ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

ΚΑΤΑΛΗΚΤΙΚΗ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ 12/11/2015

1.Λύσης πρώτης άσκησης

Έστω U1=όλοι οι άνθρωποι ο τομέας αναφοράς του x και U2=όλες

οι ασχολίες ενός ανθρώπου ο τομέας αναφοράς του y.

Τότε η δήλωση γράφεται ως εξής:

Ǝ x Ɏ y [ (S(x) Ʌ M(y) )→ E(x,y) → P(x,y) ]

2.Λύση δεύτερης άσκησης

p q r ¬q Ʌ r ¬p → ¬r r Ʌ (¬q v ¬p)

T T T F T F

T T F F T F

T F T T T T

T F F F T F F T T F F T

F T F F T F

F F T T F T

F F F F T F

1) Ναι, μπορούν και οι τρεις καταθέσεις να είναι ταυτόχρονα

αληθείς. Αθώοι είναι οι Α και Γ και ένοχος είναι ο Β ( 3η

περίπτωση στον πίνακα αληθείας) .

2) Η κατάθεση του Α συνεπάγεται την κατάθεση του Γ διότι

όταν η κατάθεση του Α είναι αληθής τότε και η κατάθεση

του Γ είναι αληθής.

3) Όταν p=q=r=T (όλοι είναι αθώοι) ψευδή κατάθεση έχουν

δώσει οι Α και Γ ενώ αληθή κατάθεση ο Β.

3.Λύση τρίτης άσκησης

1) Η πρόταση είναι ταυτολογία σύμφωνα με τον πίνακα

αληθείας.

p q ( p Ʌ (p → q) ) → q

T T T

T F T

F T T

F F T

2) ( p Ʌ (p → q) ) → q ≡ ¬ ( p Ʌ (p → q) ) v q ≡ p Ʌ (p → q) Ʌ ¬q

Αφού η πρώτη πρόταση είναι ταυτολογία (από το 1) ) τότε και

αυτή η πρόταση που είναι ισοδύναμή της θα είναι επίσης

ταυτολογία.

3)(φ (φ ψ)) ψ ≡ (φ Ʌ (¬φ v ψ) ) → ψ ≡ ¬ (φ Ʌ (¬φ v ψ) ) v ψ

≡ (φ Ʌ (¬φ v ψ) ) Ʌ ¬ψ ≡(φ Ʌ ¬ψ) Ʌ (¬φ v ψ) ≡ (¬φ v ψ) v (φ Ʌ ¬ψ)

≡ ¬(φ Ʌ ¬ψ) v (φ Ʌ ¬ψ), όπου θ1 = ¬(φ Ʌ ¬ψ) και θ2= (φ Ʌ ¬ψ).

4) Έστω θ=(φ Ʌ ¬ψ).

Από το 3) έχουμε ότι (φ (φ ψ)) ψ ≡ ¬(φ Ʌ ¬ψ) v (φ Ʌ ¬ψ)

≡ ¬θ v θ

Δύο ισοδύναμες προτάσεις της θ είναι οι: α) ¬ (¬φ v ψ) και

β) φ → ψ.

4.Λύση τέταρτης άσκησης

ψ = Ɏx(A(x)↔[F(x)vƎy(Ρ(x,y)ɅA(y)])≡

ɎxA(x)↔Ɏx[F(x)vƎy(Ρ(x,y)ɅA(y))]

φ = Ǝx¬A(x)→Ǝx¬F(x)≡ɎxF(x)→ɎxA(x) ≡

ɎxF(x)→Ɏx[F(x)vƎy(Ρ(x,y)ɅA(y))] ≡

ɎxF(x)→ɎxF(x)vɎxƎy(Ρ(x,y)ɅA(y)) (1)

Έστω ρ = ɎxF(x) και (2)

q = ɎxƎy(Ρ(x,y)ɅA(y)) (3)

Από (1) και (2) και (3) παίρνουμε:

ρ → ρ v q το οποίο είναι ταυτολογία, επομένως η λογική

πρόταση φ είναι έγκυρο συμπέρασμα της λογικής πρότασης ψ.

5.Λύση πέμπτης άσκησης

α) Αν x,ψ > 0 και x*ψ > 100 → x > 10 ή ψ > 10 .

Αρκεί να αποδείξουμε την αντιθετοαντίστροφή της.

Έστω ότι x < 10 και ψ < 10 , από πολλαπλασιασμό κατά μέλη

προκύπτει ότι : x*ψ < 100 επομένως και η πρώτη πρόταση θα

είναι αληθής.

β)Δεν υπάρχει μέγιστος άρτιος ακέραιος αριθμός.

Έστω ότι υπάρχει μέγιστος άρτιος ακέραιος αριθμός x.

Τότε ο x μπορεί να γραφεί ως εξής: x=2k, kєΝ

Ισχύει ότι x+2>x → 4k+2>2k → 2(k+1)>2k → k+1>k → x+2 επίσης

άρτιος. Άρα ο x δεν είναι ο μέγιστος άρτιος ακέραιος αριθμός.

γ)Κάποιο ψηφίο εμφανίζεται άπειρες φορές στην δεκαδική

αναπαράσταση του π.

Έστω ότι κανένα ψηφίο δεν εμφανίζεται άπειρες φορές στην

δεκαδική αναπαράσταση του π. Από τη θεωρία των μαθηματικών

ισχύει ότι αν συμβαίνει αυτό τότε ο αριθμός μας είναι ρητός.

Όμως ο π είναι άρρητος αριθμός άρα καταλήγουμε σε άτοπο και

επομένως ισχύει η αρχική πρόταση.

δ)Αν ο n2 είναι ρητός τότε και ο n ρητός.

Έστω n2 = 2, ο οποίος είναι ρητός αριθμός . Τότε έχουμε ότι

√(n2)=√2 ο οποίος είναι άρρητος αριθμός επομένως η αρχική

πρόταση είναι ψευδής.