1

ΤΟ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΚΟ ΠΛΗΘΩΡΙΣΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ

BIG BANGΤΟ ΚΑΘΙΕΡΩΜΕΝΟ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (SBB)

 ΕΠΙΤΥΧΙΜΕΝΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ

Το Σύμπαν διαστέλλεται Η έντονη μετατόπιση των φασματικών γραμμών των μακρινών γαλαξιών προς το ερυθρό λόγω φαινομένου Doppler επαληθεύουν το Νόμο του Hublle.

Η ύπαρξη υπολειμματικής ακτινοβολίας υποβάθρου με θερμοκρασία 2,725 Κ και με μεγάλη ομοιογένεια και ισοτροπία.

Η αφθονία των ελαφρών ισοτόπων

Η ισοτροπία Ο ουρανός φαίνεται ο ίδιος σε όλες τις διευθύνσεις με ακρίβεια 1:105

Η ομοιογένεια Σε οποιαδήποτε θέση ο παρατηρητής βλέπει το ίδιο.

2

3

ΑΝΕΠΑΡΚΙΕΣ ΚΑΘΙΕΡΩΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ

Πρόβλημα ορίζοντα

Ο ορίζοντας κάθε περιοχής < ακτίνα Σύμπαντος

Άρα είναι αδύνατη η επικοινωνία κάθε περιοχής και δε δικαιολογείται η μεγάλη ομοιομορφία

1:105 της CMB

4

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΕΠΙΠΕΔΟΤΗΤΑΣ

                                                                                                             Για R→0   έχουμε  Λ=0  οπότε:

\

Στο αρχικό Σύμπαν ισχύει:

Επομένως :

για t →0 , Ω →1 ενώ με την πάροδο του χρόνου οι διαφορές

από τη μονάδα αυξάνονται σημαντικά

22κρ

2

2

2

22

1ρ

ρΩ

8

3,

8

3

8

3

3

8

R

kG

H

GR

k

GR

kGH

22

33

8

R

kGH

tHtR

1,2

1

tRH

k

22

5

Πρόβλημα ανομοιογένειας        Δεν εξηγεί την προέλευση των ανομοιογενειών στην           ενεργειακή πυκνότητα του πρώιμου Σύμπαντος.

Πρόβλημα μαγνητικών μονοπόλων       Δεν έχουν παρατηρηθεί αν και θα έπρεπε  αφού ο αριθμός            παραγωγής τους στο αρχικό Σύμπαν  ήταν μεγάλος.

Ασυμμετρία ύλης – αντιύλης        Θα έπρεπε να υπάρχει συμμετρία ύλης και αντιύλης αφού  παράγονται σε         ίσες ποσότητες. Παρατηρείται όμως σήμερα συντριπτική υπεροχή της ύλης.  

Η επιταχυνόμενη διαστολή του Σύμπαντος

ΑΝΕΠΑΡΚΙΕΣ ΚΑΘΙΕΡΩΜΕΝΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ SBB

ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΚΗ ΑΡΧΗ: Σύμπαν ομογενές & ισότροπο

Ο 4-διάστατος χωρόχρονος περιγράφεται από τη μετρική

Robertson- Walker:

)(

1)( 2222

2

2222 dnsidr

kr

drtdtds

)()()( 22222222 dnsiddtdtds

Όπου:

r, θ, φ: συγκινούμενες συντεταγμένες , t: χρόνος,

α: παράγοντας κλίμακας, k: καμπυλότητα χώρου  με

k=1,Φ(χ)=sinχ για χώρο με σταθερή θετική καμπυλότητα

k=-1 , Φ(χ)=sinhχ για χώρο με σταθερή αρνητική καμπυλότητα

k=0 , Φ(χ)=χ για Ευκλείδειο χώρο.

ή

Ενώ για προσαρμοσμένο χρόνο τ και ακτινική διάδοση φωτός:

2222 ddds t

dt

Προσαρμοσμένος

χρόνος:6

φυσική απόσταση a

(conformal time)

7 0,

VggS

ΠΛΗΘΩΡΙΣΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ

       Το Σύμπαν διαστέλλεται εκθετικά με επιταχυνόμενο ρυθμό

       Για την έναρξη του Πληθωρισμού απαιτείται αρνητική πίεση

       Το βαθμωτό πεδίο  φ=φ(t) που την προσφέρει  ονομάζεται  inflaton           με αντίστοιχο δυναμικό  V(φ)

VgL v

21

Συνολική δράση βαθμωτού – βαρυτικού πεδίου:

Lagrangian πυκνότητα:

SSVgRxdS EH

2

1214

Τανυστής ενέργειας-ορμής:

Vg

g

S

gT

212

Εξίσωση κίνησης:

8

Η ΒΑΘΜΩΤΗ ΚΑΜΠΥΛΩΤΗΤΑ RICCI

2

2

6

kRgR

222

33

22

22

2

21100

sin

1,

1,

1,1

rg

rg

krgg

R

,,,2

1gggg

kaaarRkrRkaaakr

RR 22sin,22,221

1,3

222

33

22

22

2

21100

Από τον τανυστή Ricci:

όπου τα σύμβολα Christoffel

με μη μηδενικές συνιστώσες του μετρικού τανυστή gμν:

9

Από τη δράση Einstein-Hilbert: xdgRG

S n 16

1

Με μηδενισμό της μεταβολής της δράσης  σε σχέση με το gμν έχουμε:

gggg

R

gggg

gRggRggRggR

21

021

0 RgRS Εξίσωση Einstein για το κενό

Ενώ από τη  δράση με την προσθήκη του πεδίου inflaton: xdgLRG

S m

16

1

Παίρνουμε:

GTRgRS 82

10 Εξίσωση Einstein

όπου g

LLgT 2 ο συμμετρικός τανυστής ενέργειας-ορμής

ΕΞΙΣΩΣΗ EINSTEIN

10

ΕΞΙΣΩΣΗ FRIEDMANN

Από την εξίσωση Einstein για μ=ν=0 έχουμε: 00000000 82

1GTRgRG

αφού

2

2

6a

kR

PPPdiagT ,,,

Παίρνουμε:2

2

38

a

kG

αν 8πG=1 και k=03

2

VP

V

2

2

21

21

Ισχύει ότι: επομένως Va

a

22

2

13

Εξίσωση Friedmann

300R

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ &ΕΞΙΣΩΣΗ KLEIN GORDON

Από τη διατήρηση ενέργειας-μάζας και ορμής, έχουμε:

00 ,;

Θέτοντας στους βωβούς δείκτες ν,σ=0,1,2,3 και αθροίζοντας, για μ=0 παίρνουμε:

03

P Εξίσωση συνέχειας

Εφόσον: 

VP

d

dVV

2

2

2

1

2

1

προκύπτει

03

d

dV

Εξίσωση Klein Gordon

2

2

3

3

a

aΕπίσης ισχύουν: 2

2

1

H

11

12

ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΠΕΔΟΤΗΤΑΣ

Καθώς τα Η, α αυξάνονται με τεράστιο

ρυθμό:

1022

k

Φαινόμενο ανάλογο ενός μπαλονιού που φουσκώνει.

Συμπέρασμα: δε χρειάζεται να ορίσουμε αξιωματικά ότι το Σύμπαν ξεκίνησε με Ω κοντά στη μονάδα

221

Ha

k

13

ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑ

Οι αιτιακά συνδεδεμένες περιοχές        με παρόμοια χαρακτηριστικά  από-        μακρύνονται ώστε ο ορίζοντας της          κάθε μίας να μην περιέχει την άλλη.

    Διαστολή  όχι σωμάτων αλλά περιβάλλοντος        χώρου με ταχύτητα  μεγαλύτερη του φωτός. 

    Η ομοιομορφία της θερμοκρασίας  είναι         φυσική συνέπεια του πληθωρισμού.

ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΟΝΟΠΟΛΩΝ    Η δημιουργία μαγνητικών μονοπόλων έγινε πριν τον πληθωρισμό.

    Το ορατό σε μας Σύμπαν έχει προέλθει από τη διαστολή ενός πάρα πολύ         μικρού  όγκου.

     Σχεδόν  μηδενική η πιθανότητα  η παρατήρηση τους.

ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΡΓΗΣ ΚΥΛΙΣΗΣ

Πληθωρισμός PG

a

a3

3

4

22 1

0

a 03 P 12

Οι οποίες ικανοποιούνται αν:2

V

Εξίσωση Friedmann: 32

13 2

22 V

VH

Για επιταχυνόμενη διαστολή με επαρκή χρονική διάρκεια: 13

HVV 303 ''

και2

'2

2

1

3

12

3

VHHV άρα: 1

21

2

2

2

1

&

                    ή   αν εκφραστούν σε συνάρτηση με το δυναμικό:

2'

21

V

V

V

V ''

&

P

14

15

ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΡΙΚΗΣ

txgtgtxg

txttx

,,

,,_

_

Θεωρούμε: με_

_

gg

Διαταραχέςμετρικής

βαθμωτές φ,Β,ψ,Ε 

διανυσματικές

Si,Fi

τανυστικές

hij

200 2g

0,,2

0 iiiii SSBag

ijijjiijijij hFFEag ,,,2 22

Βαθμωτές διαταραχές διαταραχές ενεργειακής πυκνότητας

jiijij

i dxdxEddxdads ,,222 221221

θεωρώντας τους μετασχηματισμούς:

xxx

ή

xx

tt

aa

jijii

~

,

0,0, , iij

ii hhμε 0, i

iF

16

από το μετασχηματισμό βαθμίδας:

,,

)0(,

)0(,

)0(~ gggggg iiiό ,

παίρνουμε:

ijjiijijijij

iiii

gg

gg

gg

,,,0

'2

0''200

'00000

22~

~

2~

οπότε:

~

~

~

1~

0'

0'

'0

μόνο  οι  παράμετροι  ξ0 και ζ συνεισφέρουν στους μετασχηματισμούς οπότε με κατάλληλη  επιλογή μηδενίζουμε  δύο από τις τέσσερις συναρτήσεις φ,ψ,Β,Ε    

μείωση κατά δύο των βαθμών ελευθερίας

0, iiμεi 0

17

ADM ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ

))((22)4(2 dtNdxdtNdxhdtNdxdxgds jjiiij

όπου  hij : η 3-D  μετρική            dτ=Νdt ο ακριβής χρόνος για τη μετάβαση από την Σt →Σt+dt               N:  η συνάρτηση που καθορίζει τη μετάβαση Σt →Σt+dt              Νi  : το διάνυσμα που καθορίζει την αλλαγή θέσης 

Για τις συνιστώσες ισχύει:

ijijj

iji

ijji

hhN

hNhg

2

&

22

22

1

N

NNh

N

NNg ij

ij

i

j

άρα ijhNg και 2)3()4( KKKRR ijij

Είναι μία Hamiltonian διατύπωση της γενικής σχετικότητας όπου ο χωρόχρονος χωρίζεται σε ένα σύνολο  χωροειδών επιφανειών οι οποίες εξελίσσονται κατά μήκος μιας χρονοειδούς παραμέτρου, t.  Θεωρώντας ως μεταβλητές τις hij  , N και Νi

  :

,όπου

ijijjiij hNNN

K21

Η δράση Hilbert δια-μορφώνεται ως εξής: xdgRS 4)4( xdtdhKKKRNS ij

t

t

ii

t

32)3(2

1

18

Ενώ η συνολική δράση:

VNhN

E

N

EERNhS

ii

jiij

ijij

ij 221

2

2)3(

Η χωροχρονική μετρική gαβ   επάγει μια 3-D χωρική μετρική hαβ=gαβ+nαnβ     η οποία λειτουργεί και ως προβολικός τελεστής  των διαφόρων τανυστικών μεγεθών στην Σtόπου :

i

ii

xN

tNn 1

VRgS 221 2

00

i

iNN

ijij

ij

ij

N

L

N

LKKhh

h

L

με βαθμό ελευθερίας τη μεταβλητή hij

N και Ni

πολλαπλασιαστές Lagrange

Hamiltonian:

qqLhijij , iij NNhq ,,,

19

ΔΡΑΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Από τη μεταβολή της δράσης ως προς Ν και Νi    παίρνουμε δύο συνδέσμους:

011

20 2

2

2

2

)3(

N

EEEN

VRN

S ijij

και

01

0

EENN

S ij

ijii

Επιλέγουμε για τις δυναμικές μεταβλητές hij  και φ την ακόλουθη συγκινούμενη-βαθμίδα:

0,0

21, 2

iiiji

ijijij eh

0δφ

υπολογίζουμε:

2222)3(

2

2

22

2

46

eR

NyyHEE

NHEEE

lT

ijlj

iij

ij

ii

ij

ij

ii

ijij

22

3

2

23

2 21

eexdtdS

θέτοντας: 

1

,~,

N

NyN ii

i

και κρατώντας τους όρους πρώτης τάξης από τις εξισώσεις-συνδέσμους βρίσκουμε:

1N και 0~ 1 iN 0

1EE

Nij

iji

011

2 2

2

2

2

)3( N

EEEN

VR ijij

xe

y

2 και

2

22

2

x

Με αντικατάσταση των παραπάνω στη δράση παίρνουμε:

2

2

332222 6

1

12241

21

eVeeS

με ολοκλήρωση κατά παράγοντες

2262 V

δράση δεύτερου βαθμού S2=S2[ζ] 20

και θέτοντας

όπου 0~ , iiN

...~~~

...

...

21

21

21

iii NNN

yyy

NN

και

21

ΚΒΑΝΤΩΣΗ ΑΠΛΟΥ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ

222

21

21

xtxdtS 00 2

xtxx

S

     αντικατάσταση κλασικών μεταβλητών από κβαντικούς τελεστές: pxpx ˆ,ˆ,

ipx ˆ,ˆ ˆˆˆ *uux όπου  u ικανοποιεί την εξίσωση κίνησης 02

tu

ενώ οι τελεστές δημιουργίας και καταστροφής ικανοποιούν τις σχέσεις:

00,1ˆ,ˆ

     από τη συνθήκη κανονικοποίησης : iuu t ˆ,ˆtieu

2

     διακυμάνσεις της θεμελιώδους κατάστασης:

0ˆˆ02

xxx 0ˆˆˆˆ0 ** uuuu

0ˆˆˆ,ˆ0,2

tu 2,tu 2

0ˆˆ0,2 tu

22

ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ

Από τη δράση δεύτερου βαθμού:

22

3

2

23

2 21

eexdtdS

θέτοντας: txtztxu ,, όπου

2

222

ez

και μετατρέποντας το χρόνο σε προσαρμοσμένο   , παίρνουμε:

2''

22'3

21

uz

zuuxddS i ......,

'

00''

'' z

zuuu

u

S

αν  ορίσουμε:

xki

k eukd

xu

3

3

2, παίρνουμε:

0''

2''

kk u

z

zku εξίσωση Mukhanov

23

Η κβάντωση του πεδίου u γίνεται όπως του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή:

xki

kkxki

kk eueukd

uu

ˆˆ2

ˆ *

3

3

kkkkkk uuuu ˆˆˆ *

'32ˆ,ˆ ' kk

kk

00ˆ k

kk uu , 1*''* kkkk uuuui

κενό Minkowski για συγκινούμενο παρατηρητή στο μακρινό παρελθόν,  k>>αH

24

0''

2''

kk u

z

zku

εκφράζοντας τον όρο  z

z ''σε συνάρτηση με τις παραμέτρους αργής κύλισης ε,η  παίρνουμε:

,,,...,23

122

2222

Qz

z

οπότε: 023

12 222''

kk uku

223

n

11

aH

041

2

2

2''

kk uku

διαφορική εξίσωση Bessel

kiYkJkuk

Από την εξίσωση Mukhanov

με λύση:

25

Για μικρές κλίμακες, k, στο μακρινό παρελθόν:

02'' kk uku

Λύση στο Σύμπαν De Sitter: P=-ρ , ε=0, Η=σταθ 2

'' 2,

23

z

z

k

i

k

eu

ik

k 12

Για μεγάλες κλίμακες, k

k

Hi

kk

i

kuk

2

1

2

1

k

eu

ikx

k2

022

2''

kk uku

(Bunch-Davies vacuum)

26

οπότε το φάσμα ισχύος του πεδίου   k

k

uˆ θα είναι:

2

2

'32ˆ,ˆ ''

k

kk

ukk

22

3

2'3

12

2 kk

Hkk

όπου  για  k 3

2'3

22ˆ,ˆ '' k

Hkk

kk

ενώ το φάσμα ισχύος του πεδίου  

όταν ktHt ** (horizon crossing) είναι:

2

2*

3

2*'3

22, '

H

k

Hkk

kk

με βαθμό εξάρτησης: 26lnln

12

kd

dn s

s

WMAP:012,0963,0 sn