ΓΕΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑ - ΣΤΕΡΕΟΣΤΑΤΙΚΗ

ΓΕΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑ - ΣΤΕΡΕΟΣΤΑΤΙΚΗ

21

Σχ. 2.1 Η φορά του βάρους

2. Στερεοστατική

2.1 Ισοδύναμα συστήματα δυνάμεων

2.1.1 Δύναμη

Στο πλαίσιο της καθημερινής ζωής κάνουμε διάφορες ενέργειες που προκαλούνδιάφορα αποτελέσματα.

Όταν για παράδειγμα λέμε ότι κάποιος σπρώχνει ένα καρότσι, ή η σκεπή παρασύρθηκεαπό τον αέρα, ή κάποιος λυγίζει ένα κομμάτι ατσάλι, ή ότι η ατμομηχανή κινείται με τη βοήθειατου ατμού, σκεπτόμαστε ότι υπάρχει ένας δράστης που δρα και η δράση του αυτή ασκείταιπάνω σε ένα σώμα, το οποίο κάτι παθαίνει.

Κατ’ αυτόν τον τρόπο οι διάφορες "δράσεις" και τα αποτελέσματα εντάσσονται σε δύομεγάλες κατηγορίες φαινομένων: τις παραμορφώσεις σωμάτων και τις περιπτώσεις αλλαγήςτης κινητικής τους κατάστασης.

Η Μηχανική συμβολίζει και υπολογίζει το μη χειροπιαστό, τη δράση και την ονομάζειδύναμη.

Δύναμη είναι το αίτιο που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης τωνσωμάτων ή την παραμόρφωση αυτών.

Η κινητική κατάσταση ενός σώματος μπορεί να είναι:α) ισορροπίαβ) οποιαδήποτε ομαλή κίνησηγ) οποιαδήποτε επιταχυνόμενη ή επιβραδυνόμενη κίνησηΗ δύναμη συμβολίζεται με το γράμμα F (Force = δύναμη). Μια δύναμη μπορεί να

επενεργεί ή δι' επαφής μεταξύ των σωμάτων ή εξ' αποστάσεως.

Βάρος ενός σώματος λέμε τη δύναμη με τηνοποία η Γη έλκει τα σώματα.

Το βάρος έχει φορά κατακόρυφη, δηλαδήκάθετη προς την οριζόντια επιφάνεια (σχ. 2.1).Συμβολίζεται με το γράμμα G. Όλα τα σώματα έχουνβάρος και τα στερεά και τα υγρά και τα αέρια. Ο τύποςπου δίνει το βάρος είναι:

όπου Μ η μάζα του σώματος και g η επιτάχυνση τηςβαρύτητας.

Το βάρος ενός σώματος εξαρτάται από τογεωγραφικό πλάτος και από το ύψος από τηνεπιφάνεια της Γης, ενώ είναι ανεξάρτητο από το μέσοπου περιβάλλει το σώμα.

ΠαρατήρησηΜάζα Μ=1Kg επί της Γης δημιουργεί δύναμη βάρους περίπου 10Ν. Η ακριβής τιμή είναι9,8066Ν.

gMG


22

mF 21Kg1smF

Σχ. 2.3

Χαρακτηριστικά στοιχεία της Δύναμης

Η δύναμη είναι διανυσματικό μέγεθος(σχ.2.2) και για να καθοριστεί ακριβώς πρέπει ναγνωρίζουμε τα εξής:

1. Το μέτρο της2. Την ευθεία ενέργειάς της (φορέας)3. Τη φορά της4. Το σημείο εφαρμογής της Σχ. 2.2 Τα χαρακτηριστικά στοιχεία μιας δύναμης

1. Μέτρο: Είναι η αριθμητική έκφραση του μεγέθους της (π.χ. F=100Ν).

2. Ευθεία ενέργειας (φορέας): Είναι η ευθεία επάνω στην οποία ενεργεί η δύναμη.3. Φορά: Η θετική ή αρνητική κατεύθυνση πάνω στην ευθεία ενέργειας (- +)4. Σημείο εφαρμογής: Είναι το σημείο του σώματος στο οποίο εφαρμόζεται η δύναμη.

Οι δυνάμεις που έχουν όλα τα παραπάνω χαρακτηριστικά ίδια ονομάζονται ίσες.Μονάδες Δύναμης

Η μονάδα μέτρησης της δύναμης για το διεθνές σύστημα S.I., βρίσκεται από τρειςβασικές μονάδες μετρήσεως και από τη σχέση F = m · α (θεμελιώδης εξίσωση της δυναμικής).

Όπου F η δύναμη, m η μάζα και α η επιτάχυνση.

Η μονάδα αυτή λέγεται Νιούτον (Newton) και συμβολίζεται με το γράμμα N.Στο Τεχνικό σύστημα η μονάδα δύναμης είναι το κιλοπόντ (Kp).Αν χρειαστεί να κάνουμε μετατροπή από ένα σύστημα σε άλλο, έχουμε τις σχέσεις:

1 Kp = 9,81 Nή για ευκολία, 1 Kp = 10 N

Ασκήσεις

1. Στο σχήμα 2.3 έχουμε πάντα την ίδια δοκό.Στη δεύτερη στήλη η δύναμη που ασκείταιδιαφέρει από την αντίστοιχη δύναμη τηςπρώτης στήλης, κατά ένα τουλάχιστον απότα τέσσερα χαρακτηριστικά της. Ναεντοπίσετε ποιο είναι αυτό.


23

Σχ. 2.4 Γραμμικό σύστημα δυνάμεων

2. Όταν μεταφέρουμε από τη Γη στη Σελήνη ένα σώμα, τι αλλάζει από τα παρακάτω:i) η μάζα του σώματος;ii) το βάρος του;iii) και τα δύο μαζί;iv) κανένα από τα δύο;

Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

2.1.2 Ροπή

Ορισμός-Μονάδες – Πρόσημο της Ροπής

Στην προηγούμενη ενότητα είδαμε το αίτιο που προκαλεί την αλλαγή της κινητικήςκατάστασης ενός σώματος. Εδώ θα εξετάσουμε την αιτία που κάνει τα σώματα ναπεριστρέφονται.

Από την καθημερινή εμπειρία είναι γνωστό ότι η πόρτα ανοίγει ευκολότερα αν η δύναμηεφαρμοστεί στο πόμολο, παρά κοντά στο μεντεσέ. Επίσης θα έχουμε παρατηρήσει ότι με τηνίδια δύναμη μπορούμε να σηκώσουμε μεγαλύτερο βάρος αν χρησιμοποιήσουμε μακρύτερομοχλό.

Παρατηρούμε ότι για να περιστραφεί ένα σώμα δεν παίζει ρόλο μόνο η δύναμη, αλλάκαι η απόσταση εφαρμογής της δύναμης από το σημείο περιστροφής.

Στην Τεχνική Μηχανική την έννοια αυτή την ονομάζουμε Ροπή. Η Ροπή είναισυνδεδεμένη με την περιστροφή των σωμάτων, είναι δηλαδή η αιτία της περιστροφής. Είναιπολύ χρήσιμο μέγεθος και συμβολίζεται με Μ.

Καλούμε Στατική Ροπή ή απλώς Ροπή μιας δύναμης F ως προς σημείο Ο, το γινόμενοτης δύναμης F επί την κάθετη απόσταση α μεταξύ της δύναμης και του σημείου στροφής Ο.

Μ = F ∙ α

Την απόσταση α την ονομάζουμε Μοχλοβραχίονα.Μονάδες Στατικής Ροπής

Διεθνές σύστημα (S.I): N mΤεχνικό σύστημα (Τ.Σ.): Kp mΠρόσημο Ροπής: Η ροπή θεωρείται ότι είναι θετική, όταν η στροφή της δύναμης ως προς τοσημείο, πραγματοποιείται κατά τη φορά κίνησης των δεικτών του ρολογιού και αρνητική κατάτην αντίθετη φορά. Είναι διανυσματικό μέγεθος, διότι χαρακτηρίζεται από το μέτρο της και τηνδιεύθυνσή της.

Αν το σημείο Ο βρίσκεται πάνω στην ευθεία ενέργειας της δύναμης, τότε η ροπήμηδενίζεται. Ο μοχλοβραχίονας α είναι πάντα η κάθετηαπόσταση του σημείου στροφής Ο από την ευθείαενέργειας της δύναμης, ανεξάρτητα από το σημείοεφαρμογής της.

Ζεύγος δυνάμεων

Δύο δυνάμεις, οι οποίες ενεργούν σε παράλληλεςευθείες ενέργειας και έχουν το ίδιο μέτρο αλλά αντίθετηφορά, αποτελούν ζεύγος δυνάμεων.


24

Σχ. 2.5 Επίπεδο σύστημα δυνάμεων: α) Συντρέχουσες β) Παράλληλες γ) Τυχούσες

Το ζεύγος δυνάμεων τείνει να περιστρέψει το σώμα και αποτελεί από μόνο του μιαροπή. Παράδειγμα το τιμόνι του αυτοκινήτου.

Η ροπή του ζεύγους που επενεργεί σε ένα επίπεδο φορέα είναι σταθερή και ανεξάρτητηαπό τη θέση της στο επίπεδο.

2.1.3 Ισοδυναμία δυνάμεων

Σύστημα δυνάμεων συνιστούν οι δυνάμεις που είναι περισσότερες από μια. Χωρίζεταισε τρείς μεγάλες κατηγορίες:1. Γραμμικό, όταν οι φορείς των δυνάμεων βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία (σχ.2.4).2. Επίπεδο, όταν οι φορείς των δυνάμεων βρίσκονται πάνω στο ίδιο επίπεδο και μπορεί να

είναι:α) Συντρέχουσες, όταν οι φορείς των δυνάμεων διέρχονται από το ίδιο σημείο (σχ.2.5α).β) Παράλληλες, όταν οι δυνάμεις είναι συνεπίπεδες (βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο) και οιφορείς τους είναι παράλληλοι (σχ.2.5β).γ) Τυχούσες, όταν οι δυνάμεις είναι

συνεπίπεδες, αλλά οι φορείς τους δεν είναι ούτε συντρέχουσες, ούτε παράλληλες (σχ.2.5γ).3. Στο χώρο, όταν οι φορείς των δυνάμεων βρίσκονται σε διαφορετικά επίπεδα.

Συνισταμένη-συνιστώσες, σύνθεση-ανάλυσηΤο βασικό πρόβλημα της Στατικής βρίσκεται στο να μπορέσουμε να καθορίσουμε τις

συνθήκες που πρέπει να παρουσιάζει ένα σύστημα δυνάμεων για να ισορροπεί, όταν σε αυτόεπενεργούν διάφορες δυνάμεις.

Σχετικό πρόβλημα της Στατικής είναι η σύνθεση δυνάμεων σε μια συνισταμένη.Συνισταμένη: λέγεται η δύναμη η οποία δημιουργεί από μόνη της κάποιο αποτέλεσμα

(μεταβολή κινητικής κατάστασης ενός σώματος ή παραμόρφωση αυτού). Συμβολίζεται με τογράμμα R.

Συνιστώσες: λέγονται δύο ή περισσότερες δυνάμεις που, όταν επενεργήσουν στοσώμα, δημιουργούν το ίδιο αποτέλεσμα με τη συνισταμένη.

Σύνθεση: λέγεται η διαδικασία αντικατάστασης δύο ή περισσοτέρων δυνάμεων(συνιστώσες) από μια (συνισταμένη).

Ανάλυση: λέγεται η διαδικασία αντικατάστασης μιας δύναμης (συνισταμένης) από δύοή περισσότερες (συνιστώσες).

Για να ισορροπεί ένα σώμα, στο οποίο ενεργούν δυνάμεις, θα πρέπει η συνισταμένητους να είναι μηδέν R=0

Η λύση του προβλήματος μπορεί να γίνει με δύο τρόπους:α) Γραφικά (δηλ. σχεδιαστικά)β) Αναλυτικά (δηλ. αριθμητικά)


25

Σχ. 2.7 Κατασκευή δυναμοτριγώνου

Σχ. 2.8 Ανάλυση με την μέθοδοτου παραλληλογράμμου

Σχ. 2.6 Κανόνας του παραλληλογράμμου

Παραλληλόγραμμο των δυνάμεων

Έστω δύο δυνάμεις F1 και F2 πουεφαρμόζονται στο σημείο Α ενός σώματος.

Το αποτέλεσμα της ενέργειας των δυνάμεωναυτών είναι το ίδιο με το αποτέλεσμα της ενέργειαςτης δύναμης R, η οποία αποτελεί τη διαγώνιο τουπαραλληλογράμμου που σχηματίζεται με πλευρέςF1 και F2 που λαμβάνονται σαν διανύσματα. (σχ.2.6).

Η δύναμη R είναι η συνισταμένη και οι F1, F2 οι συνιστώσες.Η παραπάνω γεωμετρική κατασκευή ονομάζεται κανόνας του παραλληλογράμμου.Μια ισοδύναμη κατασκευή με το παραλληλόγραμμο είναι η κατασκευή του

δυναμοτριγώνου (για δύο δυνάμεις F1, F2) ή τουδυναμοπολυγώνου (για περισσότερες δυνάμεις)

Από τυχαίο σημείο Α' (σχ. 2.7) φέρνουμε τοδιάνυσμα Α’Β’ που έχει το ίδιο μέτρο, την ίδια φορά καιείναι παράλληλο με το διάνυσμα ΑΒ το οποίο παριστάνειτη δύναμη F1. Από το τέλος του Β' φέρνουμε το διάνυσμαΒ’G’ που έχει το ίδιο μέτρο, την ίδια φορά και είναιπαράλληλο με το διάνυσμα AG.Τέλος από το σημείο Α' φέρνουμε το διάνυσμα A’G’ πουέχει το ίδιο μέτρο, την ίδια φορά και είναι παράλληλο με τοδιάνυσμα AD. Το A’G’ θα ισούται με τη ζητούμενησυνισταμένη R των F1, F2.

Η ανάλυση μιας γνωστής δύναμης R σε δύο συνιστώσες, οι οποίες ενεργούν πάνωσε καθορισμένες ευθείες ενέργειας αποτελεί πρόβλημααντίστροφο του προηγούμενου. Επιτυγχάνεται και με τοπαραλληλόγραμμο και με το δυναμοτρίγωνο.Παραλληλόγραμμο: από το άκρο Β του διανύσματος ABπου παριστάνει τη δύναμη R (σχ. 2.8), φέρνουμε τιςπαράλληλες ΒΓ, ΒΔ προς τις ευθείες ενέργειας (ε2), (ε1)αντίστοιχα.

Τα σημεία τομής Γ και Δ ορίζουν τα διανύσματα AΓ,ΑΔ τα οποία παριστάνουν τις ζητούμενες δυνάμεις F1 καιF2.

Δυναμοτρίγωνο: από τα άκρα Α, Β του διανύσματος AΒ(σχ.2.9) που παριστάνει τη δύναμη R, φέρνουμε τιςπαράλληλες προς τις ευθείες ενέργειας (ε1), (ε2), οι οποίεςτέμνονται στο σημείο Γ. Τα διανύσματα AΓ, ΓΒ παριστάνουντις ζητούμενες δυνάμεις F1 και F2.

Σχ. 2.9 Ανάλυση με την μέθοδο τουδυναμοτριγώνου


26

Σχ. 2.10 Ανάλυση δύναμης σε δύοσυνιστώσες κάθετες μεταξύ τους

Σχ. 2.11 Πρόσθεση δυνάμεων Σχ. 2.12 Αφαίρεση δυνάμεων

Σχ. 2.13 Ίσες και αντίρροπεςδυνάμεις

Ειδική περίπτωση αποτελεί η ανάλυση μιας δύναμης σε δύο συνιστώσες κάθετεςμεταξύ τους (σχ. 2.10).Οι συνιστώσες υπολογίζονται και από τις σχέσεις:

Η δε συνισταμένη από τη σχέση:

Όταν ένα σώμα ισορροπεί, τότε η συνισταμένη τωνδυνάμεων που ασκούνται σε αυτό είναι μηδέν:

0RΑν τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα τις αναλύσουμε σε δύο ορθογώνιους άξονες x

και y και το σώμα ισορροπεί, τότε το άθροισμα των αλγεβρικών τιμών των συνιστωσών τωνδυνάμεων και κατά τον άξονα x (ΣFx) και κατά τον άξονα y (ΣFy), πρέπει να είναι ίσο με μηδέν:

2.1.4 Πρόσθεση και αφαίρεση δυνάμεων

Όπως προαναφέραμε η δύναμη είναι διανυσματικό μέγεθος.Η πρόσθεση δυνάμεων γίνεται όπως η πρόσθεση διανυσμάτων.- Όταν δύο δυνάμεις F1, F2 έχουν την ίδια φορά (σχ. 2.11), τότε η συνισταμένη τους, δηλαδή τοάθροισμα F1+F2 θα είναι μια δύναμη που έχει μέτρο R=F1+F2 και φορά την ίδια με τις δυνάμειςF1, F2.- Όταν δύο δυνάμεις F1, F2 έχουν αντίθετη φορά (σχ. 2.12), τότε η συνισταμένη τους θα είναι

μια δύναμη που έχει μέτρο R=F2-F1 (F2>F1) και φορά τη φορά τηςμεγαλύτερης δύναμης F2.

Δύο δυνάμεις, που έχουν το ίδιο μέτρο, αντίθετη φορά καιδρουν στην ίδια ευθεία ενέργειας, ονομάζονται ίσες καιαντίρροπες (σχ. 2.13).

Ίσες και αντίρροπες δυνάμεις μπορούν να προστεθούνή να αφαιρεθούν σε ένα απόλυτο στερεό σώμα, όταν αυτόισορροπεί, χωρίς να μεταβάλλουν την κατάσταση ισορροπίας του.

RF1 RF2

22

21 FFR

0,0 FxFy


27

Σχ. 2.14 Δράση – Αντίδραση

Σχ. 2.15 Διάγραμμα ελευθέρουσώματος

2.2 Διάγραμμα Ελεύθερου Σώματος

Ένα σώμα για να ισορροπεί ή να βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας, θα πρέπει ναστηρίζεται σε άλλα σώματα ή επάνω στη Γη. Τη στήριξη αυτή την πραγματοποιούν οισύνδεσμοι.Οι σύνδεσμοι ασκούν δυνάμεις στα διάφορα σώματααποτρέποντας την κίνησή τους, περιορίζοντας κατ' αυτό τοντρόπο τις ελευθερίες κίνησης των σωμάτων. Οι δυνάμεις αυτέςονομάζονται αντιδράσεις, έχουν σαν ευθεία ενέργειας τηνευθεία, στην οποία προσπαθεί να κινηθεί το σώμα, καιπερνάνε από το σημείο όπου υπάρχει ο σύνδεσμος. Οιαντιδράσεις δεν είναι εξωτερικές δυνάμεις, αλλά αναπτύσσονταιστα σημεία επαφής από τις στηρίξεις (σχ.2.14).

Για την επίλυση προβλημάτων όχι μόνο της Στατικήςαλλά και της Αντοχή Υλικών, θα θεωρούμε ένα σώμα χωρίςτους συνδέσμους του, αλλά με τις αντιδράσεις που του ασκούνοι σύνδεσμοι και τις εξωτερικές δυνάμεις που επενεργούνεπάνω του. Κατ’ αυτό τον τρόπο παίρνουμε τις παραστάσειςτου σχήματος 2.15, οι οποίες αποτελούν το ΔιάγραμμαΕλεύθερου Σώματος (Δ.Ε.Σ.) (σχ.2.15β).

Η ενέργεια αυτή θα μας βοηθήσει στο ναυπολογίσουμε τις άγνωστες δυνάμεις και να θεωρήσουμε τιςεσωτερικές, δηλ. FA, FB ως εξωτερικές δυνάμεις.

Είδη στήριξης φορέων.Οι φορείς δεν επιτρέπεται να μετακινούνται στο επίπεδο. Θα πρέπει να έδράζονται σε

σταθερά σημεία, τις στηρίξεις, τα οποία νά τους κρατούν ακίνητους. Ένα σώμα στο επίπεδομπορεί νά μετακινηθεί κατά δύο διευθύνσεις (οριζόντια και κατακόρυφη) και να στραφεί (σχ.2.16).

Έχουμε λοιπόν, τρεις βαθμούς ελευθερίας κινήσεως.Οι στηρίξεις θα πρέπει να σχηματισθούν με τέτοιο τρόπο, ώστε να δεσμεύουν μαζί

τουλάχιστον τους τρεις βαθμούς ελευθερίας.Επομένως ο φορέας δεν πρέπει: α) Να μετακινείται κατακόρυφα. β) Να μετακινείται

οριζόντια. γ) Να στρέφεται.

Σχ. 2.16


28

Η διαμόρφωση των στηρίξεων είναι διαφορετική, ανάλογα με τις δεσμεύσεις ελευθερίαςκινήσεως που μπορούν να πετύχουν.

Οι αντιδράσεις στις θέσεις στηρίξεως του φορέα, είναι κατ' αρχήν άγνωστοι, δηλαδή δένγνωρίζουμε μέγεθος, φορά και σημείο εφαρμογής. Κάθε είδος στηρίξεως όμως έχει ορισμένααπό τα τρία καθοριστικά στοιχεία της δυνάμεως γνωστά και τα υπόλοιπα άγνωστα.

Διακρίνουμε τρία είδη στήριξης.

α) Πάκτωση (σχ. 2.17).

Από την πράξη γνωρίζουμε ότι οαπλούστερος τρόπος για να στηρίξουμεμια δοκό, είναι να ενσωματώσουμε το έναάκρον της μέσα σ΄ ένα τοίχο.

Μία τέτοια στήριξη εμφανίζει τρειςδεσμεύσεις, δηλαδή δεν επιτρέπει ούτεστροφή, ούτε μετακίνηση, ούτεαποχωρισμό της δοκού. Αυτόν τοντρόπον στηρίξεως τον ονομάζουμεπάκτωση.

Άγνωστα στοιχεία της αντιδράσεως είναι τρία, δηλαδή το μέγεθος, η φορά και το σημείοεφαρμογής. Αν ως σημείο εφαρμογής θεωρήσουμε την θέση πακτώσεως, εμφανίζονται τρειςάγνωστοι αντιδράσεις στηρίξεως, δηλαδή οι δυνάμεις Αν, ΑΗ και ή ροπή πακτώσεως Μπ.

Παρόμοια με την πάκτωση της δοκοϋ στον τοίχο είναι και η στήριξη του άξονα μιαςμηχανής κατά το σχήμα 2.17β. Στο ίδιο σχήμα εμφανίζεται και ο συμβολισμός της πάκτωσης.

β) Σταθερή στήριξη ή άρθρωση (σχ. 2.18).

Αν καταργήσουμε την πρώτη δέσμευση της πακτωμένης δοκού, παίρνουμε μια δοκό,που συνδέεται στη θέση στήριξής της με ένα είδος σταθερού συνδέσμου. Η διάταξη αυτή δενέπιτρέπει ούτε την μετακίνηση, ούτε τον αποχωρισμό της δοκού, επιτρέπει όμως τη στροφήγύρω από το σημείο στήριξής της. Δεσμεύει επομένως δύο βαθμούς ελευθερίας, την οριζόντιακαι την κατακόρυφη μετακίνηση.

Σχ. 2.18

Από τα στοιχεία που προσδιορίζουν την αντίδραση μιας αρθρώσεως, μας είναι άγνωσταδύο στοιχεία: η κατακόρυφη και η οριζόντια συνιστώσα Αν και ΑΗ·

Σχ. 2.17


29

Σχ. 2.20 Συμβολισμός κόμβων, ράβδωνκαι τάσεων ενός δικτυώματος

Έτσι σε κάθε άρθρωση παρουσιάζονται δύο άγνωστοι. Συνήθεις διατάξεις αρθρώσεωνστις μηχανολογικές κατασκευές είναι το ταλαντευόμενο έδράνο καί ο ταλαντευόμενος ένσφαιροςτριβέας.

γ) Κινητή στήριξη ή κύλιση (σχ. 2.19).

Αν καταργηθεί και η δεύτερη δέσμευσητης πάκτωσης, δηλαδή η μη δυνατότηταμετακινήσεως, τότε η στήριξη που προκύπτειεπιτρέπει όχι μόνο τη στροφή της δοκού, αλλάκαι τη μετακίνησή της.

Αυτό θα μπορούσαμε να το πετύχουμε,αν στη θέση στήριξης τοποθετούσαμεχαλύβδινους κυλινδρίσκους μεταξύ της δοκούκαι του σώματος, πάνω στο οποίο στηρίζεται.Μ' αυτό τον τρόπο συμβολίζεται η κύλιση.Δεσμεύεται συνεπώς μόνον η δυνατότητααποχωρισμού της δοκού, κάθετα προς τηδιεύθυνση της κύλισης.

Για να προσδιορίσουμε την αντίδραση κύλισης, γνωρίζουμε εκ των προτέρων δύοστοιχεία, ότι διέρχεται από το σημείο Α και ότι είναι κάθετη επάνω στο επίπεδο στήριξης. Αν ηαντίδραση δεν ήταν κάθετη, θα προέκυπτε συνιστώσα κατά τή διεύθυνση του επιπέδουστήριξης, η οποία και θα μετακινούσε το σώμα. Αυτό όμως είναι άτοπο, γιατί έχουμε δεχθεί ότιη δοκός ισορροπεί.

Επομένως το μόνο στοιχείο της αντίδρασης, πού είναι άγνωστο, είναι το μέγεθός της.Ώστε στην κύλιση έχουμε μία άγνωστη άντίδραση.

2.3 Ισορροπία στερεού σώματος στο επίπεδο

Εδώ θα ασχοληθούμε κυρίως με τις δυνάμεις που αναπτύσσονται επάνω σε φορείς(άξονες). Οι κυριότεροι φορείς δυνάμεων είναι η ράβδος, η δοκός και τα δικτυώματα.

Αρκετές κατασκευές αποτελούνται από ράβδους που με κατάλληλη σύνδεσησχηματίζουν φορείς με το όνομα Δικτυώματα.

Δικτυώματα ονομάζουμε τις μηχανικές κατασκευές, οι οποίες αποτελούνται απόξεχωριστές ευθύγραμμες ράβδους, που συνδέονται μεταξύ τους κατά τέτοιον τρόπο, ώστε νααποτελούν αμετάβλητο γεωμετρικό σχήμα.

Τα δικτυώματα χρησιμοποιούνται σαν ζευκτά γεφυρών και οροφών μεγάλουανοίγματος, καθώς και στην κατασκευή γερανογεφυρών, γερανών κλπ.

Για τα δικτυώματα χρησιμοποιούνται οι παρακάτω συμβολισμοί:i) Οι κόμβοι συμβολίζονται με λατινικούς

αριθμούς Ι, ΙΙ, ΙΙΙ, ΙV, κλπ.ii) Οι ράβδοι συμβολίζονται με αραβικούς

αριθμούς 1, 2, 3, 4, κλπ.iii) Οι τάσεις συμβολίζονται με το λατινικό γράμμα

S, το οποίο έχει σαν δείκτη τον αριθμό τηςράβδου (σχ.2.20).

Σχ. 2.19


30

Σχ. 2.21

Σχ. 2.22 Η φορά μιας τάσεωςσε δύο διαδοχικούς κόμβους

Σχ. 2.22 Δυναμοπολύγωνοκλειστό

Σχ. 2.23

Το απλούστερο παράδειγμα αμεταβλήτου γεωμετρικούσχήματος είναι το τρίγωνο, το οποίο αποτελείται από τρεις ράβδουςσυνδεδεμένες με τρεις κόμβους. Αν θέλουμε να μορφώσουμε κάποιοδικτύωμα θα πρέπει να συναρμολογήσουμε δύο ράβδους με ένακόμβο, στο υπάρχον τρίγωνο ΑΒΓ (σχ.2.21).

Έτσι προκύπτει μια σχέση που συνδέει τον αριθμό των κόμβων Κ και τον αριθμό τωνράβδων S. Για τους τρεις πρώτους κόμβους χρειαζόμαστε τρεις ράβδους, ενώ η δημιουργίαενός νέου κόμβου απαιτεί δύο επιπλέον ράβδους.

Δηλαδή: S = 3 + (K - 3)·2S = 2K - 3

Οι ράβδοι σαν φορείς είναι καταπονούμενα στοιχεία με μεγάλο μήκος σε σχέση με τιςδιαστάσεις της διατομής τους και μπορούν να παραλάβουν φορτίο κατά τον άξονά τους (αξονικόφορτίο).

Κάθε ράβδος επομένως θα καταπονείται σε εφελκυσμό ή θλίψη.Για τον υπολογισμό των εσωτερικών δυνάμεων των ράβδων ενός δικτυώματος

χρησιμοποιούμε γραφική και αναλυτική μέθοδο.Η σειρά με την οποία θα πάρουμε τους κόμβους για να διατυπώσουμε τις εξισώσεις

ισορροπίας δεν είναι ορισμένη, μπορεί να είναι οποιαδήποτε, αρκεί σε κάθε κόμβο πουπαίρνουμε να ενεργεί τουλάχιστο μια γνωστή δύναμη και το πολύ δύο άγνωστες.

Η φορά των δυνάμεων είναι προφανής. Αυτό όμως δενσυμβαίνει πάντοτε, οπότε δίνουμε μια αυθαίρετη φορά στιςδυνάμεις και από το σημείο (+ ή -) του αποτελέσματος τουυπολογισμού προκύπτει αν η εκλογή έγινε σωστά ή όχι Το (+)στο αποτέλεσμα σημαίνει ότι η αρχική επιλογή ήταν σωστή, ενώμε το (-) λέμε ότι η δύναμη έχει αντίθετη φορά.

Αν μια τάση σε ένα κόμβο έχει κάποια φορά στοναμέσως επόμενο κόμβο η ίδια τάση θα έχει αντίθετη φορά(σχ.2.22).

Θα πρέπει η συνισταμένη των δυνάμεων που ενεργούνσε ένα σημείο να είναι μηδέν.

Αυτό κατά τη γραφική μέθοδο ικανοποιείται, αν τοδυναμοπολύγωνο είναι κλειστό (σχ.2.22), και κατά τηναναλυτική μέθοδο, αν ΣFx= 0 και ΣFψ= 0.

Παράδειγμα 1: Σφαίρα βάρους G στηρίζεταιεπάνω σε κεκλιμένο επίπεδο και συγχρόνωςκρέμεται με σχοινί από σταθερό σημείο(σχ.2.23α). Να γίνει το διάγραμμα ελεύθερουσώματος (Δ.Ε.Σ.).

ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΖΗΤΟΥΜΕΝΑ

Βάρος G Δ.Ε.Σ.


31

Σχ. 2.24

Σχ. 2.25

Σχ. 2.26

ΛΥΣΗΚάνουμε τη σφαίρα και τοποθετούμε τις δυνάμεις που ασκούνται επάνω της.Οι δυνάμεις που ασκούνται είναι το βάρος G της σφαίρας, η τάση του σχοινιού S και η

αντίδραση του κεκλιμένου επιπέδου (σχ.2.23β).

Παράδειγμα 3: Να βρεθούν οι μηδενικές δυνάμεις τωνράβδων του δικτυώματος του σχήματος 2.24α.

ΛΥΣΗΟνομάζουμε τους κόμβους και τις τάσεις

(σχ.2.24β).Ο κόμβος Ι είναι αφόρτιστος και τάσεις S1, S6 δενβρίσκονται στην ίδια ευθεία ενέργειας, οπότε:S1 = S6 = 0 ομοίως S2 = S3 = 0 (κόμβος ΙΙΙ).Στον κόμβο V έχουμε τρεις ράβδους, δεν έχουμε φόρτισηκαι οι τάσεις S4, S5 έχουν την ίδια ευθεία ενέργειας, οπότεη άλλη ράβδος S8=0.Άρα μηδενικές ράβδοι είναι οι: S1, S2, S3, S6, S8.

Παράδειγμα 4: Να βρεθεί η εσωτερική δύναμη που αναπτύσσεται σε κάθε ράβδο της απλήςδικτυωτής κατασκευής του σχήματος 2.25, με τη γραφική μέθοδο.

ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΖΗΤΟΥΜΕΝΑG=1000ΝΑΒ=1.0mAΓ=0.75m

S1=;S2=;

ΛΥΣΗ

Βήμα 1:Θα εξετάσουμε την ισορροπία του κόμβου ΙΙΙ στο οποίο ενεργείτο εξωτερικό φορτίο G (βάρος).Θα πρέπει η συνισταμένη των δυνάμεων που ενεργούν στονκόμβο ΙΙΙ να είναι μηδέν.Δηλαδή το δυναμοπολύγωνο να είναι κλειστό.Στο κόμβο ΙΙΙ ενεργούν τρεις δυνάμεις. Το βάρος G και οι τάσειςτων ΑΓ, ΒΓ, τις οποίες ονομάζουμε S1, S2 αντίστοιχα.

Βήμα 2:Κατασκευάζουμε το διάγραμμα ελεύθερου σώματος (Δ.Ε.Σ.) (σχ.2.26).

Βήμα 3:Κλίμακα Δυνάμεων1cm 250N άρα, η G θα γίνει 4cm=̂


32

Σχ. 2.27

Βήμα 4:Κατασκευή Δυναμοτριγώνου (σχ.2.27)Η φορά και το μέτρο των S1, S2 προκύπτουναπό το δυναμοτρίγωνο.Μετράμε με το χάρακα και βρίσκουμε:S1 = 3cm οπότε: S1 = 3.250 = 750NS2 = 5cm S2 = 5.250 = 1250N

Βήμα 5:Η τοποθέτηση των δυνάμεων S1, S2 στιςράβδους 1,2 γίνεται κατά τέτοιο τρόπο, ώστεη φορά αυτών να συμφωνεί με τη φορά στο δυναμοτρίγωνο.

2.4 Κέντρα βάρους και κεντροειδή, ροπές αδράνειας

2.4.1 Γενικά

Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι τα σώματα απαρτίζονται από πολλά μικρά τεμάχια ύλης.Σε κάθε ένα από τα τεμάχια αυτά δρα μία δύναμη Ρ = m . g, δηλαδή το βάρος τους, μεδιεύθυνση προς το κέντρο της γης (σχ. 2.28).

Επομένως τα βάρη όλων των τμημάτων ενός σώματος αποτελούν παράλληλεςδυνάμεις με γνωστά σημεία εφαρμογής. Η συνισταμένη όλων των παράλληλων αυτώνδυνάμεων ονομάζεται βάρος του σώματος.

Το σημείο εφαρμογής της συνισταμένης αυτής ονομάζεται κέντρο βάρους του σώματος.Αν στρέψομε το σώμα, οι δυνάμεις θα παραμείνουν παράλληλες μεταξύ τους και θα

έχουν συνισταμένη, που θα έχει το ίδιο μέγεθος και το ίδιο σημείο εφαρμογής S όπως καιπροηγουμένως (σχ. 2.28).

Άρα κέντρο βάρους S σώματος είναι εκείνο το σημείο του, από το οποίο διέρχεται ησυνισταμένη των δυνάμεων της βαρύτητας για οποιαδήποτε θέση του σώματος.

Αντίστοιχα έχουμε και κέντρο βάρους γραμμών και επιφανειών, που ονομάζομεκεντροειδές. Μια επιφάνεια όμως ή μια γραμμή δεν έχουν μάζα. Αυτό σημαίνει ότι δεν έχουνβάρος και επομένως και σημεία εφαρμογής του ως κέντρο βάρους.

Για να βρεθεί το κεντροειδές μιας επιφάνειας λαμβάνονται τα εμβαδά των τμημάτων τηςως δυνάμεις και για να βρεθεί το κεντροειδές μιας γραμμής λαμβάνονται τα μήκη των τμημάτωντης.

Κεντροβαρικός άξονας ονομάζεται κάθε ευθεία, που διέρχεται από το κέντρο βάρους. Ηευθεία συμμετρίας, π.χ. η διάμετρος ενός κύκλου ή η διαγώνιος ενός τετραγώνου, αποτελείκεντροβαρικό άξονα. Το κέντρο βάρους μπορούμε να το βρούμε ως σημείο τομής δύο

Σχ. 2.28


33

κεντροβαρικών αξόνων είτε θεωρητικά, αν εφαρμόσουμε τους κανόνες της στατικής, είτεπρακτικά με ένα πείραμα.

Ό πρακτικός τρόπος εφαρμόζεται με τη διπλή ανάρτηση του σώματος. Αν έχουμε π.χ.ένα ισοπαχές έλασμα, το ΑΒΓΔ, το αναρτάμε με ένα σύρμα διαδοχικά από δύο ακμές του, π.χ.τις Α και Δ και το αφήνομε κάθε φορά να ηρεμήσει (σχ. 2.28). Στο σώμα ενεργούν δύο δυνάμεις,το βάρος του και η αντίδραση του σύρματος, οι οποίες βρίσκονται σε ισορροπία.

Άρα οι δυνάμεις αυτές πρέπει να είναι ίσες και αντίθετες. Απ’ αυτό προκύπτει ότι όάξονας του σύρματος συμπίπτει με την ευθεία ενέργειας της δυνάμεως βαρύτητας, δηλαδή οιευθείες G1 και G2 αποτελούν κεντροβαρικούς άξονες του σώματος. Το σημείο τομής τους Sαποτελεί το κέντρο βάρους της επιφάνειας ΑΒΓΔ. Το κέντρο βάρους του σώματος βρίσκεται στηθέση S και στο μέσο του πάχους του ελάσματος.

2.4.2 Κεντροειδές απλών γραμμών και επιφανειών.

α) Ευθείας γραμμής.Σώματα, των οποίων οι δύο διαστάσεις είναι πολύ μικρές,

αν συγκριθούν με την τρίτη, όπως είναι π.χ. μια σιδερένια ράβδος,και έχουν την ίδια συμμετρική διατομή σε όλο το μήκος τους,θεωρούνται ως απλές γραμμές. Το κεντροειδές τους βρίσκεται στομέσο του μήκους τους (σχ. 2.29).

β) Κύκλου και κυκλικής περιφέρειας.

Το κέντρο του κύκλου.

γ) Παραλληλογράμμου (επιφάνειας και περιμέτρου).

Το κέντρο βάρους τουπαραλληλογράμμου βρίσκεται στοσημείο τομής των διαγωνίων (σχ.2.30)

Απόσταση του κέντρουβάρους: y0 = h / 2

Το ίδιο ισχύει και για τοορθογώνιο, το ρόμβο και το τετράγωνο.

δ) Τριγώνου (επιφάνειας).

y0 = h / 3

Το κέντρο βάρους βρίσκεται στο σημείο τομής τωνδιαμέσων (σχ. 2.31).

ε) Τραπεζίου (επιφάνειας).

Για να βρούμε το κέντρο βάρους του τραπεζίου γραφικά, επεκτείνομε την πλευρά α κατάb και την πλευρά b κατά α και χαράζομε τη γραμμή ΑΒ. Στη συνέχεια ενώνομε τα μέσα τωνπλευρών α και b. Το σημείο τομής S είναι το κέντρο βάρους (σχ. 2.32). Αναλυτικά η απόστασητου κέντρου βάρους δίνεται από τον τύπο:

Σχ. 2.29

Σχ. 2.30.

Σχ. 2.31


34

όπου: r = ακτίνα, / = 2r ημα.

2.4.3 Είδη ισορροπίας. Ευστάθεια.

Όταν σε ένα σώμα ενεργεί η δύναμη της βαρύτητας, τότε η θέση του κέντρου βάρουςτου σχετικά με το σημείο ή την επιφάνεια στηρίξεως καθορίζει το είδος της ισορροπίας του.Η θέση του κέντρου βάρους ενός σώματος σε σχέση με το σημείο ή την επιφάνεια στηρίξεώςτου καθορίζει το είδος της ισορροπίας του.

Διακρίνομε τρία είδη ισορροπίας: α) Την ευσταθή, β) Την ασταθή και γ) την αδιάφορη.

Η ευσταθής ισορροπία υπάρχει, όταν για μικρή αλλαγή της θέσεως του σώματος, τοκέντρο βάρους του υψώνεται, οπότε προκαλείται μια ροπή επαναφοράς. Η ροπή αυτήεπαναφέρει το σώμα στην αρχική του θέση (σχ. 2.33). Επομένως στην κατάσταση ηρεμίας τουσώματος το κέντρο βάρους του βρίσκεται στη χαμηλότερή του θέση.

Η ασταθής ισορροπία υπάρχει, όταν για μικρή αλλαγή της θέσεως του σώματος, τοκέντρο βάρους του χαμηλώνει, οπότε προκαλείται μια ροπή εκτροπής, που απομακρύνει τοσώμα από την αρχική του θέση (σχ. 2.34).

Η αδιάφορη ισορροπία υπάρχει, όταν για μικρή αλλαγή της θέσεως του σώματος, τοκέντρο βάρους του ούτε υψώνεται ούτε χαμηλώνει και επομένως δεν προκαλείται ούτε ροπήεπαναφοράς, ούτε ροπή εκτροπής (σχ. 2.35).

Σχ. 2.32

Σχ. 2.34Σχ. 2.33

Σχ. 2.35


35

Τα τρία αυτά είδη ισορροπίας εμφανίζονται καθαρά στην περίπτωση μιας χαλύβδινηςλάμας.

Αν στηρίξουμε τη λάμα αυτή στο μέσο της και τηντοποθετήσομε κατακόρυφα, θα ισορροπεί. Και αν τηνπεριστρέψομε και την αφήσομε σε οποιαδήποτε θέση, πάλιθα ισορροπεί. Η ισορροπία εδώ είναι αδιάφορη (σχ. 2.36).

Αν την κρεμάσουμε από το επάνω άκρο της και τηναφήσουμε κατακόρυφη, θα μείνει ακίνητη. Αν τη στρέψουμε,θα επιστρέψει στην κατακόρυφη αρχική της θέση. Ηισορροπία εδώ είναι ευσταθής (σχ. 2.37).

Αν τη στηρίξουμε από το κατώτερο άκρο της και την αφήσομε κατακόρυφη, ισορροπεί,εάν όμως τη στρέψουμε, θα πέσει στο δάπεδο. Η ισορροπία εδώ είναι ασταθής (σχ. 2.38).

Γενικότερα, στην περίπτωση που σε ένα σώμα ενεργούν πολλές δυνάμεις, τότε η

ισορροπία του είναι ευσταθής, όταν για μικρή αλλαγή της θέσεώς του οι δυνάμεις τείνουν να τοεπαναφέρουν στην αρχική του θέση. Στην αντίθετη περίπτωση η ισορροπία είναι ασταθής.

Όταν οι δυνάμεις που επενεργούν δεν τείνουν να μεταβάλλουν τη νέα θέση τουσώματος, η ισορροπία είναι αδιάφορη.

Από όλες μας τις κατασκευές απαιτούμε ευσταθή ισορροπία.

Ευστάθεια.Επιφάνεια στηρίξεως μιας κατασκευής ονομάζεται η επιφάνεια, που σχηματίζεται από

τις ευθείες, που συνδέουν τα σημεία στηρίξεως της. Π.χ. επιφάνεια στηρίξεως ενός τρίποδαείναι το τρίγωνο, που σχηματίζουν τα τρία σκέλη του, ενώ επιφάνεια στηρίξεως ενός ελάσματοςλυγισμένου σε σχήμα αγκύλης είναι ένα ορθογώνιο (σχ. 2.39).

Στενή σχέση με την επιφάνεια στηρίξεως ενός σώματος έχει η ευστάθεια του σώματοςαυτού, γιατί όταν η συνισταμένη όλων των δυνάμεων, που ενεργούν επάνω στο σώμα,

Σχ. 2.36

.Σχ. 2.37

Σχ. 2.38

Σχ. 2.39


36

βρίσκεται έξω από την επιφάνεια στηρίξεώς του, το σώμα ανατρέπεται, δηλαδή χάνει τηνευστάθειά του.

Ας εξετάσουμε την περίπτωση ενός περονοφόρουοχήματος (σχ. 2.40), με το οποίο πρόκειται να ανυψώσουμεένα κιβώτιο βάρους Ρ, και θέλουμε να γνωρίζουμε αν θαανατραπεί ή όχι. Η απάντηση μπορεί να δοθεί μόνο ότανκαθορίσουμε τη συνισταμένη όλων των φορτίων, πουεπιβάλλονται επάνω στο όχημα, δηλαδή τη συνισταμένη τουβάρους του Β και του φορτίου Ρ. Από τη θέση της εξαρτάταιαν το όχημα θα ανατραπεί ή όχι. Αν η συνισταμένη βρίσκεταιμέσα στην επιφάνεια στηρίξεως ΓΔΕΖ, τότε δεν υπάρχεικίνδυνος ανατροπής. Το όχημα είναι ευσταθές. Εάν ησυνισταμένη πέφτει ακριβώς στην εξωτερική γραμμή τηςεπιφάνειας στηρίξεως, δηλαδή στη γραμμή ΓΔ για τηνπερίπτωση που εξετάζουμε, τότε υπάρχει ασταθής ισορροπία.Μόλις η συνισταμένη ξεπεράσει την επιφάνεια στηρίξεως, το όχημα θα ανατραπεί. Ώστεμπορούμε να διατυπώσουμε τον ακόλουθο κανόνα:

Ένα σώμα (όχημα, μηχανή, τοίχος κλπ.) είναι ευσταθές, όταν η συνισταμένη όλων τωνφορτίων, που δρουν επάνω του, βρίσκεται μέσα στην επιφάνεια στηρίξεως. Το ίδιον ορισμόμπορούμε να τον εκφράσομε και ως εξής:

Ένα σώμα είναι ευσταθές, δηλαδή δεν ανατρέπεται,τότε μόνο, όταν η ροπή ως προς μια πλευρά στηρίξεως όλωντων δυνάμεων, που τείνουν να το ανατρέψουν, είναι μικρότερηαπό τη ροπή των δυνάμεων που τείνουν να το επαναφέρουνστη Θέση του. Η ροπή ΜΑ = Ε. α ονομάζεται ροπή ανατροπής.Η ροπή ΜΕ = Β . b ονομάζεται ροπή επαναφοράς (σχ. 2.41).Όταν Με > ΜΑ, το σώμα είναι ευσταθές. Όταν Με < ΜΑ, το σώμαανατρέπεται.

Ο λόγος ν = ΜΕ / ΜΑ καθορίζει την ασφάλεια, που υπάρχει σχετικά με τον κίνδυνοανατροπής, και πρέπει να είναι πάντοτε μεγαλύτερος από τη μονάδα.

Παράδειγμα.Ένα κομμάτι δρύινου ξύλου με

διαστάσεις 40 x 80 x 120 cm έχειβάρος 350 kp (σχ. 2.42). Ποιαοριζόντια δύναμη Ρ απαιτείται για τηνανατροπή του ξύλου, αν αυτή ενεργείστην ψηλότερη πλευρά του ξύλου καιαυτό στηρίζεται:α) Στη μικρότερη επιφάνειά του (40 x80). β) Στη μέση (40 x 120) και γ) Στημεγάλη (80 x 120).

Λύση.Το κέντρο βάρους Β βρίσκεται

στο μέσο του ύψους του ορθογωνίου

Σχ. 2.40

Σχ. 2.41

Σχ. 2.42


37

παραλληλεπιπέδου. Για να ανατραπεί το ξύλο πρέπει η ροπή ΜΑ της δυνάμεως Ρ ως προς τονάξονα περιστροφής να είναι μεγαλύτερη από τη ροπή επαναφοράς ΜΕ του βάρους Β ως προςτον ίδιο άξονα.

Επειδή σε κάθε μια από τις περιπτώσεις α, β και γ, η περιστροφή του σώματος μπορείνα γίνει γύρω από δυο άξονες, οι δυνάμεις που την προκαλούν θα είναι γενικά διαφορετικές.

Περίπτωση α (σχ. 2.42α)

1) Ρ1 ∙ 120 > Β ∙ 20 Ρ1 > (20 / 120) x 350 = 58,3 kp.2) Ρ2 ∙ 120 > Β ∙ 40 Ρ1 > (40 / 120) x 350 = 116,6 kp.

Περίπτωση β (σχ. 2.42β)

3) Ρ3 ∙ 80 > Β ∙ 20 Ρ3 > (20 / 80) x 350 = 87,5 kp.4) Ρ4 ∙ 80 > Β ∙ 60 Ρ4 ≥ (60 / 80) x 350 = 262,5 kp.

Περίπτωση γ (σχ. 2.42γ)

5) Ρ5 ∙ 40 > Β ∙ 40 Ρ4 > (40 / 40) x 350 = 350,0 kp.6) Ρ6 ∙ 40 > Β ∙ 60 Ρ6 ≥ (60 / 40) x 350 = 525,0 kp.

2.5 Ολόσωμοι φορείς

Οι ράβδοι και οι δοκοί έχουν πολύ μεγάλο μήκος σε σχέση με τις υπόλοιπες διαστάσειςτους (ύψος και πλάτος).

Η διαφορά των ράβδων και των δοκών ως φορέων είναι ότι ή ράβδος αναλαμβάνειδυνάμεις μόνον κατά τη διεύθυνση του άξονά της, ενώ ή δοκός αναλαμβάνει και δυνάμειςκάθετους στον άξονά της.

2.5.1 Η δοκός σαν στατικό στοιχείο.

Είναι γνωστή ή οριζόντια δοκός των ποδοσφαιρικών τερμάτων. Όταν κτυπά ή μπάλαεπάνω της ασκείται δύναμις, ή οποία είναι κάθετη στον κατά μήκος άξονά της και ή δοκόςκάμπτεται.

Επομένως δοκό καλούμε ένα σώμα, το οποίο με δύναμη κυρίως κάθετη στον κατάμήκος άξονά της, καταπονείται σε κάμψη.

Ο άξονας της δοκού, δηλαδή ή γραμμή πού συνδέει τα κέντρα βάρους των διατομώντης, μπορεί να είναι ευθύγραμμος, οριζόντιος ή κεκλιμένος (σχ. 2.43), καμπυλόγραμμος (τόξο)(σχ. 2.44) ή πολυγωνικός (πλαίσιο) (σχ. 2.45).

Σχ. 2.44 Σχ. 2.45

Σχ. 2.43


38

2.5.2 Στατικώς ορισμένοι και στατικώς αόριστοι φορείς

Κάθε δοκός, στηρίζεται σε ορισμένα σημεία, στα όποια μεταβιβάζει τα φορτία πούαναλαμβάνει. Οι στηρίξεις πρέπει να του εξασφαλίζουν ευσταθή ισορροπία. Γι’ αυτόαπαιτούνται για μία δοκό, τουλάχιστον τρεις δεσμεύσεις ελευθερίας κινήσεως.

Ας πάρουμε την περίπτωση ενός απλού φορέα, πού αποτελείται από μία μόνο δοκό. Ηδοκός φορτίζεται από τις εξωτερικές δυνάμεις και τις αντιδράσεις στήριξης. Τις εξωτερικέςδυνάμεις τις γνωρίζουμε, γατί είναι τα εξωτερικά φορτία, που ασκούνται σ’ αυτήν. Οι αντιδράσειςστήριξης όμως δεν είναι γνωστές και πρέπει να τις υπολογίσουμε. Για τον υπολογισμό τουςέχουμε τις τρεις εξισώσεις ισορροπίας στο επίπεδο Σx = 0, Σy = 0, ΣΜ = 0.

Με τις τρεις αυτές εξισώσεις μπορούν να υπολογιστούν τρία άγνωστα μεγέθηαντιδράσεων. Όταν επομένως υπάρχει ο απαραίτητος αριθμός των τριών δεσμεύσεων, είναιδυνατόν να καθοριστούν οι αντιδράσεις στήριξης από τις τρεις εξισώσεις ισορροπίας. Ο φορέας,πού στηρίζεται κατ' αυτόν τον τρόπο, λέγεται ισοστατικός ή στατικώς ορισμένος, πουσημαίνει, ότι στηρίζεται κατά τέτοιο τρόπο, ώστε να υπολογίζοντα οι αντιδράσεις στήριξης με τιςτρεις εξισώσεις ισορροπίας.

Οι ευθύγραμμοι ισοστατικοί δοκοί, τις όποιες θα εξετάσουμε είναι:

Απλή αμφιέρειστη.Η δοκός αυτή έχει μία σταθερή και μίαν κινητή στήριξη, άρα τρεις άγνωστες αντιδράσεις

και επομένως είναι ισοστατική.

Άνοιγμα της δοκού ονομάζουμε την απόσταση από το μέσο της μιας στήριξης, ως τομέσο της άλλης (σχ. 2.46).

Πρόβολος πακτωμένος.Έχει το ένα άκρο πακτωμένο και το άλλο ελεύθερο (σχ. 2.47). Είναι ισοστατικός, γιατί οι

άγνωστες αντιδράσεις είναι τρεις.

2.5.3 Φορτία δοκών

Η φόρτιση μιας δοκού έχει συνήθως μία από τις ακόλουθες μορφές ή συνδυασμούς τωνμορφών αυτών.

Σχ. 2.47

Σχ. 2.46


39

α) Συγκεντρωμένα φορτία (σχ. 2.48α ) . Είναι συνήθως ταφορτία, τα όποια, προέρχονται από τροχούς αυτοκινήτων,σιδηροδρομικών οχημάτων και μηχανημάτων ή φορτία, τα οποίαδιαβιβάζονται οπό άλλες δοκούς ή στύλους, πού στηρίζονταιστην εξεταζόμενη δοκό.

β) Ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο. Όταν το φορτίοείναι κατανεμημένο ομοιόμορφα σε όλο το μήκος της δοκού,ονομάζεται καθολικό (σχ. 2.48β ) , όταν είναι σε ένα μόνο μέροςτης δοκού λέγεται μερικό (σχ. 2.48γ ) . Καθολικό ομοιόμορφοφορτίο είναι π.χ. το ίδιο βάρος της δοκού. Καθολικό ή μερικόομοιόμορφο φορτίο προκαλεί τo βάρος επικάλυψης, τα κινητά ήτα ωφέλιμα φορτία, τα τοιχώματα κλπ.

γ) Τριγωνικό (σχ. 2.48δ) και τραπεζοειδώς κατανεμημένοφορτίο (σχ. 2.48ε ) . Είναι τα φορτία, τα οποία εμφανίζονται πάνωσε δοκούς, οι οποίες στηρίζουν πλάκες που εδράζονται στιςτέσσερις πλευράς τους, σε δοκούς υπέρθυρων (πρέκια),αετώματα κλπ.

δ ) Τ ο ασύμμετρο τριγωνικό φορτίο ( σ χ . 2 . 4 8 ζ ) .Προκαλείται από την πίεση, την οποία ασκεί π.χ. οποιοδήποτε υγρό πάνω στα τοιχώματα τωνδεξαμενών ή από την ώθηση των χωμάτων πάνω στους τοίχους αντιστήριξης.

2.5.4 Εσωτερικές δυνάμεις και ροπές δοκώνΟι φορτίσεις και οι αντιδράσεις στήριξης, που συγκροτούν ένα σύστημα δυνάμεων σε

ισορροπία, αποτελούν τις εξωτερικές δυνάμεις της δοκού. Πώς όμως μεταβιβάζονται οιφορτίσεις διά μέσου της δοκού στις στηρίξεις; Τί αναπτύσσεται στο εσωτερικό της δοκού και σεκάθε της θέση;

Για να απαντήσουμε στο ερώτημα αυτό, φανταζόμαστε ότι ή δοκός έχει κοπεί στη θέσηπου θέλουμε να εξετάσουμε.

Η δοκός όμως σαν σύνολο βρίσκεται σε ισορροπία,άρα σε ισορροπία βρίσκεται και κάθε τμήμα της πουκόπηκε. Επομένως στις δύο επιφάνειες της τομής πρέπει νααναπτυχθούν δυνάμεις και ροπές τέτοιου μεγέθους καιδιευθύνσεως, ώστε τα δύο τμήματα να παραμείνουν σεισορροπία. Η συνισταμένη των διανεμημένων στηνεπιφάνεια της τομής δυνάμεων, ονομάζεται εσωτερικήδύναμη και η συνισταμένη των ροπών εσωτερική ροπή.

Η απάντηση επομένως στο ερώτημα είναι ότι ημεταβίβαση της φόρτισης της δοκού στις στηρίξεις γίνεται μετην ανάπτυξη σε κάθε διατομή της δοκού δυνάμεων καιροπών, οι οποίες για το λόγο αυτό ονομάζονται εσωτερικές(σχ. 2.49).

Ώστε με τις υποθετικές τομές της δοκού πετύχαμε ναμάθουμε το μέγεθος της συνισταμένης των εσωτερικώνδυνάμεων, πού μας είναι απαραίτητοι για να υπολογίσουμε

Σχ. 2.48

.Σχ. 2.49


40

την αντοχή της δοκού. Δεν μάθαμε όμως πώς διανέμονται οι δυνάμεις στην τομή.Στο σχήμα 2.49 παρουσιάζεται μία δοκός, η οποία φορτίζεται από τις εξής εξωτερικές

δυνάμεις: α) Τα φορτία Ρ1, Ρ2 και Ρ3 και β) Τις αντιδράσεις στήριξης Α και Β. Σε απόσταση xαπό την αριστερή στήριξη κάνουμε μία τομή της δοκού, την 1—1, και ζητούμε να υπολογίσουμετις εσωτερικές δυνάμεις και την εσωτερική ροπή.

Εξετάζουμε το τμήμα της δοκού αριστερά της τομής 1—1. Σ’ αυτό δρουν οι εξωτερικέςδυνάμεις Α και Ρ1. Μπορούμε για απλούστευση να πάρουμε τη συνισταμένη τους R.

Μας ενδιαφέρει να μάθουμε πώς καταπονείται από τη δύναμη R η διατομή 1—1. Για ναισορροπηθεί αυτή η δύναμη πρέπει το δεξιό τμήμα της δοκού να ασκήσει στο αριστερό, λόγωτης αντοχής του υλικού της δοκού, μία δύναμη R ίση και αντίθετη της R και μία ροπή Μ ίση καιαντίθετη της R ∙ α .

Οι εσωτερικές δυνάμεις, πού θα αναπτυχθούν στις δύο πλευρές της τομής, θα έχουν τοίδιο μέγεθος, αλλ' αντίθετη διεύθυνση. Αυτό συμβαίνει γιατί πρέπει να ισορροπούν μεταξύ τους,επειδή η μία αντιπροσωπεύει το ένα τμήμα των εξωτερικών δυνάμεων και η άλλη το υπόλοιπο.Αυτές όμως, όπως είπαμε, ισορροπούν. Αυτό σημαίνει ότι είτε το αριστερό τμήμα της τομής τηςδοκού εξετάσουμε, είτε το δεξιό, θα προκύψουν οι ίδιες εσωτερικές δυνάμεις στην τομή.

Για να απλουστεύσουμε τον υπολογισμό αναλύουμε την δύναμη R της τομής σε δύοσυνιστώσες την Rx = N, η οποία δρα κατά τον άξονα της δοκού, και την Ry = Q, η οποία δρακάθετα στον άξονα της δοκού.

Δεδομένου ότι σε κάθε τμήμα της δοκού το σύστημα εξωτερικών και εσωτερικώνδυνάμεων ισορροπεί, για να καθορίσουμε τις εσωτερικές δυνάμεις πρέπει να εφαρμόσουμε τιςτρεις εξισώσεις των συνθηκών ισορροπίας:

Σx = 0, Σy = 0, ΣΜ = 0,όπου:

Σx = 0 σημαίνει ότι στην διατομή αναπτύσσεται μία δύναμη Ν ίση και αντίθετη της R x .Η Ν λέγεται ορθή δύναμη.

Σy = 0 σημαίνει ότι στην διατομή αναπτύσσεται μία δύναμη Q ίση και αντίθετη της R y .H Q λέγεται τέμνουσα δύναμη.

ΣΜ = 0 δηλώνει ότι στην διατομή αναπτύσσεται μία ροπή Μ ίση και αντίθετη της R · α.Η Μ λέγεται ροπή κάμψεως, επειδή, προκαλεί την κάμψη της ελαστικής δοκού.

Ώστε εσωτερικές δυνάμεις είναι: Η ορθή δύναμη Ν, ή τέμνουσα δύναμη Q και η ροπήκάμψεως Μ.

Τα παραπάνω μπορούμε να τα συνοψίσουμε και να τα συμπληρώσουμε ως εξής:

1) Η ορθή δύναμη Ν μιας διατομής της δοκού ισούται με τοαλγεβρικό άθροισμα όλων των παράλληλα προς τον άξονα τηςδοκού, αριστερά (ή δεξιά) της εξεταζόμενης διατομής, δυνάμεων πουενεργούν.

Το πρόσημο θεωρείται θετικό ( + ), όταν η ορθή δύναμηεφελκύει την διατομή (σχ. 2.50α) και αρνητικό ( - ), όταν την θλίβει(σχ. 2.50β ) . Σχ. 2.50


41

2) Η τέμνουσα δύναμη Q μιας διατομής της δοκού ισούται με τοαλγεβρικό άθροισμα όλων των κάθετα προς τον άξονα της δοκού,αριστερά (ή δεξιά) της εξεταζόμενης διατομής, δυνάμεων που ενεργούν.

Το πρόσημο θεωρείται θετικό ( + ), όταν η τέμνουσα δύναμη στοαριστερό τμήμα της τομής διευθύνεται προς τα κάτω ή στο δεξιό τμήματης τομής προς τα πάνω (σχ. 2.51α). Στην αντίθετη περίπτωση ητέμνουσα δύναμις Q είναι αρνητική ( - ) (σχ. 2.51β).

3) Η ροπή κάμψεως Μ μιας διατομής ισούται με τοαλγεβρικό άθροισμα των ροπών των αριστερά (η δεξιά) τηςεξεταζόμενης διατομής δυνάμεων ως προς το κέντρο βάρουςτης.

Το πρόσημο θεωρείται θετικό ή αρνητικό αν λόγω τωνδυνάμεων Ρ1, Ρ2, Ρ3, η δοκός θα καμφθεί και οπό την θέσηΑΒΓΔ θα έλθει στη θέση ΑΒΓ'Δ' (σχ. 2.52α). Αν υποθέσουμεότι η δοκός αποτελείται από ίνες, οι οποίες είναι παράλληλεςπρος τον άξονά της, τότε στη νέα θέση της δοκού οι κάτω ίνεςθα έχουν επιμηκυνθεί και οι πάνω θα έχουν μικρύνει.

Όταν η ροπή κάμψεως αναγκάζει τις κάτω ίνες της δοκού να επιμηκυνθούν, τότε λέμεότι η ροπή αυτή εφελκύει τις κάτω ίνες, και λέγεται θετική ( + ) (σχ. 2.52β). Αντίθετα όταν τιςμικραίνει, η ροπή καλείται αρνητική ( - ) (σχ. 2.52γ ) .

Σε κάθε σημείο της δοκού υπολογίζουμε τις εσωτερικέςδυνάμεις, δηλαδή τα μεγέθη των ορθών δυνάμεων, των τεμνουσώνδυνάμεων καθώς και των ροπών κάμψης.

Με κατάλληλη κλίμακα σχεδιάζουμε τα μεγέθη αυτά σανευθείες κάθετες στον άξονα της δοκού. Όταν συνδέσουμε τα άκρα τωνευθειών αυτών, παίρνουμε το διάγραμμα ορθών δυνάμεων (Δ.Ο.Δ), τοδιάγραμμα τεμνουσών δυνάμεων (Δ.Τ.Δ.) και το διάγραμμα ροπώνκάμψεως (Δ.Ρ.Κ.) (σχ. 2.53) .

Τα διαγράμματα αυτά μας δίνουν μία παραστατική εικόνα τηςπορείας των εσωτερικών δυνάμεων κατά μήκος της δοκού.

Ο υπολογισμός των εσωτερικών δυνάμεων και ροπών γίνεταικατά δύο τρόπους, τον αναλυτικό και τον γραφικό.

2.5.5 Απλή αμφιέρειστη δοκόςΘα υπολογίσουμε τις αντιδράσεις στήριξης και τις εσωτερικές

δυνάμεις, που είναι οι τέμνουσες δυνάμεις και οι ροπές κάμψης, σεαμφιέρειστη δοκό με συγκεντρωμένο φορτίο στο μέσο της (σχ. 2.54).Επειδή η δοκός θεωρείται οριζόντια και τα φορτία κατακόρυφα, δενεμφανίζονται ορθές δυνάμεις.

Έχουμε:α) 'Αντιδράσεις στηρίξεως: Α ν = Β = Ρ / 2

β) Τέμνουσες δυνάμεις: QAΓ = + Ρ / 2 QΒΓ = - Ρ/2

γ) Ροπές κάμψης: maxM = (Ρ/2)∙(l/2) = (Pl/4)

Σχ. 2.51

Σχ. 2.52

Σχ. 2.53

σχ. 2.54

ΓΕΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑ - ΣΤΕΡΕΟΣΤΑΤΙΚΗ

Documents

Transcript of ΓΕΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑ - ΣΤΕΡΕΟΣΤΑΤΙΚΗ