ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 1

Διαγώνισμα Θετικής – Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Από : Μιγαδικούς έως Θεώρημα Μέσης Τιμής . Διάρκεια 3hΌνομα ……………………………………………………. ΘΕΜΑ 1Α.Να αποδείξετε ότι αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Μονάδες 10

Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x0, τότε η είναι πάντοτε συνεχής στο x0.

β. αν η f δεν είναι συνεχής στο xο, τότε η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο x0.

γ. αν η f έχει δεύτερη παράγωγο στο x0, τότε η είναι συνεχής στο x0.

δ. ισχύει .

ε. Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R και δεν είναι αντιστρέψιμη , τότε υπάρχει κλειστό διάστημα [α,β] στο οποίο η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle Μονάδες 5

ζ. Αν μια συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο τότε η είναι παραγωγίσιμη στο Μονάδες 2

Γ. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Rolle και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία . Μονάδες 3

Δ. το όριο είναι ίσο με

α. 2 β. γ. δ. 1 Μονάδες 5

ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 2

ΘΕΜΑ 2

Δίνεται η συνάρτηση

α. Να υπολογίσετε το όριο : . Μονάδες 5

β. Να υπολογίσετε το , έτσι ώστε η f να είναι συνεχής στο διάστημα [1,2] . Μονάδες 7

γ. Για α=-1 να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον πραγματικός αριθμός

τέτοιος ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(ξ,f(ξ)) να είναι παράλληλη στον άξονα χ΄χ . Μονάδες 6

δ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (1,2) . Μονάδες 7

ΘΕΜΑ 3

α) Να αποδείξετε την ανίσωση : για κάθε x>0 . Μονάδες 9

β) Δίνεται η συνάρτηση με x>0 .

i) Να βρείτε την f ως προς τη μονοτονία και το σύνολο τιμών της όταν x>0 . Μονάδες 7

ii) Να αποδείξετε ότι για κάθε x>0 ισχύει : Μονάδες 9

ΘΕΜΑ 4

ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 3

Δίνεται η συνάρτηση f : → , δύο φορές παραγωγίσιμη στο , με

η οποία ικανοποιεί τη σχέση:

για κάθε

Γ1. Να αποδείξετε ότι: f (x) = ln(ex – x) , . Μονάδες 6

Γ2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

Μονάδες 7

Γ3. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f έχει ακριβώς δύο σημεία

καμπής. Μονάδες 6

Γ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln(ex – x) = συνx έχει ακριβώς μία λύση στο

διάστημα Μονάδες 6

ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 4

ΘΕΜΑ 4Δίνεται η συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη στο R , τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει: f(x)>0 και f(x)+ln(f(x))=x για κάθε και η ευθεία y=2009x-2 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο .

Α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R και ότι η εξίσωση f(x)=x έχει μοναδική ρίζα το x=1 . Μονάδες 6

Β) Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει f(x)-g(x)=4x-3 , τότε :

i) Να βρείτε τα όρια : και . Μονάδες 5

ii) Να δείξετε ότι η y=2005x+1 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της g στο . Μονάδες 4

iii) Αν επιπλέον ισχύει ότι για κάθε ,τότε να δείξετε ότι η g είναι ένα προς ένα και να λύσετε την εξίσωση g(x)=-g(4-x) . Μονάδες 5

Γ) Με δεδομένο ότι ισχύει για κάθε x>1 και f(2)=e, να βρείτε την f . Μονάδες 5

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ