Κύλιση µε και χωρίς ολίσθηση.

υ0 Κύλινδρος µάζας m και ακτίνας R ηρεµεί σε οριζόντιο δάπεδο. Με κατάλληλη ώθηση προδίδουµε στον κύλινδρο οριζόντια µεταφορική ταχύτητα υ0 . Ο κύλινδρος µετά από λίγο αρχίζει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, περί τον άξονα συµµετρίας του, µε ταχύτητα του κέντρου µάζας του υ=2υ0/3 και κινητική ενέργεια τα 2/3 της αρχικής κινητικής του ενέργειας. Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου είναι Ι=λmR2, ο συντελεστής τριβής ολίσθησης µε το δάπεδο ισούται µε µ και η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι ίση µε g. α. Που οφείλεται η µείωση της κινητικής ενέργειας του κυλίνδρου; Θα συνεχίσει να µειώνεται και στην συνέχεια, µετά δηλαδή την στιγµή που αρχίζει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει; β. Να δείξετε ότι για τον κύλινδρο ισχύει λ=1/2 γ. Υπολογίστε τον ρυθµό µεταβολής της στροφορµής κατά τον άξονα περιστροφής του κυλίνδρου στις δύο φάσεις του φαινοµένου. δ. Υπολογίστε τον ρυθµό µεταβολής της ορµής του κυλίνδρου στις δύο φάσεις του φαινοµένου. Απάντηση: α. Αρχικά ο κύλινδρος ολισθαίνει στο δάπεδο αφού δεν έχει γωνιακή ταχύτητα. Η τριβή ολίσθησης που εµφανίζεται, επιβραδύνει την µεταφορική κίνηση αλλά µε την ροπή της δηµιουργεί επιταχυνόµενη στροφική κίνηση. Η κύλιση χωρίς ολίσθηση εµφανίζεται όταν η γραµµική ταχύτητα περιστροφής, των σηµείων στην περιφέρεια του κυλίνδρου εξισωθεί µε την ταχύτητα µεταφορικής κίνησης του κέντρου µάζας . Στην πρώτη φάση του φαινοµένου ( κύλιση µε ολίσθηση ) η τριβή ολίσθησης αφαιρεί µε το έργο της ενέργεια που µεταφέρεται στο περιβάλλον ( θερµική ).

υcmυγρΤ

Στην συνέχεια η τριβή καταργείται ( µηδενίζεται ) και ο κύλινδρος κινείται µε σταθερή ταχύτητα ( ΣF=0 και Στ=0). Άρα η κινητική του ενέργεια δεν µειώνεται περισσότερο. β. Η κινητική ενέργεια στην φάση της κύλισης χωρίς ολίσθηση µπορεί να θεωρηθεί άθροισµα µεταφορική και στροφική κινητικής ενέργειας.

22 ω21υ

21

Ι+= mK (1)

ισχύουν επίσης οι Rυ

ω = και 20υ2

132 mK ⋅= (2)

Εισάγοντας τις σχέσεις (2) στην (1) προκύπτει ότι 2

21 mRI =

Άρα λ=1/2 γ. Ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής, στην πρώτη φάση ισούται µε την συνολική ροπή ( θεµελιώδης νόµος για την στροφική κίνηση), δηλαδή την ροπή της τριβής ολίσθησης ως προς τον άξονα περιστροφής. Στην συνέχεια ο ρυθµός µηδενίζεται.

µmgRRΤ =⋅=dtdJ

δ. Ο ρυθµός µεταβολής της ορµής, στην πρώτη φάση ισούται µε την συνισταµένη δύναµη ( θεµελιώδης νόµος για την µεταφορική κίνηση) , δηλαδή µε την τριβής ολίσθηση. Στην συνέχεια ο ρυθµός µηδενίζεται.

µmgΤ −=−=dtdp

Παρατήρηση. Ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής είναι θετικός αφού η ροπή επιταχύνει τον κύλινδρο. Αυτό σηµαίνει ότι το αντίστοιχο έργο ροπής είναι θετικό!! Αντίθετα ό ρυθµός µεταβολής της ορµής είναι αρνητικός διότι η τριβή επιβραδύνει την µεταφορική κίνηση. Φυσικά το αντίστοιχο έργο είναι αρνητικό και µεγαλύτερο ( απολύτως) του έργου της ροπής αφού προφανώς το έργο συνολικά της τριβής είναι αρνητικό ( µεταφέρει ενέργεια στο περιβάλλον).