Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας Δημήτρη Χατζηαβραμίδη ,...

Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας B

18/12/2012 ΔΧ 1ΔΧ 1

Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας

Δημήτρη Χατζηαβραμίδη, PhD

Σχολή Χημικών Μηχανικών ΕΜΠΧειμερινό Εξάμηνο10-2011


18/12/2012 ΔΧ 2

Ανακεφαλαίωση

•Ποιότητα 1 / Μεταβλητότητα

•Βελτίωση Ποιότητας (Quality Improvement) ---> Υπάρχοντα προϊόνταΠοιότητα από Σχεδιασμό (Quality by Design) ---> Νέα προΪοντα

•Βελτίωση Ποιότητας (QI)Αναγνώριση προβλήματος (Problem Definition)Μέτρηση (Measurement)Ανάλυση (Analysis)Βελτίωση (Improvement)Έλεγχος (Control)

•Αναγνώριση προβλήματος (D)

Υ y x

(κοινωνική ή μετρήσιμο παράμετροι

καταναλωτική μέγεθος / απόκριση ανάγκη)(society or (measurable

(factor) consumer need) quantity / response)


18/12/2012 ΔΧ 3

Ανακεφαλαίωση• Συλλογή και Επεξεργασία Δεδομένων

ΚατανομέςΗ μεταβλητή x έχει κανονική κατανομή με μέσο μ και διασπορά σ2 γράφεται x Ν(μ , σ2)Η κανονική κατανομή είναι συμμετρική, και έχει σχήμα καμπάνας (bell shape)Διάστημα Ποσοστό Πληθυσμούμ + 1σ 68.26%μ + 2σ 95.46%μ + 3σ 99.73%

Δειγματοληψία Το δείγμα {xi | i = 1 ,…,n} είναι τυχαίο:

1. Eαν ο πληθυσμός είναι απείρου μεγέθους ή πεπερασμένου μεγέθους και δειγματοληψία με αντικατάσταση, και τα xi , i = 1,…,n, έχουν ανεξάρτητες και ίδιες κατανομές, ή

2. Εάν ο πληθυσμός είναι πεπερασμένου μεγέθους καί δειγματοληψία χωρίς αντικατάσταση, και το δείγμα έχει την ίδια πιθανότητα επιλογής

n

N


18/12/2012 ΔΧ 4


Για το μέσο και διασπορά δείγματος {xi | i = 1 ,…,n} , ανεξάρτητα από την κατανομή του πληθυσμού,

Έλεγχος Υπόθεσης για το Μέσο ΜονόπλευροςΗο: μ = μο

Η1: μ > μο ή μ > μο

ΔίπλευροςΗο: μ = μο ή μ1 = μ2

Η1: μ ≠ μο μ1 ≠ μ2

22

1

2

21

1

)(

sx

n

xxs

n

xx

n

ii

n

ii

n

Nx2

,~


18/12/2012 ΔΧ 5


Λάθη στον Έλεγχο Υπόθεσης Αληθινή Κατάσταση Ηο Η1

Ηο Σωστό Λάθος τύπου IΙΣυμπέρασμα

Η1 Λάθος τύπου Ι Σωστό

Λάθος τύπου Ι , α = ρίσκο του παραγωγούΛάθος τύπου ΙΙ , β = ρίσκο του καταναλωτή


18/12/2012 ΔΧ 6

Ανακεφαλαίωση• Συλλογή και Επεξεργασία ΔεδομένωνΔιαστήματα Εμπιστοσύνης για Μέσοσ γνωστόΜονόπλευρο Δίπλευρο

Ζα Ζα/2

n

Zx

n

Zx

n

Zx

n

Zx

a

aaa

2/2/


18/12/2012 ΔΧ 7

Ανακεφαλαίωση• Συλλογή και Επεξεργασία ΔεδομένωνΔιαστήματα Εμπιστοσύνης για Μέσοσ άγνωστόΜονόπλευρο Δίπλευρο

Ζα Ζα/2

n

stx

n

stx

n

stx

n

stx

na

nanana

1,

1,2/1,2/1,


18/12/2012 ΔΧ 8

Ανακεφαλαίωση• Συλλογή και Επεξεργασία ΔεδομένωνΈλεγχος Υπόθεσης για Μέσους (Πληθυσμών ή Δειγμάτων)Μονόπλευρη ΔίπλευρηΗο: μ1 = μ2 ή x� 1 = x� 2 Ηο: μ1 = μ2 ή x� 1 = x� 2

Η1: μ > μο ή x� 1 > x� 2 Η1: μ ≠ μο ή x� 1 ≠ x� 2

ή μ < μο ή x� 1 < x� 2

Δ = |μ1 - μ2| ή Δ =|x� 1 - x� 2|

σ γνωστά

Απορρίπτουμε Ηο ανΖο > Ζα Ζο > Ζα/2

1

22

1

21

nn

Zo


18/12/2012 ΔΧ 9

Ανακεφαλαίωση• Συλλογή και Επεξεργασία ΔεδομένωνΈλεγχος Υπόθεσης για Μέσους (Πληθυσμών ή Δειγμάτων)Μονόπλευρη ΔίπλευρηΗο: μ1 = μ2 ή x� 1 = x� 2 Ηο: μ1 = μ2 ή x� 1 = x� 2

Η1: μ > μο ή x� 1 > x� 2 Η1: μ ≠ μο ή x� 1 ≠ x� 2

ή μ < μο ή x� 1 < x� 2

Δ = |μ1 - μ2| ή Δ =|x� 1 - x� 2|

σ άγνωστα

Απορρίπτουμε Ηο ανtο > tα,ν tο > tα/2, ν

1

22

1

21

ns

ns

to

2

1)/(

1)/(

]//[

2

22

22

1

21

21

22

221

21

nns

nns

nsns


18/12/2012 ΔΧ 10

Ανακεφαλαίωση• Συλλογή και Επεξεργασία ΔεδομένωνΑνάλυση Μεταβλητότητας (ΑNalysis Of VAriance)Xρησιμοποιείται για εκτίμηση του πως επιρρεάζουν :

1. Οι τιμές των κρίσιμων μεταβλητών εισόδου (critical factors) τη μέση απόκριση των κρίσιμων μεταβλητών εξόδου (response), και

2. Οι μεταβλητότητες των κρίσιμων μεταβλητών εισόδου την μεταβλητότητα των κρίσιμων μεταβλητών εξόδου

Κυκλωμένη (nested) ANOVAΠαρτίδες Δείγματα (από κάθε παρτίδα) Ανάλυση/Μέτρηση (κάθε

δείγματος)ε = y - ỹ ολικό λάθος y: απόκριση ỹ : προσέγγιση απόκρισηςε = εt + εs + εb εt: λάθος από ανάλυση/μέτρηση εs: λάθος από δείγμα

εb: λάθος από παρτίδαεi N(0, σi

2) i = t, s, b

Έλεγχος υπόθεσης ANOVAΓραμμικό μοντέλο yij = μ + τi + εij

i: δείγμα j: μέτρησηΗο: τ1 = τ2 = ... = τΝ ή Ηο: σ1 = σ2 = ... = σΝ

Η1: τi ≠ 0 για ένα τουλάχιστον i Η1: σi ≠ 0 για ένα τουλάχιστον i


18/12/2012 ΔΧ 11

Ανακεφαλαίωση• Συλλογή και Επεξεργασία ΔεδομένωνΑνάλυση Μεταβλητότητας (ΑNalysis Of VAriance)Ηο: τ1 = τ2 = ... = τΝ Η1: τi ≠ 0 για ένα τουλάχιστον i

Έλεγχος Υπόθεσης ANOVA

SSΤ = SSM + SSE

Ολικό Άθροισμα Άθροισμα‘Αθροισμα Τετραγώνων ΤετραγώνωνΤετραγώνων Μετρήσεων Λάθους

Fo = (SSM /(a-1))/(SSE /a(n-1))

Aν Fo > Fα, a-1, n-1 , η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται

n

jiij

a

ii

n

jij

a

i

yyyynyy1

2

1

2

1

2

1


18/12/2012 ΔΧ 1210-4-2009 ΔΧ 12

ΜέτρησηΛόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας

Αναφέρεται στην ομοιομορφία του αποτελέσματος της διεργασίας, το μέτρο του οποίου είναι η μεταβλητότητα των Κρίσιμων Για Ποιότητα, ΚΓΠ, (Critical To Quality, CTQ) xαρακτηριστικών. Η μεταβλητότητα αυτή μπορεί να κατανοηθή ως: (1) Στιγμιαία, και (2) Διαχρονική (over time)

Άν η διεργασία έχει ένα ΚΓΠ (CTQ) που ακολουθεί κανονική κατανομή με μέσο μ και τυπική απόκλιση σ, τα φυσικά όρια ανοχής (Natural Tolerance Limits) της διεργασίας ορίζονται ως

UNTL = μ + 3σ (ανώτερο)LNTL = μ – 3σ (κατώτερο)

που σημαίνει ότι 0.27% των τιμών του συγκεκριμένου ΚΓΠ (CTQ) χαρακτηριστικού είναι εκτός των φυσικών ορίων αντοχής. Άν η κατανομή δεν είναι κανονική, το ποσοστό των τιμών του αποτελέσματος της διεργασιας ή των τιμών του ΚΓΠ (CTQ) χαρακτηριστικού που είναι εκτός των φυσικών ορίων αντοχής είναι σημαντικά διαφορετικό από το 0.27%

Στην Ανάλυση Ικανότητας Διεργασίας (Process Capability Analysis), η ικανότητα της διεργασίας υπολογίζεται είτε σαν ποσοστό αποτελέσματος εκτός των φυσικών ορίων αντοχής είτε σαν κατανομή πιθανότητας με ωρισμένο σχήμα, κέντρο (μέσο), και εύρος (τυπική απόκλιση). Και στις δυο περιπτώσεις, δεν χρειάζονται προδιαγραφές για το ΚΓΠ (CTQ) χαρακτηριστικό


18/12/2012 ΔΧ 13ΔΧ 13


• Για μελέτη της ικανότητας διεργασιας, συνήθως μετρώνται λειτουργικές παράμετροι ή ΚΓΠ (CTQ) στο προϊόν και όχι στη διεργασία. Μόνο αν η διεργασία παρακολουθείται άμεσα και τα δεδομένα συλλέγονται με συνεχή αυτόματο έλεγχο (controlled and monitored), έχουμε πραγματική μελέτη ικανότητας διεργασιας. Στην περίπτωση αυτή, επειδή η συλλογή των δεδομένων γίνεται με αυτόματο έλεγχο, και επειδή η χρονική σειρά των δεδομένων είναι γνωστή, μπορεί κανείς να αποφανθή για τη χρονική σταθερότητα της διεργασίας

• Όταν δεν γίνεται άμεση παρακολούθηση της διεργασίας ή δεν καταγράφεται η ιστορία παραγωγής, η μελέτη ονομάζεται, πιο σωστά, χαρακτηρισμός προϊόντος (product characterization). Στην περίπτωση αυτή, μπορεί κανείς να υπολογίσει την κατανομή του χαρακτηριστικού ποιότητας του προϊόντος ή την απόδοση της διεργασίας (process yield), δηλ., ποσοστό προϊόντων για τα οποία τηρούνται οι προδιαγραφές, αλλά όχι τη δυναμική της διεργασίας ή την κατάσταση Στατιστικού Ελέγχου της Διεργασίας (Statistical Process Control)


18/12/2012 ΔΧ 14ΔΧ 14


Τα δεδομένα από την Ανάλυση Ικανότητας Διαδικασίας χρησιμοποιούνται στα aκόλουθα:

1. Πρόβλεψη σχετική με το πόσο εύκολο θα είναι για τη διεργασία να μην παραβιασθούν τα όρια ανοχής,

2. Βοήθεια στους σχεδιαστές/υπεύθυνους για ανάπτυξη στην επιλογή ή τροποποίηση της διεργασίας,

3. Βοήθεια στον προσδιορισμό συχνότητας της δειγματοληψίας για λόγους συνεχούς παρακολούθησης της διεργασίας,

4. Ορισμό απαιτήσεων λειτουργίας για νέα μηχανήματα,5. Επιλογή μεταξύ ανταγωνιστικών προμηθευτών και για άλλα θέματα της αλυσίδας

ανεφοδιασμού (supply chain), και6. Προγραμματισμό σειράς διεργασιών παραγωγής, αν υπάρχει αλληλοεπίδραση των

διεργασιών στα όρια ανοχής

Κύριες τεχνικές για Ανάλυση Ικανότητας Διεργασίας: (1) Iστόγραμμο ή διάγραμμα πιθανότητας (histogram or probability plot), (2) Χάρτες ελέγχου (control charts), και (3) Σχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments)

Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας BΜέτρησηΛόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) ΔιεργασίαςΗ ικανότητα διεργασίας εκφράζεται με διάφορους τρόπους. Παράδειγμα, ο λόγος ικανότητας διεργασίας (process capability ratio, PCR), Cp

ανώτερο και κατώτερο όριο

μόνο ανώτερο όριο

μόνο κατώτερο όριο

Στις περισσότερες περιπτώσεις, η τυπική απόκλιση (του πληθυσμού), σ, είναι άγνωστη, και πρέπει να αντικατασταθεί από την αναμενόμενη τιμή (estimate) του, , έτσι ώστε

το «^» δηλώνει αναμενόμενη τιμή μεγέθουςΣαν εκτιμητέα τιμή του μπορεί να ληφθεί η τυπική απόκλιση (δείγματος), s, ή το μέγεθος από χάρτη ελέγχου*Ο λόγος PCR,Cp , έχει μια χρήσιμη πρακτική ερμηνεία, δηλ.,

Ρ = (1/Cp )100 είναι το ποσοστό του διαστήματος προδιαγραφών που χρησιμοποιήθηκε από τη διεργασία

3

3

6

LSLC

USLC

LSLUSLC

p

p

p

2/ dR

6ˆ LSLUSLC p

Rvsx

18/12/2012 ΔΧ 15ΔΧ 15


18/12/2012 ΔΧ 16ΔΧ 16

ix

m

iiijiji

m

ii

n

jiji

Rm

RnjxnjxR

xm

xxn

x

1

11

1;},...,1/min{},...,1/max{

1;

1

2/ˆ dR

ΜέτρησηΛόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) ΔιεργασίαςΑν έχουμε m δείγματα με ίσο αριθμό στοιχείων n , {xij / i = 1,…,m; j=1,…,n}, ο μέσος και το εύρος (range) του i δείγματος, και Ri είναι

Η τυχαία μεταβλητή W = R /σ ονομάζεται σχετικό εύρος του δείγματος, είναι συνάρτηση του μεγέθους του δείγματος n, και έχει μέσο d2 . Η τυπική απόκλιση, σ, προσεγγίζεται απότο


ΔΧ 17ΔΧ 17


18/12/2012


18/12/2012 ΔΧ 18ΔΧ 18


Ο λόγος ικανότητας διεργασίας, Cp , είναι μέτρο της ικανότητας διεργασίας να παράγει προϊόντα που πληρούν τις προδιαγραφές

Προαπαιτούμενα για τον υπολογισμό του λόγου ικανότητας διεργασίας είναι τα ακόλουθα:1. Το χαρακτηριστικό ποιότητας που μετράται έχει κανονική κατανομή,2. Η διεργασία είναι υπό στατιστικό έλεγχο, και3. Στην περίπτωση προδιαγραφών κι από τις δυο πλευρές, ο μέσος είναι στο κέντρο

του διαστήματος που ορίζεται από το κατώτερο και το ανώτερο όριο προδιαγραφής

Οι παραπάνω υποθέσεις είναι κρίσιμες για την ορθότητα (accuracy) και εγκυρότητα (validity)των τιμών του Cp Μη κανονικότητα (normality) των μετρήσεων οδηγεί σε λάθη μεγάλης τάξης στον υπολογισμό του λόγου ικανότητας της διεργασίαςΑρκετά συνηθισμένη τακτική είναι να υπολογίζεται το Cp από δείγμα των ιστορικών δεδομένων χωρίς να εξετάζεται αν η διεργασία ηταν ή είναι υπό στατιστικό έλεγχο. Αν η διεργασία δεν είναι υπό στατιστικό έλεγχο, οι μετρήσεις γίνονται σε ασταθές περιβάλλον, και η αξία τους για πρόβλεψη των μεταβλητών της διεργασίας στο μέλλον είναι αβέβαιη. Αυτό που υπολογίζεται απο το δείγμα των δεδομένων δεν είναι το Cp αλλά η εκτιμητέα τιμή του. Αντί γι αυτή, προτιμάται το διάστημα εμπιστοσύνης για το Cp


18/12/2012 ΔΧ 19ΔΧ 19


Ο παρακάτω πίνακας δίνει το ελάχιστο των τιμών του λόγου ικανότητας διεργασίας_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Δίπλευρες ΜονόπλευρεςΠροδιαγραφές Προδιαγραφές

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Υπάρχουσες διεργασίες 1.33 1.25Νέες διεργασίες 1.50 1.45Ασφάλεια, αντοχή ή κρίσιμη μεταβλητή 1.50 1.45υπάρχουσας διεργασίαςΑσφάλεια, αντοχή ή κρίσιμη μεταβλητή 1.50 1.60νέας διεργασίας________________________________________________________________________

Το «Έξι Σίγμα (Six Sigma)» πρόγραμμα της Motorola απαιτεί, αν ο μέσος της διεργασίας είναι υπό έλεγχο, να μην είναι λιγότερο από έξι τυπικές αποκλίσεις από το κοντινότερο όριο προδιαγραφών. Στην ουσία, το πρόγραμμα «Έξι Σίγμα» απαιτεί ο λόγος ικανότητας διεργασίας να είναι το λιγότερο 2.0


18/12/2012 ΔΧ 2010-4-2009 ΔΧ 20


Ο λόγος ικανότητας διεργασίας δεν λαμβάνει υπ όψη τη θέση του μέσου της διεργασίας σε σχέση με τις προδιαγραφές. Γι αυτό το λόγο, ένας καινούργιος λόγος ικανότητας διεργασίας ορίζεται ως

Ο νέος λόγος Cpk , απλά, είναι ο μονόπλευρος λόγος Cp για το όριο των προδιαγραφών που είναι πιο κοντά στο μέσο της διεργασίας

Γενικά, αν Cp = Cpk η διεργασία είναι επικεντρωμένη (centered) στο κέντρο τουδιαστήματος προδιαγραφών, και αν Cpk < Cp η διαδικασία είναι αποκεντρωμένη (οff-center). Η αποκεντρωμένη διεργασία έχει μικρότερη ικανότητα από την επικεντρωμένη. • To μέγεθος του Cpk σε σχέση με το Cp είναι άμεσο μέτρο του πόσο αποκεντρωμένη

είναι η διεργασία με τον τρόπο που εκτελείται • Το Cp μετράει τή δυνητική ικανότητα (potential capability) ενώ το Cpk μετράει την

πραγματική ικανότητα (actual capability)• Η εικόνα που ακολουθεί δίχνει την κατανομή των μετρήσεων για διάφορες τιμές

των Cpk και Cp

plpupk CCC ,min

3

,3

minLSL

CUSL

CC plpupk


18/12/2012 ΔΧ 2110-4-2009 ΔΧ 21


Στην περίπτωση (d), ο μέσος της διεργασίας είναι ακριβώς ίσος με ένα από τα όρια των προδιαγραφών, πράγμα που οδηγεί στο Cpk = 0. H περίπτωση (e) δείχνει ότι όταν το Cpk < 0, ο μέσος της διεργασίας βρίσκεται έξω από το διάστημα των προδιαγραφών, πράγμα που οδηγεί στο Cpk = -0.5. Είναι φανερό ότι άν Cpk < -1, όλη η διεργασίαβρίσκεται έξω από το διάστημα των προδιαγραφών. Μερικοί ορίζουν το Cpk ως μη αρνητικό, και όλες τις τιμές που είναι μικρότερες του μηδενός ως μηδέν


18/12/2012 ΔΧ 2210-4-2009 ΔΧ 22


Πολλοί που είναι αυθεντίες στή Μηχανική της Ποιότητας έχουν κατά καιρούς συμβουλέψει τη μη χρήση λόγων ικανότητας διεργασίας, Cp και Cpk ,με το αιτιολογικό ότι είναι υπεραπλούστευση ενός πολύπλοκου φαινομένου. Ασφαλώς κάθε στατιστικό μέγεθος που συνδυάζει πληροφορίες για τη θέση του μέσου και το κέντρο της διεργασίας και της μεταβλητότητας, και που απαιτεί κανονικότητα (normality) για να ερμηνευθεί σωστά, είναι πιθανό να χρησιμοποιηθεί λανθασμένα ή άσκοπα. Εκτιμήσεις από σημείο σε σημείο (point estimates) του λόγου ικανότητας διεργασίας είναι σχεδόν άχρηστες, αν προέρχονται από μικρά δείγματα

• Επειδή ο ορισμός των Cp και Cpk βασίζεται στην κανονικότητα, αν το αποτέλεσμα της διεργασίας δεν ακολουθεί κανονική κατανομή, τα δεδομένα από τις μετρήσειςυποβάλλονται σε μετασχηματισμό (transformation) έτσι ώστε τα μετασχηματισμένα δεδομένα να ακολουθούν κατανομή που προσεγγίζει την κανονική

• Για δεδομένα που δεν έχουν κανονικότητα (normality) έχει προταθεί το PCR Cpc

όπου Τ είναι η τιμή του στόχου της διεργασίας. Ο δείκτης c υποδηλώνει ότι τα διαστήματα εμπιστοσύνης που βασίζονται στο Cpc είναι αξιόπιστα

)(2

1;

||2

6

LSLUSLT

TxE

LSLUSLC pc


18/12/2012 ΔΧ 2310-4-2009 ΔΧ 23

ΜέτρησηΛόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας• Ένας άλλος λόγος που έχει προταθεί για διεργασίες που περιγράφονται από τις δυο

οικογένειες κατανομών, Pearson και Johnson, δηλαδή για κανονικές και μη κανονικές κατανομές είναι το PCR που βασίζεται σε ποσοστά δεδομένων, Cp(q)

Επειδή για την κανονική κατανομή x0.00135 = μ – 3σ και x0.99865 = μ + 3σ, στην περίπτωση αυτής της κατανομής Cp(q) = Cp

• Το PCR Cpm που είναι δείκτης της επικέντρωσης της διεργασίας ορίζεται ως

όπου τ είναι η τετραγωνική ρίζα της αναμενόμενης διασποράς από το στοχο Τ=1/2(USL+LSL)

Mε αυτό τον ορισμό του τ, το Cpm δίνεται από τη σχέση

και σε προσέγγιση

00135.099865.0

)(xx

LSLUSLqC p

6

LSLUSLC pm

222222 )()()()( TTxETxE

TC

C ppm

;

1 2

s

TxV

V

CC p

pm

;

1

ˆˆ

2


18/12/2012 ΔΧ 2410-4-2009 ΔΧ 24


Cpk = Cpm= Cp όταν μ = Τ Cpk και Cpm μειώνονται καθώς το μ μετακινείται μακρυά από το Τ Cpk < 0 για μ > USL και μ < LSL

Cpm 0 όταν |μ – Τ| ∞

|μ – Τ| = Δ > 0 και σ = Δ

• Αναγκαία (αλλά όχι ικανή) συνθήκη για τη σχέση Cpm > 1

είναι η σχέση

Αυτό λέγει ότι, αν η τιμή του Τ είναι το μέσο του διαστήματος των προδιαγραφών, Cpm > 1 ο μέσος μ βρίσκεται στό μεσαίο 1/3 του διαστήματος των προδιαγραφών, δηλ., η συγκεκριμένη τιμή του Cpm θέτει ένα περιορισμό στη διαφορά μεταξύ του μ και του Τ

• Τα Cp και Cpm ονομάζονται λόγος «πρώτης γενιάς» και «δεύτερης γενιάς», αντίστοιχα. Ο λόγος «τρίτης γενιάς», Cpkm , που έχει μεγαλύτερη ευαισθησίαστην απομάκρυνση του μέσου της διεργασίας μ από τον επιθυμητό στόχο Τ

T

LSLUSLC pm

6

LSLUSLT 6

1

TC

C pkpkm

;

1 2


18/12/2012 ΔΧ 2510-4-2009 ΔΧ 25

ΜέτρησηΛόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) ΔιεργασίαςΤο μεγαλύτερο μέρος της βιομηχανικής χρήσης των PCR λόγων έχει να κάνη με τονυπολογισμό και την ερμηνεία προσεγγίσεων σε σημεία (point estimates) τουμεγέθους που έχει ενδιαφέρον, αν και είναι γνωστό ότι οι προσεγγίσεις σε σημεία, π.χ.,

, υπόκεινται σε στατιστικές διακυμάνσειςΜια εναλλακτική λύση που πρέπει να γίνη τυποποιημένη πρακτική είναι τα διαστήματα εμπιστοσύνης για τους λόγους ικανότητας διεργασίαςΑν το χαρακτηριστικό ποιότητας ακολουθεί κανονική κατανομή, το διάστημα 100(1-α)% εμπιστοσύνης για το Cp είναι

όπου χ21-α/2,n-1 και χ2

α/2,n-1 είναι το κάτω και άνω α/2 ποσοστό της χι τετράγωνο κατανομής με n-1 βαθμούς ελευθερίας• Ας σημειωθεί ότι για τον υπολογισμό του διαστήματος εμπιστοσύνης

χρησιμοποιείται η τυπική απόκλιση s αντί για το λόγο από τον χάρτη ελέγχουΑυτό τονίζει ότι η διεργασία πρέπει να είναι υπό στατιστικό έλεγχο για να έχουν οιλόγοι PCR κάποια σημασία. Αν η διεργασία δεν είναι υπό στατιστικό έλεγχο, τα s και μπορεί να είναι πολύ διαφορετικά και να οδηγούν σε πολύ διαφορετικές τιμές για τα PCR

pkp CC ˆˆ

1ˆ

1ˆ

η1616

21,2/

21,2/1

21,2/

21,2/1

nCC

nC

ns

LSLUSLC

ns

LSLUSL

npp

np

np

n

2/ dR

2/ dR


18/12/2012 ΔΧ 26ΔΧ 26ijy

ΜέτρησηΛόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας• Το διάστημα εμπιστοσύνης για το Cp είναι ευρύ, άν το δείγμα που χρησιμοποιείται

είναι μικρό• Για δεδομένα που δέν έχουν κανονικότητα (normality), ο λόγος PCR, Cpc , είναι

Η αναμενόμενη μέση τιμή του |x – T| είναι

και ο εκτιμητής (estimator) του Cpc είναι

Το διάστημα 100(1-α)% εμπιστοσύνης για το Ε|x – T| είναι

όπου το sc ορίζεται ως

)(2

1;

||2

6

LSLUSLT

TxE

LSLUSLC pc

n

ii Tx

nc

1

||1

c

LSLUSLC pc

26

ˆ

n

stc c

n 1,2/

n

ii

n

iic cnTx

ncTx

ns

1

222

1

2 ||1

1||

1

1


18/12/2012 ΔΧ 27ΔΧ 27

ΜέτρησηΛόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας• Το διάστημα εμπιστοσύνης για το Cpc είναι

• Μια πολύ συνηθισμένη πρακτική στη βιομηχανία είναι να απαιτείται από τον προμηθευτή να αποδείξει ότι η τιμή του λόγου ικανότητας διεργασίας Cp ικανοποιεί τη συνθήκη να είναι ίση ή μεγαλύτερη μιας συγκεκριμένης τιμής Cp0

Αυτό το πρόβλημα διαμορφώνεται ως υπόθεση Η0 : Cp = Cp0 διεργασία δεν είναι ικανή Η1 : Cp > Cp0 διεργασία είναι ικανή

Απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση Η0 αν το υπερβαίνει μια κριτική τιμή Cp0

• Ορίζουμε το Cp (high) ως την ικανότητα διεργασίας που θέλουμε να αποδεχθούμε με πιθανότητα 1 - α

Ορίζουμε το Cp (low) ως την ικανότητα διεργασίας που θέλουμε να απορρίψουμε με πιθανότητα 1 – β Ο πίνακας που ακολουθεί δίνει τιμές για Cp (high)/Cp (low) και C /Cp (low) για διαφορετικά μεγέθη δείγματος και α = β = 0.10 και α = β = 0.05

ncst

CC

ncst

C

cn

pcpc

cn

pc

/(1

ˆ

/(1

ˆ

1,2/1,2/

pC


18/12/2012 ΔΧ 28ΔΧ 28


• ΑΑΙG (American Automotive Industry Group) συνιστά τη χρήση των λόγων ικανότητας διεργασίας Cp και Cpk όταν η διεργασία είναι υπό έλεγχο, με τυπική απόκλιση να προσεγγίζεται από 2/ˆ dR


18/12/2012 ΔΧ 29ΔΧ 29

ΜέτρησηΛόγος Ικανότητας (Capacity Ratio) Διεργασίας• Αν η διεργασία δεν είναι υπό έλεγχο, ΑIAG (American Automotive Industry Group)

και ANSI (American National Standards Institute) συνιστά τη χρήση των δεικτών εκτέλεσης διεργασίας Pp και Ppk

O δείκτης Pp προσεγγίζεται από τη σχέση

Είναι φανερό ότι στην πραγματικότηταOι ειδήμονες της ποιότητας αποφαίνονται ότι τα Pp και Ppk είναι χάσιμο χρόνου και δεν σημαίνουν τίποτε

n

iip nxxs

s

LSLUSLP

1

)1/()(;6

ˆ

pkpkpp CPCP ˆˆˆˆ


18/12/2012 30ΔΧ 30

ΜέτρησηΔεικτης ΕΠαναληψιμότητας και ΑΝαπαραγωγής (Gauge of Repeatability & Reproducibity)

Οι μελέτες ικανότητας συστήματος μέτρησης έχουν σκοπό να:1. Aπαντήσουν στο ερώτημα τι μέρος της μεταβλητότητας οφείλεται στον αναλυτή ή το

όργανο,2. Διαχωρίσουν τις συνιστώσες της μεταβλητότητας στο σύστημα μέτρησης,3. Αξιολογήσουν την ικανότητα του οργάνου ή του αναλυτή

Ένα λογικό μοντέλο για μελέτες ικανότητας συστήματος μέτρησης είναι y = x + ε

όπου y είναι η τιμή του μεγέθους από τη μέτρηση , x είναι η πραγματική τιμή του μεγέθους και ε το λάθος της μέτρησηςΑν υποθέσουμε ότι τα x και ε είναι τυχαίες μεταβλητές με ανεξάρτητες κανονικές κατανομές με μέσους μ και 0 και διασπορές σΡ

2 και σ2Gauge , αντίστοιχα, η ολική

διασπορά τιμής του μεγέθους από τη μέτρηση, σ2Total , είναι

σ2Total = σΡ

2 + σ2Gauge

Οι διασπορές σ2Total , σΡ

2 και σ2Gauge ονομάζονται ολική μεταβλητότητα, μεταβλητότητα

προϊόντος ή διεργασίας, και μεταβλητότητα μετρητή, αντίστοιχα


18/12/2012 31ΔΧ 31


• Διακριτική ικανότητα του οργάνου είναι η ικανότητα του αναλυτή να διακρίνει μεταξύ μονάδων του προϊόντος

• Oι τιμές του R αντιπροσωπεύουν διαφορά μεταξύ μετρήσεων της ίδιας μονάδας προϊόντος με τη χρήση του ιδίου οργάνου

• Ο λόγος ακρίβεια/ανοχή (Ρrecision/Τolerance) ορίζεται ως

Δημοφιλείς τιμές για την σταθερά k είναι 5.15 (αντιστοιχεί σε 95% δεδομένων κανονικής κατανομής) και 6 (αντιστοιχεί σε 99...% δεδομένων κανονικής κατανομής) Τιμές του Ρ/Τ ίσες ή μικρότερες του 0.1, χωρίς αυτό να είναι πάντα σωστό, θεωρείται ότι υπαινίσονται επαρκή ικανότητα του μετρητή

• Άλλα μέτρα της ικανότητος του αναλυτή είναι ο λόγος της μεταβλητότητας του προϊόντος ή διεργασίας προς την ολική μεταβλητότητα, ρp , και ο λόγος της μεταβλητότητας του συστήματος μέτρησης προς την ολική μεταβλητότητα, ρΜ , που ορίζονται ως

• Το AΑΙG καθόρισε τό λόγο σήματος προς θόρυβο (Signal-to-Noise Ratio) ως

LSLUSL

kTP Gauge

/

2

2

2

2

;Total

GaugeM

Total

PP

p

pSNR

1

2


18/12/2012 32ΔΧ 32


• Άλλο μέτρο της ικανότητας του μετρητή είναι ο λόγος διάκρισης, DR, που ορίζεται ως

• Μια διάκριση χρειάζεται να γίνη μεταξύ ορθότητας (accuracy) και ακρίβειας (precision) του μετρητη. H oρθότητα αναφέρεται στην ικανότητα του οργάνου να μετρήση σωστά τη μέση πραγματική τιμή, ενώ η ακρίβεια είναι μέτρο της εγγενούς μεταβλητότητας στο σύστημα μέτρησης. Οι έννοιες αυτές παρουσιάζονται στην ακόλουθη εικόνα

p

pDR

1

1


18/12/2012 33ΔΧ 33


• Δυο συνιστώσες του λάθους μέτρησης είναι η επαναληπτικότητα (repeatability) και η αναπαραγωγικότητα (reproducibility). H επαναληπτικότητα αναφέρεται στη βασική εγγενή ακρίβεια του ίδιου του μετρητή. Η αναπαραγωγιμότητα είναι η μεταβλητότητα που οφείλεται σε διαφορετικούς αναλυτές που χρησιμοποιούν τον ίδιο μετρητή (ή χρήση του ίδιου μετρητή υπό διαφορετικές συνθήκες)

Το πείραμα που γίνεται για να μετρηθούν οι συνιστώσες του συνήθως ονομάζεται μελέτη επαναληπτικότητας & αναπαραγωγιμότητας του μετρητή (Gauge R & R study)

2ilityreproducib

2ityrepeatabil

2Gauge

2errort Measuremen

2Gauge


18/12/2012 34ΔΧ 34


Μια από τίς κυριότερες χρήσεις των D(esign) O(f) E(xperiments) είναι ο διαχωρισμός και υπολογισμός των συνιστωσών της μεταβλητότητας στη διεργασία

Παράδειγμα – Το περιεχόμενο σε σιρόπι (Brix) φιαλών αναψυκτικού, που γεμίζονται από μηχανές με μεγάλο αριθμό κεφαλών για γέμισμα, μετράται και η μεταβλητότητα του είναι, σΒ

2. Ένα μέρος της μεταβλητότητας σΒ2 οφείλεται στις μηχανές, σΜ

2, ένα άλλο μέρος στις κεφαλές, σΗ

2 , και ένα τρίτο στην αναλυτική μέθοδο προσδιορισμού του περιεχομένου του σιροπιού, σΑ

2 , δηλ., σΒ

2 = σΜ2 + σΗ

2 + σΑ2

Το πείραμα σχεδιάζεται έτσι ώστε να λαμβάνονται δείγματα φιαλών από διαφορετικές μηχανές και διαφορετικές κεφαλέςστην ίδια μηχανή, και να μετρώνται περισσότερες από μιαφορές το κάθε δείγμα για να υπολογισθούν η μεταβλητότητα και οι συνιστώσες της. Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στη διπλανή εικόνα. Είναι φανερό ότι η διεργασία μπορεί να βελτιωθεί, αν μειωθεί η μεταβλητότητα από κεφαλή σε κεφαλή


18/12/2012 35ΔΧ 35


Η μελέτη ΕΠαναληπτικότητας & ΑΝαπαραγωγικότητας Μετρητή (Gauge R & R) είναι ένα σχεδιασμένο πείραμα (designed experiment). Ένα παράδειγμα σχεδιασμένου πειράματος είναι οι μετρήσεις θερμικής αντίστασης σε οC /(100 x Watt) για επαγωγικό κινητήρα (motor starter), στον πίνακα που ακολουθεί. ΄Εχουμε 10 τεμάχια, 3 αναλυτές (operators), και 3 μετρήσεις ανά τεμάχιο. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι έχουμε ένα παραγοντικό πείραμα (factorial experiment), κάθε αναλυτής μετράει όλα τα τεμάχια.

Αριθμ. Αναλυτής 1 Αναλυτής 2 Αναλυτής 3Τεμαχ. Μετρ. 1 Μετρ. 2 Μετρ. 3 Μετρ.1 Μετρ.2 Μετρ.3 Μετρ. 1 Μετρ. 2 Μετρ. 3

1 37 38 37 41 41 40 41 42 412 42 41 43 42 42 42 43 42 433 30 31 31 31 31 31 29 30 284 42 43 42 43 43 43 42 42 425 28 30 29 29 30 29 31 29 296 42 42 43 45 45 45 44 46 457 25 26 27 28 28 30 29 27 278 40 40 40 43 42 42 43 43 419 25 25 25 27 29 28 26 26 26

10 35 34 34 35 35 34 35 34 35


18/12/2012 36ΔΧ 36

ΜέτρησηΔεικτης ΕΠαναληψιμότητας και ΑΝαπαραγωγής (Gauge of Repeatability & Reproducibity)ΑΝΟVΑΗ μέτρηση, δηλ., η aπόκριση (response) παριστάνεται από το μοντέλο

yijk = μ + Ρi + Oj + (PO)ij + εijk

i = 1, 2, …, p; j = 1, 2, …, o; k = 1, 2, …, nΟι παράγοντες (factors) Ρi , Oj , (PO)ij , και εijk είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που αντιπροσωπεύουν τις επιδράσεις των τεμαχίων και αναλυτών, τις αλληλοεπιδράσεις τεμαχίων και αναλυτών, και του τυχαίου σφάλματος, αντίστοιχα. Υποθέτουμε ότι οι τυχαίες μεταβλητές Ρi , Oj , (PO)ij , και εijk ακολουθούν κανονική κατανομή με μέσο το μηδέν και διασπορές V(Pi ) = σΡ

2, V(Oj ) = σO2, V(POjj ) = σOP

2, και V(εjjk ) = σ2. Γι αυτό η διασπορά της μέτρησης είναι

V(yjjk ) = σΡ2 + σO

2 + σOP2 + σ2

Eπίσης τα αθροίσματα των τετραγώνων ικανοποιούν τη σχέσηSSTotal= SSParts + SSOperators + SSPxO + SSError

O μέσος των τετραγώνων είναι ο λόγος του αθροίσματος των τετραγώνων με τούς βαθμούς ελευθερίας, δηλ.,


3726-1-2011 ΔΧ 37


Οι αναμενόμενες τιμές τών μέσων των τετραγώνων είναι

όπου b είναι ο αριθμός των αναλυτών που επιλέχθηκαν με τυχαίο τρόπο, και a ο αριθμός των τεμαχίων που επιλέχθηκαν με τυχαίο τρόπο. Από αυτή τη σχέση

)1(

)1)(1(

1

1

npo

SSMS

op

SSMS

o

SSMS

p

SSMS

ErrorE

PxOPO

OperatorsO

PartsP

on

MSMSo

MSMSn

MSMS

MS

POPPO

EOO

EPP

E

2

2

2

2

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

2

22

222

222

)()()()(

E

POPO

OPOO

PPOP

MSEnMSE

annMSEbnnMSE

18/12/2012


38


Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τα αποτελέσματα Βalanced ANOVA από το Μinitab

Με βάση τίς τιμές του Ρ, η επίδραση στη μεταβλητότητα 1. Από τα τεμάχια είναι μεγάλη,2. Από τούς αναλυτές είναι μικρή, και3. Απο το συνδυασμό τεμαχίων-αναλυτών δεν είναι σημαντική

26-1-2011 ΔΧ 3851.0ˆ;73.0

3

51.070.2ˆ

56.0)3)(10(

70.263.19ˆ;29.48

)3)(3(

70.233.437ˆ

22

22

PO

OP

18/12/2012


18/12/2012 3910-4-2009 ΔΧ 39


Από καιρού σε καιρό, βρίσκουμε από την ΑΝΟVΑ μια από τις συνιστώσες της μεταβλητότητας να είναι αρνητική, πράγμα που δεν είναι λογικό γιατί, λόγω ορισμού τους, οι μεταβλητότητες είναι πάντα θετικές. Υπάρχουν αρκετοί τρόποι για να διορθωθεί αυτό:1. Αν μια από τις συνιστώσες της μεταβλητότητας είναι αρνητική, εξισώνουμε την τιμή

της με μηδέν και αφήνουμε τις υπόλοιπες όπως είναι,2. Όταν μια από τις συνιστώσες της μεταβλητότητας είναι αρνητική, συνήθως έχουμε γι

αυτή τη συνιστώσα όχι σημαντική επίδραση από την αντίστοιχη αιτία. Μπορούμε να θεωρήσουμε, χωρίς μεγάλο λάθος, ότι η τιμή της συνιστώσας αυτής είναι μηδέν, και να επαναλάβουμε τόν υπολογισμό των συνιστωσών της μεταβλητότητας με μέθοδο διαφορετική από την ΑΝΟVΑ που εξασφαλίζει θετικές συνιστώσες μεταβλητότητας

Στο παραπάνω παράδειγμα, σΡΟ2 ≈ 0, δηλ., δεν υπάρχει συνδυασμένη επίδραση τεμαχίου-

αναλυτή. Γι αυτό το λόγο, θεωρούμε το ελλειπές (reduced) μοντέλοyijk = μ + Ρi + Oj + εijk

Συνήθως θεωρούμε το σ2 σαν επαναληπτικότητα (repeatability) και το άθροισμα των συνιστωσών της μεταβλητότητας εξ αιτίας των αναλυτών και του συνδυασμού τεμαχίου-αναλυτή σαν aναπαραγωγιμότητα (reproducibility)

σ2reproducibility = σΟ

2 + σΡΟ2 σ2

repeatability = σ2


18/12/2012 40ΔΧ 40


σ2Gauge = σ2

reproducibility + σ2repeatability

Για το παράδειγμα

Ο λόγος Ρ/Τ του αναλυτή υπολογίζεται από τη σχέση

Ο αναλυτής δεν θεωρείται ικανός αν Ρ/Τ > 0.10

Λανθασμένα και αποδεχθέντα ελαττωματικάΗ πραγματική ικανότητα του συστήματος μέτρησης να διαχωρίζει μεταξύ απορριπτέων και αποδεκτών προϊόντων δεν μπορεί να εκφρασθεί από τους λόγους ικανότηταςΡ/Τ, SNR και DR που δεν είναι άμεσα μεταφράσιμοιΑς θεωρήσουμε το μοντέλλο

y = x + εόπου y είναι η μετρηθείσα τιμή, x η πραγματική τιμή, και ε το λάθος μέτρησης. Οι τυχαίες μεταβλητές x και ε έχουν ανεξάρτητες κανονικές κατανομές με μέσους μ και 0 και διασπορές σ2

Ρ και σ2Gauge αντίστοιχα. Η κοινή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας,

f(x,y),ειναι κανονική με δυο μεταβλητές, διάνυσμα μέσου [μx , μy]Τ και πίνακασυνδυακύμανσης (covariance matrix)

80.173.056.051.0ˆˆˆˆ 2222 POOGauge

27.01858

)80.1(6ˆ6/

LSLUSLTP Gauge

22

22

PP

PTotal


18/12/2012 4110-4-2009 ΔΧ 41


y = x + εTo προϊόν (τεμάχιο) είναι αποδεκτό, αν

LSL < x < USL (1)To σύστημα μέτρησης θα χαρακτηρίσει ένα προϊόν (τεμάχιο) σαν αποδεκτό, αν

LSL < y < USL (2)• Aν η σχέση (1)ισχύει και η σχέση (2) δεν ισχύει, ένα αποδεκτό προϊόν (τεμάχιο) έχει

αποτύχει κατά λάθος (κίνδυνος για τον παραγωγό, producer’s risk) • Αν η σχέση (1) δεν ισχύει και η σχέση (2) ισχύει, ένα απορριπτέο προϊόν (τεμάχιο)

έχει γίνει αποδεκτό κατά λάθος (κίνδυνος για τον καταναλωτή, consumer’s risk)

O κίνδυνος για τον παραγωγό (producer’s risk), α, είναι η υπό όρους πιθανότητα το σύστημα μέτρησης να αποτύχει για ένα προϊόν (τεμάχιο), όταν το προϊόν (τεμάχιο) ικανοποιεί τις προδιαγραφές (ψεύτικη αποτυχία,False Failure ) O κίνδυνος για τον καταναλωτή (consumer’s risk), β, είναι η υπό όρους πιθανότητα το σύστημα μέτρησης να χαρακτηρίσει ένα προϊόν (τεμάχιο) σαν αποδεκτό, όταν το προϊόν (τεμάχιο) δεν ικανοποιεί τις προδιαγραφές (λανθασμένη αποτυχία, Missed Fault)Τα α και β υπολογίζονται από τις σχέσεις

USL

LSL

USL

USL

LSL

USL

LSL

LSL

USL

LSL

LSL

USL

USL

LSL

USL

LSL

dxxf

dydxyxfdydxyxf

dxxf

dydxyxfdydxyxf

a

)(1

),(),(

;

)(

),(),(


18/12/2012 42ΔΧ 42


Οι περιοχές ψεύτικη αποτυχία (False Failure), και λανθασμένη αποτυχία (Missed Fault), ενός συστήματος ελέγχου δείχνονται στο διάγραμμα που ακολουθεί, και οριοθετούνται από κλειστές καμπύλες (contours). Στην πραγματικότητα δεν γνωρίζουμε τα μ, σΡ

2 και σ 2

Τοταl, και οι προσεγγιστικές τιμές τους, δεν λένε τίποτε για την αβεβαιότητα στις τιμές. Αντί γι αυτό χρησιμοποιούμε διαστήματα εμπιστοσύνης για τις συνιστώσες της μεταβλητότηταςΤα β και α υπολογίζονται για διάφορα σενάρια που υποδεικνύονται από τα διαστήματα εμπιστοσύνης των συνιστωσών της μεταβλητότητας. Για παράδειγμα, ένα απαισιόδοξο (pessimistic) σενάριο είναι να θεωρήσουμε την χειρότερη απόδοση (performance) για το σύστημα μέτρησης και χειρότερη ικανότητα για την διεργασία. Για να γινει αυτό, δίνουμε στο σΡ

2 την τιμή του άνω ορίου του διaστήματος εμπιστοσύνης (για σΡ2) και βρίσκουμε την

τιμή του σ 2Τοταl που παρέχει το κατώτερο όριο για το ρΡ . Αντίστροφα, ένα αισιόδοξο

(οptimistic) σενάριο συνδυάζει την καλλίτερη δυνατή απόδοση για το σύστημα ελέγχου με την καλλίτερη ικανότητα του συστήματος μέτρησης

p

p

Total

PP SNR

1

22

2


18/12/2012 43ΔΧ 43


Ο πίνακας παρακάτω δείχνει υπολογισμό των κινδύνων για τον παραγωγό και τονκαταναλωτή, α και β, αντίστοιχα, για τα δυο σενάρια που εξετάστηκαν πιο πάνω, απαισιόδοχο (pessimistic), για την χειρότερη δυνατή απόδοση του συστήματος μέτρησης και της διεργασίας, και αισιόδοξο (οptimistic), για την καλλίτερη δυνατή απόδοση του συστήματος μέτρησης και της διεργασίας. Για το απαισιόδοξο σενάριο, χρησιμοποιούμε το άνω όριο για το σΡ

2 και το κάτω όριο για το ρΡ . Για το αισιόδοξο σενάριο,χρησιμοποιούμε το κάτω όριο για το σΡ

2 και το άνω όριο για το ρΡ


18/12/2012 44ΔΧ 44


Το πρόβλημα έχει να κάνει με τη χρήση πληροφοριών από την ανάλυση ικανότητας της διεργασίας για την οριοθέτηση των προδιαγραφών σε διακριτά συνιστώντα μέρη που αλληλοεπιδρούν με άλλα συνιστώντα μέρη για να σχηματίσουν το τελικό προϊόν Παρουσιάζεται ιδιαίτερα σε πολύπλοκα συστήματα ή για να αποφευχθεί σχηματισμός σωρού ανοχής (tolerance stack-up) όπου υπάρχουν πολλές αλληλοεπιδρώσες διαστάσεις

Σε πολλές περιπτώσεις, η διάσταση ενός στοιχείου είναι γραμμικός συνδυασμός των διαστάσεων των συνιστώντων μερών του, δηλ.,

y = a1x1 + a2x2 +…+anxn Αν τα xi έχουν ανεξάρτητες κανονικές κατανομές με μέσο μi και διασπορά σi

2, το y

κατανέμεται κανονικά με μέσο μy = Σi=1nai μi και διασπορά σy

2 = Σi=1nai

2 σi

2 . Aν τα μi και σi

2 είναι γνωστά, το ποσοστό των στοιχείων εκτός των ορίων των προδιαγραφών μπορεί να υπολογισθεί. Αν το στοιχείο αποτελείται από n μέρη με κοινή διασπορά σ2, και τα φυσικά όρια ανοχής του στοιχείου ορίζονται έτσι ώστε α% των στοιχείων να είναι εκτός των ορίων αυτών, τότε η μέγιστη δυνατή τιμή της διασποράς του στοιχείου, σy

2*, που επιτρέπει τα φυσικά όρια ανοχής και τα όρια των προδιαγραφών να συμπίπτουν, είναι

όπου 2W είναι τό εύρος του διαστήματος των προδιαγραφών

2

2/

*2

Z

Wy


18/12/2012 45ΔΧ 45


Συνεπώς, η μέγιστη επιτρεπτή τιμή της διασποράς για τα επί μέρους συνιστώντα μέρη είναι

Σε μερικά προβλήματα, η διάσταση του στοιχείου είναι μή γραμμική συνάρτηση των διαστάσεων των συνιστώντων μερών του, δηλ.,

y = g(x1, x2 ,…, xn ) Αναπτύσσουμε το δεξιό μέρος της παραπάνω εξίσωσης σε σειρά Τaylor

όπου R αντιπροσωπεύει όρους υψηλότερης τάξης. Αν αγνοήσουμε τους όρους υψηλότερης τάξης, έχουμε

Η μέθοδος της προσέγγισης μέσου και διασποράς μη γραμμικού συνδυασμού τυχαίων μεταβλητών ονομάζεται μέθοδος δέλτα (delta method). H σχέση για τον υπολογισμό της διασποράς του στοιχείου από τις διασπορές των συνιστώντων μερών ονομάζεται τύπος για μετάδοση λάθους (transmission of error formula)

Rx

gxgxxxgy

n

n

i iiinn

,...,,1

2121

21|

|)(),...,,(),...,,(

ny

*2*2

1

2

2

,...,,

2

21

21|

|

),...,,(

ii

iy

ny

nx

g

g

Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας BΜέτρησηΔεικτης ΕΠαναληψιμότητας και ΑΝαπαραγωγής (Gauge of Repeatability & Reproducibity)

Τα όρια εμπιστοσύνης είναι διαφορετικά από τα όρια ανοχήςΌρια εμπιστοσύνης: καθορίζουν το διάστημα στο οποίο κυμαίνεται η τιμή της παραμέτρου μιας κατανομήςΌρια ανοχής: καθορίζουν το διάστημα στο οποίο αναμένεται να βρίσκεται συγκεκριμένο ποσοστό του πληθυσμού

Τα όρια και των δυο τύπων προσδιορίζονται από δείγμα του πληθυσμού, μεγέθους nΓια τον προσδιορισμό αυτών των ορίων, χρειάζεται να είναι γνωστά η κατανομή και οι παράμετροι του χαρακτηριστικού της ποιότητας, που στα περισσότερα πραγματικά προβλήματα δεν είναι γνωστά

Όταν n ∞ , το εύρος του διαστήματος εμπιστοσύνης τείνει στο 0, και τα όρια ανοχής που προσδιορίσθηκαν από τό δείγμα μεγέθους n πλησιάζουν τα αντίστοιχα του πληθυσμού

Αν μια τυχαία μεταβλητή x έχει κανονική κατανομή με μέσο μ και διασπορά σ2, και μ και σ2 είναι άγνωστα, από ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους n προσδιορίζεται ο μέσος x και διασπορά s2. Είναι λογικό να προσεγγίσουμε τα φυσικά όρια ανοχής με x + Ζα/2 s, όμως, επειδή x και s δεν είναι πραγματικός μέσος και τυπική απόκλιση, το διάστημα που ορίζεται από τα φυσικά όρια ανοχής δεν περιλαμβάνει πάντοτε 100(1-α)% των τιμών της κατανομής. Μπορεί, όμως, να προσδιορισθεί μια σταθερά Κ, έτσι ώστε για ένα μεγάλοαριθμό δειγμάτων, ποσοστό γ του διαστήματος x + Κs να περιλαμβάνει τουλάχιστον 100(1-α)% των τιμών της κατανομής

18/12/2012 46ΔΧ 46


18/12/2012 4710-4-2009 ΔΧ 47


Tιμές του Κ για 2 < n < 1000, γ = 0.90, 0.95, 0.99, και α = 0.10, 0.05, 0.01 στόν πίνακα που ακολουθεί


18/12/2012 4810-4-2009 ΔΧ 48


Μη παραμετρικά ή ανεξάρτητα-από-κατανομή (nonparametric ή distribution-free) όρια ανοχής, που ισχύουν για κάθε συνεχή κατανομή πιθανότητας, βασίζονται στις ακραίες τιμές (μέγιστο και ελάχιστο) μετρήσεων δείγματοςΓια όρια ανοχής κι από τις δυο πλευρές της κατανομής, ο αριθμός των μετρήσεων που πρέπει να ληφθούν για να εξασφαλίσουν, έτσι ώστε, με πιθανότητα γ, 100(1-α)% της κατανομής να βρίσκονται μεταξύ του μεγίστου και ελαχίστου των τιμών των μετρήσεων στο δείγμα, είναι κατά προσέγιση

Για όρια ανοχής από τη μια πλευρά της κατανομής, ο αριθμός των μετρήσεων που πρέπει να ληφθούν για να εξασφαλίσουν, με πιθανότητα γ, 100(1-α)% της κατανομής να έχουντιμές μεγαλύτερες από τη μικρότερη τιμή μέτρησης του δείγματος ή τιμές μικρότερες από τη μεγαλύτερη τιμή μέτρησης του δείγματος, είναι

Γενικά τα μη παραμετρικά όρια ανοχής έχουν μικρή πρακτική αξία γιατί το να κατασκευάσει κανείς κατάλληλα διαστήματα που, με μεγάλη πιθανότητα, περιέχουν σχετικά μεγάλο ποσοστό των τιμών της κατανομής, πρέπει να ληφθούν μεγάλα δείγματα. Σε μερικές περιπτώσεις, αυτά τα διαστήματα είναι τόσο μεγάλα που η χρήση τους είναι ανεπίτρεπτη

4

2

2

12

4,1

n

)1log(

)1log(

n


AνάλυσηΣχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments)

Διεργασία: Συνδυασμός μηχανών, μεθόδων, και ανθρώπων που μετατρέπει εισερχόμενο υλικό σε εξερχόμενο προϊόν

Σχεδιασμένο πείραμα: ένα πείραμα ή μια σειρά πειραμάτων στα οποία γίνονται αλλαγές στις μεταβλητές εισόδου έτσι ώστε

να παρατηρηθούν και να εντοπισθούν αλλαγές στις μεταβλητές εξόδου (response)

Οι στόχοι του πειράματος περιλαμβάνουν:

1. Προσδιορισμό των τιμών των ελεγχομένων μεταβλητών x που επιρρεάζουν τις μεταβλητές εξόδου y,

2. Προσδιορισμό των τιμών που πρέπει να δοθούν στις μεταβλητές x που επιρρεάζουν τις μεταβλητές εξόδου y, έτσι ώστε η απόκριση y να είναι στην περιοχή των απαιτουμένων,

3. Προσδιορισμό των τιμών που πρέπει να δοθούν στις μεταβλητές x που επιρρεάζουν τις μεταβλητές εξόδου y, έτσι ώστε η μεταβλητότητα της απόκρισης y να είναι μικρή,

4. Προσδιορισμό των τιμών που πρέπει να δοθούν στις μεταβλητές x που επιρρεάζουν τις μεταβλητές εξόδου, έτσι ώστε η επίδραση των μη ελεγχομένων μεταβλητών z να ελαχιστοποιηθεί

18/12/2012 ΔΧ 49


18/12/2012 ΔΧ 50

AνάλυσηΣχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments)Οι μέθοδοι του Σχεδιασμού Πειραμάτων (Design Of Experiments) βρίσκουν εφαρμογή στον Σχεδιασμό και Ανάπτυξη Διεργασιών και Προϊόντων (Process & Product Design & Development), για να:1. Βελτιωθεί η απόδοση (yield),2. Eλαττωθεί η μεταβλητότητα στην απόκριση και να είναι η απόκριση πιό κοντά στις

προδιαγραφές, 3. Ελαττωθούν ο χρόνος και τα έξοδα ανάπτυξης,4. Βελτιωθεί ο τρόπος εκτέλεσης (performance) της διεργασίας, και5. Γίνει η διεργασία σταθερή (robust) ώστε να μην επιρρεάζεται από εξωτερικές αιτίες

που προκαλούν μεταβλητότητα (διακύμανση)

Οι μέθοδοι του Σχεδιασμού Πειραμάτων (Design Of Experiments) είναι στενάσυνδεδεμένες με τίς μεθόδους Στατιστικού Ελέγχου Διεργασίας (Statistical Process Control). Για παράδειγμα, αν μια διεργασία είναι υπό στατιστικό έλεγχο αλλά εξακολουθεί να έχει χαμηλή ικανότητα, είναι αναγκαίο να μειωθεί η μεταβλητότηταΤο DΟΕ προσφέρει ένα πιο αποτελεσματικό τρόπο από το SPC για να γίνει ακριβώς αυτό Το SPC είναι στατική μέθοδος, γιατί παρατηρούμε τη διεργασία και περιμένουμε για πληροφορία που θα οδηγήσει σε χρήσιμη αλλαγή. Το DΟΕ είναι ενεργή μέθοδος, γιατί κάνουμε μια σειρά από πειράματα, κάνουμε αλλαγές στις μεταβλητές εισόδου και παρατηρούμε τις αλλαγές στις μεταβλητές εξόδου, και αυτό θα παράγει πληροφορία που θα οδηγήσει σε βελτίωση της διεργασίας


18/12/2012 ΔΧ 51ijy

AνάλυσηΣχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – Παραγοντικά Πειράματα (Factorial DOE)

Γίνονται για να προσδιορισθούν οι παράγοντες (factors), ελέγξιμοι και μη, που επηρεάζουν σημαντικά την απόκριση (response). Βοηθούν να προσδιορισθεί το μέγεθος και η διεύθυνση της επίδρασης κάθε παράγοντα. Τα πειράματα αυτά γίνονται με αλλαγές σε όλους τους παράγοντες ταυτόχρονα, και ονομάζονται παραγοντικά (factorial)

Παράδειγμα - Ένας μηχανικός με εφαρμογή SPC κατάφερε να θέσει υπό στατιστικό έλεγχο μια διεργασία συγκόλλησης ηλεκτρονικών στοιχείων σε εκτυπωμένους πίνακες κυκλωμάτων. Ο πίνακας κυκλωμάτων περιέχει κατά μέσο όρο 2000 σημεία συγκόλλησης και, παρόλο που η διεργασία είναι υπό έλεγχο, ο αριθμός των πινάκων με ελαττωματικές συγκολλήσεις είναι μεγάλος και πρέπει να μειωθεί. Σ’ αυτό το σημείο δεν είναι φανερό τι τροποποιήσεις χρειάζεται να γίνουν στη μηχανή ροής της συγκολλητικής ύλης. Η μηχανή αυτή έχει τις εξής ελέγξιμες μεταβλητές:1. Θερμοκρασία συγκόλλησης,2. Θερμοκρασία προθέρμανσης,3. Ταχύτητα μεταφορέα,4. Ρυθμός ροής,5. Ειδικό βάρος υγρού ροής,6. Βάθος στρώματος συγκολλητικής ύλης, και7. Γωνία μεταφορέα


18/12/2012 ΔΧ 52

AνάλυσηΣχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – Πειράματα διαλογής ή χαρακτηρισμού (screening οr characterizing experiments)Εκτός από τις ελέγξιμες μεταβλητές, υπάρχουν κι άλλες που δέν μπορούν να ελέγχονται κατά τη διάρκεια στερεότυπης παραγωγής, αλλά μπορούν να ελεγχθούν για το σκοπό πειραμάτων διαλογής ή χαρακτηρισμού, όπως 1. Πάχος του τυπωμένου πίνακα κυκλωμάτων,2. Είδη στοιχείων που χρησιμοποιούνται για τον πίνακα,3. Διάταξη των στοιχείων στον πίνακα,4. Χειριστής, και 5. Ρυθμός παραγωγήςΠειράματα διαλογής ή χαρακτηρισμού (screening οr characterizing experiments)γίνονται για να προσδιορισθούν οι κρίσιμοι παράγοντες της διεργασίας και η διεύθυνση των ρυθμίσεων αυτών των παραγόντων για να ελαττωθεί ο αριθμός ελαττωμάτων ανά πίνακα. Τα πειράματα αυτά μπορούν επίσης να βοηθήσουν στόν προσδιορισμό των μεταβλητών που πρέπει να ελέγχονται με περισσότερη προσοχή ώστε να μειωθεί ο αριθός των ελαττωμάτων ανά πίνακα και να αποτραπεί ο ανεξέλεγκτος τρόποςλειτουργίας (erratic performance) της διεργασίας. To αποτέλεσμα των πειραμάτων μπορεί να είναι εφαρμογή χαρτών ελέγχου σε μια ή περισσότερες ελεγχόμενες μεταβλητές, όπως η θερμοκρασία συγκόλλησης, επί πλέον του χάρτη ελέγχου που χρησιμοποιείται για τη μεταβλητή εξόδου ή απόκριση (response). Με τον καιρό κι αν η διεργασία βελτιωθεί σε ικανοποιητικό βαθμό, μπορεί το σχέδιο ελέγχου να βασιστεί στονέλέγχο μεταβλητών εισόδου και όχι στη χαρτογράφηση ελέγχου για τη μεταβλητή εξόδου


ΔΧ18/12/2012 53

ΑνάλυσηΣχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – Πειράματα αριστοποίησης (optimization experiments)

Γίνονται για να προσδιορισθεί η περιοχή του πεδίου ορισμού των σημαντικών παραγόντων (factors) που οδηγεί στην καλλίτερη δυνατή απόκριση (response). Aν απόκριση είναι η απόδοση, ψάχνουμε για την περιοχή που οδηγεί στη μέγιστη απόδοση, αν το κρίσιμο χαρακτηριστικό του προϊόντος είναι η μεταβλητότητα, ψάχνουμε για την περιοχή που οδηγεί στην ελάχιστη μεταβλητότητα

Παράδειγμα – Επιθυμούμε να βελτιώσουμε την απόδοση μιας χημικής διεργασίας. Γνωρίζουμε από τα πειράματα διαλογής ή χαρακτηρισμού ότι οι δυο σημαντικότερες μεταβλητές της διεργασίας που επιρρεάζουν την απόδοση της είναι η θερμοκρασίαλειτουργίας και ο χρόνος της χημικής αντίδρασης. Η διεργασία αυτή την περίοδο γίνεται στους 155οF με χρόνοχημικής αντίδρασης 1.7 h, και η απόδοση είναι 75%.Η εικόνα που ακολουθεί δείχνει την περιοχήθερμοκρασίας-χρόνου αντίδρασης και τις καμπύλες (contours) με σταθερή τιμή απόδοσης,

60, 70, 80, 90, και 95%.


18/12/2012 ΔΧ 54

ΑνάλυσηΣχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – Πειράματα αριστοποίησης (optimization experiments) Τα πειράματα αυτά ονομάζονται παραγοντικά (factorial), γιατί όλες οι τιμές τωνπαραγόντων αλλάζουν ταυτόχρονα. Oι τιμές της απόκρισης που παρατηρούνται στις τέσσερεις γωνίες του τετραγώνου (προηγούμενη εικόνα) δείχνουν ότι πρέπει κανείς να κινηθεί πρός τη γενική κατεύθυνση αυξημένης θερμκρασίας και μειωμένου χρόνου αντίδρασης για να αυξηθή η απόδοση. Μερικά επί πλέον πειράματα μπορεί να γίνουν σ’ αυτή την κατεύθυνση κι αυτό είναι αρκετό για να προσδιορισθεί η περιοχή μεγίστης απόδοσης. Όταν βρεθεί κανείς στήν περιοχή του αρίστου, ένα πιο επιμελημένο πείραμα μπορεί να γίνει για να προσδιορισθεί με ακρίβεια η περιοχή των βέλτιστων συνθηκών λειτουργίας (optimum operating conditions)Για το σχεδιασμό πειραμάτων είναι βασικό όλοι αυτοί που συμμετέχουν στην εκτέλεση του πειράματος να έχουν σαφή ιδέα πρίν την εκτέλεση του ποιοί είναι οι στόχοι του πειράματος, ποιά είναι η απόκριση και οι παράγοντες που θα μελετηθούν, πώς θα εκτελεσθεί το πείραμα και πώς θα αναλυθούν τα αποτελέσματα. Η διαδικασία που ακολουθείται έχει τα εξής στάδια:1. Αναγνώριση και έκφραση του προβλήματος,2. Εκλογή μεταβλητής απόκρισης (Κριτικό Γιά Ποιότητα χαρακτηριστικό, Critical To

Quality characteristic),3. Εκλογή τρόπου σχεδιασμού του πειράματος,4. Εκτέλεση του πειράματος,5. Ανάλυση αποτελεσμάτων, συμπεράσματα και συστάσεις


18/12/2012 ΔΧ 55

ΑνάλυσηΣχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – Παραγοντικά (factorial) πειράματα

Όταν υπάρχουν περισσότεροι από ένα παράγοντα, οι τιμές των παραγόντων πρέπει να αλλάζονται ταυτόχρονα (παραγοντικά πειράματα, factorial experiments). Κάθε επανάληψη του πειράματος (replicate) περιλαμβάνει όλους τους δυνατούς συνδυασμούς των τιμών (επιπέδων - levels) των παραγόντων που μελετώνταιΗ επίδραση (effect) ενός παράγοντα ορίζεται ως η μεταβολή στην τιμή της απόκρισης που παράγεται από μεταβολή της τιμής του παράγοντα αυτού. Ονομάζεται κύρια επίδραση (main effect) αν αναφέρεται στους πρωταρχικούς παράγοντες στη μελέτη. Στο πείραμα που παρουσιάζεται στην παράπλευρη εικόνα, και οι δυο παράγοντες Α και Β έχουν δυο επίπεδα τιμών, που ονομάζονται «χαμηλό» και «υψηλό» και συμβολίζονταιμε «-» και «+», αντίστοιχα. Η κύρια επίδραση του παράγοντα Α είναι η διαφορά μεταξύ της μέσης απόκρισης στο υψηλό επίπεδο του Α και της μέσης απόκρισης στο χαμηλό επίπεδο του Α, Α = yΑ+ - yΑ-= (30+40)/2 – (10+20)/2 = 20 Mε άλλα λόγια, μεταβολή της τιμής του παράγοντα Α από το χαμηλό (-) στο υψηλό (+) επίπεδο προκαλεί αύξηση της απόκρισηςκατά 20 μονάδες. Παρόμοια για τον παράγοντα ΒΒ = yΒ+ - yΒ-= (20+40)/2 – (10+30)/2 = 10

Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας BΑνάλυσηΣχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – Πaραγοντικά (factorial) πειράματα

Σε μερικά πειράματα, η διαφορά στην απόκριση μεταξύ των δυο επιπέδων ενός παράγοντα δεν είναι η ίδια για όλα τα είπεδα των άλλων παραγόντων. Παράδειγμα η εικόνα δεξιά και κάτω. Στο χαμηλό επίπεδο του παράγοντα Β, η επίδραση του Α είναι Α = 30 -10 = 20,και στο υψηλό επίπεδο του παράγοντα Β, η επίδραση του Α είναιΑ = 0 – 20 = -20Επειδή η επίδραση του Α εξαρτάται από το επίπεδο του παράγοντα Β, υπάρχει αλληλεπίδραση (interaction) των παραγόντων Α και ΒΌταν η αλληλεπίδραση είναι μεγάλη, οι κύριες επιδράσεις, αλληλοαναιρούνται, π.χ., στην εικόνα δεξιά και κάτω, η κύρια επίδραση του Α είναιΑ = (30+0)/2 – (10+20)/2 = 0, πράγμα που μπορεί να εξαπατήσει κάποιον στο να συμπεράνει ότι δεν υπάρχει επίδραση του ΑΌταν όμως εξετασθεί η κύρια επίδραση του Α για δυο διαφορετικά επίπεδα του Β, βλέπουμε ότι αυτό δέν συμβαίνει. Έτσι, γνώση της αλληλεπίδρασης ΑΒ είναι πιο χρήσιμη από τή γνώση της κύριας επίδρασης. 18/12/2012 ΔΧ 56

18/12/2012 ΔΧ 57

ΑνάλυσηΣχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – Πaραγοντικά (factorial) πειράματα

Η έννοια της αλληλεπίδρασης γίνεται κατανοητή από τις προηγούμενες εικόνες όταν ταδεδομένα παριστάνονται έναντι των επιπέδων του Α για τα δύο επίπεδα του Β. Στην πρώτη εικόνα (προκύπτει από την εικόνα άνω και δεξιά), οι γραμμές Β- και Β+ είναιπερίπου παράλληλες, δηλαδή η περίπτωση που οι παράγοντες Α και Β δεν αλληλοεπιδρούνΣτη δεύτερη εικόνα (προκύπτει από την εικόνα άνω και δεξιά), οι γραμμές Β- και Β+

δεν είναι παράλληλες, δηλαδή η περίπτωση που οι παράγοντες Α και Β

αλληλοεπιδρούνΜια εναλλακτική μέθοδος στον παραγοντικό σχεδιασμό πειραμάτων, που

δυστυχώς εξακολουθεί να χρησιμοποιείται στην πράξη, είναι η μέθοδος στην οποία οι παράγοντες μεταβάλλονται ένας σε κάθε επανάληψη του πειράματος αντι να μεταβάλλονται όλοι ταυτόχρονα. Για να δείξουμε τήν «ένας-παράγοντας-κάθε-φορά» μέθοδο, θεωρούμε το πρόβλημα της χημικής διεργασίας που μελετήσαμε πρίν


18/12/2012 ΔΧ 58

ΑνάλυσηΣχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – Πaραγοντικά (factorial) πειράματαΟ μηχανικός ενδιαφέρεται να προσδιορίσει τις τιμές θερμοκρασίας και χρόνου αντίδρασης που μεγιστοποιούν την απόδοση. Θεωρείστε ότι η θερμοκρασία κρατείται σταθερή στους 155οF (την πρόσφατη θερμοκρασία λειτουργίας) και το πείραμα επαναλαμβάνεται σε διαφορετικά επίπεδα του χρόνου αντίδρασης, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0 και 2.5 h. Ta αποτελέσματα δείχνονται στην πρώτη από τις εικόνες παρακάτω που δείχνει ότι η απόδοση έχει μέγιστο για χρόνο αντίδρασης ~1.7 h.Για αριστοποίηση της θερμοκρασίας, ο μηχανικόςκρατάει σταθερό το χρόνο αντίδρασης στο 1.7 h και επαναλαμβάνει το πείραμα σε διαφορετικέςθερμοκρασίες, 140, 150, 160, 170, 180ο F. Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στη δεύτερηεικόνα, που δείχνει ότι η απόδοση έχει μέγιστο

περίπου στούς 155ο F. Αν η χημική διεργασία εκτελείται με τις καλλίτερες συνθήκες που βρέθηκαν, η απόδοση της είναι 75%. Η τρίτη εικόνα δείχνει τις καμπύλες(contours) σταθερών τιμών απόδοσης που δείχνει ότι η «ένας-παράγοντας-κάθε-φορά» μέθοδος απέτυχε να βρή το πραγματικό μέγιστο απόδοσης,95%, που επιτυγχάνεται σε υψηλότερες θερμοκρασίες καιχαμηλότερους χρόνους αντίδρασης

Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας BΑνάλυσηΣχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – ANOVA με δυό παράγοντες ή διπλής κατεύθυνσης (Two-way ANOVA)

Υποτίθεται ότι έχουμε δυό παράγοντες, Α και Β, με επίπεδα τιμών a για τον πρώτο και b για τον δεύτερο. Το πείραμα επαναλαμβάνεται n φορές και η διάταξη των δεδομένων είναι η ακόλουθη

H μέτρηση στο ij κελί στην k επανάληψη του πειράματος παριστάνεται από την τιμή yijk.Όπως και στην περίπτωση του ενός παράγοντα, οι abn μετρήσεις έχουν τελείως τυχαίασειρά. Υποτίθεται ότι και οι δυό παράγοντες έχουν σταθερή επίδραση (fixed effect).Oι μετρήσεις από ένα παραγοντικό, διπλής κατεύθυνσης πείραμα, περιγράφονται από τη σχέση

όπου μ είναι η ολική μέση επίδραση, τi η επίδραση του i επιπέδου τιμής του παράγοντα Α, βj η επίδραση του j επιπέδου τιμής του παράγοντα Β, (τβ)ij το αποτέλεσμα τηςαλληλεπίδρασης των Α και Β στα επίπεδα τιμών i και j, αντίστοιχα, και εijk το τυχαίο σφάλμα που ακολουθεί κανονική κατανομή με ολικό μέσο 0 και ολική διασπορά σ2

59ΔΧ18/12/2012

nkbjaiy ijkijjiijk ,...,2,1;,...,2,1;,...,2,1)(


18/12/2012 ΔΧ 60

ΑνάλυσηΣχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – ANOVA με δυό παράγοντες ήδιπλής κατεύθυνσης (Two-way ANOVA)

Αν παρασταθεί με:yi++ το άθροισμα των παρατηρήσεων στο i επίπεδο τιμών του παράγοντα Α y+j+ το άθροισμα των παρατηρήσεων στο j επίπεδο τιμών του παράγοντα Byij+ το άθροισμα των παρατηρήσεων στο ij κελίy+++ το άθροισμα όλων των παρατηρήσεωνκαιyi++ ο μέσος της i σειράς y+j+ ο μέσος της j στήληςyij+ ο μέσος του ij κελιούy+++ ο μέσος όλων των παρατηρήσεων,συνάγεται ότι :

abn

yyyy

bjain

yyyy

bjan

yyyy

aibn

yyyy

n

kijk

b

j

a

i

ijij

n

kijkij

jj

n

kijk

a

ij

ii

n

kijk

b

ji

111

1

11

11

,...,2,1;,...,2,1

,...,2,1

,...,2,1


18/12/2012 ΔΧ 61

ΑνάλυσηΣχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – ANOVA με δυό παράγοντες ή διπλής κατεύθυνσης (Two-way ANOVA)

Το ολικό άθροισμα τετραγώνων SST αποσυντίθεται με τον ακόλουθο τρόπο:

ή SST = SSA + SSB + SSAB + SSE

Oι βαθμοί ελευθερίας που συνδέονται με αυτή την αποσύνθεση είναι:abn – 1 = (a – 1) + (b – 1) + (a – 1)(b – 1) + ab(n – 1)

a

i

b

j

n

kijijk

a

i

b

jjiij

b

jj

a

ii

a

i

b

j

n

kijk

yy

yyyyn

yyanyybnyy

1 1 1

2

1 1

2

1

2

1

2

1 1 1

2


18/12/2012 ΔΧ 62


Πηγή Άθροισμα Βαθμοί Μέσος Τετραγώνων F0

Μεταβλητ. Τετραγώνων Ελευθερίας


18/12/2012 ΔΧ 63

ΑνάλυσηΣχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – ANOVA με δυό παράγοντες ή διπλής κατεύθυνσης (Two-way ANOVA)Για να εξετάση κανείς αν δεν υπάρχει επίδραση από σειρά ή στήλη, και αποτέλεσμα αλληλοεπίδρασης, χρειάζεται να διαιρέσει το αντίστοιχο μέσο τετράγωνο με το μέσο τετραγώνο του σφάλματος. Κάθε ένας από αυτούς τους λόγους ακολουθεί F κατανομή, με βαθμούς ελευθερίας για τον αριθμητή ίσο με τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας του αριθμητή του αντίστοιχου μέσου τετραγώνου και βαθμούς ελυθερίας για τον παρονομαστή ab(n – 1), όταν η μηδενική υπόθεση για επίδραση από παράγοντα είναι αληθής. Η υπόθεση αυτή απορρίπτεται αν η υπολογιζόμενη τιμή του F υπερβαίνει την αντίστοιχη τιμή από πίνακες για κάποιο επίπεδο σημαντικότητας, ή αλλοιώς, αν η P τιμή είναι μικρότερη από το προσδιορισμένο επίπεδο σημαντικότηταςΗ ANOVA συνήθως γίνεται με λογισμικό, παρόλο που απλοί τύποι για τον υπολογισμό των τετραγώνων, σαν αυτούς που ακολουθούν, μπορούν να χρησιμοποιηθούνΠαράδειγμαΟυσία συγκόλλησης που χρησιμοποιείται για βαφή αεροσκαφών έφαρμόζεται, πριν από τη βαφή, σε επιφάνειες απο αλουμίνιο με δυο μεθόδους, εμβάπτιση και ψεκασμό.Ο σκοπός της ουσίας αυτής είναι να βελτιώσει την προσκόλληση της βαφής. ΄Ενας μηχανικός πραγματοποίησε παραγοντικό πείραμα για να εξετάσει την επίδραση του τύπου της ουσίας που βελτιώνει προσκόλληση και τη μέθοδο εφαρμογής στην προσκόλληση της βαφής. Οι διαφόρου-τύπου ουσίες εφαρμόστηκαν σε τρία δείγματα επιφάνειας αλουμινίου, και μετά τη βαφή των δειγμάτων, μετρήθηκε η δύναμη συγκόλλησης (adhesion force)


18/12/2012 ΔΧ 64


ΠαράδειγμαΤα αποτελέσματα 18 δοκιμών του πειράματος πού έγιναν με τυχαία σειρά δίνονταιστον πίνακα που ακολουθεί

Μέθοδος ΕφαρμογήςΤύπος ουσίας Εμβάπτιση Ψεκασμός yi++

1 4.0 4.5 4.3 5.4 4.9 5.6 28.72 5.6 4.9 5.4 5.8 6.1 6.3 34.13 3.8 3.7 4.0 5.5 5.0 5.0 27.0y+j+ 40.2 49.6 89.8 =


18/12/2012 ΔΧ 65

ΑνάλυσηΣχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – ANOVA με δυό παράγοντες ή διπλής κατεύθυνσης (Two-way ANOVA)Παράδειγμα

Το άθροισμα τετραγώνων των δυνάμεων συγκόλλησης είναι

99.024.091.458.472.10

24.091.458.418

(89.8)-

3

)5.15()2.18()9.15()5.11()9.15()8.12(

91.418

(89.8)

9

)6.49()2.40(

58.418

(89.8)

6

)0.27()1.34()7.28(

10.7218

(89.8)-(5.0)...(4.5)(4.0)

int

2

222222

1 1

22

int

2222

1

2

22222

1

2

2222

2

1 1 1

2

eractionmethodsprimersTE

methodsprimers

a

i

b

j

ijeraction

b

j

jmethods

a

i

iprimers

a

i

b

j

n

kijkT

SSSSSSSSSS

SSSSabn

y

n

ySS

abn

y

an

ySS

abn

y

bn

ySS

abn

yySS


18/12/2012 ΔΧ 66

ΑνάλυσηΣχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – ANOVA με δυό παράγοντες ή διπλής κατεύθυνσης (Two-way ANOVA)ΠαράδειγμαΤα αποτελέσματα της ΑΝΟVA δίνονται στον πίνακα που ακολουθεί

Πηγή Άθροισμα Βαθμοί Μέσο Τετράγωνο F0 P-τιμήΜεταβλητότητας Τετραγώνων Ελευθερίας

Τύπος ουσίας 4.58 2 2.29 28.63 2.71x10-5

Mέθοδος εφαρμογής 4.9 1 4.91 61.38 4.65x10-6

Αλληλεπίδραση 0.24 2 0.12 1.5 0.269Σφάλμα 0.99 12 0.08Ολικό 10.72 17

Οι Ρ-τιμές για τους δυο κύριους παράγοντες είναι πολύ μικρές και δείχνουν ότι ο τύπος της συγκολλητικής ουσίας και η μέθοδος εφαρμογής έχουν σημαντική επίδραση στηδύναμη συγκόλλησης. Το ίδιο συμπέρασμα μπορεί να εξαχθεί απο σύγκριση του F με 5% σημαντικότητα με την άνω κρίσιμη τιμή της F κατανομής. Επειδή 28.63 > F0.05,2,12 = 3.89 και 61.38 > F0.05,1,12 = 4.75, η επίδραση και του τύπου ουσίας και της μεθόδου εφαρμογήςστη δύναμη συγκόλλησης είναι σημαντική.Στην πράξη, η ΑΝΟVA γίνεται με λογισμικό. Όπως και στην περίπτωση ΑΝΟVA με ένα παράγοντα, τα υπόλοιπα (residuals) παίζουν σπουδαίο ρόλο στην αξιολόγηση της επάρκειας της μεθόδου


18/12/2012 ΔΧ 67

ΑνάλυσηΣχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο

Με k παράγοντες και 2 επίπεδα τιμών. Το απλούστερο σχέδιο 22 , δηλ., δυο παράγοντες Α και Β, ο καθένας με δυο επίπεδα τιμών, «χαμηλό» και «υψηλό» ή «+» και «-». Το σχέδιο αυτό παριστάνεται από ένα τετράγωνο με 22 = 4 δοκιμές πειράματος/μέτρησης στις γωνίες του τετραγώνου. Η εικόνα που ακολουθεί δείχνει το τετράγωνο και τον πίνακα δοκιμής (test matrix)

Κάθε δοκιμή παριστάνεται από ένα μικρό χαρακτήρα (όχι κεφαλαίο), π.χ., a, b

Άν ένα γράμμα είναι σε συγκεκριμένη γωνία, ο αντίστοιχος παράγοντας έχει την «υψηλή»

του τιμή για τη δοκιμή που παριστάνεται από το γράμμα αυτό. Αν το γράμμα λείπει από τη γωνία, ο παράγοντας έχει «χαμηλή» τιμή για τη συγκεκριμμένη δοκιμή, π.χ., για τη δοκιμή a οι παράγοντας Α και Β είναι στό «υψηλό» και «χαμηλό» επίπεδο, αντίστοιχα

Η δοκιμή με τους δυο παράγοντες σε χαμηλό επίπεδο παριστάνεται από το (1)Η σημειολογία αυτή ισχύει για κάθε 2k σχεδιασμό, π.χ.,για το 24 σχέδιο, η δοκιμή με Α και C στο «υψηλό» επίπεδο και Β και D στο «χαμηλό» επίπεδο, παριστάνεται από το αc Οι χαρακτήρες (1), a, b, και ab παριστούν επίσης τα αθροίσματα όλων των n δοκιμών στα συγκεκριμένα σημεία του σχεδίου

Χαμηλό (-) Χαμηλό

(-)Υψηλό (+)

Υψηλό (+)

Β

Α

b

a

ab

(1)


18/12/2012 ΔΧ 68

ΑνάλυσηΣχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό ΣχέδιοΓια να υπολογίσουμε τήν κύρια επίδραση Α, υπολογίζουμε το μέσο των μετρήσεων στη δεξιά πλευρά του τετραγώνου, όταν το Α είναι σε «υψηλό» επίπεδο, και αφαιρούμε απ αυτό το μέσο των μετρήσεων στην αριστερή πλευρά του τετραγώνου όπου το Α είναι σε «χαμηλό» επίπεδο, δηλ

Παρόμοια για τήν κύρια επίδραση Β

Για την αλληλεπίδραση ΑΒ, παίρνουμε τη διαφορά των μέσων στις διαγώνιες

Οι ποσότητες που περικλείονται στις αγκύλες λέγονται αντιθέσεις (contrasts). Για πάραδειγμα, η

αντίθεση του Α είναι: ΑντίθεσηΑ = a + ab – b – (1)Ο πίνακας με «συν» και «πλην» που ακολουθεί, μπορεί

να χρησιμοποιηθεί για να καθορισθεί το πρόσημο σε κάθε δοκιμή για συγκεκριμένη αντίθεση. Οι

ονομασίες των στηλών στον πίνακα αυτό είναι οι κύριες επιδράσεις Α και Β, η αλληλεπίδραση ΑΒ, και ηστήλη ταυτότητας, Ι. Οι ονομασίες των σειρών είναι οι δοκιμές. Να σημειωθεί ότι τα πρόσημα στην ΑΒ στήλη είναι γινόμενα των προσήμων από τις στήλες Α και Β

)]1([2

1

2

)1(

2

baba

nn

b

n

abayyAAA

)]1([2

1

2

)1(

2

aabb

nn

a

n

abbyyBBB

])1([2

1

22

)1(baab

nn

ba

n

abAB

Χαμηλό (-) Χαμηλό

(-)Υψηλό (+)

Υψηλό (+)

Β

Α

b

a

ab

(1)


18/12/2012 ΔΧ 69


Επίδραση Παραγόντων Για να παραχθεί μια αντίθεση

Δοκιμή Ι Α Β ΑΒ από αυτό τον πίνακα, πολλα-

1 (1) + - - + πλασιάζονται τα πρόσημα στην

2 a + + - - κατάλληλη στήλη του πίνακα με

3 b + - + - τις δοκιμές (μικρά γράμματα)

4 ab + + + + που απαριθμούνται στις σειρές

και προσθέτονταιΓια τα αθροίσματα τετραγώνων χρησιμοποιούμε την ακόλουθη σχέση

SSΚ = (αντίθεσηΚ )2/[n (αριθμός συντελεστών αντίθεσης)] Κ= Α, Β, ΑΒ

Γι αυτό

Η ΑΝΟVΑ ολοκληρώνεται με τον υπολογισμό του ολικού αθροίσματος τετραγώνων SST με 4n – 1 βαθμούς ελευθερίας ως συνήθως, και με τον υπολογισμό τού αθροίσματος τωντετραγώνων του σφάλματος με 4(n –1) βαθμούς ελευθερίας, με αφαίρεση

Παράδειγμα Ο δρομολογητής (router) χρησιμοποιείται για να κάνουμε εγκοπές εγγραφής σε τυπωμένους πίνακες κυκλωμάτων. Η μέση διάσταση της εγκοπής είναι ικανοποιητική και η διεργασία είναι υπό στατιστικό έλεγχο (τα x και R διαγράμματα ελέγχου), αλλά υπάρχει μεγάλη μεταβλητότητα στην διεργασία, που (η μεταβλητότητα) δημιουργείπροβλήματα στη συναρμολόγηση πινάκων

n

baabSS

n

aabbSS

n

babaSS

AB

BA

4

])1([

4

)]1([

4

)]1([

2

22

Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας BΑνάλυσηΣχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο

Παράδειγμα Τα διάφορα κομμάτια εισάγονται στον πίνακα με αυτόματο μηχανισμό, και η μεταβλητότητα στο μεγέθος της εγκοπής προκαλεί εσφαλμένη εγγραφή στον πίνακα. Σαν αποτέλεσμα, ο αυτόματος μηχανισμός εισαγωγής δεν λειτουργεί σωστάΣχεδιάζεται ένα 22 πείραμα για να μελετηθεί η διεργασία, με δυο παράγοντες, μέγεθοςτρυπανιού (Α), και ταχύτητα (Β). Δυο επίπεδα τιμών επιλέγονται για κάθε παράγοντα, μέγεθος τρυπανιού (Α) 1”/16 και 1”/8, και ταχύτητα (Β) 40 και 80 rpm. To μέγεθος της εγκοπής είναι δύσκολο να μετρηθεί. Αντί γι αυτό, οι πίνακες υπόκεινται σε τρισδιάστατη δόνηση (Χ, Υ, Ζ) που μετράται με επιταχυνσιόμετρα (accelerometers). Το τρισδιάστατο διάνυσμα της δόνησης ορίζεται ως απόκριση (response). Επειδή η δόνηση στην επιφάνεια του πίνακα, όταν κοπεί, συνδέεται άμεσα με τη μεταβλητότητα στο μέγεθος της εγκοπής, μείωση του επιπέδου δόνησης σχετίζεται με μείωση της μεταβλητότητας στις διαστάσεις εγκοπής. Τέσσερεις πίνακες εξετάστηκαν σε κάθε μια από τις τέσσερεις δοκιμές και τα αποτελέσματα δίνονται στον πίνακα που ακολουθεί

ΠαράγοντεςΔοκιμή Α Β Δόνηση Άθροισμα1 (1) - - 18.2 18.9 12.9 14.4 64.42 a + - 27.2 24.0 22.4 22.5 96.13 b - + 15.9 14.5 15.1 14.2 59.74 ab + + 41.0 43.9 36.3 39.9 161.1

18/12/2012 ΔΧ 70


18/12/2012 ΔΧ 71


Παράδειγμα Κατά προσέγγιση υπολογισμός των επιδράσεων των διαφόρων παραγόντων δίνει τα ακόλουθα:

Όλες οι προσεγγίσεις των επιδράσεων φαίνεται να είναι μεγάλου μεγέθους. Για παράδειγμα, όταν αλλάζει ο παράγοντας Α από το χαμηλό στο υψηλό επίπεδο (μέγεθος τρυπανιού από 1”/16 σε 1”/8), το μέσο επίπεδο δόνησης αυξάνεται κατά 16.64 cps To μέγεθος αυτών των επιδράσεων μπορεί να επιβεβαιωθεί με ΑΝΟVΑ και τα αποτελέσματα δίνονται στον πινακα που ακολουθεί

71.88

7.69]7.591.964.641.161[

)4(2

1])1([

2

1

54.78

3.60]4.641.961.1617.59[

)4(2

1)]1([

2

1

64.168

1.133]4.647.591.1611.96[

)4(2

1)]1([

2

1

baabn

AB

aabbn

B

baban

A


18/12/2012 ΔΧ 72

ΑνάλυσηΣχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό ΣχέδιοΠαράδειγμαΑN(alysis) O(f) VA(riance)Πηγή Άθροισμα ΒαθμοίΜεταβλητότητας Τετραγώνων Ελευθερίας Μεσο Τετράγωνο F0 Ρ-τιμή Μέγεθος τρυπανιού(A) 1107.2261 1107.226 185.25 1.17x10-8

Ταχύτητα (Β) 227.256 1 227.256 38.03 4.82 x10-5

ΑΒ 303.631 1 303.631 50.80 1.20x10-5

Σφάλμα 71.723 12 5.977 Ολικό 1709.836 15

Η ΑNOVA επιβεβαιώνει τα συμπεράσματά μας που αποκτήθηκαν με την εξέταση του μεγέθους και τη διεύθυνση των επιδράσεων των παραγόντων. Το μέγεθος του τρυπανιού και η ταχύτητα είναι σημαντικά, και υπάρχει αλληλεπίδραση μεταξύ αυτών των δυο μεταβλητών


18/12/2012 ΔΧ 73


Μοντέλο ΠαλινδρόμησηςΕίναι εύκολο να ανακτήσει κανείς τα υπόλοιπα από ένα 2k σχεδιασμό με προσαρμογή μοντέλου παλινδρόμησης στα δεδομένα. Για το παράδειγμα του δρομολογητή, το μοντέλο παλινδρόμησης είναι

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β12x1x2 + εόπου οι παράγοντες Α και Β αντιπροσωπεύονται από τις μεταβλητές x1 και x2 , και η αλληλεπίδραση ΑΒ αντιπροσωπεύεται από τον όρο x1x2

Στην παραπάνω εξίσωση, οι μεταβλητές x1 και x2 παίρνουν είτε τις φυσικές του τιμές είτε κωδικοποιημένες. Αν οι φυσικές τιμές παριστάνονται με Χ (κεφαλαίο) και οι κωδικοποιημένες με x (μικρό), ο μετασχηματισμός από τη μία κατηγορία στην άλλη γίνεται με βάση τη σχέση

x = [Χ – (Χ+ + Χ-)/2] / [ (Χ+ - Χ-)/2]όπου Χ+ και Χ- είναι οι επιλεγμένες υψηλή και χαμηλή φυσικές τιμές (με μονάδες για το φυσικό μέγεθος), αντίστοιχα, και οι επιλεγμένες υψηλή και χαμηλή κωδικοποιημένες τιμές είναι

x+ = +1 & x- = -1Για το Σχεδιασμό Πειραμάτων (DOE), προτιμάται η χρήση κωδικοποιημένων τιμών για τους παράγοντες γιατί το μοντέλο που προκύπτει είναι ακριβές. Αυτό συμβαίνει για δύο λόγους : (α) οι παράγοντες σε κωδικοποιημένες τιμές είναι ορθογώνιοι, και (β) οι επιδράσεις των διαφόρων παραγόντων (συντελεστές του μοντέλου) είναι συγκρίσιμες

Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας BΑνάλυσηΣχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο Στα σχεδιασμένα πειράματα, για τον προσδιορισμό της εξίσωσης παλινδρόμησης, οι παράγοντες, xi , μπορεί να χρησιμοποιηθούν με τις τιμές των επιπέδων x- και x+ ή με τις κωδικοποιημένες (codified) τιμές -1, +1Παράδειγμα Το χαμηλό και υψηλό επίπεδο κάθε παράγοντα ορίζονται από τις τιμές xj = -1 και xj =1, αντίστοιχα. Οι συντελεστές β0 , β1 , β2 και β12 ονομάζονται συντελεστές παλινδρόμησης (regression coefficients), και ε είναι ο όρος του τυχαίου σφάλματος, ίδιος με τόν όρο σφάλματος στο μοντέλο της ΑΝΟVAΤο προσαρμοσμένο στα δεδομένα μοντέλο (παλινδρόμησης) είναι

όπου η προσεγγιστική τιμή (ˆ) της διατέμνουσας, βο , είναι υπέρτατος μέσος όλων των 16μετρήσεων, y , και οι προσεγγιστικές τιμές των άλλων συντελεστών, βi , είναι το ήμισυ της προσεγγιστικής τιμής του συγκεκριμένου παράγοντα (γιατί οι συντελεστές του μοντέλου μετρούν την επίδραση της μονάδας αλλαγής στο xj και ο υπολογισμός της επίδρασης βασίζεται σε αλλαγή, από το -1 στο +1 ). Η παραπάνω εξίσωσηχρησιμοποιείται για να υπολογισθεί το επίπεδο δόνησης σε όλα τα σημεία της περιοχής που πειραματιζόμαστε, περιλαμβανόμενων και των τεσσάρων σημείων του σχεδίουπειραμάτων. Στο σημείο με μικρό μέγεθος τρυπανιού (x1 = -1) και χαμηλή ταχύτητα (x2 = -1) το προβλεπόμενο επίπεδο δόνησης είναι

2121 2

71.8

2

54.7

2

64.1683.23ˆ xxxxy

18/12/2012 ΔΧ 74


18/12/2012 ΔΧ 75


Τα τέσσερα υπόλοιπα που αντιστοιχούν στις μετρήσεις σε αυτό το σημείο (x1 = -1, x2 = -1)είναι η διαφορά μεταξύ της πραγματικής και προβλεπόμενης τιμής ως εξής:

e1 = 18.2 – 16.1 = 2.1 e3 = 12.9 – 16.1 = -3.2e2 = 18.9 – 16.1 = 2.8 e4 = 14.4 – 16.1 = -1.7

Ta υπόλοιπα στις τρείς άλλες δοκιμές υπολογίζονται παρόμοιαΟι παρακάτω εικόνες δείχνουν το διάγραμμα πιθανότητας για κανονική κατανομή και το διάγραμμα υπολοίπων σαν συνάρτηση του προβλεπόμενου επιπέδου δόνησης, αντίστοιχα

1.16)1)(1(271.8

)1(254.7

)1(264.16

83.23ˆ

y

Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας BΑνάλυσηΣχεδιασμός Πειραμάτων (Design Of Experiments) – 2k Παραγοντικό Σχέδιο

Επειδή και οι δύο παράγοντες, Α (μέγεθος τρυπανιού) και Β (ταχύτητα), έχουν μεγάλες θετικές επιδράσεις, μπορεί κανείς να μειώσει το επίπεδο δόνησης με δοκιμή όπου και οι δυο παράγοντες είναι σε χαμηλό επίπεδο. Όταν όμως το μέγεθος του τρυπανιού και η ταχύτητα είναι σε χαμηλό επίπεδο, ο ρυθμός παραγωγής είναι απαράδεκτα χαμηλός. Η αλληλεπίδραση ΑΒ δίνει τη λύση σε αυτό το δίλημμα. Η προηγούμενη εικόνα δείχνει το διάγραμμα της ΑΒ αλληλεπίδρασης • Η μεγάλη θετική επίδραση της ταχύτητας παρουσιάζεται συνήθως όταν το μέγεθος

του τρυπανιού είναι σε υψηλό είπεδο• Άν χρησιμοποιηθεί μικρό τρυπάνι, τότε είτε υψηλή είτε χαμηλή ταχύτητα οδηγεί σε

χαμηλότερα επίπεδα δόνησης• Με υψηλή ταχύτητα και μικρό τρυπάνι, ο ρυθμός παραγωγής είναι ικανοποιητικός

Για την ανάλυση παραγοντικών πειραμάτων , ακολουθείται η εξής μεθοδολογία:1. Υπολογισμός επιδράσεων παραγόντων2. Δημιουργία προκαταρκτικού μοντέλου3. Εξέταση για σημαντικότητα επιδράσεων παραγόντων4. Ανάλυση υπολοίπων5. Τελειοποήση του μοντέλου, αν χρειαστεί6. Ερμηνεία αποτελεσμάτων

18/12/2012 ΔΧ 76

Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας Δημήτρη Χατζηαβραμίδη ,...

Documents

Transcript of Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας Δημήτρη Χατζηαβραμίδη ,...