Διαγωνισμα Γ λυκειου Κατευθυνση Α κεφάλαιο αναλυση

ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΣΕΛΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 1

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥΠΡΩΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΔΙΑΡΚΕΙΑ : 3 ώρες

ΘΕΜΑ 1ο Α.Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα[α, β]. Αν

• η f είναι συνεχής στο [α, β] και

• f(α) ≠ f(β)

δείξτε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας, τουλάχιστον 0x (α,β)∈

τέτοιος, ώστε f( 0x ) = η .

Μονάδες 9 Β.Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.

i) Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] με f(α) < 0 και υπάρχει ξ∈(α, β) ώστε f(ξ) = 0, τότε κατ’ ανάγκη f(β) > 0. Μονάδες 2

ii) Αν η f έχει αντίστροφη συνάρτηση 1f− και η γραφική παράσταση της f έχει κοινό σημείο

Α με την ευθεία y = x, τότε το σημείο Α ανήκει και στη γραφική παράσταση της 1f− . Μονάδες 2

iii)Αν ( )0x x

lim f(x) 0→

= και f(x) > 0 κοντά στο 0x , τότε0x x

f(x)→

= +∞ ÷

Μονάδες 2

iv) Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β] όταν 0

0x xlim f(x) f(x )→

= για κάθε 0x (α,β)∈

Μονάδες 2

v) Δίνεται η συνάρτηση f:R→R η οποία είναι συνεχής και 1-1 . Αν f(x)>x τότε 1f (x) x− <

Μονάδες 2 vi) Αν η συνάρτηση f:R→R η οποία είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R τότε η 1f− έχει πεδίο ορισμού διάστημα . Μονάδες 2

Γ. Στις παρακάτω προτάσεις δίνονται περισσότερες από μία απαντήσεις .Να επιλέξετε τη σωστή.i). Αν η f έχει πεδίο ορισμού το Α=[0,3] τότε η f(x-2) έχει πεδίο ορισμού το α) Β=[2,5] β) Β=[-1,6] γ) Β=[2,3] δ)Β=[2,4] Μονάδες 2

ii). Δίνονται οι συναρτήσεις f,g:R→R και (fοg)(x)=x+2 , g(x)=x-1 . Τότε η f είναι : α) f(x)=x+2 β) f(x)=2x-3 γ) f(x)= x+3 Μονάδες 2

ΘΕΜΑ 2 Αν η συνάρτηση f έχει τύπο f(x) ln(x 3) x 2= − + − τότε : α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση της f . Μονάδες 5 β) Να λύσετε την εξίσωση : f(x)=x Μονάδες 4

γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και 1f− . Μονάδες 4 δ) Δίνεται η συνάρτηση g με πεδίο ορισμού το 0( , )+∞ και σύνολο τιμών το ( )3,+∞ τέτοια

ώστε η fog να είναι γνησίως φθίνουσα στο 0( , )+∞ .i) Να δείξετε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα στο 0( , )+∞ . Μονάδες 6

ii) Να λύσετε στο 0( , )+∞ την ανίσωση ( )( )1 8

xg e g( )

− −

−− >

− Μονάδες 6

ΘΕΜΑ 3 .

Δίνεται η συνάρτηση 2

ημ(3αx) , x 0

f(x)α 2 , x 0

1x .ημ β , x 0

= + = − > ÷

i) Να βρεθούν οι τιμές των α,β R∈ ώστε η f να είναι συνεχής στο 0 0x = . Μονάδες 6

ii) Να βρείτε το όριο : xlim f(x)→+∞ . Μονάδες 6

iii) Δίνεται η συνάρτηση g:R R→ , αν α=1 και ( )

g xlim

x→= τότε

α) Να βρείτε τις τιμές του λ R∈ για τις οποίες ισχύει : 0 0x x

g(x) xlim lim f(x)

g(x)λx→ →

+ =− Μονάδες 5

β) Αν η γραφική παράσταση της g δεν έχει κανένα κοινό σημείο με τον άξονα χ΄χ , να αποδείξετε ότι η g δεν είναι συνεχής . Μονάδες 4γ) Αν για τη συνάρτηση h:R R→ γνωρίζουμε ότι είναι συνεχής στο R , h(x) 0≠ για κάθε

x R∈ και g(x)h(x)x

> για κάθε x 0≠ , να βρείτε το πρόσημο της h . Μονάδες 4

ΘΕΜΑ 4.Δίνεται η συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R . Αν είναι f(0)=2 και f(1)=4 να αποδείξετε ότι :

Ι) Η ευθεία ψ=-2x+3 τέμνει τη γραφική παράσταση της f σε ένα ακριβώς σημείο με τετμημένη x0∈(0,1). Μονάδες 4

ΙΙ) Υπάρχει μοναδικό 0x ∈(0,1) τέτοιο ώστε 0

1 2f +2f

2 5f(x ) =

÷ ÷ Μονάδες 4

III) Να λύσετε την εξίσωση f(x)+f(2x)=f(3x)+f(4x) , x [0,1]∈ Μονάδες 5

ΙV)Δίνεται ότι, όταν 1 2x [x , x ]∈ τότε ( )1 2f x x 2 4, ,= α + α + .

Να βρεθούν οι δυνατές τιμές του α R∈ ώστε η f(x)=0 να έχει μια ακριβώς ρίζα

0x στο 1 2[x , x ] και να βρεθεί το όριο 0

x xlim

f(x)+→. Μονάδες 6

v) Δίνεται η συνάρτηση (g: 0,1 R→ με 1 1

g(x)= 2f(x) x

− + να βρείτε τα όρια

α) x 0lim g(x)

+→ β)

1 1g g

e 2lim

→+∞ ÷

Μονάδες 6

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

Email: [email protected]

1 2f +2f

2 5f(x ) =

x xlim

g(x)= 2f(x) x

α) x 0lim g(x)

+→ β)

1 1g g

e 2lim

→+∞ ÷

Μονάδες 6

1 2f +2f

2 5f(x ) =

x xlim

g(x)= 2f(x) x

α) x 0lim g(x)

+→ β)

1 1g g

e 2lim

→+∞ ÷

Μονάδες 6

1 2f +2f

2 5f(x ) =

x xlim

g(x)= 2f(x) x

α) x 0lim g(x)

+→ β)

1 1g g

e 2lim

→+∞ ÷

Μονάδες 6

Διαγωνισμα Γ λυκειου Κατευθυνση Α κεφάλαιο αναλυση

Documents

Transcript of Διαγωνισμα Γ λυκειου Κατευθυνση Α κεφάλαιο αναλυση