μαθηματικα γ΄γυμνασιου θεματα απολυτηριων εξετασεων

Καλούδης Γ. Βασίλειος Μαθηματικά Γ’ Γυμνασίου

1

Τεύχος 3


2


3

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Απαγορεύεται η αναδημοσίευση και γενικά η πλήρης, μερική ή περιληπτική αναπαραγωγή και μετάδoση έστω και μίας σελίδας του παρόντος βιβλίου κατά παράφραση ή διασκευή με οποιονδήποτε μηχανικό ή ηλεκτρονικό ή φωτοτυπικό τρόπο ή με ηχογράφιση ή όπως αλλιώς (Νόμος 2121/93 Άρθρο 51). Οι παραβάτες διώκονται και τους επιβάλλονται αστικές και ποινικές κυρώσεις σύμφωνα με το αρθρα 64-66. ISBN: 978-618-80930-0-3 Αντί προλόγου


4

Το ανά χείρας βιβλίο παρά τη μικρή του έκταση, μόλις 76 σελίδες, αποτελεί μία πολύ πλούσια συλλογή θεμάτων που δόθηκαν τα τελευταία χρόνια στις απολυτήριες εξετάσεις της Γ’ Γυμνασίου. Το βιβλίο απευθύνεται στον καθηγητή Μαθηματικών, ο οποίος καλείται, όχι μόνο να διδάξει την ύλη και να εφοδιάσει τους μαθητές του με τις απαραίτητες γνώσεις που θα χρειαστούν στις επόμενες τάξεις, αλλά και να τους εισάγει στα θέματα πάνω στα οποία θα εξεταστούν. Απευθύνεται όμως και στον μαθητή που θέλει να έχει ένα καλό αποτέλεσμα στις απολυτήριες εξετάσεις, ως επιβράβευση των προσπαθειών που έκανε ολόκληρη τη χρονιά. Η έκδοση του βιβλίου δεν περιορίζεται μόνο στο παρόν έντυπο. Είναι διαθέσιμες οι απαντήσεις στις ερωτήσεις του βιβλίου, καθώς και οι λύσεις όλων των ασκήσεων σε ηλεκτρονική μορφή, οι οποίες δύναται να αποσταλλούν ηλεκτρονικά σε κάθε ενδιαφερόμενο. Κατά τη μελέτη του βιβλίου πρέπει να δοθεί σημασία τόσο στα ίδια τα θέματα, όσο και στα ποιοτικά χαρακτηριστικά αυτών, μερικά από τα οποία είναι:

Υπάρχουν ερωτήσεις κατανόησης, ακόμα και ασκήσεις του σχολικού βιβλίου που εντάσσονται στα πλαίσια της θεωρίας, στην οποία εξετάζονται οι μαθητές.

Υπάρχουν πολλές ασκήσεις , κυρίως από τη γεωμετρία και την τριγωνομετρία, που δίνονται αυτούσιες μέσα από το σχολικό βιβλίο.

Σχεδόν σε κάθε διαγώνισμα υπάρχει θέμα που αφορά την επίλυση εξίσωσης και συστήματος εξισώσεων.

Όπως σε κάθε βιβλίο, έτσι και σε αυτό θα υπάρχουν παραλήψεις και τυπογραφικά λάθη. Με χαρά θα δεχθώ τις οποιεσδήποτε παρατηρήσεις σας για την βελτίωση του στο e-mail [email protected] ή στο τηλέφωνο 6942715235.

Βασίλειος Γ. Καλούδης

mailto:[email protected]


5

ΜΕΡΟΣ Α΄

ΑΛΓΕΒΡΑ


6

Κεφάλαιο 1ο

Αλγεβρικές Παραστάσεις

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Θέμα 1 νΔώστε τον ορισμό της δύναμης α , με βάση α και εκθέτη το φυσικό αριθμό ν

Θέμα 2 Γράψτε τις ιδιότητες των δυνάμεων.

Θέμα 3

Να δώσετε τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας θετικού αριθμού x.

Θέμα 4 Πότε μια έκφραση λέγεται αλγεβρική παράσταση;

Θέμα 5 Πότε μία αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο;

Θέμα 6 Από ποια μέρη αποτελείται το μονώνυμο;

Θέμα 7 Τι ονομάζεται συντελεστής και τι κύριο μέρος του μονωνύμου;

Θέμα 8

Τι είναι βαθμός πολυωνύμου ως προς μία μεταβλητή του; Θέμα 9 Ποια μονώνυμα λέγονται όμοια;

Θέμα 10 Ποια μονώνυμα λέγονται ίσα;

Θέμα 11 Ποια μονώνυμα λέγονται αντίθετα;

Θέμα 12


7

Πως ορίζεται το άθροισμα όμοιων μονωνύμων; Θέμα 13 Πως πολλαπλασιάζουμε δύο μονώνυμα;

Θέμα 14 Τι ονομάζεται πολυώνυμο; Τι ονομάζεται βαθμός πολυωνύμου ως προς μία μεταβλητή; Θέμα 15 Τι ονομάζεται ταυτότητα;

Θέμα 16 Γράψτε πέντε αξιοσημείωτες ταυτότητες που γνωρίζετε.

Θέμα 17 Να διατυπώσετε και να αποδείξετε την ταυτότητα "τετράγωνο αθροίσματος".

Θέμα 18 α αποδείξετε τις ταυτότητες:

2 2 2

2 2 2

3 3 2 2 3

3 3 2 2 3

2 2 3 3

2 2 3 3

2 2

i. α + β = α + 2αβ + β

ii. α - β = α - 2αβ + β

iii. α + β = α + 3α β + 3αβ + β

iv. α - β = α - 3α β + 3αβ - β

v. α - β α + αβ + β = α - β

vi. α + β α - αβ + β = α + β

vii. α - β α + β = α - β

Θέμα 19 Tι ονομάζουμε παραγοντοποίηση;

Θέμα 20

Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης για πολυώνυμα.

Τι πρέπει να ισχύει για το υ x ;

Θέμα 21 Πότε μια έκφραση λέγεται ρητή αλγεβρική παράσταση; Θέμα 22 Οι μεταβλητές μιας ρητής αλγεβρικής παράστασης μπορούν να πάρουν οποιεσδήποτε τιμές;

Θέμα 23 Πως απλοποιούμε μια ρητή αλγεβρική παράσταση;


8

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΡΙΣΕΩΣ

Θέμα 24

2 35 4 -2

Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι μονώνυμα;

5α βΑ. 5α 2β Β. αβ Γ. 7 Δ.

3

Θέμα 25

2 33 2 3 2

Αφού γράψετε στην τελική τους μορφή τα παρακάτω μονώνυμα, να βρείτε το συντελεστή

και το κύριο μέρος τους.

Α. 5x y -2 Β. -z y -2 x Γ. x y 7xy Δ. -3xy Ε. -2x zx

Θέμα 25

2 5Δίνεται το μονώνυμο 3x y . Να γράψετε ποιος είναι ο συντελεστής του,

το κύριο μέρος του και ο βαθμός του ως προς x και y;

Θέμα 26

3 2 2 2 3 2 3 29 2 6 6 93 3

Ποια από τα παρακάτω μονώνυμα είναι όμοια, και ποια αντίθετα;

Α. x y Β. x y Γ. x y Δ. y x Ε. x y

Θέμα 27

2 3 2

Για καθένα από τα μονώνυμα να βρεθούν ο συντελεστής, το κύριο μέρος,

ο βαθμός ως προς x, ως προς y, και ως προς x και y

2xy ,-3x y,-y x

Θέμα 28

ν+2 3μ-1 8Δίνονται τα μονώνυμα - 2003x y και 2004xy .

Για ποιες τιμές των ν,μ τα μονώνυμα αυτά είναι όμοια;

Θέμα 29

3κ-5 λ-3 7 8 μΓια ποιες τιμές των κ,λ,μ τα μονώνυμα -1997x y και 1998x y ω είναι όμοια;

Θέμα 30

κ-2 4 5 2-λNα βρείτε τους ακέραιους κ,λ ώστε η αλγεβρική παράσταση - 5α β + 8α β

να είναι μονώνυμο. Ποιο είναι αυτό;

Θέμα 31 Το άθροισμα τριών μονωνύμων είναι μονώνυμο. Τι συμπεραίνετε για τα τρία μονώνυμα;

Θέμα 32 Το πηλίκο δύο μονωνύμων είναι πάντα μονώνυμο; Δικαιολογήστε με παράδειγμα

την απάντηση σας.


9

Θέμα 33

2 2

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω αλγεβρικές παραστάσεις ως μονώνυμα ή πολυώνυμα

5Α. - 4x y Β. - x α Γ. 2 + 2 xy Δ. 4 α + β

3

Θέμα 34

2 22 3 2 2 2 2

2 2

Ποιες από τις παρακάτω ισότητες είναι ταυτότητες;

i. 0x = 0 ii. αα = α iii. x + y = 0 iv. α - β = α - β v. α + β = α + β

vi. α -β α + β = α -β

Θέμα 35

2 2Να δείξετε ότι αν α +β = 2αβ, τότε α = β Θέμα 36

2 2 2Πότε ισχύει ο τύπος α +β = α +β ;

Θέμα 37

2 2 2Είναι δυνατόν α +β = α +β , πάντα ή υπό κάποιες προϋποθέσεις;

Θέμα 38

2 2

Για ποιες τιμές των α και β ισχύει α +β = α -β ;

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ

Θέμα 39 Nα χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) αν είναι σωστές ή (Λ) αν είναι λανθασμένες.

3

1) α + β = α + β, α,β > 0

2) α - β = α - β, α,β > 0

3) α. β = α.β, α,β > 0

α α4) = , α,β > 0

ββ

5) O αριθμός 4 είναι μονώνυμο

6) H παράσταση 2 + 1 x y είναι μονώνυμο

7) Το μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό 0

8) Eάν το πολυώνυμο P x έχει βαθ

3 3 2 2 3

3 3 2 2 3

μό 3 και το πολυώνυμο Q x

έχει βαθμό 2, τότε το P x .Q x έχει βαθμό 6

9) α + β = α + 3α β + 3αβ + β

10) α - β = α - 3α β + 3αβ - β


10

2 2

2 2

3 3

2 2

2 2 2

11) α + β α - β = β - α

12) β - α = α - β

13) -α - β = α + β

14) -α - β = - α + β

15) -x - y = x + 2xy + y

2 2

2

2

2

22 2

22 2

3 3

2 2

3 3 2 2 3

2 2 3 3

2 2 2

3 3

16) α - β = β - α

1 117) x + = x + + 2

x x

18)α + β = α + β - 2αβ

19)α + β = α - β + 2αβ

20) α - β = β - α

21) α - β β + α = α - β

22) α - β = α - 3α β + 3αβ - β

23) α - β α - αβ + β = α - β

24) x - y = x - y

25) x - y = y + 2 2 33x y - 3xy - y

3 3 2 2

2 2 2

3 3 2 2 3

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

3 3

2 2

26) x + y = x + y x - xy + y

27) α - β = α - 2αβ - β

28) α - β = α - 3α β - 3αβ + β

29) -α + β = α - 2αβ + β

30) -α - β = -α - 2αβ - β

31) β + α = α + 2αβ + β

32) α - β β + α = β - α

33) α + β = - α - β

34) α + β β - α = - α + β α - β

35) α - β = β - α

36) -α - β = - α + β

37) α

2 3 2 3 4 6

2 2 2 2

2 2

2 2

3 3 2 3

- y α + y = α - y

38) x + y = x + y x + xy + y

39) κ - λ = λ + κ κ - λ

40) α + β = α + β α - β

41) α - β = α - β α + αβ + β


11

3 2

2 2

3 3 2 2

9 4 2 3 2 3 2

42) 8 + α = 2 + α 4 + 2α + α

43) - 4x + α = α + 2x α - 2x

44) α - β = α - β α - αβ + β

45) γ - δ ε = γ - δ ε γ + δ ε

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Θέμα 40 Να αντιστοιχίσετε τις παραστάσεις της στήλης Α με τις ίσες τους της στήλης Β

ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β

2

β - α

2

-α -β

2

α + β

2

-α + β

2

α -β

2

β + α

Θέμα 41 Να αντιστοιχίσετε σε κάθε παράσταση της στήλης Α το ανάπτυγμά της από τη στήλη Β


2

α + β

2 2α - 2αβ +β

2

-α + β

3 2 2 3α - 3α β + 3αβ -β

α -β α +β

2 2α β

3

α -β

2 2α + 2αβ +β

2 2α +β α - αβ +β

3 3α + β

Θέμα 42


12

Να συμπληρώσετε τον πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε παράσταση της στήλης Α το ανάπτυγμα της από τη στήλη Β


Α 2

α + 2 1. 3α - 1

Β 3α - 2 3α + 2 2. 3 2

α 3α 3α 1

Γ 3

α -1 3. 2

3α 4

Δ 2α -1 α + α +1 4. 3 2 2

α 3α 3α 1

Ε 2

-3 + α 5. 2

9α 4

6.

2α 4α 4

7.

3α 1

8.

2α 6α 9

Θέμα 43 Να αντιστοιχίσετε σε κάθε παράσταση της στήλης Α το ανάπτυγμά της από τη στήλη Β


Α 2

α β 1. 2 2α β

Β α β α β 2. 2 2α 2αβ β

Γ 3

α β 3. 3 3α β

Δ 2 2α β α αβ β 4. 3 2 2 3α 3α β 3αβ β

Ε 2

α β 5. 2 2α 2αβ β

6.

3 2 2 3α 3α β 3αβ β

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΟΥ Θέμα 44

Nα συμπληρώσετε τις ισότητες

2

2

1) x = .........., αν x 0

2) x = .........., αν x πραγματικός αριθμός

3) α β = .........., αν α 0,β 0

α4) = .........., αν α 0,β > 0

β

Θέμα 45 Να συμπληρώσετε τις λέξεις που λείπουν από τις παρακάτω προτάσεις :


13

1) Ο εκθέτης μιας μεταβλητής λέγεται.......... του μονωνύμου

ως προς τη .......... αυτή.

2) Ο βαθμός ενός μονωνύμου ως προς όλες τις μεταβλητές του

λέγεται το.......... των.......... των μεταβλητών αυτών.

3) Ο αριθμός 0 λέγεται .......... μονώνυμο και δεν έχει .........., ενώ όλα

τα άλλα σταθερά μονώνυμα είναι.......... βαθμού

Θέμα 46 Nα συμπληρώσετε τις ισότητες

2

2

3

3

2

3

2

2

3 3

1) α + β = ..........

2) α - β = ..........

3) α + β = ..........

4) α - β = ..........

5) α - β α + β = ..........

6) 2 + y = ..........

7) α - β =

8) α - β α + β =

9) -α - β = ..........

10) α + β β - α = ..........

11) 2α - β = ..........

12) α + β = ..2 2

3 3

2 2

........

13) α + 2αβ + β =

14) α - β = ..........

15) α - β =

3 3

3 3 2 2 3

2

2 2

3

16) α + β = ..........

17) .......... - .......... = y - 3y x + 3yx - x

18) x - .......... = .......... + y .......... - y

19) x + .......... .......... + .......... + y

20) x + y = .......... + .......... + .......... + ..........


14

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέμα 47 2 3 3 2Δίνεται το πολυώνυμο Α = -2xy + y + 2x - xy

Α. Ποιος είναι ο βαθμός του ως προς x και y

Β. Να γράψετε το πολυώνυμο κατά φθίνουσες δυνάμεις του y

Γ. Να βρείτε την αριθμητική τιμή του για x = 2 και y = -1

Θέμα 48

2 2Δίνεται το πολυώνυμο P x = x - 2 + x - 4 - 4 2x - 3

Α. Να κάνετε τις πράξεις και να γράψετε το πολυώνυμο κατά φθίνουσες

δυνάμεις του x.

Β. Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο P x .

Γ. Να βρείτε την αριθμητική τιμή του πολυωνύμου για x = 3

Θέμα 49

2

2

Δίνεται το πολυώνυμο P x = x - 3x + 5

Α. Να προσδιορίσετε τα πολυώνυμα P -2x και P x - 2

Β. Να προσδιορίσετε το πολυώνυμο Q x = x P -2x - P x - 2

Γ. Να βρείτε το άθροισμα Q 0 + Q -1

Θέμα 50

22

2

2

2

Nα συμπληρώσετε τα επόμενα κενά

i. α + .......... + .......... = .......... + 3β

ii. 2α + .......... .......... - .......... = .......... - 9β

yiii. x - .......... + .......... = .......... -

2

Θέμα 51

2 2 2 2Να αποδείξετε ότι 2x - 5 - x - 4 = 2x - 3 - x

Θέμα 52

2 2

Να γίνουν οι πράξεις 3x -1 - x + 2 - x x +1 x -1

Θέμα 53

2 3

Δίνεται η παράσταση α 2α -1 - 2α α -1 - 2α α + 2 α - 2 - 7α

Να γίνουν οι πράξεις και να παραγοντοποιηθεί το εξαγώμενο


15

Θέμα 54

3 3

2 2 3

2 2 2 2

Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις

i. 12αβ - 27α β

ii. 18α x - 60αx + 50x

iii. α x - β y + α y - β x

Θέμα 55 α β

+ 2 +β α

Να απλοποιήσετε το κλάσμα α β

-β α

Θέμα 56

5 4 2 3 2 3 2

Α. Να παραγοντοποιήσετε τα παρακάτω πολυώνυμα :

i. 3x - 6x ii. x - 9 iii. x + 2x iv. x + 4x + 4 v. x - 3x - 4x + 12

Β. Αφού αντικαταστήσετε κάθε πολυώνυμο με την παραγοντοποιημένη

του μορφή, να υπολογίσετ

5 4 2 3 2

3 2

ε την τιμή της παράστασης

3x - 6x x - 9 x - 3x - 4x + 12Α = . :

x + 3 x + 2x x + 4x + 4

Θέμα 57

2 2 2 3 2

Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις και μετά να υπολογίσετε

Β Γ Ατα πηλίκα , , , αν είναι

Α Δ Γ

Α = 4x - 25 Β = 4x - 20x + 25 Γ = 6x - 15x Δ = 2x + 2x - 5x - 5

Θέμα 58

2 2 2

3 2

x + 1 - 4x x + xΔίνονται οι παραστάσεις Α = και Β =

x - x 9x - 1

Α. Να απλοποιήσετε την παράσταση Α

Β. Να βρεθεί το γινόμενο Α.Β

Θέμα 59

3 2 2

2

Να εκτελέσετε τις πράξεις

α + 2α - α - 2 α + 3α + 2:

α + 1 α + α

Θέμα 60

2

2 2

10x - 5x 25xΝα βρείτε το αποτέλεσμα : :

1 - 4x + 4x 20x - 5 Θέμα 61

2

3 2 5Να κάνετε τις πράξεις - +

2x + 2 3x - 3 6x - 6


16

Κεφάλαιο 2ο Εξισώσεις- Ανισώσεις


Θέμα 1 Να γράψετε τα συμπεράσματα από τη λύση της εξίσωσης αx +β = 0 Θέμα 2

2Να γράψετε τα συμπεράσματα από τη λύση της εξίσωσης x = α Θέμα 3 Δίνεται η εξίσωση αx +β = 0, όπου α,β παράμετροι. Να λυθεί και να διερευνηθεί.

Θέμα 4

2Να γράψετε τα συμπεράσματα από τη λύση της εξίσωσης αx +βx + γ = 0, α 0 Θέμα 5

2Δίνεται η δευτεροβάθμια εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0

Α. Να δώσετε τον τύπο που δίνει τις λύσεις της εξίσωσης

Β. Ανάλογα με την τιμή της διακρίνουσας τι συμπεράσματα έχουμε για το πλήθος

των λύσεων της;

Θέμα 6

2Δίνεται η δευτεροβάθμια εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 και Δ η διακρίνουσα της,

ποια είναι τα αντίστοιχα συμπεράσματα που προκύπτουν αν

α) Δ = 0 β) Δ < 0 γ) Δ > 0

για την ύπαρξη, καθώς και για το πλήθος των

;ριζών της

Θέμα 7

2Ποια είναι η διακρίνουσα της εξίσωσης αx + βx + γ = 0 και πως αυτή

επηρεάζει τη λύσης της;

Θέμα 8

2Να γράψετε σε μορφή γινομένου το τριώνυμο αx +βx + γ = 0, α 0

Θέμα 9 Ποια εξίσωση λέγεται κλασματική;

Θέμα 10 Πως συγκρίνουμε (διατάσουμε) δύο πραγματικούς αριθμούς;


17

Θέμα 11 Να γράψετε τις ιδιότητες της διάταξης. Θέμα 12 Να αποδείξετε ότι αν και στα δύο μέλη μιας ανισότητας προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό,

προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά. Δηλαδή, αν α > β τότε α + γ > β + γ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΡΙΣΕΩΣ Θέμα 13

2Να καθορίσετε το είδος των ριζών της εξίσωσης 3x + 5x + 8 = 0 χωρίς να τη λύσετε

Θέμα 14

2

2

Να προσδιορίσετε το είδος των λύσεων των εξισώσεων

Α. - 2x + 5x - 6 = 0

Β. - x + 3x + 2 = 0

Θέμα 15

2

2 2

Η εξίσωση 2x - 2x - 4 = 0 έχει λύσεις τους αριθμούς -1 και 2.

Ισχύει ότι το τριώνυμο 2x - 2x - 4 γράφεται 2x - 2x - 4 = x + 1 x - 2

(Να δικαιολογηθεί η απάντηση)

Θέμα 16

4x - 2 3Είναι η x = 1 λύση της εξίσωσης = ή όχι

2x - 2 3x - 3


Θέμα 17

2

2

xΓια ποιες τιμές του x ορίζονται οι όροι της εξίσωσης = x

1 + x


Θέμα 18 Ποιες ιδιότητες της διάταξης χρησιμοποιούμε ώστε από την ανίσωση 5x - 3 > 5

8να οδηγηθούμε στην 5x > 5 + 3, και από την ανίσωση 5x > 8 να οδηγηθούμε στην x > ;

5 Θέμα 19

Αν είναι -2 < x <1 και - 5 < y < 3, μεταξύ ποιων ορίων περιέχεται η παράσταση x - y;

Θέμα 20

α γΤι πρέπει να συμβαίνει ώστε η σχέση > αδ > βγ να είναι σωστή;

β δ


18

Θέμα 21

Να απαντήσετε στην ερώτηση και να δικαιολογήσετε την απάντηση σας

Αν ισχύει α > -5 και x > y τότε ισχύει ότι αx > -5y;

Θέμα 22 Να απαντήσετε στην ερώτηση και να δικαιολογήσετε την απάντηση σας

Ισχύει ότι η λύση της ανίσωσης 0x > 5 είναι οι αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι του 5;

Θέμα 23 Να απαντήσετε στην ερώτηση και να δικαιολογήσετε την απάντηση σας

Αν ισχύει αβ > 0 τι συμπέρασμα βγάζετε για τους αριθμούς α και β;

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗΣ Θέμα 24 Δίνεται η πρωτοβάθμια εξίσωση αx + β = 0. Να αντιστοιχήσετε τα στοιχεία της στήλης Α

με τα στοιχεία της στήλης Β για τον πίνακα που ακολουθεί.


1. α = 0 και β = 0

βΑ. Η εξίσωση έχει μοναδική λύση τη x = -

α

2. α 0 Β. Η εξίσωση είναι αδύνατη

3. α = 0 και β 0 Γ. Η εξίσωση είναι αόριστη ή ταυτότητα

Θέμα 25 Να αντιστοιχίσετε σε κάθε περίπτωση της στήλης Α το σωστό συμπέρασμα από τη στήλη Β


1. Δ > 0 Α. Η εξίσωση δεν έχει λύση

2. Δ < 0 Β. Η εξίσωση έχει μία διπλή λύση

3. Δ = 0 Γ. Η εξίσωση έχει δύο άνισες λύσεις

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΟΥ

Θέμα 26

2

1

2

Δίνεται η δευτεροβάθμια εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0

Να συμπληρώσετε τους τύπους

Δ = ..........

x = ..........

x = ..........


19

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Θέμα 27 Να λύσετε τις εξισώσεις

2 2

2 22

2

2

1 4x + 12x - 7 = 0 2 3 x + 2 - 8x = 4 - 3x

3 6x - 3x x - 1 = x + 3 - 4 4 2x - 3 - 9x = x - 1 x - 4

3x + 1 4 2x - 13x + 15 - =

x - 3 x - 5 x - 8x + 15

2

2

2 3

1 x + 1 16 - =

x + 3x + 2 2x + 4 x + 1

2x 12 3x x + 1 x - 2 127 - = - 2 8 + =

x + 1 4 - 2x x - 2 x - 3 x x - 3x

1 1 x + 4 2x - 4 x - 19 + - = 0 10 -

x + 1 1 - x x - x x - 3 x +

2

2 2 2

2 3 2

2

8=

1 x - 2x - 3

1 2x - 1 x + 2 2x + 1 411 = 12 - =

x - 4x + 4 x - 4 x + 3 x - 1 x + 2x - 3

1 1 x + 4 x - 1 2 3 + x13 + = 14 - =

x + 1 1 - x x - x x x + 1 x + x

1 115 -

x - 2x + 1 2x

2 2

2

2 2 2 2

5 3x x + 4= - 16 1 + =

- 2 6 - 6x x - 2 x - 3x + 2

3x + 1 4 2x - 13x + 1 3 1 6x17 - = 18 + =

x - 3 x - 5 x - 8x + 15 x - x x + x x - 1

2

2

2 1 6 3 - x19 + - 1 = 0 20 - = 2

x - 1 x + 1 x x + 1

6 x + 2 x + 1 2 121 - = 22 + - 1 = 0

x + 3x x x + 3 x - 1 x + 1 x + 1

923 + 9 = 2x

x + 4

2 22

2 2

x - 1 2 x + 3 24 - =

x x + 1 x x + 1

x + 1 3x - 3 325 - = 26 x + 24x + 7 = x + 8 - x - 8

x - 2x x - x x + 2

Θέμα 28

2

2

Να λυθούν οι εξισώσεις

Α. x + 5x + 6

Β. 3x - 5x + 2

Θέμα 29

2

2 2

Α. Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση 2x + 4x + 3 = 0

Β. Να λυθεί η εξίσωση 5x - 4x + 2 = 2x + 3x - 2

Θέμα 30

2

2

Α. Να επιλύσετε την εξίσωση δευτέρου βαθμού 3x + 4x - 4

Β. Αφού βρείτε τις λύσεις της ανωτέρο εξίσωσης, να παραγοντοποιήσετε

το τριώνυμο 3x + 4x - 4


20

Θέμα 31 2Δίνεται η εξίσωση 3λx - x - 1 = 0. Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες

η εξίσωση:

Α. έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες

Β. έχει δύο ρίζες ίσες

Γ. δεν έχει πραγματικές ρίζες

Θέμα 32

22 λ + 3

Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ, ώστε η εξίσωση x - x - 2λ + 5 = 0λ + 2

να έχει ρίζα τον αριθμό -1

Θέμα 33

2Δίνεται η εξίσωση αx - 3x + 2

Α. Να λυθεί η εξίσωση όταν α = 1

Β. Να λυθεί η εξίσωση όταν α = 2

Θέμα 34

2

2

Να λυθούν οι εξισώσεις

x + 1 1 2x - 33x - 5x + 2 = 0 και - =

x x - 1 x - x

Θέμα 35

2

2 2 2

Να εξετάσετε αν έχουν κοινή λύση οι εξισώσεις

4 3 1x - x - 2 = 0 και - =

x -1 x - x - 2 x + x

Θέμα 36

x + 1 x + 5 4Α. Να λυθεί η εξίσωση + =

x -1 x 1 - x

Β. Να κάνετε επαλήθευση των ριζών στην εξίσωση

Θέμα 37

2

2

Να λύσετε τις εξισώσεις

2x - 2 8 1 - 3xΑ. 3x + x - 2 = 0 Β. - =

x - 2 x - 4 x + 2

και να γράψετε την κοινή τους λύση

Θέμα 38

2

2

2

Α. Να βρεθεί το Ε.Κ.Π. των παραστάσεων

x - 5x + 4, x - 1, x - 4

x x - 1 x - 2x - 2Β. Να λυθεί η εξίσωση + =

x - 1 x - 4 x - 5x + 4

Θέμα 39


21

Αν - 1 < α < 2 και 1 < β < 5 να συμπληρώσετε τα κενά

Α. .......... < 3α < ..........

Β. .......... < -β < ..........

Γ. .......... < 3α - β < ..........

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας

Θέμα 40 Αν -1 < x < 2 και 3 < y < 4 να βρεθεί μεταξύ ποιων αριθμών περιέχονται οι τιμές

τις παράστασης 2x - 3y


22

Κεφάλαιο 3ο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων

Θέμα 1

Δίνονται τα σημεία Α 3,1 ,Β 4,2 . Να βρείτε την ευθεία με εξίσωση αx + y = β που διέρχεται

από τα σημεία Α και Β Θέμα 2

Αν η ευθεία ε : y = αx + β διέρχεται από τα σημεία Α 1,-2 και Β -1,3 ,

να βρεθούν οι αριθμοί α και β

Θέμα 3

Α. Να βρείτε το σημείο Κ στο οποίο τέμνονται οι ευθείες με εξισώσεις 2x + y = 10 και 3x - y = 5

Β. Αν η ευθεία με εξίσωση λ -1 x + 3λ - 2 y = 0 διέρχεται από το σημείο Κ που βρήκατε

στο Α ερώτημα, να βρείτε την τιμή του λ. Θέμα 4

Δίνεται η ευθεία ε : 5x + 4y = α και διέρχεται από το σημείο Α 1,2 .

Να βρείτε την τιμή του α και να προσδιορίσετε τα σημεία που η ευθεία τέμνει τους άξονες

xx' και yy'

Θέμα 5

Να λυθούν τα συστήματα

x + 2 4 - y 5x - y2 3- =

+ = 23 4 4x y1 2

2y - x x + y+ = x + 1 x - y = -1

4 6

2y - 3 = -x3

2x - 3y = 13

y - x x + y 5- - = -

3 2 3 4

x + y y - x- + = -3

3 4

2x - y -y + 4x=

x - 2y = 12 35 6

x - y x + 3 -x + y = 4= 2 -

3 4

2y - x x - 6 2x + y- = 5 -

6 3 127

3x - 12 x - 2y x - y+ = -1 -

2 9 3

2y - x x - 6 2x + y- = 5 -

6 3 12 8

3x - 12 4 x - y+ = -1 -

2 x - 5 3


23

2 2 3 x + 1 + y = 257 x + 1 + 2 - 3y + 10y = 3y + 1

9 10 x + 1- y = -32 x + y + 2x + y = 17

2

x + 2 y - 3 4x - 3 2x + 3y = 20 - x + y- = 211 12 4 6

2 x - 2y + 5 x - 2 = 3y + 415x + 2y = 60

1

2 2x y+ = 2 x + 2 + y - 1 y + 1 = y y + 1 + x

3 23 14 x - 2 y - 2 1x - 1 - =+ y = 3 2 3 32

x + y x - y2 x - 1 - 5 y + 5 = -30-

5 215 16y + 2 x - 3 3- =

4 3 12

5= -

2

2 x - 2y + 3 2x - y = 20

2 y + x - 3 y - 3 = x - 2y + 11 2 x - 1 - y + 1 = -2y + 1

17 18 2x + y x + 2 y + 2 2y + 2= y + x - 3 - = - 3

3 3 2 3

x + y 7 x - y= - -

2 6 319

2 x - y - x - 4y = 13

x + 1 y - 1+ = 5

3 2 20

3 x - 1 - 2 y - 6 = 15 - x

x 3 2 - y- =

2x - 3y = -21 2 2 421 22

x - 3 y + 29x + 5y = -2- = -2

3 2

-x + y = -423

x - 3y = 7

2 2 2

2 x - 1 + 3y = -2 24

3x - 5 y - 1 = 24

y - 1 x + 2 y 1x + 1 y - 1 - = -+ = 02 6 6 325 262 3

2x - 3y = 1 3x + 2 y - 1 - x - 2 x + 2 = 2y - x + 1

x - 1- y = 1

427

x y+ = -1

6 4

2x - 4y = -4 28

3x + 10y = -14

x - y x2x - y = -2 - = 1

29 30 2 3-3x + 2y = 3

x + 2y = 1

2x + y = 531

3x - 2y = 4

2

2

x y + 4 = y x - 6 - 3 5 - x32

x - 1 x + 2y = x + y - y y + 1

x+ y = 1x - y = 3 3

33 343x - 3xy = 10

x + y = 02


24

2

2

4 φ + ω + 3 φ - ω = 36xy - x - 1 = 3 - x - 1 x - y

35 36 φ + ω φ - ω 5- = y - 2 x - 1 x + 1 = 3 - 2x x - 1

2 3 3

3x + y x + y2 y - 1 - x - 2 x+ = -1

4 537 38

-x + 2y x - y- = 3

3 4

2 2+ 2 = 2y - x + 2x

x + 1 1=

y + 5 3

7x + y y - 13 x - y - 2y = 27 - = x + 3

3 339 40x + 8 y - 3

x 9y - 1- = 5- = -x + 14 3

2 4

Θέμα 6

2

Να εξετάσετε αν τα συστήματα

5 - x 2y - 1+ = x + 15x + 2y = 9

4 3 και 3x - y = 1

x + 3 - x - 1 x + 3 + 2y = 20

έχουν κοινή λύση

Θέμα 7 Να λύσετε το σύστημα των εξισώσεων

x - 2y 2x - y x + y 5 1 - 6y- = + και x + y =

3 4 2 12 5

Θέμα 8

Να λύσετε τα συστήματα

4x - 3 2x + 3y = 20 - x + y-x + 5y = 3Α. Β.

2x + 7y = -6 2 x - 2y + 5 x - 2 = 3y + 4

Θέμα 9

Να λύσετε τα συστήματα

x + 2y = 44x - 3y = 5

Α. και Β. 2x - 1 y + 2 13x - 2y = 4 - =

2 3 2

και να βρείτε την κοινή τους λύση x,y

Θέμα 10 Στον αγώνα ποδοσφαίρου Άγιος Δημήτριος - Παναχαική διατέθηκαν εισιτήρια των 20 ευρώ

και των 30 ευρώ. Κόπηκαν συνολικά 4300 εισιτήρια και εισπράχτηκαν 111000 ευρώ.

Να βρείτε πόσα εισιτήρια των 20 ευρώ και πόσα των 30 ευρώ διατέθηκαν στν αγώνα.


25

Θέμα 11

Δύο ακέραιοι αριθμοί έχουν γινόμενο 2. Αν στο διπλάσιο του πρώτου προσθέσουμε τον δεύτερο

βρίσκουμε 5.

Να βρείτε τους αριθμούς.


26

Κεφάλαιο 4ο Συναρτήσεις

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θέμα 1

2Να γράψετε τις συντεταγμένες της κορυφής Κ της παραβολής y = αx +βx + γ, α 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέμα 2 Ο ρωμαίος με στολή μπάσκετ μέσα από μία άδεια στέρνα πετά στην Ιουλιέτα, η οποία βρίσκεται

στο μπαλκόνι της σε ύψος 4m από το έδαφος, τη μπάλα που της έιχε πέσει. Η μπάλα διαγράφει

παραβολική τροχία 9

με μέγιστο ύψος m, όπως φαίνεται στο σχήμα.2

Να υπολογίσετε την εξίσωση της παραβολής.

Επίσης, αν υποθέσουμε ότι η Ιουλιέτα και το σπίτι της είναι πλάσματα της φαντασίας του Ρωμαίου,

οπότε η μπάλα ανεμπόδιστα συνεχίζει τη διαδρομή της και πέφτει στο έδαφος στο σημείο Ε,

ποια είναι η τετμημένη του Ε;

Θέμα 3 Α. Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής του σχήματος

Β. Να σχεδιάσετε τη συμμετρική της ως προς τον άξονα xx', και στη νέα παραβολή να βρεθούν εκείνα

τα σημεία που έχουν τετμημένη - 16

Θέμα 4


27

2Μία παραβολή έχει τη μορφή y = αx + βx και διέρχεται από τα σημεία Λ 2,8 και Μ 3,6 .

Α. Να βρεθεί η παραβολή (δηλαδή τα α και β)

Β. Η κορυφή της παραβολής είναι μέγιστο ή ελάχιστο;

Γ. Να βρεθούν οι συντεταγμένες της κορυφής

Θέμα 5

2Δίνεται η τετραγωνική συνάρτηση y = x - 2x + 3

β ΔΑ. Χρησιμοποιώντας τον τύπο Κ - ,- να βρείτε την κορυφή της παραβολής

2α 4α

και στη συνέχεια να κάνετε πίνακα τιμών

Β. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση, τον άξονα συμμετρίας και να βρείτε το μέγιστο ή το

ελάχιστο της συνάρτησης


28

Γενικά θέματα Άλγεβρας

Θέμα 1

2 2Α. Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση Α = x + 9 - 6x x + 9 + 9x

Β. Να λύσετε την εξίσωση Α = 25

Θέμα 2

2 2

2 2

Α. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις

2x - 4x x - 2x + 1Α = και Β =

x - 3x + 2 x - 1

Β. Αφού απλοποιήσετε τις παραστάσεις να λύσετε την εξίσωση Α - 2Β = 1

Θέμα 3

2 3 2

Δίνονται οι παραστάσεις

Α = 5x - 5x, Β = x - x, Γ = 3x + 9, Δ = 2x + 8x + 6

Α. Να παραγοντοποιήσετε τις Α,Β,Γ,Δ και να απλοποιήσετε τα κλάσματα

Α Γ και

Β Δ

Α 5 Γ 3 Α Γ 5Β. Αν = και = , να λύσετε την εξίσωση - =

Β x + 1 Δ 2x + 2 Β Δ 2

Θέμα 4

3 2 2 3 2

Δίνονται τα πολυώνυμα

Α x = 2x - x - 2x - 4x , Β x = 8x - 32x , Γ x = 2x + 5x - 3

Α. Να δείξετε ότι :

Α x = x 2x - 1 2x + 1 , Β x = 8x 1 + 2x 1 - 2x , Γ x = x + 3 2x - 1

Α x Α xB. Απλοποιήστε τα κλάσματα Κ = και Λ =

Β x Γ x

Γ. Εάν x > 1 δείξτε ότι Γ x > 4 Δ. Λύστε την εξίσωση Λ + 16Κ = 0

Θέμα 5

2 2

2x + 3 x - 1Δίνεται η παράσταση Α = -

x - 1 x - 2x + 1

Α. Να βρεθούνοι τιμές του x για τις οποίες δεν ορίζεται η παράσταση Α

x + 2Β. Να δείξετε ότι Α =

x - 1 x + 1

4Γ. Να λυθεί η εξίσωση Α =

5


29

Θέμα 6

2 2

2 2

Α. Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα

3x + 3, x - 1, x - x

Β. Αφού αντικαταστήσετε κάθε πολυώνυμο, να λύσετε την εξίσωση

3x + 3 2 2- =

x - 1 x - x x

Θέμα 7

2 2 2 3

2 3

2 2

Α. Να αναλύσετε σε γινόμενα τις παραστάσεις

i. 3x + 6x ii. x - 4x + 4 iii. 2x - 8 iv. x - 8

3x + 6x x - 8B. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις Α = και Β =

2x - 8 4 x - 4x + 4

Γ. Να λύσετε την εξίσωση Α - Β = 0

Θέμα 8

2

2

2

Α. Να λύσετε την εξίσωση x - 2x - 15 = 0

Β. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις x + 2x - 3 και 2x - 2

x + 2 4 x + 1Γ. Να λύσετε την εξίσωση - =

x + 3 x + 2x - 3 2x - 2

Θέμα 9

2

3 2

Α. Να απλοποιήσετε τις ρητές αλγεβρικές παραστάσεις

5x - 5x 3x + 9Α = και Β =

x - x 2x + 8x + 6

5Β. Να λυθεί η εξίσωση Α - Β =

2

Θέμα 10

3 2

2

2 2

Δίνονται οι παραστάσεις Α = x - 1 - x x - 4x + 5 - 7 και

Β = 3 x + 1 - 3 2x + 5

Α. Να αποδείξετε ότι Α = x - 2x - 8 και Β = 3x - 12

ΑΒ. Να απλοποιήσετε το κλάσμα

Β

Γ. Να λύσετε την εξίσωση Α - Β = -8

Θέμα 11

2 3 3

2

Δίνεται το πολυώνυμο P x = x + 1 + x - 1 - x + 7

Α. Να αποδείξετε ότι P x = -2x + 5x + 7

Β. Να παραγοντοποιήσετε το P x

Γ. Να λυθεί η εξίσωση P x = 0


30

Θέμα 12

2

2

2

2 2

2 2 2

Α. Να μετατρέψετε σε γινόμενα τις παραστάσεις

i. x - x - 2

ii. x - 4

iii. x + x

iv. 9 + 2κλ - κ - λ

1 1 2Β. Να λύσετε την εξίσωση + =

x - x - 2 x - 4 x + x

Θέμα 13

2 2

2 2

2

Α. Να αποδείξετε ότι 2x + 1 + x - 3 x + 3 - 5x = 4x - 8

Β. Να λυθεί η εξίσωση

2x + 1 + x - 3 x + 3 - 5x x + 2 x + 3+ =

x - x x x - 1

Θέμα 14

2Α. Αν P x = 3x - x

A. Να βρείτε το P x + 2

Β. Να λύσετε την εξίσωση P x + 2 - 3P x = 10x

Θέμα 15

2 2

2 2

2 2

Α. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις x - 16 και x - 5x + 4

Β. Να βρεθεί το Ε.Κ.Π. των παραστάσεων x - 16 , x - 5x + 4 και 4 - x

1 1 1 - xΓ. Να λυθεί η εξίσωση + + = 0

x - 16 4 - x x - 5x + 4

Θέμα 16

2

3 2

Α. Να απλοποιήσετε τις ρητές αλγεβρικές παραστάσεις

5x - 5x 3x + 9 Α = και Β =

x - x 2x + 8x + 6

5Β. Να λυθεί η εξίσωση Α - Β =

2

Θέμα 17 2 2

2

2

Α. Να λύσετε την εξίσωση 3x - 7x + 2 = 0 και να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο 3x - 7x + 2

3x - 7x + 2Β. Να απλοποιήσετε το κλάσμα Α = και να βρείτε για ποιες τιμές του x δεν ορίζεται.

x - 4

Γ. Να λύσετε την εξίσωση Α5

=x + 2


31

Θέμα 18

2 2Δίνονται οι παραστάσεις Α = 2x - 8 και Β = x - x - 6

Α. Να βρείτε το γινόμενο Α.Β

Β. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις Α,Β

Γ. Να λύσετε την εξίσωση Α = Β

Θέμα 19

2 2 2

2 2 2

Α. Να παραγοντοποιήσετε και να βρείτε το Ε.Κ.Π των παραστάσεων

x - 9, 2x + 6x, x - 6x + 9

3 1 3Β. Να λύσετε την εξίσωση - =

x - 9 x - 6x + 9 2x + 6x

Θέμα 20

2

2

Α. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις

α) 2x + 2 β) 3x - 6 γ) x - x - 2

4 x + 5 2xΒ. Να λύσετε την εξίσωση + =

x - x - 2 2x + 2 3x - 6

Θέμα 21

2

2 2

22 2

x x x 1 6Α. Εάν Α = - : + . 3 - να δείξετε ότι Α = 2x + 6

x - 2 x + 4 - 4x x + x - 6 2 - x x

Β. Εάν x > -3, να δείξετε ότι Α > 0

Γ. Να βρεθούν οι τιμές του x ώστε να ισχύει Α + 3x + 8x - 3 = 0

Θέμα 22

2 2

2 Α+13 2 2

Α. Δίνεται η αλγεβρική παράσταση Α = - - -3α β + 2αβ + 2αβ 2α - 3β + -αβ 4α - 3β

1Να αποδειχθεί ότι Α = 1, αν αβ α - β = - .

11

Β. Να λυθεί η εξίσωση 4x - 2 + 8x - x + 4x - 16 = 0

Θέμα 23

2

2

2 1 12 2Δίνεται η παράσταση Α = - + +

x + 3 2 x - 9 2x - 6

Α. Να βρεθεί το Ε.Κ.Π. των x + 3,2,x - 9,2x - 6

Β. Να λυθεί η εξίσωση Α = 0


32

Θέμα 24

2 2

2 2 2

Δίνονται τα πολυώνυμα

P x = x + 2 - 1 - 2x 1 + 2x + 2x - 1 - 12x και

Q x = x x + 7 x - 7 + 4 x + 5 - x x - 8 - 16

A. Nα γίνουν οι πράξεις ώστε να γράψετε τα πολυώνυμα στην απλούστερη μορφή τους.

Β. Να κάνετε γινόμενο παραγόντων τα πολυώ

νυμα αυτά

Γ. Να λυθεί η εξίσωση P x = Q x

Θέμα 25

2 2

2

x - 25 x - 9x + 20Να γίνουν οι πράξεις και οι απλοποιήσεις στην παράσταση :

x + 2 x - 4

Θέμα 26

2 2 2

1 3 1Να γίνουν οι πράξεις + +

x - 3x + 2 x + x - 2 x - 4

Θέμα 27

2 2

2 2

2 2

x + 5x x - 7x + 10Α. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις Α = και Β =

x - 2x x - 25

Β. Να αποδείξετε ότι Α + Β - Α -Β = 4

Θέμα 28

2 2 3 2Δίνονται τα πολυώνυμα P x = x + x x + 3 + x + 1 x - 3x και Q x = -4x - 4x + 2x + 2

Α. Να τα παραγοντοποιήσετε

P xΒ. Να βρείτε για ποιες τιμές του x δεν ορίζεται το κλάσμα

Q x

Q xΓ. Να απλοποιήσετε το κλάσμα

P x

Θέμα 29

200

5 x - 2y - 3 2x + y = 25

Δίνεται το σύστημα x + y x + 71 - =

3 6

x + 13y = -25Α. Να μετασχηματίσετε το σύστημα στη μορφή

3x + 2y = -1

Β. Να λυθεί το σύστημα του ερωτήματος Α

Γ. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α = x

28 3- y - x - y ,

όπου x,y η λύση του συστήματος


33

Θέμα 30

2 22 2

2 2 2 2

2 2

Α. Να αποδείξετε την ισότητα 13 x + y - 2x + 3y = 2y - 3x

Β. Αν ισχύει 2x + 3y - x + 6y - 5 = 13 x + y

(Υπόδειξη: α + β = 0 Þ α = 0 ή β = 0)

Θέμα 31

2Α. Αφού λύσετε την εξίσωση x - 7x - 8 = 0 να δείξετε ότι έχει θετική ρίζα το 8.

αx + y = 5Β. Αν α η θετική ρίζα του πρώτου ερωτήματος να λύσετε το σύστημα

3x + 2y = -3

Θέμα 32

2 2Δίνονται τα τριώνυμα f x = 2x + 3α + 2β x + 6 και g x = x - 2α - 3β - 25 x - 4

και ότι f 1 = 0 και g 2 = 0

Α. Να βρεθούν τα α και β

Β. Για α = 2 και β = -7 να βρείτε τις ρίζες των τριωνύμων και να γράψετε τα τριώνυμα σε

μορφή γινομένου

Θέμα 33

2 2Να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης Α = y - 2xy + x , αν x,y είναι οι λύσεις του

5x - 2y = 7συστήματος

3x - y = 5

Θέμα 34

2

6κ - 4λ = 2κ - λ - 1Α. Να λυθεί το σύστημα

5κ - 2λ = 4

Β. Για τις τιμές των κ και λ που βρήκατε παραπάνω, να λύσετε την εξίσωση κx - λx = 2

Θέμα 35

3 2Δίνεται το πολυώνυμο P x = αx + β -1 x - 3x - 2β + 6.

Αν P -1 = 0 και P 1 = 0, να υπολογίσετε τις τιμές των α,β


34

ΜΕΡΟΣ Β΄ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ- ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ


35

Κεφάλαιο 1ο Γεωμετρία


Θέμα 1 Να γράψετε τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου. Θέμα 2 Ποια είναι τα δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Θέμα 3 Τι ονομάζουμε διάμεσο σε ένα τρίγωνο; Θέμα 4

.Να αναφέρετε τα είδη των τριγώνων ανάλογα με τις σχέσεις που συνδέονται οι πλευρές τους

Θέμα 5 Πότε δύο τρίγωνα λέγονται ίσα; (ορισμός). Θέμα 6 Να γράψετε τα τρία κριτήρια ισότητας τυχαίων τριγώνων. Σε κάθε περίπτωση να κάνετε σχήμα.

Θέμα 7 Να δώσετε τον ορισμό του ισοσκελούς τριγώνου και να αναφέρετε τις ιδιότητες

που γνωρίζεται γι' αυτό.

Θέμα 8 Να γράψετε τα δύο κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων. Σε κάθε περίπτωση να κάνετε σχήμα.

Θέμα 9

1 2 3Αν στο σχήμα οι ευθείες ε ,ε ,ε είναι παράλληλες και ΑΒ = ΒΓ.

Τι συμπεραίνετε για τα τμήματα ΔΕ και ΕΖ;

Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας, διατυπώνοντας το σχετικό κανόνα.

Θέμα 10 Να γράψετε το θεώρημα για τα ίσα τμήματα μεταξύ παράλληλων ευθειών.


36

Θέμα 11 Τι ιδιότητες έχει το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου;

Να γίνει σχήμα και να γραφεί η ανάλογη μαθηματική σχέση.

Θέμα 12 Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή (διατύπωση- σχέση- σχήμα). Θέμα 13 Ποια η εφαρμογή του θεωρήματος του Θαλή σε τρίγωνο;

(ευθύ και αντίστροφο)

Θέμα 14 Πότε δύο τρίγωνα είναι όμοια; Θέμα 15 Να γράψετε ένα κριτήριο για να είναι δύο τρίγωνα όμοια.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΡΙΣΕΩΣ Θέμα 16 Αν για δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΛΜ ισχύει ότι ΑΒ = ΜΛ, ΒΓ = ΚΜ

και ΑΓ = ΚΛ, να συμπληρώσετε τις ισότητες

Θέμα 17 Ποια από τα παρακάτω ζεύγη τριγώνων είναι ίσα;

Να δικαιολογησετε την απάντηση σας.

Θέμα 18 Να αναφέρετε ποια από τα παρακάτω ζεύγη τριγώνων είναι ίσα γράφοντας ένα Ν για ναι

ή ένα Ο για όχι.


37

Θέμα 19 Είναι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ ίσα; Δικαιολογήστε την απάντηση σας.

Θέμα 20 Αφού βρείτε αν είναι ίσα τα δύο τρίγωνα σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις,

να γράψετε το αντίστοιχο κριτήριο.

Θέμα 21 Να εξηγήσετε γιατί είναι ίσα τα τρίγωνα του σχήματος, και να συμπληρώσετε τις ισότητες

ΑΒ = ..........ΒΓ = ..........

Θέμα 22

ο οΣτο σχήμα είναι = 90 , = 90 και ΒΓ = ΓΕ. Να εξηγήσετε γιατί τα τρίγωνα ΑΒΓ και

ΓΔΕ είναι ίσα, και να συμπληρώσετε τις ισότητες

ΑΒ = ..........ΑΓ = ..........Β = ..........


38

Θέμα 23

ο ο ο οΑν είναι ΑΓ = ΑΕ, Β = 80 , Γ = 40 , Δ = 40 , και Ε = 60 , να εξηγήσετε γιατί είναι ίσα

τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ.

Στη συνέχεια να γράψετε τις ίσες πλευρές τους.

Θέμα 24

1 2 3Αν ε ε ε , να γράψετε τις αναλογίες που ισχύουν στο σχήμα.

Θέμα 25 Να συμπληρώσετε τις αναλογίες που ισχύουν στο σχήμα αν είναι ΔΛ ΑΒ

ΑΔ ΑΔ ΑΓ= .......... = .......... = ..........

ΑΓ ΒΛ ΒΓ

Θέμα 26

1 2 3Στο σχήμα είναι ε ε ε . Να συμπληρώσετε τις αναλογίες :

ΚΛΑ. =

ΚΜ

ΛΜΒ. =

ΡΣ

ΛΜΓ. =

ΛΚ


39

Θέμα 27

1 2 3Στο σχήμα είναι ε ε ε . Να συμπληρώσετε τις αναλογίες

ΑΒ ΒΓ ΑΓ ΑΒ ΑΒ= = και = .........., = ..........

ΒΓ ΑΓ

Θέμα 28 Για δύο σημεία Δ και Ε των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντιστοίχως ενός

τριγώνου ΑΒΓ ισχύουν

Α. ΔΕ ΒΓ τότε ..........

ΑΔ ΑΕΒ. = τότε ..........

ΔΒ ΕΓ

Να κάνετε σχήμα και να συμπληρώσετε τα κενά.

Θέμα 29 Για δύο σημεία Δ και Ε των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντιστοίχως ενός τριγώνου ΑΒΓ με ΔΕ ΒΓ,

να εφράσετε το θεώρημα του Θαλή με σχέσεις στο τρίγωνο ΑΒΓ Θέμα 30

Για δύο σημεία Δ και Ε των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντιστοίχως ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύει

ΑΔ ΑΕ= .

ΔΒ ΕΓ

Τι συμπέρασμα βγάζετε για τις ΔΕ και ΒΓ;

Θέμα 31 Δύο ίσα τρίγωνα είναι όμοια;

Θέμα 32 Δύο όμοια τρίγωνα είναι ίσα;


40

Θέμα 33 Ποιος είναι ο λόγος ομοιότητας δύο ίσων τριγώνων;

(δύο ίσα τρίγωνα είναι όμοια)

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ- ΛΑΘΟΣ

Θέμα 34 Εάν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν δύο πλευρές τους ίσες μία προς μία ίσες τότε είναι ίσα.

Θέμα 35 Αν δύο τρίγωνα έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία , τότε είναι ίσα. Θέμα 36 Σε δύο τρίγωνα απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκονται ίσες πλευρές. Θέμα 36 Σε δύο τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες. Θέμα 37

.Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία, τότε θα έχουν και την τρίτη τους γωνία ίση

Θέμα 38

Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία.

Θέμα 39 Δύο τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία.

Θέμα 40 Αν δύο τρίγωνα έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία, είναι ίσα.

Θέμα 41 Σε δύο ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκονται ίσες πλευρές.

Θέμα 42 Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν δύο αντίστοιχες πλευρές ίσες μία προς μία είναι ίσα.

Θέμα 43 Σ' ένα ισοσκελές τρίγωνο η διάμεσος που αντίστοιχεί στη βάση του είναι ταυτόχρονα

ύψος και διχοτόμος.

Θέμα 44 Όταν δύο γωνίες ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσες με δύο αντίστοιχες γωνίες ενός άλλου,

τότε τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα.

Θέμα 45 Δίνονται τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές, ποιες λάθος και γιατί;


41

ο90

ο

α) Aν Α = Α', ΑΒ = Α'Β' και ΒΓ = Β'Γ' τότε τα τρίγωνα είναι ίσα

β) Aν Α = Α' = 90 , Β = Β' και ΒΓ = Β'Γ' τότε τα τρίγωνα είναι ίσα

γ) Aν Α = Α', Β = Β' και Γ = Γ' τότε τα τρίγωνα είναι ίσα

δ) Aν Β = Β' , ΑΒ = Α'Β' και ΑΓ = Α'Γ' τότε τα τρίγωνα είναι ίσα

Θέμα 46 Αν τρεις παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, τότε τα τμήματα που ορίζονται

στη μία είναι ίσα προς τα αντίστοιχα που ορίζονται στην άλλη.

Θέμα 47 Στο τρίγωνο είναι ΔΕ ΒΓ. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) κάθεμια

από τις παρακάτω αναλογίες

ΑΔ ΑΕ ΑΔ ΔΒ ΑΔ ΔΒ ΑΔ ΑΕΑ. = Β. = Γ. = Δ. =

ΔΒ ΕΓ ΑΕ ΕΓ ΑΕ ΑΓ ΑΒ ΑΓ

Θέμα 48 Έαν δύο ισοσκελή τρίγωνα έχουν τις γωνίες των κορυφών ίσες τότε είναι όμοια.

Θέμα 49 Εάν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μία οξεία γωνία ίση, τότε είναι όμοια.

Θέμα 50 Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι όμοια.

Θέμα 51 Δύο ισόπλευρα τρίγωνα είναι όμοια.

Θέμα 52 Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία είναι όμοια.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Θέμα53 Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών ΑΒ, ΑΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ, παίρνουμε

σημεία Δ,Ε αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΔ = ΓΕ. Να δείξετε ότι ΑΔΓ = ΑΕΒ

Θέμα 54 Από το μέσο Δ της βάσης ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) φέρουμε τις

ΔΕ P ΒΑ και ΔΖ P ΓΑ.

Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΖΔΒ και ΔΓΕ


42

Θέμα 55 Σε τρίγωνο ΑΒΓ, φέρουμε τη διάμεσο ΑΜ στην πλευρά ΒΓ και τα σημεία Δ και Ε στην ευθεία ΑΜ

τέτοια ώστε ΜΔ = ΜΕ. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΒΔΜ και ΓΜΕ είναι ίσα.

Θέμα 56 Στη βάση ΒΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ, να πάρετε τα σημεία Δ και Ε

τέτοια ώστε ΒΔ = ΓΕ. Να αποδείξετε ότι ΑΔ = ΑΕ.

Θέμα 57 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και ένα τυχαίο σημείο Κ της πλευράς ΑΒ.

Προεκτείνουμε την ΑΓ κατά τμήμα ΓΔ = ΒΚ. Το τμήμα ΚΔ τέμνει τη ΒΓ στο Μ.

Προεκτείνουμε και τη ΓΒ κατά τμήμα ΒΕ = ΓΜ.

Να δείξετε ότι :

Α. ΚΕ = ΜΔ Β. ΚΕΒ = ΓΜΔ Γ. το τρίγωνο ΚΕΜ είναι ισοσκελές

Θέμα 58

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Προεκτείνουμε την πλευρά ΒΓ και από τα δύο

άκρα και πάνω στις προεκτάσεις παίρνουμε τμήματα ΒΔ = ΓΕ. Να δειχθεί ότι ΑΔ = ΑΕ Θέμα 59 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ μα ΑΒ = ΑΓ. Αν Μ είναι τυχαίο σημείο του ύψους ΑΔ,

να αποδείξετε ότι :

Α. τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΑΜΓ είναι ίσα

Β. ΜΒΔ = ΜΓΔ

Θέμα 60 Στο σχήμα είναι ΑΒ = ΑΓ και ΒΔ = ΓΕ

Α. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΓΔ και ΑΒΕ είναι ίσα

Β. Να γράψετε τις ισότητες πλευρών - γωνιών που προκύπτουν από την ισότητα των τριγώνων

Θέμα 61 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και η διχοτόμος του ΑΔ.

Πάρτε τυχαίο σημείο Μ πάνω στη διχοτόμο και φτιάξτε τη ΜΒ και τη ΜΓ.

Να αποδείξετε ότι :

Α. τα τρίγωνα ΑΜΒ και ΑΜΓ είναι ίσα

Β. το τρίγωνο ΜΒΓ είναι ισοσκελές


43

Θέμα 62

Σε τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ < ΑΓ) προεκτείνουμε την ΑΒ προς το μέρος του Β και παίρνουμε

σημείο Δ έτσι ώστε ΑΔ = ΑΓ. Στην πλευρά ΑΓ παίρνουμε σημείο Ε έτσι ώστε ΑΒ = ΑΕ.

Να αποδείξετε ότι ΔΕ = ΒΓ

Θέμα 63 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και ΒΔ,ΔΕ διχοτόμοι του που τέμνονται στο Ο.


Α. τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΑΕΓ είναι ίσα

Β. τα τρίγωνα ΟΕΒ και ΟΔΓ είναι ίσα

Γ. Η ΟΑ είναι διχοτόμος της Α

Θέμα 64 Στο ισοσκελές τρίγωνο του σχήματος το σημείο Μ είναι μέσο της βάσης ΒΓ. Αν ΒΔ = ΓΕ,


Α. το τρίγωνο ΜΔΕ είναι ισοσκελές

Β. τα τρίγωνα ΑΔΜ και ΑΕΜ είναι ίσα.

Θέμα 65 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Πάνω στην ΑΒ παίρνουμε σημείο Δ,

και πάνω στην ΑΓ σημείο Ε έτσι ώστε ΑΔ = ΑΕ. Αν Μ είναι το μέσο της βάσης ΒΓ,

να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΔΜΕ είναι ισοσκελές.

Θέμα 66

Στο σχήμα είναι ΟΑ = ΟΕ και ΟΒ = ΟΖ. Να αποδείξετε ότι :

Α. τα τρίγωνα ΟΑΖ και ΟΒΕ είναι ίσα

Β. τα τρίγωνα ΚΑΒ και ΚΕΖ είναι ίσα


44

Θέμα 67 Δίνεται γωνία xΟy. Στην Οx παίρνουμε δύο σημεία Α,Β και στην Οy δύο σημεία Γ,Δ,

έτσι ώστε ΟΑ = ΟΓ και ΟΒ = ΟΔ. Αν Μ είναι τυχαίο σημείο στη διχοτόμο Οζ της γωνίας xΟy,

να δείχθεί ότι ΑΜΒ = ΓΜΔ

Θέμα 68

Να φτιάξετε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ, να βρείτε τα μέσα Κ,Λ,Μ των πλευρών ΑΒ,ΒΓ,ΓΑ

αντίστοιχα και να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΛΜ είναι και αυτό ισόπλευρο.

Θέμα 69 Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ,ΒΓ,ΓΑ κατά τμήματα

ΒΔ = ΓΕ = ΑΖ αντίστοιχα. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισόπλευρο.

Θέμα 70 Να αποδειχθεί ότι αν ένα τρίγωνο έχει δύο ύψη ίσα, είναι ισοσκελές.

Θέμα 71 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ), να αποδείξετε ότι :

Α. τα ύψη ΒΔ και ΓΕ είναι ίσα

Β. τα τμήματα ΒΕ και ΓΔ είναι ίσα

Θέμα 72 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Φέρουμε τη διάμεσο ΑΜ και τις αποστάσεις ΒΔ και ΓΕ των κορυφών

Β και Γ από την ΑΜ. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΒΔΜ και ΓΕΜ είναι ίσα.

Θέμα 73

οΔίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ Α = 90 και η διχοτόμος του ΒΔ. Αν ΔΕ ΒΓ,

να αποδείξετε ότι : Α. ΑΒ = ΒΕ Β. ΒΔ ΑΕ Θέμα 74

Δίνεται ισοσκελέ ς τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Κ, Λ τα μέσα των ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.

Να φέρετε τα τμήματα ΚΜ και ΛΝ κάθετα στη ΒΓ. Να αποδείξετε (χωρίς μέτρηση) ότι ΜΒ = ΝΓ. Θέμα 75

Στο σχήμα, το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. Φέρνουμε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΗ και ΓΖ

έτσι ώστε ΑΗ ΔΒ και ΓΖ ΔΒ. Να αποδείξετε ότι ΑΗ = ΓΖ.


45

Θέμα 76 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και Μ το μέσο της βάσης ΒΓ.

Από το Μ να φέρετε τα τμήματα ΜΚ και ΜΛ κάθετα προς τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.

Να δείξετε ότι :

Α. τα τρίγωνα ΚΒΜ και ΛΓΜ είναι ίσα

Β. το τρίγωνο ΑΚΛ είναι ισοσκελές.

Θέμα 77

Το τρίγωνο ΑΒΓ του σχήματος είναι ισοσκελές με ΑΒ = ΑΓ. Αν Μ είναι το μέσο της βάσης ΒΓ και

ΜΔ ΑΒ και ΜΕ ΑΓ, να αποδείξετε ότι :

Α. ΜΔ = ΜΕ

Β. Η ΑΜ είναι διχοτόμος της γωνίας ΔΜΕ

Θέμα 78 Στο σχήμα είναι ΟΑ = ΟΒ. Να αποδείξετε ότι :

Α. το τρίγωνο ΟΓΔ είναι ισοσκελές

Β. η ΟΜ είναι διχοτόμος της γωνίας ΓΟΔ

Θέμα 79

Στο σχήμα είναι ΟΑ = ΟΒ, ΓΒ ΟΔ, ΔΑ ΟΓ. Να αποδείξετε ότι :

Α. Το τρίγωνο ΟΓΔ είναι ισοσκελές

Β. Το σημείο Μ ανήκει στη μεσοκάθετο του ΓΔ


46

Θέμα 80 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ προς τα σημεία Β και Γ

και πάνω στις προεκτάσεις παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία Ε και Ζ έτσι ώστε ΒΕ = ΓΖ.


Α. τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΓΖ είναι ίσα

Β. το τρίγωνο ΑΕΖ είναι ισοσκελές

Γ. οι αποστάσεις των κορυφών Β και Γ από τις ΑΕ και ΑΖ αντίστοιχα είναι ίσες.

Θέμα 81

Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ, προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ κατά τμήματα ΒΔ = ΓΕ.

Α. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές

Β. Φέρουμε ΒΚ ΑΔ και ΓΛ ΑΕ. Να αποδείξετε ότι ΒΚ = ΓΛ

Θέμα 82

Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και πάνω στις ίσες πλευρές παίρνουμε τα τμήματα

ΑΕ και ΑΖ ώστε ΑΕ = ΑΖ και Μ το μέσο της ΒΓ.

Α. Να αποδείξετε ότι ΜΕ = ΜΖ

Β. Αν ΕΚ ΒΓ και ΖΛ ΒΓ, να αποδείξετε ότι ΕΚ = ΖΛ

Θέμα 83

Το τρίγωνο ΑΒΓ του σχήματος είναι ισοσκελές με ΔΒ = ΓΕ, ΔΖ ΒΓ και ΕΗ ΒΓ.

Α. Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΔΒΖ και ΓΕΗ και να αποδείξετε ότι ΖΒ = ΓΗ

Β. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΖΗ είναι ισοσκελές


47

Θέμα 84 Στο σχήμα είναι ΓΔ ΑΒ και ΓΔ = ΔΕ. Να αποδείξετε ότι :

Α. ΑΕ = ΑΓ

Β. ΒΕ = ΒΓ

Γ. τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΒΕ είναι ίσα.

Θέμα 85 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και Μ το μέσο της ΒΓ.

Στις προεκτάσεις των ΑΒ και ΑΓ (προς το μέρος των Β και Γ) παίρνουμε αντίστοιχα τμήματα

ΒΔ = ΓΕ. Να αποδείξετε ότι :

Α. ΔΜ = ΕΜ

Β. τα Δ και Ε ισαπέχουν από τη ΒΓ

Θέμα 86

οΣτο τραπέζιο ΑΒΓΔ του σχήματος είναι ΑΔ P ΒΓ και = = 90 . Αν το Ε είναι σημείο της

ΑΒ και ισχύει ΑΕ = ΒΓ και ΕΒ = ΑΔ, να αποδείξετε ότι :

Α. το τρίγωνο ΔΕΓ είναι ισοσκελές

Β. Η γωνία ΔΕΓ είναι ορθή

Γ. Αν Μ είνΓΔ

αι το μέσο της ΔΓ, να δικαιολογηθεί γιατί ΕΜ =2

Θέμα 87 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) είναι Δ και Ε τα μέσα των ίσων πλευρών και Μ το μέσο της

βάσης ΒΓ, να αποδείξετε ότι :

Α. τα τρίγωνα ΒΔΜ και ΓΕΜ είναι ίσα

Β. το τετράπλευρο ΑΔΜΕ είναι ρόμβος (δηλαδή παρ/μο με όλες τις πλευρές ίσες)


48

Θέμα 88 οΔίνεται τρίγωνο ΑΒΓ ώστε ΒΑΓ = 90 και ΒΑ = ΑΓ. Στην προέκταση του ΓΑ προς το μέρος του Α

παίρνουμε τμήματα ΑΔ = ΑΓ.

Α. Να αποδείξετε ότι ΒΔ = ΒΓ

Β. Να υπολογίσετε τις γωνίες ΒΓΑ, ΒΔΑ

Γ. Να αποδείξετε ότι ΔΒΓ = 90ο

Θέμα 89 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒΓ) παίρνουμε τα μέσα Κ,Λ,Μ των ΑΒ,ΒΓ,ΓΑ αντίστοιχα.

Να συγκρίνετε

Α. τα τρίγωνα ΒΛΚ και ΓΛΜ

Β. τα τμήματα ΛΚ και ΛΜ

Θέμα 90 Δύο κύκλοι με κέντρα Κ και Λ τέμνονται στα σημεία Α και Β.Να δείξετε ότι :

Α. τα τρίγωνα ΚΑΛ και ΚΒΛ είναι ίσα

Β. τα τρίγωνα ΚΑΓ και ΚΒΓ είναι ίσα

Γ. η ευθεία ΚΛ είναι μεσοκάθετος του ΑΒ

Θέμα 91 Αν Ο είναι το κέντρο του κύκλου και οι χορδές ΑΒ και ΑΓ είναι ίσες,


Α. η ΟΑ είναι διχοτόμος της γωνίας ΒΑΓ

Β. η ΟΑ είναι μεσοκάθετος της χορδής ΒΓ

Θέμα 92 Δίνεται κύκλος (Ο,ρ) όπου ρ = 3cm και χορδή ΑΒ. Προεκτείνουμε την ΑΒ κατά ίσα τμήματα

ΑΓ και ΒΔ.

Να αποδείξετε ότι ΟΓΑ = ΟΔΒ.


49

Θέμα 93 Στο τραπέζιο του σχήματος η ΕΖ είναι παράλληλη στις βάσεις ΑΒ και ΔΓ. Αν είναι ΕΔ = 9m,

ΒΖ = 8m

και το τμήμα ΖΓ είναι διπλάσιο από το ΑΕ, να υπολογίσετε το τμήμα ΑΕ.

Θέμα 94 Στο τραπέζιο ΑΒΓΔ η ΕΖ είναι παράλληλη στις βάσεις του.

Να υπολογίσετε τα ευθύγραμμα τμήματα ΒΖ και ΖΓ, αν γνωρίζετε ότι ΑΕ = 4cm, ΕΔ = 6cm

και ΒΓ = 8cm.

Θέμα 95 Στο τρίγωνο ΑΒΓ του σχήματος, το ΔΕ είναι παράλληλο στη βάση ΒΓ. Αν ΑΔ = 2cm, ΑΕ = xcm,

ΔΒ = x + 1cm και ΕΓx + 6cm, να υπολογίσετε το x και τις πλευρές ΑB και ΑΓ του τριγώνου.


50

Θέμα 96 Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε ΚΛ ΒΓ και ΛΜ ΑΒ που τέμνουν τις ΑΒ,ΑΓ και ΒΓ στα σημεία

Κ,Λ,Μ αντίστοιχα.

ΑΚ ΒΜΝα δείξετε ότι =

ΚΒ ΜΓ

Θέμα 97 Στο σχήμα είναι ΑΕ ΒΖ. Αν ΟΑ = x + 4, ΑΒ = x -1, ΟΓ = x + 4, ΓΔ = x, ΟΕ = y + 6, ΕΖ = y,

να υπολογίσετε το x και το y

Θέμα 98 Στο σχήμα ισχύει ΕΖ ΔΓ και ΖΗ ΑΒ. Να υπολογίσετε τους αριθμούς x και y.

Θέμα 99 Στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΔΕ ΒΓ. Να υπολογίσετε τα x και y.


51

Θέμα 100 Στο σχήμα είναι ΕΖ ΒΓ και ΖΗ ΓΔ. Να υπολογίσετε τα x και y.

Θέμα 101 Στο σχήμα είναι ΕΔ ΑΒ, ΕΖ ΑΔ, ΕΓ = 24m, ΖΓ = 16m, ΑΕ = x + 6, ΒΔ = y και ΔΖ = x.

Να υπολογίσετε τα x και y.

Θέμα 102 Στο σχήμα είναι ΒΔ ΓΕ και ΔΖ ΕΗ. Αν είναι ΒΓ = 4, ΑΔ = 9, ΔΖ = 3 ΑΒ = ΔΕ = x και ΕΗ = y,

να υπολογίσετε τα μήκη x και y.

Θέμα 103

1 2 3 4

2

Στο σχήμα είναι ε ε ε ε και ΑΒ = x, ΒΓ = 6, ΓΔ = x + 2y , ΕΖ = 2, ΖΗ = x + 1,

ΗΘ = y - 3.

Να υπολογιστούν τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ,ΓΔ,ΗΘ.


52

Θέμα 104

οΔίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ = 90 . Από το μέσο Μ της ΑΒ φέρνουμε ΜΔ κάθετη στη ΒΓ.

Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΜΒΔ είναι όμοια και να γράψετε τους ίσους λόγους

που προκύπτουν από την ομοιότητα.

Θέμα 105 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόμος του ΑΕ. Στην προέκταση της διχοτόμου θεωρούμε σημείο Δ

τέτοιο ώστε ΑΒ = ΒΔ.

Α. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΕΓ και ΒΕΔ είναι όμοια.

Β. Να γράψετε τους λόγους που προκύπτουν από την ομοιότητα των παραπάνω τριγώνων.

Γ. Αν ΑΓ = 10cm, AE = 4cm και ΑΔ = 6cm, να υπολογίσετε το τμήμα ΔΕ.


53

Θέμα 106 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Από το Ε, σημείο της ΒΔ, φέρουμε τη ΖΗ που τέμνει την

ΑΔ στο Ζ και τη ΒΓ στο Η.

Α. Να δειχθεί ότι τα τρίγωνα ΕΖΔ και ΒΕΗ είναι όμοια.

Β. Να γράψετε τους ίσους λόγους που προκύπτουν.

Γ. Αν ΕΗ = 8m, ΕΒ = 14m, ΕΖ = 12m, να υπολογίσετε την ΕΔ.

Θέμα 107 Σε οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε τα ύψη ΑΔ και ΒΕ. Να αποδείξετε ότι :

Α. τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΒΕΓ είναι όμοια.

Β. Να γράψετε τους ίσους λόγους.

Θέμα 108

Στο τρίγωνο ΑΒΓ του σχήματος, τα Δ και Ε είναι σημεία των ΑΒ και ΑΓ τέτοια ώστε ΑΕΔ = ΑΒΓ.

Α. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΕΔ είναι όμοια.

Β. Να γραφεί ο λόγος ομοιότητας λ.

Γ. Αν είναι ΑΔ = 4,ΒΔ = 1 και ΑΓ = 10, να βρείτε το τμήμα ΑΕ.

Θέμα 109

οΣτο σχήμα δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( = 90 ) και ΔΕ ΒΓ.


Α. τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΚΕΓ είναι όμοια και να γράψετε τους ίσους λόγους.

Β. τα τρίγωνα ΚΕΓ και ΚΑΔ είναι όμοια και να γράψετε τους ίσους λόγους.


54

Θέμα 110 Στο σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ = ΑΓ και Δ,Ε,Μ τα μέσα των

ΑΒ,ΑΓ,ΔΕ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι :

Α. Το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ισοσκελές.

Β. Τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΒΓ είναι όμοια.

Γ. Τα τρίγωνα ΒΔΜ και ΓΕΜ είναι ίσα.

Θέμα 111 Στο σχήμα γνωρίζουμε ότι ΑΒ P ΓΔ.

Α. Να υπολογίσετε τα μήκη των ευθύγραμμων τμημάτων ΑΔ και ΒΓ

Β. Να βρείτε το λόγο των εμβαδών των τριγώνων ΕΓΔ και ΑΕΒ

Θέμα 112

2

Στο σχήμα είναι ΑΒ = 10cm, ΒΔ = 8cm, ΒΕ = 4cm και ΒΕΔ = ΒΑΓ.

Α. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΔΕ είναι όμοια.

Β. Να βρεθεί το μήκος της πλευράς ΒΓ.

Γ. Αν το εμβαδόν του τριγώνου ΒΔΕ είναι 10cm , να βρε .θεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ


55

Θέμα 113 Αν Δ,Ε είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ αντίστοιχα, τότε :

Α. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΒΓ είναι όμοια

Β. Να γράψετε τους ίσους λόγους που προκύπτουν.

Γ. Να υπολογίσετε το λόγο

ΑΔΕ

ΑΒΓ

Θέμα 114

2

Στο σχήμα, το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο και τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΓΔΖ είναι ισόπλευρα.

Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΖ και ΓΔΕ είναι όμοια και ότι ΖΑ.ΕΔ = α , όπου α η πλευρά

του τετραγώνου.

(Υπόδειξη: αρχίστε υπολογίζοντας τις γωνίες του τριγώνου ΑΔΖ)

Θέμα 115

Το τρίγωνο ΑΒΓ του σχήματος είναι ισοσκελές με ΑΒ = ΑΓ. Αν είναι ακόμη ΔΒ = ΓΕ, ΔΖ ΒΓ,

ΕΗ ΒΓ και ΑΚ ΒΓ.

Α. να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΔΒΖ και ΓΕΗ και να αποδείξετε ότι ΖΒ = ΓΗ

Β. να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΔΒΖ και ΑΒΚ είναι όμοια

Γ. να γράψετε τους λόγους ομοιότητας των τριγώνων ΔΒΖ και ΑΒΚ


56

Θέμα 116 Αν στο σχήμα είναι ΗΘ ΑΕ ΒΖ, να υπολογίσετε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ = x, ΟΕ = y, ΟΘ = ω

Θέμα 117

1 2 3

1 3

Στο σχήμα οι ευθείες ε ,ε ,ε είναι παράλληλες και ΑΒ = 12m, ΒΓ = 16m

Aν η απόσταση των ε ,ε είναι 21m, να υπολογίσετε τα τμήματα x = ΕΖ και y = ΕΔ


57

Κεφάλαιο 2ο Τριγωνομετρία


Θέμα 1 Με τη βοήθεια του σχήματος, να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.

Θέμα 2

ο οΝα δώσετε τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών γωνίας ω με 0 < ω < 180

Α. οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο

Β. Αμβλείας γωνίας σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων xΟy

Θέμα 3

ο ο

Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων xOy να πάρετε ένα σημείο

Μ x,y στο 1 ή στο 2 τεταρτημόριο και να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς

αριθμούς της γωνίας ω = xΟΜ με ΟΜ = ρ.

Επίσης να γράψετε τη σχέση του ρ με τις συντεταγμένες του Μ

Θέμα 4 Ποιες τιμές μπορεί να πάρει το ημίτονο και το συνημίτονο μιας γωνίας ω;

Δικαιολογήστε την απάντηση σας

Θέμα 5 Τι γνωρίζεται για τα πρόσημα των τριγωνομρτρικών αριθμών οξείας και αμβλείας γωνίας.

Θέμα 6

ο

Ποιες σχέσεις ισχύουν για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς δύο παραπληρωματικών γωνιών

ω και 180 - ω;


58

Θέμα 7 2 2Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε γωνία ω ισχύει ότι ημ ω + συν ω = 1

Θέμα 8 Ποια είναι η θεμελιώδης τριγωνομετρική ταυτότητα; Θέμα 9

ημωΝα αποδείξετε την ισότητα εφω =

συνω

Θέμα 10 Δίνεται τυχόν τρίγωνο ΒΓΔ

Α. Να διατυπώσετε με λόγια το νόμο των συνημιτόνων για το τρίγωνο αυτό

Β. Να γράψετε τον τύπο του νόμου των συνημιτόνων για την πλευρά δ

Γ. Αν συνΔ = 0, τι συμπέρασμα θα βγάζατε για το τρίγωνο ΒΔΓ;

Θέμα 11 Να διατυπώσετε τον νόμο των ημιτόνων σε ένα τρίγωνο.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΡΙΣΕΩΣ Θέμα 12

ο

ο

Με τη βοήθεια κατάλληλού σχήματος να υπολογίσετε :

i. τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω = 0

ii. τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω = 180

Θέμα 13 οΠοιο είναι το ημ135 ;

Θέμα 14

Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ημ Α +Β = 1, τι συμπέρασμα βγάζετε για το είδος του τριγώνου;

Θέμα 15

Αν ω και φ γωνίες για τις οποίες ισχύει ημω = ημφ, τι συμπεράινετε για τη σχέση που συνδέει

τις γωνίες;

Θέμα 16 Αν ω και φ γωνίες για τις οποίες ισχύει συνω = συνφ, τι συμπεράινετε για τη σχέση που συνδέει

τις γωνίες;

Θέμα 17

Υπάρχει γωνία ω ώστε να ισχύει ημω = 0 και συνω = 0;

Θέμα 18 Υπάρχει γωνία ω ώστε να ισχύει ημω =1 και συνω =1;


59

Θέμα 19 ημω

Με ποια προϋπόθεση ισχύει εφω = ;συνω

Θέμα 20

2 2Με τι ισούται η παράσταση 6ημ ω + 6συν ω; Θέμα 21

2 2 2Με τι ισούται η παράσταση 3ημ ω + 4συν ω - συν ω;

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ

Θέμα 22 Nα χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) αν είναι σωστές ή (Λ) αν είναι λανθασμένες.

2 2

ο ο

ο

ο

ο ο

ο

1) ημ ω = 1 + συν ω

ημω2) εφω =

συνω

3) Αν ω = 98 τότε συν98 > 0

4) ημ180 = -1

5) συν0 = 1

ημω6) συνω =

εφω

7) Έαν ω αμβλεία γωνία τότε συνω > 0

8) Εάν 90 < ω < 180 τότε συνω > 0

9) Εάν ω = 90 τότε δεν ορίζεται η εφω

10) Για οποιο ο

ο ο

ο ο

ο ο

ο ο

ο ο

αδήποτε γωνία ισχύει - 1£συνω£1

11) ημ40 = -ημ140

12) συν135 = συν45

13) εφ112 = -εφ68

14) ημ30 = ημ150

15) ημ140 = -ημ40

16) συν100 = συν80

ο ο

ο ο

ο ο

2 2

17) εφ60 = -εφ120

18) συν125 = συν55

19) Για δύο παραπληρωματικές γωνίες ω και 180 - ω ισχύει ημ 180 - ω = -ημω

20) ημ ω = συν ω - 1

2 2

21) Η πρόταση "ημω = 0,6 και συνω = 0,8" είναι σωστή;

22) συνω + ημω = 1

23) 1 - ημ ω = συν ω


60

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΟΙΧΙΣΗΣ

Θέμα 23 Να αντιστοιχήσετε τα στοιχεία της στήλης Α με τα στοιχεία της στήλης Β για τον πίνακα

που ακολουθεί.


1. 21- συν ω

ημωΑ.

συνω

2. εφω 2Β. ημ ω

3. οσυν 180 - ω Γ. συνω

Δ. - συνω

Θέμα 24 Να αντιστοιχήσετε τα στοιχεία της στήλης Α με τα στοιχεία της στήλης Β για τον πίνακα που ακολουθεί.


Α οημ114 ο-ημ66

Β οσυν166 ο-συν14

Γ οεφ70 ο-εφ110

Δ οημ0 οημ66

οσυν14

οεφ110

οσυν90 Θέμα 25 Να αντιστοιχήσετε τα στοιχεία της στήλης Α με τα στοιχεία της στήλης Β για τον πίνακα

που ακολουθεί.


Α οημ 180 - ω 1. οσυν 180 - ω

Β εφω 2.

1

2

Γ 21 -ημ ω 3.

ημω, συνω 0

συνω

Δ -συνω 4.

2συν ω

Ε οημ60 5. ημω

6. 3

2


61

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΟΥ

Θέμα 26 Να συμπληρώσετε τα κενά με τα σύμβολα < ή > ώστε να προκύψουν

σωστές εκφράσεις

Α. Αν η γωνία ω είναι οξεία τότε ημω..........0,συνω = ..........0,εφω..........0

Β. Αν η γωνία ω είναι αμβλεία τότε ημω..........0,συνω = ..........0,εφω..........0

Θέμα 27 Να συμπληρωθούν οι ισότητες

ο

ο

ο

ο

1) συν0 = ..........

2) ημ180 = ..........

3) εφ0 = ..........

4) ημ 180 - ω = ..........

ο

ο

5) εφ 180 - ω = ..........

6) συν 180 - ω = ..........

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ

Θέμα 28

ο ο ο ο


Αν 2ημφ = 1, τότε ισχύει

Α. φ = 30 Β. φ = 150 Γ. φ = 30 ή φ = 150 Δ. τίποτα από τα προηγούμενα

Θέμα 29

ο


Η εφ135 ισούται με

3 3Α. 1 Β. - 1 Γ. Δ. -

3 3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέμα 30

ο ο4Αν συνx = - και 90 < x < 180 , να υπολογίσετε τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς αριθμούς

5

της γωνίας x.

Θέμα 31

ο ο 3

Αν 90 < ω < 180 και ημω = , να υπολογιστούν :5

Α. το συνω Β. η εφω


62

Θέμα 32 12

Αν για την αμβλεία γωνία ω ισχύει ημω = , να υπολογίσετε το συνω, την εφω και την τιμή της 13

παράστασης Α = 13ημω - 26συνω - 5εφω.

Θέμα 33

ο ο

12Αν για την αμβλεία γωνία ω ισχύει ημω = , να υπολογίσετε :

13

Α. τους υπόλοιπους τριγωνομετρικούς αριθμούς

Β. την τιμή της παράστασης 5εφω - 13συν 180 - ω + 13ημ 180 - ω

Θέμα 34

ο ο 12Αν 90 < ω < 180 και ημω =

13

Α. Να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω

13 13 10Β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α = ημω + συνω - εφω

12 5 12

Θέμα 35

2

4Δίνεται αμβλεία γωνία ω για την οποία ισχύει ημω = .

5

Α. Να υπολογίσετε τα συνω,εφω

ημω.συνω + συν ωΒ. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α =

1 + εφω

Θέμα 36

ο ο1Α. Αν ημx = και 90 < x < 180 να βρεθούν οι υπόλοιποι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας x

2

Β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α = 1 - 2συνx 1 + 3εφx - 6 3εφx - 8ημx

Θέμα 37

ο ο 5Αν για τη γωνία ω ισχύει 90 < ω < 180 και ημω = , να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης

13

24εφω - 13συνωΑ =

1 + 13ημω Θέμα 38

5Αν για την αμβλεία γωνία ω ισχύει ημω = , να υπολογίσετε την παράστασης

13

Α = 13ημω -13συνω + 12εφω

Θέμα 39

ο ο12

Αν ημx = και 90 < x < 180 να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης 13

Α = 26ημx + 39συνx -10εφx


63

Θέμα 40

ο ο

ο ο

ο

Αν 90 < ω < 180 και 7ημω - 2 ημω + 2 = 0, να υπολογίσετε το ημω,συνω,εφω και την

ημ 180 - ω - συν 180 - ωπαράσταση Κ =

εφ 180 - ω .συνω

Θέμα 41

ο

3Δίνεται μία γωνία ω με συνω = -

2

Α. Η γωνία ω είναι οξεία, αμβλεία ή ορθή;

Β. Να βρεθούν το ημω και η εφω

1Γ. Αν γνωρίζουμε ότι ημ30 = , να βρεθεί πόσων μοιρών είναι η γωνία ω

2

Θέμα 42

2 ο 2 ο ο

ο ο

3Α. Εάν ημx = με x αμβλεία, να υπολογίσετε τη γωνία x

2

3Β. Εάν ημω = , με ω αμβλεία, να βρεθούν το συνω και η εφω

5

ημ 130 + συν 50 - 2ημ 180 - xΓ. Να υπολογιστεί η παράσταση Α = , όπου x η γω

5συν 180 - ω - 4εφ 180 - ωνία

του ερωτήματος Α και ω η γωνία του ερωτήματος Β

Θέμα 43

ο3Αν είναι συνω = - και 90 < ω < 180, να απαντήσετε στα εξης ερωτήματα :

5

Α. Σε ποιο τετάρτημόριο βρίσκεται η γωνία ω και τι πρόσημο έχουν το ημίτονο και η εφαπτομένη;

Β. Να βρεθούν οι άλλοι τριγωνομετρικοί αρ

22

ιθμοί της γωνίας ω

1Γ. Για τις τιμές που θα βρείτε να υπολογίσετε την παράσταση ημω - 3συν ω + -1 εφω

5 Θέμα 44

ο ο

2 ο 2 ο 2 ο 2 ο

Α. Να υπολογίσετε την τιμή του συν150 και του ημ135

Β. Να αποδείξετε ότι συν 150 + ημ 135 -ημ 45 + συν 60 = 1

Θέμα 45

2 2

ο ο ο ο

4 4 2

Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις Α και Β, όπου

Α = ημ25 + συν25 + συν155 + ημ155 και

Β = ημ α - συν α + 2συν α


64

Θέμα 46

12Αν για την οξεία γωνία ω ισχύει ημω = , να υπολογίσετε

13

Α. το συνω και την εφω

Β. τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της παραπληρωματικής της γωνίας ω

Θέμα 47

2 2 2

2

1Να δείξετε ότι ημ x 1 + + συν x 1 + εφ x = 2

εφ x

Θέμα 48

2 3

2 2

2

2


Α. ημ x.συνx + συν x = συνx

Β. 10συν x + 10ημ x = 10

1Γ. εφ x + 1 =

συν x

Θέμα 49

2 2

Να αποδείξετε ότι ημx + συνx - ημx - συνx = 4ημxσυνx

Θέμα 50

2 2 2 2Να αποδείξετε ότι αημω +βσυνω + βημω - ασυνω = α +β

Θέμα 51

ο

ο

Γνωρίζουμε ότι σε ένα τρίγωνο η γωνία Α είναι 53 . Από τους τριγωνομετρικούς πίνακες

διαπιστώνουμε ότι ημ53 = 0,8

Α. Να βρεθούν οι άλλοι δύο τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας Α

Β. Στο ίδιο τρίγωνο γνωρίζουμε επίσης ότι οι πλευρές α και β έχουν μήκη 8cm και 5cm αντίστοιχα.

Να βρεθούν οι άλλες δύο γωνίες του τριγώνου.

Θέμα 52

οΣε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει Α = 120 , ΑΒ = 3cm και ΑΓ = 5cm. Να βρείτε

Α. την πλευρά α

Β. το ημΒ και το ημΓ

Θέμα 53 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι α = 5cm, β = 4cm, γ = 6cm. Να υπολογίσετε τις γωνίες του.


65

ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Θέμα 1

3x + y - 5 = 0Α. Να λυθεί το σύστημα

-3y + 2x = -4

xΒ. Για μία αμβλέια γωνία ω είναι ημω = , όπου x,y είναι η λύση του παραπάνω συστήματος.

y

Υπολογίστε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας.

Θέμα 2

Να βρεθεί η μέγιστη και ελάχιστη τιμή της παράστασης Α = 5συνx - 6ημx

Θέμα 3

2 ο 2 ο 2 ο 2 ο

ο ο ο ο

2 2

Α. Δίνονται οι παραστάσεις

α = συν 147 + ημ 113 + ημ 33 + συν 67

β = ημ40 .ημ140 - συν40 .συν140

Να αποδείξετε ότι α = 2 και β = 1

x + 2 α 2x - βΒ. Να λυθεί η εξίσωση = -

x - 5x + 6 3 - x 2x - 4x

Θέμα 4

ο 2 3Αν 90 < x < 180 και ημ x + ημx -1 = 0, να βρεθεί η γωνία x.

2

Θέμα 5 Στο σχήμα τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΒ είναι ίσα και ισχύει ΑΒ = 2x + 2, ΒΔ = 7 - y, ΑΓ = 4x,

ΔΕ = 5y + 3

Α. Σύμφωνα με ποιο κριτήριο τα τρίγωνα είναι ίσα;

Β. Να αποδείξετε ότι ΑΓ = ΔΕ

Γ. Να βρεθούν τα x και y από την επίλυση

.

κατάλληλου συστήματος

Δ. Να βρεθεί η περίμετρος του τριγώνου ΑΒΓ αφού πρηγουμένως εφαρμόσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα


66

Θέμα 6

ο

Στο σχήμα οι ΒΔ και ΑΓ είναι κάθετες και ισχύει ΑΚ = ΓΚ, ΒΚ = ΔΚ

Α. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΚ,ΒΓΚ,ΓΚΔ,και ΑΔΚ είναι ίσα.

Β. Αν η γωνία ΒΑΓ είναι 60 να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΓΔ είναι ισόπλ

.

ευρα.

Γ. Αν τα μήκη των ΑΒ, ΒΓ, και ΑΔ είναι ΑΒ = 2x - 3y, ΒΓ = 6x + 5y, και ΑΔ = 7 να βρείτε τα x,y


67

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Θεωρία Θέμα 1

2

3 3 2 2 3

α) Τί λέγεται ταυτότητα;

β) Να συμπληρωθούν οι ισότητες

α + β α - β = ..........

α - β = ..........

γ) Να αποδείχθεί η ταυτότητα α - β = α - 3α β + 3αβ - β

Θέμα 2 α) Να γράψετε τα κύρια και τα δευτερεύοντα στοιχεία ένος τριγώνου

β) Διατυπώστε δύο κριτήρια ισότητας τριγώνων

γ) Διατυπώστε το θεώρημα του Θαλή

Ασκήσεις Άσκηση 1

2

Δίνεται η παράσταση Α = x + 9 - 3x x + 9

α) Να κάνεται τις πράξεις

β) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση Α

γ) Να λύσετε την εξίσωση Α = 0

Άσκηση 2

Να λυθεί το σύστημα

x - yx - = 5 - 2y

2

4 - 2 2x - 3y = x - 10y

Άσκηση 3

5Αν για την αμβλεία γωνία ω ισχύει ημω = , να υπολογίσετε την παράσταση

13

Α = 13ημω -13συνω + 12εφω


68

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 2 Θεωρία

Θέμα 1

2

2

α) Να γράψετε τα συμπεράσματα για τη λύση της εξίσωσης αx + β = 0

β) Να γράψετε τα συμπεράσματα από τη λύση της εξίσωσης x = α

γ) Να γράψετε τα συμπεράσματα από τη λύση της εξίσωσης αx + βx + γ = 0, α 0

Θέμα 2

2 2

Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων να πάρετε ένα σημείο Μ x,y στο 1ο τεταρτημόριο.

Αν ω = xΟy. Να αποδείξετε ότι

α) ημ ω + συν ω = 1

ημωβ) εφω =

συνω

γ) Υπάρχει γωνία ω ώστε να ισχύει ημω = 0 και συνω = 0; Να δικαιολήσετε

την απάντηση σας.

Ασκήσεις

Άσκηση 1

22 2

2 22

2

α) Να αποδείξετε την ισότητα

2x - 3 × x + 1 - 50x + 75 = x + 6 x - 2 2x - 3 x + 2

25 - 12x 2x - 3β) Αν είναι Α = -

x + 6 x - 2 2x - 3 x + 22x - 3 × x + 1 - 50x + 75

14να υπολογίσετε την παράσταση Α και να δείξετε ότι Α =

x + 6 3 - 2x x + 2

Άσκηση 2

2 22 2

2 2 2 2

α) Να αποδείξετε την ισότητα

13 x + y - 2x + 3y = 2y - 3x

β) Αν ισχύει 2x + 3y - x + 6y - 5 = 13 x + y να βρεθούν τα x,y.

Άσκηση 3

Στο σχήμα είναι ΟΑ = ΟΕ και ΟΒ = ΟΖ. Να αποδείξετε ότι

Α. τα τρίγωνα ΟΑΖ και ΟΒΕ είναι ίσα

Β. τα τρίγωνα ΚΑΒ και ΚΕΖ είναι ίσα


69

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3

Θεωρία Θέμα 1

3

2

Α. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε την ταυτότητα του τετραγώνου αθροίσματος

Β. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες ώστε να προκύψουν ταυτότητες

α) α + β = ..........

β) α - β α + β = ..........

γ) α - β = .........

2

.

Γ. Να γράψετε τις συντεταγμένες τις κορυφής Κ της παραβολής y = αx + βx + γ, α 0

Θέμα 2 α) Να δώσετε τον ορισμό του ισοσκελούς τριγώνου και να αναφέρετε τις ιδιότητες

που γνωρίζετε γι' αυτό.

β) Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας των τριγώνων

γ) Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή

Ασκήσεις Άσκηση 1 Να λυθεί η εξίσωση

x + 1 x + 5 4+ =

x - 1 x 1 - x

Άσκηση 2

Να λυθεί το παρακάτω σύστημα

x - y = 5

xy - 5x = 0

Άσκηση 3 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με βάση ΒΓ. Στις προεκτάσεις των ΑΒ

και ΑΓ προς τα Β και Γ αντίστοιχα παίρνουμε τμήματα ΒΔ = ΓΕ.

α) Να δείξετε ότι ΔΓ = ΒΕ

β) Να δείξετε ότι ΔΕ P ΒΓ

γ) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι όμοια


70

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4 Θεωρία

Θέμα 1

2 2 2

α) Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται;

Δώστε ένα παράδειγμα μονωνύμου

β) Να αποδείξετε την ταυτότητα α + β = α + 2αβ + β

γ) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με

3 3 2 2 3

3 3 2 2

2 2

(Σ) αν είναι σωστές ή (Λ)

αν είναι λανθασμένες

i. α + β = α + 3α β + 3αβ + β

ii. x + y = x + y x + xy + y

iii. κ - λ = λ + κ κ - λ

Θέμα 2 Με τη βοήθεια του σχήματος να ορίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της

γωνίας ω.

2 2

2 2

β) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε γωνία ισχύει ότι ημ ω + συν ω = 1

γ) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ) αν είναι σωστές ή (Λ)

αν είναι λανθασμένες

i. ημ ω = 1 + συν ω

ημωii. εφω =

συνω

iii. Aν ω = 98ο ο τότε συν98 > 0


5 4 2 3 2 2 3 2

α) Να παραγοντοποιήσετε τα παρακάτω πολυώνυμα

i. 3x - 6x ii. x - 9 iii. x + 2x iv. x + 4x + 4 v. x - 3x - 4x + 12

β) Αφού αντικαταστήσετε κάθε πολυώνυμο με την παραγοντοποιημένη του

μορφη, να υπολογίσετε τη

5 4 2 3 2

3 2 2

ν παράσταση

3x - 6x x - 9 x - 3x - 4x + 12Α = × :

x + 3 x + 2x x + 4x + 4

Άσκηση 2


71

2

α) Να λυθεί το παρακάτω σύστημα

6κ - 4λ = 2κ - λ - 1

5κ - 2λ = 4

β) Για τις τιμές των κ και λ που βρίκατε παραπάνω, να λύσετε την εξίσωση

κx - λx = 2

Άσκηση 3 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διχοτόμος του ΑΕ. Στην προέκταση της διχοτόμου

θεωρούμε σημείο Δ τέτοιο ώστε ΑΒ = ΒΔ.

Α. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΕΓ και ΒΕΔ είναι όμοια

Β. Να γράψετε τους λόγους που προκύπτουν από την ομοιότητα

των παραπάνω τριγώνων

Γ. Αν ΑΓ = 10cm, AE = 4cm και ΒΔ = 6cm, να υπολογίσετε το τμήμα ΔΕ


72

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5 Θεωρία Θέμα 1

. Δώστε τους ορισμούς: μονωνύμου, όμοιων μονωνύμων και πολυωνύμου

Γράψτε ένα παράδειγμα για κάθε περίπτωση

Β. Αφού γράψετε στην τελική τους μορφή τα παρακάτω μονώνυμα, να βρείτε

το συντελεστή και το κύ

2 33 2 3 27xy

κ-2 4 5 2-λ

ριο μέρος τους

i. 5x y -2 ii. -z y -2 x iii. x y iv. -3xy v. -2x zx

Γ. Να βρείτε τους ακέραιους κ και λ ώστε η αλγεβρική παράσταση

-5α β + 8α β να είναι μονώνυμο. Ποιο είναι αυτό το μονώνυμο;

Θέμα 2 Α. Να γράψετε τα τρία κριτήρια ισότητας τριγώνων

Β. Δίνονται τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α'Β'Γ'.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές, ποιες λάθος και γιατί;

α) Aν Α = Α', ΑΒ = Α'Β' και ΒΓ = Β'Γ' τότε τα τρίγω

ο

ο

να είναι ίσα

β) Aν Α = Α' = 90 , Β = Β' και ΒΓ = Β'Γ' τότε τα τρίγωνα είναι ίσα

γ) Aν Α = Α', Β = Β' και Γ = Γ' τότε τα τρίγωνα είναι ίσα

δ) Aν Β = Β' = 90 , ΑΒ = Α'Β' και ΑΓ = Α'Γ' τότε τα τρίγωνα είναι ίσα


2 2

2

Να γίνουν οι πράξεις και οι απλοποιήσεις στην παράσταση

x - 25 x - 9x + 20Α = :

x + 2 x - 4

Άσκηση 2

2Να λυθεί η εξίσωση 3 x + 2 - 8x = 4 - 3x

Άσκηση 3

ο ο4Αν συνx = - και 90 < x < 180 να υπολογίσετε τους υπόλοιπους

5

τριγωνομετρικούς αριθμόυς της γωνίας x


73

Περιεχόμενα ΜΕΡΟΣ Α: ΑΛΓΕΒΡΑ.............................................5 Κεφάλαιο 1: Αλγεβρικές Παραστάσεις.......................................6 Ερωτήσεις θεωρίας.......................................................................................................6 Ερωτήσεις Κρίσεως.......................................................................................................8 Ερωτήσεις τύπου «Σωστο-Λάθος»................................................................................9 Ερωτήσεις Αντιστοίχισης.............................................................................................11 Ερωτήσεις Συμπλήρωσης κενού.................................................................................12 Ασκήσεις......................................................................................................................14

Κεφάλαιο 2: Εξισώσεις- Ανισώσεις...........................................16 Ερωτήσεις θεωρίας.....................................................................................................16 Ερωτήσεις Κρίσεως.....................................................................................................17 Ερωτήσεις Αντιστοίχισης.............................................................................................18 Ερωτήσεις Συμπλήρωσης κενού.................................................................................18 Ασκήσεις......................................................................................................................19

Κεφάλαιο 3: Γράμμικά Συστήματα...........................................22 Ασκήσεις......................................................................................................................22

Κεφάλαιο 4: Συναρτήσεις.........................................................26 Ερωτήσεις θεωρίας.....................................................................................................26 Ασκήσεις......................................................................................................................26

Γενικά Θέματα Άλγεβρας..........................................................28

ΜΕΡΟΣ Β: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ- ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ...........34 Κεφάλαιο 1: Γεωμετρία............................................................35 Ερωτήσεις θεωρίας.....................................................................................................35 Ερωτήσεις Κρίσεως.....................................................................................................36 Ερωτήσεις τύπου «Σωστο-Λάθος»..............................................................................40 Ασκήσεις......................................................................................................................41

Κεφάλαιο 2: Τριγωνομετρία.....................................................57 Ερωτήσεις θεωρίας.....................................................................................................57 Ερωτήσεις Κρίσεως.....................................................................................................58 Ερωτήσεις τύπου «Σωστο-Λάθος»..............................................................................59 Ερωτήσεις Αντιστοίχισης.............................................................................................60 Ερωτήσεις Συμπλήρωσης κενού.................................................................................61


74

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής.................................................................................61 Ασκήσεις......................................................................................................................61

Γενικά Θέματα Μαθηματικών..................................................66 Ενδεικτικά Διαγωνίσματα.........................................................68


75

μαθηματικα γ΄γυμνασιου θεματα απολυτηριων εξετασεων

Education

Transcript of μαθηματικα γ΄γυμνασιου θεματα απολυτηριων εξετασεων