Ελληνικά μαθηματικά: ανακάλυψη των αρρήτων, Eύδοξος

Greek mathematics: the discovery of irrational numbers, Eudoxus

H ανακάλυψη των αρρήτων, και η θεωρία της αναλογίας

του Ευδόξου or the discovery of the irrationals and the theory

of proportion of Eudoxus .

Γιώργος Μπαντές, μαθηματικός

www . mpantes . g .

Α. Ελληνικά (Greek) .

Το μυστικιστικό μεθύσι των Πυθαγορείων με τους αριθμούς, διαλύθηκε

από την παραπέρα εξέλιξη της ίδιας της Μαθηματικής επιστήμης κατά την

πρώτη εννοιολογική κρίση της ιστορίας της, η οποία προέκυψε από

την ανακάλυψη των άρρητων αριθμών (στην Αριθμητική κάποια στιγμή

στον 5ο αιώνα π.Χ) και τη συνέπειά τουτην ανακάλυψη των ασύμμετρων

μεγεθών ( που ήταν το αντίστοιχο φαινόμενο στη Γεωμετρία),

και ξεπεράστηκε από την επαναδιαπραγμάτευση της έννοιας της

αναλογίας, από τον Εύδοξο, στο 5ο βιβλίο των «Στοιχείων», η οποία ως τότε

ήταν θεμελιωμένη στην Πυθαγόρεια έννοια του αριθμού, μόνο που όλοι οι

αριθμοί ήταν ρητοί δηλαδή πηλίκα ακεραίων, τελικά ακέραιοι, ήταν η θεωρία της

αναλογίας των Πυθαγορείων. Οι Πυθαγόρειοι απέδωσαν στους αριθμούς, που

είναι τα ενδιάμεσα ανάμεσα στα φαινόμενα και την κατανόηση, την ίδια την

πραγματικότητα. Η πραγματικότητα λοιπόν αποδίδονταν με τους ρητούς

αριθμούς και οι άρρητοι αποτελούσαν για τους Πυθαγόρειους ένα χάσμα στην

κατανόηση του κόσμου. . Η θεωρία του Ευδόξου ήταν δομημένη μόνο σε

γεωμετρικές ποσότητες και ακέραια πολλαπλάσιά τους , έτσι ώστε κανένας

ορισμός αριθμού, ρητού ή άρρητου δεν ήταν αναγκαίος

Θα παρακολουθήσουμε αυτή την εξέλιξη στη συνέχεια.

Στάδιο 1 (άρρητοι αριθμοί).

Το κρίσιμο γεγονός το οποίο συνέβη τον 5ο πχ αιώνα , ήταν η ανακάλυψη

της αρρητότητας του √2. Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι η πρώτη απόδειξη που ο

δ η γ ε ί στο αποτέλεσμα.

Η πρόταση ήταν ότι το √2 δεν είναι ρητός αριθμός: δηλαδή δεν υπάρχουν

ακέραιοι κ, λ τέτοιοι ώστε, κ/λ=√2, και η απόδειξη γίνεται με την εις άτοπο

απαγωγή και βρίσκεται στα σχολικά βιβλία.

1

Ελληνικά μαθηματικά: ανακάλυψη των αρρήτων, Eύδοξος

Greek mathematics: the discovery of irrational numbers, Eudoxus

Το αποτέλεσμα ήταν εντυπωσιακό και «φαινόταν να πλήττει θανάσιμα την

Πυθαγόρεια φιλοσοφία». Αν δεν μπορούμε να παραστήσουμε με αριθμό την

υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές τη μονάδα (η

υποτείνουσα √2), τότε μένουν ελάχιστα από τη μεγάλη Πυθαγόρεια πρόταση ότι

ο αριθμός είναι η ουσία των πάντων. Η τάξη του κόσμου χαλούσε, όπως στο

Κοπερνίκειο σύστημα, αφού ο √2 δεν εξαρτιόταν από τους ακεραίους , άρα δεν

μπορούσε να γ ί ν ε ι γ ν ω σ τ ό ς , (να ειπωθεί, εξ’ ου και το άρρητος), αλλά

όμως εκπροσωπούσε το μήκος ενός τμήματος. Τι αριθμός και τι τμήμα ήταν

αυτό; Τι σχέση είχε ο αριθμός με τους ρητούς, και πως εντάσσονταν μέσα στο

γνωστό σύστημα των ρητών, αφού αν θελήσουμε να δούμε το πρόβλημα με

σύγχρονους όρους , οι Πυθαγόρειοι κάθε ‘πραγματικό’ αριθμό τον θεωρούσαν

ρητό. Στο πρόβλημα αυτό οι Έλληνες δεν έδωσαν απάντηση , η οποία δόθηκε

ύστερα από κάμποσους αιώνες. (Dedekind 1870). Σήμερα γνωρίζουμε ότι η

πραγματική ευθεία είναι απείρως «πυκνή» με τους ρητούς αριθμούς . Η ύπαρξη

των αρρήτων, μας οδηγεί στο ότι παρά την άπειρη πυκνότητα των ρητών,

υπάρχουν ακόμα τρύπες στην πραγματική ευθεία που δεν μπορούν να

περιγραφούν ως λόγος δύο ακέραιων αριθμών. Η εξέλιξη αυτή διήρκεσε για

πάνω από είκοσι αιώνες.

Στάδιο 2 (ασύμμετρα μεγέθη).

Το πρόβλημα των αρρήτων επέλυσε ο Εύδοξος με γεωμετρικό παρόλα αυτά τρόπο.

Οι Έλληνες μετέθεσαν το πρόβλημα στη γεωμετρία, μέσα από μια νέα

έννοια που γεννούσαν οι ασύμμετροι αριθμοί: τα ‘ασύμμετρα μεγέθη’. Αυτά είναι

μεγέθη τα οποία δεν μπορούν να μετρηθούν με την ίδια μονάδα μέτρησης.

Παράδειγμα ασύμμετρων μεγεθών, είναι η πλευρά α και

η διαγώνιος δ ενός τετραγώνου. Αν αυτή η κοινή

μονάδα μέτρησης είναι η μ τότε α=κμ και δ=λμ , όπου κ,

λ ακέραιοι, αλλά δ=α√2 δηλαδή κμ=λμ√2 δηλαδή

κ/λ=√2 άτοπο αφού ο √2 είναι άρρητος1). Τα ασύμμετρα

μεγέθη λες και ανήκαν σε διαφορετικό κόσμο, όπως άλλωστε και οι άρρητοι

αριθμοί2. Αντί να ενσωματώσουν λοιπόν τους άρρητους αριθμούς στην Αριθμητική

1 Στοιχεία βιβλίο 10 πρότ.1172 Η Ελληνική ανακάλυψη γεωμετρικών μεγεθών που δεν μπορούσαν να

εκφραστούν σαν ρητοί αριθμοί, -όπως η διαγώνιος τετραγώνου με με πλευρές τη μονάδα

2

Ελληνικά μαθηματικά: ανακάλυψη των αρρήτων, Eύδοξος

Greek mathematics: the discovery of irrational numbers, Eudoxus

των ρητών , ενσωμάτωσαν τα ασύμμετρα μεγέθη στη γεωμετρία των συμμέτρων

μεγεθών. Θα αναπτύξουν λοιπόν έναν λογισμό για τα ασύμμετρα μεγέθη στη

γεωμετρία, ο οποίος να επεκτείνει τον ήδη υπάρχοντα των συμμέτρων μεγεθών.

Κι αυτός ο λογισμός είναι ο λογισμός των αναλογιών.

Η χρήση λόγων αντί κλασμάτων είχε μερικά πλεονεκτήματα. Μπορούσε

κανείς να διατυπώσει κανόνες όπως «ο λόγος των εμβαδών των κύκλων είναι

ανάλογος με τα τετράγωνα των ακτίνων τους» χωρίς να καταφύγει στη χρήση του

π που ήταν άρρητος. Ακόμα ο λόγος δύο μεγεθών του ίδιου τύπου είναι χωρίς

διάσταση και έτσι μπορεί να συγκριθεί αναλογικά με άλλους λόγους όπως στο

παραπάνω παράδειγμα. Τα μεγέθη στη γεωμετρία ήταν ευθύγραμμα τμήματα ,

εμβαδά, γωνίες και σχέσεις μεταξύ τους κλπ. και ο λόγος είναι μια ένδειξη του

σχετικού μέτρου δύο μεγεθών. Ένα παράδειγμα της Ευκλείδειας έννοιας του

λόγου είναι η πρόταση 1 του 6ου βιβλίου : δύο τρίγωνα με ίδιο ύψος είναι ανάλογα

(τα εμβαδά τους) των βάσεών τους . Έτσι ο λ ό γ ο ς ήταν η β α σ ι κ ό τ ε ρ η

σ χ έ σ η μ ε τ α ξ ύ μ ε γ ε θ ώ ν και η θεωρία αναλογιών έδινε τη δυνατότητα

σε διαφορετικούς λόγους να συγκριθούν μεταξύ τους.

Στο βιβλίο 10 των «στοιχείων» γίνεται η σύνδεση των Ευκλείδειων λόγων

και των αριθμών (προτάσεις 5η και 6η ) όπου αποδεικνύεται η πρόταση ότι:

‘ δύο μεγέθη είναι σύμμετρα αν και μόνο αν ο λόγος τους είναι ρητός

αριθμός’.

Δηλαδή ο λόγος ασυμμέτρων μεγεθών είναι άρρητος αριθμός.

Αυτό ακύρωνε την έννοια του λόγου, αφού οι πραγματικοί (σημερινοί) αριθμοί της

εποχής ήταν οι ρητοί αριθμοί. Οι άρρητοι μετέφεραν μαζί τους το άγνωστο δέος

του απείρου.

του μήκους, ήταν επαναστατική. Ο Vitruvious (Marcus Vitruvius Pollio, de Architectura,

Book 9)γράφει ότι «αυτό δεν μπορεί να γίνει με αριθμούς» αφού οι άρρητοι αριθμοί ήταν

άγνωστοι. Το γεγονός αυτό χρησιμοποιείται δυο φορές από τον Αριστοτέλη ως

παράδειγμα επιχειρήματος με την εις άτοπο απαγωγή. (Αναλυτικά πρότερα 1.23.41a26 and

1.44.55.a37)

3

Ελληνικά μαθηματικά: ανακάλυψη των αρρήτων, Eύδοξος

Greek mathematics: the discovery of irrational numbers, Eudoxus

Στάδιο 3 (η θεωρία των αναλογιών).

Το βιβλίο 5 των ‘Στοιχείων’ καλύπτει την αφηρημένη θεωρία του λόγου

και της αναλογίας. Ολόκληρο το 5ο βιβλίο αποδίδεται στον Εύδοξο τον Κνίδιο,

ένας από τους πιο διάσημους μαθηματικούς της εποχής του. Στο ενεργητικό του

έχει δύο θεμελιώδεις ανακαλύψεις: τη θεωρία των αναλογιών και τη μέθοδο της

εξάντλησης. Στο βιβλίο αυτό ο Ευκλείδης παραθέτει ικανό αριθμό κανόνων για

τις αναλογίες και τις προϋποθέσεις χρήσης τους, αναπτύσσει δηλαδή το λογισμό

των αναλογιών.

Πως θα υπήρχε ο λογισμός των αναλογιών αν δεν υπήρχε η έννοια του

λόγου των μεγεθών; (ασύμμετρα μεγέθη)

Η πρώτη θεωρία των αναλογιών (Πυθαγόρειοι) ίσχυε για την

περίπτωση των αριθμών (ρητών) και των συμμέτρων μεγεθών. Στη θεωρία αυτή

ο ορισμός της αναλογίας από τους Πυθαγόρειους, (η οποία ήταν βασική έννοια

της Γεωμετρίας τους) είναι συνεπής με την Αριθμητική τους, την Αριθμητική των

ρητών:

«Αν Α και Β δύο ομοειδή μεγέθη και Γ και Δ δύο άλλα ομοειδή μεγέθη , όχι

κατ’ ανάγκη ομοειδή με τα πρώτα. Τότε Α/Β=Γ/Δ αν και μόνο αν το Α είναι το ίδιο

πολλαπλάσιο ή το ίδιο μέρος ή τα ίδια μέρη του Β όπως το Γ είναι του Δ». (μια

διαδικασία που υπονοεί ότι τα μεγέθη είναι σύμμετρα, αφού αν τα Α, Β είναι

ασύμμετρα δεν μπορούν να έχουν τη σχέση που περιγράφει ο ορισμός) και η τιμή

του κάθε λόγου είναι ο ίδιος ρητός αριθμός.

4

Ελληνικά μαθηματικά: ανακάλυψη των αρρήτων, Eύδοξος

Greek mathematics: the discovery of irrational numbers, Eudoxus

Στο πέμπτο βιβλίο ο Εύδοξος ανέπτυξε ακόμα περισσότερο την έννοια του

λόγου για οποιαδήποτε μεγέθη, χωρίς να θεωρήσει το λόγο δύο ασύμμετρων

μεγεθών ως αριθμό. Έτσι ο ισχυρισμός ότι ο ορισμός της αναλογίας του Ευδόξου

είναι λέξη προς λέξη ίδιος με τον ορισμό της τομής του Dedekind είναι αναληθής .

Ο φορμαλισμός του Ευδόξου ήταν πέρα από την ανάγκη μιας επέκτασης των

αριθμών, όπως αυτός του Dedekind.3 Οι Έλληνες μαθηματικοί δεν ανέπτυξαν ποτέ

την έννοια του πραγματικού αριθμού έτσι υπήρχε γι’ αυτούς πάντα το χάσμα

ανάμεσα στο πραγματικό (πεπερασμένο) και στο μη πραγματικό (το άπειρο.

Ορισμός αναλογίας του Ευδόξου .4

«Αν Α και Β δύο ομοειδή μεγέθη5 και Γ και Δ δύο άλλα ομοειδή μεγέθη ,

όχι κατ’ ανάγκη ομοειδή με τα πρώτα, ισχύει Α/Β=Γ/Δ όταν για οποιουσδήποτε

φυσικούς αριθμούς m, n ισχύουν οι τρεις παράλληλες σχέσεις

1. Αν mΑ>nΒ τότε mΓ>nΔ

2. αν mΑ=nΒ τότε mΓ=nΔ

3. αν mΑ<nΒ τότε mΓ<nΔ

Ο 2. είναι η Πυθαγόρεια περίπτωση αφού γράφεται: «αν Α=(n/m)B τότε

Γ=(n/m)Δ» δηλαδή «το Α είναι το ίδιο πολλαπλάσιο ή το ίδιο μέρος ή τα ίδια

μέρη του Β όπως το Γ είναι του Δ».

Με το ίδιο πρότυπο για την κατανόηση γράφουμε την 1 και την 3 οι οποίες

αναφέρονται σε ασύμμετρα μεγέθη:

«Είναι Α/Β=Γ/Δ αν για οποιουσδήποτε φυσικούς αριθμούς m ,n που

ισχύει αν m/n>A/B τότε m/n>Γ/Δ,

3 Carl Boyer p.314 Ο ορισμός αυτός της ισότητας λόγων είναι ο πέμπτος ορισμός του πέμπτου βιβλίου των

«Στοιχείων», και για τον ορισμό αναφέρεται από σχολιογράφο ότι πρωτοδιατυπώθηκε από τον Εύδοξο,

μαθηματικό και αστρονόμο, από την πόλη Κνίδος της Μ. Ασίας , μαθητή του Πλάτωνα και δάσκαλο αργότερα

στην Ακαδημία του. Ο ορισμός αρχικά δεν κατανοήθηκε και έγινε αντικείμενο εχθρικής κριτικής , ακόμα κι από

το Γαλιλαίο.Ο Εύδοξος ήταν μαθηματικός και συγχρόνως επιστήμων με τη σημερνή έννοια «χωρίς κανέναν

αποκρυφισμό και μυστικισμό στο έργο του (Carl Boyer) 5 Προσέχουμε ότι δεν μιλάει για αριθμούς, αλλά βρίσκεται στη γεωμετρία.

5

Ελληνικά μαθηματικά: ανακάλυψη των αρρήτων, Eύδοξος

Greek mathematics: the discovery of irrational numbers, Eudoxus

αν m/n<A/B τότε m/n <Γ/Δ

δηλαδή αν το Α/Β είναι μικρότερο ή μεγαλύτερο από κάποιον ρητό ρ τότε

και το Γ/Δ είναι μικρότερο ή μεγαλύτερο από τον ίδιο ρ. Κι αυτό για κάθε ρητό!»

Τότε οι δύο λόγοι είναι ίσοι χωρίς να έχουμε προσδιορίσει την τιμή τους!

Έχουν τιμές όχι ρητές αφού είναι ασύμμετρα μεγέθη, αλλά ίσες αφού έχουν την

ίδια σχέση μεγαλύτερου ή μικρότερου με τον κάθε (ίδιο) ρητό. Αν από

όποιονδήποτε ρητό είναι ο ένας μεγαλύτερος (μικρότερος) , είναι και ο άλλος

μεγαλύτερος (μικρότερος).

Η ερμηνεία αυτή μας θυμίζει τις τομές Dedekind για τον ορισμό των

αρρήτων, 2000 χρόνια αργότερα, είναι όμως μια εικόνα, χωρίς να επεκτείνει την

έννοια του ρητού αριθμού.

Παράδειγμα .

Ας δούμε μια εφαρμογή του νέου ορισμού της αναλογίας, μέσα από την

οποία θα συλλάβουμε καλύτερα το νόημά του.

Πρόταση (6.1 των «Στοιχείων»): τα εμβαδά δύο τριγώνων

(παραλληλογράμμων) που έχουν το ίδιο ύψος, έχουν τον ίδιο λόγο που έχουν

και οι βάσεις τους. Παίρνουμε υπ’ όψη για τη συνέχεια και τις βοηθητικές

προτάσεις :

Πρόταση (1.38 των «Στοιχείων») τρίγωνα με ίσες βάσεις και ίσα ύψη ,

έχουν το ίδιο εμβαδόν και ως συνέπειά της, «τρίγωνα με το ίδιο ύψος που το ένα

έχει μεγαλύτερο εμβαδόν , θα έχει μεγαλύτερη βάση».

Απόδειξη :

Πάνω στην κοινή ευθεία BD των βάσεων BC και CD παίρνουμε m-1

διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα προς το μέρος του Β και ίσα με BC και

συνδέουμε τα άκρα τους με την κορυφή Α. Με τον ίδιο τρόπο πάνω στην ευθεία

παίρνουμε n-1 διαδοχικά τμήματα προς το μέρος του Ε και ίσα με CD και

συνδέουμε τα άκρα τους με την κορυφή Α.6 Τότε

6 Στο σχήμα για καλύτερη κατανόηση παίρνουμε m=n=3 χωρίς βλάβη της γενικότητας για τυχόντα m,n.

6

Ελληνικά μαθηματικά: ανακάλυψη των αρρήτων, Eύδοξος

Greek mathematics: the discovery of irrational numbers, Eudoxus

CH=m(BC) (ACH)=m(ABC)

CL=n(DC) (ACL)=n(ACD)

Aπό τις βοηθητικές προτάσεις έχουμε ότι

( ACH (ACL) όταν CH CL (οι τρεις γνωστές παράλληλες σχέσεις)

Δηλαδή m(ABC) n(ACD) όταν m(BC) n(CD)

Οπότε από τον ορισμό της αναλογίας του Ευδόξου (σχέσεις 1,2,3)

έχουμε

Δηλαδή ο Εύδοξος για να αποδείξει την παραπάνω αναλογία αποδεικνύει

ότι για οποιουσδήποτε αριθμούς n, m, η γραμμή mBC είναι μεγαλύτερη ίση ή

μικρότερη από τη γραμμή nCD όταν το τρίγωνο m(ABC) είναι μεγαλύτερο ίσο ή

μικρότερο από το τρίγωνο n(ACD) (σχέσεις 1,2,3)

Αν οι βάσεις ήταν σύμμετρες, τότε δεν χρειάζονταν οι προεκτάσεις αλλά

μια εσωτερική διαίρεσή τους σε m και n τμήματα που θα ορίζονταν από την

κοινή μονάδα μέτρησης , δεν θα εμφανίζονταν άρρητοι αριθμοί και θα ίσχυε μόνο

η σχέση 2, (Πυθαγόρεια περίπτωση). Με ασύμμετρες τις βάσεις, χαράσσοντας τις

προεκτάσεις αποφεύγουμε να έρθουμε πρόσωπο με πρόσωπο με τους

άρρητους, αλλά μπορούμε να ορίσουμε την ισότητά τους! O Eύδοξος δεν

θεώρησε το λόγο δύο ασύμμετρων μεγεθών ως αριθμό, όμως ο ορισμός του της

αναλογίας εκφράζει αυτή την ιδέα της διάταξης που υπάρχει στη σύγχρονη

έννοια του πραγματικού αριθμού, χωρίς να έχει σχέση με αυτή. Ο Εύδοξος ορίζει

λόγο μεγεθών , όχι αριθμούς , και ο ισχυρισμός ότι είναι ίδιος όπως ο ορισμός

της τομής του Dedekind, είναι εσφαλμένος , και κυριολεκτικά και στις επιπτώσεις

του. Η μία μέθοδος θυμίζει την άλλη αλλά ορίζουν διαφορετικά πράγματα (άρθρο

στο Scribd, η συνέχεια των αριθμών και οι άρρητοι, Dedekind) Πράγματι υπάρχει

μια οντολογική διαφορά ανάμεσα στους πραγματικούς αριθμούς και στους

λόγους του Ευκλείδη. Κάποιοι πραγματικοί αριθμοί δεν είναι λόγοι μεγεθών,

οποιουδήποτε είδους από αυτά που αναφέρονται στα ‘Στοιχεία’.

Έτσι ξεπεράστηκε η κρίση των αρρήτων αριθμών από τους Έλληνες. Με

το νέο ορισμό της αναλογίας διατηρήθηκε ακέραια η εννοιολογική αρτιότητα της

Γεωμετρίας, χωρίς να επιχειρηθεί καμιά προσπάθεια για την αριθμοποίηση των

αρρήτων. Δεν μπόρεσαν να ανακαλύψουν νέους αριθμούς, αλλά μπόρεσαν να

συμφιλιώσουν τη γεωμετρία των ασυμμέτων μεγεθών με τα σύμμετρα.

7

Ελληνικά μαθηματικά: ανακάλυψη των αρρήτων, Eύδοξος

Greek mathematics: the discovery of irrational numbers, Eudoxus

Γιώργος Μπαντές μαθηματικός Πολύγυρος 7/3/13

mpantes on scribd .

Πηγές .

The history of calculus Carl Boyer Dover

Foundations and fundamental concepts of Mathematics Howard Eves

Μόρφω Ιακώβου (διπλωματική εργασία , διαδίκτυο)

Ιστολόγιο Περιηγητής (Ιωάννης Κουμερτάς, διαδίκτυο)

Ιστορία των μαθηματικών Richard Mankiewicz Εκδόσεις Αλεξάνδρεια

Στοιχεία (Ευκλείδης)

B. English .

The mystical intoxication of the Pythagoreans with numbers, was

dissolved by the further development of the very Mathematical Science at first

conceptual crisis of it’s history, which resulted from

the discovery of irrational numbers in Arithmetic ( in the 5th century BC),and it’s

consequence, the discovery of incommensurable quantities (which was the

equivalent phenomenon in geometry), and this crisis was overtaken by the

renegotiation of the concept of proportion, by Eudoxus, in the fifth book of the

"Elements".

Until then the theory of proportion was founded in Pythagorean concept

of number, the rational numbers, it was the theory of proportion of the

Pythagoreans.

The Pythagoreans attributed in numbers, -which is the intermediate

between the phenomena and our comprehension-, the reality itself. Pythagoras

and his students believed the essential unity of things was not in a physical

substrate. For them, the one thing that formed the substrate of all things in the

universe was number and numerical relations.

8

Ελληνικά μαθηματικά: ανακάλυψη των αρρήτων, Eύδοξος

Greek mathematics: the discovery of irrational numbers, Eudoxus

The theory of Eudoxus was structured only on geometric magnitudes and

integral multiples of them, so that no general definition of number, rational or

irrational was necessary.

We will follow this development here.

Stage 1 (irrational numbers). .

The crucial event that occurred in the 5th century BC, was the discovery

of a strange property of √2. The Pythagorean theorem is the first evidence that

leads in the result.

The proposal was that √2 is not a rational number: that there are not integers

m,n such that m/n = √2, and the proof is by the reductio ad absurdum and it is

found in textbooks. The fact is used twice by Aristotle as a (presumably) well-

known example of argument by reductio ad absurdum (Prior Analytics

1.23.41a26 and 1.44.55.a37), and is clearly older than him.

Today we know that the number line is infinitely dense with rational

numbers. The existence of irrational numbers implies that despite this infinite

density, there are still holes in the number line that cannot be described as a ratio

of two integers. This evolution lasted more than 20 centruries.

The result was impressive and "seemed to affects fatally the

Pythagorean philosophy." If we can not represent by number the hypotenuse of

a right triangle with perpendicular sides 1, then the great Pythagorean

proposition that the number is the essence of everything, collapses. If you

believed that all numbers are rational numbers, and that rational numbers are the

basis of all things in the universe, then having something that cannot be

expressed as the ratio of two integers is like discovering a gaping void in the

universe. An irrational number was a blight of meaninglessness on what up until

then had seemed like an orderly world. The order of the world was unsettled as

with Copernican system, since √2 did not depend on the integers, so it could not

be Known, not be expressed ( hence the word irrational), but however

representing the length of a segment. What number and what segment was that?

What was the relation of this number with the rational numbers, and how it falls

into this known system of rational, as - if we want to see the problem in modern

terms- , the Pythagoreans considered for our real numbers, the rational

numbers.

9

Ελληνικά μαθηματικά: ανακάλυψη των αρρήτων, Eύδοξος

Greek mathematics: the discovery of irrational numbers, Eudoxus

In this problem, Greek mathematicians gave no answer. This was given

after many centuries. (Dedekind 1870)

Stage 2 Incommensurable quantities .

The problem of the irrationals was resolved by Eudoxus in a geometrical

manner instead.

Greeks shifted the problem in geometry, through a new concept that

spawned the irrational numbers: the 'incommensurable magnitudes'. These

are magnitudes which can not be measured with the same measurement unit.

(An example of incommensurable magnitudes , is

the side α and a diagonal δ of a square. If this

common unit of measurement is m then α= km

and d =lα, where k, l integers, but δ = α√2 namely

κm = lm√2 ie c / l = √2 inappropriate since √2 is

irrational ).

Incommensurable magnitudes are as if

they belonged to different worlds, like the irrational numbers. Instead therefore

embody irrational numbers in arithmetic of rational, incorporated

incommensurable magnitudes in the geometry of commensurable magnitudes.

So they will develop a calculus for the incommensurable magnitudes in

geometry, which extend the existing of commensurable magnitudes. And this

calculus is the calculus of proportion.

The use of ratios instead of fractions had some advantages. One could

formulate rules as "the ratio of the areas of the circles is proportional to the

squares of their radii" without resorting to the use of π which was irrational. Even

the ratio of two sizes of the same type is without dimensions and thus may be

compared proportionally with other ratios as in the above example. The

magnitudes in geometry were segments, areas, angles and relationships

between them, etc, and their ratio is an indication of the relative measure in two

magnitudes. An example of Euclidean concept of ratio is the sentence 1 of the

6th book: “Two triangles with the same height are proportional of their base”. So

ratio is the m o s t b a s I c r e l a t I o n s h I p b e t w e e n m a g n I t u d e

s and the theory of proportion made possible to compare different ratios

between them.

In book 10 of “Elements” is the connection of Euclidean ratios and

numbers (proposals 5 and 6) where is established that:

10

Ελληνικά μαθηματικά: ανακάλυψη των αρρήτων, Eύδοξος

Greek mathematics: the discovery of irrational numbers, Eudoxus

  'Two magnitudes are commensurable if and only if their ratio is a rational

number. "

That is the ratio of incommensurable magnitudes is a irrational number. This

canceled the meaning of ratio, since the real numbers of Euclid’s era were the

rational numbers. The irrationals carried with them the unknown awe of the

infinity.

Stage 3 (the theory of proportions).

In Book 5 of 'Elements' Euclid covers the abstract theory of ratio and proportion. The entire

fifth book is attributed to Eudoxus of Cnidus, one of the most famous mathematicians of his time.

To his credit has two fundamental discoveries: the theory of proportions and the method of

exhaustion.7 In this book, Euclid gives a sufficient number of rules for the proportions and

conditions of their use.

The first theory of proportion (Pythagorean) applies in the case of rational numbers and of

commensurable magnitudes. In this theory, the definition of the ratio of the Pythagoreans, (which

was a key concept of their geometry) is consistent with their arithmetic , the arithmetic of rationals:

"If A and B are two similar sizes and C and D two other similar sizes, not necessarily similar

to the former, then A / B = C / D if and only if A is the same multiple or the same part or the same

parts of B as C is in D” . (a process that implies that all magnitudes are commensurable, since if A,

and B are incommensurable may not have the relationship that describes the definition), and the

value of each ratio is the same rational number.

In the fifth book, Eudoxus further developed the concept of the ratio for any magnitudes.

The definition of proportion of Eudoxus .

If A and B are two similar sizes and C and D two other similar sizes, not necessarily similar

to the former, then A / B = C / D if for every natural numbers m, n apply together the three relations

1. If mΑ>nΒ then mΓ>nΔ

2. if mΑ=nΒ then mΓ=nΔ

3. if mΑ<nΒ then mΓ<nΔ8

7 The achievements of Eudoxus are those of a mathematician who was at the same time a scientist ,

with none of the occult or mystic on him . As a consequence they are based at every point on finite , intuitively

clear , and logically precise considerations. In method and spirit the later work of Euclid will be found to owe

much more to Eudoxus thanto Plato (Carl Boyer) 8 The definition was not initially understood and became the subject of hostile criticism, even from Galileo

11

Ελληνικά μαθηματικά: ανακάλυψη των αρρήτων, Eύδοξος

Greek mathematics: the discovery of irrational numbers, Eudoxus

The case 2 is the Pythagorean case as it can be attributed : if A=(m/n)B then C=(n/m)D viz

“A is the same multiple, or the same part , or the same parts of B as C is of D.

In the same model for understanding we write 1 and 3 which are reported in

incommensurable magnitudes:

It applies that A/B=C/D if for every natural numbers m,n is

if m/n>A/B then m/n>C/D

if m/n<A/B then m/n<C/D

ie if A / B is smaller than or greater than someone rational number m/n then C / D is

smaller or greater than the same rational m/n . And that for every rational! "

Then the two ratios are equal without having determined the ir value ! their values are not rational as

these are incommensurable magnitudes , but equal since they have the same relation of larger or

smaller than, for every (same) rational.

This interpretation reminds us of Dedekind cuts for defining irrational numbers, 2000 years

later, but it is an image, without extending the concept of rational numbers. Thus, the claim that the

definition of the ratio of Eudoxus is “word for word” the same as the definition of the equality of real

numbers of Weierstrass or the cut of Dedekind, is incorrect both literally and in its applications,

even though the definition expresses the ordinal idea involving in our present conception of the real

number. The formalism of Eudoxus was beyond the need for an expansion of the numbers, as in

Dedekind. Indeed there is an ontological difference between the real numbers and the ratios of

Euclid. Some real numbers are not ratios of any of the species listed in the 'Elements'.Greek

mathematicians never developed the concept of the real number, because for them, there was

always the gap between the real (finite) and the unreal (infinity.

Example.

Let's see an application of the new definition of proportion, through which we will

grasp it’s meaning.

Proposal (6.1 of the "Elements"): the areas of two triangles (rectangles)

having the same height, have the same ratio as bases.

Proposal (1.38 of "Elements") triangles with equal bases and equal

heights, have the same area and so, "triangles with the same height and

different areas , will have a similarly different bases."

Proof.

12

Ελληνικά μαθηματικά: ανακάλυψη των αρρήτων, Eύδοξος

Greek mathematics: the discovery of irrational numbers, Eudoxus

On the common straight line BD of bases BC and CD, we take m-1

successive segments towards the B and equal to BC and connect their ends to

the vertex A. In the same manner onto the straight get n-1 successive blocks

towards E and equal to CD, and connect their ends to the vertex A. Then

CH=m(BC) (ACH)=m(ABC)

CL=n(DC) (ACL)=n(ACD)

From the above proposals

( ACH (ACL) when CH CL (the three parallels relations)

Viz. m(ABC) n(ACD) when m(BC) n(CD)

Then from the definition of the proportion of Eudoxus (relation 1,2,3) we

have

If the bases were commensurate, then no extensions but an internal division into m and n

sections that would be defined by the common unit of measure, it will not appear irrational numbers

and would only the relation 2 (Pythagorean case). With incommensurate bases, ingraving the

extensions, we evade to come face to face with the irrational numbers, but we can define their

equality!

So Greeks overcame the crisis of irrational number . With the new definition of proportion

was maintained intact the conceptual integrity of Geometry, without attempting any effort to

“numericalization” the irrationals.. They failed to invent new numbers, but were able to reconcile

the geometry of incommensurable magnitudes with this of commensurable.

George Mpantes mathematics teacher, Polygyros Chalkidikis

Mpantes on scribd

13

Ελληνικά μαθηματικά: ανακάλυψη των αρρήτων, Eύδοξος

Greek mathematics: the discovery of irrational numbers, Eudoxus

Sources.

The history of calculus Carl Boyer Dover

Foundations and fundamental concepts of Mathematics Howard Eves

Μόρφω Ιακώβου (dissertation, Internet)

Blog Περιηγητής (Γιάννης Κουμερτάς, Internet)

History of mathematics Richard Mankiewicz Alexandria Publications

Στοιχεία (Euclid)

14