ΑΛΥΤΕΣ ΣΤΑ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1)Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με °° ==Β 45Γ� 75� και αν Μ μέσο της ΑΓ και φέρουμε από το Μ κάθετη στη διχοτόμο της γωνίας Α που τέμνει την ΑΒ στο Δ.Στην ΒΓ παίρνουμε σημείο Ζ τέτοιο ώστε °=ΖΑΒ 15� .Αν ΑΖ,ΑΓ τέμνονται στο Ο να δειχθεί ότι ΟΒ⊥ΑΓ 2) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και σημείο Ρ πάνω στο ύψος από το Β.Αν ισχύει ΓΒΡ=ΓΑΡ �� να δειχθεί ότι ΡΓ⊥ΑΒ 3) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΒΔ διχοτόμος,από το Δ φέρνουμε παράλληλη στην ΑΒ που τέμνει την ΒΓ στο Ε και Ζ είναι το συμμετρικό του Ε ως προς το Δ,έστω Κ σημείο της ΒΓ έτσι ώστε ΔΚ⊥ΒΔ.Αν η ΖΚ τέμνει την ΑΓ στο Μ και ισχύει ότι ΒΜ=

2ΜΓ να δειχθεί ότι

α)Κ μέσο της ΕΓ β)ΒΔ⊥ΓΖ γ)ΕΜ//ΒΔ 4) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΒΜ η διάμεσος που τέμνει το ύψος ΑΔ στο Ε.Αν ισχύει ΕΜ=

2ΒΕ τότε να δειχθεί ότι ΑΒΓ ισοσκελές

5) Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ=ΑΓ) και ΒΕ το ύψος και Ρ το ορθόκεντρο του ΑΒΓ και Δ το συμμετρικό του Ρ ως προς το Ε και Μ μέσο του ΑΡ.Αν η ΔΜ τέμνει την ΑΓ στο Ζ να δειχθεί ότι ΑΖ= ΑΕ

32

6)Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και Δ μέσο του ΑΓ και Ρ σημείο της ΑΒ το ΔΡ τέμνει την ΒΓ στο Ε και ισχύει ΕΡ=

2Ρ∆ . Από το Β

υψώνω κάθετη στην ΒΓ που τέμνει την ΑΕ στο Ζ.Να δειχθεί ότι ΑΖ= ΑΕ

31

7) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ τυχαίο σημείο της ΒΓ.Από το Δ φέρνουμε κάθετη στην ΑΒ που τέμνει την ΑΓ στο Ε.Αν 321 ,, ΗΗΗ τα ορθόκεντρα των τριγώνων ΑΕΒ,ΑΔΒ,ΑΒΓ να δειχθεί ότι το τρίγωνο 321 ΗΗΗ είναι ισόπλευρο αν και μόνο αν ΑΒΓ ισόπλευρο

8) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ τυχαίο σημείο εκτός του τριγώνου,Ζ το μέσο του ΔΓ και Ε το συμμετρικό του Δ ως προς το μέσο της ΒΓ.Αν ΕΖ τέμνει την ΒΓ στο Κ να δειχθεί ότι ΚΓ=

3ΒΓ

9) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Ι το έγκεντρο του, Κ,Λ,Μ τα συμμετρικά του Ι ως προς τις πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ.Να δειχθεί ότι ο εγγεγραμμένος κύκλος του ΑΒΓ και ο περιγεγραμμένος του ΚΛΜ είναι ομόκεντροι κύκλοι και η ακτίνα του εγγεγραμμένου είναι η μισή του περιγεγραμμένου 10) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με °=Β 60� και ΑΔ το ύψος,στις πλευρές ΑΓ,ΒΓ παίρνουμε Μ,Ν τέτοια ώστε ΜΝ=ΒΔ και ΜΝ//ΑΒ.Αν η κάθετη από το Γ στην ΜΝ τέμνει το ΑΔ στο Η τότε να δειχθεί ότι ΒΗ⊥ΑΓ 11) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( °=Α 90� ) και ΓΔ διχοτόμος .Πάνω στην ΒΓ παίρνουμε Ε έτσι ώστε ΑΓ=ΓΕ.Από το Β φέρνουμε παράλληλη στην ΑΕ που τέμνει την ΓΑ στο Ζ.Να δειχθεί ότι α)ΖΔ⊥ ΒΓ β)Αν ΖΔ τέμνει την ΒΓ στο Κ τότε ΑΖ=ΚΒ 12)Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και Ζ μέσο της ΔΓ.Αν η ΑΖ τέμνει την ΒΔ στο Ε να δειχθεί ότι ΑΕ=

32 ΑΖ .Αν η ΒΖ τέμνει την ΑΔ στο Κ να δειχθεί

ότι ΚΕ τέμνει την ΑΒ στο μέσο της 13) Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και στην προέκταση της ΑΔ παίρνουμε σημείο Ε.Φέρνουμε την διχοτόμο της ΕΒΑ� που τέμνει την ΑΓ στο Ζ να δειχθεί ότι ΑΖ διχοτόμος της ΒΕΑ� 14) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ έστω ΑΔ,ΒΕ,ΓΖ οι τρείς διάμεσοι του και Θ το βαρύκεντρο.Αν Μ το μέσο του ΘΓ και η ΟΜ τέμνει την ΑΔ στο Κ να δειχθεί ότι α)ΘΚ= αµ9

2

β)το ΘΕΜΔ είναι παραλληλόγραμμο 15)Δίνεται κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με Θ βαρύκεντρο του ΑΒΓ.Αν Ε,Ζ,Η μέσα των ΑΒ,ΘΔ,ΓΔ αντίστοιχα να δειχθεί ότι ΕΖ=ΗΘ