JEMATA EXETASEWN

GENIKHS TOPOLOGIAS

JEMA 1. A)(Mon. 1.5) 'Estw M,N uposÔnola enìc topologikoÔ q¸rouX. Na apodeiqjeÐ ìti

(1) X \Bd(M) = Int(M) ∪ Int(X \M).(2) Int(M ∩N) = Int(M) ∩ Int(N).

B)(Mon. 1) 'Estw X = {1, 2, 3, 4, 5} kai τ = {∅, X, {1, 3, 4}, {4}, {1, 3}}. NaapodeiqjeÐ ìti to τ eÐnai mÐa topologÐa epÐ tou X kai sth sunèqeia na brejoÔnta Cl({2, 3}), Int({1, 2, 4}) kai Bd({3, 4, 5}).

JEMA 2. A)(Mon. 1.5) 'Estw f : X → Y apeikìnish enìc q¸rou X s' ènaq¸ro Y . Na apodeiqjeÐ ìti h f eÐnai suneq c tìte kai mìnon tìte ìtan ìtan giak�je uposÔnolo A tou X isqÔei f(Cl(A)) ⊆ Cl(f(A)).

Na jewrhjeÐ gnwstì ìti h f eÐnai suneq c tìte kai mìnon tìte ìtan giak�je kleistì sÔnolo F tou Y , to sÔnolo f−1(F ) eÐnai kleistì sto X.

B)(Mon. 1) DÐnontai oi topologikoÐ q¸roi (X, τ) kai (Y, σ), ìpou X =Y = {a, b, c}, τ = {∅, X, {a}, {b}, {a, b}} kai σ = {∅, X, {a}, {a, b}, {a, c}}. NaexetasjeÐ an h apeikìnish f : X → Y me f(b) = a, f(a) = b kai f(c) = c eÐnaisuneq c.

JEMA 3. A)(Mon. 1) 'Estw f : X → Y suneq c kai epÐ apeikìnish touq¸rou X sto q¸ro Y . Na apodeiqjeÐ ìti an X sumpag c, tìte kai o Y eÐnaisumpag c.

B)(Mon. 1) 'Estw R to sÔnolo twn pragmatik¸n arijm¸n me thn topologÐaτ = {A ⊆ R : R\A peperasmèno }∪{∅, R}. Na exetasjeÐ an o R eÐnai sunektikìc.

JEMA 4. (Mon. 3) Na dojoÔn oi orismoÐ tou kanonikoÔ (regular) kaifusikoÔ (normal) q¸rou. Sth sunèqeia na apodeiqjeÐ ìti k�je kanonikìc q¸rocme arijm simh b�sh eÐnai fusikìc.

KALH EPITUQIA

JEMATA EXETASEWN

GENIKHS TOPOLOGIAS

ΘΕΜΑ 1. (Μον. 2)Α) ΄Εστω A,B υποσύνολα ενός τοπολογικού χώρου X. Να αποδειχθεί ότι(1) Αν το A είναι κλειστό, τότε Cl(A) = A.(2) Το σύνολο Cl(A) είναι κλειστό.(3) Cl(A ∪B) = Cl(A) ∪ Cl(B).

Β) ΄Εστω X = {1, 2, 3, 4, 5} και τ = {∅, X, {2}, {1, 3, 4}, {3, 4}, {1, 3}}. Ναεξετασθεί αν το τ ορίζει μία τοπολογία επί του X.

ΘΕΜΑ 2. (Μον. 2.5)Α) Να δοθεί ο ορισμός της συνέχειας μεταξύ δύο τοπολογικών χώρων. Στη

συνέχεια να δοθεί παράδειγμα (δικό σας) συνεχούς συνάρτησης μεταξύ δυο τοπο-λογικών χώρων.Β) Δίνονται οι τοπολογικοί χώροι (X, τ) και (Y, σ), όπου X = Y = {1, 2, 3},

τ = {∅, X, {1}, {3}, {1, 3}} και σ = {∅, X, {1}, {1, 3}, {1, 2}}.(1) Να εξετασθεί αν είναι συνεχής η απεικόνιση

f : (X, τ) → (Y, σ)

με τύπο f(2) = 1, f(1) = 2 και f(3) = 3.(2) Οι χώροι (X, τ) και (Y, σ) είναι συνεκτικοί;

ΘΕΜΑ 3. (Μον. 3)Α) Να δοθούν οι ορισμοί του κανονικού (regular) και T1 χώρου. Στη συνέχεια

να αποδειχθεί ότι ένας T1 χώρος X είναι κανονικός τότε και μόνον τότε όταν γιακάθε x ∈ X και για κάθε ανοικτή περιοχή V του x υπάρχει μια ανοικτή περιοχήU του x τέτοια ώστε

x ∈ U ⊆ Cl(U) ⊆ V.

Β) ΄Εστω X σύνολο και {τi : i ∈ I} οικογένεια τοπολογιών επί του X. Ναεξετασθεί αν τα σύνολα

τ0 = ∩{τi : i ∈ I}καιτ1 = ∪{τi : i ∈ I}

ορίζουν τοπολογίες επι του X. Να δικαιολογηθεί η απάντησή σας.

ΘΕΜΑ 4. (Μον. 2.5)Α) ΄Εστω (X, τ1) και (Y, τ2) δύο τοπολογικοί χώροι. Να δοθούν δύο διαϕορε-

τικοί τρόποι που μπορείς να ορίσεις την τοπολογία γινόμενο στο X × Y .Β) Πότε μια οικογένεια υποσυνόλων ενος χώρου X έχει την ιδιότητα της

πεπερασμένης τομής;Στη συνέχεια να αποδειχθεί ότι ένας τοπολογικός χώρος X είναι συμπαγής

τότε και μόνον τότε όταν κάθε οικογένεια κλειστών υοποσυνόλων του X με τηνιδιότητα της πεπερασμένης τομής έχει μη κενή τομή.

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

1

IoÔnioc 2011

Genik  TopologÐaJèmata Exet�sewn

JEMA 1o A)(M.1,5) 'Estw (X,t) topologikìc q¸roc kai A ⊆ X. Na dojoÔn oi orismoÐtou Int(A), thc Cℓ(A) kai tou Bd(A). Sth sunèqeia na apodeiqjeÐ ìti:(1) A anoiktì uposÔnolo tou X tìte kai mìno tìte ìtan Int(A) = A.(2) Int(Int(A)) = Int(A)(3) Int(A ∩B) = Int(A) ∩ Int(B)B) (M.1,5) DÐnetai to sÔnolo IR2 me th sun jh topologÐa, to sÔnolo

A = {(x, y) ∈ IR2 : y = 0 kai x ∈ [0,+∞)}kai to sÔnolo

M = {(x, y) ∈ IR2 : y = 0 kai x ∈ (1, 2)}.Na brejoÔn ta sÔnola:(1) CℓIR2(M), IntIR2(M), BdIR2(M) sto q¸ro IR2.(2) CℓA(M), IntA(M), BdA(M) ston upìqwro A tou IR2.

JEMA 2o A)(M.1) Na dojoÔn oi orismoÐ twn T0, T1, T2, kanonik¸n,Tychonoff kai fusik¸nq¸rwn. Sth sunèqeia na apodeiqjeÐ ìti ènac q¸roc eÐnai T1 q¸roc tìte kai mìnon tìte ìtan k�jemonosÔnolo autoÔ eÐnai kleistì.B) (M.1) 'Estw X sÔnolo kai γ ⊆ P(X). Pìte to sÔnolo γ eÐnai upìbash gia mÐa topologÐa t

epÐ tou X? Poia eÐnai h b�sh thc topologÐac t ? Sth sunèqeia sto sÔnolo Q twn rht¸n arijm¸nna orisjeÐ mÐa topologÐa me qr sh tou orismoÔ thc upob�shc.

JEMA 3o (M. 3)DÐnontai oi topologikoÐ q¸roi(X = {α, β, γ, δ}, t(X) = {ø, X, {α}, {α, β}, {α, β, γ}}) kai(Y = {1, 2, 3, }, t(Y ) = {ø, Y, {1, 2}, {3}}).(1) Na exetasteÐ an oi q¸roi X,Y eÐnai sunektikoÐ.(2) Na orisjeÐ h topologÐa ginìmeno t sto sÔnolo X × Y .(3) Na exetasteÐ an h f : X → Y me f(α) = f(β) = 1 kai f(γ) = f(δ) = 3 eÐnai suneq c kaikleist .

JEMA 4o A)(M.1) 'Estw X,Y topologikoÐ q¸roi kai f : X → Y suneq c kai epÐ. NaapodeÐxete ìti an o X eÐnai sumpag c, tìte kai o Y eÐnai sumpag c.B) (M.1) 'Estw (X, t) topologikìc q¸roc kai M ⊆ X. Pìte to M kaleÐtai poujen� puknì.Sth sunèqeia na dojeÐ par�deigma q¸rou X kai uposunìlwn M1 kai M2 tou X tètoiwn, ¸steto M1 na eÐnai poujen� puknì kai to M2 na mhn eÐnai poujen� puknì.

KALH EPITUQIA