Μέτρηση Της Σύνθετης Αντίστασης Εισόδου Διπόλου Με Την Βοήθεια Network Analyzer

1. Εισαγωγή

Ένα από τα σημαντικότερα χαρακτηριστικά μεγέθη μίας κεραίας είναι η σύνθετη αντίσταση εισόδου της. Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης είναι η μέτρηση της σύνθετης αντίστασης εισόδου, με το Network Analyzer, με ή χωρίς την παρουσία ανακλαστικού επιπέδου σε διάφορες αποστάσεις. Επίσης, επιχειρείται μία πρώτη γνωριμία με τις δυνατότητες του Network Analyzer.

2. Θεωρητικός Υπολογισμός της Σύνθετης Αντίστασης Εισόδου Διπόλου

Ένα σύστημα ασύρματης μετάδοσης πληροφορίας μπορεί να περιγραφεί από ένα ισοδύναμο κύκλωμα, όπως φαίνεται στο σχήμα 1, όπου συμβολίζει την πηγή τάσης και είναι η εσωτερική σύνθετη αντίσταση της πηγής.

gV

gZ

Va

aI

aZ

+

-

Σχήμα 1: Ισοδύναμο συγκεντρωμένο κύκλωμα πηγής-κεραίας

Η σύνδεση - βλέπει την κεραία σαν μια σύνθετη αντίσταση που ονομάζεται σύνθετη αντίσταση εισόδου της κεραίας. Η ισούται με το πηλίκο της τάσης στα άκρα τροφοδοσίας της προς την ένταση του ρεύματος με το οποίο αυτή τροφοδοτείται:

aa a a

a

VZ R jX

I (1)

Το πραγματικό μέρος της σύνθετης αντίστασης της κεραίας, , είναι το άθροισμα της αντίστασης ακτινοβολίας, , και της αντίστασης απωλειών . Το μέγεθος που ενδιαφέρει στην μελέτη της αντίστασης εισόδου μίας κεραίας είναι η αντίσταση ακτινοβολίας, η οποία ορίζεται ως το πηλίκο του διπλασίου της συνολικής ακτινοβολούμενης ισχύος προς το τετράγωνο της μέγιστης τιμής της έντασης του ρεύματος τροφοδοσίας της κεραίας (σε οποιοδήποτε σημείο και αν παρουσιάζεται):

2

2 radr

m

WR

I (2)

Η αντίσταση απωλειών στις περισσότερες περιπτώσεις έχει μικρή τιμή και αγνοείται. Το φανταστικό μέρος της σύνθετης αντίστασης, , φανερώνει κατανάλωση αέργου ισχύος στο κύκλωμα και σε όλες τις πρακτικές περιπτώσεις καταβάλλεται προσπάθεια να είναι μηδενικό (στη συχνότητα συντονισμού) ή τουλάχιστον μικρό (μικρή περιοχή κοντά στη συχνότητα συντονισμού).

2α. Υπολογισμός Ιδίας Σύνθετης Αντίστασης Εισόδου

Θεωρούμε ένα δίπολο μήκους L που ακτινοβολεί στον άπειρο κενό χώρο (σχήμα 2).

1R

2R

Σχήμα 2: Δίπολο μήκους L που ακτινοβολεί στον κενό χώρο

Με την βοήθεια του θεωρήματος αμοιβαιότητας, μπορούμε να υπολογίσουμε τη σχέση που δίνει την ιδία σύνθετη αντίσταση εισόδου της κεραίας:

2

11 2

2

1,

0

L

zL

Z E z I z dzI

(3)

όπου:

Ι(z) συμβολίζει την ένταση του ρεύματος στην κεραία και

, συμβολίζει την z- συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου.

Για τον υπολογισμό της σύνθετης αντίστασης , είναι αναγκαίο να υπολογιστεί το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο στο κοντινό πεδίο ακτινοβολίας της κεραίας. Η σχέση που δίνει την z- συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου είναι:

1 2

1 2

, 2 cos4 2

jkR jkR jkrm

z

jnI e e L eE z z k

R R r

(4)

όπου:

n είναι η αντίσταση κενού χώρου (=120π =377Ω)

k είναι ο κυματαριθμός (=2π/λ)

L είναι το μήκος της κεραίας και

, , r είναι ακτίνες που φαίνονται στο σχήμα 2 και δίνονται από τους τύπους:

221

222

2 2

R h z

R h z

r z

Με την θεώρηση ενός ημιτονοειδούς ρεύματος στην κεραία της μορφής,

sin ,0

sin , 0

m

m

I k h z z hI z

I k h z h z

(5)

μπορούμε, με αντικατάσταση των εξισώσεων (4), (5) στην (3) να υπολογίσουμε την ιδία σύνθετη αντίσταση εισόδου της κεραίας (για ρ=α, όπου α η ακτίνα του διπόλου) η οποία μπορεί να εκφραστεί με την βοήθεια των συναρτήσεων ολοκληρωτικού ημιτόνου και συνημιτόνου:

21 1

11 2

1 1

2 22 2 2 2

2 cos 2 2

2 cos 1 sin 2

4 0 2 cos 2 1 sin 2m

j kh j kh

kh Ci ka jSi ka

kh j kh Ci u jSi unIZ

I kh j kh Ci v jSi v

e Ci v jSi v e Ci u jSi u

(6)

όπου:

2 21

2 22

2 21

2 22

4 2

4 2

u k a h h

u k a h h

v k a h h

v k a h h

(7)

Διαχωρίζοντας το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της εξίσωσης (6) και κάνοντας την παραδοχή ότι η ακτίνα της κεραίας είναι πολύ μικρή (α→0) και ότι ο παράγοντας kh είναι πολύ μικρότερος της μονάδας, μπορούμε να εξάγουμε τις σχέσεις:

11,max

sin 2 4 2 2 cos 2 2 2 4 ln30

2 2 2 2ln 2

kh Si kh Si kh kh Ci kh Ci kh C khR

Ci kh C kh

(8)

2

11,max

sin 2 ln 4 2 230

cos 2 2 2 4 2 2

kakh C Ci kh Ci kh

hX

kh Si kh Si kh Si kh

(9)

όπου:

0

sin

cos

0.5772157

x

x

ySi x dy

y

yCi x dy

y

C

Οι τιμές των (8) και (9) για διάφορα μήκη διπόλου και ακτίνες μπορούν να βρεθούν στην [1] (κεφ. 5). Από τους πίνακες αυτούς γίνεται φανερό ότι για μήκος διπόλου περίπου ίσο με 0.23λ, το πραγματικό μέρος της σύνθετης αντίστασης παίρνει τιμή 50Ω και το φανταστικό 0Ω (συντονισμός).

2β. Υπολογισμός Αμοιβαίας Σύνθετης Αντίστασης Εισόδου

Ας θεωρήσουμε μία κεραία που λειτουργεί ως πομπός σε απόσταση δ από ένα τέλεια αγώγιμο, άπειρο επίπεδο. Σύμφωνα με την θεωρία ειδώλων, το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο σε κάθε σημείο Π του κενού χώρου ισοδυναμεί με το πεδίο που παράγεται από την υπάρχουσα κεραία και άλλη μία (φανταστική) σε απόσταση επίσης δ, στον κάτω ημιάπειρο χώρο, με κατανομή ρεύματος αντίθετη της πρώτης. Στο σχήμα 3 δίνεται μία γραφική απεικόνιση της θεωρίας ειδώλων.

Σχήμα 3: Θεωρία ειδώλων για κεραία παράλληλη σε αγώγιμο επίπεδο

Όπως γίνεται φανερό από το σχήμα 3, η διάταξη είναι μία στοιχειοκεραία αποτελούμενη από δύο στοιχεία. Κάνοντας πάλι χρήση του θεωρήματος αμοιβαιότητας, είναι δυνατό να εξαχθεί η σχέση που δίνει την αμοιβαία σύνθετη αντίσταση μεταξύ των δύο διπόλων:

12 1 21 2

1

0 0

h

z

h

Z E I z dzI I

(10)

όπου: η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου του διπόλου 1 στην θέση του διπόλου 2.

Αντικαθιστώντας πάλι την σχέση (4) και (5) στην (10) προκύπτει

2

2

1 2

1 212 2

1 2

1 2

sin4 0 0

2 cos

h

m m

h

jkR jkR jkr

nI IZ j k h z

I I

e e ez kh dz

R R r

(11)

Στην περίπτωση αυτή, η σύνθετη αντίσταση εισόδου δίνεται από την σχέση ([2], κεφ. 4, σελ. 132):

11 12inZ Z Z (12)

3. Network Analyzer

Ο network analyzer είναι ένα όργανο το οποίο έχει δύο θύρες επικοινωνίας με το κύκλωμα (transmission port, reflection port). Στην παρούσα άσκηση, θα χρησιμοποιήσουμε την θύρα ανάκλασης. Η θύρα αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την μέτρηση πολλών χαρακτηριστικών του κυκλώματος, όπως:

- ο συντελεστής ανάκλασης του δίθυρου (ή μονόθυρου)

- το πλάτος του ανακλώμενου κύματος

- η φάση του ανακλώμενου κύματος

- το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της σύνθετης αντίστασης εισόδου του κυκλώματος και

- ο λόγος στασίμων κυμάτων.

Το φάσμα συχνοτήτων για το οποίο μπορούν να πραγματοποιηθούν μετρήσεις κυμαίνεται από 9KHz έως τα 3 GHz.

Αναφέρεται, για λόγους πληρότητας, ότι ο network analyzer μπορεί να αποθηκεύσει αρκετά αρχεία μετρήσεων στην εσωτερική μνήμη που διαθέτει ή να σώσει πληροφορίες – σε ειδικό format- σε δισκέτα. Επίσης, έχει την δυνατότητα σύνδεσης με πληκτρολόγιο και εκτυπωτή.

4. Πειραματική Διάταξη και Μετρήσεις

Η πειραματική διάταξη φαίνεται στο σχήμα 4.

Σχήμα 4: Πειραματική διάταξη

Το δίπολο συνδέεται με τη reflection port του network analyzer. Σε απόσταση d υπάρχει ανακλαστικό επίπεδο, το οποίο και επιφέρει την αλλαγή στην αντίσταση εισόδου της κεραίας, όπως αναφέρθηκε στα προηγούμενα.

Να γίνουν τα εξής:

1. Να πραγματοποιηθεί το configuration του αναλυτή.

2. Να γίνουν οι κατάλληλες ρυθμίσεις στον αναλυτή ούτως ώστε να μπορούν να διαβαστούν τιμές για το φάσμα συχνοτήτων από 300MHz μέχρι 2.1GHz.

3. Χωρίς την παρουσία του ανακλαστικού επιπέδου:

α. Καταγράψτε τις τιμές του πλάτους του ανακλώμενου κύματος για τιμές συχνοτήτων από 300MHz μέχρι 2.1GHz με βήμα 300MHz.

β. Καταγράψτε τις τιμές της και για τις ίδιες συχνότητες.

γ. Κάνετε το ίδιο για τον συντελεστή ανάκλασης.

δ. Παρατηρήστε και καταγράψτε τις μεταβολές του SWR.

Αναφέρατε τα συμπεράσματα που παρατηρήσατε και δικαιολογήστε τυχόν διαφορές από τα θεωρητικά ([1], κεφ. 5, σχήματα 5.12-5.15 και πίνακας 5.1).

4. Με την παρουσία ανακλαστικού επιπέδου (d=33cm έως 3cm με βήμα 3cm):

Επαναλάβετε τα βήματα 4α-4δ. Διατυπώστε τα συμπεράσματα που προκύπτουν ([1], κεφ. 5, σχήματα 5.35, 5.39 και πίνακες 5.1 και 5.2)

Βιβλιογραφία:

[1] Χ. Καψάλη, Π. Κωττή, «Κεραίες»

[2] Ι. Φικιώρη, «Εισαγωγή στην θεωρία κεραιών», Αθήνα, 1976

[3] Ι. Κουρή, «Κεραίες και Διάδοση», ΑΠΘ

[4] C. A. Balanis, “Antennas Theory”, 3rd ed., 2005