Λειτουργία µιάς γεννήτριας συνεχούς ρεύµατος Με την εργασία αυτή επιχειρείται µία κάπως αυστηρή περιγραφή του ηλεκ τρικού πεδίου που εκδηλώνεται στον εσωτερικό και εξωτερικό χώρο µιας γεννήτριας συνεχούς ρεύµατος, σε συσχετισµό µε τα φαινόµενα ροής ηλεκ τρικών φορέων που είναι δυνατό να εκδηλωθούν στους χώρους αυτούς. Yπενθυµίζουµε ότι, κάθε γεννήτρια συνεχούς ρεύµατος είναι µια διάταξη που µπορεί να εξασφαλίσει συνεχή και προσανατολισµένη ροή ηλεκτρικών φορέων (ηλεκτρονίων, ιόντων κ.λ.π.) πάνω σε κλειστή διαδροµή που διέρχε ται µέσα από τη γεννήτρια, δηλαδή µπορεί να συντηρήσει ηλεκτρικό ρεύµα ορισµένης φοράς κατά µήκος ενός αγώγιµου βρόχου, που ένα τµήµα του βρίσκεται στο εσωτερικό της γεννήτριας. Aυτό σηµαίνει ότι στο εσωτερικό της γεννήτριας συµβαίνουν κατάλληλες φυσικές διεργασίες, που διασφαλί ζουν τη δηµιουργία ενός µη συντηρητικού ηλεκτρικού πεδίου, το οποίο παρέχει στους ηλεκτρικούς φορείς, µέσω των ηλεκτρικών δυνάµεων που ασκεί σ’ αυτούς, την απαραίτητη ενέργεια για να διαγράφουν κλειστή δια δροµή. Μια λογουχάρη τέτοια διαδικασία συµβαίνει στο εσωτερικό µιας µπαταρίας όπου εκδηλώνονται ηλεκτροχηµικές αντιδράσεις που συντηρούν την εµφάνιση ένός µη συντηρητικού ηλεκτρικού πεδίου ο δε µηχανισµός δηµιουργίας του είναι υπόθεση της Κβαντοµηχανικής και δεν θα µας απασχολήσει. Ένας άλλος τύπος µη συντηρητικού ηλεκτρικού πεδίου εµφα νίζεται στο εσωτερικό ηλεκτρικής γεννήτριας που η λειτουργία της στηρί ζεται στο φαινόµενο της ηλεκτροµαγνητικής επαγωγής και όπως θα εξηγήσουµε στην συνέχεια έχει ως γεννεσιουργό αιτία ένα µεταβαλλόµενο µαγνητικό πεδίο. Για την κατανόηση του µη συντηρητικού αυτού ηλεκτρι κού πεδίου, εξετάζουµε τις εξής δύο περιπτώσεις. α) H γεννήτρια δεν τροφοδοτεί εξωτερικό κύκλωµα (λειτουργία εν κενώ) Λόγω ηλεκτροχηµικών ή ηλεκτροµαγνητικών φαινοµένων που συµβαίνουν µέσα στη γεννήτρια, δηµιουργείται ένα µη ηλεκτροστατικό πεδίο που εκτεί νεται µόνο στο εσωτερικό της και ονοµάζεται ηλεκτροχωριστικό πεδίο. Tο πεδίο αυτό εξασκεί στους ελεύθερους ηλεκτρικούς φορείς που βρίσκονται µέσα στη γεννήτρια (ηλεκτρόνια, ιόντα κ.λ.π.) ηλεκτρικές δυνάµεις, µε απο τέλεσµα οι φορείς αυτοί να διαχωρίζονται συσωρευόµενοι στους πόλους της γεννήτριας, οι οποίοι φορτίζονται µε ετερώνυµα ηλεκτρικά φορτία (σχ. 1). Tα ηλεκτρικά αυτά φορτία δηµιουργούν ένα ηλεκτροστατικό πεδίο που εκτείνεται τόσο στο εσωτερικό της γεννήτριας, όσο και στον εξωτερικό χώρο αυτής µε φορά από το θετικό προς τον αρνητικό της πόλο. Tο ηλεκτροστατι κό αυτό πεδίο δεν επηρεάζει το ηλεκτροχωριστικό πεδίο της γεννήτριας, διό

τι αυτό οφείλεται σε αιτίες άσχετες µε τη συσσώρευση ηλεκτρικών φορτίων στους πόλους της γεννήτριας, που σηµαίνει ότι η ένταση

!

E s του ηλεκτρο

χωριστικού πεδίου σε κάθε εσωτερικό σηµείο της γεννήτριας είναι χρονικά σταθερή. Aντίθετα η ένταση

!

E n του ηλεκτροστατικού πεδίου σε κάθε σηµείο

αυξάνεται στη διάρκεια της συσσώρευσης ηλεκτρικών φορτίων στους πόλους της γεννήτριας, όταν δε αυτή γίνει σε κάθε εσωτερικό της σηµείο αντίθετη προς την ένταση

!

E n, τότε θα σταµατήσει* η συσσώρευση αυτή. Έτσι θα απο

κατασταθεί τελικά στον εσωτερικό χώρο της γεννήτριας ηλεκτροστατικό πεδίο µε µη µηδενική ένταση

!

E n. Aς φανταστούµε τώρα ότι, ένα ηλεκτρικό

Σχήµα 1 υπόθεµα q µετακινείται κατά µήκος µιάς κλειστής γραµµής ABMA, η οποία διέρχεται µέσα από τη γεννήτρια και η οποία τέµνει το θετικό πόλο της στο σηµείο A, τον δε αρνητικό της πόλο στο σηµείο B. Tο αντίστοιχο έργο Wολ της ηλεκτρικής δύναµης που δέχεται το υπόθεµα από το ηλεκτρικό πεδίο της γεννήτριας είναι:

�

W!"

= (! F n

AB

! "d! s ) + (

! F n

BMA

! "d! s ) + (

! F s

BMA

! "d! s ) (1)

όπου

!

F n,

!

F s οι ηλεκτρικές δυνάµεις από το ηλεκτροστατικό και το ηλεκτρο

χωριστικό πεδίο αντιστοίχως της γεννήτριας. Όµως το ηλεκτροστατικό πεδίο είναι συντηρητικό, οπότε ισχύει:

�

(! F n

AB

! "d! s ) + (

! F n

BMA

! "d! s ) = 0 (2)

Συνδυάζοντας τις (1) και (2) παίρνουµε τη σχέση:

�

W!"

= (! F s

BMA

! "d! s ) = q (

! E s

BMA

! "d! s ) !

�

W!"

/q = (! E s

BMA

! "d! s ) (3)

---------------------------------------

* Kατά το µεταβατικό στάδιο της συσσώρευσης ηλεκτρικών φορτίων στους πό λους της γεννήτριας, το δηµιουργούµενο ηλεκτροστατικό πεδίο δυσχεραίνει τη συσσώρευση αυτή, µειώνοντας συνέχεια το ρυθµό διαχωρισµού των ηλεκτρικών φορτίων στο εσωτερικό της γεννήτριας.

H σχέση (3) εκφράζει ότι, το πηλίκο Wολ /q αποτελεί χαρακτηριστικό φυσικό µέγεθος της γεννήτριας εξαρτώµενο από το ηλεκτροχωριστικό της πεδίο, δηλαδή από την εσωτερική της δοµή. Tο πηλίκο αυτό ορίζεται ως ηλεκτρε γερτική δύναµη της γεννήτριας και συµβολίζεται µε

�

E , δηλαδή ισχύει:

�

E = W!"

/q = (! E s

BMA

! "d! s ) (4)

Aς δούµε όµως ποιά είναι η φυσική σηµασία της

�

E . Eπειδή δεχθήκαµε ότι η γεννήτρια δεν τροφοδοτεί εξωτερικό κύκλωµα, σε κάθε σηµείο του εσωτερι κού της χώρου η ένταση του συνιστάµενου πεδίου είναι µηδενική, δηλαδή ισχύει:

!

E n+

!

E s=

!

0 !

!

E s= -

!

E n

οπότε η (4) γράφεται:

�

E = W!"

/q = - (! E n

BMA

! "d! s ) !

(2)

�

E = (! E n

AB

! "d! s ) (5)

Όµως το άθροισµα

�

(!

E nAB

! "d! s ) αποτελεί τη διαφορά δυναµικού Vα -Vβ ανάµε

σα στο θετικό πόλο α και στον αρνητικό πόλο β της γεννήτριας όταν αυτή δεν διαρρέεται από ρεύµα, µε αποτέλεσµα η σχέση (5) να γράφεται:

�

V! - V" = E = (! E n

AB

! "d! s ) (6)

Aν λοιπόν µιά γεννήτρια συνεχούς ρεύµατος δεν τροφοδοτεί εξωτερικό κύκ λωµα (λειτουργία εν κενώ), τότε η διαφορά δυναµικού ανάµεσα στο θετικό και τον αρνητικό της πόλο είναι σταθερή και ίση προς την ηλεκτρεγερτική της δύναµη. β) H ηλεκτρική γεννήτρια τροφοδοτεί εξωτερικό κύκλωµα, (λειτουργία υπό φορτίο) Aς υποθέσουµε τώρα ότι οι πόλοι της γεννήτριας συνδέονται µε µεταλλικό αγωγό, όπως φαίνεται στο σχήµα (2). Tο ηλεκτροστατικό πεδίο που υπάρχει στον εξωτερικό χώρο της γεννήτριας εκτείνεται και µέσα στον αγωγό, όπου δηµιουργεί µετακίνηση ηλεκτρικών φορτίων από τον ένα προς τον άλλο πόλο της γεννήτριας, µε αποτέλεσµα να διαταράσσεται η συγκέντρωση ηλεκ τρικών φορτίων στους πόλους. Aυτό έχει ως συνέπεια την εξασθένιση του ηλεκτροστατικού πεδίου τόσο στο εσωτερικό όσο και στο εξωτερικό της γεν νήτριας, ενώ το ηλεκτροχωριστικό της πεδίο παραµένει αναλλοίωτο. Έτσι στο εσωτερικό της γεννήτριας υπάρχει τώρα ηλεκτρικό πεδίο µε µη µηδε νική ένταση

!

E !"

και συγκεκριµένα ισχύει:

!

E !"

=

!

E n+

!

E s µε E!"

= Es- E

n

αφού τα διανύσµατα

!

E n και

!

E s είναι αντίρροπα και επί πλέον ισχύει Es>En.

Tο πεδίο αυτό προκαλεί στο εσωτερικό της γεννήτριας µετακίνηση ηλεκ

τρικών φορτίων, η οποία ισοδυναµεί µε συµβατική ροή θετικών φορτίων από τον αρνητικό προς το θετικό της πόλο, η οποία συνεχίζεται στο εξωτερικό κύκλωµα της γεννήτριας από το ηλεκτροστατικό της πεδίο και µε τον τρόπο αυτό εξασφαλίζεται η συνεχής κυκλοφορία ηλεκτρικού ρεύµατος στον εσω τερικό και στον εξωτερικό χώρο της γεννήτριας. Eίναι φανερό ότι, οι ηλεκ τρικοί φορείς του ρεύµατος αντλούν στη διάρκεια κάθε κλειστής διαδροµής

Σχήµα 2 τους, ενέργεια από το ηλεκτρικό πεδίο της γεννήτριας, γεγονός που δικαι ολογεί ότι το πεδίο αυτό είναι στο σύνολό του ένα µη συντηρητικό πεδίο. Θεωρώντας τώρα την κλειστή γραµµή AMBA που διέρχεται µέσα από τη γεν νήτρια και λαµβάνοντας υπ’ όψη ότι το ηλεκτροστατικό της πεδίο είναι συν τηρητικό, έχουµε τη σχέση:

�

(!

E nBMA

! "d! s ) + (

!

E nAB

! "d! s ) = 0

µε την προϋπόθεση ότι, η φορά διαγραφής της είναι ίδια µε τη συµβατική φορά του ρεύµατος. Όµως το άθροισµα

�

(! E n

AB

! "d" s ) αποτελεί την τάση Vγεν

στους πόλους της γεννήτριας (διαφορά δυναµικού µεταξύ του θετικού της πόλου α και του αρνητικού της πόλου β), οπότε η προηγούµενη σχέση γράφε ται:

�

(!

E nBMA

! "d! s ) + V

!"#= 0 !

�

V!"#+ [(! E $% -

! E s)!d

! s )]

BMA

" = 0 !

�

V!"# + (!

E $% !d! s )

BMA

" - (!

E s !d! s ) = 0

BMA

" !

�

V!"# = - (!

E $% !d! s )

BMA

" + (!

E s !d! s )

BMA

" (7)

Επειδή το άθροισµα

�

(!

E s ! d! s )

BMA

" εκφράζει εξ ορισµού την ηλεκτρεγερτική δύ

ναµη

�

E της γεννήτριας, και το άθροισµα

�

(!

E !"! d! s )

BMA

" την λεγόµενη πτώση

τάσεως Ir που συµβαίνει πάνω στην εσωτερική της αντίσταση r η σχέση (7) γράφεται: Vγεν = E - Ir (8)

H (8) ισχύει ανεξάρτητα από τη µορφή που έχει το εξωτερικό κύκλωµα της γεννήτριας, δηλαδή είτε αυτό είναι ένας ωµικός καταναλωτής, είτε είναι ηλεκτρικός αποδέκτης. Παρατήρήσεις: i) Θεωρώντας το όλο κύκλωµα µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt, µπορούµε να ισχυριστούµε ότι, στη διάρκεια του χρόνου dt η ένταση του ρεύµατος στο κύκλωµα και η τάση στους πόλους της γεννήτριας έχουν ορισµένες τιµές I και Vγεν, οι οποίες αντιστοιχούν στη χρονική στιγµή t. Tό τε η σχέση (4) γράφεται: VγενIdt = EIdt - I2rdt ! Vγενdq = Edq - I2rdt ! Edq = Vγενdq + I2rdt (9) όπου dq το στοιχειώδες ηλεκτρικό φορτίο που διέρχεται από µιά οποιαδή ποτε διατοµή του κυκλώµατος στον θεωρούµενο χρόνο dt. Όµως το γινόµε νο Edq εκφράζει την ηλεκτρική ενέργεια dWγεν που παράγει η γεννήτρια στο εσωτερικό της σε χρόνο dt, το γινόµενο Vγεν dq εκφράζει την αντίστοιχη ηλεκτρική ενέργεια dWεξ που µεταφέρεται στο εξωτερικό της κύκλωµα και τέλος το γινόµενο I2rdt εκφράζει τη θερµότητα Joule που ελευθερώνεται σε χρόνο dt µέσα στη γεννήτρια, λόγω φαινοµένου Joule στην εσωτερική της αντίσταση r, αποτελεί δε την αντίστοιχη ενέργεια απωλειών dWαπωλ της γεννήτριας. Έτσι η σχέση (9) παίρνει τη µορφή:

dWγεν = dWεξ + dWαπωλ (10) Oλοκληρώνοντας τη σχέση (10) ώστε να καλύπτεται ένας οποισδήποτε χρό νος λειτουργίας του κυκλώµατος, παίρνουµε τη σχέση: Wγεν = Wεξ + Wαπωλ (11) όπου Wγεν η ηλεκτρική ενέργεια που παράγει η γεννήτρια στο εσωτερικό της στον θεωρούµενο χρόνο, Wεξ η αντίστοιχη ηλεκτρική ενέργεια που µεταφέ ρεται στο εξωτερικό της κύκλωµα και Wαπώλ η αντίστοιχη ενέργεια απωλει ών της γεννήτριας, λόγω φαινοµένου Joule στην εσωτερική της αντίσταση r. Oυσιαστικά η σχέση (11) εκφράζει ότι, κατά την λειτουργία µιάς ηλεκτ ρικής γεννήτριας υπό φορτίο, ισχύει η αρχή διατήρησης της ενέργειας.

ii) Tο πηλίκο dWηλ/dt ορίζεται ως ηλεκτρική ισχύς Pηλ της γεννήτριας κατά τη χρονική στιγµή t και εκφράζει το ρυθµό µε τον οποίο αυτή παράγει ηλεκτρική ενέργεια κατά τη στιγµή t. Έτσι θα έχουµε:

�

P!" =dW!"

dt=E Idt

dt !

�

P!" = E I (12)

όπου I η ένταση του ηλεκτρικού ρεύµατος κατά τη θεωρούµενη χρονική στιγµή t. Eξάλλου, το πηλίκο dWεξ/dt εκφράζει το ρυθµό µε τον οποίο η γεν νήτρια παρέχει ηλεκτρική ενέργεια στο κύκλωµα κατά τη χρονική στιγµή t,

ορίζεται δε ως ωφέλιµη ισχύς της γεννήτριας κατά τη στιγµή αυτή και συµβολίζεται µε Pωφ. Έτσι θα ισχύει:

�

P!" = dW#$ /dt !

�

P!" = V#$% Idt/dt = V#$% I (13)

Tέλος το πηλίκο dWαπωλ /dt αποτελεί την ισχύ απωλειών Pαπωλ της γεννή τριας κατά τη χρονική στιγµή t και εκφράζει τον αντίστοιχο ρυθµό µετασχη µατισµού της ηλεκτρικής ενέργειας σε θερµότητα Joule πάνω στην εσωτε ρική της αντίσταση r. Έτσι θα έχουµε:

�

P!"#$

= dW!"#$

/dt !

�

P!"#$

= I2rdt/dt = I

2r (14)

Mε βάση τους παραπάνω ορισµούς η σχέση (10) γράφεται: Pγενdt = Pωφdt + Pαπωλdt ! Pγεν = Pωφ + Pαπωλ (15) iii) Eάν η ηλεκτρική γεννήτρια παράγει ηλεκτρική ενέργεια µε µεταβλητό ρυθµό, δηλαδή σε ίσα χρονικά διαστήµατα παράγει άνισα ποσά ηλεκτρικής ενέργειας, τότε η ηλεκτρική της ισχύς Pηλ θα είναι µιά συνάρτηση του χρό νου. Γνωρίζοντας τη µορφή της συνάρτησης Pηλ=f(t) µπορούµε να υπολο γίσουµε την ηλεκτρική ενέργεια Wηλ που παράγει η γεννήτρια µεταξύ των χρονικών στιγµών t1 και t2, ολοκληρώνοντας τη συνάρτηση αυτή, µε όρια ολοκλήρωσης t1 και t2., οπότε θα έχουµε:

�

W!"= P(t)dt

t1

t 2

!

Mε ανάλογο τρόπο µπορούµε να υπολογίσουµε την αντίστοιχη ηλεκτρική ενέργεια Wεξ που παρέχει η γεννήτρια στο εξωτερικό της κύκλωµα, γνωρί ζοντας τη συνάρτηση Pωφ =f(t). iv) Eάν µιά γεννήτρια συνεχούς ρεύµατος συνδέεται µέσα σ’ ένα κύκλωµα, έτσι ώστε η συµβατική φορά του ρεύµατος στο εσωτερικό της να είναι από το θετικό προς τον αρνητικό της πόλο, τότε η γεννήτρια αυτή δεν παράγει ηλεκτρική ενέργεια, αλλά αντίθετα καταναλώνει ηλεκτρική ενέργεια. Στην περίπτωση αυτή η γεννήτρια χαρακτηρίζεται ως ηλεκτρικός αποδέκτης ή ως γεννήτρια µη ορθά συνδεδεµένη στο κύκλωµα.

Ηλεκτρεγερτική δύναµη από επαγωγή σε ευθύγραµµο µεταλλικό αγωγό

Θεωρούµε λεπτή ευθύγραµµη µεταλλική ράβδο MN, η οποία κινείται ως προς ένα σύστηµα αναφοράς Oxyz µε σταθερή ταχύτητα

! v , της οποίας ο

φορέας είναι κάθετος στη ράβδο (σχ. 3). Στην περιοχή που κινείται η ράβδος υπάρχει µαγνητικό πεδίο του οποίου η ένταση έχει παντού και κάθε στιγµή την ίδια τιµή

!

B ως προς το θεωρούµενο σύστηµα αναφοράς. Eπειδή κάθε ελεύθερο ηλεκτρόνιο της ράβδου παρακολουθεί την κίνησή της θα δέχεται από το µαγνητικό πεδίο δύναµη Laplace

!

f L, για την οποία ισχύει:

�

!

f L = qe(! v !!

B ) όπου qe το ηλεκτρικό φορτίο του ηλεκτρονίου (qe<0). H δύναµη αυτή κατευ θύνεται προς την αρνητική φορά του άξονα Ox, όταν τα διανύσµατα

! v και

!

B έχουν την κατεύθυνση που που δείχνει το σχήµα (3) και εποµένως τείνει να προκαλέσει συσσώρευση αρνητικού φορτίου στο άκρο M της ράβδου και

Σχήµα 3 συσσώρευση θετικού φορτίου στο άκρο N αυτής. Tο γεγονός αυτό δηµιουρ γεί στον εσωτερικό και εξωτερικό χώρο της ράβδου ένα ηλεκτρικό πεδίο που ενεργεί ανασταλτικά στη δράση της

!

f L, δηλαδή µειώνει το ρυθµό διαχωρισ

µού θετικών και αρνητικών φορτίων στις ακρές της ράβδου.

Σχήµα 4 Σχήµα 5 Έτσι κάποια στιγµή ο διαχωρισµός αυτός θα φθάσει σε κατάσταση ισορρο πίας, δηλαδή θα σταµατήσει και τότε σε κάθε σηµείο του εσωτερικού της ράβδου η δύναµη Laplace που δέχεται κάθε ηλεκτρόνιο θα εξουδετερώνεται από την ηλεκτρική δύναµη qe

!

E που ασκεί στο ηλεκτρόνιο το εσώτερικό ηλεκτρικό πεδίο της ράβδου. Aυτό σηµαίνει ότι τελικά στο εσωτερικό της ράβδου το ηλεκτρικό πεδίο θα είναι οµογενές και η έντασή του

!

E θα ικανο ποιεί τη σχέση:

�

qe

!

E =qe(! v !!

B ) !

�

!

E = (! v !!

B ) Όσον αφορά το ηλεκτρικό πεδίο στον εξωτερικό χώρο της ράβδου αυτό θα µοίαζει περίπου µε το ηλεκτρικό πεδίο που παράγεται από διαχωρισµένα θετικά και αρνητικά φορτία, τα οποία δεν είναι απακριβώς συγκεντρωµένα στις άκρες της ράβδου αλλά παρουσιάζουν µια κατανοµή κατά µήκος αυτής, που προσεγγίζεται στο σχήµα (4). Eξάλλου στο σχήµα (5) παρουσιάζεται σε

µεγέθυνση η κατανοµή του θετικού φορτίου στο άκρο N της ράβδου καθώς και η µορφή των δυναµικών γραµµών του ηλεκτρικού πεδίου στον εσωτε ρικό και εξωτερικό χώρο κόντα στο άκρο αυτό. Έτσι διαµορφώνεται η κατά σταση εντός και εκτός της µεταλλικής ράβδου, όταν εξετάζεται από το σύστηµα αναφοράς Oxyz. Aς δούµε όµως τι συµβαίνει όταν η ράβδος MN κινούµενη κατά τον τρόπο που θεωρήσαµε παραπάνω εφάπτεται δια των άκρων της µε τα παράλληλα προς τον άξονα Oy σκέλη ενός ανοικτού µεταλ λικού πλαισίου Γ1A1A2Γ2 που είναι κάθετο στις δυναµικές γραµµές του µαγνητικού πεδίου και ακινητεί στο σύστηµα αναφοράς Oxyz (σχ. 6). Σχήµατίζεται τότε κάθε στιγµή ένα κλειστό κύκλωµα A1A2MNA1 στο οποίο συµβαίνουν τα εξής. Tο εξωτερικό ηλεκτρικό πεδίο της ράβδου MN ασκεί στα ελεύθερα ηλεκτρόνια του ακίνητου µέρους MA1A2N του κυκλώµατος ηλεκτρικές δυνάµεις, υπό την επίδραση των οποίων τίθενται σε ροή κατά µήκος του µε αποτέλεσµα ηλεκτρόνια να εισέρχονται στη ράβδο από το άκρο

Σχήµα 6 της N, που διαταράσσουν την ισορροπία φορτίων στο άκρο αυτό, δηλαδή µειώνεται η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στο εσωτερικό του αγωγού και υπερισχύει η δύναµη Laplace

!

f L επί των ηλεκτρονίων, έναντι της ηλεκτρι

κής δύναµης qe

!

E . Έτσι αρχίζει ροή ηλεκτρονίων µέσα στη ράβδο από το άκρο N προς το άκρο M, ώστε να αποκατασταθεί η διαταραχθείσα ισορροπία φορτίων, όσα δε ηλεκτρόνια µπήκαν σε ορισµένο χρόνο από το άκρο N, τόσα βγήκαν από το άκρο M στον ίδιο χρόνο, συνεχίζεται δε η ροή αυτή µέσα στο εξωτερικό τµήµα της ράβδου, συντηρούµενη από το εξωτερικό της ηλεκτρι κό πεδίο. Mε τον τρόπο αυτό το κύκλωµα A1A2MN διαρρέεται µε ηλεκτρικό ρεύµα (επαγωγικό ρεύµα), που η συµβατική του φορά είναι αντίθετη της φοράς κίνησης των ελευθέρων ηλεκτρονίων, δηλαδή παράγεται στο κύκλω µα αυτό ηλεκτρική ενέργεια. Δηµιουργείται όµως το ερώτηµα, από ποιά µορφή ενέργειας προέρχεται η ηλεκτρική αυτή ενέργεια; H απάντηση στο ερώτηµα αυτό είναι η εξής: O µεταλλικός αγωγός MN δέχεται από το µαγνητικό πεδίο, λόγω του επαγω γικού ρεύµατος, δύναµη Laplace

!

F L, αντίρροπη της ταχύτητάς του

! v , οπότε

για να εξασφαλιστεί η οµαλή µεταφορική του κίνησή, πρέπει να εξασκείται σ’ αυτόν εξωτερική δύναµη

!

F !", ίσου µέτρου και αντίθετης φοράς προς την

!

F L. Mέσω του έργου της

!

F !" προσφέρεται ενέργεια στον αγωγό MN, η οποία µετασχηµατίζεται σε ηλεκτρική ενέργεια και έτσι συντηρείται η ροή των ηλεκτρονίων κατά µήκος του κυκλώµατος. Aπό όσα εκτέθηκαν προηγουµέ

νως προκύπτει αβίαστα ότι η κινούµενη εντός του µαγνητικού πεδίου µεταλλική ράβδος συµπεριφέρεται ως ηλεκτρική γεννήτρια µε θετικό πόλο το άκρο της N, όπου έχει συσσωρευτεί θετικό φορτίο και αρνητικό πόλο το άλλο της άκρο M, στο οποίο υπάρχει αντίθετο φορτίο.

Yπολογισµός της κινητικής επαγωγικής H.E.Δ. Στη συνέχεια εξετάζοντας από µικροσκοπική άποψη την κίνηση των ελεύ θερων ηλεκρονίων του αγώγιµου βρόχου MA1A2N στο σύστηµα Oxyz, θα υπολογίσουµε την επαγωγική ηλεκτρεγερτική δύναµη που εντοπίζεται κατά µήκος της ράβδου MN και θα αποδείξουµε τη συµβατότητά της µε το νόµο της επαγωγής του Faraday. Aς δούµε αρχικά τι συµβαίνει στα ελεύθερα ηλεκρόνια της κινούµενης ράβδου MN. Στην κατάσταση ισορροπίας κάθε ελεύθερο ηλεκρόνιο έχει στο σύστηµα αναφοράς Oxyz ταχύτητα

!

V , η οποία προκύπτει ως συνισταµένη της ταχύτητας

! v και της ταχύτητας µετάθεσης

! v

d µε την οποία διασχίζει το µεταλλικό πλέγµα της ράβδου MN. H δύναµη

Laplace !

F που δέχεται το ηλεκτρόνιο λόγω της !

V ικανοποιεί τη σχέση:

�

!

F =qe(!

V !!

B ) και αναλύεται σε µια συνιστώσα

!

F x συγγραµµική της

! v

d και µια συνιστώσα

!

F ! κάθετη στην

! v

d (σχ. 7). Eξάλλου το ηλεκτρόνιο δέχεται και δύναµη κρού

σεως από το µεταλλικό πλέγµα, η οποία αναλύεται σε µια δύναµη !

f κάθετη στην

! v

d η οποία εξουδετερώνει την

!

F ! και σε µια δύναµη τριβής

!

T που

εξουδετερώνει την

!

F x. Aς εστιάσουµε την προσοχή µας στη δύναµη

!

f . Συµ φωνα µε το αξίωµα της ισότητας µεταξύ δράσης-αντίδρασης κάθε ηλεκτρό νιο της ράβδου MN εξασκεί στο µεταλλικό της πλέγµα δύναµη -

!

f , η δε συνισταµένη όλων των δυνάµεων -

!

f που αντιστοιχούν στα ελεύθερα ηλεκτ

Σχήµα 7 Σχήµα 8 ρόνια της ράβδου αποτελεί δύναµη που αντιστέκεται στην κίνησή της, οπότε χρειάζεται εξωτερική δύναµη

!

F !" ακριβώς αντίθετη της προηγούµενης δύναµης για να εξασφαλίζεται η ισοταχής κίνηση της ράβδου. Eίναι αξιοση µείωτο να παρατηρήσουµε ότι οι φορείς των δυνάµεων

!

f που αντιστοιχούν στα ελεύθερα ηλεκτρόνια των ακίνητων τµηµάτων MA1, A1A2 και A2N του αγώγιµου βρόχου που εξετάζουµε είναι κάθετοι στα τµήµατα αυτά, γεγονός που σηµαίνει ότι τα έργα των δυνάµεων αυτών είναι µηδενικά όταν τα ηλεκ

τρόνια διασχίζουν τα τµήµατα αυτά. Tο έργο της δύναµης !

f για την κλειστή διαδροµή (C)=NMA1A2N ενός ηλεκτρονίου στο σύστηµα αναφοράς Oxyz (σχ. 8) είναι:

�

W!

f = (

! f !d! L )

(C)

" = (! f !d! L )

NM

" + (! f !d! L )

MA1

" + (! f !d! L ) + (

! f !d! L )

A2M

"A1A2

" !

W!

f = f(MN)!"#$ +0 + 0 +0 = f(MN)!"#$ (1)

Όµως ισχύουν και οι σχέσεις: MN = L/!µ" και f = F

!= BV|qe|"µ#

οπότε η σχέση (1) γράφεται:

W!

f = BV|qe|!µ"(L/!µ")#$%" =B|qe|LV#$%" (2)

Όµως έχουµε και τις σχέσεις: v = V!"#$ και |qe | =- qe όποτε η (2) γράφεται:

W!

f = - qeBvL (3)

Eίναι προφανές ότι το έργο

W!

f οφείλει την ύπαρξή του στη δράση της εξω

τερικής δύναµης

!

F !", δήλαδή απορρέει ουσιαστικά από το έργο της

!

F !" και αυτό επιβεβαιώνει µικροσκοπικά τη µετατροπή του έργου αυτού σε ηλεκ τρική ενέργεια που συντηρεί το επαγωγικό ρεύµα στον αγώγιµο βρόχο. Όµως κάθε αιτία που παράγει ηλεκτρικό ρεύµα σ’ ένα αγώγιµο βρόχο αντι στοιχεί σε µια ηλεκτρεγερτική δύναµη, που στην περίπτωσή µας είναι εντο πισµένη σε όλο το µήκος L της κινούµενης ράβδου MN. H ηλεκτρεγερτική αυτή δύναµη εξ ορισµού δίνεται από τη σχέση:

�

E!"

=W!

f /qe !

(3)

�

E!"

= - qeBvL/qe !

�

E!"

= - BvL (4) Aς εξετάσουµε κατά πόσο η σχέση (4) είναι συµβατή µε το νόµο της επα γωγής του Faraday. Για το σκοπό αυτό υπολογίζουµε τη µεταβολή dΦ της µαγνητικής ροής µέσα από την επιφάνεια του αγώγιµου βρόχου NMA1A2N, µέταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt προσανατολίζοντας το εµβαδικό του διάνυσµα

! n σύµφωνα µε τον κανόνα του δεξιού χεριού, δηλαδή κατά τη

φορά που δείχνει ο αντίχειρας όταν τα υπόλοιπα τέσσερα δάκτυλα δείχνουν τη φορά κίνησης των ηλεκτρονίων. Έτσι θα έχουµε τη σχέση:

d! = (!

B !d!

S ) = BdS"#$0 =BdS (5) Όµως η αύξηση dS του έµβαδού του βρόχου στο χρόνο dt είναι ίση µε Lvdt, oπότε η σχέση (5) γράφεται:

d! =BLvdt !

�

d!/dt = BLv !(4)

�

E!"

= -d#/dt (6) δήλαδή η (4) είναι συµβατή µε το νόµο του Faraday. H συµβατότητα αυτή µας επιτρέπει να ισχύρισθούµε ότι, η σχέση (4) ισχύει και στην περίπτωση που το µέτρο της ταχύτητας

! v µεταβάλλεται χρονικά, αλλά τότε θα δίνει τη

στιγµιαία επαγωγική H.E.Δ. στη ράβδο κατά την τυχαία χρονική στιγµή t.

Kινητική επαγωγή και Σχετικότητα Aς εξετάσουµε τη µεταλλική ράβδο του προηγούµενου εδαφίου από ένα σύστηµα αναφοράς O’x’y’z’ στο οποίο αυτή είναι ακίνητη (σχ. 9). Σύµφωνα µε την ειδική θεωρία της Σχετικότητας ένας παρατηρητής που είναι στατι κός στο σύστηµα αυτό αναγνωρίζει στα σηµεία του χώρου την ύπαρξη ενός µαγνητικού και ενός ηλεκτρικού πεδίου. Mε την προϋπόθεση ότι το µέτρο της ταχύτητας

! v είναι πολύ µικρότερο της ταχύτητας διαδόσεως C του

φωτός στο κένο (v<<C) η ένταση !

B ' του µαγνητικού πεδίου είναι περίπου ίδια µε την ένταση

!

B , ενώ η ένταση !

E 'του ηλεκτρικού πεδίου ικανοποιεί τη σχέση:

�

!

E '= (! v !!

B ') " (! v !!

B ) (1) Eπειδή η µεταλλική ράβδος είναι ακίνητη στο σύστηµα αναφοράς O’x’ψ’z΄ το µαγνητικό πεδίο

!

B ' δεν επιδρά στα ελεύθερα ηλεκτρόνιά της, ενώ το ηλεκ τρικό πεδίο εξασκεί πάνω σ’ αυτά ηλεκτρικές δυνάµεις

!

F !"= qe

!

E '. Oι δυνά µεις αυτές προκαλούν διαχωρισµό θετικών και αρνητικών φορτίων στη ράβδο, δηλαδή εµφανίζεται µια κατανοµή θετικών και αρνητικών στην εξω τερική επιφάνεια της ράβδου, η οποία δηµιουργεί ένα πρόσθετο ηλεκτρικό

Σχήµα 9 πεδίο

!

E n εκτεινόµενο εντός και εκτός αυτής. Όταν ο διαχωρισµός φορτίων

φθάσει σε κατάσταση ισορροπίας, τότε στο εσώτερικό της ράβδου δεν θα υπάρχει ηλεκτρικό πεδίο, διότι το πεδίο έντασης

!

E ' θα έχει εξουδετερωθεί από το πεδίο έντασης

!

E n που δηµιουργούν εντός της ράβδου τα διαχωρισµέ

να θετικά και αρνητικά φορτία της εξωτερικής της επιφάνειας. Aντίθετα τα φορτία αυτά δηµιουργούν στον εξωτερικό χώρο της ράβδου ένα ηλεκτρο στατικό πεδίο του οποίου οι δυναµικές γραµµές έχουν κατά προσέγγιση τη µορφή που φαίνεται στο σχήµα (10). Eξάλλου στο σχήµα (11) παρουσιάζεται σε µεγέθυνση η κατανοµή του θετικού φορτίου στο άκρο N της ράβδου κα

θώς και η µορφή των δυναµικών γραµµών του ηλεκτρικού πεδίου εντός και εκτός της ράβδου στην εγγύς περιοχή του άκρου αυτού. Έτσι παρουσιάζεται η κατάσταση στη ράβδο όταν εξετάζεται από το σύστηµα αναφοράς O’x’y’z’. Aς δούµε όµως τι θα συµβεί όταν οι άκρες της ράβδου είναι σ΄ επαφή µε τα σκέλη A1Γ1 και A2Γ2 του ανοικτού µεταλλικού πλαισίου Γ1A1A2Γ2 του σχήµα

Σχήµα 10 Σχήµα 11 τος (12), το οποίο ως προς τό συστηµα O’x’y’z’ κινείται µε ταχύτητα -

! v , δηλα

δή είναι ακίνητο στο σύστηµα Oxyz. Η δράση των πεδίων

!

E ' και

!

B ' στα ελεύθερα ηλεκτρόνια του πλαισίου αυτού οδηγεί σε µηδενική δύναµη, διότι η δύναµη από το ηλεκτρικό πεδίο αναιρεί την δύναµη Laplace από το µαγνητικό πεδίο, υπάρχει όµως το ηλεκτροστατικό πεδίο

!

E n το οποίο επιδρά

στα ελεύθερα ηλεκτρόνιά του και τα εξωθεί σε προσανατολισµένη κίνηση κατά µήκος αυτού. Mε τον τρόπο αυτό εισρέουν ηλεκτρόνια στη ράβδο από το άκρο της N, τα οποία διαταρράσσουν την ηλεκτρική της ισορροπία, δηλα δή η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου εντός της ράβδου παύει να είναι µηδενι κή, διότι υπερισχύει το πεδίο

!

E ' έναντι του

!

E n. Aυτή η διαταραχή προκα

Σχήµα 12 λεί κατά µήκος της ράβδου ροή ηλεκτρονίων µε φορά από το άκρο N προς το άκρο της M προκειµένου να αποκατασταθεί η αρχική ισορροπία. Έτσι προ κύπτει µια αέναη ροή ηλεκτρονίων στο κλειστό κύκλωµα NMA1A2Ν, που ισοδυναµεί µε την κυκλοφορία επαγωγικού ρεύµατος αντίθετης συµβατικής φοράς προς τη φορά κίνησης των ηλεκτρονίων. Για να υπολογίσουµε την ηλεκτρεγερτική δύναµη που είναι συσχετισµένη µε το ρεύµα αυτό αρκεί να να παρατηρήσουµε ότι αυτή θεωρούµενη στο αδρανειακό σύστηµα O’x’y’z’ είναι εξ’ ορισµού ίση µε το άθροισµα

�

(! E '!d

! L

NM

" ) , δηλαδή ισχύει η σχέση:

�

E '!"

= (! E '!d

! L

NM

" )= (E'dL#$%&NM

" ) = - (E'dLNM

" )= -BvL (2)

δηλαδή καταλήξαµε ακριβώς στην ίδια σχέση που παραδέχεται και ο ακίνη τος στο σύστηµα αναφοράς Oxψz παρατηρητής. Eργαζόµενοι στη συνέχεια µε ίδιο τρόπο όπως και στο προηγούµενο εδάφιο, βρίσκουµε ότι η σχέση (2) είναι συµβατή µε το νόµο της επαγωγής του Faraday, δηλαδή ισχύει:

�

E '!"

= -d#'/dt' (3) όπου το πηλίκο dΦ’/dt’ εκφράζει το ρύθµό µεταβολής της µαγνητικής ροής µέσα από την επιφάνεια του βρόχου (NMA1A2Ν) στο σύστηµα αναφοράς O’x’y’z’. Eπειδή δεχθήκαµε ότι v<<C, ο χρόνος t’ στο σύστηµα αυτό ρέει σχεδόν µε τον ίδιο τρόπο που ρέει στο σύστηµα Oxyz, δηλαδή ισχύει Δt’≈Δt. Πρέπει ακόµη να τονίσουµε ότι κατά τον υπολογισµό της µαγνητικής ροής Φ’ το εµβαδικό διάνυσµα

! n ' του βρόχου είναι προσανατολισµένο συµφωνα

µε τον κανονα του δεξιού χεριού, δηλαδή κατά τη φορά που δείχνει ο αντί χειρας, όταν τα υπόλοιπα τέσσερα δάκτυλα δείχνουν τη φορά κίνησης των ηλεκτρονίων.

P.M. fysikos