Φύλλο εργασίας

(Γεωμετρική πρόοδος)

Γεωμετρική πρόοδος είναι μια ακολουθία όπου κάθε όρος της εκτός από τον

πρώτο, προκύπτει

από τον

προηγούμενό του

με πολλαπλασιασμό

επί τον ίδιο πάντοτε

μη μηδενικό

αριθμό, τον οποίο

λέμε λόγο της

προόδου και

συμβολίζουμε με λ.

Παρατηρήσεις 1. Η γεωμετρική πρόοδος θα είναι γνωστή αν γνωρίζουμε τον

πρώτο όρο και τον λόγο της. 2. Για να βρούμε τον λόγο αρκεί να διαιρέσουμε δύο διαδοχικούς όρους

3. Αν λ>0 τότε οι όροι της γεωμετρικής προόδου είναι ομόσημοι με τον πρώτο

όρο, ενώ αν λ<0 οι όροι θα είναι εναλλάξ θετικοί και αρνητικοί.

4. Όταν στα προβλήματα ζητούμενο είναι να βρεθεί η πρόοδος εννοείται ότι

πρέπει να βρεθούν τα α1 και λ. Εκμεταλευόμαστε δύο σχέσεις και

οδηγούμαστε σε σύστημα δύο εξισώσεων με αγνώστους τα α1 καιλ.

Ο ν ος όρος μιας γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο α1 και λόγο λ είναι

αν =α1 .λ ν-1

Τρείς μη μηδενικοί αριθμοί α,β,γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου

αν και μόνο αν ισχύει β2 =α.γ

Το άθροισμα των ν πρώτων όρων μιας γεωμετρικής προόδου είναι

Sν=α1.(λν -1)/(λ-1)

Εφαρμογές

1. Σε μια γεωμετρική πρόοδο ο 3ος

όρος είναι 20 και ο 7ος

είναι 320. Να βρεθεί

η πρόοδος............................................................................................................

..............................................................................................................................

.............................................................................................................................

2. Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος 2,-4,8,............

Να βρείτε τον νος όρο της και στην συνέχεις να βρείτε τον πέμπτο όρο και το

S5 ……………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………….

3. Γεωμετρική πρόοδος έχει πρώτο όρο 2 και πέμπτο 32. Να βρείτε τον λόγο

της και τον γεωμετρικό μέσο των α1 και α5........................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

4. (Δ19) Ένας θρύλος αναφέρει ότι ζητήθηκε από τον εφευρέτη του παιχνιδιού

που λέγεται σκάκι, να ορίσει ο ίδιος την ανταμοιβή του για την εφεύρεσή

αυτή. Λέγεται, λοιπόν, ότι η απαίτηση του βρίσκεται στο παρακάτω κείμενο

<<Φανταστείτε μια σκακιέρα . Αυτή έχει 64 τετράγωνα. Στο πρώτο τετράγωνο

τοποθετούμε 1 κόκκο σιτάρι, στο δεύτερο τετράγωνο 2 κόκκους σιτάρι, στο

τρίτο τετράγωνο 4 κόκκους σιτάρι, στο πέμπτο τετράγωνο 8 κόκκους σιτάρι,

κ.ο.κ μέχρι να τοποθετήσουμε και στα 64 τετράγωνα κόκκους σιταριού. Θα

ήθελα τόσους κόκκους σιταριού όσους έχει επάνω η σκακιέρα>>.

α) Πόσοι κόκκοι σιταριού έχου τοποθετηθεί στο 64ο τετράγωνο;

β) Αν η σκακιέρα είχε ν τετράγωνα πόσοι κόκκοι σιταριού θα είχαν

τοποθετηθεί στο ν-οστό τετράγωνο;

γ) Αποτελεί το πλήθος των κόκκων σε κάθε τετράγωνο διαδοχικούς όρους

γεωμετρικής προόδου; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

δ) Να υπολογίσετε τους 10 πρώτους όρους της ακολουθίας.

ε).Αν η σκακιέρα είχε ν τετράγωνα , προσπαθήστε να εικάσετε πόσοι θα ήταν

στην περίπτωση αυτή συνολικά οι κόκκοι πάνω στη σκακιέρα........................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

……………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………..............

5. (Δ21) Ένα φυτό έχει ύψος 1,67 cm στο τέλος της πρώτης εβδομάδος της

ζωής του και συνεχίζει να ψηλώνει για 9 εβδομάδες ακόμα. Κάθε εβδομάδα

ψηλώνει 4% περισσότερο από την προηγούμενη.

α) Αποτελούν τα ύψη του φυτού στο τέλος κάθε εβδομάδας όρους

αριθμητικής ή γεωμετρικής προόδου; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

β) Αν η απάντηση στο (α) ερώτημα είναι καταφατική, να γράψετε το γενικό

όρο της πρόοδου.

γ) Ποιό είναι το ύψος που πήρε το φυτό την 4η εβδομάδα;

δ) Ποιό είναι το μέγιστο ύψος που θα φτάσει το φυτό;..............................