβαντικός µετασχηµατισµός Fourier ........................................................... 178 9.3 Το κρυπτογραφικό σύστηµα RSA................................................................... 182

9.3.1 Εισαγωγή .................................................................................................. 182 9.3.2 Ένας κλασικός αλγόριθµος παραγοντοποίησης ....................................... 183

9.4 Περιγραφή του κβαντικού αλγορίθµου του Shor ............................................ 194 9.5 Τα βήµατα του κβαντικού αλγορίθµου του Shor ............................................ 197 9.6 Τα βήµατα του κβαντικού αλγορίθµου του Shor (συνοπτικά) ........................201 9.7 Τo κβαντικό κύκλωµα του αλγορίθµου............................................................202 9.8 Πολυπλοκότητα αλγορίθµου ........................................................................... 203 9.9 Παραλλαγή του κβαντικού αλγορίθµου του Shor ........................................... 204

9.9.1 Κλασικό µέρος αλγορίθµου...................................................................... 204 9.9.2 Κβαντικό µέρος αλγορίθµου (υπολογισµός της περιόδου r).................... 205 9.9.3 Ψευδοκώδικας ......................................................................................... 209 9.9.4 Συνδυασµός των 2 µεθόδων .................................................................... 210 9.9.5 Συνεχόµενη επέκταση κλάσµατος (continued fraction expansion).......... 212 9.9.4 Εύρεση της περιόδου r.............................................................................. 213

9.10 Παραλλαγή No2 του κβαντικού αλγορίθµου του Shor ................................. 218 9.11 Παράδειγµα 1ο............................................................................................... 219 9.12 Παράδειγµα 2ο............................................................................................... 223 Βιβλιογραφία 9ου κεφαλαίου ................................................................................. 227

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 - ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ

10.1 Εισαγωγή – Ιστορικά στοιχεία ...................................................................... 230 10.2 Ιδιαίτερα χαρακτηριστικά κβαντικών υπολογιστών...................................... 235 10.3 Κριτήρια DiVincenzo .................................................................................... 237 10.4 Υλοποίηση κβαντικών υπολογιστών (physical implementation).................. 238 Βιβλιογραφία 10ου κεφαλαίου ............................................................................... 241

ΕΠΙΛΟΓΟΣ – ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ.......................................................................243 Παράρτηµα Α - Ένα κβαντικό παιχνίδι......................................................................246 Παράρτηµα Β - Πίνακες.............................................................................................248 Παράρτηµα Γ - Ο χώρος Hilbert................................................................................254 Παράρτηµα ∆ - Πράξεις µε ie π ..................................................................................259 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ......................................................................................................263

1

Κεφάλαιο 1

Εισαγωγή

Στις αρχές της δεκαετίας του 80 ο Richard Feynman δηµοσίευσε µια εργασία στην

οποία αποδείκνυε ότι υπάρχουν φαινόµενα στον χώρο της κβαντικής µηχανικής τα

οποία δεν µπορούν να εξοµοιωθούν πλήρως σε ένα κλασικό υπολογιστικό σύστηµα.

Το αποτέλεσµα αυτό προέκυψε εν τέλει φυσιολογικά, αν αναλογιστούµε το γεγονός

ότι τα αντικείµενα που υπεισέρχονται στην µελέτη της κβαντικής µηχανικής

λειτουργούν πολλές φορές πέρα από την προσδοκώµενη συµπεριφορά τους (µε βάση

την διαίσθησή µας, η οποία και αυτή µε την σειρά της ακολουθεί την λογική της

κλασικής µηχανικής). Είναι πια κοινή αντίληψη ότι η κβαντική θεωρία είναι καθολική,

δηλαδή οι νόµοι της ερµηνεύουν την λειτουργία του σύµπαντος, µε την κλασική

µηχανική να περιορίζεται στην ερµηνεία των αντικειµένων που βλέπουµε γύρω µας.

Το γεγονός αυτό, γέννησε νέα ερωτήµατα: Μήπως η εξοµοίωση των κβαντικών

φαινοµένων µπορεί να πραγµατοποιηθεί σε υπολογιστικά συστήµατα τα οποία θα

βασίζουν την λειτουργία τους στους νόµους της κβαντικής µηχανικής; Αυτά τα

υπολογιστικά συστήµατα (τα οποία και θα αποκαλούµε στο εξής κβαντικούς

υπολογιστές), µήπως µε την σειρά τους θα µπορούσαν να εξοµοιώσουν την λειτουργία

των κλασικών υπολογιστών και, ακόµα περισσότερο, µήπως θα ήταν πολύ πιο ισχυρά

από αυτούς;

Η κατασκευή κβαντικών υπολογιστών ή τουλάχιστον αλγορίθµων οι οποίοι θα

πραγµατοποιούνταν µε την χρήση ενός κβαντικού υπολογιστή, αποδείχτηκε τελικά

δύσκολη υπόθεση στα χρόνια που ακολούθησαν µετά την δηµοσίευση του Feynman.

Η εξέλιξη της κβαντικής πληροφορικής υπήρξε εξαιρετικά αργή µέχρι το 1994, οπότε

και ο Peter Shor δηµοσίευσε µια εργασία η οποία έµελλε να δώσει σηµαντική ώθηση

στο νέο αυτό κλάδο της πληροφορικής. Στην εργασία αυτή ο Shor περίγραψε έναν

κβαντικό αλγόριθµο πολυωνυµικής πολυπλοκότητας για την παραγοντοποίηση

ακεραίων αριθµών, δίνοντας "λύση" σε ένα πρόβληµα το οποίο θεωρούταν από τους

περισσότερους αδύνατο να λυθεί αποτελεσµατικά µε χρήση κλασικών µεθόδων. Η

εργασία αυτή προκάλεσε το ενδιαφέρον της επιστηµονικής κοινότητας και έδωσε έναν

αυτόνοµο χαρακτήρα στην κβαντική πληροφορική. Λίγα χρόνια νωρίτερα, είχε ήδη

2

αποδειχθεί ότι οποιοσδήποτε κλασσικός αλγόριθµος θα µπορούσε να λειτουργήσει σε

έναν κβαντικό υπολογιστή. Ο Shor λοιπόν απέδειξε ότι, αν είχαµε την δυνατότητα να

κατασκευάσουµε έναν κβαντικό υπολογιστικό σύστηµα, αυτό θα µπορούσε να ήταν

γνήσια ισχυρότερο από οποιοδήποτε κλασικό υπολογιστή, µε δεδοµένο ότι δεν

γνωρίζουµε αν υπάρχει κλασικός πολυωνυµικός αλγόριθµος για την

παραγοντοποίηση. Το γεγονός αυτό έχει από µόνο του τεράστιο ενδιαφέρον,

προκαλώντας έτσι έντονη δραστηριότητα προς την κατεύθυνση της δηµιουργίας ενός

κβαντικού υπολογιστή, µε τα πρώτα αποτελέσµατα να έχουν κάνει ήδη την εµφάνιση

τους έστω και σε εµβρυακό στάδιο (έχει κατασκευαστεί ο πρώτος 10 - bit κβαντικός

υπολογιστής, που λειτουργεί κάνοντας χρήση του κβαντικού περιβάλλοντος).

Η ισχύς ενός κβαντικού υπολογιστικού συστήµατος έγκειται κυρίως στο γεγονός ότι

µπορεί να πραγµατοποιήσει "παράλληλους" υπολογισµούς, χωρίς αυτό να προκαλεί

εκθετική αύξηση του απαιτούµενου χώρου (όπως συµβαίνει στην κλασική

περίπτωση). Τούτο οφείλεται στο γεγονός ότι ο χώρος καταστάσεων ενός κβαντικού

συστήµατος είναι ριζικά διαφορετικός από την κλασική περίπτωση. Ένας κβαντικός

υπολογιστής αποτελείται από n qubits, τα οποία περιγράφονται σαν ένα

ορθοµοναδιαίο διάνυσµα σε έναν διανυσµατικό χώρο διάστασης n2 . Το φαινόµενο

της υπέρθεσης καταστάσεων σε έναν τέτοιο χώρο προκαλεί την εκθετική αύξηση στο

πλήθος των υπολογισµών που µπορούν να πραγµατοποιηθούν σε δεδοµένο χρόνο.

Παρόλο όµως που ένα κβαντικό σύστηµα µπορεί να πραγµατοποιήσει πολλούς

υπολογισµούς ταυτόχρονα, η πρόσβαση στα αποτελέσµατα αυτών των υπολογισµών

δέχεται αυστηρούς περιορισµούς, οι οποίοι πηγάζουν από τα θεµελιώδη αξιώµατα της

κβαντικής µηχανικής. Για να τα διαχειριστεί κάποιος, θα πρέπει να επέµβει στην

κατάσταση του κβαντικού συστήµατος µέσω της παρατήρησης, γεγονός το οποίο µε

την σειρά του προκαλεί την προβολή αυτής της κατάστασης σε κάποιο από τα

διανύσµατα βάσης του χώρου καταστάσεων µέσω της κατανοµής πιθανότητας µιας

διακριτής τυχαίας µεταβλητής. Οι τιµές αυτής της µεταβλητής αντιστοιχούν στα

αποτελέσµατα των υπολογισµών που πραγµατοποιούνται από έναν κβαντικό

υπολογιστή. Όχι µόνο λοιπόν δεν µπορούµε να δούµε παρά ένα αποτέλεσµα κάθε

φορά, αλλά και αυτό το αποτέλεσµα δεν µπορούµε καν να το προβλέψουµε πλήρως.

[Ραµπ04, σελ.5-7]

3

Όπως γίνεται αντιληπτό, οι κβαντικοί υπολογιστές διαφέρουν σε βασικά σηµεία από

τους αντίστοιχους κλασικούς υπολογιστές. Η παρούσα εργασία προσπαθεί να

ξεκαθαρίσει το τοπίο.

∆οµή της εργασίας

Η δοµή της εργασίας είναι η εξής:

Αποτελείται από δύο µέρη:

Το Α µέρος (κεφάλαια 2, 3, 4, 5 και 6) ασχολείται µε βασικά στοιχεία που πρέπει να

γνωρίζει κανείς για να κατανοήσει τους κβαντικούς αλγορίθµους.

Το Β µέρος (κεφάλαια 7, 8, 9 και 10) ασχολείται µε τους τρεις κυριότερους

κβαντικούς αλγορίθµους (Deutsch, Grover και Shor) και µε τους κβαντικούς

υπολογιστές.

Συγκεκριµένα:

Στο κεφάλαιο 2 αναφέρουµε τα βασικά στοιχεία της κβαντικής θεωρίας. Αν και είναι

ενδιαφέρον κεφάλαιο, µπορεί να παραληφθεί χωρίς να δηµιουργηθούν προβλήµατα

στην κατανόηση της υπόλοιπης εργασίας.

Το κεφάλαιο 3 είναι αφιερωµένο στα κβαντικά συστήµατα δύο καταστάσεων. Είναι

µια πολύ απλή εισαγωγή στα χαρακτηριστικά των κβαντικών συστηµάτων.

Το κεφάλαιο 4 εξηγεί τα κβαντικά bits και τους κβαντικούς καταχωρητές.

Το κεφάλαιο 5 παρουσιάζει τις κβαντικές πύλες, το θεώρηµα µη αντιγραφής (no-

cloning thorem) και συνοπτικά την κβαντική τηλεµεταφορά.

Το κεφάλαιο 6 εξηγεί τον τρόπο µε τον οποίο πραγµατοποιούµε υπολογισµούς σε έναν

κβαντικό υπολογιστή.

4

Το κεφάλαιο 7 περιγράφει τον αλγόριθµο του Deutsh.

Το κεφάλαιο 8 περιγράφει τον αλγόριθµο του Grover, ο οποίος µπορεί να

πραγµατοποιήσει αναζήτηση σε µια µη ταξινοµηµένη βάση δεδοµένων, καλύτερα από

κάθε κλασικό αλγόριθµο.

Το κεφάλαιο 9 περιγράφει τον διάσηµο αλγόριθµο του Shor, για την παραγοντοποίηση

µεγάλων ακεραίων (πολυωνυµική πολυπλοκότητα).

Τέλος, το κεφάλαιο 10 αναφέρεται στα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά των κβαντικών

υπολογιστών και στις πειραµατικές προτάσεις που δοκιµάζονται για την υλοποίηση

(κατασκευή) των κβαντικών υπολογιστών.

Ακολουθούν τα συµπεράσµατα, τα τέσσερα παραρτήµατα και η βιβλιογραφία της

εργασίας.

Σκοπός της εργασίας

Ο σκοπός της εργασίας είναι να περιγράψει µε απλό και κατανοητό τρόπο τα θέµατα

που αφορούν τους κβαντικούς υπολογιστές. Για να το πετύχει αυτό, είναι αρκετά

αναλυτική και χρησιµοποιεί πολλά παραδείγµατα.

Μεθοδολογία

Χρησιµοποιήθηκε η µέθοδος της βιβλιογραφικής έρευνας (συλλογή δευτερογενών

στοιχείων). Μελετήθηκαν βιβλία (από τις βιβλιοθήκες του Πανεπιστηµίου

Μακεδονίας και του Αριστοτελείου Πανεπιστηµίου), άρθρα και πηγές από το

∆ιαδίκτυο.

5

Περιορισµοί της εργασίας

Απευθύνεται κυρίως σε φοιτητές πληροφορικής ή θετικών επιστηµών γενικότερα.

Ωστόσο, έγινε προσπάθεια να είναι κατανοητή και προσιτή σε οποιονδήποτε

ενδιαφέρεται πραγµατικά για τους κβαντικούς υπολογιστές.

Όλα τα θέµατα εξετάζονται από τη σκοπιά της πληροφορικής και όχι από την πλευρά

της φυσικής.

Υπάρχουν κάποια θέµατα που δεν καλύφτηκαν, όπως η κβαντική κρυπτογραφία.

Τα θέµατα καλύφτηκαν µέχρι ένα ορισµένο βάθος.

Σηµείωση: Στους αναγνώστες που δυσκολεύονται µε το µαθηµατικό υπόβαθρο της

εργασίας ή γενικότερα των κβαντικών υπολογιστών προτείνεται να διαβάσουν το 3ο

κεφάλαιο (Chapter 3 Mathematics for Quantum Computing) του Riley [Ril06], το

οποίο µπορούν να κατεβάσουν δωρεάν από την παρακάτω διεύθυνση

(http://www.toqc.com/TOQCv1_1.pdf).

7

Μέρος Α΄

Το Α΄ µέρος (κεφάλαια 2, 3, 4, 5 και 6) ασχολείται µε βασικά στοιχεία που πρέπει να

γνωρίζει κανείς για να κατανοήσει τους κβαντικούς αλγορίθµους.

Συγκεκριµένα:

Στο κεφάλαιο 2 αναφέρουµε τα βασικά στοιχεία της κβαντικής θεωρίας. Αν και είναι

ενδιαφέρον κεφάλαιο, µπορεί να παραληφθεί χωρίς να δηµιουργηθούν προβλήµατα

στην κατανόηση της υπόλοιπης εργασίας.

Το κεφάλαιο 3 είναι αφιερωµένο στα κβαντικά συστήµατα δύο καταστάσεων. Είναι

µια πολύ απλή εισαγωγή στα χαρακτηριστικά των κβαντικών συστηµάτων.

Το κεφάλαιο 4 εξηγεί τα κβαντικά bits και τους κβαντικούς καταχωρητές.

Το κεφάλαιο 5 παρουσιάζει τις κβαντικές πύλες, το θεώρηµα µη αντιγραφής (no-

cloning thorem) και συνοπτικά την κβαντική τηλεµεταφορά.

Το κεφάλαιο 6 εξηγεί τον τρόπο µε τον οποίο πραγµατοποιούµε υπολογισµούς σε έναν

κβαντικό υπολογιστή.

9

Κεφάλαιο 2

Στοιχεία κβαντοµηχανικής

Ο αναγνώστης µπορεί να παραλείψει το κεφάλαιο αυτό και να µεταβεί κατευθείαν στο

κεφάλαιο 3.

2.1 Εισαγωγή

Ο Maxwell, µε την ενοποιηµένη θεωρία του για τον ηλεκτροµαγνητισµό (1864), είχε

προβλέψει την ύπαρξη των ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων ως µηχανισµού διάδοσης της

ενέργειας του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου στο χώρο. Αρκετά χρόνια αργότερα, το

1886, και ενώ ο Maxwell είχε πεθάνει, ο Γερµανός Heinrich Hertz παρήγαγε

ηλεκτροµαγνητικά κύµατα µε ταλαντούµενα ηλεκτρικά δίπολα και απέδειξε ότι

αυτά διαδίδονται στο χώρο µε την ταχύτητα του φωτός. Είχε ανοίξει ο δρόµος για τη

διερεύνηση της αλληλεπίδρασης ακτινοβολίας και ύλης. Ένα ηλεκτροµαγνητικό κύµα

µπορούσε να µεταφέρει ενέργεια σε ένα άτοµο θέτοντας το σε εξαναγκασµένη

ταλάντωση και, αντίστροφα, ένα ταλαντούµενο άτοµο, παρήγαγε ένα

ηλεκτροµαγνητικό κύµα.

Η κλασική θεωρία προβλέπει ότι η ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία µπορεί να

µεταφέρει οποιοδήποτε ποσό ενέργειας, ανάλογα µε τη συχνότητα της. Εντούτοις, µια

σειρά από φαινόµενα, όπως η ακτινοβολία του µέλανος σώµατος, το

φωτοηλεκτρικό φαινόµενο, τα γραµµικά φάσµατα εκποµπής και το φαινόµενο της

σκέδασης των ακτίνων Χ (φαινόµενο Compton), δεν µπορούσαν να ερµηνευτούν µε

την κλασική θεωρία.

Το 1900 ο Max Planck κάνει την πολύ ριζοσπαστική υπόθεση ότι η ενέργεια

εκπέµπεται ή απορροφάται από ένα αντικείµενο κατά διακριτές ποσότητες (κατά

κβάντα) ή, πιο απλά, κατά µικρά πακέτα. Η συνολική ενέργεια λοιπόν δεν µπορεί παρά

να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του κβάντου ενέργειας. Η υπόθεση αυτή αποδείχθηκε

επιτυχής στην αντιµετώπιση των αδιεξόδων στα οποία είχε οδηγηθεί η κλασική

θεωρία.

10

∆εν είναι η πρώτη φορά που εµφανίζεται η κβάντωση ενός µεγέθους. Για παράδειγµα,

το ηλεκτρικό φορτίο είναι κβαντισµένο µέγεθος µε κβάντο το φορτίο του ηλεκτρονίου.

Οποιαδήποτε ποσότητα φορτίου είναι πάντα ακέραιο πολλαπλάσιο του φορτίου του

ηλεκτρονίου.

Εικόνα 2.1 Max Planck (1858-1947).

Γερµανός, θεµελιωτής της κβαντικής θεωρίας. Νόµπελ Φυσικής 1918. Η ζωή του σηµαδεύτηκε από το θάνατο των τεσσάρων παιδιών του στη διάρκεια των δύο παγκοσµίων πολέµων. Αν και ανοιχτά αντίθετος στο ναζιστικό καθεστώς παρέµεινε στη Γερµανία γεγονός που του στοίχισε σε διώξεις µέχρι το τέλος του Β΄ παγκοσµίου πολέµου. Πηγή: [Χηµ05]

Η υπόθεση του Planck ήταν το θεµέλιο µιας νέας θεωρίας, της κβαντικής θεωρίας.

Η κβαντική θεωρία προβλέπει κβάντωση και άλλων µεγέθη όπως η ορµή και η

στροφορµή.

Η κβαντική θεωρία ερµηνεύει φαινόµενα σε ατοµικό επίπεδο τα οποία αδυνατεί να

ερµηνεύσει η κλασική θεωρία. Όταν εξετάζουµε φαινόµενα του µακρόκοσµου η

κβάντωση των µεγεθών γίνεται δυσδιάκριτη και τα συµπεράσµατα της κβαντικής

θεωρίας ταυτίζονται µε αυτά της κλασικής. [Φυσ05]

2.2 Η ακτινοβολία του µέλανος σώµατος

Ένα οποιοδήποτε σώµα δε φαίνεται στο σκοτάδι ενώ αν το φωτίσουµε το βλέπουµε.

Αυτό συµβαίνει γιατί όλο ή ένα µέρος από το φως που πέφτει στο σώµα

επανεκπέµπεται (διαχέεται) στο περιβάλλον µε αποτέλεσµα κάποιες από τις

επανεκπεµπόµενες φωτεινές ακτίνες να φτάνουν στα µάτια µας. Με βάση αυτή τη

διαδικασία καθορίζεται και το χρώµα που αποδίδουµε στο σώµα. Πιο

συγκεκριµένα, αν φωτίσουµε ένα σώµα µε λευκό φως εν γένει απορροφά κάποια µήκη

κύµατος ενώ άλλα τα επανεκπέµπει. Από τα επανεκπεµπόµενα µήκη κύµατος

καθορίζεται το χρώµα του σώµατος που βλέπουµε.

11

Στην ειδική περίπτωση που επανεκπέµπονται όλα τα µήκη κύµατος του λευκού φωτός

το σώµα φαίνεται λευκό. Στην αντίθετη περίπτωση, δηλαδή όταν το σώµα απορροφά

όλα τα µήκη κύµατος, φαίνεται µαύρο.

Μέλαν σώµα στη φυσική θεωρείται το σώµα που απορροφά την

ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία που προσπίπτει σ' αυτό, σε όλο το φάσµα της

(όλες τις συχνότητες).

Στην πράξη, µέλαν σώµα µπορεί να θεωρηθεί ένα οποιοδήποτε αντικείµενο µε

αιθαλωµένη την επιφάνεια του.

Κάθε σώµα σε οποιαδήποτε θερµοκρασία κι αν βρίσκεται εκπέµπει ενέργεια µε µορφή

ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας. Η ακτινοβολία αυτή ονοµάζεται θερµική

ακτινοβολία.

Το µέγεθος που εκφράζει την ενέργεια που εκπέµπεται από τη µονάδα της επιφανείας

ενός σώµατος στη µονάδα του χρόνου ονοµάζεται ένταση της ακτινοβολίας,

συµβολίζεται µε το Ι και στο S.Ι. µετριέται σε J/m2s ή W/m2.

Η ένταση της ακτινοβολίας που εκπέµπει ένα σώµα εξαρτάται από τη θερµοκρασία

του.

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον, λόγω του ρόλου που έπαιξε στην εξέλιξη της φυσικής, έχει η

µελέτη της θερµικής ακτινοβολίας του µέλανος σώµατος.

Το µέλαν σώµα σε οποιαδήποτε θερµοκρασία κι αν βρίσκεται εκπέµπει ενέργεια µε τη

µορφή ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας σ' όλο το φάσµα της. Το µεγαλύτερο όµως

τµήµα της ενέργειας που εκπέµπεται µ' αυτό τον τρόπο περιορίζεται σε µια στενή

περιοχή, µε "αιχµή" κάποιο µήκος κύµατος λmax), διαφορετικό για κάθε θερµοκρασία.

Σε θερµοκρασίες γύρω στους 1000 Κ το µέλαν σώµα εκπέµπει κυρίως στην υπέρυθρη

περιοχή, ενώ σε ψηλότερες θερµοκρασίες το λmax µετατοπίζεται σε µικρότερα µήκη

κύµατος (µεγαλύτερες συχνότητες), στην περιοχή του ορατού (σχήµα 2.1).

12

Σχήµα 2.1 ∆ιάγραµµα της έντασης ανά µονάδα µήκους κύµατος σε συνάρτηση µε το µήκος κύµατος

για το µέλαν σώµα, σε τρεις διαφορετικές θερµοκρασίες. Το µέγιστο της καµπύλης µετατοπίζεται σε

µικρότερα µήκη κύµατος όταν αυξάνεται η θερµοκρασία.

Η σχέση που συνδέει την απόλυτη θερµοκρασία (T) του µέλανος σώµατος µε το µήκος

κύµατος αιχµής ( λmax ) είναι

λmaxΤ = σταθερό (νόµος µετατόπισης Wien)

Για την ερµηνεία των πειραµατικών δεδοµένων οι ερευνητές δέχτηκαν ότι τα άτοµα

των σωµάτων ταλαντώνονται. Το πλάτος της ταλάντωσης τους είναι συνάρτηση της

θερµοκρασίας στην οποία βρίσκονται τα σώµατα. Αποτέλεσµα αυτής της ταλάντωσης

των ατόµων, που µπορούµε να τα δούµε ως στοιχειώδη ταλαντούµενα ηλεκτρικά

δίπολα, είναι η εκποµπή ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας. Η υπόθεση όµως αυτή δεν

µπόρεσε να ερµηνεύσει ικανοποιητικά τα πειραµατικά αποτελέσµατα.

Το φαινόµενο ερµηνεύτηκε πλήρως το 1900, µε τις δύο υποθέσεις που διατύπωσε ο

Planck.

1. Η ενέργεια των ταλαντούµενων ατόµων δε µπορεί να πάρει

οποιαδήποτε τιµή. Μπορεί να πάρει µόνο διακριτές (κβαντισµένες)

τιµές. Οι τιµές της ενέργειας που µπορεί να έχει το ταλαντούµενο

άτοµο είναι

En=nhf

13

όπου n ένας θετικός ακέραιος αριθµός που ονοµάζεται κβαντικός αριθµός, f η

συχνότητα ταλάντωσης του ατόµου και h µια σταθερά που αργότερα έπαιξε µεγάλο

ρόλο στη φυσική και ονοµάστηκε σταθερά δράσης του Planck. Η τιµή της βρέθηκε

h = 6,626 x 10-34 Js

2. Το ποσό της ενέργειας, που µπορεί να απορροφήσει ή να εκπέµψει ένα

άτοµο, υπό µορφή ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας, µπορεί να πάρει

µόνο διακριτές τιµές.

Σχήµα 2.2 Ενεργειακές στάθµες στις οποίες µπορεί να βρεθεί το άτοµο.

Στο σχήµα 2.2 δίνουµε µία εικόνα των ενεργειακών σταθµών στις οποίες µπορεί να

βρεθεί το άτοµο. Αν το άτοµο απορροφήσει ένα κβάντο ενέργειας δηλαδή ενέργεια Ε

= hf, αυξάνει την ενέργεια του κατά ένα σκαλοπάτι στην κλίµακα των ενεργειακών

σταθµών. Αν πάλι το άτοµο εκπέµψει ένα κβάντο ενέργειας υπό µορφή

ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας τότε κατεβαίνει ένα σκαλοπάτι στην ίδια κλίµακα.

Όσο ένα άτοµο παραµένει στην ίδια ενεργειακή κατάσταση (στάθµη), ούτε εκπέµπει

ούτε απορροφά ενέργεια. Τα άτοµα, λοιπόν, απορροφούν ή εκπέµπουν ενέργεια όχι

συνεχώς αλλά κάνοντας ενεργειακά άλµατα. [Φυσ05]

14

2.3 Το φωτοηλεκτρικό φαινόµενο

Το φωτοηλεκτρικό φαινόµενο είναι το φαινόµενο κατά το οποίο µια µεταλλική

επιφάνεια απελευθερώνει ηλεκτρόνια στο περιβάλλον όταν πάνω της προσπίπτει

φως.

Τα ηλεκτρόνια που υπάρχουν στο εσωτερικό ενός αγωγού περιορίζονται στο χώρο που

καταλαµβάνει ο αγωγός, από δυνάµεις που εµποδίζουν τη διάχυση τους στο

περιβάλλον. Όταν µία δέσµη φωτός προσπίπτει πάνω στην επιφάνεια του αγωγού

κάποια ηλεκτρόνια απορροφούν ενέργεια αρκετή για να υπερνικήσουν αυτές τις

δυνάµεις και βγαίνουν από το µέταλλο (φωτοηλεκτρόνια).

Πειραµατικά διαπιστώνεται ότι

1. Εκποµπή φωτοηλεκτρονίων έχουµε µόνο όταν η συχνότητα της προσπίπτουσας

ακτινοβολίας είναι µεγαλύτερη ή ίση µιας ορισµένης συχνότητας, η οποία είναι

χαρακτηριστική για το µέταλλο. Αυτή η οριακή συχνότητα ονοµάζεται συχνότητα

κατωφλίου (f0) .

2. Ο αριθµός των ηλεκτρονίων που αποσπώνται από το µέταλλο ανά µονάδα χρόνου

είναι ανάλογος της έντασης της φωτεινής ακτινοβολίας που προσπίπτει στο µέταλλο.

3. Η ταχύτητα µε την οποία εξέρχονται τα ηλεκτρόνια δεν εξαρτάται από την ένταση

της φωτεινής ακτινοβολίας αλλά µόνο από τη συχνότητά της και αυξάνεται όταν η

συχνότητα της ακτινοβολίας µεγαλώνει.

Το φαινόµενο δε µπορεί να εξηγηθεί µόνο από το γεγονός ότι το φως είναι


Για να υπερνικήσει τις δυνάµεις που το συγκρατούν στο µέταλλο ένα ηλεκτρόνιο

πρέπει να προσλάβει ένα ελάχιστο ποσό ενέργειας. Η ενέργεια αυτή ονοµάζεται έργο

εξαγωγής και συµβολίζεται µε φ. Το έργο εξαγωγής ποικίλει από µέταλλο σε

µέταλλο.

15

Το φως, ως ηλεκτροµαγνητικό κύµα, µεταφέρει ενέργεια, εποµένως, είναι

αναµενόµενο ότι τα ηλεκτρόνια κάποιου µετάλλου µπορούν να απορροφήσουν

ενέργεια από το φως και να εξέλθουν από το µέταλλο. Η κλασική θεωρία όµως δεν

µπόρεσε να ερµηνεύσει το γεγονός, ότι η εξαγωγή ηλεκτρονίων από το µέταλλο και η

κινητική ενέργεια µε την οποία εξέρχονται εξαρτάται από τη συχνότητα της

προσπίπτουσας ακτινοβολίας και όχι από την ενέργεια που µεταφέρει η φωτεινή

δέσµη που προσπίπτει στο µέταλλο, δηλαδή από την ένταση της ακτινοβολίας.

Το φαινόµενο ερµηνεύτηκε το 1905 από τον Einstein ο οποίος, επεκτείνοντας τις

απόψεις του Planck, υπέθεσε ότι

“ το φως αποτελείται από µικρά πακέτα ενέργειας, που ονοµάζονται κβάντα

φωτός ή φωτόνια”

Η ενέργεια κάθε φωτονίου είναι

E = hf (2.1)

όπου f η συχνότητά του και h η σταθερά του Planck.

Εικόνα 2.2 Albert Einstein Πηγή: [Χηµ05]

Κατά τον Einstein, κάθε φωτόνιο της δέσµης που φωτίζει την κάθοδο µεταδίδει όλη

του την ενέργεια hf σε ένα µόνο από τα ηλεκτρόνια του µετάλλου. Αν η ενέργεια hf

του φωτονίου είναι µικρότερη από το έργο εξαγωγής, το ηλεκτρόνιο δε µπορεί να

εγκαταλείψει το µέταλλο. Εάν είναι µεγαλύτερη ή ίση µε το έργο εξαγωγής φ το

ηλεκτρόνιο εγκαταλείπει το µέταλλο µε κινητική ενέργεια που υπολογίζεται από τη

σχέση.

K = hf −φ Φωτοηλεκτρική εξίσωση του Einstein (2.2)

H φωτοηλεκτρική εξίσωση του Einstein ερµηνεύει όλα τα πειραµατικά δεδοµένα.

16

Για να εξέλθει ένα ηλεκτρόνιο από το µέταλλο πρέπει

hf −φ ≥ 0

δηλαδή η ενέργεια του προσπίπτοντος φωτονίου να είναι µεγαλύτερη ή οριακά ίση µε

το έργο εξαγωγής hf ≥ φ ή f ≥ φ / h.

Η συχνότητα f0 = φ / h είναι η συχνότητα κατωφλίου.

Σχήµα 2.3 Σχηµατική παράσταση του φωτοηλεκτρικού φαινοµένου

Αν η συχνότητα της προσπίπτουσας ακτινοβολίας είναι µεγαλύτερη από τη συχνότητα

κατωφλίου η αύξηση της έντασης της προσπίπτουσας ακτινοβολίας συνεπάγεται

αύξηση του αριθµού των φωτονίων που πέφτουν στην κάθοδο ανά µονάδα χρόνου και

εποµένως αύξηση του αριθµού των φωτοηλεκτρονίων που εξέρχονται από το µέταλλο

στον ίδιο χρόνο. Τέλος όπως φαίνεται από τη φωτοηλεκτρική εξίσωση, η κινητική

ενέργεια µε την οποία εξέρχονται τα ηλεκτρόνια από κάποιο µέταλλο εξαρτάται µόνο

από τη συχνότητα της προσπίπτουσας ακτινοβολίας.

Η ορµή των φωτονίων

Ένα σωµάτιο µε µηδενική µάζα ηρεµίας (τέτοιο είναι το φωτόνιο) έχει ενέργεια E = pc

. Όµως είδαµε επίσης ότι η ενέργεια ενός φωτονίου είναι E = hf . Εύκολα βρίσκει

κανείς ότι p = hf/c. Αν λάβουµε υπόψη ότι c = λf καταλήγουµε στο συµπέρασµα ότι η

ορµή του φωτονίου δίνεται από τη σχέση

(7.3)

17

Το φως στο φωτοηλεκτρικό φαινόµενο συµπεριφέρεται σαν ένα ρεύµα σωµατιδίων

(φωτονίων). Σε άλλες περιπτώσεις όµως το φως συµπεριφέρεται σαν κύµα (π.χ. δίνει

φαινόµενα συµβολής). Η σχέση (7.3) είναι ιδιαίτερα σηµαντική γιατί φωτίζει τη

δυαδική φύση του φωτός. Συνδέει µία καθαρά σωµατιδιακή ιδιότητα, όπως η ορµή, µε

µια καθαρά κυµατική ιδιότητα, όπως το µήκος κύµατος. Ο σύνδεσµος µεταξύ τους

είναι η σταθερά του Planck. [Φυσ05]

18

2.4 Φαινόµενο Compton (Κόµπτον) 2.4.1 Οι ακτίνες X

To 1895 o Wilchelm Röntgen (Ρέντγκεν) ανακάλυψε ότι όταν ένα µέταλλo

«βοµβαρδιστεί» µε ηλεκτρόνια που κινούνται µε µεγάλη ταχύτητα εκπέµπει

ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία. Η ακτινοβολία αυτή ονοµάστηκε ακτίνες Χ ή ακτίνες

Röntgen. Ακτίνες Χ χρησιµοποιούνται καθηµερινά σήµερα για την λήψη κοινών

ακτινογραφιών. Οι ακτίνες Χ έχουν µήκη κύµατος από 0.01nm , έως 1nm.

Ο µηχανισµός παραγωγής των ακτίνων Χ είναι ακριβώς ο αντίστροφος του

φωτοηλεκτρικού φαινοµένου. Στο φωτοηλεκτρικό φαινόµενο µια µεταλλική επιφάνεια

«βοµβαρδίζεται» µε ηλεκτροµαγνητικό κύµα και εκπέµπει ηλεκτρόνια. Στις ακτίνες Χ

η µεταλλική επιφάνεια «βοµβαρδίζεται» µε ηλεκτρόνια και εκπέµπει


Εικόνα 2.3 Wilchelm Röntgen (1845-1923). Ολλανδία, Ελβετία, Γερµανία. Η ανακάλυψη των οµώνυµων ακτίνων έφερε επανάσταση στην ιατρική. Νόµπελ Φυσικής το 1902. Πηγή: [Φυσ05]

Όταν τα ηλεκτρόνια της δέσµης φτάνουν στην επιφάνεια του µετάλλου

επιβραδύνονται απότοµα. Η επιβράδυνση αυτή συνοδεύεται από εκποµπή

ακτινοβολίας, το φωτόνιο της οποίας θα έχει ενέργεια µικρότερη ή ίση µε την ενέργεια

του ηλεκτρονίου στο οποίο οφείλεται η εκποµπή του.

Υπάρχει και άλλη αιτία για την οποία εκπέµπεται ακτινοβολία από τη µεταλλική

επιφάνεια. Καθώς τα ηλεκτρόνια συγκρούονται µε τα άτοµα της επιφάνειας του

µετάλλου τούς µεταφέρουν ενέργεια. Τα άτοµα διεγείρονται, τα ηλεκτρόνιά τους

δηλαδή µεταφέρονται σε στιβάδες µεγαλύτερης ενέργειας. Όταν αποδιεγείρονται, όταν

δηλαδή τα ηλεκτρόνια επανέλθουν στην αρχική τους στιβάδα, εκπέµπουν στο

περιβάλλον ενέργεια υπό µορφή ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας.

19

2.4.2 Η σκέδαση Compton

Η ύπαρξη φωτονίων επιβεβαιώθηκε πειραµατικά το 1924 από τoν Αµερικανό Arthur

Holly Compton. Ο Compton παρατήρησε ότι όταν ακτίνες Χ προσπίπτουν πάνω σε

µια υλική επιφάνεια ένα µέρος τους εκτρέπεται από τα σωµατίδια της ύλης

(σκεδάζεται). Ο Compton διαπίστωσε ότι το σκεδαζόµενο τµήµα της ακτινοβολίας

έχει µήκος κύµατος µεγαλύτερο από το µήκος κύµατος της προσπίπτουσας

ακτινοβολίας (µικρότερη συχνότητα). Οι µετρήσεις του Compton έδειξαν ότι η

µεταβολή του µήκους κύµατος ανάµεσα στην προσπίπτουσα και τη σκεδαζόµενη

δέσµη εξαρτάται µόνο από τη γωνία ανάµεσα στις δύο δέσµες και µάλιστα υπακούει

στη σχέση

όπου λ΄ το µήκος κύµατος της σκεδαζόµενης δέσµης, λ το µήκος κύµατος της

προσπίπτουσας δέσµης, m η µάζα του ηλεκτρονίου και φ η γωνία µεταξύ

προσπίπτουσας και ανακλώµενης δέσµης.

Εικόνα 2.4 Arthur Holly Compton (1892-1962) Αµερική. Πηγή: [Φυσ05]

Σύµφωνα µε την κλασική θεωρία ένα ηλεκτροµαγνητικό κύµα συχνότητας f που

προσπίπτει σ’ ένα υλικό αναγκάζει τα ηλεκτρόνια του υλικού να ταλαντώνονται µε

την ίδια συχνότητα και, επακόλουθα, να παράγουν µε τη σειρά τους σαν µικρές

κεραίες, ηλεκτροµαγνητικό κύµα της ίδιας συχνότητας f . Η κλασική θεωρία, λοιπόν,

θα περίµενε η σκεδαζόµενη δέσµη να έχει την ίδια συχνότητα και, αντίστοιχα, ίδιο

µήκος κύµατος µε την προσπίπτουσα δέσµη.

Τα πράγµατα ερµηνεύονται αν δούµε την ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία ως ρεύµα

φωτονίων, δηλαδή σωµατίων µε µηδενική µάζα ηρεµίας που µεταφέρουν ενέργεια και

ορµή. Τότε το πρόβληµα της σκέδασης της ακτινοβολίας µετατρέπεται σε πρόβληµα

κρούσης ανάµεσα σ’ ένα φωτόνιο και ένα ηλεκτρόνιο. [Φυσ05]

20

2.5 Η κυµατική φύση της ύλης

Είκοσι περίπου χρόνια µετά την υπόθεση του Einstein ότι ένα ηλεκτροµαγνητικό

κύµα, όπως το φως, έχει σωµατιδιακή υπόσταση, στα 1924, ο Γάλλος Louis de Broglie

(Λουί ντε Μπρoλί) πιστεύοντας στη συµµετρία της φύσης έθεσε το αξίωµα ότι

οποιοδήποτε σωµάτιο ορµής p είναι συνδεδεµένο µε ένα κύµα µήκους κύµατος λ που

δίνεται από τη σχέση

Εικόνα 2.5 Πρίγκιπας Louis de Broglie (1892-1987). Γάλλος αριστοκρατικής καταγωγής. Βραβείο Νόµπελ 1929. Πηγή: [Φυσ05]

Η υπόθεση de Broglie δεν άργησε να επαληθευθεί. Το 1927, στην Αµερική, οι

Davisson και Germer διαπίστωσαν ότι µία δέσµη ηλεκτρονίων που κινούνται µε

µεγάλη ταχύτητα περιθλάται µε τρόπο ανάλογο µε αυτόν που περιθλάται µια δέσµη

ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας, µια δέσµη ακτίνων Χ για παράδειγµα. Σύντοµα, νέα

πειράµατα έδειξαν ότι κυµατική συµπεριφορά παρουσιάζουν και δέσµες σωµατιδίων α

και δέσµες νετρονίων. Τα αποτελέσµατα ήταν τέτοια που δεν άφηναν κανένα

περιθώριο να αµφισβητηθεί ότι τα σωµάτια έχουν και κυµατική φύση.

Εικόνα 2.6 (α) Εικόνα περίθλασης ακτίνων Χ. (β) Εικόνα περίθλασης δέσµης ηλεκτρονίων

21

Παράδειγµα 2.1

Ποιο µήκος κύµατος προβλέπει η υπόθεση de Broglie

α) για µία µπάλα του µπάσκετ, µάζας 1 kg, που κινείται µε ταχύτητα 3m/s β)

για τη σφαίρα ενός πυροβόλου όπλου µάζας 20 g που κινείται µε ταχύτητα 300m/s γ)

για ένα ηλεκτρόνιο µάζας 9.11 x 10-31 kg που έχει ταχύτητα 7x106 m/s.

Απάντηση :

Και τα τρία σώµατα, ακόµη και το ηλεκτρόνιο, κινούνται µε ταχύτητες σηµαντικά

µικρότερες της ταχύτητας του φωτός, δε χρειάζεται λοιπόν να χρησιµοποιήσουµε τη

σχετικιστική σχέση για την ορµή.

Από τα δύο πρώτα αποτελέσµατα βλέπουµε ότι ένα σώµα του µακρόκοσµου συνδέεται

µε µήκος κύµατος τόσο µικρό που µάλλον δεν θα µπορέσουµε να το ανιχνεύσουµε

ποτέ. Έτσι µπορούµε να πούµε ότι η υπόθεση του de Βroglie για την κυµατική

φύση της ύλης έχει ουσιαστικά εφαρµογή µόνο για σωµάτια ατοµικής και

υποατοµικής κλίµακας. [Φυσ05]

Μικροσκόπιο Σάρωσης Σήραγγας

Το 1981 ανακαλύφθηκε από τους Binnig και Rohrer στα εργαστήρια της IBM της

Ζυρίχης (βραβείο Νόµπελ 1986) µία τεχνική που φέρει το όνοµα Μικροσκόπιο

Σάρωσης Σήραγγας (STM - Scanning Tunneling Microscope). Έτσι,

πραγµατοποιήθηκε το όνειρο πολλών δεκαετιών και άνοιξε ο δρόµος για την

απεικόνιση των ατόµων ή µορίων. Η αρχή λειτουργίας του STM στηρίζεται στις αρχές

της κβαντοµηχανικής [Χηµ05]

22

Εικόνα 2.7 Μικροσκόπιο Σάρωσης Σήραγγας (STM) σε δείγµα ατόµων χαλκού

Ο M. Crommie ερευνητής της IBM παρατηρώντας µε STM τα άτοµα µιας χάλκινης

επιφάνειας έγραψε: «…παρά το γεγονός ότι όλοι είµαστε θιασώτες της κυµατικής

θεωρίας του ηλεκτρονίου, µόλις αντικρίσαµε τόσα κύµατα στην επιφάνεια του

χαλκού, πιστέψαµε ότι το µηχάνηµα χάλασε. Αργότερα καταλάβαµε ότι είµαστε

µάρτυρες της πιο εντυπωσιακής απεικόνισης των ηλεκτρονίων. Βλέπαµε τα

ηλεκτρόνια σαν κύµατα. Τα ηλεκτρόνια λόγω της κυµατικής τους φύσης, κτυπούν τις

προσµίξεις του χαλκού (µπλε λακκούβες στο σχήµα), τα δε ανακλώµενα κύµατα, λόγω

συµβολής, δηµιουργούν στάσιµο κύµα».

Αργότερα η ίδια πειραµατική οµάδα πειραµατιζόµενη µε δείγµα ατόµων σιδήρου,

κυκλικά διατεταγµένων σε περιφέρεια διαµέτρου 14 nm σε επιφάνεια χαλκού, πήραν

την απεικόνιση που δίνεται παρακάτω.

Εικόνα 2.8 Μικροσκόπιο Σάρωσης Σήραγγας (STM) σε δείγµα ατόµων σιδήρου

Στη φωτογραφία βλέπουµε τα κύµατα των ηλεκτρονίων ατόµων σιδήρου,

διατεταγµένων κυκλικά, σε χάλκινη επιφάνεια. Ακόµα µία απόδειξη της κυµατικής

φύσης του ηλεκτρονίου. [Χηµ05]

23

2.6 Η διπλή υπόσταση της ύλης

Είδαµε ότι τα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα συµπεριφέρονται άλλοτε σαν κύµατα και

άλλοτε σαν δέσµες σωµατίων. Επίσης δέσµες κλασικών σωµατιδίων, όπως τα

ηλεκτρόνια, έχουν και κυµατική συµπεριφορά. Μπορούµε να πούµε ότι η ύλη, µε την

ευρύτερη έννοια (συµπεριλαµβάνοντας και την ενέργεια), έχει διπλή οντότητα -

σωµατιδιακή και κυµατική. Πρόκειται για ένα συµπέρασµα πολύ καλά θεµελιωµένο

πειραµατικά.

Βέβαια θα πρέπει να διευκρινίσουµε, ότι η φύση του φωτός (ή ηλεκτρονίου) είναι µία,

δηλαδή, δεν αλλάζει συνεχώς, απλώς, άλλοτε εκδηλώνεται ο σωµατιδιακός και άλλοτε

ο κυµατικός χαρακτήρας του, ανάλογα µε τις πειραµατικές συνθήκες που

εφαρµόζουµε. Για παράδειγµα η σωµατιδιακή φύση των ηλεκτρονίων εκδηλώνεται µε

την περίθλαση των ηλεκτρονίων σε κρυσταλλικό πλέγµα, η οποία βρίσκει εφαρµογή

στη λειτουργία των ηλεκτρονικών µικροσκοπίων.

Για να εκδηλωθεί ο κυµατικός χαρακτήρας ενός σωµατιδίου θα πρέπει αυτό να έχει

µικρή µάζα και µεγάλη ταχύτητα (π.χ. ηλεκτρόνιο).

Μια ωραία εξήγηση της διπλής φύσης της ύλης (σωµατίδιο και ηλεκτροµαγνητικό

κύµα) φαίνεται στην παρακάτω εικόνα.

Εικόνα 2.9 Στην αριστερή φωτογραφία συνυπάρχει ένας λαγός µε µια πάπια. Στη δεξιά φωτογραφία

συνυπάρχει µια όµορφη νέα γυναίκα µε µια ηλικιωµένη. Έτσι και στο ηλεκτρόνιο/ φωτόνιο συνυπάρχει

το σωµατίδιο και το κύµα. Πηγή: [Χηµ05]

24

2.7 Η αρχή της αβεβαιότητας

[Φυσ05] [Χηµ05] [WiCl98, σελ164-167]

Κάτω από τη θεώρηση της διπλή υπόστασης της ύλης προκύπτει ένα σηµαντικό

πρόβληµα. Ένα σωµατίδιο, όπως το αντιλαµβάνονται οι κλασικοί φυσικοί, είναι κάτι

του οποίου η θέση στο χώρο ήταν αυστηρά προσδιορισµένη. Αντίθετα, ένα κύµα

εκτείνεται στο χώρο. Ένα σωµατίδιο µε κυµατική συµπεριφορά πού βρίσκεται; Η

απάντηση της κβαντικής θεωρίας, όσο κι αν µας σοκάρει, είναι :“ δεν µπορούµε να

γνωρίζουµε πού ακριβώς βρίσκεται.”

Ας θεωρήσουµε ένα σωµατίδιο που έχει κάποια συγκεκριµένη χρονική στιγµή ορµή p

παράλληλη στον άξονα των x. Σύµφωνα µε την υπόθεση de Broglie και τη σχέση λ =

h/p , εάν γνωρίζουµε επακριβώς την ορµή του σωµατιδίου αυτό θα συνδέεται και µε

ένα κύµα µε επακριβώς ορισµένο µήκος κύµατος λ . Η εξίσωση που περιγράφει το

στιγµιότυπο ενός τέτοιου κύµατος στο χώρο τη χρονική στιγµή t=0 είναι

και η γραφική της παράσταση είναι αυτή του σχήµατος 2.4.

Σχήµα 2.4 Η αβεβαιότητα της θέσης, ∆x, είναι άπειρη

Το στιγµιότυπο εκτείνεται από το −∞ στο +∞. Πού βρίσκεται το σωµατίδιο που είναι

συνδεδεµένο µε αυτό το κύµα; Μπορεί να βρίσκεται οπουδήποτε.

Για να µη καταστρέψουµε εντελώς τη σωµατιδιακή εικόνα χρειαζόµαστε κύµατα

περιορισµένα στο χώρο. Θα ονοµάζουµε αυτά τα κύµατα κυµατοπακέτα. Μπορούµε

να φτιάξουµε και να περιγράψουµε µαθηµατικά οποιαδήποτε κυµατοµορφή µε τη

µέθοδο της υπέρθεσης συνδυάζοντας κατάλληλα διάφορα κύµατα µε επιλεγµένα µήκη

κύµατος πλάτη και φάσεις. Υπάρχει όµως κάποιος περιορισµός. Όσο πιο εντοπισµένο

25

στο χώρο (πιο σωµατιδιακό) θέλουµε να είναι το κυµατοπακέτο τόσο περισσότερα και

πιο διασκορπισµένα µήκη κύµατος πρέπει να χρησιµοποιήσουµε (σχήµα 2.5).

Πληρώνουµε δηλαδή τον εντοπισµό της θέσης του σωµατιδίου-κύµατος µε

απροσδιοριστία στο µήκος κύµατος που του αντιστοιχίζουµε και - κατ’ επέκταση -

στην ορµή του (p=h/λ).

Σχήµα 2.5 (α) Οι κόκκινες και οι µαύρες γραµµές δείχνουν κύµατα µε πολύ µικρή διαφορά στο µήκος

κύµατός τους. Η υπέρθεσή τους δίνει το κύµα (β) (διακρότηµα). Με την υπέρθεση µεγάλου αριθµού

κυµάτων µπορούµε να συνθέσουµε ένα κυµατοπακέτο, όπως αυτό του σχήµατος (γ), µε περιορισµένη

αβεβαιότητα ∆x ως προς τη θέση του στο χώρο.

Η αδυναµία µας να προσδιορίσουµε επακριβώς ταυτόχρονα τη θέση και την ορµή ενός

σωµατιδίου δεν οφείλεται σε πειραµατικές ατέλειες. Είναι σύµφυτη µε την ίδια την

κβαντική δοµή της ύλης.

Ο Heisemberg το 1927 κωδικοποίησε τα παραπάνω διατυπώνοντας την αρχή της

αβεβαιότητας (ή απροσδιοριστίας) µε τη σχέση:

∆εν είναι δυνατόν να µετρήσουµε ταυτόχρονα και τη θέση και την ορµή ενός

σωµατιδίου [Φυσ05]

ή αλλιώς

Είναι αδύνατο να προσδιορίσουµε µε ακρίβεια συγχρόνως τη θέση και την ορµή

ενός µικρού σωµατιδίου. [Χηµ05]

Καθώς η θέση ορίζεται καλύτερα (µείωση του ∆x), η ορµή απλώνεται περισσότερο

(αυξάνεται η αβεβαιότητα ∆px) και αντίστροφα. Το γινόµενο των αβεβαιοτήτων θέσης

26

και ορµής είναι πάντα τουλάχιστον της τάξης µεγέθους της σταθεράς του Planck. Στην

ακραία περίπτωση που το x είναι µε ακρίβεια γνωστό (∆x=0), η ορµή θα είναι εντελώς

άγνωστη (∆p άπειρο) και αντίστροφα. [Pol84]

Εικόνα 2.10 Werner Heisemberg (1901-1976) Γερµανία. Σε ηλικία περίπου είκοσι χρονών ολοκλήρωσε τη βασική του εργασία για την κβαντική θεωρία. Βραβείο Νόµπελ για την αρχή της αβεβαιότητας το 1932. Πηγή: [Φυσ05]

Όσο µεγαλύτερη είναι η ακρίβεια για τον προσδιορισµό της θέσης του σωµατιδίου

(π.χ. ηλεκτρονίου), τόσο µεγαλύτερο είναι το σφάλµα, δηλαδή, τόσο µεγαλύτερη

αβεβαιότητα υπάρχει κατά τον προσδιορισµό της ορµής του, και αντιστρόφως. Στην

περίπτωση µεγάλων σωµάτων, π.χ. κινούµενη µπάλα ποδοσφαίρου, τα σφάλµατα αυτά

είναι αµελητέα. Έτσι, µπορεί να προσδιοριστεί µε ακρίβεια ταυτόχρονα η θέση και η

ταχύτητα της µπάλας, οποιαδήποτε χρονική στιγµή. Στην περίπτωση, όµως,

υποατοµικών σωµατιδίων π.χ. ηλεκτρονίων τα σφάλµατα αυτά δεν µπορούν να

θεωρηθούν αµελητέα και κατά συνέπεια υπάρχει πάντοτε κάποια αβεβαιότητα, είτε

ως προς τη θέση, είτε ως προς την ορµή τους. [Χηµ05]

Εδώ πρέπει να σηµειώσουµε ότι τα σύµβολα ∆x και ∆px δε σηµαίνουν τη µεταβολή

των µεγεθών αλλά το εύρος της αβεβαιότητας µε την οποία γνωρίζουµε τα µεγέθη.

Ανάλογες σχέσεις ισχύουν και για τις άλλες διευθύνσεις

Επίσης, ισχύει ότι η αβεβαιότητα στη µέτρηση της ενέργειας µιας κατάστασης ενός

συστήµατος είναι αντίστροφα ανάλογη µε τον χρόνο που το σύστηµα παραµένει σ’

αυτή την κατάσταση.

27


Ένα ηλεκτρόνιο κινείται µε ταχύτητα 3x105 m/s µετρηµένη µε ακρίβεια 0,1%. Με ποια

ακρίβεια µπορούµε να προσδιορίσουµε τη θέση του; Εάν στη θέση του ηλεκτρονίου

έχουµε µια µπάλα του γκολφ που έχει µάζα 45 g και κινείται µε ταχύτητα 20 m/s ,

µετρηµένη µε την ίδια ακρίβεια, µε ποια ακρίβεια µπορούµε να υπολογίσουµε τη θέση

της;

Απάντηση :

α)

H αβεβαιότητα ∆px θα είναι το 0,1% της παραπάνω τιµής δηλαδή 2.733 x 10−29 kg

·m/s.

H αβεβαιότητα ∆x στη θέση θα είναι το λιγότερο

Για τις διαστάσεις του ηλεκτρονίου η αβεβαιότητα θέσης είναι τεράστια. Πρόκειται

για ένα ηλεκτρόνιο που δεν θα το βρούµε ποτέ. Είναι σα να ψάχνεις ψύλλους στα

άχυρα.

β) Με την ίδια διαδικασία, για το µπαλάκι του γκολφ βρίσκουµε αβεβαιότητα ως προς

τη θέση ∆x ≅ 1.16 x 10−27 m .

Για ένα σώµα των διαστάσεων της µπάλας του γκολφ η αβεβαιότητα αυτή είναι

µηδαµινή. Πρακτικά γνωρίζουµε µε ακρίβεια τη θέση του.

Η αβεβαιότητα ισχύει µόνο για σωµάτια ατοµικής και υποατοµικής κλίµακας.

28

2.8 Κυµατοσυνάρτηση και εξίσωση Schrödinger (Σρέντινγκερ)

Είδαµε ότι ένα υποατοµικό σωµατίδιο, για παράδειγµα ένα ηλεκτρόνιο, δεν µπορεί να

περιγραφεί σαν υλικό σηµείο, µε τρεις συντεταγµένες στο χώρο. Υπό ορισµένες

συνθήκες συµπεριφέρεται σαν κύµα. Για την περιγραφή του χρειαζόµαστε µία

κυµατοσυνάρτηση σε αναλογία µε την εξίσωση κύµατος που χρησιµοποιούµε για την

περιγραφή ενός µηχανικού ή ενός ηλεκτροµαγνητικού κύµατος. Την

κυµατοσυνάρτηση αυτή θα τη συµβολίζουµε µε Ψ.

Η κυµατοσυνάρτηση είναι µία συνάρτηση της θέσης και του χρόνου Ψ = Ψ(x, y, z, t).

Στα µηχανικά κύµατα η εξίσωση κύµατος µας δίνει για κάθε χρονική στιγµή τη θέση

κάθε σηµείου του υλικού µέσου στο οποίο διαδίδεται το κύµα. Στα ηλεκτροµαγνητικά

κύµατα οι εξισώσεις κύµατος που τα περιγράφουν µας δίνουν για κάθε χρονική στιγµή

την τιµή της έντασης του ηλεκτρικού και του µαγνητικού πεδίου σε κάθε σηµείο του

χώρου στον οποίο διαδίδεται το κύµα. Η κυµατοσυνάρτηση Ψ όµως που περιγράφει

ένα σωµατίδιο-κύµα δεν σχετίζεται µε κάποιο µέσον διάδοσης ούτε µε κάποιες

ιδιότητες του χώρου. Είναι δύσκολο να της αποδώσουµε κάποια φυσική σηµασία.

Μπορούµε µόνο να περιγράψουµε πώς σχετίζεται µε τα φυσικά παρατηρούµενα

φαινόµενα.

Για κάποιο συγκεκριµένο σηµείο, ορισµένη χρονική στιγµή η κυµατοσυνάρτηση θα

έχει µια συγκεκριµένη τιµή. Ο Max Born πρότεινε να ερµηνεύσουµε το τετράγωνο του

µέτρου της κυµατοσυνάρτησης σαν την πιθανότητα θέσης ανά µονάδα όγκου.

∆ηλαδή, αν ορίσουµε έναν στοιχειώδη όγκο dV γύρω από ένα συγκεκριµένο σηµείο

(x, y, z) το γινόµενο |Ψ|2dV δίνει την πιθανότητα να βρίσκεται το σωµάτιο µέσα

στον όγκο dV στη δεδοµένη χρονική στιγµή.

Αν χωρίσουµε το σύνολο του χώρου σε στοιχειώδεις όγκους dV και σε κάθε σηµείο

του χώρου βρούµε την τιµή της Ψ για κάποια χρονική στιγµή το άθροισµα των

γινοµένων |Ψ|2dV πρέπει να είναι ίσο µε τη µονάδα.

29

∆ηλαδή η πιθανότητα να βρίσκεται το σωµατίδιο κάπου στο χώρο είναι ίση µε τη

µονάδα. Με απλά λόγια κάθε χρονική στιγµή το σωµατίδιο σίγουρα βρίσκεται κάπου.

Εικ. 7.7 Μax Born. (1882-1970). Γερµανία. Μεγάλος θεωρητικός φυσικός. Χρησιµοποίησε τις πιθανότητες για να ερµηνεύσει φαινόµενα της κβαντικής µηχανικής. Το 1933 εγκατέλειψε τη Γερµανία αρχικά για το Εδιµβούργο και στη συνέχεια για τις Ηνωµένες Πολιτείες. Νόµπελ 1954.

Η παραπάνω σχέση προκύπτει από την διάσταση που έδωσε ο Born στο |Ψ|2 και

ονοµάζεται συνθήκη κανονικοποιήσεως. Εάν η κυµατοσυνάρτηση είναι σωστή

πρέπει να ικανοποιεί τη συνθήκη κανονικοποιήσεως.

Πώς βρίσκουµε όµως µία κυµατοσυνάρτηση;

Την απάντηση έδωσε ο Erwin Schrödinger διατυπώνοντας την περίφηµη εξίσωσή του

της οποίας λύση είναι η Ψ.

Εικ. 7.8 Erwin Schrödinger (1877-1961). Γεννήθηκε στη Βιέννη από Αυστριακό πατέρα και Αγγλίδα µητέρα. Καλλιεργηµένη και καλλιτεχνική φύση είχε το ταλέντο να παρουσιάζει τις απόψεις του µε γοητευτικό τρόπο. ∆ίδαξε στη Ζυρίχη, όπου διατύπωσε και την περίφηµη εξίσωσή του, στο Βερολίνο, στην Οξφόρδη και στο ∆ουβλίνο. Η κυµατική του εξίσωση περιγράφει µε επιτυχία την κίνηση των µικρών σωµατιδίων. Μοιράστηκε µε τον P.A.M. Dirac το Νόµπελ Φυσικής το 1933.

Για ένα σωµατίδιο που κινείται πάνω στον άξονα των x σε µία περιοχή όπου υπάρχει

ένα συντηρητικό πεδίο, για κάποια συγκεκριµένη χρονική στιγµή η εξίσωση

Schrödinger έχει τη µορφή:

30

(διαβάζεται h-bar) η συντοµογραφία του h/(2π),

m η µάζα ηρεµίας του σωµατιδίου,

η δεύτερη παράγωγος της κυµατοσυνάρτησης ως προς x,

U(x) η δυναµική ενέργεια του σωµατιδίου λόγω της θέσης του

E η ολική ενέργεια του σωµατιδίου.

Η λύση της εξίσωσης αυτής είναι η κυµατοσυνάρτηση του σωµατιδίου.

Εφόσον το σωµατίδιο είναι περιορισµένο να κινείται πάνω στον άξονα των x η

κυµατοσυνάρτησή του πρέπει να ικανοποιεί τη συνθήκη Σ |Ψ|2 dx = 1 δηλαδή το

σωµάτιο σίγουρα βρίσκεται κάπου στον άξονα των x.

Επιλέον πληροφορίες µε σχετικά απλό τρόπο παρατίθενται στο 4ο κεφάλαιο (Quantum

Mechanics) του [Ril06].

31

Παράρτηµα κεφαλαίου

Τα τέσσερα αξιώµατα της Κβαντοµηχανικής (Ερµηνεία της σχολής της Κοπεγχάγης)

[NaOh08, σελ.29-30] [Κων07, σελ.13-14, 21] [Ανδ04, σελ.7-12] [Daw08, Lecture 3] [Ril06, σελ.112, 149-154]

Αξίωµα 1ο : (Περιγραφή κατάστασης κλειστού συστήµατος)

Κάθε απλό και κλειστό (αποµονωµένο) σύστηµα στην Κβαντοµηχανική περιγράφεται

από έναν γραµµικό χώρο πάνω στο σώµα των µιγαδικών αριθµών, ο οποίος λέγεται

χώρος καταστάσεων του συστήµατος. Ως χώρο καταστάσεων χρησιµοποιούµε ένα

διαχωρίσιµο µιγαδικό χώρο Hilbert, π.χ. τον ℂ2. Η κατάσταση του συστήµατος αυτού

σε µια δεδοµένη χρονική στιγµή περιγράφεται από ένα διάνυσµα αυτού του χώρου

Hilbert το οποίο καλείται διάνυσµα κατάστασης.

Παρατηρήσεις:

1) Ακτίνα σε ένα χώρο Hilbert ονοµάζεται το σύνολο των διανυσµάτων αυτού του

χώρου τα οποία είναι όλα βαθµωτά µη µηδενικά µιγαδικά πολλαπλάσια του ίδιου µη

µηδενικού διανύσµατος. Εάν επιπλέον ο µιγαδικός αυτός συντελεστής έχει µέτρο ίσο

µε τη µονάδα τότε λέµε ότι τα διανύσµατα αυτής της ακτίνας περιγράφουν την ίδια

κατάσταση. Συνεπώς µια κατάσταση είναι ακτίνα σε ένα χώρο Hilbert. Ένα κβαντικό

σύστηµα µπορεί να βρίσκεται ταυτόχρονα σε περισσότερες από µια καταστάσεις µε

κάποια πιθανότητα να βρεθεί σε κάθε µια από αυτές.

2) Οι προβολικοί τελεστές του χώρου Hilbert του συστήµατος ονοµάζονται καθαρές

καταστάσεις του συστήµατος (pure states).

Αξίωµα 2ο: (Μέτρηση συστήµατος)

Όταν λέµε ότι κάνουµε µια µέτρηση στο σύστηµα κάποια χρονική στιγµή, εννοούµε

ότι δρούµε πάνω στο διάνυσµα της κατάστασής του εκείνη τη χρονική στιγµή µε ένα

προβολικό τελεστή.

32


1) Το αποτέλεσµα της µέτρησης εξάγεται µε γνωστή πιθανότητα και η µέτρηση

αλλάζει την κατάσταση του συστήµατος µε τρόπο µη αντιστρέψιµο (αφού πρόκειται

για δράση προβολικού τελεστή).

2) Μετά τη µέτρηση, η κατάσταση του συστήµατος είναι το αποτέλεσµα της

µέτρησης.

Αξίωµα 3ο: (Εξέλιξη κλειστού συστήµατος)

Η χρονική εξέλιξη ενός απλού κλειστού Κβαντοµηχανικού συστήµατος στο οποίο δεν

γίνεται κάποια µέτρηση, περιγράφεται από τη δράση ορθοµοναδιαίων

µετασχηµατισµών - τελεστών (unitary operators) πάνω στο διάνυσµα κατάστασης.

Παρατήρηση:

Επειδή ένας ορθοµοναδιαίος τελεστής είναι προφανώς αντιστρέψιµος, κάθε

προηγούµενη κατάσταση ενός κλειστού Κβαντοµηχανικού συστήµατος, εάν δεν έχει

γίνει µέτρηση, µπορεί να περιγραφεί από τη τρέχουσα. Με άλλα λόγια η ιστορία ενός

κλειστού Κβαντοµηχανικού συστήµατος στο οποίο δεν έχουν γίνει µετρήσεις

περιγράφεται από µια µαρκοβιανή διαδικασία.

Αξίωµα 4ο: (Περιγραφή σύνθετου συστήµατος)

Ένα σύνθετο Κβαντοµηχανικό σύστηµα περιγράφεται από το τανυστικό γινόµενο των

αντίστοιχων χώρων Hilbert των επιµέρους απλών ανεξάρτητων συστηµάτων του.

Παράδειγµα:

Ένα διµερές σύστηµα µπορεί να περιγραφεί π.χ. από το γινόµενο ℂ2⊗ℂ

2 και οι

καταστάσεις σε αυτό είναι διανύσµατα αυτού του χώρου.

33

Σύνοψη 2ου κεφαλαίου

1. Η ενέργεια των ταλαντούµενων ατόµων δε µπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιµή.

Μπορεί να πάρει µόνο διακριτές (κβαντισµένες) τιµές.

2. Το ποσό της ενέργειας, υπό µορφή ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας, που µπορεί να

απορροφήσει ή να εκπέµψει ένα άτοµο µπορεί να πάρει µόνο διακριτές τιµές.

3. Το φως µεταφέρει την ενέργειά του σε µικρά πακέτα, που ονοµάζονται κβάντα

φωτός ή φωτόνια.

4. Η φύση του φωτός είναι δυαδική. Σε κάποιες περιπτώσεις το φως συµπεριφέρεται

σαν ένα ρεύµα σωµατιδίων (φωτονίων). Σε άλλες περιπτώσεις το φως συµπεριφέρεται

σαν κύµα.

5. Η ύλη έχει και κυµατική φύση. Ωστόσο η κυµατική φύση εκδηλώνεται µόνο σε

σωµάτια ατοµικής και υποατοµικής κλίµακας (µικρή µάζα και µεγάλη ταχύτητα)

6. Τα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα συµπεριφέρονται άλλοτε σαν κύµατα και άλλοτε σαν

δέσµες σωµατίων. Επίσης δέσµες κλασικών σωµατιδίων, όπως τα ηλεκτρόνια, έχουν

και κυµατική συµπεριφορά. Πρόκειται για ένα συµπέρασµα πολύ καλά θεµελιωµένο

πειραµατικά.

7. Η αρχή της αβεβαιότητας (ή απροσδιοριστίας) του Heisemberg: Είναι αδύνατο να

προσδιορίσουµε µε ακρίβεια συγχρόνως τη θέση και την ορµή ενός σωµατιδίου. Η

παραπάνω αρχή έχει επίπτωση στους κβαντικούς υπολογιστές, όπως θα δούµε

παρακάτω (no – cloning theorem).

34

Βιβλιογραφία 2ου κεφαλαίου [Ανδ04] Ανδρουλιδάκης Ιωάννης (2004). Αλγόριθµος ∆ιαστατικής Ελάττωσης

∆ιµερών Εναγκαλισµένων Κβαντικών Συστηµάτων, ∆ιπλωµατική ∆ιατριβή Μεταπτυχιακού ∆ιπλώµατος Ειδίκευσης, Πολυτεχνείο Κρήτης, Γενικό Τµήµα, Τοµέας Μαθηµατικών, Χανιά.

[Κων07] Κωνσταντάκης Χρήστος (2007). Κβαντικοί αλγόριθµοι αναζήτησης σε

µη δοµηµένες βάσεις ∆εδοµένων, ∆ιπλωµατική ∆ιατριβή Μεταπτυχιακού ∆ιπλώµατος Ειδίκευσης, Πολυτεχνείο Κρήτης, Γενικό Τµήµα, Τοµέας Μαθηµατικών, Χανιά.

[Φυσ05] Ιωάννου Α., Ντάνος Γ., Πήττας Α., Ράπτης Σ. (2005). Φυσική Θετικής

και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Γ΄ Τάξη Ενιαίου Λυκείου, Ε΄ έκδοση, Αθήνα: Οργανισµός Εκδόσεως ∆ιδακτικών Βιβλίων, Κεφάλαιο 7, σελ. 225-255.

[Χηµ05] Λιοδάκης Σ., Γάκης ∆., Θεοδωρόπουλος ∆., Θεοδωρόπουλος Π.,

(2005). Χηµεία Θετικής Κατεύθυνσης, Γ΄ Τάξη Ενιαίου Λυκείου, ΣΤ΄ έκδοση, Αθήνα: Οργανισµός Εκδόσεως ∆ιδακτικών Βιβλίων, Κεφάλαιο 1, σελ. 1-52.

[Daw08] Dawar Anuj (2008). Quantum Computing (Lectures, academic year

2007-2008) University of Cambridge, Lecture 3 (http://www.cl.cam.ac.uk/Teaching/0708/QuantComp/)

[NaOh08] Nakahara Mikio and Ohmi Tetsuo (2008). Quantum Computing: From

Linear Algebra to Physical Realizations, London, New York: Taylor and Francis, CRC Press.

[Pol84] Polkinghorne J. C. (1984). The Quantum World, Addison Wesley

Longnan. Στα ελληνικά: Ο Κβαντικός Κόσµος (1999), µετάφραση ∆ηµήτριος Μπονάτσος, Αθήνα: Εκδόσεις Λέξηµα.

[Ril06] Riley T. Perry (2006). The Temple of Quantum Computing, version 1.1,

April 29, 2006, (http://www.toqc.com/TOQCv1_1.pdf). From the Temple of Quantum Computing (TOQC) Website (http://www.toqc.com/)

[WiCl98] Williams P. Colin and Clearwater H. Scott (1998). Explorations in

Quantum Computing, New York: Springer – Verlag, TELOS (The Electronic Library of Science).

35

Κεφάλαιο 3

Κβαντικά συστήµατα δύο καταστάσεων

Πριν ξεκινήσετε να διαβάζετε το τρέχον κεφάλαιο, καλόν είναι να διαβάσετε το

Παράρτηµα Α ( Ένα κβαντικό παιχνίδι)

3.1 Το κβαντικό κέρµα

Ας πούµε ότι έχουµε ένα κέρµα πάνω σε ένα τραπέζι. Το κέρµα αυτό, όπως όλα τα

κέρµατα έχει δύο όψεις. Οι δύο αυτές όψεις είναι εντελώς ίδιες, µόνο που στη µία

φαίνεται το γράµµα «Η» και στην άλλη το γράµµα «Τ».

Σχήµα 3.1 Οι δύο όψεις του κέρµατος.

Οι δύο όψεις του κέρµατος φαίνονται στο Σχήµα 3.1. ∆εν µας ενδιαφέρει καµία άλλη

ιδιότητα του κέρµατος, όπως το βάρος του, το χρώµα του ή η σκληρότητα του. Μας

ενδιαφέρει µόνο αν η πάνω όψη του είναι αυτή µε το γράµµα Η ή αυτή µε το γράµµα

Τ.

Ένα συνηθισµένο κέρµα, όπως αυτά που χρησιµοποιούµε καθηµερινά, το ονοµάζουµε

«κλασικό» κέρµα. Ένα κλασικό κέρµα µπορεί να βρεθεί ή µε το γράµµα Η ή µε το

γράµµα Τ στην πάνω όψη του και τότε λέµε ότι το κέρµα βρίσκεται στην κατάσταση

«Η» ή στην κατάσταση «Τ».

Ας υποθέσουµε τώρα ότι µπορούµε να έχουµε στις τσέπες µας και «κβαντικά»

κέρµατα. Ας υποθέσουµε επίσης ότι για κάποιον λόγο δεν µπορούµε να δούµε αν τα

κέρµατα (κλασικά ή κβαντικά) βρίσκονται στην κατάσταση «Η» ή στην κατάσταση

«Τ». Για να αντιληφθούµε σε ποια κατάσταση βρίσκονται τα κέρµατα έχουµε στη

36

διάθεση µας µία συσκευή µέτρησης. Με τη συσκευή αυτή µετράµε το κέρµα και αν

διαβάσουµε στην οθόνη της συσκευής το γράµµα Η, τότε ξέρουµε ότι το κέρµα

βρίσκεται στην κατάσταση «Η» και αν διαβάσουµε το γράµµα Τ, τότε ξέρουµε ότι το

κέρµα βρίσκεται στην κατάσταση «Τ».

Ένα κλασικό και ένα κβαντικό κέρµα πέφτουν πάνω στο τραπέζι. ∆ε µετράµε ακόµη

τις καταστάσεις τους. Το κλασικό κέρµα µπορεί να βρεθεί ή στην κατάσταση «Η» ή

στην κατάσταση «Τ». ∆εν µπορούµε όµως να πούµε το ίδιο και για το κβαντικό

κέρµα. Η κατάσταση που βρίσκεται το κβαντικό κέρµα περιγράφεται από το

«διάνυσµα κατάστασης».

Το διάνυσµα κατάστασης του κβαντικού κέρµατος υπάρχει σε ένα χώρο δύο

διαστάσεων του οποίου οι δύο άξονες αντιστοιχούν στις καταστάσεις «Η» και «Τ».

Για να ξεχωρίζουµε τις καταστάσεις του κβαντικού κέρµατος από αυτές του κλασικού

θα τις συµβολίζουµε από εδώ και πέρα µε H και T . Το Σχήµα 3.2 θα µας

βοηθήσει να καταλάβουµε καλύτερα το διάνυσµα κατάστασης του κβαντικού

κέρµατος.

Σχήµα 3-2 Το διάνυσµα κατάστασης του κβαντικού κέρµατος.

(α) Το διάνυσµα βρίσκεται πάνω στον άξονα H και το κβαντικό κέρµα βρίσκεται

στην κατάσταση H .

(β) Το διάνυσµα βρίσκεται πάνω στον άξονα T και το κβαντικό κέρµα βρίσκεται

στην κατάσταση T .

(γ) Η κατάσταση του κβαντικού κέρµατος K είναι υπέρθεση των δύο καταστάσεων

H και T .

37

Στο Σχήµα 3.2 το διάνυσµα µε την παχιά γραµµή είναι το διάνυσµα κατάστασης του

κβαντικού κέρµατος. Η αρχή του διανύσµατος κατάστασης βρίσκεται πάντα στο

σηµείο της τοµής των αξόνων H και T . Όταν το διάνυσµα βρίσκεται πάνω στον

άξονα H , όπως στο Σχήµα 3.2(α), τότε το κβαντικό κέρµα βρίσκεται σίγουρα στην

κατάσταση H , δηλαδή η πάνω όψη του είναι αυτή µε το γράµµα Η. Όταν το

διάνυσµα βρίσκεται πάνω στον άξονα T , όπως στο Σχήµα 3.2(β), τότε το κβαντικό

κέρµα βρίσκεται σίγουρα στην κατάσταση T , δηλαδή η πάνω όψη του είναι αυτή µε

το γράµµα Τ.

Μέχρι εδώ δεν φαίνεται να υπάρχει καµία διαφορά ανάµεσα στο κλασικό και στο

κβαντικό κέρµα. Όµως το κβαντικό κέρµα έχει µια ιδιότητα που δεν έχει το κλασικό.

Το διάνυσµα της κατάστασής του, εκτός από τις διευθύνσεις των αξόνων H και T ,

µπορεί να έχει οποιαδήποτε άλλη διεύθυνση, όπως φαίνεται στο Σχήµα 3.2(γ).

Τι συµβαίνει στην περίπτωση αυτή; Το κβαντικό κέρµα βρίσκεται ταυτόχρονα και

στην κατάσταση H και στην κατάσταση T . Αυτό ίσως να είναι λίγο δύσκολο να

το καταλάβουµε.

Ερχόµαστε πάλι στο Σχήµα 3.2(γ). Το διάνυσµα της κατάστασης του κβαντικού

κέρµατος δεν βρίσκεται ούτε πάνω στον άξονα H ούτε πάνω στον άξονα T , αλλά

σε µία ενδιάµεση διεύθυνση. Το κβαντικό κέρµα βρίσκεται και στην κατάσταση H

και στην κατάσταση T . Ας ονοµάσουµε την κατάσταση αυτή K . Η προβολή του

διανύσµατος της κατάστασης στον άξονα H έχει µήκος α και στον άξονα T έχει

µήκος b. Η κατάσταση K δίνεται από την παρακάτω σχέση:

TbHaK += (3.1)

Στη γλώσσα της κβαντικής µηχανικής λέµε ότι η κατάσταση K είναι υπέρθεση των

δύο καταστάσεων H και T .

38

∆εν έχουµε µετρήσει ακόµα την κατάσταση του κβαντικού κέρµατος. Αυτό που µας

ενδιαφέρει πάρα πολύ είναι να προβλέψουµε το αποτέλεσµα αυτής της µέτρησης.

Όταν ξέρουµε ότι το κβαντικό κέρµα βρίσκεται στην κατάσταση H , τότε µπορούµε

να προβλέψουµε µε απόλυτη βεβαιότητα πως όταν µετρήσουµε θα βρούµε το

κβαντικό κέρµα µε το γράµµα Η στην πάνω όψη. Το ίδιο και όταν ξέρουµε ότι το

κβαντικό κέρµα βρίσκεται στην κατάσταση T . Τότε, όταν µετρήσουµε, σίγουρα θα

βρούµε το κβαντικό κέρµα µε το γράµµα Τ στην πάνω όψη.

Ποιο θα είναι το αποτέλεσµα της µέτρησης όταν το κβαντικό κέρµα βρίσκεται στην

κατάσταση K ; Τα δυνατά αποτελέσµατα στην περίπτωση αυτή είναι δύο: το

κβαντικό κέρµα θα βρεθεί ή µε το γράµµα Η ή µε το γράµµα Τ στην πάνω όψη. Η

πιθανότητα να µετρήσουµε και να βρούµε το κβαντικό κέρµα µε το γράµµα Η στην

πάνω όψη είναι ίση µε |α|2 και η πιθανότητα να µετρήσουµε και να βρούµε το

κβαντικό κέρµα µε το γράµµα Τ στην πάνω όψη είναι ίση µε |b|2. Τα α και b είναι οι

προβολές του διανύσµατος της κατάστασης στους άξονες H και T που φαίνονται

στο Σχήµα 3.2(γ) και στη σχέση (3.1). Αυτή είναι όλη και όλη η πρόβλεψη για το

αποτέλεσµα της µέτρησης που µπορούµε να κάνουµε. Όσο και µε όποιον τρόπο και αν

προσπαθήσουµε, δε θα µπορέσουµε να αντλήσουµε περισσότερη πληροφορία από το

κβαντικό κέρµα, ώστε να κάνουµε µια καλύτερη πρόβλεψη για το αποτέλεσµα της

µέτρησης της κατάστασης του. ∆ηλαδή όταν το κβαντικό κέρµα δεν βρίσκεται στις

καταστάσεις H και T δεν µπορούµε να προβλέψουµε µε σιγουριά το αποτέλεσµα

της µέτρησης. Ξέρουµε όµως την πιθανότητα για το κάθε ένα από τα δύο

αποτελέσµατα.

Αφού λοιπόν η πιθανότητα να βρούµε το κβαντικό κέρµα µε το γράµµα Η στην πάνω

όψη είναι ίση µε |α|2 και η πιθανότητα να βρούµε το κβαντικό κέρµα µε το γράµµα Τ

στην πάνω όψη είναι ίση µε |b|2 και αφού αυτά είναι τα µόνα δυνατά αποτελέσµατα,

τότε θα πρέπει το άθροισµα των δύο πιθανοτήτων να είναι ίσο τη µονάδα:

122=+ ba (3.2)

∆ηλαδή το µήκος του διανύσµατος κατάστασης είναι πάντα ίσο µε τη µονάδα.

39

Η αρχή του βρίσκεται πάντα στο σηµείο τοµής των αξόνων H και T , και το τέλος

του πάνω στην περιφέρεια του κύκλου που έχει ως κέντρο το σηµείο τοµής των

αξόνων και ακτίνα ίση µε τη µονάδα. ∆ιαφορετικές διευθύνσεις του διανύσµατος

κατάστασης K αντιστοιχούν σε διαφορετικές τιµές για τα α και b και σε

διαφορετικές πιθανότητες για το κάθε ένα από τα δύο δυνατά αποτελέσµατα της

µέτρησης της κατάστασης.


Η κατάσταση ενός κβαντικού κέρµατος δίνεται από τη σχέση:

THK 866.0500.0 +=

Η πιθανότητα να µετρήσουµε και να βρούµε το κέρµα µε το γράµµα «Η» στην πάνω

όψη είναι 0.5002 = 0,25 δηλαδή 25%. Η πιθανότητα να µετρήσουµε και να βρούµε το

κέρµα µε το γράµµα «Τ» στην πάνω όψη είναι 0,8662 = 0,75 δηλαδή 75%.

Μέχρι τώρα είδαµε πολύ σηµαντικά πράγµατα. Αξίζει να τα δούµε πάλι συνοπτικά:

• Το κβαντικό κέρµα αντιπροσωπεύει τα κβαντικά συστήµατα δύο καταστάσεων.

• Η κατάσταση ενός κβαντικού συστήµατος δύο καταστάσεων περιγράφεται από το

διάνυσµα κατάστασης. Στην περίπτωση του κβαντικού κέρµατος, το διάνυσµα κα-

τάστασης φαίνεται στο Σχήµα 3.2. Από εδώ και πέρα οι όροι «κατάσταση» και

«διάνυσµα κατάστασης» θα είναι ισοδύναµοι, θα σηµαίνουν δηλαδή το ίδιο

πράγµα.

• Οι δύο δυνατές καταστάσεις, στις οποίες µπορεί να βρεθεί µετά από µέτρηση ένα

κβαντικό σύστηµα δύο καταστάσεων, ονοµάζονται βασικές καταστάσεις. Στην

περίπτωση του κβαντικού κέρµατος αυτές είναι οι H και T .

• Το κβαντικό σύστηµα µπορεί να βρεθεί και σε καταστάσεις που είναι υπερθέσεις

των δύο βασικών καταστάσεων. Η υπέρθεση των δύο βασικών καταστάσεων περι-

γράφεται από τη σχέση (3.1).

• Οι αριθµοί α και b, µε τους οποίους πολλαπλασιάζονται οι δύο βασικές

καταστάσεις στη σχέση (3.1), ονοµάζονται πλάτη πιθανότητας και είναι γενικά

µιγαδικοί αριθµοί. Το Σχήµα 3.2 απεικονίζει την περίπτωση που οι α και b είναι

40

θετικοί πραγµατικοί αριθµοί. Στη γενική περίπτωση που τα πλάτη πιθανότητας

είναι µιγαδικά τότε το διάνυσµα κατάστασης υπάρχει σε έναν χώρο που

ονοµάζεται χώρος Hilbert.

• Η µέτρηση της κατάστασης ενός κβαντικού συστήµατος δύο καταστάσεων µπορεί

να έχει µόνο δύο δυνατά αποτελέσµατα που αντιστοιχούν στις δύο βασικές κατα-

στάσεις. Η µέτρηση καταστρέφει την υπέρθεση και αναγκάζει το κβαντικό

σύστηµα να βρεθεί σε µία από τις δύο βασικές καταστάσεις. Αυτό ονοµάζεται

«καταστροφή της υπέρθεσης». Είναι η κατάρρευση της «κυµατοσυνάρτησης» που

είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο.

• ∆εν µπορούµε να προβλέψουµε µε βεβαιότητα το αποτέλεσµα της µέτρησης της

κατάστασης ενός κβαντικού συστήµατος που βρίσκεται σε υπέρθεση

καταστάσεων. Το µόνο που µπορούµε να ξέρουµε, είναι οι πιθανότητες να

µετρήσουµε µία από τις δύο βασικές καταστάσεις. Οι πιθανότητες δίνονται από το

τετράγωνο των πλατών πιθανότητας. Στην περίπτωση του κβαντικού κέρµατος οι

πιθανότητες δίνονται από τα |α|2 και |b|2 τα οποία είναι µέσα στο σύµβολο της

απόλυτης τιµής, γιατί γενικά είναι µιγαδικοί αριθµοί.

• Το µήκος του διανύσµατος κατάστασης είναι πάντα ίσο µε τη µονάδα. Αυτό ισχύει

για όλα τα κβαντικά συστήµατα και είναι έτσι, για να µπορεί το άθροισµα των

πιθανοτήτων να είναι πάντα ίσο µε τη µονάδα. Αυτό πρακτικά σηµαίνει ότι έχουµε

τη δυνατότητα να γνωρίζουµε όλες τις βασικές καταστάσεις ενός κβαντικού

συστήµατος.

[NiCh2000, σελ.13-14] [Καρ05][WiCl98]

41

Ο παρακάτω πίνακας [WiCl2000, σελ.24] περιγράφει τις διαφορές µεταξύ ενός

κλασικού και ενός κβαντικού bit (qubit) (τo qubit είναι ένα κβαντικό σύστηµα δύο

καταστάσεων). Μέχρι το τέλος της εργασίας, θα έχουν εξηγηθεί οι διαφορές.

Πίνακας 3.1 Οι διαφορές µεταξύ ενός κλασικού και ενός κβαντικού bit (qubit)

Ισχυρισµός Κλασικό bit Κβαντικό bit

Ένα bit έχει πάντα µία συγκεκριµένη τιµή.

Αληθής Ψευδής. Ένα qubit αποκτάει µία συγκεκριµένη τιµή, µόνο όταν το µετρήσουµε.

Ένα bit µπορεί να έχει την τιµή 0 ή την τιµή 1.

Αληθής

Ψευδής. Ένα qubit µπορεί να είναι σε οποιαδήποτε κατάσταση µεταξύ 0 και 1. (υπέρθεση)

Μπορούµε να αντιγράψουµε ένα bit.

Αληθής

Ψευδής. ∆εν µπορούµε να αντιγράψουµε ένα qubit, στη γενική περίπτωση (no-cloning theorem)

Μπορούµε να διαβάσουµε ένα bit, χωρίς να αλλάξει

την τιµή του. Αληθής

Ψευδής. Αν διαβάσουµε ένα qubit (που βρίσκεται σε υπέρθεση καταστάσεων), τότε η τιµή που είχε πριν χάνεται και αποκτά την τιµή που διαβάσαµε.

Το διάβασµα ενός bit δεν επηρεάζει τα υπόλοιπα

bit. Αληθής

Ψευδής. Αν διαβάσουµε ένα qubit (που βρίσκεται σε κβαντική διεµπλοκή), τότε καθορίζονται και τα υπόλοιπα qubit (βλ. αλγόριθµος του Shor)

3.2 ∆ιανύσµατα Bra και Ket

[Καρ05] [NiCh2000, σελ.13] [Χατζ06, σελ.12]

Bracket στα Αγγλικά είναι η αγκύλη. Ως αγκύλες χρησιµοποιούνται και τα σύµβολα >

και <. Ο Paul Dirac, ένας από τους µεγάλους φυσικούς που συνέβαλαν στην ανάπτυξη

της κβαντικής µηχανικής, συµβόλισε τα διανύσµατα κατάστασης των κβαντικών

συστηµάτων βάζοντας τα σε µισές αγκύλες, δηλαδή σε: και . Το πρώτο

σύµβολο το ονόµασε bra, από τα τρία πρώτα γράµµατα της λέξης bracket και το

δεύτερο ket, από τα τρία τελευταία γράµµατα της ίδιας λέξης.

42

3.2.1 ∆ιανύσµατα Ket

Τα διανύσµατα ket µπορούν να γραφούν ως πίνακες µε µία στήλη. Οι πίνακες αυτοί

ονοµάζονται πίνακες κατάστασης. Στην περίπτωση των κβαντικών συστηµάτων δύο

καταστάσεων οι πίνακες αυτοί έχουν δύο στοιχεία. Τα διανύσµατα κατάστασης H ,

T και K που είδαµε προηγουµένως είναι διανύσµατα ket.

Παρακάτω θα γράψουµε το γνωστό µας διάνυσµα κατάστασης K ως πίνακα:

=+=

b

aTbHaK (3.3)

∆ηλαδή, τα δύο στοιχεία του πίνακα είναι τα µήκη της προβολής του K στους άξονες

των H και T . Τώρα θα δούµε τα διανύσµατα ket των βασικών καταστάσεων.

∆ιανύσµατα ket των βασικών καταστάσεων

Για το H θα γράψουµε:

=+=

0

101 THH (3.4)

Για το T θα γράψουµε:

=+=

1

010 THT (3.5)

43

3.2.2 ∆ιανύσµατα Bra

Σε κάθε ket αντιστοιχεί ένα bra. [Κων07, σελ.14]

Για να καταλάβουµε καλύτερα τη σχέση των διανυσµάτων bra και ket ας γράψουµε το

γνωστό µας διάνυσµα κατάστασης K ως διάνυσµα bra:

[ ]∗∗∗∗ =+= baTbHaK (3.6)

όπου α* και b* είναι οι µιγαδικοί συζυγείς των α και b. Να θυµηθούµε εδώ ότι ο

µιγαδικός συζυγής του αριθµού (p + iq) είναι ο (p – iq). ∆ηλαδή, ο πίνακας που

αντιστοιχεί στο διάνυσµα K προκύπτει από τον πίνακα που αντιστοιχεί στο

διάνυσµα K µε τη µετατροπή της στήλης σε γραµµή και µε την αντικατάσταση των

στοιχείων από τα µιγαδικά συζυγή τους . Με τον ίδιο τρόπο γράφουµε και τα

διανύσµατα bra των βασικών καταστάσεων:

[ ]0101 =+= THH (3.7)

[ ]1010 =+= THT (3.8)

[Καρ05]

44

3.3 Εσωτερικό και εξωτερικό γινόµενο

[Καρ05][NiCh2000, σελ.65] [Χατζ06, σελ.12-13] [Daw08, Lecture 2]

Ας θεωρήσουµε τώρα µία άλλη κατάσταση του κβαντικού κέρµατος την N :

=+=

d

cTdHcN (3.9)

όπου, φυσικά:

122=+ dc (3.10)

∆ηλαδή, όταν το κβαντικό κέρµα βρίσκεται στην κατάσταση αυτή, η πιθανότητα να µε-

τρήσουµε και να βρούµε το κβαντικό κέρµα µε το γράµµα Η στην πάνω όψη είναι ίση

µε 2

c και η πιθανότητα να βρούµε το κβαντικό κέρµα µε το γράµµα Τ στην πάνω όψη

είναι ίση µε 2

d .

45

3.3.1 Εσωτερικό γινόµενο

Το εσωτερικό γινόµενο των δύο καταστάσεων N και K γράφεται KN , δηλαδή

είναι το γινόµενο του bra της πρώτης κατάστασης επί το ket της δεύτερης. Ας το δούµε

και µε µορφή πινάκων:

[ ] bdacb

adcKN ∗∗∗∗ +=

= (3.11)

To εσωτερικό γινόµενο δύο καταστάσεων είναι ένας αριθµός (µιγαδικός στη γενική

περίπτωση).

Παρακάτω θα υπολογίσουµε τα εσωτερικά γινόµενα των βασικών καταστάσεων του

κβαντικού κέρµατος.

[ ] 01

0 01 =

=TH

[ ] 10

1 01 =

=HH

[ ] 00

1 10 =

=HT

[ ] 11

0 10 =

=TT

(3.12)

Όταν το εσωτερικό γινόµενο δύο καταστάσεων είναι µηδέν, τότε οι δύο καταστάσεις ο-

νοµάζονται ορθογώνιες (orthogonal states). Όλες οι βασικές καταστάσεις είναι

ορθογώνιες µεταξύ τους. Αυτό µπορούµε να το γράψουµε ως εξής:

jkkj δ= (3.13)

όπου τα j και k συµβολίζουν τις βασικές καταστάσεις ενός κβαντικού συστήµατος. Στην

περίπτωση του κβαντικού κέρµατος τα j και k είναι τα H και Τ.

46

∆ηλαδή το εσωτερικό γινόµενο δύο βασικών καταστάσεων είναι ίσο µε το µηδέν, εκτός

από την περίπτωση του γινοµένου bra επί ket της ίδιας βασικής κατάστασης, οπότε

είναι ίσο µε ένα.


∆ίνονται οι παρακάτω δύο καταστάσεις. (Θυµίζουµε εδώ και πάλι ότι οι έννοιες

«κατάσταση» και «διάνυσµα κατάστασης» είναι ταυτόσηµες):

THK 866.0500.0 −=

THN 500.0866.0 +=

Θα υπολογίσουµε πρώτα το εσωτερικό γινόµενο KN :

[ ] 0433.0433.0866.0

500.0 500.0866.0 =−=

−=KN

∆ηλαδή οι δύο καταστάσεις είναι ορθογώνιες µεταξύ τους.

Στη συνέχεια θα υπολογίσουµε το εσωτερικό γινόµενο KK :

[ ] 175.025.0866.0

500.0 866.0500.0 =+=

−−=KK

47

3.3.2 Εξωτερικό γινόµενο

Το εξωτερικό γινόµενο των δύο καταστάσεων N και K γράφεται KN ,

δηλαδή είναι το γινόµενο του ket της πρώτης κατάστασης επί το bra της δεύτερης.

Ας το δούµε και µε µορφή πινάκων χρησιµοποιώντας τις καταστάσεις N και K

που δίνονται από τις (3.9) και (3.3):

[ ]

⋅⋅

⋅⋅=

=

∗∗

∗∗∗∗

bdad

bcacba

d

cKN (3.14)

∆ηλαδή το εξωτερικό γινόµενο δύο καταστάσεων είναι ένας πίνακας.


∆ίνονται οι παρακάτω δύο καταστάσεις:

THK 866.0500.0 −=

THN 500.0866.0 +=

Θα υπολογίσουµε το εξωτερικό γινόµενο KN :

[ ]

−=−

=

433.0250.0

750.0433.0866.0500.0

500.0

866.0KN

Ας συνοψίσουµε:

• Οι καταστάσεις ενός κβαντικού συστήµατος παριστάνονται µε διανύσµατα bra και ket.

• Το εσωτερικό γινόµενο δύο καταστάσεων είναι ένας αριθµός.

• Όταν το εσωτερικό γινόµενο δύο καταστάσεων είναι µηδέν, οι καταστάσεις αυτές

είναι ορθογώνιες µεταξύ τους.

• Οι βασικές καταστάσεις ενός κβαντικού συστήµατος είναι ορθογώνιες µεταξύ

τους.

• Το εξωτερικό γινόµενο δύο καταστάσεων είναι ένας πίνακας.

48

3.4 Τελεστές αλλαγής της κατάστασης ενός κλασικού κέρµατος

Ας δούµε πρώτα πώς µπορούµε να αλλάξουµε την κατάσταση του κλασικού

κέρµατος. Όπως έχουµε πει, το κλασικό κέρµα µπορεί να βρεθεί σε δύο µόνο

καταστάσεις: ή στην κατάσταση «Η» ή στην κατάσταση «Τ». Ας γράψουµε αυτές τις

καταστάσεις ως πίνακες:

«Η» =

0

1 και «Τ» =

1

0 (3.15)

∆ύο πράγµατα µπορείτε να κάνετε σε ένα κλασικό κέρµα:

α) ή να το αφήσετε όπως είναι

β) ή να το στρέψετε, ώστε η πάνω όψη να πάει κάτω.

Γενικά οι δράσεις που ασκούνται σε συστήµατα περιγράφονται από µαθηµατικά

αντικείµενα που ονοµάζονται τελεστές. Οι τελεστές στην κβαντική µηχανική µπορούν

να παρασταθούν µε πίνακες. Θα συµβολίζουµε τους πίνακες µε κεφαλαίο γράµµα και

τους τελεστές µε κεφαλαίο γράµµα το οποίο θα έχει πάνω του το σύµβολο ^.

Ας συµβολίσουµε τη δράση «δεν κάνω τίποτα», δηλαδή αφήνω το κέρµα όπως είναι,

µε τον τελεστή I)

. Ο τελεστής I)

περιγράφεται από τον πίνακα I:

=

10

01I (3.16)

Ας συµβολίσουµε τη δράση «στρέφω το κέρµα» µε τον τελεστή A)

. Ο αντίστοιχος

πίνακας Α είναι:

=

01

10A (3.17)

49

Θεωρούµε ότι το κλασικό κέρµα βρίσκεται στην κατάσταση «Τ» και το στρέφουµε,

ώστε να βρεθεί στην κατάσταση «Η». Με τη µορφή των τελεστών αυτό γράφεται:

A)

«Τ» = «Η» (3.18)


=

0

1

1

0

01

10

(3.19)

Αν το κέρµα βρίσκεται στην κατάσταση «Τ» και το αφήνουµε όπως είναι, γράφουµε:

I)

«Τ» = «Τ» (3.20)


=

1

0

1

0

10

01 (3.21)

Με τον ίδιο τρόπο γράφουµε και τις περιπτώσεις που το κλασικό κέρµα βρίσκεται

στην κατάσταση «Η» και το στρέφουµε ή το αφήνουµε όπως είναι.

50

3.5 Τελεστές αλλαγής της κατάστασης ενός κβαντικού κέρµατος

Ας δούµε τώρα και το κβαντικό κέρµα. Όπως και το κλασικό κέρµα, µπορούµε να το

αφήσουµε όπως είναι ή να το στρέψουµε. Μπορούµε όµως να δράσουµε στο κβαντικό

κέρµα µε τρόπους που δεν έχουν κλασικό αντίστοιχο, µπορούµε δηλαδή να

πολλαπλασιάσουµε τον πίνακα της κατάστασης του και µε άλλους πολλούς πίνακες µε

2x2 στοιχεία. Για παράδειγµα, αν το κβαντικό κέρµα βρίσκεται στη βασική

κατάσταση H , µπορούµε να δράσουµε όπως παρακάτω:

=

−

23

21

0

1

21

23

23

21

(3.22)

∆ηλαδή η δράση µας είχε ως αποτέλεσµα τη µετάβαση του κβαντικού κέρµατος από

τη βασική κατάσταση H σε µία νέα κατάσταση L που είναι υπέρθεση των

βασικών καταστάσεων και δίνεται από:

THL23

21

+= (3.23)

Το αποτέλεσµα της δράσης αυτής φαίνεται στο Σχήµα 3.3.

Σχήµα 3-3 Σχηµατική παράσταση της δράσης που περιγράφεται από την σχέση (3.22).

(α) Το διάνυσµα κατάστασης βρίσκεται πάνω στον άξονα H και το κβαντικό κέρµα

βρίσκεται στην κατάσταση H .

(β) Η νέα κατάσταση L .

51

Στο Σχήµα 3.3(α) φαίνεται ότι το κβαντικό κέρµα βρίσκεται στη βασική κατάσταση

H και στο Σχήµα 3.3(β) φαίνεται η κατάσταση µετά τη δράση που περιγράφεται

από την (3.22). Μπορούµε να πούµε ότι περιστρέψαµε το διάνυσµα κατάστασης του

κβαντικού κέρµατος 60° κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού.

Εκτός δηλαδή από τις δύο δράσεις «δεν κάνω τίποτα» και «στρέφω το κέρµα», που

µπορούν να ασκηθούν και στο κλασικό και στο κβαντικό κέρµα, υπάρχουν και άλλες

πολλές δράσεις που µπορούν να ασκηθούν µόνο στο κβαντικό κέρµα. Οι δράσεις

αυτές έχουν ως αποτέλεσµα την περιστροφή του διανύσµατος κατάστασης του

κβαντικού κέρµατος. Οι δράσεις αυτές (οι τελεστές αυτοί) περιγράφονται µε πίνακες

µε 2x2 στοιχεία. Τα στοιχεία αυτά είναι γενικά µιγαδικά, οπότε η περιστροφή του

διανύσµατος γίνεται στον χώρο Hilbert και τότε δεν µπορούµε να την απεικονίσουµε

µε το Σχήµα 3.3 όπως κάναµε προηγουµένως.

Όλοι οι πίνακες µε 2x2 στοιχεία µπορούν να παραστήσουν δράσεις που περιστρέφουν

το διάνυσµα κατάστασης; Όχι. Το µήκος του διανύσµατος κατάστασης πρέπει πάντα

να είναι ίσο µε τη µονάδα, άρα αποκλείονται οι πίνακες που, όταν τους

πολλαπλασιάζουµε µε πίνακες καταστάσεων, µεταβάλουν το µήκος του διανύσµατος

κατάστασης.

Υπάρχει ακόµη ένας περιορισµός. Η κβαντική µηχανική είναι συµµετρική ως προς τη

φορά του χρόνου. ∆ηλαδή, αν δεν είµαστε αυστηροί, µπορούµε να πούµε ότι η

συµπεριφορά ενός κβαντικού συστήµατος δεν αλλάζει, αν αλλάξει η φορά ροής του

χρόνου. Αυτό για το κβαντικό κέρµα σηµαίνει ότι, αν µε µία δράση αλλάζουµε την

κατάσταση του από K σε L , τότε πρέπει µε την αντίστροφη δράση να µπορούµε

να γυρίσουµε την κατάσταση από L πίσω στην K . ∆ηλαδή, αν

πολλαπλασιάζοντας µε έναν πίνακα την κατάσταση K παίρνουµε την κατάσταση

L τότε πολλαπλασιάζοντας την κατάσταση L µε τον αντίστροφο αυτού του

πίνακα πρέπει να πάρουµε την κατάσταση K . Οι µιγαδικοί πίνακες που είναι

κατάλληλοι για την περιστροφή διανυσµάτων κατάστασης ονοµάζονται

ορθοµοναδιαίοι. (βλ. Παράρτηµα B)

52


∆ίνεται η παρακάτω κατάσταση:

THL23

21

+=

∆ρούµε στην κατάσταση αυτή για να πάρουµε µία νέα κατάσταση. Η δράση µας

περιγράφεται από τον πίνακα Η:

−+

++

=

2

1

2

1

2

1

2

1

H

Υπολογίζουµε τη νέα κατάσταση K :

−

+

=

−+

++

22

31

22

31

2

3

21

2

1

2

1

2

1

2

1

οπότε:

THK22

31

22

31 −+

+=

Ας δούµε αν το µήκος του διανύσµατος K είναι ίσο µε τη µονάδα:

18

32318

3231

22

31

22

3122

=−+

+++

=−

++

Το µήκος του διανύσµατος K είναι ίσο µε τη µονάδα.

53

Ας συνοψίσουµε:

• Σε ένα κλασικό σύστηµα δύο καταστάσεων µπορούµε να ασκήσουµε δύο δράσεις.

∆ηλαδή, ή να το αφήσουµε όπως είναι ή να του αλλάξουµε κατάσταση, από αυτή

που βρίσκεται στην άλλη.

• Σε ένα κβαντικό σύστηµα δύο καταστάσεων (για να είµαστε πιο ακριβείς πρέπει

να πούµε δύο βασικών καταστάσεων) εκτός από τις προηγούµενες δύο δράσεις,

µπορούµε να ασκήσουµε και άλλες δράσεις, µεταφέροντας το από µία βασική

κατάσταση σε οποιαδήποτε υπέρθεση βασικών καταστάσεων. Μπορούµε επίσης

να το µεταφέρουµε και από µία υπέρθεση καταστάσεων σε µία άλλη υπέρθεση

καταστάσεων όπως κάναµε στο παράδειγµα 3.4. Φυσικά µπορούµε να το

µεταφέρουµε και από τη µία βασική κατάσταση στην άλλη.

• Οι δράσεις αυτές ονοµάζονται τελεστές και περιγράφονται από τετραγωνικούς

πίνακες που έχουν 2x2 στοιχεία. Τα στοιχεία αυτά είναι µιγαδικά.

• Οι δράσεις είναι περιστροφές του διανύσµατος κατάστασης.

• Θυµηθείτε ότι οι όροι «κατάσταση», «διάνυσµα κατάστασης» και «πίνακας

κατάστασης» σηµαίνουν το ίδιο πράγµα. Το ίδιο και οι όροι «δράση» και

«τελεστής». Οι τελεστές περιγράφονται µε πίνακες.

• Οι µιγαδικοί πίνακες που είναι κατάλληλοι για την περιστροφή διανυσµάτων

κατάστασης ονοµάζονται ορθοµοναδιαίοι.


Οι τελεστές που περιστρέφουν διανύσµατα κατάστασης είναι οι κβαντικές πύλες που

συνθέτουν τους κβαντικούς υπολογιστές, όπως οι λογικές πύλες (AND, OR, NOT)

συνθέτουν τους κλασικούς υπολογιστές.

54

3.6 Πώς κέρδισε ο Quant το κβαντικό παιχνίδι

Έχουµε µάθει αρκετά πράγµατα για τα κβαντικά συστήµατα δύο καταστάσεων και

µπορούµε να εξηγήσουµε πώς κέρδισε ο Quant (Παράρτηµα Α - Ένα κβαντικό

παιχνίδι). Ας δούµε το παιχνίδι βήµα προς βήµα:

1. Ο Captain Class βάζει το κέρµα στο τραπέζι µε την πλευρά που έχει το γράµµα Η

προς τα πάνω. Η κατάσταση του κέρµατος δίνεται από τον πίνακα:

0

1

Ο Captain Class γράφει το γράµµα Η σε ένα χαρτί, βάζει το χαρτί σε ένα φάκελο, τον

σφραγίζει, τον βάζει στην άκρη του τραπεζιού και καλύπτει το κέρµα.

2. Ο Quant έρχεται στο δωµάτιο και βάζει το χέρι του µέσα στο κάλυµµα για να

δράσει στο κέρµα. Ο Quant είναι κβαντική οντότητα και µε τη δράση του φέρνει το

κέρµα σε υπέρθεση καταστάσεων. Επιλέγει να χρησιµοποιήσει τη δράση που

περιγράφεται από τον πίνακα Η που είδαµε στο παράδειγµα 3.4. Θα υπολογίσουµε τη

νέα κατάσταση του κέρµατος:

=

−+

++

2

1

2

1

0

1

2

1

2

1

2

1

2

1

3. Ο Captain Class βάζει το χέρι του µέσα στο κάλυµµα και δρα στο κέρµα. Ο Captain

Class µπορεί να δράσει µε δύο µόνο τρόπους. Μπορεί να αφήσει το κέρµα όπως είναι

ή να το στρέψει. Οι δύο αυτές δράσεις περιγράφονται από τους πίνακες Ι και Α που

δίνονται από τις σχέσεις (3.16) και (3.17). Επιλέγει να στρέψει το κέρµα. Ας

υπολογίσουµε τη νέα κατάσταση του κέρµατος:

55

=

2

1

2

1

2

1

2

1

01

10

4. Ο Quant βάζει για δεύτερη φορά το χέρι του µέσα στο κάλυµµα, για να δράσει στο

κέρµα. Επιλέγει και αυτή τη φορά να χρησιµοποιήσει τη δράση που περιγράφεται από

τον πίνακα Η. Θα υπολογίσουµε τη νέα κατάσταση του κέρµατος:

=

−+

++

0

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

5. Βγάζουν το κάλυµµα, ανοίγουν το φάκελο και βρίσκουν το κέρµα µε την αρχική

όψη προς τα επάνω. Ο Captain Class χάνει.

Ας κάνουµε τώρα όλους τους υπολογισµούς µαζί:

=

−+

++

−+

++

0

1

0

1

2

1

2

1

2

1

2

1

01

10

2

1

2

1

2

1

2

1

(3.24)

Στο δεξιό µέρος της εξίσωσης (3.24) βρίσκεται ο πίνακας της τελικής κατάσταση του

κέρµατος. Στο αριστερό µέρος της (3.24) αµέσως αριστερά από το ίσον βρίσκεται ο

πίνακας της αρχικής κατάστασης του κέρµατος. Ο πίνακας που περιγράφει την πρώτη

δράση, δηλαδή τη δράση του Quant, τοποθετείται αµέσως αριστερά από τον πίνακα

της αρχικής κατάστασης. Ο πίνακας που περιγράφει τη δεύτερη δράση, δηλαδή τη

δράση του Captain Class, τοποθετείται αµέσως αριστερά από τον πίνακα της πρώτης

δράσης. Τέλος, αριστερά από τον πίνακα της δεύτερης δράσης τοποθετείται ο πίνακας

που περιγράφει την τρίτη δράση, δηλαδή την τελευταία δράση του Quant.

56

Οι πίνακες που περιγράφουν δράσεις τοποθετούνται από τα αριστερά προς τα

δεξιά σύµφωνα µε τη χρονική σειρά που ασκήθηκαν οι δράσεις. Αυτό είναι πολύ

σηµαντικό.

Συνολικά υπάρχουν 4 περιπτώσεις που µπορούν να εµφανιστούν. Θα δούµε τώρα έναν

άλλο γύρο του παιχνιδιού. Και αυτή τη φορά ο Captain Class τοποθετεί αρχικά το

κέρµα στο τραπέζι µε την πλευρά που έχει το γράµµα Η προς τα πάνω. Όταν έρχεται

όµως η σειρά του να δράσει, επιλέγει να αφήσει το κέρµα όπως είναι. Η δράση του

αυτή περιγράφεται από τον πίνακα Ι. Ο Quant επιλέγει πάλι την ίδια δράση. Θα

κάνουµε όλους τους υπολογισµούς µαζί:

=

+

+

−+

++

=

+

+

−+

++

=

−+

++

−+

++

0

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

10

01

2

1

2

1

2

1

2

1

0

1

2

1

2

1

2

1

2

1

10

01

2

1

2

1

2

1

2

1

(3.25)

Ο Quant πάλι κερδίζει.

Θα δούµε τώρα την 3η περίπτωση. Αυτή τη φορά ο Captain Class τοποθετεί αρχικά το

κέρµα στο τραπέζι µε την πλευρά που έχει το γράµµα T προς τα πάνω. Όταν έρχεται

όµως η σειρά του να δράσει, επιλέγει να αφήσει το κέρµα όπως είναι (ο Quant επιλέγει

πάλι την ίδια δράση):

57

=

−

+

−+

++

=

−

+

−+

++

=

−+

++

−+

++

1

0

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

10

01

2

1

2

1

2

1

2

1

1

0

2

1

2

1

2

1

2

1

10

01

2

1

2

1

2

1

2

1

(3.26)


Θα δούµε τώρα και την τελευταία (4η) περίπτωση. Αυτή τη φορά ο Captain Class

τοποθετεί αρχικά το κέρµα στο τραπέζι µε την πλευρά που έχει το γράµµα T προς τα

πάνω. Όταν έρχεται όµως η σειρά του να δράσει, επιλέγει να στρέψει το κέρµα (ο

Quant επιλέγει πάλι την ίδια δράση):

−

=

+

−

−+

++

=

−

+

−+

++

=

−+

++

−+

++

1

0

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

01

10

2

1

2

1

2

1

2

1

1

0

2

1

2

1

2

1

2

1

01

10

2

1

2

1

2

1

2

1

(3.27)

Άρα η κατάσταση του κβαντικού κέρµατος είναι TH 10 − . Όταν µετρήσουµε το

κέρµα, αυτό θα βρεθεί στη κατάσταση T µε πιθανότητα |-1|2 = 1, δηλαδή 100%.


58

Ο Quant πάντα κερδίζει επιλέγοντας την ίδια δράση άσχετα µε το τι θα κάνει ο

Captain Class.


1. Στο παιχνίδι αυτό ο Captain Class αντιπροσωπεύει έναν κλασικό υπολογιστή και ο

Quant έναν κβαντικό υπολογιστή.

2. Οι σχέσεις (3.24) έως και (3.27) είναι οι πρώτοι µας κβαντικοί υπολογισµοί.

3. Το παιχνίδι αυτό δείχνει µόνο ένα µέρος από τις δυνατότητες των κβαντικών

υπολογιστών που προέρχεται από την υπέρθεση των βασικών καταστάσεων.

4. Η δράση του Quant που περιγράφεται από τον πίνακα Η είναι η κβαντική πύλη

Hadamard (θα τη µελετήσουµε στο Κεφ 5).

59

Bιβλιογραφία 3ου κεφαλαίου

[Καρ05] Καραφυλλίδης Ιωάννης (2005). Κβαντικοί Υπολογιστές – Βασικές Έννοιες, Αθήνα: Εκδόσεις Κλειδάριθµος. σελ.17-41

[Χατζ06] Χατζησάββας Χ. Κωνσταντίνος (2006). Μελέτη προβληµάτων για την

υλοποίηση κβαντικών υπολογιστών και κβαντική πληροφορία, ∆ιδακτορική ∆ιατριβή, Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης, Τµήµα Φυσικής.



[NiCh2000] Nielsen A. Michael and Chuang L. Isaac (2000). Quantum Computation

and Quantum Information, Cambridge University Press. [Sten05] Stenholm Stig and Suominen Kalle-Antti (2005). Quantum Approach to

Informatics, New Jersey: Wiley -Interscience [WiCl98] Williams P. Colin and Clearwater H. Scott (1998). Explorations in


[WiCl2000] Williams P. Colin and Clearwater H. Scott (2000). Ultimate Zero and

One: Computing at the Quantum Frontier, New York: Springer – Verlag, Copernicus.

60

Κεφάλαιο 4

Κβαντικά bit και κβαντικοί καταχωρητές

4.1 Το κβαντικό bit

[CaPa01, σελ.190-192] [NaOh08, σελ.51-52] [Καρ05] [Χατζ06]

Στους κλασικούς υπολογιστές µονάδα πληροφορίας είναι το bit. Ένα bit πληροφορίας,

µπορεί να πάρει µόνο δύο τιµές την «0» και την «1».

Στους κβαντικούς υπολογιστές µονάδα πληροφορίας είναι το κβαντικό bit (quantum bit)

το οποίο για συντοµία γράφεται ως qubit. To qubit είναι ένα κβαντικό σύστηµα δύο

καταστάσεων, όπως το κβαντικό κέρµα που είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο. Όπως θα

θυµάστε, συµβολίσαµε τις δύο βασικές καταστάσεις του κβαντικού κέρµατος µε H και

T . Οι δύο βασικές καταστάσεις του qubit συµβολίζονται µε 0 και 1 .

Υπάρχουν αρκετά κβαντικά συστήµατα δύο καταστάσεων τα οποία µπορούν να

χρησιµοποιηθούν ως qubits.

1. Για παράδειγµα, η κατάσταση του spin ενός σωµατιδίου µε spin ½, µπορεί να

θεωρηθεί ως qubit, όπου η κατάσταση spin +½ αντιστοιχεί στη βασική κατάσταση 0 και

η κατάσταση spin –½ στη βασική κατάσταση 1 :

021

→+ και 12

1→− (4.1)

2. Επίσης, η διεύθυνση πόλωσης ενός φωτονίου µπορεί να αναπαραστήσει ένα qubit,

όπου η οριζόντια πόλωση αντιστοιχεί στην κατάσταση 0 και η κάθετη στην

1 .

61

3. To qubit µπορεί να αναπαρασταθεί από τον τρόπο ταλάντωσης δύο ιόντων που

βρίσκονται µέσα σε µία παγίδα ιόντων.

4. Όπως φαίνεται στο σχήµα 4.1, ένα qubit µπορεί να αναπαρασταθεί και από δύο

διακριτά ενεργειακά επίπεδα, Em και Εn, σε ένα άτοµο ή σε µία κβαντική τελεία. Η

παρουσία ενός ηλεκτρονίου µε ενέργεια ίση µε Εm, αντιστοιχεί στην κατάσταση 1

και η παρουσία ενός ηλεκτρονίου µε ενέργεια ίση µε Εn, αντιστοιχεί στην

κατάσταση 0 .

Σχήµα 4.1 Αναπαράσταση ενός qubit από δύο διακριτά ενεργειακά επίπεδα Em και Εn (α) σε ένα άτοµο

και (β) σε µία κβαντική τελεία.

Η τεχνολογία κατασκευής των κβαντικών υπολογιστών θα καθορίσει ποιο

φυσικό κβαντικό σύστηµα δύο καταστάσεων θα επιλεγεί για να αναπαραστήσει το

qubit. Εµείς θέλουµε, στην παρούσα φάση, να περιγράψουµε τα βασικά

χαρακτηριστικά και τη λειτουργία των κβαντικών υπολογιστών ανεξάρτητα από την

τεχνολογία κατασκευής, οπότε δε χρειάζεται να προσδιορίσουµε ποιο φυσικό κβαντικό

σύστηµα δύο καταστάσεων χρησιµοποιούµε ως qubit.

62

Όπως το κβαντικό κέρµα, το qubit µπορεί να βρεθεί σε οποιαδήποτε υπέρθεση των

δύο βασικών καταστάσεων:

q = a0 + b1 όπου |a|2 + |b|2 =1 (4.2)

Οι δύο βασικές καταστάσεις του qubit µπορούν να γραφούν ως πίνακες, όπως και οι

βασικές καταστάσεις του κβαντικού κέρµατος:

0 =

0

1 και 1 =

1

0 (4.3)

Το ίδιο και η υπέρθεση καταστάσεων:

q = a0 + b1 = a

0

1 + b

1

0 =

b

a (4.4)

Όπως και στο κβαντικό κέρµα, οι βασικές καταστάσεις ενός qubit είναι ορθογώνιες µεταξύ

τους:

100 = 010 =

001 = 111 =

(4.5)

Οι αριθµοί α και b των εξισώσεων (4.2) και (4.4) ονοµάζονται πλάτη πιθανότητας και είναι

µιγαδικοί αριθµοί. Το διάνυσµα κατάστασης q του qubit είναι ένα διάνυσµα στο χώρο

Hilbert που έχει δύο διαστάσεις. (Ο ορισµός και τα κύρια χαρακτηριστικά του χώρου Hilbert

δίνονται στο Παράρτηµα Γ). ∆εν µπορούµε εποµένως να αναπαραστήσουµε το διάνυσµα

κατάστασης του qubit όπως προηγουµένως (Σχήµατα 3.2 και 3.3). Όπως είχαµε πει, µια

τέτοια αναπαράσταση µπορεί να γίνει µόνο όταν τα a και b είναι πραγµατικοί αριθµοί.

63

4.2 Αναπαράσταση του qubit - Σφαίρα Bloch [Καρ05] [Sten05] [NaOh08, σελ.53-54] [WiCl98, σελ.52-53] [WiCl2000] [Bel06, σελ.33-34] [NiCh2000, σελ.15] [Χατζ06, σελ.20][Ril06, σελ.120-121]

Μια πολύ χρήσιµη παράσταση για το qubit, η οποία απεικονίζει σχεδόν όλα τα

χαρακτηριστικά του είναι η σφαίρα Bloch.

Η σφαίρα Bloch έχει ακτίνα ίση µε τη µονάδα και το διάνυσµα κατάστασης q του

qubit, έχει την αρχή του στο κέντρο της σφαίρας και το τέλος του σε κάποιο σηµείο της

επιφάνειας της σφαίρας. Φυσικά, το µήκος του q είναι ίσο µε τη µονάδα.

Σχήµα 4.2 Τρεις σφαίρες Bloch και τρία διαφορετικά διανύσµατα κατάστασης q

Στο Σχήµα 4.2 φαίνονται τρία διαφορετικά διανύσµατα κατάστασης. Όταν το qubit

βρίσκεται στη βασική κατάσταση 0 , το διάνυσµα του είναι κατακόρυφο µε φορά προς

τα επάνω και, όταν βρίσκεται στην βασική κατάσταση 1 , το διάνυσµα του είναι

κατακόρυφο µε φορά προς τα κάτω. Προσέξτε ότι ενώ οι καταστάσεις 0 και 1

είναι ορθογώνιες µεταξύ τους, στη σφαίρα Bloch εµφανίζονται στην ίδια γραµµή. Όπως

έχουµε πει, η σφαίρα Bloch απεικονίζει σχεδόν όλα τα χαρακτηριστικά του qubit.

64

Για µια οπτικοποίηση της σφαίρας Bloch δείτε το παρακάτω applet

http://pegasus.cc.ucf.edu/~jcastro/java/BlochSphere.html [Ril06, σελ.120]

Αφού λοιπόν τα πλάτη πιθανότητας a και b είναι µιγαδικοί αριθµοί, µπορούµε να γρά-

ψουµε την εξίσωση (4.2) µε µια πιο γενική µορφή:

q = 2

cosθ

0 + 2

sinθφie 1 (4.6)

όπου οι γωνίες φ και θ είναι πραγµατικοί αριθµοί. Επειδή |eiφ|2 = 1 για κάθε φ

[Χατζ06][Καρ05], έχουµε

+2

2cos

θ=

2

2sin

θφie +2

2cos

θ=

2

2sin

θ 1 (4.7)

Οι γωνίες φ και θ ορίζουν ένα σηµείο πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας Bloch. Το

σηµείο αυτό είναι το τέλος του διανύσµατος q όπως φαίνεται στο Σχήµα 4.3. Η

γωνία θ καθορίζει τις τιµές των πλατών πιθανότητας. Η γωνία φ ονοµάζεται γωνία

φάσης.

Σχήµα 4.3 Το διάνυσµα q στη σφαίρα Bloch

65

Στο σχήµα 4.4 φαίνονται δύο qubits, τα a και b τα οποία έχουν την ίδια γωνία θ,

αλλά το πρώτο έχει γωνία φάσης φ και το δεύτερο µηδενική γωνία φάσης.

Σχήµα 4.4 ∆ύο qubits a και b τα οποία έχουν την ίδια γωνία θ, αλλά το πρώτο έχει γωνία φάσης φ

και το δεύτερο µηδενική γωνία φάσης.

Οι καταστάσεις δίνονται από:

a = 2

cosθ

0 + 2

sinθφie 1

b = 2

cosθ

0 + 2

sinθ

1 (4.8)

Αν µετρήσουµε, η πιθανότητα να βρούµε το καθένα από τα δύο αυτά qubits στην

κατάσταση 0 είναι ίση µε | cos(θ/2)|2 και η πιθανότητα να βρούµε το καθένα από τα

δύο αυτά qubits στην κατάσταση 1 είναι ίση µε |sin(θ/2)|2. ∆ηλαδή, είναι αδύνατο

να ξεχωρίσουµε µε µία µέτρηση δύο qubits που διαφέρουν µόνο κατά τη γωνία φάσης.

66


∆ίνονται τα παρακάτω qubits. Μπορείτε να τα ξεχωρίσετε µετρώντας την κατάσταση

τους;

12

10

2

1−=a

122

1

22

30

2

1

++= ib

Απάντηση:

Η πιθανότητα να βρούµε τα qubits a και b στην κατάσταση 0 είναι και για τα

δύο ίση µε 2

2/1 =0.5. Η πιθανότητα να βρούµε το a την κατάσταση 1 είναι

επίσης 0.5. Η πιθανότητα να βρούµε το b στην κατάσταση 1 είναι:

5.081

83

22

1

22

3

22

1

22

32

222

=+=

+=+ i

δηλαδή ίση µε την πιθανότητα να βρούµε το a στην κατάσταση 1 .

Εποµένως τα δύο qubits διαφέρουν µόνο κατά τη γωνία φάσης και δεν µπορούµε να τα

ξεχωρίσουµε.

Aς συνοψίσουµε:

• H µονάδα πληροφορίας στους κβαντικούς υπολογιστές είναι το qubit.

• To qubit είναι ένα κβαντικό σύστηµα δύο καταστάσεων. Οι βασικές του

καταστάσεις συµβολίζονται µε 0 και 1 .

• To qubit είναι ένα διάνυσµα στο χώρο Hilbert που έχει δύο διαστάσεις και

απεικονίζεται ως διάνυσµα στη σφαίρα Bloch.

• Είναι αδύνατο να ξεχωρίσουµε δύο qubits που διαφέρουν µόνο κατά τη γωνία

φάσης µετρώντας την κατάσταση τους.

67

4.3 Μέτρηση ενός qubit

Έστω ένα qubit 10 baq += . «Μέτρηση» στην Κβαντοµηχανική είναι η δράση

ενός προβολικού τελεστή πάνω στο διάνυσµα κατάστασης. Ο προβολικός τελεστής

για το 0 είναι ο 000 =M και για το 1 ο 111 =M . Όπως έχουµε πει, η

πιθανότητα να προκύψει 0 κατά τη µέτρηση του q είναι |α|2. Η κατάσταση µετά τη

µέτρηση θα είναι 000 ==a

a

a

qM. Η πιθανότητα να προκύψει 1 κατά τη

µέτρηση του q είναι |β|2. Η κατάσταση µετά τη µέτρηση θα είναι

111 ==ββ

βqM

. [NiCh2000, σελ.85] [Daw08, Lecture 3]

Η µέτρηση, όµως, επιφέρει µια µη αντιστρέψιµη αλλαγή στο σύστηµα. Αν για

παράδειγµα το αποτέλεσµα της µέτρησης είναι 0 , τότε η νέα κατάσταση του q θα

είναι 0 . Όσες φορές και να µετρήσουµε το q , το αποτέλεσµα θα είναι πάντα 0 .

Αντίστοιχα, αν το αποτέλεσµα της µέτρησης είναι 1 , τότε η νέα κατάσταση του q

θα είναι 1 . Όσες φορές και να µετρήσουµε το q , το αποτέλεσµα θα είναι πάντα 1 .

[DPV06] [CaPa01, σελ.192]

Η µέτρηση καταστρέφει την υπέρθεση και αναγκάζει το κβαντικό bit να βρεθεί σε µία

από τις δύο βασικές καταστάσεις. ∆ηλαδή, από ένα qubit µπορούµε να εξάγουµε µόνο

ένα κλασικό bit πληροφορίας. [Daw08, Lecture 1]

Ο Polkinghorne [Pol84, σελ. 53] περιγράφει µε χαρακτηριστικό τρόπο την πράξη της

µέτρησης. «Όταν ένα κβαντοµηχανικό σύστηµα αφήνεται ελεύθερο χωρίς παρεµβολή,

η εξέλιξη του θα περιγράφεται από την εξίσωση Schrödinger (Σρέντινγκερ). Όλα θα

είναι οµαλά και καθορισµένα. Η πράξη όµως της µέτρησης, δηλαδή της παρατήρησης

του συστήµατος εκ των έξω, ενέχει µια τραυµατική παρέµβαση. Η µετρητική πράξη

εισάγει το πιθανοτικό στοιχείο, την ενοχλητική ασυνέχεια στην εµπειρία του

συστήµατος. Ένα qubit βρίσκεται σε µια κατάσταση που είναι υπέρθεση των βασικών

68

καταστάσεων 0 και 1 . Μόνο όταν του υποβάλουµε την ωµή πειραµατική ερώτηση

«πού βρίσκεσαι;», αυτό αναγκάζεται να κάνει µια σαφή επιλογή ανάµεσα στις δύο

βασικές καταστάσεις. Ως εκείνη τη στιγµή βρίσκεται σε µια κατάσταση που

εξελίσσεται οµαλά σύµφωνα µε την εξίσωση Schrödinger (Σρέντινγκερ), ανάµεσα στο

0 και 1 (µε ορισµένη πιθανότητα). Τη στιγµή της πειραµατικής ανάκρισης θα

πρέπει να επιλέξει µεταξύ των δύο εναλλακτικών περιπτώσεων.»

4.4 Ο κβαντικός καταχωρητής

Στους κλασικούς υπολογιστές ένα σύνολο bits αποτελεί έναν καταχωρητή. Στους

καταχωρητές αποθηκεύονται συνήθως οι τιµές κάποιων µεταβλητών. Αντίστοιχα,

στους κβαντικούς υπολογιστές ένα σύνολο qubits (τα οποία είναι συνήθως

διατεταγµένα σε σειρά) αποτελούν έναν κβαντικό καταχωρητή. Στο Σχήµα 4.5

φαίνονται σχηµατικά ένας κλασικός και ένας κβαντικός καταχωρητής.

Σχήµα 4.5 (α) Ένας κλασικός και (β) ένας κβαντικός καταχωρητής.

69

4.4.1 Kβαντικός καταχωρητής µε δύο qubits [Καρ05][CaPa01, σελ193] [WiCl98, σελ.57-59] [NiCh2000, σελ.16-27]

Σε έναν κβαντικό καταχωρητή µπορούµε να αποθηκεύσουµε πολύ περισσότερη

πληροφορία από όση στον κλασικό καταχωρητή. Ας το δούµε αυτό αρχίζοντας από

την απλούστερη περίπτωση του κβαντικού καταχωρητή που αποτελείται από δύο µόνο

qubits, τα 1q και 0q . Στην περίπτωση αυτή, η κατάσταση του κβαντικού

καταχωρητή Rq δίνεται από το τανυστικό γινόµενο των καταστάσεων των qubits που

τον αποτελούν και γράφεται ως εξής:

010101 qqqqqqqR ==⊗= (4.9)

όπου το ⊗ συµβολίζει το τανυστικό γινόµενο. Τα 01 qq ⊗ , 01 qq και 01qq

συµβολίζουν το ίδιο πράγµα. [Καρ05][Κων07, σελ.15]

Tανυστικό γινόµενο

Επειδή οι κβαντικοί υπολογιστές εκτελούν υπολογισµούς, µας ενδιαφέρει η έκφραση

του τανυστικού γινοµένου µε µορφή πινάκων. Αν λοιπόν έχουµε δύο πίνακες µε µία

στήλη, τον Α και τον Β:

=

b

aA

=

d

cB (4.10)

τότε, το τανυστικό γινόµενο των δύο αυτών πινάκων είναι ένας πίνακας µε µία στήλη,

ο C που δίνεται από:

(4.11) Το πρώτο στοιχείο του C είναι το γινόµενο του πρώτου στοιχείου του Α επί το πρώτο

στοιχείο του B. Το δεύτερο στοιχείο του C είναι το γινόµενο του πρώτου στοιχείου του

Α επί το δεύτερο στοιχείο του Β. Το τρίτο και τέταρτο στοιχείο του C είναι το γινόµενο

του δεύτερου στοιχείου του Α επί το πρώτο και το δεύτερο στοιχείο του Β αντίστοιχα.

⋅

⋅

⋅

⋅

=

⊗

=⊗=

db

cb

da

ca

d

c

b

aBAC

70

∆ηλαδή, αν οι καταστάσεις των δύο qubits δίνονται από:

1q = a0 + b1 =

b

a

0q = c 0 + d1 =

d

c (4.12)

τότε η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή δίνεται από:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

11 10 01 00

11 01 10 00

10 10

3210

01

cccc

dbcbdaca

dcbaqqqR

+++

=⊗⋅+⊗⋅+⊗⋅+⊗⋅

=+⊗+=⊗=

(4.13)

Στην 4.13 αντικαταστήσαµε τα αc, ad, bc και bd µε τα c0, c1, c2 και c3 αντίστοιχα. ∆ηλαδή, ο

κβαντικός καταχωρητής που αποτελείται από δύο qubits είναι ένα σύστηµα τεσσάρων

βασικών καταστάσεων. Η κάθε µία από τις βασικές του καταστάσεις προκύπτει ως

τανυστικό γινόµενο των βασικών καταστάσεων των qubits.

Οι βασικές καταστάσεις του κβαντικού καταχωρητή που αποτελείται από δύο qubits σε

µορφή πινάκων δίνονται από:

=

⊗

===⊗

0

0

0

1

0

1

0

1000000

=

⊗

===⊗

0

0

1

0

1

0

0

1011010

71

=

⊗

===⊗

0

1

0

0

0

1

1

0100101

=

⊗

===⊗

1

0

0

0

1

0

1

0111111

(4.14)

και είναι ορθογώνιες µεταξύ τους.

Ας γράψουµε τη (4.13) µε πίνακες λαµβάνοντας υπόψη τη (4.14):

=

=

⋅

⋅

⋅

⋅

=

⊗

=⊗=

3

2

1

0

01

c

c

c

c

db

cb

da

ca

d

c

b

aqqqR

11100100

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

32103210 cccccccc +++=

+

+

+

= (4.15)

Στις (4.13) και (4.15) τα c0, c1, c2 και c3 είναι τα πλάτη πιθανότητας των αντίστοιχων

βασικών καταστάσεων και είναι µιγαδικοί αριθµοί. Αν ο κβαντικός

καταχωρητής των δύο qubits βρίσκεται σε υπέρθεση των τεσσάρων βασικών

καταστάσεων, µία µέτρηση της κατάστασης του θα δώσει µία από τις τέσσερις

βασικές καταστάσεις µε πιθανότητα ίση µε το τετράγωνο του µέτρου των c0, c1, c2

και c3. ∆ηλαδή, µία µέτρηση της κατάστασης του θα δώσει ως αποτέλεσµα το 00

µε πιθανότητα ίση µε |c0|2, το 01 µε πιθανότητα ίση µε | 1c |2, το 10 µε

πιθανότητα ίση µε | 2c |2 και το 11 µε πιθανότητα ίση µε |c3|2 . Αφού αυτά είναι

72

τα µόνα δυνατά αποτελέσµατα, το άθροισµα των τεσσάρων προηγούµενων

πιθανοτήτων πρέπει να είναι ίσο µε τη µονάδα:

,11100100 3210 ccccqR +++= όπου 1|||||||| 23

22

21

20 =+++ cccc

(4.16)

Το διάνυσµα κατάστασης αυτού του κβαντικού καταχωρητή υπάρχει σε έναν χώρο

Hilbert τεσσάρων διαστάσεων και το µήκος του είναι ίσο µε τη µονάδα.

[Καρ05]

Επίσης, η πιθανότητα να εµφανιστεί 0 στο πρώτο qubit είναι 21

20 |||| cc + , ενώ η

πιθανότητα να εµφανιστεί 0 στο δεύτερο qubit είναι 22

20 |||| cc + .

Στην συγκεκριµένη περίπτωση, αν θέλουµε να κάνουµε µέτρηση στο πρώτο qubit για

να δούµε αν θα εµφανιστεί 0 και δεν θέλουµε να µετρήσουµε κάτι στο δεύτερο, θα

δράσουµε πάνω στο Rq µε τον τελεστή T , όπου

IT ⊗= 00

Εάν εµφανιστεί 0 στο πρώτο qubit, η κατάσταση µετά τη µέτρηση θα είναι

++

+⊗ 100

2

1

2

0

1

2

1

2

0

0

cc

c

cc

c

και αυτό θα συµβεί µε πιθανότητα 21

20 |||| cc + .

Αντίστοιχα, αν θέλουµε να κάνουµε µέτρηση στο δεύτερο qubit για να δούµε αν θα

εµφανιστεί 1 και δεν θέλουµε να µετρήσουµε κάτι στο πρώτο, θα δράσουµε στο Rq

µε τον τελεστή T , αλλά τώρα θα είναι

11⊗= IT

Αν εµφανιστεί 1 στο δεύτερο qubit, η κατάσταση µετά τη µέτρηση θα είναι

1102

3

2

1

3

2

3

2

1

1 ⊗

++

+ cc

c

cc

c

και αυτό θα συµβεί µε πιθανότητα 23

21 |||| cc + .

[DPV06][CaPa01, σελ 204][Κων07, σελ 36][NaOh08, σελ.56-57][Ril06, σελ.124]

73

Σε έναν κλασικό καταχωρητή των δύο bits µπορούµε να αποθηκεύσουµε ή το δυαδικό

αριθµό 00, ή τον 01, ή τον 10 ή τον 11. Όµως, σε έναν κβαντικό καταχωρητή των δύο

qubits που βρίσκεται σε υπέρθεση βασικών καταστάσεων µπορούµε να

αποθηκεύσουµε και τον δυαδικό αριθµό 00 και τον 01 και τον 10 και τον 11, δηλαδή

ο κβαντικός καταχωρητής των δύο qubits µπορεί να κρατήσει ταυτόχρονα τέσσερις

αριθµούς. Μπορούµε να γράψουµε τη (4.16) και µε τον εξής τρόπο:

∑=

=+++=+++=3

032103210 321011100100

iiR icccccccccq (4.17)

όπου οι δυαδικοί αριθµοί που συµβολίζουν τις βασικές καταστάσεις

αντικαταστάθηκαν µε τους αντίστοιχους δεκαδικούς. ∆εν είναι τίποτε άλλο παρά µια

αλλαγή συµβολισµού.

Η δυνατότητα να κρατηθούν ταυτόχρονα και οι τέσσερις βασικές καταστάσεις,

δηλαδή τέσσερις αριθµοί, από ένα κβαντικό καταχωρητή αποτελεί τη βάση της

κβαντικής παραλληλίας. [Wolf99] [Καρ05]

Παρατήρηση

Υποθέστε ότι έχουµε µία συνάρτηση F(x) µε τη µεταβλητή x να παίρνει τις τιµές 0, 1,

2 και 3.

Για να γίνει µε έναν κλασικό υπολογιστή:

α) παράλληλος υπολογισµός των τιµών της F(x), για x = 0, 1, 2, 3 χρειάζονται

τέσσερις καταχωρητές των δύο bits και τέσσερις υπολογισµοί της τιµής της F(x). β)

σειριακός υπολογισµός των τιµών της F(x), για x = 0, 1, 2, 3 φορτώνεται τέσσερις

φορές ένας καταχωρητής των δύο bits µε τους αριθµούς 0, 1, 2 και 3 και κάθε φορά

εκτελείται υπολογισµός της τιµής της F(x).

Αντίθετα, σε έναν κβαντικό υπολογιστή χρειάζεται µόνο ένας κβαντικός καταχωρητής

των δύο qubits και ένας µόνο υπολογισµός της συνάρτησης που µας δίνει και τις

τέσσερις τιµές:

∑=

=+++=3

03210 )()11()10()01()00()(

iiR iFcFcFcFcFcqF (4.18)

74

4.4.2 Kβαντικός καταχωρητής µε τρία qubits

Με τον ίδιο τρόπο µπορούµε να δούµε και τον κβαντικό καταχωρητή που αποτελείται

από τρία qubits τα 2q , 1q και 0q :

2q = a0 + b1 =

b

a

1q = c 0 + d1 =

d

c (4.19)

0q = e0 + f 1 =

f

e

Η κάθε µία από τις βασικές καταστάσεις του κβαντικού καταχωρητή προκύπτει ως

τανυστικό γινόµενο των βασικών καταστάσεων των qubits.

To τανυστικό γινόµενο τριών πινάκων µε µία στήλη είναι:

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

=

⋅

⋅

⋅

⋅

⊗

=

⊗

⊗

fdb

edb

fcb

ecb

fda

eda

fca

eca

fd

ed

fc

ec

b

a

f

e

d

c

b

a (4.20)

Θα υπολογίσουµε ως παράδειγµα τον πίνακα που αντιστοιχεί στη βασική

κατάσταση 101101 =⊗⊗ :

75

=

⊗

=

⊗

⊗

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

(4.21)

Όµοια υπολογίζονται και οι άλλοι πίνακες. Ας γράψουµε τώρα την κατάσταση του

κβαντικού καταχωρητή µε πίνακες, όπως κάναµε και µε τη (4.15):

=

=

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

=

⋅

⋅

⋅

⋅

⊗

=

⊗

⊗

=⊗⊗=

7

6

5

4

3

2

1

0

012

c

c

c

c

c

c

c

c

fdb

edb

fcb

ecb

fda

eda

fca

eca

fd

ed

fc

ec

b

a

f

e

d

c

b

aqqqqR

=

+

+

+

+

+

+

+

=

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

76543210 cccccccc

111110101100011010001000 76543210 cccccccc +++++++=

(4.22)

Στη (4.22) αντικαταστήσαµε τα αce, acf, …., bdf µε τα c0, c1, ..., c7 αντίστοιχα.

76

Μπορούµε να γράψουµε τη (4.22) και µε τον εξής τρόπο:

∑=

=+++++++=

=+++++++=7

076543210

76543210

76543210

111110101100011010001000

ii

R

iccccccccc

ccccccccq

(4.23)

Και εδώ το άθροισµα των πιθανοτήτων είναι ίσο µε τη µονάδα:

1|||||||||||||||| 27

26

25

24

23

22

21

20 =+++++++ cccccccc (4.24)

Το διάνυσµα κατάστασης του κβαντικού καταχωρητή που αποτελείται από τρία qubits

υπάρχει σε έναν χώρο Hilbert οκτώ διαστάσεων και το µήκος του είναι ίσο µε τη µονάδα.

Ο κβαντικός αυτός καταχωρητής είναι ένα κβαντικό σύστηµα µε οκτώ βασικές

καταστάσεις που είναι όλες ορθογώνιες µεταξύ τους. Όταν βρίσκεται σε υπέρθεση

βασικών καταστάσεων, µπορεί να κρατήσει ταυτόχρονα οκτώ αριθµούς.

77

4.4.3 Kβαντικός καταχωρητής µε n qubits

[Καρ05] [NaOh08, σελ.54] [Ril06, σελ.122]

Γενικά, η κατάσταση ενός κβαντικού καταχωρητή που αποτελείται από n qubits δίνεται

από:

011011 ...... qqqqqqq nnR −− =⊗⊗⊗= (4.25)

Το διάνυσµα κατάστασης του υπάρχει σε ένα χώρο Hilbert µε n2 διαστάσεις και έχει n2

βασικές καταστάσεις που είναι όλες ορθογώνιες µεταξύ τους. Αν θεωρήσουµε τη

δεκαδική αναπαράσταση των καταστάσεων µπορούµε αυτό να το γράψουµε ως εξής:

2 ... ,2 ,1 ,0 , , 1−∈= nkm mkmk δ (4.26)

Όταν ο καταχωρητής αυτός τεθεί σε υπέρθεση κρατά ταυτόχρονα n2 αριθµούς:

∑−

=−

−

=−++++=

=++++=

12

012210

12210

12....210

1...111...010...0001...0000....0 n

n

n

ii

n

R

iccccc

ccccq

(4.27)

δηλαδή όλους τους αριθµούς από 0 έως 12 −n .


Ένας κβαντικός καταχωρητής που αποτελείται από 2,3,4,... n qubits µπορεί να κρατή-

σει ταυτόχρονα 4, 8, 16, ... n2 αριθµούς.

Aν σε έναν κβαντικό καταχωρητή των n qubits που µπορεί να κρατήσει n2 αριθµούς προ-

στεθεί ένα ακόµη qubit, τότε ο κβαντικός καταχωρητής κρατά διπλάσιους αριθµούς,

δηλαδή 12 +n αριθµούς. [Καρ05] Για αυτό το λόγο, ο Michael Nielsen στο διδακτορικό του

(PhD) υποστήριξε ότι για να συµβαδίζουν οι κβαντικοί υπολογιστές µε το «νόµο του

Moore» (ότι κάθε 18-24 µήνες διπλασιάζεται η µνήµη και η ισχύς των υπολογιστών)

[WiCl98] πρέπει απλά να αυξάνουν κατά ένα qubit κάθε 2 χρόνια! [Niel]

78

Στην ιδιότητα αυτή των κβαντικών καταχωρητών βασίζεται η δυνατότητα των

κβαντικών υπολογιστών να επεξεργάζονται ποσότητες δεδοµένων τις οποίες είναι

αδύνατον να επεξεργαστούν οι κλασικοί υπολογιστές, να ψάχνουν σε πολύ µεγάλες

βάσεις δεδοµένων και να αντιµετωπίζουν πολύπλοκα υπολογιστικά προβλήµατα.

4.5 Μέτρηση ενός κβαντικού καταχωρητή

Έστω ένας κβαντικός καταχωρητής µε n qubits, ο οποίος βρίσκεται σε υπέρθεση.

∑−

=−

−

=−++++=

=++++=

12

012210

12210

12....210

1...111...010...0001...0000....0 n

n

n

ii

n

R

iccccc

ccccq

Η πιθανότητα να προκύψει i κατά τη µέτρηση του Rq είναι 2

ic .

Η µέτρηση, όµως, επιφέρει µια µη αντιστρέψιµη αλλαγή στο σύστηµα (καταστρέφει

την υπέρθεση). Αν για παράδειγµα το αποτέλεσµα της µέτρησης είναι i , τότε η νέα

κατάσταση του Rq θα γίνει i . Όσες φορές και να µετρήσουµε το Rq , το

αποτέλεσµα θα είναι πάντα i . [DPV06] [Wolf99]

Αυτό είναι πολύ σηµαντικό και θα πρέπει να το έχουµε υπόψη µας όταν αναλύουµε ή

σχεδιάζουµε κβαντικούς αλγορίθµους. Η µέτρηση πρέπει να γίνεται την κατάλληλη

στιγµή, διαφορετικά το αποτέλεσµα δεν θα είναι το αναµενόµενο (η µέτρηση συνήθως

γίνεται στο τέλος του αλγορίθµου).

79

Βιβλιογραφία 4ου κεφαλαίου [Ανδ04] Ανδρουλιδάκης Ιωάννης (2004). Αλγόριθµος ∆ιαστατικής Ελάττωσης

∆ιµερών Εναγκαλισµένων Κβαντικών Συστηµάτων, ∆ιπλωµατική ∆ιατριβή Μεταπτυχιακού ∆ιπλώµατος Ειδίκευσης, Πολυτεχνείο Κρήτης, Γενικό Τµήµα, Τοµέας Μαθηµατικών, Χανιά. σελ.14-17

[Καρ05] Καραφυλλίδης Ιωάννης (2005). Κβαντικοί Υπολογιστές – Βασικές

Έννοιες, Αθήνα: Εκδόσεις Κλειδάριθµος. σελ.43-60 [Κων07] Κωνσταντάκης Χρήστος (2007). Κβαντικοί αλγόριθµοι αναζήτησης σε




[Bel06] Le Bellac Michel (2006). A Short Introduction to Quantum Information

and Quantum Computation, New York: Cambridge University Press. [Br2000] Brown Julian (2000). The Quest for the Quantum Computer, New York:

TouchStone. Chapter 4. [CaPa01] Calude S. Cristian and Păun Gheorghe (2001). Computing with Cells

and Atoms. An introduction to quantum, DNA and membrane computing, London, New York: Taylor and Francis


2007-2008) University of Cambridge, Lecture 1, 3 (http://www.cl.cam.ac.uk/Teaching/0708/QuantComp/)

[DPV06] Dasgupta S., Papadimitriou C. H. and Vazirani U.V. (2006).

Algorithms, Chapter 10 - Quantum algorithms. [John03] Johnson George (2003). A shortcut through time – The Path to the

Quantum Computer, NewYork: Knopf [NaOh08] Nakahara Mikio and Ohmi Tetsuo (2008). Quantum Computing: From



and Quantum Information, Cambridge University Press.

80

[Niel] Nielsen Michael (2008), Quantum computing for everyone, 28 Aug 2008, http://michaelnielsen.org/

[Pol84] Polkinghorne J. C. (1984). The Quantum World, Addison Wesley




[Sten05] Stenholm Stig and Suominen Kalle-Antti (2005). Quantum Approach to





[Wolf99] De Wolf Ronald (1999). Quantum Computation and Shor’s Factoring

Algorithm, CWI and University of Amsterdam, January 12, 1999. (http://homepages.cwi.nl/~rdewolf/publ/qc/survey.ps)

81

Κεφάλαιο 5

Κβαντικές πύλες

5.1 Τι είναι οι κβαντικές πύλες

Οι κλασικοί υπολογιστές αποτελούνται από αγωγούς και λογικές πύλες οι οποίες συγκρο-

τούν κυκλώµατα. Οι αγωγοί µεταφέρουν την πληροφορία µε τη µορφή τάσης ή

ρεύµατος από πύλη σε πύλη. Οι λογικές πύλες επεξεργάζονται και µετατρέπουν την

πληροφορία που έρχεται στην είσοδο τους, σύµφωνα µε τον πίνακα αληθείας τους. Οι

λογικές πύλες στους κλασικούς υπολογιστές είναι φυσικά συστήµατα κατασκευασµένα

από πυρίτιο και, σε όλους σχεδόν τους κλασικούς υπολογιστές, αποτελούνται από

τρανζίστορς που ονοµάζονται MOSFETs. ∆ηλαδή, οι πύλες των κλασικών

υπολογιστών είναι φυσικά συστήµατα και η πληροφορία διέρχεται από µέσα τους.

Αντίθετα, στους κβαντικούς υπολογιστές οι κβαντικές πύλες δεν είναι φυσικά συστήµα-

τα, αλλά αντιπροσωπεύουν δράσεις που ασκούνται σε qubits ή σε κβαντικούς

καταχωρητές. Οι δράσεις στα κβαντικά συστήµατα αντιπροσωπεύονται από τελεστές οι

οποίοι περιγράφονται από πίνακες.

Μία άλλη σηµαντική διαφορά είναι ότι η πληροφορία δεν διέρχεται µέσα από τις κβαντι-

κές πύλες. Η πληροφορία βρίσκεται αποθηκευµένη σε qubits ή σε κβαντικούς

καταχωρητές και παραµένει εκεί. Όπως θα δούµε στο επόµενο κεφάλαιο, οι κβαντικές

πύλες δρουν η µία µετά την άλλη στα qubits ή στους κβαντικούς καταχωρητές

αλλάζοντας την κατάσταση τους. Θυµηθείτε ότι στο κβαντικό µας παιχνίδι το κβαντικό

κέρµα που αντιπροσωπεύει το qubit ή τον κβαντικό καταχωρητή παραµένει στην ίδια

θέση ενώ οι δύο παίκτες δρουν σε αυτό ο ένας µετά τον άλλο. Όπως είπαµε, το

παιχνίδι αυτό είναι ένας κβαντικός υπολογισµός, όπου το κβαντικό κέρµα

αντιπροσωπεύει το qubit ή τον κβαντικό καταχωρητή και ο Quant µε τον Captain Class

τις κβαντικές πύλες. [Καρ05, NaOh08, σελ.65-66] [Χατζ06, σελ.30]

82

Τώρα µπορούµε να ορίσουµε τις κβαντικές πύλες. Οι καταστάσεις των qubits και των

κβαντικών καταχωρητών είναι διανύσµατα στον χώρο Hilbert. Οι κβαντικές πύλες

είναι τελεστές του χώρου Hilbert που δρουν σε qubits και σε κβαντικούς καταχωρητές

αλλάζοντας την κατάσταση τους. ∆ηλαδή οι κβαντικές πύλες περιστρέφουν τα

διανύσµατα κατάστασης των qubits και των κβαντικών καταχωρητών χωρίς να

αλλάζουν το µήκος τους, το οποίο είναι πάντα ίσο µε τη µονάδα.

Όλοι οι τελεστές του χώρου Hilbert µπορούν να είναι κβαντικές πύλες; Όχι.

Οι κβαντικές πύλες πρέπει να έχουν δύο ιδιότητες:

α) να µη µεταβάλλουν το µήκος του διανύσµατος κατάστασης και

β) να τηρούν τη χρονική συµµετρία των κβαντικών συστηµάτων.

Οι τελεστές που έχουν αυτές τις δύο ιδιότητες ονοµάζονται ορθοµοναδιαίοι και

περιγράφονται από ορθοµοναδιαίους πίνακες. (Παράρτηµα B).

Ας δούµε τι σηµαίνει χρονική συµµετρία των κβαντικών συστηµάτων. Αν δεν είµαστε

αυστηροί, µπορούµε να πούµε ότι η συµπεριφορά ενός κβαντικού συστήµατος δεν

αλλάζει αν αλλάξει η φορά ροής του χρόνου. Αυτό σηµαίνει ότι, αν µε µία κβαντική

πύλη G που αντιπροσωπεύει τον τελεστή Ĝ αλλάξουµε την κατάσταση ενός κβαντικού

καταχωρητή από 1Rq σε 2Rq , τότε πρέπει, αν δράσουµε στην κατάσταση 2Rq µε

την ίδια πύλη να πάρουµε πάλι την 1Rq .

G 1Rq = 2Rq

G 2Rq = 1Rq (5.1)

Αυτές οι πύλες ονοµάζονται αναστρέψιµες. Όλες οι κβαντικές πύλες είναι

αναστρέψιµες, δηλαδή έχουν τον ίδιο αριθµό εισόδων και εξόδων. [ΠΧΛ04, σελ.58]

[Καρ05] [Χατζ06, σελ.30]

Παρακάτω θα περιγράψουµε τις κβαντικές πύλες και θα δούµε τα αποτελέσµατα των

δράσεων τους.

83

5.2 Κβαντικές πύλες που δρουν σε ένα qubit

Εδώ θα ασχοληθούµε µε κβαντικές πύλες που δρουν σε ένα µόνο qubit.

Οι πύλες αυτές περιστρέφουν το διάνυσµα κατάστασης ενός qubit µέσα στη

σφαίρα Bloch, δηλαδή µεταβάλλουν τις γωνίες θ και φ (σχήµα 4.3).

Πόσες τέτοιες περιστροφές υπάρχουν; Άπειρες. Εποµένως υπάρχουν και άπειρες

κβαντικές πύλες που δρουν σε ένα qubit. ∆ηλαδή, κάθε ορθοµοναδιαίος τελεστής

είναι µία κβαντική πύλη που δρα σε ένα qubit. Αυτό είναι ευχάριστο γιατί µας

δίνει τη δυνατότητα να περιστρέψουµε το διάνυσµα κατάστασης ενός qubit όπως

θέλουµε. Πώς όµως µπορούµε να περιγράψουµε µε πίνακες τις άπειρες αυτές

πύλες;

Ευτυχώς έχει αποδειχθεί ότι κάθε κβαντική πύλη που δρα σε ένα qubit,

περιγράφεται γενικά από έναν πίνακα U µε 2x2 στοιχεία που δίνεται από:

−

=

+

−

+

−

2

2

2

2

0

0

2cos

2sin

2sin

2cos

0

0δ

δ

β

β

γγ

γγ

i

i

i

iia

e

e

e

eeU (3.2)

όπου τα α, β, γ και δ είναι πραγµατικοί αριθµοί.

[ΠΧΛ04, σελ.60][Καρ05][Χατζ06, σελ.32]

Υπάρχουν λοιπόν άπειρες κβαντικές πύλες που δρουν σε ένα qubit, όµως δεν

χρησιµοποιούνται όλες.

Χρησιµοποιούνται κυρίως τρεις πύλες:

Α) Η κβαντική πύλη αδρανείας (Ι)

Β) Η κβαντική πύλη µετατόπισης φάσης (Φ)

C) Η κβαντική πύλη Hadamard (Η)

84

5.2.1 Η κβαντική πύλη αδρανείας (Ι)

Αν θέσουµε στην (3.2) α = β = γ = δ = 0 και θυµηθούµε ότι ei0=e0=1, τότε έχουµε:

==

10

01IU (5.3)

Η πύλη αυτή ονοµάζεται πύλη αδρανείας και συµβολίζεται µε I. Η πύλη αυτή

περιγράφει έναν τελεστή που ονοµάζεται τελεστής αδρανείας (do-nothing operator).

Η κβαντική πύλη αδρανείας, αφήνει αµετάβλητη την κατάσταση του qubit:

qqI = (5.4)

Σχήµα 5.1 Το σύµβολο και οι ιδιότητες της κβαντικής πύλης αδρανείας, Ι.

Στο Σχήµα 5.1 φαίνονται το σύµβολο και οι ιδιότητες της πύλης Ι. Στην πρώτη

στήλη του πίνακα φαίνονται οι καταστάσεις των qubits πριν τη δράση της πύλης και

στη δεύτερη οι καταστάσεις µετά τη δράση της πύλης. Προσοχή στο συµβολισµό. Στο

Σχήµα 5.1 η πληροφορία δεν διέρχεται µέσα από την πύλη, αλλά συµβολίζουµε µε

1q την κατάσταση του qubit πριν τη δράση της πύλης και µε 0q την κατάσταση του

µετά τη δράση της πύλης.

1q 0q

0 0

1 1

q q

85

5.2.2 Η κβαντική πύλη µετατόπισης φάσης (Φ)

Αν θέσουµε στην (5.2) γ = 0 έχουµε:

=

=

=

++

−−

+

−

+

−

+

−

+

−

)22

(

)22

(

2

2

)2

(

)2

(

2

2

2

2

0

0

0

010

01

0

0

0

010

01

0

0

δβ

δβ

δ

δ

β

β

δ

δ

β

β

ai

ai

i

i

ai

ai

i

i

i

iia

e

e

e

e

e

e

e

e

e

eeU

(5.5)

Αν θέσουµε στην (5.5) 22δβ

α += έχουµε

=Φ + )(0

01δβie

(5.6)

Θέτουµε στην (5.6) φ = β + δ και έχουµε

=Φ φie0

01 (5.7)

Η πύλη αυτή ονοµάζεται πύλη µετατόπισης φάσης και συµβολίζεται µε Φ. Ας δούµε

τώρα το αποτέλεσµα της δράσης αυτής της πύλης σε ένα qubit. Έστω ένα qubit 1q

του οποίου η κατάσταση δίνεται από:

1q = a0 + b1 =

b

a (5.8)

Η κβαντική πύλη µετατόπισης φάσης δρα σε αυτό και αλλάζει την κατάσταση του σε

0q . Ας υπολογίσουµε τη νέα αυτή κατάσταση:

10 qq Φ= =

=

beb

a

e ii φφ

α0

01 (5.9)

Η νέα κατάσταση του qubit είναι:

0q = a0 + beiφ 1

86

∆ηλαδή, η δράση της πύλης Φ άλλαξε µόνο τη γωνία φάσης του qubit. Όπως και

στην περίπτωση των qubits a και b του σχήµατος 4.4 δεν µπορούµε µε µία

µέτρηση να τα ξεχωρίσουµε.

Σχήµα 5.2 Το σύµβολο και οι ιδιότητες της κβαντικής πύλης µετατόπισης φάσης, Φ.

Στο Σχήµα 5.2 φαίνονται το σύµβολο και οι ιδιότητες της πύλης Φ. Στην πρώτη στήλη

του πίνακα φαίνονται οι καταστάσεις των qubits πριν τη δράση της πύλης 1q και στη

δεύτερη οι καταστάσεις µετά τη δράση της πύλης 0q .

1q 0q

0 0

1 eiφ 1

a 0 + b1 A 0 + beiφ 1

87

5.2.3 H κβαντική πύλη Hadamard (Η)

[Καρ05] [DPV06] [CaPa01, σελ.197] [NaOh08, σελ.69-70] [NiCh2000, σελ.174]

[Wolf99] [Χατζ06, σελ.31]

Αν θέσουµε στη (5.2) α = π/2, β = 3π, γ = 3π/2 και δ = 0 έχουµε:

=

−+

−−=

−

−−

==

++

−−

+

−

2

3

2

3

2

3

2

3

2

2

3

2

3

2

2

1

10

01

11

11

2

1

0

0ππ

πππ

π

ππ

ii

iii

i

ii

ee

eeee

eeHU

−=

+−

−−=

11

11

2

1

2

1ii

iii (5.10)

Η πύλη αυτή ονοµάζεται πύλη Hadamard και συµβολίζεται µε Η. Για τον τρόπο

υπολογισµού των πράξεων, ο αναγνώστης µπορεί να µελετήσει το Παράρτηµα ∆.

Ας δούµε το αποτέλεσµα της δράσης αυτής της πύλης σε ένα qubit που βρίσκεται στη

βασική κατάσταση 0 :

)10(2

11

2

10

2

1

2

12

1

0

1

2

1

2

12

1

2

1

)0( +=+=

+

+=

−+

++=H

(5.11)

Ας δούµε και το αποτέλεσµα της δράσης αυτής της πύλης σε ένα qubit που βρίσκεται στη

βασική κατάσταση 1 :

)10(2

11

2

10

2

1

2

12

1

1

0

2

1

2

12

1

2

1

)1( −=−=

−

+=

−+

++=H

(5.12)

88

∆ηλαδή, όταν η πύλη Hadamard δρα σε qubits που βρίσκονται σε µία από τις δύο

βασικές καταστάσεις, τα θέτει σε µία κατάσταση που είναι υπέρθεση των

βασικών καταστάσεων.

Όταν ένα qubit βρίσκεται είτε στην κατάσταση που δίνεται από την (5.11) είτε στην

κατάσταση που δίνεται από την (5.12), η πιθανότητα να µετρήσουµε και να το βρούµε

στην βασική κατάσταση 0 είναι ίση µε την πιθανότητα να το βρούµε στην βασική

κατάσταση 1 . Φυσικά και οι δύο πιθανότητες είναι ίσες µε 0.5.

Ας δούµε τώρα τι αποτέλεσµα θα έχουµε αν η πύλη Hadamard δράσει σε ένα qubit

που βρίσκεται στην υπέρθεση καταστάσεων που δίνεται από την (5.11):

00

1

2

12

1

2

1

2

12

1

2

1

))10(2

1( =

=

+

+

−+

++=+H

(5.13)

Ας δούµε τη δράση της πύλης και στο qubit που βρίσκεται στην υπέρθεση

καταστάσεων που δίνεται από την (5.12):

11

0

2

12

1

2

1

2

12

1

2

1

))10(2

1( =

=

−

+

−+

++=−H

(5.14)

∆ηλαδή, η πύλη Hadamard επιστρέφει τα qubits που βρίσκονται σε υπέρθεση

καταστάσεων στις βασικές τους καταστάσεις. [Καρ05, DPV06]

Τέλος, [DPV06] αν η πύλη Hadamard δράσει σε ένα qubit που βρίσκεται σε µια

τυχαία υπέρθεση καταστάσεων 10 10 aa + , τότε προκύπτει η υπέρθεση

12

02

1010 aaaa −+

+

89

Στο σχήµα 5.3 φαίνονται το σύµβολο και οι ιδιότητες της πύλης Η. Στην πρώτη στήλη

του πίνακα φαίνονται οι καταστάσεις των qubits πριν τη δράση της πύλης, ενώ στη

δεύτερη οι καταστάσεις µετά τη δράση της πύλης.

Σχήµα 5.3 Το σύµβολο και οι ιδιότητες της κβαντικής πύλης Hadamard, Η.

Αν εφαρµόσουµε την πύλη Η, σε κάθε qubit της αρχικής κατάστασης 0...00 ενός

καταχωρητή µε n qubits, τότε προκύπτουν όλες οι πιθανές n2 καταστάσεις:

∑−

=

12

02

1n

xn

x . ∆ηλαδή, προέκυψε µια υπέρθεση όλων των βασικών καταστάσεων από 0

έως n2 – 1 σε ένα βήµα. [Wolf99] [NaOh08, σελ70]

Η δράση της πύλης Hadamard σε ένα σύστηµα n qubit ονοµάζεται µετασχηµατισµός

Walsh ή µετασχηµατισµός Walsh-Hadamard και συµβολίζεται µε Wn. Ισχύει

W1=Η και Wn+1 = Η ⊗Wn. [NaOh08, σελ70]


Η πύλη Hadamard είναι πολύ σηµαντική διότι µπορεί να µεταφέρει τα qubits από τις

βασικές τους καταστάσεις (οι οποίες γίνονται αντιληπτές από εµάς), σε υπέρθεση

καταστάσεων, που είναι χαρακτηριστικό µόνο των κβαντικών συστηµάτων. Επίσης,

µεταφέρει τα qubits από υπέρθεση καταστάσεων στις βασικές τους καταστάσεις.

Αναµένεται ότι οι πύλες Hadamard θα αποτελέσουν το κύριο στοιχείο για την

διασύνδεση κλασικών και κβαντικών υπολογιστών.

1q 0q

0 )10(2

1+

1 )10(2

1−

)10(2

1+ 0

)10(2

1− 1

90

5.2.4 Η κβαντική πύλη ΝΟΤ [ΠΧΛ04, σελ.59-60][Καρ05][CaPa01, σελ195-196]

Η πύλη ΝΟΤ περιγράφεται από τον παρακάτω πίνακα:

=

01

10NOT

Η κβαντική πύλη ΝΟΤ λειτουργεί όπως και η κλασική ΝΟΤ (µετατρέπει την

κατάσταση από 1 σε 0 και από 0 σε 1).

10

1

1

0

01

100 =

=

=NOT

01

0

0

1

01

101 =

=

=NOT

=

=

a

b

b

aqNOT

01

10

Σχήµα 5.4 Το σύµβολο και οι ιδιότητες της κβαντικής πύλης ΝΟΤ.

Στο Σχήµα 5.4 φαίνονται το σύµβολο και οι ιδιότητες της πύλης ΝΟΤ. Στην πρώτη

στήλη του πίνακα φαίνονται οι καταστάσεις των qubits πριν τη δράση της πύλης και

στη δεύτερη οι καταστάσεις µετά τη δράση της πύλης.

1q 0q

0 0

1 1

bia+ aib+

91

5.3 Κβαντικές πύλες που δρουν σε δύο qubits

Μέχρι εδώ ασχοληθήκαµε µε κβαντικές πύλες που δρουν σε ένα qubit. Τώρα θα δούµε

κβαντικές πύλες που δρουν σε δύο qubits.

Χρησιµοποιούνται κυρίως δύο πύλες:

Α) Η κβαντική πύλη ελεγχόµενου ΟΧΙ (CNOT)

Β) Η κβαντική πύλη ελεγχόµενης µετατόπισης φάσης (CΦ)

5.3.1 Η κβαντική πύλη ελεγχόµενου ΟΧΙ (CNOT)

[Καρ05] [CaPa01, σελ. 201-202] [NaOh08, σελ.67] [Wolf99] [Χατζ06, σελ.34-38] [Bel06, σελ.82] [NiCh2000, σελ20-21] [ΠΧΛ04, σελ.63-70]

Ο Αγγλικός όρος για την πύλη αυτή είναι Controlled-NOT και συµβολίζεται µε

CNOT.

Η πύλη αυτή δρα σε δύο qubits, το ένα ονοµάζεται qubit ελέγχου (control qubit) και

συµβολίζεται µε c και το άλλο qubit στόχος (target qubit) και συµβολίζεται µε t.

Οι καταστάσεις των δύο qubits πριν τη δράση της πύλης είναι ic και it . Οι

καταστάσεις των qubits µετά τη δράση της πύλης είναι oc και ot .

Η πύλη CNOT αλλάζει την κατάσταση του qubit στόχου, όταν η κατάσταση του qubit

ελέγχου είναι 1 , ενώ αφήνει την κατάσταση του qubit στόχου αναλλοίωτη, όταν η

κατάσταση του qubit ελέγχου είναι 0 .

Η κατάσταση του qubit ελέγχου ic δεν µεταβάλλεται, δηλαδή ισχύει πάντα ic =

oc .

92

Η πύλη CNOT περιγράφεται από τον παρακάτω πίνακα:

=

0100

1000

0010

0001

CNOT (5.15)

Ας δούµε τη δράση της πύλης αυτής σε έναν κβαντικό καταχωρητή που αποτελείται από

δύο qubits. Η γενική περιγραφή της δράσης της πύλης είναι:

ooii tctcCNOT = (5.16)

Έστω ότι η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή πριν τη δράση της πύλης είναι 10 ,

τότε

11

1

0

0

0

0

1

0

0

0100

1000

0010

0001

)10( =

=

=CNOT (5.17)

∆ηλαδή, η κατάσταση του qubit στόχου άλλαξε από 0 σε 1 διότι η κατάσταση του

qubit ελέγχου είναι 1 . Ας δούµε και την περίπτωση 01 :

01

0

0

1

0

0

0

1

0

0100

1000

0010

0001

)10( =

=

=CNOT (5.18)

Αφού η κατάσταση του qubit ελέγχου είναι 0 , η κατάσταση του qubit στόχου δεν

αλλάζει. Με τον ίδιο τρόπο µπορούµε να δούµε και τις υπόλοιπες δύο περιπτώσεις.

[Καρ05, DPV06]

93

Σχήµα 5.5 Το σύµβολο και οι ιδιότητες της κβαντικής πύλης ελεγχόµενου ΟΧΙ, CNOT.

Στο Σχήµα 5.5 φαίνονται το σύµβολο και οι ιδιότητες της πύλης CNOT. Στην πρώτη στή-

λη του πίνακα φαίνονται οι καταστάσεις των δύο qubits πριν τη δράση της πύλης ( iitc )

και στη δεύτερη οι καταστάσεις τους µετά τη δράση της πύλης ootc .

Παρατήρηση: (Universality Theorem)

1) Tο σύνολο των κβαντικών πυλών που δρουν σε ένα qubit και

2) η πύλη CNOT

σχηµατίζουν ένα γενικευµένο σύνολο κβαντικών πυλών (universal set of quantum

gates), από το οποίο µπορεί να σχηµατιστεί οποιοδήποτε κβαντικό κύκλωµα

(οποιοσδήποτε ορθοµοναδιαίος (unitary) πίνακας).

Κυριότερες πύλες του συνόλου: Η πύλη CNOT, η πύλη Η και η πύλη Φ.

∆ηλαδή, µπορούµε να εκτελέσουµε οποιονδήποτε κβαντικό υπολογισµό

χρησιµοποιώντας µόνο αυτές τις πύλες.

[Καρ05] [Sten05, σελ138 και 154] [NaOh08, σελ.82] [Bel06, σελ.82] [NiCh2000, σελ.191-193] [LoWo06, σελ.222] [Wolf99] [Χατζ06, σελ.45-46]

Οι Nakahara και Ohmi [NaOh08] στις σελίδες 82-94 αποδεικνύουν το παραπάνω

θεώρηµα. Στο [Χατζ06, σελ.46] αναφέρεται ότι οποιαδήποτε πύλη που δρα σε ένα

qubit µπορεί να γραφεί ως συνδυασµός δύο Hadamard (Η) και δύο πυλών φάσης (Φ).

iitc ootc

00 00

01 01

10 11

11 10

94

5.3.2 Η κβαντική πύλη ελεγχόµενης µετατόπισης φάσης (CΦ)

Η πύλη αυτή δρα σε δύο qubits. Στη βιβλιογραφία συµβολίζεται µε διάφορους

τρόπους, αλλά οι ποιο συνηθισµένοι είναι οι S, CP και CΦ. Εδώ θα τη συµβολίζουµε

µε CΦ.

Όπως και στην πύλη CNOT το ένα qubit ονοµάζεται qubit ελέγχου (control qubit) και

συµβολίζεται µε c και το άλλο qubit ονοµάζεται στόχος (target qubit) και

συµβολίζεται µε t.

Με ic και it συµβολίζονται οι καταστάσεις των δύο qubits πριν την δράση της

πύλης, και µε oc και ot οι καταστάσεις των qubits µετά τη δράση της πύλης.

Η πύλη CΦ πολλαπλασιάζει την κατάσταση του qubit στόχου µε τον παράγοντα

φάσης eiφ µόνο όταν και η κατάσταση του qubit ελέγχου και η κατάσταση του qubit

στόχου είναι 1 . Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις δεν µεταβάλλει τις καταστάσεις των

qubits.

Η πύλη CΦ περιγράφεται από τον παρακάτω πίνακα:

=

φie

CNOT

000

0100

0010

0001

(5.19)

Η γενική περιγραφή της δράσης της πύλης είναι:

ooii tctcC =Φ (5.20)

Ας δούµε τη δράση της πύλης στην κατάσταση ενός κβαντικού καταχωρητή που

αποτελεί από δύο qubits. Έστω ότι η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή πριν

τη δράση της πύλης είναι 10 , τότε:

95

10

0

1

0

0

0

1

0

0

000

0100

0010

0001

)10( =

=

=Φ

φie

C (5.21)

Ας δούµε και την περίπτωση 11 :

11

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

000

0100

0010

0001

)11( φφ

φφ

ii

ii

ee

ee

C =

=

=

=Φ

(5.22)

∆ηλαδή, αλλάζει η γωνία φάσης της κατάστασης 11 . Με τον ίδιο τρόπο µπορούµε

να υπολογίσουµε και τις άλλες δύο περιπτώσεις.

Σχήµα 5.6 Το σύµβολο και οι ιδιότητες της κβαντικής πύλης ελεγχόµενης µετατόπισης φάσης, CΦ.

Στο σχήµα 5.6 φαίνονται το σύµβολο και οι ιδιότητες της πύλης CΦ. Στην πρώτη στή-

λη του πίνακα φαίνονται οι καταστάσεις των δύο qubits πριν τη δράση της πύλης ( iitc )

και στη δεύτερη οι καταστάσεις τους µετά τη δράση της πύλης ootc .

iitc ootc

00 00

01 01

10 10

11 φie 11

96

5.3.3 Η κβαντική πύλη εναλλαγής (SWAP):

=

1000

0010

0100

0001

SWAP

H πύλη SWAP δρα σε 2 qubits. Εναλλάσσει τα περιεχόµενά τους.

1221 ttttSWAP = . ∆ηλαδή,

0000 =SWAP

1001 =SWAP

0110 =SWAP

1111 =SWAP

Η πύλη SWAP µπορεί να υλοποιηθεί µε 3 CNOT πύλες.

[NaOh08, σελ.70-71] [Bel06, σελ.69-70]

97

5.4 Κβαντικές πύλες που δρουν σε τρία qubits [Καρ05] [CaPa01, σελ.183-185, 202] [NaOh08, σελ.69, 71] [ΠΧΛ04, σελ.71-73]

[Χατζ06, σελ.43-44]

Χρησιµοποιούνται κυρίως δύο πύλες:

Α) Η κβαντική πύλη διπλά ελεγχόµενου ΟΧΙ (CCNOT) ή πύλη Toffoli

Β) Η κβαντική πύλη Fredkin (F)

5.4.1 Η κβαντική πύλη διπλά ελεγχόµενου ΟΧΙ (CCNOT)

Ο αγγλικός όρος για την πύλη αυτή είναι Controlled-Controlled-NOT και συµβολίζεται

µε CCNOT. Στη βιβλιογραφία ονοµάζεται και πύλη Toffoli . Θεωρείται καθολική πύλη

(universal gate), δηλαδή µπορούµε να εκτελέσουµε οποιονδήποτε κβαντικό υπολογισµό

χρησιµοποιώντας µόνο την Τοffoli. [Χατζ06, σελ.45] [Daw08, Lecture 4]

Η πύλη αυτή δρα σε τρία qubits.

Τα δύο qubits ονοµάζονται qubits ελέγχου (control qubits), και συµβολίζονται µε c1 και

c2 και το άλλο qubit στόχος (target qubit) και συµβολίζεται µε t.

Οι καταστάσεις των τριών qubits πριν την δράση της πύλης είναι ic1 , ic2 και it ,

ενώ οι καταστάσεις των qubits µετά την δράση της πύλης είναι oc1 , oc2 και ot .

Η πύλη CCNOT' αλλάζει την κατάσταση του qubit στόχου, όταν και τα δύο qubits

ελέγχου βρίσκονται στην κατάσταση 1 , ενώ δεν αλλάζει την κατάσταση του qubit

στόχου σε κάθε άλλη περίπτωση.

Οι καταστάσεις των qubits ελέγχου ic1 και ic2 δεν µεταβάλλονται, δηλαδή ισχύει

πάντα ic1 = oc1 και ic2 = oc2 .

98

Η πύλη CCNOT περιγράφεται από τον παρακάτω πίνακα:

=

01000000

10000000

00100000

00010000

00001000

00000100

00000010

00000001

CCNOT (5.23)


oooiii tcctccCCNOT 1212 = (5.24)

Ας δούµε τη δράση αυτής της πύλης σε έναν καταχωρητή που αποτελείται από τρία

qubits. Έστω ότι η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή πριν τη δράση της πύλης

είναι 101 , τότε:

101

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

01000000

10000000

00100000

00010000

00001000

00000100

00000010

00000001

)101CCNOT( =

=

=

(5.25) Ας δούµε και την περίπτωση που η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή πριν τη δράση

της πύλης είναι 111 :

99

110

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

01000000

10000000

00100000

00010000

00001000

00000100

00000010

00000001

)111CCNOT( =

=

=

(5.26)

∆ηλαδή, η κατάσταση του qubit στόχου αλλάζει µόνο όταν και τα δύο qubits ελέγχου

βρίσκονται στην κατάσταση 1 . Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουµε και τις άλλες

περιπτώσεις.

Σχήµα 5.7 To σύµβολο και οι ιδιότητες της κβαντικής πύλης διπλά ελεγχόµενου ΟΧΙ, CCNOT.

Στο Σχήµα 5.7 φαίνονται το σύµβολο και οι ιδιότητες της πύλης CCNOT. Στην

πρώτη στήλη του πίνακα φαίνονται οι καταστάσεις των τριών qubits πριν τη

δράση της πύλης, ( iii tcc 12 ) και στη δεύτερη οι καταστάσεις τους µετά τη δράση

της πύλης ( ooo tcc 12 ).

iii tcc 12 ooo tcc 12

000 000

001 001

010 010

011 011

100 100

101 101

110 111

111 110

100

5.4.2 Η κβαντική πύλη Fredkin (F)

Η κβαντική πύλη Fredkin συµβολίζεται µε F και δρα σε τρία qubits.

To ένα qubit ονοµάζεται qubit ελέγχου (control qubit), και συµβολίζονται µε c και τα

άλλα δύο qubits ονοµάζονται qubits στόχοι (target qubits) και συµβολίζονται µε t1 και

t2.

Οι καταστάσεις των τριών qubits πριν την δράση της πύλης είναι ic , it1 και it2 ,

ενώ οι καταστάσεις των qubits µετά την δράση της πύλης είναι oc , ot1 και ot2 .

Η πύλη F εναλλάσσει τις καταστάσεις των qubits στόχων, όταν το qubit ελέγχου

βρίσκεται στην κατάσταση 1 . Όταν το qubit ελέγχου βρίσκεται στην κατάσταση 0 ,

οι καταστάσεις των qubits στόχων δεν αλλάζουν. Για αυτό το λόγο λέγεται και πύλη

ελεγχόµενης εναλλαγής (Controlled-Swap Gate).

Η κατάσταση του qubit ελέγχου ic δεν µεταβάλλεται, δηλαδή ισχύει πάντα ic =

oc .

Η πύλη F περιγράφεται από τον παρακάτω πίνακα:

=

10000000

00100000

01000000

00010000

00001000

00000100

00000010

00000001

F (5.27)


oooiii ttcttcF 1212 = (5.28)

101

Ας δούµε τη δράση αυτής της πύλης F σε έναν καταχωρητή που αποτελείται από

τρία qubits. Έστω ότι η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή πριν τη δράση της

πύλης είναι 001 , τότε:

001

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

10000000

00100000

01000000

00010000

00001000

00000100

00000010

00000001

)001F( =

=

= (5.29)

Ας δούµε και την περίπτωση που η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή πριν τη

δράση της πύλης είναι 101 :

110

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

10000000

00100000

01000000

00010000

00001000

00000100

00000010

00000001

)101F( =

=

= (5.30)

∆ηλαδή οι καταστάσεις των qubits στόχων εναλλάχθηκαν διότι το qubit ελέγχου

βρισκόταν στην κατάσταση 1 . Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουµε και τις άλλες

περιπτώσεις.

102

Σχήµα 5.8 To σύµβολο και οι ιδιότητες της κβαντικής πύλης Fredkin, F.

Στο Σχήµα 5.8 φαίνονται το σύµβολο και οι ιδιότητες της πύλης F. Στην πρώτη στήλη

του πίνακα φαίνονται οι καταστάσεις των τριών qubits πριν τη δράση της πύλης

( iii ttc 12 ) και στη δεύτερη οι καταστάσεις τους µετά τη δράση της πύλης ( ooo ttc 12 ).

Οι [CaPa01, σελ185] αναφέρουν ότι η πύλη Fredkin µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την

προσοµοίωση των κλασικών πυλών NOT και AND.

iii ttc 12 ooo ttc 12

000 000

001 001

010 010

011 011

100 100

101 110

110 101

111 111

103

5.5 Κβαντικό κύκλωµα για υπολογισµό συνάρτησης

Έστω µια συνάρτηση f(x) που δέχεται ως είσοδο n bits και επιστρέφει ως έξοδο m bits.

Το κλασικό κύκλωµα που υπολογίζει την f(x) φαίνεται παρακάτω:

Σχήµα 5.9 Κλασικό κύκλωµα για τον υπολογισµό της συνάρτησης f(x)

Το αντίστοιχο κβαντικό κύκλωµα δέχεται ως είσοδο (n+m) bits, όπου n η είσοδος της

κλασικής συνάρτησης ακολουθούµενη από m bits µε τιµή 0. Επιστρέφει ως έξοδο το x

(n bits) και το f(x) (m bits). Ο µετασχηµατισµός είναι ( )xfxx →0 .

Σχήµα 5.10 Κβαντικό κύκλωµα για τον υπολογισµό της συνάρτησης f(x)

[DPV06] [Bel06, σελ.83]

Ας σηµειώσουµε ότι η είσοδος µπορεί να είναι µια υπέρθεση καταστάσεων των n bits,

δηλαδή π.χ. ∑−

=

1

0

0 ,1 q

x

xq

. Τότε η έξοδος θα είναι ∑−

=

1

0

)(f ,1 q

x

xxq

, δηλαδή θα

υπολογιστεί η τιµή της f(x) για κάθε x. [DPV06, Sten05] [Bel06, σελ.84]

Η δυνατότητα να µπορούµε να υπολογίσουµε την τιµή της f(x) για όλες τις n2 τιµές του

x σε ένα βήµα, ονοµάζεται κβαντική παραλληλία (quantum parallelism).

Σηµείωση: 2ln2 nn e= , δηλαδή ο κβαντικός υπολογιστής είναι εκθετικά πιο γρήγορος

από τον κλασικό, για συγκεκριµένου τύπου υπολογισµούς. [CaPa01, σελ.244]

[NaOh08, σελ58, 95] [NiCh2000, σελ.30] [Wolf99]

104

5.6 Πίνακες Pauli

Θα ήταν παράλειψη να µιλάµε για κβαντικές πύλες και να µην αναφέρουµε τους πίνακες

Pauli.

Πίνακες Pauli ονοµάζονται οι τρεις παρακάτω 2x2 πίνακες:

=

01

101σ

−=

0

02 i

iσ

−=

10

013σ

[Κων07, Κεφ0] [Sten05] [NaOh08, σελ.3] [Bel06, σελ.36] [NiCh2000, σελ.65]

[ΠΧΛ04, σελ.8] [Χατζ06, σελ.21] [Daw08, Lecture 3]

Συχνά η κβαντική πύλη αδρανείας (Ι) συµπεριλαµβάνεται ως τέταρτος πίνακας Pauli.

=

10

01I

Βασικές ιδιότητες:

1) Tr(σk) = 0 για k = 1, 2, 3.

2) det(σk) = − 1 για k = 1, 2, 3.

3) I=2kσ για k = 1, 2, 3.

[Κων07, Κεφ0] [Χατζ06, σελ.21]

4) σ1σ2 – σ2σ1 = 2iσ3

Συχνά στη βιβλιογραφία, οι πίνακες Pauli συµβολίζονται και ως εξής:

σ1=Χ σ2=Υ σ3=Ζ

[Sten05, σελ 5-6]

Ας εκφράσουµε κάποιες από τις πύλες που είδαµε συναρτήσει των πινάκων Pauli [Sten05,

σελ136-137] και [Χατζ06, σελ.31]:

105

Πύλη Hadamard (Η): ( )

−=+=

11

11

2

1

2

131 σσH

Πύλη µετατόπισης φάσης (Φ): ( )

=−=Φ φσ

λie0

011

2 3

Πύλη NOT:

==

01

101σNOT

Πύλη «τετραγωνική ρίζα του NOT» “square root of NOT” ( NOT ):

( )( )1)1(121

11

11

21

σiIiii

iiNOT −++=

+−

−+=

Ισχύει NOTNOTNOT =⋅

[Καρ05, σελ.81] [Sten05, σελ137][CaPa01, σελ 196][ΠΧΛ04, σελ.60] [Χατζ06, σελ.31]


1 .Στη βιβλιογραφία µπορούν να βρεθούν πολλές άλλες πύλες.

2. Όλες οι κλασικές πύλες (ΝΟΤ, AND, OR, XOR, NAND) µπορούν να υλοποιηθούν µε

κβαντικές πύλες. Υπό αυτήν την έννοια, η κβαντική επεξεργασία πληροφορίας

περιλαµβάνει την κλασική. Αυτό σηµαίνει ότι όλοι οι κλασικοί υπολογισµοί µπορούν

να πραγµατοποιηθούν και σε έναν κβαντικό υπολογιστή.

3. Οι Nakahara και Ohmi [NaOh08] στις σελίδες 72-75, περιγράφουν πώς µπορούµε

να υλοποιήσουµε όλες τις κλασικές πύλες µε τη βοήθεια της CCNOT. Ενδεικτικά,

αναφέρουµε:

Πύλη NOT : xxCCNOT ¬= ,1,1,1,1

Πύλη ΑΝD: yxyxyxCCNOT ∧= ,,0,,

Πύλη XOR: XOR = CNOT ή yxxyxCCNOT ⊕= ,,1,,1

106

5.7 H αδυναµία αντιγραφής ενός άγνωστου qubit

[Sten05] [Καρ05] [CaPa01, σελ.203-204] [NaOh08, σελ75-76] [Bel06, σελ.57-58]

Εδώ θα αναφερθούµε σε µία πύλη που δεν υπάρχει. Η διακλάδωση (cloning) ενός bit σε

δύο ανεξάρτητα bits, δηλαδή η αντιγραφή ενός bit, είναι πάρα πολύ εύκολη στους

κλασικούς υπολογιστές. Κάτι τέτοιο όµως, είναι αδύνατον στους κβαντικούς υπολογιστές,

δηλαδή δεν µπορούµε να αντιγράψουµε την κατάσταση ενός qubit. Ας δούµε καλύτερα

αυτή την αδυναµία.

Σχήµα 5.11 Η κατάσταση του άγνωστου qubit q διακλαδίζεται (αντιγράφεται) µε τη δράση της

κβαντικής πύλης C. Μια τέτοια πύλη είναι αδύνατον να υπάρχει.

Στο Σχήµα 5.11 φαίνεται µία κβαντική πύλη που την ονοµάσαµε C. Η πύλη αυτή δρα σε

δύο qubits. To ένα βρίσκεται στην κατάσταση 0 και το άλλο σε µία άγνωστη

κατάσταση q . H κβαντική αυτή πύλη αλλάζει την κατάσταση του qubit που βρίσκεται

στην κατάσταση 0 ώστε να γίνει ίδια µε την κατάσταση q . Μετά τη δράση της

πύλης και τα δύο qubits βρίσκονται στην ίδια κατάσταση, δηλαδή η κατάσταση του

q αντιγράφτηκε στο qubit που είχε αρχικά την κατάσταση 0 . Έχει αποδειχθεί ότι

µια τέτοια πύλη είναι αδύνατο να υπάρξει. Αυτή η απόδειξη είναι γνωστή ως το

θεώρηµα µη - αντιγραφής (no-cloning theorem). Παρακάτω θα διατυπώσουµε και θα

αποδείξουµε το θεώρηµα αυτό.

Θεώρηµα της µη - αντιγραφής: ∆εν µπορεί να υπάρξει µια κβαντική πύλη C τέτοια ώστε

qqqC =0 (5.31)

όπου q είναι ένα qubit µε άγνωστη κατάσταση.

107

Απόδειξη: [Καρ05] [Sten05] [CaPa01, σελ.203-204] [NaOh08, σελ75-76]

Υποθέτουµε ότι υπάρχει µία τέτοια κβαντική πύλη. Αυτή η κβαντική πύλη

αντιπροσωπεύει τον ορθοµοναδιαίο τελεστή Ĉ. Βάζουµε την πύλη να δράσει σε δύο

qubits το q και το b που είναι ορθογώνια µεταξύ τους και να τα αντιγράψει:

qqqC =0)

(5.32)

bbbC =0)

Θεωρούµε ένα άλλο qubit, το c , η κατάσταση του οποίου είναι η υπέρθεση των

καταστάσεων των δύο ορθογώνιων qubits q και b :

Θεωρούµε την υπέρθεση των δύο qubits:

)(2

1bqc +=

(5.33)

∆ρούµε τώρα µε την κβαντική πύλη Ĉ στο qubit c αντιγράφοντας την κατάσταση

του:

=+=+=+= ))0()0((2

1)00(

2

1)0)((

2

1)0( bCqCbqCbqCcC

)))))

)(2

1bbqq += (5.34)

Αλλά πρέπει να ισχύει και:

)(2

1)(

2

1)(

2

1)0( bbbqqbqqbqbqcccccC +++=++===

)

(5.35)

Οι εξισώσεις (5.34) και (5.35) έχουν τα αριστερά τους µέλη ίσα µεταξύ τους, όµως τα δεξιά τους

µέλη είναι διαφορετικά, εποµένως η κβαντική πύλη C δεν είναι δυνατόν να υπάρξει.

108


1) Η αδυναµία διακλάδωσης, δηλαδή η αδυναµία αντιγραφής των qubits αποτελεί τη

βάση της κβαντικής κρυπτογραφίας.

2) Αν και δεν µπορούµε να κάνουµε ένα πλήρες αντίγραφο ενός qubit, ωστόσο

µπορούµε να πετύχουµε µια µερική αντιγραφή του. Οι Stenholm και Suominen

[Sten05, σελ 40-41] περιγράφουν µια διαδικασία που µπορεί να οδηγήσει σε

ανάκτηση του 83% της αρχικής πληροφορίας. Το 83% (5/6) είναι η βέλτιστη τιµή

που µπορεί να επιτευχθεί. O [Cerf98] περιγράφει µια παρόµοια διαδικασία µε χρήση

των “µηχανών αναπαραγωγής Pauli” (Pauli cloning machines - PCM).

3) Η αδυναµία αντιγραφής ισχύει µόνο για τη γενική περίπτωση που έχουµε ένα

άγνωστο qubit (µε άγνωστη κατάσταση). Αν το qubit βρίσκεται στην κατάσταση

0 ή στην κατάσταση 1 (στις βασικές καταστάσεις), τότε η αντιγραφή είναι

δυνατή. Αυτό το γεγονός, χρησιµοποιείται στις τεχνικές διόρθωσης σφάλµατος

(quantum error correction) [NaOh08, σελ.76] [Bel06, σελ.58] [NiCh2000, σελ.24]

[Ril06, σελ.144]

4) Ως πύλη αντιγραφής µπορεί να θεωρηθεί η πύλη CNOT (µε την προϋπόθεση ότι το

δεύτερο qubit θα είναι πάντα 0). Πράγµατι ισχύει

11100000 == CNOTCNOT και . [NaOh08, σελ.76] [NiCh2000, σελ.24]

[Ril06, σελ.143]

109

5.8 Κβαντική τηλεµεταφορά (quantum teleportation)

Αν και το όνοµα της διαδικασίας είναι εντυπωσιακό και παραπέµπει σε ταινίες

επιστηµονικές φαντασίας, στην πραγµατικότητα τα πράγµατα είναι λίγο διαφορετικά. Η

κβαντική τηλεµεταφορά µάς επιτρέπει να µεταφέρουµε χωρίς απώλειες µία κβαντική

κατάσταση από ένα σηµείο σε ένα άλλο. Ωστόσο, δεν µεταφέρεται το αντικείµενο.

Μεταφέρεται η πληροφορία που το περιγράφει. Το αρχικό αντικείµενο καταστρέφεται

και, στο σηµείο που «τηλεµεταφέραµε» το αντικείµενο, δηµιουργείται ένα καινούριο

σύµφωνα µε την µεταφερόµενη πληροφορία.

Στην παρούσα εργασία δεν θα µας απασχολήσει περισσότερο η τηλεµεταφορά. Απλά θα

αναφέρουµε ότι κάνει χρήση της κβαντικής διεµπλοκής (entanglement) που θα δούµε

στην ενότητα 9.1.

Για περισσότερες λεπτοµέρειες για την κβαντική τηλεµεταφορά, ο αναγνώστης µπορεί να

µελετήσει τις πηγές: [Sten05, σελ.42-46], [CaPa01, σελ.276-279], [NaOh08, σελ.79-81],

[WiCl98, Κεφάλαιο 9,σελ.183-211], [WiCl2000, Κεφάλαιο 7, σελ.157-172] [Bel06,

σελ.141-144] [NiCh2000, σελ.26-28] [LoWo06, σελ.119-124] [ΠΧΛ04, σελ.16, 23-

30] [Ril06, σελ.146-148].

Κυκλώµατα τηλεµεταφοράς υπάρχουν στις σελίδες 156-157 των [Sten05], 80-81 των

[NaOh08], 200-205 των [WiCl98], 146 του [Ril06] και 27 των [NiCh2000]. Κβαντική

τηλεµεταφορά έχει πραγµατοποιηθεί σε εργαστηριακές συνθήκες µε φωτόνια, NMR

(πυρηνικό µαγνητικό συντονισµό) και παγίδες ιόντων [NaOh08, σελ.79].

∆ηλαδή, στους κβαντικούς υπολογιστές δεν θα έχουµε copy-paste (αντιγραφή), αλλά

µόνο cut-paste (µετακίνηση). (αναφερόµαστε στη γενική περίπτωση).

110


1) Οι καταστάσεις των qubits και των κβαντικών καταχωρητών είναι διανύσµατα στον

χώρο Hilbert. Οι κβαντικές πύλες είναι ορθοµοναδιαίοι τελεστές του χώρου Hilbert που

δρουν σε qubits και σε κβαντικούς καταχωρητές αλλάζοντας την κατάσταση τους.

∆ηλαδή, οι κβαντικές πύλες περιστρέφουν τα διανύσµατα κατάστασης των qubits και

των κβαντικών καταχωρητών χωρίς να αλλάζουν το µήκος τους, το οποίο είναι πάντα

ίσο µε τη µονάδα.

2) Οι κυριότερες κβαντικές πύλες που δρουν σε ένα qubit είναι η πύλη αδρανείας, Ι, η

πύλη µετατόπισης φάσης, Φ και η πύλη Hadamard, Η.

3) Οι κυριότερες κβαντικές πύλες που δρουν σε δύο qubits είναι η πύλη ελεγχόµενου ΟΧΙ,

CNOT και η πύλη ελεγχόµενης µετατόπισης φάσης, CΦ.

4) Οι κυριότερες κβαντικές πύλες που δρουν σε τρία qubits είναι η πύλη διπλά ελεγχόµενου

ΟΧΙ, CCNOT (ή πύλη Toffolli) και η πύλη Fredkin, F.

5) Η πύλη CNOT, η πύλη Η και η πύλη Φ αποτελούν ένα γενικευµένο σύνολο κβαντικών

πυλών. ∆ηλαδή µπορούµε να εκτελέσουµε οποιονδήποτε κβαντικό υπολογισµό

χρησιµοποιώντας µόνο αυτές τις πύλες.

6) ∆εν µπορούµε να αντιγράψουµε την κατάσταση ενός άγνωστου qubit.

111

Βιβλιογραφία 5ου κεφαλαίου




[ΠΧΛ04] Πάνος Χρήστος, Χατζησάββας Κωνσταντίνος και Λαλαζήσης Γιώργος

(2004). Κβαντική Πληροφορική και Κβαντικοί υπολογιστές, Τµήµα Φυσικής, Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης, Πανεπιστηµιακές παραδόσεις.







[Cerf98] Cerf J. Nicolas (1998). “Information-Theoretic Aspects of Quantum

Copying” in Quantum Computing and Quantum Communications, C. P. Williams, First NASA International Conference, QCQS’98, Palm Springs, California, USA, February 17-20, 1998, Selected Papers, Springer-Verlag (Lecture Notes in Computer Science, Volume 1509)


2007-2008) University of Cambridge, Lecture 3, 4 (http://www.cl.cam.ac.uk/Teaching/0708/QuantComp/)


Algorithms, Chapter 10 - Quantum algorithms. [John03] Johnson George (2003). A shortcut through time – The Path to the

Quantum Computer, NewYork: Knopf

112

[LoWo06] Loepp Susan and Wootters K. William (2006). Protecting Information: From Classical Error Correction to Quantum Cryptography, Cambridge University Press. Ενότητες 7.2 και 7.4




and Quantum Information, Cambridge University Press. [Ril06] Riley T. Perry (2006). The Temple of Quantum Computing, version 1.1,

April 29, 2006, (http://www.toqc.com/TOQCv1_1.pdf). From the Temple of Quantum Computing (TOQC) Website (http://www.toqc.com/), σελ.129-142








113

Κεφάλαιο 6

Κβαντικοί υπολογισµοί

6.1 Το κυκλωµατικό µοντέλο των κβαντικών υπολογισµών 6.1.1 Εισαγωγή

Οι κλασικοί υπολογιστές αποτελούνται από αγωγούς και λογικές πύλες, οι οποίες

συγκροτούν κυκλώµατα και επεξεργαστές. Οι αγωγοί µεταφέρουν την πληροφορία από

πύλη σε πύλη όπου γίνεται η επεξεργασία της. Οι πύλες των κλασικών υπολογιστών

είναι φυσικά συστήµατα και η πληροφορία διέρχεται µέσα από αυτές.

Αντίθετα, στους κβαντικούς υπολογιστές η πληροφορία βρίσκεται αποθηκευµένη σε

qubits ή σε κβαντικούς καταχωρητές και παραµένει εκεί. Οι κβαντικές πύλες δεν είναι

φυσικά συστήµατα, αλλά αντιπροσωπεύουν δράσεις που ασκούνται σε qubits ή σε

κβαντικούς καταχωρητές.

Οι κβαντικοί υπολογισµοί είναι δράσεις τελεστών που έχουν ως αποτέλεσµα την

περιστροφή διανυσµάτων στο χώρο Hilbert. Είναι δύσκολο να σχηµατίσουµε κάποια

εικόνα για αυτούς στο µυαλό µας. Έχουν γίνει αρκετές προσπάθειες για να

αναπαρασταθούν οι κβαντικοί υπολογισµοί µε κάποιο µοντέλο. ∆ύο µοντέλα είναι τα

παρακάτω:

1. Η κβαντική µηχανή Turing (Quantum Turing Machine)

2. Το κυκλωµατικό µοντέλο (Quantum Circuit Model).

Το πιο επιτυχηµένο µοντέλο, που σήµερα χρησιµοποιείται σχεδόν αποκλειστικά, είναι

το δεύτερο, το κυκλωµατικό µοντέλο των κβαντικών υπολογισµών.

[Wolf99][Καρ05] [Χατζ06, σελ.45]

Σύµφωνα µε το κυκλωµατικό µοντέλο, κάθε κβαντικός υπολογισµός, απλός ή

πολύπλοκος, µπορεί να αναπαρασταθεί µε ένα κύκλωµα. Τα κυκλώµατα που

αναπαριστούν κβαντικούς υπολογισµούς ονοµάζονται κβαντικά κυκλώµατα και

αποτελούνται από qubits, κβαντικούς καταχωρητές και κβαντικές πύλες. Στα κβαντικά

114

κυκλώµατα δεν υπάρχει ροή πληροφορίας από πύλη σε πύλη, αλλά διαδοχικές δράσεις

κβαντικών πυλών σε κβαντικούς καταχωρητές στους οποίους βρίσκεται αποθηκευµένη η

πληροφορία. Τα κβαντικά κυκλώµατα αναπαριστούν τη χρονική σειρά και τον τρόπο

µε τον οποίο δρουν οι κβαντικές πύλες στους κβαντικούς καταχωρητές.

6.1.2 Παράδειγµα

Ας αρχίσουµε την παρουσίαση και την περιγραφή του κυκλωµατικού µοντέλου των

κβαντικών υπολογισµών µε ένα παράδειγµα. Στο παράδειγµα αυτό θα

αναπαραστήσουµε µε ένα κβαντικό κύκλωµα το παιχνίδι του Quant µε τον Captain

Class (Παράρτηµα Α). Θα κάνουµε όµως µία µικρή αλλαγή στο συµβολισµό των

καταστάσεων του κβαντικού κέρµατος. Η κατάσταση στην οποία το κβαντικό κέρµα

βρίσκεται µε το γράµµα Η στην πάνω όψη συµβολίζεται µε 0 και η κατάσταση µε το

γράµµα T στην πάνω όψη συµβολίζεται µε 1 , δηλαδή το κβαντικό κέρµα είναι ένα

qubit. Ο κβαντικός υπολογισµός αποτελείται από τα παρακάτω βήµατα:

Βήµα 1ο: Ο Captain Class τοποθετεί το κέρµα µε το γράµµα Τ στην πάνω όψη.

Βήµα 2ο: Ο Quant δρα στο κέρµα µε την κβαντική πύλη Hadamard (Η).

Βήµα 3ο: Ο Captain Class δρα στο κέρµα µε την κβαντική πύλη αδρανείας (Ι),

δηλαδή δεν αλλάζει την κατάσταση του.

Βήµα 4ο: Ο Quant δρα για δεύτερη φορά στο κέρµα µε την κβαντική πύλη

Hadamard (Η).

Βήµα 5ο: Βγάζουν το κάλυµµα για να φανεί το κέρµα, µετρούν δηλαδή την

κατάσταση του. Φυσικά, το κέρµα βρίσκεται στην κατάσταση που

βρισκόταν στην αρχή του παιχνιδιού.

Σχήµα 6.1 Το κυκλωµατικό µοντέλο του κβαντικού υπολογισµού του παιχνιδιού του Quant µε τον

Captain Class.

115

Το κβαντικό κύκλωµα που αναπαριστά αυτόν τον κβαντικό υπολογισµό φαίνεται στο

Σχήµα 6.1. Το ορθογώνιο µε το ηµικύκλιο και το βέλος στο 5° βήµα δεν είναι

κβαντική πύλη, αλλά συµβολίζει τη µέτρηση της κατάστασης του qubit, δηλαδή

του κέρµατος. ∆εν είναι απαραίτητο να σηµειώνουµε τη µέτρηση σε ένα κβαντικό

κύκλωµα, διότι κάθε κβαντικός υπολογισµός τελειώνει µε µέτρηση της κατάστασης

του qubit ή του κβαντικού καταχωρητή. [Καρ05]

Στους [Sten05, σελ154] και [NiCh2000, σελ.24] η µέτρηση συµβολίζεται παρόµοια:

Η διπλή γραµµή στα δεξιά της µέτρησης υποδηλώνει κλασική πληροφορία.

Υπενθυµίζουµε ότι η µέτρηση είναι µη αναστρέψιµη διαδικασία. Οδηγεί σε εξαγωγή

κλασικής πληροφορίας. Έχει όµως το τίµηµα της καταστροφής της υπέρθεσης. Κατά

κανόνα, οδηγεί σε απώλεια κβαντικής πληροφορίας.

Πρέπει εδώ να τονίσουµε για ακόµη µία φορά ότι στα κβαντικά κυκλώµατα η

πληροφορία, που είναι αποθηκευµένη στα qubits ή στους κβαντικούς καταχωρητές, δε

µεταφέρεται από πύλη σε πύλη. Η πληροφορία µένει στα qubits ή στους κβαντικούς

καταχωρητές όπου δρουν οι κβαντικές πύλες. Το κέρµα δηλαδή µένει σκεπασµένο

πάνω στο τραπέζι και δρουν σ' αυτό διαδοχικά οι δύο παίκτες. Το κβαντικό κύκλωµα

αναπαριστά τη χρονική σειρά µε την οποία δρουν οι κβαντικές πύλες. Από εδώ και

εµπρός θα χρησιµοποιούµε το κυκλωµατικό µοντέλο για να αναπαραστήσουµε

κβαντικούς υπολογισµούς.

Στα κβαντικά κυκλώµατα δεν πρέπει να υπάρχουν διακλαδώσεις, αφού δεν

µπορούµε να αντιγράψουµε την κατάσταση ενός qubit. Επίσης, δεν πρέπει να

υπάρχουν βρόχοι ανάδρασης. [Καρ05] [NiCh2000, σελ.23] [Ril06, σελ.142]

Γενικά, ο κβαντικός υπολογισµός είναι ένας ορθοµοναδιαίος µετασχηµατισµός που

µετατρέπει την αρχική κατάσταση του κβαντικού συστήµατος σε µια

τελική κατάσταση. [Χατζ06, σελ.47]

116

6.1.3 Πλεονεκτήµατα κυκλωµατικού µοντέλου

Το βασικό πλεονέκτηµα του κυκλωµατικού µοντέλου είναι ότι λειτουργεί σαν

µεταφορά µιας ευρύτατα διαδεδοµένης εικόνας, του κλασικού κυκλωµατικού

µοντέλου µε τις βασικές πύλες των κλασικών υπολογιστών και των κλασικών λογικών

κυκλωµάτων. Με αυτόν τον τρόπο εξασφαλίζει µια εύχρηστη, εποπτική και

παιδαγωγική εικόνα των κβαντικών υπολογιστών. [Χατζ06, σελ.46]

6.1.4 Μειονεκτήµατα κυκλωµατικού µοντέλου

Βασικά µειονεκτήµατα του κυκλωµατικού µοντέλου είναι τα ακόλουθα.

1. Στη γενική περίπτωση χρειάζεται άπειρος αριθµός υπολογιστικών βηµάτων για να

πετύχουµε επακριβώς µια οποιαδήποτε κβαντική πύλη.

2. Το µοντέλο δείχνει προτίµηση σε φυσικά συστήµατα στα οποία µπορούµε να

επιτύχουµε τις καθολικές πύλες εύκολα. Αυτό έχει σαν αποτέλεσµα να παραβλέπονται

φυσικά συστήµατα τα οποία διαθέτουν ικανοποιητικά χαρακτηριστικά για να

λειτουργήσουν σαν υποψήφια για την υλοποίηση ενός κβαντικού υπολογιστή,

επειδή δεν µπορούµε να υλοποιήσουµε εύκολα τις καθολικές πύλες. Επίσης, η

ανάλυση σε καθολικές πύλες εξαρτάται από το σύνολο των καθολικών πυλών που

µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε σε κάθε σύστηµα. ∆ιαφορετικό σύνολο, συνεπάγεται

και διαφορετική ανάλυση.

3. Το µοντέλο δεν είναι βέλτιστο τόσο σε ότι αφορά τον αριθµό των υπολογιστικών

βηµάτων, όσο και σε ότι αφορά το συνολικό χρόνο της υπολογιστικής διαδικασίας.

[Χατζ06, σελ.46-47]

Στα κεφάλαια 3 και 4 του [Χατζ06] γίνεται µία προσπάθεια να ξεπεραστούν κάποια

από τα µειονεκτήµατα του κυκλωµατικού µοντέλου.

117

6.2 Ένας αναλυτικός κβαντικός υπολογισµός

Στο Σχήµα 6.2 φαίνεται ένα κβαντικό κύκλωµα που αναπαριστά έναν κβαντικό υπο-

λογισµό.

Σχήµα 6.2 Το κβαντικό κύκλωµα

Θα κάνουµε τον υπολογισµό αυτό βήµα προς βήµα:

Βήµα 1: Ο κβαντικός καταχωρητής του κυκλώµατος αποτελείται από δύο qubits και η

κατάσταση του είναι η 10 . Ο πίνακας που αντιστοιχεί στην κατάσταση αυτή είναι το

τανυστικό γινόµενο των πινάκων που αντιστοιχούν στις καταστάσεις των δύο qubits:

110101010000

0

1

0

0

0

1

1

010 +++=

=

⊗

= (6.1)

Αν µετρήσουµε την κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή στο βήµα αυτό, θα βρούµε

µε πιθανότητα ίση µε τη µονάδα (δηλαδή σίγουρα) την κατάσταση 10 .

Στο Σχήµα 6.3 φαίνεται ένας πίνακας του οποίου οι στήλες αντιστοιχούν στα βήµατα

του κβαντικού υπολογισµού και οι γραµµές στις βασικές καταστάσεις του κβαντικού

καταχωρητή. Οι βασικές καταστάσεις αναγράφονται και ως δεκαδικοί αριθµοί. Στον

πίνακα αυτό αναγράφονται οι πιθανότητες να µετρήσουµε τις βασικές καταστάσεις

του κβαντικού καταχωρητή σε κάθε βήµα του κβαντικού υπολογισµού. Φυσικά, το

άθροισµα των πιθανοτήτων σε κάθε στήλη του πίνακα πρέπει να είναι ίσο µε τη

µονάδα.

118

Στο πρώτο βήµα η πιθανότητα να µετρήσουµε την 10 είναι ένα, ενώ η πιθανότητα να

µετρήσουµε τις άλλες τρεις είναι µηδέν.

Σχήµα 6.3 Οι πιθανότητες να µετρηθούν οι καταστάσεις σε κάθε βήµα του κβαντικού υπολογισµού.

Βήµα 2: Στο βήµα αυτό στο δεύτερο qubit δρα η πύλη Hadamard (Η) και στο πρώτο

qubit δεν δρα καµία πύλη. Αυτό είναι ισοδύναµο µε τη δράση της πύλης αδρανείας Ι.

Συνήθως, όταν σε κάποιο βήµα δε δρα καµία πύλη σε κάποιο qubit, δε βάζουµε στο

κβαντικό κύκλωµα την πύλη αδρανείας, αλλά µία συνεχόµενη γραµµή όπως στο

Σχήµα 6.2. Είναι πολύ σηµαντικό όµως να θυµόµαστε ότι η συνεχής αυτή γραµµή

αντιστοιχεί σε µία πύλη αδρανείας, γιατί στους κβαντικούς υπολογιστές το «δεν κάνω

τίποτα» είναι και αυτό µία δράση. Αυτό θα το δούµε αµέσως παρακάτω.

Η συνολική δράση των κβαντικών πυλών σε ένα βήµα του κβαντικού υπολογισµού

εκφράζεται από το τανυστικό γινόµενο των πινάκων που περιγράφουν τις πύλες αυτές.

119

Πριν προχωρήσουµε ας δούµε πώς υπολογίζουµε το τανυστικό γινόµενο δύο πινάκων

που έχουν περισσότερες από µία στήλες και γραµµές.

Αν έχουµε δύο πίνακες τον Α και τον Β:

=

2221

1211

aa

aaA

=

2221

1211

bb

bbB (6.2)

τότε, το τανυστικό τους γινόµενο δίνεται από:

=

=

=

⊗

=⊗

2222212222212121

1222112212211121

2212211222112111

1212111212111111

2221

121122

2221

121121

2221

121112

2221

121111

2221

1211

2221

1211

2221

1211

babababa

babababa

babababa

babababa

bb

bba

bb

bba

bb

bba

bb

bba

BaBa

BaBa

bb

bb

aa

aaBA

(6.3)

Γενικά, αν ο Α έχει m γραµµές και n στήλες και ο Β έχει p γραµµές και q στήλες, τότε

ο C έχει mp γραµµές και nq στήλες.

[Καρ05][NiCh2000, σελ.74] [LoWo06, σελ.86] [Daw08]

120

Στο δεύτερο βήµα του κβαντικού υπολογισµού δρουν οι πύλες I και Η. Η συνολική

τους δράση δίνεται από το τανυστικό τους γινόµενο. Για να υπολογίσουµε το

τανυστικό γινόµενο γράφουµε στην πιο δεξιά θέση την πύλη που δρα στο πρώτο qubit

και στην πιο αριστερή θέση την πύλη που δρα στο τελευταίο qubit:

−+

−+

++

++

=

⊗

−+

++=⊗

2

10

2

10

02

10

2

12

10

2

10

02

10

2

1

10

01

2

1

2

12

1

2

1

IH

(6.4)

Εδώ φαίνεται ότι το «δεν κάνω τίποτα», δηλαδή η δράση της πύλης αδρανείας,

συµβάλει στο τανυστικό γινόµενο. Θα υπολογίσουµε τώρα την κατάσταση του

κβαντικού καταχωρητή στο τέλος του 2ου βήµατος, δηλαδή µετά τη δράση των πυλών:

102

100

2

111010

2

101000

2

1

0

2

1

0

2

1

0

1

0

0

2

10

2

10

02

10

2

12

10

2

10

02

10

2

1

10)(

−+=+−++=

=

−

+

=

−+

−+

++

++

=⊗ IH

(6.5)

121

Αφού θυµηθούµε ότι η πιθανότητα δίνεται από το τετράγωνο του µέτρου του

πλάτους πιθανότητας, διαπιστώνουµε από την (6.5) ότι στο τέλος του 2ου βήµατος η

πιθανότητα να βρεθεί ο κβαντικός καταχωρητής στην κατάσταση 00 είναι 0.5 και

η πιθανότητα να βρεθεί στην κατάσταση 10 είναι 0.5. Οι πιθανότητες αυτές

αναγράφονται στη δεύτερη στήλη του πίνακα του Σχήµατος 6.3.

Βήµα 3: Στο βήµα αυτό δρα στον κβαντικό καταχωρητή µόνο η κβαντική πύλη

Ελεγχόµενου Όχι (CNOT). Για να υπολογίσουµε την κατάσταση του κβαντικού

καταχωρητή στο τέλος του τρίτου βήµατος, δηλαδή µετά τη δράση της CNOT,

πολλαπλασιάζουµε τον πίνακα που περιγράφει την πύλη επί τον πίνακα της

κατάστασης του κβαντικού καταχωρητή που υπολογίστηκε στο αµέσως

προηγούµενο βήµα:

112

100

2

111

2

110001000

2

1

2

1

0

0

2

1

0

2

1

0

2

1

0100

1000

0010

0001

−+=−+++

=

−

+

=

−

+

(6.6)

Στο τέλος του 3ου βήµατος η πιθανότητα να βρεθεί ο κβαντικός καταχωρητής στην

κατάσταση 00 είναι 0.5 και η πιθανότητα να βρεθεί στην κατάσταση 11 είναι 0.5.

Οι πιθανότητες αυτές αναγράφονται στην τρίτη στήλη του πίνακα του Σχήµατος 6.3.

Βήµα 4: Όπως και στο 3° βήµα, στο βήµα αυτό δρα στον κβαντικό καταχωρητή µόνο

η κβαντική πύλη ελεγχόµενου όχι (CNOT). Για να υπολογίσουµε την κατάσταση του

κβαντικού καταχωρητή στο τέλος του τετάρτου βήµατος, πολλαπλασιάζουµε τον

πίνακα που περιγράφει την πύλη επί τον πίνακα της κατάστασης του κβαντικού

καταχωρητή που υπολογίστηκε στο αµέσως προηγούµενο βήµα:

122

102

100

2

111010

2

101000

2

1

0

2

1

0

2

1

2

1

0

0

2

1

0100

1000

0010

0001

−+=+−++

=

−

+

=

−

+

(6.7)



Οι πιθανότητες αυτές αναγράφονται στην τέταρτη στήλη του πίνακα του Σχήµατος

6.3.

Βήµα 5: Στο βήµα αυτό, που είναι και το τελευταίο, στο δεύτερο qubit δρα η πύλη

Hadamard (Η) και στο πρώτο qubit δεν δρα καµία πύλη, δηλαδή δρα η πύλη

αδρανείας. Η συνολική δράση των κβαντικών πυλών στο βήµα αυτό εκφράζεται από

το τανυστικό γινόµενο των πινάκων που περιγράφουν τις πύλες. Για να υπολογίσουµε

την κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή στο τέλος του πέµπτου βήµατος,

πολλαπλασιάζουµε τον πίνακα που προκύπτει από το τανυστικό γινόµενο των πινάκων

των πυλών (το έχουµε ήδη υπολογίσει στην (6.4)) επί τον πίνακα της κατάστασης του

κβαντικού καταχωρητή που υπολογίστηκε στο αµέσως προηγούµενο βήµα:

123

10

0

1

0

0

0

2

1

0

2

1

2

10

2

10

02

10

2

12

10

2

10

02

10

2

1

=

=

−

+

−+

−+

++

++

(6.8)


κατάσταση 10 είναι ένα. Αυτό αναγράφεται στην πέµπτη στήλη του πίνακα του

Σχήµατος 6.3.

Όταν ο κβαντικός καταχωρητής αποτελείται από πολλά qubits και ο κβαντικός

υπολογισµός περιλαµβάνει αρκετά βήµατα, τότε είναι σχεδόν αδύνατο να κάνουµε

τους υπολογισµούς µε το χέρι.

Ο αναπληρωτής καθηγητής του Τµήµατος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Υπολογιστών του ∆ηµοκριτείου Πανεπιστηµίου Θράκης, Καραφυλλίδης Ιωάννης, έχει

αναπτύξει έναν προσοµοιωτή κβαντικού υπολογιστή που τον ονόµασε QCS, από τα

αρχικά των λέξεων Quantum Computer Simulator. Ο προσοµοιωτής αναπτύχθηκε για

ερευνητικούς σκοπούς και χρησιµοποιήθηκε σε αρκετές ερευνητικές εργασίες.

Στο Σχήµα 6.4 δίνεται το αποτέλεσµα της προσοµοίωσης του κβαντικού υπολογισµού

µε τον οποίο ασχοληθήκαµε. Η προσοµοίωση έγινε µε τον προσοµοιωτή QCS.

Πρόκειται για µία γραφική παράσταση του πίνακα του Σχήµατος 6.3. Στον άξονα των

x της γραφικής αυτής παράστασης δίνονται τα βήµατα του υπολογισµού (Computation

Steps). Στον άξονα των y δίνονται οι βασικές καταστάσεις των qubits που

συµµετέχουν στον κβαντικό υπολογισµό, δηλαδή οι βασικές καταστάσεις του

κβαντικού καταχωρητή. Οι βασικές καταστάσεις δίνονται σε δεκαδική µορφή

(Decimal Number Representation). Οι πιθανότητες να βρεθεί ο κβαντικός

καταχωρητής σε µία από τις βασικές καταστάσεις δίνονται εδώ όχι µε αριθµούς, όπως

στον πίνακα του Σχήµατος 6.3, αλλά µε τόνους του γκρι, όπου ο αριθµός 1 αντιστοιχεί

στο µαύρο και ο αριθµός 0 στο άσπρο. Όλοι οι ενδιάµεσοι αριθµοί παριστάνονται µε

124

τόνους του γκρι. Για να διευκολυνθεί ο αναγνώστης, στο δεξιό µέρος του Σχήµατος

6.4 υπάρχει µία στήλη όπου φαίνεται η αντιστοιχία των αριθµών που βρίσκονται

µεταξύ του 0 και του 1 µε τους τόνους του γκρι. Με τον τρόπο αυτό µπορούµε να

έχουµε άµεση εποπτεία του κβαντικού υπολογισµού.

Σχήµα 6.4 Το αποτέλεσµα της προσοµοίωσης του κβαντικού υπολογισµού από τον Προσοµοιωτή

Κβαντικού Υπολογιστή QCS.

Στο σχήµα 6.5, φαίνονται όλα µαζί συγκεντρωµένα τα σχήµατα 6.2, 6.3 και 6.4.

125

Σχήµα 6.5 (α) Το κβαντικό κύκλωµα. (β) Οι πιθανότητες να µετρηθούν οι καταστάσεις σε κάθε βήµα

του κβαντικού υπολογισµού. (γ) Το αποτέλεσµα της προσοµοίωσης του κβαντικού υπολογισµού από

τον QCS.

126

6.3 Κβαντικοί υπολογισµοί (γενική περίπτωση)

6.3.1 Γενική περίπτωση

Όλοι οι κβαντικοί υπολογισµοί που βασίζονται στο κυκλωµατικό µοντέλο εκτελούνται

µε την ίδια διαδικασία που περιγράψαµε προηγουµένως. Στο Σχήµα 6.6 φαίνεται ένα

διάγραµµα που περιγράφει τη διαδικασία αυτή. Συνοπτικά η διαδικασία είναι η εξής:

1. ∆ίνεται η αρχική κατάσταση των qubits που αποτελούν τον κβαντικό καταχωρητή.

Υπολογίζουµε το τανυστικό γινόµενο των πινάκων των καταστάσεων των qubits. Ο

πίνακας που προκύπτει είναι η αρχική κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή.

2. Υπολογίζουµε το τανυστικό γινόµενο των πινάκων που περιγράφουν τις κβαντικές

πύλες που δρουν στο επόµενο βήµα του κβαντικού υπολογισµού.

3. Πολλαπλασιάζουµε τον πίνακα που προκύπτει από το τανυστικό γινόµενο των

πινάκων των κβαντικών πυλών µε τον πίνακα της κατάστασης του κβαντικού

καταχωρητή. Το αποτέλεσµα είναι ο πίνακας της νέας κατάστασης του κβαντικού

καταχωρητή.

4. Επαναλαµβάνουµε τα 2 και 3 τόσες φορές όσα και τα βήµατα του κβαντικού

υπολογισµού.

5. Η τελική κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή είναι το αποτέλεσµα του

κβαντικού υπολογισµού.

127

Σχήµα 6.6 ∆ιάγραµµα εκτέλεσης των κβαντικών υπολογισµών. Με i συµβολίζεται ο αριθµός του

βήµατος και µε n ο συνολικός αριθµός βηµάτων του κβαντικού υπολογισµού.

128

6.3.2 Παράδειγµα

Παρακάτω θα εκτελέσουµε έναν κβαντικό υπολογισµό ακολουθώντας τη διαδικασία

που µόλις περιγράψαµε. Το κβαντικό κύκλωµα του κβαντικού υπολογισµού φαίνεται

στο σχήµα 6.7.

Σχήµα 6.7 Το κβαντικό κύκλωµα

Η αρχική κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή είναι 01 και η κατάσταση του στο

πρώτο βήµα του κβαντικού υπολογισµού (i=1) δίνεται από:

=

⊗

=

0

0

1

0

1

0

0

101 (6.9)

Στο δεύτερο βήµα (i=2) υπολογίζουµε το τανυστικό γινόµενο των πινάκων των

πυλών:

+−−+

−−++

−+−+

++++

=

−+

++⊗

−+

++=⊗

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

2

1

2

12

1

2

1

2

1

2

12

1

2

1

HH

(6.10)

129

και τη νέα κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή:

112

110

2

101

2

100

2

1

2

1

21

21

2

1

0

0

1

0

2

1

2

1

2

1

2

1

21

21

21

21

21

21

21

21

2

1

2

1

2

1

2

1

01)( −+−+=

−

+

−

+

=

+−−+

−−++

−+−+

++++

=⊗ HH

(6.11)

Στο τέλος του 2ου βήµατος όλες οι βασικές καταστάσεις έχουν την ίδια πιθανότητα που

είναι ίση µε 0.25. Ο αριθµός των βηµάτων είναι πέντε (n=5) και αφού i<n, αυξάνουµε

τον αριθµό βήµατος κατά ένα (ί=3) και επαναλαµβάνουµε.

Στο 3° βήµα δρα στον κβαντικό καταχωρητή µόνο η κβαντική πύλη CNOT και η νέα

κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή είναι:

112

110

2

101

2

100

2

1

21

2

1

21

2

1

21

2

1

21

2

1

0100

1000

0010

0001

+−−+=

+

−

−

+

=

−

+

−

+

(6.12)

Όπως και στο τέλος του 2ου βήµατος, όλες οι βασικές καταστάσεις έχουν την ίδια

πιθανότητα που είναι ίση µε 0.25. Προσοχή, όµως, σε κάποιες καταστάσεις τα

πρόσηµα (δηλαδή οι φάσεις) έχουν αλλάξει. Πάλι i<n, οπότε αυξάνουµε τον αριθµό

βήµατος κατά ένα (i=4) και επαναλαµβάνουµε.

130

Στο 4ο βήµα δρουν στον κβαντικό καταχωρητή οι κβαντικές πύλες H και I.

Υπολογίζουµε το τανυστικό γινόµενο των πινάκων των πυλών:

−+

++

−+

++

=

−+

++⊗

=⊗

2

1

2

100

2

1

2

100

002

1

2

1

002

1

2

1

2

1

2

12

1

2

1

10

01HI

(6.13)

και τη νέα κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή:

112

101

2

1

2

1

0

2

1

0

21

21

21

21

2

1

2

100

2

1

2

100

002

1

2

1

002

1

2

1

−+=

−

+

=

+

−

−

+

−+

++

−+

++

(6.14)



Αφού i<n, αυξάνουµε τον αριθµό βήµατος κατά ένα (i=5) και επαναλαµβάνουµε.

Στο 5° βήµα δρουν στον κβαντικό καταχωρητή οι κβαντικές πύλες Ι και Η, των

οποίων το τανυστικό γινόµενο δίνεται από την (6.4). Υπολογίζουµε τη νέα κατάσταση

του κβαντικού καταχωρητή:

131

11

1

0

0

0

2

1

0

2

1

0

2

10

2

10

02

10

2

12

10

2

10

02

10

2

1

=

=

−

+

−+

−+

++

++

(6.15)

Στο τέλος του 5ου βήµατος ο κβαντικός καταχωρητής βρίσκεται σίγουρα στην

κατάσταση 11 . Τώρα έχουµε i=n, δηλαδή ο κβαντικός υπολογισµός έφτασε στο

τέλος του. Στο Σχήµα 6.8 φαίνεται ο κβαντικός υπολογισµός ως αποτέλεσµα της

προσοµοίωσης του από τον Προσοµοιωτή Κβαντικού Υπολογιστή QCS. Φαίνεται µε

µία µατιά ότι ο κβαντικός καταχωρητής βρισκόταν αρχικά στην βασική κατάσταση

01 και στο τέλος του κβαντικού υπολογισµού βρέθηκε στην βασική κατάσταση 11 .

Σχήµα 6.8 Το αποτέλεσµα της προσοµοίωσης του κβαντικού υπολογισµού από τον Προσοµοιωτή

Κβαντικού Υπολογιστή QCS.

132


1) Για κάθε κβαντικό υπολογισµό συντίθεται και ένα κβαντικό κύκλωµα το οποίο

αποτελείται από έναν ή περισσότερους κβαντικούς καταχωρητές και από ένα σύνολο

κβαντικών πυλών.

2) Τα κυκλώµατα που αναπαριστούν κβαντικούς υπολογισµούς ονοµάζονται κβαντικά

κυκλώµατα και αποτελούνται από qubits, κβαντικούς καταχωρητές και κβαντικές πύλες.

3) Στα κβαντικά κυκλώµατα δεν υπάρχει ροή πληροφορίας από πύλη σε πύλη, αλλά

διαδοχικές δράσεις κβαντικών πυλών σε κβαντικούς καταχωρητές στους οποίους

βρίσκεται αποθηκευµένη η πληροφορία.

4) Τα κβαντικά κυκλώµατα αναπαριστούν τη χρονική σειρά και τον τρόπο µε τον

οποίο δρουν οι κβαντικές πύλες στους κβαντικούς καταχωρητές.

5) Στα κβαντικά κυκλώµατα δεν πρέπει να υπάρχουν διακλαδώσεις

6) Επίσης, δεν πρέπει να υπάρχουν βρόχοι ανάδρασης.

133






and Quantum Computation, New York: Cambridge University Press. [Daw08] Dawar Anuj (2008). Quantum Computing (Lectures, academic year


[NiCh2000] Nielsen A. Michael and Chuang L. Isaac (2000). Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press.




Informatics, New Jersey: Wiley -Interscience [WiCl2000] Williams P. Colin and Clearwater H. Scott (2000). Ultimate Zero and

One: Computing at the Quantum Frontier, New York: Springer – Verlag, Copernicus. σελ.37-39



134

Μέρος Β΄

Κβαντικοί αλγόριθµοι

Οι κβαντικοί αλγόριθµοι διαφέρουν από τους κλασικούς αλγορίθµους. Η δοµή ενός

κβαντικού αλγορίθµου συνδέει τον µυστηριώδη χώρο της κβαντικής υπέρθεσης και

των κβαντικών φαινοµένων γενικότερα µε τον κλασικό πραγµατικό κόσµο που ζούµε

εµείς. Η γενική δοµή φαίνεται στο επόµενο σχήµα.

Σχήµα 1 Ο κβαντικός αλγόριθµος 1) δέχεται ως είσοδο n κλασικά bit, 2) δηµιουργεί µια

υπέρθεση των n2 πιθανών καταστάσεων τους, 3) χειρίζεται αυτή την υπέρθεση (εκθετικά µεγάλη) µε σκοπό να πετύχει το τελικό αποτέλεσµα, και 4) στο τέλος µετρά το αποτέλεσµα για να επιστρέψει (µε βάση την κατανοµή πιθανότητας) τα n bits εξόδου. Πηγή: [DPV06, σελ 316]

Η είσοδος ενός κβαντικού αλγορίθµου είναι n κλασικά bits και η έξοδος του

κβαντικού αλγορίθµου είναι επίσης n κλασικά bits. Η δύναµη του αλγορίθµου

βρίσκεται στο ενδιάµεσο αθέατο κοµµάτι (τότε που δεν γίνονται µετρήσεις και

λαµβάνουν χώρα τα κβαντικά φαινόµενα (υπέρθεση κτλ)).

Πολύ συχνά, µπορεί να θεωρηθεί ότι αυτό που ζητάµε είναι ο εντοπισµός κάποιων

µοτίβων (patterns) που υπάρχουν µέσα στην υπέρθεση των καταστάσεων. Για αυτό το

λόγο, αφού δηµιουργήσουµε την υπέρθεση που περιλαµβάνει τα µοτίβα που ψάχνουµε

(στάδιο 1), προσπαθούµε, µε τις κατάλληλες κβαντικές πύλες και τη µέτρηση που

ακολουθεί, να αποκαλύψουµε το ζητούµενο µοτίβο (στάδιο 2).

135

Οφείλουµε να παρατηρήσουµε ότι η έξοδος του αλγορίθµου είναι τυχαία (µε την

έννοια ότι έχουµε πιθανότητες). Οι κβαντικοί αλγόριθµοι είναι πιθανοκρατικοί.

Ωστόσο αυτό δεν είναι πρόβληµα. Εφόσον η σωστή απάντηση προκύπτει µε µία

σχετικά µεγάλη πιθανότητα, απλά επαναλαµβάνουµε τον αλγόριθµο µερικές φορές,

έτσι ώστε να ελαχιστοποιήσουµε την πιθανότητα σφάλµατος.

[DPV06]

Κάποιες τεχνικές που χρησιµοποιούνται είναι οι παρακάτω:

1. Αύξηση πιθανότητας της βασικής κατάστασης που θέλουµε να

παρατηρήσουµε (αλγόριθµος του Grover)

2. Εύρεση κοινού χαρακτηριστικού µεταξύ όλων των f(x). (QFT, αλγόριθµος του

Shor)

[NaOh08, σελ.96]

Αλγόριθµοι, παραλλαγές του Shor, µπορούν να βρεθούν στο πρώτο κεφάλαιο (σελίδες

3-46) των [CKL08]

136

Κεφάλαιο 7

Ο κβαντικός αλγόριθµος του Deutsch

7.1 Εισαγωγή

Ο πρώτος κβαντικός αλγόριθµος, δηλαδή ένας αλγόριθµος που να µπορεί να τρέξει

µόνο σε ένα κβαντικό υπολογιστή, αναπτύχθηκε από τον Deutsch το 1985. ([Κων07],

[Καρ05]). Στον αλγόριθµο αυτό χρησιµοποιείται η κβαντική παραλληλία, δηλαδή η

υπέρθεση των βασικών καταστάσεων των qubits και φαίνεται για πρώτη φορά ότι ο

κβαντικός υπολογιστής µπορεί να εκτελέσει υπολογισµούς που είναι αδύνατον να

εκτελεστούν από έναν κλασικό υπολογιστή.

Το πρόβληµα που έθεσε ο Deutsch είναι το εξής: ∆ίνεται µία συνάρτηση f(x) τέτοια

ώστε:

f(x): 0,1→0,1 (7.1)

∆ηλαδή η µεταβλητή x και η συνάρτηση f(x) µπορούν να πάρουν µόνο τις τιµές 0 ή 1.

Για κάθε τέτοια συνάρτηση υπάρχουν δύο περιπτώσεις:

α) f(0)= f(1), οπότε η συνάρτηση ονοµάζεται σταθερή (constant), ή

β) f(0) ≠ f(1), οπότε η συνάρτηση ονοµάζεται ισορροπηµένη (balanced).

Αν δοθεί λοιπόν µία τέτοια συνάρτηση, µε ένα µόνο υπολογισµό της f(x) να βρεθεί αν

η συνάρτηση είναι σταθερή ή ισορροπηµένη.

Αν χρησιµοποιήσουµε έναν κλασικό υπολογιστή θα πρέπει να υπολογίσουµε την τιµή

f(0), στη συνέχεια να υπολογίσουµε την τιµή f(1) και να συγκρίνουµε τα

αποτελέσµατα. Αν είναι ίδια, τότε η συνάρτηση είναι σταθερή, αν είναι διαφορετικά, η

συνάρτηση είναι ισορροπηµένη. ∆εν είναι δηλαδή δυνατόν να βρούµε τι είναι η

συνάρτηση µε ένα µόνο υπολογισµό. Αυτό όµως είναι δυνατό, αν χρησιµοποιήσουµε

έναν κβαντικό υπολογιστή.

137

Πριν περιγράψουµε τον αλγόριθµο του Deutsch, ας δούµε το κβαντικό κύκλωµα του

Σχήµατος 7.1.

Σχήµα 7.1 To κβαντικό αυτό κύκλωµα υπολογίζει το άθροισµα µε βάση το 2 (mod2) του πρώτου qubit

µε την συνάρτηση f(x), όπου x είναι το δεύτερο qubit.

Το κύκλωµα αυτό αποτελείται από έναν κβαντικό καταχωρητή των δύο qubits, όπου

το πρώτο είναι το a και το δεύτερο το x , και από ένα συνδυασµό κβαντικών

πυλών, που παριστάνεται από το ορθογώνιο Uf. Για κάθε διαφορετική συνάρτηση f(x)

χρειάζεται και ένας διαφορετικός συνδυασµός κβαντικών πυλών. Ο συνδυασµός των

κβαντικών πυλών Uf δρα στα δύο qubits και αφήνει το δεύτερο αµετάβλητο, ενώ

φέρνει το πρώτο στην κατάσταση που αντιστοιχεί µε το άθροισµα µε βάση το 2

(mod2) του πρώτου qubit a µε την συνάρτηση f(x), όπου x είναι το δεύτερο qubit.

∆ηλαδή, υπολογίζεται η f(x) και το άθροισµα της µε το a mod2. To σύµβολο ⊕

σηµαίνει πρόσθεση µε βάση το 2 (mod 2), δηλαδή

0 ⊕ 0 =0,

0 ⊕ 1 = 1,

1⊕ 0 = 1,

1 ⊕ 1 = 0.

Το κβαντικό κύκλωµα του Σχήµατος 7.1 δίνεται από την:

)()(Uf xfaxax ⊕= (7.2)

[Καρ05] [CaPa01, σελ. 241-243] [NaOh08, σελ.99-100]

138

7.2 Βήµατα του αλγορίθµου

Ο αλγόριθµος του Deutsch είναι και αυτός ένας κβαντικός υπολογισµός και

περιγράφεται από το κβαντικό κύκλωµα του Σχήµατος 7.2. Η αρχική κατάσταση του

πρώτου qubit είναι 0 και του δεύτερου 1 .

Σχήµα 7.2 Το κβαντικό κύκλωµα του αλγορίθµου του Deutsch.

Στο πρώτο βήµα του αλγορίθµου (δηλαδή του κβαντικού υπολογισµού) του Deutsch

η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή είναι 01 .

Στο δεύτερο βήµα δρουν δύο κβαντικές πύλες Η.

Στο τρίτο δρα ο συνδυασµός κβαντικών πυλών Uf που περιγράψαµε προηγουµένως.

Στο τέταρτο δρα η κβαντική πύλη Η στο πρώτο qubit (και η πύλη αδρανείας Ι στο

δεύτερο qubit).

Στο πέµπτο βήµα µετράται η κατάσταση του πρώτου qubit.

Αν το qubit αυτό βρεθεί στην κατάσταση 0 , τότε η συνάρτηση f(x) είναι σταθερή και

αν βρεθεί στην κατάσταση 1 , τότε η f(x) είναι ισορροπηµένη.

[Bel06, σελ.85][Καρ05][NaOh08, σελ.99-100] [Wat06][WiCl2000, σελ.42]

[NiCh2000, σελ.32-34]

139

7.3 Ερµηνεία του αλγορίθµου

Ας δούµε πώς γίνεται αυτό.

Στο πρώτο βήµα η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή που θα την ονοµάσουµε

1q είναι 01 . Γνωρίζουµε ότι η κατάσταση αυτή περιγράφεται από τον πίνακα:

==

0

0

1

0

011q (7.3)

Στο δεύτερο βήµα δρουν δύο κβαντικές πύλες Η. Το τανυστικό γινόµενο δίνεται από

την (6.10) και η νέα κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή, η 2q , είναι:

)11011000(21

1121

1021

0121

0021

21

21

21

21

0

0

1

0

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

01)()( 12

−+−+=−+−+

=

−

+

−

+

=

+−−+

−−++

−+−+

++++

=⊗=⊗= HHqHHq

(7.4)

Θυµηθείτε ότι qppq = .

Στο τρίτο βήµα δρα στον κβαντικό καταχωρητή ο συνδυασµός κβαντικών πυλών Uf.

Αν λάβουµε υπόψη την (7.2), η νέα κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή, 3q ,

είναι:

140

))1(11)1(01)0(10)0(00(21

))11()01()10()00((21

))11011000(2

1()( 23

ffff

UUUU

UqUq

ffff

ff

⊕−⊕+⊕−⊕+=

=−+−+=

=−+−+==

(7.5)

Πρέπει εδώ να δούµε και τις τέσσερις δυνατές περιπτώσεις τιµών της f(x).

Περίπτωση 1η: f(0)= 0 και f(1)= 0, τότε η (7.5) γίνεται:

)11011000(21

3 −+−+=q

(7.6 α)


)11011000(21

)01110010(21

3 +−+−+=−+−+=q

(7.6 β)


)11011000(21

)01111000(21

3 +−−+=−+−+=q

(7.6 γ)


)11011000(21

)11010010(21

3 −++−+=−+−+=q

(7.6 δ)

141

Οι δύο πρώτες περιπτώσεις αντιστοιχούν σε σταθερή συνάρτηση και οι δύο τελευταίες

σε ισορροπηµένη. Προσέξτε ότι στις (7.6) αλλάζουν µόνο τα πρόσηµα (δηλαδή οι

φάσεις) των τεσσάρων βασικών καταστάσεων των οποίων η υπέρθεση δίνει την

κατάσταση 3q .

Στο τέταρτο βήµα δρουν οι κβαντικές πύλες Η και I. Το τανυστικό τους γινόµενο

δίνεται από την (6.4). Θα υπολογίσουµε την τελική κατάσταση του κβαντικού

καταχωρητή 4q για την πρώτη από τις προηγούµενες περιπτώσεις, δηλαδή την (7.6

α):

−=−+=−+=

=

−

+

=

−

+

−

+

−+

−+

++

++

=⊗=

2

10010

2

100

2

101

2

100

2

1

0

0

2

1

2

1

21

21

21

21

2

10

2

10

02

10

2

12

10

2

10

02

10

2

1

)( 34 qIHq

(7.7)

∆ηλαδή, στην περίπτωση που f(0) = 0 και f(1) = 0, το πρώτο qubit βρίσκεται στη

βασική κατάσταση 0 , ενώ το δεύτερο σε υπέρθεση βασικών καταστάσεων. Με τον

ίδιο τρόπο υπολογίζουµε την 4q και για τις άλλες τρεις περιπτώσεις. Όλα τα

αποτελέσµατα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:

142

Η συνάρτηση f(x) είναι: Περίπτωση Τελική κατάσταση 4q

f (0)=0 και f ( l )=0

−

2

100

Σταθερή

f(0) = 1 και f(l) = 1

−

2

010

f(0) = 0 και f(l) = l

−

2

101

Ισορροπηµένη

f(0) = 1 και f(l) = 0

−

2

011

Μέτρηση του πρώτου qubit (5ο βήµα):

Όπως φαίνεται από τον πίνακα, όταν η συνάρτηση f(x) είναι σταθερή, τότε το πρώτο

qubit βρίσκεται πάντα στην κατάσταση 0 . Όταν όµως είναι ισορροπηµένη, το πρώτο

qubit βρίσκεται πάντα στην κατάσταση 1 . ∆εν χρειάζεται να µετρήσουµε την

κατάσταση του δεύτερου qubit, η οποία δεν µας ενδιαφέρει, αλλά µόνο του πρώτου,

όπως φαίνεται στο Σχήµα 7.2.

Με τον αλγόριθµο του Deutsch, χρησιµοποιώντας δηλαδή την κβαντική παραλληλία,

µπορούµε να βρούµε τι είναι η f(x) µε ένα µόνο υπολογισµό της τιµής της. Αυτό είναι

αδύνατον να επιτευχθεί µε τη χρήση κλασικών υπολογιστών.

Παρατήρηση [Καρ05] [NaOh08 σελ.68]

Όταν η κβαντική πύλη CNOT δρα σε έναν κβαντικό καταχωρητή που αποτελείται από

δύο qubits, δεν επηρεάζει την κατάσταση του πρώτου, αλλά µεταβάλλει την

κατάσταση του δευτέρου, αν το πρώτο βρίσκεται στην κατάσταση 1 .

143

Με λίγη προσοχή µπορούµε να δούµε ότι µετά την δράση της CNOT, το πρώτο qubit

είναι το άθροισµα µε βάση το 2 των αρχικών καταστάσεων των δύο qubits.

Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του Σχήµατος 7.1, η CNOT γίνεται:

Σχήµα 7.3 Η πύλη CNOT

7.4 Παράδειγµα

Έστω η συνάρτηση f(x) = x. Τότε ο συνδυασµός των κβαντικών πυλών Uf

περιλαµβάνει µόνο την πύλη CNOT. Για τη συνάρτηση αυτή ισχύει f(0) = 0 και f(1) =

1, οπότε έχουµε την περίπτωση της (7.6 γ), δηλαδή την τρίτη γραµµή του πίνακα.

Οπότε µετά την εκτέλεση του αλγορίθµου, ο κβαντικός καταχωρητής θα βρεθεί στην

κατάσταση:

112

110

2

111

2

101

2

1

2

1014 −=−=

−=q

Το δεύτερο qubit θα βρεθεί στην κατάσταση 1 ,δηλαδή η f(x)=x είναι µία

ισορροπηµένη συνάρτηση.

Για να δούµε αν είναι έτσι.

Τα τρία πρώτα βήµατα του αλγορίθµου του Deutsch µε την CNOT στη θέση της Uf

ταυτίζονται µε τα τρία πρώτα βήµατα του κβαντικού υπολογισµού του Σχήµατος

6.4(α).

Μετά το τέλος του τρίτου βήµατος η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή δίνεται

από την (6.12) που ταυτίζεται µε την (7.6 γ).

144

Στο τέταρτο βήµα του αλγορίθµου δρουν οι πύλες Η και Ι, που το τανυστικό τους

γινόµενο δίνεται από την (6.4).

Στο τέλος του τετάρτου βήµατος η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή θα είναι:

112

110

2

1

2

1

2

1

0

0

21

2

1

21

21

2

10

2

10

02

10

2

12

10

2

10

02

10

2

1

)( 34 −+=

−

+=

+

−

−

+

−+

−+

++

++

=⊗= qIHq

Όταν µετρήσουµε το πρώτο qubit (5ο βήµα) τότε θα βρεθεί στην κατάσταση 1 ,

δηλαδή η f(x)=x είναι µία ισορροπηµένη συνάρτηση.

Ας δούµε και την εκτέλεση του αλγορίθµου αυτού από τον QCS:

Ο υπολογισµός ξεκινά από την κατάσταση 01 που αντιστοιχεί στον δεκαδικό 1. Ο υ-

πολογισµός τελειώνει µε πιθανότητα 0.5 να µετρηθεί κάθε µια από τις καταστάσεις

10 και 11 που αντιστοιχούν στους δεκαδικούς 2 και 3.

145





[Ραµπ04] Ραµπαλάκος Σ. Κωνσταντίνος (2004). Κβαντικοί υπολογισµοί,

Μεταπτυχιακή διπλωµατική εργασία, Πανεπιστήµιο Κρήτης, Τµήµα Μαθηµατικών. σελ.17-18


and Quantum Computation, New York: Cambridge University Press. [CaPa01] Calude S. Cristian and Păun Gheorghe (2001). Computing with Cells


[LoWo06] Loepp Susan and Wootters K. William (2006). Protecting Information:

From Classical Error Correction to Quantum Cryptography, Cambridge University Press. Ενότητα 7.3




April 29, 2006, (http://www.toqc.com/TOQCv1_1.pdf). From the Temple of Quantum Computing (TOQC) Website (http://www.toqc.com/), σελ.194-198


Informatics, New Jersey: Wiley -Interscience [Wat06] Watrous John (2006). Quantum Computation, (Lectures), University of

Calgary, Lecture 4 (http://www.cs.uwaterloo.ca/~watrous/lecture-notes/519/all.pdf)



146

Κεφάλαιο 8

Ο κβαντικός αλγόριθµος του Grover

Το 1996 ο Lov Grover επινόησε τον φερώνυµο κβαντικό αλγόριθµο ταχείας

αναζήτησης ενός στοιχείου µέσα σε µια µη δοµηµένη βάση δεδοµένων µε N στοιχεία

και απέδειξε ότι το ζητούµενο στοιχείο είναι δυνατόν να βρεθεί µε O( N ) το πλήθος

δοκιµές, ενώ σε έναν κλασικό υπολογιστή οποιασδήποτε τεχνολογίας και

αρχιτεκτονικής είναι γνωστό ότι αυτό επιτυγχάνεται µε O(N) δοκιµές. [Κων07, σελ3]

8.1 Αναζήτηση σε µη δοµηµένες βάσεις δεδοµένων

Όπως γνωρίζουµε ένας τηλεφωνικός κατάλογος περιέχει ένα µεγάλο αριθµό ονοµάτων,

σε καθένα από τα οποία αντιστοιχεί ένας αριθµός τηλεφώνου. Στους τηλεφωνικούς

καταλόγους τα ονόµατα είναι ταξινοµηµένα κατά αλφαβητική σειρά και είναι πολύ εύκολο

για έναν άνθρωπο ή για έναν κλασικό υπολογιστή να βρει τον αριθµό τηλεφώνου που

αντιστοιχεί σε κάποιο όνοµα. ∆ηλαδή, οι τηλεφωνικοί κατάλογοι είναι δοµηµένες βάσεις

δεδοµένων όσον αφορά στα ονόµατα.

Ας δούµε τώρα το αντίστροφο πρόβληµα. Μας δίνουν ένα τηλεφωνικό κατάλογο που πε-

ριέχει Ν ονόµατα ταξινοµηµένα σε αλφαβητική σειρά, σε καθένα από τα οποία

αντιστοιχεί ένας αριθµός τηλεφώνου. Μας δίνουν επίσης έναν αριθµό τηλεφώνου.

Εµείς πρέπει να βρούµε στον κατάλογο το όνοµα στο οποίο αντιστοιχεί ο αριθµός αυτός.

Το πρόβληµα αυτό είναι δύσκολο, διότι οι αριθµοί στον τηλεφωνικό κατάλογο

ακολουθούν τη σειρά των ονοµάτων, δηλαδή ο τηλεφωνικός κατάλογος είναι µια µη

δοµηµένη βάση δεδοµένων όσον αφορά στους αριθµούς τηλεφώνων. [Καρ05] [NaOh08

σελ.125]

Ο µόνος τρόπος για να ερευνήσει ένας άνθρωπος ή ένας κλασικός υπολογιστής µία µη

δοµηµένη βάση δεδοµένων και να βρει ένα στοιχείο της, είναι να δοκιµάσουµε ένα

προς ένα όλα τα στοιχεία της βάσης (σειριακά ή µε τυχαία σειρά). Αυτή η απλοϊκή

µέθοδος, είναι ταυτόχρονα ο καλύτερος κλασικός αλγόριθµος αναζήτησης που

µπορεί να υπάρξει για το πρόβληµα. [Ραµπ04]

147

Αν η µη δοµηµένη βάση δεδοµένων περιέχει N στοιχεία και είµαστε τυχεροί, θα βρούµε

το στοιχείο που ψάχνουµε την πρώτη φορά και αν είµαστε άτυχοι, θα το βρούµε µετά

από N προσπάθειες. Γενικά µπορούµε να πούµε ότι, για να βρούµε ένα στοιχείο σε µία

µη δοµηµένη βάση δεδοµένων µε Ν στοιχεία, πρέπει να την ερευνήσουµε κατά µέσο

όρο Ν/2 φορές.

Όµως, ο Lov Grover [Grov97] µε ένα άρθρο του µε τίτλο «Η κβαντική µηχανική

µπορεί να µας βοηθήσει να βρούµε µια βελόνα στα άχυρα (Quantum mechanics helps

in searching for needle in a haystack)» απέδειξε ότι, αν χρησιµοποιήσουµε έναν κβα-

ντικό υπολογιστή, µπορούµε να βρούµε ένα στοιχείο σε µία µη δοµηµένη βάση

δεδοµένων, αν την ερευνήσουµε µόνο N φορές περίπου. Αυτή είναι µία σηµαντική

βελτίωση διότι, για να βρει ένας κλασικός υπολογιστής ένα στοιχείο σε µια µη

δοµηµένη βάση δεδοµένων που περιέχει 1.000.000 στοιχεία, πρέπει να την ερευνήσει

κατά µέσο όρο 500.000 φορές, ενώ ένας κβαντικός υπολογιστής πρέπει να την

ερευνήσει µόνο 1.000 φορές. Η µέθοδος µε την οποία ένας κβαντικός υπολογιστής

ερευνά µία µη δοµηµένη βάση δεδοµένων ονοµάζεται κβαντικός αλγόριθµος του

Grover. [Καρ05]

Η διαφορά υπολογιστικής ταχύτητας µεταξύ του αλγόριθµου Grover και ενός

κλασικού αλγόριθµου είναι τεράστια και γίνεται ολοένα µεγαλύτερη καθώς αυξάνει το

µέγεθος της βάσης δεδοµένων, διότι κάθε κλασικός αλγόριθµος επιλύει το πρόβληµα

σε υπολογιστικό χρόνο O(N) µε N/2 κατά µέσο όρο δοκιµές, ενώ ο κβαντικός

υπολογιστής που χρησιµοποιεί τον αλγόριθµο του Grover χρειάζεται υπολογιστικό

χρόνο της τάξης του O( N ) [Κων07, σελ37]. Απόδειξη ότι ο αλγόριθµος χρειάζεται

χρόνο O( N ) µπορεί να βρεθεί στο [Κων07, σελ.41-44].

Εναλλακτικές χρήσεις του αλγορίθµου του Grover

Ακόµα ο αλγόριθµος Grover µπορεί να χρησιµοποιηθεί και για την εύρεση k

αντικειµένων από τα N και αυτό επιτυγχάνεται µε

Ν

k4π δοκιµές. [Κων07,

σελ37] Μπορεί να χρησιµοποιηθεί για την εύρεση k αρχείων από σύνολο Ν, τα οποία

ικανοποιούν µία συγκεκριµένη συνθήκη. [NaOh08, σελ.133-135] [Ril06, σελ.212]

148

Εδώ αξίζει να σηµειωθεί ότι το πρόβληµα της αναζήτησης στοιχείου µέσα σε µια µη

δοµηµένη βάση δεδοµένων έχει ως ισοδύναµη Μαθηµατική διατύπωση τον

προσδιορισµό των τιµών της αντίστροφης κάποιας συνάρτησης. Αν π.χ. είναι δυνατόν

να βρίσκουµε µέσω ενός κβαντικού υπολογιστή τις τιµές µιας συνάρτησης f µε πεδίο

ορισµού κάποιο σύνολο µε N το πλήθος στοιχεία, τότε το να βρούµε την αντίστροφη

εικόνα κάποιου στοιχείου είναι στην ουσία ένα πρόβληµα αναζήτησης µέσα στην

βάση δεδοµένων που ορίζεται από το πεδίο ορισµού της f. Αν η f είναι «1-1» τότε

ζητάµε ένα µόνο στοιχείο, ειδάλλως περισσότερα. [Κων07, σελ37]

Τέλος, πολλά προβλήµατα µπορούν να γραφούν και ως προβλήµατα αναζήτησης. Υπό

αυτό το πρίσµα, ο αλγόριθµος του Grover µπορεί να έχει πολύ περισσότερες

εφαρµογές από όσες έχουµε σκεφτεί µέχρι σήµερα. [CaPa01, σελ.259] Οι Nielsen και

Chuang [NiCh2000, σελ.38, 172-173, 267-268] υποστηρίζουν ότι ο αλγόριθµος του

Grover µπορεί να βοηθήσει στο να λυθούν πιο γρήγορα ορισµένα NP-complete

προβλήµατα. Θεωρούν ότι η βασική εφαρµογή του αλγορίθµου θα είναι η αναζήτηση

λύσεων στα παραπάνω δύσκολα προβλήµατα.

8.2 Ο κβαντικός αλγόριθµος του Grover

Υποθέστε ότι θέλουµε να ερευνήσουµε µία µη δοµηµένη βάση δεδοµένων που

περιέχει Ν στοιχεία. Κάθε στοιχείο της βάσης έχει αριθµηθεί µε έναν αριθµό από το 0

έως το Ν-1. Υποθέστε επίσης ότι έχουµε στη διάθεση µας ένα σύστηµα το οποίο

µπορεί να αναγνωρίσει αν κάποιο στοιχείο είναι αυτό που ζητάµε ή όχι. Υποθέστε

δηλαδή ότι ερευνάτε εσείς µία µη δοµηµένη βάση δεδοµένων και συγκεκριµένα έναν

τηλεφωνικό κατάλογο. Έχετε ένα βοηθό ο οποίος ερευνά τον τηλεφωνικό κατάλογο,

βρίσκει αριθµούς και σας τους δείχνει. Εσείς βλέπετε τον αριθµό και λέτε αν είναι

αυτός που ψάχνετε ή όχι. Αυτό ακριβώς κάνει και το σύστηµα. Του παρουσιάζετε

έναν αριθµό, αυτό επεξεργάζεται τον αριθµό και σας λέει αν είναι αυτός που ψάχνετε

ή όχι. Το σύστηµα αυτό σε έναν κλασικό υπολογιστή µπορεί να είναι ένας

καταχωρητής όπου έχουµε αποθηκεύσει τον αριθµό που ψάχνουµε να βρούµε και ένα

κύκλωµα λογικών πυλών. Το κύκλωµα συγκρίνει µε τον αποθηκευµένο αριθµό κάθε

αριθµό ο οποίος έρχεται στην είσοδο του. Το σύστηµα αυτό, που το θεωρούµε ως ένα

µαύρο κουτί, ονοµάζεται στη διεθνή βιβλιογραφία oracle. Η λέξη αυτή µπορεί να

149

αποδοθεί ως µάντης ή ως κάποιος που ξέρει πολλά. Νοµίζω ότι είναι καλύτερο να

χρησιµοποιήσουµε τον όρο oracle.

Ας περιγράψουµε τώρα το πρόβληµα της έρευνας µίας µη δοµηµένης βάσης

δεδοµένων από έναν κλασικό υπολογιστή µε έναν απλό µαθηµατικό τρόπο. Θεωρούµε

ότι έχουµε Ν στοιχεία τα οποία αποτελούν τη βάση και ότι έχουµε αντιστοιχίσει σε

κάθε στοιχείο έναν αριθµό από 0 έως Ν-1. Το στοιχείο που αντιστοιχεί στον αριθµό k

συµβολίζεται µε xk. To oracle είναι µία συνάρτηση f() η οποία παίρνει µόνο τις τιµές 0

και 1. Αν το στοιχείο που ψάχνουµε είναι το xi, τότε:

≠

=

=

ixx

xx

xf

αν

αν

0

1

)(

(8.1)

∆ηλαδή, παρουσιάζουµε ένα στοιχείο στο oracle και αν είναι αυτό που ψάχνουµε, τότε

το oracle αποκρίνεται µε 1, αν όχι µε 0.

Ας δούµε τώρα το πρόβληµα της έρευνας µίας µη δοµηµένης βάσης δεδοµένων µε

έναν κβαντικό υπολογιστή. Θεωρούµε ότι η βάση περιέχει Ν στοιχεία και χωρίς

περιορισµό της γενικότητας µπορούµε να πούµε ότι:

nN 2= , n = 1, 2, 3, … (8.2)

∆ηλαδή θέλουµε το πλήθος των στοιχείων της βάσης να µπορεί να γραφεί όπως στην

(8.2). Αν έχουµε λιγότερα στοιχεία, µπορούµε να προσθέσουµε εµείς όσα χρειάζονται

για να φτάσουµε στον επιθυµητό αριθµό.

Αντιστοιχίζουµε κάθε ένα από τα στοιχεία µε µία από τις βασικές καταστάσεις ενός

κβαντικού καταχωρητή που περιλαµβάνει n qubits. ∆ηλαδή, το στοιχείο που

αντιστοιχεί στη βασική κατάσταση 0101...00 που στην δεκαδική αναπαράσταση

είναι η 5 συµβολίζεται µε 5x (θυµηθείτε την (4.27)). Το κβαντικό oracle, δηλαδή

150

το σύστηµα που διακρίνει αν ένα στοιχείο είναι αυτό που ψάχνουµε ή όχι, είναι το

κβαντικό κύκλωµα που συµβολίζεται µε Ο και φαίνεται στο Σχήµα 8.1.

Σχήµα 8.1 Το κβαντικό oracle.

[Καρ05] [NiCh2000, σελ.248-250]

8.2.1 ∆ράση του κβαντικού oracle

∆εν χρειάζεται να γνωρίζουµε τις κβαντικές πύλες από τις οποίες αποτελείται το

κβαντικό oracle. Αυτό που χρειάζεται να γνωρίζουµε είναι η δράση του στον κβαντικό

καταχωρητή.

Αν δηλαδή το κβαντικό oracle δράσει στον κβαντικό καταχωρητή που βρίσκεται στην

κατάσταση xy τότε:

yxfxyxxy O ⊕→= )(

(8.3)

όπου, µε ⊕ συµβολίζεται η πρόσθεση µε βάση το 2 (mod2). Θυµηθείτε ότι

.011,101,110,000 =⊕=⊕=⊕=⊕ To qubit y ονοµάζεται qubit του oracle.

Όπως και στο κλασσικό oracle, η f(x) παίρνει τιµή 1 αν το x είναι το στοιχείο που

ψάχνουµε, αλλιώς παίρνει τιµή 0 .

Ας δούµε καλύτερα τη δράση του κβαντικού oracle στη διαδικασία της έρευνας µίας

µη δοµηµένης βάσης δεδοµένων. To qubit του oracle τίθεται στη βασική κατάσταση

1 και στη συνέχεια δρα σ' αυτό µία κβαντική πύλη Η. Μέχρι τώρα περιγράφαµε τα

κβαντικά κυκλώµατα µε πίνακες που αντιπροσωπεύουν καταστάσεις των

καταχωρητών και κβαντικές πύλες. Εδώ όµως δεν θα µπορέσουµε να

151

χρησιµοποιήσουµε τον ίδιο τρόπο, γιατί οι πίνακες είναι πολύ µεγάλοι, για να

χωρέσουν στις σελίδες.

Αντί για τους πίνακες θα χρησιµοποιούµε τα διανύσµατα bra και ket και τα σύµβολα

των κβαντικών πυλών. Η δράση της Η στο 1 γράφεται:

2

101

−→H

(8.4)

Το x συµβολίζει µία βασική κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή, κάθε βασική

κατάσταση του οποίου αντιστοιχεί σε ένα στοιχείο της µη δοµηµένης βάσης

δεδοµένων. ∆ηλαδή η x αντιστοιχεί στο τυχαίο στοιχείο της βάσης. Το κβαντικό

oracle δρα στο qubit του, που βρίσκεται στην κατάσταση που δίνεται από την (8.4),

και στην x . Το αποτέλεσµα της δράσης του δίνεται από:

2

10)(

2

10 −⊕→

−xfxx O

(8.5)

Η x µπορεί να αντιστοιχεί στο στοιχείο που ψάχνουµε, µπορεί και να µην

αντιστοιχεί. Ας δούµε πρώτα την περίπτωση που δεν αντιστοιχεί. Τότε η f(x) παίρνει

τιµή 0 και η (8.5) γίνεται:

−=

⊕−⊕=

−⊕→

−

2

10

2

1000

2

100

2

10xxxx O

(8.6)

Ας δούµε τώρα την περίπτωση που η x αντιστοιχεί στο στοιχείο που ψάχνουµε.

Τότε η f(x) παίρνει τιµή 1 και η (8.5) γίνεται:

152

−−=

⊕−⊕=

−⊕→

−

2

10

2

1101

2

101

2

10xxxx O

(8.7)

Από τις (8.6) και (8.7) έχουµε:

−−

−+

→

−

ψάχνουµε πουστοιχείο στοί αντιστοιχε x η αν 2

10

ψάχνουµε πουστοιχείο στοί αντιστοιχε δεν x η αν 2

10

2

10

x

x

x O

(8.8)

∆εδοµένου ότι το qubit του κβαντικού oracle δεν µεταβάλλεται σε καµία περίπτωση

µπορούµε να το απαλείψουµε από την (8.8) και να τη γράψουµε ως εξής:

−

+

→

ψάχνουµε πουστοιχείο στοί αντιστοιχε x η αν

ψάχνουµε πουστοιχείο στοί αντιστοιχε δεν x η αν

x

x

x O

(8.9)

Η (8.9) µπορεί να γραφεί και πιο συνοπτικά:

xx xfO )()1(−→ (8.10)

µε την f(x) να παίρνει τιµές 0 ή 1. Μη σας προβληµατίζει το γεγονός ότι η f(x)

βρίσκεται στον εκθέτη, είναι απλά ένας συµβολισµός. Av f(x) = 0 τότε:

xxx O +=−→ 0)1( (8.11)

και αν f(x) = 1 τότε:

xxx O −=−→ 1)1( (8.12)

153

Συµπέρασµα:

Τι κάνει λοιπόν το κβαντικό oracle; To κβαντικό oracle δρα στις βασικές καταστάσεις

x που αντιστοιχούν σε στοιχεία της µη δοµηµένης βάσης δεδοµένων. Αν η βασική

κατάσταση δεν αντιστοιχεί στο στοιχείο που ψάχνουµε, την αφήνει όπως ήταν, αν

όµως αντιστοιχεί, τότε τη «σηµαδεύει» αλλάζοντας το πρόσηµο της.

8.2.2 Τελεστής του κβαντικού oracle [Καρ05] [NaOh08, σελ126] [Bel06, σελ.88]

Όπως γνωρίζουµε, οι κβαντικές πύλες είναι τελεστές του χώρου Hilbert που δρουν σε

qubits και σε κβαντικούς καταχωρητές, αλλάζοντας την κατάσταση τους. Κάθε

κβαντικό κύκλωµα, το οποίο όπως ξέρουµε αποτελείται από κβαντικές πύλες, είναι

και αυτό ένας τελεστής του χώρου Hilbert. Φυσικά, και το κβαντικό oracle είναι

τελεστής του χώρου Hilbert. Αν το στοιχείο που ψάχνουµε αντιστοιχεί στη βασική

κατάσταση ix , ο τελεστής του κβαντικού oracle είναι:

ii xxI 2−=Ο))

(8.13)

όπου I)είναι ο τελεστής που αντιστοιχεί στην πύλη αδρανείας, και όταν δρα, δεν

αλλάζει την κατάσταση του qubit ή του κβαντικού καταχωρητή. Ας δούµε τώρα το

αποτέλεσµα της δράσης του τελεστή Ο)

σε µία βασική κατάσταση kx η οποία δεν

είναι αυτή που ψάχνουµε:

( ) kiikkiikkiik xxxxxxxxIxxxIx 22 2)( −=−=−=Ο)))

(8.14)

Οι ix και kx είναι διαφορετικές βασικές καταστάσεις του κβαντικού καταχωρητή

και εποµένως, όπως είδαµε στο τρίτο κεφάλαιο, είναι ορθογώνιες µεταξύ τους:

0=ki xx . Η (8.14) γίνεται:

kkiikk xxxxxx =−=Ο 2)()

(8.15)

154

∆ηλαδή, ο τελεστής του κβαντικού oracle άφησε αναλλοίωτη την κατάσταση kx .

Ας δούµε τώρα το αποτέλεσµα της δράσης του τελεστή Ο)

στη βασική κατάσταση που

ψάχνουµε, την ix :

( ) iiiiiiiiiii xxxxxxxIxxxIx −=−=−=−=Ο 22 2)()))

(8.16)

∆ηλαδή, ο τελεστής του κβαντικού oracle άλλαξε το πρόσηµο της κατάστασης

που ψάχνουµε.

8.2.3 Τελεστής G)

του Grover [Καρ05] [NaOh08, σελ.126-129] [Bel06, σελ.88]

Κατά αναλογία µε τον τελεστή Ο)

ο Grover όρισε έναν ακόµη τελεστή, τον G)

, που

δίνεται από:

( ) IssssIG)))

−=−−= 22 (8.17)

Η χρησιµότητα του θα φανεί παρακάτω. Εδώ απλώς, προτρέχοντας θα πούµε ότι µε τη

δράση του τελεστή G)

µένουν αναλλοίωτα και ίσα µε a τα πλάτη πιθανότητας όλων

των βασικών καταστάσεων, εκτός από το πλάτος πιθανότητας της επιθυµητής

κατάστασης ix που γίνεται ίσο µε 3 a , όπου a ο µέσος όρος των πλατών

πιθανότητας.

8.2.4 Περιγραφή του αλγορίθµου

Κύριο µέρος αλγορίθµου

Ο αλγόριθµος του Grover είναι µία διαδοχική εφαρµογή των τελεστών Ο)

και G)

στον

κβαντικό καταχωρητή για ( ) N)4/(π φορές. [Καρ05] [NaOh08, σελ.132]

155

Αρχικοποίηση

Όπως είχαµε αναφέρει παραπάνω, για να ερευνήσουµε µία µη δοµηµένη βάση

δεδοµένων που περιέχει Ν στοιχεία µε έναν κβαντικό υπολογιστή, αντιστοιχίζουµε

κάθε ένα από τα στοιχεία µε µία από τις βασικές καταστάσεις ενός κβαντικού

καταχωρητή. Ο καταχωρητής περιλαµβάνει n qubits. Τα Ν και n σχετίζονται µε την

σχέση nN 2= , n = 1, 2, 3, …. [Καρ05]

Στην αρχή θα πρέπει να εισαχθεί κάποια αρχική κατάσταση. Από τη στιγµή που η

βάση δεδοµένων είναι µη δοµηµένη δεν υπάρχει καµία ιδιαίτερη προτίµηση, άρα η

αρχική κατάσταση µπορεί να επιλεχθεί τυχαία, και η πιο λογική επιλογή είναι να

εµφανιστούν σε ισοπίθανη υπέρθεση όλα τα στοιχεία της βάσης δεδοµένων. [Κων07]

Για να το πετύχουµε αυτό, θέτουµε τον κβαντικό καταχωρητή σε µία κατάσταση s η

οποία είναι µία υπέρθεση όλων των βασικών καταστάσεων, στην οποία όλες οι

καταστάσεις έχουν το ίδιο πλάτος πιθανότητας:

∑−

=

=−++++=1

0

1)1(

1...2

11

10

1 N

iix

NN

NNNNs

(8.18)

Σε αυτό το σηµείο, µια µέτρηση του κβαντικού καταχωρητή θα είχε ακριβώς τα ίδια

αποτελέσµατα µε την κλασική περίπτωση. Η µέτρηση θα µας έδινε το επιθυµητό ix

µε πιθανότητα N

1, σαν να επιλέγαµε µε κλασικό τρόπο ένα από τα N στοιχεία της

βάσης στην τύχη.

Η ιδέα εδώ είναι να καταφέρουµε να µετασχηµατίσουµε την κατάσταση s

κατάλληλα, έτσι ώστε να αυξήσουµε τον συντελεστή του επιθυµητού ix στο

παραπάνω άθροισµα, ελαττώνοντας ταυτόχρονα τους συντελεστές των υπολοίπων

καταστάσεων. Η επιθυµητή αύξηση θα µας οδηγήσει σε µια καινούρια κατάσταση,

τέτοια ώστε ο συντελεστής του ix να είναι πολύ κοντά στην µονάδα. Τότε η

µέτρηση θα µας δώσει το στοιχείο ix µε µεγάλη πιθανότητα. [Ραµπ04]

156

8.2.5 Βήµατα του αλγορίθµου [Καρ05] [CaPa01, σελ.261] [WiCl2000, σελ.88] [NiCh2000, σελ.250-251]

Τα βήµατα του αλγορίθµου του Grover είναι:

Βήµα 1ο

Θέστε έναν κβαντικό καταχωρητή που περιλαµβάνει n qubits σε υπέρθεση βασικών

καταστάσεων. Το πλάτος πιθανότητας πρέπει να είναι ίδιο για κάθε βασική

κατάσταση. Για να το πετύχετε αυτό ξεκινάτε µε τον κβαντικό καταχωρητή στην

κατάσταση όπου όλα τα qubits είναι 0 , δηλαδή στην κατάσταση 000...000 . Στη

συνέχεια δράστε στο κάθε qubit µε µία κβαντική πύλη Hadamard (Η). Η κατάσταση

του κβαντικού καταχωρητή είναι:

∑−

=

=1

0

1 N

jjx

Ns (8.19)

H s είναι η υπέρθεση των Ν βασικών καταστάσεων, όπου nN 2= . Αντιστοιχίστε

κάθε βασική κατάσταση µε ένα στοιχείο της µη δοµηµένης βάσης δεδοµένων. Έστω

ότι ψάχνετε για το στοιχείο που αντιστοιχεί στην ix .

για k=1 µέχρι ( ) N)4/(π

Βήµα 2ο ∆ράστε στον κβαντικό καταχωρητή µε τον τελεστή ii xxI 2−=Ο))

Βήµα 3ο ∆ράστε στον κβαντικό καταχωρητή µε τον τελεστή IssG))

−= 2

τέλος_για

Βήµα 4ο

Μετρήστε την κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή. Είναι βέβαιο ότι θα βρίσκεται

στην κατάσταση ix που αντιστοιχεί στο στοιχείο που ψάχνετε.

157

Παρατήρηση: Κάθε επανάληψη αυξάνει τον συντελεστή του επιθυµητού ix σε

βάρος των συντελεστών των υπολοίπων καταστάσεων. Είναι ενδιαφέρον το γεγονός

ότι µετά από περίπου N)4/(π επαναλήψεις τα περιεχόµενα του κβαντικού

καταχωρητή περιορίζονται σε έναν µόνο αριθµό (τον ζητούµενο).

Προσοχή: Η επαναληπτική διαδικασία είναι στην πραγµατικότητα κυκλική, δηλαδή

κάθε επιπλέον επανάληψη (µετά τις N)4/(π επαναλήψεις), θα µειώνει τον

συντελεστή του επιθυµητού ix ! Για αυτό το λόγο, έχει πολλή µεγάλη σηµασία να

µετρήσουµε τον καταχωρητή την κατάλληλη χρονική στιγµή. [Sten05, σελ168-169]

[CaPa01, σελ.263]

8.2.6 Το κβαντικό κύκλωµα του αλγορίθµου του Grover

Το κβαντικό κύκλωµα που περιγράφει τον αλγόριθµο του Grover φαίνεται στο Σχήµα

8.2.

Σχήµα 8.2 Το κβαντικό κύκλωµα του αλγορίθµου του Grover

158

8.3 Γεωµετρικές ερµηνείες του κβαντικού αλγορίθµου του Grover 1η γεωµετρική ερµηνεία [Καρ05][Bel06, σελ.89][NiCh2000, σελ.252-253][Wat06][Daw08, Lecture 6] [Ril06,

σελ.214-215]

Στο σχήµα 8.3 φαίνονται διανύσµατα στον Καρτεσιανό χώρο. Το διάνυσµα sr

είναι το

άθροισµα τριών διανυσµάτων: 321 xxxsrrrr

++= (8.20)

Σχήµα 8.3 ∆ιανύσµατα στον Καρτεσιανό χώρο. To ΄srείναι κατοπτρικό του s

r.

Αν αλλάξουµε το πρόσηµο ενός από τα διανύσµατα xr

, ας πούµε του 2xr

, τότε το νέο

άθροισµα των τριών διανυσµάτων γίνεται:

321 xxx΄srrrr

+−= (8.21)

Προσέξτε ότι το διάνυσµα ΄srείναι κατοπτρικό του s

r ως προς το επίπεδο που ορίζεται

από τα άλλα δύο διανύσµατα 1xr

και 3xr

, δηλαδή ως προς το επίπεδο που είναι κάθετο

στο 2xr

. Αυτό θα µας χρειαστεί παρακάτω.

Ας έρθουµε τώρα στην πρώτη γεωµετρική ερµηνεία του κβαντικού αλγορίθµου του

Grover. Στο Σχήµα 8.4(α) φαίνεται µία σχηµατική παράσταση του χώρου Hilbert όπου

φαίνονται τα διανύσµατα (καταστάσεις) s και ix . Όπως γνωρίζουµε η κατάσταση

s είναι η υπέρθεση των Ν βασικών καταστάσεων του κβαντικού καταχωρητή και

δίνεται από την (8.19), ενώ η ix αντιστοιχεί στο στοιχείο της µη δοµηµένης βάσης

δεδοµένων το οποίο ψάχνουµε.

159

Σύµφωνα µε τον κβαντικό αλγόριθµο του Grover πρώτα δρα ο τελεστής

ii xxI 2−=Ο))

στην κατάσταση s . Όπως προκύπτει από τις (8.15) και (8.16) η

δράση του τελεστή αυτού έχει ως αποτέλεσµα την αλλαγή του πρόσηµου µόνο της

κατάστασης ix :

( ) ( ) ( )1210

1

0

.......11

−

−

=

++−+++=Ο=Ο= ∑ Ni

N

ii xxxxx

Nx

Nss

)) (8.22)

Όπως είδαµε στο Σχήµα 8.3, αυτή η αλλαγή του πρόσηµου σηµαίνει ότι η κατάσταση

s είναι κατοπτρική της s ως προς το υπερεπίπεδο που είναι κάθετο στην ix . Η

διακεκοµµένη γραµµή µεταξύ των s και s στο σχήµα 8.4(α) είναι η παράσταση

της τοµής του υπερεπιπέδου αυτού µε το επίπεδο του χαρτιού. Στη συνέχεια δρα στην

s ο τελεστής IssG))

−= 2 :

( )sGs ΄)

= (8.23)

Σχήµα 8.4 (α) Η δράση του τελεστή Ο)

περιστρέφει την s και τη φέρνει στην s . (β) Η δράση του

τελεστή G)

περιστρέφει την s και τη φέρνει στην s ΄ . (γ) Η δράση των τελεστών Ο))

G

περιστρέφει την κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή s κατά γωνία β προς την κατάσταση ix .

160

Όπως φαίνεται από την (8.18), ο τελεστής G)

έχει τη µορφή του Ο)

, αλλά µε αντίθετο

πρόσηµο. ∆ηλαδή, η s ΄ είναι κατοπτρική της s όχι ως προς το επίπεδο που είναι

κάθετο στην s , αλλά ως προς το υπερεπίπεδο που περιέχει την s και είναι κάθετο

στο επίπεδο του χαρτιού (Σχήµα 8.4(β)).

Μπορούµε να πούµε ότι:

( ) sGs ΄ Ο=))

(8.24)

δηλαδή ότι µία επανάληψη του κβαντικού αλγορίθµου του Grover περιστρέφει την

κατάσταση s κατά γωνία β προς την κατάσταση ix . Αυτό φαίνεται στο Σχήµα

8.4(γ).

Σχήµα 8.5 Κάθε επανάληψη του κβαντικού αλγορίθµου του Grover περιστρέφει την κατάσταση του

κβαντικού καταχωρητή s κατά γωνία β προς την κατάσταση ix .

Όπως φαίνεται στο Σχήµα 8.5, κάθε επανάληψη του κβαντικού αλγορίθµου του

Grover περιστρέφει την κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή κατά γωνία β προς την

κατάσταση ix . Η γωνία β είναι ίση µε το µισό της γωνίας που σχηµατίζεται από την

ix και το υπερεπίπεδο που είναι κάθετο στην s . Είναι εύκολο να υπολογιστεί ότι

µετά από ( ) N)4/(π επαναλήψεις, η κατάσταση του κβαντικού καταχωρητή θα

συµπέσει ή θα βρεθεί πάρα πολύ κοντά στην κατάσταση ix που αντιστοιχεί µε το

στοιχείο που ψάχνουµε. Τότε είναι βέβαιο ή πρακτικά βέβαιο ότι µία µέτρηση της

κατάστασης του κβαντικού καταχωρητή θα δώσει την ix .

161

2η γεωµετρική ερµηνεία (σχηµατική)

Μία άλλη ερµηνεία του κβαντικού αλγορίθµου του Grover, που είναι περισσότερο

σχηµατική παρά γεωµετρική, φαίνεται στο Σχήµα 8.6. Στο Σχήµα 8.6(α) φαίνονται τα

πλάτη πιθανότητας όλων των βασικών καταστάσεων του κβαντικού καταχωρητή, όταν

αυτός βρίσκεται στην υπέρθεση βασικών καταστάσεων που δίνεται από την (8.19).

Όλα τα πλάτη πιθανότητας είναι ίσα µε )1( N και ο µέσος όρος τους είναι και αυτός

)1( N .

Σχήµα 8.6 (α) Τα πλάτη πιθανότητας των βασικών καταστάσεων πριν τη δράση των τελεστών G)

και

Ο)

. (β) Τα πλάτη πιθανότητας µετά τη δράση του τελεστή Ο)

. (γ) Τα πλάτη πιθανότητας µετά τη δράση

του τελεστή G)

.

162

Σύµφωνα µε τον κβαντικό αλγόριθµο του Grover πρώτα δρα ο τελεστής

ii xxI 2−=Ο))

στην κατάσταση s . Γνωρίζουµε από την (8.22) ότι ( )ss Ο=)

και

ότι η δράση του τελεστή αυτού έχει ως αποτέλεσµα την αλλαγή του πρόσηµου µόνο

της κατάστασης ix .

Στο Σχήµα 8.6(β) φαίνονται τα πλάτη πιθανότητας όλων των βασικών καταστάσεων

του κβαντικού καταχωρητή, όταν αυτός βρίσκεται στην κατάσταση s .

Θεωρούµε µία γενική κατάσταση ψ η οποία εκφράζεται ως άθροισµα των βασικών

καταστάσεων του κβαντικού καταχωρητή µε διαφορετικά πλάτη πιθανότητας που

δίνονται από τα ja :

∑−

=

=1

0

N

jjj xaψ (8.25)

Το εσωτερικό γινόµενο της ψ µε την s είναι:

aNaNN

Na

Nxxa

Ns

N

jj

N

jjjk

N

jj

N

k

==== ∑∑∑∑−

=

−

=

−

=

−

=

1

0

1

0

1

0

1

0

111ψ (8.26)

όπου

∑−

=

=1

0

1 N

jja

Na (8.27)

είναι ο µέσος όρος των πλατών πιθανότητας. Θυµηθείτε ότι jkkj xx δ= . Ας δούµε

τώρα τη δράση του τελεστή G)

στην κατάσταση s που δίνεται από την (8.22):

( ) ( ) sssssIsssG −=−= 22))

(8.28)

Αν λάβουµε υπόψη την (6.27) µε τη s στη θέση της ψ , η (8.28) γίνεται:

( ) ssaNsssssG −=−= 22)

(8.29)

163

Αν αντικαταστήσουµε την s µε την (8.19) και γράψουµε την s µε το γενικό

τρόπο της (8.25) (δηλαδή όπως στην (8.22) αλλά µε αj στη θέση των πλατών

πιθανότητας) έχουµε:

( ) ( ) j

N

jj

N

jjj

N

jj xaaxax

NaNssaNsG ∑∑∑

−

=

−

=

−

=

−=−=−=1

0

1

0

1

0

21

22)

(8.30)

∆ηλαδή, µε τη δράση του τελεστή G)

στην κατάσταση s κάθε βασική κατάσταση

jx έχει πλάτος πιθανότητας ( )jaa −2 .

Στην (8.30) όλα τα πλάτη αj είναι ίσα µεταξύ τους και ίσα µε το µέσο όρο, εκτός από

το πλάτος της ix που είναι ίσο µε το αρνητικό του µέσου όρου:

ij 1

≠== aN

a j

ij 1

=−=−= aN

a j

(8.31)

Ας γράψουµε τώρα την (8.30) αναλυτικά:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )110

111100

1

0

...3...

2...2...22

2

−

−−

−

=

+++++=

=−++−++−+−=

=−== ∑

Ni

NNii

j

N

jj

xaxaxaxa

xaaxaaxaaxaa

xaasGs ΄)

(8.32)

∆ηλαδή, µε τη δράση του τελεστή G)

έµειναν αναλλοίωτα και ίσα µε a τα πλάτη

πιθανότητας όλων των βασικών καταστάσεων, εκτός από το πλάτος πιθανότητας της

ix που έγινε θετικό και ίσο µε 3 a . Αυτό φαίνεται στο Σχήµα 8.6(γ).

Με κάθε επανάληψη του κβαντικού αλγορίθµου του Grover, το πλάτος της ix

αυξάνεται, ενώ τα πλάτη των άλλων βασικών καταστάσεων µειώνονται.

164

Μετά από ( ) N)4/(π επαναλήψεις γίνεται 1 ή πρακτικά ίσο µε 1, ενώ τα πλάτη των

υπολοίπων βασικών καταστάσεων γίνονται 0 ή πρακτικά ίσα µε 0. [Καρ05]

(Σηµείωση: Μετά από ( ) N)4/(π επαναλήψεις, η πιθανότητα να µετρήσουµε την

σωστή κατάσταση είναι N

11− .) [Ραµπ04] Αν µετρήσουµε τότε την κατάσταση του

κβαντικού καταχωρητή, είναι βέβαιο ή πρακτικά βέβαιο ότι η µέτρηση θα δώσει τη

βασική κατάσταση ix που αντιστοιχεί στο στοιχείο της βάσης δεδοµένων που

ψάχνουµε. Αυτή η διαδικασία ονοµάζεται ενίσχυση του πλάτους πιθανότητας. (Για

να είµαστε απόλυτα ακριβείς, πρέπει εδώ να σηµειώσουµε ότι το a στην (8.32) είναι

λίγο µικρότερο από ( )N1 , διότι το άθροισµα των τετραγώνων των πλατών

πιθανότητας πρέπει να είναι ίσο µε τη µονάδα.) [Καρ05]

8.4 Σηµαντικές παρατηρήσεις

1. Είναι γνωστό ότι κάθε φυσικό σύστηµα αλληλεπιδρά µε το περιβάλλον του και δεν

υπάρχει τίποτα που να είναι απολύτως αποµονωµένο. Αυτό σηµαίνει ότι τα qubits θα

µεταβάλλονται λόγω εξωτερικών, γενικά τυχαίων, επιδράσεων (κβαντικός θόρυβος)

οπότε η λειτουργία και η αποτελεσµατικότητα ενός κβαντικού υπολογιστή θα

εξαρτώνται άµεσα από την επίδραση του περιβάλλοντος. Ωστόσο έχει αποδειχτεί ότι ο

κβαντικός αλγόριθµος του Grover είναι ανθεκτικός στον κβαντικό θόρυβο και

παραµένει αποτελεσµατικός σε O( N ) επαναλήψεις. Για περισσότερες λεπτοµέρειες

για την ανθεκτικότητα του αλγόριθµου Grover στον κβαντικό θόρυβο, ο αναγνώστης

µπορεί να ανατρέξει στην πηγή [Κων07].

2. Έχει αποδειχθεί ότι ο αλγόριθµος του Grover είναι βέλτιστος, δηλαδή ότι

πραγµατοποιεί τον ελάχιστο αριθµό επαναλήψεων. ∆εν µπορεί να υπάρξει αλγόριθµος

αναζήτησης βάσης δεδοµένων µεγέθους Ν που να έχει πολυπλοκότητα µικρότερη από

την O( N ). Στις παρακάτω πηγές µπορεί να βρεθεί η απόδειξη: [NiCh2000, σελ.269-

270] [Ραµπ04, σελ 25-30] [Zal08][NiCh2000, σελ.269-271]

3. Ο Le Bellac [Bel06, σελ.91] υπολογίζει ότι χρειάζονται περίπου NNln κβαντικές

πύλες.

165

8.5 Ένα παράδειγµα

∆ίνεται µία µη δοµηµένη βάση δεδοµένων µε 4 στοιχεία. Να εφαρµόσετε τον

κβαντικό αλγόριθµο του Grover για να βρείτε το στοιχείο που αντιστοιχεί στην βασική

κατάσταση 01=ix .

Αρχίζουµε µε έναν κβαντικό καταχωρητή µε 2 qubits. Ψάχνουµε για το στοιχείο που

αντιστοιχεί στον αριθµό 1, δηλαδή στην κατάσταση 01=ix . Εκτελούµε ένα προς

ένα τα βήµατα του αλγορίθµου:

Βήµα 1°

Αρχίζουµε µε τον κβαντικό καταχωρητή στην κατάσταση 00 και τον θέτουµε σε

υπέρθεση βασικών καταστάσεων. Το πλάτος πιθανότητας πρέπει να είναι ίδιο για κάθε

βασική κατάσταση. Για να το πετύχουµε αυτό, χρησιµοποιούµε δύο κβαντικές πύλες

Η. Έχουµε υπολογίσει το )( HH ⊗ στην (6.10), οπότε:

( )111001002

111

2

110

2

101

2

100

2

12

1

2

1

2

1

2

1

0

0

0

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

00)(

++++=++++=

⇒

+

+

+

+

=

+−−+

−−++

−+−+

++++

=⊗=

s

HHs

(8.33)

∆ηλαδή ο κβαντικός καταχωρητής βρίσκεται στην κατάσταση που δίνεται από την

(8.19). Ψάχνουµε να βρούµε την 01 , δηλαδή θέλουµε να φέρουµε τον κβαντικό

καταχωρητή σε τέτοια κατάσταση, ώστε η µέτρηση του να δώσει την 01 µε πολύ

µεγάλη πιθανότητα.

166

Βήµα 2ο

∆ρούµε στον κβαντικό καταχωρητή µε τον τελεστή ii xxI 2−=Ο))

ο οποίος σε

µορφή πινάκα δίνεται από:

[ ] ⇒

−

=

−

=−=Ο

0000

0000

0010

0000

2

1000

0100

0010

0001

0010

0

0

1

0

2

1000

0100

0010

0001

2 ii xxI))

−=Ο

1000

0100

0010

0001

) (8.34)

Οπότε:

( ) ( )111001002

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1000

0100

0010

0001

2

1++−+=

−+=

−+=Ο= ss

)

(8.35)

∆ηλαδή η δράση του τελεστή άλλαξε το πρόσηµο της 01 .

167

Βήµα 3ο

∆ρούµε στον κβαντικό καταχωρητή µε τον τελεστή IssG))

−= 2 ο οποίος σε µορφή

πινάκα δίνεται από:

[ ] ⇒

−

=

−

=−=

1000

0100

0010

0001

1111

1111

1111

1111

2

1

1000

0100

0010

0001

11112

1

1

1

1

1

2

122 IssG

))

−

−

−

−

=

1111

1111

1111

1111

2

1G)

(8.36)

Η δράση του G)

έχει ως αποτέλεσµα:

( ) 01

0

0

1

0

0

0

4

0

4

1

1

1

1

1

1111

1111

1111

1111

4

1=

=

+=

−

−

−

−

−

+== sGs ΄)

(8.37)

Μετά από µία επανάληψη του αλγορίθµου αν µετρήσουµε την κατάσταση του

κβαντικού καταχωρητή είναι βέβαιο ότι θα βρούµε την κατάσταση 01=ix . Ο

αριθµός επαναλήψεων είναι: ( ) 1)4/( =Nπ .

Σηµείωση: Οι πίνακες των τελεστών Ο)

και G)

υπολογίζονται µόνο µία φορά.

168

Bιβλιογραφία 8ου κεφαλαίου




[Ραµπ04] Ραµπαλάκος Κωνσταντίνος (2004). Κβαντικοί υπολογισµοί,

Μεταπτυχιακή διπλωµατική εργασία, Πανεπιστήµιο Κρήτης, Τµήµα Μαθηµατικών.


and Quantum Computation, New York: Cambridge University Press. [CaPa01] Calude S. Cristian and Păun Gheorghe (2001). Computing with Cells



2007-2008) University of Cambridge, Lecture 6 – Quantum Searching (http://www.cl.cam.ac.uk/Teaching/0708/QuantComp/)

[Grov97] Grover K. Lov. (1997). ‘Quantum Mechanics Helps in Searching for a Needle in a Haystack’, Physical Review Letters, Vol. 79, Number 2, pp. 325-328, July 14, 1997 (http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/9706033)

[Grov98] Grover K. Lov (1998). “Quantum Search on Structured Problems” in

Quantum Computing and Quantum Communications, C. P. Williams, First NASA International Conference, QCQS’98, Palm Springs, California, USA, February 17-20, 1998, Selected Papers, Springer-Verlag (Lecture Notes in Computer Science, Volume 1509)

[John03] Johnson George (2003). A shortcut through time – The Path to the

Quantum Computer, NewYork: Knopf [NaOh08] Nakahara Mikio and Ohmi Tetsuo (2008). Quantum Computing: From




169

[Ril06] Riley T. Perry (2006). The Temple of Quantum Computing, version 1.1, April 29, 2006, (http://www.toqc.com/TOQCv1_1.pdf). From the Temple of Quantum Computing (TOQC) Website (http://www.toqc.com/)



Calgary, Lecture 12 (http://www.cs.uwaterloo.ca/~watrous/lecture-notes/519/all.pdf)


One: Computing at the Quantum Frontier, New York: Springer – Verlag, Copernicus

[Zal08] Zalka Christof (2008). Grover’s quantum searching algorithm is

optimal, Phys. Rev. A., Vol. 60, Number 4, pp. 2746-2751, August 21, 2008 (http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/9711070)

170

Κεφάλαιο 9

Ο κβαντικός αλγόριθµος του Shor

Το 1994, ο Peter Shor παρουσίασε έναν πολυωνυµικό αλγόριθµο για την

παραγοντοποίηση µεγάλων αριθµών. Το γεγονός αυτό προκάλεσε µεγάλο ενδιαφέρον

και έδωσε τεράστια ώθηση στην έρευνα και µελέτη των κβαντικών αλγορίθµων και

υπολογιστών.

Πριν περιγράψουµε τον σπουδαιότερο (έως τώρα) κβαντικό αλγόριθµο, τον κβαντικό

αλγόριθµο του Shor, θα δούµε την κβαντική διεµπλοκή, τον κβαντικό µετασχηµατισµό

Fourier και το σύστηµα κρυπτογράφησης RSA.

9.1 Η κβαντική διεµπλοκή [CaPa01, σελ194, 205-206] [Καρ05] [Sten05] [HiHa06] [WiCl98, σελ.188-189] [NiCh2000, σελ.25-26] [ΠΧΛ04, σελ.16-23] 9.1.1 Εισαγωγή

Η κβαντική διεµπλοκή έχει τις ρίζες της σε ένα άρθρο των Albert Einstein, Boris

Podolsky και Nathan Rosen που δηµοσιεύτηκε το 1935. Σε αυτό είχαν ως στόχο να

αποδείξουν ότι η κβαντική µηχανική δεν είναι µία πλήρης φυσική θεωρία, αλλά ότι

από την κβαντική περιγραφή της φύσης λείπουν κάποιες παράµετροι, οι οποίες

αργότερα ονοµάστηκαν «κρυµµένες µεταβλητές». Ως µοντέλο για την απόδειξη τους

οι Einstein, Podolsky και Rosen χρησιµοποίησαν ένα θεωρητικό πείραµα στο οποίο

δύο κβαντικά συστήµατα, αφού αλληλεπιδράσουν µεταξύ τους αποµακρύνονται το

ένα από το άλλο. Τα δύο αυτά κβαντικά συστήµατα παραµένουν διασυνδεδεµένα το

ένα µε το άλλο µε έναν άγνωστο µη κλασικό τρόπο. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα η

µέτρηση µίας φυσικής ποσότητας του ενός να καθορίζει το αποτέλεσµα της µέτρησης

της ίδιας φυσικής ποσότητας του άλλου. Το θεωρητικό πείραµα που περιγράφεται στο

άρθρο αυτό είναι γνωστό ως «EPR» από τα αρχικά των επιθέτων των τριών ερευνητών

ή ως «παράδοξο EPR». Το παράδοξο EPR προκάλεσε συζητήσεις, διαµάχες και

πολλές προσπάθειες για να αποδειχθεί ότι η κβαντική µηχανική είναι µια πλήρης

φυσική θεωρία και ότι δεν υπάρχουν κρυµµένες µεταβλητές. Η διαµάχη συνεχίστηκε

171

ώσπου µε άρθρο του, που δηµοσιεύτηκε το 1964, ο John Bell απέδειξε µε τη χρήση

ανισοτήτων (που είναι πλέον γνωστές ως «ανισότητες Bell») ότι δεν υπάρχουν

κρυµµένες µεταβλητές και ότι η κβαντική µηχανική είναι µία πλήρης φυσική

θεωρία. Οι ανισότητες Bell αποδείχτηκαν αργότερα και πειραµατικά.

Ο Erwin Schrödinger σε άρθρο του που δηµοσιεύτηκε το 1935, για να περιγράψει την

άγνωστη µη κλασική διασύνδεση µεταξύ δύο κβαντικών συστηµάτων, που αφού

αλληλεπιδράσουν αποµακρύνονται το ένα από το άλλο, χρησιµοποίησε το Γερµανικό

όρο «verschränkung» που έχει την έννοια «σταυρώνω (τα χέρια)». Ο όρος αποδόθηκε

στα Αγγλικά ως «entanglement» και στα Ελληνικά µπορεί να αποδοθεί ως

«περιπλοκή», «εναγκαλισµός», «διαπλοκή» ή «διεµπλοκή» .Εδώ ο όρος

«entanglement» θα αποδίδεται ως «διεµπλοκή».

Η κβαντική διεµπλοκή είναι ίσως η πιο αινιγµατική πλευρά της κβαντικής µηχανικής

και δεν έχει κλασικό ανάλογο. Κάθε χρόνο πολλές δεκάδες άρθρα δηµοσιεύονται σε

επιστηµονικά περιοδικά και περιγράφουν επιστηµονικές εργασίες που έχουν ως στόχο

την κατανόηση, το χειρισµό και τον υπολογισµό της κβαντικής διεµπλοκής.

Για τους κβαντικούς υπολογιστές η κβαντική διεµπλοκή είναι ένας φυσικός πόρος,

όπως η ενέργεια, τον οποίο µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε για να εκτελέσουµε

κβαντικούς υπολογισµούς και να αναπτύξουµε κβαντικούς αλγορίθµους. Αυτό που

έχει δηλαδή σηµασία, δεν είναι να κατανοήσουµε τη φύση της κβαντικής διεµπλοκής,

αλλά να µάθουµε να την παράγουµε και να τη χρησιµοποιούµε. Ας ορίσουµε λοιπόν

την κβαντική διεµπλοκή µε έναν απλό, αλλά χρήσιµο για εµάς τρόπο:

Ορισµός: ∆ύο κβαντικά συστήµατα βρίσκονται σε κβαντική διεµπλοκή, όταν η

κατάστασή τους δεν µπορεί να γραφεί ως τανυστικό γινόµενο των βασικών τους

καταστάσεων.

Ας θεωρήσουµε ότι τα δύο κβαντικά συστήµατα είναι qubits και ας δούµε τι σηµαίνει

αυτός ο ορισµός. Θεωρούµε δύο qubits το 0sq και το

1sq που βρίσκονται στην

κατάσταση sq η οποία δίνεται από:

( )11102

1+=sq (9.1)

172

Η sq µπορεί να γραφεί:

( ) ( )

+⊗=+= 10

2

111110

2

1sq (9.2)

∆ηλαδή, οι καταστάσεις των 0sq και

1sq είναι:

11=sq

( )102

10

+=sq

(9.3)

και η sq γράφεται:

01 sss qqq ⊗=

∆ηλαδή, η sq µπορεί να γραφεί ως τανυστικό γινόµενο των καταστάσεων των δύο

qubits, οπότε τα 0sq και

1sq δεν βρίσκονται σε κβαντική διεµπλοκή αλλά σε

υπέρθεση καταστάσεων.

Θεωρούµε άλλα δύο qubits το 0eq και το

1eq τα οποία βρίσκονται στην κατάσταση

eq που δίνεται από:

( )11002

1+=eq (9.4)

Η eq δεν µπορεί να γραφεί ως τανυστικό γινόµενο των καταστάσεων των δύο qubits,

οπότε τα 0eq και

1eq βρίσκονται σε κβαντική διεµπλοκή. [Καρ05, DPV06]

173

9.1.2 ∆ιαφορά µεταξύ υπέρθεσης και διεµπλοκής

Η διαφορά µεταξύ της υπέρθεσης και της διεµπλοκής είναι η εξής:

Αν µετρήσουµε την κατάσταση του qubit 1s

q της κατάστασης sq , θα βρούµε

σίγουρα ότι βρίσκεται στην κατάσταση 1 . Μετά τη µέτρηση αυτή, το qubit 0sq

µπορεί να βρίσκεται στην κατάσταση 0 ή 1 µε πιθανότητα 0.5 για την κάθε µία

περίπτωση. ∆ηλαδή, η µέτρηση της κατάστασης του ενός qubit δεν καθορίζει την

κατάσταση του άλλου.

Αν µετρήσουµε την κατάσταση του qubit 1e

q της κατάστασης eq , θα βρούµε µε

πιθανότητα 0.5 ότι βρίσκεται στην κατάσταση 0 και µε πιθανότητα 0.5 ότι βρίσκεται

στην κατάσταση 1 . Αν το βρούµε στην κατάσταση 0 , τότε, αν µετρήσουµε την

κατάσταση του qubit 0eq , θα βρούµε σίγουρα ότι βρίσκεται και αυτό στην

κατάσταση 0 . Αν το βρούµε στην κατάσταση 1 , τότε, αν µετρήσουµε την

κατάσταση του qubit 0eq , θα βρούµε σίγουρα ότι βρίσκεται και αυτό στην

κατάσταση 1 . ∆ηλαδή, αφού τα δύο qubits βρίσκονται σε διεµπλοκή, η µέτρηση

της κατάστασης του ενός qubit καθορίζει την κατάσταση του άλλου.

∆ηλαδή, αν ξέρουµε ότι δύο qubits βρίσκονται σε διεµπλοκή και µετρήσουµε το ένα,

τότε γνωρίζουµε αµέσως και την κατάσταση του άλλου qubit, χωρίς να χρειαστεί να

το µετρήσουµε. [Daw08, Lecture 1]

Οι Nakahara και Ohmi [NaOh08, σελ.55] αναφέρουν ότι, όταν το n είναι µεγάλο, οι

περισσότερες κβαντικές καταστάσεις βρίσκονται σε κβαντική διεµπλοκή.

174

9.1.3 Παραγωγή κβαντικής διεµπλοκής

∆ιεµπλοκή 2 qubits

∆ώσαµε και εξηγήσαµε τον ορισµό της κβαντικής διεµπλοκής. Ας δούµε τώρα πώς

µπορούµε να φέρουµε δύο qubits σε διεµπλοκή, δηλαδή πώς να παράγουµε κβαντική

διεµπλοκή. Για να το πετύχουµε αυτό χρειαζόµαστε δύο µόνο κβαντικές πύλες, την Η

και την CNOT. Το κβαντικό κύκλωµα για την παραγωγή διεµπλοκής φαίνεται στο

Σχήµα 9.1.

Σχήµα 9.1 To κβαντικό κύκλωµα για την κβαντική διεµπλοκή δύο qubits.

Ας κάνουµε τον κβαντικό υπολογισµό που περιγράφεται από το κβαντικό κύκλωµα

του Σχήµατος 9.1:

( )11002

1

2

1

0

0

2

1

0

2

1

0

2

1

0100

1000

0010

0001

0

0

0

1

2

10

2

10

02

10

2

12

10

2

10

02

10

2

1

0100

1000

0010

0001

00)(

++=

+

+

=

+

+

=

=

−+

−+

++

++

=⊗ IHCNOT

(9.5)

175

Η προσοµοίωση του κβαντικού υπολογισµού µε τον προσοµοιωτή QCS φαίνεται στο

Σχήµα 9.2.

Σχήµα 9.2 Η προσοµοίωση της διεµπλοκής από τον προσοµοιωτή QCS.

Μπορούµε να φέρουµε δύο qubits σε τέσσερις διαφορετικές καταστάσεις κβαντικής

διεµπλοκής, µία για κάθε έναν από τους τέσσερις δυνατούς συνδυασµούς των αρχικών

τους καταστάσεων:

( )11002

100 +→E

( )10012

101 +→E

( )11002

110 −→E

( )10012

111 −→E

(9.6)

To βέλος µε το Ε συµβολίζει τη δράση του κυκλώµατος του Σχήµατος 9.1 που φέρνει

δύο qubits σε κβαντική διεµπλοκή. Οι τέσσερις καταστάσεις κβαντικής διεµπλοκής

της (9.6) ονοµάζονται «καταστάσεις Bell» ή «ζεύγη EPR». [Καρ05] [NaOh08,

σελ55][NiCh2000, σελ.25-26][Χατζ06, σελ.41-42][Daw08, Lecture 4]

176

∆ιεµπλοκή 3 qubits

Μπορούµε να φέρουµε σε κατάσταση κβαντικής διεµπλοκής περισσότερα από δύο

qubits µε τη χρήση κβαντικών πυλών Η και CNOT. Στο Σχήµα 9.3 φαίνεται ένα

κβαντικό κύκλωµα που φέρνει σε κατάσταση κβαντικής διεµπλοκής τρία qubits.

Σχήµα 9.3 To κβαντικό κύκλωµα για την κβαντική διεµπλοκή τριών qubits.

Ο κβαντικός υπολογισµός που περιγράφεται από αυτό το κύκλωµα είναι:

( )( )( ) ( )1110002

1000 +=⊗⊗⊗⊗ IIHICNOTCNOTI (9.7)

Η προσοµοίωση του κβαντικού υπολογισµού µε τον προσοµοιωτή QCS φαίνεται στο

Σχήµα 9.4.

Σχήµα 9.4 Η προσοµοίωση της διεµπλοκής από τον προσοµοιωτή QCS.

177

Μπορούµε να φέρουµε τρία qubits σε οκτώ διαφορετικές καταστάσεις κβαντικής

διεµπλοκής, µία για κάθε έναν από τους οκτώ δυνατούς συνδυασµούς των αρχικών

τους καταστάσεων. Οι καταστάσεις κβαντικής διεµπλοκής τριών qubits είναι γνωστές

και ως «καταστάσεις GHZ» από τα αρχικά των ονοµάτων των ερευνητών

Greenberger, Horne και Zeilinger.

∆ιεµπλοκή n qubits

Στο Σχήµα 9.5 φαίνεται το κβαντικό κύκλωµα µε το οποίο µπορούµε να φέρουµε σε

κατάσταση κβαντικής διεµπλοκής περισσότερα από τρία qubits.

Σχήµα 9.5 Το κβαντικό κύκλωµα για την κβαντική διεµπλοκή οποιουδήποτε αριθµού qubits.

Ορίσαµε την κβαντική διεµπλοκή και µάθαµε πώς να φέρνουµε qubits σε κατάσταση

κβαντικής διεµπλοκής. Τη χρήση της κβαντικής διεµπλοκής θα τη δούµε παρακάτω,

όπου θα περιγράψουµε τον κβαντικό αλγόριθµο του Shor.

178

9.2 Ο κβαντικός µετασχηµατισµός Fourier

Ο κβαντικός µετασχηµατισµός Fourier είναι ένας ορθοµοναδιαίος τελεστής του

χώρου Hilbert. [Ril06, σελ.201][Καρ05]

Αποτελεί τη βάση για αρκετούς κβαντικούς αλγορίθµους, δρα σε κβαντικούς

καταχωρητές µεταβάλλοντας τα πλάτη πιθανότητας και τις φάσεις των καταστάσεων

τους, αποκαλύπτει την περιοδικότητα συναρτήσεων και δεδοµένων και προκαλεί

αλληλεπιδράσεις µεταξύ qubits και µεταξύ κβαντικών καταχωρητών. [Καρ05]

Ο κβαντικός µετασχηµατισµός Fourier µετασχηµατίζει µια συνάρτηση από το πεδίο

ορισµού του χρόνου (time domain) στο πεδίο ορισµού της συχνότητας (frequency

domain). ∆ηλαδή, µετασχηµατίζει συναρτήσεις µε περίοδο r σε συναρτήσεις που οι µη

µηδενικές τιµές τους είναι µόνο τα πολλαπλάσια της συχνότητας r

1. [CaPa01,

σελ.250]

Παρακάτω θα ορίσουµε τον κβαντικό µετασχηµατισµό Fourier.

Θεωρούµε έναν κβαντικό καταχωρητή που αποτελείται από n qubits. Όπως

γνωρίζουµε (θυµηθείτε τη (4.27)), οι βασικές καταστάσεις του στη δεκαδική

αναπαράσταση είναι:

n2Ν όπου 1-Ν ,2-Ν , ... ,α, .... ,2 ,1 ,0 = (9.8)

Ο κβαντικός µετασχηµατισµός Fourier της τυχαίας βασικής κατάστασης a δίνεται

από:

∑−

=

1

0

21 N

c

N

cai

ceN

aπ

a (9.9)

όπου το (αc) στον εκθέτη είναι ο πολλαπλασιασµός των δύο δεκαδικών αριθµών α

και c.

179

Εκτός από τις βασικές καταστάσεις, ο κβαντικός µετασχηµατισµός Fourier µπορεί να

δράσει και σε υπερθέσεις των βασικών καταστάσεων ενός κβαντικού καταχωρητή.

Θεωρούµε την υπέρθεση βασικών καταστάσεων:

∑−

=− =++++++

1

01210 1-Ν ... α .... 2 1 0

N

aaNa axxxxxx (9.10)

Ο κβαντικός µετασχηµατισµός Fourier της υπέρθεσης αυτής δίνεται από:

∑∑∑∑−

=

−

=

−

=

−

=

=1

0

1

0

1

0

21

0

11 N

cc

N

c

N

a

N

cai

a

N

aa cy

Ncex

Nax

πa (9.11)

όπου το yc, είναι ο κλασικός µετασχηµατισµός Fourier του xα και δίνεται από:

∑−

=

=1

0

2N

a

N

cai

ac exyπ

(9.12)

Για να καταλάβουµε καλύτερα τη δράση του κβαντικού µετασχηµατισµού Fourier θα

δούµε τρία παραδείγµατα.


Ποια είναι η δράση του κβαντικού µετασχηµατισµού Fourier σε ένα qubit;

Απάντηση: Ας υποθέσουµε ότι το qubit βρίσκεται στην κατάσταση 0 . Τότε

σύµφωνα µε την (9.9):

( )102

1

2

1

2

10

1

0

1

0

2

0 2

+== ∑∑== cc

ci

cceπ

a

Αν το qubit βρίσκεται στην κατάσταση 1 , τότε:

( ) ( )102

110

2

1

2

11

1

0

2

1 2

−=+=∑=

i

c

ci

ece ππa

∆ηλαδή ο κβαντικός µετασχηµατισµός Fourier δρα σε ένα qubit όπως η πύλη Η. Για

το λόγο αυτό η πύλη Hadamard αναφέρεται και ως «µετασχηµατισµός Hadamard».

180


Στο παράδειγµα αυτό θα δούµε τη δράση του κβαντικού µετασχηµατισµού Fourier σε

έναν κβαντικό καταχωρητή που αποτελείται από δύο qubits και βρίσκεται στην

κατάσταση 10 που αντιστοιχεί στο δεκαδικό 2 . Σύµφωνα µε την (9.9):

( ) ( )32102

13210

2

1

4

12 3 2

3

0

4

2 2

−+−=+++=∑=

iii

c

ci

eeece ππππa

Αν ο κβαντικός καταχωρητής βρίσκεται στην κατάσταση 01 , τότε:

( )3 21 02

13210

2

1

4

11 2

3 2

3

0

4

1 2

iieeecei

ii

c

ci

−−+=

+++=∑

=

ππ

ππ

a


Στο παράδειγµα αυτό θα δούµε τη δράση του κβαντικού µετασχηµατισµού Fourier σε

έναν κβαντικό καταχωρητή που αποτελείται από τρία qubits και βρίσκεται στην

κατάσταση 010 που αντιστοιχεί στο δεκαδικό 2 . Σύµφωνα µε την (9.9):

( )7 65 43 21 08

1

76 54 32108

1

8

12

2

7 32

5 22

3 2

7

0

8

2 2

iiii

eeeeeee

ce

ii

ii

ii

i

c

ci

−−++−−+=

=

+++++++=

=∑=

ππ

ππ

ππ

π

πa

∆ηλαδή ο κβαντικός µετασχηµατισµός Fourier µετασχηµατίζει µία βασική

κατάσταση ενός κβαντικού καταχωρητή σε υπέρθεση όλων των βασικών

καταστάσεων, όπου όλες οι βασικές καταστάσεις έχουν το ίδιο πλάτος

πιθανότητας αλλά διαφορετικές φάσεις. [Καρ05]

181

Ο QFT είναι ιδανικός για την εύρεση της περιόδου µιας περιοδικής συνάρτησης. Έστω

ότι έχουµε έναν κβαντικό καταχωρητή µεγέθους q bits, ο οποίος βρίσκεται σε

υπέρθεση περιοδικών καταστάσεων που έχουν περιόδο r. Αν ο κβαντικός

µετασχηµατισµός Fourier δράσει σε αυτή την υπέρθεση, το αποτέλεσµα θα είναι να

παραµένουν στον κβαντικό καταχωρητή µόνο οι τιµές που είναι πολλαπλάσια του q/r.

Αυτά τα πολλαπλάσια είναι ισοπίθανα (πιθανότητα 1/r), εποµένως µία µέτρηση θα µας

επιστρέψει ένα από αυτά. [DPV06, σελ 320]

O κλασικός Fast Fourier Transform (FFT) έχει πολυπλοκότητα Ο(ΝlogΝ) =

Ο( nn 2⋅ ), όπου nN 2= . Αν και ο FFT είναι πολύ γρήγορος, η κβαντική του έκδοση

(QFT) είναι ακόµα καλύτερη (έχει πολυπλοκότητα της τάξης του Ο(log2Ν) = Ο(n2))!

[DPV06][NiCh2000, σελ.38, 220] [Daw08, Lecture 7]

Οι Nakahara και Ohmi [NaOh08, σελ.116-122], ο Le Bellac [Bel06, σελ.91-94] και οι

Nielsen και Chuang [NiCh2000, σελ.219-220] παρουσιάζουν τις πύλες που

χρειάζονται για να υλοποιηθεί ο κβαντικός µετασχηµατισµός Fourier. Αποδεικνύουν

ότι ο n qubit QFT µπορεί να κατασκευαστεί µε Θ(n2) απλές πύλες, όπου απλές πύλες

είναι οι πύλες που δρουν σε ένα µόνο qubit και η πύλη CNOT.

Ενώ ο FFT επιστρέφει την σωστή απάντηση, ο QFT υπολογίζει µια υπέρθεση της

σωστής απάντησης. ∑−

=

=12

0

n

ii icq . Με τη µέτρηση που ακολουθεί, προκύπτει ένας

αριθµός n-bit, ο i , µε πιθανότητα 2

ic .

Για αυτό το λόγο, οι Dasgupta, Papadimitriou και Vazirani θεωρούν ότι αντί για QFT

(κβαντικός µετασχηµατισµός Fourier), θα ήταν ακριβέστερο να ονοµαστεί QFS

(Quantum Fourier Sampling - κβαντική δειγµατοληψία Fourier)

[DPV06]

Για περισσότερες λεπτοµέρειες, υπάρχουν οι παρακάτω πηγές:

[Sten05, σελ. 157-160][NiCh2000, σελ.216-221][Wat06][Br2000, σελ.170-188]

Στο [Kar03] µπορεί να βρεθεί µία προσοµοίωση (οπτικοποίηση) του QFT.

182

9.3 Το κρυπτογραφικό σύστηµα RSA [Sten05, σελ161-162] [NaOh08, σελ.137-139] [NiCh2000, σελ. 640-644] [Καρ05] [WiCl98, σελ.122-133] [WiCl2000, σελ 99-104] [Br2000, σελ.147-170] [Bel06, σελ.99-100] [LoWo06, σελ.37-42] 9.3.1 Εισαγωγή

Ένα από τα πιο επιτυχηµένα κρυπτογραφικά συστήµατα είναι το κρυπτογραφικό

σύστηµα RSA, που επινοήθηκε το 1978 από τους Ronald Rivest, Adi Shamir και

Leonard Adelman και πήρε το όνοµα του από τα αρχικά των επιθέτων τους. To RSA

είναι ένα κρυπτογραφικό σύστηµα µε δηµόσιο κλειδί και θεωρείται ότι είναι αδύνατον

να σπάσει µε τη χρήση κλασικών υπολογιστών. Σήµερα χρησιµοποιείται ευρύτατα

κυρίως στις οικονοµικές και τραπεζικές συναλλαγές.

Η βασική δοµή του RSA είναι η εξής:

1. Επιλέγονται δύο ακέραιοι πρώτοι αριθµοί οι p και q και υπολογίζεται το

γινόµενο τους n = pq.

2. Επιλέγεται ένας τυχαίος αριθµός ο d ο οποίος είναι πρώτος ως προς τους (p –1)

και (q –1), δηλαδή ο µέγιστος κοινός διαιρέτης των d, (p –1) και (q –1) είναι το

ένα.

3. Υπολογίζεται ο αριθµός e από τη σχέση: ( ) ( )( )11 mod 1 −⋅−≡⋅ qpde . ∆ηλαδή,

ο e είναι ο αντίστροφος του d, ( ) ( )11 mod −⋅− qp .

4. Το ζεύγος των αριθµών (e, n) είναι το δηµόσιο κλειδί.

5. Το ζεύγος των αριθµών (d, n) είναι το ιδιωτικό κλειδί.

Το δηµόσιο κλειδί στέλνεται στον αποστολέα του µηνύµατος (π.χ. στον πελάτη της

τράπεζας που θέλει να κάνει µία συναλλαγή µέσω του διαδικτύου). Το ιδιωτικό κλειδί

το κρατά ο παραλήπτης του µηνύµατος (π.χ. η τράπεζα). Ο αποστολέας κωδικοποιεί

το µήνυµα (π.χ. τα στοιχεία της συναλλαγής) µε το δηµόσιο κλειδί και στέλνει το

µήνυµα στον παραλήπτη. Για να αποκωδικοποιηθεί το µήνυµα, χρειάζεται και το

δηµόσιο και το ιδιωτικό κλειδί. Το ιδιωτικό κλειδί δε φεύγει ποτέ από τον παραλήπτη,

οπότε δεν υπάρχει κίνδυνος υποκλοπής.

183

Μία καλή ερµηνεία του κρυπτογραφικού συστήµατος RSA υπάρχει στο βιβλίο του S.

Singh "The Code Book", εκδόσεις Doubleday, 1999. Σύµφωνα µε αυτή, ο παραλήπτης

του µηνύµατος (η τράπεζα) στέλνει στον αποστολέα (στον πελάτη) ένα κιβώτιο που

κλειδώνει µε ένα λουκέτο. Το λουκέτο είναι ανοιχτό και ο παραλήπτης κρατάει το

κλειδί του. Ο αποστολέας παραλαµβάνει το κιβώτιο µε το λουκέτο ανοιχτό, βάζει

µέσα το µήνυµα του και κλειδώνει το λουκέτο. Τώρα δεν µπορεί κανείς, ούτε ο ίδιος ο

αποστολέας, να το ανοίξει. Στη συνέχεια στέλνει το κλειδωµένο κιβώτιο στον

παραλήπτη ο οποίος µε το κλειδί ανοίγει το λουκέτο και βγάζει το µήνυµα από το

κιβώτιο. Στο ερµηνευτικό αυτό µοντέλο το λουκέτο είναι το ζεύγος των αριθµών (e, n)

και το κλειδί του λουκέτου είναι το ζεύγος των αριθµών (d, n).

Ας δούµε πώς µπορείτε να σπάσετε το σύστηµα RSΑ, δηλαδή τι πρέπει να κάνετε, για

να αποκρυπτογραφήσετε ένα µήνυµα που κρυπτογραφήθηκε µε το σύστηµα RSA.

Μπορείτε πολύ εύκολα να βρείτε το δηµόσιο κλειδί, δηλαδή το ζεύγος των αριθµών

(e, n). Αφού τώρα γνωρίζετε τον αριθµό n, δεν έχετε παρά να τον αναλύσετε σε

γινόµενο δύο πρώτων αριθµών για να βρείτε τους αριθµούς p και q. Μόλις τους

βρείτε, η αποκρυπτογράφηση γίνεται αµέσως, αφού η µέθοδος του συστήµατος RSA

είναι γνωστή.

Για επιπλέον λεπτοµέρειες (αριθµητική υπολοίπου, έλεγχος πρώτων αριθµών,

ασύµµετρη κρυπτογραφία) µπορεί να µελετηθεί το κεφάλαιο 5 του [Παπ07].

9.3.2 Ένας κλασικός αλγόριθµος παραγοντοποίησης

Θα περιγράψουµε τον περισσότερο χρησιµοποιούµενο αλγόριθµο για την ανάλυση

ενός αριθµού σε γινόµενο δύο πρώτων αριθµών.

Αν δοθεί ένας ακέραιος αριθµός n, ο οποίος πρέπει να αναλυθεί σε γινόµενο δύο

πρώτων αριθµών, τότε υπολογίζεται η περίοδος r της περιοδικής συνάρτησης fn,a(x)

=α x (mod n), όπου, x = 1, 2, 3, .... και α είναι ένας τυχαίος ακέραιος που είναι πρώτος

ως προς τον n, δηλαδή ΜΚ∆(α, n) = 1.

184

Ο πρώτος παράγοντας του n είναι ο µέγιστος κοινός διαιρέτης (ΜΚ∆) του n και του (a r/2 – 1), και ο δεύτερος ο ΜΚ∆ του n και του ( a r/2 + 1).

[Καρ05] [DPV06] [WiCl98, σελ133] [Bel06, σελ.101] [NiCh2000, σελ.233]

[LoWo06, σελ.227] [Wolf99] [BEH08, σελ.8]

Επειδή, r είναι η περίοδος ισχύει αr=1 (mod n). Αν η περίοδος είναι ζυγός αριθµός,

τότε µπορούµε να κάνουµε τους παρακάτω υπολογισµούς:

( )n) (mod 01α1αn) (mod 01αn) (mod 01α 2222r

2

=

+

−⇒=−⇒=−

rrr

∆ηλαδή, τουλάχιστον ένας από τους αριθµούς

−1α 2

r και

+1α 2

r έχει κοινό

παράγοντα µε τον αριθµό n.

Αν ( )nr

mod1α 2 −≡ , τότε προκύπτουν οι προφανείς παράγοντες του n (οι 1 και n).

∆ιαφορετικά, προκύπτουν µη τετριµµένοι παράγοντες του n.

[Sten05, σελ 163][CaPa01, σελ.254][WiCl98, σελ.132-133][Bel06, σελ.101]

[Daw08, Lecture 7][Shor][BEH08, σελ.8][LoWo06, σελ.227][Wolf99]

Αν επιλέξουµε τυχαία έναν ακέραιο που είναι πρώτος ως προς τον n, τότε η

πιθανότητα να ισχύουν οι 3 παρακάτω συνθήκες:

1. Η περίοδος r ( ra = 1 (mod n)) να είναι ζυγός αριθµός

2. 2ra ≢ 1 (mod n)

3. 2ra ≢ -1 (mod n)

είναι ίση ή µεγαλύτερη του 50%.

[DPV06, σελ324] [CaPa01, σελ.255] [Bel06, σελ.101] [NiCh2000, σελ.233-234]

[Daw08, Lecture 7] [LoWo06, σελ.228] [Shor96]

185

Η περίοδος πρέπει να είναι ζυγός αριθµός (για να µπορούµε να υπολογίσουµε το 2ra ).

Αν η περίοδος προκύψει περιττός αριθµός, τότε απλά επιλέγουµε έναν άλλο ακέραιο α

που είναι πρώτος ως προς τον n και επαναλαµβάνουµε την διαδικασία. [DPV06]

∆ηλαδή, το πρόβληµα της ανάλυσης ενός αριθµού σε γινόµενο δύο πρώτων αριθµών

ανάγεται στο πρόβληµα της εύρεσης της περιόδου µιας περιοδικής συνάρτησης. Για

να λυθεί αυτό το πρόβληµα µε έναν κλασικό υπολογιστή, απαιτείται εκθετική αύξηση

του χρόνου υπολογισµού για γραµµική αύξηση του µεγέθους του n, δηλαδή του

αριθµού των ψηφίων του.

Παράδειγµα 9.4 [Καρ05]

Να αναλυθεί ο αριθµός 15 σε γινόµενο δύο πρώτων αριθµών.

Απάντηση: Επιλέγουµε τυχαία τον αριθµό α = 2, ΜΚ∆(2, 15) = 1. Οπότε:

f15, 2(1) = 21 (mod l5) = 2,

f15, 2(2) = 22 (mod l5) = 4,

f15, 2(3) = 23 (mod l5) = 8,

f15, 2(4) = 24 (mod l5) = 1,

Η συνάρτηση έχει περίοδο r = 4, οπότε

ΜΚ∆(( 24/2 – 1), 15) = 3 και ΜΚ∆(( 24/2 + 1), 15) = 5,

δηλαδή 15 = 3 x 5.

186




f15, 4(1) = 41 (mod 15) = 4 (mod 15) = 4,

f15, 4(2) = 42 (mod 15) = 16 (mod 15) = 1,


ΜΚ∆(( 42/2 – 1), 15) = ΜΚ∆(3, 15) = 3 και

ΜΚ∆(( 42/2 + 1), 15) = ΜΚ∆(5, 15) = 5,

δηλαδή 15 = 3 x 5.

187

Παράδειγµα 9.6 [Sten05, σελ163] (r = 4)



f15, 7(1) = 71 (mod 15) = 7 (mod 15) = 7,

f15, 7(2) = 72 (mod 15) = 49 (mod 15) = 4,

f15, 7(3) = 73 (mod 15) = 343 (mod 15) = 13,

f15, 7(4) = 74 (mod 15) = 2401 (mod 15) = 1,

f15, 7(5) = 75 (mod 15) = 16807 (mod 15) = 7 ,


ΜΚ∆(( 74/2 – 1), 15) = ΜΚ∆(48, 15) = 3 και

ΜΚ∆(( 74/2 + 1), 15) = ΜΚ∆(50, 15) = 5,

δηλαδή 15 = 3 x 5.

188

Παράδειγµα 9.7 (προφανείς παράγοντες 1, n)



f15, 14(1) = 141 (mod 15) = 14 (mod 15) = 14,

f15, 14(2) = 142 (mod 15) = 196 (mod 15) = 1


ΜΚ∆(( 142/2 – 1), 15) = ΜΚ∆(13, 15) = 1 και

ΜΚ∆(( 142/2 + 1), 15) = ΜΚ∆(15, 15) = 15,

δηλαδή 15 = 1 x 15.

Προέκυψαν οι προφανείς παράγοντες επειδή ( ) )15(mod114mod1α 2 −==−≡ nr

.

189

Παράδειγµα 9.8 [Sten05, σελ164] (n=35)



f35, 13(1) = 131 (mod 35) = 13 (mod 35) = 13,

f35, 13(2) = 132 (mod 35) = 169 (mod 35) = 29,

f35, 13(3) = 133 (mod 35) = 2197 (mod 35) = 27,

f35, 13(4) = 134 (mod 35) = 28561 (mod 35) = 1,

f35, 13(5) = 135 (mod 35) = 371293 (mod 35) = 13 ,


ΜΚ∆(( 134/2 – 1), 35) = ΜΚ∆(168, 35) = 7 και

ΜΚ∆(( 74/2 + 1), 35) = ΜΚ∆(170, 35) = 5,

δηλαδή 35 = 7 x 5.

190

Παράδειγµα 9.9 (r µεγάλη τιµή > 10)



f35, 2(1) = 21 (mod 35) = 2 (mod 35) = 2,

f35, 2(2) = 22 (mod 35) = 4 (mod 35) = 4,

f35, 2(3) = 23 (mod 35) = 8 (mod 35) = 8,

f35, 2(4) = 24 (mod 35) = 16 (mod 35) = 16,

f35, 2(5) = 25 (mod 35) = 32 (mod 35) = 32,

f35, 2(6) = 26 (mod 35) = 64 (mod 35) = 29,

f35, 2(7) = 27 (mod 35) = 128 (mod 35) = 23,

f35, 2(8) = 28 (mod 35) = 256 (mod 35) = 11,

f35, 2(9) = 29 (mod 35) = 512 (mod 35) = 22,

f35, 2(10) = 210 (mod 35) = 1024 (mod 35) = 9,

f35, 2(11) = 211 (mod 35) = 2048 (mod 35) = 18,

f35, 2(12) = 212 (mod 35) = 4096 (mod 35) = 1,


ΜΚ∆(( 212/2 – 1), 35) = ΜΚ∆(63, 35) = 7 και

ΜΚ∆(( 212/2 + 1), 35) = ΜΚ∆(65, 35) = 5,

δηλαδή 35 = 7 x 5.

191

Παράδειγµα 9.10 (r περιττός αριθµός)



f35, 11(1) = 111 (mod 35) = 11 (mod 35) = 11,

f35, 11(2) = 112 (mod 35) = 121 (mod 35) = 16,

f35, 11(3) = 113 (mod 35) = 1331 (mod 35) = 1,

Η συνάρτηση έχει περίοδο r = 3 (περιττός αριθµός), οπότε δεν µπορούµε να

συνεχίσουµε. Πρέπει να επαναλάβουµε την διαδικασία µε άλλο α.

Η περίοδος r προκύπτει περιττός αριθµός (r = 3) και για τον αριθµό α = 16.

192

Παράδειγµα 9.11 (προφανείς παράγοντες 1, n)



f35, 34(1) = 341 (mod 35) = 34 (mod 35) = 34,

f35, 34(2) = 342 (mod 35) = 1156 (mod 35) = 1,


ΜΚ∆(( 342/2 – 1), 35) = ΜΚ∆(33, 35) = 1 και

ΜΚ∆(( 342/2 + 1), 35) = ΜΚ∆(35, 35) = 35,

δηλαδή 35 = 1 x 35.

Προέκυψαν οι προφανείς παράγοντες επειδή ( ) )35(mod134mod1α 2 −==−≡ nr

.

Ενώ είναι πολύ εύκολο να πολλαπλασιάσετε δύο πρώτους αριθµούς για να βρείτε το

γινόµενο τους, είναι πάρα πολύ δύσκολο να αναλύσετε έναν αριθµό σε γινόµενο δύο

πρώτων αριθµών και είναι πρακτικά αδύνατον αν ο αριθµός έχει πολλά ψηφία.

Για να αποδείξουν ότι το κρυπτογραφικό τους σύστηµα δεν µπορεί να σπάσει, οι

Rivest, Shamir και Adelman ζήτησαν από όποιον νοµίζει ότι µπορεί, να αναλύσει σε

γινόµενο δύο πρώτων αριθµών έναν ακέραιο µε 129 ψηφία. Μετά από 17 χρόνια ο

αριθµός αναλύθηκε από ένα δίκτυο 1.600 κλασικών υπολογιστών. Σύµφωνα µε τον U.

Vazirani: «ακόµη και αν κάθε σωµατίδιο στο σύµπαν ήταν ένας κλασικός υπολογιστής

ο οποίος θα λειτουργούσε για όλη τη µέχρι τώρα ζωή του σύµπαντος, δεν θα ήταν

δυνατό να αναλυθεί σε γινόµενο δύο πρώτων αριθµών ένας ακέραιος αριθµός µε 2.000

ψηφία».

193

Αυτό που χρειάζεται να θυµόµαστε είναι ότι το πρόβληµα της ανάλυσης ενός αριθµού

σε γινόµενο δύο πρώτων αριθµών ανάγεται στο πρόβληµα εύρεσης της περιόδου µιας

περιοδικής συνάρτησης και ότι το πρόβληµα αυτό είναι αδύνατον να λυθεί µε τη

χρήση κλασικών υπολογιστών, όταν ο αριθµός έχει πολλά ψηφία.

Όµως, το 1994 ο Peter Shor τα άλλαξε όλα αυτά αποδεικνύοντας ότι µε τη χρήση

κβαντικών υπολογιστών µπορεί εύκολα και γρήγορα να βρεθεί η περίοδος περιοδικών

συναρτήσεων, δηλαδή να αναλυθούν σε γινόµενο δύο πρώτων αριθµών µεγάλοι

ακέραιοι αριθµοί. Με έναν κβαντικό υπολογιστή απαιτείται πολυωνυµική αύξηση του

χρόνου υπολογισµού για γραµµική αύξηση του µεγέθους του n, δηλαδή του αριθµού

των ψηφίων του. [Καρ05]

Μία απλή µέθοδος για παραγοντοποίηση είναι να υπολογίζουµε το υπόλοιπο (mod)

της διαίρεσης του αριθµού Ν µε όλους τους αριθµούς από 1 έως N . Αν το υπόλοιπο

βγει µηδέν, τότε έχουµε βρει έναν παράγοντα του N. Η µέθοδος χρειάζεται

N δοκιµές στη χειρότερη περίπτωση. Εφόσον ( ) 2ln2m

eN = για mN 2= , η

παραπάνω µέθοδος είναι εκθετικής πολυπλοκότητας, άρα αναποτελεσµατική.

[NaOh08, σελ.140]

Ο καλύτερος κλασικός αλγόριθµος, ο number field sieve, έχει πολυπλοκότητα

( ) ( ) ( )

32

313

1lnlnln9

64 NNeO , όπου ≈

3

1

964 1.9, δηλαδή απαιτεί εκθετικό χρόνο σε σχέση

µε το µέγεθος της εισόδου Ν. Υπάρχουν και υποεκθετικοί πιθανοτικοί αλγόριθµοι.

( )( )31

ln2 NO .

[CaPa01, σελ. 252-253] [WiCl98, σελ.35-36] [WiCl2000, σελ.71-73] [NiCh2000, σελ.216] [BEH08, σελ.8]

Παρακάτω θα δούµε τον κβαντικό αλγόριθµο του Shor.

194

9.4 Περιγραφή του κβαντικού αλγορίθµου του Shor [Καρ05] [DPV06] [WiCl98, σελ.133] [WiCl2000, σελ.108-110] [Bel06, σελ.94-99] [LoWo06, σελ.229-237]

Το πρόβληµα που λύνει ο κβαντικός αλγόριθµος του Shor είναι το εξής:

Αν δοθεί ένας ακέραιος αριθµός n, να βρεθεί η περίοδος της συνάρτησης fn,a(x) =α x

(mod n), όπου α είναι ένας τυχαίος ακέραιος που είναι πρώτος ως προς τον n.

Θα δώσουµε πρώτα µία «ποιοτική» περιγραφή του αλγορίθµου και στη συνέχεια θα

δώσουµε τα βήµατα του και τη µαθηµατική τους περιγραφή. Ο κβαντικός αλγόριθµος

του Shor αρχίζει µε δύο κβαντικούς καταχωρητές. Ο πρώτος ονοµάζεται Reg1 και ο

δεύτερος Reg2. Οι δύο κβαντικοί καταχωρητές αποτελούν έναν κβαντικό καταχωρητή

που τον ονοµάζουµε Reg. Αν η κατάσταση του Reg1 είναι 1ψ και η κατάσταση του

Reg2 είναι 2ψ , η κατάσταση του Reg, η ψ , δίνεται από:

212121 ,ψψψψψψψ === (9.13)

Προσέξτε ότι το κόµµα ανάµεσα στις καταστάσεις των Reg1 και Reg2

χρησιµοποιείται µόνο και µόνο για τη διευκόλυνση της ανάγνωσης και δε

σηµαίνει τίποτε. Οι καταστάσεις από εδώ και εµπρός θα δίνονται στη δεκαδική

αναπαράσταση. Η αρχική κατάσταση του Reg είναι:

0 ,0=ψ (9.14)

Για να αναλύσουµε τον ακέραιο αριθµό n σε γινόµενο δύο πρώτων αριθµών,

επιλέγουµε έναν ακέραιο αριθµό τον Q, δύναµη του 2, τέτοιον ώστε:

n2 ≤ Q ≤ 2n2 (9.35)

Στη συνέχεια επιλέγουµε τυχαία έναν αριθµό, τον α, που είναι πρώτος ως προς τον n.

195

Φέρνουµε τον Reg1 σε κατάσταση υπέρθεσης όλων των βασικών καταστάσεων από 0

έως Q – 1. Φυσικά έχουµε φροντίσει ο Reg1 να αποτελείται από τον κατάλληλο

αριθµό qubits. ∆ηλαδή, στον Reg1 δηµιουργούµε την υπέρθεση των ακεραίων

αριθµών x = 0, 1, 2, 3, ... , Q – 1, οι οποίοι θα χρησιµοποιηθούν ως οι ανεξάρτητες

µεταβλητές της συνάρτησης fn,a(x) =α x (mod n) της οποίας θέλουµε να βρούµε την

περίοδο.

Στη συνέχεια µε χρήση ενός κβαντικού κυκλώµατος για υπολογισµό συνάρτησης

(ενότητα 5.5) υπολογίζεται η τιµή της fn,a(x) για κάθε x και τα αποτελέσµατα

καταγράφονται στον Reg2 ο οποίος κρατά πλέον την υπέρθεση όλων των τιµών της

fn,a(x). Πρέπει εδώ να επισηµάνουµε ότι µετά από αυτό η κατάσταση του Reg δεν

µπορεί να γραφεί ως τανυστικό γινόµενο των καταστάσεων των Reg1 και Reg2.

∆ηλαδή, οι καταχωρητές βρίσκονται σε κβαντική διεµπλοκή, οπότε η µέτρηση της

κατάστασης του ενός καθορίζει την κατάσταση του άλλου.

Κατόπιν γίνεται µέτρηση της κατάστασης του Reg2. Ο Reg2 βρίσκεται σε υπέρθεση ό-

λων των τιµών της fn,a(x), όµως το αποτέλεσµα της µέτρησης θα δώσει µόνο µία τιµή

της συνάρτησης, ας πούµε την k. ∆ηλαδή, µετά τη µέτρηση ο Reg2 βρίσκεται στην

κατάσταση k .

Θυµηθείτε ότι η µέτρηση της κατάστασης του Reg2 καθορίζει την κατάσταση του

Reg1, αφού οι δύο καταχωρητές βρίσκονται σε κβαντική διεµπλοκή. Τι σηµαίνει αυτό;

Σηµαίνει, ότι αφού ο Reg2 βρίσκεται στην κατάσταση k , εξαιτίας της κβαντικής

διεµπλοκής στον Reg1 θα βρίσκονται πια µόνο οι αριθµοί x για τους οποίους ισχύει:

fn,a(x) =α x (mod n) = k (9.16)

∆ηλαδή, στον Reg1 θα υπάρχουν ως υπέρθεση καταστάσεων οι αριθµοί x, x+r, x+2r,

x+3r, ..., x+Q-r. Ta πλάτη πιθανότητας όλων των καταστάσεων είναι ίσα µεταξύ

τους. Φυσικά, r είναι η ζητούµενη περίοδος της συνάρτησης.

196

∆εν τελειώσαµε όµως. Θα µπορούσαµε να βρούµε αµέσως την περίοδο r, αν ήταν

δυνατόν να γίνουν δύο µετρήσεις οι οποίες θα δώσουν δύο διαδοχικούς αριθµούς που

βρίσκονται ως υπέρθεση καταστάσεων στον Reg1, για παράδειγµα των x+2r και x+3r.

Όµως, είναι αδύνατον να πραγµατοποιηθούν δύο τέτοιες µετρήσεις, γιατί η πρώτη

µέτρηση θα έδινε µόνο έναν αριθµό και θα προκαλούσε καταστροφή της υπέρθεσης,

καθιστώντας έτσι κάθε άλλη µέτρηση αδύνατη, αφού κάθε άλλη µέτρηση θα έδινε τον

ίδιο αριθµό µε την πρώτη µέτρηση.

Πώς µπορούµε να βρούµε την περίοδο r χωρίς να καταστρέψουµε την υπέρθεση στον

Reg1; Χρησιµοποιώντας τον κβαντικό µετασχηµατισµό Fourier.

Ο κβαντικός µετασχηµατισµός Fourier δρα στον Reg1. Όπως και στην κλασική

περίπτωση, ο κβαντικός µετασχηµατισµός Fourier των περιεχοµένων του Reg1 θα έχει

κορυφές στα ακέραια πολλαπλάσια της αντίστροφης περιόδου 1/r. Αυτό συµβαίνει,

γιατί ο κβαντικός µετασχηµατισµός Fourier της υπέρθεσης καταστάσεων που

αντιστοιχούν στους αριθµούς x, x+r, x+2r, x+3r, ... έχει ως αποτέλεσµα µία νέα

υπέρθεση καταστάσεων, στην οποία όµως τα πλάτη πιθανότητας των καταστάσεων

δεν είναι πλέον ίσα. Οι πιθανότητες των καταστάσεων που αντιστοιχούν σε ακέραια

πολλαπλάσια της αντίστροφης περιόδου 1/r είναι πολύ µεγαλύτερες από τις υπόλοιπες

και, εποµένως, µία µέτρηση της κατάστασης του Reg1 είναι πρακτικά βέβαιο ότι θα

δώσει αποτέλεσµα που θα είναι ακέραιο πολλαπλάσιο της αντίστροφης περιόδου

[Καρ05] [DPV06] [WiCl98, σελ134]. Τα βήµατα του κβαντικού αλγορίθµου

επαναλαµβάνονται αρκετές φορές (περίπου log(Q) φορές), ώστε να ληφθούν αρκετά

δείγµατα ακεραίων πολλαπλασίων της αντίστροφης περιόδου, για να είναι δυνατός ο

ακριβής υπολογισµός της. Τότε [DPV06], ο µέγιστος κοινός διαιρέτης (ΜΚ∆) των

δειγµάτων θα µας επιστρέψει µε πολύ µεγάλη πιθανότητα τον αριθµό Q/r. Εφόσον το

Q είναι γνωστό, η περίοδος r προκύπτει αµέσως.

Σηµείωση: Η πιθανότητα είναι τουλάχιστον s

r

21− , όπου s είναι ο αριθµός των

δειγµάτων των ακεραίων πολλαπλασίων της αντίστροφης περιόδου. Η απόδειξη

βρίσκεται στη σελίδα 321 των [DPV06]. Το s είναι συνήθως log(Q), µε αποτέλεσµα η

πιθανότητα ο ΜΚ∆ να µην επιστρέψει τον αριθµό Q/r, είναι πρακτικά µηδέν.

197

9.5 Τα βήµατα του κβαντικού αλγορίθµου του Shor

[Καρ05] [DPV06] [WiCl98, σελ136-137] [WiCl2000, σελ.110] [CKL08, σελ.4-8]

[LoWo06, σελ.229-237] [Shor96] [Vol01, σελ.15-16]

Έστω ότι θέλουµε να αναλύσουµε τον ακέραιο αριθµό n σε γινόµενο δύο πρώτων

αριθµών. Για να το πετύχουµε αυτό, θα υπολογίσουµε την περίοδο της συνάρτησης

fn,a(x) =α x (mod n). (Θεωρούµε ότι ο n είναι περιττός σύνθετος αριθµός. Έχουµε

ελέγξει αν είναι ζυγός, πρώτος ή δύναµη πρώτου αριθµού)

Βήµα 1°

Επιλέγεται ένας ακέραιος αριθµός Q, δύναµη του 2, τέτοιος ώστε n2 ≤ Q ≤ 2n2.

sQ 2= . Συνήθως, το s επιλέγεται ως ns 2log2= .

Βήµα 2ο

Επιλέγεται τυχαία ένας ακέραιος αριθµός α (1 < α < n–1) που είναι πρώτος ως προς

τον n, δηλαδή ΜΚ∆(α, n) = 1. (Ο αριθµός n–1 δεν επιλέγεται γιατί οδηγεί στους

προφανείς παράγοντες.)

Βήµα 3ο

Ένας κβαντικός καταχωρητής, ο Reg, αποτελείται από δύο καταχωρητές, που

ονοµάζονται Reg1 (µέγεθος s=log2(Q)=ceil(2log2(n)) qubits), και Reg2 (µέγεθος

ceil(log2(n)) qubits), οι οποίοι βρίσκονται στην κατάσταση 0 . Η κατάσταση του Reg

(µέγεθος περίπου τριπλάσιο από το µέγεθος του n στη δυαδική αναπάρασταση), η ψ ,

είναι:

0 ,0=ψ (9.17)

198

Βήµα 4ο


έως Q – 1. Αυτό µπορεί να γίνει είτε µε Hadamard είτε µε QFT [CaPa01, σελ. 200-

201, 251] [CKL08, σελ.6]. ∆εν δρούµε στον Reg2. Μετά από αυτό, η κατάσταση του

Reg δίνεται από:

∑−

=

=1

0

0 ,1 Q

x

xQ

ψ (9.18)

Βήµα 5ο




fn,a(x). Τώρα η κατάσταση του Reg δίνεται από:

∑∑−

=

−

=

==1

0α n,

1

0

)(f ,1

)(mod ,1 Q

x

Q

x

x xxQ

naxQ

ψ (9.19)

Οι καταχωρητές Reg1 και Reg2 βρίσκονται πλέον σε κβαντική διεµπλοκή.

Βήµα 6ο

Μετράται η κατάσταση του Reg2. Ο Reg2 βρίσκεται σε υπέρθεση όλων των τιµών της

fn,a(x), όµως το αποτέλεσµα της µέτρησης θα δώσει µόνο µία τιµή της συνάρτησης,

έστω k. ∆ηλαδή, µετά τη µέτρηση ο Reg2 βρίσκεται στην κατάσταση k . Η µέτρηση

της κατάστασης του Reg2 καθορίζει την κατάσταση του Reg1. ∆ηλαδή, εξαιτίας της

κβαντικής διεµπλοκής στον Reg1 θα βρίσκονται πια µόνο οι αριθµοί x για τους

οποίους ισχύει: fn,a(x) =α x (mod n) = k. Οι αριθµοί αυτοί συµβολίζονται µε x΄ και

αποτελούν ένα σύνολο Α που περιγράφεται ως εξής:

199

Α= x΄ : α x΄ (mod n) = k (9.20)

Έστω ότι A είναι ο αριθµός των στοιχείων του συνόλου Α.

Ισχύει rqA /≅ . Για την ακρίβεια )/( rqfloorA = ή 1)/( += rqfloorA . Η

περίοδος r, όµως, δεν είναι γνωστή εκ των προτέρων, για αυτό το λόγο το πλήθος των

στοιχείων του συνόλου Α δεν είναι γνωστό στην παρούσα φάση. [Daw08, Lecture 7]

[Bel06, σελ.95]

Μετά τη µέτρηση η κατάσταση του Reg δίνεται από:

∑∈

=Ax΄

kx΄A

,1

ψ (9.21)

Βήµα 7ο .

Ο κβαντικός µετασχηµατισµός Fourier (QFT) δρα στον Reg1, ενώ το περιεχόµενο του

Reg2 παραµένει αµετάβλητο. Ο κβαντικός µετασχηµατισµός Fourier µετασχηµατίζει

κάθε κατάσταση x΄ σε µία υπέρθεση καταστάσεων που δίνεται από:

∑−

=

1

0

21 Q

c

Q

cx΄i

ceQ

x΄π

a (9.22)

Μετά την εφαρµογή του κβαντικού µετασχηµατισµού Fourier η κατάσταση του Reg

είναι:

∑ ∑Α∈

−

=Α=

x΄

Q

c

Q

cx΄i

kceQ

1

0

2

,11 π

ψ (9.23)

200

Βήµα 8ο

Μετράται η κατάσταση του Reg1. To αποτέλεσµα της µέτρησης δίνει µία µόνο τιµή,

την c', η οποία είναι κάποιο ακέραιο πολλαπλάσιο λ του Q/r, όπου r είναι η περίοδος

που πρέπει να προσδιοριστεί, δηλαδή:

r

qc΄ λ= (9.24)

Βήµα 9ο [Καρ05, DPV06]

Τα βήµατα 3 έως και 8 επαναλαµβάνονται περίπου log(Q) φορές. Η επανάληψη αυτή

δίνει αρκετά δείγµατα πολλαπλασίων του Q/r, δηλαδή, δίνει τιµές λ1/r, λ2/r, λ3/r, ...

όπου λi είναι διάφοροι ακέραιοι, ώστε να είναι δυνατός ο υπολογισµός της r.

Ο υπολογισµός της r γίνεται ως εξής [DPV06]:

1) Υπολογίζουµε τον Μέγιστο Κοινό ∆ιαιρέτη (ΜΚ∆) των δειγµάτων, έστω G.

2) Υπολογίζουµε την τιµή Q/G. Η τιµή Q/G είναι η ζητούµενη περίοδος r.

Αφού προσδιοριστεί η r, οι δύο πρώτοι αριθµοί που το γινόµενο τους δίνει τον n

προσδιορίζονται υπολογίζοντας τον ΜΚ∆ του n και του (a r/2 – 1), και ΜΚ∆ του n και

του (a r/2 + 1).

Αν η περίοδος είναι περιττός αριθµός ή

αν οι παράγοντες του n που προέκυψαν είναι οι προφανείς (1, n),

τότε επιστρέφουµε στο βήµα 1 και επαναλαµβάνουµε την όλη διαδικασία.

Η διαδικασία θα χρειαστεί να επαναληφθεί µόνο λίγες φορές µέχρι να βρούµε έναν

παράγοντα του n. [DPV06]

201

9.6 Τα βήµατα του κβαντικού αλγορίθµου του Shor (συνοπτικά)

1. Επιλέγεται ένας ακέραιος αριθµός Q, δύναµη του 2, τέτοιος ώστε n2 ≤ Q ≤ 2n2.


2. Επιλέγεται τυχαία ένας ακέραιος αριθµός α (1 < α < n–1) που είναι πρώτος ως προς

τον n, δηλαδή ΜΚ∆(α, n) = 1.

Για i=1 µέχρι log2(Q)

3. Αρχικοποίηση του κβαντικού καταχωρητή Reg 0 ,0=ψ .

4. Ο κβαντικός µετασχηµατισµός Fourier (QFT) ή ο κβαντικός

µετασχηµατισµός Walsch-Hadamard (Wn) δρα στον Reg1.

5. Στη συνέχεια υπολογίζεται η τιµή της fn,a(x) για κάθε x και τα αποτελέσµατα

καταγράφονται στον Reg2 ο οποίος κρατά πλέον την υπέρθεση όλων των

τιµών της fn,a(x).

6. Μετράται η κατάσταση του Reg2.

7. Ο κβαντικός µετασχηµατισµός Fourier ( QFT ) δρα στον Reg1.

8. Μετράται η κατάσταση του Reg1. Προκύπτει το δείγµα i.

Τέλος_για

9. Υπολογίζεται ο Μέγιστος Κοινός ∆ιαιρέτης (ΜΚ∆) των δειγµάτων, έστω G.

10. Η περίοδος r είναι η τιµή Q/G.

11. Υπολογίζεται ο ΜΚ∆(n, (a r/2 – 1)) και ο ΜΚ∆( n, (a r/2 + 1)). Οι τιµές είναι οι

παράγοντες του n.



τότε επιστρέφουµε στο βήµα 1 ή στο βήµα 2 και επαναλαµβάνουµε τον αλγόριθµο.

202

9.7 Τo κβαντικό κύκλωµα του αλγορίθµου Το κβαντικό κύκλωµα που περιγράφει τον αλγόριθµο του Shor φαίνεται στα σχήµατα

9.6 και 9.7. Η υπέρθεση όλων των βασικών καταστάσεων από 0 έως Q – 1 στον

καταχωρητή Reg1 επιτυγχάνεται είτε µε Hadamard (σχήµα 9.6) είτε µε QFT (σχήµα

9.7).

Σχήµα 9.6 Το κβαντικό κύκλωµα του αλγορίθµου του Shor

Σχήµα 9.7 Το κβαντικό κύκλωµα του αλγορίθµου του Shor

203

9.8 Πολυπλοκότητα αλγορίθµου

Έστω m=log2(n) ο αριθµός των bits της εισόδου n (του αριθµού προς

παραγοντοποίηση).

Οι Dasgupta, Papadimitriou και Vazirani [DPV06, σελ.327] υπολογίζουν το συνολικό

χρόνο εκτέλεσης του κβαντικού αλγορίθµου του Shor σε Ο(m3log2(m)).

Πολυωνυµικό χρόνο υπολογίζουν και ο Le Bellac [Bel06, σελ.99], οι Nakahara και

Ohmi [NaOh08, σελ.171] και οι Nielsen και Chuang [NiCh2000, σελ.233].

Ας δούµε την πολυπλοκότητα λίγο πιο αναλυτικά.

Το κύριο µέρος του χρόνου του αλγορίθµου καταναλώνεται στο βρόχο του για. (Οι

υπόλοιπες εντολές πριν και µετά το βρόχο απαιτούν πολυωνυµικό χρόνο).

Το σώµα του βρόχου του για επαναλαµβάνεται log2(Q) = mn 2log2 2 = =O(m)

φορές.

Οι χρονοβόρες πράξεις του σώµατος του βρόχου είναι ο κβαντικός µετασχηµατισµός

Fourier και ο υπολογισµός της συνάρτησης fn,a(x) =α x (mod n).

Οι Nakahara και Ohmi [NaOh08, σελ.116-122], ο Le Bellac [Bel06, σελ.91-94] και οι

Nielsen και Chuang [NiCh2000, σελ.219-220] αποδεικνύουν ότι ο m qubit QFT

µπορεί να κατασκευαστεί µε Θ(m2) απλές πύλες, όπου απλές πύλες είναι οι πύλες που

δρουν σε ένα µόνο qubit και η πύλη CNOT.

Οι Nakahara και Ohmi [NaOh08, σελ.156-171] υπολογίζουν επίσης ότι χρειάζεται

πολυωνυµικός αριθµός απλών κβαντικών πυλών για τον υπολογισµό της συνάρτησης

fn,a(x) =α x (mod n). Ο βαθµός του πολυωνύµου εξαρτάται από τον αριθµό των qubits.

Αν έχουµε περισσότερα qubits στη διάθεση µας, χρειαζόµαστε λιγότερες απλές πύλες

για να υπολογίσουµε τη συνάρτηση. Σε κάθε περίπτωση ο αριθµός των πυλών είναι

πολυωνυµικός σε σχέση µε την είσοδο.

Εφόσον κάθε βήµα θέλει πολυωνυµικό χρόνο, ο συνολικός χρόνος εκτέλεσης του

αλγορίθµου του Shor είναι πολυωνυµικός.

204

9.9 Παραλλαγή του κβαντικού αλγορίθµου του Shor

[Yan04] [CaPa01, σελ.252-259] [NaOh08, σελ.140-156] [Bel06, σελ.94-99] [Shor]

[Wat06] [BEH08, σελ.9-10] [Lom2000] [Ril06, σελ.208-209] [NiCh2000, σελ.232-

234]

Έστω ότι θέλουµε να αναλύσουµε τον ακέραιο αριθµό n σε γινόµενο δύο πρώτων

αριθµών. (Θεωρούµε ότι ο n είναι περιττός σύνθετος αριθµός. Έχουµε ελέγξει αν είναι

ζυγός, πρώτος ή δύναµη πρώτου αριθµού)

9.9.1 Κλασικό µέρος αλγορίθµου

Βήµα 1ο

Επιλέγεται τυχαία ένας ακέραιος αριθµός α (1 < α < n–1) που είναι πρώτος ως προς

τον n, δηλαδή ΜΚ∆(α, n) = 1. (Ο αριθµός n–1 δεν επιλέγεται γιατί οδηγεί στους

προφανείς παράγοντες.) Αν ΜΚ∆(α, n) > 1 είµαστε εξαιρετικά τυχεροί, διότι βρήκαµε

έναν παράγοντα του n, άρα τέλος αλγορίθµου.

Βήµα 2ο

Υπολόγισε την περίοδο (r) της συνάρτησης fn,a(x) =αx(mod n). Ο κβαντικός

υπολογιστής χρειάζεται µόνο για αυτό το βήµα. Όλα τα υπόλοιπα βήµατα µπορούν να

υλοποιηθούν και σε έναν κλασικό υπολογιστή.

Βήµα 3ο

Αν η περίοδος (r) είναι περιττός αριθµός, επέστρεψε στο 1ο βήµα και επανάλαβε τη

διαδικασία µε άλλο α. Αν η περίοδος είναι ζυγός αριθµός, πήγαινε στο 4ο βήµα.

Βήµα 4ο

Αν 2ra ≡ –1 (mod n), τότε επιστροφή στο 1ο βήµα. (Ο ΜΚ∆( 2ra – 1, n) θα βγει 1 και

θα προκύψουν οι προφανείς παράγοντες). Αν 2ra ≢ –1, τότε πήγαινε στο 5ο βήµα (ο

( 2ra – 1) περιέχει έναν από τους παράγοντες του n).

205

Σηµείωση: Αν 2ra ≢ –1, τότε ο ( 2ra – 1) δεν είναι πολλαπλάσιο του n (δεν είναι

( 2ra – 1) ≡ 0 (mod n)). Αν υποστηρίξουµε ότι ( 2ra – 1) ≡ 0 (mod n), δηλαδή 2ra ≡

1 (mod n) καταλήγουµε σε άτοπο, αφού η περίοδος r είναι ο µικρότερος ακέραιος για

τον οποίο ισχύει ra ≡ 1 (mod n)

Βήµα 5ο

Ο αριθµός f1 = ΜΚ∆( 2ra – 1, n) είναι ένας από τους παράγοντες του n. Αν πρόκειται

για τον RSA, τότε οι δύο (µη τετριµµένοι) παράγοντες του n, είναι ο f1 και ο f2=n/f1.

Η παραγοντοποίηση ολοκληρώθηκε.

Καλό είναι να υπολογίζεται και η τιµή ΜΚ∆( 2ra + 1, n). Κάποιες φορές, λόγω της

µεθόδου που επιστρέφει τη περίοδο, δεν επιστρέφεται η σωστή τιµή της περιόδου,

ωστόσο ο ΜΚ∆( 2ra + 1, n) προκύπτει παράγοντας του n.

9.9.2 Κβαντικό µέρος αλγορίθµου (υπολογισµός της περιόδου r)

Βήµα 1°

Επιλέγεται ένας ακέραιος αριθµός Q, δύναµη του 2, τέτοιος ώστε n2 ≤ Q ≤ 2n2.


Βήµα 3ο

Ένας κβαντικός καταχωρητής, ο Reg, αποτελείται από δύο καταχωρητές, που

ονοµάζονται Reg1 (µέγεθος s=log2(Q)=ceil(2log2(n)) qubits), και Reg2 (µέγεθος

ceil(log2(n)) qubits), οι οποίοι βρίσκονται στην κατάσταση 0 . Η κατάσταση του Reg

(µέγεθος περίπου τριπλάσιο από το µέγεθος του n στη δυαδική αναπάρασταση), η ψ ,

είναι:

0 ,0=ψ (9.17)

206

Βήµα 4ο


έως Q – 1. Αυτό µπορεί να γίνει είτε µε Hadamard είτε µε QFT [CaPa01, σελ. 200-

201, 251] [CKL08, σελ.6]. ∆εν δρούµε στον Reg2. Μετά από αυτό, η κατάσταση του

Reg δίνεται από:

∑−

=

=1

0

0 ,1 Q

x

xQ

ψ (9.18)

Βήµα 5ο




fn,a(x). Τώρα η κατάσταση του Reg δίνεται από:

∑∑−

=

−

=

==1

0α n,

1

0

)(f ,1

)(mod ,1 Q

x

Q

x

x xxQ

naxQ

ψ (9.19)

Οι καταχωρητές Reg1 και Reg2 βρίσκονται πλέον σε κβαντική διεµπλοκή.

Βήµα 6ο

Μετράται η κατάσταση του Reg2. Ο Reg2 βρίσκεται σε υπέρθεση όλων των τιµών της

fn,a(x), όµως το αποτέλεσµα της µέτρησης θα δώσει µόνο µία τιµή της συνάρτησης,

έστω k. ∆ηλαδή, µετά τη µέτρηση ο Reg2 βρίσκεται στην κατάσταση k . Η µέτρηση

της κατάστασης του Reg2 καθορίζει την κατάσταση του Reg1. ∆ηλαδή, εξαιτίας της

κβαντικής διεµπλοκής στον Reg1 θα βρίσκονται πια µόνο οι αριθµοί x για τους

οποίους ισχύει: fn,a(x) =α x (mod n) = k. Οι αριθµοί αυτοί συµβολίζονται µε x΄ και

αποτελούν ένα σύνολο Α που περιγράφεται ως εξής:

Α= x΄ : α x΄ (mod n) = k (9.20)

207

Έστω ότι A είναι ο αριθµός των στοιχείων του συνόλου Α. Μετά τη µέτρηση η κατά-

σταση του Reg δίνεται από:

∑∈

=Ax΄

kx΄A

,1

ψ (9.21)

Βήµα 7ο

Ο κβαντικός µετασχηµατισµός Fourier (QFT) δρα στον Reg1, ενώ το περιεχόµενο του

Reg2 παραµένει αµετάβλητο. Ο κβαντικός µετασχηµατισµός Fourier µετασχηµατίζει

κάθε κατάσταση x΄ σε µία υπέρθεση καταστάσεων που δίνεται από:

∑−

=

1

0

21 Q

c

Q

cx΄i

ceQ

x΄π

a (9.22)

Μετά την εφαρµογή του κβαντικού µετασχηµατισµού Fourier η κατάσταση του Reg

είναι:

∑ ∑Α∈

−

=Α=

x΄

Q

c

Q

cx΄i

kceQ

1

0

2

,11 π

ψ (9.23)

Βήµα 8ο

Μετράται η κατάσταση του Reg1. To αποτέλεσµα της µέτρησης δίνει µία µόνο τιµή,

την c', η οποία είναι κάποιο ακέραιο πολλαπλάσιο λ του Q/r, όπου r είναι η περίοδος

που πρέπει να προσδιοριστεί, δηλαδή:

r

qc΄ λ= (9.24)

208

Βήµα 9ο

∆εν έχουµε επανάληψη των βηµάτων 3 έως και 8. Προσπαθούµε να υπολογίσουµε την

περίοδο r µε τη µέθοδο της συνεχόµενης επέκτασης κλάσµατος (continued fraction

expansion) (Ίσως χρειαστεί να επαναλάβουµε µερικές φορές το κβαντικό µέρος του

αλγορίθµου, γιατί η παραπάνω µέθοδος δεν επιστρέφει πάντα τη σωστή περίοδο. Η

επιστροφή της σωστής περιόδου εξαρτάται από την τιµή που µετρήθηκε από τον

Reg1). [Yan04] [CaPa01, σελ.257] [NaOh08, σελ.144] [Ril06] [BEH08]

Σηµείωση: Οι πηγές [Yan04], [CKL08, σελ.4-8] και [NaOh08, σελ.144] δεν µετράνε

τον κβαντικό καταχωρητή Reg2 στο 6ο βήµα. Ο Reg2 µετράται στο βήµα 8 µαζί µε το

Reg1. Με αυτόν τον τρόπο όµως, δεν αξιοποιούν την κβαντική διεµπλοκή και κάνουν

επιπλέον υπολογισµούς χωρίς λόγο. Θεωρούµε ότι το βήµα 6 είναι πολύ χρήσιµο.

Μειώνει το πλήθος των υπολογισµών που ακολουθούν. Άλλωστε και οι πηγές

[CaPa01, σελ.257] [Bel06] [BEH08] [Ril06] και [Καρ05] [DPV06] [WiCl98] στην

προηγούµενη εκδοχή του αλγορίθµου, περιλαµβάνουν το 6ο βήµα.

209

9.9.3 Ψευδοκώδικας Κλασικό µέρος αλγορίθµου


τον n, δηλαδή ΜΚ∆(α, n) = 1. Αν ΜΚ∆(α, n) > 1 είµαστε εξαιρετικά τυχεροί, διότι

βρήκαµε έναν παράγοντα του n, άρα τέλος αλγορίθµου.

2. Υπολογίζεται η περίοδος (r) της συνάρτησης fn,a(x) =αx(mod n) καλώντας την

συνάρτηση «Εύρεση_της_περιόδου»

3. Αν η περίοδος (r) είναι περιττός αριθµός, επιστροφή στο 1ο βήµα.

4. Αν 2ra ≡ –1 (mod n), επιστροφή στο 1ο βήµα.

5. Υπολογίζονται οι αριθµοί f1 = ΜΚ∆( 2ra – 1, n) και f2=ΜΚ∆( 2ra + 1, n). Αν δεν

προέκυψαν οι µη τετριµµένοι παράγοντες του n, επιστροφή στο 1ο βήµα.

Κβαντικό µέρος αλγορίθµου

Συνάρτηση: «Εύρεση_της_περιόδου»




3. Ο κβαντικός µετασχηµατισµός Fourier (QFT) ή ο κβαντικός µετασχηµατισµός

Walsch-Hadamard (Wn) δρα στον Reg1.



fn,a(x).



7. Μετράται η κατάσταση του Reg1. Προκύπτει η τιµή y.

8. Υπολογίζεται η περίοδος r µε τη µέθοδο της συνεχόµενης επέκτασης κλάσµατος

(continued fraction expansion).

210

9.9.4 Συνδυασµός των 2 µεθόδων

Προτείνεται ο συνδυασµός των 2 µεθόδων που είδαµε στις ενότητες 9.5 και 9.9.

Βασιζόµαστε στην 1η µέθοδο. Όταν όµως µετράµε τον καταχωρητή Reg1 και

προκύπτει το δείγµα i, υπολογίζουµε από αυτό το δείγµα την περίοδο και τις τιµές f1 =

ΜΚ∆( 2ra – 1, n) και f2=ΜΚ∆( 2ra + 1, n). Αν προκύψει µη τετριµµένος παράγοντας

του n, τέλος αλγορίθµου. ∆εν χρειάζονται άλλες επαναλήψεις. ∆ιαφορετικά, κρατάµε

την τιµή i και επαναλαµβάνουµε τον αλγόριθµο για να συγκεντρώσουµε και άλλα

δείγµατα. Επιπλέον, κάθε φορά υπολογίζουµε από τα ήδη υπάρχοντα δείγµατα τον

Μέγιστο Κοινό ∆ιαιρέτη (ΜΚ∆) των δειγµάτων και προσπαθούµε να βρούµε µη

τετριµµένους παράγοντες του n.




τον n, δηλαδή ΜΚ∆(α, n) = 1.

Για i=1 µέχρι log2(Q)


4. Ο κβαντικός µετασχηµατισµός Fourier (QFT) ή ο κβαντικός

µετασχηµατισµός Walsch-Hadamard (Wn) δρα στον Reg1.


καταγράφονται στον Reg2 ο οποίος κρατά πλέον την υπέρθεση όλων των

τιµών της fn,a(x).



8. Μετράται η κατάσταση του Reg1. Προκύπτει το δείγµα i.

9. Υπολογίζεται η περίοδος r µε τη µέθοδο της συνεχόµενης επέκτασης

κλάσµατος (continued fraction expansion).

10. Αν η περίοδος (r) είναι ζυγός αριθµός και 2ra ≢ –1 (mod n),

υπολογίζονται οι αριθµοί f1 = ΜΚ∆( 2ra – 1, n) και f2=ΜΚ∆( 2ra + 1, n). Αν

προέκυψε µη τετριµµένος παράγοντας του n, τέλος αλγορίθµου.

211

11. Αν (αριθµός δειγµάτων >=2 ), υπολογίζονται ο ΜΚ∆ των δειγµάτων, έστω

G, η πιθανή περίοδος r (r=Q/G) και οι αριθµοί f1 = ΜΚ∆( 2ra – 1, n) και

f2=ΜΚ∆( 2ra + 1, n). Αν προέκυψε µη τετριµµένος παράγοντας του n, τέλος

αλγορίθµου.

Τέλος_για

9. Υπολογίζεται ο Μέγιστος Κοινός ∆ιαιρέτης (ΜΚ∆) των δειγµάτων, έστω G.

10. Η περίοδος r είναι η τιµή Q/G.

11. Υπολογίζεται ο ΜΚ∆(n, (a r/2 – 1)) και ο ΜΚ∆( n, (a r/2 + 1)). Οι τιµές είναι οι

παράγοντες του n.



τότε επιστρέφουµε στο βήµα 1 ή στο βήµα 2 και επαναλαµβάνουµε τον αλγόριθµο.

212

9.9.5 Συνεχόµενη επέκταση κλάσµατος (continued fraction expansion)

[NaOh08, σελ.151-152] [WiCl98, σελ135] [NiCh2000, σελ.229-230, 635-636]

[Ραµπ04, σελ.47] [Lom2000] [Vol01, σελ.12] [McAn02] [Ril06, σελ.207]

Η συνεχόµενη επέκταση κλάσµατος του ρητού αριθµού x είναι

qa

aa

ax

1...

11

1

2

1

0

++

++=

όπου α1 έως αq είναι φυσικοί αριθµοί.

Ο αριθµός x γράφεται και ως εξής: x = [α0, α1, α2, … , αq ]

Ισχύει x = [α0, α1, α2, … , αq ] = [α0, α1, α2, … , αq – 1, 1]

Παράδειγµα: x=17/47

]4,3,1,2,0[

41

3

11

12

10

4

131

1

12

10

13

41

12

10

13

171

2

10

17

132

10

17

471

047

170

47

17

=

++

++=

++

+=

++

+=+

+=+

+=+=+=

213

Ο αλγόριθµος της συνεχόµενης επέκτασης κλάσµατος είναι ο ακόλουθος:

Είσοδος: x: ρητός αριθµός

Έξοδος: ∆ιάνυσµα α = [α0, α1, α2, … , αm]

1. α0=floor(x)

2. r 0=x – α0

3. m=1

4. όσο (r m ≠ 0)

5. αm=floor(1/r m-1)

6. r m=(1/r m-1) – αm

7. m=m+1

8. τέλος_όσο

9.9.6 Εύρεση της περιόδου r

[NaOh08, σελ.152-156][Ραµπ04, σελ.48-51][Bel06, σελ.97-99][Lom2000][McAn02]

[LoWo06, σελ.235][NiCh2000, σελ.636-638]

Υπολογίζουµε (µε τον αλγόριθµο της συνεχόµενης επέκτασης κλάσµατος) το

διάνυσµα α του αριθµού y/Q, όπου

y η τιµή που µετρήσαµε από τον καταχωρητή Reg1 και

Q o ακέραιος, δύναµη του 2, τέτοιος ώστε n2 ≤ Q ≤ 2n2.

Έχοντας το διάνυσµα α του αριθµού y/Q, η περίοδος υπολογίζεται µε τον παρακάτω

αλγόριθµο.

214

Είσοδος: y, Q και διάνυσµα α = [α0, α1, α2, … , αm]

(της συνεχόµενης επέκτασης κλάσµατος του αριθµού y/Q)

Έξοδος r: περίοδος

1. p 0 = α0 και q 0 = 1

2. p 1 = α1·p 0 + 1 και q 1 = α1·q 0

3. για j = 2 µέχρι m ( µε βήµα 1)

4. p j = αj ·p j-1 + p j-2

5. q j = αj ·q j-1 + q j-2

6. τέλος_για

7. j = 0

8. done=false

9. όσο ((j < m) και (done=false))

10. if (|p j /q j – y/Q| <= 1 / (2·Q))

11. done=true

12. k=j

13. τέλος_αν

14. j=j+1

15. τέλος_όσο

16. r = q k

215


1. Θέλουµε τον µικρότερο αριθµό k για τον οποίο ισχύει η συνθήκη (|pj /qj – y/Q|

<= 1 / (2Q)). Αυτός ο αριθµός k είναι µοναδικός. Η περίοδος είναι ο αριθµός

qk.

2. Ο αλγόριθµος δεν επιστρέφει πάντα τη σωστή τιµή της περιόδου. Η σωστή

τιµή προκύπτει µόνο για συγκεκριµένες τιµές y.

3. Επειδή y < Q, το α0 είναι πάντα µηδέν.

4. Όλα τα κλάσµατα pj /qj, από j=1 έως m είναι ανάγωγα (δεν απλοποιούνται

παραπάνω)

Παράδειγµα: n = 1747 = 799, α = 7, Q = 220 = 1048576, µέτρηση από καταχωρητή

Reg1 δίνει τιµή y = 8548.

Αλγόριθµος συνεχόµενης επέκτασης κλάσµατος για τον αριθµό

10485768548= Q

y

m=0 m=1 m=2 m=3 m=4 m=5 m=6

Α 0 122 1 2 44 5 3

R 10485768548 8548

5720 57202828 2828

64 6412 12

4 0

το διάνυσµα α του αριθµού y/Q είναι α = [0, 122, 1, 2, 44, 5, 3]

Αλγόριθµος εύρεσης περιόδου

j=0 j=1 j=2 j=3

p 0 1 1 3

q 1 122 123 368

|pj /qj – y/Q| 8.15·10-3 4.47·10-5 2.19·10-5 1.65·10-7

(|pj /qj – y/Q|<=1/(2Q)) false false false true

216


1. k=3, άρα η περίοδος είναι r = qk = q3 = 368

2. Στη συγκεκριµένη περίπτωση, η περίοδος που µας επέστρεψε ο αλγόριθµος

είναι σωστή. Αυτό θα διαπιστωθεί όταν υπολογιστούν οι ΜΚ∆(a r/2 – 1, n) και

ΜΚ∆(a r/2 + 1, n) και προκύψουν οι παράγοντες του n. Πράγµατι,

ΜΚ∆(a r/2 – 1, n)= ΜΚ∆( 7368/2 – 1, 799)= 47 και

ΜΚ∆(a r/2 + 1, n)= ΜΚ∆(7 368/2 + 1, 799)= 17,

δηλαδή 799 = 47 x 17.

3. Το όριο είναι 1 / (2Q)= 4.7610-7

4. Όπως φαίνεται και από το παράδειγµα µπορούµε να ελέγχουµε ταυτόχρονα τη

συνθήκη και να βρούµε την περίοδο χωρίς να έχουµε υπολογίσει νωρίτερα όλα

τα pj και qj από j=0 έως m=6.

Συµπέρασµα:

Ο αλγόριθµος εύρεσης περιόδου δεν επιστρέφει πάντα τη σωστή περίοδο. Η τιµή y

που µετράµε από τον καταχωρητή Reg1 καθορίζει εάν θα βρούµε τη σωστή περίοδο.

Εποµένως ίσως χρειαστεί να επαναλάβουµε τον κβαντικό αλγόριθµο µερικές φορές

(για να µετρήσουµε άλλες τιµές από τον Reg1).

217

Μία προσεγγιστική µέθοδος [Shor] [Shor96] για τον υπολογισµό της περιόδου είναι η

εξής:

1. Μετατρέπουµε σε ανάγωγο κλάσµα τον αριθµό y/Q, όπου y η τιµή που µετρήσαµε

από τον καταχωρητή Reg1 και Q o ακέραιος, δύναµη του 2, τέτοιος ώστε n2 ≤ Q ≤ 2n2.

2. Ο παρονοµαστής r΄ του ανάγωγου κλάσµατος είναι υποψήφια τιµή της περιόδου r.

3. Υπολόγισε την τιµή α x (mod n). Αν ισούται µε 1 (ένα), τότε η r΄ είναι η ζητούµενη

περίοδος. Τέλος µεθόδου.

4. ∆ιαφορετικά δοκίµασε τιµές κοντά στο r΄ ή πολλαπλάσια του r΄ (ως υποψήφιες

τιµές). Αν κάποια υποψήφια τιµή αποδειχτεί ότι είναι η περίοδος, τότε τέλος µεθόδου.

5. ∆ιαφορετικά, επέστρεψε στο βήµα 1 του κβαντικού µέρους του αλγορίθµου.

Στο προηγούµενο παράδειγµα 1221

10485768548

Qy

== , r΄ = 122, 3r΄ = 366. Η πραγµατική

περίοδος είναι κοντά (+2 µονάδες), r = 368. Επαναλαµβάνουµε ότι η µέθοδος είναι

προσεγγιστική και βασίζεται στη δοκιµή και λάθος (trial and error).

218

9.10 Παραλλαγή No2 του κβαντικού αλγορίθµου του Shor

Στο [McAn02] αναφέρεται µία παραλλαγή του αλγορίθµου του Shor.

Με αυτήν την παραλλαγή, η πιθανότητα να βρούµε την περίοδο

1. µετά από το πολύ 2 επαναλήψεις είναι µεγαλύτερη του 60%

2. µετά από το πολύ 4 επαναλήψεις είναι µεγαλύτερη του 90%

3. µετά από το πολύ 8 επαναλήψεις είναι µεγαλύτερη του 99.5%

Ωστόσο, έχει τα εξής µειονεκτήµατα:

1. απαιτεί περισσότερο χρόνο ανά επανάληψη

2. απαιτεί περισσότερα qubits. Ο κβαντικός καταχωρητής Reg1 πρέπει να έχει µέγεθος

µεγαλύτερο από n3.

Με δεδοµένη την πολύ µεγάλη δυσκολία που υπάρχει στην κατασκευή κβαντικών

καταχωρητών µε πολλά qubits, ο παραπάνω αλγόριθµος µάλλον θα παραµείνει σε

θεωρητικό επίπεδο.

219

9.11 Παράδειγµα 1ο [Καρ05]

Οι κβαντικοί υπολογισµοί που γίνονται κατά την εκτέλεση του κβαντικού αλγορίθµου

του Shor έχουν ως αποτέλεσµα όχι µόνο τη µεταβολή των πλατών πιθανότητας των

καταστάσεων των Reg1 και Reg2, αλλά και τη µεταβολή των φάσεων τους. Θα

προσπαθήσουµε να ερµηνεύσουµε τον κβαντικό αλγόριθµο του Shor περιγράφοντας

κυρίως τις µεταβολές των φάσεων και χρησιµοποιώντας ένα παράδειγµα. Αντί για την

fn,a(x) =α x (mod n) θα υπολογίσουµε την περίοδο µιας τριγωνοµετρικής συνάρτησης

που είναι πιο κατάλληλη ως παράδειγµα.

Να βρεθεί η περίοδος της συνάρτησης f(x) = cos(π x) + 1.

Όπου x = 0, 1, 2, 3, ... , Q – 1.

Στο 1° βήµα επιλέγεται τυχαία ένας αριθµός Q. Ο αριθµός αυτός πρέπει να είναι

αρκετά µεγάλος, ώστε η f(x) να κάνει τουλάχιστον δύο περιόδους. Για το

συγκεκριµένο παράδειγµα επιλέγεται Q=8.

Το 2° βήµα δεν χρειάζεται για τη συνάρτηση του παραδείγµατος.

Στο 3° βήµα επιλέγεται το µέγεθος του κβαντικού καταχωρητή Reg που αποτελείται

από δύο κβαντικούς καταχωρητές, τους Reg1 και Reg2. Ο καταχωρητής Reg1 θα

κρατά τις τιµές του x, οπότε χρειάζονται log2(Q) = log2(8) = 3 qubits. Ο Reg2 θα

κρατά τις τιµές της συνάρτησης η οποία παίρνει µόνο τις τιµές 0 και 2, οπότε θα

πρέπει να αποτελείται από 2 qubits. Για παράδειγµα, αν το x πάρει την τιµή 5, τότε f(x)

= 0, οπότε η κατάσταση του Reg είναι η: 00 ,101)( , =xfx ή 0 ,5)( , =xfx σε

δεκαδική αναπαράσταση.

Στο 4° βήµα ο Reg1 οδηγείται σε κατάσταση υπέρθεσης όλων των βασικών

καταστάσεων από 0 έως Q – 1. Καµία δράση στον Reg2. Μετά από αυτό, η

κατάσταση του Reg είναι:

( )0 ,70 ,60 ,50 ,40 ,30 ,20 ,10 ,08

10 ,

8

1 7

0

+++++++== ∑=x

xψ

(9.25)

220

Στο 5° βήµα µε χρήση της κβαντικής παραλληλίας υπολογίζονται οι τιµές της f(x) =

cos(π x) + 1 για όλους τους ακέραιους x από 0 έως 7 και τα αποτελέσµατα καταγρά-

φονται στον Reg2, ο οποίος κρατά πλέον την υπέρθεση όλων των τιµών της f(x). Οι

Reg1 και Reg2 βρίσκονται πλέον σε κβαντική διεµπλοκή. Τώρα η κατάσταση του Reg

δίνεται από:

( ))7( ,7...)3( ,3)2( ,2)1( ,1)0( ,08

1)( ,

8

1 7

0

fffffxfxx

+++++== ∑=

ψ

(9.26)

Στο 6° βήµα µετράται η κατάσταση του Reg2. Έστω ότι η µέτρηση έδωσε την τιµή 2.

∆ηλαδή, µετά τη µέτρηση ο Reg2 βρίσκεται στην κατάσταση 2 . Η µέτρηση της

κατάστασης του Reg2 καθορίζει την κατάσταση του Reg1. Εξαιτίας της κβαντικής


f(x) = 2. Οι αριθµοί αυτοί συµβολίζονται µε x΄ και αποτελούν ένα σύνολο Α = 0, 2, 4,

6. Μετά από αυτό η κατάσταση του Reg είναι:

( )2 ,62 ,42 ,22 ,02

1)( ,

2

1

+++== ∑Α∈x΄

x΄fx΄ψ (9.27)

Στο 7° βήµα ο κβαντικός µετασχηµατισµός Fourier δρα στον Reg1, ενώ το περιεχό-

µενο του Reg2 παραµένει αµετάβλητο. Μετά από αυτό η κατάσταση του Reg δίνεται

από:

( )

( )

( )

( )2 ,72 ,62 ,52 ,42 ,32 ,22 ,12 ,032

1

2 ,72 ,62 ,52 ,42 ,32 ,22 ,12 ,032

1

2 ,72 ,62 ,52 ,42 ,32 ,22 ,12 ,032

1

2 ,72 ,62 ,52 ,42 ,32 ,22 ,12 ,032

1

2 ,8

1

2

1

2 21 92 15 62 9 32 3

7 6 5 4 3 2

2 7 32 5 22 3 2

7

0

8

2

iiiiiii

iiiiiii

iiiiiii

x΄ c

cx΄i

eeeeeee

eeeeeee

eeeeeee

ce

πππππππ

πππππππ

πππππππ

πψ

+++++++

++++++++

++++++++

++++++++

== ∑ ∑Α∈ =

(9.28)

221

Ας προσπαθήσουµε να ερµηνεύσουµε την (9.28). Στον Πίνακα 9.1 φαίνονται οι φάσεις

των πλατών πιθανότητας των καταστάσεων που δίνονται από την (9.28). Αν δηλαδή

το πλάτος πιθανότητας είναι eiθ, στον πίνακα φαίνεται η τιµή θ. Στον Πίνακα 9.2

φαίνονται οι γωνίες των αντίστοιχων φάσεων ως διανύσµατα.

Πίνακας 9.1 Οι φάσεις των πλατών πιθανότητας των καταστάσεων της (9.28)

2 ,0 2 ,1 2 ,2 2 ,3 2 ,4 2 ,5 2 ,6 2 ,7

0=x΄ 0 0 0 0 0 0 0 0

2=x΄ 0 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π 7π/2

4=x΄ 0 π 2π 3π 4π 5π 6π 7π

6=x΄ 0 3π/2 3π 9π/2 6π 15π/2 9π 21π/2

Πίνακας 9.2 Οι γωνίες των αντίστοιχων φάσεων του πίνακα 9.1

2 ,0

2 ,1

2 ,2

2 ,3 2 ,4

2 ,5

2 ,6

2 ,7

0=x΄ → → → → → → → →

2=x΄ → ↑ ← ↓ → ↑ ← ↓

4=x΄ → ← → ← → ← → ←

6=x΄ → ↓ ← ↑ → ↓ ← ↑

Από τους Πίνακες 9.1 και 9.2 είναι φανερό ότι οι φάσεις των πλατών πιθανότητας των

καταστάσεων 2 ,1 , 2 ,2 , 2 ,3 , 2 ,5 , 2 ,6 και 2 ,7 συµβάλλουν καταστροφικά,

ενώ οι φάσεις των πλατών πιθανότητας των καταστάσεων 2 ,0 και

2 ,4 συµβάλλουν δηµιουργικά.

222

Έτσι, µετά τη δράση του κβαντικού µετασχηµατισµού Fourier, που προκαλεί τις παρα-

πάνω καταστροφικές και δηµιουργικές συµβολές, στον Reg υπάρχουν µόνο οι

καταστάσεις 2 ,0 και 2 ,4 . Εποµένως η κατάσταση του Reg είναι:

( ) 2 ,4 32

4 2 ,0

32

42 ,4 1

32

1 2 ,0

32

4 i π6i π4i π2 +=++++= eeeψ

(9.29)

Στο 8° βήµα µετράται η κατάσταση του Reg1. To αποτέλεσµα της µέτρησης µπορεί να

είναι 0 ή 4.

Επαναλαµβάνοντας log2(Q)=log2(8)=3 φορές τα βήµατα 3 έως και 8, είναι σχεδόν

βέβαιο ότι θα µετρηθούν και οι δύο αυτές τιµές οι οποίες είναι πολλαπλάσια του 1/r.

Στο 9° βήµα υπολογίζεται η περίοδος της συνάρτησης.

Ο Μέγιστος Κοινός ∆ιαιρέτης (ΜΚ∆) των δειγµάτων, G, είναι G = ΜΚ∆(0,4)=4

Η ζητούµενη περίοδος r είναι η τιµή Q/G=8/4=2.

Με τον τρόπο αυτό υπολογίστηκε ότι η περίοδος της f(x) = cos(π x)+1 µε x = 0, 1,

2, ..., Q – 1, είναι ίση µε 2.

223

9.12 Παράδειγµα 2ο [Sten05, σελ. 164-167]

Θα παραγοντοποιήσουµε τον αριθµό n=15.

Λύση: Θα βρούµε την περίοδο της συνάρτησης f15,a(x) =αx (mod 15), όπου x = 0, 1, 2,

3 ,... , Q – 1.

Στο 1° βήµα επιλέγεται τυχαία ένας αριθµός Q. Ο αριθµός αυτός πρέπει να είναι

αρκετά µεγάλος, ώστε η f(x) να κάνει τουλάχιστον δύο περιόδους. Για το

συγκεκριµένο παράδειγµα επιλέγεται Q=16.

Σηµείωση: Κανονικά έπρεπε ο Q να είναι δύναµη του 2 µεταξύ [n2 , 2n2], δηλαδή

µεταξύ 225 και 450. Η µόνη δύναµη του 2 σε αυτό το διάστηµα είναι η 28=256.

Ωστόσο για το συγκεκριµένο παράδειγµα η τιµή Q=16 αρκεί ώστε η f(x) να κάνει

τουλάχιστον δύο περιόδους.

Στο 2° βήµα επιλέγεται ο αριθµός α = 7. Ισχύει ΜΚ∆(7,15)=1.

Στο 3° βήµα επιλέγεται το µέγεθος του κβαντικού καταχωρητή Reg που αποτελείται

από δύο κβαντικούς καταχωρητές, τους Reg1 και Reg2. Ο καταχωρητής Reg1 θα

κρατά τις τιµές του x, οπότε χρειάζονται log2(Q) = log2(16) = 4 qubits. Ο Reg2 θα

κρατά τις τιµές της συνάρτησης, οπότε θα πρέπει να αποτελείται από ceil(log2(n)) =

ceil(log2(15)) = ceil(3.9) = 4 qubits.

Για παράδειγµα, αν το x πάρει την τιµή 2, τότε f(x) = 4, οπότε η κατάσταση του Reg

είναι η: 1000 ,0010)( , =xfx ή 4 ,2)( , =xfx σε δεκαδική αναπαράσταση.

Στο 4° βήµα ο Reg1 οδηγείται σε κατάσταση υπέρθεσης όλων των βασικών

καταστάσεων από 0 έως Q – 1. Καµία δράση στον Reg2. Μετά από αυτό, η

κατάσταση του Reg είναι:

+++++++

++++++++== ∑

= 0 ,150 ,140 ,130 ,120 ,110 ,100 ,90 ,8

0 ,70 ,60 ,50 ,40 ,30 ,20 ,10 ,0

4

10 ,

16

1 15

0x

xψ

(9.32)

224

Στο 5° βήµα µε χρήση ενός κβαντικού κυκλώµατος για υπολογισµό συνάρτησης

υπολογίζονται οι τιµές της f15,7(x) =7 x(mod 15) για όλους τους ακέραιους x από 0 έως

15 και τα αποτελέσµατα καταγράφονται στον Reg2, ο οποίος κρατά πλέον την

υπέρθεση όλων των τιµών της f(x). Οι Reg1 και Reg2 βρίσκονται πλέον σε κβαντική

διεµπλοκή. Τώρα η κατάσταση του Reg δίνεται από:

( )

+++++++

++++++++

=+++++== ∑=

13 ,154 ,147 ,131 ,1213 ,114 ,107 ,91 ,8

13 ,74 ,67 ,51 ,413 ,34 ,27 ,11 ,0

41

)15( ,15...)3( ,3)2( ,2)1( ,1)0( ,04

1)( ,

16

1 15

0

fffffxfxx

ψ

(9.33)

Στο 6° βήµα µετράται η κατάσταση του Reg2. Έστω ότι η µέτρηση έδωσε την τιµή 1.

∆ηλαδή, µετά τη µέτρηση ο Reg2 βρίσκεται στην κατάσταση 1 . Η µέτρηση της

κατάστασης του Reg2 καθορίζει την κατάσταση του Reg1. Εξαιτίας της κβαντικής


f(x) = 1. Οι αριθµοί αυτοί συµβολίζονται µε x΄ και αποτελούν ένα σύνολο Α = 0, 4, 8,

12. Μετά από αυτό η κατάσταση του Reg είναι:

( )1 ,121 ,81 ,41 ,02

1)( ,

4

1

+++== ∑Α∈x΄

x΄fx΄ψ (9.34)

Στο 7° βήµα ο κβαντικός µετασχηµατισµός Fourier δρα στον Reg1, ενώ το περιεχό-

µενο του Reg2 παραµένει αµετάβλητο. Μετά από αυτό η κατάσταση του Reg δίνεται

από:

( )

( )

( )

( )1 ,151 ,141 ,131 ,12...1 ,41 ,31 ,21 ,11 ,081

1 ,151 ,141 ,131 ,12...1 ,41 ,31 ,21 ,11 ,08

1

1 ,151 ,141 ,131 ,12...1 ,41 ,31 ,21 ,11 ,08

1

1 ,151 ,141 ,131 ,12...1 ,41 ,31 ,21 ,11 ,081

1 ,16

1

4

1

2 45 212 39 18 62 9 32 3

15 14 13 12 4 3 2

2 7 72 13 6 22 3 2

15

0

16

2

iiiiiiii

iiiiiiii

iiiiiiii

x΄ c

cx΄i

eeeeeeee

eeeeeeee

eeeeeeee

ce

ππππππππ

ππππππππ

ππππππππ

πψ

+++++++++

++++++++++

++++++++++

++++++++++

== ∑ ∑Α∈ =

(9.35)

225

Ας προσπαθήσουµε να ερµηνεύσουµε την (9.35). Στον Πίνακα 9.3 φαίνονται οι φάσεις

των πλατών πιθανότητας των καταστάσεων που δίνονται από την (9.35). Αν δηλαδή

το πλάτος πιθανότητας είναι e iθ, στον πίνακα φαίνεται η τιµή θ. Στον Πίνακα 9.4

φαίνονται οι γωνίες των αντίστοιχων φάσεων ως διανύσµατα.

Πίνακας 9.3 Οι φάσεις των πλατών πιθανότητας των καταστάσεων της (9.35)

Πίνακας 9.4 Οι γωνίες των αντίστοιχων φάσεων του πίνακα 9.3

Από τους Πίνακες 9.3 και 9.4 είναι φανερό ότι οι φάσεις των πλατών πιθανότητας των

καταστάσεων 1 ,1 , 1 ,2 , 1 ,3 , 1 ,5 , 1 ,6 , 1 ,7 , 1 ,9 , 2 ,10 , 1 ,11 , 1 ,13 ,

1 ,14 και 1 ,15 συµβάλλουν καταστροφικά, ενώ οι φάσεις των πλατών πιθανότητας

των καταστάσεων 1 ,0 , 1 ,4 , 1 ,8 και 1 ,12 συµβάλλουν δηµιουργικά.

1 ,0 1 ,1 1 ,2 1 ,3 1 ,4 1 ,5 1 ,6 1 ,7 1 ,8 1 ,9 1 ,10 1 ,11 1 ,12 1 ,13 1 ,14 1 ,15

x’=0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

x’=4 0 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π 7π/2 4π 9π/2 5π 11π/2 6π 13π/2 7π 15π/2

x’=8 0 π 2π 3π 4π 5π 6π 7π 8π 9π 10π 11π 12π 13π 14π 15π

x’=12 0 3π/2 3π 9π/2 6π 15π/2 9π 21π/2 12π 27π/2 15π 33π/2 18π 39π/2 21π 45π/2

1 ,0 1 ,1 1 ,2 1 ,3 1 ,4 1 ,5 1 ,6 1 ,7 1 ,8 1 ,9 1 ,10 1 ,11 1 ,12 1 ,13 1 ,14 1 ,15

x’=0 → → → → → → → → → → → → → → → →

x’=4 → ↑ ← ↓ → ↑ ← ↓ → ↑ ← ↓ → ↑ ← ↓

x’=8 → ← → ← → ← → ← → ← → ← → ← → ←

x’=12 → ↓ ← ↑ → ↓ ← ↑ → ↓ ← ↑ → ↓ ← ↑

226

Έτσι, µετά τη δράση του κβαντικού µετασχηµατισµού Fourier, που προκαλεί τις παρα-

πάνω καταστροφικές και δηµιουργικές συµβολές, στον Reg υπάρχουν µόνο οι

καταστάσεις 1 ,0 , 1 ,4 , 1 ,8 και 1 ,12 . Εποµένως η κατάσταση του Reg είναι:

( ) ( )

( ) ( )

1 ,12 21

1 ,8 21

1 ,4 21

1 ,0 21

1 ,12 81

1 ,8 181

1 ,4 81

1 ,0 81

i π18i π12i π60i π12i π8i π4

i π6i π4i π200000

+++=

=++++++++

+++++++=

eeeeeee

eeeeeeeeψ

(9.36)

Στο 8° βήµα µετράται η κατάσταση του Reg1. To αποτέλεσµα της µέτρησης µπορεί

να είναι 0, 4, 8 ή 12.

Επαναλαµβάνοντας log2(Q)=log2(16)=4 φορές τα βήµατα 3 έως και 8 (κανονικά θα

επαναλαµβάνονταν log2(Q)=log2(256)=8 φορές), θα µετρηθούν και οι τέσσερις αυτές

τιµές οι οποίες είναι πολλαπλάσια του 1/r.

Στο 9° βήµα υπολογίζεται η περίοδος της συνάρτησης.

Ο Μέγιστος Κοινός ∆ιαιρέτης (ΜΚ∆) των δειγµάτων, G, είναι G = ΜΚ∆(0,4,8,12)=4

Η ζητούµενη περίοδος r είναι η τιµή Q/G=16/4=4.

ΜΚ∆(a r/2 – 1, n)= ΜΚ∆(7 4/2 – 1, 15)= ΜΚ∆(48, 15)=3

ΜΚ∆(a r/2 + 1, n)= ΜΚ∆(7 4/2 + 1, 15)= ΜΚ∆(50, 15)=5

δηλαδή 15 = 3 x 5.

227



[Παπ07] Παπαρρίζος Κωνσταντίνος (2007). Ανάλυση και Σχεδίαση Αλγορίθµων,

Θεσσαλονίκη, Κεφάλαιο 5 [ΠΧΛ04] Πάνος Χρήστος, Χατζησάββας Κωνσταντίνος και Λαλαζήσης Γιώργος






[BEH08] Bhalla Arun, Eguro Kenneth and Hayward Matthew (2008). Quantum

Computing, Shor's Algorithm, and Parallelism, April 26, 2008, from IMSA - Illinois Mathematics and Science Academy (http://alumni.imsa.edu/~matth/quant/433/shor-par.pdf)





[CKL08] Chen Goong, Kauffman Louis and Lomonaco J. Samuel (2008).

Mathematics of Quantum Computation and Quantum Technology, Chapman and Hall, CRC Press, Taylor and Francis Group.


2007-2008) University of Cambridge, Lecture 1, 5 και 7 (http://www.cl.cam.ac.uk/Teaching/0708/QuantComp/)


Algorithms, Chapter 10 - Quantum algorithms.

228

[Hay08] Hayward Matthew (2008). Quantum Computing and Shor's Algorithm, April 26, 2008, from IMSA - Illinois Mathematics and Science Academy (http://alumni.imsa.edu/~matth/quant/299/paper.pdf)

[HiHa06] Hiroshima Tohya and Hayashi Masahito, “Entanglement and Quantum

Error Correction” in Quantum Computation and Information, Topics Applied Physics, Vol. 102, pp.111–132

[John03] Johnson George (2003). A shortcut through time – The Path to the

Quantum Computer, NewYork: Knopf [Kar03] Karafyllidis I. (2003). “Visualization of the quantum Fourier transform

using a quantum computer simulator”, Quantum Information Processing, Vol. 2, No 4, August 2003, pp. 271-288.

[Lom2000] Lomonaco Samuel (2000). ‘Lecture on Shor’s Quantum Factoring

Algorithm Version 1.1’, October 9, 2000 (http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/0010034v1)


From Classical Error Correction to Quantum Cryptography, Cambridge University Press.

[McAn02] McAnally David (2002). ‘A Refinement of Shor’s Algorithm’, April 17,

2002 (http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/0112055v4) [NaOh08] Nakahara Mikio and Ohmi Tetsuo (2008). Quantum Computing: From



and Quantum Information, Cambridge University Press. [Pol84] Polkinghorne J. C. (1984). The Quantum World, Addison Wesley




[Shor] Shor's algorithm - Wikipedia, the free encyclopedia,

http://en.wikipedia.org [Shor96] Shor W. Peter (1996). ‘Polynomial-Time Algorithms for Prime

Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer’, January 25, 1996 (http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/9508027v2)

229

[Sten05] Stenholm Stig and Suominen Kalle-Antti (2005). Quantum Approach to Informatics, New Jersey: Wiley -Interscience

[Vol01] Volovich I. (2001). ‘Quantum Computing and Shor’s Factoring

Algorithm’, September 2, 2001 (http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/0109004v1)

[Wat06] Watrous John (2006). Quantum Computation, (Lectures), University of

Calgary, Lecture 9, 10, 11 (http://www.cs.uwaterloo.ca/~watrous/lecture-notes/519/all.pdf)







[Yan04] Yan Y. Song (2004). Primality Testing and Integer Factorization in

Public-Key Cryptography, Kluwer Academic Publishers. pp. 167-170 ( Quantum Factoring Algorithm)

230

Κεφάλαιο 10

Κβαντικοί υπολογιστές

10.1 Εισαγωγή – Ιστορικά στοιχεία

Το 1943 κατά τη διάρκεια του Β’ Παγκοσµίου Πολέµου, κατασκευάστηκε στην

Μεγάλη Βρετανία ο Colossus, ο πρώτος υπολογιστής µε ηλεκτρικά κυκλώµατα. Είχε

σχεδιαστεί για να αποκρυπτογραφεί τα κωδικοποιηµένα µηνύµατα της µηχανής

«Αίνιγµα» των Γερµανών και λειτουργούσε µε λυχνίες κενού. Όµως ήταν

περιορισµένων δυνατοτήτων και δεν µπορούσε να εκτελέσει καµία άλλη εργασία

εκτός από την επίλυση προβληµάτων αποκωδικοποίησης.

Το 1944 η I.B.M. παρουσίασε τον πρώτο υπολογιστή σε πλήρη ανάπτυξη, τον Harvard

Mark I, ο οποίος χρησιµοποιούσε ασφαλοδιακόπτες που ήταν πιο αξιόπιστοι από τις

λυχνίες κενού.

Ο πρώτος ηλεκτρονικός αριθµητικός υπολογιστής, ο ENIAC, κατασκευάστηκε το

1945 στην Αµερική και χρησιµοποιούσε λυχνίες για την υλοποίηση των λογικών

κυκλωµάτων του. Μπορούσε να εκτελεί 5.000 πράξεις το δευτερόλεπτο µε

πενταψήφιους αριθµούς, να λύνει κάποια απλά προβλήµατα και ήταν 1.000 φορές

ταχύτερος από τον προηγούµενο (ηλεκτροµηχανικό) Harvard Mark I, αλλά είχε πολύ

µικρή µνήµη για να είναι δυνατόν να αποθηκεύσει προγράµµατα.

Ακολούθησαν, πρώτα το 1948 ο Manchester Mark I, ο πρώτος υπολογιστής ο οποίος

µπορούσε πλέον να «τρέξει» κανονικά ένα πρόγραµµα (Μεγάλη Βρετανία) και

κατόπιν ο UNIVAC I που παρουσιάσθηκε το 1951. Αυτός ήταν 10 φορές ταχύτερος

από τον ENIAC και είχε 100 φορές µεγαλύτερη µνήµη. Όµως όλοι αυτοί οι

υπολογιστές πρώτης γενιάς, εξ’ αιτίας των λυχνιών κενού, ήταν τεραστίων

διαστάσεων, µικρής υπολογιστικής ισχύος, είχαν προβλήµατα υπερθέρµανσης και

ήταν πολύ ακριβοί.

231

Η κρίσιµη εφεύρεση που έδωσε την λύση στα προβλήµατα της υπολογιστικής ισχύος,

χώρου, κόστους και υπερθέρµανσης ήταν το τρανζίστορ (1948). Από το 1956 που

εµφανίστηκε ο πρώτος υπολογιστής µε τρανζίστορ και µετά, το µέγεθος των

υπολογιστών άρχισε να µειώνεται ραγδαία και παράλληλα αυξήθηκε αντίστοιχα η

υπολογιστική ισχύς. Το 1965 ο Gordon Moore, ένας από τους ιδρυτές της εταιρείας

Intel, έκανε µια εµπειρική παρατήρηση η οποία έκτοτε έγινε γνωστή ως «Νόµος του

Moore».

Παρατήρησε ότι η πυκνότητα των τρανζίστορ σε ολοκληρωµένα κυκλώµατα, άρα και

η ισχύς των υπολογιστών, διπλασιάζεται κάθε 18-24 µήνες. Μέχρι σήµερα η

πρόβλεψη αυτή αποδείχθηκε ακριβής όπως φαίνεται από το παρακάτω διάγραµµα της

Intel.

Εξαιτίας της αλµατώδους ανάπτυξης της νανοτεχνολογίας, ο Νόµος του Moore

µάλλον θα εξακολουθήσει να ισχύει τουλάχιστον και για τη δεκαετία του 2000. Ήδη

έχουν κατασκευαστεί µοριακοί διακόπτες πολλαπλής χρήσης. Αυτό σηµαίνει ότι αν

στο εγγύς µέλλον οι διαστάσεις των λογικών πυλών είναι πλέον της τάξεως

υποατοµικών σωµατιδίων, τα κβαντικά φαινόµενα όχι µόνο δεν θα είναι αµελητέα

αλλά αντίθετα θα είναι ιδιαίτερα κρίσιµα. [Κων07, σελ.35]

232

Το ∆εκέµβριο του 1959 o µεγάλος αµερικανός φυσικός Richard Feynman (Βραβείο

Nobel Φυσικής το 1965) έδωσε µια οµιλία στο Ινστιτούτο Τεχνολογίας της

Καλιφόρνιας (Caltech) µε τίτλο "There is plenty of room at the bottom". O βυθός του

Feynman είναι ουσιαστικά οι ελάχιστες διαστάσεις, και περιγράφει πώς ο άνθρωπος

θα χειριστεί την ύλη στο µικροσκοπικό επίπεδο εγκαταλείποντας το µακροσκοπικό.

Ο Feynman αναφέρθηκε σε ένα εντυπωσιακό παράδειγµα, για το πώς θα µπορούσαν

να χωρέσουν στην κορυφή µιας καρφίτσας τα 24 εκατοµµύρια τόµων των 3

µεγαλύτερων βιβλιοθηκών του κόσµου, αν ο άνθρωπος κατακτούσε την τεχνογνωσία

και µπορούσε να χρησιµοποιήσει σαν µονάδα αποθήκευσης της πληροφορίας (bit) ένα

κύβο ύλης µε πλευρά 5 ατόµων (δηλαδή 125 άτοµα).

Όπως εύστοχα επισήµανε o Feynman αυτό το άλµα προς τις µικρότερες διαστάσεις,

που το 1959 φάνταζε σαν καθαρή επιστηµονική φαντασία, δεν το απαγόρευε κανένας

γνωστός φυσικός νόµος. Αξίζει να αναφέρουµε ότι το 1960 ο αριθµός ατόµων που

αντιπροσώπευαν το 1 bit στα υπολογιστικά συστήµατα της εποχής ήταν της τάξης του

1016, ενώ σήµερα είναι περίπου 8 τάξεις µεγέθους χαµηλότερα. Βέβαια βρισκόµαστε

ακόµα πολύ µακριά από το παράδειγµα των 125 ατόµων ή το βέλτιστο του 1 ατόµου

(το να µπορέσουµε να αποθηκεύουµε 1 bit πληροφορίας σε 1 άτοµο).

Η πρόταση του Feynman για ελάττωση της τάξης µεγέθους είχε άµεση σχέση µε την

επιστήµη των υπολογιστών. Οι υπολογιστές της δεκαετίας του '60 ήταν ακόµα πολύ

κοντά στο πρότυπο του ENIAC. Τεράστιοι σε όγκο, ενεργοβόροι, πανάκριβοι,

ελάχιστοι σε αριθµό και µε περιορισµένες δυνατότητες και εφαρµογές. Το άλµα από

τις καθοδικές λυχνίες στα τρανσίστορς και τα ολοκληρωµένα κυκλώµατα, το πέρασµα

σε συνεχώς µικρότερες διαστάσεις, η αυτοµατοποίηση στην κατασκευή , οδήγησε την

επανάσταση των υπολογιστών στο σηµείο που βρίσκεται σήµερα. Ένας απλός

προσωπικός υπολογιστής καταλαµβάνει µια γωνία ενός γραφείου, καταναλώνει πολύ

λιγότερο από µια κοινή οικιακή συσκευή, είναι προσιτός σε όλους και το βασικότερο,

έχει δυνατότητες που ξεπερνούν και τις πιο ευοίωνες προβλέψεις της περασµένης

δεκαετίας. Πόσο µάλλον τις προβλέψεις της δεκαετίας του '60.

233

Στην οµιλία του o Feynman επεκτάθηκε και σε θέµατα όπως o χειρισµός και η

µηχανική σε µοριακό επίπεδο, ως άµεση συνέπεια της δυνατότητας να χειριζόµαστε

την ύλη σε ατοµικό επίπεδο. Παρατήρησε βέβαια πως o χειρισµός στο ατοµικό

επίπεδο προϋποθέτει τη χρήση της κβαντικής φυσικής από τη στιγµή που αυτή είναι η

κυρίαρχη θεωρία στα φαινόµενα του µικροκόσµου. Σήµερα µετά από 47 χρόνια η

οµιλία αυτή θεωρείται ως η πρώτη παρουσίαση της νανοτεχνολογίας και των

κβαντικών υπολογιστών.

Το Μάιο του 1981 το Τεχνολογικό Ινστιτούτο της Μασαχουσέτης (ΜΙΤ) οργάνωσε

συνέδριο µε θέµα τη φυσική στην επιστήµη των υπολογιστών. Στην κεντρική οµιλία

του συνεδρίου o Feynman αναφέρθηκε σε άλλο ένα άκρως ενδιαφέρον ζήτηµα. Την

προσοµοίωση της φυσικής από υπολογιστές. Υπογράµµισε την ενδογενή αδυναµία

των κλασικών υπολογιστών (βασισµένων στο µοντέλο της µηχανής Turing) να

εξοµοιώσουν πλήρως τις φυσικές διαδικασίες και ειδικότερα τα κβαντικά φαινόµενα.

[Χατζ06, σελ.5-6]

Παρατήρησε ότι είναι αδύνατο να περιγραφεί η εξέλιξη ενός Κβαντοµηχανικού

συστήµατος µέσω ενός κλασικού υπολογιστή, άρα θα πρέπει να κατασκευαστεί µια

καινούρια συσκευή στη οποία αυτό θα είναι εφικτό.

Η συσκευή αυτή η οποία θα εκτελεί υπολογισµούς και λογικές πράξεις λαµβάνοντας

υπόψη τα κβαντοµηχανικά φαινόµενα ονοµάστηκε Κβαντικός Υπολογιστής. Η βασική

αρχή λειτουργίας αυτής της συσκευής θα είναι η χρήση των κβαντικών ιδιοτήτων των

σωµατιδίων, για την αναπαράσταση, την αποθήκευση και τη διαχείριση δεδοµένων.

Φυσικά η επεξεργασία των δεδοµένων αυτών θα πρέπει να γίνεται βάσει κανόνων οι

οποίοι θα υπακούουν στους νόµους της κβαντοµηχανικής.

Τη δεκαετία του 1980 και συγκεκριµένα το 1985, περιγράφθηκε θεωρητικά από τον

Deutsch ο καθολικός Κβαντικός Υπολογιστής (universal quantum computer), µια

θεωρητική µηχανή ανάλογη της καθολικής µηχανής Turing, η οποία συνδυάζει τις

αρχές Turing - Church που διέπουν την κλασική πληροφορική µε τις αρχές της

κβαντοµηχανικής. [Κων07, σελ.35-36]

234

Το 1985 ο David Deutsch δηµοσιεύει άρθρο στο οποίο αποδεικνύει πως ένας

υπολογιστής που χρησιµοποιεί φαινόµενα και νόµους της κβαντικής µηχανικής µπορεί

να εκτελέσει υπολογισµούς πολύ πιο γρήγορα και αποτελεσµατικά από τους

υπολογιστές που χρησιµοποιούµε µέχρι σήµερα, οι οποίοι ονοµάζονται πλέον

«κλασικοί υπολογιστές». Στο άρθρο αυτό παρουσιάζεται και ο πρώτος κβαντικός

αλγόριθµος που είναι πια γνωστός ως «κβαντικός αλγόριθµος του Deutsch».

[Καρ05, σελ.9]

Παρά τον ενθουσιασµό που ακολούθησε τον πρώτο κύκλο προτάσεων και

συζητήσεων γύρω από τους κβαντικούς υπολογιστές, υπήρξαν πολλοί επιστήµονες

που αµφισβήτησαν την αποτελεσµατικότητα των ιδεών αυτών και κυρίως τη

δυνατότητα πρακτικής υλοποίησης τους και κατασκευής τέτοιων υπολογιστών.

[Χατζ06, σελ.7]

Ωστόσο, αποτέλεσε το έναυσµα για την αρχή µίας µεγάλης ερευνητικής προσπάθειας

στην οποία σήµερα συµµετέχει ένας πολύ µεγάλος αριθµός ερευνητών. [Καρ05, σελ.9]

Το νέο µεγάλο άλµα έγινε το 1994 όταν o Peter Shor (του ερευνητικού τµήµατος της

ΑΤ&T) παρουσίασε τον περίφηµο πλέον κβαντικό αλγόριθµό του, τον αλγόριθµο του

Shor, που του χάρισε το µαθηµατικό βραβείο Fields. O αλγόριθµος αυτός συνίσταται

στην παραγοντοποίηση µεγάλων αριθµών, γρηγορότερα από τους συµβατικούς

υπολογιστές. Τόσο γρήγορα, ώστε να καταβάλει τα πιο προηγµένα κλασικά

κρυπτογραφικά συστήµατα ασφαλείας (RSA).

Το 1996 o Lov Grover παρουσίασε το δικό του κβαντικό αλγόριθµο για την

επιτάχυνση της αναζήτησης σε µια αταξινόµητη βάση δεδοµένων, ένα πρόβληµα µε

πολύ διαδεδοµένες εφαρµογές. [Χατζ06, σελ.7]

Από τότε η έρευνα για τους κβαντικούς υπολογιστές συνεχίζεται µε µεγάλο

ενδιαφέρον και µε τη συµµετοχή επιστηµόνων από όλο τον κόσµο.

235

10.2 Ιδιαίτερα χαρακτηριστικά κβαντικών υπολογιστών

1. Η θεµελιώδης διαφορά µεταξύ κβαντικού και κλασικού υπολογιστή έγκειται στο τι

χρησιµοποιεί ο καθένας ως βασικό πόρο πληροφορίας. Ενώ ο κλασικός υπολογιστής

χρησιµοποιεί το bit το οποίο µπορεί να λάβει µόνο δύο διακριτές τιµές, ο κβαντικός

χρησιµοποιεί αντίστοιχα το qubit το οποίο, λόγω υπέρθεσης, µπορεί να λάβει άπειρες

τιµές. Σe αυτό ακριβώς το γεγονός οφείλεται και η µεταξύ τους τεράστια διαφορά

υπολογιστικής ισχύος που είναι και το ισχυρό πλεονέκτηµα του κβαντικού υπολογιστή

απέναντι στον κλασικό.

2. Οι κλασικοί υπολογιστές δεν παράγουν στα αλήθεια τυχαίους αριθµούς.

Προσποιούνται ότι παράγουν (στην πραγµατικότητα, επιστρέφουν ψευδοτυχαίους).

Αντίθετα, ένας κβαντικός υπολογιστής µπορεί να παράγει αληθινά τυχαίους αριθµούς.

[WiCl98, Κεφάλαιο 7] [WiCl2000, Κεφάλαιο 5] Έχει δηµιουργηθεί µία γεννήτρια

(quantum random number generator) που παράγει τυχαίους αριθµούς µε ρυθµό 105 το

δευτερόλεπτο. [Bel06, σελ22-23]

3. Θεώρηµα µη προγραµµατισµού (no programming theorem).

∆εν είναι δυνατό να κατασκευάσουµε έναν προγραµµατιζόµενο κβαντικό υπολογιστή

(programmable quantum computer), δηλαδή έναν υπολογιστή µε αρχιτεκτονική

παρόµοια της αρχιτεκτονικής Von Neumann. Αυτό είναι το θεώρηµα µη

προγραµµατισµού (no programming theorem). [Ril06, σελ.148-149] ∆ηλαδή, δεν

µπορούµε να φτιάξουµε έναν προγραµµατιζόµενο κβαντικό επεξεργαστή που να

µπορεί να εκτελέσει γενικά υπολογιστικά καθήκοντα. Για κάθε κβαντικό υπολογισµό

πρέπει να δηµιουργούµε ένα ξεχωριστό κβαντικό κύκλωµα, το οποίο να αποτελείται

από έναν ή περισσότερους κβαντικούς καταχωρητές και από ένα σύνολο κβαντικών

πυλών.

4. Ο κβαντικός υπολογιστής έχει ως αδύνατο σηµείο το ότι είναι εξαιρετικά ασταθής.

Οι καταστάσεις υπέρθεσης, στις οποίες βασίζεται η λειτουργία κάθε κβαντικού

υπολογιστή, είναι εξαιρετικά ασταθείς και η αλληλεπίδραση µε το περιβάλλον µπορεί

να τις οδηγήσει σε κατάρρευση. Είναι γνωστό ότι κάθε φυσικό σύστηµα αλληλεπιδρά

µε το περιβάλλον του και δεν υπάρχει τίποτα που να είναι απολύτως αποµονωµένο.

Αυτό σηµαίνει ότι τα qubits θα µεταβάλλονται λόγω εξωτερικών, γενικά τυχαίων,

236

επιδράσεων (κβαντικός θόρυβος) οπότε η λειτουργία και η αποτελεσµατικότητα ενός

κβαντικού υπολογιστή θα εξαρτώνται άµεσα από την επίδραση του περιβάλλοντος.

Τα αξιώµατα της κβαντοµηχανικής σύµφωνα µε τα οποία η χρονική εξέλιξη ενός

συστήµατος δίνεται από ορθοµοναδιαίους τελεστές και οι µετρήσεις γίνονται µε

προβολικούς τελεστές, περιγράφουν ιδανικές καταστάσεις, συνεπώς τα πειραµατικά

αποτελέσµατα των κβαντικών αλγορίθµων µπορεί να είναι πολύ διαφορετικά από τα

προσδοκώµενα. Άρα αν θέλουµε να εφαρµόσουµε µε επιτυχία τους κβαντικούς

αλγόριθµους θα πρέπει να ξέρουµε επίσης πώς και πόσο επηρεάζονται τα qubits από

τις εξωτερικές συνθήκες. [Κων07, σελ.3 και 46]

Η αλληλεπίδραση ενός κβαντικού συστήµατος µε το περιβάλλον του, οδηγεί σε

αλλαγή της κατάστασης του και απώλεια της πληροφορίας που περιέχει. Οδηγεί σε

άρση της συνεκτικότητας – συνοχής (coherence) του συστήµατος, για αυτό το λόγο η

ανεπιθύµητη αυτή αλληλεπίδραση ονοµάζεται άρση της συνεκτικότητας

(decoherence). H άρση της συνεκτικότητας είναι από τα µεγαλύτερα εµπόδια στην

προσπάθεια µας να κατασκευάσουµε πραγµατικούς κβαντικούς υπολογιστές. Για να

αντιµετωπίσουµε την παραπάνω κατάσταση, χρησιµοποιούµε τεχνικές διόρθωσης

σφάλµατος (quantum error correcting codes). Για περισσότερες λεπτοµέρειες

[NaOh08, σελ.173-229]

Όπως αναφέρουν και οι Stenholm και Suominen «Οι κβαντικές καταστάσεις είναι

εύθραυστες και ευαίσθητες. Για αυτό το λόγο, είναι αναγκαίες τεχνικές διόρθωσης

κβαντικού σφάλµατος.» Για επιπλέον πληροφορίες για τα θέµατα 1. Errors in quantum

computing και 2. Quantum error correction: [Sten05, σελ. 175-183]

Αφιερωµένα στις τεχνικές διόρθωσης σφάλµατος (Quantum error correction) είναι τα

παρακάτω: κεφάλαιο 10 των [WiCl98], κεφάλαιο 10 των [NiCh2000], κεφάλαιο 8 των

[WiCl2000], κεφάλαιο 10 των [CKL08], κεφάλαιο 4 των [LoWo06], το [HiHa06],

διαλέξεις 16 και 17 του [Wat06], σελ.171-178 του [Ril06].

Tεχνικές διόρθωσης σφάλµατος (Quantum error correction and fault-tolerant quantum

computing) µπορούν να βρεθούν και στις σελίδες 302-356 του [Wil98].

237

Ένα πολύ καλό βιβλίο αφιερωµένο αποκλειστικά στις τεχνικές διόρθωσης σφάλµατος,

ενηµερωµένο για τις τρέχουσες εξελίξεις, είναι το Quantum Error Correction and

Fault Tolerant Quantum Computing του Frank Gaitan [Gait2008]. Εκεί αναφέρεται το

περίφηµο θεώρηµα κατώτατων ορίων ακρίβειας (accuracy threshold theorem), το

οποίο αναφέρει ότι, κάτω από κατάλληλες συνθήκες, µπορεί να πραγµατοποιηθεί ένας

µεγάλος (χρονικά) κβαντικά υπολογισµός, µε σχετικά µικρή πιθανότητα λάθους,

ακόµα και αν έχουµε θόρυβο και ατελείς κβαντικές πύλες. Το θεώρηµα αποδεικνύει

ότι η κατασκευή κβαντικών υπολογιστών δεν είναι αδύνατη, ωστόσο είναι

τεχνολογικά πολύ δύσκολη.

10.3 Κριτήρια DiVincenzo

Σύµφωνα µε τον David DiVincenzo (των ερευνητικών τµηµάτων της ΙΒΜ), τα 5

κριτήρια που πρέπει να πληροί ένα κβαντικό σύστηµα για να λειτουργήσει ως

υπολογιστής είναι:

1) Να είναι ένα φυσικό σύστηµα µε καλά διακεκριµένα qubits, το οποίο να είναι

επεκτάσιµο (scalable).

2) Να υπάρχει η δυνατότητα να φέρουµε το κάθε qubit σε µια αρχική κατάσταση

(αρχικοποίηση)

3) Ο χρόνος άρσης της συνεκτικότητας (decoherence) να είναι πολύ µεγαλύτερος από

το χρόνο λειτουργίας µιας κβαντικής πύλης (για να προλάβουµε να εκτελέσουµε

τον κβαντικό υπολογισµό που θέλουµε).

4) Να υπάρχει ένα σύνολο από πύλες ικανές να καλύψουν οποιοδήποτε υπολογιστικό

εγχείρηµα

5) Να υπάρχει η δυνατότητα να γίνει µέτρηση στο καθένα από τα qubits.

[Χατζ06] [Bel06, σελ.107] [ΠΧΛ04, σελ.43-46]

Για µια ανάλυση των κριτηρίων του DiVincenzo βλέπε [NaOh08, σελ.233-239] και

[ΠΧΛ04, σελ.43-44].

238

10.4 Υλοποίηση κβαντικών υπολογιστών (physical implementation)

Για την υλοποίηση ενός κβαντικού υπολογιστή έχουν παρουσιαστεί διάφορες

πειραµατικές προτάσεις. Αναφέρουµε τις κυριότερες:

1. Πυρηνικός µαγνητικός συντονισµός (NMR nuclear magnetic resonance)

2. Παγίδες ιόντων (ion traps, trapped ions)

3. Ουδέτερα άτοµα (neutral atoms)

4. Επαφές Josephson (Josephson junctions, superconducting qubits)

5. Κβαντικές τελείες (Quantum dots)

6. Kβαντική ηλεκτροδυναµική κοιλοτήτων (cavity quantum electrodynamics –

QED)

7. Οπτικά συστήµατα (linear optics)

8. συµπυκνώµατα Bose-Einstein,

9. µοριακά και χηµικά συστήµατα κ.τ.λ.

[Χατζ06, σελ.7-8] [NaOh08, σελ.239-240] [Bel06, σελ.108]

Παρακάτω, θα αναφέρουµε συνοπτικά κάποια χαρακτηριστικά µερικών πειραµατικών

προτάσεων.

1) Πυρηνικός µαγνητικός συντονισµός (NMR)

Με την παραπάνω τεχνολογία, έχει υλοποιηθεί κβαντικός υπολογιστής µε 10 qubits.

Τα 10 qubits φαίνεται να είναι το ανώτατο όριο καθώς η τεχνολογία του NMR

παρουσιάζει τεράστια προβλήµατα όσο το n αυξάνει. Μπορεί να εκτελέσει κβαντικούς

αλγορίθµους µικρής κλίµακας. ∆εν είναι η τεχνολογία που θα επικρατήσει,

τουλάχιστον στη συγκεκριµένη µορφή. Επιπλέον πληροφορίες: [NaOh08, σελ.241-

284] [WiCl98, σελ258-265] [WiCl2000, σελ.202-211] [Bel06, σελ.44-46] [Bel06,

σελ.108-114] [NiCh2000, σελ.324-343] [ΠΧΛ04, σελ.47-48]

239

2) Παγίδες ιόντων (ion traps)

Με την παραπάνω τεχνολογία, έχει υλοποιηθεί κβαντικός καταχωρητής µε 8 qubits.

∆εν παρουσιάζει µεγάλα προβλήµατα όσο το n αυξάνει. Η συγκεκριµένη τεχνολογία

επιτρέπει µέχρι 100 qubits. Επιπλέον πληροφορίες: [NaOh08, σελ.285-309] [Sten05,

σελ.208-217] [WiCl98, σελ.251-255] [WiCl2000, σελ.196-200] [Bel06, σελ.114-122]

[NiCh2000, σελ.309-324] [ΠΧΛ04, σελ.46-47]

3) Ουδέτερα άτοµα (neutral atoms)

Τα ουδέτερα άτοµα δεν αλληλεπιδρούν πολύ µε το περιβάλλον τους (µεγάλος χρόνος

άρσης της συνεκτικότητας (decoherence)). ∆εν παρουσιάζει µεγάλα προβλήµατα όσο

το n αυξάνει. Η συγκεκριµένη τεχνολογία επιτρέπει (θεωρητικά) µέχρι 106 qubits.

Επιπλέον πληροφορίες: [NaOh08, σελ.311-328].

4) Επαφές Josephson (Josephson junctions)

Έχουν µεγάλο χρόνος άρσης της συνεκτικότητας (decoherence). Επιπλέον

πληροφορίες: [NaOh08, σελ.329-374] [Bel06, σελ.122-131] [CKL08, σελ.171-221]

[Χατζ06, σελ.173-178]

5) Κβαντικές τελείες (Quantum dots)

Επιπλέον πληροφορίες: [NaOh08, σελ.377-398] [Sten05, σελ.218-219] [Bel06,

σελ.131-133]

6) Kβαντική ηλεκτροδυναµική κοιλοτήτων (cavity quantum electrodynamics –QED)

Επιπλέον πληροφορίες: [Sten05, σελ.197-208] [WiCl98, σελ256-258] [NiCh2000,

σελ.297-309]

7) Οπτικά συστήµατα (linear optics)

Επιπλέον πληροφορίες: [CKL08, σελ.223-255]

240

Ένας από τους βασικούς στόχους της έρευνας στο επίπεδο των κβαντικών

υπολογιστών είναι η ανάπτυξη ενός κβαντικού επεξεργαστή µε λίγα qubits στο οποίο

µπορεί να εφαρµοστεί η θεωρία της διόρθωσης σφάλµατος. O συγκεκριµένος

επεξεργαστής θα χρησιµοποιηθεί σαν µοντέλο για να ελεγχθούν κβαντικοί αλγόριθµοι

και διάφορες αρχιτεκτονικές κβαντικού υπολογισµού. Eπί του παρόντος υπάρχει µια

σειρά από συγκεκριµένα φυσικά συστήµατα ικανά να αποτελέσουν ισχυρούς

υποψηφίους στο συγκεκριµένο εγχείρηµα.

Στο επόµενο βήµα θα γίνει η προσπάθεια να αναπτυχθούν διασυνδέσεις (σε ευθεία

σχέση µε τις κβαντικές επικοινωνίες) και πρότυπα συστήµατα, τα οποία θα µας

δώσουν τη δυνατότητα να συνδέσουµε κβαντικούς υπολογιστές σε µικρά δίκτυα

(κβαντική τηλεµεταφορά, κβαντική κρυπτογραφία).

Παράλληλα µε τα παραπάνω, ιδιαίτερη σηµασία έχει η έρευνα για την ανάπτυξη

συγκεκριµένων κβαντικών υπολογιστών µε λίγα qubits και βασικό σκοπό να

λειτουργούν σαν εξοµοιωτές κβαντικών συστηµάτων (quantum simulators).

Ο τελικός στόχος παραµένει η κατασκευή εργαστηριακών µοντέλων κβαντικών

υπολογιστών, οι οποίοι θα έχουν τη δυνατότητα να υπερισχύουν των κλασικών

υπολογιστών σε οποιοδήποτε µη - τετριµµένο υπολογιστικό πρόβληµα.

[Χατζ06, σελ.8]

Ένας κβαντικός υπολογιστής πρέπει να έχει τουλάχιστον 100-1000 qubits, για να

µπορεί να εκτελεί αλγορίθµους που είναι πιο γρήγοροι από τους αντίστοιχους

κλασικούς. [NaOh08, σελ.233]

Οι πιθανές εφαρµογές ενός κβαντικού υπολογιστή φαίνονται να είναι (προς το παρόν)

οι εξής: Να ελέγχουν την κβαντική θεωρία (testing quantum mechanics), να

προσοµοιώνουν κβαντικά συστήµατα (simulating quantum systems), κβαντική

τηλεµεταφορά (teleporting information), κβαντική κρυπτογραφία (quantum

cryptography), η εύρεση εγγραφών σε αταξινόµητες βάσεις δεδοµένων (find a record

in an unsorted database), η παραγοντοποίηση µεγάλων ακεραίων (factoring large

integers), η πιο γρήγορη εύρεση λύσης σε NP complete προβλήµατα (speedup of NP

complete problems) [WiCl98, σελ62]

241

Βιβλιογραφία 10ου κεφαλαίου [Καρ05] Καραφυλλίδης Ιωάννης (2005). Κβαντικοί Υπολογιστές – Βασικές

Έννοιες, Αθήνα: Εκδόσεις Κλειδάριθµος. [Κων07] Κωνσταντάκης Χρήστος (2007). Κβαντικοί αλγόριθµοι αναζήτησης σε


[ΠΧΛ04] Πάνος Χρήστος, Χατζησάββας Κωνσταντίνος και Λαλαζήσης Γιώργος




[Bel06] Le Bellac Michel (2006). A Short Introduction to Quantum Information and Quantum Computation, New York: Cambridge University Press.



[Gait2008] Gaitan Frank (2008). Quantum Error Correction and Fault Tolerant

Quantum Computing, New York: Taylor and Francis, CRC Press. [HiHa06] Hiroshima Tohya and Hayashi Masahito, “Entanglement and Quantum








242

[Ril06] Riley T. Perry (2006). The Temple of Quantum Computing, version 1.1, April 29, 2006, (http://www.toqc.com/TOQCv1_1.pdf). From the Temple of Quantum Computing (TOQC) Website (http://www.toqc.com/)



Calgary (http://www.cs.uwaterloo.ca/~watrous/lecture-notes/519/all.pdf)





[Wil98] Williams P. Colin (1998). Quantum Computing and Quantum

Communications, First NASA International Conference, QCQS’98, Palm Springs, California, USA, February 17-20, 1998, Selected Papers, Springer-Verlag (Lecture Notes in Computer Science, Volume 1509)

243

ΕΠΙΛΟΓΟΣ - ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ

Περιγράψαµε µε απλό και κατανοητό τρόπο (ελπίζουµε) τα θέµατα που αφορούν τους

κβαντικούς υπολογιστές. Το ερώτηµα είναι αν θα έχουµε κάποια στιγµή στο µέλλον

κβαντικούς υπολογιστές µε αρκετά qubits, ώστε να συναγωνίζονται και να υπερτερούν

των κλασικών υπολογιστών. Είναι µια ανοιχτή επιστηµονική πρόκληση που κρατά

πολυάσχολες πολλές οµάδες ερευνητών και επιστηµόνων από όλο τον κόσµο.

Η πρόταση και η προσπάθεια υλοποίησης κβαντικών υπολογιστών πέρα από

ένθερµους υποστηρικτές είναι λογικό να αντιµετωπίζεται ταυτόχρονα µε σκεπτικισµό

και κριτική. Πολλοί χαρακτηρίζουν την ιδέα των κβαντικών υπολογιστών

περισσότερο ως νοητικό πείραµα (gedanken experiment) παρά ως µια πιθανή

εφαρµογή, θεωρώντας αξεπέραστες τις δυσκολίες που παρουσιάζονται στο χειρισµό

συστηµάτων του µικρόκοσµου.

Η αίσθηση η οποία υπάρχει είναι πως βρισκόµαστε σε µια διερευνητική περίοδο πριν

από την έκρηξη των νέων αυτών τεχνικών και της νανοτεχνολογίας. Ένα πρώιµο

στάδιο όπως οι δεκαετίες του '30, του '40 και του '50 για την επιστήµη των

υπολογιστών. Η θεωρία έχει περιθώρια να κινηθεί µπροστά και µέσα από τα

πειράµατα να διαµορφώσει το πλαίσιο µέσα στο οποίο θα εξελιχθούν στη συνέχεια οι

κβαντικοί υπολογιστές.

Η πρόοδος των τελευταίων χρόνων έχει διαµορφώσει ένα συγκεκριµένο περίγραµµα

για το πώς θεωρούµε πως θα είναι ένας κβαντικός υπολογιστής. Το µέλλον βέβαια

µπορεί να κρύβει εκπλήξεις και δεν είναι απίθανο o κβαντικός υπολογιστής του

µέλλοντος να είναι πολύ διαφορετικός σε σχέση µε αυτό που εµείς φανταζόµαστε

σήµερα.

244

Το πιο πιθανό σενάριο είναι ότι οι κβαντικοί υπολογιστές θα συνυπάρχουν µε τους

κλασικούς υπολογιστές [CaPa01, σελ284]. ∆εν φαίνεται πιθανό να αντικαταστήσουν

τους κλασικούς, γιατί οι κβαντικοί θα επικεντρωθούν σε ορισµένους τοµείς, σε

ορισµένα δύσκολα προβλήµατα. Κάθε κβαντικός υπολογιστής θα είναι φτιαγµένος για

µια συγκεκριµένη δουλειά, σε αντίθεση µε τους κλασικούς επεξεργαστές γενικής

χρήσης.

Κλείνοντας, οφείλουµε να σηµειώσουµε ότι οι κβαντικοί υπολογιστές θα

προκαλέσουν επανάσταση στο χώρο της πληροφορικής, αν βρεθεί κβαντικός

αλγόριθµος που να µπορεί να λύσει NP-complete προβλήµατα σε πολυωνυµικό χρόνο.

∆υστυχώς υπάρχουν κάποιες ασθενείς ενδείξεις ότι οι κβαντικοί υπολογιστές δεν θα

είναι τόσο ισχυροί ώστε να λύσουν NP-complete προβλήµατα. Ωστόσο, είναι

ενδείξεις, δεν έχει αποδειχτεί ότι δεν µπορούν. Στη χειρότερη περίπτωση, απλά θα µας

βοηθήσουν να τα λύσουµε λίγο πιο γρήγορα σε σχέση µε τους κλασικούς υπολογιστές.

[Shor96]

245

Επιπλέον υλικό

Εκτός από το υλικό που υπάρχει στη βιβλιογραφία της παρούσας εργασίας, ο

αναγνώστης µπορεί (αν θέλει) να µελετήσει και τις παρακάτω πηγές:

Peter W. Shor, Introduction To Quantum Algorithms (http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/0005003v2) Lov K. Grover, Searching with Quantum Computers (http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/0011118) Lov K. Grover, How fast can a quantum computer search? (http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/9809029v3)

Lov K. Grover, A fast quantum mechanical algorithm for database search

(http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/9605043v3) Lov K. Grover, Quantum computers can search arbitrarily large databases by a single query (http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/9706005v3) Elementary gates for quantum computation (http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/9503016v1) Quantum Computing (http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/0401019v3) Strengths and Weaknesses of Quantum Computing (http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/9701001v1) Scully O. Marlan and Zubairy S. M. (2001). Quantum optical implementation of Grover’s algorithm, June 21, 2001 (www.pnas.org/cgi/doi/10.1073/pnas.171317798) Kunihiro Noboru (2005). Exact Analyses of Computational Time for Factoring in Quantum Computers, IEICE TRANS. Fundamentals, Vol. E88–A, No.1 January 2005 (http://ietfec.oxfordjournals.org/cgi/content/abstract/E88-A/1/105) Hayward Matthew (2008). Quantum Computing and Grover's Algorithm, April 26, 2008, from IMSA - Illinois Mathematics and Science Academy (http://alumni.imsa.edu/~matth/quant/473/473proj.pdf) De Raedt H. and Michielsen K. (2004). Computational Methods for Simulating Quantum Computers, August 2, 2004, University of Groningen (http://msc.phys.rug.nl/compphys0/QCE/doc/revqcs3.pdf) Computational Complexity: A Modern Approach (http://www.cs.princeton.edu/theory/complexity/quantumchap.pdf)

246

Παράρτηµα Α

Ένα κβαντικό παιχνίδι

Ο Captain Class, κυβερνήτης του διαστηµοπλοίου "Classical", αντιµετωπίζει µία πολύ

δύσκολη κατάσταση. Βρίσκεται µε το διαστηµόπλοιο του πολύ µακριά από τη Γη, στην

πιο αποµακρυσµένη µεριά του γαλαξία. Ο κινητήρας έχει χαλάσει και κανείς από το

πλήρωµα δεν µπορεί να τον επισκευάσει. Ταξιδεύει µε το βοηθητικό κινητήρα αλλά δεν

µπορεί να αναπτύξει ταχύτητα και έτσι δεν θα προλάβει να εκτελέσει την αποστολή

του.

Ξαφνικά εµφανίζεται ένα άγνωστο διαστηµόπλοιο. Ο Captain Class διαβάζει το όνοµα

"Quantum" γραµµένο στην πλευρά του. Επικοινωνεί µε το "Quantum" και ζητά βοήθεια.

Ο κυβερνήτης του διαστηµοπλοίου "Quantum" ονοµάζεται Quant και είναι µία κβαντική

οντότητα. Ο Quant προτείνει στον Captain Class να συναντηθούν και να παίξουν ένα

παιχνίδι. Αν ο Captain Class κερδίσει, τότε ο Quant θα επισκευάσει τον κινητήρα χωρίς

αντάλλαγµα. Αν όµως χάσει, τότε ο Quant θα µεταφέρει αυτόν και το πλήρωµα του στην

κοντινότερη βάση και µετά θα φύγει παίρνοντας µαζί του το διαστηµόπλοιο

"Classical".

Το παιχνίδι που προτείνει ο Quant είναι το εξής:

1. Ο Quant δίνει στον Captain Class ένα κέρµα. Το κέρµα αυτό έχει δύο εντελώς ίδιες

όψεις, µόνο που στη µία όψη φαίνεται το γράµµα Η και στην άλλη το γράµµα Τ.

Είναι αδύνατον να ξεχωρίσει κανείς τις όψεις µε την αφή.

2. Ο Quant φεύγει από το δωµάτιο και ο Captain Class βάζει το κέρµα πάνω σε ένα

τραπέζι µε όποια από τις δύο όψεις θέλει προς τα επάνω. Γράφει το γράµµα που

φαίνεται στην πάνω όψη σε ένα χαρτί, βάζει το χαρτί σε έναν φάκελο, τον σφραγίζει

και τον βάζει στην άκρη του τραπεζιού. Στη συνέχεια καλύπτει το κέρµα µε ένα

κάλυµµα που έχει ένα µικρό άνοιγµα από το οποίο αυτός και ο Quant µπορούν να

βάλουν το χέρι τους και να δράσουν στο κέρµα. Το κάλυµµα είναι απολύτως

αδιαφανές και κανείς δεν µπορεί να δει το κέρµα.

247

3. Ο Quant έρχεται στο δωµάτιο βάζει το χέρι του µέσα στο κάλυµµα και δρα στο

κέρµα.

4. Ο Captain Class βάζει το χέρι του µέσα στο κάλυµµα και δρα στο κέρµα.

5. Ο Quant βάζει για δεύτερη φορά το χέρι του µέσα στο κάλυµµα και δρα στο κέρµα.

6. Βγάζουν το κάλυµµα για να φανεί το κέρµα και ανοίγουν τον φάκελο.

7. Αν το κέρµα βρεθεί µε την αρχική όψη προς τα επάνω, ο Quant κερδίζει, αλλιώς

κερδίζει ο Captain Class.

Ο Captain Class αρνείται να παίξει το διαστηµόπλοιο του σε αυτό το παιχνίδι. Ο

Quant τότε του κάνει την εξής πρόταση: να παίξουν το παιχνίδι χίλιες φορές και αν σε

µία από αυτές χάσει ο Quant τότε θα επισκευάσει τον κινητήρα, αν όµως κερδίσει και στις

χίλιες, τότε ο Captain Class θα χάσει το διαστηµόπλοιο του.

Ο Captain Class θεωρεί εξαιρετικά απίθανο να κερδίσει ο Quant χίλιες φορές στη σειρά,

και δέχεται να παίξει.

Παίζουν το παιχνίδι χίλιες φορές και ο Quant κερδίζει σε όλες. Ο Captain Class χάνει το

διαστηµόπλοιο του.

Μετά την επιστροφή του στη Γη, ο Captain Class παρουσιάζεται στο δικαστήριο για να

κριθεί για τις αποφάσεις που πήρε. Οι δικαστές αναγνωρίζουν ότι βρέθηκε σε δύσκολη

κατάσταση και θεωρούν λογική την απόφαση του να παίξει το παιχνίδι. Επειδή όµως

τελικά έχασε το διαστηµόπλοιο "Classical", τον υποβιβάζουν σε κυβερνήτη

µεταγωγικού διαστηµοπλοίου. Ο Captain Class αναλαµβάνει κυβερνήτης του

µεταγωγικού διαστηµοπλοίου "Boring". Στις ατελείωτες και µονότονες ώρες των

ταξιδιών του προσπαθεί να καταλάβει πώς έχασε από τον Quant.

Μήπως µπορείτε να το εξηγήσετε εσείς;

( Η λύση στην ενότητα 3.6)

Πηγή: [Καρ05, σελ.15-16]

248

Παράρτηµα B

Πίνακες

Πίνακας είναι ένα σύνολο αριθµών σε διπλή διάταξη. Παρακάτω φαίνεται ο

πίνακας A:

=

1728

41165

7093

A (B.1)

Κάθε πίνακας αποτελείται από γραµµές και στήλες. Ο πίνακας Α έχει τρεις

γραµµές:

[ ][ ][ ]1 7 28

41165

70 93

(B.2)

και τέσσερις στήλες:

1

4

7

7

11

0

2

6

9

8

5

3

(B.3)

Ένας πίνακας έχει γενικά n γραµµές και m στήλες. Τότε λέµε ότι ο πίνακας είναι

διαστάσεων n x m. Ο πίνακας Α της (Α.1) είναι διαστάσεων 3 x 4. Κάθε αριθµός

του πίνακα ονοµάζεται στοιχείο. Γενικά τα στοιχεία ενός πίνακα Β διαστάσεων n

x m γράφονται ως εξής:

=

nmnnn

m

m

m

bbbb

bbbb

bbbb

bbbb

B

...

...............

...

...

...

321

3333231

2232221

1131211

(B.4)

249

Οι δείκτες των στοιχείων δηλώνουν ο πρώτος τη γραµµή και ο δεύτερος τη

στήλη. Για παράδειγµα το στοιχείο b47 βρίσκεται στην τέταρτη γραµµή και στην

έβδοµη στήλη. Υπάρχουν πίνακες που έχουν µόνο µία γραµµή ή µόνο µία στήλη.

Μπορούµε να προσθέσουµε και να αφαιρέσουµε µόνο πίνακες που έχουν τις ίδιες

διαστάσεις. Αν το άθροισµα δύο πινάκων, του Α και του Β, είναι ο πίνακας Μ,

τότε κάθε στοιχείο του Μ είναι το άθροισµα των αντίστοιχων στοιχείων του Α και

του Β:

ijijij bam += (B.5)

Για παράδειγµα:

=

+++

+++=

+

=+=

897

589

446325

321781

462

318

435

271BAM (B.6)

Αν η διαφορά δύο πινάκων, του Α και του Β, είναι ο πίνακας Ν, τότε κάθε

στοιχείο του Ν είναι η διαφορά των αντίστοιχων στοιχείων του Α και του Β:

ijijij ban −= (B.7)

Το γινόµενο ενός πίνακα Α µε έναν αριθµό λ είναι ένας πίνακας Μ ιδίων

διαστάσεων µε τον Α, κάθε στοιχείο του οποίου είναι το γινόµενο του

αντίστοιχου στοιχείου του Α µε τον αριθµό λ:

ijij am ⋅= λ (B.8)

Για παράδειγµα, αν λ=3:

=

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=

⋅=⋅=

12915

6213

433353

237313

435

2713AM λ (B.9)

250

Το γινόµενο ενός πίνακα Α µε διαστάσεις n x m µε έναν πίνακα Β µε διαστάσεις

m x k είναι ένας πίνακας Μ µε διαστάσεις n x k. Κάθε στοιχείο του Μ, mij , που

βρίσκεται στην γραµµή i και στη στήλη j είναι ίσο µε το άθροισµα των γινοµένων

των στοιχείων που βρίσκονται στην γραµµή i του Α και των στοιχείων που

βρίσκονται στη στήλη j του B:

mjimjijijiij babababam ⋅++⋅+⋅+⋅= ...332211 (Α.10)

Για να υπάρχει το γινόµενο δύο πινάκων πρέπει, ο αριθµός των στηλών του

πρώτου να είναι ίσος µε τον αριθµό των γραµµών του δεύτερου. Για παράδειγµα:

( ) ( )( ) ( )

⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅

⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅

=

⋅

=⋅=

322322221221312321221121

321322121211311321121111

3231

2221

1211

232221

131211

babababababa

babababababa

bb

bb

bb

aaa

aaaBAM

(B.11)

Μπορούµε να πολλαπλασιάσουµε έναν πίνακα-γραµµή µε έναν πίνακα-στήλη. Το

αποτέλεσµα θα είναι ένας αριθµός:

[ ] ( )22112

121 baba

b

bBAM ⋅+⋅=

⋅=⋅= αα (B.12)

Μπορούµε να πολλαπλασιάσουµε έναν πίνακα-στήλη µε έναν πίνακα-γραµµή. Το

αποτέλεσµα θα είναι ένας πίνακας:

[ ]

⋅⋅

⋅⋅=⋅

=⋅=

2212

211121

2

1

baba

bababb

a

aBAM (B.13)

Ένας πίνακας που έχει ίσο αριθµό γραµµών και στηλών ονοµάζεται

τετραγωνικός. Ένας τετραγωνικός πίνακας που όλα τα στοιχεία του είναι µηδέν

εκτός από τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου του που είναι όλα ίσα µε ένα,

ονοµάζεται µοναδιαίος πίνακας. Παρακάτω δίνονται µερικοί µοναδιαίοι πίνακες:

251

1...000

...............

0...100

0...010

0...001

,

100

010

001

,10

01 (Α.14)

Ο ανάστροφος ενός πίνακα Β διαστάσεων n x m:

=

nmnnn

m

m

m

bbbb

bbbb

bbbb

bbbb

B

...

...............

...

...

...

321

3333231

2232221

1131211

(B.15)

συµβολίζεται µε ΒΤ και είναι ένας πίνακας διαστάσεων m x n, η πρώτη γραµµή

του οποίου είναι η πρώτη στήλη του B, η δεύτερη γραµµή του ΒΤ είναι η δεύτερη

στήλη του Β και, τέλος, η m γραµµή του ΒΤ είναι η m στήλη του Β:

=

nmmmm

n

n

n

T

bbbb

bbbb

bbbb

bbbb

B

...

...............

...

...

...

321

3332331

2322212

1312111

(B.16)

Για παράδειγµα:

=

=

945

261 ,

92

46

51TBB (B.17)

[Καρ05]

Αν Α είναι ένας τετραγωνικός n x n πίνακας. Ορίζουµε σαν ίχνος του Α το

άθροισµα των διαγώνιων στοιχείων του: ∑=

=n

iiiaTrA

1

. Ισχύουν οι ακόλουθες

ιδιότητες: ( ) TrAATr T = και ( ) ( )BATrABTr = .

252

Ας δούµε τώρα τι είναι οι ορθοµοναδιαίοι (unitary) πίνακες.

Έστω ένας πίνακας Α. Ο πίνακας Β είναι ο ερµιτιανός συζυγής (Hermitian

adjoint) του Α, αν οι στήλες του Α είναι γραµµές του Β, και τα στοιχεία του Β

είναι τα µιγαδικά συζυγή των στοιχείων του Α. ∆ηλαδή:

Αν Β = Α+ τότε bij = *

jia (B.18)

όπου το σύµβολο + δηλώνει τον ερµιτιανό συζυγή και τα α και b τα στοιχεία των

πινάκων Α και Β.

Για παράδειγµα θα βρούµε τον ερµιτιανό συζυγή του πίνακα Α:

−+

+=

ii

iA

4226

1253 (B.19)

Κάνουµε τις στήλες του Α γραµµές και αντικαθιστούµε τα στοιχεία από τα

µιγαδικά συζυγή τους:

+

−−=

i

iiA

4212

2653 (B.20)

[Καρ05] [Daw08, Lecture 2]

Ο ερµιτιανός συζυγής ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες:

(Α+)+ = Α (Α.21)

(Α+Β)+ = Α+ + Β+ (Α.22)

(ΑΒ)+ = Β+

Α

+ (Α.23)

(αΑ)+ =α*Α

+ (Α.24)

όπου α ένας µιγαδικός αριθµός. [Χατζ06]

253

Ο αντίστροφος πίνακας ενός πίνακα Α είναι ο πίνακας εκείνος που, αν τον

πολλαπλασιάσουµε µε τον Α, παίρνουµε τον µοναδιαίο πίνακα. Ο αντίστροφος

του Α συµβολίζεται µε A-1:

AA-1 = A-1A = I (B.25)

Ο πίνακας Α είναι ορθοµοναδιαίος (unitary) , αν ο ερµιτιανός συζυγής του είναι

ίσος µε τον αντίστροφο του:

A+=A-1 δηλαδή A A+=I και A+ A=I (Α.26)

[Καρ05] [Capa01, σελ. 195] [ΠΧΛ04, σελ.58] [Ανδ04, σελ.10]

Το τανυστικό γινόµενο δύο ορθοµοναδιαίων πινάκων είναι επίσης

ορθοµοναδιαίος πίνακας. [Capa01, σελ. 198]

Συνοπτικά η σχέση µεταξύ των πινάκων [Χατζ06, σελ.26] είναι η εξής:

Αν Α είναι ένας τετραγωνικός n x n πίνακας, τότε έχει αντίστροφο τον Α-1,

ανάστροφο τον ΑΤ, συζυγή µιγαδικό τον Α* , ανάστροφο και συζυγή µιγαδικό

(ερµιτιανό-adjoint) τον Α+ .

Σχέση πινάκων Ονοµατολογία πίνακα

Α = ΑΤ Συµµετρικός

Α + ΑΤ = 0 Αντισυµµετρικός

ΑΤ Α = Ι Ορθογώνιος

Α = Α* Πραγµατικός

Α = –Α* Φανταστικός

Α = Α+ Ερµιτιανός

Α + Α+ = 0 Ανθερµιτιανός

Α+Α = Ι Ορθοµοναδιαίος

Επιπλέον υλικό: (Chapter 3 Mathematics for Quantum Computing) του Riley

[Ril06], (http://www.toqc.com/TOQCv1_1.pdf).

254

Παράρτηµα Γ

Ο χώρος Hilbert

Γ.1 Ο χώρος Hilbert

Η κατάσταση κάθε κβαντικού συστήµατος αντιπροσωπεύεται από ένα διάνυσµα

στο χώρο Hilbert. Ο χώρος Hilbert είναι ένας διανυσµατικός χώρος πάνω στο

πεδίο των µιγαδικών αριθµών. ∆ηλαδή, είναι ένας µιγαδικός διανυσµατικός

χώρος (complex vector space). Τα στοιχεία που αποτελούν το χώρο αυτό είναι

ένα σύνολο διανυσµάτων ... , , , cba τα οποία έχουν τις παρακάτω

ιδιότητες:

1. Για κάθε ζεύγος διανυσµάτων a και b υπάρχει ένα διάνυσµα c το οποίο

ονοµάζεται άθροισµα των a και b :

cba =+ (Γ.1)

abba +=+ (Γ.2)

( ) ( ) cbacba ++=++ (Γ.3)

2. Υπάρχει το µηδενικό διάνυσµα 0 µε ιδιότητα:

0 0 aaa =+=+ (Γ.4)

3. Για κάθε διάνυσµα a του χώρου Hilbert υπάρχει το αντίστροφο a− , και

για τα δύο αυτά διανύσµατα ισχύει:

0 =+−=−+ aaaa (Γ.5)

255

4. Αν µ και ν είναι δύο τυχαίοι µιγαδικοί αριθµοί, τότε ισχύουν οι παρακάτω

σχέσεις:

( ) baba µ µµ +=+ (Γ.6)

( ) aaa µ ννµ +=+ (Γ.7)

( ) ( )aa νµνµ =⋅ (Γ.8)

aa =⋅ 1 (Γ.9)

Στο χώρο Hilbert ορίζεται εσωτερικό γινόµενο το οποίο συµβολίζεται ως εξής:

( ) baba , = (Γ.10)

Το αποτέλεσµα του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων στον χώρο Hilbert

είναι ένας µιγαδικός αριθµός. Το εσωτερικό γινόµενο έχει τις εξής ιδιότητες:

( ) ( )baba , λ λ , = (Γ.11)

όπου λ είναι ένας τυχαίος µιγαδικός αριθµός

( ) ( )baba , λ , λ ∗= (Γ.12)

( ) ( ) ( ) cαbα , , , +=+=+ cabacba (Γ.13)

( ) ( ) ( ) cbcα , , , +=+=+ cbcacba (Γ.14)

( ) ( ) ∗∗== abbaabba ή , , (Γ.15)

To µέτρο (norm) ενός διανύσµατος a ορίζεται ως:

aaa =

256

Ένα σύνολο διανυσµάτων nq στον χώρο Hilbert αποτελεί ένα ορθοκανονικό

σύστηµα (orthonormal system ) αν:

nmmn qq δ= (Γ.16)

Ένα ορθοκανονικό σύστηµα διανυσµάτων στο χώρο Hilbert, nq , είναι

πλήρες, όταν κάθε τυχαίο διάνυσµα του χώρου, ψ , µπορεί να εκφραστεί ως

άθροισµα των διανυσµάτων αυτών:

∑=n

nnqaψ (Γ.17)

όπου αn είναι µιγαδικοί αριθµοί.

Γενικά, αν αn και am είναι µιγαδικοί αριθµοί, τότε ισχύει:

∑ ∑∑ =====n

mn

nmnnmnn

nnmmm aqqaqaqqa αδψ (Γ.18)

Εποµένως η (Γ.17) µπορεί να γραφεί ως εξής:

∑=n

nn qq ψψ (Γ.19)

Ένα πλήρες ορθοκανονικό σύστηµα n διανυσµάτων nq , µπορεί να

αποτελέσει τη βάση ενός χώρου Hilbert n διαστάσεων.

257

Γ.2 Τελεστές στο χώρο Hilbert

Για τους τελεστές στο χώρο Hilbert ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

( ) φψφψα AbAabA)))

+=+ (Γ.20)

( ) ψψψ BABA))))

+=+ (Γ.21)

( ) ( )ψψ BABA))))

=⋅ (Γ.22)

Γενικά ισχύει:

ABBA))))

⋅≠⋅ (Γ.23)

Υπάρχει ο τελεστής µονάδας (unit operator) 1)

ο οποίος, όταν δρα σε ένα

διάνυσµα το αφήνει αναλλοίωτο:

φφ =1)

(Γ.24)

Υπάρχει ο µηδενικός τελεστής (zero operator) 0)

για τον οποίο ισχύει:

0 0 =φ)

(Γ.25)

Αν στο διάνυσµα ψ δρα πρώτα ο τελεστής A)

, µετά ο Β)

και µετά ο C)

, η

σειρά αναγραφής των τελεστών είναι:

ψ ABC)))

(Γ.26)

Αν η δράση ενός τελεστή A)

στο διάνυσµα ψ έχει ως αποτέλεσµα τον

πολλαπλασιασµό του διανύσµατος µε έναν αριθµό c:

ψψ cA =)

(Γ.27)

258

τότε το διάνυσµα ονοµάζεται ιδιοδιάνυσµα (eigenvector) και ο αριθµός c ιδιοτιµή

(eigenvalue) του τελεστή A)

. Γενικά ο αριθµός c είναι µιγαδικός. Αν ο τελεστής

A)

είναι Ερµιτιανός (Hermitian operator), τότε ο αριθµός c είναι πραγµατικός.

Πηγή: [Καρ05] [Ανδ04, σελ.5-12] [Χατζ06] [Daw08, Lecture 2]

Επιπλέον υλικό: (Chapter 3 Mathematics for Quantum Computing) του Riley

[Ril06], (http://www.toqc.com/TOQCv1_1.pdf).

259

Παράρτηµα ∆

Πράξεις µε ie π

Ιστορικό σηµείωµα

Μια πολύ ενδιαφέρουσα και αξιοµνηµόνευτη σχέση µεταξύ των αριθµών π, e, i.

π: άρρητος, υπερβατικός αριθµός που εµφανίζεται στους γνωστούς τύπους του µήκους

κύκλου (L=2πR) και του εµβαδού κυκλικού δίσκου (E=πR2). Τους τύπους αυτούς τους

απέδειξε ο Αρχιµήδης (287-212 π.Χ.), ο οποίος επίσης υπολόγισε ότι ο αριθµός π

ανήκει στο διάστηµα

70220

,71223

. Σήµερα στην πράξη προσεγγίζουµε τον αριθµό π

µε την τιµή π ≅ 3.14159

e: άρρητος, υπερβατικός αριθµός που επινοήθηκε το 1750 από τον Ελβετό

Μαθηµατικό Leonard Euler (1707-1783), έναν αιώνα µετά την εµφάνιση των

λογαρίθµων, για τον προσδιορισµό της βάσης των φυσικών (ή νεπέριων) λογαρίθµων

Συµβολικά γράφουµε ν

ν

+=+∞→

11lim

ve και ισούται µε e ≅ 2.71828 (προσέγγιση µε 5

δεκαδικά ψηφία).

i :φανταστική µονάδα του Leonard Euler (18ος αιώνας), ενός από τους θεµελιωτές της

θεωρίας των µιγαδικών αριθµών και γενικότερα της µιγαδικής ανάλυσης, ο οποίος

έθεσε i=−1 , προκειµένου να αντιµετωπίσει το πρόβληµα της έκφρασης των ριζών

της δευτεροβάθµιας εξίσωσης µε αρνητική διακρίνουσα και γενικότερα το πρόβληµα

επίλυσης των εξισώσεων τρίτου βαθµού (16ος αιώνας)

260

Ο υπολογισµός παραστάσεων µε ie π γίνεται µε βάση την µιγαδική εκθετική

συνάρτηση ( )βββ sincos iee aia +=+

Υπενθυµίζουµε

iiiiii −=−=== 3 2 1 0 ,1 , ,1

=

=

=

=

===== +

3 υαν ,-

2 υαν 1,-

1 υαν ,

0 υαν 1,

1 υ υ ρ υ4ρ υ4ρ

i

iiiiiii ν

και ii

−=1

.

Περίπτωση ike π , όπου k = 0, 1, 2, 3, … Απάντηση:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

=−

=+==⋅+⋅=+== +

,...5,3,1,1

,...4,2,0,1cos0cos1sincos0 0

k

kkikkikeee ikik

αν

ανππππππ

Παραδείγµατα:

1)2cos( 2 == ππ ie

1)5cos( 5 −== ππ ie

261

Περίπτωση 2

ik

eπ

, όπου k = 1, 3, 5, … Απάντηση:

=−

=+=

=

+⋅=

+

==+

,...11,7,3,

,...9,5,1,

2sin

2sin01

2sin

2cos02

02

ki

kiki

ki

ki

keee

ikik

αν

ανππππππ


iiei

=

=2

sin2

ππ

iiei

−=

=2

3sin2

3 ππ

iiei

=

=2

5sin2

5 ππ


ik

eπ

− , όπου k = 1, 3, 5, …

Απάντηση:

−=

−=−

2sin2

2

πππ kiee

ikik


iiei

=−−=− )(2

3π

iei

−=− 2

5π

262


ik

eπ

−, όπου k = 1, 3, 5, …

Απάντηση:

==

−

2sin

11

2

2

ππ

π

kie

e ik

ik


( ) 1

12

3

iiii

ei

=−−=−=−

=−

π

ii

ei

−==−

12

5π


ik

eπ

−− , όπου k = 1, 3, 5, …

Απάντηση:

−=−=−

−

2sin

11

2

2

ππ

π

kie

e ik

ik


1

11

2

32

3

iii

e

e i

i

−==−

−=−=−−

π

π

( ) 11

2

52

5

iii

e

e i

i

=−−=−=−=−−

π

π

263

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [Ανδ04] Ανδρουλιδάκης Ιωάννης (2004). Αλγόριθµος ∆ιαστατικής Ελάττωσης

∆ιµερών Εναγκαλισµένων Κβαντικών Συστηµάτων, ∆ιπλωµατική ∆ιατριβή Μεταπτυχιακού ∆ιπλώµατος Ειδίκευσης, Πολυτεχνείο Κρήτης, Γενικό Τµήµα, Τοµέας Μαθηµατικών, Χανιά.

[Καρ05] Καραφυλλίδης Ιωάννης (2005). Κβαντικοί Υπολογιστές – Βασικές

Έννοιες, Αθήνα: Εκδόσεις Κλειδάριθµος. [Κων07] Κωνσταντάκης Χρήστος (2007). Κβαντικοί αλγόριθµοι αναζήτησης σε


[Παπ07] Παπαρρίζος Κωνσταντίνος (2007). Ανάλυση και Σχεδίαση Αλγορίθµων,

Θεσσαλονίκη, Κεφάλαιο 5 [ΠΧΛ04] Πάνος Χρήστος, Χατζησάββας Κωνσταντίνος και Λαλαζήσης Γιώργος




[Φυσ05] Ιωάννου Α., Ντάνος Γ., Πήττας Α., Ράπτης Σ. (2005). Φυσική Θετικής

και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Γ΄ Τάξη Ενιαίου Λυκείου, Ε΄ έκδοση, Αθήνα: Οργανισµός Εκδόσεως ∆ιδακτικών Βιβλίων, Κεφάλαιο 7, σελ. 225-255.



[Χηµ05] Λιοδάκης Σ., Γάκης ∆., Θεοδωρόπουλος ∆., Θεοδωρόπουλος Π.,

(2005). Χηµεία Θετικής Κατεύθυνσης, Γ΄ Τάξη Ενιαίου Λυκείου, ΣΤ΄ έκδοση, Αθήνα: Οργανισµός Εκδόσεως ∆ιδακτικών Βιβλίων, Κεφάλαιο 1, σελ. 1-52.

[BEH08] Bhalla Arun, Eguro Kenneth and Hayward Matthew (2008). Quantum Computing, Shor's Algorithm, and Parallelism, April 26, 2008, from IMSA - Illinois Mathematics and Science Academy (http://alumni.imsa.edu/~matth/quant/433/shor-par.pdf)

264

[Bel06] Le Bellac Michel (2006). A Short Introduction to Quantum Information and Quantum Computation, New York: Cambridge University Press.

[Br2000] Brown Julian (2000). The Quest for the Quantum Computer, New York:

TouchStone. [CaPa01] Calude S. Cristian and Păun Gheorghe (2001). Computing with Cells


[Cerf98] Cerf J. Nicolas (1998). “Information-Theoretic Aspects of Quantum

Copying” in Quantum Computing and Quantum Communications, C. P. Williams, First NASA International Conference, QCQS’98, Palm Springs, California, USA, February 17-20, 1998, Selected Papers, Springer-Verlag (Lecture Notes in Computer Science, Volume 1509)




2007-2008) University of Cambridge (http://www.cl.cam.ac.uk/Teaching/0708/QuantComp/)


Algorithms, Chapter 10 - Quantum algorithms. [Gait2008] Gaitan Frank (2008). Quantum Error Correction and Fault Tolerant

Quantum Computing, New York: Taylor and Francis, CRC Press. [Grov97] Grover K. Lov. (1997). ‘Quantum Mechanics Helps in Searching for a

Needle in a Haystack’, Physical Review Letters, Vol. 79, Number 2, pp. 325-328, July 14, 1997 (http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/9706033)

[Grov98] Grover K. Lov (1998). “Quantum Search on Structured Problems” in

Quantum Computing and Quantum Communications, C. P. Williams, First NASA International Conference, QCQS’98, Palm Springs, California, USA, February 17-20, 1998, Selected Papers, Springer-Verlag (Lecture Notes in Computer Science, Volume 1509)

[Hay08] Hayward Matthew (2008). Quantum Computing and Shor's Algorithm,

April 26, 2008, from IMSA - Illinois Mathematics and Science Academy (http://alumni.imsa.edu/~matth/quant/299/paper.pdf)

[HiHa06] Hiroshima Tohya and Hayashi Masahito, “Entanglement and Quantum


265

[John03] Johnson George (2003). A shortcut through time – The Path to the Quantum Computer, NewYork: Knopf

[Kar03] Karafyllidis I. (2003). “Visualization of the quantum Fourier transform

using a quantum computer simulator”, Quantum Information Processing, Vol. 2, No 4, August 2003, pp. 271-288. (http://www.springerlink.com/content/u77r28566h246103/fulltext.pdf)

[Lom2000] Lomonaco Samuel (2000). ‘Lecture on Shor’s Quantum Factoring Algorithm Version 1.1’, October 9, 2000 (http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/0010034v1)



[McAn02] McAnally David (2002). ‘A Refinement of Shor’s Algorithm’, April 17,

2002 (http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/0112055v4) [NaOh08] Nakahara Mikio and Ohmi Tetsuo (2008). Quantum Computing: From



and Quantum Information, Cambridge University Press. [Niel] Nielsen Michael (2008), Quantum computing for everyone, 28 Aug

2008, http://michaelnielsen.org/ [Pol84] Polkinghorne J. C. (1984). The Quantum World, Addison Wesley




[Shor] Shor's algorithm - Wikipedia, the free encyclopedia,

http://en.wikipedia.org [Shor96] Shor W. Peter (1996). ‘Polynomial-Time Algorithms for Prime

Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer’, January 25, 1996 (http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/9508027v2)


Informatics, New Jersey: Wiley -Interscience

266

[Vol01] Volovich I. (2001). ‘Quantum Computing and Shor’s Factoring Algorithm’, September 2, 2001 (http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/0109004v1)

[Wat06] Watrous John (2006). Quantum Computation, (Lectures), University of

Calgary (http://www.cs.uwaterloo.ca/~watrous/lecture-notes/519/all.pdf)

[West2000] West Jacob (2000). The Quantum Computer: an Introduction, April 28,

2000 (http://www.cs.caltech.edu/~westside/quantum-intro.html) [WiCl98] Williams P. Colin and Clearwater H. Scott (1998). Explorations in




[Wil98] Williams P. Colin (1998). Quantum Computing and Quantum

Communications, First NASA International Conference, QCQS’98, Palm Springs, California, USA, February 17-20, 1998, Selected Papers, Springer-Verlag (Lecture Notes in Computer Science, Volume 1509)


Algorithm, CWI and University of Amsterdam, January 12, 1999. (http://homepages.cwi.nl/~rdewolf/publ/qc/survey.pdf)

[Yan04] Yan Y. Song (2004). Primality Testing and Integer Factorization in

Public-Key Cryptography, Kluwer Academic Publishers. pp. 167-170 ( Quantum Factoring Algorithm)

[Zal08] Zalka Christof (2008). ‘Grover’s quantum searching algorithm is

optimal’, Phys. Rev. A., Vol. 60, Number 4, pp. 2746-2751, August 21, 2008 (http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/9711070)

Κβαντικοί υπολογιστές

Documents

Transcript of Κβαντικοί υπολογιστές