Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας Δημήτρη Χατζηαβραμίδη ,...

Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας Δ

22-1-2013 ΔΧ 1ΔΧ 1

Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας

Δημήτρη Χατζηαβραμίδη, PhD

Σχολή Χημικών Μηχανικών ΕΜΠΧειμερινό Εξάμηνο


22-1-2013 ΔΧ 2

Έλεγχος Ποιότητας

Στατιστικός Έλεγχος Ποιότητας (Statistical Process Control) είναι μια συλλογή από εργαλεία που χρησιμοποιούνται για να εξασφαλίσουν σταθερότητα της διεργασίας και βελτίωση της απόδοσης με μείωση της μεταβλητότητας

Τα 7 κύρια εργαλεία για Στατιστικό Έλεγχο Ποιότητας (Statistical Process Control), «και οι επτά ήταν υπέροχοι», είναι:1. Διάγραμμα συχνότητας ή σχέδιο μίσχου και φύλλου (Histogram or stem-and-leaf

plot),2. Φύλο ελέγχου (Check sheet),3. Χάρτης Pareto,4. Διάγραμμα αιτίας και αποτελέσματος (Cause-and-effect diagram),5. Διάγραμμα συγκέντρωσης ελαττωμάτων (Defect concentration diagram),6. Διάγραμμα διασποράς (Scatter diagram), και7. Χάρτης ελέγχου (Control chart)

Αιτίες μεταβλητότητας:1. Τυχαίες (by chance), που είναι υπεύθυνες για εγγενή (inherent) μεταβλητότητα, και2. Καθορισμένες (assignable), που οφείλονται σε εσφαλμένα ρυθμισμένες ή ελεγχόμενες

μηχανές, λάθη χειριστών (operators), και ελαττωματικές πρώτες ύλεςΗ μεταβλητότητα σε χαρακτηριστικά ποιότητας απο καθορισμένες αιτίες είναι πολύ μεγαλύτερη από εγγενή μεταβλητότητα ΔΧ 2


22-1-2013 ΔΧ 3

Έλεγχος ποιότητας

Όταν η διεργασία λειτουργεί με παρουσία μόνο τυχαίων αιτίων μεταβλητότητας (chance causes of variation), λέγεται ότι είναι υπό στατιστικό έλεγχο (in statistical control). Όταν η διεργασία λειτουργεί με παρουσία καθορισμένων αιτίων μεταβλητότητας (assignablecauses of variation), λέγεται ότι είναι εκτός ελέγχου (οut of control)

Οι όροι τυχαίες και καθορισμένες αιτίες, που υιοθετήθηκαν από τον Shewhart, πολλές φορές στήν εποχή μας αντικαθίστανται, κατ΄αναλογία, από τους όρους κοινές και ειδικές αιτίες

Ο απώτερος σκοπός του Στατιστικού Ελέγχου Διεργασίας (SPC) είναι η μείωση στο ελάχιστο δυνατό της μεταβλητότητας, μια και η εξουδετέρωση της μεταβλητότητας είναι πρακτικά αδύνατη

x ̅ - Χάρτης Ελέγχου (Control Chart)

Κεντρική γραμμή: παριστάνει τη μέση τιμή του χαρακτη-ριστικού ποιότητας που αντιστοιχεί στην υπό έλεγχο κατά-στασηΆνω και Κάτω Όριο Ελέγχου: οριοθετούν το διάστημα στο οποίο η διεργασία είναι υπό έλεγχο, δηλ., όλα σχεδόν τασημεία της δειγματοληψίας είναι μέσα σ΄αυτό το διάστημα

Άνω Όριο Ελέγχου (UCL)

Κάτω Όριο Ελέγχου (LCL)

ΚεντρικήΓραμμή

Αριθμός Δείγματος ή Χρόνος

Χα

ρακ

τηρι

στικ

ό Π

οιότ

ητα

ς

ΔΧ 3


22-1-2013 ΔΧ 4

Έλεγχος ποιότηταςx ̅ - Χάρτης Ελέγχου (Control Chart)

Ακόμη κι άν όλα τα σημεία είναι μεταξύ του Κάτω και Άνω Ορίου Ελέγχου, αν το σχήμα που διαγράφουν είναι συστηματικό ή μή τυχαίο, αυτό είναι ένδειξη του ότι η διεργασία είναι εκτός ελέγχου. Συνήθως υπάρχει αιτία για το σχήμα που διαγράφουν τα σημεία να είναι μη τυχαίο, κι άν η αιτία βρεθεί και εξουδετερωθεί, η απόδοση της διεργασίας θα βελτιωθεί

Υπάρχει στενή σχέση μεταξύ χάρτη ελέγχου και δοκιμής υπόθεσης. Άν η τρέχουσα τιμήτου x ̅ είναι μεταξύ των ορίων ελέγχου, συμπεραίνομε ότι ο μέσος της διεργασίας είναι υπό έλεγχο, δηλ., είναι ίσος με κάποια τιμή μο . Η διαφορά τους όμως είναι ότι στη δοκιμή υπόθεσης συνήθως εξετάζεται η ισχύς των υποθέσεων, ενώ στο χάρτη ελέγχουανιχνεύονται αποκλίσεις από μια υποθετική κατάσταση στατιστικού ελέγχου

Μια καθορισμένη αιτία μπορεί να προκαλέσει διάφορους τύπους μετατόπισης στις παραμέτρους της διεργασίας. Για παράδειγμα, ο μέσος μπορεί να μετατοπιστεί στιγμιαία σε μια νέα τιμή και να παραμείνει εκεί (διατηρητέα μετατόπιση – sustained shift) ή μπορεί να μετατοπιστεί απότομα, αλλά η αιτία μπορεί να είναι βραχύβια και ο μέσος μπορεί να επιστρέφει στην υπό έλεγχο τιμή του ή η αιτία μπορεί να έχει σαν αποτέλεσμα σταθερή μετατόπιση. Μόνο η διατηρητέα μετατόπιση ταιριάζει στο μοντέλο της δοκιμής στατιστικής υπόθεσης ΔΧ 4


22-1-2013 ΔΧ 5


Η δοκιμή υπόθεσης είναι χρήσιμη στην ανάλυση χάρτη ελέγχου. Για παράδειγμα, η πιθανότητα σφάλματος τύπου Ι στο χάρτη ελέγχου (συμπεραίνεται ότι η διεργασία είναι εκτός ελέγχου όταν στην πραγματικότητα είναι υπό έλεγχο) και η πιθανότητα σφάλματος τύπου ΙΙ στο χάρτη ελέγχου (συμπεραίνεται ότι η διεργασία είναι υπό έλεγχο όταν στην πραγματικότητα είναι εκτός ελέγχου)

Παράδειγμα – Στη βιομηχανία ημιαγωγών μια από τις πιο σπουδαίες διεργασίες είναι η φωτολιθογραφία, στην οποία ένα ειδικό υλικό ευαίσθητο στο φώς (photoresist material) επικαλύπτει το πλακίδιο σιλικόνης (silicone wafer), η επιφάνεια του οποίου καλύπτεται από λεπτό στρώμα μονωτικού SiΟ2 ,το αποτύπωμα του κυκλώματος πάνω στο photoresist υλικό δημιουργείται με έκθεση του υλικού αυτού σε υπεριώδη (UV) ακτινοβολία υψηλής έντασης, οπότε το photoresist υλικό είτε καταστρέφεται και απομακρύνεται (positive photoresist) είτε σκληραίνει πάνω στο λεπτό στρώμα του SiΟ2

Μετά τη δημιουργία του αποτυπώματος, το στρώμα του SiΟ2 που δεν καλύπτεται από photoresist υλικό απομακρύνεται είτε με χημική απόξεση ή με απόξεση με πλάσμα (etching). Eίναι αρκετά συνηθισμένο να γίνεται μια διεργασία ψησίματος σκλήρυνσης (hard bake) για βελτίωση της συγκόλλησης και αύξηση της αντίστασης στην αποκόλληση. ΄Ενα από τα Κρίσιμα Χαρακτηριστικά Ποιότητας(CQΑ) στη διεργασία ψησίματος σκλήρυνσης είναι το πλάτος ροής (flow width)του photoresist υλικού, που είναι μέτρο του πόσο «απλώνεται» το υλικό αυτό λόγω του ψησίματος σκλήρυνσης

ΔΧ 5


22-1-2013 ΔΧ 6


Παράδειγμα (συνέχεια) – Ας υποτεθεί ότι το πλάτος ροής ελέγχεται με μέσο 1.5 μm και τυπική απόκλιση 0.15 μm. Ο χάρτης ελέγχου για το μέσο πλάτος ροής παρουσιάζεται στην παρακάτω εικόνα. Για να κατασκευαστεί ο χάρτης αυτός, κάθε μια ώρα λαμβάνεται δείγμα από 5 δισκία και υπολογίζεται το μέσο πλάτος ροής, x ̅. Επειδή ο χάρτης ελέγχου αξιοποιεί τό μέσο του δείγματος, x ̅ , για την παρακολούθηση του μέσου της διεργασίας, ονομάζεται x ̅ χάρτης ελέγχου.

Η τυπική απόκλιση του μέσου τουδείγματος x̅ είναι

Αν η διεργασία είναι υπό έλεγχο με μέσο πλάτος ροής 1.5 μm, σύμφωνα με το

Θεώρημα Κεντρικού Ορίου (Central Limit Theorem) ο μέσος του δείγματος, x ̅, έχει,

κατά προσέγγιση, κανονική κατανομή, και αναμένεται ότι οι τιμές του x ̅ είναι στο διάστημα (1.5 - Ζα/2 , 1.5 + Ζα/2 ). Αν η τιμή του Ζα/2 επιλεχθεί ίση με το 3 , τa Άνω καιΚάτω Όρια Ελέγχου (Upper and Lower Control Limit) είναι αντίστοιχα

UCL = 1.5 + 3(0.0671) = 1.7013και LCL = 1.5 - 3(0.0671) = 1.2987που δείχνονται στο χάρτη ελέγχου. Τα όρια αυτά λέγονται «τρία σίγμα» όρια ελέγχου

0671.05

15.0

nx

ΔΧ 6

x


22-1-2013 ΔΧ 7ΔΧ 7

Έλεγχος ποιότηταςx ̅ - Χάρτης Ελέγχου (Control Chart)Παράδειγμα (συνέχεια)

Στη γενική περίπτωση που το w είναι ένα στατιστικό μέγεθος του δείγματος που μετράει κάποιο χαρακτηριστικό ποιότητας που ενδιαφέρει, και μw και σw είναι ο μέσος και η τυπική απόκλιση του w, αντίστοιχα, η κεντρική γραμμή και τα όρια ελέγχου ορίζονται ως

Κεντρική γραμμή = μw UCL = μw + Lσw LCL = μw - Lσw

όπου L είναι η απόσταση των ορίων ελέγχου από την κεντρική γραμμή, εκφρασμένη σε μονάδες τυπικής απόκλισης. Οι χάρτες ελέγχου που βασίζονται σ΄αυτή την αρχή συχνά ονομάζονται χάρτες ελέγχου του Shewhart Aν οι τιμές του μέσου του δείγματος, xp , είναι μεταξύ των ορίων ελέγχου και δεν δείχνουν κάποια συστηματική διάταξη (pattern), λέγεται ότι η διεργασία είναι υπό έλεγχο


22-1-2013 ΔΧ 8


H πιο σπουδαία χρήση του χάρτη ελέγχου είναι να βελτιώσει την διεργασία. Σε γενικές γραμμές1. Οι περισσότερες διεργασίες δεν λειτουργούν σε κατάσταση στατιστικού ελέγχου,2. Η τακτική και προσεκτική χρήση των χαρτών ελέγχου βοηθάει στην εντόπιση

καθορισμένων αιτίων (assignable causes). Aν αυτές οι αιτίες απαλειφθούν η μεταβλητότητα θα μειωθεί και η διεργασία θα βελτιωθεί, και

3. Ο χάρτης ελέγχου μπορεί να ανιχνεύσει μόνο καθορισμένες αιτίες

Κατά τον εντοπισμό και την εξάλειψη των καθορισμένων αιτίων, είναι σημαντικό να βρεθεί η υποκείμενη πρωταρχική αιτία (root cause) του προβλήματος και να αντιμετωπιστεί

Με τη χρήση του χάρτη ελέγχου συνδέεται το Σχέδιο Δράσης για Εκτός Ελέγχου κατάσταση (Out-of-Control-Action Plan) που δίνει το διάγραμμα ροής (flow chart) ή την περιγραφή σειράς δραστηριοτήτων που πρέπει να λάβουν χώρα μετά από εκδήλωση ενεργοποιώντων συμβάντων (activating events) που είναι σήματα εκτός ελέγχου στο χάρτη ελέγχου. Το Σχέδιο Δράσης για Εκτός Ελέγχου κατάσταση (OCAP) αποτελείται από σημεία ελέγχου (checkpoints), που βρίσκονται πιθανές καθορισμένες αιτίες, και τερματιστές (terminators), που είναι οι ενέργειες που χρειάζονται να γίνουν για να διορθωθεί η εκτός ελέγχου κατάσταση. Το ΟCAP είναι «ζωντανό» έγγραφο (livingdocument) με την έννοια ότι θα αλλάζει με το χρόνο καθώς περισσότερη γνώση και κατανόηση της διεργασίας αποκτάται

ΔΧ 8


22-1-2013 ΔΧ 9ΔΧ 9

Έλεγχος ποιότηταςx ̅ - Χάρτης Ελέγχου (Control Chart)΄Ενα σπουδαίο χαρακτηριστικό του χάρτη ελέγχου είναι το είδος της μεταβλητότητας που συνδέεται με τη διεργασίαΗ διεργασία είναι στατική (stationary), όταν τα δεδομένα μεταβάλλονται γύρω από ένα σταθερό (fixed) μέσο με σταθερό (stable) ή προβλεπόμενο τρόπο. Το είδος αυτό υποδηλώνει διεργασία υπό έλεγχο. Η στατική διεργασία μπορεί να είναι (α) ασυσχέτιστη (uncorrelated), μέρος (a) της εικόνας που ακολουθεί, όταν τα δεδομένα δίνουν την εντύπωση ότι επιλέχθηκαν τυχαία (randomly) από ένα πληθυσμό που ίσως ακολουθεί κανονική κατανομή, και (β) αυτοσυσχετισμένη (autocorrelated), μέρος (b) της εικόνας που ακολουθεί, όταν διαδοχικές τιμές των δεδομένων είναι εξαρτημένες, δηλ., μια τιμή που είναι πάνω από τό μέσο, κατά κανόνα, ακολουθείται από μια άλλη τιμή πάνω από τό μέσο, ενώ μια τιμή κάτω από το μέσο συνήθως ακολουθείται από μια άλλη τιμή κάτω από το μέσο. Στην περίπτωση αυτή, τα δεδομένα σχηματίζουν σχετικά εκτενείς ακολουθίες κι από τις δυο πλευρές του μέσου

(a) (b) (c)


22-1-2013 ΔΧ 10ΔΧ 10

Έλεγχος ποιότηταςx ̅ - Χάρτης Ελέγχου (Control Chart)Η διεργασία είναι μη στατική (nonstationary), μέρος (c) της προηγούμενης εικόνας, όταν η διεργασία είναι ασταθής και τα δεδομένα είναι διάσπαρτα σε όλη την περιοχή πουενδιαφέρει χωρίς καμμιά αίσθηση ότι υπάρχει σταθερή μέση τιμή. Διεργασίες αυτού του τύπου συναντά κανείς συχνά στη χημική βιομηχανία και σταθεροποιούνται με μηχανικό έλεγχο διεργασίας (engineering process control), π.χ., έλεγχο με ανατροφοδότηση (feedback control). Aυτό είναι το είδος του ελέγχου που απαιτείται όταν οι παράγοντες που επηρεάζουν τη διεργασία δεν μπορούν να σταθεροποιηθούν, π.χ., περιβαλλοντικοί παράγοντες ή ιδιότητες πρώτων υλών


22-1-2013 ΔΧ 11

Έλεγχος ποιότηταςx ̅ - Χάρτης Ελέγχου (Control Chart)Μια από τις κρίσιμες αποφάσεις με τους χάρτες ελέγχου είναι να ορίσει κανείς τα όρια ελέγχου. ΄Αν τα όρια ελέγχου μετατοπιστούν σε μεγαλύτερη απόσταση από την κεντρική γραμμή, η πιθανότητα (risk) σφάλματος τύπου Ι, δηλ., του κινδύνου για ένα σημείο να βρεθεί εκτός ελέγχου που δεν οφείλεται σε καθορισμένη αιτία (assignable cause), μειώνεται. Σε αντίθεση, η διεύρυνση των ορίων ελέγχου οδηγεί σε αύξηση της πιθανότητας σφάλματος τύπου ΙΙ, δηλ., του κινδύνου για ένα σημείο να βρεθεί εντός των ορίων ελέγχου, όταν η διεργασία είναι εκτός ελέγχουΑν τα όρια ελέγχου μετατοπιστούν σε μικρότερη απόσταση από την κεντρική γραμμή, η πιθανότητα σφάλματος τύπου Ι αυξάνει, ενώ η πιθανότητα σφάλματος τύπου ΙΙ μειώνεταιΣτο παράδειγμα του πλάτους ροής (μέσος 1.5, τυπική απόκλιση 0.0671) όπου ορίστηκαν τρία-σίγμα όρια, αν θεωρηθεί ότι το πλάτος ροής έχει κανονική κατανομή, η πιθανότητα σφάλματος τύπου Ι είναι 0.0027, δηλ., ένα λανθασμένο εκτός ελέγχου σήμα ή λανθασμένος συναγερμός (false alarm) συμβαίνει σε 27 από 10,000 σημεία. Η πιθανότητα για ένα σημείο, όταν η διεργασία είναι υπό έλεγχο, να βρεθεί εκτός τρία-σίγμα ορίων, σε μια διεύθυνση είναι 0.00135. Τα όρια ελέγχου ορίζονται είτε σαν πολλαπλάσια της τυπικής απόκλισης του μέσου x ̅ ή από την πιθανότητα σφάλματος τύπου Ι. Για παράδειγμα, αν οριστεί πιθανότητα σφάλματος τύπου Ι σε μια διεύθυνση ίση με 0.001, το ανάλογο πολλαπλάσιο της τυπικής απόκλισης είναι 3.09 και τα όρια ελέγχου είναι

UCL = 1.5 + 3.09(0.0671) = 1.7073 LCL = 1.5 - 3.09(0.0671) = 1.2927Τα όρια αυτά ονομάζονται 0.01 όρια πιθανότητας. 0.01 είναι η πιθανότητα σε μια διεύθυνση . η ολική πιθανότητα σε δυο διευθύνσεις είναι 0.02

ΔΧ 11


22-1-2013 ΔΧ 12ΔΧ 12

Έλεγχος ποιότηταςx ̅ - Χάρτης Ελέγχου (Control Chart)Ανεξάρτητα από την κατανομή του χαρακτηριστικού ποιότητας, η συνηθισμένη πρακτική στις ΗΠΑ είναι να προσδιορίζονται τα όρια ελέγχου σαν πολλαπλάσια της τυπικήςαπόκλισης του στατιστικού μεγέθους στο χάρτη. Τρία-σίγμα όρια προσδιορίζονται, ανεξάρτητα από τον τύπο του χάρτη ελέγχου. Στο Ηνωμένο Βασίλειο και τμήματα της Δυτικής Ευρώπης, όρια πιθανότητας 0.01 σε κάθε διεύθυνση χρησιμοποιούνται

Μερικοί αναλυτές προτείνουν χρήση δυο ειδών ορίων ελέγχου για τους χάρτες ελέγχου, τα τρία-σίγμα όρια ή όρια δράσης, και τα δυο-σίγμα όρια ή όρια προειδοποίησης. Όταν ένα σημείο είναι εκτός των τρία-σίγμα ορίων, αναζητούνται καθορισμένες αιτίες και γίνονται διορθωτικές ενέργειες. ΄Οταν ένα ή περισσότερα σημεία είναι μεταξύ των ορίων προειδοποίησης και ορίων δράσης, κανείς πρέπει να υποπτευθεί ότι η διεργασία δεν λειτουργεί σωστά. Όταν αυτό συμβαίνει, μια ενέργεια που συνίσταται είναι να αυξηθεί η συχνότητα της δειγματοληψίας ή το μέγεθος του δείγματος ώστε περισσότερεςπληροφορίες να συλλέγονται σε σύντομο χρονικό διάστημα. Τα σχέδια ελέγχου διεργασίας, που αλλάζουν το μέγεθος του δείγματος και/ή τη συχνότητα της διεργασίας, ανάλογα με τη θέση της τρέχουσας τιμής του δείγματος, ονομάζονται σχέδιαπροσαρμοστικού ή μεταβλητού διαστήματος δειγματοληψίας


22-1-2013 ΔΧ 13ΔΧ 13


Η χρήση ορίων προειδοποίησης αυξάνει την ευαισθησία του χάρτη ελέγχου, δηλ., επιτρέπει στο χάρτη ελέγχου να διακρίνει μετατόπιση στην διεργασία πιό γρήγορα. ΄Ενα από τα μειονεκτήματα αυτών των τεχνικών είναι ότι συγχέονται από το προσωπικό. Η χρήση ορίων προειδοποίησης αυξάνει επίσης την πιθανότητα λανθασμένων συναγερμών


22-1-2013

Έλεγχος ποιότηταςxp - Χάρτης ΕλέγχουΜέγεθος Δείγματος και Συχνότητα ΔειγματοληψίαςΤο γενικό πρόβλημα είναι η κατανομή της προσπάθειας για δειγματοληψία (allocation sampling effort), δηλ., μικρά δείγματα σε μικρά χρονικά διαστήματα ή μεγάλα δείγματα σε μεγάλα χρονικά διαστήματα. Η τρέχουσα πρακτική στη βιομηχανία είναι μικρότερακαι συχνότερα δείγματα σε βιομηχανικές διεργασίες μεγάλου όγκου. H απόφαση για το μέγεθος δείγματος και τη συχνότητα της δειγματοληψίας ανάγεται στο Μέσο Μήκος Διαδρομής (Average Run Length) του χάρτη ελέγχου, που είναι ο μέσος αριθμός των σημείων που πρέπει να ληφθούν πρίν να εμφανιστεί σημείο που δείχνει κατάσταση εκτός ελέγχου. Αν τα δεδομένα της διεργασίας είναι ασυσχέτιστα, το Μέσο Μήκος Διαδρομής (ARL) είναι

ARL = 1 / pόπου p είναι η πιθανότητα για κάθε σημείο να βρεθεί εκτός των ορίων ελέγχουΓια το x ̅ χάρτη με τρία-σίγμα όρια, p = 0.0027 είναι η πιθανότητα για ένα σημείο να

βρεθεί εκτός των ορίων ελέγχου, όταν η διεργασία είναι υπό έλεγχο. Το Μέσο Μήκος Διαδρομής του x ̅ χάρτη, ARL0 , είναι

ARL0 = 1 / p = 1 / 0.0027 = 370

δηλ., ακόμη κι αν η διεργασία παραμένει υπό έλεγχο, ένα «εκτός ελέγχου» σημείο θα εμφανίζεται κάθε 370 δείγματα, κατά μέσο όροΔυο πιθανά προβλήματα με το ARL είναι (α) η τυπική απόκλιση του μήκους διαδρομής είναι πολύ μεγάλη, και (β) η γεωμετρική κατανομή είναι πολύ ασύμμετρη (very skewed), έτσι ώστε ο μέσος της κατανομής, δηλ., το ARL, να μήν είναι μια πολύ «τυπική» τιμή

ΔΧ 14ΔΧ 14

Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας ΔΈλεγχος ποιότηταςxp - Χάρτης Ελέγχου Μέγεθος Δείγματος και Συχνότητα ΔειγματοληψίαςΓια το x ̅ χάρτη, p = 0.0027 και όταν η διεργασία είναι υπό έλεγχο, ARL0 = 1 / p = 1 / 0.0027= 370.. Η τυπική απόκλιση της γεωμετρική κατανομής είναι √1-p / p= √(1 – 0.0027) /0.0027 370. To 10το και 50το ποσοστό της κατανομής είναι 38 και 256, δηλ., 10% του χρόνου, το μήκος διαδρομής, όταν η διεργασία είναι υπό έλεγχο, είναι μικρότερο ή ίσο με 38 δείγματα, και 50% του χρόνου το μήκος διαδρομής, όταν η διεργασία είναι υπό έλεγχο, είναι μικρότερο ή ίσο με 256 δείγματα

H aπόδοση του χάρτη ελέγχου εκφράζεται μερικές φορές από το Μέσο Χρόνο για Σήμα (Αverage Time to Signal). Αν δείγματα παίρνονται σε ίσα διαστήματα με h ώρες μεταξύ διαδοχικών διαστημάτων

ΑΤS = (ARL)(h)Μια ενδιαφέρουσα ερώτηση είναι με ποιό τρόπο ο χάρτης ελέγχου ανακαλύπτειμετατοπίσεις στο μέσο. Ας υποτεθεί ότι το μέγεθος του δείγματος είναι n = 5 και όταν η διεργασία είναι εκτός ελέγχου ο μέσος μετατοπίζεται στα 1.725 μm. Aπό την χαρακτηριστική καμπύλη λειτουργίας στην εικόνα που ακολουθεί φαίνεται ότι αν ο μέσος είναι 1.725 μm, η πιθανότητα για το μέσο x ̅ να είναι μεταξύ των ορίων ελέγχου είναι κατά προσέγγιση 0.50. Το «εκτός ελέγχου» ARL, που αναφέρεται επίσης ως ARL1 , είναι

ARL1 = 1 / p = 1 / 0.5 = 2Ο χάρτης ελέγχου απαιτεί δυο δείγματα για να εντοπίσει μετατόπιση στη διεργασία, και άν το χρονικό διάστημα μεταξύ δειγμάτων είναι h = 1 ώρα, ο μέσος χρόνος για τον εντοπισμό της μετατόπισης είναι

ΑΤS = (ARL1 ) (h) = (2)(1) = 2 ώρες

22-1-2013 ΔΧ 15ΔΧ 15


22-1-2013 ΔΧ 16ΔΧ 16

Έλεγχος ποιότηταςxp & R Χάρτης ΕλέγχουYποομάδες ή δείγματα επιλέγονται έτσι ώστε, αν καθορισμένες αιτίες (assignable causes) είναι παρούσες, η ευκαιρία για διαφορές μεταξύ υποομάδων μεγιστοποιείται, ενώ η ευκαιρία για διαφορές μέσα σε κάθε υποομάδα, που οφείλονται σε καθορισμένες αιτίες, ελαχιστοποιούνταιΗ χρονοσειρά (time series) αποτελεί συχνά καλή βάση για σχηματισμό υποομάδων γιατί επιτρέπει να εντοπιστούν καθορισμένες αιτίες που παρουσιάζονται με τό χρόνοΥπάρχουν δυο μέθοδοι για σχηματισμό λογικών υποομάδων: (a) στιγμιαία (snapshot), και (β) τυχαία

Στιγμιαία Τυχαία

Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας ΔΈλεγχος ποιότηταςxp & R Χάρτης ΕλέγχουΣτην στιγμιαία μέθοδο, κάθε δείγμα αποτελείται από μονάδες ή τεμάχια που παρήχθησαν τον ίδιο χρόνο ή όσο πιο κοντά γίνεται. Στην ιδεατή περίπτωση, είναι επιθυμητό να επιλεχθούν διαδοχικές (consecutive) μονάδες παραγωγής. Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιείται όταν ο πρωταρχικός σκοπός είναι ο εντοπισμός μετατοπίσεων στην διεργασίαΗ προηγούμενη εικόνα δείχνει μια διεργασία της οποίας ο μέσος υφίσταται μια σειρά από διατηρητέες (sustained)μετατοπίσεις (περιορισμένης) διάρκειας, και οι λογικές υποομάδες Αποτελούνται από 5 διαδοχικά σημεία. Η εικόνα περιλαμβάνει x ̅ και R χάρτες. Αν και ο μέσος της διεργασίας μετατοπίζεται, η μεταβλητότητά της παραμένει σταθερή

Στην τυχαία μέθοδο, κάθε λογική υποομάδα είναι ένα τυχαίο δείγμα της παραγωγής της διεργασίας ενόσω διαρκεί η δειγματοληψία. Χρησιμοποιείται για τη λήψη αποφάσεων σχετικών με την αποδοχή όλων των μονάδων προϊόντος που έχουν παραχθεί από το τελευταίο δείγμα και πέρα. Επίσης αν η διεργασία μετατοπίζεται σε θέση «εκτός ελέγχου» και στη συνέχεια σε θέση «υπό έλεγχο» μεταξύ δειγμάτων, η στιγμιαία μέθοδος είναι αναποτελεσματική και η τυχαία προτιμάται. Οι x ̅ και R χάρτες που δημιουργήθηκαν με την τυχαία μέθοδο δείχνονται στην προηγούμενη εικόνα. Υπάρχουν δυο προβλήματα με την ερμηνεία χαρτών ελέγχου από τη μέθοδο αυτή: (1) H διεργασία μπορεί να φανεί ότι είναι «υπό έλεγχο» με απλή επέκταση του διαστήματος μεταξύ μετρήσεων στο δείγμα, και(2) Μετατοπίσεις στο μέσο της διεργασίας προκαλούν μετατόπιση σημείων στους χάρτες ελέγχου εύρους ή τυπικής απόκλισης σε θέσεις «εκτός ελέγχου», αν και δεν υπάρχει μεταβλητότητα στη διεργασία

22-1-2013 ΔΧ 17ΔΧ 17


22-1-2013 ΔΧ 18ΔΧ 18

Έλεγχος ποιότηταςxp & R Χάρτης Ελέγχου

Υπάρχουν κι άλλες μέθοδοι για τη δημιουργία λογικών υποομάδων. Για παράδειγμα, αν σε μια διεργασία η παραγωγή από μερικές μηχανές συγκεντρώνεται σε κοινό ρεύμα, είναι λογικό για τη δημιουργία υποομάδων να εφαρμοστούν τεχνικές χάρτη ελέγχου στην παραγωγή κάθε μηχανής ξεχωριστά. Η ίδια τεχνική μπορεί να εφαρμοστεί σε διαφορετικά στόμια εκροής της ίδιας μηχανής, διαφορετικούς χειριστές, κλπ. Σε πολλές περιπτώσεις, η λογική υποομάδα αποτελείται από μια μόνο μέτρηση. Η περίπτωση αυτή συμβαίνει στη χημική βιομηχανία όπου χαρακτηριστικά ποιότητας συγκεκριμένου προϊόντος αλλάζουν σχετικά αργά και τα δείγματα που παίρνονται πολύ κοντά το ένα με τό άλλο στό χρόνο είναι σχεδόν τα ίδια, εκτός φυσικά από το λάθος μέτρησης ή αναλυτικό λάθος


22-1-2013 ΔΧ 19ΔΧ 19

Έλεγχος ποιότηταςAνάλυση Χάρτη ¨Ελεγχου

Στην παραπάνω εικόνα, στην αριστερή πλευρά, αν και 25 σημεία είναι μεταξύ των ορίων ελέγχου, η διεργασία δεν είναι υπό έλεγχο, γιατί ο σχηματισμός (pattern) των σημείων δεν δίνει την εντύπωση ότι τα σημεία επιλέχτηκαν τυχαία. Ειδικότερα, 19 από τα 25 σημεία είναι κάτω από την κεντρική γραμμή, ενώ 6 μόνο σημεία είναι πάνω από την κεντρική γραμμή. Αν τα σημεία είχαν επιλεγεί τυχαία, η κατανομή τους πάνω και κάτω από την κεντρική γραμμή θα ήταν πιο ισορροπημένη. Επίσης μετά το 4ο σημείο, 5 σημεία στη σειρά αυξάνουν σε μέγεθος. Μια σειρά από διαδοχικά σημεία του ίδιου τύπου ονομάζεται διαδρομή (run), άνω διαδρομή, αν τα σημεία αυξάνουν σε μέγεθος, κάτω διαδρομή, αν τα σημεία ελαττώνονται σε μέγεθος. Η διαδρομή με δύο σημεία πάνω από την κεντρική γραμμή έχει μήκος 2. Διαδρομές μήκους 8 ή μεγαλύτερο έχουν πολύ μικρή πιθανότητα εμφάνισης σε τυχαίο δείγμα σημείων.

Εκτός από τη διαδρομή και άλλοι σχηματισμοί σημείων αποτελούν κριτήριο για τυχαία ή μή τυχαία συμπεριφορά σε χάρτη ελέγχου

Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας ΔΈλεγχος ποιότηταςAνάλυση Χάρτη ¨ΕλεγχουΣτην προηγούμενη εικόνα, στη δεξιά πλευρά, ο μέσος του δείγματος παρουσιάζει κυκλική συμπεριφορά, ενώ όλα τα σημεία είναι εντός των ορίων ελέγχου. ΄Ενας τέτοιοςσχηματισμός δείχνει ότι υπάρχει πρόβλημα με τη διεργασία και παρόλο που η διεργασία δεν είναι «εκτός ελέγχου», η απόδοσή της είναι χαμηλή. Η απόδοση της διεργασίαςμπορεί να αυξηθεί με μείωση ή απάλειψη των πηγών μεταβλητότητας (sources ofvariability)

Το πρόβλημα χαρακτηρισμού της συμπεριφοράς των σημείων σε χάρτη ελέγχου ως συστηματικής ή τυχαίας ανήκει στην περιοχή τής Αναγνώρισης Σχηματισμών (PatternRecognition)Κυκλικός σχηματισμός (cyclic pattern) μπορεί να είναι αποτέλεσμα συστηματικών αλλαγών στο περιβάλλον, π.χ., θερμοκρασίας, κόπωσης χειριστή, τακτικής εναλλαγής προσωπικού και/ή μηχανών, διακύμανσης στην τάση (ηλεκτρική) ή πίεση ή άλλης μεταβλητής μηχανημάτων παραγωγής Μικτός σχηματισμός (mixture pattern), όταν τα σημεία στο χάρτη ελέγχου έχουν την τάση να είναι κοντά ή ελαφρά έξω από τα όρια ελέγχου, με σχετικά λίγα σημεία κοντά στην κεντρική γραμμή (βλέπε επόμενη εικόνα). Αυτός ο σχηματισμός προκύπτει από δυό ή περισσότερες κατανομές που επικαλύπτονται εν μέρει και παράγουν την έξοδο της διεργασίας. Μερικές φορές ο μικτός σχηματισμός είναι αποτέλεσμα υπερελέγχου, όπου οι χειριστές κάνουν ρυθμίσεις στη διεργασία πολύ συχνά, ανταποκρινόμενοι στην τυχαία μεταβολή στην έξοδο παρά σε αλλαγές που οφείλονται σε συστηματικές αιτίες22-1-2013 ΔΧ 20ΔΧ 20


22-1-2013 ΔΧ 215-6-2009 ΔΧ 21


Μικτός σχηματισμός (βλέπε παρακάτω εικόνα) μπορεί επίσης να προκύψει από άλλες αιτίες, π.χ., αν το προϊόν στην έξοδο της διεργασίας από διάφορες πηγές, π.χ., μηχανές που δουλεύουν εν παραλλήλω τροφοδοτείται από κοινό αγωγό από τον οποίο λαμβάνονται δείγματα για παρακολούθηση (monitoring)

Στους διάφορους σχηματισμούς παρατηρούνται (α) μετατοπίσεις (shifts), και (β) τάσεις (trends) στο επίπεδο της διεργασίας, και (γ) διαστρωμάτωση (stratification) (βλέπε παρακάτω εικόνες)

Mικτός σχηματισμός (mixed pattern)

Μετατόπιση (shift) Τάση (trend) Διαστρωμάτωση (stratification)


22-1-2013 ΔΧ 22ΔΧ 22

Έλεγχος ποιότηταςAνάλυση Χάρτη Ελέγχου

Μετατόπιση (shift) συμβαίνει όταν γίνονται αλλαγές στο προσωπικό, τις μηχανές, τις πρώτες ύλες, κλπ.Η τάση (trend) είναι συνεχής κίνηση στην ίδια κατεύθυνση, που προέρχεται συνήθως από φθορά μηχανημάτων ή άλλου κρίσιμου για τη διεργασία παράγοντα. Στην χημική βιομηχανία, η τάση εμφανίζεται γιατί τα συστατικά ενός μίγματος διαχωρίζονται. Τάσεις μπορεί ακόμη να οφείλονται σε εποχιακούς παράγοντες, όπως η θερμοκρασίαΗ τάση των σημείων του χάρτη ελέγχου να συγκεντρώνονται τεχνητά (artificially) γύρω από την κεντρική γραμμή ονομάζεται διαστρωμάτωση. Ένα από τα κύρια χαρακτηριστι-κά της διαστρωμάτωσης είναι η παντελής έλλειψη φυσικής μεταβλητότητας. Μια πιθανή αιτία για τη διαστρωμάτωση είναι ο λανθασμένος υπολογισμός ορίων ελέγχουΔιαστρωμάτωση μπορεί επίσης να εμφανιστεί όταν το δείγμα αποτελείται από μια ή περισσότερες μετρήσεις από διαφορετικές κατανομές που υποκρύπτονται σε κάθε υποομάδα. Για παράδειγμα, αν το κάθε δείγμα μεγέθους 5 αποτελείται από 1 μέτρηση από καθεμία από 5 παράλληλες διεργασίες, και οι υψηλότερες και χαμηλότερες τιμές σε κάθε δείγμα είναι σχετικά απομακρυσμένες, γιατί προέρχονται από διαφορετικές διεργασίες, τότε το R είναι λανθασμένα διογκωμένο και έχει σαν αποτέλεσμα τα όρια στον x ̅ χάρτη ελέγχου είναι πολύ ευρέα



Διάφορα κριτήρια χρησιμοποιούνται για να διαπιστωθεί άν η διεργασία είναι εκτός ελέγχου. Το βασικό κριτήριο έχει σχέση με το ότι ένα ή περισσότερα σημεία είναι εκτός των ορίων ελέγχου. Τα συμπληρωματικά (supplementary) κριτήρια χρησιμοποιούνται για να αυξηθεί η ευαισθησία των χαρτών ελέγχου σε μικρές μετατοπίσεις της διεργασίας, έτσι ώστε οι χειριστές να αντιδρούν πιο γρήγορα στις μεταβιβάσιμες αιτίες. Οι κανόνες που χρησιμοποιούνται ευρέωςστην πράξη για τη διαπίστωση ότι η διεργασία είναι εκτός ελέγχου είναι οι εξής:1. Ένα ή περισσότερα σημεία είναι έξω από τα όρια ελέγχου,2. Δύο από τρία διαδοχικά σημεία είναι εκτός τών ορίων προειδοποίησης αλλά εντός

των ορίων ελέγχου,3. Τέσσερα από πέντε σημεία είναι έξω από τα ένα-σίγμα όρια,4. Διαδρομή από 8 σημεία ειναι σε μιά πλευρά της κεντρικής γραμμής, 5. Έξι σημεία σε διαδρομή αυξάνουσα ή φθίνουσα,6. Δεκαπέντε σημεία στη σειρά στη ζώνη C, (-1σ , 1σ), πάνω και κάτω από την

κεντρική γραμμή,7. Δεκατέσσερα σημεία στη σειρά να εναλλάσσονται πάνω και κάτω,8. Οκτώ σημεία στη σειρά και στις δυο πλευρές της κεντρικής γραμμής, κανένα στην

ζώνη C, 9. Ασυνήθιστος ή μη τυχαίος σχεδιασμός, και 10. Ένα ή περισσότερα σημεία κοντά σε σημείο προειδοποίησης ή ελέγχου

22-1-2013 ΔΧ 23ΔΧ 23


22-1-2013 ΔΧ 24ΔΧ 24

Έλεγχος ποιότηταςΣτατιστική βάση για τους χάρτες ελέγχου

Όταν κανείς ασχολείται με χαρακτηριστικό ποιότητας που εκφράζεται από κάποια μετα-

βλητή, πρέπει να παρακολουθεί και να εξασκεί έλεγχο και στο μέσο και στην τυπική απόκλιση του χαρακτηριστικού ποιότητας. Έλεγχος του μέσου γίνεται συνήθως με τον χάρτη ελέγχου για το μέσο δείγματος ή x ̅ χάρτη. Η μεταβλητότητα της διεργασίας παρακολουθείται είτε με τον χάρτη ελέγχου για την τυπική απόκλιση, που ονομάζεται s χάρτης, ή με τον χάρτη ελέγχου για το εύρος, που ονομάζεται R χάρτης και είναι πιο συνηθισμένος

Ας υποτεθεί ότι το χαρακτηριστικό ποιότητας έχει κανονική κατανομή με μέσο μ και τυπική απόκλιση σ, μ και σ γνωστά. Αν x1 , x2 ,……, xn είναι δείγμα μεγέθους n, ο μέσος του δείγματος, x ̅ = (x1 + x2 + …+ xn ) / n , έχει κανονική κατανομή με μέσο μ και τυπική απόκλιση σx ̅ = σ / √ n , και η πιθανότητα 1 – α για κάθε μέσο δείγματος να είναι μεταξύ μ - Ζα/2 σx ̅ και μ + Ζα/2 σx ̅ Στην πράξη, τα μ και σ δεν είναι γνωστά. Αν m δείγματα εύρους n, n = 4, 5 ή 6 είναι διαθέσιμα, ο καλλίτερος εκτιμητής του μ είναι

μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν κεντρική γραμμή στον x ̅ χάρτη ελέγχου

m

xxxx m

...21

x


22-1-2013 ΔΧ 25ΔΧ 25

Έλεγχος ποιότηταςΧάρτης Ελέγχου (Control Chart)Στατιστική βάση για τους χάρτες ελέγχου

Το εύρος του δείγματος είναι R = xmax – xmin

Aν R1 , R2 , … ,Rm είναι τα εύρη των m δειγμάτων, το μέσο εύρος είναιR ̅ = (R1 + R2 + … +Rm )/m

Ta όρια ελέγχου για τον x ̅ χάρτη ελέγχου είναι:

Ta όρια ελέγχου για τον R χάρτη ελέγχου είναι:

Oι σταθερές Α2 , D3 και D4 , για διάφορες τιμές του n, δίνονται στον πίνακα που ακολουθεί

RAx

x

RAx

2

2

LCL

LineCenter

UCL

RD

R

RD

3

4

LCL

LineCenter

UCL


22-1-2013 ΔΧ 26ΔΧ 26

Έλεγχος ποιότηταςΕφαρμογή x ̅ και R χάρτη ελέγχου

Σε δυο φάσεις:1. Φάση Ι, όπου προκαταρκτικά δείγματα χρησιμοποιούνται για την κατασκευή των

x ̅ και R χαρτών ελέγχου, και τα όρια ελέγχου προσδιορίζονται από τις προηγούμενες εξισώσεις ως δοκιμαστικά όρια ελέγχου,

2. Φάση ΙΙ, όπου, αφού καθιερωθούν αξιόπιστα όρια ελέγχου, ο χάρτης ελέγχου χρησιμοποιείται για παρακολούθηση της μελλοντικής παραγωγής

Στη Φάση Ι: • Πρώτα καθορίζεται αν η διεργασία είναι υπό έλεγχο, όταν λαμβάνονται τα αρχικά

m δείγματα. Αν βρεθεί ότι η διεργασία είναι εκτός ελέγχου, τότε τα όρια ελέγχου αναθεωρούνται

• Εξετάζεται κάθε σημείο εκτός ελέγχου και αναζητείται αιτία. Αν βρεθεί καθορισμένη αιτία (assignable cause), το σημείο που συνδέεται με αυτή την αιτία απορρίπτεται και τα όρια ελέγχου υπολογίζονται εκ νέου από τα σημεία που απέμειναν. Αυτό το βήμα επαναλαμβάνεται ώσπου όλα τα σημεία στο χάρτη ελέγχου είναι υπό έλεγχο, οπότε και καθιερώνονται τα όρια ελέγχου για μελλοντική χρήση

Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας ΔΈλεγχος ποιότηταςΕφαρμογή x ̅ και R χάρτη ελέγχου

Μερικές φορές η κεντρική τιμή στον x ̅ χάρτη ελέγχου αντικαθίσταται από μια τιμή στόχου (target value),

Aν ο R χάρτης δείχνει διεργασία υπό έλεγχο, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την μετατόπιση

του μέσου της διεργασίας στην επιθυμητή τιμή, ιδιαίτερα σε διεργασίες που ο μέσος μπορεί να αλλάξει με σχετικά απλή αλλαγή της τιμής της ρυθμιζόμενης μεταβλητήςAν ο R χάρτης δείχνει διεργασία εκτός ελέγχου, τα εκτός ελέγχου σημεία απορρίπτονται και υπολογίζεται αναθεωρημένη τιμή του R ̅ που χρησιμοποιείται για να προσδιοριστούν νέα κεντρική γραμμή για τόν R χάρτη ελέγχου και νέα όρια για τόν x ̅ χάρτη ελέγχου

Στη Φάση ΙΙ, μόλις προσδιοριστούν τα όρια ελέγχου, ο χάρτης μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την παρακολούθηση (monitoring)της μελλοντικής παραγωγήςΓια την παρακολούθηση με απευθείας σύνδεση (on-line) με την παραγωγή μιας σταθερής διεργασίας, συνιστάται αποφυγή της χρήσης κανόνων ευαισθητοποίησης χαρτών ελέγχου, που είδαμε προηγουμένως, γιατί αυτοί οι κανόνες αυξάνουν την πιθανότητα λανθασμένων συναγερμών (false alarms)

Για ταχύτερη ανεύρεση σχηματισμών και καθορισμένων αιτίων, μερικές φορές συνιστάται η χρήση χάρτη διαδρομής (run chart) με μεμονωμένες μετρήσεις. Ο χάρτης αυτός όταν χρησιμοποιείται γι αυτό το σκοπό ονομάζεται χάρτης ανοχής (tolerance chart) ή διάγραμμα βαθμίδας (tier diagram)

0x

22-1-2013 ΔΧ 27ΔΧ 27


22-1-2013 ΔΧ 28ΔΧ 28


Δεν υπάρχει καμμιά σχέση μεταξύ των ορίων προδιαγραφών (specification limits), που προσδιορίζονται από παράγοντες εκτός της διεργασίας, και των ορίων ελέγχου στούς x ̅ και R χάρτες ελέγχου. Αλλά τα όρια ελέγχου υπαγορεύονται από τη φυσική

μεταβλητότητα της διεργασίας, δηλ., από τα φυσικά όρια ανοχής (natural limits of tolerance, LNLT και UNLT), που, με τη σειρά τους, είναι τα ίδια με τά 3-σίγμα όριαΤο κυριότερο όμως είναι ότι οι προδιαγραφές αναφέρονται στα Κρίσιμα Γιά την Ποιότητα(Critical To Quality) χαρακτηριστικά ή τις μεταβλητές εξόδου της διεργασίας ή απόκριση (response), y, ενώ τα όρια ελέγχου αναφέρονται στις ελεγχόμενες μεταβλητές εισόδου ή σημαντικούς παράγοντες (factors), x, όπου y = y(x). Tά όρια ελέγχου, LCL & UCL, επι-λέγονται έσι ώστε να ικανοποιούνται οι προδιαγραφές, δηλαδή, LCL < x < UCL ==> LSL < y < USL


22-1-2013 ΔΧ 29


Ο x ̅ χάρτης ελέγχου χρησιμεύει για την παρακολούθηση (monitoring) του μέσου της διεργασίας και τα δείγματα εκλέγονται έτσι ώστε να μεγιστοποιείται η ευκαιρία για μετατοπίσεις στο μέσο της διεργασίας μεταξύ δειγμάτων. Αυτές οι μετατοπίσειςεμφανίζονται στο χάρτη ελέγχου σαν σημεία εκτός ελέγχου. Έτσι, ο x ̅ χάρτης ελέγχου παρακολουθεί τη μεταβλητότητα μεταξύ δειγμάτων (between-sample variability)ή μεταβλητότητα της διεργασίας με το χρόνοΟ R χάρτης ελέγχου μετράει τη μεταβλητότητα μέσα στο δείγμα (within-sample variability) ή στιγμιαία μεταβλητότητα σε δεδομένο χρόνοΤα όρια ελέγχου βασίζονται στην μεταβλητότητα μέσα στο δείγμα (within-sample variability) Για τούς x ̅ και R χάρτες ελέγχου, χρειάζεται να οριστούν το μέγεθος δείγματος, τα όρια ελέγχου, και η συχνότητα δειγματοληψίας



Εφαρμογή x ̅ και R χάρτη ελέγχου

Αν ο x ̅ χάρτης ελέγχου χρησιμοποιείται κυρίως για τον προσδιορισμό μετρίων μέχριμεγάλων μετατοπίσεων, της τάξης 2σ ή περισσότερο, τότε μικρά σχετικά δείγματαμεγέθους n = 4, 5 ή 6 είναι αρκετά αποτελεσματικά. Αν γίνεται προσπάθεια να αναγνωριστούν μικρές μετατοπίσεις, τότε μεγαλύτερα δείγματα μεγέθους n = 15 ως 25χρειάζονται. Για αναγνώριση μικρών μετατοπίσεων προτιμούνται οι CUSUM ή EWMA χάρτες ελέγχου

Αλλαγή μεγέθους δείγματος σε x ̅ και R χάρτες ελέγχου

Υπάρχουν δυο περιπτώσεις που το μέγεθος του δείγματος, n, δεν είναι σταθερό, (1) Κάθε δείγμα αποτελείται από διαφορετικό αριθμό μετρήσεων, και (2) Γίνεται μόνιμη ή ημιμόνιμη αλλαγή στο μέγεθος του δείγματος για οικονομικούς λόγους ή γιατί η διεργασία εμφανίζει καλή σταθερότητα και λιγότεροι πόροι είναι διαθέσιμοι για την παρακολούθησή (monitoring) της Οταν κάθε δείγμα αποτελείται από διαφορετικό αριθμό μετρήσεων, οι x ̅ και R χάρτες ελέγχου δεν χρησιμοποιούνται, αλλά οι x ̅ και s χάρτες ελέγχου προτιμώνται Στην περίπτωση που γίνεται μόνιμη ή ημιμόνιμη αλλαγή στο μέγεθος του δείγματος, νέα όρια ελέγχου υπολογίζονται από τα παληά (όρια ελέγχου), χωρίς να ληφθούν επί πλέον δείγματα που έχουν το νέο μέγεθος δείγματος22-1-2013 ΔΧ 30ΔΧ 30


22-1-2013 ΔΧ 31ΔΧ 31



ΑνR ̅old = μέσο εύρος για δείγματα με το παληό μέγεθοςR ̅new = μέσο εύρος για δείγματα με το νέο μέγεθοςnold = παληό μέγεθος δείγματος nnew = νέο μέγεθος δείγματος d2(old) = σταθερά για τό παληό μέγεθος δείγματοςd2(new) = σταθερά για τό νέο μέγεθος δείγματος

Τα νέα όρια ελέγχου για τόν x ̅ χάρτη ελέγχου είναι

όπου , η κεντρική γραμμή, παραμένει αμετάβλητη και η σταθερά Α2 επιλέγεται για τό νέο μέγεθος δείγματος

old

old

Roldd

newdAx

Roldd

newdAx

)(

)(LCL

)(

)(UCL

2

22

2

22

x


22-1-2013 ΔΧ 32ΔΧ 32



Τα νέα όρια ελέγχου για τόν R ̅ χάρτη ελέγχου είναι

όπου D3 και D4 επιλέγονται για τo νέο μέγεθος δείγματος

Χαρακτηριστική καμπύλη Λειτουργίας (Οperating Characteristic Curve)

H ικανότητα των x ̅ και R χαρτών ελέγχου να εντοπίζουν μετατοπίσεις στην ποιότητα της διεργασίας φαίνεται από τίς χαρακτηριστικές Καμπύλες Λειτουργίας (ΟC curves).Aς υποτεθεί ότι η χαρακτηριστική καμπύλη λειτουργίας για τον x ̅ χάρτη ελέγχου κατασκευάστηκε με γνωστό και σταθερό σ. Αν ο μέσος μετατοπίζεται από την υπό έλεγχο τιμή μ0 σε μιά άλλη τιμή μ1 = μ0 + kσ , η πιθανότητα μη εντοπισμού της μετατόπισης στο αμέσως επόμενο από τη μετατόπιση δείγμα ή η διακινδύνευση β είναι

β = P{ LCL < x ̅ < UCL | μ1 = μ0 + kσ }

old

oldnew

old

Roldd

newdAx

Roldd

newdR

Roldd

newdD

)(

)(LCL

)(

)(CL

)(

)(UCL

2

22

2

2

2

24


22-1-2013 ΔΧ 33ΔΧ 33


Χαρακτηριστική καμπύλη ΛειτουργίαςΕπειδή x ̅ ~ Ν(μ , σ2/n) και UCL = μ0 + Lσ /√n και LCL = μ0 - Lσ /√n ,

όπου Φ[ x ] είναι η συνάρτηση τυπικής κανονικής αθροιστικής κατανομής (standard normal cumulative distribution function), x ~ Ν(0 , 1)

Η β διακινδύνευση είναι ίση με την πιθανότητα μη εντοπισμού μετατόπισης στό δείγμα, ενώ η πιθανότητα εντοπισμού της ίδιας μετατόπισης στό αμέσως επόμενο (μετά τη μετατόπιση) δείγμα είναι 1 – β , πιθανότητα εντοπισμού μετατόπισης στο δεύτερο

επόμενο δείγμα είναι β(1 – β) , πιθανότητα εντοπισμού μετατόπισης στο τρίτο επόμενο δείγμα είναι β2(1 – β) , πιθανότητα εντοπισμού μετατόπισης στο r επόμενο δείγμα είναι βr -1(1 – β)

)()(

/

)(/L

/

)(/L

/

)(LCL

/

)(UCL

0000

00

nkLnkL

n

kn

n

kn

n

k

n

k


22-1-2013 ΔΧ 34ΔΧ 34


Χαρακτηριστική καμπύλη ΛειτουργίαςTo μέσο μήκος διαδρομής (average run length), δηλ., ο αριθμός δειγμάτων που πρέπει να παρθούν πρίν τον εντοπισμό της μετατόπισης, ΑRL, είναι

Για τούς χάρτες ελέγχου Shewhart, ARL = 1 / P(ένα σημείο εκτός ελέγχου)

όπου Ρ( ) είναι η πιθανότητα συμβάντος σε παρένθεση. Ειδικότερα,τα υπό έλεγχο και εκτός ελέγχου ARL, ARL0 και ARL1 , αντίστοιχα είναι

ARL0 = 1 / α και ARL1 = 1 / β

1

1)1(

1

1

r

rrARL


22-1-2013 ΔΧ 355-6-2009 ΔΧ 35

Έλεγχος ποιότηταςΧαρακτηριστική καμπύλη ΛειτουργίαςΧαρακτηριστικές Καμπύλες λειτουργίας για τον xp χάρτη ελέγχου με 3-σίγμα όρια (βλέπε παρακάτω εικόνα) παριστάνουν την πιθανότητα μη εντοπισμού μετατόπισης του μέσου της διεργασίας στο αμέσως επόμενο μετά τη μετατόπιση δείγμα, σε διάγραμμα β διακινδύνευσης έναντι μεγέθους μετατόπισης σε μονάδες τυπικής απόκλισης, k, για διαφορετικά μεγέθη δείγματος, n

Αν σ, τυπική απόκλιση, μετατοπίζεται από την υπό έλεγχο τιμή σ0 σε νέα τιμή σ1( > σ0 ) , η χαρακτηριστική καμπύλη λειτουργίας (OC curve) για τον R ̅ χάρτη ελέγχου με 3-σίγμα όρια (βλέπε παρακάτω εικόνα), παριστάνει την πιθανότητα μη εντοπισμού μετατόπισης στην τυπική απόκλιση της διεργασίας στο αμέσως επόμενο από τη μετατόπιση δείγμα, σε διάγραμμα β διακινδύνευσης έναντι λ = σ1 /σ0 ή W = R /σ (σχετικό εύρος), για διαφορετικά μεγέθη δείγματος, n

OC για x ̅ χάρτη ελέγχου OC για R ̅ χάρτη ελέγχου

k


22-1-2013 ΔΧ 36ΔΧ 36

Έλεγχος ποιότηταςx ̅ & s Xάρτες Ελέγχου

Αν σ2 είναι η άγνωστη διασπορά της διεργασίας, ένας αμερόληπτος εκτιμητής (unbiased estimator) του σ2 είναι η διασπορά του δείγματος, s2

Αλλά η τυπική απόκλιση του δείγματος, s, δεν είναι αμερόληπτος εκτιμητής της τυπικής απόκλισης της διεργασίας, σ. Αν η κατανομή είναι κανονική, η τυπική απόκλιση του s είναι σ √1 – c4

2 όπου c4 είναι μια σταθερά που η τιμή της εξαρτάται από το μέγεθος του δείγματος n (βλέπε πίνακα σταθερών για χάρτες ελέγχου)

Αν μια πρότυπη τιμή σ είναι γνωστή, οι παράμετροι του s χάρτη ελέγχου είναιUCL = Β6σΚεντρική γραμμή = c4σLCL = Β5σ

όπου (βλέπε πίνακα σταθερών για χάρτες

ελέγχου)

Αν η πρότυπη τιμή σ είναι γνωστή, λαμβάνονται m δείγματα, μεγέθους n, και υπολογίζεται ο μέσος m τυπικών αποκλίσεων si (i = 1,…,m), s̅ , που είναι

1

)(1

2

2

n

xxs

n

ii

2446

2445 1313 ccBccB


22-1-2013

Έλεγχος ποιότηταςx ̅ και s Xάρτες Ελέγχου

H τυπική απόκλιση του δείγματος i, μεγέθους n, si , είναι

Oι παράμετροι του s χάρτη ελέγχου είναιUCL = Β4 s̅Κεντρική γραμμή = s̅LCL = Β3 s̅

Oι σταθερές δίνονται στον πίνακα σταθερών για χάρτες ελέγχουOι παράμετροι του x ̅ χάρτη ελέγχου είναι

όπου τιμές για τη σταθερά Α3 = 3/(c4√n) δίνονται στον πίνακα σταθερών για χάρτεςελέγχου

n

iism

s1

1

24

44

24

43 1

311

31 c

cBc

cB

min

xx

s

n

jiij

i ,...,11

)(1

2

sAx

xΚ

sAx

3

3

LCL

UCL

ΔΧ 37ΔΧ 37


22-1-2013 ΔΧ 38ΔΧ 38

Έλεγχος ποιότηταςx ̅ και s Xάρτες Ελέγχου από δείγματα μεταβλητού μεγέθους

Αν ni είναι ο αριθμός των μετρήσεων στο i δείγμα,

Oι παράμετροι του s χάρτη ελέγχου υπολογίζονται, όπως και στην περίπτωση δειγμάτων ίσου μεγέθους, από τις σχέσεις

UCL = Β4 s̅Κεντρική γραμμή = s̅LCL = Β3 s̅

Oι παράμετροι του x ̅ χάρτη ελέγχου υπολογίζονται, όπως και στην περίπτωση δειγμάτων ίσου μεγέθους, από τις σχέσεις

sAx

xΚ

sAx

3

3

LCL

UCL

2/1

1

1

2

1

1

)1(

m

ii

m

iii

m

ii

m

iii

mn

sns

n

xnx


Έλεγχος ποιότηταςXάρτης ελέγχου Shewhart για μεμονωμένες μετρήσεις

Σε αρκετές περιπτώσεις το μέγεθος του δείγματος είναι n = 1, δηλ., το δείγμα αποτελείται από μια μέτρηση. Παραδείγματα είναι1. Αυτόματος έλεγχος και τεχνολογία μέτρησης χρησιμοποιείται, και κάθε μονάδα που

παράγεται αναλύεται, γι αυτό δεν υπάρχει λόγος για δημιουργία λογικών υποομάδων,2. Ο ρυθμός παραγωγής είναι πολύ αργός, και είναι ενοχλητικό να συγκεντρώνονται

δείγματα μεγέθους n > 1 πρίν την ανάλυση. Ο μακρός χρόνος μεταξύ μετρήσεων δημιουργεί προβλήματα για τη δημιουργία λογικών υποομάδων,

3. Επαναλαμβανόμενες μετρήσεις διαφέρουν μόνο στο σφάλμα εργαστηρίου ή ανάλυσης, όπως συμβαίνει στις χημικές διεργασίες,

4. Πολλαπλές μετρήσεις γίνονται για την ίδια μονάδα προϊόντος, π.χ., πάχος οξειδίου σε διάφορα σημεία δισκίου σιλικόνης στη βιομηχανία ημιαγωγών, και

5. Στη βιομηχανία κατεργασίας, π.χ., βιομηχανία χάρτου, μετρήσεις μιάς παραμέτρου όπως το πάχος της επικάλυψης κατά μήκος της διατομής του ρολού διαφέρουν ελάχιστα και έχουν τυπική απόκλιση πολύ μικρή, αν το αντικείμενο του ελέγχου είναι το πάχος της επικάλυψης κατά μήκος της γενέτειρας του ρολού

Στις περιπτώσεις αυτές, αν το μέγεθος της μετατόπισης στο μέσο της διεργασίας είναι μικρό, οι CUSUM και EWMA χάρτες ελέγχου προτιμώνταιΣε πολλές περιπτώσεις χάρτη ελέγχου για μεμονωμένες μετρήσεις, το διακινούμενο εύρος (moving range) δυο διαδοχικών μετρήσεων, MRi = |xi – xi-1|, αποτελεί βάση υπολογισμού της μεταβλητότητας της διεργασίας

22-1-2013 ΔΧ 39ΔΧ 39


22-1-2013 ΔΧ 40ΔΧ 40

Έλεγχος ποιότηταςXάρτης ελέγχου για κλάσμα μη συμμορφουμένων μονάδων προϊοόντος (fraction nonconforming)

Κλάσμα μη συμμορφουμένων μονάδων = λόγος του αριθμού των μη συμμορφουμένων αντικειμένων προς τον συνολικό αριθμό των αντικειμένων του πληθυσμού Αν το αντικείμενο που εξετάζεται για χαρακτηριστικά ποιότητας, δεν προσαρμόζεται στό πρότυπο σε ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά χαρακτηρίζεται ως μη συμμορφούμενοΣυνήθως εκφράζουμε κλάσμα μη συμμορφουμένων μονάδων με δεκαδικό αριθμόΑν (α) μια παραγωγική διεργασία λειτουργεί με σταθερό τρόπο, (β) η πιθανότητα για οποιαδήποτε μονάδα προϊόντος να μη συμμορφώνεται με τίς προδιαγραφές είναι p, (γ) διαδοχικές μονάδες προϊόντος είναι ανεξάρτητες, και (δ) D μονάδες προϊόντος από ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους n είναι μη συμμορφούμενες, το D έχει δυωνυμική κατανομή με παραμέτρους p και n, δηλ.,

όπου Ρ{ } είναι η πιθανότητα του συμβάντος σε αγγύλεςΟ μέσος και η τυπική απόκλιση της τυχαίας μεταβλητής D είναι np και np(1-p),αντίστοιχαΤο δείγμα του κλάσματος των μη συμμορφουμένων μονάδων προϊόντος είναι

nxppx

nxDP xnx ,...,1,0)1(}{

n

Dp



Το δείγμα του κλάσματος των μη συμμορφουμένων μονάδων προϊόντος είναι Η τυχαία μεταβλητή p ̂ έχει δυωνυμική κατανομή με μέσο και διασπορά

μ = p και σp ̂2 = p(1 – p)/n

Ο χάρτης που παρακολουθεί το κλάσμα των μη συμμορφουμένων μονάδων προϊόντος (nonconforming fraction), p, ονομάζεται p χάρτης ελέγχου

Aν w είναι η μεταβλητή που μετράει ένα χαρακτηριστικό ποιότητας, και ο μέσος και η τυπική απόκλιση του w είναι μw και σw , αντίστοιχα, τα όρια για τον Shewhart χάρτη ελέγχου του w είναι

UCL = μw + Lσw

Κεντρική γραμμή = μw

LCL = μw - Lσw

όπου L είναι η απόσταση των ορίων ελέγχου από την κεντρική γραμμή. Συνήθως, L = 3 Αν το πραγματικό κλάσμα μη συμμορφουμένων μονάδων προϊόντος, p, είναι γνωστό, τα όρια ελέγχου για τον p χάρτη είναι

22-1-2013 ΔΧ 415-6-2009 ΔΧ 41

n

ppp

pΚn

ppp

)1(3LCL

)1(3UCL

n

Dp



Στην πράξη, το πραγματικό κλάσμα μη συμμορφουμένων μονάδων προϊόντος, p, σπάνια είναι γνωστό με βεβαιότητα, και δίνεται στο p μια επιθυμητή τιμή ή τιμή στόχου (target value)Αν το πραγματικό κλάσμα μη συμμορφουμένων μονάδων προϊόντος, p, δεν είναι γνωστό, υπολογίζεται o εκτιμητή ̅ς του p, p ̂, από m προκαταρκτικά δείγματα, μεγέθους n, ως εξής

Tα όρια ελέγχου του p χάρτη είναι

Τα όρια, όταν το p δεν είναι γνωστό ή δεν έχει τιμή στόχου, είναι δοκιμαστικά όρια ελέγχου (trial control limits)

n

ppp

pΚn

ppp

)1(3LCL

)1(3UCL

mn

D

m

pp

min

Dp

m

ii

m

ii

ii

11

,...,2,1

22-1-2013 ΔΧ 42ΔΧ 42


22-1-2013 ΔΧ 43ΔΧ 43

Έλεγχος ποιότηταςXάρτης ελέγχου για κλάσμα μη συμμορφουμένων μονάδων προϊοόντος (fraction nonconforming)Ο χάρτης ελέγχου για το κλάσμα μη συμμορφουμένων μονάδων προϊόντος, p, έχει 3 παρα-μέτρους, (α) μέγεθος δείγματος, (β) συχνότητα δειγματοληψίας, και (γ) εύρος των ορίων ελέγχουΕίναι σχεδόν καθιερωμένο ο χάρτης ελέγχου για το κλάσμα μή συμμοεφουμένων μονάδων προϊόντος να βασίζεται σε 100% επιθεώρηση της παραγωγής εξόδου όλων των διεργασιών σε κάποια κατάλληλη περίοδο χρόνου, όπως μια μέρα. Στην περίπτωση αυτή μέγεθος δείγματος και συχνότητα δειγματοληψίας είναι αλληλένδετα. Γενικά, επιλέγεται η συχνότητα δειγματοληψίας που αντιστοιχεί σε ωρισμένο ρυθμό παραγωγής, και αυτό καθορίζει το μέγεθος του δείγματοςΔιάφοροι κανόνες έχουν προταθεί για την επιλογή του μεγέθους δείγματος, n. Αν το pείναι πολύ μικρό, το n επιλέγεται αρκετά μεγάλο έτσι ώστε η πιθανότητα να βρεθεί μια τουλάχιστον μη συμμορφούμενη μονάδα προϊόντος στο δείγμα να είναι υψηλή. Αλλιώς, μπορεί να βρεθεί ότι τα όρια ελέγχου είναι τέτοια ώστε η παρουσία μιας μόνο μή συμμορφουμένης μονάδας στο δείγμα να δείχνει κατάσταση εκτός ελέγχου. Επειδή για κάθε p > 0 υπάρχει πιθανότητα να εμφανιστούν ελαττωματικά προϊόντα, το συμπέρασμα ότι η διεργασία είναι εκτός ελέγχου, όταν εντοπιστεί ένα μόνο ελαττωματικό προϊόν, δεν είναι σωστό σε αρκετές περιπτώσεις. Για να αποφύγει κανείς αυτή την παγίδα, το μέγεθος n επιλέγεται έτσι ώστε η πιθανότητα να βρεθεί τουλάχιστον μια μη συμμορφούμενη μονάδα προϊόντος σε κάθε δείγμα να είναι τουλάχιστον γ, δηλ., το n επιλέγεται έτσι ώστε P{D > 1} > γ (όπου γ, για παράδειγμα, μπορεί να είναι 0.95)

Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας ΔΈλεγχος ποιότηταςXάρτης ελέγχου για κλάσμα μη συμμορφουμένων μονάδων προϊοόντος (fraction nonconforming)Το μέγεθος δείγματος n επιλέγεται έτσι ώστε το UCL να συμπίπτει με το κλάσμα μη συμμορφουμένων μονάδων προϊόντος για την εκτός ελέγχου κατάσταση. Αν δ είναι το μέγεθος μετατόπισης της διεργασίας, τότε το n ικανοποιεί τη σχέση

Αν το το κλάσμα μη συμμορφουμένων μονάδων προϊόντος για την υπό έλέγχο κατάσταση είναι μικρό, ένα άλλο χρήσιμο κριτήριο είναι το LCL να είναι > 0, δηλ.,

Πιο στενά όρια ελέγχου κάνουν το χάρτη ελέγχου πιό ευαίσθητο σε μικρές μετατοπίσεις στο p, αλλά με αύξηση του κόστους για πιο συχνούς λανθασμένους συναγερμούς Άλλο σημείο ενδιαφέροντος είναι οι τιμές κάτω από τό LCL. Αυτό οφείλεται σε ανεπαρκώς εκπαιδευμένους επιθεωρητές ελέγχου ή ανεπαρκώς βαθμολογημένa όργανa μέτρησης

)1(

)1(

2

ppL

n

n

ppL

21

0)1(

LCL

Lp

pn

n

ppLp

22-1-2013 ΔΧ 44ΔΧ 44


22-1-2013 ΔΧ 455-6-2009 ΔΧ 45


Σταθερές, για διάφορες τιμές του n, για Χάρτες Ελέγχου


Σταθερές, για διάφορες τιμές του n, για Χάρτες Ελέγχου


22-1-2013 ΔΧ 46


Χάρτες Συσσωρευτικού Αθροίσματος και Εκθετικά Σταθμισμένου Διακινουμένου Μέσου (CUmulative SUM and Exponentially Weighted Moving Average charts)

Ένα σημαντικό μειονέκτημα του Shewhart χάρτη ελέγχου είναι ότι χρησιμοποιεί μόνο τα δεδομένα της διεργασίας από την τελευταία μέτρηση του δείγματος και αγνοείδεδομένα από ολόκληρη τη σειρά των μετρήσεων. Αυτό το χαρακτηριστικό κάνει τον Shewhart χάρτη ελέγχου σχετικά ανίκανο να εντοπίσει μικρές μετατοπίσεις και λιγότερο χρήσιμο στη Φάση ΙΙ (παρακολούθηση = monitoring), όπου η διεργασία έχει την τάση να λειτουργεί υπό έλεγχο, αξιόπιστοι υπολογισμοί των παραμέτρων της διεργασίας, π.χ., μέσος και τυπική απόκλιση, είναι διαθέσιμοι, και καθορισμένες αιτίες (assignable causes), τυπικά δεν καταλήγουν σε μεγάλες ανατροπές ή διαταραχές της διεργασίας Φυσικά, η χρήση ορίων προειδοποίησης (warning limits) και κανόνων ευαισθητοποίησης (sensitizing rules) βελτιώνει την απόδοση του Shewhart χάρτη ελέγχου για μικρές μετα-τοπίσεις, αλλά τα μέτρα αυτά μειώνουν δραματικά το Μέσο Μήκος Διαδρομής (ARL) τουχάρτη, όταν η διεργασία είναι υπό έλεγχο. Αυτό είναι ανεπιθύμητο στη Φάση ΙΙ τηςπαρακολούθησης (monitoring)

Δυο πολύ αποτελεσματικές εναλλακτικές λύσεις για αντιμετώπιση μικρών μετατοπίσεωντης διεργασίας και χρήση στη Φάση ΙΙ είναι οι χάρτες Συσσωρευτικού Αθροίσματος και Εκθετικά Σταθμισμένου Διακινουμένου Μέσου (CUSUM and EWMA)

ΔΧ 46


22-1-2013 ΔΧ 47ΔΧ 47


Χάρτης Συσσωρευτικού Αθροίσματος (CUmulative SUM chart)

Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας ΔΈλεγχος ποιότηταςΧάρτης ελέγχου Συσσωρευτικού Αθροίσματος (CUmulative SUM chart)

Τα πρώτα 20 σημεία στον προηγούμενο πίνακα, που επιλέχτηκαν τυχαία από κανονική κατανομή με μέσο μ = 10 και τυπική απόκλιση σ =1, σχεδιάστηκαν στο Shewhart χάρτη ελέγχου παρακάτω

Η κεντρική γραμμή και τα όρια ελέγχου για τον παραπάνω χάρτη ελέγχου είναιUCL = 13Κεντρική γραμμή = 10LCL = 7

Σημειωτέον ότι όλα τα 20 σημεία είναι υπό έλεγχοΤα τελευταία 10 σημεία του προηγούμενου πίνακα, επιλέχτηκαν τυχαία από κανονική κατανομή με μέσο μ = 11 και τυπική απόκλιση σ =1. Μπορεί κανείς να σκεφτεί ότι τα τελευταία 10 σημεία προέρχονται από διεργασία που είναι εκτός ελέγχου, δηλ., αφού η διεργασία υπέστει μετατόπιση του μέσου κατά 1σ. Τα τελευταία 10 σημεία παριστάνονται επίσης στο χάρτη ελέγχου παραπάνω ΔΧ 48ΔΧ 4822-1-2013


22-1-2013 ΔΧ 49ΔΧ 49

Έλεγχος ποιότηταςΧάρτης Συσσωρευτικού Αθροίσματος (CUmulative SUM chart)

Όπως φαίνεται από τό χάρτη ελέγχου, κανένα από αυτά τα σημεία δεν είναι εκτός ελέγχου και η μόνη ένδειξη ότι συνέβει μετατόπιση στό μέσο, είναι τα σημεία, με εξαίρεση ένα μόνο, είναι πάνω από την κεντρική γραμμή. Ο λόγος γι΄ αυτή την αποτυχία είναι το σχετικά μικρό μέγεθος της μετατόπισης

Ο Shewhart χάρτης ελέγχου για το μέσο του δείγματος είναι πολύ αποτελεσματικός, αν το μέγεθος της μετατόπισης είναι 1.5σ ώς 2σ και μεγαλύτερο. Για μικρότερες μετατοπίσεις, δεν είναι τόσο αποτελεσματικός. Ο χάρτης Συσσωρευτικού Αθροίσματος (CUSUM) είναι μια καλή εναλλακτική λύση, όταν μικρές μετατοπίσεις είναι σημαντικές

Ο χάρτης Συσσωρευτικού Αθροίσματος κατασκευάζεται ως εξής. Λαμβάνονται δείγματα μεγέθους n > 1, υπολογίζεται ο μέσος κάθε δείγματος (x ̅j είναι ο μέσος του j δείγματος), και, αν η τιμή στόχου (target value) για το μέσο της διεργασίας είναι μ0 , το μέγεθος

που είναι το συσσωρευτικό άθροισμα ως και περιλαμβανομένου του i δείγματος, σχεδιάζεται σε διάγραμμα με οριζόντιο άξονα τον αριθμό δείγματος i

i

jji xC

10 )(


22-1-2013 ΔΧ 50


Ο χάρτης ελέγχου Συσσωρευτικού Αθροίσματος, επειδή περιέχει δεδομένα από αρκετά δείγματα, είναι πιο αποτελεσματικός από τον Shewhart χάρτη ελέγχου για μικρές μετα-τοπίσεις της διεργασίας. Είναι ιδιαίτερα αποτελεσματικός με δείγματα μεγέθους n =1,πράγμα που καθιστά τον χάρτη ελέγχου Συσσωρευτικού Αθροίσματος καλη επιλογή για τη χημική και τη βιομηχανία κατεργασίας, όπου λογικές υποομάδες (rational subgroups) έχουν συχνά μέγεθος ίσο με ένα. Το ίδιο ισχύει για τη βιομηχανία διακριτών στοιχείων (discrete parts), όπου γίνονται αυτόματικές μετρήσεις για κάθε στοιχείο και παρακολούθη-ση (monitoring) σε απευθείας σύνδεση με την παραγωγή

Αν η διεργασία παραμένει υπό έλεγχο στην τιμή στόχου (target value) μ0 , το συσσωρευτικό άθροισμα ακολουθεί τυχαίο περίπατο (random walk) με μέσο ίσο με το μηδέν. Αν όμως ο μέσος μετατοπίζεται στο μ1 ( > μ0 ) , τότε μια μετατόπιση πρός τα πάνω ή θετική μετατόπιση αναπτύσσεται στο συσσωρευτικό άθροισμα Ci . Αν λοιπόν μια σημαντική τάση προς τα πάνω ή κάτω αναπτυχθεί στα σημεία του χάρτη ελέγχου, αυτό θεωρείται ως ένδειξη ότι ο μέσος της διεργασίας έχει μετατοπιστεί, και χρειάζεται να γίνει έρευνα για τις καθορισμένες αιτίες (assignable causes)

Για να κατασκευαστεί ο χάρτης Συσσωρευτικού Αθροίσματος (CUSUM chart) για τα δεδομένα του προηγούμενου πίνακα, x ̅ = xi (το κάθε δείγμα έχει μέγεθος n =1), μ0 = 10 και με C0 = 0

Ο χάρτης Συσσωρευτικού Αθροίσματος δίνεται στην επόμενη σελίδα

1

1

11

)10()10()10()10(

ii

i

jji

i

jji CxxxxC

ΔΧ 50


22-1-2013 ΔΧ 51ΔΧ 51


Σημειωτέον ότι ο χάρτης Συσσωρευτικού Αθροίσματος (CUSUM chart) δεν έχει όρια ελέγχου Υπάρχουν δυο μέθοδοι παράστασης του CUSUM, (α) συνοπτική (tabular) ή αλγοριθμική, και (β) V- προσωπίδας (V – mask). Η καλλίτερη από τις δυο, είναι η συνοπτική (tabular) ή αλγοριθμική

Ακολουθεί κατασκευή χάρτη CUSUM με τη συνοπτική ή αλγοριθμική μέθοδο για το μέσο της διεργασίας. CUSUM μπορεί να κατασκευαστεί και για μεμονωμένες μετρήσεις και για τους μέσους λογικών υποομάδων (rational subgroups)

Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας ΔΈλεγχος ποιότηταςΧάρτης Συσσωρευτικού Αθροίσματος (CUmulative SUM chart)

Ας υποτεθεί ότι η διεργασία είναι υπό έλεγχο, xi , η i μέτρηση διεργασίας, έχει κανονική κατανομή με μέσο μ0 (μερικές φορές, τo μ0 είναι τιμή στόχου – target value) και τυπικήαπόκλιση σ, όπου είτε το σ ή ένας αξιόπιστος εκτιμητής του είναι γνωστά. Αυτές οι υποθέσεις είναι σύμφωνες με εφαρμογές του SPC στη Φάση ΙΙ, όπου ο χάρτης CUSUM είναι ο πιο χρήσιμος. Αν η διεργασία μετατοπιστεί από την τιμή στόχου, ο χάρτηςCUSUM δείχνει την παρουσία μιας καθορισμένης αιτίας (assignable cause), και, αν γίνει διόρθωση της μεταβλητής υπό χειρισμό (manipulated variable) , η διεργασία θα επανέλθει πίσω στο στόχο

Σύμφωνα με τη συνοπτική ή αλγοριθμική μέθοδο, αποκλίσεις από το μ0 που είναι πάνω από το στόχο συσσωρεύονται στο Ci

+, και κάτω από το στόχο συσσωρεύονται στο Ci-

Το μονόπλευρο aνώτερο και κατώτερο (οne-sided upper and lower) CUSUM, Ci+ και Ci

- , αντίστοιχα, είναι

Ci+ = max[0 , xi – (μ0 + K) + Ci-1

+]Ci

- = max[0 , (μ0 - K) – xi + Ci-1-]

με αρχικές τιμές C0+ = C0

- = 0Κ είναι η τιμή αναφοράς (reference value) ή επιδότηση (allowance) ή χαλαρή τιμή (slack value), συχνά επιλεγμένη στο μέσο μεταξύ του στόχου μ0 και της εκτός ελέγχου τιμής μ1 που είναι επιθυμητό να εντοπιστεί γρήγοραΑν η μετατόπιση εκφράζεται σε μονάδες τυπικής απόκλισης ως μ1 = μ0 + δσ, με δ = |μ1 –μ0 /σ|, τότε Κ = (δ/2)σ = |μ1 – μ0| /2

22-1-2013 ΔΧ 52ΔΧ 52


ΔΧΔΧ

Έλεγχος ποιότηταςΧάρτης Συσσωρευτικού Αθροίσματος (CUmulative SUM chart)Σημειωτέον ότι Ci

+ και Ci- συσσωρεύουν αποκλίσεις από την τιμή στόχου μ0 , μεγαλύτερες

από το Κ, κι ότι οι δυό μεταβλητές, όταν είναι αρνητικές, εξισώνονται με το μηδέν Αν Ci

+ και Ci- υπερβαίνουν το διάστημα απόφασης (decision interval), Η, η διεργασία

θεωρείται ότι είναι εκτός ελέγχου. Μια λογική τιμή για το Η είναι 5σ , όπου σ είναι η τυπική απόκλιση της διεργασίαςΗ εικόνα παρακάτω δείχνει CUSUM χάρτη κατάστασης (CUSUM status chart) όπου σχεδιάζονται τα Ci

+ και Ci- σε διάγραμμα με οριζόντιο άξονα τον αριθμό δείγματος

Κάθε κατακόρυφη στήλη (vertical bar) παριστάνει τιμή του Ci+ ή Ci

- για i δείγμα (χρονική περίοδο). Οι μεμονωμένες μετρήσεις xi σε κάθε περίοδο παριστάνονται από στερεά σημεία (solid dots). Mε το διάστημα απόφασης, Η, ο CUSUM χάρτης κατάστασης μοιάζει με Shewhart χάρτη ελέγχου

22-1-2013 5353


22-1-2013 ΔΧ 545-6-2009 ΔΧ 54


Τα μέτρα που λαμβάνονται μετά από εκτός-ελέγχου σήμα στον CUSUM χάρτη είναι τα ίδια με εκείνα οποιουδήποτε χάρτη ελέγχου. Γίνεται έρευνα για καθορισμένη αιτία, διόρθωση στη μεταβλητή υπό χειρισμό, και το CUSUM εξισώνεται με μηδένΟ CUSUM χάρτης είναι ιδιαίτερα χρήσιμος για να εντοπιστεί πότε εμφανίστηκε η καθορισμένη αιτία. Για το σκοπό αυτό, κανείς μετράει προς τα πίσω από το εκτός-ελέγχου σήμα μέχρι τη χρονική περίοδο που, για πρώτη φορά, μετά τη μετατόπιση της διεργασίας, το CUSUM αυξάνεται πάνω ή κάτω από το μηδέν, και ορίζονται οι μετρητές Ν+ και Ν-

Σε περίπτωση που απαιτείται διόρθωση κάποιας μεταβλητής υπό χειρισμό για να επαναφέρει τη διεργασία στη τιμή στόχου μ0 , είναι χρήσιμο να έχει κανείς ένα

εκτιμητή του νέου μέσου της διεργασίας, μ̂

Έρευνα για τάσεις (trends)ή άλλους σχηματισμούς και κανόνες ευαισθητοποίησης , π.χ., κανόνες ζώνης, δεν μπορούν να εφαρμοστούν στον CUSUM χάρτη, γιατι διαδοχικές τιμές των Ci

+ και Ci- δεν είναι ανεξάρτητες

Το CUSUM μπορεί να θεωρηθεί ως σταθμισμένος μέσος όρος (weighted average), με βάρη (weights) που είναι στοχαστικά ή τυχαία

HCaN

CK

HCaN

CK

ii

ii

0

0ˆ


22-1-2013 ΔΧ 55ΔΧ 55


Γενικά, για τον CUSUM χάρτη, ορίζει κανείς Η = hσ και Κ = kσ

Το k ορίζεται σε σχέση με το μέγεθος της μετατόπισης που ζητείται να ανυρεθεί, δηλ., k = δ/2, όπου δ είναι το μέγεθος της μετατόπισης σε μονάδες τυπικής απόκλισης. Αυτή η επιλογή αντιστοιχεί στην ελαχιστοποίηση της τιμής του ARL1 για την ανεύρεση μετα-τόπισης μεγέθους δ για μη μεταβλητό ARL0 . Όταν το k επιλεγεί, το h επιλέγεται για να έχει κανείς απόδοση υπό έλεγχο ARL0

Για το μονόπλευρο CUSUM, Ci+ και Ci

-, με παραμέτρους h και k, το ARL υπολογίζεται από τη σχέση

όπου Δ δίνεται από τη σχέση Δ = δ* - k για το μονόπλευρο ανώτερο CUSUM, Ci

+ Δ = - δ* - k για το μονόπλευρο κατώτερο CUSUM, Ci

- ,δ* είναι η μετατόπιση στο μέσο, σε μονάδες τυπικής απόκλισης, δ* = (μ1 – μ0 )/σ , για την οποία υπολογίζεται το ARL, και b = h + 1.166Αν δ* = 0, υπολογίζεται το ARL0 από την προηγούμενη σχέση για το ARL, ενώ αν δ* ≠ 0, υπολογίζεται το ARL1

0

02

12)2exp(

2

2

Δb

ΔΔ

ΔbΔbARL


22-1-2013 ΔΧ 56ΔΧ 56


Για το δίπλευρο CUSUM, το ARL υπολογίζεται από τα μονόπλευρα CUSUM, ARL+ και ARL-, και

1/ARL = 1/ARL+ + 1/ARL-

Πολλοί χρήστες του χάρτη CUSUM προτιμούν να εργάζονται αντί για τη μεταβλητή xi με την πρότυπη (standard) μεταβλητή yi = (xi - μ0 )/σ. Τα πρότυπα CUSUM ορίζονται ως εξής

Ci+ = max[0 , yi – k + Ci-1

+] και Ci- = max[0 , - yi – k + Ci-1

-]

Ο χάρτης CUSUM είναι πολύ αποτελεσματικός για την ανεύρεση μικρών μετατοπίσεων (shifts). Για μεγάλες μετατοπίσεις, δεν είναι όσο αποτελεσματικός όσο ο Shewhart χάρτης ελέγχου. Για τη βελτίωση της ικανότητας του χάρτη CUSUM στην ανεύρεση μεγάλων μετατοπίσεων, χρησιμοποιείται μια συνδυασμένη CUSUM – Shewhart μεθοδολογία (combined CUSUM – Shewhart procedure )

Aυξημένη ευαισθησία του χάρτη CUSUM στο ξεκίνημα της διεργασίας (process start-up) είναι επιθυμητή, αν η διόρθωση (στη μεταβλητή υπό χειρισμό) δεν επαναφέρει το μέσο στην τιμή στόχου. Η Γρήγορη Αρχική Απόκριση (Fast Initial Response) ή εκκίνηση με πλεονέκτημα (headstart), στην ουσία, κάνει τις αρχικές τιμές C0

+ και C0- ίσες με μια μη

μηδενική τιμή, τυπικά ίσες με Η/2


22-1-2013 ΔΧ 57ΔΧ 57


Ο χάρτης CUSUM βασισμένος στην πρότυπη (standard) μεταβλητή yi = (xi - μ0 )/σ, μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για την παρακολούθηση της μεταβλητότητας της διεργασίας. Για το σκοπό αυτό, ορίζεται μια καινούργια μεταβλητή, νi , που είναι πιο ευαίσθητη σε αλλαγές της μεταβλητότητας από αυτές του μέσου

Όταν η διεργασία είναι υπό έλεγχο, νi ~ Ν(0 , 1), και τα μονόπλευρα πρότυπης- κλίμακας (one-sided standard scale), δηλ., τυπικής απόκλισης, CUSUM είναι

Si+ = max[0 , νi – k + Si-1

+]Si

- = max[0 , - νi – k + Si-1-]

με αρχικές τιμές S0+ = S0

- = 0 (εκτός αν χρησιμοποιείται FIR μέθοδος)Οι παράμετροι h και k επιλέγονται έτσι ώστε να ελέγχεται ο μέσος της διεργασίαςΑν και χάρτες κατάστασης (δηλ., μέσου) και βαθμίδας (δηλ., τυπικής απόκλισης) CUSUM μπορεί να κατασκευστούν χωριστά, είναι προτιμότερο να έχει κανείς και τους δυο στο ίδιο διάγραμμα. Αν ο χάρτης βαθμίδας CUSUM δείχνει σήμα αλλαγής, υποπτεύεται κανείς αλλαγή στη μεταβλητότητα, αν και ο χάρτης κατάστασης και ο χάρτης βαθμίδας CUSUM δείχνουν σήμα αλλαγής, υποπτεύεται κανείς αλλαγή στο μέσο

349.0

822.0 i

i

y


22-1-2013 ΔΧ 58ΔΧ 58

Έλεγχος ποιότηταςΧάρτης Εκθετικά Σταθμισμένου Διακινούμενου Μέσου (Εxponentially Weighted Moving Average chart)

Εκτός από το χάρτη CUSUM, o ΕWMA χάρτης είναι καλή εναλλακτική λύση για τον Shewhart χάρτη ελέγχου, όταν υπάρχει ενδιαφέρον για ανεύρεση μικρών μετατοπίσεων Ο Εκθετικά Σταθμισμένος Διακινούμενος Μέσος (ΕWMA) ορίζεται ως

zi = λxi + (1 - λ)zi-1

όπου 0 < λ < 1 είναι μια σταθερά, και η αρχική τιμή του z είναι ίση με το στόχο της διεργασίας,

z0 = μ0 Το zi είναι ο σταθμισμένος μέσος (weighted average) όλων των προηγουμένων μέσων δείγματος, επειδή

0

0

1

0

22

1

21

1

)1(])1(1[

)1()1(

................................................

)1()1(

])1()[1(

)1(

zx

zx

zxx

zxx

zxz

iji

i

ii

jji

j

iii

iii

iii



Επειδή τα βάρη μειώνονται (decline) γεωμετρικά όταν συνδεθούν με ομαλή (smooth) καμπύλη, τo ΕWMA μερικές φορές ονομάζεται Γεωμετρικός Διακινούμενος Μέσος (Geometrically Moving Average)

To ΕWMA χρησιμοποιείται εκτεταμένα σε μοντέλα σειρών χρόνου (time series) και για να κάνει κανείς προβλέψεις (forecasting)Eπειδή είναι o σταθμισμένος μέσος όλων των μετρήσεων στο παρελθόν και το πρόσφατο παρόν, το ΕWMA δεν είναι ευαίσθητο στην υπόθεση κανονικότητας (normalityassumption) Οι μετρήσεις xi είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με διασπορά σ2 και η διασπορά του zi είναι

Ο χάρτης ΕWMA κατασκευάζεται με σχεδιασμό του zi έναντι του αριθμού δείγματος (ή του χρόνου)

izi

222 )1(12

22-1-2013 ΔΧ 59ΔΧ 59



Τα όρια ελέγχου για τον ΕWMA χάρτη είναι

Επειδή 1 – (1 – λ)2i 1, όταν i ∞ , όταν ο ΕWMA χάρτης επεκταθεί για μερικές χρονικές περιόδους, τα όρια ελέγχου πλησιάζουν τις σταθερές τους τιμές

Οι παράμετροι του ΕWMA χάρτη είναι L, το εύρος των ορίων ελέγχου, και λ. Είναι δυνατόν να επιλεγούν οι τιμές των παραμέτρων έτσι ώστε η απόδοση του ΑRL για τον ΕWMA χάρτη να προσεγγίζει την απόδοση του ΑRL για τον CUSUM χάρτη στην ανεύρεση μικρών μετατοπίσεων. Στην πράξη, τιμές του λ στο διάστημα 0.05 < λ < 0.25, με λ = 0.05, 0.10 και 0.20 να είναι δημοφιλείς επιλογές, δουλεύουν με επιτυχία

])1(1[2

])1(1[2

20

0

20

LUCL

K

LLCL

2

2

0

0

0

LUCL

K

LLCL

22-1-2013 ΔΧ 60ΔΧ 60


22-1-2013 ΔΧ 61ΔΧ 61


Παράδειγμα


22-1-2013 ΔΧ 625-6-2009 ΔΧ 62


Ο ΕWMA χάρτης για τα δεδομένα του προηγούμενου πίνακα, με λ = 0.10, L = 2.7, μ0 = 10, και σ =1, παρουσιάζεται στην επόμενη εικόνα

Στν περίπτωση αυτή, z1 = 9.945, z2 = 9.7495, …, zi = …, ………….Ta όρια ελέγχου, για i = 1 UCL = 10.27 LCL = 9.73 = 2 = 10.36 = 9.64 ∞ = 10.62 = 9.38


22-1-2013 ΔΧ 63ΔΧ 63


Ο ΕWMA χάρτης μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για την παρακολούθηση (monitoring)της μεταβλητότητας διεργασίαςΤο Εκθετικά Σταθμισμένο Μέσο Τετράγωνο σφάλματος (Εxponentially Weighted Mean Square error) είναι

Si2 = λ(xi – μ)2 + (1 – λ) Si-1

2

Για μεγάλο i, η αναμενόμενη τιμή είναι Ε(Si2) = σ2, και αν οι μετρήσεις είναι ανεξάρτητες

και έχουν κανονική κατανομή, Si2/σ2 έχει, προσεγγιστικά, χί κατανομή με ν = (2 – λ)/λ

Αν σ0 είναι η υπό έλεγχο τιμή ή τιμή στόχου της τυπικής απόκλισης της διεργασίας, o χάρτης Εκθετικά Σταθμισμένης Μέσης Τετραγωνικής Ρίζας (Εxponentially Weighted Root Mean Square) κατασκευάζεται από σχεδιασμό του √ Si

2 έναντι του αριθμού δείγματος (χρόνου), με όρια ελέγχου

UCL = σ0√χν,α/22/ν και LCL = σ0√χν,1-α/2

2/νΤο EWMS είναι ευαίσθητο σε μετακινήσεις και του μέσου και της τυπικής απόκλισηςΑν ο μέσος μ δεν είναι γνωστός, χρησιμοποιείται αντ΄αυτού ο εκτιμητής μ ̂i σε κάθε σημείο i. Λογικό είναι να ληφθεί ως εκτιμητής του μi, η ΕWMA μεταβλητή zi

H Εκθετικά Σταθμισμένη Μέση Διασπορά (Exponentially Weighted Moving Variance) είναι Si

2 = λ(xi – zi )2 + (1 – λ) Si-12

Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας ΔΈλεγχος ποιότηταςΧάρτης Εκθετικά Σταθμισμένου Διακινούμενου Μέσου (Εxponentially Weighted Moving Average chart)

Ο ΕWMA χάρτης μπορεί επίσης να τροποποιηθεί για την πρόβλεψη (forecast)του μέσουΗ συνηθισμένη μεταβλητή ΕWMA είναι

zi = λxi + (1 – λ) zi-1 = zi-1 + λ(xi - zi-1 )Aν θεωρηθεί ότι zi-1 είναι η πρόβλεψη του μέσου διεργασίας, μi ,τη χρονική περίοδο i, xi - zi-1 = ei είναι το σφάλμα πρόβλεψης του μέσου τη χρονική περίοδο i,

zi = zi-1 + λei

Aν προστεθεί ακόμη ένας όρος στο δεξιό μέρος (RHS) της προηγούμενης σχέσης, γίνεται

όπου λ1 και λ2 είναι σταθερές που σταθμίζουν το σφάλμα σε χρόνο i, και το άθροισμα των σφαλμάτων που συσσωρεύεται μέχρι το χρόνο iAν προστεθεί στο δεξί μέρος (RHS) της προηγούμενης σχέσης, η διαφορά ∇ei = ei – ei-1 , η τελική μορφή του zi είναι

δηλ., η πρόβλεψη του μέσου διεργασίας σε χρόνο i είναι ίση με την τρέχουσα τιμή zi-1 , συν ένα όρο, ανάλογο του σφάλματος, συν ένα όρο που σχετίζεται με το άθροισμασφαλμάτων, συν ένα όρο που σχετίζεται με διαφορά σφαλμάτων. Οι τρείς τελευταίοι όροι μπορεί να θεωρηθούν ως ανάλογη (proportional), ολοκληρωτική (integral) και διαφορική (differential) διόρθωση

i

jjii eezz

12111

22-1-2013 ΔΧ 64ΔΧ 64

i

i

jjii eeezz

3

12111


22-1-2013 ΔΧ 65ΔΧ 65


SPC για δεδομένα Αυτοσυσχέτισης (Autocorrelation)

Oι συνηθισμένες υποθέσεις που γίνονται για να δικαιολογήσουν τη χρήση των χαρτών ελέγχου είναι ότι τα δεδομένα που συλλέγονται όταν η διεργασία είναι υπό έλεγχο έχουν ανεξάρτητες κανονικές κατανομές με μέσο μ και τυπική απόκλιση σ, όπου μ και σ είναι άγνωστες σταθερές. Μια εκτός ελέγχου κατάσταση χαρακτηρίζεται από μετατόπιση στό μ ή σ ή και στα δυο σε κάποια διαφορετική τιμή. Στο μοντέλο Shewhart, όταν η διεργασία είναι υπό έλεγχο, το χαρακτηριστικό της ποιότητας σε χρόνο t, xt , είναι

xt = μ + εt t =1, 2, ...όπου εt ~ Ν(0 , σ)Ακόμη κι άν η υπόθεση της κανονικότητας παραβιάζεται σε μικρό ή μέτριο βαθμό, οι χάρτες ελέγχου εξακολουθούν να λειτουργούν αρκετά καλάΠιο σημαντική για τους χάρτες ελέγχου είναι η υπόθεση της ανεξαρτησίας των δεδομένων, γιατί οι συνηθισμένοι χάρτες ελέγχου δεν λειτουργούν καλά αν το xαρα- κτηριστικό ποιότητας παρουσιάζει συσχέτιση (correlation) στο χρόνο. Σε μερικές βιομηχανικές διεργασίες, η υπόθεση ασυσχέτιστων ή ανεξάρτητων δεδομένων δεν ισχύει ακόμη και κατά προσέγγιση, π.χ., χημικές διεργασίες όπου διαδοχικές μετρήσεις των χαρακτηριστικών διεργασίας ή προϊόντος έχουν υψηλή συσχέτιση, μέθοδοι αυτομάτου ελέγχου όπου κάθε χαρακτηριστικό ποιότητας μετράται για κάθε μονάδα (προϊόντος) με τη χρονική σειρά της παραγωγής


22-1-2013 ΔΧ 66ΔΧ 66

6 71

Έλεγχος ποιότηταςSPC για δεδομένα Αυτοσυσχέτισης (Autocorrelation)

Η μεταβλητή μιας διεργασίας με αυτοσυσχέτιση (autocorrelation) παριστάνεται στίς παρακάτω εικόνες

H αριστερή εικόνα δείχνει ότι τα δεδομένα δεν είναι τυχαία (random), γιατί μια τιμή του xt

που είναι πάνω από το μακροπρόθεσμο μέσο (long-term average ~ 66) έχει την τάση να ακολουθείται από άλλες τιμές πάνω από το μέσο, ενώ μια τιμή κάτω από το μέσο έχει την τάση να ακολουθείται από άλλες όμοιες τιμές H δεξιά εικόνα δείχνει ότι τα δεδομένα μαζεύονται γύρω από μια ευθεία γραμμή με θετική κλίση (slope), δηλ., μια χαμηλή τιμή του x σε χρόνο t – 1 έχει την τάση να ακολουθείται από μια άλλη χαμηλή τιμή σε χρόνο t , ενώ μια σχετικά υψηλή τιμή σε χρόνο t – 1 έχει την τάση να ακολουθείται από μια άλλη υψηλή τιμή σε χρόνο t. Η συμπεριφορά αυτή συνδέεται με θετική αυτοσυσχέτιση στα δεδομένα

2 63



Η αυτοσυσχέτιση (autocorrelation) μιας σειράς μετρήσεων στο χρόνο μετράται από την συνάρτηση αυτοσυσχέτισης, ρk , που είναι

Όπου Cov(xt , xt-k ) είναι η συνδιακύμανση (Covariance)των μετρήσεων που χωρίζονται από k χρονικές περιόδους, και V(xt ) είναι η διακύμανση (variance) που, για τα δεδομένα αυτά, θεωρείται σταθερήΣυνήθως υπολογίζεται η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης δείγματος (sample autocorrelation function), rk , που είναι

Κατά γενικό κανόνα, συνήθως χρειάζεται να υπολογιστούν τιμές του rk για λίγες τιμές του k, k < n /4

Mια μέθοδος που έχει αποδειχθεί αποτελεσματική για αυτοσυσχετισμένα δεδομένα είναι να χρησιμοποιηθεί ένα κατάλληλο μοντέλο για χρονικές σειρές για την συσχετισμένη

δομή, να αφαιρεθεί η αυτοσυσχέτιση από τα δεδομένα, και να εφαρμοστούν οι χάρτες ελέγχου στα υπόλοιπα (residuals)

,...1,0)(

),( k

xV

xxCov

t

kttk

Kkxx

xxxxr n

tt

kn

tktt

k ,...,1,0)(

))((

1

1

22-1-2013 ΔΧ 67ΔΧ 67

Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας ΔΈλεγχος ποιότηταςSPC για δεδομένα Αυτοσυσχέτισης (Autocorrelation)

Το χαρακτηριστικό ποιότητας xt υπακούει στη σχέση xt = ξ + φ xt-1 + εt

όπου ξ και φ (-1 < φ < 1) είναι άγνωστες σταθερές, και εt ~ Ν(0 , σ2)Η παραπάνω σχέση ονομάζεται αυτοανάδρομο μοντέλο πρώτης τάξης (first-order autoregressive model). Oι μετρήσεις xt έχουν μέσο ξ /(1 – φ), τυπική απόκλιση σ/(1– φ2)1/2, και οι μετρήσεις xt και xt-1 , που χωρίζονται από k περιόδους, έχουν συντελεστή συ-σχέτισης φk, δηλ., η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης είναι εκθετικά φθίνουσαΤα υπόλοιπα (residuals)

et = xt - xt-1

έχουν, κατά προσέγγιση, ανεξάρτητες κανονικές κατανομές, με μέσο μηδέν και σταθερή διασπορά. Για τη σειρά των υπολοίπων (sequence of residuals) ισχύουν τώρα οι συνηθισμένοι χάρτες ελέγχου. Σημεία εκτός ελέγχου ή ασυνήθιστοι σχηματισμοί σ΄αυτούς τους χάρτες ελέγχου δείχνουν ότι οι παράμετροι φ και ξ έχουν αλλάξει, και υπαινίσονται ότι η αρχική μεταβλητή xt είναι εκτός ελέγχου

Μια εμφανής επέκταση της εξίσωσης του αυτοανάδρομου μοντέλου πρώτης τάξης (first-order autoregressive model) είναι η σχέση

xt = ξ + φ1 xt-1 + φ2 xt-2 + εt

που μπορεί επίσης να γραφεί ωςxt = μ + εt - θ εt-1

για το αυτοανάδρομο μοντέλο δευτέρας τάξης (second-order autoregressive model)

22-1-2013 ΔΧ 68ΔΧ 68


Το αυτοανάδρομο μοντέλο δευτέρας τάξης ονομάζεται επίσης μοντέλο διακινούμενου μέσου πρώτου βαθμού (first order moving average model). H συσχέτιση μεταξύ xt και xt-1 είναι ρ1 = - θ/(1+θ2), και 0 για όλες τις άλλες καθυστερήσεις (lags) Mερικές φορές, συνδυασμοί όρων αυτοαναδρόμων και διακινουμένου μέσου είναι χρήσιμοι, π.χ.,

xt = ξ + φ1 xt-1 + εt - θεt-1

και βρίσκει εφαρμογή στις χημικές και κατασκευαστικές βιομηχανίες. Σ΄αυτές τις βιο-μηχανίες η αυτοανάδρομη (autoregressive) συμπεριφορά διεργασίας είναι συνηθισμένηΑκόμη, το χαρακτηριστικό ποιότητας συνήθως μετράται στο εργαστήριο ή από όργανο με απευθείας σύνδεση (οn-line), και το σφάλμα μέτρησης είναι τυχαίο και ασυσχέτιστο (uncorrelated)Υπάρχει επίσης το μοντέλο ολοκληρωτικού διακινούμενου μέσου πρώτης τάξης (first-order integrated moving average)

xt = xt-1 + εt - θεt-1

Eνώ όλα τα προηγούμενα μοντέλα χρησιμοποιούνται για την περιγραφή αμετάβλητης-στο- χρόνο συμπεριφοράς, όπου η μεταβλητή xt περιπλανάται γύρω από ένα σταθερό μέσο, το μοντέλο ολοκληρωτικού διακινούμενου μέσου πρώτης τάξης (first-order integrated moving average) περιγράφει μεταβλητή-με-το-χρόνο συμπεριφορά, όπου η μεταβλητή xt μετακινείται σαν να μην υπάρχει σταθερός μέσος διεργασίας. Το μοντέλο αυτό συχνά βρίσκει εφαρμογή σε χημικές και κατασκευαστικές βιομηχανίες, όπου xt είναι μη ελεγχόμενη μεταβλητή στην έξοδο διεργασίας

ΔΧ 69ΔΧ 6922-1-2013


Τα μοντέλα για αυτοσυσχέτιση είναι μέλη μιας τάξης μοντέλων που ονομάζονται Αυτοαναδρομικά Ολοκληρωτικά Μοντέλα Διακινούμενου Μέσου (AutoRegressive Integrated Moving Average models). Aν και τα μοντέλα αυτά δεν φαίνεται να έχουν σχέση με το μοντέλο Shewhart, όταν φ = 0 στην εξίσωση

xt = ξ + φ xt-1 + εt

ή θ = 0 στην εξίσωσηxt = μ + εt - θ εt-1

αναπαράγουν το μοντέλο Shewhart

΄Εχει αποδειχθεί ότι άν η διεργασία παριστάνεται από το μοντέλο Ολοκληρωτικού Δια- κινούμενου Μέσου (Integral Moving Average model) , η μέθοδος EWMA με λ = 1 – θ είναι η άριστη τιμή για πρόβλεψη της διεργασίας σε ένα στάδιο (οne-step forecast) Aν x ̂t+1 είναι η πρόβλεψη για τη μέτρηση σε χρόνο t+1 που γίνεται στο τέλος της περιόδου t, x ̂t+1(t) = zt όπου zt = λxt + (1 – λ) zt-1 είναι το EWMAΤα σφάλματα από την πρόβλεψη σε ένα στάδιο (οne-step forecast)

et = xt - x ̂t(t - 1) έχουν ανεξάρτητες κατανομές με μέσο μηδέν. Η παράμετρος λ (ή ισοδύναμα θ)ευρίσκεται από την ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των τετραγώνων των σφαλμάτων et . Οι χάρτες ελέγχου έχουν εφαρμογή σ΄αυτά τα σφάλματα από πρόβλεψη σε ένα στάδιο (οne-step forecast)

22-1-2013 ΔΧ 70ΔΧ 70


22-1-2013 ΔΧ 71ΔΧ 71


Όταν η μέθοδος EWMA χρησιμοποιείται για πρόβλεψη της διεργασίας σε ένα στάδιο (οne-step forecast), οι παράμετροι του χάρτη ελέγχου είναι

UCLt+1 = zt + 3(Κεντρική γραμμή)t+1 = zt LCLt+1 = zt - 3

και οι μετρήσεις xt+1 συγκρίνονται με τα όρια για να εξεταστεί το SPC της διεργασίαςΟ χάρτης με αυτές τις παραμέτρους ονομάζεται χάρτης ελέγχου Διακινούμενης Κεντρικής Γραμμής EWMA (Μοving Center-Line EWMA control chart)

H τυπική απόκλιση των σφαλμάτων από πρόβλεψη σε ένα στάδιο, σ, υπολογίζεται με τους ακόλουθους τρόπους1. Με την άριστη τιμή λ από δεδομένα n μετρήσεων,

σ2 = Σet2/n

2. Aπό τη Μέση Απόλυτη Διασπορά (Mean Absolute Deviation), Δt

Δt = α|et| + (1 – α) Δt-1 0 < α < 1

σ ̂t = 1.25 Δt

3. σ ̂t2 = αet2 + (1 – a) σ ̂t-12


22-1-2013 ΔΧ 72

Έλεγχος Ποιότητας

Παρακολούθηση (Monitoring) και Προσαρμογή (Adjustment) Διεργασίας (Process)

Μέθοδοι Ελέγχου1. Στατιστικός Έλεγχος Διεργασίας (Statistical Process Control)2. Μηχανική Ελέγχου Διεργασίας (Engineering Process Control)3. Συνδυασμός ΣΕΔ (SPC) και ΜΕΔ (EPC)

Κοινός στόχος: Μείωση της μεταβλητότηταςΒάση:

Εξέταση (Στατιστικής) Υπόθεσης (Ηypothesis Testing) ΣΕΔ (SPC)Εκτίμηση Παραμέτρων (Parameter Estimation) ΜΕΔ (EPC)

Εστίαση (focus):1. ΣΕΔ (SPC) – Παρακολούθηση (Monitoring)διεργασίας με Χάρτες Ελέγχου (Control

Charts), ανεύρεση και απομάκρυνση προσδιοριστών αιτίων (assignable causes) μεταβλητότητας μείωση μεταβλητότητας και βελτίωση της διεργασίας

2. ΜΕΔ (EPC) – Υιοθετείται δυναμικό μοντέλο που συνδέει τις πολλαπλές μεταβλητές εισόδου (input) και εξόδου (output) της διεργασίας. Mε βάση πληροφορίες για την για την τρέχουσα κατάσταση του συστήματος (από ανατροφοδότηση-feedback), γίνεται προσαρμογή (adjustment) των χειραγωγήσιμων μεταβλητών (manipulative variables) του συστήματος ώστε να μειωθεί η μεταβλητότητα γύρω από το στόχο (target) των μεταβλητών εξόδου

ΔΧ 72

Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας Δημήτρη Χατζηαβραμίδη ,...

Documents

Transcript of Διασφάλιση & Έλεγχος Ποιότητας Δημήτρη Χατζηαβραμίδη ,...