ΓΕΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑ - ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ

ΓΕΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑ – ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

42

3. ΚαταπονήσειςΕδώ θα αναφερθούμε στις σπουδαιότερες απλές καταπονήσεις, επιχειρώντας μια

πρώτη προσέγγισή τους (σχ. 3.1):α) Εφελκυσμός και θλίψη: Οι καταπονήσεις αυτές, για να εκδηλωθούν σε ένα σώμα, θα

πρέπει να ενεργούν στα άκρα του φορτία αντίθετα, των οποίων η συνισταμένη συμπίπτει με τογεωμετρικό άξονα του σώματος. Ανάλογα, αν το σώμα τείνει να επιμηκυνθεί ή να επιβραχυνθεί,καταπονείται αντίστοιχα σε εφελκυσμό ή θλίψη.

β) Διάτμηση εμφανίζεται σε ένα σώμα, όταν ενεργούν σε αυτό δύο φορτία κάθετα στονάξονά του και οι διευθύνσεις τους βρίσκονται πολύ πλησίον η μία στην άλλη.

γ) Κάμψη εμφανίζεται σε ένα σώμα, όταν ενεργούν σε αυτό φορτία κάθετα στον άξονάτου, που έχουν ως συνέπεια τη δημιουργία ροπών, που βρίσκονται σε ένα επίπεδο κάθετο στηδιατομή του και που διέρχεται από το γεωμετρικό άξονα του σώματος.

(Διευκρινίζεται ότι, ως διατομή ορίζεται η επιφάνεια που προκύπτει ότανπραγματοποιήσουμε μία τομή του σώματος με ένα επίπεδο κάθετο στον άξονά του).

δ) Στρέψη εμφανίζεται σε ένα σώμα, όταν τα φορτία που ενεργούν σε αυτό, αποτελούνζεύγος που βρίσκεται σε μία διατομή κάθετη στον άξονα του σώματος.

ε) Λυγισμός είναι η ταυτόσημη καταπόνηση με τη θλίψη, από πλευράς δράσης τωνφορτίων, υπό την προϋπόθεση όμως ότι το μήκος του σώματος είναι πολύ μεγάλο σε σχέση μετις άλλες διαστάσεις του.

Σχήμα 3.1 Οι σπουδαιότερες καταπονήσεις


43

3.1 Εφελκυσμός και θλίψη3.1.1 Βασικές έννοιες

Οι δυνάμεις ή οι ροπές οι οποίες ενεργούν στο εξωτερικό των σωμάτων και οι αντίστοιχεςαντιδράσεις που αυτές προκαλούν, ονομάζονται φορτία.

Όταν ένα σώμα, βρίσκεται υπό την επίδραση φορτίων, λέμε ότι φορτίζεται ή καταπονείταιή βρίσκεται σε εντατική κατάσταση. Όταν τα φορτία παύσουν να ενεργούν στο σώμα, λέμε ότι τοσώμα αποφορτίζεται.

Αποτέλεσμα της φόρτισης των σωμάτων, είναι η αλλαγή του σχήματος τους, δηλαδή ηπαραμόρφωση, που έχει ως συνέπεια την ανάπτυξη στο εσωτερικό τους δυνάμεων πουονομάζονται εσωτερικές δυνάμεις.

Οι παραμορφώσεις, που υφίστανται τα σώματα που φορτίζονται διακρίνονται σε:α) παροδικές ή ελαστικές, οι οποίες εξαφανίζονται και τα σώματα επανέρχονται

πλήρως στην αρχική τους κατάσταση, μετά την αποφόρτισή τους, (η ιδιότητα αυτή ονομάζεταιελαστικότητα), και

β) μόνιμες ή πλαστικές, οι οποίες εξακολουθούν να παραμένουν στα σώματα και μετάτην αποφόρτισή τους. Αν τα σώματα αυτά, τα οποία έχουν υποστεί τέτοιου είδουςπαραμορφώσεις, φορτιστούν σταδιακά με μεγαλύτερα φορτία, αναπόφευκτα θα επέλθει ηθραύση τους.

Όπως είναι φυσικό, όλα τα υλικά, από τα οποία αποτελούνται τα διάφορα σώματα, δενεπιδεικνύουν την ίδια συμπεριφορά όταν φορτίζονται. Ορισμένα από αυτά εμφανίζουνσημαντικές παραμορφώσεις, πριν επέλθει η θραύση τους και ονομάζονται όλκιμα υλικά, ενώάλλα εμφανίζουν παραμορφώσεις πολύ περιορισμένης έκτασης και ονομάζονται ψαθυρά.

Όλκιμα υλικά: χαλκός, αλουμίνιο, χάλυβας κ.λ.π.Ψαθυρά υλικά: χυτοσίδηρος, σκυρόδεμα, γυαλί, πέτρες, κεραμικά, υλικά κ.λ.π.

3.1.2 Τα είδη των φορτίωνΤα φορτία, είναι οι εξωτερικές δυνάμεις που ενεργούν στα διάφορα σώματα και

διακρίνονται σε:α) Μόνιμα φορτία, είναι εκείνα που δεν μεταβάλλονται, κατά θέση και μέγεθος. Π.χ. το

ίδιο βάρος των σωμάτων.β) Μεταβλητά φορτία, είναι τα μεταβαλλόμενα, κατά θέση και μέγεθος. Π.χ. το αυτοκίνητο

που διέρχεται μία γέφυρα, είναι σε σχέση με τη γέφυρα, μεταβλητό φορτίο.γ) Συγκεντρωμένα και επιφανειακά φορτία, είναι αντίστοιχα τα φορτία που ενεργούν σε

μία πολύ μικρή περιοχή του σώματος και τα φορτία που ενεργούν σε μία εκτεταμένη περιοχή τουσώματος. Τα υποστυλώματα (κολόνες) μιας κατοικίας και η πίεση του νερού στα τοιχώματα μιαςπισίνας, είναι αντίστοιχα παραδείγματα συγκεντρωμένων και επιφανειακών φορτίων.

δ) Άμεσα και έμμεσα φορτία, είναι αντίστοιχα τα φορτία, που δρουν απευθείας πάνω στασώματα και τα φορτία που δρουν με τη μεσολάβηση διάταξης (άλλου σώματος). Π.χ. το βάροςενός τραπεζιού και το βάρος των αντικειμένων που έχουν τοποθετηθεί επάνω στο τραπέζι,αντίστοιχα, ως προς το δάπεδο.

3.1.3 Η έννοια της τάσηςΈστω η ράβδος ΑΒ (σχ. 3.2-1) που καταπονείται σε εφελκυσμό από τα φορτία Ρ. Με ένα

επίπεδο κάθετο στον άξονά της, πραγματοποιούμε στο σημείο Γ, την τομή τ - τ', με την οποίαδιαχωρίζουμε τη ράβδο στα τμήματα ΑΓ και ΒΓ (σχ. 3.2-2). Εξετάζοντας τις συνθήκες ισορροπίαςτου αριστερού τμήματος ΑΓ, διαπιστώνουμε ότι για να βρίσκεται σε ισορροπία, θα πρέπει το δεξιό


44

τμήμα ΒΓ να ασκεί σε αυτό μία δύναμη F, ίση και αντίθετη της Ρ. Κατ' αναλογία, για να βρίσκεταισε ισορροπία το τμήμα ΒΓ, θα πρέπει να ασκείται σε αυτό, από το αριστερό τμήμα ΑΓ μία δύναμηF, ίση και αντίθετη της Ρ.

Οι δυνάμεις F, είναι εσωτερικές δυνάμεις, ομοιόμορφα κατανεμημένες στις διατομές στοσημείο Γ της ράβδου, που προήλθαν από την τομή τ - τ' (σχ. 3.2-3) .

Αν υποθέσουμε, ότι κάθε στοιχειώδες τμήμα της διατομής δέχεται τη στοιχειώδη δύναμη(σ), τότε, αφού η διατομή της ράβδου είναι ίση με Α, προκύπτει :

F = σ ∙ Α = Ρ και

Το πηλίκο αυτό (σ), ονομάζεται τάση και ακόμη ορθή τάση, από το γεγονός ότι είναικάθετη στη διατομή, και ορθή εφελκυστική τάση, γιατί προέκυψε από καταπόνηση της ράβδου σεεφελκυσμό.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΜία ράβδος τετραγωνικής διατομής με πλευρά 5 cm, εφελκύεται από φορτίο άγνωστης έντασης.Αν η αναπτυσσόμενη τάση είναι ίση με 1500 N/cm2, να προσδιοριστεί το φορτίο σε daN/cm2

Λύσησ = 1500 N/cm2 = 150 daN/cm2

σ = F/AF = A ∙ σΑ = α2 = 52 cm2 = 25 cm2

F = A ∙ σ = 25 cm2 150 daN/cm2

F = 3750 daN

3.1.4 O νόμος του HookeΑπό πειραματικές δοκιμές των υλικών, έχει αποδειχθεί ότι οι παραμορφώσεις που

υφίστανται τα φορτισμένα σώματα, είναι ανάλογες με τα φορτία, στην αρχή τωνπαραμορφώσεων, αλλά στη συνέχεια, οι παραμορφώσεις αυξάνονται, (με ταχύτερο ρυθμό), σεμεγαλύτερο ποσοστό από το αντίστοιχο ποσοστό αύξησης των φορτίων.

Ο νόμος του Hooke λέγει ότι: Αν δεν ξεπεραστεί ένα συγκεκριμένο όριο, πουονομάζεται όριο αναλογίας, οι παραμορφώσεις που υφίστανται τα φορτισμένα σώματα,είναι ανάλογες με τα αντίστοιχα φορτία που τις προκάλεσαν.

Σχήμα 3.2 Οι ορθές εφελκυστικές τάσεις


45

3.1.5 H δοκιμή σε εφελκυσμό και θλίψηΠρόκειται για τη δοκιμή που πραγματοποιείται στα εργαστήρια της αντοχής των υλικών

από ειδικά για το σκοπό αυτό μηχανήματα, προκειμένου να προσδιορίσουμε και νακαταγράψουμε τις χαρακτηριστικές ιδιότητες των υλικών, τις σχετικές με την αντοχή τους.

Για το σκοπό αυτό, χρησιμοποιούνται αντιπροσωπευτικά δείγματα των υλικών μεπροκαθορισμένες διαστάσεις, που ονομάζονται δοκίμια (σχ. 3.3)

Στη μηχανή των δοκιμών καταγράφονται τα εφαρμοζόμενα φορτία καταπόνησης τουυλικού σε εφελκυσμό ή θλίψη (F) και οι αντίστοιχες επιμηκύνσεις του υλικού (Δl). Το διάγραμμαπου προκύπτει από τη χρήση των στοιχείων αυτών για την περίπτωση του εφελκυσμού, έχει τημορφή του σχ. 3.4.

Στο διάγραμμα διακρίνουμε πέντε "περιοχές":α) Την αναλογική περιοχή (OA), στην οποία τα εφαρμοζόμενα φορτία είναι ανάλογα των

αντίστοιχων παραμορφώσεων, όπως επίσης το όριο (φορτίο) αναλογίας (Fα). Από το φορτίο αυτόκαι με γνωστές τις διαστάσεις του δοκιμίου και επομένως με γνωστή τη διατομή του (Α),προσδιορίζουμε την αντίστοιχη τάση αναλογίας (σα):

σα = Fα/Α

Σχήμα 3.3 Επιμήκυνση (Δl): Το σώμα έχει αρχικό μήκος l. Το σώμαεπιμηκύνεται και το μήκος του γίνεται lτ.

Επιμηκύνσεις (Δl)

Σχήμα 3.4 Διάγραμμα επιμηκύνσεων - Φορτίων


46

β) Την περιοχή (ΑΕ), στην οποία οι παραμορφώσεις είναι ελαστικές, αλλά τα φορτία δενείναι ανάλογα των επιμηκύνσεων.

γ) Την ελαστική περιοχή (OE), που περιλαμβάνει τις δύο παραπάνω περιοχές (OE = OA+ ΑΕ) και το όριο (φορτίο) ελαστικότητας (Fε). Η αντίστοιχη τάση (όριο) ελαστικότητας (σε), θαπροκύπτει από τη σχέση:

σε = Fε/Α

δ) Την περιοχή των πλαστικών ή μόνιμων παραμορφώσεων (ΕΔ) με οριακό σημείο το Δ,που εκπροσωπεί το όριο διαρροής. Η αντίστοιχη τάση (όριο) διαρροής (σδ), θα προκύπτει από τησχέση :

σδ = Fδ/Α

ε) Την περιοχή θραύσης (ΔΘ), στην οποία συναντάμε μεγάλες παραμορφώσεις, μεμικρές αντίστοιχες αυξήσεις των φορτίων. Σημαντικό σημείο της περιοχής είναι το (Μ), δηλαδή τοσημείο, στο οποίο αντιστοιχεί το μέγιστο φορτίο καταπόνησης του δοκιμίου (Fμ), το οποίοθεωρείται για το υλικό ως φορτίο θραύσης (Fθ).

Η αντίστοιχη τάση (όριο) θραύσης, θα προκύπτει από τη σχέση:σθ = Fθ/Α

Κατά τη διάρκεια της δοκιμής, στο σημείο (Μ) του διαγράμματος σημειώνεται σημαντικήμείωση της διατομής του δοκιμίου (σχ. 3.5), η οποία ονομάζεται εγκάρσια συστολή. Μετά τοσημείο (Μ), ακολουθεί στο διάγραμμα το σημείο (Θ). Στην περιοχή (ΜΘ), παρά το γεγονός ότι τααντίστοιχα φορτία ελαττώνονται, το δοκίμιο θραύεται (στο σημείο Θ).

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΈνα δοκίμιο διαμέτρου 12 mm και μήκους 60 cm, υπεβλήθη σε δοκιμή σε εφελκυσμό

και έδωσε τα αποτελέσματα :

Φορτίο αναλογίας: 1695 daNΕπιμήκυνση: 0,045 cmΑν το φορτίο θραύσης του δοκιμίου είναι ίσο με 4238 daN, να προσδιοριστούν :α. Η τάση στο όριο αναλογίας,β. Η τάση στο όριο θραύσης,γ. Η ειδική επιμήκυνση,δ. Η ειδική επιμήκυνση επί τοις εκατό,ε. Το μέτρο ελαστικότητας του υλικού.

Σχήμα 3.5 Η εγκάρσια συστολή


47

Λύση

α)

A = 1,13 cm2

σα= 1500 daN/cm2

β)

σθρ = 3750 daN/cm2

γ)

ε = 0,00075

δ)

ε% = 0,075

ε)

3.1.6 Επιτρεπόμενη τάση – συντελεστής ασφαλείαςΓια να είναι εξασφαλισμένη η αντοχή των κατασκευών, είναι αυτονόητο, ότι δεν πρέπει

κατά τη φόρτισή τους να εξαντλούνται τα όρια της αντοχής τους, γιατί αν αυτό συμβεί και το υλικόπαρουσιάσει π.χ. ένα μη εμφανές ελάττωμα, τότε όλη η κατασκευή θα καταρρεύσει. Θα πρέπειεπομένως, η κατασκευή να φορτιστεί κατά τέτοιο τρόπο, ώστε να υπάρχουν επαρκείς εγγυήσειςασφάλειας, έναντι πιθανών κινδύνων, που δεν είναι γνωστοί, όταν πραγματοποιούμε τουςυπολογισμούς αντοχής. Οι κίνδυνοι, εκτός από τα πιθανά εσωτερικά ελαττώματα των υλικών,μπορούν να συνοψιστούν σε: μικρορωγμές, στην ύπαρξη ξένων προσμίξεων στα υλικά μεεπακόλουθη την αλλοίωση των ιδιοτήτων τους, στην αβεβαιότητα των μεγεθών, (και του τρόπου


48

με τον οποίο ενεργούν), των μέγιστων φορτίων με επακόλουθη την αδυναμία προσδιορισμού τωναντίστοιχων τάσεων. Η αδυναμία αυτή, γίνεται εντονότερη, λόγω των αναγκαστικώναπλοποιήσεων που πραγματοποιούνται στους υπολογισμούς της αντοχής, προκειμένου νααντιμετωπιστούν πολύπλοκα προβλήματα.

Επιτρεπόμενη τάση (σεπ), ονομάζεται η τάση με την οποία επιτρέπεται να καταπονηθείένα υλικό, για να είναι εξασφαλισμένη η αντοχή του, (και φυσικά κάτω από συγκεκριμέναπεριθώρια ασφάλειας). Η τάση αυτή ορίζεται από τη σχέση:

ή

όπου ν ο συντελεστής ασφάλειας, ο οποίος δείχνει πόσες φορές η επιτρεπόμενη τάσηείναι μικρότερη της τάσης θραύσης του υλικού, ή της τάσης διαρροής ( ν∙σεπ = σθρ και ν∙σεπ = σδ).

Ο συντελεστής ασφάλειας προσδιορίζεται από τεχνικούς κανονισμούς, π.χ.χάλυβας ν = 1,5 ÷ 1,7 (έναντι διαρροής)

ν = 2 ÷ 3 (έναντι θραύσης)Ξύλο ν = 3 ÷ 4,5χυτοσίδηρος ν = 6 ÷ 8

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤο εφελκυστικό φορτίο θραύσης μίας ράβδου, είναι ίσο με 9000 daN και η

επιτρεπόμενη τάση ίση με 10 daN/mm2. Αν ο συντελεστής ασφάλειας ληφθεί ίσος με 3, ναπροσδιοριστεί η διάμετρος της ράβδου.

Λύση

(1)

(2)

(3)

Από την (3) έχουμε:σθρ = ν ∙ σεπ = 3 ∙ 10 daN/mm2

σθρ = 30 daN/mm2

Από τη (2) προκύπτει:

A = 300 mm2

Αντίστοιχα, από την (1) έχουμε

Και επομένως: d = 19,55 mm


49

3.2 Στρέψη3.2.1 Γενικά

Ράβδος με ευθύγραμμο άξονα λέμε ότι καταπονείται σε στρέψη, όταν ενεργεί πάνω σ'αυτή ροπή, της οποίας το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονά της (σχ. 3.6). H ροπή αυτή ονομάζεταιροπή στρέψεως και συμβολίζεται ως Mt (t από τη λέξη torsion = στρέψη).

H δράση της ροπής στρέψεως προκαλεί την ανάπτυξη διατμητικών τάσεων τ πάνω στιςδιατομές της ράβδου και παραμορφώσεων, που εκδηλώνονται ως στροφή των διατομών μεταξύτους (σχ. 3.6). H ράβδος στρέφεται περί ένα άξονα στροφής, που προκειμένου για μία διπλάσυμμετρική διατομή, είναι ο κεντροβαρικός της άξονας. Το σημείο τομής του άξονα αυτού με τηδιατομή είναι μόνο, που δεν μετακινείται και ονομάζεται κέντρο στροφής.

Κατά τη μελέτη του φαινομένου της στρέψεως ζητούμε:1. Τον προσδιορισμό των διατμητικών τάσεων, οι οποίες, για διάκριση, ονομάζονται

ειδικότερα τάσεις στρέψεως τt

2. Τον υπολογισμό της γωνίας στροφής των διατομών φ.

Στον εφελκυσμό και τη θλίψη, οι τύποι, που καθορίζουν τις τάσεις, είναι γενικάανεξάρτητοι από τη μορφή της διατομής.

Στη στρέψη, οι τύποι που καθορίζουν τις τάσεις και τις παραμορφώσεις δεν είναιανεξάρτητοι από τη μορφή της διατομής. Γι' αυτό κάθε κατηγορία διατομών, εξετάζεται χωριστά(σχ. 3.7).

H διάκριση αυτή είναι απαραίτητη γιατί, μόνο οι κυκλικές ή δακτυλιοειδείς διατομέςστρεφομένων ράβδων μένουν επίπεδες, δηλαδή όλα τα σημεία τους κινούνται κατά τη στροφήτης ράβδου σε κύκλους κάθετους στον άξονα στροφής. Αντίθετα στις ορθογωνικές διατομές τασημεία τους κινούνται όχι μόνο κάθετα αλλά και παράλληλα προς τον άξονα της ράβδου (σχ. 3.8).

Σχ. 3.6

Σχ. 3.7


50

3.2.2 Τύποι στρέψεως για διάφορες διατομές ράβδου.α) Στρέψη ράβδου με κυκλική διατομή.Στην απλή στρέψη ράβδου με κυκλική διατομή, η διατομή καταπονείται με ροπή

στρέψεως μόνο, κάτι που ισχύει εφ' όσον ικανοποιούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις:1. H ράβδος είναι από υλικό ομοιογενές και ισότροπο.2. Ο άξονάς της είναι ευθύγραμμος.3. Στις ακραίες διατομές κάθετα στον άξονα της ράβδου ενεργούν δύο ίσες και

αντίφορες ροπές.Επί πλέον ισχύει το πειραματικό δεδομένο ότι

4. Σημεία, που βρίσκονται πριν από την παραμόρφωση επάνω σε μια διατομή τηςράβδου, παραμένουν και μετά την παραμόρφωση επάνω στην ίδια διατομή, δηλαδήοι διατομές παραμένουν επίπεδες. Τα σημεία μιας διατομής στρέφονται κατά τηναυτή στροφή γύρω από τον άξονα και κάθε ακτίνα διατομής παραμένει ευθύγραμμηκατά τη στρέψη της ράβδου (σχ. 3.6 και 3.9).

Στη διατομή του σχήματος 3.10α ενεργεί ως μοναδική εσωτερική δύναμη η ροπήστρέψεως Mt. H ροπή αυτή προκαλεί διατμητικές τάσεις τt κάθετες στις ακτίνες των κύκλων μεκέντρο το σημείο στροφής. Διατμητικές τάσεις τr κατά τη διεύθυνση των ακτίνων και ορθές τάσειςσ δεν μπορούν να αναπτυχθούν, όπως αποδεικνύει η εφαρμογή των συνθηκών ισορροπίας. Οι

Σχ. 3.8

Σχ. 3.9


51

διατρητικές τάσεις, εμφανίζονται πάντοτε σε ζεύγη, σε δύο κάθετες μεταξύ τους τομές που είναιίσες και διευθύνονται όπως δείχνει το σχήμα 3.10β.

Αν κόβαμε τη ράβδο παράλληλα προς τον άξονά της, θα παρατηρούσαμε ότι στιςδιατμητικές τάσεις τt, που αναπτύσσονται στη διατομή, αντιστοιχούν διατμητικές τάσεις κατάμήκος της ράβδου, που καταπονούν το υλικό παράλληλα προς τον άξονα (σχ. 3.10γ). Αυτές οιδιαμήκεις διατμητικές τάσεις ενδέχεται να καταστρέψουν τη ράβδο, αν είναι κατασκευασμένη απόένα ανισότροπο υλικό, δηλαδή υλικό που δεν έχει την ίδια αντοχή σε όλες τις διευθύνσεις, όπωςπ.χ. είναι το ξύλο, που έχει μικρή διατρητική αντοχή παράλληλα προς τις ίνες του (σχ. 3.10δ).

Εάν φ είναι η γωνία στροφής με την οποία στρέφεται διατομή που βρίσκεται σε απόστασηl από σταθερό άκρο (οχ. 3.11), η γωνία στροφής ανά μονάδα μήκους φ, θα είναι: φ1 = φ/l και τομέγεθός της δίνεται από τη σχέση:

Οι διατμητικές τάσεις, που αναπτύσσονται στη διατομή, καθορίζονται από τους τύπους:

όπου: με μέγιστη τιμή τάσεως

όπου: Mt ροπή στρέψεως, G μέτρο ολισθήσεως, Ιρ πολική ροπή αδρανείας της κυκλικήςδιατομής, τ διατμητική τάση, p απόσταση τυχόντος σημείου της διατομής από τον άξονα τηςράβδου, R ακτίνα της κυκλικής διατομής.

Σχ. 3.10.

Σχ. 3.11.


52

Παρατηρούμε ότι σε κάθε σημείο της κυκλικής διατομής η διατμητική τάση στρέψεως είναιανάλογη προς την απόσταση του σημείου αυτού από το κέντρο της διατομής (σχ. 3.12).

Αν θέσουμε:

(πολική ροπή αντιστάσεως)

τότε:

Με ή

H σχετική γωνία στροφής σε ακτίνια μεταξύ δύο διατομών που απέχουν απόσταση l θαείναι:

β) Στρέψη ράβδου με δακτυλιοειδή διατομή.Με την προϋπόθεση ότι ικανοποιούνται οι βασικές αρχές της προηγούμενης παραγράφου,

στην περίπτωση στρέψεως κυλινδρικού άξονα με διατομή δακτυλιοειδή και ακτίνες R εξωτερικήκαι r εσωτερική (σχ. 3.13), προκύπτουν αναλογικά οι ίδιες σχέσεις:

Για πάχος τοιχώματος t μικρό σε σύγκριση με την εξωτερική ακτίνα R της διατομής, τοπρόβλημα απλουστεύεται με την προϋπόθεση ότι θα υπάρξουν διατμητικές τάσεις σταθερές σεόλο το πάχος t.

.Σχ. 3.13Σχ. 3.12.


53

Παράδειγμα.Άξονας μήκους 10 m καταπονείται σε στρέψη από ροπή Mt = 100 kp ∙ m. H διατομή του

άξονα είναι δακτυλιοειδής, όπως στο σχήμα 3.14. Ζητείται η μέγιστη και ελάχιστη διατμητική τάση,που αναπτύσσονται στη διατομή, το διάγραμμα κατανομής των διατμητικών τάσεων και η σχετικήγωνία στροφής φ των δύο ακραίων διατομών του άξονα. Δίνεται: G = 8.105 kp/cm2.

Λύση.

H πολική ροπή αδρανείας:

Η διατμητική τάση σε απόσταση p από το κέντρο K της διατομής:

Οι ακραίες τάσεις (σχ. 3.14).τμεγ = 83,8 ∙ 3,0 = 251,4 kp/cm2

τελ = 83,8 ∙ 1,5 = 125,7 kp/cm2

H γωνία στροφής:

γ) Στρέψη ράβδου με λεπτότοιχη σωληνωτή διατομή.Εξετάζουμε την περίπτωση κυκλικού δακτυλιοειδούς σωλήνα με σχετικά μικρό πάχος

τοιχώματος t και μέση ακτίνα Rm, στου οποίου τα άκρα ενεργούν δύο ίσες και αντίφορες ροπές Mt

(σχ. 3.15).Παρατηρούμε ότι σε κάθε λωρίδα που κόβεται από το σωλήνα εμφανίζονται μόνο,

εφαπτομενικές της διατομής, διατμητικές τάσεις Tt. Το μέγεθος της τάσεως τt, προσδιορίζεται απότη συνθήκη ισορροπίας της ροπής των ομοιόμορφα διανεμημένων πάνω στην εγκάρσια διατομήεσωτερικών δυνάμεων, τt, t, Δs με την εξωτερική ροπή στρέψεως Mt. Θα έχουμε συνεπώς:

Σχ. 3.14


54

H γωνία στροφής μεταξύ δύο διατομών που απέχουν κατά l είναι:

Αντίστοιχα για κάθε μορφή διατομής ο τύπος γίνεται:

όπου: Am είναι η επιφάνεια, που περικλείεται από τη γραμμή που διχοτομεί το πάχος τουτοιχώματος (σχ. 3.15β).

Ο τύπος δείχνει ότι η μέγιστη τάση στρέψεως εμφανίζεται στη θέση, όπου το πάχος t τουτοιχώματος γίνεται ελάχιστο. Όταν το πάχος του τοιχώματος είναι σταθερό και η διατμητική τάσηTt παραμένει σταθερή.

Σχ. 3.15.


55

3.3 ΚάμψηΌσα θα αναπτυχθούν παρακάτω αφορούν την απλή κάμψη, που σημαίνει ότι η διατομή

καταπονείται με τη ροπή κάμψεως μόνο, και ισχύει εφόσον ικανοποιούνται οι ακόλουθεςπροϋποθέσεις:

1. Το ύψος h στη διατομή της δοκού είναι μικρότερο απότο μισό του ανοίγματός της I.

2. H δοκός έχει ένα επίπεδο συμμετρίας, δηλαδή ηδιατομή της έχει έναν άξονα συμμετρίας και παραμένειαμετάβλητη σ' όλο το μήκος της.

3. Τα φορτία βρίσκονται μέσα στο επίπεδο συμμετρίας τηςκαι είναι κάθετα στον άξονά της.

4. Ο άξονας της δοκού, προτού να παραμορφωθεί είναιευθύγραμμος.

5. Για το υλικό που εξετάζεται, ισχύει ο νόμος του Hooke,με το ίδιο μέτρο ελαστικότητας σε εφελκυσμό και θλίψη.Επί πλέον γίνεται και η ακόλουθη βασική παραδοχή:

6. Οι επίπεδες διατομές της δοκού (τομές κάθετες στονάξονά της), παραμένουν επίπεδες και μετά τηνπαραμόρφωση της δοκού (άρα κάθετες στη νέα θέσητου άξονα της (σχ. 3.16).

Οι πιο πάνω προϋποθέσεις ικανοποιούνται συνήθως στην πράξη3.3.1 Ουδέτερη γραμμή.

H αμφιέρειστη δοκός τουσχήματος 3.17 όταν είναι αφόρτιστη,έχει άξονα ευθύγραμμο. Φανταζόμαστεότι η δοκός αποτελείται απόευθύγραμμες ίνες παράλληλες προςτον άξονά της (όπως π.χ. συμβαίνειστο ξύλο). Όταν η δοκός φορτιστεί (σχ.3.18) ο άξονάς της καμπυλώνει. Οιίνες, που βρίσκονται κάτω από τονάξονα επιμηκύνονται, ενώ αντίθεταόσες είναι πάνω από τον άξοναβραχύνονται. Μεταξύ των δύοπεριοχών υπάρχει προφανώς μίαστρώση ινών, η οποία ούτε εφελκύεται,ούτε θλίβεται και ακριβώς επειδή δενμετέχει στην παραμόρφωση καλείταιουδέτερη (σχ. 3.18). H τομή τηςστρώσεως αυτής με τη διατομήκαλείται ουδέτερη γραμμή. Η γραμμήαυτή είναι ευθεία κάθετη στο επίπεδοφορτίσεως και για την απλή κάμψηδιέρχεται από το κέντρο βάρους της

Σχ. 3.16.

Σχ. 3.17.


56

διατομής. Αν χαράξουμε στην παρειά μιας αφόρτιστης δοκού δύο ευθείες ΑΒ και ΓΔ κάθετες στονάξονά της, μετά τη φόρτιση και την παραμόρφωση της δοκού αυτές εξακολουθούν να είναιευθείες, και στη νέα θέση τους Α'Β' και Γ' Δ' είναι κάθετες στον άξονα της δοκού που έχεικαμπυλωθεί (υπόθεση Bernoulli) (σχ. 3.17 και 3.18). Επομένως οι οριζόντιες μετατοπίσεις) τωνσημείων της ευθείας ΑΒ είναι ανάλογες προς τις αποστάσεις των σημείων από την ουδέτερηγραμμή 0-0 (σχ. 3.19).

Επειδή όμως οι παραμορφώσεις (μετατοπίσεις), σύμφωνα με το νόμο του Hooke, είναιανάλογες με τις τάσεις που τις προκαλούν, προκύπτει ότι και οι τάσεις θα είναι ανάλογες με τιςαποστάσεις των σημείων από την ουδέτερη γραμμή (σχ. 3.19).3.3.2 Ο τύπος της κάμψεως.

Για να δούμε τι συμβαίνει με τις δοκούς που κάμπτονται παραθέτουμε ένα απλόπαράδειγμα μιας κοινής σανίδας (σχ. 3.20) που στηρίζεται στα δύο της άκρα. Παρατηρούμε ότιπαρουσιάζει πολύ μικρή αντοχή στην κάμψη, όταν ο κορμός της είναι οριζόντιος (σχ. 3.20α) καιπολύ μεγαλύτερη, όταν ο κορμός της είναι κατακόρυφος (σχ. 3.20β). Βλέπουμε ότι η ίδια διατομήτης σανίδας Α = 20 x 2 = 40 cm2 συμπεριφέρεται σημαντικά διαφορετικά όταν:

και διαφορετικά όταν:

Συνεπώς δεν επαρκεί μόνο το εμβαδόν Α της διατομής για τη μελέτη της δοκού, πουκάμπτεται.

Για να βρούμε το νόμο της διανομής των τάσεων σε μία διατομή, στην οποία επιβάλλεταιη ροπή κάμψεως Μ, παίρνουμε την απλή περίπτωση μιας αμφιέρειστης δοκού με ορθογωνικήδιατομή, που φορτίζεται με ένα τυχαίο φορτίο F το οποίο είναι κάθετο στον άξονα της δοκού καιβρίσκεται μέσα στο επίπεδο συμμετρίας της διατομής.

Σχ. 3.18.Σχ. 3.19.

Σχ. 3.20.


57

Είπαμε ότι κατά την αρχή του Bernoulli οι παραμορφώσεις των ινών - βραχύνσεις προςτα επάνω, επιμηκύνσεις προς τα κάτω - αυξάνουν, άσο μεγαλώνει η απόστασή τους από τηνουδέτερη γραμμή, της οποίας δεν γνωρίζουμε ακόμη τη θέση. Κατά το νόμο του Hooke οι τάσειςείναι ανάλογες με τις παραμορφώσεις, που σημαίνει ότι και οι τάσεις αυξάνονται όσο μεγαλώνει ηαπόσταση y από την ουδέτερη γραμμή· αυτό μπορεί να εκφραστεί με τη σχέση:

σ = λ ∙ yΓια να μπορεί να καθοριστεί η τιμή της σ, πρέπει και αρκεί να βρεθεί το λ. Αν κόψουμε τη

δοκό σε τυχαία θέση, στο σημείο της τομής ενεργεί η ροπή κάμψεως Μ (σχ. 3.21).

Στη διατομή ενεργεί πάνω από την ουδέτερη γραμμή η συνισταμένη των θλιπτικώντάσεων D και κάτω η συνισταμένη των εφελκυστικών τάσεων Z. Για να ισορροπεί το αριστερόκομμάτι της δοκού που κόπηκε, πρέπει να ισχύουν οι τρεις συνθήκες ισορροπίας Σχ = 0, Σγ = 0και ΣΜ =0. Σχ = 0 σημαίνει D = Z. Για να συμβαίνει αυτό η ουδέτερη γραμμή πρέπει να είναι οοριζόντιος άξονας της ορθογωνικής διατομής.

3.3.3 Ροπές αδρανείας και αντιστάσεως.Οι ροπές αδρανείας και αντιστάσεως είναι γεωμετρικά μεγέθη που έχουν σχέση μόνο με

τις διαστάσεις και τη μορφή της διατομής. Για τις τυποποιημένες διατομές δοκών, από ξύλο ήχάλυβα, υπάρχουν πίνακες που δίνουν, εκτός από το εμβαδόν της διατομής, τη ροπή αδρανείας Ικαι τη ροπή αντιστάσεως W.

1) Ορθογωνική διατομή.Εξετάζοντας το σχήμα 3.22 βλέπουμε ότι για την ορθογωνική διατομή έχουμε δύο ροπές

αδρανείας:

στις οποίες αντιστοιχούν οι ροπές αντιστάσεως:

Σχ. 3.21.

:


58

και τις οποίες χρησιμοποιούμε ανάλογα με τη διεύθυνση επιβολής των φορτίων. Έτσι τα φορτίαΡΧ, που είναι κάθετα στον άξονα συμμετρίας x-x, προκαλούν ροπές, που τις συμβολίζουμε Μx καιμέγιστη τάση:

Αντίστοιχα τα φορτία ΡΧ, που είναι κάθετα στον άξονα συμμετρίας y-y, προκαλούν ροπέςMy και τάση:

2) Σύνθετη διατομή.Όταν η διατομή δεν έχει απλό γεωμετρικό σχήμα, αλλά είναι σύνθετη από τμήματα

διατομών, για τα οποία γνωρίζομε τις ροπές αδρανείας, μπορούμε να βρούμε τη ροπή αδρανείαςτης σύνθετης διατομής με τη βοήθεια δύο κανόνων.

H ροπή αδρανείας μιας διατομής, ως προς τον άξονα x-x, είναι ίση με το αλγεβρικόάθροισμα των ροπών αδρανείας, ως προς τον ίδιο άξονα x-x, όλων των μερικών τμημάτων πουαποτελούν τη διατομή.

Για τις τυποποιημένες διατομές χαλύβδινων ελασμάτων του εμπορίου, υπάρχουνπίνακες που μας δίνουν απ' ευθείας τις τιμές yo, yu, Wo, Wu, Ι.

Σχ. 3.22.

ΓΕΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑ - ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ

Documents

Transcript of ΓΕΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑ - ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ