Ροπή αδρανείας σφαιρικού φλοιού.

(στα επόμενα κάνουμε χρήση της χωρίς κάποιο φυσικό νόημα «ροπής

αδράνειας ως προς σημείο» για να διευκολύνουμε τους υπολογιμούς μας)

Ας θεωρήσουμε ένα πολύ λεπτό σφαιρικό φλοιό ακίνας R. Ας

φαντασθούμε επίσης ένα τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων με (x,y,z)

με αρχή το κέντρο Ο της σφαίρας.

Σε μια απειροστή περιοχή ενός σημείου (x,y,z) πάνω στην

επιφάνεια ( 2 2 2 2x y z R ) θεωρούμε μια απειροστή μάζα dm ds ,

όπου σ η επιφανειακή πυκνότητα.

Στη γενική περίπωση ενός στερεού σώματος, δουλεύοντας σε

Καρτεσιανές συντεταγμένες και θεωρώντας ένα απειροστό όγκο

dV dxdydz σε μια περιοχή γύρω από κάποιο σημείο (x,y,z) με

πυκνότητα ρ, που μπορεί γενικά να είναι συνάρτηση του x, y, z με

στοιχειώδη μάζα: dm dxdydz ) θα έχουμε:

«Ροπή αδράνειας της στοιχειώδους μάζας ως προς το κέντρο Ο»:

2 2 2

0 ( )dI x y z dm (1)

Ροπή αδράνειας της στοιχειώδους μάζας ως προς τον χ άξονα:

2 2( )xdI y z dm (2)

Και όμοια:

2 2( )ydI x z dm (3)

2 2( )zdI x y dm (4)

Από τις (2), (3) και (4) παρατηρούμε ότι:

02x y zdI dI dI dI (5)

Επανρχόμαστε στο σφαιρικό φλοιό. Από τη συμμετρία του

προβλήματός μας:

x y zI I I (6)

Άρα η ροπή αδρανείας ως προς κάποιον από τους 3 άξονες θα

είναι ίση (λόγω και της 5) με τα 2/3 της «ροπής αδρανείας του

σφαιρικού φλοιού ως προς το Ο».

Όμως στην περίπτωση ενός σφαιρικού φλοιού, όλη η μάζα

βρίσκεται σε απόσταση R από το κέντο Ο, οπότε η «ροπή αδρανείας

ως προς το Ο» θα είναι ίση με:

2

0I MR

Έτσι λοιπόν θα έχουμε:

22

3x y zI I I MR

Φυσικά η «ροπή αδράνειας ως προς σημείο» δεν έχει κάποιο

φυσικό νόημα, είναι μια... βοηθητική ευθεία.

Ευχαριστώ τους φίλους Διονύση Μάργαρη, Δημήτρη Γκενέ,

Θρασύβουλο Μαχαίρα για τις υποδείξεις τους