Κεϕάλαιο 4

Κβαντικη αντιμετωπιση τηςαλληλεπιδρασεως ΗΜ πεδιου - ΔισταθμικουΣυστηματος Κβαντωση ΗΜ πεδιου

41 Πλήρης Κβαντική Προσέγγιση έναντιΗμικλασικής Προσεγγίσεως

Στο προηγούμενο κεϕάλαιο κάναμε τη λεγόμενη Ημικλασική Προσέγγιση (δισταθ-μικό σύστημα κβαντικά - ΗΜ πεδίο κλασικά) Για το ΗΜ πεδίο χρησιμοποιήσαμετη γλώσσα των ανυσματικών μεγεθών E B Υποθέσαμε λοιπόν ότι το πλάτοςτου ηλεκτρικού πεδίου είναι σταθερό ΄Επρεπε η ΗΜ ακτινοβολία να είναι αρκετάπυκνή ώστε το πλάτος του ηλεκτρικού πεδίου να μην επηρεάζεται πρακτικά από τηναπορρόϕηση ή την εκπομπή ϕωτονίουΣτο παρόν κεϕάλαιο κάνουμε Πλήρη Κβαντική Προσέγγιση δηλαδή αντιμετωπί-

ζουμε δισταθμικό σύστημα και ΗΜ πεδίο κβαντικά Θα λέγαμε ότι προσπαθούμενα εκϕράσουμε το ΗΜ πεδίο στη γλώσσα του αριθμού των ϕωτονίων Θα πρέπειεπομένως να βρεθεί μια έκϕραση της Χαμιλτονιανής του ΗΜ πεδίου που να επιτρέπειτο μετασχηματισμό της στη γλώσσα του αριθμού των ϕωτονίων αντί της γλώσσαςπου χρησιμοποιεί τα ανυσματικά μεγέθη E B Αυτό θα γίνει στο παράδειγμα τουστάσιμου ΗΜ κύματος σε κοιλότητα στην Ενότητα 43 Πριν από αυτό στην Ενότη-τα 42 θα διερευνήσουμε τη σχέση μεταξύ κυματανυσμάτων κυκλικών συχνοτήτωνκαι αρχικών ϕάσεων του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου Στη συνέχεια στηνΕνότητα 44 θα θυμηθούμε τους τελεστές καταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίωνκαι θα κβαντωθεί η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει το ΗΜ πεδίο καθώς και το ηλεκτρι-κό και το μαγνητικό πεδίο ξεχωριστά με τη βοήθεια των τελεστών αυτών ΄Αρα θα

137

138

έχουμε μια Χαμιλτονιανή για το ΗΜ πεδίο Κατόπιν στην Ενότητα 45 θα περιγρά-ψουμε με τη βοήθεια σπινόρων το δισταθμικό σύστημα και ειδικότερα την αναβίβασηκαι την καταβίβαση ενός ηλεκτρονίου μεταξύ των δύο ενεργειακών σταθμών του΄Αρα θα έχουμε και μια Χαμιλτονιανή για το δισταθμικό σύστημα Μετά θα κα-τασκευάσουμε και τη Χαμιλτονιανή της αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος -ΗΜ πεδίου στην Ενότητα Εξ 4166 Οπότε θα είμαστε σε θέση να ορίσουμε μια Ο-λική Χαμιλτονιανή που να περιγράϕει το ΗΜ πεδίο το δισταθμικό σύστημα αλλά καιτη μεταξύ τους αλληλεπίδραση (Χαμιλτονιανές Rabi και Jaynes-Cummings) ΣτηνΕνότητα 46 συνοψίζουμε τις σχέσεις μεταθέσεως για μποζόνια (πχ ϕωτόνια) καιαντιμεταθέσεως για ϕερμιόνια (πχ ηλεκτρόνια) Στην Ενότητα 49 συνοψίζονται οιΧαμιλτονιανές Στην Ενότητα 410 υπολογίζονται μέσες (αναμενόμενες) τιμές χρή-σιμων μεγεθών για τη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings στην απορρόϕηση και στηνεκπομπή ϕωτονίου Ακολουθούν δύο παραδείγματα εϕαρμογής της ΧαμιλτονιανήςJaynes-Cummings στην απορρόϕηση ϕωτονίου (Ενότητα 411) και στην εκπομπήϕωτονίου (Ενότητα 412) τα οποία καταλήγουν στην περιγραϕή των ταλαντώσεωντου πληθυσμού των ϕωτονίων και της καταλήψεως των ενεργειακών σταθμών

139

42 Σχέση μεταξύ κυματανυσμάτων κυκλικώνσυχνοτήτων και ϕάσεων ηλεκτρικού καιμαγνητικού πεδίου

Ας θυμηθούμε τις Εξισώσεις Maxwell στη διατύπωση με όρους ολικού ϕορτίου καιολικού ρεύματος και συγκεκριμένα στη διαϕορική μορϕή

nabla middot E = ρε0 νόμος Gauss ηλεκτρισμού (41αʹ)

nabla middot B = 0 νόμος Gauss μαγνητισμού (41βʹ)

nabla times E = minuspartBpartt

νόμος Faraday (41γʹ)

nabla times B = micro0J + micro0ϵ0partE

parttνόμος Ampere και διόρθωση Maxwell (41δʹ)

Στο κενό όπου ρ = 0 και J = 0 οι Εξ 41αʹ-41δʹ γίνονται

nabla middot E = 0 (42αʹ)

nabla middot B = 0 (42βʹ)

nabla times E = minuspartBpartt

(42γʹ)

nabla times B = micro0ϵ0partE

partt(42δʹ)

Ισχύουν οι ταυτότητες

nabla times (nabla times ∆) = nabla(nabla middot ∆)minusnabla2∆ (43)

nabla2∆ = (nabla middot nabla)∆ (44)

Οπότε από τις Εξ 42 προκύπτει

nabla2E = ϵ0micro0part2E

partt2(45)

Δοκιμάζοντας στην Εξ 860 λύσεις της μορϕής

E(r t) = E0ei(kmiddotrminusωt+δ) (46)

140

προκύπτει

|k| = k =ω

c (47)

Ομοίως από τις Εξ 42 προκύπτει

nabla2B = ϵ0micro0part2B

partt2(48)

Δοκιμάζοντας στην Εξ 861 λύσεις της μορϕής

B(r t) = B0ei(kmiddotrminusωt+δprime) (49)

προκύπτει πάλι η εξίσωση Εξ 880 Επειδή ω = 2πν c = λν από την Εξ 880προκύπτει k = 2π

λ Σημειωτέον ότι δεδομένου ότι παραγωγίζουμε ως προς x y z t

οι ῾῾ αρχικές ϕάσεις ᾿᾿ δ δprime παραμένουν αυθαίρετες δηλαδή δεν προσδιορίζονται απότις έως τώρα πράξεις

Για τις λύσεις 845 και 847 μετά από πράξεις διαπιστώνουμε ότι ο τελεστής nablaμπορεί να αντικατασταθεί με ik σχηματικά

nabla rarr ik (410)

Διότι αν θεωρήσουμε πεδίο της μορϕής

∆ = ∆0 ei(kmiddotrminusωt+δ) = (∆0x∆0y∆0z) e

δ⃝ (411)

τότε

nabla middot ∆ = (part

partxpart

partypart

partz) middot (∆x∆y∆z) =

part∆x

partx+part∆y

party+part∆z

partz=

∆0x eδ⃝ikx +∆0y e

δ⃝iky +∆0z eδ⃝ikz = i(kx ky kz) middot (∆0x∆0y∆0z) e

δ⃝ = ik middot ∆

141

αλλά και

nabla times ∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

partpartx

partparty

partpartz

∆0xeδ⃝ ∆0ye

δ⃝ ∆0zeδ⃝

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= i

(part∆0ze

δ⃝

partyminus part∆0ye

δ⃝

partz

)minus j(part∆0ze

δ⃝

partxminus part∆0xe

δ⃝

partz

)+ k

(part∆0xe

δ⃝

partyminus part∆0ye

δ⃝

partx

)= i

(iky∆z minus ikz∆y

)minus j(ikx∆z minus ikz∆x

)+ k

(iky∆x minus ikx∆y

)

= i

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

kx ky kz

∆x ∆y ∆z

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = ik times ∆

Συνεπώς

Εξ 844 845 rArr ik middot E = 0rArr k middot E = 0 (412αʹ)

Εξ 846 847 rArr ik middot B = 0rArr k middot B = 0 (412βʹ)

Εξ 848 845 847 rArr ik times E = iωB rArr k times E = ωB (412γʹ)

Εξ 849 845 847 rArr ik times B = micro0ϵ0(minusiω)E rArr k times B = minusmicro0ϵ0ωE(412δʹ)

Από τις Εξ 412αʹ 412βʹ 412γʹ 412δʹ με ένα σύντομο λογικό παιχνίδι προκύπτειη σχέση των κατευθύνσεων των διανυσμάτων E B k συγκεκριμένα προκύπτει ότιτο εξωτερικό γινόμενο του E με το B είναι ομόρροπο του k δηλαδή

E times B uarruarr k (413)

και μάλιστα τα E B k έχουν τη σχέση κατευθύνσεων και καθετοτήτων που αποδί-δεται στο Σχήμα 810 Η σχέση 413 μπορεί να αποδειχθεί και εξειδικευτεί και μεμαθηματικά χρήσει της ταυτότητας

atimes (btimes c) = (a middot c)bminus (a middot b)c (414)

142

Για παράδειγμα ξεκινώντας από την Εξ 412γʹ έχουμε E times (k times E) = ωE times B rArr(E middot E)k minus (E middot k)E = ωE times B αλλά λόγω της Εξ 412αʹ προκύπτει

E times B =|E|2

ωk (415)

Λαμβάνοντας υπ΄ όψιν τις ήδη αποδεδειγμένες καθετότητες των κατευθύνσεων τωνE B k από τις Εξ 412γʹ-412δʹ προκύπτει

|E||B|

= c (416)

Σχήμα 41 E times B uarruarr k

Ας δοκιμάσουμε τώρα στις Εξ 860 και 861 αντί των λύσεων 845 και 847λύσεις της μορϕής

E(r t) = E0ei(kemiddotrminusωet+δe) = E0e

ε⃝ (417)

B(r t) = B0ei(kbmiddotrminusωbt+δb) = B0e

β⃝ (418)

δηλαδή ας θεωρήσουμε ότι τα E(r t) και B(r t) δεν έχουν κατ΄ ανάγ-κην ίσα κυματανύσματα ke και kb κυκλικές συχνότητες ωe και ωb και῾῾ αρχικές ϕάσεις ᾿᾿ δe και δb Τότε

Εξ 844 417 rArr ke middot E = 0 (419αʹ)

Εξ 846 418 rArr kb middot B = 0 (419βʹ)

Εξ 848 417 418 rArr ke times E = ωbB (419γʹ)

Εξ 849 417 418 rArr kb times B = minusmicro0ϵ0ωeE (419δʹ)

143

και δεν προκύπτει κάποια σχέση μεταξύ των δe δb Από την Εξ 419γʹ προκύπτει∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

kex key kez

E0xeε⃝ E0ye

ε⃝ E0zeε⃝

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (ωbB0xeβ⃝ ωbB0ye

β⃝ ωbB0zeβ⃝)rArr

keyE0ze

ε⃝ minuskezE0yeε⃝ = ωbB0xe

β⃝

kezE0xeε⃝ minuskexE0ze

ε⃝ = ωbB0yeβ⃝

kexE0yeε⃝ minuskeyE0xe

ε⃝ = ωbB0zeβ⃝

rArr

keyE0zminuskezE0y

ωbB0x= e β⃝e ε⃝lowast

= ei[(kbminuske)middotrminus(ωbminusωe)t+(δbminusδe)]

kezE0xminuskexE0z

ωbB0y= e β⃝e ε⃝lowast

= το ίδιο

kexE0yminuskeyE0x

ωbB0z= e β⃝e ε⃝lowast

= το ίδιο

σταθερές συναρτήσεις των r t

Αν θεωρήσουμε κάποια συγκεκριμένη χρονική στιγμή t επειδή τα αριστερά μέρη

είναι σταθερά θα πρέπει και τα δεξιά να είναι δηλαδή να μην εξαρτώνται από το rάρα

kb = ke (421)

Αν θεωρήσουμε κάποια συγκεκριμένη θέση r επειδή τα αριστερά μέρη είναι σταθεράθα πρέπει και τα δεξιά να είναι δηλαδή να μην εξαρτώνται από το t άρα

ωb = ωe (422)

Τέλος από τις Εξ 8100-8101 έπεται ότι τα δεξιά μέρη θα ισούνται με ei(δbminusδe) =cos(δbminusδe)+i sin(δbminusδe) Αν τα αριστερά μέρη ήταν πραγματικά τότε sin(δbminusδe) =0rArr δb minus δe = nπ n isin Z οπότε υπάρχει μερική λύση δb = δe Τα E0 B0 όμως είναιεν γένει μιγαδικά άρα καταλήγουμε στις σχέσεις

keyE0zminuskezE0y

ωbB0x= ei(δbminusδe)

kezE0xminuskexE0z

ωbB0y= ei(δbminusδe)

kexE0yminuskeyE0x

ωbB0y= ei(δbminusδe)

(423)

και τίποτε παραπάνω

144

43 Στάσιμο ΗΜ κύμα σε κοιλότητα

Στην Ενότητα αυτό θα κατασκευάσουμε μια έκϕραση της Χαμιλτονιανής του ΗΜπεδίου που να επιτρέπει το μετασχηματισμό της στη γλώσσα του αριθμού των ϕωτο-νίων αντί της γλώσσας που χρησιμοποιεί τα ανυσματικά μεγέθη E B Αυτό θα γίνειστο παράδειγμα του στάσιμου ΗΜ κύματος σε κοιλότηταΠριν από αυτό ας θυμηθούμε ότι για τρέχοντα ΗΜ κύματα με τις προϋποθέσεις

της Ενότητας 42 έχουμε

nabla2E =1

c2part2E

partt2E(r t) = E0e

i(kmiddotrminusωt+δ) (424)

nabla2B =1

c2part2B

partt2B(r t) = B0e

i(kmiddotrminusωt+δ) (425)

και E times B uarruarr k όπως ϕαίνεται στο Σχήμα 42 αριστερά Πρόκειται για κυματικέςεξισώσεις για το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο αντιστοίχως σε 3 διαστάσεις καιτις λύσεις τους

Σχήμα 42 [Αριστερά] Για τρέχοντα ΗΜ κύματα έχουμε E times B uarruarr k [Δεξιά] Υποθέτουμε ότιE times B uarruarr k με τον προσανατολισμό σε άξονες που δείχνει το σχήμα

Αν ο προσανατολισμός σε άξονες είναι αυτός που δείχνει το Σχήμα 42 δεξιάτότε

nabla2Ex =1

c2part2Expartt2

(426)

E(r t) = Ex0ei(kzzminusωt+δ) = Ex(z t) (427)

145

nabla2By =1

c2part2By

partt2(428)

B(r t) = B0yei(kzzminusωt+δ) = By(z t) (429)

οπότεpart2Expartz2

=1

c2part2Expartt2

(430)

part2By

partz2=

1

c2part2By

partt2(431)

Πρόκειται για κυματικές εξισώσεις για το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο αντιστοί-χως σε 1 διάσταση Ας δούμε τώρα αν βγαίνει κάποιο συμπέρασμα από τις εξισώσειςτου Maxwell στο κενό

nabla middot E = 0 (Εξ 844) rArr partExpartx

+70

partEyparty

+0

partEzpartz

= 0rArr partExpartx

+ 0 + 0 = 0rArr

partExpartx

= 0 πράγμα αναμενόμενο (432)

nabla middot B = 0 (Εξ 846) rArr

0

partBx

partx+partBy

party+

0

partBz

partz= 0rArr 0 +

partBy

party+ 0 = 0rArr

partBy

party= 0 πράγμα αναμενόμενο (433)

nabla times E = minuspartBpartt

(Εξ 848)rArr

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

partpartx

partparty

partpartz

Ex 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = minusjpartBy

parttrArr j

partExpartz

= minusj partBy

parttrArr

partExpartz

= minuspartBy

partt (434)

nablatimesB = ϵ0micro0partE

partt(Εξ 849)rArr

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

partpartx

partparty

partpartz

0 By 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =1

c2partExpartt

irArr i(minuspartBy

partz) = i

1

c2partExparttrArr

146

partBy

partz= minus 1

c2partExpartt

(435)

spades Τώρα βάζουμε ιδανικώς αγώγιμα κάτοπτρα στις θέσεις z = 0 και z = L (Σχή-μα 43) Το προσπίπτον σε κάθε κάτοπτρο κύμα θα συμβάλει με το ανακλώμενο άραθα δημιουργηθούν στάσιμα κύματα

Οι Εξ 430 και 434 εξακολουθούν να ισχύουν

Οι Εξ 431 και 435 για το γραμμικό συνδυασμό

των προσπιπτόντων και ανακλωμένων κυμάτων

part2Expartz2

=1

c2part2Expartt2

partExpartz

= minuspartBy

partt

part2By

partz2=

1

c2part2By

partt2partBy

partz= minus 1

c2partExpartt

Σχήμα 43 Στις θέσεις z = 0 και z = L τοποθετούνται επίπεδα ιδανικώς αγώγιμα κάτοπτρα

Αναζητούμε λύση με μέθοδο των χωριζομένων μεταβλητών υποθέτοντας ότι

Ex(z t) = NZ(z)T (t) (436)

Ας θυμηθούμε τις συνοριακές συνθήκες στη διεπιϕάνεια ιδανικού αγωγού - κενούή κατά προσέγγιση αέρα (θυμηθείτε το Σχήμα 116) Η εϕαπτομενική συνιστώσα του

147

Σχήμα 44 Αγώγιμα κάτοπτρα πριν από z = 0 και μετά από z = L

E μηδενίζεται στη διεπιϕάνεια αυτή Επειδή το E έχει μόνο x συνιστώσα (Εξ 427)και τα επίπεδα ιδανικώς αγώγιμα κάτοπτρα τοποθετούνται στις θέσεις z = 0 καιz = L οπότε το E είναι παράλληλο σε αυτά έπεται ότι

Ex(0 t) = 0 = Ex(L t)forallt (437)

Από τις Εξ 430 και 436 έπεται ότι

NT (t)d2Z

dz2=N

1

c2Z(z)

d2T

dt2hArr

hArr 1

Z(z)

d2Z

dz2︸ ︷︷ ︸f(z)

=1

T (t)

1

c2d2T

dt2︸ ︷︷ ︸g(t)︸ ︷︷ ︸

forallz forallt

άρα= σταθερά = minusk2

αρκεί Z(z) = 0 και T (t) = 0 ενώ για Z(z) = 0 και T (t) = 0 ισχύει η τετριμένηλύση ΄Αρα

d2Z

dz2+ k2Z(z) = 0 (438)

καιd2T

dt2+ k2c2T (t) = 0 (439)

148

bull Ας λύσουμε αρχικά την Εξ 438 δοκιμάζοντας λύσεις της μορϕής eλz οπότεπροκύπτει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο

λ2 + k2 = 0rArr λ2 = minusk2 rArr λ = plusmnik πχ ας διαλέξουμε k isin real+

΄Αρα ουσιαστικά η λύση θα είναι της μορϕής

Z(z) = Aeikz +Beminusikz (440)

Z(0) = 0 συνοριακή συνθήκη 1 (441)

Z(L) = 0 συνοριακή συνθήκη 2 (442)

όπου λάβαμε υπ΄ όψιν τις συνοριακές συνθήκες 437 Από τις Εξ 440 και 441συνεπάγεται ότι A+B = 0rArr B = minusA οπότε η Εξ 440 γίνεται

Z(z) = Aeikz minus Aeminusikz = 2iA sin(kz) (443)

και εϕαρμόζοντας την Εξ 442

sin(kL) = 0rArr kL = mπm isin Z (444)

Δεδομένου όμως ότι διαλέξαμε παραπάνω k isin real+ θα πρέπει m isin N και για μημηδενική λύση θα πρέπει m isin N lowast οπότε k isin reallowast

+ Συνοπτικά το k εξαρτάται απόένα ϕυσικό μη μηδενικό δείκτη δηλαδή

km =mπ

Lm isin N lowast (445)

Αρα Zm(z) = 2Ai sin

(mπz

L

)Κι αν απαιτήσουμε οι Zm να είναι ορθοκανονικές

int L

0

dzZlowastm(z)Zl(z) = δml

rArr

rArrint L

0

dz | 2iA |2 sin(mπz

L

)sin

(lπz

L

)= δml rArr

int π

0

L

πdψ | 2iA |2 sin(mψ) sin(lψ) = δml

όπου ορίσαμε ψ = πzL οπότε dψ = π

Ldz Τότε

L

π4 | A |2

int π

0

dψ sin(mψ) sin(lψ) = δml

149

Αλλά int π

0

dψ sin(mψ) sin(lψ) =π

2δml (446)

ενώ ισχύει επίσης int π

0

dψ cos(mψ) cos(lψ) =π

2δml (447)

ΕπομένωςL

π4 | A |2 π

2δml = δml rArr| A |2=

1

2L

Ας διαλέξουμε κάτι βολικό πχ A =1radic2L

(minusi)

Συνεπώς

Zm(z) =

radic2

Lsin

(mπz

L

)(448)

bull Στη συνέχεια ας λύσουμε την Εξ 439 Ας ορίσουμε

ω = kc gt 0 (449)

οπότε ω2 = k2c2 Χρησιμοποιώντας την Εξ 445

ωm =mπc

Lm isin N lowast (450)

Δοκιμάζοντας λύσεις της μορϕής eλt προκύπτει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο

λ2 + ω2m = 0rArr λ = plusmniωm ωm isin reallowast

+ (451)

΄Αρα ουσιαστικά η λύση θα είναι της μορϕής

T (t) = Γeiωmt +∆eminusiωmt (452)

Κι αν θέσουμε την αρχική συνθήκη

T (0) = 0 (453)

προκύπτει Γ +∆ = 0rArr ∆ = minusΓ οπότε

T (t) = Γeiωmt minus Γeminusiωmt = 2iΓ sin(ωmt)rArr (454)

150

Tm(t) = 2iΓ sin

(mπc

Lt

)(455)

Κι αν απαιτήσουμε οι Tm να είναι ορθοκανονικές δηλαδήint κάτι0

dtT lowastm(t)Tl(t) = δml rArr

int κάτι0

dt | 2iΓ |2 sin(mπct

L

)sin

(lπct

L

)= δml rArr

rArr 4 | Γ |2int κάτι0

dt sin

(mπct

L

)sin

(lπct

L

)= δml

Θέτοντας χ = πctL οπότε dχ = πc

Ldt καταλήγουμε στη σχέση

4 | Γ |2 L

πc

int πcLmiddotκάτι

0

dχ sin(mχ) sin(lχ) = δml (456)

΄Αρα έχοντας υπ΄ όψη την Εξ 446 είναι βολικό να θέσουμε πcLmiddot κάτι = π rArr

κάτι =L

c= τ (457)

΄Ετσι ορισμένο το τ είναι ο χρόνος πτήσεως του ϕωτονίου διαμέσου της κοιλότητας(time of photon flight through cavity) άρα δεν ήταν παράλογο που το θέσαμε έτσιΣυνεπώς εν τέλει η ορθοκανονικοποίηση είναιint τ

0

dtT lowastm(t)Tl(t) = δml (458)

Τελικά έχουμε

4 | Γ |2 L

πc

int π

0

dχ sin(mχ) sin(lχ) = δml rArr| Γ |=radic

c

2L

Κι αν διαλέξουμε κάτι βολικό πχ Γ = (minusi)radic

c2L τελικά έχουμε

Tm(t) =

radic2c

Lsin

(mπc

Lt

)(459)

΄Αρα συνοψίζοντας με τη βοήθεια των Εξ 436 448 459 καταλήγουμε στην

Emx (z t) =

2radicc

LN sin

(mπz

L

)sin

(mπct

L

)(460)

151

΄Οσον αϕορά τις μονάδες θα πρέπει [2radicc

LN ] = V

m= N

CrArr

[N ] =Vradicms

(461)

Για να προσδιορίσουμε το μαγνητικό πεδίο θα χρησιμοποιήσουμε την Εξ 435 σεσυνδυασμό με την Εξ 460 οπότε προκύπτει

partBmy

partz= minus 1

c22radicc

LN sin

(mπzL

) mπcL

cos

(mπct

L

)rArr (462)

int zprime

0

dzpartBm

y

partz= minus 2mπradic

cL2N cos

(mπct

L

)int zprime

0

dz sin(mπz

L

)rArr (463)

Bmy (z

prime t)minusBmy (0 t) = minus

2mπradiccL2N cos

(mπct

L

)L

mπ

[minus cos

(mπzL

)]zprime0

rArr (464)

Bmy (z

prime t)minusBmy (0 t) =

2NradiccL

cos

(mπct

L

)[cos

(mπzprime

L

)minus1cos 0

] (465)

΄Αρα ορίζοντας κατάλληλα την τιμή του Bmy (0 t) προκύπτει

Bmy (z t) =

2NradiccL

cos(mπz

L

)cos

(mπct

L

)(466)

Για την πυκνότητα ενέργειας ισχύει

U =ϵ02E2 +

1

2micro0

B2 =ϵ02[E2 + c2B2] (467)

Σημειώνουμε ότι οι μονάδες για την πυκνότητα ενέργειας είναι [U ] = Jm3 Για πα-

ράδειγμα [ ϵ02E2] = F

mV2

m2 = CV2

Vm3 = Jm3 και [ B

2

2micro0] = T2A

Tm= TA

m= N

m2 = Nmm3 = J

m3 πχ λόγω των γνωστών σχέσεωνB = micro0H F = BIl και c2 = 1

ϵ0micro0 ΄Αρα από τις

Εξ 460 466 467 βρίσκουμε την πυκνότητα ενέργειας του m τρόπου

Um =ϵ02

4cN 2

L2

[sin2

(mπzL

)sin2

(mπct

L

)+ cos2

(mπzL

)cos2

(mπct

L

)] (468)

΄Αρα η ενέργεια του m τρόπου η οποία υπολογίζεται ολοκληρώνοντας την πυ-κνότητα ενέργειας του m τρόπου στην κοιλότητα όγκου V = LS

Εm =

intV=LS

d3r Um (469)

152

είναι

Εm =2ϵ0cN 2S

L2

[sin2

(mπct

L

)int L

0

dz sin2(mπz

L

)+ cos2

(mπct

L

)int L

0

dz cos2(mπz

L

)]

Θέτουμε ψ = πzLrArr dψ = π

Ldz άρα με τη βοήθεια των Εξ 446-447 τα ολοκληρώ-

ματα στο z γίνονται Lπ

int π0dψ sin2(mψ) = L

ππ2= L

2και L

π

int π0dψ cos2(mψ) = L

ππ2= L

2

Αντικαθιστούμε στην παραπάνω εξίσωση και τελικά έχοντας ακολουθήσει αυτή τηνκλασική προσέγγιση έχουμε

Εm =ϵ0cN 2S

L

[sin2

(mπct

L

)+ cos2

(mπct

L

)]=ϵ0cN 2S

L(470)

Ας δούμε τώρα λίγο αλλιώτικα την Εm

Εm =ϵ0cN 2S

L3

[L2 sin2

(mπct

L

)+ L2 cos2

(mπct

L

)] (471)

ορίζοντας ῾῾ γενικευμένη θέση και ταχύτητα ᾿᾿ Καλούμε λοιπόν ῾῾ γενικευμένη θέση ᾿᾿

qm(t) = L sin

(mπct

L

)(472)

και ῾῾ γενικευμένη ταχύτητα ᾿᾿

˙qm(t) = mπc cos

(mπct

L

)(473)

ούτως ώστε [qm(t)] = m και [ ˙qm(t)] = ms Τότε η Εξ 471 γράϕεται

Εm =ϵ0cN 2S

L3

[(qm(t))

2 +L2

m2π2c2( ˙qm(t))

2

] (474)

Θα μπορούσαμε εδώ να θεωρήσουμε μια αναλογία της Εξ 474 με Απλό ΑρμονικόΤαλαντωτή (ΑΑΤ) του οποίου η ενέργεια θα ήταν

Ε =K

2x2 +

M

2v2 =

K

2[x2 +

M

Kv2] (475)

Επομένωςϵ0cN 2S

L3=K

2 (476)

153

L2

m2π2c2=M

K (477)

Δηλαδή προκύπτει η ῾῾ σταθερά ελατηρίου ᾿᾿

K =2ϵ0cN 2S

L3 (478)

και η ῾῾ μάζα ᾿᾿ (η οποία σημειωτέο εξαρτάται από το m είναι δηλαδή διαϕορετική γιακάθε τρόπο του ΗΜ πεδίου m)

Mm =2ϵ0N 2S

cLm2π2 (479)

Μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι η Mm έχει διαστάσεις μάζας (θα χρειαστείκαι η Εξ 461) και πως ισχύει K = Mmω

2m ΄Αρα κλασικά υπάρχει μία τυπική

ομοιότητα με ΑΑΤ με κυκλική συχνότητα ωm (Εξ 450) και ῾῾ μάζα ᾿᾿ Mm (Εξ 479)δηλαδή η Εξ 471 ή 474 γράϕεται

Εm =Mmω

2m

2q2m +

Mm

2q2m (480)

Μπορούμε επομένως να πούμε ότι το κβαντικό αντίστοιχο για ένα τρόπο ΗΜπεδίου m δηλαδή η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m θα είναι

HΗΜ m =Mmω

2m

2q2m +

Mm

2˙q2m (481)

με ιδιοτιμές ενέργειας

Emnm = ~ωm(nm +1

2) (482)

όπου ο δείκτης m isin N lowast αϕορά τον τρόπο του ΗΜ πεδίου και ο δείκτης nm isin Nαϕορά τον αριθμό των ϕωτονίων στον τρόπο m Συνεπώς η Χαμιλτονιανή για όλουςτους τρόπους του ΗΜ πεδίου θα είναι

HΗΜ =summ

HΗΜ m (483)

Κατόπιν σημειώνουμε ότι από τις Εξ 460 και 472 συνεπάγεται ότι

Emx (z t) =

2radicc

L2N sin

(mπzL

)qm(t) (484)

154

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Emx (z t) =

2radicc

L2N sin

(mπzL

)qm(t) (485)

Επίσης από τις Εξ 466 και 473 συνεπάγεται ότι

Bmy (z t) =

2NLradicc

1

mπccos(mπz

L

)qm(t) (486)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Bmy (z t) =

2NLradicc

1

mπccos(mπz

L

)ˆqm(t) (487)

Από τις ΄Εξ 484 479 και 450 προκύπτει

Emx (z t) =

(2Mmωm

2

ϵ0V

)12

sin(mπz

L

)qm(t) (488)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Emx (z t) =

(2Mmωm

2

ϵ0V

)12

sin(mπz

L

)qm(t) (489)

Από τις ΄Εξ 486 479 και 450 προκύπτει

Bmy (z t) =

1

c

(2Mm

ϵ0V

)12

cos(mπz

L

)qm(t) (490)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Bmy (z t) =

1

c

(2Mm

ϵ0V

)12

cos(mπz

L

)ˆqm(t) (491)

Τέλος από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει όπως αναμενόταν [Ex

By] = [c]

155

44 Χαμιλτονιανή ΗΜ πεδίου με τελεστέςκαταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίων

Ας μιλήσουμε τώρα για τελεστές καταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίων (photoncreation and annihilation operators) Είναι τώρα εύκολο να κβαντωθεί η Χαμιλτο-νιανή που περιγράϕει το ΗΜ πεδίο αρκεί να εϕαρμοστεί η αντιστοιχία τελεστών

qm = qm (492)

pm = minusi~ part

partqm(493)

Εισάγουμε τους τελεστές

am =1radic

2Mm~ωm(Mmωmqm + ipm) ῾῾ καταστροϕής ᾿᾿ (494)

adaggerm =1radic

2Mm~ωm(Mmωmqm minus ipm) ῾῾ δημιουργίας ᾿᾿ (495)

Ισχύουν οι ιδιότητες[am a

daggerm]︸ ︷︷ ︸

μεταθέτης

= amadaggerm minus adaggermam = 1 (496)

[qm pm]︸ ︷︷ ︸μεταθέτης

= i~ (497)

΄Ετσι οι τελεστές qm pm μπορούν τώρα να γραϕούν

qm =

(~

2Mmωm

)12

(adaggerm + am) (498)

pm = i

(Mm~ωm

2

)12

(adaggerm minus am) (499)

Συνεπώς η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m είναι

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)(4100)

Ας συμβολίσουμε με |nm⟩ την κατάσταση του ΗΜ πεδίου με nm αριθμό ϕωτονίωνστον ΗΜ τρόπο m Λέμε ότι είναι μια ῾῾ κατάσταση ϕωτονικών αριθμών ᾿᾿ Τα |nm⟩αποτελούν ένα πλήρες σύστημα δηλαδή ισχύει ⟨nm|lm⟩ = δnl

156

Οι τελεστές adaggerm και am έχουν τις ιδιότητες

adaggerm |nm⟩ =radicnm + 1 |nm + 1⟩ (4101)

am |nm⟩ =radicnm |nm minus 1⟩ (4102)

am |0⟩ = |0⟩ (4103)

Από τις Εξ 4101 και 4102 προκύπτει

adaggermam |nm⟩ = nm |nm⟩ (4104)

δηλαδή ο τελεστής Nm = adaggermam μετρά τον αριθμό των ϕωτονίων του ΗΜ τρόπου mοπότε μπορεί να αποκληθεί τελεστής του αριθμού των ϕωτονίων στον ΗΜ τρόπο mΑκόμα επαγωγικά προκύπτει

|nm⟩ =1radicnm

(adaggerm)nm |0⟩ (4105)

Λόγω των Εξ 4100 και 4104 προκύπτει

HΗΜ m |nm⟩ = ~ωm(nm +1

2) |nm⟩ (4106)

δηλαδή η Χαμιλτονιανή HΗΜ m δίνει ιδιοτιμές ενέργειας

Emnm = ~ωm(nm +1

2) (4107)

Η θεμελιώδης κατάσταση του ΑΑΤ |0⟩ με ιδιοενέργεια 12~ωm αντιστοιχεί στο κενό

δηλαδή χωρίς σωμάτιο η 1η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |1⟩ με ιδιοενέργεια 32~ωm

αντιστοιχεί σε ένα σωμάτιο η 2η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |2⟩ με ιδιοενέργεια52~ωm αντιστοιχεί σε δύο σωμάτια κοκ Αυτά τα σωμάτια εν προκειμένω τα λέμεϕωτόνια Δημιουργούνται και καταστρέϕονται με τους τελεστές αναβιβάσεως καικαταβιβάσεως ξεκινώντας από ένα επίπεδο αναϕοράς που εδώ είναι το κενό Υπακού-ουν στις μποζονικές σχέσεις μεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράστασηείναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση (second quantization)Η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)= ~ωm

(Nm +

1

2

) (4108)

157

αγνοώντας τον όρο ~ωm

2 μπορεί να γραϕτεί

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm (4109)

Μπορούμε να έχουμε οσαδήποτε ϕωτόνια στην ενεργειακή κατάσταση ~ωm διότι εί-ναι μποζόνια Ο adaggerm είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζειτην ενέργεια δημιουργώντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωm εξ ού και η ονομασία τελε-στής δημιουργίας (creation operator) Ο am είναι τελεστής καταβιβάσεως (loweringoperator) διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωmεξ ού και η ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator)

Σχήμα 45 Σωμάτια (εδώ ϕωτόνια απεικονίζονται με πράσινες βούλες) δημιουργούνται και κατα-στρέϕονται μέσω των τελεστών αναβιβάσεως και καταβιβάσεως Υπακούουν στις μποζονικές σχέσειςμεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράσταση είναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση(second quantization) Ο αριθμός των ϕωτονίων είναι ίσος με τον αριθμό των κόμβων της ιδιοσυ-ναρτήσεως

Τέλος ας σημειώσουμε ότι από τις Εξ 489 και 498 προκύπτει

Emx (z t) =

(~ωmϵ0V

)12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4110)

ενώ από τις Εξ 491 και 499 προκύπτει

Bmy (z t) =

i

c

(~ωmϵ0V

)12

cos(mπz

L

)(adaggerm minus am) (4111)

158

45 Χαμιλτονιανή δισταθμικού συστήματοςμε σπίνορες

Θα περιγράψουμε την αναβίβαση και την καταβίβαση ενός ηλεκτρονίου μεταξύ τωνενεργειακών σταθμών ενός δισταθμικού συστήματος πχ ενός ατόμου με τη βοήθειασπινόρων (spinors) Σπίνορας είναι ένα διάνυσμα - στήλη με δύο συνιστώσες Αςαρχίσουμε με ορισμούς (πχ [62])

| ⟩ =

=

0

0

=| 0⟩ |darr⟩ =

bull

=

0

1

=| 1⟩ |uarr⟩ =

bull

=

1

0

=| 2⟩

(4112)Το πρώτο παριστά το άδειο δισταθμικό σύστημα το δεύτερο δηλώνει το δισταθμικόσύστημα με το ηλεκτρόνιο στην κάτω στάθμη όπου έχει ενέργεια E1 και το τρίτο δη-λώνει το δισταθμικό σύστημα με το ηλεκτρόνιο στην άνω στάθμη όπου έχει ενέργειαE2 Ας ορίσουμε τώρα τους τελεστές

S+ =

0 1

0 0

Sminus =

0 0

1 0

(4113)

για τους οποίους μάλιστα ισχύει Sdagger+ =

0 1

0 0

dagger

=

0 0

1 0

= Sminus Ας δούμε ποιό

είναι το αποτέλεσμα της δράσεώς τους στους σπίνορες που ορίσαμε μόλις προ ολίγου

S+ | 0⟩ =

0 1

0 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

S+ |darr⟩ =

0 1

0 0

0

1

=

1

0

=|uarr⟩ το ανεβάζει

S+ |uarr⟩ =

0 1

0 0

1

0

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

(4114)

159

Sminus | 0⟩ =

0 0

1 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

Sminus |darr⟩ =

0 0

1 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

Sminus |uarr⟩ =

0 0

1 0

1

0

=

0

1

=|darr⟩ το κατεβάζει

(4115)

΄Ετσι ο S+ ονομάζεται τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ενώ ο Sminus ονομάζε-ται τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) του ηλεκτρονίου Ας δούμε μερικέςακόμα ιδιότητες

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

= σx (4116)

που είναι ένας από τους πίνακες Pauli που παρατίθονται λίγο παρακάτω (Εξ 4133)Ακόμα

S+Sminus =

0 1

0 0

0 0

1 0

=

1 0

0 0

(4117)

SminusS+ =

0 0

1 0

0 1

0 0

=

0 0

0 1

(4118)

΄Αρα από τις Εξ 4117-4118 συνεπάγεται ότι

S+Sminus + SminusS+ =

1 0

0 1

= I (4119)

που είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας Μπορούμε να το γράψουμε και στη μορϕή

S+ Sminus = I (4120)

160

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4121)

ενώ [AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4122)

΄Οταν AB = 0 rArr AB + BA = 0 rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται ενώ όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οιποσότητες μετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση των ονομασίων ΄Οπωςθα δούμε παρακάτω η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσειςαντιμεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ηλεκτρόνια που είναι ϕερμιόνια ενώ ο με-ταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσεις μεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ϕωτόνιαπου είναι μποζόνια Συχνά στα ελληνικά συγγράμματα της δευτεροβάθμιας εκπαί-δευσης πολύ κακώς εδώ και δεκαετίες ονομάζεται ῾῾ αντιμεταθετική ᾿᾿ η μεταθετική(commutative) ιδιότητα χαθήκαμε δηλαδή στη μετάϕρασηΗ Χαμιλτονιανή του Δισταθμικού Συστήματος HΔΣ είναι η

E2S+Sminus + E1SminusS+ = E2

1 0

0 0

+ E1

0 0

0 1

=

E2 0

0 E1

(4123)

αϕού E2 0

0 E1

1

0

=

E2

0

= E2

1

0

(4124)

E2 0

0 E1

0

1

=

0

E1

= E1

0

1

(4125)

΄Αρα συνοπτικά δείξαμε ότι

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+ (4126)

Αν τώρα θέσουμε E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) οπότε

HΔΣ = ~ΩS+Sminus (4127)

161

Ο τελεστής S+Sminus μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη αϕού

S+Sminus | 1⟩ =

1 0

0 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ rArr S+Sminus | 1⟩ = 0 | 1⟩ (4128)

S+Sminus | 2⟩ =

1 0

0 0

1

0

=

1

0

=| 2⟩ rArr S+Sminus | 2⟩ = 1 | 2⟩ (4129)

Ο τελεστής SminusS+ μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην κάτω στάθμη αϕού

SminusS+ | 1⟩ =

0 0

0 1

0

1

=

0

1

=| 1⟩ rArr SminusS+ | 1⟩ = 1 | 1⟩ (4130)

SminusS+ | 2⟩ =

0 0

0 1

1

0

=

0

0

=| 0⟩ rArr SminusS+ | 2⟩ = 0 | 2⟩ (4131)

Παρατήρηση Συνοπτικά για τους τελεστές S+ και Sminus μπορούμε να αποδείξουμεότι (S+)

dagger = Sminus αλλά και ότι

S+ Sdagger+ = S+ Sminus = S+Sminus + SminusS+ = I

Sminus Sdaggerminus = Sminus S+ = SminusS+ + S+Sminus = I

S+ S+ = Sdaggerminus S

daggerminus = S+S+ + S+S+ = 0

Sminus Sminus = Sdagger+ S

dagger+ = SminusSminus + SminusSminus = 0

(4132)

όπου I είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας 2 times 2 και 0 είναι ο μηδενικός πίνακας2times2 Οι Εξ 4132 δείχνουν ότι οι τελεστές S+ και Sminus υπακούουν στις σχέσεις αντι-μεταθέσεως ϕερμιονίων που αναϕέρουμε στην Υποενότητα 462 της Ενότητας 46Ο S+ είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζει την ενέργειαδημιουργώντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού και η ονομασία τελεστής δημιουρ-γίας (creation operator) Ο Sminus είναι τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator)διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού καιη ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Μπορούμε να έχουμεμόνο ένα ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω διότι τα ηλεκτρόνια είναι ϕερμιόνια

162

Ας θυμηθούμε τώρα τους πίνακες Pauli σx σy σz και ας δούμε τη σχέση τους μετους τελεστές αναβιβάσεως και καταβιβάσεως ηλεκτρονίων S+ και Sminus αντιστοίχως

σx =

0 1

1 0

(4133)

σy =

0 minusi

i 0

(4134)

σz =

1 0

0 minus1

(4135)

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι ισχύει η ιδιότητα

[σx σy] = 2iσz (4136)

καθώς και οι κυκλικές εναλλαγές της Επίσης

σ2x = σ2

y = σ2z =

1 0

0 1

= I (4137)

και

σx σy = σxσy + σyσx = 0 (4138)

σy σz = σyσz + σzσy = 0

σz σx = σzσx + σxσz = 0

δηλαδή οι πίνακες Pauli αντιμετατίθονται Επί παραδείγματι

σx σy = σxσy + σyσx =0 1

1 0

0 minusi

i 0

+

0 minusi

i 0

0 1

1 0

=

i 0

0 minusi

+

minusi 0

0 i

=

0 0

0 0

= 0

Ακόμα μπορούμε να αποδείξουμε ότι

S+ + Sminus = σx

S+ minus Sminus = iσy

163

46 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων καισχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων

461 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων πχ ϕωτονίων

Ας ονομαστεί am ο τελεστής καταστροϕής μποζονίων και adaggerm ο τελεστήςδημιουργίας μποζονίων στην κατάσταση m Για τα μποζόνια ισχύουν οι σχέσειςμεταθέσεως (commutation relations)

[am aℓ] = 0

[adaggerm adaggerℓ] = 0

(4139)

[AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4140)

οπότε όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οι ποσότητεςμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας

462 Σχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων πχ ηλε-κτρονίων

Ας ονομαστεί ai ο τελεστής καταστροϕής ϕερμιονίων και adaggeri ο τελεστής δη-μιουργίας ϕερμιονίων στην κατάσταση i Για τα ϕερμιόνια ισχύουν οι σχέσεις αντι-μεταθέσεως (anticommutation relations)

ai adaggerj = δij

ai aj = 0

adaggeri adaggerj = 0

(4141)

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4142)

οπότε όταν AB = 0rArr AB+BA = 0rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας Αν εϕαρμόσουμετη σχέση adaggeri a

daggerj = 0 για την ίδια κατάσταση πχ i = j = r έχουμε adaggerr adaggerr =

0 rArr adaggerradaggerr = 0 που σημαίνει ότι

δεν μπορούμε να βάλουμε δύο ϕερμιόνια στην ίδια

κατάσταση πράγμα που είναι η απαγορευτική αρχή Pauli

164

47 Τελεστές κλίμακας (Ladder operators) [63]

Στη γραμμική άλγεβρα καθώς και στις εϕαρμογές της στην κβαντική μηχανική ορί-ζεται ο τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ο οποίος αυξάνει την ιδιοτιμή ενόςάλλου τελεστή και ο τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) ο οποίος μειώνειτην ιδιοτιμή ενός άλλου τελεστή Αυτοί συλλογικά ονομάζονται τελεστές κλίμα-κας (ladder operators) Στην κβαντομηχανική ο τελεστής αναβιβάσεως καλείταισυχνά τελεστής δημιουργίας (creation operator) και ο τελεστής καταβιβάσεως κα-λείται συχνά τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Γνωστές εϕαρμογέςτων τελεστών κλίμακας είναι στον απλό αρμονικό ταλαντωτή και στη στροϕορμήΣε πολλές περιοχές της ϕυσικής και της χημείας η χρήση αυτών των τελεστών αντίκυματοσυναρτήσεων είναι γνωστή ως δεύτερη κβάντωση (second quantization) [64]

165

48 Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεωςδισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου

΄Εστω δύο αντίθετα ηλεκτρικά ϕορτία q gt 0 και minusq lt 0 στα σημεία Θ και Α

αντιστοίχως Αν d =minusrarrΑΘ είναι το διάνυσμα θέσεως του θετικού ϕορτίου ως προς το

αρνητικό τότε η ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) ορίζεταιως

P = qd (4143)

πχ για το άτομο του υδρογόνου αν το Π παριστάνει τον πυρήνα και το Η παριστάνει

το ηλεκτρόνιο και ως συνήθως ορίσουμε r =minusrarrΠΗ τότε P = qd = e(minusr)rArr

P = minuser (4144)

Αυτό αποδίδεται άνω τμήμα του Σχήματος 46 Η δυναμική ενέργεια (potential

Σχήμα 46 ΄Ανω Ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) Κάτω (Ηλεκτρική) διπολικήροπή μεταβάσεως (transition (electric) dipole moment)

energy) UE του ηλεκτρικού διπόλου εντός ηλεκτρικού πεδίου E είναι

UE = minusP middot E (4145)

166

Ανάλογος με τον παραπάνω ορισμό μπορεί να δοθεί και για την περίπτωση της με-ταβάσεως ενός τμήματος του ηλεκτρονιακού νέϕους από μία αρχική σε μια τελική πε-ριοχή ΄Ετσι ορίζεται η (ηλεκτρική) διπολική ροπή μεταβάσεως [transition(electric) dipole moment] 1 Αυτό αποδίδεται στο κάτω τμήμα το Σχήματος 46Αν το ϕορτίο που μεταϕέρεται είναι minuse πάλι p = qd = e(minusr)rArr p = minuser Δηλαδήεννοείται ότι για την περιοχή 2 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμεί με μετά-βαση ϕορτίου minuse ενώ για την περιοχή 1 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμείμε μετάβαση ϕορτίου +eΟ τελεστής (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως [transition

(electric) dipole moment operator] σημειώνεται εναλλακτικά με ˆd ή ˆp Στη βάση τωνιδιοκαταστάσεων της ενέργειας του αδιατάρακτου ατόμου ή συστήματος ορίζεται ως

ˆd = ˆp =

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | (4146)

με τους επίσης εναλλακτικούς συμβολισμούς

dij = pij = minuse⟨Φi | ˆr | Φj⟩ (4147)

για το στοιχείο πίνακα της (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως μεταξύ των κα-ταστάσεων | Φi⟩ και | Φj⟩ Υπενθυμίζεται ότι ο τελεστής θέσεως (position operator)ˆr είναι τέτοιος ώστε

ˆr | r⟩ = r | r⟩ (4148)

Υπενθυμίζεται για τον συμβολισμό Dirac ότι

| A⟩ =

α1

α2

hArr ⟨A |= (αlowast1 αlowast

2) (4149)

Υπενθυμίζεται ακόμα ότι

⟨Φi | ˆr | Φj⟩ =sum

|rprime⟩|rprimeprime⟩

⟨Φi | rprime⟩⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩⟨rprimeprime | Φj⟩ =sum|rprime⟩

⟨Φi | rprime⟩ rprime ⟨rprime | Φj⟩

=sum|r⟩

⟨Φi | r⟩ r ⟨r | Φj⟩ =intdV Φi(r)

lowastrΦj(r)

1Η λέξη ῾῾ ηλεκτρική ᾿᾿ είναι εντός παρενθέσεως επειδή συνήθως επειδή εννοείται παραλείπεται

167

διότι⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩ = rprimeprime⟨rprime|rprimeprime⟩ = rprimeprimeδrprimerprimeprime (4150)

΄Αρα

d11 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ1(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4151)

d12 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ2(r) = 0 (4152)

d21 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ1(r) = 0 (4153)

d22 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ2(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4154)

Δηλαδή ενώ τα διαγώνια στοιχεία μηδενίζονται τα d12 και d21 δεν είναι (῾῾ εκ ταυτό-τητος ᾿᾿) μηδέν Ας δούμε τώρα ποιος είναι ο ˆp σε δισταθμικό σύστημα

ˆp = d11 | Φ1⟩⟨Φ1 | + d12 | Φ1⟩⟨Φ2 | + d21 | Φ2⟩⟨Φ1 | + d22 | Φ2⟩⟨Φ2 |

= d11

0

1

(0 1)+ d12

0

1

(1 0)+ d21

1

0

(0 1)+ d22

1

0

(1 0)

= 0 ⋆

d11︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

0 0

0 1

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

+ d12︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 0

1 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ d21︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 1

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ 0 ⋆

d22︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

1 0

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

Από τις Εξ (4152)-(4153) συμπεραίνουμε ότι d12 = d21 με την προϋπόθεση ότι οιΦi(r) είναι πραγματικές οπότε

ˆp = d12

0 1

1 0

(4155)

168

Ερώτηση Και τι κάνει ο τελεστής

0 1

1 0

Απάντηση0 1

1 0

0

1

=

1

0

0 1

1 0

1

0

=

0

1

Δηλαδή μεταϕέρει από τη μία ενεργειακή στάθμη στην άλλη όπως θα έπρεπε

Τώρα μπορεί να οριστεί ο τελεστής δυναμικής ενέργειας (potential e-nergy operator) Θεωρούμε ότι η αλληλεπίδραση δισταθμικού συστήματος - ΗΜπεδίου έχει τη μορϕή μηχανισμού ηλεκτρικού διπόλου Αγνοούμε άλλης μορϕής αλ-ληλεπιδράσεις όπως πχ ηλεκτρικού τετραπόλου ή μαγνητικού διπόλου Αϕού

UE = minusP middot E rArr

UmE = minusP middot Em (4156)

όπου ο δείκτης m δηλώνει τον m τρόπο του ΗΜ πεδίου ο αντίστοιχος τελεστήςμπορεί να οριστεί ως

UmE = minus ˆp middot ˆEm (4157)

Επομένως

UmE = minus

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | middotEmx (z t)i

i είναι το μοναδιαίο άνυσμα του άξονα x αϕού έχουμε υποθέσει αυτόν τον προσανα-τολισμό για το ηλεκτρικό πεδίο (δείτε Σχήμα 42) ΄Η λόγω της Εξ 4155

UmE = minusd12

0 1

1 0

middot Emx (z t)i (4158)

Αλλά

d12 middot i = minuseintdV Φ1(r)

lowast(r middot i)Φ2(r) = minusex12 = Px12 = P (4159)

169

Συνεπώς

UmE = ex12

0 1

1 0

Emx (z t) (4160)

Υπενθυμίζονται οι Εξ 4110 και 4111

Emx (z t) =

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4161)

Bmy (z t) =

(~ωmε0V

) 12 1

ccos(mπz

L

)i(adaggerm minus am) (4162)

από τις οποίες όμως στα πλαίσια των υποθέσεών μας χρειαζόμαστε τώρα μόνον τηνπρώτη Επίσης υπενθυμίζεται ότι

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

(4163)

΄Αρα εν τέλει

UmE = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4164)

Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε

~gm = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(4165)

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4166)

Αυτή είναι λοιπόν η Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συ-στήματος - ΗΜ πεδίου για τον ΗΜ τρόπο m Εάν βρισκόμαστε σταπλαίσια της ατομικής ϕυσικής τότε συμβολίζεται και Hm

AF όπου οι δείκτες σημαίνουνAtom-FieldΑπό την Εξ 4165 προκύπτει

~|gm| = |P |∣∣∣∣ (~ωm

ε0V

) 12

sin(mπz

L

) ∣∣∣∣ = |P| Em0 (4167)

170

όπου όμως το ῾῾ πλάτος ᾿᾿ Em0 εξαρτάται από τη θέση z του ατόμου στην κοιλότητα

είναι δηλαδή Em0 = Em

0 (z) Η |gm| (ή οποία συμβολίζεται και με ΩmR ) είναι η λεγόμενη

συχνότητα Rabi Εάν εννοείται σε ποιον ΗΜ τρόπο m αναϕερόμαστε μπορούμε ναχρησιμοποιήσουμε σκέτο το |g| ή το ΩR ΄Αρα

|gm| ή ΩmR =

|P|Em0

~(4168)

Για να μη γράϕουμε απόλυτα μπορούμε σε κάθε θέση να διαλέγουμε τη ϕάση τωνκυματοσυναρτήσεων τέτοια ώστε το g να είναι θετικό και πραγματικό [65] Συνοπτικά

gm ή ΩmR =

|P|Em0

~(4169)

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Τώρα συμπληρώνεται η εικόνα με την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπί-δραση ενός ΗΜ τρόπου m με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4170)

΄Αρα η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4171)

Επομένως οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩ (4172)

|darr nm⟩ (4173)

171

Ας δούμε λίγο προσεκτικότερα τη Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικούσυστήματος - ΗΜ πεδίου (Εξ 4166) Για έναν μοναδικό τρόπο m η Χαμιλτονιανήαυτή αναλυεται σε τέσσερις όρους

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) =

= ~gmS+adaggerm︸ ︷︷ ︸

1ος

+ S+am︸ ︷︷ ︸2ος

+ Sminusadaggerm︸ ︷︷ ︸

3ος

+ Sminusam︸ ︷︷ ︸4ος

bull 1ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E gt 0 Επόμένως αυτός ο όρος μόνος τουδεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

bull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻︸ ︷︷ ︸

μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολ-λοί τρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτο-νιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται απόάθροισμα όρων όπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημανα απορροϕήσει ένα ϕωτόνιο υψηλής συχνότητας και να ανεβεί ενώ παράλληλαδημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο χαμηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi www≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

simsim≻ ff lt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 2ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο Αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

172

bull 3ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιοΚαι αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικάbull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 4ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο ΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E lt 0 Επόμένως και αυτός ο όροςμόνος του δεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολλοίτρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτονιανή αλλη-λεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται από άθροισμα όρωνόπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημα να απορροϕήσει έναϕωτόνιο χαμηλής συχνότητας και να κατεβεί ενώ παράλληλα δημιουργείται εκπέμ-πεται ϕωτόνιο υψηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

www≻ ff gt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

Αν αγνοήσουμε τον 1ο και 4ο όρο που ο καθένας μόνος του δεν διατηρεί τηνενέργεια τότε

UmE = ~gm

(S+am + Sminusa

daggerm

) (4174)

Η προσέγγιση είναι κατά κάποιο τρόπο ανάλογη της RWA (Rotating Wave Approxi-mation) του Κεϕαλαίου 3 Εκεί στις εξισώσεις Rabi κρατήσαμε μόνο τους αργούςόρους όπου ΗΜ πεδίο και το δισταθμικό σύστημα βρίσκονται σε περίπου συντονισμό

173

δηλαδή Ω ≃ ω Τότε κρατήσαμε τους αργούς όρους eplusmni(Ωminusω)t και αγνοήσαμε τουςγρήγορους όρους eplusmni(Ω+ω)tΣυνοπτικά ενώ για την ολική Χαμιλτονιανή ενός τρόπου m έχουμε την λεγόμενη

Χαμιλτονιανή Rabi

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4175)

κατά την παραπάνω συζήτηση αγνοούμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενουςcounter-rotating terms

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4176)

οπότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66]

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4177)

Στην ΄Ασκηση 1 (παραλείποντας τον δείκτη του ΗΜ τρόπου m απλότητα) βρί-σκουμε (Α) τι κάνουν οι όροι adaggera aadagger S+Sminus SminusS+ S+a

dagger S+a Sminusadagger Sminusa στις κα-

ταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩ και (Β) υπολογίζουμε τα ⟨adaggera⟩ ⟨aadagger⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨SminusS+⟩⟨S+a

dagger⟩ ⟨S+a⟩ ⟨Sminusadagger⟩ ⟨Sminusa⟩ για τις καταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩

174

49 Σύνοψη Χαμιλτονιανών

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Ακόμα είδαμε την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπίδραση ενός ΗΜ τρόπουm με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

Οπότε η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί (Εξ 4171)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

και οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩|darr nm⟩

Ακόμα αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενους counter-rotatingterms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam)

τότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66] (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm)

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

138

έχουμε μια Χαμιλτονιανή για το ΗΜ πεδίο Κατόπιν στην Ενότητα 45 θα περιγρά-ψουμε με τη βοήθεια σπινόρων το δισταθμικό σύστημα και ειδικότερα την αναβίβασηκαι την καταβίβαση ενός ηλεκτρονίου μεταξύ των δύο ενεργειακών σταθμών του΄Αρα θα έχουμε και μια Χαμιλτονιανή για το δισταθμικό σύστημα Μετά θα κα-τασκευάσουμε και τη Χαμιλτονιανή της αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος -ΗΜ πεδίου στην Ενότητα Εξ 4166 Οπότε θα είμαστε σε θέση να ορίσουμε μια Ο-λική Χαμιλτονιανή που να περιγράϕει το ΗΜ πεδίο το δισταθμικό σύστημα αλλά καιτη μεταξύ τους αλληλεπίδραση (Χαμιλτονιανές Rabi και Jaynes-Cummings) ΣτηνΕνότητα 46 συνοψίζουμε τις σχέσεις μεταθέσεως για μποζόνια (πχ ϕωτόνια) καιαντιμεταθέσεως για ϕερμιόνια (πχ ηλεκτρόνια) Στην Ενότητα 49 συνοψίζονται οιΧαμιλτονιανές Στην Ενότητα 410 υπολογίζονται μέσες (αναμενόμενες) τιμές χρή-σιμων μεγεθών για τη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings στην απορρόϕηση και στηνεκπομπή ϕωτονίου Ακολουθούν δύο παραδείγματα εϕαρμογής της ΧαμιλτονιανήςJaynes-Cummings στην απορρόϕηση ϕωτονίου (Ενότητα 411) και στην εκπομπήϕωτονίου (Ενότητα 412) τα οποία καταλήγουν στην περιγραϕή των ταλαντώσεωντου πληθυσμού των ϕωτονίων και της καταλήψεως των ενεργειακών σταθμών

139

42 Σχέση μεταξύ κυματανυσμάτων κυκλικώνσυχνοτήτων και ϕάσεων ηλεκτρικού καιμαγνητικού πεδίου

Ας θυμηθούμε τις Εξισώσεις Maxwell στη διατύπωση με όρους ολικού ϕορτίου καιολικού ρεύματος και συγκεκριμένα στη διαϕορική μορϕή

nabla middot E = ρε0 νόμος Gauss ηλεκτρισμού (41αʹ)

nabla middot B = 0 νόμος Gauss μαγνητισμού (41βʹ)

nabla times E = minuspartBpartt

νόμος Faraday (41γʹ)

nabla times B = micro0J + micro0ϵ0partE

parttνόμος Ampere και διόρθωση Maxwell (41δʹ)

Στο κενό όπου ρ = 0 και J = 0 οι Εξ 41αʹ-41δʹ γίνονται

nabla middot E = 0 (42αʹ)

nabla middot B = 0 (42βʹ)

nabla times E = minuspartBpartt

(42γʹ)

nabla times B = micro0ϵ0partE

partt(42δʹ)

Ισχύουν οι ταυτότητες

nabla times (nabla times ∆) = nabla(nabla middot ∆)minusnabla2∆ (43)

nabla2∆ = (nabla middot nabla)∆ (44)

Οπότε από τις Εξ 42 προκύπτει

nabla2E = ϵ0micro0part2E

partt2(45)

Δοκιμάζοντας στην Εξ 860 λύσεις της μορϕής

E(r t) = E0ei(kmiddotrminusωt+δ) (46)

140

προκύπτει

|k| = k =ω

c (47)

Ομοίως από τις Εξ 42 προκύπτει

nabla2B = ϵ0micro0part2B

partt2(48)

Δοκιμάζοντας στην Εξ 861 λύσεις της μορϕής

B(r t) = B0ei(kmiddotrminusωt+δprime) (49)

προκύπτει πάλι η εξίσωση Εξ 880 Επειδή ω = 2πν c = λν από την Εξ 880προκύπτει k = 2π

λ Σημειωτέον ότι δεδομένου ότι παραγωγίζουμε ως προς x y z t

οι ῾῾ αρχικές ϕάσεις ᾿᾿ δ δprime παραμένουν αυθαίρετες δηλαδή δεν προσδιορίζονται απότις έως τώρα πράξεις

Για τις λύσεις 845 και 847 μετά από πράξεις διαπιστώνουμε ότι ο τελεστής nablaμπορεί να αντικατασταθεί με ik σχηματικά

nabla rarr ik (410)

Διότι αν θεωρήσουμε πεδίο της μορϕής

∆ = ∆0 ei(kmiddotrminusωt+δ) = (∆0x∆0y∆0z) e

δ⃝ (411)

τότε

nabla middot ∆ = (part

partxpart

partypart

partz) middot (∆x∆y∆z) =

part∆x

partx+part∆y

party+part∆z

partz=

∆0x eδ⃝ikx +∆0y e

δ⃝iky +∆0z eδ⃝ikz = i(kx ky kz) middot (∆0x∆0y∆0z) e

δ⃝ = ik middot ∆

141

αλλά και

nabla times ∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

partpartx

partparty

partpartz

∆0xeδ⃝ ∆0ye

δ⃝ ∆0zeδ⃝

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= i

(part∆0ze

δ⃝

partyminus part∆0ye

δ⃝

partz

)minus j(part∆0ze

δ⃝

partxminus part∆0xe

δ⃝

partz

)+ k

(part∆0xe

δ⃝

partyminus part∆0ye

δ⃝

partx

)= i

(iky∆z minus ikz∆y

)minus j(ikx∆z minus ikz∆x

)+ k

(iky∆x minus ikx∆y

)

= i

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

kx ky kz

∆x ∆y ∆z

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = ik times ∆

Συνεπώς

Εξ 844 845 rArr ik middot E = 0rArr k middot E = 0 (412αʹ)

Εξ 846 847 rArr ik middot B = 0rArr k middot B = 0 (412βʹ)

Εξ 848 845 847 rArr ik times E = iωB rArr k times E = ωB (412γʹ)

Εξ 849 845 847 rArr ik times B = micro0ϵ0(minusiω)E rArr k times B = minusmicro0ϵ0ωE(412δʹ)

Από τις Εξ 412αʹ 412βʹ 412γʹ 412δʹ με ένα σύντομο λογικό παιχνίδι προκύπτειη σχέση των κατευθύνσεων των διανυσμάτων E B k συγκεκριμένα προκύπτει ότιτο εξωτερικό γινόμενο του E με το B είναι ομόρροπο του k δηλαδή

E times B uarruarr k (413)

και μάλιστα τα E B k έχουν τη σχέση κατευθύνσεων και καθετοτήτων που αποδί-δεται στο Σχήμα 810 Η σχέση 413 μπορεί να αποδειχθεί και εξειδικευτεί και μεμαθηματικά χρήσει της ταυτότητας

atimes (btimes c) = (a middot c)bminus (a middot b)c (414)

142

Για παράδειγμα ξεκινώντας από την Εξ 412γʹ έχουμε E times (k times E) = ωE times B rArr(E middot E)k minus (E middot k)E = ωE times B αλλά λόγω της Εξ 412αʹ προκύπτει

E times B =|E|2

ωk (415)

Λαμβάνοντας υπ΄ όψιν τις ήδη αποδεδειγμένες καθετότητες των κατευθύνσεων τωνE B k από τις Εξ 412γʹ-412δʹ προκύπτει

|E||B|

= c (416)

Σχήμα 41 E times B uarruarr k

Ας δοκιμάσουμε τώρα στις Εξ 860 και 861 αντί των λύσεων 845 και 847λύσεις της μορϕής

E(r t) = E0ei(kemiddotrminusωet+δe) = E0e

ε⃝ (417)

B(r t) = B0ei(kbmiddotrminusωbt+δb) = B0e

β⃝ (418)

δηλαδή ας θεωρήσουμε ότι τα E(r t) και B(r t) δεν έχουν κατ΄ ανάγ-κην ίσα κυματανύσματα ke και kb κυκλικές συχνότητες ωe και ωb και῾῾ αρχικές ϕάσεις ᾿᾿ δe και δb Τότε

Εξ 844 417 rArr ke middot E = 0 (419αʹ)

Εξ 846 418 rArr kb middot B = 0 (419βʹ)

Εξ 848 417 418 rArr ke times E = ωbB (419γʹ)

Εξ 849 417 418 rArr kb times B = minusmicro0ϵ0ωeE (419δʹ)

143

και δεν προκύπτει κάποια σχέση μεταξύ των δe δb Από την Εξ 419γʹ προκύπτει∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

kex key kez

E0xeε⃝ E0ye

ε⃝ E0zeε⃝

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (ωbB0xeβ⃝ ωbB0ye

β⃝ ωbB0zeβ⃝)rArr

keyE0ze

ε⃝ minuskezE0yeε⃝ = ωbB0xe

β⃝

kezE0xeε⃝ minuskexE0ze

ε⃝ = ωbB0yeβ⃝

kexE0yeε⃝ minuskeyE0xe

ε⃝ = ωbB0zeβ⃝

rArr

keyE0zminuskezE0y

ωbB0x= e β⃝e ε⃝lowast

= ei[(kbminuske)middotrminus(ωbminusωe)t+(δbminusδe)]

kezE0xminuskexE0z

ωbB0y= e β⃝e ε⃝lowast

= το ίδιο

kexE0yminuskeyE0x

ωbB0z= e β⃝e ε⃝lowast

= το ίδιο

σταθερές συναρτήσεις των r t

Αν θεωρήσουμε κάποια συγκεκριμένη χρονική στιγμή t επειδή τα αριστερά μέρη

είναι σταθερά θα πρέπει και τα δεξιά να είναι δηλαδή να μην εξαρτώνται από το rάρα

kb = ke (421)

Αν θεωρήσουμε κάποια συγκεκριμένη θέση r επειδή τα αριστερά μέρη είναι σταθεράθα πρέπει και τα δεξιά να είναι δηλαδή να μην εξαρτώνται από το t άρα

ωb = ωe (422)

Τέλος από τις Εξ 8100-8101 έπεται ότι τα δεξιά μέρη θα ισούνται με ei(δbminusδe) =cos(δbminusδe)+i sin(δbminusδe) Αν τα αριστερά μέρη ήταν πραγματικά τότε sin(δbminusδe) =0rArr δb minus δe = nπ n isin Z οπότε υπάρχει μερική λύση δb = δe Τα E0 B0 όμως είναιεν γένει μιγαδικά άρα καταλήγουμε στις σχέσεις

keyE0zminuskezE0y

ωbB0x= ei(δbminusδe)

kezE0xminuskexE0z

ωbB0y= ei(δbminusδe)

kexE0yminuskeyE0x

ωbB0y= ei(δbminusδe)

(423)

και τίποτε παραπάνω

144

43 Στάσιμο ΗΜ κύμα σε κοιλότητα

Στην Ενότητα αυτό θα κατασκευάσουμε μια έκϕραση της Χαμιλτονιανής του ΗΜπεδίου που να επιτρέπει το μετασχηματισμό της στη γλώσσα του αριθμού των ϕωτο-νίων αντί της γλώσσας που χρησιμοποιεί τα ανυσματικά μεγέθη E B Αυτό θα γίνειστο παράδειγμα του στάσιμου ΗΜ κύματος σε κοιλότηταΠριν από αυτό ας θυμηθούμε ότι για τρέχοντα ΗΜ κύματα με τις προϋποθέσεις

της Ενότητας 42 έχουμε

nabla2E =1

c2part2E

partt2E(r t) = E0e

i(kmiddotrminusωt+δ) (424)

nabla2B =1

c2part2B

partt2B(r t) = B0e

i(kmiddotrminusωt+δ) (425)

και E times B uarruarr k όπως ϕαίνεται στο Σχήμα 42 αριστερά Πρόκειται για κυματικέςεξισώσεις για το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο αντιστοίχως σε 3 διαστάσεις καιτις λύσεις τους

Σχήμα 42 [Αριστερά] Για τρέχοντα ΗΜ κύματα έχουμε E times B uarruarr k [Δεξιά] Υποθέτουμε ότιE times B uarruarr k με τον προσανατολισμό σε άξονες που δείχνει το σχήμα

Αν ο προσανατολισμός σε άξονες είναι αυτός που δείχνει το Σχήμα 42 δεξιάτότε

nabla2Ex =1

c2part2Expartt2

(426)

E(r t) = Ex0ei(kzzminusωt+δ) = Ex(z t) (427)

145

nabla2By =1

c2part2By

partt2(428)

B(r t) = B0yei(kzzminusωt+δ) = By(z t) (429)

οπότεpart2Expartz2

=1

c2part2Expartt2

(430)

part2By

partz2=

1

c2part2By

partt2(431)

Πρόκειται για κυματικές εξισώσεις για το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο αντιστοί-χως σε 1 διάσταση Ας δούμε τώρα αν βγαίνει κάποιο συμπέρασμα από τις εξισώσειςτου Maxwell στο κενό

nabla middot E = 0 (Εξ 844) rArr partExpartx

+70

partEyparty

+0

partEzpartz

= 0rArr partExpartx

+ 0 + 0 = 0rArr

partExpartx

= 0 πράγμα αναμενόμενο (432)

nabla middot B = 0 (Εξ 846) rArr

0

partBx

partx+partBy

party+

0

partBz

partz= 0rArr 0 +

partBy

party+ 0 = 0rArr

partBy

party= 0 πράγμα αναμενόμενο (433)

nabla times E = minuspartBpartt

(Εξ 848)rArr

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

partpartx

partparty

partpartz

Ex 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = minusjpartBy

parttrArr j

partExpartz

= minusj partBy

parttrArr

partExpartz

= minuspartBy

partt (434)

nablatimesB = ϵ0micro0partE

partt(Εξ 849)rArr

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

partpartx

partparty

partpartz

0 By 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =1

c2partExpartt

irArr i(minuspartBy

partz) = i

1

c2partExparttrArr

146

partBy

partz= minus 1

c2partExpartt

(435)

spades Τώρα βάζουμε ιδανικώς αγώγιμα κάτοπτρα στις θέσεις z = 0 και z = L (Σχή-μα 43) Το προσπίπτον σε κάθε κάτοπτρο κύμα θα συμβάλει με το ανακλώμενο άραθα δημιουργηθούν στάσιμα κύματα

Οι Εξ 430 και 434 εξακολουθούν να ισχύουν

Οι Εξ 431 και 435 για το γραμμικό συνδυασμό

των προσπιπτόντων και ανακλωμένων κυμάτων

part2Expartz2

=1

c2part2Expartt2

partExpartz

= minuspartBy

partt

part2By

partz2=

1

c2part2By

partt2partBy

partz= minus 1

c2partExpartt

Σχήμα 43 Στις θέσεις z = 0 και z = L τοποθετούνται επίπεδα ιδανικώς αγώγιμα κάτοπτρα

Αναζητούμε λύση με μέθοδο των χωριζομένων μεταβλητών υποθέτοντας ότι

Ex(z t) = NZ(z)T (t) (436)

Ας θυμηθούμε τις συνοριακές συνθήκες στη διεπιϕάνεια ιδανικού αγωγού - κενούή κατά προσέγγιση αέρα (θυμηθείτε το Σχήμα 116) Η εϕαπτομενική συνιστώσα του

147

Σχήμα 44 Αγώγιμα κάτοπτρα πριν από z = 0 και μετά από z = L

E μηδενίζεται στη διεπιϕάνεια αυτή Επειδή το E έχει μόνο x συνιστώσα (Εξ 427)και τα επίπεδα ιδανικώς αγώγιμα κάτοπτρα τοποθετούνται στις θέσεις z = 0 καιz = L οπότε το E είναι παράλληλο σε αυτά έπεται ότι

Ex(0 t) = 0 = Ex(L t)forallt (437)

Από τις Εξ 430 και 436 έπεται ότι

NT (t)d2Z

dz2=N

1

c2Z(z)

d2T

dt2hArr

hArr 1

Z(z)

d2Z

dz2︸ ︷︷ ︸f(z)

=1

T (t)

1

c2d2T

dt2︸ ︷︷ ︸g(t)︸ ︷︷ ︸

forallz forallt

άρα= σταθερά = minusk2

αρκεί Z(z) = 0 και T (t) = 0 ενώ για Z(z) = 0 και T (t) = 0 ισχύει η τετριμένηλύση ΄Αρα

d2Z

dz2+ k2Z(z) = 0 (438)

καιd2T

dt2+ k2c2T (t) = 0 (439)

148

bull Ας λύσουμε αρχικά την Εξ 438 δοκιμάζοντας λύσεις της μορϕής eλz οπότεπροκύπτει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο

λ2 + k2 = 0rArr λ2 = minusk2 rArr λ = plusmnik πχ ας διαλέξουμε k isin real+

΄Αρα ουσιαστικά η λύση θα είναι της μορϕής

Z(z) = Aeikz +Beminusikz (440)

Z(0) = 0 συνοριακή συνθήκη 1 (441)

Z(L) = 0 συνοριακή συνθήκη 2 (442)

όπου λάβαμε υπ΄ όψιν τις συνοριακές συνθήκες 437 Από τις Εξ 440 και 441συνεπάγεται ότι A+B = 0rArr B = minusA οπότε η Εξ 440 γίνεται

Z(z) = Aeikz minus Aeminusikz = 2iA sin(kz) (443)

και εϕαρμόζοντας την Εξ 442

sin(kL) = 0rArr kL = mπm isin Z (444)

Δεδομένου όμως ότι διαλέξαμε παραπάνω k isin real+ θα πρέπει m isin N και για μημηδενική λύση θα πρέπει m isin N lowast οπότε k isin reallowast

+ Συνοπτικά το k εξαρτάται απόένα ϕυσικό μη μηδενικό δείκτη δηλαδή

km =mπ

Lm isin N lowast (445)

Αρα Zm(z) = 2Ai sin

(mπz

L

)Κι αν απαιτήσουμε οι Zm να είναι ορθοκανονικές

int L

0

dzZlowastm(z)Zl(z) = δml

rArr

rArrint L

0

dz | 2iA |2 sin(mπz

L

)sin

(lπz

L

)= δml rArr

int π

0

L

πdψ | 2iA |2 sin(mψ) sin(lψ) = δml

όπου ορίσαμε ψ = πzL οπότε dψ = π

Ldz Τότε

L

π4 | A |2

int π

0

dψ sin(mψ) sin(lψ) = δml

149

Αλλά int π

0

dψ sin(mψ) sin(lψ) =π

2δml (446)

ενώ ισχύει επίσης int π

0

dψ cos(mψ) cos(lψ) =π

2δml (447)

ΕπομένωςL

π4 | A |2 π

2δml = δml rArr| A |2=

1

2L

Ας διαλέξουμε κάτι βολικό πχ A =1radic2L

(minusi)

Συνεπώς

Zm(z) =

radic2

Lsin

(mπz

L

)(448)

bull Στη συνέχεια ας λύσουμε την Εξ 439 Ας ορίσουμε

ω = kc gt 0 (449)

οπότε ω2 = k2c2 Χρησιμοποιώντας την Εξ 445

ωm =mπc

Lm isin N lowast (450)

Δοκιμάζοντας λύσεις της μορϕής eλt προκύπτει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο

λ2 + ω2m = 0rArr λ = plusmniωm ωm isin reallowast

+ (451)

΄Αρα ουσιαστικά η λύση θα είναι της μορϕής

T (t) = Γeiωmt +∆eminusiωmt (452)

Κι αν θέσουμε την αρχική συνθήκη

T (0) = 0 (453)

προκύπτει Γ +∆ = 0rArr ∆ = minusΓ οπότε

T (t) = Γeiωmt minus Γeminusiωmt = 2iΓ sin(ωmt)rArr (454)

150

Tm(t) = 2iΓ sin

(mπc

Lt

)(455)

Κι αν απαιτήσουμε οι Tm να είναι ορθοκανονικές δηλαδήint κάτι0

dtT lowastm(t)Tl(t) = δml rArr

int κάτι0

dt | 2iΓ |2 sin(mπct

L

)sin

(lπct

L

)= δml rArr

rArr 4 | Γ |2int κάτι0

dt sin

(mπct

L

)sin

(lπct

L

)= δml

Θέτοντας χ = πctL οπότε dχ = πc

Ldt καταλήγουμε στη σχέση

4 | Γ |2 L

πc

int πcLmiddotκάτι

0

dχ sin(mχ) sin(lχ) = δml (456)

΄Αρα έχοντας υπ΄ όψη την Εξ 446 είναι βολικό να θέσουμε πcLmiddot κάτι = π rArr

κάτι =L

c= τ (457)

΄Ετσι ορισμένο το τ είναι ο χρόνος πτήσεως του ϕωτονίου διαμέσου της κοιλότητας(time of photon flight through cavity) άρα δεν ήταν παράλογο που το θέσαμε έτσιΣυνεπώς εν τέλει η ορθοκανονικοποίηση είναιint τ

0

dtT lowastm(t)Tl(t) = δml (458)

Τελικά έχουμε

4 | Γ |2 L

πc

int π

0

dχ sin(mχ) sin(lχ) = δml rArr| Γ |=radic

c

2L

Κι αν διαλέξουμε κάτι βολικό πχ Γ = (minusi)radic

c2L τελικά έχουμε

Tm(t) =

radic2c

Lsin

(mπc

Lt

)(459)

΄Αρα συνοψίζοντας με τη βοήθεια των Εξ 436 448 459 καταλήγουμε στην

Emx (z t) =

2radicc

LN sin

(mπz

L

)sin

(mπct

L

)(460)

151

΄Οσον αϕορά τις μονάδες θα πρέπει [2radicc

LN ] = V

m= N

CrArr

[N ] =Vradicms

(461)

Για να προσδιορίσουμε το μαγνητικό πεδίο θα χρησιμοποιήσουμε την Εξ 435 σεσυνδυασμό με την Εξ 460 οπότε προκύπτει

partBmy

partz= minus 1

c22radicc

LN sin

(mπzL

) mπcL

cos

(mπct

L

)rArr (462)

int zprime

0

dzpartBm

y

partz= minus 2mπradic

cL2N cos

(mπct

L

)int zprime

0

dz sin(mπz

L

)rArr (463)

Bmy (z

prime t)minusBmy (0 t) = minus

2mπradiccL2N cos

(mπct

L

)L

mπ

[minus cos

(mπzL

)]zprime0

rArr (464)

Bmy (z

prime t)minusBmy (0 t) =

2NradiccL

cos

(mπct

L

)[cos

(mπzprime

L

)minus1cos 0

] (465)

΄Αρα ορίζοντας κατάλληλα την τιμή του Bmy (0 t) προκύπτει

Bmy (z t) =

2NradiccL

cos(mπz

L

)cos

(mπct

L

)(466)

Για την πυκνότητα ενέργειας ισχύει

U =ϵ02E2 +

1

2micro0

B2 =ϵ02[E2 + c2B2] (467)

Σημειώνουμε ότι οι μονάδες για την πυκνότητα ενέργειας είναι [U ] = Jm3 Για πα-

ράδειγμα [ ϵ02E2] = F

mV2

m2 = CV2

Vm3 = Jm3 και [ B

2

2micro0] = T2A

Tm= TA

m= N

m2 = Nmm3 = J

m3 πχ λόγω των γνωστών σχέσεωνB = micro0H F = BIl και c2 = 1

ϵ0micro0 ΄Αρα από τις

Εξ 460 466 467 βρίσκουμε την πυκνότητα ενέργειας του m τρόπου

Um =ϵ02

4cN 2

L2

[sin2

(mπzL

)sin2

(mπct

L

)+ cos2

(mπzL

)cos2

(mπct

L

)] (468)

΄Αρα η ενέργεια του m τρόπου η οποία υπολογίζεται ολοκληρώνοντας την πυ-κνότητα ενέργειας του m τρόπου στην κοιλότητα όγκου V = LS

Εm =

intV=LS

d3r Um (469)

152

είναι

Εm =2ϵ0cN 2S

L2

[sin2

(mπct

L

)int L

0

dz sin2(mπz

L

)+ cos2

(mπct

L

)int L

0

dz cos2(mπz

L

)]

Θέτουμε ψ = πzLrArr dψ = π

Ldz άρα με τη βοήθεια των Εξ 446-447 τα ολοκληρώ-

ματα στο z γίνονται Lπ

int π0dψ sin2(mψ) = L

ππ2= L

2και L

π

int π0dψ cos2(mψ) = L

ππ2= L

2

Αντικαθιστούμε στην παραπάνω εξίσωση και τελικά έχοντας ακολουθήσει αυτή τηνκλασική προσέγγιση έχουμε

Εm =ϵ0cN 2S

L

[sin2

(mπct

L

)+ cos2

(mπct

L

)]=ϵ0cN 2S

L(470)

Ας δούμε τώρα λίγο αλλιώτικα την Εm

Εm =ϵ0cN 2S

L3

[L2 sin2

(mπct

L

)+ L2 cos2

(mπct

L

)] (471)

ορίζοντας ῾῾ γενικευμένη θέση και ταχύτητα ᾿᾿ Καλούμε λοιπόν ῾῾ γενικευμένη θέση ᾿᾿

qm(t) = L sin

(mπct

L

)(472)

και ῾῾ γενικευμένη ταχύτητα ᾿᾿

˙qm(t) = mπc cos

(mπct

L

)(473)

ούτως ώστε [qm(t)] = m και [ ˙qm(t)] = ms Τότε η Εξ 471 γράϕεται

Εm =ϵ0cN 2S

L3

[(qm(t))

2 +L2

m2π2c2( ˙qm(t))

2

] (474)

Θα μπορούσαμε εδώ να θεωρήσουμε μια αναλογία της Εξ 474 με Απλό ΑρμονικόΤαλαντωτή (ΑΑΤ) του οποίου η ενέργεια θα ήταν

Ε =K

2x2 +

M

2v2 =

K

2[x2 +

M

Kv2] (475)

Επομένωςϵ0cN 2S

L3=K

2 (476)

153

L2

m2π2c2=M

K (477)

Δηλαδή προκύπτει η ῾῾ σταθερά ελατηρίου ᾿᾿

K =2ϵ0cN 2S

L3 (478)

και η ῾῾ μάζα ᾿᾿ (η οποία σημειωτέο εξαρτάται από το m είναι δηλαδή διαϕορετική γιακάθε τρόπο του ΗΜ πεδίου m)

Mm =2ϵ0N 2S

cLm2π2 (479)

Μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι η Mm έχει διαστάσεις μάζας (θα χρειαστείκαι η Εξ 461) και πως ισχύει K = Mmω

2m ΄Αρα κλασικά υπάρχει μία τυπική

ομοιότητα με ΑΑΤ με κυκλική συχνότητα ωm (Εξ 450) και ῾῾ μάζα ᾿᾿ Mm (Εξ 479)δηλαδή η Εξ 471 ή 474 γράϕεται

Εm =Mmω

2m

2q2m +

Mm

2q2m (480)

Μπορούμε επομένως να πούμε ότι το κβαντικό αντίστοιχο για ένα τρόπο ΗΜπεδίου m δηλαδή η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m θα είναι

HΗΜ m =Mmω

2m

2q2m +

Mm

2˙q2m (481)

με ιδιοτιμές ενέργειας

Emnm = ~ωm(nm +1

2) (482)

όπου ο δείκτης m isin N lowast αϕορά τον τρόπο του ΗΜ πεδίου και ο δείκτης nm isin Nαϕορά τον αριθμό των ϕωτονίων στον τρόπο m Συνεπώς η Χαμιλτονιανή για όλουςτους τρόπους του ΗΜ πεδίου θα είναι

HΗΜ =summ

HΗΜ m (483)

Κατόπιν σημειώνουμε ότι από τις Εξ 460 και 472 συνεπάγεται ότι

Emx (z t) =

2radicc

L2N sin

(mπzL

)qm(t) (484)

154

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Emx (z t) =

2radicc

L2N sin

(mπzL

)qm(t) (485)

Επίσης από τις Εξ 466 και 473 συνεπάγεται ότι

Bmy (z t) =

2NLradicc

1

mπccos(mπz

L

)qm(t) (486)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Bmy (z t) =

2NLradicc

1

mπccos(mπz

L

)ˆqm(t) (487)

Από τις ΄Εξ 484 479 και 450 προκύπτει

Emx (z t) =

(2Mmωm

2

ϵ0V

)12

sin(mπz

L

)qm(t) (488)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Emx (z t) =

(2Mmωm

2

ϵ0V

)12

sin(mπz

L

)qm(t) (489)

Από τις ΄Εξ 486 479 και 450 προκύπτει

Bmy (z t) =

1

c

(2Mm

ϵ0V

)12

cos(mπz

L

)qm(t) (490)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Bmy (z t) =

1

c

(2Mm

ϵ0V

)12

cos(mπz

L

)ˆqm(t) (491)

Τέλος από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει όπως αναμενόταν [Ex

By] = [c]

155

44 Χαμιλτονιανή ΗΜ πεδίου με τελεστέςκαταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίων

Ας μιλήσουμε τώρα για τελεστές καταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίων (photoncreation and annihilation operators) Είναι τώρα εύκολο να κβαντωθεί η Χαμιλτο-νιανή που περιγράϕει το ΗΜ πεδίο αρκεί να εϕαρμοστεί η αντιστοιχία τελεστών

qm = qm (492)

pm = minusi~ part

partqm(493)

Εισάγουμε τους τελεστές

am =1radic

2Mm~ωm(Mmωmqm + ipm) ῾῾ καταστροϕής ᾿᾿ (494)

adaggerm =1radic

2Mm~ωm(Mmωmqm minus ipm) ῾῾ δημιουργίας ᾿᾿ (495)

Ισχύουν οι ιδιότητες[am a

daggerm]︸ ︷︷ ︸

μεταθέτης

= amadaggerm minus adaggermam = 1 (496)

[qm pm]︸ ︷︷ ︸μεταθέτης

= i~ (497)

΄Ετσι οι τελεστές qm pm μπορούν τώρα να γραϕούν

qm =

(~

2Mmωm

)12

(adaggerm + am) (498)

pm = i

(Mm~ωm

2

)12

(adaggerm minus am) (499)

Συνεπώς η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m είναι

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)(4100)

Ας συμβολίσουμε με |nm⟩ την κατάσταση του ΗΜ πεδίου με nm αριθμό ϕωτονίωνστον ΗΜ τρόπο m Λέμε ότι είναι μια ῾῾ κατάσταση ϕωτονικών αριθμών ᾿᾿ Τα |nm⟩αποτελούν ένα πλήρες σύστημα δηλαδή ισχύει ⟨nm|lm⟩ = δnl

156

Οι τελεστές adaggerm και am έχουν τις ιδιότητες

adaggerm |nm⟩ =radicnm + 1 |nm + 1⟩ (4101)

am |nm⟩ =radicnm |nm minus 1⟩ (4102)

am |0⟩ = |0⟩ (4103)

Από τις Εξ 4101 και 4102 προκύπτει

adaggermam |nm⟩ = nm |nm⟩ (4104)

δηλαδή ο τελεστής Nm = adaggermam μετρά τον αριθμό των ϕωτονίων του ΗΜ τρόπου mοπότε μπορεί να αποκληθεί τελεστής του αριθμού των ϕωτονίων στον ΗΜ τρόπο mΑκόμα επαγωγικά προκύπτει

|nm⟩ =1radicnm

(adaggerm)nm |0⟩ (4105)

Λόγω των Εξ 4100 και 4104 προκύπτει

HΗΜ m |nm⟩ = ~ωm(nm +1

2) |nm⟩ (4106)

δηλαδή η Χαμιλτονιανή HΗΜ m δίνει ιδιοτιμές ενέργειας

Emnm = ~ωm(nm +1

2) (4107)

Η θεμελιώδης κατάσταση του ΑΑΤ |0⟩ με ιδιοενέργεια 12~ωm αντιστοιχεί στο κενό

δηλαδή χωρίς σωμάτιο η 1η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |1⟩ με ιδιοενέργεια 32~ωm

αντιστοιχεί σε ένα σωμάτιο η 2η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |2⟩ με ιδιοενέργεια52~ωm αντιστοιχεί σε δύο σωμάτια κοκ Αυτά τα σωμάτια εν προκειμένω τα λέμεϕωτόνια Δημιουργούνται και καταστρέϕονται με τους τελεστές αναβιβάσεως καικαταβιβάσεως ξεκινώντας από ένα επίπεδο αναϕοράς που εδώ είναι το κενό Υπακού-ουν στις μποζονικές σχέσεις μεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράστασηείναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση (second quantization)Η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)= ~ωm

(Nm +

1

2

) (4108)

157

αγνοώντας τον όρο ~ωm

2 μπορεί να γραϕτεί

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm (4109)

Μπορούμε να έχουμε οσαδήποτε ϕωτόνια στην ενεργειακή κατάσταση ~ωm διότι εί-ναι μποζόνια Ο adaggerm είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζειτην ενέργεια δημιουργώντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωm εξ ού και η ονομασία τελε-στής δημιουργίας (creation operator) Ο am είναι τελεστής καταβιβάσεως (loweringoperator) διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωmεξ ού και η ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator)

Σχήμα 45 Σωμάτια (εδώ ϕωτόνια απεικονίζονται με πράσινες βούλες) δημιουργούνται και κατα-στρέϕονται μέσω των τελεστών αναβιβάσεως και καταβιβάσεως Υπακούουν στις μποζονικές σχέσειςμεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράσταση είναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση(second quantization) Ο αριθμός των ϕωτονίων είναι ίσος με τον αριθμό των κόμβων της ιδιοσυ-ναρτήσεως

Τέλος ας σημειώσουμε ότι από τις Εξ 489 και 498 προκύπτει

Emx (z t) =

(~ωmϵ0V

)12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4110)

ενώ από τις Εξ 491 και 499 προκύπτει

Bmy (z t) =

i

c

(~ωmϵ0V

)12

cos(mπz

L

)(adaggerm minus am) (4111)

158

45 Χαμιλτονιανή δισταθμικού συστήματοςμε σπίνορες

Θα περιγράψουμε την αναβίβαση και την καταβίβαση ενός ηλεκτρονίου μεταξύ τωνενεργειακών σταθμών ενός δισταθμικού συστήματος πχ ενός ατόμου με τη βοήθειασπινόρων (spinors) Σπίνορας είναι ένα διάνυσμα - στήλη με δύο συνιστώσες Αςαρχίσουμε με ορισμούς (πχ [62])

| ⟩ =

=

0

0

=| 0⟩ |darr⟩ =

bull

=

0

1

=| 1⟩ |uarr⟩ =

bull

=

1

0

=| 2⟩

(4112)Το πρώτο παριστά το άδειο δισταθμικό σύστημα το δεύτερο δηλώνει το δισταθμικόσύστημα με το ηλεκτρόνιο στην κάτω στάθμη όπου έχει ενέργεια E1 και το τρίτο δη-λώνει το δισταθμικό σύστημα με το ηλεκτρόνιο στην άνω στάθμη όπου έχει ενέργειαE2 Ας ορίσουμε τώρα τους τελεστές

S+ =

0 1

0 0

Sminus =

0 0

1 0

(4113)

για τους οποίους μάλιστα ισχύει Sdagger+ =

0 1

0 0

dagger

=

0 0

1 0

= Sminus Ας δούμε ποιό

είναι το αποτέλεσμα της δράσεώς τους στους σπίνορες που ορίσαμε μόλις προ ολίγου

S+ | 0⟩ =

0 1

0 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

S+ |darr⟩ =

0 1

0 0

0

1

=

1

0

=|uarr⟩ το ανεβάζει

S+ |uarr⟩ =

0 1

0 0

1

0

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

(4114)

159

Sminus | 0⟩ =

0 0

1 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

Sminus |darr⟩ =

0 0

1 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

Sminus |uarr⟩ =

0 0

1 0

1

0

=

0

1

=|darr⟩ το κατεβάζει

(4115)

΄Ετσι ο S+ ονομάζεται τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ενώ ο Sminus ονομάζε-ται τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) του ηλεκτρονίου Ας δούμε μερικέςακόμα ιδιότητες

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

= σx (4116)

που είναι ένας από τους πίνακες Pauli που παρατίθονται λίγο παρακάτω (Εξ 4133)Ακόμα

S+Sminus =

0 1

0 0

0 0

1 0

=

1 0

0 0

(4117)

SminusS+ =

0 0

1 0

0 1

0 0

=

0 0

0 1

(4118)

΄Αρα από τις Εξ 4117-4118 συνεπάγεται ότι

S+Sminus + SminusS+ =

1 0

0 1

= I (4119)

που είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας Μπορούμε να το γράψουμε και στη μορϕή

S+ Sminus = I (4120)

160

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4121)

ενώ [AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4122)

΄Οταν AB = 0 rArr AB + BA = 0 rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται ενώ όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οιποσότητες μετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση των ονομασίων ΄Οπωςθα δούμε παρακάτω η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσειςαντιμεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ηλεκτρόνια που είναι ϕερμιόνια ενώ ο με-ταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσεις μεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ϕωτόνιαπου είναι μποζόνια Συχνά στα ελληνικά συγγράμματα της δευτεροβάθμιας εκπαί-δευσης πολύ κακώς εδώ και δεκαετίες ονομάζεται ῾῾ αντιμεταθετική ᾿᾿ η μεταθετική(commutative) ιδιότητα χαθήκαμε δηλαδή στη μετάϕρασηΗ Χαμιλτονιανή του Δισταθμικού Συστήματος HΔΣ είναι η

E2S+Sminus + E1SminusS+ = E2

1 0

0 0

+ E1

0 0

0 1

=

E2 0

0 E1

(4123)

αϕού E2 0

0 E1

1

0

=

E2

0

= E2

1

0

(4124)

E2 0

0 E1

0

1

=

0

E1

= E1

0

1

(4125)

΄Αρα συνοπτικά δείξαμε ότι

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+ (4126)

Αν τώρα θέσουμε E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) οπότε

HΔΣ = ~ΩS+Sminus (4127)

161

Ο τελεστής S+Sminus μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη αϕού

S+Sminus | 1⟩ =

1 0

0 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ rArr S+Sminus | 1⟩ = 0 | 1⟩ (4128)

S+Sminus | 2⟩ =

1 0

0 0

1

0

=

1

0

=| 2⟩ rArr S+Sminus | 2⟩ = 1 | 2⟩ (4129)

Ο τελεστής SminusS+ μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην κάτω στάθμη αϕού

SminusS+ | 1⟩ =

0 0

0 1

0

1

=

0

1

=| 1⟩ rArr SminusS+ | 1⟩ = 1 | 1⟩ (4130)

SminusS+ | 2⟩ =

0 0

0 1

1

0

=

0

0

=| 0⟩ rArr SminusS+ | 2⟩ = 0 | 2⟩ (4131)

Παρατήρηση Συνοπτικά για τους τελεστές S+ και Sminus μπορούμε να αποδείξουμεότι (S+)

dagger = Sminus αλλά και ότι

S+ Sdagger+ = S+ Sminus = S+Sminus + SminusS+ = I

Sminus Sdaggerminus = Sminus S+ = SminusS+ + S+Sminus = I

S+ S+ = Sdaggerminus S

daggerminus = S+S+ + S+S+ = 0

Sminus Sminus = Sdagger+ S

dagger+ = SminusSminus + SminusSminus = 0

(4132)

όπου I είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας 2 times 2 και 0 είναι ο μηδενικός πίνακας2times2 Οι Εξ 4132 δείχνουν ότι οι τελεστές S+ και Sminus υπακούουν στις σχέσεις αντι-μεταθέσεως ϕερμιονίων που αναϕέρουμε στην Υποενότητα 462 της Ενότητας 46Ο S+ είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζει την ενέργειαδημιουργώντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού και η ονομασία τελεστής δημιουρ-γίας (creation operator) Ο Sminus είναι τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator)διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού καιη ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Μπορούμε να έχουμεμόνο ένα ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω διότι τα ηλεκτρόνια είναι ϕερμιόνια

162

Ας θυμηθούμε τώρα τους πίνακες Pauli σx σy σz και ας δούμε τη σχέση τους μετους τελεστές αναβιβάσεως και καταβιβάσεως ηλεκτρονίων S+ και Sminus αντιστοίχως

σx =

0 1

1 0

(4133)

σy =

0 minusi

i 0

(4134)

σz =

1 0

0 minus1

(4135)

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι ισχύει η ιδιότητα

[σx σy] = 2iσz (4136)

καθώς και οι κυκλικές εναλλαγές της Επίσης

σ2x = σ2

y = σ2z =

1 0

0 1

= I (4137)

και

σx σy = σxσy + σyσx = 0 (4138)

σy σz = σyσz + σzσy = 0

σz σx = σzσx + σxσz = 0

δηλαδή οι πίνακες Pauli αντιμετατίθονται Επί παραδείγματι

σx σy = σxσy + σyσx =0 1

1 0

0 minusi

i 0

+

0 minusi

i 0

0 1

1 0

=

i 0

0 minusi

+

minusi 0

0 i

=

0 0

0 0

= 0

Ακόμα μπορούμε να αποδείξουμε ότι

S+ + Sminus = σx

S+ minus Sminus = iσy

163

46 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων καισχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων

461 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων πχ ϕωτονίων

Ας ονομαστεί am ο τελεστής καταστροϕής μποζονίων και adaggerm ο τελεστήςδημιουργίας μποζονίων στην κατάσταση m Για τα μποζόνια ισχύουν οι σχέσειςμεταθέσεως (commutation relations)

[am aℓ] = 0

[adaggerm adaggerℓ] = 0

(4139)

[AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4140)

οπότε όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οι ποσότητεςμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας

462 Σχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων πχ ηλε-κτρονίων

Ας ονομαστεί ai ο τελεστής καταστροϕής ϕερμιονίων και adaggeri ο τελεστής δη-μιουργίας ϕερμιονίων στην κατάσταση i Για τα ϕερμιόνια ισχύουν οι σχέσεις αντι-μεταθέσεως (anticommutation relations)

ai adaggerj = δij

ai aj = 0

adaggeri adaggerj = 0

(4141)

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4142)

οπότε όταν AB = 0rArr AB+BA = 0rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας Αν εϕαρμόσουμετη σχέση adaggeri a

daggerj = 0 για την ίδια κατάσταση πχ i = j = r έχουμε adaggerr adaggerr =

0 rArr adaggerradaggerr = 0 που σημαίνει ότι

δεν μπορούμε να βάλουμε δύο ϕερμιόνια στην ίδια

κατάσταση πράγμα που είναι η απαγορευτική αρχή Pauli

164

47 Τελεστές κλίμακας (Ladder operators) [63]

Στη γραμμική άλγεβρα καθώς και στις εϕαρμογές της στην κβαντική μηχανική ορί-ζεται ο τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ο οποίος αυξάνει την ιδιοτιμή ενόςάλλου τελεστή και ο τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) ο οποίος μειώνειτην ιδιοτιμή ενός άλλου τελεστή Αυτοί συλλογικά ονομάζονται τελεστές κλίμα-κας (ladder operators) Στην κβαντομηχανική ο τελεστής αναβιβάσεως καλείταισυχνά τελεστής δημιουργίας (creation operator) και ο τελεστής καταβιβάσεως κα-λείται συχνά τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Γνωστές εϕαρμογέςτων τελεστών κλίμακας είναι στον απλό αρμονικό ταλαντωτή και στη στροϕορμήΣε πολλές περιοχές της ϕυσικής και της χημείας η χρήση αυτών των τελεστών αντίκυματοσυναρτήσεων είναι γνωστή ως δεύτερη κβάντωση (second quantization) [64]

165

48 Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεωςδισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου

΄Εστω δύο αντίθετα ηλεκτρικά ϕορτία q gt 0 και minusq lt 0 στα σημεία Θ και Α

αντιστοίχως Αν d =minusrarrΑΘ είναι το διάνυσμα θέσεως του θετικού ϕορτίου ως προς το

αρνητικό τότε η ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) ορίζεταιως

P = qd (4143)

πχ για το άτομο του υδρογόνου αν το Π παριστάνει τον πυρήνα και το Η παριστάνει

το ηλεκτρόνιο και ως συνήθως ορίσουμε r =minusrarrΠΗ τότε P = qd = e(minusr)rArr

P = minuser (4144)

Αυτό αποδίδεται άνω τμήμα του Σχήματος 46 Η δυναμική ενέργεια (potential

Σχήμα 46 ΄Ανω Ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) Κάτω (Ηλεκτρική) διπολικήροπή μεταβάσεως (transition (electric) dipole moment)

energy) UE του ηλεκτρικού διπόλου εντός ηλεκτρικού πεδίου E είναι

UE = minusP middot E (4145)

166

Ανάλογος με τον παραπάνω ορισμό μπορεί να δοθεί και για την περίπτωση της με-ταβάσεως ενός τμήματος του ηλεκτρονιακού νέϕους από μία αρχική σε μια τελική πε-ριοχή ΄Ετσι ορίζεται η (ηλεκτρική) διπολική ροπή μεταβάσεως [transition(electric) dipole moment] 1 Αυτό αποδίδεται στο κάτω τμήμα το Σχήματος 46Αν το ϕορτίο που μεταϕέρεται είναι minuse πάλι p = qd = e(minusr)rArr p = minuser Δηλαδήεννοείται ότι για την περιοχή 2 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμεί με μετά-βαση ϕορτίου minuse ενώ για την περιοχή 1 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμείμε μετάβαση ϕορτίου +eΟ τελεστής (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως [transition

(electric) dipole moment operator] σημειώνεται εναλλακτικά με ˆd ή ˆp Στη βάση τωνιδιοκαταστάσεων της ενέργειας του αδιατάρακτου ατόμου ή συστήματος ορίζεται ως

ˆd = ˆp =

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | (4146)

με τους επίσης εναλλακτικούς συμβολισμούς

dij = pij = minuse⟨Φi | ˆr | Φj⟩ (4147)

για το στοιχείο πίνακα της (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως μεταξύ των κα-ταστάσεων | Φi⟩ και | Φj⟩ Υπενθυμίζεται ότι ο τελεστής θέσεως (position operator)ˆr είναι τέτοιος ώστε

ˆr | r⟩ = r | r⟩ (4148)

Υπενθυμίζεται για τον συμβολισμό Dirac ότι

| A⟩ =

α1

α2

hArr ⟨A |= (αlowast1 αlowast

2) (4149)

Υπενθυμίζεται ακόμα ότι

⟨Φi | ˆr | Φj⟩ =sum

|rprime⟩|rprimeprime⟩

⟨Φi | rprime⟩⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩⟨rprimeprime | Φj⟩ =sum|rprime⟩

⟨Φi | rprime⟩ rprime ⟨rprime | Φj⟩

=sum|r⟩

⟨Φi | r⟩ r ⟨r | Φj⟩ =intdV Φi(r)

lowastrΦj(r)

1Η λέξη ῾῾ ηλεκτρική ᾿᾿ είναι εντός παρενθέσεως επειδή συνήθως επειδή εννοείται παραλείπεται

167

διότι⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩ = rprimeprime⟨rprime|rprimeprime⟩ = rprimeprimeδrprimerprimeprime (4150)

΄Αρα

d11 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ1(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4151)

d12 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ2(r) = 0 (4152)

d21 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ1(r) = 0 (4153)

d22 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ2(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4154)

Δηλαδή ενώ τα διαγώνια στοιχεία μηδενίζονται τα d12 και d21 δεν είναι (῾῾ εκ ταυτό-τητος ᾿᾿) μηδέν Ας δούμε τώρα ποιος είναι ο ˆp σε δισταθμικό σύστημα

ˆp = d11 | Φ1⟩⟨Φ1 | + d12 | Φ1⟩⟨Φ2 | + d21 | Φ2⟩⟨Φ1 | + d22 | Φ2⟩⟨Φ2 |

= d11

0

1

(0 1)+ d12

0

1

(1 0)+ d21

1

0

(0 1)+ d22

1

0

(1 0)

= 0 ⋆

d11︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

0 0

0 1

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

+ d12︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 0

1 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ d21︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 1

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ 0 ⋆

d22︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

1 0

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

Από τις Εξ (4152)-(4153) συμπεραίνουμε ότι d12 = d21 με την προϋπόθεση ότι οιΦi(r) είναι πραγματικές οπότε

ˆp = d12

0 1

1 0

(4155)

168

Ερώτηση Και τι κάνει ο τελεστής

0 1

1 0

Απάντηση0 1

1 0

0

1

=

1

0

0 1

1 0

1

0

=

0

1

Δηλαδή μεταϕέρει από τη μία ενεργειακή στάθμη στην άλλη όπως θα έπρεπε

Τώρα μπορεί να οριστεί ο τελεστής δυναμικής ενέργειας (potential e-nergy operator) Θεωρούμε ότι η αλληλεπίδραση δισταθμικού συστήματος - ΗΜπεδίου έχει τη μορϕή μηχανισμού ηλεκτρικού διπόλου Αγνοούμε άλλης μορϕής αλ-ληλεπιδράσεις όπως πχ ηλεκτρικού τετραπόλου ή μαγνητικού διπόλου Αϕού

UE = minusP middot E rArr

UmE = minusP middot Em (4156)

όπου ο δείκτης m δηλώνει τον m τρόπο του ΗΜ πεδίου ο αντίστοιχος τελεστήςμπορεί να οριστεί ως

UmE = minus ˆp middot ˆEm (4157)

Επομένως

UmE = minus

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | middotEmx (z t)i

i είναι το μοναδιαίο άνυσμα του άξονα x αϕού έχουμε υποθέσει αυτόν τον προσανα-τολισμό για το ηλεκτρικό πεδίο (δείτε Σχήμα 42) ΄Η λόγω της Εξ 4155

UmE = minusd12

0 1

1 0

middot Emx (z t)i (4158)

Αλλά

d12 middot i = minuseintdV Φ1(r)

lowast(r middot i)Φ2(r) = minusex12 = Px12 = P (4159)

169

Συνεπώς

UmE = ex12

0 1

1 0

Emx (z t) (4160)

Υπενθυμίζονται οι Εξ 4110 και 4111

Emx (z t) =

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4161)

Bmy (z t) =

(~ωmε0V

) 12 1

ccos(mπz

L

)i(adaggerm minus am) (4162)

από τις οποίες όμως στα πλαίσια των υποθέσεών μας χρειαζόμαστε τώρα μόνον τηνπρώτη Επίσης υπενθυμίζεται ότι

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

(4163)

΄Αρα εν τέλει

UmE = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4164)

Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε

~gm = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(4165)

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4166)

Αυτή είναι λοιπόν η Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συ-στήματος - ΗΜ πεδίου για τον ΗΜ τρόπο m Εάν βρισκόμαστε σταπλαίσια της ατομικής ϕυσικής τότε συμβολίζεται και Hm

AF όπου οι δείκτες σημαίνουνAtom-FieldΑπό την Εξ 4165 προκύπτει

~|gm| = |P |∣∣∣∣ (~ωm

ε0V

) 12

sin(mπz

L

) ∣∣∣∣ = |P| Em0 (4167)

170

όπου όμως το ῾῾ πλάτος ᾿᾿ Em0 εξαρτάται από τη θέση z του ατόμου στην κοιλότητα

είναι δηλαδή Em0 = Em

0 (z) Η |gm| (ή οποία συμβολίζεται και με ΩmR ) είναι η λεγόμενη

συχνότητα Rabi Εάν εννοείται σε ποιον ΗΜ τρόπο m αναϕερόμαστε μπορούμε ναχρησιμοποιήσουμε σκέτο το |g| ή το ΩR ΄Αρα

|gm| ή ΩmR =

|P|Em0

~(4168)

Για να μη γράϕουμε απόλυτα μπορούμε σε κάθε θέση να διαλέγουμε τη ϕάση τωνκυματοσυναρτήσεων τέτοια ώστε το g να είναι θετικό και πραγματικό [65] Συνοπτικά

gm ή ΩmR =

|P|Em0

~(4169)

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Τώρα συμπληρώνεται η εικόνα με την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπί-δραση ενός ΗΜ τρόπου m με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4170)

΄Αρα η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4171)

Επομένως οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩ (4172)

|darr nm⟩ (4173)

171

Ας δούμε λίγο προσεκτικότερα τη Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικούσυστήματος - ΗΜ πεδίου (Εξ 4166) Για έναν μοναδικό τρόπο m η Χαμιλτονιανήαυτή αναλυεται σε τέσσερις όρους

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) =

= ~gmS+adaggerm︸ ︷︷ ︸

1ος

+ S+am︸ ︷︷ ︸2ος

+ Sminusadaggerm︸ ︷︷ ︸

3ος

+ Sminusam︸ ︷︷ ︸4ος

bull 1ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E gt 0 Επόμένως αυτός ο όρος μόνος τουδεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

bull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻︸ ︷︷ ︸

μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολ-λοί τρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτο-νιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται απόάθροισμα όρων όπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημανα απορροϕήσει ένα ϕωτόνιο υψηλής συχνότητας και να ανεβεί ενώ παράλληλαδημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο χαμηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi www≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

simsim≻ ff lt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 2ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο Αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

172

bull 3ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιοΚαι αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικάbull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 4ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο ΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E lt 0 Επόμένως και αυτός ο όροςμόνος του δεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολλοίτρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτονιανή αλλη-λεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται από άθροισμα όρωνόπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημα να απορροϕήσει έναϕωτόνιο χαμηλής συχνότητας και να κατεβεί ενώ παράλληλα δημιουργείται εκπέμ-πεται ϕωτόνιο υψηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

www≻ ff gt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

Αν αγνοήσουμε τον 1ο και 4ο όρο που ο καθένας μόνος του δεν διατηρεί τηνενέργεια τότε

UmE = ~gm

(S+am + Sminusa

daggerm

) (4174)

Η προσέγγιση είναι κατά κάποιο τρόπο ανάλογη της RWA (Rotating Wave Approxi-mation) του Κεϕαλαίου 3 Εκεί στις εξισώσεις Rabi κρατήσαμε μόνο τους αργούςόρους όπου ΗΜ πεδίο και το δισταθμικό σύστημα βρίσκονται σε περίπου συντονισμό

173

δηλαδή Ω ≃ ω Τότε κρατήσαμε τους αργούς όρους eplusmni(Ωminusω)t και αγνοήσαμε τουςγρήγορους όρους eplusmni(Ω+ω)tΣυνοπτικά ενώ για την ολική Χαμιλτονιανή ενός τρόπου m έχουμε την λεγόμενη

Χαμιλτονιανή Rabi

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4175)

κατά την παραπάνω συζήτηση αγνοούμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενουςcounter-rotating terms

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4176)

οπότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66]

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4177)

Στην ΄Ασκηση 1 (παραλείποντας τον δείκτη του ΗΜ τρόπου m απλότητα) βρί-σκουμε (Α) τι κάνουν οι όροι adaggera aadagger S+Sminus SminusS+ S+a

dagger S+a Sminusadagger Sminusa στις κα-

ταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩ και (Β) υπολογίζουμε τα ⟨adaggera⟩ ⟨aadagger⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨SminusS+⟩⟨S+a

dagger⟩ ⟨S+a⟩ ⟨Sminusadagger⟩ ⟨Sminusa⟩ για τις καταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩

174

49 Σύνοψη Χαμιλτονιανών

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Ακόμα είδαμε την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπίδραση ενός ΗΜ τρόπουm με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

Οπότε η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί (Εξ 4171)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

και οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩|darr nm⟩

Ακόμα αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενους counter-rotatingterms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam)

τότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66] (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm)

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

139

42 Σχέση μεταξύ κυματανυσμάτων κυκλικώνσυχνοτήτων και ϕάσεων ηλεκτρικού καιμαγνητικού πεδίου

Ας θυμηθούμε τις Εξισώσεις Maxwell στη διατύπωση με όρους ολικού ϕορτίου καιολικού ρεύματος και συγκεκριμένα στη διαϕορική μορϕή

nabla middot E = ρε0 νόμος Gauss ηλεκτρισμού (41αʹ)

nabla middot B = 0 νόμος Gauss μαγνητισμού (41βʹ)

nabla times E = minuspartBpartt

νόμος Faraday (41γʹ)

nabla times B = micro0J + micro0ϵ0partE

parttνόμος Ampere και διόρθωση Maxwell (41δʹ)

Στο κενό όπου ρ = 0 και J = 0 οι Εξ 41αʹ-41δʹ γίνονται

nabla middot E = 0 (42αʹ)

nabla middot B = 0 (42βʹ)

nabla times E = minuspartBpartt

(42γʹ)

nabla times B = micro0ϵ0partE

partt(42δʹ)

Ισχύουν οι ταυτότητες

nabla times (nabla times ∆) = nabla(nabla middot ∆)minusnabla2∆ (43)

nabla2∆ = (nabla middot nabla)∆ (44)

Οπότε από τις Εξ 42 προκύπτει

nabla2E = ϵ0micro0part2E

partt2(45)

Δοκιμάζοντας στην Εξ 860 λύσεις της μορϕής

E(r t) = E0ei(kmiddotrminusωt+δ) (46)

140

προκύπτει

|k| = k =ω

c (47)

Ομοίως από τις Εξ 42 προκύπτει

nabla2B = ϵ0micro0part2B

partt2(48)

Δοκιμάζοντας στην Εξ 861 λύσεις της μορϕής

B(r t) = B0ei(kmiddotrminusωt+δprime) (49)

προκύπτει πάλι η εξίσωση Εξ 880 Επειδή ω = 2πν c = λν από την Εξ 880προκύπτει k = 2π

λ Σημειωτέον ότι δεδομένου ότι παραγωγίζουμε ως προς x y z t

οι ῾῾ αρχικές ϕάσεις ᾿᾿ δ δprime παραμένουν αυθαίρετες δηλαδή δεν προσδιορίζονται απότις έως τώρα πράξεις

Για τις λύσεις 845 και 847 μετά από πράξεις διαπιστώνουμε ότι ο τελεστής nablaμπορεί να αντικατασταθεί με ik σχηματικά

nabla rarr ik (410)

Διότι αν θεωρήσουμε πεδίο της μορϕής

∆ = ∆0 ei(kmiddotrminusωt+δ) = (∆0x∆0y∆0z) e

δ⃝ (411)

τότε

nabla middot ∆ = (part

partxpart

partypart

partz) middot (∆x∆y∆z) =

part∆x

partx+part∆y

party+part∆z

partz=

∆0x eδ⃝ikx +∆0y e

δ⃝iky +∆0z eδ⃝ikz = i(kx ky kz) middot (∆0x∆0y∆0z) e

δ⃝ = ik middot ∆

141

αλλά και

nabla times ∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

partpartx

partparty

partpartz

∆0xeδ⃝ ∆0ye

δ⃝ ∆0zeδ⃝

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= i

(part∆0ze

δ⃝

partyminus part∆0ye

δ⃝

partz

)minus j(part∆0ze

δ⃝

partxminus part∆0xe

δ⃝

partz

)+ k

(part∆0xe

δ⃝

partyminus part∆0ye

δ⃝

partx

)= i

(iky∆z minus ikz∆y

)minus j(ikx∆z minus ikz∆x

)+ k

(iky∆x minus ikx∆y

)

= i

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

kx ky kz

∆x ∆y ∆z

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = ik times ∆

Συνεπώς

Εξ 844 845 rArr ik middot E = 0rArr k middot E = 0 (412αʹ)

Εξ 846 847 rArr ik middot B = 0rArr k middot B = 0 (412βʹ)

Εξ 848 845 847 rArr ik times E = iωB rArr k times E = ωB (412γʹ)

Εξ 849 845 847 rArr ik times B = micro0ϵ0(minusiω)E rArr k times B = minusmicro0ϵ0ωE(412δʹ)

Από τις Εξ 412αʹ 412βʹ 412γʹ 412δʹ με ένα σύντομο λογικό παιχνίδι προκύπτειη σχέση των κατευθύνσεων των διανυσμάτων E B k συγκεκριμένα προκύπτει ότιτο εξωτερικό γινόμενο του E με το B είναι ομόρροπο του k δηλαδή

E times B uarruarr k (413)

και μάλιστα τα E B k έχουν τη σχέση κατευθύνσεων και καθετοτήτων που αποδί-δεται στο Σχήμα 810 Η σχέση 413 μπορεί να αποδειχθεί και εξειδικευτεί και μεμαθηματικά χρήσει της ταυτότητας

atimes (btimes c) = (a middot c)bminus (a middot b)c (414)

142

Για παράδειγμα ξεκινώντας από την Εξ 412γʹ έχουμε E times (k times E) = ωE times B rArr(E middot E)k minus (E middot k)E = ωE times B αλλά λόγω της Εξ 412αʹ προκύπτει

E times B =|E|2

ωk (415)

Λαμβάνοντας υπ΄ όψιν τις ήδη αποδεδειγμένες καθετότητες των κατευθύνσεων τωνE B k από τις Εξ 412γʹ-412δʹ προκύπτει

|E||B|

= c (416)

Σχήμα 41 E times B uarruarr k

Ας δοκιμάσουμε τώρα στις Εξ 860 και 861 αντί των λύσεων 845 και 847λύσεις της μορϕής

E(r t) = E0ei(kemiddotrminusωet+δe) = E0e

ε⃝ (417)

B(r t) = B0ei(kbmiddotrminusωbt+δb) = B0e

β⃝ (418)

δηλαδή ας θεωρήσουμε ότι τα E(r t) και B(r t) δεν έχουν κατ΄ ανάγ-κην ίσα κυματανύσματα ke και kb κυκλικές συχνότητες ωe και ωb και῾῾ αρχικές ϕάσεις ᾿᾿ δe και δb Τότε

Εξ 844 417 rArr ke middot E = 0 (419αʹ)

Εξ 846 418 rArr kb middot B = 0 (419βʹ)

Εξ 848 417 418 rArr ke times E = ωbB (419γʹ)

Εξ 849 417 418 rArr kb times B = minusmicro0ϵ0ωeE (419δʹ)

143

και δεν προκύπτει κάποια σχέση μεταξύ των δe δb Από την Εξ 419γʹ προκύπτει∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

kex key kez

E0xeε⃝ E0ye

ε⃝ E0zeε⃝

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (ωbB0xeβ⃝ ωbB0ye

β⃝ ωbB0zeβ⃝)rArr

keyE0ze

ε⃝ minuskezE0yeε⃝ = ωbB0xe

β⃝

kezE0xeε⃝ minuskexE0ze

ε⃝ = ωbB0yeβ⃝

kexE0yeε⃝ minuskeyE0xe

ε⃝ = ωbB0zeβ⃝

rArr

keyE0zminuskezE0y

ωbB0x= e β⃝e ε⃝lowast

= ei[(kbminuske)middotrminus(ωbminusωe)t+(δbminusδe)]

kezE0xminuskexE0z

ωbB0y= e β⃝e ε⃝lowast

= το ίδιο

kexE0yminuskeyE0x

ωbB0z= e β⃝e ε⃝lowast

= το ίδιο

σταθερές συναρτήσεις των r t

Αν θεωρήσουμε κάποια συγκεκριμένη χρονική στιγμή t επειδή τα αριστερά μέρη

είναι σταθερά θα πρέπει και τα δεξιά να είναι δηλαδή να μην εξαρτώνται από το rάρα

kb = ke (421)

Αν θεωρήσουμε κάποια συγκεκριμένη θέση r επειδή τα αριστερά μέρη είναι σταθεράθα πρέπει και τα δεξιά να είναι δηλαδή να μην εξαρτώνται από το t άρα

ωb = ωe (422)

Τέλος από τις Εξ 8100-8101 έπεται ότι τα δεξιά μέρη θα ισούνται με ei(δbminusδe) =cos(δbminusδe)+i sin(δbminusδe) Αν τα αριστερά μέρη ήταν πραγματικά τότε sin(δbminusδe) =0rArr δb minus δe = nπ n isin Z οπότε υπάρχει μερική λύση δb = δe Τα E0 B0 όμως είναιεν γένει μιγαδικά άρα καταλήγουμε στις σχέσεις

keyE0zminuskezE0y

ωbB0x= ei(δbminusδe)

kezE0xminuskexE0z

ωbB0y= ei(δbminusδe)

kexE0yminuskeyE0x

ωbB0y= ei(δbminusδe)

(423)

και τίποτε παραπάνω

144

43 Στάσιμο ΗΜ κύμα σε κοιλότητα

Στην Ενότητα αυτό θα κατασκευάσουμε μια έκϕραση της Χαμιλτονιανής του ΗΜπεδίου που να επιτρέπει το μετασχηματισμό της στη γλώσσα του αριθμού των ϕωτο-νίων αντί της γλώσσας που χρησιμοποιεί τα ανυσματικά μεγέθη E B Αυτό θα γίνειστο παράδειγμα του στάσιμου ΗΜ κύματος σε κοιλότηταΠριν από αυτό ας θυμηθούμε ότι για τρέχοντα ΗΜ κύματα με τις προϋποθέσεις

της Ενότητας 42 έχουμε

nabla2E =1

c2part2E

partt2E(r t) = E0e

i(kmiddotrminusωt+δ) (424)

nabla2B =1

c2part2B

partt2B(r t) = B0e

i(kmiddotrminusωt+δ) (425)

και E times B uarruarr k όπως ϕαίνεται στο Σχήμα 42 αριστερά Πρόκειται για κυματικέςεξισώσεις για το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο αντιστοίχως σε 3 διαστάσεις καιτις λύσεις τους

Σχήμα 42 [Αριστερά] Για τρέχοντα ΗΜ κύματα έχουμε E times B uarruarr k [Δεξιά] Υποθέτουμε ότιE times B uarruarr k με τον προσανατολισμό σε άξονες που δείχνει το σχήμα

Αν ο προσανατολισμός σε άξονες είναι αυτός που δείχνει το Σχήμα 42 δεξιάτότε

nabla2Ex =1

c2part2Expartt2

(426)

E(r t) = Ex0ei(kzzminusωt+δ) = Ex(z t) (427)

145

nabla2By =1

c2part2By

partt2(428)

B(r t) = B0yei(kzzminusωt+δ) = By(z t) (429)

οπότεpart2Expartz2

=1

c2part2Expartt2

(430)

part2By

partz2=

1

c2part2By

partt2(431)

Πρόκειται για κυματικές εξισώσεις για το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο αντιστοί-χως σε 1 διάσταση Ας δούμε τώρα αν βγαίνει κάποιο συμπέρασμα από τις εξισώσειςτου Maxwell στο κενό

nabla middot E = 0 (Εξ 844) rArr partExpartx

+70

partEyparty

+0

partEzpartz

= 0rArr partExpartx

+ 0 + 0 = 0rArr

partExpartx

= 0 πράγμα αναμενόμενο (432)

nabla middot B = 0 (Εξ 846) rArr

0

partBx

partx+partBy

party+

0

partBz

partz= 0rArr 0 +

partBy

party+ 0 = 0rArr

partBy

party= 0 πράγμα αναμενόμενο (433)

nabla times E = minuspartBpartt

(Εξ 848)rArr

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

partpartx

partparty

partpartz

Ex 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = minusjpartBy

parttrArr j

partExpartz

= minusj partBy

parttrArr

partExpartz

= minuspartBy

partt (434)

nablatimesB = ϵ0micro0partE

partt(Εξ 849)rArr

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

partpartx

partparty

partpartz

0 By 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =1

c2partExpartt

irArr i(minuspartBy

partz) = i

1

c2partExparttrArr

146

partBy

partz= minus 1

c2partExpartt

(435)

spades Τώρα βάζουμε ιδανικώς αγώγιμα κάτοπτρα στις θέσεις z = 0 και z = L (Σχή-μα 43) Το προσπίπτον σε κάθε κάτοπτρο κύμα θα συμβάλει με το ανακλώμενο άραθα δημιουργηθούν στάσιμα κύματα

Οι Εξ 430 και 434 εξακολουθούν να ισχύουν

Οι Εξ 431 και 435 για το γραμμικό συνδυασμό

των προσπιπτόντων και ανακλωμένων κυμάτων

part2Expartz2

=1

c2part2Expartt2

partExpartz

= minuspartBy

partt

part2By

partz2=

1

c2part2By

partt2partBy

partz= minus 1

c2partExpartt

Σχήμα 43 Στις θέσεις z = 0 και z = L τοποθετούνται επίπεδα ιδανικώς αγώγιμα κάτοπτρα

Αναζητούμε λύση με μέθοδο των χωριζομένων μεταβλητών υποθέτοντας ότι

Ex(z t) = NZ(z)T (t) (436)

Ας θυμηθούμε τις συνοριακές συνθήκες στη διεπιϕάνεια ιδανικού αγωγού - κενούή κατά προσέγγιση αέρα (θυμηθείτε το Σχήμα 116) Η εϕαπτομενική συνιστώσα του

147

Σχήμα 44 Αγώγιμα κάτοπτρα πριν από z = 0 και μετά από z = L

E μηδενίζεται στη διεπιϕάνεια αυτή Επειδή το E έχει μόνο x συνιστώσα (Εξ 427)και τα επίπεδα ιδανικώς αγώγιμα κάτοπτρα τοποθετούνται στις θέσεις z = 0 καιz = L οπότε το E είναι παράλληλο σε αυτά έπεται ότι

Ex(0 t) = 0 = Ex(L t)forallt (437)

Από τις Εξ 430 και 436 έπεται ότι

NT (t)d2Z

dz2=N

1

c2Z(z)

d2T

dt2hArr

hArr 1

Z(z)

d2Z

dz2︸ ︷︷ ︸f(z)

=1

T (t)

1

c2d2T

dt2︸ ︷︷ ︸g(t)︸ ︷︷ ︸

forallz forallt

άρα= σταθερά = minusk2

αρκεί Z(z) = 0 και T (t) = 0 ενώ για Z(z) = 0 και T (t) = 0 ισχύει η τετριμένηλύση ΄Αρα

d2Z

dz2+ k2Z(z) = 0 (438)

καιd2T

dt2+ k2c2T (t) = 0 (439)

148

bull Ας λύσουμε αρχικά την Εξ 438 δοκιμάζοντας λύσεις της μορϕής eλz οπότεπροκύπτει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο

λ2 + k2 = 0rArr λ2 = minusk2 rArr λ = plusmnik πχ ας διαλέξουμε k isin real+

΄Αρα ουσιαστικά η λύση θα είναι της μορϕής

Z(z) = Aeikz +Beminusikz (440)

Z(0) = 0 συνοριακή συνθήκη 1 (441)

Z(L) = 0 συνοριακή συνθήκη 2 (442)

όπου λάβαμε υπ΄ όψιν τις συνοριακές συνθήκες 437 Από τις Εξ 440 και 441συνεπάγεται ότι A+B = 0rArr B = minusA οπότε η Εξ 440 γίνεται

Z(z) = Aeikz minus Aeminusikz = 2iA sin(kz) (443)

και εϕαρμόζοντας την Εξ 442

sin(kL) = 0rArr kL = mπm isin Z (444)

Δεδομένου όμως ότι διαλέξαμε παραπάνω k isin real+ θα πρέπει m isin N και για μημηδενική λύση θα πρέπει m isin N lowast οπότε k isin reallowast

+ Συνοπτικά το k εξαρτάται απόένα ϕυσικό μη μηδενικό δείκτη δηλαδή

km =mπ

Lm isin N lowast (445)

Αρα Zm(z) = 2Ai sin

(mπz

L

)Κι αν απαιτήσουμε οι Zm να είναι ορθοκανονικές

int L

0

dzZlowastm(z)Zl(z) = δml

rArr

rArrint L

0

dz | 2iA |2 sin(mπz

L

)sin

(lπz

L

)= δml rArr

int π

0

L

πdψ | 2iA |2 sin(mψ) sin(lψ) = δml

όπου ορίσαμε ψ = πzL οπότε dψ = π

Ldz Τότε

L

π4 | A |2

int π

0

dψ sin(mψ) sin(lψ) = δml

149

Αλλά int π

0

dψ sin(mψ) sin(lψ) =π

2δml (446)

ενώ ισχύει επίσης int π

0

dψ cos(mψ) cos(lψ) =π

2δml (447)

ΕπομένωςL

π4 | A |2 π

2δml = δml rArr| A |2=

1

2L

Ας διαλέξουμε κάτι βολικό πχ A =1radic2L

(minusi)

Συνεπώς

Zm(z) =

radic2

Lsin

(mπz

L

)(448)

bull Στη συνέχεια ας λύσουμε την Εξ 439 Ας ορίσουμε

ω = kc gt 0 (449)

οπότε ω2 = k2c2 Χρησιμοποιώντας την Εξ 445

ωm =mπc

Lm isin N lowast (450)

Δοκιμάζοντας λύσεις της μορϕής eλt προκύπτει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο

λ2 + ω2m = 0rArr λ = plusmniωm ωm isin reallowast

+ (451)

΄Αρα ουσιαστικά η λύση θα είναι της μορϕής

T (t) = Γeiωmt +∆eminusiωmt (452)

Κι αν θέσουμε την αρχική συνθήκη

T (0) = 0 (453)

προκύπτει Γ +∆ = 0rArr ∆ = minusΓ οπότε

T (t) = Γeiωmt minus Γeminusiωmt = 2iΓ sin(ωmt)rArr (454)

150

Tm(t) = 2iΓ sin

(mπc

Lt

)(455)

Κι αν απαιτήσουμε οι Tm να είναι ορθοκανονικές δηλαδήint κάτι0

dtT lowastm(t)Tl(t) = δml rArr

int κάτι0

dt | 2iΓ |2 sin(mπct

L

)sin

(lπct

L

)= δml rArr

rArr 4 | Γ |2int κάτι0

dt sin

(mπct

L

)sin

(lπct

L

)= δml

Θέτοντας χ = πctL οπότε dχ = πc

Ldt καταλήγουμε στη σχέση

4 | Γ |2 L

πc

int πcLmiddotκάτι

0

dχ sin(mχ) sin(lχ) = δml (456)

΄Αρα έχοντας υπ΄ όψη την Εξ 446 είναι βολικό να θέσουμε πcLmiddot κάτι = π rArr

κάτι =L

c= τ (457)

΄Ετσι ορισμένο το τ είναι ο χρόνος πτήσεως του ϕωτονίου διαμέσου της κοιλότητας(time of photon flight through cavity) άρα δεν ήταν παράλογο που το θέσαμε έτσιΣυνεπώς εν τέλει η ορθοκανονικοποίηση είναιint τ

0

dtT lowastm(t)Tl(t) = δml (458)

Τελικά έχουμε

4 | Γ |2 L

πc

int π

0

dχ sin(mχ) sin(lχ) = δml rArr| Γ |=radic

c

2L

Κι αν διαλέξουμε κάτι βολικό πχ Γ = (minusi)radic

c2L τελικά έχουμε

Tm(t) =

radic2c

Lsin

(mπc

Lt

)(459)

΄Αρα συνοψίζοντας με τη βοήθεια των Εξ 436 448 459 καταλήγουμε στην

Emx (z t) =

2radicc

LN sin

(mπz

L

)sin

(mπct

L

)(460)

151

΄Οσον αϕορά τις μονάδες θα πρέπει [2radicc

LN ] = V

m= N

CrArr

[N ] =Vradicms

(461)

Για να προσδιορίσουμε το μαγνητικό πεδίο θα χρησιμοποιήσουμε την Εξ 435 σεσυνδυασμό με την Εξ 460 οπότε προκύπτει

partBmy

partz= minus 1

c22radicc

LN sin

(mπzL

) mπcL

cos

(mπct

L

)rArr (462)

int zprime

0

dzpartBm

y

partz= minus 2mπradic

cL2N cos

(mπct

L

)int zprime

0

dz sin(mπz

L

)rArr (463)

Bmy (z

prime t)minusBmy (0 t) = minus

2mπradiccL2N cos

(mπct

L

)L

mπ

[minus cos

(mπzL

)]zprime0

rArr (464)

Bmy (z

prime t)minusBmy (0 t) =

2NradiccL

cos

(mπct

L

)[cos

(mπzprime

L

)minus1cos 0

] (465)

΄Αρα ορίζοντας κατάλληλα την τιμή του Bmy (0 t) προκύπτει

Bmy (z t) =

2NradiccL

cos(mπz

L

)cos

(mπct

L

)(466)

Για την πυκνότητα ενέργειας ισχύει

U =ϵ02E2 +

1

2micro0

B2 =ϵ02[E2 + c2B2] (467)

Σημειώνουμε ότι οι μονάδες για την πυκνότητα ενέργειας είναι [U ] = Jm3 Για πα-

ράδειγμα [ ϵ02E2] = F

mV2

m2 = CV2

Vm3 = Jm3 και [ B

2

2micro0] = T2A

Tm= TA

m= N

m2 = Nmm3 = J

m3 πχ λόγω των γνωστών σχέσεωνB = micro0H F = BIl και c2 = 1

ϵ0micro0 ΄Αρα από τις

Εξ 460 466 467 βρίσκουμε την πυκνότητα ενέργειας του m τρόπου

Um =ϵ02

4cN 2

L2

[sin2

(mπzL

)sin2

(mπct

L

)+ cos2

(mπzL

)cos2

(mπct

L

)] (468)

΄Αρα η ενέργεια του m τρόπου η οποία υπολογίζεται ολοκληρώνοντας την πυ-κνότητα ενέργειας του m τρόπου στην κοιλότητα όγκου V = LS

Εm =

intV=LS

d3r Um (469)

152

είναι

Εm =2ϵ0cN 2S

L2

[sin2

(mπct

L

)int L

0

dz sin2(mπz

L

)+ cos2

(mπct

L

)int L

0

dz cos2(mπz

L

)]

Θέτουμε ψ = πzLrArr dψ = π

Ldz άρα με τη βοήθεια των Εξ 446-447 τα ολοκληρώ-

ματα στο z γίνονται Lπ

int π0dψ sin2(mψ) = L

ππ2= L

2και L

π

int π0dψ cos2(mψ) = L

ππ2= L

2

Αντικαθιστούμε στην παραπάνω εξίσωση και τελικά έχοντας ακολουθήσει αυτή τηνκλασική προσέγγιση έχουμε

Εm =ϵ0cN 2S

L

[sin2

(mπct

L

)+ cos2

(mπct

L

)]=ϵ0cN 2S

L(470)

Ας δούμε τώρα λίγο αλλιώτικα την Εm

Εm =ϵ0cN 2S

L3

[L2 sin2

(mπct

L

)+ L2 cos2

(mπct

L

)] (471)

ορίζοντας ῾῾ γενικευμένη θέση και ταχύτητα ᾿᾿ Καλούμε λοιπόν ῾῾ γενικευμένη θέση ᾿᾿

qm(t) = L sin

(mπct

L

)(472)

και ῾῾ γενικευμένη ταχύτητα ᾿᾿

˙qm(t) = mπc cos

(mπct

L

)(473)

ούτως ώστε [qm(t)] = m και [ ˙qm(t)] = ms Τότε η Εξ 471 γράϕεται

Εm =ϵ0cN 2S

L3

[(qm(t))

2 +L2

m2π2c2( ˙qm(t))

2

] (474)

Θα μπορούσαμε εδώ να θεωρήσουμε μια αναλογία της Εξ 474 με Απλό ΑρμονικόΤαλαντωτή (ΑΑΤ) του οποίου η ενέργεια θα ήταν

Ε =K

2x2 +

M

2v2 =

K

2[x2 +

M

Kv2] (475)

Επομένωςϵ0cN 2S

L3=K

2 (476)

153

L2

m2π2c2=M

K (477)

Δηλαδή προκύπτει η ῾῾ σταθερά ελατηρίου ᾿᾿

K =2ϵ0cN 2S

L3 (478)

και η ῾῾ μάζα ᾿᾿ (η οποία σημειωτέο εξαρτάται από το m είναι δηλαδή διαϕορετική γιακάθε τρόπο του ΗΜ πεδίου m)

Mm =2ϵ0N 2S

cLm2π2 (479)

Μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι η Mm έχει διαστάσεις μάζας (θα χρειαστείκαι η Εξ 461) και πως ισχύει K = Mmω

2m ΄Αρα κλασικά υπάρχει μία τυπική

ομοιότητα με ΑΑΤ με κυκλική συχνότητα ωm (Εξ 450) και ῾῾ μάζα ᾿᾿ Mm (Εξ 479)δηλαδή η Εξ 471 ή 474 γράϕεται

Εm =Mmω

2m

2q2m +

Mm

2q2m (480)

Μπορούμε επομένως να πούμε ότι το κβαντικό αντίστοιχο για ένα τρόπο ΗΜπεδίου m δηλαδή η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m θα είναι

HΗΜ m =Mmω

2m

2q2m +

Mm

2˙q2m (481)

με ιδιοτιμές ενέργειας

Emnm = ~ωm(nm +1

2) (482)

όπου ο δείκτης m isin N lowast αϕορά τον τρόπο του ΗΜ πεδίου και ο δείκτης nm isin Nαϕορά τον αριθμό των ϕωτονίων στον τρόπο m Συνεπώς η Χαμιλτονιανή για όλουςτους τρόπους του ΗΜ πεδίου θα είναι

HΗΜ =summ

HΗΜ m (483)

Κατόπιν σημειώνουμε ότι από τις Εξ 460 και 472 συνεπάγεται ότι

Emx (z t) =

2radicc

L2N sin

(mπzL

)qm(t) (484)

154

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Emx (z t) =

2radicc

L2N sin

(mπzL

)qm(t) (485)

Επίσης από τις Εξ 466 και 473 συνεπάγεται ότι

Bmy (z t) =

2NLradicc

1

mπccos(mπz

L

)qm(t) (486)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Bmy (z t) =

2NLradicc

1

mπccos(mπz

L

)ˆqm(t) (487)

Από τις ΄Εξ 484 479 και 450 προκύπτει

Emx (z t) =

(2Mmωm

2

ϵ0V

)12

sin(mπz

L

)qm(t) (488)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Emx (z t) =

(2Mmωm

2

ϵ0V

)12

sin(mπz

L

)qm(t) (489)

Από τις ΄Εξ 486 479 και 450 προκύπτει

Bmy (z t) =

1

c

(2Mm

ϵ0V

)12

cos(mπz

L

)qm(t) (490)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Bmy (z t) =

1

c

(2Mm

ϵ0V

)12

cos(mπz

L

)ˆqm(t) (491)

Τέλος από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει όπως αναμενόταν [Ex

By] = [c]

155

44 Χαμιλτονιανή ΗΜ πεδίου με τελεστέςκαταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίων

Ας μιλήσουμε τώρα για τελεστές καταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίων (photoncreation and annihilation operators) Είναι τώρα εύκολο να κβαντωθεί η Χαμιλτο-νιανή που περιγράϕει το ΗΜ πεδίο αρκεί να εϕαρμοστεί η αντιστοιχία τελεστών

qm = qm (492)

pm = minusi~ part

partqm(493)

Εισάγουμε τους τελεστές

am =1radic

2Mm~ωm(Mmωmqm + ipm) ῾῾ καταστροϕής ᾿᾿ (494)

adaggerm =1radic

2Mm~ωm(Mmωmqm minus ipm) ῾῾ δημιουργίας ᾿᾿ (495)

Ισχύουν οι ιδιότητες[am a

daggerm]︸ ︷︷ ︸

μεταθέτης

= amadaggerm minus adaggermam = 1 (496)

[qm pm]︸ ︷︷ ︸μεταθέτης

= i~ (497)

΄Ετσι οι τελεστές qm pm μπορούν τώρα να γραϕούν

qm =

(~

2Mmωm

)12

(adaggerm + am) (498)

pm = i

(Mm~ωm

2

)12

(adaggerm minus am) (499)

Συνεπώς η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m είναι

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)(4100)

Ας συμβολίσουμε με |nm⟩ την κατάσταση του ΗΜ πεδίου με nm αριθμό ϕωτονίωνστον ΗΜ τρόπο m Λέμε ότι είναι μια ῾῾ κατάσταση ϕωτονικών αριθμών ᾿᾿ Τα |nm⟩αποτελούν ένα πλήρες σύστημα δηλαδή ισχύει ⟨nm|lm⟩ = δnl

156

Οι τελεστές adaggerm και am έχουν τις ιδιότητες

adaggerm |nm⟩ =radicnm + 1 |nm + 1⟩ (4101)

am |nm⟩ =radicnm |nm minus 1⟩ (4102)

am |0⟩ = |0⟩ (4103)

Από τις Εξ 4101 και 4102 προκύπτει

adaggermam |nm⟩ = nm |nm⟩ (4104)

δηλαδή ο τελεστής Nm = adaggermam μετρά τον αριθμό των ϕωτονίων του ΗΜ τρόπου mοπότε μπορεί να αποκληθεί τελεστής του αριθμού των ϕωτονίων στον ΗΜ τρόπο mΑκόμα επαγωγικά προκύπτει

|nm⟩ =1radicnm

(adaggerm)nm |0⟩ (4105)

Λόγω των Εξ 4100 και 4104 προκύπτει

HΗΜ m |nm⟩ = ~ωm(nm +1

2) |nm⟩ (4106)

δηλαδή η Χαμιλτονιανή HΗΜ m δίνει ιδιοτιμές ενέργειας

Emnm = ~ωm(nm +1

2) (4107)

Η θεμελιώδης κατάσταση του ΑΑΤ |0⟩ με ιδιοενέργεια 12~ωm αντιστοιχεί στο κενό

δηλαδή χωρίς σωμάτιο η 1η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |1⟩ με ιδιοενέργεια 32~ωm

αντιστοιχεί σε ένα σωμάτιο η 2η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |2⟩ με ιδιοενέργεια52~ωm αντιστοιχεί σε δύο σωμάτια κοκ Αυτά τα σωμάτια εν προκειμένω τα λέμεϕωτόνια Δημιουργούνται και καταστρέϕονται με τους τελεστές αναβιβάσεως καικαταβιβάσεως ξεκινώντας από ένα επίπεδο αναϕοράς που εδώ είναι το κενό Υπακού-ουν στις μποζονικές σχέσεις μεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράστασηείναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση (second quantization)Η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)= ~ωm

(Nm +

1

2

) (4108)

157

αγνοώντας τον όρο ~ωm

2 μπορεί να γραϕτεί

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm (4109)

Μπορούμε να έχουμε οσαδήποτε ϕωτόνια στην ενεργειακή κατάσταση ~ωm διότι εί-ναι μποζόνια Ο adaggerm είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζειτην ενέργεια δημιουργώντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωm εξ ού και η ονομασία τελε-στής δημιουργίας (creation operator) Ο am είναι τελεστής καταβιβάσεως (loweringoperator) διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωmεξ ού και η ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator)

Σχήμα 45 Σωμάτια (εδώ ϕωτόνια απεικονίζονται με πράσινες βούλες) δημιουργούνται και κατα-στρέϕονται μέσω των τελεστών αναβιβάσεως και καταβιβάσεως Υπακούουν στις μποζονικές σχέσειςμεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράσταση είναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση(second quantization) Ο αριθμός των ϕωτονίων είναι ίσος με τον αριθμό των κόμβων της ιδιοσυ-ναρτήσεως

Τέλος ας σημειώσουμε ότι από τις Εξ 489 και 498 προκύπτει

Emx (z t) =

(~ωmϵ0V

)12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4110)

ενώ από τις Εξ 491 και 499 προκύπτει

Bmy (z t) =

i

c

(~ωmϵ0V

)12

cos(mπz

L

)(adaggerm minus am) (4111)

158

45 Χαμιλτονιανή δισταθμικού συστήματοςμε σπίνορες

Θα περιγράψουμε την αναβίβαση και την καταβίβαση ενός ηλεκτρονίου μεταξύ τωνενεργειακών σταθμών ενός δισταθμικού συστήματος πχ ενός ατόμου με τη βοήθειασπινόρων (spinors) Σπίνορας είναι ένα διάνυσμα - στήλη με δύο συνιστώσες Αςαρχίσουμε με ορισμούς (πχ [62])

| ⟩ =

=

0

0

=| 0⟩ |darr⟩ =

bull

=

0

1

=| 1⟩ |uarr⟩ =

bull

=

1

0

=| 2⟩

(4112)Το πρώτο παριστά το άδειο δισταθμικό σύστημα το δεύτερο δηλώνει το δισταθμικόσύστημα με το ηλεκτρόνιο στην κάτω στάθμη όπου έχει ενέργεια E1 και το τρίτο δη-λώνει το δισταθμικό σύστημα με το ηλεκτρόνιο στην άνω στάθμη όπου έχει ενέργειαE2 Ας ορίσουμε τώρα τους τελεστές

S+ =

0 1

0 0

Sminus =

0 0

1 0

(4113)

για τους οποίους μάλιστα ισχύει Sdagger+ =

0 1

0 0

dagger

=

0 0

1 0

= Sminus Ας δούμε ποιό

είναι το αποτέλεσμα της δράσεώς τους στους σπίνορες που ορίσαμε μόλις προ ολίγου

S+ | 0⟩ =

0 1

0 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

S+ |darr⟩ =

0 1

0 0

0

1

=

1

0

=|uarr⟩ το ανεβάζει

S+ |uarr⟩ =

0 1

0 0

1

0

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

(4114)

159

Sminus | 0⟩ =

0 0

1 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

Sminus |darr⟩ =

0 0

1 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

Sminus |uarr⟩ =

0 0

1 0

1

0

=

0

1

=|darr⟩ το κατεβάζει

(4115)

΄Ετσι ο S+ ονομάζεται τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ενώ ο Sminus ονομάζε-ται τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) του ηλεκτρονίου Ας δούμε μερικέςακόμα ιδιότητες

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

= σx (4116)

που είναι ένας από τους πίνακες Pauli που παρατίθονται λίγο παρακάτω (Εξ 4133)Ακόμα

S+Sminus =

0 1

0 0

0 0

1 0

=

1 0

0 0

(4117)

SminusS+ =

0 0

1 0

0 1

0 0

=

0 0

0 1

(4118)

΄Αρα από τις Εξ 4117-4118 συνεπάγεται ότι

S+Sminus + SminusS+ =

1 0

0 1

= I (4119)

που είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας Μπορούμε να το γράψουμε και στη μορϕή

S+ Sminus = I (4120)

160

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4121)

ενώ [AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4122)

΄Οταν AB = 0 rArr AB + BA = 0 rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται ενώ όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οιποσότητες μετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση των ονομασίων ΄Οπωςθα δούμε παρακάτω η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσειςαντιμεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ηλεκτρόνια που είναι ϕερμιόνια ενώ ο με-ταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσεις μεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ϕωτόνιαπου είναι μποζόνια Συχνά στα ελληνικά συγγράμματα της δευτεροβάθμιας εκπαί-δευσης πολύ κακώς εδώ και δεκαετίες ονομάζεται ῾῾ αντιμεταθετική ᾿᾿ η μεταθετική(commutative) ιδιότητα χαθήκαμε δηλαδή στη μετάϕρασηΗ Χαμιλτονιανή του Δισταθμικού Συστήματος HΔΣ είναι η

E2S+Sminus + E1SminusS+ = E2

1 0

0 0

+ E1

0 0

0 1

=

E2 0

0 E1

(4123)

αϕού E2 0

0 E1

1

0

=

E2

0

= E2

1

0

(4124)

E2 0

0 E1

0

1

=

0

E1

= E1

0

1

(4125)

΄Αρα συνοπτικά δείξαμε ότι

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+ (4126)

Αν τώρα θέσουμε E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) οπότε

HΔΣ = ~ΩS+Sminus (4127)

161

Ο τελεστής S+Sminus μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη αϕού

S+Sminus | 1⟩ =

1 0

0 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ rArr S+Sminus | 1⟩ = 0 | 1⟩ (4128)

S+Sminus | 2⟩ =

1 0

0 0

1

0

=

1

0

=| 2⟩ rArr S+Sminus | 2⟩ = 1 | 2⟩ (4129)

Ο τελεστής SminusS+ μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην κάτω στάθμη αϕού

SminusS+ | 1⟩ =

0 0

0 1

0

1

=

0

1

=| 1⟩ rArr SminusS+ | 1⟩ = 1 | 1⟩ (4130)

SminusS+ | 2⟩ =

0 0

0 1

1

0

=

0

0

=| 0⟩ rArr SminusS+ | 2⟩ = 0 | 2⟩ (4131)

Παρατήρηση Συνοπτικά για τους τελεστές S+ και Sminus μπορούμε να αποδείξουμεότι (S+)

dagger = Sminus αλλά και ότι

S+ Sdagger+ = S+ Sminus = S+Sminus + SminusS+ = I

Sminus Sdaggerminus = Sminus S+ = SminusS+ + S+Sminus = I

S+ S+ = Sdaggerminus S

daggerminus = S+S+ + S+S+ = 0

Sminus Sminus = Sdagger+ S

dagger+ = SminusSminus + SminusSminus = 0

(4132)

όπου I είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας 2 times 2 και 0 είναι ο μηδενικός πίνακας2times2 Οι Εξ 4132 δείχνουν ότι οι τελεστές S+ και Sminus υπακούουν στις σχέσεις αντι-μεταθέσεως ϕερμιονίων που αναϕέρουμε στην Υποενότητα 462 της Ενότητας 46Ο S+ είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζει την ενέργειαδημιουργώντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού και η ονομασία τελεστής δημιουρ-γίας (creation operator) Ο Sminus είναι τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator)διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού καιη ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Μπορούμε να έχουμεμόνο ένα ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω διότι τα ηλεκτρόνια είναι ϕερμιόνια

162

Ας θυμηθούμε τώρα τους πίνακες Pauli σx σy σz και ας δούμε τη σχέση τους μετους τελεστές αναβιβάσεως και καταβιβάσεως ηλεκτρονίων S+ και Sminus αντιστοίχως

σx =

0 1

1 0

(4133)

σy =

0 minusi

i 0

(4134)

σz =

1 0

0 minus1

(4135)

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι ισχύει η ιδιότητα

[σx σy] = 2iσz (4136)

καθώς και οι κυκλικές εναλλαγές της Επίσης

σ2x = σ2

y = σ2z =

1 0

0 1

= I (4137)

και

σx σy = σxσy + σyσx = 0 (4138)

σy σz = σyσz + σzσy = 0

σz σx = σzσx + σxσz = 0

δηλαδή οι πίνακες Pauli αντιμετατίθονται Επί παραδείγματι

σx σy = σxσy + σyσx =0 1

1 0

0 minusi

i 0

+

0 minusi

i 0

0 1

1 0

=

i 0

0 minusi

+

minusi 0

0 i

=

0 0

0 0

= 0

Ακόμα μπορούμε να αποδείξουμε ότι

S+ + Sminus = σx

S+ minus Sminus = iσy

163

46 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων καισχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων

461 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων πχ ϕωτονίων

Ας ονομαστεί am ο τελεστής καταστροϕής μποζονίων και adaggerm ο τελεστήςδημιουργίας μποζονίων στην κατάσταση m Για τα μποζόνια ισχύουν οι σχέσειςμεταθέσεως (commutation relations)

[am aℓ] = 0

[adaggerm adaggerℓ] = 0

(4139)

[AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4140)

οπότε όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οι ποσότητεςμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας

462 Σχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων πχ ηλε-κτρονίων

Ας ονομαστεί ai ο τελεστής καταστροϕής ϕερμιονίων και adaggeri ο τελεστής δη-μιουργίας ϕερμιονίων στην κατάσταση i Για τα ϕερμιόνια ισχύουν οι σχέσεις αντι-μεταθέσεως (anticommutation relations)

ai adaggerj = δij

ai aj = 0

adaggeri adaggerj = 0

(4141)

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4142)

οπότε όταν AB = 0rArr AB+BA = 0rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας Αν εϕαρμόσουμετη σχέση adaggeri a

daggerj = 0 για την ίδια κατάσταση πχ i = j = r έχουμε adaggerr adaggerr =

0 rArr adaggerradaggerr = 0 που σημαίνει ότι

δεν μπορούμε να βάλουμε δύο ϕερμιόνια στην ίδια

κατάσταση πράγμα που είναι η απαγορευτική αρχή Pauli

164

47 Τελεστές κλίμακας (Ladder operators) [63]

Στη γραμμική άλγεβρα καθώς και στις εϕαρμογές της στην κβαντική μηχανική ορί-ζεται ο τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ο οποίος αυξάνει την ιδιοτιμή ενόςάλλου τελεστή και ο τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) ο οποίος μειώνειτην ιδιοτιμή ενός άλλου τελεστή Αυτοί συλλογικά ονομάζονται τελεστές κλίμα-κας (ladder operators) Στην κβαντομηχανική ο τελεστής αναβιβάσεως καλείταισυχνά τελεστής δημιουργίας (creation operator) και ο τελεστής καταβιβάσεως κα-λείται συχνά τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Γνωστές εϕαρμογέςτων τελεστών κλίμακας είναι στον απλό αρμονικό ταλαντωτή και στη στροϕορμήΣε πολλές περιοχές της ϕυσικής και της χημείας η χρήση αυτών των τελεστών αντίκυματοσυναρτήσεων είναι γνωστή ως δεύτερη κβάντωση (second quantization) [64]

165

48 Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεωςδισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου

΄Εστω δύο αντίθετα ηλεκτρικά ϕορτία q gt 0 και minusq lt 0 στα σημεία Θ και Α

αντιστοίχως Αν d =minusrarrΑΘ είναι το διάνυσμα θέσεως του θετικού ϕορτίου ως προς το

αρνητικό τότε η ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) ορίζεταιως

P = qd (4143)

πχ για το άτομο του υδρογόνου αν το Π παριστάνει τον πυρήνα και το Η παριστάνει

το ηλεκτρόνιο και ως συνήθως ορίσουμε r =minusrarrΠΗ τότε P = qd = e(minusr)rArr

P = minuser (4144)

Αυτό αποδίδεται άνω τμήμα του Σχήματος 46 Η δυναμική ενέργεια (potential

Σχήμα 46 ΄Ανω Ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) Κάτω (Ηλεκτρική) διπολικήροπή μεταβάσεως (transition (electric) dipole moment)

energy) UE του ηλεκτρικού διπόλου εντός ηλεκτρικού πεδίου E είναι

UE = minusP middot E (4145)

166

Ανάλογος με τον παραπάνω ορισμό μπορεί να δοθεί και για την περίπτωση της με-ταβάσεως ενός τμήματος του ηλεκτρονιακού νέϕους από μία αρχική σε μια τελική πε-ριοχή ΄Ετσι ορίζεται η (ηλεκτρική) διπολική ροπή μεταβάσεως [transition(electric) dipole moment] 1 Αυτό αποδίδεται στο κάτω τμήμα το Σχήματος 46Αν το ϕορτίο που μεταϕέρεται είναι minuse πάλι p = qd = e(minusr)rArr p = minuser Δηλαδήεννοείται ότι για την περιοχή 2 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμεί με μετά-βαση ϕορτίου minuse ενώ για την περιοχή 1 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμείμε μετάβαση ϕορτίου +eΟ τελεστής (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως [transition

(electric) dipole moment operator] σημειώνεται εναλλακτικά με ˆd ή ˆp Στη βάση τωνιδιοκαταστάσεων της ενέργειας του αδιατάρακτου ατόμου ή συστήματος ορίζεται ως

ˆd = ˆp =

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | (4146)

με τους επίσης εναλλακτικούς συμβολισμούς

dij = pij = minuse⟨Φi | ˆr | Φj⟩ (4147)

για το στοιχείο πίνακα της (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως μεταξύ των κα-ταστάσεων | Φi⟩ και | Φj⟩ Υπενθυμίζεται ότι ο τελεστής θέσεως (position operator)ˆr είναι τέτοιος ώστε

ˆr | r⟩ = r | r⟩ (4148)

Υπενθυμίζεται για τον συμβολισμό Dirac ότι

| A⟩ =

α1

α2

hArr ⟨A |= (αlowast1 αlowast

2) (4149)

Υπενθυμίζεται ακόμα ότι

⟨Φi | ˆr | Φj⟩ =sum

|rprime⟩|rprimeprime⟩

⟨Φi | rprime⟩⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩⟨rprimeprime | Φj⟩ =sum|rprime⟩

⟨Φi | rprime⟩ rprime ⟨rprime | Φj⟩

=sum|r⟩

⟨Φi | r⟩ r ⟨r | Φj⟩ =intdV Φi(r)

lowastrΦj(r)

1Η λέξη ῾῾ ηλεκτρική ᾿᾿ είναι εντός παρενθέσεως επειδή συνήθως επειδή εννοείται παραλείπεται

167

διότι⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩ = rprimeprime⟨rprime|rprimeprime⟩ = rprimeprimeδrprimerprimeprime (4150)

΄Αρα

d11 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ1(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4151)

d12 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ2(r) = 0 (4152)

d21 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ1(r) = 0 (4153)

d22 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ2(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4154)

Δηλαδή ενώ τα διαγώνια στοιχεία μηδενίζονται τα d12 και d21 δεν είναι (῾῾ εκ ταυτό-τητος ᾿᾿) μηδέν Ας δούμε τώρα ποιος είναι ο ˆp σε δισταθμικό σύστημα

ˆp = d11 | Φ1⟩⟨Φ1 | + d12 | Φ1⟩⟨Φ2 | + d21 | Φ2⟩⟨Φ1 | + d22 | Φ2⟩⟨Φ2 |

= d11

0

1

(0 1)+ d12

0

1

(1 0)+ d21

1

0

(0 1)+ d22

1

0

(1 0)

= 0 ⋆

d11︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

0 0

0 1

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

+ d12︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 0

1 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ d21︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 1

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ 0 ⋆

d22︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

1 0

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

Από τις Εξ (4152)-(4153) συμπεραίνουμε ότι d12 = d21 με την προϋπόθεση ότι οιΦi(r) είναι πραγματικές οπότε

ˆp = d12

0 1

1 0

(4155)

168

Ερώτηση Και τι κάνει ο τελεστής

0 1

1 0

Απάντηση0 1

1 0

0

1

=

1

0

0 1

1 0

1

0

=

0

1

Δηλαδή μεταϕέρει από τη μία ενεργειακή στάθμη στην άλλη όπως θα έπρεπε

Τώρα μπορεί να οριστεί ο τελεστής δυναμικής ενέργειας (potential e-nergy operator) Θεωρούμε ότι η αλληλεπίδραση δισταθμικού συστήματος - ΗΜπεδίου έχει τη μορϕή μηχανισμού ηλεκτρικού διπόλου Αγνοούμε άλλης μορϕής αλ-ληλεπιδράσεις όπως πχ ηλεκτρικού τετραπόλου ή μαγνητικού διπόλου Αϕού

UE = minusP middot E rArr

UmE = minusP middot Em (4156)

όπου ο δείκτης m δηλώνει τον m τρόπο του ΗΜ πεδίου ο αντίστοιχος τελεστήςμπορεί να οριστεί ως

UmE = minus ˆp middot ˆEm (4157)

Επομένως

UmE = minus

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | middotEmx (z t)i

i είναι το μοναδιαίο άνυσμα του άξονα x αϕού έχουμε υποθέσει αυτόν τον προσανα-τολισμό για το ηλεκτρικό πεδίο (δείτε Σχήμα 42) ΄Η λόγω της Εξ 4155

UmE = minusd12

0 1

1 0

middot Emx (z t)i (4158)

Αλλά

d12 middot i = minuseintdV Φ1(r)

lowast(r middot i)Φ2(r) = minusex12 = Px12 = P (4159)

169

Συνεπώς

UmE = ex12

0 1

1 0

Emx (z t) (4160)

Υπενθυμίζονται οι Εξ 4110 και 4111

Emx (z t) =

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4161)

Bmy (z t) =

(~ωmε0V

) 12 1

ccos(mπz

L

)i(adaggerm minus am) (4162)

από τις οποίες όμως στα πλαίσια των υποθέσεών μας χρειαζόμαστε τώρα μόνον τηνπρώτη Επίσης υπενθυμίζεται ότι

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

(4163)

΄Αρα εν τέλει

UmE = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4164)

Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε

~gm = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(4165)

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4166)

Αυτή είναι λοιπόν η Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συ-στήματος - ΗΜ πεδίου για τον ΗΜ τρόπο m Εάν βρισκόμαστε σταπλαίσια της ατομικής ϕυσικής τότε συμβολίζεται και Hm

AF όπου οι δείκτες σημαίνουνAtom-FieldΑπό την Εξ 4165 προκύπτει

~|gm| = |P |∣∣∣∣ (~ωm

ε0V

) 12

sin(mπz

L

) ∣∣∣∣ = |P| Em0 (4167)

170

όπου όμως το ῾῾ πλάτος ᾿᾿ Em0 εξαρτάται από τη θέση z του ατόμου στην κοιλότητα

είναι δηλαδή Em0 = Em

0 (z) Η |gm| (ή οποία συμβολίζεται και με ΩmR ) είναι η λεγόμενη

συχνότητα Rabi Εάν εννοείται σε ποιον ΗΜ τρόπο m αναϕερόμαστε μπορούμε ναχρησιμοποιήσουμε σκέτο το |g| ή το ΩR ΄Αρα

|gm| ή ΩmR =

|P|Em0

~(4168)

Για να μη γράϕουμε απόλυτα μπορούμε σε κάθε θέση να διαλέγουμε τη ϕάση τωνκυματοσυναρτήσεων τέτοια ώστε το g να είναι θετικό και πραγματικό [65] Συνοπτικά

gm ή ΩmR =

|P|Em0

~(4169)

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Τώρα συμπληρώνεται η εικόνα με την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπί-δραση ενός ΗΜ τρόπου m με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4170)

΄Αρα η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4171)

Επομένως οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩ (4172)

|darr nm⟩ (4173)

171

Ας δούμε λίγο προσεκτικότερα τη Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικούσυστήματος - ΗΜ πεδίου (Εξ 4166) Για έναν μοναδικό τρόπο m η Χαμιλτονιανήαυτή αναλυεται σε τέσσερις όρους

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) =

= ~gmS+adaggerm︸ ︷︷ ︸

1ος

+ S+am︸ ︷︷ ︸2ος

+ Sminusadaggerm︸ ︷︷ ︸

3ος

+ Sminusam︸ ︷︷ ︸4ος

bull 1ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E gt 0 Επόμένως αυτός ο όρος μόνος τουδεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

bull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻︸ ︷︷ ︸

μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολ-λοί τρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτο-νιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται απόάθροισμα όρων όπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημανα απορροϕήσει ένα ϕωτόνιο υψηλής συχνότητας και να ανεβεί ενώ παράλληλαδημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο χαμηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi www≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

simsim≻ ff lt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 2ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο Αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

172

bull 3ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιοΚαι αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικάbull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 4ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο ΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E lt 0 Επόμένως και αυτός ο όροςμόνος του δεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολλοίτρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτονιανή αλλη-λεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται από άθροισμα όρωνόπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημα να απορροϕήσει έναϕωτόνιο χαμηλής συχνότητας και να κατεβεί ενώ παράλληλα δημιουργείται εκπέμ-πεται ϕωτόνιο υψηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

www≻ ff gt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

Αν αγνοήσουμε τον 1ο και 4ο όρο που ο καθένας μόνος του δεν διατηρεί τηνενέργεια τότε

UmE = ~gm

(S+am + Sminusa

daggerm

) (4174)

Η προσέγγιση είναι κατά κάποιο τρόπο ανάλογη της RWA (Rotating Wave Approxi-mation) του Κεϕαλαίου 3 Εκεί στις εξισώσεις Rabi κρατήσαμε μόνο τους αργούςόρους όπου ΗΜ πεδίο και το δισταθμικό σύστημα βρίσκονται σε περίπου συντονισμό

173

δηλαδή Ω ≃ ω Τότε κρατήσαμε τους αργούς όρους eplusmni(Ωminusω)t και αγνοήσαμε τουςγρήγορους όρους eplusmni(Ω+ω)tΣυνοπτικά ενώ για την ολική Χαμιλτονιανή ενός τρόπου m έχουμε την λεγόμενη

Χαμιλτονιανή Rabi

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4175)

κατά την παραπάνω συζήτηση αγνοούμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενουςcounter-rotating terms

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4176)

οπότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66]

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4177)

Στην ΄Ασκηση 1 (παραλείποντας τον δείκτη του ΗΜ τρόπου m απλότητα) βρί-σκουμε (Α) τι κάνουν οι όροι adaggera aadagger S+Sminus SminusS+ S+a

dagger S+a Sminusadagger Sminusa στις κα-

ταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩ και (Β) υπολογίζουμε τα ⟨adaggera⟩ ⟨aadagger⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨SminusS+⟩⟨S+a

dagger⟩ ⟨S+a⟩ ⟨Sminusadagger⟩ ⟨Sminusa⟩ για τις καταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩

174

49 Σύνοψη Χαμιλτονιανών

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Ακόμα είδαμε την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπίδραση ενός ΗΜ τρόπουm με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

Οπότε η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί (Εξ 4171)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

και οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩|darr nm⟩

Ακόμα αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενους counter-rotatingterms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam)

τότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66] (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm)

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

140

προκύπτει

|k| = k =ω

c (47)

Ομοίως από τις Εξ 42 προκύπτει

nabla2B = ϵ0micro0part2B

partt2(48)

Δοκιμάζοντας στην Εξ 861 λύσεις της μορϕής

B(r t) = B0ei(kmiddotrminusωt+δprime) (49)

προκύπτει πάλι η εξίσωση Εξ 880 Επειδή ω = 2πν c = λν από την Εξ 880προκύπτει k = 2π

λ Σημειωτέον ότι δεδομένου ότι παραγωγίζουμε ως προς x y z t

οι ῾῾ αρχικές ϕάσεις ᾿᾿ δ δprime παραμένουν αυθαίρετες δηλαδή δεν προσδιορίζονται απότις έως τώρα πράξεις

Για τις λύσεις 845 και 847 μετά από πράξεις διαπιστώνουμε ότι ο τελεστής nablaμπορεί να αντικατασταθεί με ik σχηματικά

nabla rarr ik (410)

Διότι αν θεωρήσουμε πεδίο της μορϕής

∆ = ∆0 ei(kmiddotrminusωt+δ) = (∆0x∆0y∆0z) e

δ⃝ (411)

τότε

nabla middot ∆ = (part

partxpart

partypart

partz) middot (∆x∆y∆z) =

part∆x

partx+part∆y

party+part∆z

partz=

∆0x eδ⃝ikx +∆0y e

δ⃝iky +∆0z eδ⃝ikz = i(kx ky kz) middot (∆0x∆0y∆0z) e

δ⃝ = ik middot ∆

141

αλλά και

nabla times ∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

partpartx

partparty

partpartz

∆0xeδ⃝ ∆0ye

δ⃝ ∆0zeδ⃝

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= i

(part∆0ze

δ⃝

partyminus part∆0ye

δ⃝

partz

)minus j(part∆0ze

δ⃝

partxminus part∆0xe

δ⃝

partz

)+ k

(part∆0xe

δ⃝

partyminus part∆0ye

δ⃝

partx

)= i

(iky∆z minus ikz∆y

)minus j(ikx∆z minus ikz∆x

)+ k

(iky∆x minus ikx∆y

)

= i

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

kx ky kz

∆x ∆y ∆z

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = ik times ∆

Συνεπώς

Εξ 844 845 rArr ik middot E = 0rArr k middot E = 0 (412αʹ)

Εξ 846 847 rArr ik middot B = 0rArr k middot B = 0 (412βʹ)

Εξ 848 845 847 rArr ik times E = iωB rArr k times E = ωB (412γʹ)

Εξ 849 845 847 rArr ik times B = micro0ϵ0(minusiω)E rArr k times B = minusmicro0ϵ0ωE(412δʹ)

Από τις Εξ 412αʹ 412βʹ 412γʹ 412δʹ με ένα σύντομο λογικό παιχνίδι προκύπτειη σχέση των κατευθύνσεων των διανυσμάτων E B k συγκεκριμένα προκύπτει ότιτο εξωτερικό γινόμενο του E με το B είναι ομόρροπο του k δηλαδή

E times B uarruarr k (413)

και μάλιστα τα E B k έχουν τη σχέση κατευθύνσεων και καθετοτήτων που αποδί-δεται στο Σχήμα 810 Η σχέση 413 μπορεί να αποδειχθεί και εξειδικευτεί και μεμαθηματικά χρήσει της ταυτότητας

atimes (btimes c) = (a middot c)bminus (a middot b)c (414)

142

Για παράδειγμα ξεκινώντας από την Εξ 412γʹ έχουμε E times (k times E) = ωE times B rArr(E middot E)k minus (E middot k)E = ωE times B αλλά λόγω της Εξ 412αʹ προκύπτει

E times B =|E|2

ωk (415)

Λαμβάνοντας υπ΄ όψιν τις ήδη αποδεδειγμένες καθετότητες των κατευθύνσεων τωνE B k από τις Εξ 412γʹ-412δʹ προκύπτει

|E||B|

= c (416)

Σχήμα 41 E times B uarruarr k

Ας δοκιμάσουμε τώρα στις Εξ 860 και 861 αντί των λύσεων 845 και 847λύσεις της μορϕής

E(r t) = E0ei(kemiddotrminusωet+δe) = E0e

ε⃝ (417)

B(r t) = B0ei(kbmiddotrminusωbt+δb) = B0e

β⃝ (418)

δηλαδή ας θεωρήσουμε ότι τα E(r t) και B(r t) δεν έχουν κατ΄ ανάγ-κην ίσα κυματανύσματα ke και kb κυκλικές συχνότητες ωe και ωb και῾῾ αρχικές ϕάσεις ᾿᾿ δe και δb Τότε

Εξ 844 417 rArr ke middot E = 0 (419αʹ)

Εξ 846 418 rArr kb middot B = 0 (419βʹ)

Εξ 848 417 418 rArr ke times E = ωbB (419γʹ)

Εξ 849 417 418 rArr kb times B = minusmicro0ϵ0ωeE (419δʹ)

143

και δεν προκύπτει κάποια σχέση μεταξύ των δe δb Από την Εξ 419γʹ προκύπτει∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

kex key kez

E0xeε⃝ E0ye

ε⃝ E0zeε⃝

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (ωbB0xeβ⃝ ωbB0ye

β⃝ ωbB0zeβ⃝)rArr

keyE0ze

ε⃝ minuskezE0yeε⃝ = ωbB0xe

β⃝

kezE0xeε⃝ minuskexE0ze

ε⃝ = ωbB0yeβ⃝

kexE0yeε⃝ minuskeyE0xe

ε⃝ = ωbB0zeβ⃝

rArr

keyE0zminuskezE0y

ωbB0x= e β⃝e ε⃝lowast

= ei[(kbminuske)middotrminus(ωbminusωe)t+(δbminusδe)]

kezE0xminuskexE0z

ωbB0y= e β⃝e ε⃝lowast

= το ίδιο

kexE0yminuskeyE0x

ωbB0z= e β⃝e ε⃝lowast

= το ίδιο

σταθερές συναρτήσεις των r t

Αν θεωρήσουμε κάποια συγκεκριμένη χρονική στιγμή t επειδή τα αριστερά μέρη

είναι σταθερά θα πρέπει και τα δεξιά να είναι δηλαδή να μην εξαρτώνται από το rάρα

kb = ke (421)

Αν θεωρήσουμε κάποια συγκεκριμένη θέση r επειδή τα αριστερά μέρη είναι σταθεράθα πρέπει και τα δεξιά να είναι δηλαδή να μην εξαρτώνται από το t άρα

ωb = ωe (422)

Τέλος από τις Εξ 8100-8101 έπεται ότι τα δεξιά μέρη θα ισούνται με ei(δbminusδe) =cos(δbminusδe)+i sin(δbminusδe) Αν τα αριστερά μέρη ήταν πραγματικά τότε sin(δbminusδe) =0rArr δb minus δe = nπ n isin Z οπότε υπάρχει μερική λύση δb = δe Τα E0 B0 όμως είναιεν γένει μιγαδικά άρα καταλήγουμε στις σχέσεις

keyE0zminuskezE0y

ωbB0x= ei(δbminusδe)

kezE0xminuskexE0z

ωbB0y= ei(δbminusδe)

kexE0yminuskeyE0x

ωbB0y= ei(δbminusδe)

(423)

και τίποτε παραπάνω

144

43 Στάσιμο ΗΜ κύμα σε κοιλότητα

Στην Ενότητα αυτό θα κατασκευάσουμε μια έκϕραση της Χαμιλτονιανής του ΗΜπεδίου που να επιτρέπει το μετασχηματισμό της στη γλώσσα του αριθμού των ϕωτο-νίων αντί της γλώσσας που χρησιμοποιεί τα ανυσματικά μεγέθη E B Αυτό θα γίνειστο παράδειγμα του στάσιμου ΗΜ κύματος σε κοιλότηταΠριν από αυτό ας θυμηθούμε ότι για τρέχοντα ΗΜ κύματα με τις προϋποθέσεις

της Ενότητας 42 έχουμε

nabla2E =1

c2part2E

partt2E(r t) = E0e

i(kmiddotrminusωt+δ) (424)

nabla2B =1

c2part2B

partt2B(r t) = B0e

i(kmiddotrminusωt+δ) (425)

και E times B uarruarr k όπως ϕαίνεται στο Σχήμα 42 αριστερά Πρόκειται για κυματικέςεξισώσεις για το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο αντιστοίχως σε 3 διαστάσεις καιτις λύσεις τους

Σχήμα 42 [Αριστερά] Για τρέχοντα ΗΜ κύματα έχουμε E times B uarruarr k [Δεξιά] Υποθέτουμε ότιE times B uarruarr k με τον προσανατολισμό σε άξονες που δείχνει το σχήμα

Αν ο προσανατολισμός σε άξονες είναι αυτός που δείχνει το Σχήμα 42 δεξιάτότε

nabla2Ex =1

c2part2Expartt2

(426)

E(r t) = Ex0ei(kzzminusωt+δ) = Ex(z t) (427)

145

nabla2By =1

c2part2By

partt2(428)

B(r t) = B0yei(kzzminusωt+δ) = By(z t) (429)

οπότεpart2Expartz2

=1

c2part2Expartt2

(430)

part2By

partz2=

1

c2part2By

partt2(431)

Πρόκειται για κυματικές εξισώσεις για το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο αντιστοί-χως σε 1 διάσταση Ας δούμε τώρα αν βγαίνει κάποιο συμπέρασμα από τις εξισώσειςτου Maxwell στο κενό

nabla middot E = 0 (Εξ 844) rArr partExpartx

+70

partEyparty

+0

partEzpartz

= 0rArr partExpartx

+ 0 + 0 = 0rArr

partExpartx

= 0 πράγμα αναμενόμενο (432)

nabla middot B = 0 (Εξ 846) rArr

0

partBx

partx+partBy

party+

0

partBz

partz= 0rArr 0 +

partBy

party+ 0 = 0rArr

partBy

party= 0 πράγμα αναμενόμενο (433)

nabla times E = minuspartBpartt

(Εξ 848)rArr

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

partpartx

partparty

partpartz

Ex 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = minusjpartBy

parttrArr j

partExpartz

= minusj partBy

parttrArr

partExpartz

= minuspartBy

partt (434)

nablatimesB = ϵ0micro0partE

partt(Εξ 849)rArr

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

partpartx

partparty

partpartz

0 By 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =1

c2partExpartt

irArr i(minuspartBy

partz) = i

1

c2partExparttrArr

146

partBy

partz= minus 1

c2partExpartt

(435)

spades Τώρα βάζουμε ιδανικώς αγώγιμα κάτοπτρα στις θέσεις z = 0 και z = L (Σχή-μα 43) Το προσπίπτον σε κάθε κάτοπτρο κύμα θα συμβάλει με το ανακλώμενο άραθα δημιουργηθούν στάσιμα κύματα

Οι Εξ 430 και 434 εξακολουθούν να ισχύουν

Οι Εξ 431 και 435 για το γραμμικό συνδυασμό

των προσπιπτόντων και ανακλωμένων κυμάτων

part2Expartz2

=1

c2part2Expartt2

partExpartz

= minuspartBy

partt

part2By

partz2=

1

c2part2By

partt2partBy

partz= minus 1

c2partExpartt

Σχήμα 43 Στις θέσεις z = 0 και z = L τοποθετούνται επίπεδα ιδανικώς αγώγιμα κάτοπτρα

Αναζητούμε λύση με μέθοδο των χωριζομένων μεταβλητών υποθέτοντας ότι

Ex(z t) = NZ(z)T (t) (436)

Ας θυμηθούμε τις συνοριακές συνθήκες στη διεπιϕάνεια ιδανικού αγωγού - κενούή κατά προσέγγιση αέρα (θυμηθείτε το Σχήμα 116) Η εϕαπτομενική συνιστώσα του

147

Σχήμα 44 Αγώγιμα κάτοπτρα πριν από z = 0 και μετά από z = L

E μηδενίζεται στη διεπιϕάνεια αυτή Επειδή το E έχει μόνο x συνιστώσα (Εξ 427)και τα επίπεδα ιδανικώς αγώγιμα κάτοπτρα τοποθετούνται στις θέσεις z = 0 καιz = L οπότε το E είναι παράλληλο σε αυτά έπεται ότι

Ex(0 t) = 0 = Ex(L t)forallt (437)

Από τις Εξ 430 και 436 έπεται ότι

NT (t)d2Z

dz2=N

1

c2Z(z)

d2T

dt2hArr

hArr 1

Z(z)

d2Z

dz2︸ ︷︷ ︸f(z)

=1

T (t)

1

c2d2T

dt2︸ ︷︷ ︸g(t)︸ ︷︷ ︸

forallz forallt

άρα= σταθερά = minusk2

αρκεί Z(z) = 0 και T (t) = 0 ενώ για Z(z) = 0 και T (t) = 0 ισχύει η τετριμένηλύση ΄Αρα

d2Z

dz2+ k2Z(z) = 0 (438)

καιd2T

dt2+ k2c2T (t) = 0 (439)

148

bull Ας λύσουμε αρχικά την Εξ 438 δοκιμάζοντας λύσεις της μορϕής eλz οπότεπροκύπτει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο

λ2 + k2 = 0rArr λ2 = minusk2 rArr λ = plusmnik πχ ας διαλέξουμε k isin real+

΄Αρα ουσιαστικά η λύση θα είναι της μορϕής

Z(z) = Aeikz +Beminusikz (440)

Z(0) = 0 συνοριακή συνθήκη 1 (441)

Z(L) = 0 συνοριακή συνθήκη 2 (442)

όπου λάβαμε υπ΄ όψιν τις συνοριακές συνθήκες 437 Από τις Εξ 440 και 441συνεπάγεται ότι A+B = 0rArr B = minusA οπότε η Εξ 440 γίνεται

Z(z) = Aeikz minus Aeminusikz = 2iA sin(kz) (443)

και εϕαρμόζοντας την Εξ 442

sin(kL) = 0rArr kL = mπm isin Z (444)

Δεδομένου όμως ότι διαλέξαμε παραπάνω k isin real+ θα πρέπει m isin N και για μημηδενική λύση θα πρέπει m isin N lowast οπότε k isin reallowast

+ Συνοπτικά το k εξαρτάται απόένα ϕυσικό μη μηδενικό δείκτη δηλαδή

km =mπ

Lm isin N lowast (445)

Αρα Zm(z) = 2Ai sin

(mπz

L

)Κι αν απαιτήσουμε οι Zm να είναι ορθοκανονικές

int L

0

dzZlowastm(z)Zl(z) = δml

rArr

rArrint L

0

dz | 2iA |2 sin(mπz

L

)sin

(lπz

L

)= δml rArr

int π

0

L

πdψ | 2iA |2 sin(mψ) sin(lψ) = δml

όπου ορίσαμε ψ = πzL οπότε dψ = π

Ldz Τότε

L

π4 | A |2

int π

0

dψ sin(mψ) sin(lψ) = δml

149

Αλλά int π

0

dψ sin(mψ) sin(lψ) =π

2δml (446)

ενώ ισχύει επίσης int π

0

dψ cos(mψ) cos(lψ) =π

2δml (447)

ΕπομένωςL

π4 | A |2 π

2δml = δml rArr| A |2=

1

2L

Ας διαλέξουμε κάτι βολικό πχ A =1radic2L

(minusi)

Συνεπώς

Zm(z) =

radic2

Lsin

(mπz

L

)(448)

bull Στη συνέχεια ας λύσουμε την Εξ 439 Ας ορίσουμε

ω = kc gt 0 (449)

οπότε ω2 = k2c2 Χρησιμοποιώντας την Εξ 445

ωm =mπc

Lm isin N lowast (450)

Δοκιμάζοντας λύσεις της μορϕής eλt προκύπτει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο

λ2 + ω2m = 0rArr λ = plusmniωm ωm isin reallowast

+ (451)

΄Αρα ουσιαστικά η λύση θα είναι της μορϕής

T (t) = Γeiωmt +∆eminusiωmt (452)

Κι αν θέσουμε την αρχική συνθήκη

T (0) = 0 (453)

προκύπτει Γ +∆ = 0rArr ∆ = minusΓ οπότε

T (t) = Γeiωmt minus Γeminusiωmt = 2iΓ sin(ωmt)rArr (454)

150

Tm(t) = 2iΓ sin

(mπc

Lt

)(455)

Κι αν απαιτήσουμε οι Tm να είναι ορθοκανονικές δηλαδήint κάτι0

dtT lowastm(t)Tl(t) = δml rArr

int κάτι0

dt | 2iΓ |2 sin(mπct

L

)sin

(lπct

L

)= δml rArr

rArr 4 | Γ |2int κάτι0

dt sin

(mπct

L

)sin

(lπct

L

)= δml

Θέτοντας χ = πctL οπότε dχ = πc

Ldt καταλήγουμε στη σχέση

4 | Γ |2 L

πc

int πcLmiddotκάτι

0

dχ sin(mχ) sin(lχ) = δml (456)

΄Αρα έχοντας υπ΄ όψη την Εξ 446 είναι βολικό να θέσουμε πcLmiddot κάτι = π rArr

κάτι =L

c= τ (457)

΄Ετσι ορισμένο το τ είναι ο χρόνος πτήσεως του ϕωτονίου διαμέσου της κοιλότητας(time of photon flight through cavity) άρα δεν ήταν παράλογο που το θέσαμε έτσιΣυνεπώς εν τέλει η ορθοκανονικοποίηση είναιint τ

0

dtT lowastm(t)Tl(t) = δml (458)

Τελικά έχουμε

4 | Γ |2 L

πc

int π

0

dχ sin(mχ) sin(lχ) = δml rArr| Γ |=radic

c

2L

Κι αν διαλέξουμε κάτι βολικό πχ Γ = (minusi)radic

c2L τελικά έχουμε

Tm(t) =

radic2c

Lsin

(mπc

Lt

)(459)

΄Αρα συνοψίζοντας με τη βοήθεια των Εξ 436 448 459 καταλήγουμε στην

Emx (z t) =

2radicc

LN sin

(mπz

L

)sin

(mπct

L

)(460)

151

΄Οσον αϕορά τις μονάδες θα πρέπει [2radicc

LN ] = V

m= N

CrArr

[N ] =Vradicms

(461)

Για να προσδιορίσουμε το μαγνητικό πεδίο θα χρησιμοποιήσουμε την Εξ 435 σεσυνδυασμό με την Εξ 460 οπότε προκύπτει

partBmy

partz= minus 1

c22radicc

LN sin

(mπzL

) mπcL

cos

(mπct

L

)rArr (462)

int zprime

0

dzpartBm

y

partz= minus 2mπradic

cL2N cos

(mπct

L

)int zprime

0

dz sin(mπz

L

)rArr (463)

Bmy (z

prime t)minusBmy (0 t) = minus

2mπradiccL2N cos

(mπct

L

)L

mπ

[minus cos

(mπzL

)]zprime0

rArr (464)

Bmy (z

prime t)minusBmy (0 t) =

2NradiccL

cos

(mπct

L

)[cos

(mπzprime

L

)minus1cos 0

] (465)

΄Αρα ορίζοντας κατάλληλα την τιμή του Bmy (0 t) προκύπτει

Bmy (z t) =

2NradiccL

cos(mπz

L

)cos

(mπct

L

)(466)

Για την πυκνότητα ενέργειας ισχύει

U =ϵ02E2 +

1

2micro0

B2 =ϵ02[E2 + c2B2] (467)

Σημειώνουμε ότι οι μονάδες για την πυκνότητα ενέργειας είναι [U ] = Jm3 Για πα-

ράδειγμα [ ϵ02E2] = F

mV2

m2 = CV2

Vm3 = Jm3 και [ B

2

2micro0] = T2A

Tm= TA

m= N

m2 = Nmm3 = J

m3 πχ λόγω των γνωστών σχέσεωνB = micro0H F = BIl και c2 = 1

ϵ0micro0 ΄Αρα από τις

Εξ 460 466 467 βρίσκουμε την πυκνότητα ενέργειας του m τρόπου

Um =ϵ02

4cN 2

L2

[sin2

(mπzL

)sin2

(mπct

L

)+ cos2

(mπzL

)cos2

(mπct

L

)] (468)

΄Αρα η ενέργεια του m τρόπου η οποία υπολογίζεται ολοκληρώνοντας την πυ-κνότητα ενέργειας του m τρόπου στην κοιλότητα όγκου V = LS

Εm =

intV=LS

d3r Um (469)

152

είναι

Εm =2ϵ0cN 2S

L2

[sin2

(mπct

L

)int L

0

dz sin2(mπz

L

)+ cos2

(mπct

L

)int L

0

dz cos2(mπz

L

)]

Θέτουμε ψ = πzLrArr dψ = π

Ldz άρα με τη βοήθεια των Εξ 446-447 τα ολοκληρώ-

ματα στο z γίνονται Lπ

int π0dψ sin2(mψ) = L

ππ2= L

2και L

π

int π0dψ cos2(mψ) = L

ππ2= L

2

Αντικαθιστούμε στην παραπάνω εξίσωση και τελικά έχοντας ακολουθήσει αυτή τηνκλασική προσέγγιση έχουμε

Εm =ϵ0cN 2S

L

[sin2

(mπct

L

)+ cos2

(mπct

L

)]=ϵ0cN 2S

L(470)

Ας δούμε τώρα λίγο αλλιώτικα την Εm

Εm =ϵ0cN 2S

L3

[L2 sin2

(mπct

L

)+ L2 cos2

(mπct

L

)] (471)

ορίζοντας ῾῾ γενικευμένη θέση και ταχύτητα ᾿᾿ Καλούμε λοιπόν ῾῾ γενικευμένη θέση ᾿᾿

qm(t) = L sin

(mπct

L

)(472)

και ῾῾ γενικευμένη ταχύτητα ᾿᾿

˙qm(t) = mπc cos

(mπct

L

)(473)

ούτως ώστε [qm(t)] = m και [ ˙qm(t)] = ms Τότε η Εξ 471 γράϕεται

Εm =ϵ0cN 2S

L3

[(qm(t))

2 +L2

m2π2c2( ˙qm(t))

2

] (474)

Θα μπορούσαμε εδώ να θεωρήσουμε μια αναλογία της Εξ 474 με Απλό ΑρμονικόΤαλαντωτή (ΑΑΤ) του οποίου η ενέργεια θα ήταν

Ε =K

2x2 +

M

2v2 =

K

2[x2 +

M

Kv2] (475)

Επομένωςϵ0cN 2S

L3=K

2 (476)

153

L2

m2π2c2=M

K (477)

Δηλαδή προκύπτει η ῾῾ σταθερά ελατηρίου ᾿᾿

K =2ϵ0cN 2S

L3 (478)

και η ῾῾ μάζα ᾿᾿ (η οποία σημειωτέο εξαρτάται από το m είναι δηλαδή διαϕορετική γιακάθε τρόπο του ΗΜ πεδίου m)

Mm =2ϵ0N 2S

cLm2π2 (479)

Μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι η Mm έχει διαστάσεις μάζας (θα χρειαστείκαι η Εξ 461) και πως ισχύει K = Mmω

2m ΄Αρα κλασικά υπάρχει μία τυπική

ομοιότητα με ΑΑΤ με κυκλική συχνότητα ωm (Εξ 450) και ῾῾ μάζα ᾿᾿ Mm (Εξ 479)δηλαδή η Εξ 471 ή 474 γράϕεται

Εm =Mmω

2m

2q2m +

Mm

2q2m (480)

Μπορούμε επομένως να πούμε ότι το κβαντικό αντίστοιχο για ένα τρόπο ΗΜπεδίου m δηλαδή η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m θα είναι

HΗΜ m =Mmω

2m

2q2m +

Mm

2˙q2m (481)

με ιδιοτιμές ενέργειας

Emnm = ~ωm(nm +1

2) (482)

όπου ο δείκτης m isin N lowast αϕορά τον τρόπο του ΗΜ πεδίου και ο δείκτης nm isin Nαϕορά τον αριθμό των ϕωτονίων στον τρόπο m Συνεπώς η Χαμιλτονιανή για όλουςτους τρόπους του ΗΜ πεδίου θα είναι

HΗΜ =summ

HΗΜ m (483)

Κατόπιν σημειώνουμε ότι από τις Εξ 460 και 472 συνεπάγεται ότι

Emx (z t) =

2radicc

L2N sin

(mπzL

)qm(t) (484)

154

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Emx (z t) =

2radicc

L2N sin

(mπzL

)qm(t) (485)

Επίσης από τις Εξ 466 και 473 συνεπάγεται ότι

Bmy (z t) =

2NLradicc

1

mπccos(mπz

L

)qm(t) (486)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Bmy (z t) =

2NLradicc

1

mπccos(mπz

L

)ˆqm(t) (487)

Από τις ΄Εξ 484 479 και 450 προκύπτει

Emx (z t) =

(2Mmωm

2

ϵ0V

)12

sin(mπz

L

)qm(t) (488)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Emx (z t) =

(2Mmωm

2

ϵ0V

)12

sin(mπz

L

)qm(t) (489)

Από τις ΄Εξ 486 479 και 450 προκύπτει

Bmy (z t) =

1

c

(2Mm

ϵ0V

)12

cos(mπz

L

)qm(t) (490)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Bmy (z t) =

1

c

(2Mm

ϵ0V

)12

cos(mπz

L

)ˆqm(t) (491)

Τέλος από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει όπως αναμενόταν [Ex

By] = [c]

155

44 Χαμιλτονιανή ΗΜ πεδίου με τελεστέςκαταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίων

Ας μιλήσουμε τώρα για τελεστές καταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίων (photoncreation and annihilation operators) Είναι τώρα εύκολο να κβαντωθεί η Χαμιλτο-νιανή που περιγράϕει το ΗΜ πεδίο αρκεί να εϕαρμοστεί η αντιστοιχία τελεστών

qm = qm (492)

pm = minusi~ part

partqm(493)

Εισάγουμε τους τελεστές

am =1radic

2Mm~ωm(Mmωmqm + ipm) ῾῾ καταστροϕής ᾿᾿ (494)

adaggerm =1radic

2Mm~ωm(Mmωmqm minus ipm) ῾῾ δημιουργίας ᾿᾿ (495)

Ισχύουν οι ιδιότητες[am a

daggerm]︸ ︷︷ ︸

μεταθέτης

= amadaggerm minus adaggermam = 1 (496)

[qm pm]︸ ︷︷ ︸μεταθέτης

= i~ (497)

΄Ετσι οι τελεστές qm pm μπορούν τώρα να γραϕούν

qm =

(~

2Mmωm

)12

(adaggerm + am) (498)

pm = i

(Mm~ωm

2

)12

(adaggerm minus am) (499)

Συνεπώς η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m είναι

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)(4100)

Ας συμβολίσουμε με |nm⟩ την κατάσταση του ΗΜ πεδίου με nm αριθμό ϕωτονίωνστον ΗΜ τρόπο m Λέμε ότι είναι μια ῾῾ κατάσταση ϕωτονικών αριθμών ᾿᾿ Τα |nm⟩αποτελούν ένα πλήρες σύστημα δηλαδή ισχύει ⟨nm|lm⟩ = δnl

156

Οι τελεστές adaggerm και am έχουν τις ιδιότητες

adaggerm |nm⟩ =radicnm + 1 |nm + 1⟩ (4101)

am |nm⟩ =radicnm |nm minus 1⟩ (4102)

am |0⟩ = |0⟩ (4103)

Από τις Εξ 4101 και 4102 προκύπτει

adaggermam |nm⟩ = nm |nm⟩ (4104)

δηλαδή ο τελεστής Nm = adaggermam μετρά τον αριθμό των ϕωτονίων του ΗΜ τρόπου mοπότε μπορεί να αποκληθεί τελεστής του αριθμού των ϕωτονίων στον ΗΜ τρόπο mΑκόμα επαγωγικά προκύπτει

|nm⟩ =1radicnm

(adaggerm)nm |0⟩ (4105)

Λόγω των Εξ 4100 και 4104 προκύπτει

HΗΜ m |nm⟩ = ~ωm(nm +1

2) |nm⟩ (4106)

δηλαδή η Χαμιλτονιανή HΗΜ m δίνει ιδιοτιμές ενέργειας

Emnm = ~ωm(nm +1

2) (4107)

Η θεμελιώδης κατάσταση του ΑΑΤ |0⟩ με ιδιοενέργεια 12~ωm αντιστοιχεί στο κενό

δηλαδή χωρίς σωμάτιο η 1η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |1⟩ με ιδιοενέργεια 32~ωm

αντιστοιχεί σε ένα σωμάτιο η 2η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |2⟩ με ιδιοενέργεια52~ωm αντιστοιχεί σε δύο σωμάτια κοκ Αυτά τα σωμάτια εν προκειμένω τα λέμεϕωτόνια Δημιουργούνται και καταστρέϕονται με τους τελεστές αναβιβάσεως καικαταβιβάσεως ξεκινώντας από ένα επίπεδο αναϕοράς που εδώ είναι το κενό Υπακού-ουν στις μποζονικές σχέσεις μεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράστασηείναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση (second quantization)Η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)= ~ωm

(Nm +

1

2

) (4108)

157

αγνοώντας τον όρο ~ωm

2 μπορεί να γραϕτεί

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm (4109)

Μπορούμε να έχουμε οσαδήποτε ϕωτόνια στην ενεργειακή κατάσταση ~ωm διότι εί-ναι μποζόνια Ο adaggerm είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζειτην ενέργεια δημιουργώντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωm εξ ού και η ονομασία τελε-στής δημιουργίας (creation operator) Ο am είναι τελεστής καταβιβάσεως (loweringoperator) διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωmεξ ού και η ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator)

Σχήμα 45 Σωμάτια (εδώ ϕωτόνια απεικονίζονται με πράσινες βούλες) δημιουργούνται και κατα-στρέϕονται μέσω των τελεστών αναβιβάσεως και καταβιβάσεως Υπακούουν στις μποζονικές σχέσειςμεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράσταση είναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση(second quantization) Ο αριθμός των ϕωτονίων είναι ίσος με τον αριθμό των κόμβων της ιδιοσυ-ναρτήσεως

Τέλος ας σημειώσουμε ότι από τις Εξ 489 και 498 προκύπτει

Emx (z t) =

(~ωmϵ0V

)12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4110)

ενώ από τις Εξ 491 και 499 προκύπτει

Bmy (z t) =

i

c

(~ωmϵ0V

)12

cos(mπz

L

)(adaggerm minus am) (4111)

158

45 Χαμιλτονιανή δισταθμικού συστήματοςμε σπίνορες

Θα περιγράψουμε την αναβίβαση και την καταβίβαση ενός ηλεκτρονίου μεταξύ τωνενεργειακών σταθμών ενός δισταθμικού συστήματος πχ ενός ατόμου με τη βοήθειασπινόρων (spinors) Σπίνορας είναι ένα διάνυσμα - στήλη με δύο συνιστώσες Αςαρχίσουμε με ορισμούς (πχ [62])

| ⟩ =

=

0

0

=| 0⟩ |darr⟩ =

bull

=

0

1

=| 1⟩ |uarr⟩ =

bull

=

1

0

=| 2⟩

(4112)Το πρώτο παριστά το άδειο δισταθμικό σύστημα το δεύτερο δηλώνει το δισταθμικόσύστημα με το ηλεκτρόνιο στην κάτω στάθμη όπου έχει ενέργεια E1 και το τρίτο δη-λώνει το δισταθμικό σύστημα με το ηλεκτρόνιο στην άνω στάθμη όπου έχει ενέργειαE2 Ας ορίσουμε τώρα τους τελεστές

S+ =

0 1

0 0

Sminus =

0 0

1 0

(4113)

για τους οποίους μάλιστα ισχύει Sdagger+ =

0 1

0 0

dagger

=

0 0

1 0

= Sminus Ας δούμε ποιό

είναι το αποτέλεσμα της δράσεώς τους στους σπίνορες που ορίσαμε μόλις προ ολίγου

S+ | 0⟩ =

0 1

0 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

S+ |darr⟩ =

0 1

0 0

0

1

=

1

0

=|uarr⟩ το ανεβάζει

S+ |uarr⟩ =

0 1

0 0

1

0

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

(4114)

159

Sminus | 0⟩ =

0 0

1 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

Sminus |darr⟩ =

0 0

1 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

Sminus |uarr⟩ =

0 0

1 0

1

0

=

0

1

=|darr⟩ το κατεβάζει

(4115)

΄Ετσι ο S+ ονομάζεται τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ενώ ο Sminus ονομάζε-ται τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) του ηλεκτρονίου Ας δούμε μερικέςακόμα ιδιότητες

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

= σx (4116)

που είναι ένας από τους πίνακες Pauli που παρατίθονται λίγο παρακάτω (Εξ 4133)Ακόμα

S+Sminus =

0 1

0 0

0 0

1 0

=

1 0

0 0

(4117)

SminusS+ =

0 0

1 0

0 1

0 0

=

0 0

0 1

(4118)

΄Αρα από τις Εξ 4117-4118 συνεπάγεται ότι

S+Sminus + SminusS+ =

1 0

0 1

= I (4119)

που είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας Μπορούμε να το γράψουμε και στη μορϕή

S+ Sminus = I (4120)

160

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4121)

ενώ [AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4122)

΄Οταν AB = 0 rArr AB + BA = 0 rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται ενώ όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οιποσότητες μετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση των ονομασίων ΄Οπωςθα δούμε παρακάτω η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσειςαντιμεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ηλεκτρόνια που είναι ϕερμιόνια ενώ ο με-ταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσεις μεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ϕωτόνιαπου είναι μποζόνια Συχνά στα ελληνικά συγγράμματα της δευτεροβάθμιας εκπαί-δευσης πολύ κακώς εδώ και δεκαετίες ονομάζεται ῾῾ αντιμεταθετική ᾿᾿ η μεταθετική(commutative) ιδιότητα χαθήκαμε δηλαδή στη μετάϕρασηΗ Χαμιλτονιανή του Δισταθμικού Συστήματος HΔΣ είναι η

E2S+Sminus + E1SminusS+ = E2

1 0

0 0

+ E1

0 0

0 1

=

E2 0

0 E1

(4123)

αϕού E2 0

0 E1

1

0

=

E2

0

= E2

1

0

(4124)

E2 0

0 E1

0

1

=

0

E1

= E1

0

1

(4125)

΄Αρα συνοπτικά δείξαμε ότι

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+ (4126)

Αν τώρα θέσουμε E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) οπότε

HΔΣ = ~ΩS+Sminus (4127)

161

Ο τελεστής S+Sminus μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη αϕού

S+Sminus | 1⟩ =

1 0

0 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ rArr S+Sminus | 1⟩ = 0 | 1⟩ (4128)

S+Sminus | 2⟩ =

1 0

0 0

1

0

=

1

0

=| 2⟩ rArr S+Sminus | 2⟩ = 1 | 2⟩ (4129)

Ο τελεστής SminusS+ μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην κάτω στάθμη αϕού

SminusS+ | 1⟩ =

0 0

0 1

0

1

=

0

1

=| 1⟩ rArr SminusS+ | 1⟩ = 1 | 1⟩ (4130)

SminusS+ | 2⟩ =

0 0

0 1

1

0

=

0

0

=| 0⟩ rArr SminusS+ | 2⟩ = 0 | 2⟩ (4131)

Παρατήρηση Συνοπτικά για τους τελεστές S+ και Sminus μπορούμε να αποδείξουμεότι (S+)

dagger = Sminus αλλά και ότι

S+ Sdagger+ = S+ Sminus = S+Sminus + SminusS+ = I

Sminus Sdaggerminus = Sminus S+ = SminusS+ + S+Sminus = I

S+ S+ = Sdaggerminus S

daggerminus = S+S+ + S+S+ = 0

Sminus Sminus = Sdagger+ S

dagger+ = SminusSminus + SminusSminus = 0

(4132)

όπου I είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας 2 times 2 και 0 είναι ο μηδενικός πίνακας2times2 Οι Εξ 4132 δείχνουν ότι οι τελεστές S+ και Sminus υπακούουν στις σχέσεις αντι-μεταθέσεως ϕερμιονίων που αναϕέρουμε στην Υποενότητα 462 της Ενότητας 46Ο S+ είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζει την ενέργειαδημιουργώντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού και η ονομασία τελεστής δημιουρ-γίας (creation operator) Ο Sminus είναι τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator)διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού καιη ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Μπορούμε να έχουμεμόνο ένα ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω διότι τα ηλεκτρόνια είναι ϕερμιόνια

162

Ας θυμηθούμε τώρα τους πίνακες Pauli σx σy σz και ας δούμε τη σχέση τους μετους τελεστές αναβιβάσεως και καταβιβάσεως ηλεκτρονίων S+ και Sminus αντιστοίχως

σx =

0 1

1 0

(4133)

σy =

0 minusi

i 0

(4134)

σz =

1 0

0 minus1

(4135)

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι ισχύει η ιδιότητα

[σx σy] = 2iσz (4136)

καθώς και οι κυκλικές εναλλαγές της Επίσης

σ2x = σ2

y = σ2z =

1 0

0 1

= I (4137)

και

σx σy = σxσy + σyσx = 0 (4138)

σy σz = σyσz + σzσy = 0

σz σx = σzσx + σxσz = 0

δηλαδή οι πίνακες Pauli αντιμετατίθονται Επί παραδείγματι

σx σy = σxσy + σyσx =0 1

1 0

0 minusi

i 0

+

0 minusi

i 0

0 1

1 0

=

i 0

0 minusi

+

minusi 0

0 i

=

0 0

0 0

= 0

Ακόμα μπορούμε να αποδείξουμε ότι

S+ + Sminus = σx

S+ minus Sminus = iσy

163

46 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων καισχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων

461 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων πχ ϕωτονίων

Ας ονομαστεί am ο τελεστής καταστροϕής μποζονίων και adaggerm ο τελεστήςδημιουργίας μποζονίων στην κατάσταση m Για τα μποζόνια ισχύουν οι σχέσειςμεταθέσεως (commutation relations)

[am aℓ] = 0

[adaggerm adaggerℓ] = 0

(4139)

[AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4140)

οπότε όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οι ποσότητεςμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας

462 Σχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων πχ ηλε-κτρονίων

Ας ονομαστεί ai ο τελεστής καταστροϕής ϕερμιονίων και adaggeri ο τελεστής δη-μιουργίας ϕερμιονίων στην κατάσταση i Για τα ϕερμιόνια ισχύουν οι σχέσεις αντι-μεταθέσεως (anticommutation relations)

ai adaggerj = δij

ai aj = 0

adaggeri adaggerj = 0

(4141)

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4142)

οπότε όταν AB = 0rArr AB+BA = 0rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας Αν εϕαρμόσουμετη σχέση adaggeri a

daggerj = 0 για την ίδια κατάσταση πχ i = j = r έχουμε adaggerr adaggerr =

0 rArr adaggerradaggerr = 0 που σημαίνει ότι

δεν μπορούμε να βάλουμε δύο ϕερμιόνια στην ίδια

κατάσταση πράγμα που είναι η απαγορευτική αρχή Pauli

164

47 Τελεστές κλίμακας (Ladder operators) [63]

Στη γραμμική άλγεβρα καθώς και στις εϕαρμογές της στην κβαντική μηχανική ορί-ζεται ο τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ο οποίος αυξάνει την ιδιοτιμή ενόςάλλου τελεστή και ο τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) ο οποίος μειώνειτην ιδιοτιμή ενός άλλου τελεστή Αυτοί συλλογικά ονομάζονται τελεστές κλίμα-κας (ladder operators) Στην κβαντομηχανική ο τελεστής αναβιβάσεως καλείταισυχνά τελεστής δημιουργίας (creation operator) και ο τελεστής καταβιβάσεως κα-λείται συχνά τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Γνωστές εϕαρμογέςτων τελεστών κλίμακας είναι στον απλό αρμονικό ταλαντωτή και στη στροϕορμήΣε πολλές περιοχές της ϕυσικής και της χημείας η χρήση αυτών των τελεστών αντίκυματοσυναρτήσεων είναι γνωστή ως δεύτερη κβάντωση (second quantization) [64]

165

48 Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεωςδισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου

΄Εστω δύο αντίθετα ηλεκτρικά ϕορτία q gt 0 και minusq lt 0 στα σημεία Θ και Α

αντιστοίχως Αν d =minusrarrΑΘ είναι το διάνυσμα θέσεως του θετικού ϕορτίου ως προς το

αρνητικό τότε η ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) ορίζεταιως

P = qd (4143)

πχ για το άτομο του υδρογόνου αν το Π παριστάνει τον πυρήνα και το Η παριστάνει

το ηλεκτρόνιο και ως συνήθως ορίσουμε r =minusrarrΠΗ τότε P = qd = e(minusr)rArr

P = minuser (4144)

Αυτό αποδίδεται άνω τμήμα του Σχήματος 46 Η δυναμική ενέργεια (potential

Σχήμα 46 ΄Ανω Ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) Κάτω (Ηλεκτρική) διπολικήροπή μεταβάσεως (transition (electric) dipole moment)

energy) UE του ηλεκτρικού διπόλου εντός ηλεκτρικού πεδίου E είναι

UE = minusP middot E (4145)

166

Ανάλογος με τον παραπάνω ορισμό μπορεί να δοθεί και για την περίπτωση της με-ταβάσεως ενός τμήματος του ηλεκτρονιακού νέϕους από μία αρχική σε μια τελική πε-ριοχή ΄Ετσι ορίζεται η (ηλεκτρική) διπολική ροπή μεταβάσεως [transition(electric) dipole moment] 1 Αυτό αποδίδεται στο κάτω τμήμα το Σχήματος 46Αν το ϕορτίο που μεταϕέρεται είναι minuse πάλι p = qd = e(minusr)rArr p = minuser Δηλαδήεννοείται ότι για την περιοχή 2 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμεί με μετά-βαση ϕορτίου minuse ενώ για την περιοχή 1 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμείμε μετάβαση ϕορτίου +eΟ τελεστής (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως [transition

(electric) dipole moment operator] σημειώνεται εναλλακτικά με ˆd ή ˆp Στη βάση τωνιδιοκαταστάσεων της ενέργειας του αδιατάρακτου ατόμου ή συστήματος ορίζεται ως

ˆd = ˆp =

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | (4146)

με τους επίσης εναλλακτικούς συμβολισμούς

dij = pij = minuse⟨Φi | ˆr | Φj⟩ (4147)

για το στοιχείο πίνακα της (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως μεταξύ των κα-ταστάσεων | Φi⟩ και | Φj⟩ Υπενθυμίζεται ότι ο τελεστής θέσεως (position operator)ˆr είναι τέτοιος ώστε

ˆr | r⟩ = r | r⟩ (4148)

Υπενθυμίζεται για τον συμβολισμό Dirac ότι

| A⟩ =

α1

α2

hArr ⟨A |= (αlowast1 αlowast

2) (4149)

Υπενθυμίζεται ακόμα ότι

⟨Φi | ˆr | Φj⟩ =sum

|rprime⟩|rprimeprime⟩

⟨Φi | rprime⟩⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩⟨rprimeprime | Φj⟩ =sum|rprime⟩

⟨Φi | rprime⟩ rprime ⟨rprime | Φj⟩

=sum|r⟩

⟨Φi | r⟩ r ⟨r | Φj⟩ =intdV Φi(r)

lowastrΦj(r)

1Η λέξη ῾῾ ηλεκτρική ᾿᾿ είναι εντός παρενθέσεως επειδή συνήθως επειδή εννοείται παραλείπεται

167

διότι⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩ = rprimeprime⟨rprime|rprimeprime⟩ = rprimeprimeδrprimerprimeprime (4150)

΄Αρα

d11 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ1(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4151)

d12 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ2(r) = 0 (4152)

d21 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ1(r) = 0 (4153)

d22 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ2(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4154)

Δηλαδή ενώ τα διαγώνια στοιχεία μηδενίζονται τα d12 και d21 δεν είναι (῾῾ εκ ταυτό-τητος ᾿᾿) μηδέν Ας δούμε τώρα ποιος είναι ο ˆp σε δισταθμικό σύστημα

ˆp = d11 | Φ1⟩⟨Φ1 | + d12 | Φ1⟩⟨Φ2 | + d21 | Φ2⟩⟨Φ1 | + d22 | Φ2⟩⟨Φ2 |

= d11

0

1

(0 1)+ d12

0

1

(1 0)+ d21

1

0

(0 1)+ d22

1

0

(1 0)

= 0 ⋆

d11︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

0 0

0 1

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

+ d12︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 0

1 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ d21︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 1

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ 0 ⋆

d22︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

1 0

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

Από τις Εξ (4152)-(4153) συμπεραίνουμε ότι d12 = d21 με την προϋπόθεση ότι οιΦi(r) είναι πραγματικές οπότε

ˆp = d12

0 1

1 0

(4155)

168

Ερώτηση Και τι κάνει ο τελεστής

0 1

1 0

Απάντηση0 1

1 0

0

1

=

1

0

0 1

1 0

1

0

=

0

1

Δηλαδή μεταϕέρει από τη μία ενεργειακή στάθμη στην άλλη όπως θα έπρεπε

Τώρα μπορεί να οριστεί ο τελεστής δυναμικής ενέργειας (potential e-nergy operator) Θεωρούμε ότι η αλληλεπίδραση δισταθμικού συστήματος - ΗΜπεδίου έχει τη μορϕή μηχανισμού ηλεκτρικού διπόλου Αγνοούμε άλλης μορϕής αλ-ληλεπιδράσεις όπως πχ ηλεκτρικού τετραπόλου ή μαγνητικού διπόλου Αϕού

UE = minusP middot E rArr

UmE = minusP middot Em (4156)

όπου ο δείκτης m δηλώνει τον m τρόπο του ΗΜ πεδίου ο αντίστοιχος τελεστήςμπορεί να οριστεί ως

UmE = minus ˆp middot ˆEm (4157)

Επομένως

UmE = minus

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | middotEmx (z t)i

i είναι το μοναδιαίο άνυσμα του άξονα x αϕού έχουμε υποθέσει αυτόν τον προσανα-τολισμό για το ηλεκτρικό πεδίο (δείτε Σχήμα 42) ΄Η λόγω της Εξ 4155

UmE = minusd12

0 1

1 0

middot Emx (z t)i (4158)

Αλλά

d12 middot i = minuseintdV Φ1(r)

lowast(r middot i)Φ2(r) = minusex12 = Px12 = P (4159)

169

Συνεπώς

UmE = ex12

0 1

1 0

Emx (z t) (4160)

Υπενθυμίζονται οι Εξ 4110 και 4111

Emx (z t) =

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4161)

Bmy (z t) =

(~ωmε0V

) 12 1

ccos(mπz

L

)i(adaggerm minus am) (4162)

από τις οποίες όμως στα πλαίσια των υποθέσεών μας χρειαζόμαστε τώρα μόνον τηνπρώτη Επίσης υπενθυμίζεται ότι

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

(4163)

΄Αρα εν τέλει

UmE = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4164)

Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε

~gm = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(4165)

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4166)

Αυτή είναι λοιπόν η Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συ-στήματος - ΗΜ πεδίου για τον ΗΜ τρόπο m Εάν βρισκόμαστε σταπλαίσια της ατομικής ϕυσικής τότε συμβολίζεται και Hm

AF όπου οι δείκτες σημαίνουνAtom-FieldΑπό την Εξ 4165 προκύπτει

~|gm| = |P |∣∣∣∣ (~ωm

ε0V

) 12

sin(mπz

L

) ∣∣∣∣ = |P| Em0 (4167)

170

όπου όμως το ῾῾ πλάτος ᾿᾿ Em0 εξαρτάται από τη θέση z του ατόμου στην κοιλότητα

είναι δηλαδή Em0 = Em

0 (z) Η |gm| (ή οποία συμβολίζεται και με ΩmR ) είναι η λεγόμενη

συχνότητα Rabi Εάν εννοείται σε ποιον ΗΜ τρόπο m αναϕερόμαστε μπορούμε ναχρησιμοποιήσουμε σκέτο το |g| ή το ΩR ΄Αρα

|gm| ή ΩmR =

|P|Em0

~(4168)

Για να μη γράϕουμε απόλυτα μπορούμε σε κάθε θέση να διαλέγουμε τη ϕάση τωνκυματοσυναρτήσεων τέτοια ώστε το g να είναι θετικό και πραγματικό [65] Συνοπτικά

gm ή ΩmR =

|P|Em0

~(4169)

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Τώρα συμπληρώνεται η εικόνα με την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπί-δραση ενός ΗΜ τρόπου m με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4170)

΄Αρα η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4171)

Επομένως οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩ (4172)

|darr nm⟩ (4173)

171

Ας δούμε λίγο προσεκτικότερα τη Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικούσυστήματος - ΗΜ πεδίου (Εξ 4166) Για έναν μοναδικό τρόπο m η Χαμιλτονιανήαυτή αναλυεται σε τέσσερις όρους

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) =

= ~gmS+adaggerm︸ ︷︷ ︸

1ος

+ S+am︸ ︷︷ ︸2ος

+ Sminusadaggerm︸ ︷︷ ︸

3ος

+ Sminusam︸ ︷︷ ︸4ος

bull 1ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E gt 0 Επόμένως αυτός ο όρος μόνος τουδεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

bull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻︸ ︷︷ ︸

μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολ-λοί τρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτο-νιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται απόάθροισμα όρων όπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημανα απορροϕήσει ένα ϕωτόνιο υψηλής συχνότητας και να ανεβεί ενώ παράλληλαδημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο χαμηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi www≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

simsim≻ ff lt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 2ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο Αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

172

bull 3ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιοΚαι αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικάbull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 4ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο ΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E lt 0 Επόμένως και αυτός ο όροςμόνος του δεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολλοίτρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτονιανή αλλη-λεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται από άθροισμα όρωνόπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημα να απορροϕήσει έναϕωτόνιο χαμηλής συχνότητας και να κατεβεί ενώ παράλληλα δημιουργείται εκπέμ-πεται ϕωτόνιο υψηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

www≻ ff gt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

Αν αγνοήσουμε τον 1ο και 4ο όρο που ο καθένας μόνος του δεν διατηρεί τηνενέργεια τότε

UmE = ~gm

(S+am + Sminusa

daggerm

) (4174)

Η προσέγγιση είναι κατά κάποιο τρόπο ανάλογη της RWA (Rotating Wave Approxi-mation) του Κεϕαλαίου 3 Εκεί στις εξισώσεις Rabi κρατήσαμε μόνο τους αργούςόρους όπου ΗΜ πεδίο και το δισταθμικό σύστημα βρίσκονται σε περίπου συντονισμό

173

δηλαδή Ω ≃ ω Τότε κρατήσαμε τους αργούς όρους eplusmni(Ωminusω)t και αγνοήσαμε τουςγρήγορους όρους eplusmni(Ω+ω)tΣυνοπτικά ενώ για την ολική Χαμιλτονιανή ενός τρόπου m έχουμε την λεγόμενη

Χαμιλτονιανή Rabi

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4175)

κατά την παραπάνω συζήτηση αγνοούμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενουςcounter-rotating terms

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4176)

οπότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66]

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4177)

Στην ΄Ασκηση 1 (παραλείποντας τον δείκτη του ΗΜ τρόπου m απλότητα) βρί-σκουμε (Α) τι κάνουν οι όροι adaggera aadagger S+Sminus SminusS+ S+a

dagger S+a Sminusadagger Sminusa στις κα-

ταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩ και (Β) υπολογίζουμε τα ⟨adaggera⟩ ⟨aadagger⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨SminusS+⟩⟨S+a

dagger⟩ ⟨S+a⟩ ⟨Sminusadagger⟩ ⟨Sminusa⟩ για τις καταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩

174

49 Σύνοψη Χαμιλτονιανών

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Ακόμα είδαμε την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπίδραση ενός ΗΜ τρόπουm με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

Οπότε η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί (Εξ 4171)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

και οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩|darr nm⟩

Ακόμα αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενους counter-rotatingterms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam)

τότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66] (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm)

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

141

αλλά και

nabla times ∆ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

partpartx

partparty

partpartz

∆0xeδ⃝ ∆0ye

δ⃝ ∆0zeδ⃝

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= i

(part∆0ze

δ⃝

partyminus part∆0ye

δ⃝

partz

)minus j(part∆0ze

δ⃝

partxminus part∆0xe

δ⃝

partz

)+ k

(part∆0xe

δ⃝

partyminus part∆0ye

δ⃝

partx

)= i

(iky∆z minus ikz∆y

)minus j(ikx∆z minus ikz∆x

)+ k

(iky∆x minus ikx∆y

)

= i

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

kx ky kz

∆x ∆y ∆z

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = ik times ∆

Συνεπώς

Εξ 844 845 rArr ik middot E = 0rArr k middot E = 0 (412αʹ)

Εξ 846 847 rArr ik middot B = 0rArr k middot B = 0 (412βʹ)

Εξ 848 845 847 rArr ik times E = iωB rArr k times E = ωB (412γʹ)

Εξ 849 845 847 rArr ik times B = micro0ϵ0(minusiω)E rArr k times B = minusmicro0ϵ0ωE(412δʹ)

Από τις Εξ 412αʹ 412βʹ 412γʹ 412δʹ με ένα σύντομο λογικό παιχνίδι προκύπτειη σχέση των κατευθύνσεων των διανυσμάτων E B k συγκεκριμένα προκύπτει ότιτο εξωτερικό γινόμενο του E με το B είναι ομόρροπο του k δηλαδή

E times B uarruarr k (413)

και μάλιστα τα E B k έχουν τη σχέση κατευθύνσεων και καθετοτήτων που αποδί-δεται στο Σχήμα 810 Η σχέση 413 μπορεί να αποδειχθεί και εξειδικευτεί και μεμαθηματικά χρήσει της ταυτότητας

atimes (btimes c) = (a middot c)bminus (a middot b)c (414)

142

Για παράδειγμα ξεκινώντας από την Εξ 412γʹ έχουμε E times (k times E) = ωE times B rArr(E middot E)k minus (E middot k)E = ωE times B αλλά λόγω της Εξ 412αʹ προκύπτει

E times B =|E|2

ωk (415)

Λαμβάνοντας υπ΄ όψιν τις ήδη αποδεδειγμένες καθετότητες των κατευθύνσεων τωνE B k από τις Εξ 412γʹ-412δʹ προκύπτει

|E||B|

= c (416)

Σχήμα 41 E times B uarruarr k

Ας δοκιμάσουμε τώρα στις Εξ 860 και 861 αντί των λύσεων 845 και 847λύσεις της μορϕής

E(r t) = E0ei(kemiddotrminusωet+δe) = E0e

ε⃝ (417)

B(r t) = B0ei(kbmiddotrminusωbt+δb) = B0e

β⃝ (418)

δηλαδή ας θεωρήσουμε ότι τα E(r t) και B(r t) δεν έχουν κατ΄ ανάγ-κην ίσα κυματανύσματα ke και kb κυκλικές συχνότητες ωe και ωb και῾῾ αρχικές ϕάσεις ᾿᾿ δe και δb Τότε

Εξ 844 417 rArr ke middot E = 0 (419αʹ)

Εξ 846 418 rArr kb middot B = 0 (419βʹ)

Εξ 848 417 418 rArr ke times E = ωbB (419γʹ)

Εξ 849 417 418 rArr kb times B = minusmicro0ϵ0ωeE (419δʹ)

143

και δεν προκύπτει κάποια σχέση μεταξύ των δe δb Από την Εξ 419γʹ προκύπτει∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

kex key kez

E0xeε⃝ E0ye

ε⃝ E0zeε⃝

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (ωbB0xeβ⃝ ωbB0ye

β⃝ ωbB0zeβ⃝)rArr

keyE0ze

ε⃝ minuskezE0yeε⃝ = ωbB0xe

β⃝

kezE0xeε⃝ minuskexE0ze

ε⃝ = ωbB0yeβ⃝

kexE0yeε⃝ minuskeyE0xe

ε⃝ = ωbB0zeβ⃝

rArr

keyE0zminuskezE0y

ωbB0x= e β⃝e ε⃝lowast

= ei[(kbminuske)middotrminus(ωbminusωe)t+(δbminusδe)]

kezE0xminuskexE0z

ωbB0y= e β⃝e ε⃝lowast

= το ίδιο

kexE0yminuskeyE0x

ωbB0z= e β⃝e ε⃝lowast

= το ίδιο

σταθερές συναρτήσεις των r t

Αν θεωρήσουμε κάποια συγκεκριμένη χρονική στιγμή t επειδή τα αριστερά μέρη

είναι σταθερά θα πρέπει και τα δεξιά να είναι δηλαδή να μην εξαρτώνται από το rάρα

kb = ke (421)

Αν θεωρήσουμε κάποια συγκεκριμένη θέση r επειδή τα αριστερά μέρη είναι σταθεράθα πρέπει και τα δεξιά να είναι δηλαδή να μην εξαρτώνται από το t άρα

ωb = ωe (422)

Τέλος από τις Εξ 8100-8101 έπεται ότι τα δεξιά μέρη θα ισούνται με ei(δbminusδe) =cos(δbminusδe)+i sin(δbminusδe) Αν τα αριστερά μέρη ήταν πραγματικά τότε sin(δbminusδe) =0rArr δb minus δe = nπ n isin Z οπότε υπάρχει μερική λύση δb = δe Τα E0 B0 όμως είναιεν γένει μιγαδικά άρα καταλήγουμε στις σχέσεις

keyE0zminuskezE0y

ωbB0x= ei(δbminusδe)

kezE0xminuskexE0z

ωbB0y= ei(δbminusδe)

kexE0yminuskeyE0x

ωbB0y= ei(δbminusδe)

(423)

και τίποτε παραπάνω

144

43 Στάσιμο ΗΜ κύμα σε κοιλότητα

Στην Ενότητα αυτό θα κατασκευάσουμε μια έκϕραση της Χαμιλτονιανής του ΗΜπεδίου που να επιτρέπει το μετασχηματισμό της στη γλώσσα του αριθμού των ϕωτο-νίων αντί της γλώσσας που χρησιμοποιεί τα ανυσματικά μεγέθη E B Αυτό θα γίνειστο παράδειγμα του στάσιμου ΗΜ κύματος σε κοιλότηταΠριν από αυτό ας θυμηθούμε ότι για τρέχοντα ΗΜ κύματα με τις προϋποθέσεις

της Ενότητας 42 έχουμε

nabla2E =1

c2part2E

partt2E(r t) = E0e

i(kmiddotrminusωt+δ) (424)

nabla2B =1

c2part2B

partt2B(r t) = B0e

i(kmiddotrminusωt+δ) (425)

και E times B uarruarr k όπως ϕαίνεται στο Σχήμα 42 αριστερά Πρόκειται για κυματικέςεξισώσεις για το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο αντιστοίχως σε 3 διαστάσεις καιτις λύσεις τους

Σχήμα 42 [Αριστερά] Για τρέχοντα ΗΜ κύματα έχουμε E times B uarruarr k [Δεξιά] Υποθέτουμε ότιE times B uarruarr k με τον προσανατολισμό σε άξονες που δείχνει το σχήμα

Αν ο προσανατολισμός σε άξονες είναι αυτός που δείχνει το Σχήμα 42 δεξιάτότε

nabla2Ex =1

c2part2Expartt2

(426)

E(r t) = Ex0ei(kzzminusωt+δ) = Ex(z t) (427)

145

nabla2By =1

c2part2By

partt2(428)

B(r t) = B0yei(kzzminusωt+δ) = By(z t) (429)

οπότεpart2Expartz2

=1

c2part2Expartt2

(430)

part2By

partz2=

1

c2part2By

partt2(431)

Πρόκειται για κυματικές εξισώσεις για το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο αντιστοί-χως σε 1 διάσταση Ας δούμε τώρα αν βγαίνει κάποιο συμπέρασμα από τις εξισώσειςτου Maxwell στο κενό

nabla middot E = 0 (Εξ 844) rArr partExpartx

+70

partEyparty

+0

partEzpartz

= 0rArr partExpartx

+ 0 + 0 = 0rArr

partExpartx

= 0 πράγμα αναμενόμενο (432)

nabla middot B = 0 (Εξ 846) rArr

0

partBx

partx+partBy

party+

0

partBz

partz= 0rArr 0 +

partBy

party+ 0 = 0rArr

partBy

party= 0 πράγμα αναμενόμενο (433)

nabla times E = minuspartBpartt

(Εξ 848)rArr

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

partpartx

partparty

partpartz

Ex 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = minusjpartBy

parttrArr j

partExpartz

= minusj partBy

parttrArr

partExpartz

= minuspartBy

partt (434)

nablatimesB = ϵ0micro0partE

partt(Εξ 849)rArr

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

partpartx

partparty

partpartz

0 By 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =1

c2partExpartt

irArr i(minuspartBy

partz) = i

1

c2partExparttrArr

146

partBy

partz= minus 1

c2partExpartt

(435)

spades Τώρα βάζουμε ιδανικώς αγώγιμα κάτοπτρα στις θέσεις z = 0 και z = L (Σχή-μα 43) Το προσπίπτον σε κάθε κάτοπτρο κύμα θα συμβάλει με το ανακλώμενο άραθα δημιουργηθούν στάσιμα κύματα

Οι Εξ 430 και 434 εξακολουθούν να ισχύουν

Οι Εξ 431 και 435 για το γραμμικό συνδυασμό

των προσπιπτόντων και ανακλωμένων κυμάτων

part2Expartz2

=1

c2part2Expartt2

partExpartz

= minuspartBy

partt

part2By

partz2=

1

c2part2By

partt2partBy

partz= minus 1

c2partExpartt

Σχήμα 43 Στις θέσεις z = 0 και z = L τοποθετούνται επίπεδα ιδανικώς αγώγιμα κάτοπτρα

Αναζητούμε λύση με μέθοδο των χωριζομένων μεταβλητών υποθέτοντας ότι

Ex(z t) = NZ(z)T (t) (436)

Ας θυμηθούμε τις συνοριακές συνθήκες στη διεπιϕάνεια ιδανικού αγωγού - κενούή κατά προσέγγιση αέρα (θυμηθείτε το Σχήμα 116) Η εϕαπτομενική συνιστώσα του

147

Σχήμα 44 Αγώγιμα κάτοπτρα πριν από z = 0 και μετά από z = L

E μηδενίζεται στη διεπιϕάνεια αυτή Επειδή το E έχει μόνο x συνιστώσα (Εξ 427)και τα επίπεδα ιδανικώς αγώγιμα κάτοπτρα τοποθετούνται στις θέσεις z = 0 καιz = L οπότε το E είναι παράλληλο σε αυτά έπεται ότι

Ex(0 t) = 0 = Ex(L t)forallt (437)

Από τις Εξ 430 και 436 έπεται ότι

NT (t)d2Z

dz2=N

1

c2Z(z)

d2T

dt2hArr

hArr 1

Z(z)

d2Z

dz2︸ ︷︷ ︸f(z)

=1

T (t)

1

c2d2T

dt2︸ ︷︷ ︸g(t)︸ ︷︷ ︸

forallz forallt

άρα= σταθερά = minusk2

αρκεί Z(z) = 0 και T (t) = 0 ενώ για Z(z) = 0 και T (t) = 0 ισχύει η τετριμένηλύση ΄Αρα

d2Z

dz2+ k2Z(z) = 0 (438)

καιd2T

dt2+ k2c2T (t) = 0 (439)

148

bull Ας λύσουμε αρχικά την Εξ 438 δοκιμάζοντας λύσεις της μορϕής eλz οπότεπροκύπτει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο

λ2 + k2 = 0rArr λ2 = minusk2 rArr λ = plusmnik πχ ας διαλέξουμε k isin real+

΄Αρα ουσιαστικά η λύση θα είναι της μορϕής

Z(z) = Aeikz +Beminusikz (440)

Z(0) = 0 συνοριακή συνθήκη 1 (441)

Z(L) = 0 συνοριακή συνθήκη 2 (442)

όπου λάβαμε υπ΄ όψιν τις συνοριακές συνθήκες 437 Από τις Εξ 440 και 441συνεπάγεται ότι A+B = 0rArr B = minusA οπότε η Εξ 440 γίνεται

Z(z) = Aeikz minus Aeminusikz = 2iA sin(kz) (443)

και εϕαρμόζοντας την Εξ 442

sin(kL) = 0rArr kL = mπm isin Z (444)

Δεδομένου όμως ότι διαλέξαμε παραπάνω k isin real+ θα πρέπει m isin N και για μημηδενική λύση θα πρέπει m isin N lowast οπότε k isin reallowast

+ Συνοπτικά το k εξαρτάται απόένα ϕυσικό μη μηδενικό δείκτη δηλαδή

km =mπ

Lm isin N lowast (445)

Αρα Zm(z) = 2Ai sin

(mπz

L

)Κι αν απαιτήσουμε οι Zm να είναι ορθοκανονικές

int L

0

dzZlowastm(z)Zl(z) = δml

rArr

rArrint L

0

dz | 2iA |2 sin(mπz

L

)sin

(lπz

L

)= δml rArr

int π

0

L

πdψ | 2iA |2 sin(mψ) sin(lψ) = δml

όπου ορίσαμε ψ = πzL οπότε dψ = π

Ldz Τότε

L

π4 | A |2

int π

0

dψ sin(mψ) sin(lψ) = δml

149

Αλλά int π

0

dψ sin(mψ) sin(lψ) =π

2δml (446)

ενώ ισχύει επίσης int π

0

dψ cos(mψ) cos(lψ) =π

2δml (447)

ΕπομένωςL

π4 | A |2 π

2δml = δml rArr| A |2=

1

2L

Ας διαλέξουμε κάτι βολικό πχ A =1radic2L

(minusi)

Συνεπώς

Zm(z) =

radic2

Lsin

(mπz

L

)(448)

bull Στη συνέχεια ας λύσουμε την Εξ 439 Ας ορίσουμε

ω = kc gt 0 (449)

οπότε ω2 = k2c2 Χρησιμοποιώντας την Εξ 445

ωm =mπc

Lm isin N lowast (450)

Δοκιμάζοντας λύσεις της μορϕής eλt προκύπτει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο

λ2 + ω2m = 0rArr λ = plusmniωm ωm isin reallowast

+ (451)

΄Αρα ουσιαστικά η λύση θα είναι της μορϕής

T (t) = Γeiωmt +∆eminusiωmt (452)

Κι αν θέσουμε την αρχική συνθήκη

T (0) = 0 (453)

προκύπτει Γ +∆ = 0rArr ∆ = minusΓ οπότε

T (t) = Γeiωmt minus Γeminusiωmt = 2iΓ sin(ωmt)rArr (454)

150

Tm(t) = 2iΓ sin

(mπc

Lt

)(455)

Κι αν απαιτήσουμε οι Tm να είναι ορθοκανονικές δηλαδήint κάτι0

dtT lowastm(t)Tl(t) = δml rArr

int κάτι0

dt | 2iΓ |2 sin(mπct

L

)sin

(lπct

L

)= δml rArr

rArr 4 | Γ |2int κάτι0

dt sin

(mπct

L

)sin

(lπct

L

)= δml

Θέτοντας χ = πctL οπότε dχ = πc

Ldt καταλήγουμε στη σχέση

4 | Γ |2 L

πc

int πcLmiddotκάτι

0

dχ sin(mχ) sin(lχ) = δml (456)

΄Αρα έχοντας υπ΄ όψη την Εξ 446 είναι βολικό να θέσουμε πcLmiddot κάτι = π rArr

κάτι =L

c= τ (457)

΄Ετσι ορισμένο το τ είναι ο χρόνος πτήσεως του ϕωτονίου διαμέσου της κοιλότητας(time of photon flight through cavity) άρα δεν ήταν παράλογο που το θέσαμε έτσιΣυνεπώς εν τέλει η ορθοκανονικοποίηση είναιint τ

0

dtT lowastm(t)Tl(t) = δml (458)

Τελικά έχουμε

4 | Γ |2 L

πc

int π

0

dχ sin(mχ) sin(lχ) = δml rArr| Γ |=radic

c

2L

Κι αν διαλέξουμε κάτι βολικό πχ Γ = (minusi)radic

c2L τελικά έχουμε

Tm(t) =

radic2c

Lsin

(mπc

Lt

)(459)

΄Αρα συνοψίζοντας με τη βοήθεια των Εξ 436 448 459 καταλήγουμε στην

Emx (z t) =

2radicc

LN sin

(mπz

L

)sin

(mπct

L

)(460)

151

΄Οσον αϕορά τις μονάδες θα πρέπει [2radicc

LN ] = V

m= N

CrArr

[N ] =Vradicms

(461)

Για να προσδιορίσουμε το μαγνητικό πεδίο θα χρησιμοποιήσουμε την Εξ 435 σεσυνδυασμό με την Εξ 460 οπότε προκύπτει

partBmy

partz= minus 1

c22radicc

LN sin

(mπzL

) mπcL

cos

(mπct

L

)rArr (462)

int zprime

0

dzpartBm

y

partz= minus 2mπradic

cL2N cos

(mπct

L

)int zprime

0

dz sin(mπz

L

)rArr (463)

Bmy (z

prime t)minusBmy (0 t) = minus

2mπradiccL2N cos

(mπct

L

)L

mπ

[minus cos

(mπzL

)]zprime0

rArr (464)

Bmy (z

prime t)minusBmy (0 t) =

2NradiccL

cos

(mπct

L

)[cos

(mπzprime

L

)minus1cos 0

] (465)

΄Αρα ορίζοντας κατάλληλα την τιμή του Bmy (0 t) προκύπτει

Bmy (z t) =

2NradiccL

cos(mπz

L

)cos

(mπct

L

)(466)

Για την πυκνότητα ενέργειας ισχύει

U =ϵ02E2 +

1

2micro0

B2 =ϵ02[E2 + c2B2] (467)

Σημειώνουμε ότι οι μονάδες για την πυκνότητα ενέργειας είναι [U ] = Jm3 Για πα-

ράδειγμα [ ϵ02E2] = F

mV2

m2 = CV2

Vm3 = Jm3 και [ B

2

2micro0] = T2A

Tm= TA

m= N

m2 = Nmm3 = J

m3 πχ λόγω των γνωστών σχέσεωνB = micro0H F = BIl και c2 = 1

ϵ0micro0 ΄Αρα από τις

Εξ 460 466 467 βρίσκουμε την πυκνότητα ενέργειας του m τρόπου

Um =ϵ02

4cN 2

L2

[sin2

(mπzL

)sin2

(mπct

L

)+ cos2

(mπzL

)cos2

(mπct

L

)] (468)

΄Αρα η ενέργεια του m τρόπου η οποία υπολογίζεται ολοκληρώνοντας την πυ-κνότητα ενέργειας του m τρόπου στην κοιλότητα όγκου V = LS

Εm =

intV=LS

d3r Um (469)

152

είναι

Εm =2ϵ0cN 2S

L2

[sin2

(mπct

L

)int L

0

dz sin2(mπz

L

)+ cos2

(mπct

L

)int L

0

dz cos2(mπz

L

)]

Θέτουμε ψ = πzLrArr dψ = π

Ldz άρα με τη βοήθεια των Εξ 446-447 τα ολοκληρώ-

ματα στο z γίνονται Lπ

int π0dψ sin2(mψ) = L

ππ2= L

2και L

π

int π0dψ cos2(mψ) = L

ππ2= L

2

Αντικαθιστούμε στην παραπάνω εξίσωση και τελικά έχοντας ακολουθήσει αυτή τηνκλασική προσέγγιση έχουμε

Εm =ϵ0cN 2S

L

[sin2

(mπct

L

)+ cos2

(mπct

L

)]=ϵ0cN 2S

L(470)

Ας δούμε τώρα λίγο αλλιώτικα την Εm

Εm =ϵ0cN 2S

L3

[L2 sin2

(mπct

L

)+ L2 cos2

(mπct

L

)] (471)

ορίζοντας ῾῾ γενικευμένη θέση και ταχύτητα ᾿᾿ Καλούμε λοιπόν ῾῾ γενικευμένη θέση ᾿᾿

qm(t) = L sin

(mπct

L

)(472)

και ῾῾ γενικευμένη ταχύτητα ᾿᾿

˙qm(t) = mπc cos

(mπct

L

)(473)

ούτως ώστε [qm(t)] = m και [ ˙qm(t)] = ms Τότε η Εξ 471 γράϕεται

Εm =ϵ0cN 2S

L3

[(qm(t))

2 +L2

m2π2c2( ˙qm(t))

2

] (474)

Θα μπορούσαμε εδώ να θεωρήσουμε μια αναλογία της Εξ 474 με Απλό ΑρμονικόΤαλαντωτή (ΑΑΤ) του οποίου η ενέργεια θα ήταν

Ε =K

2x2 +

M

2v2 =

K

2[x2 +

M

Kv2] (475)

Επομένωςϵ0cN 2S

L3=K

2 (476)

153

L2

m2π2c2=M

K (477)

Δηλαδή προκύπτει η ῾῾ σταθερά ελατηρίου ᾿᾿

K =2ϵ0cN 2S

L3 (478)

και η ῾῾ μάζα ᾿᾿ (η οποία σημειωτέο εξαρτάται από το m είναι δηλαδή διαϕορετική γιακάθε τρόπο του ΗΜ πεδίου m)

Mm =2ϵ0N 2S

cLm2π2 (479)

Μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι η Mm έχει διαστάσεις μάζας (θα χρειαστείκαι η Εξ 461) και πως ισχύει K = Mmω

2m ΄Αρα κλασικά υπάρχει μία τυπική

ομοιότητα με ΑΑΤ με κυκλική συχνότητα ωm (Εξ 450) και ῾῾ μάζα ᾿᾿ Mm (Εξ 479)δηλαδή η Εξ 471 ή 474 γράϕεται

Εm =Mmω

2m

2q2m +

Mm

2q2m (480)

Μπορούμε επομένως να πούμε ότι το κβαντικό αντίστοιχο για ένα τρόπο ΗΜπεδίου m δηλαδή η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m θα είναι

HΗΜ m =Mmω

2m

2q2m +

Mm

2˙q2m (481)

με ιδιοτιμές ενέργειας

Emnm = ~ωm(nm +1

2) (482)

όπου ο δείκτης m isin N lowast αϕορά τον τρόπο του ΗΜ πεδίου και ο δείκτης nm isin Nαϕορά τον αριθμό των ϕωτονίων στον τρόπο m Συνεπώς η Χαμιλτονιανή για όλουςτους τρόπους του ΗΜ πεδίου θα είναι

HΗΜ =summ

HΗΜ m (483)

Κατόπιν σημειώνουμε ότι από τις Εξ 460 και 472 συνεπάγεται ότι

Emx (z t) =

2radicc

L2N sin

(mπzL

)qm(t) (484)

154

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Emx (z t) =

2radicc

L2N sin

(mπzL

)qm(t) (485)

Επίσης από τις Εξ 466 και 473 συνεπάγεται ότι

Bmy (z t) =

2NLradicc

1

mπccos(mπz

L

)qm(t) (486)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Bmy (z t) =

2NLradicc

1

mπccos(mπz

L

)ˆqm(t) (487)

Από τις ΄Εξ 484 479 και 450 προκύπτει

Emx (z t) =

(2Mmωm

2

ϵ0V

)12

sin(mπz

L

)qm(t) (488)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Emx (z t) =

(2Mmωm

2

ϵ0V

)12

sin(mπz

L

)qm(t) (489)

Από τις ΄Εξ 486 479 και 450 προκύπτει

Bmy (z t) =

1

c

(2Mm

ϵ0V

)12

cos(mπz

L

)qm(t) (490)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Bmy (z t) =

1

c

(2Mm

ϵ0V

)12

cos(mπz

L

)ˆqm(t) (491)

Τέλος από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει όπως αναμενόταν [Ex

By] = [c]

155

44 Χαμιλτονιανή ΗΜ πεδίου με τελεστέςκαταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίων

Ας μιλήσουμε τώρα για τελεστές καταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίων (photoncreation and annihilation operators) Είναι τώρα εύκολο να κβαντωθεί η Χαμιλτο-νιανή που περιγράϕει το ΗΜ πεδίο αρκεί να εϕαρμοστεί η αντιστοιχία τελεστών

qm = qm (492)

pm = minusi~ part

partqm(493)

Εισάγουμε τους τελεστές

am =1radic

2Mm~ωm(Mmωmqm + ipm) ῾῾ καταστροϕής ᾿᾿ (494)

adaggerm =1radic

2Mm~ωm(Mmωmqm minus ipm) ῾῾ δημιουργίας ᾿᾿ (495)

Ισχύουν οι ιδιότητες[am a

daggerm]︸ ︷︷ ︸

μεταθέτης

= amadaggerm minus adaggermam = 1 (496)

[qm pm]︸ ︷︷ ︸μεταθέτης

= i~ (497)

΄Ετσι οι τελεστές qm pm μπορούν τώρα να γραϕούν

qm =

(~

2Mmωm

)12

(adaggerm + am) (498)

pm = i

(Mm~ωm

2

)12

(adaggerm minus am) (499)

Συνεπώς η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m είναι

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)(4100)

Ας συμβολίσουμε με |nm⟩ την κατάσταση του ΗΜ πεδίου με nm αριθμό ϕωτονίωνστον ΗΜ τρόπο m Λέμε ότι είναι μια ῾῾ κατάσταση ϕωτονικών αριθμών ᾿᾿ Τα |nm⟩αποτελούν ένα πλήρες σύστημα δηλαδή ισχύει ⟨nm|lm⟩ = δnl

156

Οι τελεστές adaggerm και am έχουν τις ιδιότητες

adaggerm |nm⟩ =radicnm + 1 |nm + 1⟩ (4101)

am |nm⟩ =radicnm |nm minus 1⟩ (4102)

am |0⟩ = |0⟩ (4103)

Από τις Εξ 4101 και 4102 προκύπτει

adaggermam |nm⟩ = nm |nm⟩ (4104)

δηλαδή ο τελεστής Nm = adaggermam μετρά τον αριθμό των ϕωτονίων του ΗΜ τρόπου mοπότε μπορεί να αποκληθεί τελεστής του αριθμού των ϕωτονίων στον ΗΜ τρόπο mΑκόμα επαγωγικά προκύπτει

|nm⟩ =1radicnm

(adaggerm)nm |0⟩ (4105)

Λόγω των Εξ 4100 και 4104 προκύπτει

HΗΜ m |nm⟩ = ~ωm(nm +1

2) |nm⟩ (4106)

δηλαδή η Χαμιλτονιανή HΗΜ m δίνει ιδιοτιμές ενέργειας

Emnm = ~ωm(nm +1

2) (4107)

Η θεμελιώδης κατάσταση του ΑΑΤ |0⟩ με ιδιοενέργεια 12~ωm αντιστοιχεί στο κενό

δηλαδή χωρίς σωμάτιο η 1η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |1⟩ με ιδιοενέργεια 32~ωm

αντιστοιχεί σε ένα σωμάτιο η 2η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |2⟩ με ιδιοενέργεια52~ωm αντιστοιχεί σε δύο σωμάτια κοκ Αυτά τα σωμάτια εν προκειμένω τα λέμεϕωτόνια Δημιουργούνται και καταστρέϕονται με τους τελεστές αναβιβάσεως καικαταβιβάσεως ξεκινώντας από ένα επίπεδο αναϕοράς που εδώ είναι το κενό Υπακού-ουν στις μποζονικές σχέσεις μεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράστασηείναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση (second quantization)Η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)= ~ωm

(Nm +

1

2

) (4108)

157

αγνοώντας τον όρο ~ωm

2 μπορεί να γραϕτεί

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm (4109)

Μπορούμε να έχουμε οσαδήποτε ϕωτόνια στην ενεργειακή κατάσταση ~ωm διότι εί-ναι μποζόνια Ο adaggerm είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζειτην ενέργεια δημιουργώντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωm εξ ού και η ονομασία τελε-στής δημιουργίας (creation operator) Ο am είναι τελεστής καταβιβάσεως (loweringoperator) διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωmεξ ού και η ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator)

Σχήμα 45 Σωμάτια (εδώ ϕωτόνια απεικονίζονται με πράσινες βούλες) δημιουργούνται και κατα-στρέϕονται μέσω των τελεστών αναβιβάσεως και καταβιβάσεως Υπακούουν στις μποζονικές σχέσειςμεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράσταση είναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση(second quantization) Ο αριθμός των ϕωτονίων είναι ίσος με τον αριθμό των κόμβων της ιδιοσυ-ναρτήσεως

Τέλος ας σημειώσουμε ότι από τις Εξ 489 και 498 προκύπτει

Emx (z t) =

(~ωmϵ0V

)12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4110)

ενώ από τις Εξ 491 και 499 προκύπτει

Bmy (z t) =

i

c

(~ωmϵ0V

)12

cos(mπz

L

)(adaggerm minus am) (4111)

158

45 Χαμιλτονιανή δισταθμικού συστήματοςμε σπίνορες

Θα περιγράψουμε την αναβίβαση και την καταβίβαση ενός ηλεκτρονίου μεταξύ τωνενεργειακών σταθμών ενός δισταθμικού συστήματος πχ ενός ατόμου με τη βοήθειασπινόρων (spinors) Σπίνορας είναι ένα διάνυσμα - στήλη με δύο συνιστώσες Αςαρχίσουμε με ορισμούς (πχ [62])

| ⟩ =

=

0

0

=| 0⟩ |darr⟩ =

bull

=

0

1

=| 1⟩ |uarr⟩ =

bull

=

1

0

=| 2⟩

(4112)Το πρώτο παριστά το άδειο δισταθμικό σύστημα το δεύτερο δηλώνει το δισταθμικόσύστημα με το ηλεκτρόνιο στην κάτω στάθμη όπου έχει ενέργεια E1 και το τρίτο δη-λώνει το δισταθμικό σύστημα με το ηλεκτρόνιο στην άνω στάθμη όπου έχει ενέργειαE2 Ας ορίσουμε τώρα τους τελεστές

S+ =

0 1

0 0

Sminus =

0 0

1 0

(4113)

για τους οποίους μάλιστα ισχύει Sdagger+ =

0 1

0 0

dagger

=

0 0

1 0

= Sminus Ας δούμε ποιό

είναι το αποτέλεσμα της δράσεώς τους στους σπίνορες που ορίσαμε μόλις προ ολίγου

S+ | 0⟩ =

0 1

0 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

S+ |darr⟩ =

0 1

0 0

0

1

=

1

0

=|uarr⟩ το ανεβάζει

S+ |uarr⟩ =

0 1

0 0

1

0

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

(4114)

159

Sminus | 0⟩ =

0 0

1 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

Sminus |darr⟩ =

0 0

1 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

Sminus |uarr⟩ =

0 0

1 0

1

0

=

0

1

=|darr⟩ το κατεβάζει

(4115)

΄Ετσι ο S+ ονομάζεται τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ενώ ο Sminus ονομάζε-ται τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) του ηλεκτρονίου Ας δούμε μερικέςακόμα ιδιότητες

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

= σx (4116)

που είναι ένας από τους πίνακες Pauli που παρατίθονται λίγο παρακάτω (Εξ 4133)Ακόμα

S+Sminus =

0 1

0 0

0 0

1 0

=

1 0

0 0

(4117)

SminusS+ =

0 0

1 0

0 1

0 0

=

0 0

0 1

(4118)

΄Αρα από τις Εξ 4117-4118 συνεπάγεται ότι

S+Sminus + SminusS+ =

1 0

0 1

= I (4119)

που είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας Μπορούμε να το γράψουμε και στη μορϕή

S+ Sminus = I (4120)

160

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4121)

ενώ [AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4122)

΄Οταν AB = 0 rArr AB + BA = 0 rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται ενώ όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οιποσότητες μετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση των ονομασίων ΄Οπωςθα δούμε παρακάτω η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσειςαντιμεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ηλεκτρόνια που είναι ϕερμιόνια ενώ ο με-ταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσεις μεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ϕωτόνιαπου είναι μποζόνια Συχνά στα ελληνικά συγγράμματα της δευτεροβάθμιας εκπαί-δευσης πολύ κακώς εδώ και δεκαετίες ονομάζεται ῾῾ αντιμεταθετική ᾿᾿ η μεταθετική(commutative) ιδιότητα χαθήκαμε δηλαδή στη μετάϕρασηΗ Χαμιλτονιανή του Δισταθμικού Συστήματος HΔΣ είναι η

E2S+Sminus + E1SminusS+ = E2

1 0

0 0

+ E1

0 0

0 1

=

E2 0

0 E1

(4123)

αϕού E2 0

0 E1

1

0

=

E2

0

= E2

1

0

(4124)

E2 0

0 E1

0

1

=

0

E1

= E1

0

1

(4125)

΄Αρα συνοπτικά δείξαμε ότι

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+ (4126)

Αν τώρα θέσουμε E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) οπότε

HΔΣ = ~ΩS+Sminus (4127)

161

Ο τελεστής S+Sminus μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη αϕού

S+Sminus | 1⟩ =

1 0

0 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ rArr S+Sminus | 1⟩ = 0 | 1⟩ (4128)

S+Sminus | 2⟩ =

1 0

0 0

1

0

=

1

0

=| 2⟩ rArr S+Sminus | 2⟩ = 1 | 2⟩ (4129)

Ο τελεστής SminusS+ μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην κάτω στάθμη αϕού

SminusS+ | 1⟩ =

0 0

0 1

0

1

=

0

1

=| 1⟩ rArr SminusS+ | 1⟩ = 1 | 1⟩ (4130)

SminusS+ | 2⟩ =

0 0

0 1

1

0

=

0

0

=| 0⟩ rArr SminusS+ | 2⟩ = 0 | 2⟩ (4131)

Παρατήρηση Συνοπτικά για τους τελεστές S+ και Sminus μπορούμε να αποδείξουμεότι (S+)

dagger = Sminus αλλά και ότι

S+ Sdagger+ = S+ Sminus = S+Sminus + SminusS+ = I

Sminus Sdaggerminus = Sminus S+ = SminusS+ + S+Sminus = I

S+ S+ = Sdaggerminus S

daggerminus = S+S+ + S+S+ = 0

Sminus Sminus = Sdagger+ S

dagger+ = SminusSminus + SminusSminus = 0

(4132)

όπου I είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας 2 times 2 και 0 είναι ο μηδενικός πίνακας2times2 Οι Εξ 4132 δείχνουν ότι οι τελεστές S+ και Sminus υπακούουν στις σχέσεις αντι-μεταθέσεως ϕερμιονίων που αναϕέρουμε στην Υποενότητα 462 της Ενότητας 46Ο S+ είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζει την ενέργειαδημιουργώντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού και η ονομασία τελεστής δημιουρ-γίας (creation operator) Ο Sminus είναι τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator)διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού καιη ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Μπορούμε να έχουμεμόνο ένα ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω διότι τα ηλεκτρόνια είναι ϕερμιόνια

162

Ας θυμηθούμε τώρα τους πίνακες Pauli σx σy σz και ας δούμε τη σχέση τους μετους τελεστές αναβιβάσεως και καταβιβάσεως ηλεκτρονίων S+ και Sminus αντιστοίχως

σx =

0 1

1 0

(4133)

σy =

0 minusi

i 0

(4134)

σz =

1 0

0 minus1

(4135)

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι ισχύει η ιδιότητα

[σx σy] = 2iσz (4136)

καθώς και οι κυκλικές εναλλαγές της Επίσης

σ2x = σ2

y = σ2z =

1 0

0 1

= I (4137)

και

σx σy = σxσy + σyσx = 0 (4138)

σy σz = σyσz + σzσy = 0

σz σx = σzσx + σxσz = 0

δηλαδή οι πίνακες Pauli αντιμετατίθονται Επί παραδείγματι

σx σy = σxσy + σyσx =0 1

1 0

0 minusi

i 0

+

0 minusi

i 0

0 1

1 0

=

i 0

0 minusi

+

minusi 0

0 i

=

0 0

0 0

= 0

Ακόμα μπορούμε να αποδείξουμε ότι

S+ + Sminus = σx

S+ minus Sminus = iσy

163

46 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων καισχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων

461 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων πχ ϕωτονίων

Ας ονομαστεί am ο τελεστής καταστροϕής μποζονίων και adaggerm ο τελεστήςδημιουργίας μποζονίων στην κατάσταση m Για τα μποζόνια ισχύουν οι σχέσειςμεταθέσεως (commutation relations)

[am aℓ] = 0

[adaggerm adaggerℓ] = 0

(4139)

[AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4140)

οπότε όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οι ποσότητεςμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας

462 Σχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων πχ ηλε-κτρονίων

Ας ονομαστεί ai ο τελεστής καταστροϕής ϕερμιονίων και adaggeri ο τελεστής δη-μιουργίας ϕερμιονίων στην κατάσταση i Για τα ϕερμιόνια ισχύουν οι σχέσεις αντι-μεταθέσεως (anticommutation relations)

ai adaggerj = δij

ai aj = 0

adaggeri adaggerj = 0

(4141)

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4142)

οπότε όταν AB = 0rArr AB+BA = 0rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας Αν εϕαρμόσουμετη σχέση adaggeri a

daggerj = 0 για την ίδια κατάσταση πχ i = j = r έχουμε adaggerr adaggerr =

0 rArr adaggerradaggerr = 0 που σημαίνει ότι

δεν μπορούμε να βάλουμε δύο ϕερμιόνια στην ίδια

κατάσταση πράγμα που είναι η απαγορευτική αρχή Pauli

164

47 Τελεστές κλίμακας (Ladder operators) [63]

Στη γραμμική άλγεβρα καθώς και στις εϕαρμογές της στην κβαντική μηχανική ορί-ζεται ο τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ο οποίος αυξάνει την ιδιοτιμή ενόςάλλου τελεστή και ο τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) ο οποίος μειώνειτην ιδιοτιμή ενός άλλου τελεστή Αυτοί συλλογικά ονομάζονται τελεστές κλίμα-κας (ladder operators) Στην κβαντομηχανική ο τελεστής αναβιβάσεως καλείταισυχνά τελεστής δημιουργίας (creation operator) και ο τελεστής καταβιβάσεως κα-λείται συχνά τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Γνωστές εϕαρμογέςτων τελεστών κλίμακας είναι στον απλό αρμονικό ταλαντωτή και στη στροϕορμήΣε πολλές περιοχές της ϕυσικής και της χημείας η χρήση αυτών των τελεστών αντίκυματοσυναρτήσεων είναι γνωστή ως δεύτερη κβάντωση (second quantization) [64]

165

48 Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεωςδισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου

΄Εστω δύο αντίθετα ηλεκτρικά ϕορτία q gt 0 και minusq lt 0 στα σημεία Θ και Α

αντιστοίχως Αν d =minusrarrΑΘ είναι το διάνυσμα θέσεως του θετικού ϕορτίου ως προς το

αρνητικό τότε η ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) ορίζεταιως

P = qd (4143)

πχ για το άτομο του υδρογόνου αν το Π παριστάνει τον πυρήνα και το Η παριστάνει

το ηλεκτρόνιο και ως συνήθως ορίσουμε r =minusrarrΠΗ τότε P = qd = e(minusr)rArr

P = minuser (4144)

Αυτό αποδίδεται άνω τμήμα του Σχήματος 46 Η δυναμική ενέργεια (potential

Σχήμα 46 ΄Ανω Ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) Κάτω (Ηλεκτρική) διπολικήροπή μεταβάσεως (transition (electric) dipole moment)

energy) UE του ηλεκτρικού διπόλου εντός ηλεκτρικού πεδίου E είναι

UE = minusP middot E (4145)

166

Ανάλογος με τον παραπάνω ορισμό μπορεί να δοθεί και για την περίπτωση της με-ταβάσεως ενός τμήματος του ηλεκτρονιακού νέϕους από μία αρχική σε μια τελική πε-ριοχή ΄Ετσι ορίζεται η (ηλεκτρική) διπολική ροπή μεταβάσεως [transition(electric) dipole moment] 1 Αυτό αποδίδεται στο κάτω τμήμα το Σχήματος 46Αν το ϕορτίο που μεταϕέρεται είναι minuse πάλι p = qd = e(minusr)rArr p = minuser Δηλαδήεννοείται ότι για την περιοχή 2 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμεί με μετά-βαση ϕορτίου minuse ενώ για την περιοχή 1 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμείμε μετάβαση ϕορτίου +eΟ τελεστής (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως [transition

(electric) dipole moment operator] σημειώνεται εναλλακτικά με ˆd ή ˆp Στη βάση τωνιδιοκαταστάσεων της ενέργειας του αδιατάρακτου ατόμου ή συστήματος ορίζεται ως

ˆd = ˆp =

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | (4146)

με τους επίσης εναλλακτικούς συμβολισμούς

dij = pij = minuse⟨Φi | ˆr | Φj⟩ (4147)

για το στοιχείο πίνακα της (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως μεταξύ των κα-ταστάσεων | Φi⟩ και | Φj⟩ Υπενθυμίζεται ότι ο τελεστής θέσεως (position operator)ˆr είναι τέτοιος ώστε

ˆr | r⟩ = r | r⟩ (4148)

Υπενθυμίζεται για τον συμβολισμό Dirac ότι

| A⟩ =

α1

α2

hArr ⟨A |= (αlowast1 αlowast

2) (4149)

Υπενθυμίζεται ακόμα ότι

⟨Φi | ˆr | Φj⟩ =sum

|rprime⟩|rprimeprime⟩

⟨Φi | rprime⟩⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩⟨rprimeprime | Φj⟩ =sum|rprime⟩

⟨Φi | rprime⟩ rprime ⟨rprime | Φj⟩

=sum|r⟩

⟨Φi | r⟩ r ⟨r | Φj⟩ =intdV Φi(r)

lowastrΦj(r)

1Η λέξη ῾῾ ηλεκτρική ᾿᾿ είναι εντός παρενθέσεως επειδή συνήθως επειδή εννοείται παραλείπεται

167

διότι⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩ = rprimeprime⟨rprime|rprimeprime⟩ = rprimeprimeδrprimerprimeprime (4150)

΄Αρα

d11 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ1(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4151)

d12 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ2(r) = 0 (4152)

d21 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ1(r) = 0 (4153)

d22 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ2(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4154)

Δηλαδή ενώ τα διαγώνια στοιχεία μηδενίζονται τα d12 και d21 δεν είναι (῾῾ εκ ταυτό-τητος ᾿᾿) μηδέν Ας δούμε τώρα ποιος είναι ο ˆp σε δισταθμικό σύστημα

ˆp = d11 | Φ1⟩⟨Φ1 | + d12 | Φ1⟩⟨Φ2 | + d21 | Φ2⟩⟨Φ1 | + d22 | Φ2⟩⟨Φ2 |

= d11

0

1

(0 1)+ d12

0

1

(1 0)+ d21

1

0

(0 1)+ d22

1

0

(1 0)

= 0 ⋆

d11︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

0 0

0 1

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

+ d12︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 0

1 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ d21︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 1

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ 0 ⋆

d22︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

1 0

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

Από τις Εξ (4152)-(4153) συμπεραίνουμε ότι d12 = d21 με την προϋπόθεση ότι οιΦi(r) είναι πραγματικές οπότε

ˆp = d12

0 1

1 0

(4155)

168

Ερώτηση Και τι κάνει ο τελεστής

0 1

1 0

Απάντηση0 1

1 0

0

1

=

1

0

0 1

1 0

1

0

=

0

1

Δηλαδή μεταϕέρει από τη μία ενεργειακή στάθμη στην άλλη όπως θα έπρεπε

Τώρα μπορεί να οριστεί ο τελεστής δυναμικής ενέργειας (potential e-nergy operator) Θεωρούμε ότι η αλληλεπίδραση δισταθμικού συστήματος - ΗΜπεδίου έχει τη μορϕή μηχανισμού ηλεκτρικού διπόλου Αγνοούμε άλλης μορϕής αλ-ληλεπιδράσεις όπως πχ ηλεκτρικού τετραπόλου ή μαγνητικού διπόλου Αϕού

UE = minusP middot E rArr

UmE = minusP middot Em (4156)

όπου ο δείκτης m δηλώνει τον m τρόπο του ΗΜ πεδίου ο αντίστοιχος τελεστήςμπορεί να οριστεί ως

UmE = minus ˆp middot ˆEm (4157)

Επομένως

UmE = minus

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | middotEmx (z t)i

i είναι το μοναδιαίο άνυσμα του άξονα x αϕού έχουμε υποθέσει αυτόν τον προσανα-τολισμό για το ηλεκτρικό πεδίο (δείτε Σχήμα 42) ΄Η λόγω της Εξ 4155

UmE = minusd12

0 1

1 0

middot Emx (z t)i (4158)

Αλλά

d12 middot i = minuseintdV Φ1(r)

lowast(r middot i)Φ2(r) = minusex12 = Px12 = P (4159)

169

Συνεπώς

UmE = ex12

0 1

1 0

Emx (z t) (4160)

Υπενθυμίζονται οι Εξ 4110 και 4111

Emx (z t) =

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4161)

Bmy (z t) =

(~ωmε0V

) 12 1

ccos(mπz

L

)i(adaggerm minus am) (4162)

από τις οποίες όμως στα πλαίσια των υποθέσεών μας χρειαζόμαστε τώρα μόνον τηνπρώτη Επίσης υπενθυμίζεται ότι

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

(4163)

΄Αρα εν τέλει

UmE = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4164)

Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε

~gm = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(4165)

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4166)

Αυτή είναι λοιπόν η Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συ-στήματος - ΗΜ πεδίου για τον ΗΜ τρόπο m Εάν βρισκόμαστε σταπλαίσια της ατομικής ϕυσικής τότε συμβολίζεται και Hm

AF όπου οι δείκτες σημαίνουνAtom-FieldΑπό την Εξ 4165 προκύπτει

~|gm| = |P |∣∣∣∣ (~ωm

ε0V

) 12

sin(mπz

L

) ∣∣∣∣ = |P| Em0 (4167)

170

όπου όμως το ῾῾ πλάτος ᾿᾿ Em0 εξαρτάται από τη θέση z του ατόμου στην κοιλότητα

είναι δηλαδή Em0 = Em

0 (z) Η |gm| (ή οποία συμβολίζεται και με ΩmR ) είναι η λεγόμενη

συχνότητα Rabi Εάν εννοείται σε ποιον ΗΜ τρόπο m αναϕερόμαστε μπορούμε ναχρησιμοποιήσουμε σκέτο το |g| ή το ΩR ΄Αρα

|gm| ή ΩmR =

|P|Em0

~(4168)

Για να μη γράϕουμε απόλυτα μπορούμε σε κάθε θέση να διαλέγουμε τη ϕάση τωνκυματοσυναρτήσεων τέτοια ώστε το g να είναι θετικό και πραγματικό [65] Συνοπτικά

gm ή ΩmR =

|P|Em0

~(4169)

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Τώρα συμπληρώνεται η εικόνα με την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπί-δραση ενός ΗΜ τρόπου m με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4170)

΄Αρα η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4171)

Επομένως οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩ (4172)

|darr nm⟩ (4173)

171

Ας δούμε λίγο προσεκτικότερα τη Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικούσυστήματος - ΗΜ πεδίου (Εξ 4166) Για έναν μοναδικό τρόπο m η Χαμιλτονιανήαυτή αναλυεται σε τέσσερις όρους

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) =

= ~gmS+adaggerm︸ ︷︷ ︸

1ος

+ S+am︸ ︷︷ ︸2ος

+ Sminusadaggerm︸ ︷︷ ︸

3ος

+ Sminusam︸ ︷︷ ︸4ος

bull 1ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E gt 0 Επόμένως αυτός ο όρος μόνος τουδεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

bull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻︸ ︷︷ ︸

μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολ-λοί τρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτο-νιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται απόάθροισμα όρων όπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημανα απορροϕήσει ένα ϕωτόνιο υψηλής συχνότητας και να ανεβεί ενώ παράλληλαδημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο χαμηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi www≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

simsim≻ ff lt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 2ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο Αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

172

bull 3ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιοΚαι αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικάbull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 4ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο ΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E lt 0 Επόμένως και αυτός ο όροςμόνος του δεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολλοίτρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτονιανή αλλη-λεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται από άθροισμα όρωνόπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημα να απορροϕήσει έναϕωτόνιο χαμηλής συχνότητας και να κατεβεί ενώ παράλληλα δημιουργείται εκπέμ-πεται ϕωτόνιο υψηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

www≻ ff gt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

Αν αγνοήσουμε τον 1ο και 4ο όρο που ο καθένας μόνος του δεν διατηρεί τηνενέργεια τότε

UmE = ~gm

(S+am + Sminusa

daggerm

) (4174)

Η προσέγγιση είναι κατά κάποιο τρόπο ανάλογη της RWA (Rotating Wave Approxi-mation) του Κεϕαλαίου 3 Εκεί στις εξισώσεις Rabi κρατήσαμε μόνο τους αργούςόρους όπου ΗΜ πεδίο και το δισταθμικό σύστημα βρίσκονται σε περίπου συντονισμό

173

δηλαδή Ω ≃ ω Τότε κρατήσαμε τους αργούς όρους eplusmni(Ωminusω)t και αγνοήσαμε τουςγρήγορους όρους eplusmni(Ω+ω)tΣυνοπτικά ενώ για την ολική Χαμιλτονιανή ενός τρόπου m έχουμε την λεγόμενη

Χαμιλτονιανή Rabi

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4175)

κατά την παραπάνω συζήτηση αγνοούμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενουςcounter-rotating terms

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4176)

οπότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66]

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4177)

Στην ΄Ασκηση 1 (παραλείποντας τον δείκτη του ΗΜ τρόπου m απλότητα) βρί-σκουμε (Α) τι κάνουν οι όροι adaggera aadagger S+Sminus SminusS+ S+a

dagger S+a Sminusadagger Sminusa στις κα-

ταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩ και (Β) υπολογίζουμε τα ⟨adaggera⟩ ⟨aadagger⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨SminusS+⟩⟨S+a

dagger⟩ ⟨S+a⟩ ⟨Sminusadagger⟩ ⟨Sminusa⟩ για τις καταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩

174

49 Σύνοψη Χαμιλτονιανών

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Ακόμα είδαμε την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπίδραση ενός ΗΜ τρόπουm με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

Οπότε η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί (Εξ 4171)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

και οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩|darr nm⟩

Ακόμα αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενους counter-rotatingterms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam)

τότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66] (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm)

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

142

Για παράδειγμα ξεκινώντας από την Εξ 412γʹ έχουμε E times (k times E) = ωE times B rArr(E middot E)k minus (E middot k)E = ωE times B αλλά λόγω της Εξ 412αʹ προκύπτει

E times B =|E|2

ωk (415)

Λαμβάνοντας υπ΄ όψιν τις ήδη αποδεδειγμένες καθετότητες των κατευθύνσεων τωνE B k από τις Εξ 412γʹ-412δʹ προκύπτει

|E||B|

= c (416)

Σχήμα 41 E times B uarruarr k

Ας δοκιμάσουμε τώρα στις Εξ 860 και 861 αντί των λύσεων 845 και 847λύσεις της μορϕής

E(r t) = E0ei(kemiddotrminusωet+δe) = E0e

ε⃝ (417)

B(r t) = B0ei(kbmiddotrminusωbt+δb) = B0e

β⃝ (418)

δηλαδή ας θεωρήσουμε ότι τα E(r t) και B(r t) δεν έχουν κατ΄ ανάγ-κην ίσα κυματανύσματα ke και kb κυκλικές συχνότητες ωe και ωb και῾῾ αρχικές ϕάσεις ᾿᾿ δe και δb Τότε

Εξ 844 417 rArr ke middot E = 0 (419αʹ)

Εξ 846 418 rArr kb middot B = 0 (419βʹ)

Εξ 848 417 418 rArr ke times E = ωbB (419γʹ)

Εξ 849 417 418 rArr kb times B = minusmicro0ϵ0ωeE (419δʹ)

143

και δεν προκύπτει κάποια σχέση μεταξύ των δe δb Από την Εξ 419γʹ προκύπτει∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

kex key kez

E0xeε⃝ E0ye

ε⃝ E0zeε⃝

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (ωbB0xeβ⃝ ωbB0ye

β⃝ ωbB0zeβ⃝)rArr

keyE0ze

ε⃝ minuskezE0yeε⃝ = ωbB0xe

β⃝

kezE0xeε⃝ minuskexE0ze

ε⃝ = ωbB0yeβ⃝

kexE0yeε⃝ minuskeyE0xe

ε⃝ = ωbB0zeβ⃝

rArr

keyE0zminuskezE0y

ωbB0x= e β⃝e ε⃝lowast

= ei[(kbminuske)middotrminus(ωbminusωe)t+(δbminusδe)]

kezE0xminuskexE0z

ωbB0y= e β⃝e ε⃝lowast

= το ίδιο

kexE0yminuskeyE0x

ωbB0z= e β⃝e ε⃝lowast

= το ίδιο

σταθερές συναρτήσεις των r t

Αν θεωρήσουμε κάποια συγκεκριμένη χρονική στιγμή t επειδή τα αριστερά μέρη

είναι σταθερά θα πρέπει και τα δεξιά να είναι δηλαδή να μην εξαρτώνται από το rάρα

kb = ke (421)

Αν θεωρήσουμε κάποια συγκεκριμένη θέση r επειδή τα αριστερά μέρη είναι σταθεράθα πρέπει και τα δεξιά να είναι δηλαδή να μην εξαρτώνται από το t άρα

ωb = ωe (422)

Τέλος από τις Εξ 8100-8101 έπεται ότι τα δεξιά μέρη θα ισούνται με ei(δbminusδe) =cos(δbminusδe)+i sin(δbminusδe) Αν τα αριστερά μέρη ήταν πραγματικά τότε sin(δbminusδe) =0rArr δb minus δe = nπ n isin Z οπότε υπάρχει μερική λύση δb = δe Τα E0 B0 όμως είναιεν γένει μιγαδικά άρα καταλήγουμε στις σχέσεις

keyE0zminuskezE0y

ωbB0x= ei(δbminusδe)

kezE0xminuskexE0z

ωbB0y= ei(δbminusδe)

kexE0yminuskeyE0x

ωbB0y= ei(δbminusδe)

(423)

και τίποτε παραπάνω

144

43 Στάσιμο ΗΜ κύμα σε κοιλότητα

Στην Ενότητα αυτό θα κατασκευάσουμε μια έκϕραση της Χαμιλτονιανής του ΗΜπεδίου που να επιτρέπει το μετασχηματισμό της στη γλώσσα του αριθμού των ϕωτο-νίων αντί της γλώσσας που χρησιμοποιεί τα ανυσματικά μεγέθη E B Αυτό θα γίνειστο παράδειγμα του στάσιμου ΗΜ κύματος σε κοιλότηταΠριν από αυτό ας θυμηθούμε ότι για τρέχοντα ΗΜ κύματα με τις προϋποθέσεις

της Ενότητας 42 έχουμε

nabla2E =1

c2part2E

partt2E(r t) = E0e

i(kmiddotrminusωt+δ) (424)

nabla2B =1

c2part2B

partt2B(r t) = B0e

i(kmiddotrminusωt+δ) (425)

και E times B uarruarr k όπως ϕαίνεται στο Σχήμα 42 αριστερά Πρόκειται για κυματικέςεξισώσεις για το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο αντιστοίχως σε 3 διαστάσεις καιτις λύσεις τους

Σχήμα 42 [Αριστερά] Για τρέχοντα ΗΜ κύματα έχουμε E times B uarruarr k [Δεξιά] Υποθέτουμε ότιE times B uarruarr k με τον προσανατολισμό σε άξονες που δείχνει το σχήμα

Αν ο προσανατολισμός σε άξονες είναι αυτός που δείχνει το Σχήμα 42 δεξιάτότε

nabla2Ex =1

c2part2Expartt2

(426)

E(r t) = Ex0ei(kzzminusωt+δ) = Ex(z t) (427)

145

nabla2By =1

c2part2By

partt2(428)

B(r t) = B0yei(kzzminusωt+δ) = By(z t) (429)

οπότεpart2Expartz2

=1

c2part2Expartt2

(430)

part2By

partz2=

1

c2part2By

partt2(431)

Πρόκειται για κυματικές εξισώσεις για το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο αντιστοί-χως σε 1 διάσταση Ας δούμε τώρα αν βγαίνει κάποιο συμπέρασμα από τις εξισώσειςτου Maxwell στο κενό

nabla middot E = 0 (Εξ 844) rArr partExpartx

+70

partEyparty

+0

partEzpartz

= 0rArr partExpartx

+ 0 + 0 = 0rArr

partExpartx

= 0 πράγμα αναμενόμενο (432)

nabla middot B = 0 (Εξ 846) rArr

0

partBx

partx+partBy

party+

0

partBz

partz= 0rArr 0 +

partBy

party+ 0 = 0rArr

partBy

party= 0 πράγμα αναμενόμενο (433)

nabla times E = minuspartBpartt

(Εξ 848)rArr

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

partpartx

partparty

partpartz

Ex 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = minusjpartBy

parttrArr j

partExpartz

= minusj partBy

parttrArr

partExpartz

= minuspartBy

partt (434)

nablatimesB = ϵ0micro0partE

partt(Εξ 849)rArr

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

partpartx

partparty

partpartz

0 By 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =1

c2partExpartt

irArr i(minuspartBy

partz) = i

1

c2partExparttrArr

146

partBy

partz= minus 1

c2partExpartt

(435)

spades Τώρα βάζουμε ιδανικώς αγώγιμα κάτοπτρα στις θέσεις z = 0 και z = L (Σχή-μα 43) Το προσπίπτον σε κάθε κάτοπτρο κύμα θα συμβάλει με το ανακλώμενο άραθα δημιουργηθούν στάσιμα κύματα

Οι Εξ 430 και 434 εξακολουθούν να ισχύουν

Οι Εξ 431 και 435 για το γραμμικό συνδυασμό

των προσπιπτόντων και ανακλωμένων κυμάτων

part2Expartz2

=1

c2part2Expartt2

partExpartz

= minuspartBy

partt

part2By

partz2=

1

c2part2By

partt2partBy

partz= minus 1

c2partExpartt

Σχήμα 43 Στις θέσεις z = 0 και z = L τοποθετούνται επίπεδα ιδανικώς αγώγιμα κάτοπτρα

Αναζητούμε λύση με μέθοδο των χωριζομένων μεταβλητών υποθέτοντας ότι

Ex(z t) = NZ(z)T (t) (436)

Ας θυμηθούμε τις συνοριακές συνθήκες στη διεπιϕάνεια ιδανικού αγωγού - κενούή κατά προσέγγιση αέρα (θυμηθείτε το Σχήμα 116) Η εϕαπτομενική συνιστώσα του

147

Σχήμα 44 Αγώγιμα κάτοπτρα πριν από z = 0 και μετά από z = L

E μηδενίζεται στη διεπιϕάνεια αυτή Επειδή το E έχει μόνο x συνιστώσα (Εξ 427)και τα επίπεδα ιδανικώς αγώγιμα κάτοπτρα τοποθετούνται στις θέσεις z = 0 καιz = L οπότε το E είναι παράλληλο σε αυτά έπεται ότι

Ex(0 t) = 0 = Ex(L t)forallt (437)

Από τις Εξ 430 και 436 έπεται ότι

NT (t)d2Z

dz2=N

1

c2Z(z)

d2T

dt2hArr

hArr 1

Z(z)

d2Z

dz2︸ ︷︷ ︸f(z)

=1

T (t)

1

c2d2T

dt2︸ ︷︷ ︸g(t)︸ ︷︷ ︸

forallz forallt

άρα= σταθερά = minusk2

αρκεί Z(z) = 0 και T (t) = 0 ενώ για Z(z) = 0 και T (t) = 0 ισχύει η τετριμένηλύση ΄Αρα

d2Z

dz2+ k2Z(z) = 0 (438)

καιd2T

dt2+ k2c2T (t) = 0 (439)

148

bull Ας λύσουμε αρχικά την Εξ 438 δοκιμάζοντας λύσεις της μορϕής eλz οπότεπροκύπτει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο

λ2 + k2 = 0rArr λ2 = minusk2 rArr λ = plusmnik πχ ας διαλέξουμε k isin real+

΄Αρα ουσιαστικά η λύση θα είναι της μορϕής

Z(z) = Aeikz +Beminusikz (440)

Z(0) = 0 συνοριακή συνθήκη 1 (441)

Z(L) = 0 συνοριακή συνθήκη 2 (442)

όπου λάβαμε υπ΄ όψιν τις συνοριακές συνθήκες 437 Από τις Εξ 440 και 441συνεπάγεται ότι A+B = 0rArr B = minusA οπότε η Εξ 440 γίνεται

Z(z) = Aeikz minus Aeminusikz = 2iA sin(kz) (443)

και εϕαρμόζοντας την Εξ 442

sin(kL) = 0rArr kL = mπm isin Z (444)

Δεδομένου όμως ότι διαλέξαμε παραπάνω k isin real+ θα πρέπει m isin N και για μημηδενική λύση θα πρέπει m isin N lowast οπότε k isin reallowast

+ Συνοπτικά το k εξαρτάται απόένα ϕυσικό μη μηδενικό δείκτη δηλαδή

km =mπ

Lm isin N lowast (445)

Αρα Zm(z) = 2Ai sin

(mπz

L

)Κι αν απαιτήσουμε οι Zm να είναι ορθοκανονικές

int L

0

dzZlowastm(z)Zl(z) = δml

rArr

rArrint L

0

dz | 2iA |2 sin(mπz

L

)sin

(lπz

L

)= δml rArr

int π

0

L

πdψ | 2iA |2 sin(mψ) sin(lψ) = δml

όπου ορίσαμε ψ = πzL οπότε dψ = π

Ldz Τότε

L

π4 | A |2

int π

0

dψ sin(mψ) sin(lψ) = δml

149

Αλλά int π

0

dψ sin(mψ) sin(lψ) =π

2δml (446)

ενώ ισχύει επίσης int π

0

dψ cos(mψ) cos(lψ) =π

2δml (447)

ΕπομένωςL

π4 | A |2 π

2δml = δml rArr| A |2=

1

2L

Ας διαλέξουμε κάτι βολικό πχ A =1radic2L

(minusi)

Συνεπώς

Zm(z) =

radic2

Lsin

(mπz

L

)(448)

bull Στη συνέχεια ας λύσουμε την Εξ 439 Ας ορίσουμε

ω = kc gt 0 (449)

οπότε ω2 = k2c2 Χρησιμοποιώντας την Εξ 445

ωm =mπc

Lm isin N lowast (450)

Δοκιμάζοντας λύσεις της μορϕής eλt προκύπτει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο

λ2 + ω2m = 0rArr λ = plusmniωm ωm isin reallowast

+ (451)

΄Αρα ουσιαστικά η λύση θα είναι της μορϕής

T (t) = Γeiωmt +∆eminusiωmt (452)

Κι αν θέσουμε την αρχική συνθήκη

T (0) = 0 (453)

προκύπτει Γ +∆ = 0rArr ∆ = minusΓ οπότε

T (t) = Γeiωmt minus Γeminusiωmt = 2iΓ sin(ωmt)rArr (454)

150

Tm(t) = 2iΓ sin

(mπc

Lt

)(455)

Κι αν απαιτήσουμε οι Tm να είναι ορθοκανονικές δηλαδήint κάτι0

dtT lowastm(t)Tl(t) = δml rArr

int κάτι0

dt | 2iΓ |2 sin(mπct

L

)sin

(lπct

L

)= δml rArr

rArr 4 | Γ |2int κάτι0

dt sin

(mπct

L

)sin

(lπct

L

)= δml

Θέτοντας χ = πctL οπότε dχ = πc

Ldt καταλήγουμε στη σχέση

4 | Γ |2 L

πc

int πcLmiddotκάτι

0

dχ sin(mχ) sin(lχ) = δml (456)

΄Αρα έχοντας υπ΄ όψη την Εξ 446 είναι βολικό να θέσουμε πcLmiddot κάτι = π rArr

κάτι =L

c= τ (457)

΄Ετσι ορισμένο το τ είναι ο χρόνος πτήσεως του ϕωτονίου διαμέσου της κοιλότητας(time of photon flight through cavity) άρα δεν ήταν παράλογο που το θέσαμε έτσιΣυνεπώς εν τέλει η ορθοκανονικοποίηση είναιint τ

0

dtT lowastm(t)Tl(t) = δml (458)

Τελικά έχουμε

4 | Γ |2 L

πc

int π

0

dχ sin(mχ) sin(lχ) = δml rArr| Γ |=radic

c

2L

Κι αν διαλέξουμε κάτι βολικό πχ Γ = (minusi)radic

c2L τελικά έχουμε

Tm(t) =

radic2c

Lsin

(mπc

Lt

)(459)

΄Αρα συνοψίζοντας με τη βοήθεια των Εξ 436 448 459 καταλήγουμε στην

Emx (z t) =

2radicc

LN sin

(mπz

L

)sin

(mπct

L

)(460)

151

΄Οσον αϕορά τις μονάδες θα πρέπει [2radicc

LN ] = V

m= N

CrArr

[N ] =Vradicms

(461)

Για να προσδιορίσουμε το μαγνητικό πεδίο θα χρησιμοποιήσουμε την Εξ 435 σεσυνδυασμό με την Εξ 460 οπότε προκύπτει

partBmy

partz= minus 1

c22radicc

LN sin

(mπzL

) mπcL

cos

(mπct

L

)rArr (462)

int zprime

0

dzpartBm

y

partz= minus 2mπradic

cL2N cos

(mπct

L

)int zprime

0

dz sin(mπz

L

)rArr (463)

Bmy (z

prime t)minusBmy (0 t) = minus

2mπradiccL2N cos

(mπct

L

)L

mπ

[minus cos

(mπzL

)]zprime0

rArr (464)

Bmy (z

prime t)minusBmy (0 t) =

2NradiccL

cos

(mπct

L

)[cos

(mπzprime

L

)minus1cos 0

] (465)

΄Αρα ορίζοντας κατάλληλα την τιμή του Bmy (0 t) προκύπτει

Bmy (z t) =

2NradiccL

cos(mπz

L

)cos

(mπct

L

)(466)

Για την πυκνότητα ενέργειας ισχύει

U =ϵ02E2 +

1

2micro0

B2 =ϵ02[E2 + c2B2] (467)

Σημειώνουμε ότι οι μονάδες για την πυκνότητα ενέργειας είναι [U ] = Jm3 Για πα-

ράδειγμα [ ϵ02E2] = F

mV2

m2 = CV2

Vm3 = Jm3 και [ B

2

2micro0] = T2A

Tm= TA

m= N

m2 = Nmm3 = J

m3 πχ λόγω των γνωστών σχέσεωνB = micro0H F = BIl και c2 = 1

ϵ0micro0 ΄Αρα από τις

Εξ 460 466 467 βρίσκουμε την πυκνότητα ενέργειας του m τρόπου

Um =ϵ02

4cN 2

L2

[sin2

(mπzL

)sin2

(mπct

L

)+ cos2

(mπzL

)cos2

(mπct

L

)] (468)

΄Αρα η ενέργεια του m τρόπου η οποία υπολογίζεται ολοκληρώνοντας την πυ-κνότητα ενέργειας του m τρόπου στην κοιλότητα όγκου V = LS

Εm =

intV=LS

d3r Um (469)

152

είναι

Εm =2ϵ0cN 2S

L2

[sin2

(mπct

L

)int L

0

dz sin2(mπz

L

)+ cos2

(mπct

L

)int L

0

dz cos2(mπz

L

)]

Θέτουμε ψ = πzLrArr dψ = π

Ldz άρα με τη βοήθεια των Εξ 446-447 τα ολοκληρώ-

ματα στο z γίνονται Lπ

int π0dψ sin2(mψ) = L

ππ2= L

2και L

π

int π0dψ cos2(mψ) = L

ππ2= L

2

Αντικαθιστούμε στην παραπάνω εξίσωση και τελικά έχοντας ακολουθήσει αυτή τηνκλασική προσέγγιση έχουμε

Εm =ϵ0cN 2S

L

[sin2

(mπct

L

)+ cos2

(mπct

L

)]=ϵ0cN 2S

L(470)

Ας δούμε τώρα λίγο αλλιώτικα την Εm

Εm =ϵ0cN 2S

L3

[L2 sin2

(mπct

L

)+ L2 cos2

(mπct

L

)] (471)

ορίζοντας ῾῾ γενικευμένη θέση και ταχύτητα ᾿᾿ Καλούμε λοιπόν ῾῾ γενικευμένη θέση ᾿᾿

qm(t) = L sin

(mπct

L

)(472)

και ῾῾ γενικευμένη ταχύτητα ᾿᾿

˙qm(t) = mπc cos

(mπct

L

)(473)

ούτως ώστε [qm(t)] = m και [ ˙qm(t)] = ms Τότε η Εξ 471 γράϕεται

Εm =ϵ0cN 2S

L3

[(qm(t))

2 +L2

m2π2c2( ˙qm(t))

2

] (474)

Θα μπορούσαμε εδώ να θεωρήσουμε μια αναλογία της Εξ 474 με Απλό ΑρμονικόΤαλαντωτή (ΑΑΤ) του οποίου η ενέργεια θα ήταν

Ε =K

2x2 +

M

2v2 =

K

2[x2 +

M

Kv2] (475)

Επομένωςϵ0cN 2S

L3=K

2 (476)

153

L2

m2π2c2=M

K (477)

Δηλαδή προκύπτει η ῾῾ σταθερά ελατηρίου ᾿᾿

K =2ϵ0cN 2S

L3 (478)

και η ῾῾ μάζα ᾿᾿ (η οποία σημειωτέο εξαρτάται από το m είναι δηλαδή διαϕορετική γιακάθε τρόπο του ΗΜ πεδίου m)

Mm =2ϵ0N 2S

cLm2π2 (479)

Μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι η Mm έχει διαστάσεις μάζας (θα χρειαστείκαι η Εξ 461) και πως ισχύει K = Mmω

2m ΄Αρα κλασικά υπάρχει μία τυπική

ομοιότητα με ΑΑΤ με κυκλική συχνότητα ωm (Εξ 450) και ῾῾ μάζα ᾿᾿ Mm (Εξ 479)δηλαδή η Εξ 471 ή 474 γράϕεται

Εm =Mmω

2m

2q2m +

Mm

2q2m (480)

Μπορούμε επομένως να πούμε ότι το κβαντικό αντίστοιχο για ένα τρόπο ΗΜπεδίου m δηλαδή η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m θα είναι

HΗΜ m =Mmω

2m

2q2m +

Mm

2˙q2m (481)

με ιδιοτιμές ενέργειας

Emnm = ~ωm(nm +1

2) (482)

όπου ο δείκτης m isin N lowast αϕορά τον τρόπο του ΗΜ πεδίου και ο δείκτης nm isin Nαϕορά τον αριθμό των ϕωτονίων στον τρόπο m Συνεπώς η Χαμιλτονιανή για όλουςτους τρόπους του ΗΜ πεδίου θα είναι

HΗΜ =summ

HΗΜ m (483)

Κατόπιν σημειώνουμε ότι από τις Εξ 460 και 472 συνεπάγεται ότι

Emx (z t) =

2radicc

L2N sin

(mπzL

)qm(t) (484)

154

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Emx (z t) =

2radicc

L2N sin

(mπzL

)qm(t) (485)

Επίσης από τις Εξ 466 και 473 συνεπάγεται ότι

Bmy (z t) =

2NLradicc

1

mπccos(mπz

L

)qm(t) (486)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Bmy (z t) =

2NLradicc

1

mπccos(mπz

L

)ˆqm(t) (487)

Από τις ΄Εξ 484 479 και 450 προκύπτει

Emx (z t) =

(2Mmωm

2

ϵ0V

)12

sin(mπz

L

)qm(t) (488)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Emx (z t) =

(2Mmωm

2

ϵ0V

)12

sin(mπz

L

)qm(t) (489)

Από τις ΄Εξ 486 479 και 450 προκύπτει

Bmy (z t) =

1

c

(2Mm

ϵ0V

)12

cos(mπz

L

)qm(t) (490)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Bmy (z t) =

1

c

(2Mm

ϵ0V

)12

cos(mπz

L

)ˆqm(t) (491)

Τέλος από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει όπως αναμενόταν [Ex

By] = [c]

155

44 Χαμιλτονιανή ΗΜ πεδίου με τελεστέςκαταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίων

Ας μιλήσουμε τώρα για τελεστές καταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίων (photoncreation and annihilation operators) Είναι τώρα εύκολο να κβαντωθεί η Χαμιλτο-νιανή που περιγράϕει το ΗΜ πεδίο αρκεί να εϕαρμοστεί η αντιστοιχία τελεστών

qm = qm (492)

pm = minusi~ part

partqm(493)

Εισάγουμε τους τελεστές

am =1radic

2Mm~ωm(Mmωmqm + ipm) ῾῾ καταστροϕής ᾿᾿ (494)

adaggerm =1radic

2Mm~ωm(Mmωmqm minus ipm) ῾῾ δημιουργίας ᾿᾿ (495)

Ισχύουν οι ιδιότητες[am a

daggerm]︸ ︷︷ ︸

μεταθέτης

= amadaggerm minus adaggermam = 1 (496)

[qm pm]︸ ︷︷ ︸μεταθέτης

= i~ (497)

΄Ετσι οι τελεστές qm pm μπορούν τώρα να γραϕούν

qm =

(~

2Mmωm

)12

(adaggerm + am) (498)

pm = i

(Mm~ωm

2

)12

(adaggerm minus am) (499)

Συνεπώς η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m είναι

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)(4100)

Ας συμβολίσουμε με |nm⟩ την κατάσταση του ΗΜ πεδίου με nm αριθμό ϕωτονίωνστον ΗΜ τρόπο m Λέμε ότι είναι μια ῾῾ κατάσταση ϕωτονικών αριθμών ᾿᾿ Τα |nm⟩αποτελούν ένα πλήρες σύστημα δηλαδή ισχύει ⟨nm|lm⟩ = δnl

156

Οι τελεστές adaggerm και am έχουν τις ιδιότητες

adaggerm |nm⟩ =radicnm + 1 |nm + 1⟩ (4101)

am |nm⟩ =radicnm |nm minus 1⟩ (4102)

am |0⟩ = |0⟩ (4103)

Από τις Εξ 4101 και 4102 προκύπτει

adaggermam |nm⟩ = nm |nm⟩ (4104)

δηλαδή ο τελεστής Nm = adaggermam μετρά τον αριθμό των ϕωτονίων του ΗΜ τρόπου mοπότε μπορεί να αποκληθεί τελεστής του αριθμού των ϕωτονίων στον ΗΜ τρόπο mΑκόμα επαγωγικά προκύπτει

|nm⟩ =1radicnm

(adaggerm)nm |0⟩ (4105)

Λόγω των Εξ 4100 και 4104 προκύπτει

HΗΜ m |nm⟩ = ~ωm(nm +1

2) |nm⟩ (4106)

δηλαδή η Χαμιλτονιανή HΗΜ m δίνει ιδιοτιμές ενέργειας

Emnm = ~ωm(nm +1

2) (4107)

Η θεμελιώδης κατάσταση του ΑΑΤ |0⟩ με ιδιοενέργεια 12~ωm αντιστοιχεί στο κενό

δηλαδή χωρίς σωμάτιο η 1η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |1⟩ με ιδιοενέργεια 32~ωm

αντιστοιχεί σε ένα σωμάτιο η 2η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |2⟩ με ιδιοενέργεια52~ωm αντιστοιχεί σε δύο σωμάτια κοκ Αυτά τα σωμάτια εν προκειμένω τα λέμεϕωτόνια Δημιουργούνται και καταστρέϕονται με τους τελεστές αναβιβάσεως καικαταβιβάσεως ξεκινώντας από ένα επίπεδο αναϕοράς που εδώ είναι το κενό Υπακού-ουν στις μποζονικές σχέσεις μεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράστασηείναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση (second quantization)Η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)= ~ωm

(Nm +

1

2

) (4108)

157

αγνοώντας τον όρο ~ωm

2 μπορεί να γραϕτεί

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm (4109)

Μπορούμε να έχουμε οσαδήποτε ϕωτόνια στην ενεργειακή κατάσταση ~ωm διότι εί-ναι μποζόνια Ο adaggerm είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζειτην ενέργεια δημιουργώντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωm εξ ού και η ονομασία τελε-στής δημιουργίας (creation operator) Ο am είναι τελεστής καταβιβάσεως (loweringoperator) διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωmεξ ού και η ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator)

Σχήμα 45 Σωμάτια (εδώ ϕωτόνια απεικονίζονται με πράσινες βούλες) δημιουργούνται και κατα-στρέϕονται μέσω των τελεστών αναβιβάσεως και καταβιβάσεως Υπακούουν στις μποζονικές σχέσειςμεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράσταση είναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση(second quantization) Ο αριθμός των ϕωτονίων είναι ίσος με τον αριθμό των κόμβων της ιδιοσυ-ναρτήσεως

Τέλος ας σημειώσουμε ότι από τις Εξ 489 και 498 προκύπτει

Emx (z t) =

(~ωmϵ0V

)12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4110)

ενώ από τις Εξ 491 και 499 προκύπτει

Bmy (z t) =

i

c

(~ωmϵ0V

)12

cos(mπz

L

)(adaggerm minus am) (4111)

158

45 Χαμιλτονιανή δισταθμικού συστήματοςμε σπίνορες

Θα περιγράψουμε την αναβίβαση και την καταβίβαση ενός ηλεκτρονίου μεταξύ τωνενεργειακών σταθμών ενός δισταθμικού συστήματος πχ ενός ατόμου με τη βοήθειασπινόρων (spinors) Σπίνορας είναι ένα διάνυσμα - στήλη με δύο συνιστώσες Αςαρχίσουμε με ορισμούς (πχ [62])

| ⟩ =

=

0

0

=| 0⟩ |darr⟩ =

bull

=

0

1

=| 1⟩ |uarr⟩ =

bull

=

1

0

=| 2⟩

(4112)Το πρώτο παριστά το άδειο δισταθμικό σύστημα το δεύτερο δηλώνει το δισταθμικόσύστημα με το ηλεκτρόνιο στην κάτω στάθμη όπου έχει ενέργεια E1 και το τρίτο δη-λώνει το δισταθμικό σύστημα με το ηλεκτρόνιο στην άνω στάθμη όπου έχει ενέργειαE2 Ας ορίσουμε τώρα τους τελεστές

S+ =

0 1

0 0

Sminus =

0 0

1 0

(4113)

για τους οποίους μάλιστα ισχύει Sdagger+ =

0 1

0 0

dagger

=

0 0

1 0

= Sminus Ας δούμε ποιό

είναι το αποτέλεσμα της δράσεώς τους στους σπίνορες που ορίσαμε μόλις προ ολίγου

S+ | 0⟩ =

0 1

0 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

S+ |darr⟩ =

0 1

0 0

0

1

=

1

0

=|uarr⟩ το ανεβάζει

S+ |uarr⟩ =

0 1

0 0

1

0

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

(4114)

159

Sminus | 0⟩ =

0 0

1 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

Sminus |darr⟩ =

0 0

1 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

Sminus |uarr⟩ =

0 0

1 0

1

0

=

0

1

=|darr⟩ το κατεβάζει

(4115)

΄Ετσι ο S+ ονομάζεται τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ενώ ο Sminus ονομάζε-ται τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) του ηλεκτρονίου Ας δούμε μερικέςακόμα ιδιότητες

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

= σx (4116)

που είναι ένας από τους πίνακες Pauli που παρατίθονται λίγο παρακάτω (Εξ 4133)Ακόμα

S+Sminus =

0 1

0 0

0 0

1 0

=

1 0

0 0

(4117)

SminusS+ =

0 0

1 0

0 1

0 0

=

0 0

0 1

(4118)

΄Αρα από τις Εξ 4117-4118 συνεπάγεται ότι

S+Sminus + SminusS+ =

1 0

0 1

= I (4119)

που είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας Μπορούμε να το γράψουμε και στη μορϕή

S+ Sminus = I (4120)

160

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4121)

ενώ [AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4122)

΄Οταν AB = 0 rArr AB + BA = 0 rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται ενώ όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οιποσότητες μετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση των ονομασίων ΄Οπωςθα δούμε παρακάτω η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσειςαντιμεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ηλεκτρόνια που είναι ϕερμιόνια ενώ ο με-ταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσεις μεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ϕωτόνιαπου είναι μποζόνια Συχνά στα ελληνικά συγγράμματα της δευτεροβάθμιας εκπαί-δευσης πολύ κακώς εδώ και δεκαετίες ονομάζεται ῾῾ αντιμεταθετική ᾿᾿ η μεταθετική(commutative) ιδιότητα χαθήκαμε δηλαδή στη μετάϕρασηΗ Χαμιλτονιανή του Δισταθμικού Συστήματος HΔΣ είναι η

E2S+Sminus + E1SminusS+ = E2

1 0

0 0

+ E1

0 0

0 1

=

E2 0

0 E1

(4123)

αϕού E2 0

0 E1

1

0

=

E2

0

= E2

1

0

(4124)

E2 0

0 E1

0

1

=

0

E1

= E1

0

1

(4125)

΄Αρα συνοπτικά δείξαμε ότι

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+ (4126)

Αν τώρα θέσουμε E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) οπότε

HΔΣ = ~ΩS+Sminus (4127)

161

Ο τελεστής S+Sminus μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη αϕού

S+Sminus | 1⟩ =

1 0

0 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ rArr S+Sminus | 1⟩ = 0 | 1⟩ (4128)

S+Sminus | 2⟩ =

1 0

0 0

1

0

=

1

0

=| 2⟩ rArr S+Sminus | 2⟩ = 1 | 2⟩ (4129)

Ο τελεστής SminusS+ μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην κάτω στάθμη αϕού

SminusS+ | 1⟩ =

0 0

0 1

0

1

=

0

1

=| 1⟩ rArr SminusS+ | 1⟩ = 1 | 1⟩ (4130)

SminusS+ | 2⟩ =

0 0

0 1

1

0

=

0

0

=| 0⟩ rArr SminusS+ | 2⟩ = 0 | 2⟩ (4131)

Παρατήρηση Συνοπτικά για τους τελεστές S+ και Sminus μπορούμε να αποδείξουμεότι (S+)

dagger = Sminus αλλά και ότι

S+ Sdagger+ = S+ Sminus = S+Sminus + SminusS+ = I

Sminus Sdaggerminus = Sminus S+ = SminusS+ + S+Sminus = I

S+ S+ = Sdaggerminus S

daggerminus = S+S+ + S+S+ = 0

Sminus Sminus = Sdagger+ S

dagger+ = SminusSminus + SminusSminus = 0

(4132)

όπου I είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας 2 times 2 και 0 είναι ο μηδενικός πίνακας2times2 Οι Εξ 4132 δείχνουν ότι οι τελεστές S+ και Sminus υπακούουν στις σχέσεις αντι-μεταθέσεως ϕερμιονίων που αναϕέρουμε στην Υποενότητα 462 της Ενότητας 46Ο S+ είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζει την ενέργειαδημιουργώντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού και η ονομασία τελεστής δημιουρ-γίας (creation operator) Ο Sminus είναι τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator)διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού καιη ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Μπορούμε να έχουμεμόνο ένα ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω διότι τα ηλεκτρόνια είναι ϕερμιόνια

162

Ας θυμηθούμε τώρα τους πίνακες Pauli σx σy σz και ας δούμε τη σχέση τους μετους τελεστές αναβιβάσεως και καταβιβάσεως ηλεκτρονίων S+ και Sminus αντιστοίχως

σx =

0 1

1 0

(4133)

σy =

0 minusi

i 0

(4134)

σz =

1 0

0 minus1

(4135)

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι ισχύει η ιδιότητα

[σx σy] = 2iσz (4136)

καθώς και οι κυκλικές εναλλαγές της Επίσης

σ2x = σ2

y = σ2z =

1 0

0 1

= I (4137)

και

σx σy = σxσy + σyσx = 0 (4138)

σy σz = σyσz + σzσy = 0

σz σx = σzσx + σxσz = 0

δηλαδή οι πίνακες Pauli αντιμετατίθονται Επί παραδείγματι

σx σy = σxσy + σyσx =0 1

1 0

0 minusi

i 0

+

0 minusi

i 0

0 1

1 0

=

i 0

0 minusi

+

minusi 0

0 i

=

0 0

0 0

= 0

Ακόμα μπορούμε να αποδείξουμε ότι

S+ + Sminus = σx

S+ minus Sminus = iσy

163

46 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων καισχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων

461 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων πχ ϕωτονίων

Ας ονομαστεί am ο τελεστής καταστροϕής μποζονίων και adaggerm ο τελεστήςδημιουργίας μποζονίων στην κατάσταση m Για τα μποζόνια ισχύουν οι σχέσειςμεταθέσεως (commutation relations)

[am aℓ] = 0

[adaggerm adaggerℓ] = 0

(4139)

[AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4140)

οπότε όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οι ποσότητεςμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας

462 Σχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων πχ ηλε-κτρονίων

Ας ονομαστεί ai ο τελεστής καταστροϕής ϕερμιονίων και adaggeri ο τελεστής δη-μιουργίας ϕερμιονίων στην κατάσταση i Για τα ϕερμιόνια ισχύουν οι σχέσεις αντι-μεταθέσεως (anticommutation relations)

ai adaggerj = δij

ai aj = 0

adaggeri adaggerj = 0

(4141)

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4142)

οπότε όταν AB = 0rArr AB+BA = 0rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας Αν εϕαρμόσουμετη σχέση adaggeri a

daggerj = 0 για την ίδια κατάσταση πχ i = j = r έχουμε adaggerr adaggerr =

0 rArr adaggerradaggerr = 0 που σημαίνει ότι

δεν μπορούμε να βάλουμε δύο ϕερμιόνια στην ίδια

κατάσταση πράγμα που είναι η απαγορευτική αρχή Pauli

164

47 Τελεστές κλίμακας (Ladder operators) [63]

Στη γραμμική άλγεβρα καθώς και στις εϕαρμογές της στην κβαντική μηχανική ορί-ζεται ο τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ο οποίος αυξάνει την ιδιοτιμή ενόςάλλου τελεστή και ο τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) ο οποίος μειώνειτην ιδιοτιμή ενός άλλου τελεστή Αυτοί συλλογικά ονομάζονται τελεστές κλίμα-κας (ladder operators) Στην κβαντομηχανική ο τελεστής αναβιβάσεως καλείταισυχνά τελεστής δημιουργίας (creation operator) και ο τελεστής καταβιβάσεως κα-λείται συχνά τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Γνωστές εϕαρμογέςτων τελεστών κλίμακας είναι στον απλό αρμονικό ταλαντωτή και στη στροϕορμήΣε πολλές περιοχές της ϕυσικής και της χημείας η χρήση αυτών των τελεστών αντίκυματοσυναρτήσεων είναι γνωστή ως δεύτερη κβάντωση (second quantization) [64]

165

48 Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεωςδισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου

΄Εστω δύο αντίθετα ηλεκτρικά ϕορτία q gt 0 και minusq lt 0 στα σημεία Θ και Α

αντιστοίχως Αν d =minusrarrΑΘ είναι το διάνυσμα θέσεως του θετικού ϕορτίου ως προς το

αρνητικό τότε η ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) ορίζεταιως

P = qd (4143)

πχ για το άτομο του υδρογόνου αν το Π παριστάνει τον πυρήνα και το Η παριστάνει

το ηλεκτρόνιο και ως συνήθως ορίσουμε r =minusrarrΠΗ τότε P = qd = e(minusr)rArr

P = minuser (4144)

Αυτό αποδίδεται άνω τμήμα του Σχήματος 46 Η δυναμική ενέργεια (potential

Σχήμα 46 ΄Ανω Ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) Κάτω (Ηλεκτρική) διπολικήροπή μεταβάσεως (transition (electric) dipole moment)

energy) UE του ηλεκτρικού διπόλου εντός ηλεκτρικού πεδίου E είναι

UE = minusP middot E (4145)

166

Ανάλογος με τον παραπάνω ορισμό μπορεί να δοθεί και για την περίπτωση της με-ταβάσεως ενός τμήματος του ηλεκτρονιακού νέϕους από μία αρχική σε μια τελική πε-ριοχή ΄Ετσι ορίζεται η (ηλεκτρική) διπολική ροπή μεταβάσεως [transition(electric) dipole moment] 1 Αυτό αποδίδεται στο κάτω τμήμα το Σχήματος 46Αν το ϕορτίο που μεταϕέρεται είναι minuse πάλι p = qd = e(minusr)rArr p = minuser Δηλαδήεννοείται ότι για την περιοχή 2 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμεί με μετά-βαση ϕορτίου minuse ενώ για την περιοχή 1 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμείμε μετάβαση ϕορτίου +eΟ τελεστής (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως [transition

(electric) dipole moment operator] σημειώνεται εναλλακτικά με ˆd ή ˆp Στη βάση τωνιδιοκαταστάσεων της ενέργειας του αδιατάρακτου ατόμου ή συστήματος ορίζεται ως

ˆd = ˆp =

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | (4146)

με τους επίσης εναλλακτικούς συμβολισμούς

dij = pij = minuse⟨Φi | ˆr | Φj⟩ (4147)

για το στοιχείο πίνακα της (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως μεταξύ των κα-ταστάσεων | Φi⟩ και | Φj⟩ Υπενθυμίζεται ότι ο τελεστής θέσεως (position operator)ˆr είναι τέτοιος ώστε

ˆr | r⟩ = r | r⟩ (4148)

Υπενθυμίζεται για τον συμβολισμό Dirac ότι

| A⟩ =

α1

α2

hArr ⟨A |= (αlowast1 αlowast

2) (4149)

Υπενθυμίζεται ακόμα ότι

⟨Φi | ˆr | Φj⟩ =sum

|rprime⟩|rprimeprime⟩

⟨Φi | rprime⟩⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩⟨rprimeprime | Φj⟩ =sum|rprime⟩

⟨Φi | rprime⟩ rprime ⟨rprime | Φj⟩

=sum|r⟩

⟨Φi | r⟩ r ⟨r | Φj⟩ =intdV Φi(r)

lowastrΦj(r)

1Η λέξη ῾῾ ηλεκτρική ᾿᾿ είναι εντός παρενθέσεως επειδή συνήθως επειδή εννοείται παραλείπεται

167

διότι⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩ = rprimeprime⟨rprime|rprimeprime⟩ = rprimeprimeδrprimerprimeprime (4150)

΄Αρα

d11 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ1(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4151)

d12 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ2(r) = 0 (4152)

d21 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ1(r) = 0 (4153)

d22 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ2(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4154)

Δηλαδή ενώ τα διαγώνια στοιχεία μηδενίζονται τα d12 και d21 δεν είναι (῾῾ εκ ταυτό-τητος ᾿᾿) μηδέν Ας δούμε τώρα ποιος είναι ο ˆp σε δισταθμικό σύστημα

ˆp = d11 | Φ1⟩⟨Φ1 | + d12 | Φ1⟩⟨Φ2 | + d21 | Φ2⟩⟨Φ1 | + d22 | Φ2⟩⟨Φ2 |

= d11

0

1

(0 1)+ d12

0

1

(1 0)+ d21

1

0

(0 1)+ d22

1

0

(1 0)

= 0 ⋆

d11︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

0 0

0 1

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

+ d12︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 0

1 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ d21︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 1

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ 0 ⋆

d22︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

1 0

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

Από τις Εξ (4152)-(4153) συμπεραίνουμε ότι d12 = d21 με την προϋπόθεση ότι οιΦi(r) είναι πραγματικές οπότε

ˆp = d12

0 1

1 0

(4155)

168

Ερώτηση Και τι κάνει ο τελεστής

0 1

1 0

Απάντηση0 1

1 0

0

1

=

1

0

0 1

1 0

1

0

=

0

1

Δηλαδή μεταϕέρει από τη μία ενεργειακή στάθμη στην άλλη όπως θα έπρεπε

Τώρα μπορεί να οριστεί ο τελεστής δυναμικής ενέργειας (potential e-nergy operator) Θεωρούμε ότι η αλληλεπίδραση δισταθμικού συστήματος - ΗΜπεδίου έχει τη μορϕή μηχανισμού ηλεκτρικού διπόλου Αγνοούμε άλλης μορϕής αλ-ληλεπιδράσεις όπως πχ ηλεκτρικού τετραπόλου ή μαγνητικού διπόλου Αϕού

UE = minusP middot E rArr

UmE = minusP middot Em (4156)

όπου ο δείκτης m δηλώνει τον m τρόπο του ΗΜ πεδίου ο αντίστοιχος τελεστήςμπορεί να οριστεί ως

UmE = minus ˆp middot ˆEm (4157)

Επομένως

UmE = minus

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | middotEmx (z t)i

i είναι το μοναδιαίο άνυσμα του άξονα x αϕού έχουμε υποθέσει αυτόν τον προσανα-τολισμό για το ηλεκτρικό πεδίο (δείτε Σχήμα 42) ΄Η λόγω της Εξ 4155

UmE = minusd12

0 1

1 0

middot Emx (z t)i (4158)

Αλλά

d12 middot i = minuseintdV Φ1(r)

lowast(r middot i)Φ2(r) = minusex12 = Px12 = P (4159)

169

Συνεπώς

UmE = ex12

0 1

1 0

Emx (z t) (4160)

Υπενθυμίζονται οι Εξ 4110 και 4111

Emx (z t) =

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4161)

Bmy (z t) =

(~ωmε0V

) 12 1

ccos(mπz

L

)i(adaggerm minus am) (4162)

από τις οποίες όμως στα πλαίσια των υποθέσεών μας χρειαζόμαστε τώρα μόνον τηνπρώτη Επίσης υπενθυμίζεται ότι

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

(4163)

΄Αρα εν τέλει

UmE = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4164)

Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε

~gm = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(4165)

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4166)

Αυτή είναι λοιπόν η Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συ-στήματος - ΗΜ πεδίου για τον ΗΜ τρόπο m Εάν βρισκόμαστε σταπλαίσια της ατομικής ϕυσικής τότε συμβολίζεται και Hm

AF όπου οι δείκτες σημαίνουνAtom-FieldΑπό την Εξ 4165 προκύπτει

~|gm| = |P |∣∣∣∣ (~ωm

ε0V

) 12

sin(mπz

L

) ∣∣∣∣ = |P| Em0 (4167)

170

όπου όμως το ῾῾ πλάτος ᾿᾿ Em0 εξαρτάται από τη θέση z του ατόμου στην κοιλότητα

είναι δηλαδή Em0 = Em

0 (z) Η |gm| (ή οποία συμβολίζεται και με ΩmR ) είναι η λεγόμενη

συχνότητα Rabi Εάν εννοείται σε ποιον ΗΜ τρόπο m αναϕερόμαστε μπορούμε ναχρησιμοποιήσουμε σκέτο το |g| ή το ΩR ΄Αρα

|gm| ή ΩmR =

|P|Em0

~(4168)

Για να μη γράϕουμε απόλυτα μπορούμε σε κάθε θέση να διαλέγουμε τη ϕάση τωνκυματοσυναρτήσεων τέτοια ώστε το g να είναι θετικό και πραγματικό [65] Συνοπτικά

gm ή ΩmR =

|P|Em0

~(4169)

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Τώρα συμπληρώνεται η εικόνα με την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπί-δραση ενός ΗΜ τρόπου m με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4170)

΄Αρα η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4171)

Επομένως οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩ (4172)

|darr nm⟩ (4173)

171

Ας δούμε λίγο προσεκτικότερα τη Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικούσυστήματος - ΗΜ πεδίου (Εξ 4166) Για έναν μοναδικό τρόπο m η Χαμιλτονιανήαυτή αναλυεται σε τέσσερις όρους

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) =

= ~gmS+adaggerm︸ ︷︷ ︸

1ος

+ S+am︸ ︷︷ ︸2ος

+ Sminusadaggerm︸ ︷︷ ︸

3ος

+ Sminusam︸ ︷︷ ︸4ος

bull 1ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E gt 0 Επόμένως αυτός ο όρος μόνος τουδεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

bull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻︸ ︷︷ ︸

μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολ-λοί τρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτο-νιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται απόάθροισμα όρων όπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημανα απορροϕήσει ένα ϕωτόνιο υψηλής συχνότητας και να ανεβεί ενώ παράλληλαδημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο χαμηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi www≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

simsim≻ ff lt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 2ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο Αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

172

bull 3ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιοΚαι αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικάbull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 4ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο ΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E lt 0 Επόμένως και αυτός ο όροςμόνος του δεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολλοίτρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτονιανή αλλη-λεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται από άθροισμα όρωνόπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημα να απορροϕήσει έναϕωτόνιο χαμηλής συχνότητας και να κατεβεί ενώ παράλληλα δημιουργείται εκπέμ-πεται ϕωτόνιο υψηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

www≻ ff gt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

Αν αγνοήσουμε τον 1ο και 4ο όρο που ο καθένας μόνος του δεν διατηρεί τηνενέργεια τότε

UmE = ~gm

(S+am + Sminusa

daggerm

) (4174)

Η προσέγγιση είναι κατά κάποιο τρόπο ανάλογη της RWA (Rotating Wave Approxi-mation) του Κεϕαλαίου 3 Εκεί στις εξισώσεις Rabi κρατήσαμε μόνο τους αργούςόρους όπου ΗΜ πεδίο και το δισταθμικό σύστημα βρίσκονται σε περίπου συντονισμό

173

δηλαδή Ω ≃ ω Τότε κρατήσαμε τους αργούς όρους eplusmni(Ωminusω)t και αγνοήσαμε τουςγρήγορους όρους eplusmni(Ω+ω)tΣυνοπτικά ενώ για την ολική Χαμιλτονιανή ενός τρόπου m έχουμε την λεγόμενη

Χαμιλτονιανή Rabi

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4175)

κατά την παραπάνω συζήτηση αγνοούμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενουςcounter-rotating terms

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4176)

οπότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66]

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4177)

Στην ΄Ασκηση 1 (παραλείποντας τον δείκτη του ΗΜ τρόπου m απλότητα) βρί-σκουμε (Α) τι κάνουν οι όροι adaggera aadagger S+Sminus SminusS+ S+a

dagger S+a Sminusadagger Sminusa στις κα-

ταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩ και (Β) υπολογίζουμε τα ⟨adaggera⟩ ⟨aadagger⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨SminusS+⟩⟨S+a

dagger⟩ ⟨S+a⟩ ⟨Sminusadagger⟩ ⟨Sminusa⟩ για τις καταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩

174

49 Σύνοψη Χαμιλτονιανών

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Ακόμα είδαμε την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπίδραση ενός ΗΜ τρόπουm με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

Οπότε η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί (Εξ 4171)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

και οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩|darr nm⟩

Ακόμα αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενους counter-rotatingterms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam)

τότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66] (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm)

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

143

και δεν προκύπτει κάποια σχέση μεταξύ των δe δb Από την Εξ 419γʹ προκύπτει∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

kex key kez

E0xeε⃝ E0ye

ε⃝ E0zeε⃝

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (ωbB0xeβ⃝ ωbB0ye

β⃝ ωbB0zeβ⃝)rArr

keyE0ze

ε⃝ minuskezE0yeε⃝ = ωbB0xe

β⃝

kezE0xeε⃝ minuskexE0ze

ε⃝ = ωbB0yeβ⃝

kexE0yeε⃝ minuskeyE0xe

ε⃝ = ωbB0zeβ⃝

rArr

keyE0zminuskezE0y

ωbB0x= e β⃝e ε⃝lowast

= ei[(kbminuske)middotrminus(ωbminusωe)t+(δbminusδe)]

kezE0xminuskexE0z

ωbB0y= e β⃝e ε⃝lowast

= το ίδιο

kexE0yminuskeyE0x

ωbB0z= e β⃝e ε⃝lowast

= το ίδιο

σταθερές συναρτήσεις των r t

Αν θεωρήσουμε κάποια συγκεκριμένη χρονική στιγμή t επειδή τα αριστερά μέρη

είναι σταθερά θα πρέπει και τα δεξιά να είναι δηλαδή να μην εξαρτώνται από το rάρα

kb = ke (421)

Αν θεωρήσουμε κάποια συγκεκριμένη θέση r επειδή τα αριστερά μέρη είναι σταθεράθα πρέπει και τα δεξιά να είναι δηλαδή να μην εξαρτώνται από το t άρα

ωb = ωe (422)

Τέλος από τις Εξ 8100-8101 έπεται ότι τα δεξιά μέρη θα ισούνται με ei(δbminusδe) =cos(δbminusδe)+i sin(δbminusδe) Αν τα αριστερά μέρη ήταν πραγματικά τότε sin(δbminusδe) =0rArr δb minus δe = nπ n isin Z οπότε υπάρχει μερική λύση δb = δe Τα E0 B0 όμως είναιεν γένει μιγαδικά άρα καταλήγουμε στις σχέσεις

keyE0zminuskezE0y

ωbB0x= ei(δbminusδe)

kezE0xminuskexE0z

ωbB0y= ei(δbminusδe)

kexE0yminuskeyE0x

ωbB0y= ei(δbminusδe)

(423)

και τίποτε παραπάνω

144

43 Στάσιμο ΗΜ κύμα σε κοιλότητα

Στην Ενότητα αυτό θα κατασκευάσουμε μια έκϕραση της Χαμιλτονιανής του ΗΜπεδίου που να επιτρέπει το μετασχηματισμό της στη γλώσσα του αριθμού των ϕωτο-νίων αντί της γλώσσας που χρησιμοποιεί τα ανυσματικά μεγέθη E B Αυτό θα γίνειστο παράδειγμα του στάσιμου ΗΜ κύματος σε κοιλότηταΠριν από αυτό ας θυμηθούμε ότι για τρέχοντα ΗΜ κύματα με τις προϋποθέσεις

της Ενότητας 42 έχουμε

nabla2E =1

c2part2E

partt2E(r t) = E0e

i(kmiddotrminusωt+δ) (424)

nabla2B =1

c2part2B

partt2B(r t) = B0e

i(kmiddotrminusωt+δ) (425)

και E times B uarruarr k όπως ϕαίνεται στο Σχήμα 42 αριστερά Πρόκειται για κυματικέςεξισώσεις για το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο αντιστοίχως σε 3 διαστάσεις καιτις λύσεις τους

Σχήμα 42 [Αριστερά] Για τρέχοντα ΗΜ κύματα έχουμε E times B uarruarr k [Δεξιά] Υποθέτουμε ότιE times B uarruarr k με τον προσανατολισμό σε άξονες που δείχνει το σχήμα

Αν ο προσανατολισμός σε άξονες είναι αυτός που δείχνει το Σχήμα 42 δεξιάτότε

nabla2Ex =1

c2part2Expartt2

(426)

E(r t) = Ex0ei(kzzminusωt+δ) = Ex(z t) (427)

145

nabla2By =1

c2part2By

partt2(428)

B(r t) = B0yei(kzzminusωt+δ) = By(z t) (429)

οπότεpart2Expartz2

=1

c2part2Expartt2

(430)

part2By

partz2=

1

c2part2By

partt2(431)

Πρόκειται για κυματικές εξισώσεις για το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο αντιστοί-χως σε 1 διάσταση Ας δούμε τώρα αν βγαίνει κάποιο συμπέρασμα από τις εξισώσειςτου Maxwell στο κενό

nabla middot E = 0 (Εξ 844) rArr partExpartx

+70

partEyparty

+0

partEzpartz

= 0rArr partExpartx

+ 0 + 0 = 0rArr

partExpartx

= 0 πράγμα αναμενόμενο (432)

nabla middot B = 0 (Εξ 846) rArr

0

partBx

partx+partBy

party+

0

partBz

partz= 0rArr 0 +

partBy

party+ 0 = 0rArr

partBy

party= 0 πράγμα αναμενόμενο (433)

nabla times E = minuspartBpartt

(Εξ 848)rArr

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

partpartx

partparty

partpartz

Ex 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = minusjpartBy

parttrArr j

partExpartz

= minusj partBy

parttrArr

partExpartz

= minuspartBy

partt (434)

nablatimesB = ϵ0micro0partE

partt(Εξ 849)rArr

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

partpartx

partparty

partpartz

0 By 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =1

c2partExpartt

irArr i(minuspartBy

partz) = i

1

c2partExparttrArr

146

partBy

partz= minus 1

c2partExpartt

(435)

spades Τώρα βάζουμε ιδανικώς αγώγιμα κάτοπτρα στις θέσεις z = 0 και z = L (Σχή-μα 43) Το προσπίπτον σε κάθε κάτοπτρο κύμα θα συμβάλει με το ανακλώμενο άραθα δημιουργηθούν στάσιμα κύματα

Οι Εξ 430 και 434 εξακολουθούν να ισχύουν

Οι Εξ 431 και 435 για το γραμμικό συνδυασμό

των προσπιπτόντων και ανακλωμένων κυμάτων

part2Expartz2

=1

c2part2Expartt2

partExpartz

= minuspartBy

partt

part2By

partz2=

1

c2part2By

partt2partBy

partz= minus 1

c2partExpartt

Σχήμα 43 Στις θέσεις z = 0 και z = L τοποθετούνται επίπεδα ιδανικώς αγώγιμα κάτοπτρα

Αναζητούμε λύση με μέθοδο των χωριζομένων μεταβλητών υποθέτοντας ότι

Ex(z t) = NZ(z)T (t) (436)

Ας θυμηθούμε τις συνοριακές συνθήκες στη διεπιϕάνεια ιδανικού αγωγού - κενούή κατά προσέγγιση αέρα (θυμηθείτε το Σχήμα 116) Η εϕαπτομενική συνιστώσα του

147

Σχήμα 44 Αγώγιμα κάτοπτρα πριν από z = 0 και μετά από z = L

E μηδενίζεται στη διεπιϕάνεια αυτή Επειδή το E έχει μόνο x συνιστώσα (Εξ 427)και τα επίπεδα ιδανικώς αγώγιμα κάτοπτρα τοποθετούνται στις θέσεις z = 0 καιz = L οπότε το E είναι παράλληλο σε αυτά έπεται ότι

Ex(0 t) = 0 = Ex(L t)forallt (437)

Από τις Εξ 430 και 436 έπεται ότι

NT (t)d2Z

dz2=N

1

c2Z(z)

d2T

dt2hArr

hArr 1

Z(z)

d2Z

dz2︸ ︷︷ ︸f(z)

=1

T (t)

1

c2d2T

dt2︸ ︷︷ ︸g(t)︸ ︷︷ ︸

forallz forallt

άρα= σταθερά = minusk2

αρκεί Z(z) = 0 και T (t) = 0 ενώ για Z(z) = 0 και T (t) = 0 ισχύει η τετριμένηλύση ΄Αρα

d2Z

dz2+ k2Z(z) = 0 (438)

καιd2T

dt2+ k2c2T (t) = 0 (439)

148

bull Ας λύσουμε αρχικά την Εξ 438 δοκιμάζοντας λύσεις της μορϕής eλz οπότεπροκύπτει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο

λ2 + k2 = 0rArr λ2 = minusk2 rArr λ = plusmnik πχ ας διαλέξουμε k isin real+

΄Αρα ουσιαστικά η λύση θα είναι της μορϕής

Z(z) = Aeikz +Beminusikz (440)

Z(0) = 0 συνοριακή συνθήκη 1 (441)

Z(L) = 0 συνοριακή συνθήκη 2 (442)

όπου λάβαμε υπ΄ όψιν τις συνοριακές συνθήκες 437 Από τις Εξ 440 και 441συνεπάγεται ότι A+B = 0rArr B = minusA οπότε η Εξ 440 γίνεται

Z(z) = Aeikz minus Aeminusikz = 2iA sin(kz) (443)

και εϕαρμόζοντας την Εξ 442

sin(kL) = 0rArr kL = mπm isin Z (444)

Δεδομένου όμως ότι διαλέξαμε παραπάνω k isin real+ θα πρέπει m isin N και για μημηδενική λύση θα πρέπει m isin N lowast οπότε k isin reallowast

+ Συνοπτικά το k εξαρτάται απόένα ϕυσικό μη μηδενικό δείκτη δηλαδή

km =mπ

Lm isin N lowast (445)

Αρα Zm(z) = 2Ai sin

(mπz

L

)Κι αν απαιτήσουμε οι Zm να είναι ορθοκανονικές

int L

0

dzZlowastm(z)Zl(z) = δml

rArr

rArrint L

0

dz | 2iA |2 sin(mπz

L

)sin

(lπz

L

)= δml rArr

int π

0

L

πdψ | 2iA |2 sin(mψ) sin(lψ) = δml

όπου ορίσαμε ψ = πzL οπότε dψ = π

Ldz Τότε

L

π4 | A |2

int π

0

dψ sin(mψ) sin(lψ) = δml

149

Αλλά int π

0

dψ sin(mψ) sin(lψ) =π

2δml (446)

ενώ ισχύει επίσης int π

0

dψ cos(mψ) cos(lψ) =π

2δml (447)

ΕπομένωςL

π4 | A |2 π

2δml = δml rArr| A |2=

1

2L

Ας διαλέξουμε κάτι βολικό πχ A =1radic2L

(minusi)

Συνεπώς

Zm(z) =

radic2

Lsin

(mπz

L

)(448)

bull Στη συνέχεια ας λύσουμε την Εξ 439 Ας ορίσουμε

ω = kc gt 0 (449)

οπότε ω2 = k2c2 Χρησιμοποιώντας την Εξ 445

ωm =mπc

Lm isin N lowast (450)

Δοκιμάζοντας λύσεις της μορϕής eλt προκύπτει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο

λ2 + ω2m = 0rArr λ = plusmniωm ωm isin reallowast

+ (451)

΄Αρα ουσιαστικά η λύση θα είναι της μορϕής

T (t) = Γeiωmt +∆eminusiωmt (452)

Κι αν θέσουμε την αρχική συνθήκη

T (0) = 0 (453)

προκύπτει Γ +∆ = 0rArr ∆ = minusΓ οπότε

T (t) = Γeiωmt minus Γeminusiωmt = 2iΓ sin(ωmt)rArr (454)

150

Tm(t) = 2iΓ sin

(mπc

Lt

)(455)

Κι αν απαιτήσουμε οι Tm να είναι ορθοκανονικές δηλαδήint κάτι0

dtT lowastm(t)Tl(t) = δml rArr

int κάτι0

dt | 2iΓ |2 sin(mπct

L

)sin

(lπct

L

)= δml rArr

rArr 4 | Γ |2int κάτι0

dt sin

(mπct

L

)sin

(lπct

L

)= δml

Θέτοντας χ = πctL οπότε dχ = πc

Ldt καταλήγουμε στη σχέση

4 | Γ |2 L

πc

int πcLmiddotκάτι

0

dχ sin(mχ) sin(lχ) = δml (456)

΄Αρα έχοντας υπ΄ όψη την Εξ 446 είναι βολικό να θέσουμε πcLmiddot κάτι = π rArr

κάτι =L

c= τ (457)

΄Ετσι ορισμένο το τ είναι ο χρόνος πτήσεως του ϕωτονίου διαμέσου της κοιλότητας(time of photon flight through cavity) άρα δεν ήταν παράλογο που το θέσαμε έτσιΣυνεπώς εν τέλει η ορθοκανονικοποίηση είναιint τ

0

dtT lowastm(t)Tl(t) = δml (458)

Τελικά έχουμε

4 | Γ |2 L

πc

int π

0

dχ sin(mχ) sin(lχ) = δml rArr| Γ |=radic

c

2L

Κι αν διαλέξουμε κάτι βολικό πχ Γ = (minusi)radic

c2L τελικά έχουμε

Tm(t) =

radic2c

Lsin

(mπc

Lt

)(459)

΄Αρα συνοψίζοντας με τη βοήθεια των Εξ 436 448 459 καταλήγουμε στην

Emx (z t) =

2radicc

LN sin

(mπz

L

)sin

(mπct

L

)(460)

151

΄Οσον αϕορά τις μονάδες θα πρέπει [2radicc

LN ] = V

m= N

CrArr

[N ] =Vradicms

(461)

Για να προσδιορίσουμε το μαγνητικό πεδίο θα χρησιμοποιήσουμε την Εξ 435 σεσυνδυασμό με την Εξ 460 οπότε προκύπτει

partBmy

partz= minus 1

c22radicc

LN sin

(mπzL

) mπcL

cos

(mπct

L

)rArr (462)

int zprime

0

dzpartBm

y

partz= minus 2mπradic

cL2N cos

(mπct

L

)int zprime

0

dz sin(mπz

L

)rArr (463)

Bmy (z

prime t)minusBmy (0 t) = minus

2mπradiccL2N cos

(mπct

L

)L

mπ

[minus cos

(mπzL

)]zprime0

rArr (464)

Bmy (z

prime t)minusBmy (0 t) =

2NradiccL

cos

(mπct

L

)[cos

(mπzprime

L

)minus1cos 0

] (465)

΄Αρα ορίζοντας κατάλληλα την τιμή του Bmy (0 t) προκύπτει

Bmy (z t) =

2NradiccL

cos(mπz

L

)cos

(mπct

L

)(466)

Για την πυκνότητα ενέργειας ισχύει

U =ϵ02E2 +

1

2micro0

B2 =ϵ02[E2 + c2B2] (467)

Σημειώνουμε ότι οι μονάδες για την πυκνότητα ενέργειας είναι [U ] = Jm3 Για πα-

ράδειγμα [ ϵ02E2] = F

mV2

m2 = CV2

Vm3 = Jm3 και [ B

2

2micro0] = T2A

Tm= TA

m= N

m2 = Nmm3 = J

m3 πχ λόγω των γνωστών σχέσεωνB = micro0H F = BIl και c2 = 1

ϵ0micro0 ΄Αρα από τις

Εξ 460 466 467 βρίσκουμε την πυκνότητα ενέργειας του m τρόπου

Um =ϵ02

4cN 2

L2

[sin2

(mπzL

)sin2

(mπct

L

)+ cos2

(mπzL

)cos2

(mπct

L

)] (468)

΄Αρα η ενέργεια του m τρόπου η οποία υπολογίζεται ολοκληρώνοντας την πυ-κνότητα ενέργειας του m τρόπου στην κοιλότητα όγκου V = LS

Εm =

intV=LS

d3r Um (469)

152

είναι

Εm =2ϵ0cN 2S

L2

[sin2

(mπct

L

)int L

0

dz sin2(mπz

L

)+ cos2

(mπct

L

)int L

0

dz cos2(mπz

L

)]

Θέτουμε ψ = πzLrArr dψ = π

Ldz άρα με τη βοήθεια των Εξ 446-447 τα ολοκληρώ-

ματα στο z γίνονται Lπ

int π0dψ sin2(mψ) = L

ππ2= L

2και L

π

int π0dψ cos2(mψ) = L

ππ2= L

2

Αντικαθιστούμε στην παραπάνω εξίσωση και τελικά έχοντας ακολουθήσει αυτή τηνκλασική προσέγγιση έχουμε

Εm =ϵ0cN 2S

L

[sin2

(mπct

L

)+ cos2

(mπct

L

)]=ϵ0cN 2S

L(470)

Ας δούμε τώρα λίγο αλλιώτικα την Εm

Εm =ϵ0cN 2S

L3

[L2 sin2

(mπct

L

)+ L2 cos2

(mπct

L

)] (471)

ορίζοντας ῾῾ γενικευμένη θέση και ταχύτητα ᾿᾿ Καλούμε λοιπόν ῾῾ γενικευμένη θέση ᾿᾿

qm(t) = L sin

(mπct

L

)(472)

και ῾῾ γενικευμένη ταχύτητα ᾿᾿

˙qm(t) = mπc cos

(mπct

L

)(473)

ούτως ώστε [qm(t)] = m και [ ˙qm(t)] = ms Τότε η Εξ 471 γράϕεται

Εm =ϵ0cN 2S

L3

[(qm(t))

2 +L2

m2π2c2( ˙qm(t))

2

] (474)

Θα μπορούσαμε εδώ να θεωρήσουμε μια αναλογία της Εξ 474 με Απλό ΑρμονικόΤαλαντωτή (ΑΑΤ) του οποίου η ενέργεια θα ήταν

Ε =K

2x2 +

M

2v2 =

K

2[x2 +

M

Kv2] (475)

Επομένωςϵ0cN 2S

L3=K

2 (476)

153

L2

m2π2c2=M

K (477)

Δηλαδή προκύπτει η ῾῾ σταθερά ελατηρίου ᾿᾿

K =2ϵ0cN 2S

L3 (478)

και η ῾῾ μάζα ᾿᾿ (η οποία σημειωτέο εξαρτάται από το m είναι δηλαδή διαϕορετική γιακάθε τρόπο του ΗΜ πεδίου m)

Mm =2ϵ0N 2S

cLm2π2 (479)

Μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι η Mm έχει διαστάσεις μάζας (θα χρειαστείκαι η Εξ 461) και πως ισχύει K = Mmω

2m ΄Αρα κλασικά υπάρχει μία τυπική

ομοιότητα με ΑΑΤ με κυκλική συχνότητα ωm (Εξ 450) και ῾῾ μάζα ᾿᾿ Mm (Εξ 479)δηλαδή η Εξ 471 ή 474 γράϕεται

Εm =Mmω

2m

2q2m +

Mm

2q2m (480)

Μπορούμε επομένως να πούμε ότι το κβαντικό αντίστοιχο για ένα τρόπο ΗΜπεδίου m δηλαδή η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m θα είναι

HΗΜ m =Mmω

2m

2q2m +

Mm

2˙q2m (481)

με ιδιοτιμές ενέργειας

Emnm = ~ωm(nm +1

2) (482)

όπου ο δείκτης m isin N lowast αϕορά τον τρόπο του ΗΜ πεδίου και ο δείκτης nm isin Nαϕορά τον αριθμό των ϕωτονίων στον τρόπο m Συνεπώς η Χαμιλτονιανή για όλουςτους τρόπους του ΗΜ πεδίου θα είναι

HΗΜ =summ

HΗΜ m (483)

Κατόπιν σημειώνουμε ότι από τις Εξ 460 και 472 συνεπάγεται ότι

Emx (z t) =

2radicc

L2N sin

(mπzL

)qm(t) (484)

154

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Emx (z t) =

2radicc

L2N sin

(mπzL

)qm(t) (485)

Επίσης από τις Εξ 466 και 473 συνεπάγεται ότι

Bmy (z t) =

2NLradicc

1

mπccos(mπz

L

)qm(t) (486)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Bmy (z t) =

2NLradicc

1

mπccos(mπz

L

)ˆqm(t) (487)

Από τις ΄Εξ 484 479 και 450 προκύπτει

Emx (z t) =

(2Mmωm

2

ϵ0V

)12

sin(mπz

L

)qm(t) (488)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Emx (z t) =

(2Mmωm

2

ϵ0V

)12

sin(mπz

L

)qm(t) (489)

Από τις ΄Εξ 486 479 και 450 προκύπτει

Bmy (z t) =

1

c

(2Mm

ϵ0V

)12

cos(mπz

L

)qm(t) (490)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Bmy (z t) =

1

c

(2Mm

ϵ0V

)12

cos(mπz

L

)ˆqm(t) (491)

Τέλος από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει όπως αναμενόταν [Ex

By] = [c]

155

44 Χαμιλτονιανή ΗΜ πεδίου με τελεστέςκαταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίων

Ας μιλήσουμε τώρα για τελεστές καταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίων (photoncreation and annihilation operators) Είναι τώρα εύκολο να κβαντωθεί η Χαμιλτο-νιανή που περιγράϕει το ΗΜ πεδίο αρκεί να εϕαρμοστεί η αντιστοιχία τελεστών

qm = qm (492)

pm = minusi~ part

partqm(493)

Εισάγουμε τους τελεστές

am =1radic

2Mm~ωm(Mmωmqm + ipm) ῾῾ καταστροϕής ᾿᾿ (494)

adaggerm =1radic

2Mm~ωm(Mmωmqm minus ipm) ῾῾ δημιουργίας ᾿᾿ (495)

Ισχύουν οι ιδιότητες[am a

daggerm]︸ ︷︷ ︸

μεταθέτης

= amadaggerm minus adaggermam = 1 (496)

[qm pm]︸ ︷︷ ︸μεταθέτης

= i~ (497)

΄Ετσι οι τελεστές qm pm μπορούν τώρα να γραϕούν

qm =

(~

2Mmωm

)12

(adaggerm + am) (498)

pm = i

(Mm~ωm

2

)12

(adaggerm minus am) (499)

Συνεπώς η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m είναι

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)(4100)

Ας συμβολίσουμε με |nm⟩ την κατάσταση του ΗΜ πεδίου με nm αριθμό ϕωτονίωνστον ΗΜ τρόπο m Λέμε ότι είναι μια ῾῾ κατάσταση ϕωτονικών αριθμών ᾿᾿ Τα |nm⟩αποτελούν ένα πλήρες σύστημα δηλαδή ισχύει ⟨nm|lm⟩ = δnl

156

Οι τελεστές adaggerm και am έχουν τις ιδιότητες

adaggerm |nm⟩ =radicnm + 1 |nm + 1⟩ (4101)

am |nm⟩ =radicnm |nm minus 1⟩ (4102)

am |0⟩ = |0⟩ (4103)

Από τις Εξ 4101 και 4102 προκύπτει

adaggermam |nm⟩ = nm |nm⟩ (4104)

δηλαδή ο τελεστής Nm = adaggermam μετρά τον αριθμό των ϕωτονίων του ΗΜ τρόπου mοπότε μπορεί να αποκληθεί τελεστής του αριθμού των ϕωτονίων στον ΗΜ τρόπο mΑκόμα επαγωγικά προκύπτει

|nm⟩ =1radicnm

(adaggerm)nm |0⟩ (4105)

Λόγω των Εξ 4100 και 4104 προκύπτει

HΗΜ m |nm⟩ = ~ωm(nm +1

2) |nm⟩ (4106)

δηλαδή η Χαμιλτονιανή HΗΜ m δίνει ιδιοτιμές ενέργειας

Emnm = ~ωm(nm +1

2) (4107)

Η θεμελιώδης κατάσταση του ΑΑΤ |0⟩ με ιδιοενέργεια 12~ωm αντιστοιχεί στο κενό

δηλαδή χωρίς σωμάτιο η 1η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |1⟩ με ιδιοενέργεια 32~ωm

αντιστοιχεί σε ένα σωμάτιο η 2η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |2⟩ με ιδιοενέργεια52~ωm αντιστοιχεί σε δύο σωμάτια κοκ Αυτά τα σωμάτια εν προκειμένω τα λέμεϕωτόνια Δημιουργούνται και καταστρέϕονται με τους τελεστές αναβιβάσεως καικαταβιβάσεως ξεκινώντας από ένα επίπεδο αναϕοράς που εδώ είναι το κενό Υπακού-ουν στις μποζονικές σχέσεις μεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράστασηείναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση (second quantization)Η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)= ~ωm

(Nm +

1

2

) (4108)

157

αγνοώντας τον όρο ~ωm

2 μπορεί να γραϕτεί

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm (4109)

Μπορούμε να έχουμε οσαδήποτε ϕωτόνια στην ενεργειακή κατάσταση ~ωm διότι εί-ναι μποζόνια Ο adaggerm είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζειτην ενέργεια δημιουργώντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωm εξ ού και η ονομασία τελε-στής δημιουργίας (creation operator) Ο am είναι τελεστής καταβιβάσεως (loweringoperator) διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωmεξ ού και η ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator)

Σχήμα 45 Σωμάτια (εδώ ϕωτόνια απεικονίζονται με πράσινες βούλες) δημιουργούνται και κατα-στρέϕονται μέσω των τελεστών αναβιβάσεως και καταβιβάσεως Υπακούουν στις μποζονικές σχέσειςμεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράσταση είναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση(second quantization) Ο αριθμός των ϕωτονίων είναι ίσος με τον αριθμό των κόμβων της ιδιοσυ-ναρτήσεως

Τέλος ας σημειώσουμε ότι από τις Εξ 489 και 498 προκύπτει

Emx (z t) =

(~ωmϵ0V

)12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4110)

ενώ από τις Εξ 491 και 499 προκύπτει

Bmy (z t) =

i

c

(~ωmϵ0V

)12

cos(mπz

L

)(adaggerm minus am) (4111)

158

45 Χαμιλτονιανή δισταθμικού συστήματοςμε σπίνορες

Θα περιγράψουμε την αναβίβαση και την καταβίβαση ενός ηλεκτρονίου μεταξύ τωνενεργειακών σταθμών ενός δισταθμικού συστήματος πχ ενός ατόμου με τη βοήθειασπινόρων (spinors) Σπίνορας είναι ένα διάνυσμα - στήλη με δύο συνιστώσες Αςαρχίσουμε με ορισμούς (πχ [62])

| ⟩ =

=

0

0

=| 0⟩ |darr⟩ =

bull

=

0

1

=| 1⟩ |uarr⟩ =

bull

=

1

0

=| 2⟩

(4112)Το πρώτο παριστά το άδειο δισταθμικό σύστημα το δεύτερο δηλώνει το δισταθμικόσύστημα με το ηλεκτρόνιο στην κάτω στάθμη όπου έχει ενέργεια E1 και το τρίτο δη-λώνει το δισταθμικό σύστημα με το ηλεκτρόνιο στην άνω στάθμη όπου έχει ενέργειαE2 Ας ορίσουμε τώρα τους τελεστές

S+ =

0 1

0 0

Sminus =

0 0

1 0

(4113)

για τους οποίους μάλιστα ισχύει Sdagger+ =

0 1

0 0

dagger

=

0 0

1 0

= Sminus Ας δούμε ποιό

είναι το αποτέλεσμα της δράσεώς τους στους σπίνορες που ορίσαμε μόλις προ ολίγου

S+ | 0⟩ =

0 1

0 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

S+ |darr⟩ =

0 1

0 0

0

1

=

1

0

=|uarr⟩ το ανεβάζει

S+ |uarr⟩ =

0 1

0 0

1

0

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

(4114)

159

Sminus | 0⟩ =

0 0

1 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

Sminus |darr⟩ =

0 0

1 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

Sminus |uarr⟩ =

0 0

1 0

1

0

=

0

1

=|darr⟩ το κατεβάζει

(4115)

΄Ετσι ο S+ ονομάζεται τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ενώ ο Sminus ονομάζε-ται τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) του ηλεκτρονίου Ας δούμε μερικέςακόμα ιδιότητες

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

= σx (4116)

που είναι ένας από τους πίνακες Pauli που παρατίθονται λίγο παρακάτω (Εξ 4133)Ακόμα

S+Sminus =

0 1

0 0

0 0

1 0

=

1 0

0 0

(4117)

SminusS+ =

0 0

1 0

0 1

0 0

=

0 0

0 1

(4118)

΄Αρα από τις Εξ 4117-4118 συνεπάγεται ότι

S+Sminus + SminusS+ =

1 0

0 1

= I (4119)

που είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας Μπορούμε να το γράψουμε και στη μορϕή

S+ Sminus = I (4120)

160

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4121)

ενώ [AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4122)

΄Οταν AB = 0 rArr AB + BA = 0 rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται ενώ όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οιποσότητες μετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση των ονομασίων ΄Οπωςθα δούμε παρακάτω η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσειςαντιμεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ηλεκτρόνια που είναι ϕερμιόνια ενώ ο με-ταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσεις μεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ϕωτόνιαπου είναι μποζόνια Συχνά στα ελληνικά συγγράμματα της δευτεροβάθμιας εκπαί-δευσης πολύ κακώς εδώ και δεκαετίες ονομάζεται ῾῾ αντιμεταθετική ᾿᾿ η μεταθετική(commutative) ιδιότητα χαθήκαμε δηλαδή στη μετάϕρασηΗ Χαμιλτονιανή του Δισταθμικού Συστήματος HΔΣ είναι η

E2S+Sminus + E1SminusS+ = E2

1 0

0 0

+ E1

0 0

0 1

=

E2 0

0 E1

(4123)

αϕού E2 0

0 E1

1

0

=

E2

0

= E2

1

0

(4124)

E2 0

0 E1

0

1

=

0

E1

= E1

0

1

(4125)

΄Αρα συνοπτικά δείξαμε ότι

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+ (4126)

Αν τώρα θέσουμε E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) οπότε

HΔΣ = ~ΩS+Sminus (4127)

161

Ο τελεστής S+Sminus μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη αϕού

S+Sminus | 1⟩ =

1 0

0 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ rArr S+Sminus | 1⟩ = 0 | 1⟩ (4128)

S+Sminus | 2⟩ =

1 0

0 0

1

0

=

1

0

=| 2⟩ rArr S+Sminus | 2⟩ = 1 | 2⟩ (4129)

Ο τελεστής SminusS+ μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην κάτω στάθμη αϕού

SminusS+ | 1⟩ =

0 0

0 1

0

1

=

0

1

=| 1⟩ rArr SminusS+ | 1⟩ = 1 | 1⟩ (4130)

SminusS+ | 2⟩ =

0 0

0 1

1

0

=

0

0

=| 0⟩ rArr SminusS+ | 2⟩ = 0 | 2⟩ (4131)

Παρατήρηση Συνοπτικά για τους τελεστές S+ και Sminus μπορούμε να αποδείξουμεότι (S+)

dagger = Sminus αλλά και ότι

S+ Sdagger+ = S+ Sminus = S+Sminus + SminusS+ = I

Sminus Sdaggerminus = Sminus S+ = SminusS+ + S+Sminus = I

S+ S+ = Sdaggerminus S

daggerminus = S+S+ + S+S+ = 0

Sminus Sminus = Sdagger+ S

dagger+ = SminusSminus + SminusSminus = 0

(4132)

όπου I είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας 2 times 2 και 0 είναι ο μηδενικός πίνακας2times2 Οι Εξ 4132 δείχνουν ότι οι τελεστές S+ και Sminus υπακούουν στις σχέσεις αντι-μεταθέσεως ϕερμιονίων που αναϕέρουμε στην Υποενότητα 462 της Ενότητας 46Ο S+ είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζει την ενέργειαδημιουργώντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού και η ονομασία τελεστής δημιουρ-γίας (creation operator) Ο Sminus είναι τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator)διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού καιη ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Μπορούμε να έχουμεμόνο ένα ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω διότι τα ηλεκτρόνια είναι ϕερμιόνια

162

Ας θυμηθούμε τώρα τους πίνακες Pauli σx σy σz και ας δούμε τη σχέση τους μετους τελεστές αναβιβάσεως και καταβιβάσεως ηλεκτρονίων S+ και Sminus αντιστοίχως

σx =

0 1

1 0

(4133)

σy =

0 minusi

i 0

(4134)

σz =

1 0

0 minus1

(4135)

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι ισχύει η ιδιότητα

[σx σy] = 2iσz (4136)

καθώς και οι κυκλικές εναλλαγές της Επίσης

σ2x = σ2

y = σ2z =

1 0

0 1

= I (4137)

και

σx σy = σxσy + σyσx = 0 (4138)

σy σz = σyσz + σzσy = 0

σz σx = σzσx + σxσz = 0

δηλαδή οι πίνακες Pauli αντιμετατίθονται Επί παραδείγματι

σx σy = σxσy + σyσx =0 1

1 0

0 minusi

i 0

+

0 minusi

i 0

0 1

1 0

=

i 0

0 minusi

+

minusi 0

0 i

=

0 0

0 0

= 0

Ακόμα μπορούμε να αποδείξουμε ότι

S+ + Sminus = σx

S+ minus Sminus = iσy

163

46 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων καισχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων

461 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων πχ ϕωτονίων

Ας ονομαστεί am ο τελεστής καταστροϕής μποζονίων και adaggerm ο τελεστήςδημιουργίας μποζονίων στην κατάσταση m Για τα μποζόνια ισχύουν οι σχέσειςμεταθέσεως (commutation relations)

[am aℓ] = 0

[adaggerm adaggerℓ] = 0

(4139)

[AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4140)

οπότε όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οι ποσότητεςμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας

462 Σχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων πχ ηλε-κτρονίων

Ας ονομαστεί ai ο τελεστής καταστροϕής ϕερμιονίων και adaggeri ο τελεστής δη-μιουργίας ϕερμιονίων στην κατάσταση i Για τα ϕερμιόνια ισχύουν οι σχέσεις αντι-μεταθέσεως (anticommutation relations)

ai adaggerj = δij

ai aj = 0

adaggeri adaggerj = 0

(4141)

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4142)

οπότε όταν AB = 0rArr AB+BA = 0rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας Αν εϕαρμόσουμετη σχέση adaggeri a

daggerj = 0 για την ίδια κατάσταση πχ i = j = r έχουμε adaggerr adaggerr =

0 rArr adaggerradaggerr = 0 που σημαίνει ότι

δεν μπορούμε να βάλουμε δύο ϕερμιόνια στην ίδια

κατάσταση πράγμα που είναι η απαγορευτική αρχή Pauli

164

47 Τελεστές κλίμακας (Ladder operators) [63]

Στη γραμμική άλγεβρα καθώς και στις εϕαρμογές της στην κβαντική μηχανική ορί-ζεται ο τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ο οποίος αυξάνει την ιδιοτιμή ενόςάλλου τελεστή και ο τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) ο οποίος μειώνειτην ιδιοτιμή ενός άλλου τελεστή Αυτοί συλλογικά ονομάζονται τελεστές κλίμα-κας (ladder operators) Στην κβαντομηχανική ο τελεστής αναβιβάσεως καλείταισυχνά τελεστής δημιουργίας (creation operator) και ο τελεστής καταβιβάσεως κα-λείται συχνά τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Γνωστές εϕαρμογέςτων τελεστών κλίμακας είναι στον απλό αρμονικό ταλαντωτή και στη στροϕορμήΣε πολλές περιοχές της ϕυσικής και της χημείας η χρήση αυτών των τελεστών αντίκυματοσυναρτήσεων είναι γνωστή ως δεύτερη κβάντωση (second quantization) [64]

165

48 Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεωςδισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου

΄Εστω δύο αντίθετα ηλεκτρικά ϕορτία q gt 0 και minusq lt 0 στα σημεία Θ και Α

αντιστοίχως Αν d =minusrarrΑΘ είναι το διάνυσμα θέσεως του θετικού ϕορτίου ως προς το

αρνητικό τότε η ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) ορίζεταιως

P = qd (4143)

πχ για το άτομο του υδρογόνου αν το Π παριστάνει τον πυρήνα και το Η παριστάνει

το ηλεκτρόνιο και ως συνήθως ορίσουμε r =minusrarrΠΗ τότε P = qd = e(minusr)rArr

P = minuser (4144)

Αυτό αποδίδεται άνω τμήμα του Σχήματος 46 Η δυναμική ενέργεια (potential

Σχήμα 46 ΄Ανω Ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) Κάτω (Ηλεκτρική) διπολικήροπή μεταβάσεως (transition (electric) dipole moment)

energy) UE του ηλεκτρικού διπόλου εντός ηλεκτρικού πεδίου E είναι

UE = minusP middot E (4145)

166

Ανάλογος με τον παραπάνω ορισμό μπορεί να δοθεί και για την περίπτωση της με-ταβάσεως ενός τμήματος του ηλεκτρονιακού νέϕους από μία αρχική σε μια τελική πε-ριοχή ΄Ετσι ορίζεται η (ηλεκτρική) διπολική ροπή μεταβάσεως [transition(electric) dipole moment] 1 Αυτό αποδίδεται στο κάτω τμήμα το Σχήματος 46Αν το ϕορτίο που μεταϕέρεται είναι minuse πάλι p = qd = e(minusr)rArr p = minuser Δηλαδήεννοείται ότι για την περιοχή 2 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμεί με μετά-βαση ϕορτίου minuse ενώ για την περιοχή 1 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμείμε μετάβαση ϕορτίου +eΟ τελεστής (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως [transition

(electric) dipole moment operator] σημειώνεται εναλλακτικά με ˆd ή ˆp Στη βάση τωνιδιοκαταστάσεων της ενέργειας του αδιατάρακτου ατόμου ή συστήματος ορίζεται ως

ˆd = ˆp =

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | (4146)

με τους επίσης εναλλακτικούς συμβολισμούς

dij = pij = minuse⟨Φi | ˆr | Φj⟩ (4147)

για το στοιχείο πίνακα της (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως μεταξύ των κα-ταστάσεων | Φi⟩ και | Φj⟩ Υπενθυμίζεται ότι ο τελεστής θέσεως (position operator)ˆr είναι τέτοιος ώστε

ˆr | r⟩ = r | r⟩ (4148)

Υπενθυμίζεται για τον συμβολισμό Dirac ότι

| A⟩ =

α1

α2

hArr ⟨A |= (αlowast1 αlowast

2) (4149)

Υπενθυμίζεται ακόμα ότι

⟨Φi | ˆr | Φj⟩ =sum

|rprime⟩|rprimeprime⟩

⟨Φi | rprime⟩⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩⟨rprimeprime | Φj⟩ =sum|rprime⟩

⟨Φi | rprime⟩ rprime ⟨rprime | Φj⟩

=sum|r⟩

⟨Φi | r⟩ r ⟨r | Φj⟩ =intdV Φi(r)

lowastrΦj(r)

1Η λέξη ῾῾ ηλεκτρική ᾿᾿ είναι εντός παρενθέσεως επειδή συνήθως επειδή εννοείται παραλείπεται

167

διότι⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩ = rprimeprime⟨rprime|rprimeprime⟩ = rprimeprimeδrprimerprimeprime (4150)

΄Αρα

d11 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ1(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4151)

d12 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ2(r) = 0 (4152)

d21 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ1(r) = 0 (4153)

d22 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ2(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4154)

Δηλαδή ενώ τα διαγώνια στοιχεία μηδενίζονται τα d12 και d21 δεν είναι (῾῾ εκ ταυτό-τητος ᾿᾿) μηδέν Ας δούμε τώρα ποιος είναι ο ˆp σε δισταθμικό σύστημα

ˆp = d11 | Φ1⟩⟨Φ1 | + d12 | Φ1⟩⟨Φ2 | + d21 | Φ2⟩⟨Φ1 | + d22 | Φ2⟩⟨Φ2 |

= d11

0

1

(0 1)+ d12

0

1

(1 0)+ d21

1

0

(0 1)+ d22

1

0

(1 0)

= 0 ⋆

d11︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

0 0

0 1

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

+ d12︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 0

1 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ d21︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 1

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ 0 ⋆

d22︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

1 0

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

Από τις Εξ (4152)-(4153) συμπεραίνουμε ότι d12 = d21 με την προϋπόθεση ότι οιΦi(r) είναι πραγματικές οπότε

ˆp = d12

0 1

1 0

(4155)

168

Ερώτηση Και τι κάνει ο τελεστής

0 1

1 0

Απάντηση0 1

1 0

0

1

=

1

0

0 1

1 0

1

0

=

0

1

Δηλαδή μεταϕέρει από τη μία ενεργειακή στάθμη στην άλλη όπως θα έπρεπε

Τώρα μπορεί να οριστεί ο τελεστής δυναμικής ενέργειας (potential e-nergy operator) Θεωρούμε ότι η αλληλεπίδραση δισταθμικού συστήματος - ΗΜπεδίου έχει τη μορϕή μηχανισμού ηλεκτρικού διπόλου Αγνοούμε άλλης μορϕής αλ-ληλεπιδράσεις όπως πχ ηλεκτρικού τετραπόλου ή μαγνητικού διπόλου Αϕού

UE = minusP middot E rArr

UmE = minusP middot Em (4156)

όπου ο δείκτης m δηλώνει τον m τρόπο του ΗΜ πεδίου ο αντίστοιχος τελεστήςμπορεί να οριστεί ως

UmE = minus ˆp middot ˆEm (4157)

Επομένως

UmE = minus

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | middotEmx (z t)i

i είναι το μοναδιαίο άνυσμα του άξονα x αϕού έχουμε υποθέσει αυτόν τον προσανα-τολισμό για το ηλεκτρικό πεδίο (δείτε Σχήμα 42) ΄Η λόγω της Εξ 4155

UmE = minusd12

0 1

1 0

middot Emx (z t)i (4158)

Αλλά

d12 middot i = minuseintdV Φ1(r)

lowast(r middot i)Φ2(r) = minusex12 = Px12 = P (4159)

169

Συνεπώς

UmE = ex12

0 1

1 0

Emx (z t) (4160)

Υπενθυμίζονται οι Εξ 4110 και 4111

Emx (z t) =

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4161)

Bmy (z t) =

(~ωmε0V

) 12 1

ccos(mπz

L

)i(adaggerm minus am) (4162)

από τις οποίες όμως στα πλαίσια των υποθέσεών μας χρειαζόμαστε τώρα μόνον τηνπρώτη Επίσης υπενθυμίζεται ότι

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

(4163)

΄Αρα εν τέλει

UmE = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4164)

Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε

~gm = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(4165)

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4166)

Αυτή είναι λοιπόν η Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συ-στήματος - ΗΜ πεδίου για τον ΗΜ τρόπο m Εάν βρισκόμαστε σταπλαίσια της ατομικής ϕυσικής τότε συμβολίζεται και Hm

AF όπου οι δείκτες σημαίνουνAtom-FieldΑπό την Εξ 4165 προκύπτει

~|gm| = |P |∣∣∣∣ (~ωm

ε0V

) 12

sin(mπz

L

) ∣∣∣∣ = |P| Em0 (4167)

170

όπου όμως το ῾῾ πλάτος ᾿᾿ Em0 εξαρτάται από τη θέση z του ατόμου στην κοιλότητα

είναι δηλαδή Em0 = Em

0 (z) Η |gm| (ή οποία συμβολίζεται και με ΩmR ) είναι η λεγόμενη

συχνότητα Rabi Εάν εννοείται σε ποιον ΗΜ τρόπο m αναϕερόμαστε μπορούμε ναχρησιμοποιήσουμε σκέτο το |g| ή το ΩR ΄Αρα

|gm| ή ΩmR =

|P|Em0

~(4168)

Για να μη γράϕουμε απόλυτα μπορούμε σε κάθε θέση να διαλέγουμε τη ϕάση τωνκυματοσυναρτήσεων τέτοια ώστε το g να είναι θετικό και πραγματικό [65] Συνοπτικά

gm ή ΩmR =

|P|Em0

~(4169)

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Τώρα συμπληρώνεται η εικόνα με την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπί-δραση ενός ΗΜ τρόπου m με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4170)

΄Αρα η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4171)

Επομένως οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩ (4172)

|darr nm⟩ (4173)

171

Ας δούμε λίγο προσεκτικότερα τη Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικούσυστήματος - ΗΜ πεδίου (Εξ 4166) Για έναν μοναδικό τρόπο m η Χαμιλτονιανήαυτή αναλυεται σε τέσσερις όρους

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) =

= ~gmS+adaggerm︸ ︷︷ ︸

1ος

+ S+am︸ ︷︷ ︸2ος

+ Sminusadaggerm︸ ︷︷ ︸

3ος

+ Sminusam︸ ︷︷ ︸4ος

bull 1ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E gt 0 Επόμένως αυτός ο όρος μόνος τουδεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

bull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻︸ ︷︷ ︸

μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολ-λοί τρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτο-νιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται απόάθροισμα όρων όπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημανα απορροϕήσει ένα ϕωτόνιο υψηλής συχνότητας και να ανεβεί ενώ παράλληλαδημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο χαμηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi www≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

simsim≻ ff lt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 2ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο Αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

172

bull 3ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιοΚαι αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικάbull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 4ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο ΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E lt 0 Επόμένως και αυτός ο όροςμόνος του δεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολλοίτρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτονιανή αλλη-λεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται από άθροισμα όρωνόπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημα να απορροϕήσει έναϕωτόνιο χαμηλής συχνότητας και να κατεβεί ενώ παράλληλα δημιουργείται εκπέμ-πεται ϕωτόνιο υψηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

www≻ ff gt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

Αν αγνοήσουμε τον 1ο και 4ο όρο που ο καθένας μόνος του δεν διατηρεί τηνενέργεια τότε

UmE = ~gm

(S+am + Sminusa

daggerm

) (4174)

Η προσέγγιση είναι κατά κάποιο τρόπο ανάλογη της RWA (Rotating Wave Approxi-mation) του Κεϕαλαίου 3 Εκεί στις εξισώσεις Rabi κρατήσαμε μόνο τους αργούςόρους όπου ΗΜ πεδίο και το δισταθμικό σύστημα βρίσκονται σε περίπου συντονισμό

173

δηλαδή Ω ≃ ω Τότε κρατήσαμε τους αργούς όρους eplusmni(Ωminusω)t και αγνοήσαμε τουςγρήγορους όρους eplusmni(Ω+ω)tΣυνοπτικά ενώ για την ολική Χαμιλτονιανή ενός τρόπου m έχουμε την λεγόμενη

Χαμιλτονιανή Rabi

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4175)

κατά την παραπάνω συζήτηση αγνοούμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενουςcounter-rotating terms

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4176)

οπότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66]

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4177)

Στην ΄Ασκηση 1 (παραλείποντας τον δείκτη του ΗΜ τρόπου m απλότητα) βρί-σκουμε (Α) τι κάνουν οι όροι adaggera aadagger S+Sminus SminusS+ S+a

dagger S+a Sminusadagger Sminusa στις κα-

ταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩ και (Β) υπολογίζουμε τα ⟨adaggera⟩ ⟨aadagger⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨SminusS+⟩⟨S+a

dagger⟩ ⟨S+a⟩ ⟨Sminusadagger⟩ ⟨Sminusa⟩ για τις καταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩

174

49 Σύνοψη Χαμιλτονιανών

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Ακόμα είδαμε την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπίδραση ενός ΗΜ τρόπουm με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

Οπότε η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί (Εξ 4171)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

και οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩|darr nm⟩

Ακόμα αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενους counter-rotatingterms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam)

τότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66] (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm)

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

144

43 Στάσιμο ΗΜ κύμα σε κοιλότητα

Στην Ενότητα αυτό θα κατασκευάσουμε μια έκϕραση της Χαμιλτονιανής του ΗΜπεδίου που να επιτρέπει το μετασχηματισμό της στη γλώσσα του αριθμού των ϕωτο-νίων αντί της γλώσσας που χρησιμοποιεί τα ανυσματικά μεγέθη E B Αυτό θα γίνειστο παράδειγμα του στάσιμου ΗΜ κύματος σε κοιλότηταΠριν από αυτό ας θυμηθούμε ότι για τρέχοντα ΗΜ κύματα με τις προϋποθέσεις

της Ενότητας 42 έχουμε

nabla2E =1

c2part2E

partt2E(r t) = E0e

i(kmiddotrminusωt+δ) (424)

nabla2B =1

c2part2B

partt2B(r t) = B0e

i(kmiddotrminusωt+δ) (425)

και E times B uarruarr k όπως ϕαίνεται στο Σχήμα 42 αριστερά Πρόκειται για κυματικέςεξισώσεις για το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο αντιστοίχως σε 3 διαστάσεις καιτις λύσεις τους

Σχήμα 42 [Αριστερά] Για τρέχοντα ΗΜ κύματα έχουμε E times B uarruarr k [Δεξιά] Υποθέτουμε ότιE times B uarruarr k με τον προσανατολισμό σε άξονες που δείχνει το σχήμα

Αν ο προσανατολισμός σε άξονες είναι αυτός που δείχνει το Σχήμα 42 δεξιάτότε

nabla2Ex =1

c2part2Expartt2

(426)

E(r t) = Ex0ei(kzzminusωt+δ) = Ex(z t) (427)

145

nabla2By =1

c2part2By

partt2(428)

B(r t) = B0yei(kzzminusωt+δ) = By(z t) (429)

οπότεpart2Expartz2

=1

c2part2Expartt2

(430)

part2By

partz2=

1

c2part2By

partt2(431)

Πρόκειται για κυματικές εξισώσεις για το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο αντιστοί-χως σε 1 διάσταση Ας δούμε τώρα αν βγαίνει κάποιο συμπέρασμα από τις εξισώσειςτου Maxwell στο κενό

nabla middot E = 0 (Εξ 844) rArr partExpartx

+70

partEyparty

+0

partEzpartz

= 0rArr partExpartx

+ 0 + 0 = 0rArr

partExpartx

= 0 πράγμα αναμενόμενο (432)

nabla middot B = 0 (Εξ 846) rArr

0

partBx

partx+partBy

party+

0

partBz

partz= 0rArr 0 +

partBy

party+ 0 = 0rArr

partBy

party= 0 πράγμα αναμενόμενο (433)

nabla times E = minuspartBpartt

(Εξ 848)rArr

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

partpartx

partparty

partpartz

Ex 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = minusjpartBy

parttrArr j

partExpartz

= minusj partBy

parttrArr

partExpartz

= minuspartBy

partt (434)

nablatimesB = ϵ0micro0partE

partt(Εξ 849)rArr

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

partpartx

partparty

partpartz

0 By 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =1

c2partExpartt

irArr i(minuspartBy

partz) = i

1

c2partExparttrArr

146

partBy

partz= minus 1

c2partExpartt

(435)

spades Τώρα βάζουμε ιδανικώς αγώγιμα κάτοπτρα στις θέσεις z = 0 και z = L (Σχή-μα 43) Το προσπίπτον σε κάθε κάτοπτρο κύμα θα συμβάλει με το ανακλώμενο άραθα δημιουργηθούν στάσιμα κύματα

Οι Εξ 430 και 434 εξακολουθούν να ισχύουν

Οι Εξ 431 και 435 για το γραμμικό συνδυασμό

των προσπιπτόντων και ανακλωμένων κυμάτων

part2Expartz2

=1

c2part2Expartt2

partExpartz

= minuspartBy

partt

part2By

partz2=

1

c2part2By

partt2partBy

partz= minus 1

c2partExpartt

Σχήμα 43 Στις θέσεις z = 0 και z = L τοποθετούνται επίπεδα ιδανικώς αγώγιμα κάτοπτρα

Αναζητούμε λύση με μέθοδο των χωριζομένων μεταβλητών υποθέτοντας ότι

Ex(z t) = NZ(z)T (t) (436)

Ας θυμηθούμε τις συνοριακές συνθήκες στη διεπιϕάνεια ιδανικού αγωγού - κενούή κατά προσέγγιση αέρα (θυμηθείτε το Σχήμα 116) Η εϕαπτομενική συνιστώσα του

147

Σχήμα 44 Αγώγιμα κάτοπτρα πριν από z = 0 και μετά από z = L

E μηδενίζεται στη διεπιϕάνεια αυτή Επειδή το E έχει μόνο x συνιστώσα (Εξ 427)και τα επίπεδα ιδανικώς αγώγιμα κάτοπτρα τοποθετούνται στις θέσεις z = 0 καιz = L οπότε το E είναι παράλληλο σε αυτά έπεται ότι

Ex(0 t) = 0 = Ex(L t)forallt (437)

Από τις Εξ 430 και 436 έπεται ότι

NT (t)d2Z

dz2=N

1

c2Z(z)

d2T

dt2hArr

hArr 1

Z(z)

d2Z

dz2︸ ︷︷ ︸f(z)

=1

T (t)

1

c2d2T

dt2︸ ︷︷ ︸g(t)︸ ︷︷ ︸

forallz forallt

άρα= σταθερά = minusk2

αρκεί Z(z) = 0 και T (t) = 0 ενώ για Z(z) = 0 και T (t) = 0 ισχύει η τετριμένηλύση ΄Αρα

d2Z

dz2+ k2Z(z) = 0 (438)

καιd2T

dt2+ k2c2T (t) = 0 (439)

148

bull Ας λύσουμε αρχικά την Εξ 438 δοκιμάζοντας λύσεις της μορϕής eλz οπότεπροκύπτει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο

λ2 + k2 = 0rArr λ2 = minusk2 rArr λ = plusmnik πχ ας διαλέξουμε k isin real+

΄Αρα ουσιαστικά η λύση θα είναι της μορϕής

Z(z) = Aeikz +Beminusikz (440)

Z(0) = 0 συνοριακή συνθήκη 1 (441)

Z(L) = 0 συνοριακή συνθήκη 2 (442)

όπου λάβαμε υπ΄ όψιν τις συνοριακές συνθήκες 437 Από τις Εξ 440 και 441συνεπάγεται ότι A+B = 0rArr B = minusA οπότε η Εξ 440 γίνεται

Z(z) = Aeikz minus Aeminusikz = 2iA sin(kz) (443)

και εϕαρμόζοντας την Εξ 442

sin(kL) = 0rArr kL = mπm isin Z (444)

Δεδομένου όμως ότι διαλέξαμε παραπάνω k isin real+ θα πρέπει m isin N και για μημηδενική λύση θα πρέπει m isin N lowast οπότε k isin reallowast

+ Συνοπτικά το k εξαρτάται απόένα ϕυσικό μη μηδενικό δείκτη δηλαδή

km =mπ

Lm isin N lowast (445)

Αρα Zm(z) = 2Ai sin

(mπz

L

)Κι αν απαιτήσουμε οι Zm να είναι ορθοκανονικές

int L

0

dzZlowastm(z)Zl(z) = δml

rArr

rArrint L

0

dz | 2iA |2 sin(mπz

L

)sin

(lπz

L

)= δml rArr

int π

0

L

πdψ | 2iA |2 sin(mψ) sin(lψ) = δml

όπου ορίσαμε ψ = πzL οπότε dψ = π

Ldz Τότε

L

π4 | A |2

int π

0

dψ sin(mψ) sin(lψ) = δml

149

Αλλά int π

0

dψ sin(mψ) sin(lψ) =π

2δml (446)

ενώ ισχύει επίσης int π

0

dψ cos(mψ) cos(lψ) =π

2δml (447)

ΕπομένωςL

π4 | A |2 π

2δml = δml rArr| A |2=

1

2L

Ας διαλέξουμε κάτι βολικό πχ A =1radic2L

(minusi)

Συνεπώς

Zm(z) =

radic2

Lsin

(mπz

L

)(448)

bull Στη συνέχεια ας λύσουμε την Εξ 439 Ας ορίσουμε

ω = kc gt 0 (449)

οπότε ω2 = k2c2 Χρησιμοποιώντας την Εξ 445

ωm =mπc

Lm isin N lowast (450)

Δοκιμάζοντας λύσεις της μορϕής eλt προκύπτει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο

λ2 + ω2m = 0rArr λ = plusmniωm ωm isin reallowast

+ (451)

΄Αρα ουσιαστικά η λύση θα είναι της μορϕής

T (t) = Γeiωmt +∆eminusiωmt (452)

Κι αν θέσουμε την αρχική συνθήκη

T (0) = 0 (453)

προκύπτει Γ +∆ = 0rArr ∆ = minusΓ οπότε

T (t) = Γeiωmt minus Γeminusiωmt = 2iΓ sin(ωmt)rArr (454)

150

Tm(t) = 2iΓ sin

(mπc

Lt

)(455)

Κι αν απαιτήσουμε οι Tm να είναι ορθοκανονικές δηλαδήint κάτι0

dtT lowastm(t)Tl(t) = δml rArr

int κάτι0

dt | 2iΓ |2 sin(mπct

L

)sin

(lπct

L

)= δml rArr

rArr 4 | Γ |2int κάτι0

dt sin

(mπct

L

)sin

(lπct

L

)= δml

Θέτοντας χ = πctL οπότε dχ = πc

Ldt καταλήγουμε στη σχέση

4 | Γ |2 L

πc

int πcLmiddotκάτι

0

dχ sin(mχ) sin(lχ) = δml (456)

΄Αρα έχοντας υπ΄ όψη την Εξ 446 είναι βολικό να θέσουμε πcLmiddot κάτι = π rArr

κάτι =L

c= τ (457)

΄Ετσι ορισμένο το τ είναι ο χρόνος πτήσεως του ϕωτονίου διαμέσου της κοιλότητας(time of photon flight through cavity) άρα δεν ήταν παράλογο που το θέσαμε έτσιΣυνεπώς εν τέλει η ορθοκανονικοποίηση είναιint τ

0

dtT lowastm(t)Tl(t) = δml (458)

Τελικά έχουμε

4 | Γ |2 L

πc

int π

0

dχ sin(mχ) sin(lχ) = δml rArr| Γ |=radic

c

2L

Κι αν διαλέξουμε κάτι βολικό πχ Γ = (minusi)radic

c2L τελικά έχουμε

Tm(t) =

radic2c

Lsin

(mπc

Lt

)(459)

΄Αρα συνοψίζοντας με τη βοήθεια των Εξ 436 448 459 καταλήγουμε στην

Emx (z t) =

2radicc

LN sin

(mπz

L

)sin

(mπct

L

)(460)

151

΄Οσον αϕορά τις μονάδες θα πρέπει [2radicc

LN ] = V

m= N

CrArr

[N ] =Vradicms

(461)

Για να προσδιορίσουμε το μαγνητικό πεδίο θα χρησιμοποιήσουμε την Εξ 435 σεσυνδυασμό με την Εξ 460 οπότε προκύπτει

partBmy

partz= minus 1

c22radicc

LN sin

(mπzL

) mπcL

cos

(mπct

L

)rArr (462)

int zprime

0

dzpartBm

y

partz= minus 2mπradic

cL2N cos

(mπct

L

)int zprime

0

dz sin(mπz

L

)rArr (463)

Bmy (z

prime t)minusBmy (0 t) = minus

2mπradiccL2N cos

(mπct

L

)L

mπ

[minus cos

(mπzL

)]zprime0

rArr (464)

Bmy (z

prime t)minusBmy (0 t) =

2NradiccL

cos

(mπct

L

)[cos

(mπzprime

L

)minus1cos 0

] (465)

΄Αρα ορίζοντας κατάλληλα την τιμή του Bmy (0 t) προκύπτει

Bmy (z t) =

2NradiccL

cos(mπz

L

)cos

(mπct

L

)(466)

Για την πυκνότητα ενέργειας ισχύει

U =ϵ02E2 +

1

2micro0

B2 =ϵ02[E2 + c2B2] (467)

Σημειώνουμε ότι οι μονάδες για την πυκνότητα ενέργειας είναι [U ] = Jm3 Για πα-

ράδειγμα [ ϵ02E2] = F

mV2

m2 = CV2

Vm3 = Jm3 και [ B

2

2micro0] = T2A

Tm= TA

m= N

m2 = Nmm3 = J

m3 πχ λόγω των γνωστών σχέσεωνB = micro0H F = BIl και c2 = 1

ϵ0micro0 ΄Αρα από τις

Εξ 460 466 467 βρίσκουμε την πυκνότητα ενέργειας του m τρόπου

Um =ϵ02

4cN 2

L2

[sin2

(mπzL

)sin2

(mπct

L

)+ cos2

(mπzL

)cos2

(mπct

L

)] (468)

΄Αρα η ενέργεια του m τρόπου η οποία υπολογίζεται ολοκληρώνοντας την πυ-κνότητα ενέργειας του m τρόπου στην κοιλότητα όγκου V = LS

Εm =

intV=LS

d3r Um (469)

152

είναι

Εm =2ϵ0cN 2S

L2

[sin2

(mπct

L

)int L

0

dz sin2(mπz

L

)+ cos2

(mπct

L

)int L

0

dz cos2(mπz

L

)]

Θέτουμε ψ = πzLrArr dψ = π

Ldz άρα με τη βοήθεια των Εξ 446-447 τα ολοκληρώ-

ματα στο z γίνονται Lπ

int π0dψ sin2(mψ) = L

ππ2= L

2και L

π

int π0dψ cos2(mψ) = L

ππ2= L

2

Αντικαθιστούμε στην παραπάνω εξίσωση και τελικά έχοντας ακολουθήσει αυτή τηνκλασική προσέγγιση έχουμε

Εm =ϵ0cN 2S

L

[sin2

(mπct

L

)+ cos2

(mπct

L

)]=ϵ0cN 2S

L(470)

Ας δούμε τώρα λίγο αλλιώτικα την Εm

Εm =ϵ0cN 2S

L3

[L2 sin2

(mπct

L

)+ L2 cos2

(mπct

L

)] (471)

ορίζοντας ῾῾ γενικευμένη θέση και ταχύτητα ᾿᾿ Καλούμε λοιπόν ῾῾ γενικευμένη θέση ᾿᾿

qm(t) = L sin

(mπct

L

)(472)

και ῾῾ γενικευμένη ταχύτητα ᾿᾿

˙qm(t) = mπc cos

(mπct

L

)(473)

ούτως ώστε [qm(t)] = m και [ ˙qm(t)] = ms Τότε η Εξ 471 γράϕεται

Εm =ϵ0cN 2S

L3

[(qm(t))

2 +L2

m2π2c2( ˙qm(t))

2

] (474)

Θα μπορούσαμε εδώ να θεωρήσουμε μια αναλογία της Εξ 474 με Απλό ΑρμονικόΤαλαντωτή (ΑΑΤ) του οποίου η ενέργεια θα ήταν

Ε =K

2x2 +

M

2v2 =

K

2[x2 +

M

Kv2] (475)

Επομένωςϵ0cN 2S

L3=K

2 (476)

153

L2

m2π2c2=M

K (477)

Δηλαδή προκύπτει η ῾῾ σταθερά ελατηρίου ᾿᾿

K =2ϵ0cN 2S

L3 (478)

και η ῾῾ μάζα ᾿᾿ (η οποία σημειωτέο εξαρτάται από το m είναι δηλαδή διαϕορετική γιακάθε τρόπο του ΗΜ πεδίου m)

Mm =2ϵ0N 2S

cLm2π2 (479)

Μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι η Mm έχει διαστάσεις μάζας (θα χρειαστείκαι η Εξ 461) και πως ισχύει K = Mmω

2m ΄Αρα κλασικά υπάρχει μία τυπική

ομοιότητα με ΑΑΤ με κυκλική συχνότητα ωm (Εξ 450) και ῾῾ μάζα ᾿᾿ Mm (Εξ 479)δηλαδή η Εξ 471 ή 474 γράϕεται

Εm =Mmω

2m

2q2m +

Mm

2q2m (480)

Μπορούμε επομένως να πούμε ότι το κβαντικό αντίστοιχο για ένα τρόπο ΗΜπεδίου m δηλαδή η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m θα είναι

HΗΜ m =Mmω

2m

2q2m +

Mm

2˙q2m (481)

με ιδιοτιμές ενέργειας

Emnm = ~ωm(nm +1

2) (482)

όπου ο δείκτης m isin N lowast αϕορά τον τρόπο του ΗΜ πεδίου και ο δείκτης nm isin Nαϕορά τον αριθμό των ϕωτονίων στον τρόπο m Συνεπώς η Χαμιλτονιανή για όλουςτους τρόπους του ΗΜ πεδίου θα είναι

HΗΜ =summ

HΗΜ m (483)

Κατόπιν σημειώνουμε ότι από τις Εξ 460 και 472 συνεπάγεται ότι

Emx (z t) =

2radicc

L2N sin

(mπzL

)qm(t) (484)

154

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Emx (z t) =

2radicc

L2N sin

(mπzL

)qm(t) (485)

Επίσης από τις Εξ 466 και 473 συνεπάγεται ότι

Bmy (z t) =

2NLradicc

1

mπccos(mπz

L

)qm(t) (486)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Bmy (z t) =

2NLradicc

1

mπccos(mπz

L

)ˆqm(t) (487)

Από τις ΄Εξ 484 479 και 450 προκύπτει

Emx (z t) =

(2Mmωm

2

ϵ0V

)12

sin(mπz

L

)qm(t) (488)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Emx (z t) =

(2Mmωm

2

ϵ0V

)12

sin(mπz

L

)qm(t) (489)

Από τις ΄Εξ 486 479 και 450 προκύπτει

Bmy (z t) =

1

c

(2Mm

ϵ0V

)12

cos(mπz

L

)qm(t) (490)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Bmy (z t) =

1

c

(2Mm

ϵ0V

)12

cos(mπz

L

)ˆqm(t) (491)

Τέλος από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει όπως αναμενόταν [Ex

By] = [c]

155

44 Χαμιλτονιανή ΗΜ πεδίου με τελεστέςκαταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίων

Ας μιλήσουμε τώρα για τελεστές καταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίων (photoncreation and annihilation operators) Είναι τώρα εύκολο να κβαντωθεί η Χαμιλτο-νιανή που περιγράϕει το ΗΜ πεδίο αρκεί να εϕαρμοστεί η αντιστοιχία τελεστών

qm = qm (492)

pm = minusi~ part

partqm(493)

Εισάγουμε τους τελεστές

am =1radic

2Mm~ωm(Mmωmqm + ipm) ῾῾ καταστροϕής ᾿᾿ (494)

adaggerm =1radic

2Mm~ωm(Mmωmqm minus ipm) ῾῾ δημιουργίας ᾿᾿ (495)

Ισχύουν οι ιδιότητες[am a

daggerm]︸ ︷︷ ︸

μεταθέτης

= amadaggerm minus adaggermam = 1 (496)

[qm pm]︸ ︷︷ ︸μεταθέτης

= i~ (497)

΄Ετσι οι τελεστές qm pm μπορούν τώρα να γραϕούν

qm =

(~

2Mmωm

)12

(adaggerm + am) (498)

pm = i

(Mm~ωm

2

)12

(adaggerm minus am) (499)

Συνεπώς η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m είναι

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)(4100)

Ας συμβολίσουμε με |nm⟩ την κατάσταση του ΗΜ πεδίου με nm αριθμό ϕωτονίωνστον ΗΜ τρόπο m Λέμε ότι είναι μια ῾῾ κατάσταση ϕωτονικών αριθμών ᾿᾿ Τα |nm⟩αποτελούν ένα πλήρες σύστημα δηλαδή ισχύει ⟨nm|lm⟩ = δnl

156

Οι τελεστές adaggerm και am έχουν τις ιδιότητες

adaggerm |nm⟩ =radicnm + 1 |nm + 1⟩ (4101)

am |nm⟩ =radicnm |nm minus 1⟩ (4102)

am |0⟩ = |0⟩ (4103)

Από τις Εξ 4101 και 4102 προκύπτει

adaggermam |nm⟩ = nm |nm⟩ (4104)

δηλαδή ο τελεστής Nm = adaggermam μετρά τον αριθμό των ϕωτονίων του ΗΜ τρόπου mοπότε μπορεί να αποκληθεί τελεστής του αριθμού των ϕωτονίων στον ΗΜ τρόπο mΑκόμα επαγωγικά προκύπτει

|nm⟩ =1radicnm

(adaggerm)nm |0⟩ (4105)

Λόγω των Εξ 4100 και 4104 προκύπτει

HΗΜ m |nm⟩ = ~ωm(nm +1

2) |nm⟩ (4106)

δηλαδή η Χαμιλτονιανή HΗΜ m δίνει ιδιοτιμές ενέργειας

Emnm = ~ωm(nm +1

2) (4107)

Η θεμελιώδης κατάσταση του ΑΑΤ |0⟩ με ιδιοενέργεια 12~ωm αντιστοιχεί στο κενό

δηλαδή χωρίς σωμάτιο η 1η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |1⟩ με ιδιοενέργεια 32~ωm

αντιστοιχεί σε ένα σωμάτιο η 2η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |2⟩ με ιδιοενέργεια52~ωm αντιστοιχεί σε δύο σωμάτια κοκ Αυτά τα σωμάτια εν προκειμένω τα λέμεϕωτόνια Δημιουργούνται και καταστρέϕονται με τους τελεστές αναβιβάσεως καικαταβιβάσεως ξεκινώντας από ένα επίπεδο αναϕοράς που εδώ είναι το κενό Υπακού-ουν στις μποζονικές σχέσεις μεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράστασηείναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση (second quantization)Η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)= ~ωm

(Nm +

1

2

) (4108)

157

αγνοώντας τον όρο ~ωm

2 μπορεί να γραϕτεί

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm (4109)

Μπορούμε να έχουμε οσαδήποτε ϕωτόνια στην ενεργειακή κατάσταση ~ωm διότι εί-ναι μποζόνια Ο adaggerm είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζειτην ενέργεια δημιουργώντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωm εξ ού και η ονομασία τελε-στής δημιουργίας (creation operator) Ο am είναι τελεστής καταβιβάσεως (loweringoperator) διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωmεξ ού και η ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator)

Σχήμα 45 Σωμάτια (εδώ ϕωτόνια απεικονίζονται με πράσινες βούλες) δημιουργούνται και κατα-στρέϕονται μέσω των τελεστών αναβιβάσεως και καταβιβάσεως Υπακούουν στις μποζονικές σχέσειςμεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράσταση είναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση(second quantization) Ο αριθμός των ϕωτονίων είναι ίσος με τον αριθμό των κόμβων της ιδιοσυ-ναρτήσεως

Τέλος ας σημειώσουμε ότι από τις Εξ 489 και 498 προκύπτει

Emx (z t) =

(~ωmϵ0V

)12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4110)

ενώ από τις Εξ 491 και 499 προκύπτει

Bmy (z t) =

i

c

(~ωmϵ0V

)12

cos(mπz

L

)(adaggerm minus am) (4111)

158

45 Χαμιλτονιανή δισταθμικού συστήματοςμε σπίνορες

Θα περιγράψουμε την αναβίβαση και την καταβίβαση ενός ηλεκτρονίου μεταξύ τωνενεργειακών σταθμών ενός δισταθμικού συστήματος πχ ενός ατόμου με τη βοήθειασπινόρων (spinors) Σπίνορας είναι ένα διάνυσμα - στήλη με δύο συνιστώσες Αςαρχίσουμε με ορισμούς (πχ [62])

| ⟩ =

=

0

0

=| 0⟩ |darr⟩ =

bull

=

0

1

=| 1⟩ |uarr⟩ =

bull

=

1

0

=| 2⟩

(4112)Το πρώτο παριστά το άδειο δισταθμικό σύστημα το δεύτερο δηλώνει το δισταθμικόσύστημα με το ηλεκτρόνιο στην κάτω στάθμη όπου έχει ενέργεια E1 και το τρίτο δη-λώνει το δισταθμικό σύστημα με το ηλεκτρόνιο στην άνω στάθμη όπου έχει ενέργειαE2 Ας ορίσουμε τώρα τους τελεστές

S+ =

0 1

0 0

Sminus =

0 0

1 0

(4113)

για τους οποίους μάλιστα ισχύει Sdagger+ =

0 1

0 0

dagger

=

0 0

1 0

= Sminus Ας δούμε ποιό

είναι το αποτέλεσμα της δράσεώς τους στους σπίνορες που ορίσαμε μόλις προ ολίγου

S+ | 0⟩ =

0 1

0 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

S+ |darr⟩ =

0 1

0 0

0

1

=

1

0

=|uarr⟩ το ανεβάζει

S+ |uarr⟩ =

0 1

0 0

1

0

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

(4114)

159

Sminus | 0⟩ =

0 0

1 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

Sminus |darr⟩ =

0 0

1 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

Sminus |uarr⟩ =

0 0

1 0

1

0

=

0

1

=|darr⟩ το κατεβάζει

(4115)

΄Ετσι ο S+ ονομάζεται τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ενώ ο Sminus ονομάζε-ται τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) του ηλεκτρονίου Ας δούμε μερικέςακόμα ιδιότητες

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

= σx (4116)

που είναι ένας από τους πίνακες Pauli που παρατίθονται λίγο παρακάτω (Εξ 4133)Ακόμα

S+Sminus =

0 1

0 0

0 0

1 0

=

1 0

0 0

(4117)

SminusS+ =

0 0

1 0

0 1

0 0

=

0 0

0 1

(4118)

΄Αρα από τις Εξ 4117-4118 συνεπάγεται ότι

S+Sminus + SminusS+ =

1 0

0 1

= I (4119)

που είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας Μπορούμε να το γράψουμε και στη μορϕή

S+ Sminus = I (4120)

160

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4121)

ενώ [AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4122)

΄Οταν AB = 0 rArr AB + BA = 0 rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται ενώ όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οιποσότητες μετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση των ονομασίων ΄Οπωςθα δούμε παρακάτω η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσειςαντιμεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ηλεκτρόνια που είναι ϕερμιόνια ενώ ο με-ταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσεις μεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ϕωτόνιαπου είναι μποζόνια Συχνά στα ελληνικά συγγράμματα της δευτεροβάθμιας εκπαί-δευσης πολύ κακώς εδώ και δεκαετίες ονομάζεται ῾῾ αντιμεταθετική ᾿᾿ η μεταθετική(commutative) ιδιότητα χαθήκαμε δηλαδή στη μετάϕρασηΗ Χαμιλτονιανή του Δισταθμικού Συστήματος HΔΣ είναι η

E2S+Sminus + E1SminusS+ = E2

1 0

0 0

+ E1

0 0

0 1

=

E2 0

0 E1

(4123)

αϕού E2 0

0 E1

1

0

=

E2

0

= E2

1

0

(4124)

E2 0

0 E1

0

1

=

0

E1

= E1

0

1

(4125)

΄Αρα συνοπτικά δείξαμε ότι

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+ (4126)

Αν τώρα θέσουμε E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) οπότε

HΔΣ = ~ΩS+Sminus (4127)

161

Ο τελεστής S+Sminus μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη αϕού

S+Sminus | 1⟩ =

1 0

0 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ rArr S+Sminus | 1⟩ = 0 | 1⟩ (4128)

S+Sminus | 2⟩ =

1 0

0 0

1

0

=

1

0

=| 2⟩ rArr S+Sminus | 2⟩ = 1 | 2⟩ (4129)

Ο τελεστής SminusS+ μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην κάτω στάθμη αϕού

SminusS+ | 1⟩ =

0 0

0 1

0

1

=

0

1

=| 1⟩ rArr SminusS+ | 1⟩ = 1 | 1⟩ (4130)

SminusS+ | 2⟩ =

0 0

0 1

1

0

=

0

0

=| 0⟩ rArr SminusS+ | 2⟩ = 0 | 2⟩ (4131)

Παρατήρηση Συνοπτικά για τους τελεστές S+ και Sminus μπορούμε να αποδείξουμεότι (S+)

dagger = Sminus αλλά και ότι

S+ Sdagger+ = S+ Sminus = S+Sminus + SminusS+ = I

Sminus Sdaggerminus = Sminus S+ = SminusS+ + S+Sminus = I

S+ S+ = Sdaggerminus S

daggerminus = S+S+ + S+S+ = 0

Sminus Sminus = Sdagger+ S

dagger+ = SminusSminus + SminusSminus = 0

(4132)

όπου I είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας 2 times 2 και 0 είναι ο μηδενικός πίνακας2times2 Οι Εξ 4132 δείχνουν ότι οι τελεστές S+ και Sminus υπακούουν στις σχέσεις αντι-μεταθέσεως ϕερμιονίων που αναϕέρουμε στην Υποενότητα 462 της Ενότητας 46Ο S+ είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζει την ενέργειαδημιουργώντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού και η ονομασία τελεστής δημιουρ-γίας (creation operator) Ο Sminus είναι τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator)διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού καιη ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Μπορούμε να έχουμεμόνο ένα ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω διότι τα ηλεκτρόνια είναι ϕερμιόνια

162

Ας θυμηθούμε τώρα τους πίνακες Pauli σx σy σz και ας δούμε τη σχέση τους μετους τελεστές αναβιβάσεως και καταβιβάσεως ηλεκτρονίων S+ και Sminus αντιστοίχως

σx =

0 1

1 0

(4133)

σy =

0 minusi

i 0

(4134)

σz =

1 0

0 minus1

(4135)

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι ισχύει η ιδιότητα

[σx σy] = 2iσz (4136)

καθώς και οι κυκλικές εναλλαγές της Επίσης

σ2x = σ2

y = σ2z =

1 0

0 1

= I (4137)

και

σx σy = σxσy + σyσx = 0 (4138)

σy σz = σyσz + σzσy = 0

σz σx = σzσx + σxσz = 0

δηλαδή οι πίνακες Pauli αντιμετατίθονται Επί παραδείγματι

σx σy = σxσy + σyσx =0 1

1 0

0 minusi

i 0

+

0 minusi

i 0

0 1

1 0

=

i 0

0 minusi

+

minusi 0

0 i

=

0 0

0 0

= 0

Ακόμα μπορούμε να αποδείξουμε ότι

S+ + Sminus = σx

S+ minus Sminus = iσy

163

46 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων καισχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων

461 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων πχ ϕωτονίων

Ας ονομαστεί am ο τελεστής καταστροϕής μποζονίων και adaggerm ο τελεστήςδημιουργίας μποζονίων στην κατάσταση m Για τα μποζόνια ισχύουν οι σχέσειςμεταθέσεως (commutation relations)

[am aℓ] = 0

[adaggerm adaggerℓ] = 0

(4139)

[AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4140)

οπότε όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οι ποσότητεςμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας

462 Σχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων πχ ηλε-κτρονίων

Ας ονομαστεί ai ο τελεστής καταστροϕής ϕερμιονίων και adaggeri ο τελεστής δη-μιουργίας ϕερμιονίων στην κατάσταση i Για τα ϕερμιόνια ισχύουν οι σχέσεις αντι-μεταθέσεως (anticommutation relations)

ai adaggerj = δij

ai aj = 0

adaggeri adaggerj = 0

(4141)

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4142)

οπότε όταν AB = 0rArr AB+BA = 0rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας Αν εϕαρμόσουμετη σχέση adaggeri a

daggerj = 0 για την ίδια κατάσταση πχ i = j = r έχουμε adaggerr adaggerr =

0 rArr adaggerradaggerr = 0 που σημαίνει ότι

δεν μπορούμε να βάλουμε δύο ϕερμιόνια στην ίδια

κατάσταση πράγμα που είναι η απαγορευτική αρχή Pauli

164

47 Τελεστές κλίμακας (Ladder operators) [63]

Στη γραμμική άλγεβρα καθώς και στις εϕαρμογές της στην κβαντική μηχανική ορί-ζεται ο τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ο οποίος αυξάνει την ιδιοτιμή ενόςάλλου τελεστή και ο τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) ο οποίος μειώνειτην ιδιοτιμή ενός άλλου τελεστή Αυτοί συλλογικά ονομάζονται τελεστές κλίμα-κας (ladder operators) Στην κβαντομηχανική ο τελεστής αναβιβάσεως καλείταισυχνά τελεστής δημιουργίας (creation operator) και ο τελεστής καταβιβάσεως κα-λείται συχνά τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Γνωστές εϕαρμογέςτων τελεστών κλίμακας είναι στον απλό αρμονικό ταλαντωτή και στη στροϕορμήΣε πολλές περιοχές της ϕυσικής και της χημείας η χρήση αυτών των τελεστών αντίκυματοσυναρτήσεων είναι γνωστή ως δεύτερη κβάντωση (second quantization) [64]

165

48 Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεωςδισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου

΄Εστω δύο αντίθετα ηλεκτρικά ϕορτία q gt 0 και minusq lt 0 στα σημεία Θ και Α

αντιστοίχως Αν d =minusrarrΑΘ είναι το διάνυσμα θέσεως του θετικού ϕορτίου ως προς το

αρνητικό τότε η ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) ορίζεταιως

P = qd (4143)

πχ για το άτομο του υδρογόνου αν το Π παριστάνει τον πυρήνα και το Η παριστάνει

το ηλεκτρόνιο και ως συνήθως ορίσουμε r =minusrarrΠΗ τότε P = qd = e(minusr)rArr

P = minuser (4144)

Αυτό αποδίδεται άνω τμήμα του Σχήματος 46 Η δυναμική ενέργεια (potential

Σχήμα 46 ΄Ανω Ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) Κάτω (Ηλεκτρική) διπολικήροπή μεταβάσεως (transition (electric) dipole moment)

energy) UE του ηλεκτρικού διπόλου εντός ηλεκτρικού πεδίου E είναι

UE = minusP middot E (4145)

166

Ανάλογος με τον παραπάνω ορισμό μπορεί να δοθεί και για την περίπτωση της με-ταβάσεως ενός τμήματος του ηλεκτρονιακού νέϕους από μία αρχική σε μια τελική πε-ριοχή ΄Ετσι ορίζεται η (ηλεκτρική) διπολική ροπή μεταβάσεως [transition(electric) dipole moment] 1 Αυτό αποδίδεται στο κάτω τμήμα το Σχήματος 46Αν το ϕορτίο που μεταϕέρεται είναι minuse πάλι p = qd = e(minusr)rArr p = minuser Δηλαδήεννοείται ότι για την περιοχή 2 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμεί με μετά-βαση ϕορτίου minuse ενώ για την περιοχή 1 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμείμε μετάβαση ϕορτίου +eΟ τελεστής (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως [transition

(electric) dipole moment operator] σημειώνεται εναλλακτικά με ˆd ή ˆp Στη βάση τωνιδιοκαταστάσεων της ενέργειας του αδιατάρακτου ατόμου ή συστήματος ορίζεται ως

ˆd = ˆp =

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | (4146)

με τους επίσης εναλλακτικούς συμβολισμούς

dij = pij = minuse⟨Φi | ˆr | Φj⟩ (4147)

για το στοιχείο πίνακα της (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως μεταξύ των κα-ταστάσεων | Φi⟩ και | Φj⟩ Υπενθυμίζεται ότι ο τελεστής θέσεως (position operator)ˆr είναι τέτοιος ώστε

ˆr | r⟩ = r | r⟩ (4148)

Υπενθυμίζεται για τον συμβολισμό Dirac ότι

| A⟩ =

α1

α2

hArr ⟨A |= (αlowast1 αlowast

2) (4149)

Υπενθυμίζεται ακόμα ότι

⟨Φi | ˆr | Φj⟩ =sum

|rprime⟩|rprimeprime⟩

⟨Φi | rprime⟩⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩⟨rprimeprime | Φj⟩ =sum|rprime⟩

⟨Φi | rprime⟩ rprime ⟨rprime | Φj⟩

=sum|r⟩

⟨Φi | r⟩ r ⟨r | Φj⟩ =intdV Φi(r)

lowastrΦj(r)

1Η λέξη ῾῾ ηλεκτρική ᾿᾿ είναι εντός παρενθέσεως επειδή συνήθως επειδή εννοείται παραλείπεται

167

διότι⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩ = rprimeprime⟨rprime|rprimeprime⟩ = rprimeprimeδrprimerprimeprime (4150)

΄Αρα

d11 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ1(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4151)

d12 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ2(r) = 0 (4152)

d21 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ1(r) = 0 (4153)

d22 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ2(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4154)

Δηλαδή ενώ τα διαγώνια στοιχεία μηδενίζονται τα d12 και d21 δεν είναι (῾῾ εκ ταυτό-τητος ᾿᾿) μηδέν Ας δούμε τώρα ποιος είναι ο ˆp σε δισταθμικό σύστημα

ˆp = d11 | Φ1⟩⟨Φ1 | + d12 | Φ1⟩⟨Φ2 | + d21 | Φ2⟩⟨Φ1 | + d22 | Φ2⟩⟨Φ2 |

= d11

0

1

(0 1)+ d12

0

1

(1 0)+ d21

1

0

(0 1)+ d22

1

0

(1 0)

= 0 ⋆

d11︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

0 0

0 1

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

+ d12︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 0

1 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ d21︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 1

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ 0 ⋆

d22︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

1 0

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

Από τις Εξ (4152)-(4153) συμπεραίνουμε ότι d12 = d21 με την προϋπόθεση ότι οιΦi(r) είναι πραγματικές οπότε

ˆp = d12

0 1

1 0

(4155)

168

Ερώτηση Και τι κάνει ο τελεστής

0 1

1 0

Απάντηση0 1

1 0

0

1

=

1

0

0 1

1 0

1

0

=

0

1

Δηλαδή μεταϕέρει από τη μία ενεργειακή στάθμη στην άλλη όπως θα έπρεπε

Τώρα μπορεί να οριστεί ο τελεστής δυναμικής ενέργειας (potential e-nergy operator) Θεωρούμε ότι η αλληλεπίδραση δισταθμικού συστήματος - ΗΜπεδίου έχει τη μορϕή μηχανισμού ηλεκτρικού διπόλου Αγνοούμε άλλης μορϕής αλ-ληλεπιδράσεις όπως πχ ηλεκτρικού τετραπόλου ή μαγνητικού διπόλου Αϕού

UE = minusP middot E rArr

UmE = minusP middot Em (4156)

όπου ο δείκτης m δηλώνει τον m τρόπο του ΗΜ πεδίου ο αντίστοιχος τελεστήςμπορεί να οριστεί ως

UmE = minus ˆp middot ˆEm (4157)

Επομένως

UmE = minus

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | middotEmx (z t)i

i είναι το μοναδιαίο άνυσμα του άξονα x αϕού έχουμε υποθέσει αυτόν τον προσανα-τολισμό για το ηλεκτρικό πεδίο (δείτε Σχήμα 42) ΄Η λόγω της Εξ 4155

UmE = minusd12

0 1

1 0

middot Emx (z t)i (4158)

Αλλά

d12 middot i = minuseintdV Φ1(r)

lowast(r middot i)Φ2(r) = minusex12 = Px12 = P (4159)

169

Συνεπώς

UmE = ex12

0 1

1 0

Emx (z t) (4160)

Υπενθυμίζονται οι Εξ 4110 και 4111

Emx (z t) =

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4161)

Bmy (z t) =

(~ωmε0V

) 12 1

ccos(mπz

L

)i(adaggerm minus am) (4162)

από τις οποίες όμως στα πλαίσια των υποθέσεών μας χρειαζόμαστε τώρα μόνον τηνπρώτη Επίσης υπενθυμίζεται ότι

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

(4163)

΄Αρα εν τέλει

UmE = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4164)

Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε

~gm = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(4165)

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4166)

Αυτή είναι λοιπόν η Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συ-στήματος - ΗΜ πεδίου για τον ΗΜ τρόπο m Εάν βρισκόμαστε σταπλαίσια της ατομικής ϕυσικής τότε συμβολίζεται και Hm

AF όπου οι δείκτες σημαίνουνAtom-FieldΑπό την Εξ 4165 προκύπτει

~|gm| = |P |∣∣∣∣ (~ωm

ε0V

) 12

sin(mπz

L

) ∣∣∣∣ = |P| Em0 (4167)

170

όπου όμως το ῾῾ πλάτος ᾿᾿ Em0 εξαρτάται από τη θέση z του ατόμου στην κοιλότητα

είναι δηλαδή Em0 = Em

0 (z) Η |gm| (ή οποία συμβολίζεται και με ΩmR ) είναι η λεγόμενη

συχνότητα Rabi Εάν εννοείται σε ποιον ΗΜ τρόπο m αναϕερόμαστε μπορούμε ναχρησιμοποιήσουμε σκέτο το |g| ή το ΩR ΄Αρα

|gm| ή ΩmR =

|P|Em0

~(4168)

Για να μη γράϕουμε απόλυτα μπορούμε σε κάθε θέση να διαλέγουμε τη ϕάση τωνκυματοσυναρτήσεων τέτοια ώστε το g να είναι θετικό και πραγματικό [65] Συνοπτικά

gm ή ΩmR =

|P|Em0

~(4169)

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Τώρα συμπληρώνεται η εικόνα με την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπί-δραση ενός ΗΜ τρόπου m με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4170)

΄Αρα η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4171)

Επομένως οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩ (4172)

|darr nm⟩ (4173)

171

Ας δούμε λίγο προσεκτικότερα τη Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικούσυστήματος - ΗΜ πεδίου (Εξ 4166) Για έναν μοναδικό τρόπο m η Χαμιλτονιανήαυτή αναλυεται σε τέσσερις όρους

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) =

= ~gmS+adaggerm︸ ︷︷ ︸

1ος

+ S+am︸ ︷︷ ︸2ος

+ Sminusadaggerm︸ ︷︷ ︸

3ος

+ Sminusam︸ ︷︷ ︸4ος

bull 1ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E gt 0 Επόμένως αυτός ο όρος μόνος τουδεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

bull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻︸ ︷︷ ︸

μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολ-λοί τρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτο-νιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται απόάθροισμα όρων όπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημανα απορροϕήσει ένα ϕωτόνιο υψηλής συχνότητας και να ανεβεί ενώ παράλληλαδημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο χαμηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi www≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

simsim≻ ff lt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 2ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο Αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

172

bull 3ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιοΚαι αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικάbull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 4ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο ΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E lt 0 Επόμένως και αυτός ο όροςμόνος του δεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολλοίτρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτονιανή αλλη-λεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται από άθροισμα όρωνόπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημα να απορροϕήσει έναϕωτόνιο χαμηλής συχνότητας και να κατεβεί ενώ παράλληλα δημιουργείται εκπέμ-πεται ϕωτόνιο υψηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

www≻ ff gt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

Αν αγνοήσουμε τον 1ο και 4ο όρο που ο καθένας μόνος του δεν διατηρεί τηνενέργεια τότε

UmE = ~gm

(S+am + Sminusa

daggerm

) (4174)

Η προσέγγιση είναι κατά κάποιο τρόπο ανάλογη της RWA (Rotating Wave Approxi-mation) του Κεϕαλαίου 3 Εκεί στις εξισώσεις Rabi κρατήσαμε μόνο τους αργούςόρους όπου ΗΜ πεδίο και το δισταθμικό σύστημα βρίσκονται σε περίπου συντονισμό

173

δηλαδή Ω ≃ ω Τότε κρατήσαμε τους αργούς όρους eplusmni(Ωminusω)t και αγνοήσαμε τουςγρήγορους όρους eplusmni(Ω+ω)tΣυνοπτικά ενώ για την ολική Χαμιλτονιανή ενός τρόπου m έχουμε την λεγόμενη

Χαμιλτονιανή Rabi

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4175)

κατά την παραπάνω συζήτηση αγνοούμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενουςcounter-rotating terms

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4176)

οπότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66]

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4177)

Στην ΄Ασκηση 1 (παραλείποντας τον δείκτη του ΗΜ τρόπου m απλότητα) βρί-σκουμε (Α) τι κάνουν οι όροι adaggera aadagger S+Sminus SminusS+ S+a

dagger S+a Sminusadagger Sminusa στις κα-

ταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩ και (Β) υπολογίζουμε τα ⟨adaggera⟩ ⟨aadagger⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨SminusS+⟩⟨S+a

dagger⟩ ⟨S+a⟩ ⟨Sminusadagger⟩ ⟨Sminusa⟩ για τις καταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩

174

49 Σύνοψη Χαμιλτονιανών

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Ακόμα είδαμε την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπίδραση ενός ΗΜ τρόπουm με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

Οπότε η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί (Εξ 4171)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

και οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩|darr nm⟩

Ακόμα αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενους counter-rotatingterms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam)

τότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66] (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm)

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

145

nabla2By =1

c2part2By

partt2(428)

B(r t) = B0yei(kzzminusωt+δ) = By(z t) (429)

οπότεpart2Expartz2

=1

c2part2Expartt2

(430)

part2By

partz2=

1

c2part2By

partt2(431)

Πρόκειται για κυματικές εξισώσεις για το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο αντιστοί-χως σε 1 διάσταση Ας δούμε τώρα αν βγαίνει κάποιο συμπέρασμα από τις εξισώσειςτου Maxwell στο κενό

nabla middot E = 0 (Εξ 844) rArr partExpartx

+70

partEyparty

+0

partEzpartz

= 0rArr partExpartx

+ 0 + 0 = 0rArr

partExpartx

= 0 πράγμα αναμενόμενο (432)

nabla middot B = 0 (Εξ 846) rArr

0

partBx

partx+partBy

party+

0

partBz

partz= 0rArr 0 +

partBy

party+ 0 = 0rArr

partBy

party= 0 πράγμα αναμενόμενο (433)

nabla times E = minuspartBpartt

(Εξ 848)rArr

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

partpartx

partparty

partpartz

Ex 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = minusjpartBy

parttrArr j

partExpartz

= minusj partBy

parttrArr

partExpartz

= minuspartBy

partt (434)

nablatimesB = ϵ0micro0partE

partt(Εξ 849)rArr

∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

partpartx

partparty

partpartz

0 By 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =1

c2partExpartt

irArr i(minuspartBy

partz) = i

1

c2partExparttrArr

146

partBy

partz= minus 1

c2partExpartt

(435)

spades Τώρα βάζουμε ιδανικώς αγώγιμα κάτοπτρα στις θέσεις z = 0 και z = L (Σχή-μα 43) Το προσπίπτον σε κάθε κάτοπτρο κύμα θα συμβάλει με το ανακλώμενο άραθα δημιουργηθούν στάσιμα κύματα

Οι Εξ 430 και 434 εξακολουθούν να ισχύουν

Οι Εξ 431 και 435 για το γραμμικό συνδυασμό

των προσπιπτόντων και ανακλωμένων κυμάτων

part2Expartz2

=1

c2part2Expartt2

partExpartz

= minuspartBy

partt

part2By

partz2=

1

c2part2By

partt2partBy

partz= minus 1

c2partExpartt

Σχήμα 43 Στις θέσεις z = 0 και z = L τοποθετούνται επίπεδα ιδανικώς αγώγιμα κάτοπτρα

Αναζητούμε λύση με μέθοδο των χωριζομένων μεταβλητών υποθέτοντας ότι

Ex(z t) = NZ(z)T (t) (436)

Ας θυμηθούμε τις συνοριακές συνθήκες στη διεπιϕάνεια ιδανικού αγωγού - κενούή κατά προσέγγιση αέρα (θυμηθείτε το Σχήμα 116) Η εϕαπτομενική συνιστώσα του

147

Σχήμα 44 Αγώγιμα κάτοπτρα πριν από z = 0 και μετά από z = L

E μηδενίζεται στη διεπιϕάνεια αυτή Επειδή το E έχει μόνο x συνιστώσα (Εξ 427)και τα επίπεδα ιδανικώς αγώγιμα κάτοπτρα τοποθετούνται στις θέσεις z = 0 καιz = L οπότε το E είναι παράλληλο σε αυτά έπεται ότι

Ex(0 t) = 0 = Ex(L t)forallt (437)

Από τις Εξ 430 και 436 έπεται ότι

NT (t)d2Z

dz2=N

1

c2Z(z)

d2T

dt2hArr

hArr 1

Z(z)

d2Z

dz2︸ ︷︷ ︸f(z)

=1

T (t)

1

c2d2T

dt2︸ ︷︷ ︸g(t)︸ ︷︷ ︸

forallz forallt

άρα= σταθερά = minusk2

αρκεί Z(z) = 0 και T (t) = 0 ενώ για Z(z) = 0 και T (t) = 0 ισχύει η τετριμένηλύση ΄Αρα

d2Z

dz2+ k2Z(z) = 0 (438)

καιd2T

dt2+ k2c2T (t) = 0 (439)

148

bull Ας λύσουμε αρχικά την Εξ 438 δοκιμάζοντας λύσεις της μορϕής eλz οπότεπροκύπτει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο

λ2 + k2 = 0rArr λ2 = minusk2 rArr λ = plusmnik πχ ας διαλέξουμε k isin real+

΄Αρα ουσιαστικά η λύση θα είναι της μορϕής

Z(z) = Aeikz +Beminusikz (440)

Z(0) = 0 συνοριακή συνθήκη 1 (441)

Z(L) = 0 συνοριακή συνθήκη 2 (442)

όπου λάβαμε υπ΄ όψιν τις συνοριακές συνθήκες 437 Από τις Εξ 440 και 441συνεπάγεται ότι A+B = 0rArr B = minusA οπότε η Εξ 440 γίνεται

Z(z) = Aeikz minus Aeminusikz = 2iA sin(kz) (443)

και εϕαρμόζοντας την Εξ 442

sin(kL) = 0rArr kL = mπm isin Z (444)

Δεδομένου όμως ότι διαλέξαμε παραπάνω k isin real+ θα πρέπει m isin N και για μημηδενική λύση θα πρέπει m isin N lowast οπότε k isin reallowast

+ Συνοπτικά το k εξαρτάται απόένα ϕυσικό μη μηδενικό δείκτη δηλαδή

km =mπ

Lm isin N lowast (445)

Αρα Zm(z) = 2Ai sin

(mπz

L

)Κι αν απαιτήσουμε οι Zm να είναι ορθοκανονικές

int L

0

dzZlowastm(z)Zl(z) = δml

rArr

rArrint L

0

dz | 2iA |2 sin(mπz

L

)sin

(lπz

L

)= δml rArr

int π

0

L

πdψ | 2iA |2 sin(mψ) sin(lψ) = δml

όπου ορίσαμε ψ = πzL οπότε dψ = π

Ldz Τότε

L

π4 | A |2

int π

0

dψ sin(mψ) sin(lψ) = δml

149

Αλλά int π

0

dψ sin(mψ) sin(lψ) =π

2δml (446)

ενώ ισχύει επίσης int π

0

dψ cos(mψ) cos(lψ) =π

2δml (447)

ΕπομένωςL

π4 | A |2 π

2δml = δml rArr| A |2=

1

2L

Ας διαλέξουμε κάτι βολικό πχ A =1radic2L

(minusi)

Συνεπώς

Zm(z) =

radic2

Lsin

(mπz

L

)(448)

bull Στη συνέχεια ας λύσουμε την Εξ 439 Ας ορίσουμε

ω = kc gt 0 (449)

οπότε ω2 = k2c2 Χρησιμοποιώντας την Εξ 445

ωm =mπc

Lm isin N lowast (450)

Δοκιμάζοντας λύσεις της μορϕής eλt προκύπτει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο

λ2 + ω2m = 0rArr λ = plusmniωm ωm isin reallowast

+ (451)

΄Αρα ουσιαστικά η λύση θα είναι της μορϕής

T (t) = Γeiωmt +∆eminusiωmt (452)

Κι αν θέσουμε την αρχική συνθήκη

T (0) = 0 (453)

προκύπτει Γ +∆ = 0rArr ∆ = minusΓ οπότε

T (t) = Γeiωmt minus Γeminusiωmt = 2iΓ sin(ωmt)rArr (454)

150

Tm(t) = 2iΓ sin

(mπc

Lt

)(455)

Κι αν απαιτήσουμε οι Tm να είναι ορθοκανονικές δηλαδήint κάτι0

dtT lowastm(t)Tl(t) = δml rArr

int κάτι0

dt | 2iΓ |2 sin(mπct

L

)sin

(lπct

L

)= δml rArr

rArr 4 | Γ |2int κάτι0

dt sin

(mπct

L

)sin

(lπct

L

)= δml

Θέτοντας χ = πctL οπότε dχ = πc

Ldt καταλήγουμε στη σχέση

4 | Γ |2 L

πc

int πcLmiddotκάτι

0

dχ sin(mχ) sin(lχ) = δml (456)

΄Αρα έχοντας υπ΄ όψη την Εξ 446 είναι βολικό να θέσουμε πcLmiddot κάτι = π rArr

κάτι =L

c= τ (457)

΄Ετσι ορισμένο το τ είναι ο χρόνος πτήσεως του ϕωτονίου διαμέσου της κοιλότητας(time of photon flight through cavity) άρα δεν ήταν παράλογο που το θέσαμε έτσιΣυνεπώς εν τέλει η ορθοκανονικοποίηση είναιint τ

0

dtT lowastm(t)Tl(t) = δml (458)

Τελικά έχουμε

4 | Γ |2 L

πc

int π

0

dχ sin(mχ) sin(lχ) = δml rArr| Γ |=radic

c

2L

Κι αν διαλέξουμε κάτι βολικό πχ Γ = (minusi)radic

c2L τελικά έχουμε

Tm(t) =

radic2c

Lsin

(mπc

Lt

)(459)

΄Αρα συνοψίζοντας με τη βοήθεια των Εξ 436 448 459 καταλήγουμε στην

Emx (z t) =

2radicc

LN sin

(mπz

L

)sin

(mπct

L

)(460)

151

΄Οσον αϕορά τις μονάδες θα πρέπει [2radicc

LN ] = V

m= N

CrArr

[N ] =Vradicms

(461)

Για να προσδιορίσουμε το μαγνητικό πεδίο θα χρησιμοποιήσουμε την Εξ 435 σεσυνδυασμό με την Εξ 460 οπότε προκύπτει

partBmy

partz= minus 1

c22radicc

LN sin

(mπzL

) mπcL

cos

(mπct

L

)rArr (462)

int zprime

0

dzpartBm

y

partz= minus 2mπradic

cL2N cos

(mπct

L

)int zprime

0

dz sin(mπz

L

)rArr (463)

Bmy (z

prime t)minusBmy (0 t) = minus

2mπradiccL2N cos

(mπct

L

)L

mπ

[minus cos

(mπzL

)]zprime0

rArr (464)

Bmy (z

prime t)minusBmy (0 t) =

2NradiccL

cos

(mπct

L

)[cos

(mπzprime

L

)minus1cos 0

] (465)

΄Αρα ορίζοντας κατάλληλα την τιμή του Bmy (0 t) προκύπτει

Bmy (z t) =

2NradiccL

cos(mπz

L

)cos

(mπct

L

)(466)

Για την πυκνότητα ενέργειας ισχύει

U =ϵ02E2 +

1

2micro0

B2 =ϵ02[E2 + c2B2] (467)

Σημειώνουμε ότι οι μονάδες για την πυκνότητα ενέργειας είναι [U ] = Jm3 Για πα-

ράδειγμα [ ϵ02E2] = F

mV2

m2 = CV2

Vm3 = Jm3 και [ B

2

2micro0] = T2A

Tm= TA

m= N

m2 = Nmm3 = J

m3 πχ λόγω των γνωστών σχέσεωνB = micro0H F = BIl και c2 = 1

ϵ0micro0 ΄Αρα από τις

Εξ 460 466 467 βρίσκουμε την πυκνότητα ενέργειας του m τρόπου

Um =ϵ02

4cN 2

L2

[sin2

(mπzL

)sin2

(mπct

L

)+ cos2

(mπzL

)cos2

(mπct

L

)] (468)

΄Αρα η ενέργεια του m τρόπου η οποία υπολογίζεται ολοκληρώνοντας την πυ-κνότητα ενέργειας του m τρόπου στην κοιλότητα όγκου V = LS

Εm =

intV=LS

d3r Um (469)

152

είναι

Εm =2ϵ0cN 2S

L2

[sin2

(mπct

L

)int L

0

dz sin2(mπz

L

)+ cos2

(mπct

L

)int L

0

dz cos2(mπz

L

)]

Θέτουμε ψ = πzLrArr dψ = π

Ldz άρα με τη βοήθεια των Εξ 446-447 τα ολοκληρώ-

ματα στο z γίνονται Lπ

int π0dψ sin2(mψ) = L

ππ2= L

2και L

π

int π0dψ cos2(mψ) = L

ππ2= L

2

Αντικαθιστούμε στην παραπάνω εξίσωση και τελικά έχοντας ακολουθήσει αυτή τηνκλασική προσέγγιση έχουμε

Εm =ϵ0cN 2S

L

[sin2

(mπct

L

)+ cos2

(mπct

L

)]=ϵ0cN 2S

L(470)

Ας δούμε τώρα λίγο αλλιώτικα την Εm

Εm =ϵ0cN 2S

L3

[L2 sin2

(mπct

L

)+ L2 cos2

(mπct

L

)] (471)

ορίζοντας ῾῾ γενικευμένη θέση και ταχύτητα ᾿᾿ Καλούμε λοιπόν ῾῾ γενικευμένη θέση ᾿᾿

qm(t) = L sin

(mπct

L

)(472)

και ῾῾ γενικευμένη ταχύτητα ᾿᾿

˙qm(t) = mπc cos

(mπct

L

)(473)

ούτως ώστε [qm(t)] = m και [ ˙qm(t)] = ms Τότε η Εξ 471 γράϕεται

Εm =ϵ0cN 2S

L3

[(qm(t))

2 +L2

m2π2c2( ˙qm(t))

2

] (474)

Θα μπορούσαμε εδώ να θεωρήσουμε μια αναλογία της Εξ 474 με Απλό ΑρμονικόΤαλαντωτή (ΑΑΤ) του οποίου η ενέργεια θα ήταν

Ε =K

2x2 +

M

2v2 =

K

2[x2 +

M

Kv2] (475)

Επομένωςϵ0cN 2S

L3=K

2 (476)

153

L2

m2π2c2=M

K (477)

Δηλαδή προκύπτει η ῾῾ σταθερά ελατηρίου ᾿᾿

K =2ϵ0cN 2S

L3 (478)

και η ῾῾ μάζα ᾿᾿ (η οποία σημειωτέο εξαρτάται από το m είναι δηλαδή διαϕορετική γιακάθε τρόπο του ΗΜ πεδίου m)

Mm =2ϵ0N 2S

cLm2π2 (479)

Μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι η Mm έχει διαστάσεις μάζας (θα χρειαστείκαι η Εξ 461) και πως ισχύει K = Mmω

2m ΄Αρα κλασικά υπάρχει μία τυπική

ομοιότητα με ΑΑΤ με κυκλική συχνότητα ωm (Εξ 450) και ῾῾ μάζα ᾿᾿ Mm (Εξ 479)δηλαδή η Εξ 471 ή 474 γράϕεται

Εm =Mmω

2m

2q2m +

Mm

2q2m (480)

Μπορούμε επομένως να πούμε ότι το κβαντικό αντίστοιχο για ένα τρόπο ΗΜπεδίου m δηλαδή η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m θα είναι

HΗΜ m =Mmω

2m

2q2m +

Mm

2˙q2m (481)

με ιδιοτιμές ενέργειας

Emnm = ~ωm(nm +1

2) (482)

όπου ο δείκτης m isin N lowast αϕορά τον τρόπο του ΗΜ πεδίου και ο δείκτης nm isin Nαϕορά τον αριθμό των ϕωτονίων στον τρόπο m Συνεπώς η Χαμιλτονιανή για όλουςτους τρόπους του ΗΜ πεδίου θα είναι

HΗΜ =summ

HΗΜ m (483)

Κατόπιν σημειώνουμε ότι από τις Εξ 460 και 472 συνεπάγεται ότι

Emx (z t) =

2radicc

L2N sin

(mπzL

)qm(t) (484)

154

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Emx (z t) =

2radicc

L2N sin

(mπzL

)qm(t) (485)

Επίσης από τις Εξ 466 και 473 συνεπάγεται ότι

Bmy (z t) =

2NLradicc

1

mπccos(mπz

L

)qm(t) (486)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Bmy (z t) =

2NLradicc

1

mπccos(mπz

L

)ˆqm(t) (487)

Από τις ΄Εξ 484 479 και 450 προκύπτει

Emx (z t) =

(2Mmωm

2

ϵ0V

)12

sin(mπz

L

)qm(t) (488)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Emx (z t) =

(2Mmωm

2

ϵ0V

)12

sin(mπz

L

)qm(t) (489)

Από τις ΄Εξ 486 479 και 450 προκύπτει

Bmy (z t) =

1

c

(2Mm

ϵ0V

)12

cos(mπz

L

)qm(t) (490)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Bmy (z t) =

1

c

(2Mm

ϵ0V

)12

cos(mπz

L

)ˆqm(t) (491)

Τέλος από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει όπως αναμενόταν [Ex

By] = [c]

155

44 Χαμιλτονιανή ΗΜ πεδίου με τελεστέςκαταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίων

Ας μιλήσουμε τώρα για τελεστές καταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίων (photoncreation and annihilation operators) Είναι τώρα εύκολο να κβαντωθεί η Χαμιλτο-νιανή που περιγράϕει το ΗΜ πεδίο αρκεί να εϕαρμοστεί η αντιστοιχία τελεστών

qm = qm (492)

pm = minusi~ part

partqm(493)

Εισάγουμε τους τελεστές

am =1radic

2Mm~ωm(Mmωmqm + ipm) ῾῾ καταστροϕής ᾿᾿ (494)

adaggerm =1radic

2Mm~ωm(Mmωmqm minus ipm) ῾῾ δημιουργίας ᾿᾿ (495)

Ισχύουν οι ιδιότητες[am a

daggerm]︸ ︷︷ ︸

μεταθέτης

= amadaggerm minus adaggermam = 1 (496)

[qm pm]︸ ︷︷ ︸μεταθέτης

= i~ (497)

΄Ετσι οι τελεστές qm pm μπορούν τώρα να γραϕούν

qm =

(~

2Mmωm

)12

(adaggerm + am) (498)

pm = i

(Mm~ωm

2

)12

(adaggerm minus am) (499)

Συνεπώς η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m είναι

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)(4100)

Ας συμβολίσουμε με |nm⟩ την κατάσταση του ΗΜ πεδίου με nm αριθμό ϕωτονίωνστον ΗΜ τρόπο m Λέμε ότι είναι μια ῾῾ κατάσταση ϕωτονικών αριθμών ᾿᾿ Τα |nm⟩αποτελούν ένα πλήρες σύστημα δηλαδή ισχύει ⟨nm|lm⟩ = δnl

156

Οι τελεστές adaggerm και am έχουν τις ιδιότητες

adaggerm |nm⟩ =radicnm + 1 |nm + 1⟩ (4101)

am |nm⟩ =radicnm |nm minus 1⟩ (4102)

am |0⟩ = |0⟩ (4103)

Από τις Εξ 4101 και 4102 προκύπτει

adaggermam |nm⟩ = nm |nm⟩ (4104)

δηλαδή ο τελεστής Nm = adaggermam μετρά τον αριθμό των ϕωτονίων του ΗΜ τρόπου mοπότε μπορεί να αποκληθεί τελεστής του αριθμού των ϕωτονίων στον ΗΜ τρόπο mΑκόμα επαγωγικά προκύπτει

|nm⟩ =1radicnm

(adaggerm)nm |0⟩ (4105)

Λόγω των Εξ 4100 και 4104 προκύπτει

HΗΜ m |nm⟩ = ~ωm(nm +1

2) |nm⟩ (4106)

δηλαδή η Χαμιλτονιανή HΗΜ m δίνει ιδιοτιμές ενέργειας

Emnm = ~ωm(nm +1

2) (4107)

Η θεμελιώδης κατάσταση του ΑΑΤ |0⟩ με ιδιοενέργεια 12~ωm αντιστοιχεί στο κενό

δηλαδή χωρίς σωμάτιο η 1η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |1⟩ με ιδιοενέργεια 32~ωm

αντιστοιχεί σε ένα σωμάτιο η 2η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |2⟩ με ιδιοενέργεια52~ωm αντιστοιχεί σε δύο σωμάτια κοκ Αυτά τα σωμάτια εν προκειμένω τα λέμεϕωτόνια Δημιουργούνται και καταστρέϕονται με τους τελεστές αναβιβάσεως καικαταβιβάσεως ξεκινώντας από ένα επίπεδο αναϕοράς που εδώ είναι το κενό Υπακού-ουν στις μποζονικές σχέσεις μεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράστασηείναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση (second quantization)Η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)= ~ωm

(Nm +

1

2

) (4108)

157

αγνοώντας τον όρο ~ωm

2 μπορεί να γραϕτεί

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm (4109)

Μπορούμε να έχουμε οσαδήποτε ϕωτόνια στην ενεργειακή κατάσταση ~ωm διότι εί-ναι μποζόνια Ο adaggerm είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζειτην ενέργεια δημιουργώντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωm εξ ού και η ονομασία τελε-στής δημιουργίας (creation operator) Ο am είναι τελεστής καταβιβάσεως (loweringoperator) διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωmεξ ού και η ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator)

Σχήμα 45 Σωμάτια (εδώ ϕωτόνια απεικονίζονται με πράσινες βούλες) δημιουργούνται και κατα-στρέϕονται μέσω των τελεστών αναβιβάσεως και καταβιβάσεως Υπακούουν στις μποζονικές σχέσειςμεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράσταση είναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση(second quantization) Ο αριθμός των ϕωτονίων είναι ίσος με τον αριθμό των κόμβων της ιδιοσυ-ναρτήσεως

Τέλος ας σημειώσουμε ότι από τις Εξ 489 και 498 προκύπτει

Emx (z t) =

(~ωmϵ0V

)12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4110)

ενώ από τις Εξ 491 και 499 προκύπτει

Bmy (z t) =

i

c

(~ωmϵ0V

)12

cos(mπz

L

)(adaggerm minus am) (4111)

158

45 Χαμιλτονιανή δισταθμικού συστήματοςμε σπίνορες

Θα περιγράψουμε την αναβίβαση και την καταβίβαση ενός ηλεκτρονίου μεταξύ τωνενεργειακών σταθμών ενός δισταθμικού συστήματος πχ ενός ατόμου με τη βοήθειασπινόρων (spinors) Σπίνορας είναι ένα διάνυσμα - στήλη με δύο συνιστώσες Αςαρχίσουμε με ορισμούς (πχ [62])

| ⟩ =

=

0

0

=| 0⟩ |darr⟩ =

bull

=

0

1

=| 1⟩ |uarr⟩ =

bull

=

1

0

=| 2⟩

(4112)Το πρώτο παριστά το άδειο δισταθμικό σύστημα το δεύτερο δηλώνει το δισταθμικόσύστημα με το ηλεκτρόνιο στην κάτω στάθμη όπου έχει ενέργεια E1 και το τρίτο δη-λώνει το δισταθμικό σύστημα με το ηλεκτρόνιο στην άνω στάθμη όπου έχει ενέργειαE2 Ας ορίσουμε τώρα τους τελεστές

S+ =

0 1

0 0

Sminus =

0 0

1 0

(4113)

για τους οποίους μάλιστα ισχύει Sdagger+ =

0 1

0 0

dagger

=

0 0

1 0

= Sminus Ας δούμε ποιό

είναι το αποτέλεσμα της δράσεώς τους στους σπίνορες που ορίσαμε μόλις προ ολίγου

S+ | 0⟩ =

0 1

0 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

S+ |darr⟩ =

0 1

0 0

0

1

=

1

0

=|uarr⟩ το ανεβάζει

S+ |uarr⟩ =

0 1

0 0

1

0

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

(4114)

159

Sminus | 0⟩ =

0 0

1 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

Sminus |darr⟩ =

0 0

1 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

Sminus |uarr⟩ =

0 0

1 0

1

0

=

0

1

=|darr⟩ το κατεβάζει

(4115)

΄Ετσι ο S+ ονομάζεται τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ενώ ο Sminus ονομάζε-ται τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) του ηλεκτρονίου Ας δούμε μερικέςακόμα ιδιότητες

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

= σx (4116)

που είναι ένας από τους πίνακες Pauli που παρατίθονται λίγο παρακάτω (Εξ 4133)Ακόμα

S+Sminus =

0 1

0 0

0 0

1 0

=

1 0

0 0

(4117)

SminusS+ =

0 0

1 0

0 1

0 0

=

0 0

0 1

(4118)

΄Αρα από τις Εξ 4117-4118 συνεπάγεται ότι

S+Sminus + SminusS+ =

1 0

0 1

= I (4119)

που είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας Μπορούμε να το γράψουμε και στη μορϕή

S+ Sminus = I (4120)

160

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4121)

ενώ [AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4122)

΄Οταν AB = 0 rArr AB + BA = 0 rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται ενώ όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οιποσότητες μετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση των ονομασίων ΄Οπωςθα δούμε παρακάτω η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσειςαντιμεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ηλεκτρόνια που είναι ϕερμιόνια ενώ ο με-ταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσεις μεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ϕωτόνιαπου είναι μποζόνια Συχνά στα ελληνικά συγγράμματα της δευτεροβάθμιας εκπαί-δευσης πολύ κακώς εδώ και δεκαετίες ονομάζεται ῾῾ αντιμεταθετική ᾿᾿ η μεταθετική(commutative) ιδιότητα χαθήκαμε δηλαδή στη μετάϕρασηΗ Χαμιλτονιανή του Δισταθμικού Συστήματος HΔΣ είναι η

E2S+Sminus + E1SminusS+ = E2

1 0

0 0

+ E1

0 0

0 1

=

E2 0

0 E1

(4123)

αϕού E2 0

0 E1

1

0

=

E2

0

= E2

1

0

(4124)

E2 0

0 E1

0

1

=

0

E1

= E1

0

1

(4125)

΄Αρα συνοπτικά δείξαμε ότι

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+ (4126)

Αν τώρα θέσουμε E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) οπότε

HΔΣ = ~ΩS+Sminus (4127)

161

Ο τελεστής S+Sminus μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη αϕού

S+Sminus | 1⟩ =

1 0

0 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ rArr S+Sminus | 1⟩ = 0 | 1⟩ (4128)

S+Sminus | 2⟩ =

1 0

0 0

1

0

=

1

0

=| 2⟩ rArr S+Sminus | 2⟩ = 1 | 2⟩ (4129)

Ο τελεστής SminusS+ μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην κάτω στάθμη αϕού

SminusS+ | 1⟩ =

0 0

0 1

0

1

=

0

1

=| 1⟩ rArr SminusS+ | 1⟩ = 1 | 1⟩ (4130)

SminusS+ | 2⟩ =

0 0

0 1

1

0

=

0

0

=| 0⟩ rArr SminusS+ | 2⟩ = 0 | 2⟩ (4131)

Παρατήρηση Συνοπτικά για τους τελεστές S+ και Sminus μπορούμε να αποδείξουμεότι (S+)

dagger = Sminus αλλά και ότι

S+ Sdagger+ = S+ Sminus = S+Sminus + SminusS+ = I

Sminus Sdaggerminus = Sminus S+ = SminusS+ + S+Sminus = I

S+ S+ = Sdaggerminus S

daggerminus = S+S+ + S+S+ = 0

Sminus Sminus = Sdagger+ S

dagger+ = SminusSminus + SminusSminus = 0

(4132)

όπου I είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας 2 times 2 και 0 είναι ο μηδενικός πίνακας2times2 Οι Εξ 4132 δείχνουν ότι οι τελεστές S+ και Sminus υπακούουν στις σχέσεις αντι-μεταθέσεως ϕερμιονίων που αναϕέρουμε στην Υποενότητα 462 της Ενότητας 46Ο S+ είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζει την ενέργειαδημιουργώντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού και η ονομασία τελεστής δημιουρ-γίας (creation operator) Ο Sminus είναι τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator)διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού καιη ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Μπορούμε να έχουμεμόνο ένα ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω διότι τα ηλεκτρόνια είναι ϕερμιόνια

162

Ας θυμηθούμε τώρα τους πίνακες Pauli σx σy σz και ας δούμε τη σχέση τους μετους τελεστές αναβιβάσεως και καταβιβάσεως ηλεκτρονίων S+ και Sminus αντιστοίχως

σx =

0 1

1 0

(4133)

σy =

0 minusi

i 0

(4134)

σz =

1 0

0 minus1

(4135)

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι ισχύει η ιδιότητα

[σx σy] = 2iσz (4136)

καθώς και οι κυκλικές εναλλαγές της Επίσης

σ2x = σ2

y = σ2z =

1 0

0 1

= I (4137)

και

σx σy = σxσy + σyσx = 0 (4138)

σy σz = σyσz + σzσy = 0

σz σx = σzσx + σxσz = 0

δηλαδή οι πίνακες Pauli αντιμετατίθονται Επί παραδείγματι

σx σy = σxσy + σyσx =0 1

1 0

0 minusi

i 0

+

0 minusi

i 0

0 1

1 0

=

i 0

0 minusi

+

minusi 0

0 i

=

0 0

0 0

= 0

Ακόμα μπορούμε να αποδείξουμε ότι

S+ + Sminus = σx

S+ minus Sminus = iσy

163

46 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων καισχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων

461 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων πχ ϕωτονίων

Ας ονομαστεί am ο τελεστής καταστροϕής μποζονίων και adaggerm ο τελεστήςδημιουργίας μποζονίων στην κατάσταση m Για τα μποζόνια ισχύουν οι σχέσειςμεταθέσεως (commutation relations)

[am aℓ] = 0

[adaggerm adaggerℓ] = 0

(4139)

[AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4140)

οπότε όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οι ποσότητεςμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας

462 Σχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων πχ ηλε-κτρονίων

Ας ονομαστεί ai ο τελεστής καταστροϕής ϕερμιονίων και adaggeri ο τελεστής δη-μιουργίας ϕερμιονίων στην κατάσταση i Για τα ϕερμιόνια ισχύουν οι σχέσεις αντι-μεταθέσεως (anticommutation relations)

ai adaggerj = δij

ai aj = 0

adaggeri adaggerj = 0

(4141)

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4142)

οπότε όταν AB = 0rArr AB+BA = 0rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας Αν εϕαρμόσουμετη σχέση adaggeri a

daggerj = 0 για την ίδια κατάσταση πχ i = j = r έχουμε adaggerr adaggerr =

0 rArr adaggerradaggerr = 0 που σημαίνει ότι

δεν μπορούμε να βάλουμε δύο ϕερμιόνια στην ίδια

κατάσταση πράγμα που είναι η απαγορευτική αρχή Pauli

164

47 Τελεστές κλίμακας (Ladder operators) [63]

Στη γραμμική άλγεβρα καθώς και στις εϕαρμογές της στην κβαντική μηχανική ορί-ζεται ο τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ο οποίος αυξάνει την ιδιοτιμή ενόςάλλου τελεστή και ο τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) ο οποίος μειώνειτην ιδιοτιμή ενός άλλου τελεστή Αυτοί συλλογικά ονομάζονται τελεστές κλίμα-κας (ladder operators) Στην κβαντομηχανική ο τελεστής αναβιβάσεως καλείταισυχνά τελεστής δημιουργίας (creation operator) και ο τελεστής καταβιβάσεως κα-λείται συχνά τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Γνωστές εϕαρμογέςτων τελεστών κλίμακας είναι στον απλό αρμονικό ταλαντωτή και στη στροϕορμήΣε πολλές περιοχές της ϕυσικής και της χημείας η χρήση αυτών των τελεστών αντίκυματοσυναρτήσεων είναι γνωστή ως δεύτερη κβάντωση (second quantization) [64]

165

48 Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεωςδισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου

΄Εστω δύο αντίθετα ηλεκτρικά ϕορτία q gt 0 και minusq lt 0 στα σημεία Θ και Α

αντιστοίχως Αν d =minusrarrΑΘ είναι το διάνυσμα θέσεως του θετικού ϕορτίου ως προς το

αρνητικό τότε η ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) ορίζεταιως

P = qd (4143)

πχ για το άτομο του υδρογόνου αν το Π παριστάνει τον πυρήνα και το Η παριστάνει

το ηλεκτρόνιο και ως συνήθως ορίσουμε r =minusrarrΠΗ τότε P = qd = e(minusr)rArr

P = minuser (4144)

Αυτό αποδίδεται άνω τμήμα του Σχήματος 46 Η δυναμική ενέργεια (potential

Σχήμα 46 ΄Ανω Ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) Κάτω (Ηλεκτρική) διπολικήροπή μεταβάσεως (transition (electric) dipole moment)

energy) UE του ηλεκτρικού διπόλου εντός ηλεκτρικού πεδίου E είναι

UE = minusP middot E (4145)

166

Ανάλογος με τον παραπάνω ορισμό μπορεί να δοθεί και για την περίπτωση της με-ταβάσεως ενός τμήματος του ηλεκτρονιακού νέϕους από μία αρχική σε μια τελική πε-ριοχή ΄Ετσι ορίζεται η (ηλεκτρική) διπολική ροπή μεταβάσεως [transition(electric) dipole moment] 1 Αυτό αποδίδεται στο κάτω τμήμα το Σχήματος 46Αν το ϕορτίο που μεταϕέρεται είναι minuse πάλι p = qd = e(minusr)rArr p = minuser Δηλαδήεννοείται ότι για την περιοχή 2 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμεί με μετά-βαση ϕορτίου minuse ενώ για την περιοχή 1 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμείμε μετάβαση ϕορτίου +eΟ τελεστής (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως [transition

(electric) dipole moment operator] σημειώνεται εναλλακτικά με ˆd ή ˆp Στη βάση τωνιδιοκαταστάσεων της ενέργειας του αδιατάρακτου ατόμου ή συστήματος ορίζεται ως

ˆd = ˆp =

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | (4146)

με τους επίσης εναλλακτικούς συμβολισμούς

dij = pij = minuse⟨Φi | ˆr | Φj⟩ (4147)

για το στοιχείο πίνακα της (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως μεταξύ των κα-ταστάσεων | Φi⟩ και | Φj⟩ Υπενθυμίζεται ότι ο τελεστής θέσεως (position operator)ˆr είναι τέτοιος ώστε

ˆr | r⟩ = r | r⟩ (4148)

Υπενθυμίζεται για τον συμβολισμό Dirac ότι

| A⟩ =

α1

α2

hArr ⟨A |= (αlowast1 αlowast

2) (4149)

Υπενθυμίζεται ακόμα ότι

⟨Φi | ˆr | Φj⟩ =sum

|rprime⟩|rprimeprime⟩

⟨Φi | rprime⟩⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩⟨rprimeprime | Φj⟩ =sum|rprime⟩

⟨Φi | rprime⟩ rprime ⟨rprime | Φj⟩

=sum|r⟩

⟨Φi | r⟩ r ⟨r | Φj⟩ =intdV Φi(r)

lowastrΦj(r)

1Η λέξη ῾῾ ηλεκτρική ᾿᾿ είναι εντός παρενθέσεως επειδή συνήθως επειδή εννοείται παραλείπεται

167

διότι⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩ = rprimeprime⟨rprime|rprimeprime⟩ = rprimeprimeδrprimerprimeprime (4150)

΄Αρα

d11 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ1(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4151)

d12 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ2(r) = 0 (4152)

d21 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ1(r) = 0 (4153)

d22 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ2(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4154)

Δηλαδή ενώ τα διαγώνια στοιχεία μηδενίζονται τα d12 και d21 δεν είναι (῾῾ εκ ταυτό-τητος ᾿᾿) μηδέν Ας δούμε τώρα ποιος είναι ο ˆp σε δισταθμικό σύστημα

ˆp = d11 | Φ1⟩⟨Φ1 | + d12 | Φ1⟩⟨Φ2 | + d21 | Φ2⟩⟨Φ1 | + d22 | Φ2⟩⟨Φ2 |

= d11

0

1

(0 1)+ d12

0

1

(1 0)+ d21

1

0

(0 1)+ d22

1

0

(1 0)

= 0 ⋆

d11︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

0 0

0 1

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

+ d12︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 0

1 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ d21︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 1

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ 0 ⋆

d22︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

1 0

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

Από τις Εξ (4152)-(4153) συμπεραίνουμε ότι d12 = d21 με την προϋπόθεση ότι οιΦi(r) είναι πραγματικές οπότε

ˆp = d12

0 1

1 0

(4155)

168

Ερώτηση Και τι κάνει ο τελεστής

0 1

1 0

Απάντηση0 1

1 0

0

1

=

1

0

0 1

1 0

1

0

=

0

1

Δηλαδή μεταϕέρει από τη μία ενεργειακή στάθμη στην άλλη όπως θα έπρεπε

Τώρα μπορεί να οριστεί ο τελεστής δυναμικής ενέργειας (potential e-nergy operator) Θεωρούμε ότι η αλληλεπίδραση δισταθμικού συστήματος - ΗΜπεδίου έχει τη μορϕή μηχανισμού ηλεκτρικού διπόλου Αγνοούμε άλλης μορϕής αλ-ληλεπιδράσεις όπως πχ ηλεκτρικού τετραπόλου ή μαγνητικού διπόλου Αϕού

UE = minusP middot E rArr

UmE = minusP middot Em (4156)

όπου ο δείκτης m δηλώνει τον m τρόπο του ΗΜ πεδίου ο αντίστοιχος τελεστήςμπορεί να οριστεί ως

UmE = minus ˆp middot ˆEm (4157)

Επομένως

UmE = minus

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | middotEmx (z t)i

i είναι το μοναδιαίο άνυσμα του άξονα x αϕού έχουμε υποθέσει αυτόν τον προσανα-τολισμό για το ηλεκτρικό πεδίο (δείτε Σχήμα 42) ΄Η λόγω της Εξ 4155

UmE = minusd12

0 1

1 0

middot Emx (z t)i (4158)

Αλλά

d12 middot i = minuseintdV Φ1(r)

lowast(r middot i)Φ2(r) = minusex12 = Px12 = P (4159)

169

Συνεπώς

UmE = ex12

0 1

1 0

Emx (z t) (4160)

Υπενθυμίζονται οι Εξ 4110 και 4111

Emx (z t) =

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4161)

Bmy (z t) =

(~ωmε0V

) 12 1

ccos(mπz

L

)i(adaggerm minus am) (4162)

από τις οποίες όμως στα πλαίσια των υποθέσεών μας χρειαζόμαστε τώρα μόνον τηνπρώτη Επίσης υπενθυμίζεται ότι

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

(4163)

΄Αρα εν τέλει

UmE = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4164)

Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε

~gm = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(4165)

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4166)

Αυτή είναι λοιπόν η Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συ-στήματος - ΗΜ πεδίου για τον ΗΜ τρόπο m Εάν βρισκόμαστε σταπλαίσια της ατομικής ϕυσικής τότε συμβολίζεται και Hm

AF όπου οι δείκτες σημαίνουνAtom-FieldΑπό την Εξ 4165 προκύπτει

~|gm| = |P |∣∣∣∣ (~ωm

ε0V

) 12

sin(mπz

L

) ∣∣∣∣ = |P| Em0 (4167)

170

όπου όμως το ῾῾ πλάτος ᾿᾿ Em0 εξαρτάται από τη θέση z του ατόμου στην κοιλότητα

είναι δηλαδή Em0 = Em

0 (z) Η |gm| (ή οποία συμβολίζεται και με ΩmR ) είναι η λεγόμενη

συχνότητα Rabi Εάν εννοείται σε ποιον ΗΜ τρόπο m αναϕερόμαστε μπορούμε ναχρησιμοποιήσουμε σκέτο το |g| ή το ΩR ΄Αρα

|gm| ή ΩmR =

|P|Em0

~(4168)

Για να μη γράϕουμε απόλυτα μπορούμε σε κάθε θέση να διαλέγουμε τη ϕάση τωνκυματοσυναρτήσεων τέτοια ώστε το g να είναι θετικό και πραγματικό [65] Συνοπτικά

gm ή ΩmR =

|P|Em0

~(4169)

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Τώρα συμπληρώνεται η εικόνα με την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπί-δραση ενός ΗΜ τρόπου m με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4170)

΄Αρα η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4171)

Επομένως οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩ (4172)

|darr nm⟩ (4173)

171

Ας δούμε λίγο προσεκτικότερα τη Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικούσυστήματος - ΗΜ πεδίου (Εξ 4166) Για έναν μοναδικό τρόπο m η Χαμιλτονιανήαυτή αναλυεται σε τέσσερις όρους

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) =

= ~gmS+adaggerm︸ ︷︷ ︸

1ος

+ S+am︸ ︷︷ ︸2ος

+ Sminusadaggerm︸ ︷︷ ︸

3ος

+ Sminusam︸ ︷︷ ︸4ος

bull 1ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E gt 0 Επόμένως αυτός ο όρος μόνος τουδεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

bull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻︸ ︷︷ ︸

μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολ-λοί τρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτο-νιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται απόάθροισμα όρων όπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημανα απορροϕήσει ένα ϕωτόνιο υψηλής συχνότητας και να ανεβεί ενώ παράλληλαδημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο χαμηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi www≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

simsim≻ ff lt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 2ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο Αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

172

bull 3ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιοΚαι αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικάbull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 4ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο ΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E lt 0 Επόμένως και αυτός ο όροςμόνος του δεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολλοίτρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτονιανή αλλη-λεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται από άθροισμα όρωνόπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημα να απορροϕήσει έναϕωτόνιο χαμηλής συχνότητας και να κατεβεί ενώ παράλληλα δημιουργείται εκπέμ-πεται ϕωτόνιο υψηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

www≻ ff gt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

Αν αγνοήσουμε τον 1ο και 4ο όρο που ο καθένας μόνος του δεν διατηρεί τηνενέργεια τότε

UmE = ~gm

(S+am + Sminusa

daggerm

) (4174)

Η προσέγγιση είναι κατά κάποιο τρόπο ανάλογη της RWA (Rotating Wave Approxi-mation) του Κεϕαλαίου 3 Εκεί στις εξισώσεις Rabi κρατήσαμε μόνο τους αργούςόρους όπου ΗΜ πεδίο και το δισταθμικό σύστημα βρίσκονται σε περίπου συντονισμό

173

δηλαδή Ω ≃ ω Τότε κρατήσαμε τους αργούς όρους eplusmni(Ωminusω)t και αγνοήσαμε τουςγρήγορους όρους eplusmni(Ω+ω)tΣυνοπτικά ενώ για την ολική Χαμιλτονιανή ενός τρόπου m έχουμε την λεγόμενη

Χαμιλτονιανή Rabi

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4175)

κατά την παραπάνω συζήτηση αγνοούμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενουςcounter-rotating terms

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4176)

οπότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66]

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4177)

Στην ΄Ασκηση 1 (παραλείποντας τον δείκτη του ΗΜ τρόπου m απλότητα) βρί-σκουμε (Α) τι κάνουν οι όροι adaggera aadagger S+Sminus SminusS+ S+a

dagger S+a Sminusadagger Sminusa στις κα-

ταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩ και (Β) υπολογίζουμε τα ⟨adaggera⟩ ⟨aadagger⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨SminusS+⟩⟨S+a

dagger⟩ ⟨S+a⟩ ⟨Sminusadagger⟩ ⟨Sminusa⟩ για τις καταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩

174

49 Σύνοψη Χαμιλτονιανών

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Ακόμα είδαμε την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπίδραση ενός ΗΜ τρόπουm με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

Οπότε η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί (Εξ 4171)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

και οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩|darr nm⟩

Ακόμα αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενους counter-rotatingterms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam)

τότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66] (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm)

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

146

partBy

partz= minus 1

c2partExpartt

(435)

spades Τώρα βάζουμε ιδανικώς αγώγιμα κάτοπτρα στις θέσεις z = 0 και z = L (Σχή-μα 43) Το προσπίπτον σε κάθε κάτοπτρο κύμα θα συμβάλει με το ανακλώμενο άραθα δημιουργηθούν στάσιμα κύματα

Οι Εξ 430 και 434 εξακολουθούν να ισχύουν

Οι Εξ 431 και 435 για το γραμμικό συνδυασμό

των προσπιπτόντων και ανακλωμένων κυμάτων

part2Expartz2

=1

c2part2Expartt2

partExpartz

= minuspartBy

partt

part2By

partz2=

1

c2part2By

partt2partBy

partz= minus 1

c2partExpartt

Σχήμα 43 Στις θέσεις z = 0 και z = L τοποθετούνται επίπεδα ιδανικώς αγώγιμα κάτοπτρα

Αναζητούμε λύση με μέθοδο των χωριζομένων μεταβλητών υποθέτοντας ότι

Ex(z t) = NZ(z)T (t) (436)

Ας θυμηθούμε τις συνοριακές συνθήκες στη διεπιϕάνεια ιδανικού αγωγού - κενούή κατά προσέγγιση αέρα (θυμηθείτε το Σχήμα 116) Η εϕαπτομενική συνιστώσα του

147

Σχήμα 44 Αγώγιμα κάτοπτρα πριν από z = 0 και μετά από z = L

E μηδενίζεται στη διεπιϕάνεια αυτή Επειδή το E έχει μόνο x συνιστώσα (Εξ 427)και τα επίπεδα ιδανικώς αγώγιμα κάτοπτρα τοποθετούνται στις θέσεις z = 0 καιz = L οπότε το E είναι παράλληλο σε αυτά έπεται ότι

Ex(0 t) = 0 = Ex(L t)forallt (437)

Από τις Εξ 430 και 436 έπεται ότι

NT (t)d2Z

dz2=N

1

c2Z(z)

d2T

dt2hArr

hArr 1

Z(z)

d2Z

dz2︸ ︷︷ ︸f(z)

=1

T (t)

1

c2d2T

dt2︸ ︷︷ ︸g(t)︸ ︷︷ ︸

forallz forallt

άρα= σταθερά = minusk2

αρκεί Z(z) = 0 και T (t) = 0 ενώ για Z(z) = 0 και T (t) = 0 ισχύει η τετριμένηλύση ΄Αρα

d2Z

dz2+ k2Z(z) = 0 (438)

καιd2T

dt2+ k2c2T (t) = 0 (439)

148

bull Ας λύσουμε αρχικά την Εξ 438 δοκιμάζοντας λύσεις της μορϕής eλz οπότεπροκύπτει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο

λ2 + k2 = 0rArr λ2 = minusk2 rArr λ = plusmnik πχ ας διαλέξουμε k isin real+

΄Αρα ουσιαστικά η λύση θα είναι της μορϕής

Z(z) = Aeikz +Beminusikz (440)

Z(0) = 0 συνοριακή συνθήκη 1 (441)

Z(L) = 0 συνοριακή συνθήκη 2 (442)

όπου λάβαμε υπ΄ όψιν τις συνοριακές συνθήκες 437 Από τις Εξ 440 και 441συνεπάγεται ότι A+B = 0rArr B = minusA οπότε η Εξ 440 γίνεται

Z(z) = Aeikz minus Aeminusikz = 2iA sin(kz) (443)

και εϕαρμόζοντας την Εξ 442

sin(kL) = 0rArr kL = mπm isin Z (444)

Δεδομένου όμως ότι διαλέξαμε παραπάνω k isin real+ θα πρέπει m isin N και για μημηδενική λύση θα πρέπει m isin N lowast οπότε k isin reallowast

+ Συνοπτικά το k εξαρτάται απόένα ϕυσικό μη μηδενικό δείκτη δηλαδή

km =mπ

Lm isin N lowast (445)

Αρα Zm(z) = 2Ai sin

(mπz

L

)Κι αν απαιτήσουμε οι Zm να είναι ορθοκανονικές

int L

0

dzZlowastm(z)Zl(z) = δml

rArr

rArrint L

0

dz | 2iA |2 sin(mπz

L

)sin

(lπz

L

)= δml rArr

int π

0

L

πdψ | 2iA |2 sin(mψ) sin(lψ) = δml

όπου ορίσαμε ψ = πzL οπότε dψ = π

Ldz Τότε

L

π4 | A |2

int π

0

dψ sin(mψ) sin(lψ) = δml

149

Αλλά int π

0

dψ sin(mψ) sin(lψ) =π

2δml (446)

ενώ ισχύει επίσης int π

0

dψ cos(mψ) cos(lψ) =π

2δml (447)

ΕπομένωςL

π4 | A |2 π

2δml = δml rArr| A |2=

1

2L

Ας διαλέξουμε κάτι βολικό πχ A =1radic2L

(minusi)

Συνεπώς

Zm(z) =

radic2

Lsin

(mπz

L

)(448)

bull Στη συνέχεια ας λύσουμε την Εξ 439 Ας ορίσουμε

ω = kc gt 0 (449)

οπότε ω2 = k2c2 Χρησιμοποιώντας την Εξ 445

ωm =mπc

Lm isin N lowast (450)

Δοκιμάζοντας λύσεις της μορϕής eλt προκύπτει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο

λ2 + ω2m = 0rArr λ = plusmniωm ωm isin reallowast

+ (451)

΄Αρα ουσιαστικά η λύση θα είναι της μορϕής

T (t) = Γeiωmt +∆eminusiωmt (452)

Κι αν θέσουμε την αρχική συνθήκη

T (0) = 0 (453)

προκύπτει Γ +∆ = 0rArr ∆ = minusΓ οπότε

T (t) = Γeiωmt minus Γeminusiωmt = 2iΓ sin(ωmt)rArr (454)

150

Tm(t) = 2iΓ sin

(mπc

Lt

)(455)

Κι αν απαιτήσουμε οι Tm να είναι ορθοκανονικές δηλαδήint κάτι0

dtT lowastm(t)Tl(t) = δml rArr

int κάτι0

dt | 2iΓ |2 sin(mπct

L

)sin

(lπct

L

)= δml rArr

rArr 4 | Γ |2int κάτι0

dt sin

(mπct

L

)sin

(lπct

L

)= δml

Θέτοντας χ = πctL οπότε dχ = πc

Ldt καταλήγουμε στη σχέση

4 | Γ |2 L

πc

int πcLmiddotκάτι

0

dχ sin(mχ) sin(lχ) = δml (456)

΄Αρα έχοντας υπ΄ όψη την Εξ 446 είναι βολικό να θέσουμε πcLmiddot κάτι = π rArr

κάτι =L

c= τ (457)

΄Ετσι ορισμένο το τ είναι ο χρόνος πτήσεως του ϕωτονίου διαμέσου της κοιλότητας(time of photon flight through cavity) άρα δεν ήταν παράλογο που το θέσαμε έτσιΣυνεπώς εν τέλει η ορθοκανονικοποίηση είναιint τ

0

dtT lowastm(t)Tl(t) = δml (458)

Τελικά έχουμε

4 | Γ |2 L

πc

int π

0

dχ sin(mχ) sin(lχ) = δml rArr| Γ |=radic

c

2L

Κι αν διαλέξουμε κάτι βολικό πχ Γ = (minusi)radic

c2L τελικά έχουμε

Tm(t) =

radic2c

Lsin

(mπc

Lt

)(459)

΄Αρα συνοψίζοντας με τη βοήθεια των Εξ 436 448 459 καταλήγουμε στην

Emx (z t) =

2radicc

LN sin

(mπz

L

)sin

(mπct

L

)(460)

151

΄Οσον αϕορά τις μονάδες θα πρέπει [2radicc

LN ] = V

m= N

CrArr

[N ] =Vradicms

(461)

Για να προσδιορίσουμε το μαγνητικό πεδίο θα χρησιμοποιήσουμε την Εξ 435 σεσυνδυασμό με την Εξ 460 οπότε προκύπτει

partBmy

partz= minus 1

c22radicc

LN sin

(mπzL

) mπcL

cos

(mπct

L

)rArr (462)

int zprime

0

dzpartBm

y

partz= minus 2mπradic

cL2N cos

(mπct

L

)int zprime

0

dz sin(mπz

L

)rArr (463)

Bmy (z

prime t)minusBmy (0 t) = minus

2mπradiccL2N cos

(mπct

L

)L

mπ

[minus cos

(mπzL

)]zprime0

rArr (464)

Bmy (z

prime t)minusBmy (0 t) =

2NradiccL

cos

(mπct

L

)[cos

(mπzprime

L

)minus1cos 0

] (465)

΄Αρα ορίζοντας κατάλληλα την τιμή του Bmy (0 t) προκύπτει

Bmy (z t) =

2NradiccL

cos(mπz

L

)cos

(mπct

L

)(466)

Για την πυκνότητα ενέργειας ισχύει

U =ϵ02E2 +

1

2micro0

B2 =ϵ02[E2 + c2B2] (467)

Σημειώνουμε ότι οι μονάδες για την πυκνότητα ενέργειας είναι [U ] = Jm3 Για πα-

ράδειγμα [ ϵ02E2] = F

mV2

m2 = CV2

Vm3 = Jm3 και [ B

2

2micro0] = T2A

Tm= TA

m= N

m2 = Nmm3 = J

m3 πχ λόγω των γνωστών σχέσεωνB = micro0H F = BIl και c2 = 1

ϵ0micro0 ΄Αρα από τις

Εξ 460 466 467 βρίσκουμε την πυκνότητα ενέργειας του m τρόπου

Um =ϵ02

4cN 2

L2

[sin2

(mπzL

)sin2

(mπct

L

)+ cos2

(mπzL

)cos2

(mπct

L

)] (468)

΄Αρα η ενέργεια του m τρόπου η οποία υπολογίζεται ολοκληρώνοντας την πυ-κνότητα ενέργειας του m τρόπου στην κοιλότητα όγκου V = LS

Εm =

intV=LS

d3r Um (469)

152

είναι

Εm =2ϵ0cN 2S

L2

[sin2

(mπct

L

)int L

0

dz sin2(mπz

L

)+ cos2

(mπct

L

)int L

0

dz cos2(mπz

L

)]

Θέτουμε ψ = πzLrArr dψ = π

Ldz άρα με τη βοήθεια των Εξ 446-447 τα ολοκληρώ-

ματα στο z γίνονται Lπ

int π0dψ sin2(mψ) = L

ππ2= L

2και L

π

int π0dψ cos2(mψ) = L

ππ2= L

2

Αντικαθιστούμε στην παραπάνω εξίσωση και τελικά έχοντας ακολουθήσει αυτή τηνκλασική προσέγγιση έχουμε

Εm =ϵ0cN 2S

L

[sin2

(mπct

L

)+ cos2

(mπct

L

)]=ϵ0cN 2S

L(470)

Ας δούμε τώρα λίγο αλλιώτικα την Εm

Εm =ϵ0cN 2S

L3

[L2 sin2

(mπct

L

)+ L2 cos2

(mπct

L

)] (471)

ορίζοντας ῾῾ γενικευμένη θέση και ταχύτητα ᾿᾿ Καλούμε λοιπόν ῾῾ γενικευμένη θέση ᾿᾿

qm(t) = L sin

(mπct

L

)(472)

και ῾῾ γενικευμένη ταχύτητα ᾿᾿

˙qm(t) = mπc cos

(mπct

L

)(473)

ούτως ώστε [qm(t)] = m και [ ˙qm(t)] = ms Τότε η Εξ 471 γράϕεται

Εm =ϵ0cN 2S

L3

[(qm(t))

2 +L2

m2π2c2( ˙qm(t))

2

] (474)

Θα μπορούσαμε εδώ να θεωρήσουμε μια αναλογία της Εξ 474 με Απλό ΑρμονικόΤαλαντωτή (ΑΑΤ) του οποίου η ενέργεια θα ήταν

Ε =K

2x2 +

M

2v2 =

K

2[x2 +

M

Kv2] (475)

Επομένωςϵ0cN 2S

L3=K

2 (476)

153

L2

m2π2c2=M

K (477)

Δηλαδή προκύπτει η ῾῾ σταθερά ελατηρίου ᾿᾿

K =2ϵ0cN 2S

L3 (478)

και η ῾῾ μάζα ᾿᾿ (η οποία σημειωτέο εξαρτάται από το m είναι δηλαδή διαϕορετική γιακάθε τρόπο του ΗΜ πεδίου m)

Mm =2ϵ0N 2S

cLm2π2 (479)

Μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι η Mm έχει διαστάσεις μάζας (θα χρειαστείκαι η Εξ 461) και πως ισχύει K = Mmω

2m ΄Αρα κλασικά υπάρχει μία τυπική

ομοιότητα με ΑΑΤ με κυκλική συχνότητα ωm (Εξ 450) και ῾῾ μάζα ᾿᾿ Mm (Εξ 479)δηλαδή η Εξ 471 ή 474 γράϕεται

Εm =Mmω

2m

2q2m +

Mm

2q2m (480)

Μπορούμε επομένως να πούμε ότι το κβαντικό αντίστοιχο για ένα τρόπο ΗΜπεδίου m δηλαδή η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m θα είναι

HΗΜ m =Mmω

2m

2q2m +

Mm

2˙q2m (481)

με ιδιοτιμές ενέργειας

Emnm = ~ωm(nm +1

2) (482)

όπου ο δείκτης m isin N lowast αϕορά τον τρόπο του ΗΜ πεδίου και ο δείκτης nm isin Nαϕορά τον αριθμό των ϕωτονίων στον τρόπο m Συνεπώς η Χαμιλτονιανή για όλουςτους τρόπους του ΗΜ πεδίου θα είναι

HΗΜ =summ

HΗΜ m (483)

Κατόπιν σημειώνουμε ότι από τις Εξ 460 και 472 συνεπάγεται ότι

Emx (z t) =

2radicc

L2N sin

(mπzL

)qm(t) (484)

154

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Emx (z t) =

2radicc

L2N sin

(mπzL

)qm(t) (485)

Επίσης από τις Εξ 466 και 473 συνεπάγεται ότι

Bmy (z t) =

2NLradicc

1

mπccos(mπz

L

)qm(t) (486)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Bmy (z t) =

2NLradicc

1

mπccos(mπz

L

)ˆqm(t) (487)

Από τις ΄Εξ 484 479 και 450 προκύπτει

Emx (z t) =

(2Mmωm

2

ϵ0V

)12

sin(mπz

L

)qm(t) (488)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Emx (z t) =

(2Mmωm

2

ϵ0V

)12

sin(mπz

L

)qm(t) (489)

Από τις ΄Εξ 486 479 και 450 προκύπτει

Bmy (z t) =

1

c

(2Mm

ϵ0V

)12

cos(mπz

L

)qm(t) (490)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Bmy (z t) =

1

c

(2Mm

ϵ0V

)12

cos(mπz

L

)ˆqm(t) (491)

Τέλος από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει όπως αναμενόταν [Ex

By] = [c]

155

44 Χαμιλτονιανή ΗΜ πεδίου με τελεστέςκαταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίων

Ας μιλήσουμε τώρα για τελεστές καταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίων (photoncreation and annihilation operators) Είναι τώρα εύκολο να κβαντωθεί η Χαμιλτο-νιανή που περιγράϕει το ΗΜ πεδίο αρκεί να εϕαρμοστεί η αντιστοιχία τελεστών

qm = qm (492)

pm = minusi~ part

partqm(493)

Εισάγουμε τους τελεστές

am =1radic

2Mm~ωm(Mmωmqm + ipm) ῾῾ καταστροϕής ᾿᾿ (494)

adaggerm =1radic

2Mm~ωm(Mmωmqm minus ipm) ῾῾ δημιουργίας ᾿᾿ (495)

Ισχύουν οι ιδιότητες[am a

daggerm]︸ ︷︷ ︸

μεταθέτης

= amadaggerm minus adaggermam = 1 (496)

[qm pm]︸ ︷︷ ︸μεταθέτης

= i~ (497)

΄Ετσι οι τελεστές qm pm μπορούν τώρα να γραϕούν

qm =

(~

2Mmωm

)12

(adaggerm + am) (498)

pm = i

(Mm~ωm

2

)12

(adaggerm minus am) (499)

Συνεπώς η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m είναι

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)(4100)

Ας συμβολίσουμε με |nm⟩ την κατάσταση του ΗΜ πεδίου με nm αριθμό ϕωτονίωνστον ΗΜ τρόπο m Λέμε ότι είναι μια ῾῾ κατάσταση ϕωτονικών αριθμών ᾿᾿ Τα |nm⟩αποτελούν ένα πλήρες σύστημα δηλαδή ισχύει ⟨nm|lm⟩ = δnl

156

Οι τελεστές adaggerm και am έχουν τις ιδιότητες

adaggerm |nm⟩ =radicnm + 1 |nm + 1⟩ (4101)

am |nm⟩ =radicnm |nm minus 1⟩ (4102)

am |0⟩ = |0⟩ (4103)

Από τις Εξ 4101 και 4102 προκύπτει

adaggermam |nm⟩ = nm |nm⟩ (4104)

δηλαδή ο τελεστής Nm = adaggermam μετρά τον αριθμό των ϕωτονίων του ΗΜ τρόπου mοπότε μπορεί να αποκληθεί τελεστής του αριθμού των ϕωτονίων στον ΗΜ τρόπο mΑκόμα επαγωγικά προκύπτει

|nm⟩ =1radicnm

(adaggerm)nm |0⟩ (4105)

Λόγω των Εξ 4100 και 4104 προκύπτει

HΗΜ m |nm⟩ = ~ωm(nm +1

2) |nm⟩ (4106)

δηλαδή η Χαμιλτονιανή HΗΜ m δίνει ιδιοτιμές ενέργειας

Emnm = ~ωm(nm +1

2) (4107)

Η θεμελιώδης κατάσταση του ΑΑΤ |0⟩ με ιδιοενέργεια 12~ωm αντιστοιχεί στο κενό

δηλαδή χωρίς σωμάτιο η 1η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |1⟩ με ιδιοενέργεια 32~ωm

αντιστοιχεί σε ένα σωμάτιο η 2η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |2⟩ με ιδιοενέργεια52~ωm αντιστοιχεί σε δύο σωμάτια κοκ Αυτά τα σωμάτια εν προκειμένω τα λέμεϕωτόνια Δημιουργούνται και καταστρέϕονται με τους τελεστές αναβιβάσεως καικαταβιβάσεως ξεκινώντας από ένα επίπεδο αναϕοράς που εδώ είναι το κενό Υπακού-ουν στις μποζονικές σχέσεις μεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράστασηείναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση (second quantization)Η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)= ~ωm

(Nm +

1

2

) (4108)

157

αγνοώντας τον όρο ~ωm

2 μπορεί να γραϕτεί

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm (4109)

Μπορούμε να έχουμε οσαδήποτε ϕωτόνια στην ενεργειακή κατάσταση ~ωm διότι εί-ναι μποζόνια Ο adaggerm είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζειτην ενέργεια δημιουργώντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωm εξ ού και η ονομασία τελε-στής δημιουργίας (creation operator) Ο am είναι τελεστής καταβιβάσεως (loweringoperator) διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωmεξ ού και η ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator)

Σχήμα 45 Σωμάτια (εδώ ϕωτόνια απεικονίζονται με πράσινες βούλες) δημιουργούνται και κατα-στρέϕονται μέσω των τελεστών αναβιβάσεως και καταβιβάσεως Υπακούουν στις μποζονικές σχέσειςμεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράσταση είναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση(second quantization) Ο αριθμός των ϕωτονίων είναι ίσος με τον αριθμό των κόμβων της ιδιοσυ-ναρτήσεως

Τέλος ας σημειώσουμε ότι από τις Εξ 489 και 498 προκύπτει

Emx (z t) =

(~ωmϵ0V

)12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4110)

ενώ από τις Εξ 491 και 499 προκύπτει

Bmy (z t) =

i

c

(~ωmϵ0V

)12

cos(mπz

L

)(adaggerm minus am) (4111)

158

45 Χαμιλτονιανή δισταθμικού συστήματοςμε σπίνορες

Θα περιγράψουμε την αναβίβαση και την καταβίβαση ενός ηλεκτρονίου μεταξύ τωνενεργειακών σταθμών ενός δισταθμικού συστήματος πχ ενός ατόμου με τη βοήθειασπινόρων (spinors) Σπίνορας είναι ένα διάνυσμα - στήλη με δύο συνιστώσες Αςαρχίσουμε με ορισμούς (πχ [62])

| ⟩ =

=

0

0

=| 0⟩ |darr⟩ =

bull

=

0

1

=| 1⟩ |uarr⟩ =

bull

=

1

0

=| 2⟩

(4112)Το πρώτο παριστά το άδειο δισταθμικό σύστημα το δεύτερο δηλώνει το δισταθμικόσύστημα με το ηλεκτρόνιο στην κάτω στάθμη όπου έχει ενέργεια E1 και το τρίτο δη-λώνει το δισταθμικό σύστημα με το ηλεκτρόνιο στην άνω στάθμη όπου έχει ενέργειαE2 Ας ορίσουμε τώρα τους τελεστές

S+ =

0 1

0 0

Sminus =

0 0

1 0

(4113)

για τους οποίους μάλιστα ισχύει Sdagger+ =

0 1

0 0

dagger

=

0 0

1 0

= Sminus Ας δούμε ποιό

είναι το αποτέλεσμα της δράσεώς τους στους σπίνορες που ορίσαμε μόλις προ ολίγου

S+ | 0⟩ =

0 1

0 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

S+ |darr⟩ =

0 1

0 0

0

1

=

1

0

=|uarr⟩ το ανεβάζει

S+ |uarr⟩ =

0 1

0 0

1

0

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

(4114)

159

Sminus | 0⟩ =

0 0

1 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

Sminus |darr⟩ =

0 0

1 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

Sminus |uarr⟩ =

0 0

1 0

1

0

=

0

1

=|darr⟩ το κατεβάζει

(4115)

΄Ετσι ο S+ ονομάζεται τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ενώ ο Sminus ονομάζε-ται τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) του ηλεκτρονίου Ας δούμε μερικέςακόμα ιδιότητες

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

= σx (4116)

που είναι ένας από τους πίνακες Pauli που παρατίθονται λίγο παρακάτω (Εξ 4133)Ακόμα

S+Sminus =

0 1

0 0

0 0

1 0

=

1 0

0 0

(4117)

SminusS+ =

0 0

1 0

0 1

0 0

=

0 0

0 1

(4118)

΄Αρα από τις Εξ 4117-4118 συνεπάγεται ότι

S+Sminus + SminusS+ =

1 0

0 1

= I (4119)

που είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας Μπορούμε να το γράψουμε και στη μορϕή

S+ Sminus = I (4120)

160

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4121)

ενώ [AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4122)

΄Οταν AB = 0 rArr AB + BA = 0 rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται ενώ όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οιποσότητες μετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση των ονομασίων ΄Οπωςθα δούμε παρακάτω η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσειςαντιμεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ηλεκτρόνια που είναι ϕερμιόνια ενώ ο με-ταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσεις μεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ϕωτόνιαπου είναι μποζόνια Συχνά στα ελληνικά συγγράμματα της δευτεροβάθμιας εκπαί-δευσης πολύ κακώς εδώ και δεκαετίες ονομάζεται ῾῾ αντιμεταθετική ᾿᾿ η μεταθετική(commutative) ιδιότητα χαθήκαμε δηλαδή στη μετάϕρασηΗ Χαμιλτονιανή του Δισταθμικού Συστήματος HΔΣ είναι η

E2S+Sminus + E1SminusS+ = E2

1 0

0 0

+ E1

0 0

0 1

=

E2 0

0 E1

(4123)

αϕού E2 0

0 E1

1

0

=

E2

0

= E2

1

0

(4124)

E2 0

0 E1

0

1

=

0

E1

= E1

0

1

(4125)

΄Αρα συνοπτικά δείξαμε ότι

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+ (4126)

Αν τώρα θέσουμε E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) οπότε

HΔΣ = ~ΩS+Sminus (4127)

161

Ο τελεστής S+Sminus μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη αϕού

S+Sminus | 1⟩ =

1 0

0 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ rArr S+Sminus | 1⟩ = 0 | 1⟩ (4128)

S+Sminus | 2⟩ =

1 0

0 0

1

0

=

1

0

=| 2⟩ rArr S+Sminus | 2⟩ = 1 | 2⟩ (4129)

Ο τελεστής SminusS+ μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην κάτω στάθμη αϕού

SminusS+ | 1⟩ =

0 0

0 1

0

1

=

0

1

=| 1⟩ rArr SminusS+ | 1⟩ = 1 | 1⟩ (4130)

SminusS+ | 2⟩ =

0 0

0 1

1

0

=

0

0

=| 0⟩ rArr SminusS+ | 2⟩ = 0 | 2⟩ (4131)

Παρατήρηση Συνοπτικά για τους τελεστές S+ και Sminus μπορούμε να αποδείξουμεότι (S+)

dagger = Sminus αλλά και ότι

S+ Sdagger+ = S+ Sminus = S+Sminus + SminusS+ = I

Sminus Sdaggerminus = Sminus S+ = SminusS+ + S+Sminus = I

S+ S+ = Sdaggerminus S

daggerminus = S+S+ + S+S+ = 0

Sminus Sminus = Sdagger+ S

dagger+ = SminusSminus + SminusSminus = 0

(4132)

όπου I είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας 2 times 2 και 0 είναι ο μηδενικός πίνακας2times2 Οι Εξ 4132 δείχνουν ότι οι τελεστές S+ και Sminus υπακούουν στις σχέσεις αντι-μεταθέσεως ϕερμιονίων που αναϕέρουμε στην Υποενότητα 462 της Ενότητας 46Ο S+ είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζει την ενέργειαδημιουργώντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού και η ονομασία τελεστής δημιουρ-γίας (creation operator) Ο Sminus είναι τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator)διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού καιη ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Μπορούμε να έχουμεμόνο ένα ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω διότι τα ηλεκτρόνια είναι ϕερμιόνια

162

Ας θυμηθούμε τώρα τους πίνακες Pauli σx σy σz και ας δούμε τη σχέση τους μετους τελεστές αναβιβάσεως και καταβιβάσεως ηλεκτρονίων S+ και Sminus αντιστοίχως

σx =

0 1

1 0

(4133)

σy =

0 minusi

i 0

(4134)

σz =

1 0

0 minus1

(4135)

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι ισχύει η ιδιότητα

[σx σy] = 2iσz (4136)

καθώς και οι κυκλικές εναλλαγές της Επίσης

σ2x = σ2

y = σ2z =

1 0

0 1

= I (4137)

και

σx σy = σxσy + σyσx = 0 (4138)

σy σz = σyσz + σzσy = 0

σz σx = σzσx + σxσz = 0

δηλαδή οι πίνακες Pauli αντιμετατίθονται Επί παραδείγματι

σx σy = σxσy + σyσx =0 1

1 0

0 minusi

i 0

+

0 minusi

i 0

0 1

1 0

=

i 0

0 minusi

+

minusi 0

0 i

=

0 0

0 0

= 0

Ακόμα μπορούμε να αποδείξουμε ότι

S+ + Sminus = σx

S+ minus Sminus = iσy

163

46 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων καισχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων

461 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων πχ ϕωτονίων

Ας ονομαστεί am ο τελεστής καταστροϕής μποζονίων και adaggerm ο τελεστήςδημιουργίας μποζονίων στην κατάσταση m Για τα μποζόνια ισχύουν οι σχέσειςμεταθέσεως (commutation relations)

[am aℓ] = 0

[adaggerm adaggerℓ] = 0

(4139)

[AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4140)

οπότε όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οι ποσότητεςμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας

462 Σχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων πχ ηλε-κτρονίων

Ας ονομαστεί ai ο τελεστής καταστροϕής ϕερμιονίων και adaggeri ο τελεστής δη-μιουργίας ϕερμιονίων στην κατάσταση i Για τα ϕερμιόνια ισχύουν οι σχέσεις αντι-μεταθέσεως (anticommutation relations)

ai adaggerj = δij

ai aj = 0

adaggeri adaggerj = 0

(4141)

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4142)

οπότε όταν AB = 0rArr AB+BA = 0rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας Αν εϕαρμόσουμετη σχέση adaggeri a

daggerj = 0 για την ίδια κατάσταση πχ i = j = r έχουμε adaggerr adaggerr =

0 rArr adaggerradaggerr = 0 που σημαίνει ότι

δεν μπορούμε να βάλουμε δύο ϕερμιόνια στην ίδια

κατάσταση πράγμα που είναι η απαγορευτική αρχή Pauli

164

47 Τελεστές κλίμακας (Ladder operators) [63]

Στη γραμμική άλγεβρα καθώς και στις εϕαρμογές της στην κβαντική μηχανική ορί-ζεται ο τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ο οποίος αυξάνει την ιδιοτιμή ενόςάλλου τελεστή και ο τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) ο οποίος μειώνειτην ιδιοτιμή ενός άλλου τελεστή Αυτοί συλλογικά ονομάζονται τελεστές κλίμα-κας (ladder operators) Στην κβαντομηχανική ο τελεστής αναβιβάσεως καλείταισυχνά τελεστής δημιουργίας (creation operator) και ο τελεστής καταβιβάσεως κα-λείται συχνά τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Γνωστές εϕαρμογέςτων τελεστών κλίμακας είναι στον απλό αρμονικό ταλαντωτή και στη στροϕορμήΣε πολλές περιοχές της ϕυσικής και της χημείας η χρήση αυτών των τελεστών αντίκυματοσυναρτήσεων είναι γνωστή ως δεύτερη κβάντωση (second quantization) [64]

165

48 Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεωςδισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου

΄Εστω δύο αντίθετα ηλεκτρικά ϕορτία q gt 0 και minusq lt 0 στα σημεία Θ και Α

αντιστοίχως Αν d =minusrarrΑΘ είναι το διάνυσμα θέσεως του θετικού ϕορτίου ως προς το

αρνητικό τότε η ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) ορίζεταιως

P = qd (4143)

πχ για το άτομο του υδρογόνου αν το Π παριστάνει τον πυρήνα και το Η παριστάνει

το ηλεκτρόνιο και ως συνήθως ορίσουμε r =minusrarrΠΗ τότε P = qd = e(minusr)rArr

P = minuser (4144)

Αυτό αποδίδεται άνω τμήμα του Σχήματος 46 Η δυναμική ενέργεια (potential

Σχήμα 46 ΄Ανω Ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) Κάτω (Ηλεκτρική) διπολικήροπή μεταβάσεως (transition (electric) dipole moment)

energy) UE του ηλεκτρικού διπόλου εντός ηλεκτρικού πεδίου E είναι

UE = minusP middot E (4145)

166

Ανάλογος με τον παραπάνω ορισμό μπορεί να δοθεί και για την περίπτωση της με-ταβάσεως ενός τμήματος του ηλεκτρονιακού νέϕους από μία αρχική σε μια τελική πε-ριοχή ΄Ετσι ορίζεται η (ηλεκτρική) διπολική ροπή μεταβάσεως [transition(electric) dipole moment] 1 Αυτό αποδίδεται στο κάτω τμήμα το Σχήματος 46Αν το ϕορτίο που μεταϕέρεται είναι minuse πάλι p = qd = e(minusr)rArr p = minuser Δηλαδήεννοείται ότι για την περιοχή 2 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμεί με μετά-βαση ϕορτίου minuse ενώ για την περιοχή 1 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμείμε μετάβαση ϕορτίου +eΟ τελεστής (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως [transition

(electric) dipole moment operator] σημειώνεται εναλλακτικά με ˆd ή ˆp Στη βάση τωνιδιοκαταστάσεων της ενέργειας του αδιατάρακτου ατόμου ή συστήματος ορίζεται ως

ˆd = ˆp =

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | (4146)

με τους επίσης εναλλακτικούς συμβολισμούς

dij = pij = minuse⟨Φi | ˆr | Φj⟩ (4147)

για το στοιχείο πίνακα της (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως μεταξύ των κα-ταστάσεων | Φi⟩ και | Φj⟩ Υπενθυμίζεται ότι ο τελεστής θέσεως (position operator)ˆr είναι τέτοιος ώστε

ˆr | r⟩ = r | r⟩ (4148)

Υπενθυμίζεται για τον συμβολισμό Dirac ότι

| A⟩ =

α1

α2

hArr ⟨A |= (αlowast1 αlowast

2) (4149)

Υπενθυμίζεται ακόμα ότι

⟨Φi | ˆr | Φj⟩ =sum

|rprime⟩|rprimeprime⟩

⟨Φi | rprime⟩⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩⟨rprimeprime | Φj⟩ =sum|rprime⟩

⟨Φi | rprime⟩ rprime ⟨rprime | Φj⟩

=sum|r⟩

⟨Φi | r⟩ r ⟨r | Φj⟩ =intdV Φi(r)

lowastrΦj(r)

1Η λέξη ῾῾ ηλεκτρική ᾿᾿ είναι εντός παρενθέσεως επειδή συνήθως επειδή εννοείται παραλείπεται

167

διότι⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩ = rprimeprime⟨rprime|rprimeprime⟩ = rprimeprimeδrprimerprimeprime (4150)

΄Αρα

d11 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ1(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4151)

d12 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ2(r) = 0 (4152)

d21 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ1(r) = 0 (4153)

d22 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ2(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4154)

Δηλαδή ενώ τα διαγώνια στοιχεία μηδενίζονται τα d12 και d21 δεν είναι (῾῾ εκ ταυτό-τητος ᾿᾿) μηδέν Ας δούμε τώρα ποιος είναι ο ˆp σε δισταθμικό σύστημα

ˆp = d11 | Φ1⟩⟨Φ1 | + d12 | Φ1⟩⟨Φ2 | + d21 | Φ2⟩⟨Φ1 | + d22 | Φ2⟩⟨Φ2 |

= d11

0

1

(0 1)+ d12

0

1

(1 0)+ d21

1

0

(0 1)+ d22

1

0

(1 0)

= 0 ⋆

d11︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

0 0

0 1

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

+ d12︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 0

1 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ d21︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 1

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ 0 ⋆

d22︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

1 0

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

Από τις Εξ (4152)-(4153) συμπεραίνουμε ότι d12 = d21 με την προϋπόθεση ότι οιΦi(r) είναι πραγματικές οπότε

ˆp = d12

0 1

1 0

(4155)

168

Ερώτηση Και τι κάνει ο τελεστής

0 1

1 0

Απάντηση0 1

1 0

0

1

=

1

0

0 1

1 0

1

0

=

0

1

Δηλαδή μεταϕέρει από τη μία ενεργειακή στάθμη στην άλλη όπως θα έπρεπε

Τώρα μπορεί να οριστεί ο τελεστής δυναμικής ενέργειας (potential e-nergy operator) Θεωρούμε ότι η αλληλεπίδραση δισταθμικού συστήματος - ΗΜπεδίου έχει τη μορϕή μηχανισμού ηλεκτρικού διπόλου Αγνοούμε άλλης μορϕής αλ-ληλεπιδράσεις όπως πχ ηλεκτρικού τετραπόλου ή μαγνητικού διπόλου Αϕού

UE = minusP middot E rArr

UmE = minusP middot Em (4156)

όπου ο δείκτης m δηλώνει τον m τρόπο του ΗΜ πεδίου ο αντίστοιχος τελεστήςμπορεί να οριστεί ως

UmE = minus ˆp middot ˆEm (4157)

Επομένως

UmE = minus

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | middotEmx (z t)i

i είναι το μοναδιαίο άνυσμα του άξονα x αϕού έχουμε υποθέσει αυτόν τον προσανα-τολισμό για το ηλεκτρικό πεδίο (δείτε Σχήμα 42) ΄Η λόγω της Εξ 4155

UmE = minusd12

0 1

1 0

middot Emx (z t)i (4158)

Αλλά

d12 middot i = minuseintdV Φ1(r)

lowast(r middot i)Φ2(r) = minusex12 = Px12 = P (4159)

169

Συνεπώς

UmE = ex12

0 1

1 0

Emx (z t) (4160)

Υπενθυμίζονται οι Εξ 4110 και 4111

Emx (z t) =

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4161)

Bmy (z t) =

(~ωmε0V

) 12 1

ccos(mπz

L

)i(adaggerm minus am) (4162)

από τις οποίες όμως στα πλαίσια των υποθέσεών μας χρειαζόμαστε τώρα μόνον τηνπρώτη Επίσης υπενθυμίζεται ότι

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

(4163)

΄Αρα εν τέλει

UmE = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4164)

Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε

~gm = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(4165)

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4166)

Αυτή είναι λοιπόν η Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συ-στήματος - ΗΜ πεδίου για τον ΗΜ τρόπο m Εάν βρισκόμαστε σταπλαίσια της ατομικής ϕυσικής τότε συμβολίζεται και Hm

AF όπου οι δείκτες σημαίνουνAtom-FieldΑπό την Εξ 4165 προκύπτει

~|gm| = |P |∣∣∣∣ (~ωm

ε0V

) 12

sin(mπz

L

) ∣∣∣∣ = |P| Em0 (4167)

170

όπου όμως το ῾῾ πλάτος ᾿᾿ Em0 εξαρτάται από τη θέση z του ατόμου στην κοιλότητα

είναι δηλαδή Em0 = Em

0 (z) Η |gm| (ή οποία συμβολίζεται και με ΩmR ) είναι η λεγόμενη

συχνότητα Rabi Εάν εννοείται σε ποιον ΗΜ τρόπο m αναϕερόμαστε μπορούμε ναχρησιμοποιήσουμε σκέτο το |g| ή το ΩR ΄Αρα

|gm| ή ΩmR =

|P|Em0

~(4168)

Για να μη γράϕουμε απόλυτα μπορούμε σε κάθε θέση να διαλέγουμε τη ϕάση τωνκυματοσυναρτήσεων τέτοια ώστε το g να είναι θετικό και πραγματικό [65] Συνοπτικά

gm ή ΩmR =

|P|Em0

~(4169)

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Τώρα συμπληρώνεται η εικόνα με την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπί-δραση ενός ΗΜ τρόπου m με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4170)

΄Αρα η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4171)

Επομένως οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩ (4172)

|darr nm⟩ (4173)

171

Ας δούμε λίγο προσεκτικότερα τη Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικούσυστήματος - ΗΜ πεδίου (Εξ 4166) Για έναν μοναδικό τρόπο m η Χαμιλτονιανήαυτή αναλυεται σε τέσσερις όρους

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) =

= ~gmS+adaggerm︸ ︷︷ ︸

1ος

+ S+am︸ ︷︷ ︸2ος

+ Sminusadaggerm︸ ︷︷ ︸

3ος

+ Sminusam︸ ︷︷ ︸4ος

bull 1ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E gt 0 Επόμένως αυτός ο όρος μόνος τουδεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

bull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻︸ ︷︷ ︸

μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολ-λοί τρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτο-νιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται απόάθροισμα όρων όπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημανα απορροϕήσει ένα ϕωτόνιο υψηλής συχνότητας και να ανεβεί ενώ παράλληλαδημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο χαμηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi www≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

simsim≻ ff lt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 2ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο Αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

172

bull 3ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιοΚαι αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικάbull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 4ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο ΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E lt 0 Επόμένως και αυτός ο όροςμόνος του δεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολλοίτρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτονιανή αλλη-λεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται από άθροισμα όρωνόπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημα να απορροϕήσει έναϕωτόνιο χαμηλής συχνότητας και να κατεβεί ενώ παράλληλα δημιουργείται εκπέμ-πεται ϕωτόνιο υψηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

www≻ ff gt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

Αν αγνοήσουμε τον 1ο και 4ο όρο που ο καθένας μόνος του δεν διατηρεί τηνενέργεια τότε

UmE = ~gm

(S+am + Sminusa

daggerm

) (4174)

Η προσέγγιση είναι κατά κάποιο τρόπο ανάλογη της RWA (Rotating Wave Approxi-mation) του Κεϕαλαίου 3 Εκεί στις εξισώσεις Rabi κρατήσαμε μόνο τους αργούςόρους όπου ΗΜ πεδίο και το δισταθμικό σύστημα βρίσκονται σε περίπου συντονισμό

173

δηλαδή Ω ≃ ω Τότε κρατήσαμε τους αργούς όρους eplusmni(Ωminusω)t και αγνοήσαμε τουςγρήγορους όρους eplusmni(Ω+ω)tΣυνοπτικά ενώ για την ολική Χαμιλτονιανή ενός τρόπου m έχουμε την λεγόμενη

Χαμιλτονιανή Rabi

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4175)

κατά την παραπάνω συζήτηση αγνοούμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενουςcounter-rotating terms

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4176)

οπότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66]

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4177)

Στην ΄Ασκηση 1 (παραλείποντας τον δείκτη του ΗΜ τρόπου m απλότητα) βρί-σκουμε (Α) τι κάνουν οι όροι adaggera aadagger S+Sminus SminusS+ S+a

dagger S+a Sminusadagger Sminusa στις κα-

ταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩ και (Β) υπολογίζουμε τα ⟨adaggera⟩ ⟨aadagger⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨SminusS+⟩⟨S+a

dagger⟩ ⟨S+a⟩ ⟨Sminusadagger⟩ ⟨Sminusa⟩ για τις καταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩

174

49 Σύνοψη Χαμιλτονιανών

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Ακόμα είδαμε την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπίδραση ενός ΗΜ τρόπουm με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

Οπότε η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί (Εξ 4171)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

και οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩|darr nm⟩

Ακόμα αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενους counter-rotatingterms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam)

τότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66] (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm)

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

147

Σχήμα 44 Αγώγιμα κάτοπτρα πριν από z = 0 και μετά από z = L

E μηδενίζεται στη διεπιϕάνεια αυτή Επειδή το E έχει μόνο x συνιστώσα (Εξ 427)και τα επίπεδα ιδανικώς αγώγιμα κάτοπτρα τοποθετούνται στις θέσεις z = 0 καιz = L οπότε το E είναι παράλληλο σε αυτά έπεται ότι

Ex(0 t) = 0 = Ex(L t)forallt (437)

Από τις Εξ 430 και 436 έπεται ότι

NT (t)d2Z

dz2=N

1

c2Z(z)

d2T

dt2hArr

hArr 1

Z(z)

d2Z

dz2︸ ︷︷ ︸f(z)

=1

T (t)

1

c2d2T

dt2︸ ︷︷ ︸g(t)︸ ︷︷ ︸

forallz forallt

άρα= σταθερά = minusk2

αρκεί Z(z) = 0 και T (t) = 0 ενώ για Z(z) = 0 και T (t) = 0 ισχύει η τετριμένηλύση ΄Αρα

d2Z

dz2+ k2Z(z) = 0 (438)

καιd2T

dt2+ k2c2T (t) = 0 (439)

148

bull Ας λύσουμε αρχικά την Εξ 438 δοκιμάζοντας λύσεις της μορϕής eλz οπότεπροκύπτει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο

λ2 + k2 = 0rArr λ2 = minusk2 rArr λ = plusmnik πχ ας διαλέξουμε k isin real+

΄Αρα ουσιαστικά η λύση θα είναι της μορϕής

Z(z) = Aeikz +Beminusikz (440)

Z(0) = 0 συνοριακή συνθήκη 1 (441)

Z(L) = 0 συνοριακή συνθήκη 2 (442)

όπου λάβαμε υπ΄ όψιν τις συνοριακές συνθήκες 437 Από τις Εξ 440 και 441συνεπάγεται ότι A+B = 0rArr B = minusA οπότε η Εξ 440 γίνεται

Z(z) = Aeikz minus Aeminusikz = 2iA sin(kz) (443)

και εϕαρμόζοντας την Εξ 442

sin(kL) = 0rArr kL = mπm isin Z (444)

Δεδομένου όμως ότι διαλέξαμε παραπάνω k isin real+ θα πρέπει m isin N και για μημηδενική λύση θα πρέπει m isin N lowast οπότε k isin reallowast

+ Συνοπτικά το k εξαρτάται απόένα ϕυσικό μη μηδενικό δείκτη δηλαδή

km =mπ

Lm isin N lowast (445)

Αρα Zm(z) = 2Ai sin

(mπz

L

)Κι αν απαιτήσουμε οι Zm να είναι ορθοκανονικές

int L

0

dzZlowastm(z)Zl(z) = δml

rArr

rArrint L

0

dz | 2iA |2 sin(mπz

L

)sin

(lπz

L

)= δml rArr

int π

0

L

πdψ | 2iA |2 sin(mψ) sin(lψ) = δml

όπου ορίσαμε ψ = πzL οπότε dψ = π

Ldz Τότε

L

π4 | A |2

int π

0

dψ sin(mψ) sin(lψ) = δml

149

Αλλά int π

0

dψ sin(mψ) sin(lψ) =π

2δml (446)

ενώ ισχύει επίσης int π

0

dψ cos(mψ) cos(lψ) =π

2δml (447)

ΕπομένωςL

π4 | A |2 π

2δml = δml rArr| A |2=

1

2L

Ας διαλέξουμε κάτι βολικό πχ A =1radic2L

(minusi)

Συνεπώς

Zm(z) =

radic2

Lsin

(mπz

L

)(448)

bull Στη συνέχεια ας λύσουμε την Εξ 439 Ας ορίσουμε

ω = kc gt 0 (449)

οπότε ω2 = k2c2 Χρησιμοποιώντας την Εξ 445

ωm =mπc

Lm isin N lowast (450)

Δοκιμάζοντας λύσεις της μορϕής eλt προκύπτει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο

λ2 + ω2m = 0rArr λ = plusmniωm ωm isin reallowast

+ (451)

΄Αρα ουσιαστικά η λύση θα είναι της μορϕής

T (t) = Γeiωmt +∆eminusiωmt (452)

Κι αν θέσουμε την αρχική συνθήκη

T (0) = 0 (453)

προκύπτει Γ +∆ = 0rArr ∆ = minusΓ οπότε

T (t) = Γeiωmt minus Γeminusiωmt = 2iΓ sin(ωmt)rArr (454)

150

Tm(t) = 2iΓ sin

(mπc

Lt

)(455)

Κι αν απαιτήσουμε οι Tm να είναι ορθοκανονικές δηλαδήint κάτι0

dtT lowastm(t)Tl(t) = δml rArr

int κάτι0

dt | 2iΓ |2 sin(mπct

L

)sin

(lπct

L

)= δml rArr

rArr 4 | Γ |2int κάτι0

dt sin

(mπct

L

)sin

(lπct

L

)= δml

Θέτοντας χ = πctL οπότε dχ = πc

Ldt καταλήγουμε στη σχέση

4 | Γ |2 L

πc

int πcLmiddotκάτι

0

dχ sin(mχ) sin(lχ) = δml (456)

΄Αρα έχοντας υπ΄ όψη την Εξ 446 είναι βολικό να θέσουμε πcLmiddot κάτι = π rArr

κάτι =L

c= τ (457)

΄Ετσι ορισμένο το τ είναι ο χρόνος πτήσεως του ϕωτονίου διαμέσου της κοιλότητας(time of photon flight through cavity) άρα δεν ήταν παράλογο που το θέσαμε έτσιΣυνεπώς εν τέλει η ορθοκανονικοποίηση είναιint τ

0

dtT lowastm(t)Tl(t) = δml (458)

Τελικά έχουμε

4 | Γ |2 L

πc

int π

0

dχ sin(mχ) sin(lχ) = δml rArr| Γ |=radic

c

2L

Κι αν διαλέξουμε κάτι βολικό πχ Γ = (minusi)radic

c2L τελικά έχουμε

Tm(t) =

radic2c

Lsin

(mπc

Lt

)(459)

΄Αρα συνοψίζοντας με τη βοήθεια των Εξ 436 448 459 καταλήγουμε στην

Emx (z t) =

2radicc

LN sin

(mπz

L

)sin

(mπct

L

)(460)

151

΄Οσον αϕορά τις μονάδες θα πρέπει [2radicc

LN ] = V

m= N

CrArr

[N ] =Vradicms

(461)

Για να προσδιορίσουμε το μαγνητικό πεδίο θα χρησιμοποιήσουμε την Εξ 435 σεσυνδυασμό με την Εξ 460 οπότε προκύπτει

partBmy

partz= minus 1

c22radicc

LN sin

(mπzL

) mπcL

cos

(mπct

L

)rArr (462)

int zprime

0

dzpartBm

y

partz= minus 2mπradic

cL2N cos

(mπct

L

)int zprime

0

dz sin(mπz

L

)rArr (463)

Bmy (z

prime t)minusBmy (0 t) = minus

2mπradiccL2N cos

(mπct

L

)L

mπ

[minus cos

(mπzL

)]zprime0

rArr (464)

Bmy (z

prime t)minusBmy (0 t) =

2NradiccL

cos

(mπct

L

)[cos

(mπzprime

L

)minus1cos 0

] (465)

΄Αρα ορίζοντας κατάλληλα την τιμή του Bmy (0 t) προκύπτει

Bmy (z t) =

2NradiccL

cos(mπz

L

)cos

(mπct

L

)(466)

Για την πυκνότητα ενέργειας ισχύει

U =ϵ02E2 +

1

2micro0

B2 =ϵ02[E2 + c2B2] (467)

Σημειώνουμε ότι οι μονάδες για την πυκνότητα ενέργειας είναι [U ] = Jm3 Για πα-

ράδειγμα [ ϵ02E2] = F

mV2

m2 = CV2

Vm3 = Jm3 και [ B

2

2micro0] = T2A

Tm= TA

m= N

m2 = Nmm3 = J

m3 πχ λόγω των γνωστών σχέσεωνB = micro0H F = BIl και c2 = 1

ϵ0micro0 ΄Αρα από τις

Εξ 460 466 467 βρίσκουμε την πυκνότητα ενέργειας του m τρόπου

Um =ϵ02

4cN 2

L2

[sin2

(mπzL

)sin2

(mπct

L

)+ cos2

(mπzL

)cos2

(mπct

L

)] (468)

΄Αρα η ενέργεια του m τρόπου η οποία υπολογίζεται ολοκληρώνοντας την πυ-κνότητα ενέργειας του m τρόπου στην κοιλότητα όγκου V = LS

Εm =

intV=LS

d3r Um (469)

152

είναι

Εm =2ϵ0cN 2S

L2

[sin2

(mπct

L

)int L

0

dz sin2(mπz

L

)+ cos2

(mπct

L

)int L

0

dz cos2(mπz

L

)]

Θέτουμε ψ = πzLrArr dψ = π

Ldz άρα με τη βοήθεια των Εξ 446-447 τα ολοκληρώ-

ματα στο z γίνονται Lπ

int π0dψ sin2(mψ) = L

ππ2= L

2και L

π

int π0dψ cos2(mψ) = L

ππ2= L

2

Αντικαθιστούμε στην παραπάνω εξίσωση και τελικά έχοντας ακολουθήσει αυτή τηνκλασική προσέγγιση έχουμε

Εm =ϵ0cN 2S

L

[sin2

(mπct

L

)+ cos2

(mπct

L

)]=ϵ0cN 2S

L(470)

Ας δούμε τώρα λίγο αλλιώτικα την Εm

Εm =ϵ0cN 2S

L3

[L2 sin2

(mπct

L

)+ L2 cos2

(mπct

L

)] (471)

ορίζοντας ῾῾ γενικευμένη θέση και ταχύτητα ᾿᾿ Καλούμε λοιπόν ῾῾ γενικευμένη θέση ᾿᾿

qm(t) = L sin

(mπct

L

)(472)

και ῾῾ γενικευμένη ταχύτητα ᾿᾿

˙qm(t) = mπc cos

(mπct

L

)(473)

ούτως ώστε [qm(t)] = m και [ ˙qm(t)] = ms Τότε η Εξ 471 γράϕεται

Εm =ϵ0cN 2S

L3

[(qm(t))

2 +L2

m2π2c2( ˙qm(t))

2

] (474)

Θα μπορούσαμε εδώ να θεωρήσουμε μια αναλογία της Εξ 474 με Απλό ΑρμονικόΤαλαντωτή (ΑΑΤ) του οποίου η ενέργεια θα ήταν

Ε =K

2x2 +

M

2v2 =

K

2[x2 +

M

Kv2] (475)

Επομένωςϵ0cN 2S

L3=K

2 (476)

153

L2

m2π2c2=M

K (477)

Δηλαδή προκύπτει η ῾῾ σταθερά ελατηρίου ᾿᾿

K =2ϵ0cN 2S

L3 (478)

και η ῾῾ μάζα ᾿᾿ (η οποία σημειωτέο εξαρτάται από το m είναι δηλαδή διαϕορετική γιακάθε τρόπο του ΗΜ πεδίου m)

Mm =2ϵ0N 2S

cLm2π2 (479)

Μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι η Mm έχει διαστάσεις μάζας (θα χρειαστείκαι η Εξ 461) και πως ισχύει K = Mmω

2m ΄Αρα κλασικά υπάρχει μία τυπική

ομοιότητα με ΑΑΤ με κυκλική συχνότητα ωm (Εξ 450) και ῾῾ μάζα ᾿᾿ Mm (Εξ 479)δηλαδή η Εξ 471 ή 474 γράϕεται

Εm =Mmω

2m

2q2m +

Mm

2q2m (480)

Μπορούμε επομένως να πούμε ότι το κβαντικό αντίστοιχο για ένα τρόπο ΗΜπεδίου m δηλαδή η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m θα είναι

HΗΜ m =Mmω

2m

2q2m +

Mm

2˙q2m (481)

με ιδιοτιμές ενέργειας

Emnm = ~ωm(nm +1

2) (482)

όπου ο δείκτης m isin N lowast αϕορά τον τρόπο του ΗΜ πεδίου και ο δείκτης nm isin Nαϕορά τον αριθμό των ϕωτονίων στον τρόπο m Συνεπώς η Χαμιλτονιανή για όλουςτους τρόπους του ΗΜ πεδίου θα είναι

HΗΜ =summ

HΗΜ m (483)

Κατόπιν σημειώνουμε ότι από τις Εξ 460 και 472 συνεπάγεται ότι

Emx (z t) =

2radicc

L2N sin

(mπzL

)qm(t) (484)

154

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Emx (z t) =

2radicc

L2N sin

(mπzL

)qm(t) (485)

Επίσης από τις Εξ 466 και 473 συνεπάγεται ότι

Bmy (z t) =

2NLradicc

1

mπccos(mπz

L

)qm(t) (486)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Bmy (z t) =

2NLradicc

1

mπccos(mπz

L

)ˆqm(t) (487)

Από τις ΄Εξ 484 479 και 450 προκύπτει

Emx (z t) =

(2Mmωm

2

ϵ0V

)12

sin(mπz

L

)qm(t) (488)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Emx (z t) =

(2Mmωm

2

ϵ0V

)12

sin(mπz

L

)qm(t) (489)

Από τις ΄Εξ 486 479 και 450 προκύπτει

Bmy (z t) =

1

c

(2Mm

ϵ0V

)12

cos(mπz

L

)qm(t) (490)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Bmy (z t) =

1

c

(2Mm

ϵ0V

)12

cos(mπz

L

)ˆqm(t) (491)

Τέλος από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει όπως αναμενόταν [Ex

By] = [c]

155

44 Χαμιλτονιανή ΗΜ πεδίου με τελεστέςκαταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίων

Ας μιλήσουμε τώρα για τελεστές καταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίων (photoncreation and annihilation operators) Είναι τώρα εύκολο να κβαντωθεί η Χαμιλτο-νιανή που περιγράϕει το ΗΜ πεδίο αρκεί να εϕαρμοστεί η αντιστοιχία τελεστών

qm = qm (492)

pm = minusi~ part

partqm(493)

Εισάγουμε τους τελεστές

am =1radic

2Mm~ωm(Mmωmqm + ipm) ῾῾ καταστροϕής ᾿᾿ (494)

adaggerm =1radic

2Mm~ωm(Mmωmqm minus ipm) ῾῾ δημιουργίας ᾿᾿ (495)

Ισχύουν οι ιδιότητες[am a

daggerm]︸ ︷︷ ︸

μεταθέτης

= amadaggerm minus adaggermam = 1 (496)

[qm pm]︸ ︷︷ ︸μεταθέτης

= i~ (497)

΄Ετσι οι τελεστές qm pm μπορούν τώρα να γραϕούν

qm =

(~

2Mmωm

)12

(adaggerm + am) (498)

pm = i

(Mm~ωm

2

)12

(adaggerm minus am) (499)

Συνεπώς η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m είναι

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)(4100)

Ας συμβολίσουμε με |nm⟩ την κατάσταση του ΗΜ πεδίου με nm αριθμό ϕωτονίωνστον ΗΜ τρόπο m Λέμε ότι είναι μια ῾῾ κατάσταση ϕωτονικών αριθμών ᾿᾿ Τα |nm⟩αποτελούν ένα πλήρες σύστημα δηλαδή ισχύει ⟨nm|lm⟩ = δnl

156

Οι τελεστές adaggerm και am έχουν τις ιδιότητες

adaggerm |nm⟩ =radicnm + 1 |nm + 1⟩ (4101)

am |nm⟩ =radicnm |nm minus 1⟩ (4102)

am |0⟩ = |0⟩ (4103)

Από τις Εξ 4101 και 4102 προκύπτει

adaggermam |nm⟩ = nm |nm⟩ (4104)

δηλαδή ο τελεστής Nm = adaggermam μετρά τον αριθμό των ϕωτονίων του ΗΜ τρόπου mοπότε μπορεί να αποκληθεί τελεστής του αριθμού των ϕωτονίων στον ΗΜ τρόπο mΑκόμα επαγωγικά προκύπτει

|nm⟩ =1radicnm

(adaggerm)nm |0⟩ (4105)

Λόγω των Εξ 4100 και 4104 προκύπτει

HΗΜ m |nm⟩ = ~ωm(nm +1

2) |nm⟩ (4106)

δηλαδή η Χαμιλτονιανή HΗΜ m δίνει ιδιοτιμές ενέργειας

Emnm = ~ωm(nm +1

2) (4107)

Η θεμελιώδης κατάσταση του ΑΑΤ |0⟩ με ιδιοενέργεια 12~ωm αντιστοιχεί στο κενό

δηλαδή χωρίς σωμάτιο η 1η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |1⟩ με ιδιοενέργεια 32~ωm

αντιστοιχεί σε ένα σωμάτιο η 2η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |2⟩ με ιδιοενέργεια52~ωm αντιστοιχεί σε δύο σωμάτια κοκ Αυτά τα σωμάτια εν προκειμένω τα λέμεϕωτόνια Δημιουργούνται και καταστρέϕονται με τους τελεστές αναβιβάσεως καικαταβιβάσεως ξεκινώντας από ένα επίπεδο αναϕοράς που εδώ είναι το κενό Υπακού-ουν στις μποζονικές σχέσεις μεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράστασηείναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση (second quantization)Η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)= ~ωm

(Nm +

1

2

) (4108)

157

αγνοώντας τον όρο ~ωm

2 μπορεί να γραϕτεί

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm (4109)

Μπορούμε να έχουμε οσαδήποτε ϕωτόνια στην ενεργειακή κατάσταση ~ωm διότι εί-ναι μποζόνια Ο adaggerm είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζειτην ενέργεια δημιουργώντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωm εξ ού και η ονομασία τελε-στής δημιουργίας (creation operator) Ο am είναι τελεστής καταβιβάσεως (loweringoperator) διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωmεξ ού και η ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator)

Σχήμα 45 Σωμάτια (εδώ ϕωτόνια απεικονίζονται με πράσινες βούλες) δημιουργούνται και κατα-στρέϕονται μέσω των τελεστών αναβιβάσεως και καταβιβάσεως Υπακούουν στις μποζονικές σχέσειςμεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράσταση είναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση(second quantization) Ο αριθμός των ϕωτονίων είναι ίσος με τον αριθμό των κόμβων της ιδιοσυ-ναρτήσεως

Τέλος ας σημειώσουμε ότι από τις Εξ 489 και 498 προκύπτει

Emx (z t) =

(~ωmϵ0V

)12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4110)

ενώ από τις Εξ 491 και 499 προκύπτει

Bmy (z t) =

i

c

(~ωmϵ0V

)12

cos(mπz

L

)(adaggerm minus am) (4111)

158

45 Χαμιλτονιανή δισταθμικού συστήματοςμε σπίνορες

Θα περιγράψουμε την αναβίβαση και την καταβίβαση ενός ηλεκτρονίου μεταξύ τωνενεργειακών σταθμών ενός δισταθμικού συστήματος πχ ενός ατόμου με τη βοήθειασπινόρων (spinors) Σπίνορας είναι ένα διάνυσμα - στήλη με δύο συνιστώσες Αςαρχίσουμε με ορισμούς (πχ [62])

| ⟩ =

=

0

0

=| 0⟩ |darr⟩ =

bull

=

0

1

=| 1⟩ |uarr⟩ =

bull

=

1

0

=| 2⟩

(4112)Το πρώτο παριστά το άδειο δισταθμικό σύστημα το δεύτερο δηλώνει το δισταθμικόσύστημα με το ηλεκτρόνιο στην κάτω στάθμη όπου έχει ενέργεια E1 και το τρίτο δη-λώνει το δισταθμικό σύστημα με το ηλεκτρόνιο στην άνω στάθμη όπου έχει ενέργειαE2 Ας ορίσουμε τώρα τους τελεστές

S+ =

0 1

0 0

Sminus =

0 0

1 0

(4113)

για τους οποίους μάλιστα ισχύει Sdagger+ =

0 1

0 0

dagger

=

0 0

1 0

= Sminus Ας δούμε ποιό

είναι το αποτέλεσμα της δράσεώς τους στους σπίνορες που ορίσαμε μόλις προ ολίγου

S+ | 0⟩ =

0 1

0 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

S+ |darr⟩ =

0 1

0 0

0

1

=

1

0

=|uarr⟩ το ανεβάζει

S+ |uarr⟩ =

0 1

0 0

1

0

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

(4114)

159

Sminus | 0⟩ =

0 0

1 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

Sminus |darr⟩ =

0 0

1 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

Sminus |uarr⟩ =

0 0

1 0

1

0

=

0

1

=|darr⟩ το κατεβάζει

(4115)

΄Ετσι ο S+ ονομάζεται τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ενώ ο Sminus ονομάζε-ται τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) του ηλεκτρονίου Ας δούμε μερικέςακόμα ιδιότητες

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

= σx (4116)

που είναι ένας από τους πίνακες Pauli που παρατίθονται λίγο παρακάτω (Εξ 4133)Ακόμα

S+Sminus =

0 1

0 0

0 0

1 0

=

1 0

0 0

(4117)

SminusS+ =

0 0

1 0

0 1

0 0

=

0 0

0 1

(4118)

΄Αρα από τις Εξ 4117-4118 συνεπάγεται ότι

S+Sminus + SminusS+ =

1 0

0 1

= I (4119)

που είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας Μπορούμε να το γράψουμε και στη μορϕή

S+ Sminus = I (4120)

160

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4121)

ενώ [AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4122)

΄Οταν AB = 0 rArr AB + BA = 0 rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται ενώ όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οιποσότητες μετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση των ονομασίων ΄Οπωςθα δούμε παρακάτω η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσειςαντιμεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ηλεκτρόνια που είναι ϕερμιόνια ενώ ο με-ταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσεις μεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ϕωτόνιαπου είναι μποζόνια Συχνά στα ελληνικά συγγράμματα της δευτεροβάθμιας εκπαί-δευσης πολύ κακώς εδώ και δεκαετίες ονομάζεται ῾῾ αντιμεταθετική ᾿᾿ η μεταθετική(commutative) ιδιότητα χαθήκαμε δηλαδή στη μετάϕρασηΗ Χαμιλτονιανή του Δισταθμικού Συστήματος HΔΣ είναι η

E2S+Sminus + E1SminusS+ = E2

1 0

0 0

+ E1

0 0

0 1

=

E2 0

0 E1

(4123)

αϕού E2 0

0 E1

1

0

=

E2

0

= E2

1

0

(4124)

E2 0

0 E1

0

1

=

0

E1

= E1

0

1

(4125)

΄Αρα συνοπτικά δείξαμε ότι

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+ (4126)

Αν τώρα θέσουμε E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) οπότε

HΔΣ = ~ΩS+Sminus (4127)

161

Ο τελεστής S+Sminus μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη αϕού

S+Sminus | 1⟩ =

1 0

0 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ rArr S+Sminus | 1⟩ = 0 | 1⟩ (4128)

S+Sminus | 2⟩ =

1 0

0 0

1

0

=

1

0

=| 2⟩ rArr S+Sminus | 2⟩ = 1 | 2⟩ (4129)

Ο τελεστής SminusS+ μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην κάτω στάθμη αϕού

SminusS+ | 1⟩ =

0 0

0 1

0

1

=

0

1

=| 1⟩ rArr SminusS+ | 1⟩ = 1 | 1⟩ (4130)

SminusS+ | 2⟩ =

0 0

0 1

1

0

=

0

0

=| 0⟩ rArr SminusS+ | 2⟩ = 0 | 2⟩ (4131)

Παρατήρηση Συνοπτικά για τους τελεστές S+ και Sminus μπορούμε να αποδείξουμεότι (S+)

dagger = Sminus αλλά και ότι

S+ Sdagger+ = S+ Sminus = S+Sminus + SminusS+ = I

Sminus Sdaggerminus = Sminus S+ = SminusS+ + S+Sminus = I

S+ S+ = Sdaggerminus S

daggerminus = S+S+ + S+S+ = 0

Sminus Sminus = Sdagger+ S

dagger+ = SminusSminus + SminusSminus = 0

(4132)

όπου I είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας 2 times 2 και 0 είναι ο μηδενικός πίνακας2times2 Οι Εξ 4132 δείχνουν ότι οι τελεστές S+ και Sminus υπακούουν στις σχέσεις αντι-μεταθέσεως ϕερμιονίων που αναϕέρουμε στην Υποενότητα 462 της Ενότητας 46Ο S+ είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζει την ενέργειαδημιουργώντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού και η ονομασία τελεστής δημιουρ-γίας (creation operator) Ο Sminus είναι τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator)διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού καιη ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Μπορούμε να έχουμεμόνο ένα ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω διότι τα ηλεκτρόνια είναι ϕερμιόνια

162

Ας θυμηθούμε τώρα τους πίνακες Pauli σx σy σz και ας δούμε τη σχέση τους μετους τελεστές αναβιβάσεως και καταβιβάσεως ηλεκτρονίων S+ και Sminus αντιστοίχως

σx =

0 1

1 0

(4133)

σy =

0 minusi

i 0

(4134)

σz =

1 0

0 minus1

(4135)

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι ισχύει η ιδιότητα

[σx σy] = 2iσz (4136)

καθώς και οι κυκλικές εναλλαγές της Επίσης

σ2x = σ2

y = σ2z =

1 0

0 1

= I (4137)

και

σx σy = σxσy + σyσx = 0 (4138)

σy σz = σyσz + σzσy = 0

σz σx = σzσx + σxσz = 0

δηλαδή οι πίνακες Pauli αντιμετατίθονται Επί παραδείγματι

σx σy = σxσy + σyσx =0 1

1 0

0 minusi

i 0

+

0 minusi

i 0

0 1

1 0

=

i 0

0 minusi

+

minusi 0

0 i

=

0 0

0 0

= 0

Ακόμα μπορούμε να αποδείξουμε ότι

S+ + Sminus = σx

S+ minus Sminus = iσy

163

46 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων καισχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων

461 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων πχ ϕωτονίων

Ας ονομαστεί am ο τελεστής καταστροϕής μποζονίων και adaggerm ο τελεστήςδημιουργίας μποζονίων στην κατάσταση m Για τα μποζόνια ισχύουν οι σχέσειςμεταθέσεως (commutation relations)

[am aℓ] = 0

[adaggerm adaggerℓ] = 0

(4139)

[AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4140)

οπότε όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οι ποσότητεςμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας

462 Σχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων πχ ηλε-κτρονίων

Ας ονομαστεί ai ο τελεστής καταστροϕής ϕερμιονίων και adaggeri ο τελεστής δη-μιουργίας ϕερμιονίων στην κατάσταση i Για τα ϕερμιόνια ισχύουν οι σχέσεις αντι-μεταθέσεως (anticommutation relations)

ai adaggerj = δij

ai aj = 0

adaggeri adaggerj = 0

(4141)

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4142)

οπότε όταν AB = 0rArr AB+BA = 0rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας Αν εϕαρμόσουμετη σχέση adaggeri a

daggerj = 0 για την ίδια κατάσταση πχ i = j = r έχουμε adaggerr adaggerr =

0 rArr adaggerradaggerr = 0 που σημαίνει ότι

δεν μπορούμε να βάλουμε δύο ϕερμιόνια στην ίδια

κατάσταση πράγμα που είναι η απαγορευτική αρχή Pauli

164

47 Τελεστές κλίμακας (Ladder operators) [63]

Στη γραμμική άλγεβρα καθώς και στις εϕαρμογές της στην κβαντική μηχανική ορί-ζεται ο τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ο οποίος αυξάνει την ιδιοτιμή ενόςάλλου τελεστή και ο τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) ο οποίος μειώνειτην ιδιοτιμή ενός άλλου τελεστή Αυτοί συλλογικά ονομάζονται τελεστές κλίμα-κας (ladder operators) Στην κβαντομηχανική ο τελεστής αναβιβάσεως καλείταισυχνά τελεστής δημιουργίας (creation operator) και ο τελεστής καταβιβάσεως κα-λείται συχνά τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Γνωστές εϕαρμογέςτων τελεστών κλίμακας είναι στον απλό αρμονικό ταλαντωτή και στη στροϕορμήΣε πολλές περιοχές της ϕυσικής και της χημείας η χρήση αυτών των τελεστών αντίκυματοσυναρτήσεων είναι γνωστή ως δεύτερη κβάντωση (second quantization) [64]

165

48 Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεωςδισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου

΄Εστω δύο αντίθετα ηλεκτρικά ϕορτία q gt 0 και minusq lt 0 στα σημεία Θ και Α

αντιστοίχως Αν d =minusrarrΑΘ είναι το διάνυσμα θέσεως του θετικού ϕορτίου ως προς το

αρνητικό τότε η ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) ορίζεταιως

P = qd (4143)

πχ για το άτομο του υδρογόνου αν το Π παριστάνει τον πυρήνα και το Η παριστάνει

το ηλεκτρόνιο και ως συνήθως ορίσουμε r =minusrarrΠΗ τότε P = qd = e(minusr)rArr

P = minuser (4144)

Αυτό αποδίδεται άνω τμήμα του Σχήματος 46 Η δυναμική ενέργεια (potential

Σχήμα 46 ΄Ανω Ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) Κάτω (Ηλεκτρική) διπολικήροπή μεταβάσεως (transition (electric) dipole moment)

energy) UE του ηλεκτρικού διπόλου εντός ηλεκτρικού πεδίου E είναι

UE = minusP middot E (4145)

166

Ανάλογος με τον παραπάνω ορισμό μπορεί να δοθεί και για την περίπτωση της με-ταβάσεως ενός τμήματος του ηλεκτρονιακού νέϕους από μία αρχική σε μια τελική πε-ριοχή ΄Ετσι ορίζεται η (ηλεκτρική) διπολική ροπή μεταβάσεως [transition(electric) dipole moment] 1 Αυτό αποδίδεται στο κάτω τμήμα το Σχήματος 46Αν το ϕορτίο που μεταϕέρεται είναι minuse πάλι p = qd = e(minusr)rArr p = minuser Δηλαδήεννοείται ότι για την περιοχή 2 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμεί με μετά-βαση ϕορτίου minuse ενώ για την περιοχή 1 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμείμε μετάβαση ϕορτίου +eΟ τελεστής (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως [transition

(electric) dipole moment operator] σημειώνεται εναλλακτικά με ˆd ή ˆp Στη βάση τωνιδιοκαταστάσεων της ενέργειας του αδιατάρακτου ατόμου ή συστήματος ορίζεται ως

ˆd = ˆp =

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | (4146)

με τους επίσης εναλλακτικούς συμβολισμούς

dij = pij = minuse⟨Φi | ˆr | Φj⟩ (4147)

για το στοιχείο πίνακα της (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως μεταξύ των κα-ταστάσεων | Φi⟩ και | Φj⟩ Υπενθυμίζεται ότι ο τελεστής θέσεως (position operator)ˆr είναι τέτοιος ώστε

ˆr | r⟩ = r | r⟩ (4148)

Υπενθυμίζεται για τον συμβολισμό Dirac ότι

| A⟩ =

α1

α2

hArr ⟨A |= (αlowast1 αlowast

2) (4149)

Υπενθυμίζεται ακόμα ότι

⟨Φi | ˆr | Φj⟩ =sum

|rprime⟩|rprimeprime⟩

⟨Φi | rprime⟩⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩⟨rprimeprime | Φj⟩ =sum|rprime⟩

⟨Φi | rprime⟩ rprime ⟨rprime | Φj⟩

=sum|r⟩

⟨Φi | r⟩ r ⟨r | Φj⟩ =intdV Φi(r)

lowastrΦj(r)

1Η λέξη ῾῾ ηλεκτρική ᾿᾿ είναι εντός παρενθέσεως επειδή συνήθως επειδή εννοείται παραλείπεται

167

διότι⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩ = rprimeprime⟨rprime|rprimeprime⟩ = rprimeprimeδrprimerprimeprime (4150)

΄Αρα

d11 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ1(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4151)

d12 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ2(r) = 0 (4152)

d21 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ1(r) = 0 (4153)

d22 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ2(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4154)

Δηλαδή ενώ τα διαγώνια στοιχεία μηδενίζονται τα d12 και d21 δεν είναι (῾῾ εκ ταυτό-τητος ᾿᾿) μηδέν Ας δούμε τώρα ποιος είναι ο ˆp σε δισταθμικό σύστημα

ˆp = d11 | Φ1⟩⟨Φ1 | + d12 | Φ1⟩⟨Φ2 | + d21 | Φ2⟩⟨Φ1 | + d22 | Φ2⟩⟨Φ2 |

= d11

0

1

(0 1)+ d12

0

1

(1 0)+ d21

1

0

(0 1)+ d22

1

0

(1 0)

= 0 ⋆

d11︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

0 0

0 1

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

+ d12︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 0

1 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ d21︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 1

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ 0 ⋆

d22︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

1 0

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

Από τις Εξ (4152)-(4153) συμπεραίνουμε ότι d12 = d21 με την προϋπόθεση ότι οιΦi(r) είναι πραγματικές οπότε

ˆp = d12

0 1

1 0

(4155)

168

Ερώτηση Και τι κάνει ο τελεστής

0 1

1 0

Απάντηση0 1

1 0

0

1

=

1

0

0 1

1 0

1

0

=

0

1

Δηλαδή μεταϕέρει από τη μία ενεργειακή στάθμη στην άλλη όπως θα έπρεπε

Τώρα μπορεί να οριστεί ο τελεστής δυναμικής ενέργειας (potential e-nergy operator) Θεωρούμε ότι η αλληλεπίδραση δισταθμικού συστήματος - ΗΜπεδίου έχει τη μορϕή μηχανισμού ηλεκτρικού διπόλου Αγνοούμε άλλης μορϕής αλ-ληλεπιδράσεις όπως πχ ηλεκτρικού τετραπόλου ή μαγνητικού διπόλου Αϕού

UE = minusP middot E rArr

UmE = minusP middot Em (4156)

όπου ο δείκτης m δηλώνει τον m τρόπο του ΗΜ πεδίου ο αντίστοιχος τελεστήςμπορεί να οριστεί ως

UmE = minus ˆp middot ˆEm (4157)

Επομένως

UmE = minus

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | middotEmx (z t)i

i είναι το μοναδιαίο άνυσμα του άξονα x αϕού έχουμε υποθέσει αυτόν τον προσανα-τολισμό για το ηλεκτρικό πεδίο (δείτε Σχήμα 42) ΄Η λόγω της Εξ 4155

UmE = minusd12

0 1

1 0

middot Emx (z t)i (4158)

Αλλά

d12 middot i = minuseintdV Φ1(r)

lowast(r middot i)Φ2(r) = minusex12 = Px12 = P (4159)

169

Συνεπώς

UmE = ex12

0 1

1 0

Emx (z t) (4160)

Υπενθυμίζονται οι Εξ 4110 και 4111

Emx (z t) =

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4161)

Bmy (z t) =

(~ωmε0V

) 12 1

ccos(mπz

L

)i(adaggerm minus am) (4162)

από τις οποίες όμως στα πλαίσια των υποθέσεών μας χρειαζόμαστε τώρα μόνον τηνπρώτη Επίσης υπενθυμίζεται ότι

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

(4163)

΄Αρα εν τέλει

UmE = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4164)

Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε

~gm = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(4165)

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4166)

Αυτή είναι λοιπόν η Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συ-στήματος - ΗΜ πεδίου για τον ΗΜ τρόπο m Εάν βρισκόμαστε σταπλαίσια της ατομικής ϕυσικής τότε συμβολίζεται και Hm

AF όπου οι δείκτες σημαίνουνAtom-FieldΑπό την Εξ 4165 προκύπτει

~|gm| = |P |∣∣∣∣ (~ωm

ε0V

) 12

sin(mπz

L

) ∣∣∣∣ = |P| Em0 (4167)

170

όπου όμως το ῾῾ πλάτος ᾿᾿ Em0 εξαρτάται από τη θέση z του ατόμου στην κοιλότητα

είναι δηλαδή Em0 = Em

0 (z) Η |gm| (ή οποία συμβολίζεται και με ΩmR ) είναι η λεγόμενη

συχνότητα Rabi Εάν εννοείται σε ποιον ΗΜ τρόπο m αναϕερόμαστε μπορούμε ναχρησιμοποιήσουμε σκέτο το |g| ή το ΩR ΄Αρα

|gm| ή ΩmR =

|P|Em0

~(4168)

Για να μη γράϕουμε απόλυτα μπορούμε σε κάθε θέση να διαλέγουμε τη ϕάση τωνκυματοσυναρτήσεων τέτοια ώστε το g να είναι θετικό και πραγματικό [65] Συνοπτικά

gm ή ΩmR =

|P|Em0

~(4169)

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Τώρα συμπληρώνεται η εικόνα με την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπί-δραση ενός ΗΜ τρόπου m με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4170)

΄Αρα η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4171)

Επομένως οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩ (4172)

|darr nm⟩ (4173)

171

Ας δούμε λίγο προσεκτικότερα τη Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικούσυστήματος - ΗΜ πεδίου (Εξ 4166) Για έναν μοναδικό τρόπο m η Χαμιλτονιανήαυτή αναλυεται σε τέσσερις όρους

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) =

= ~gmS+adaggerm︸ ︷︷ ︸

1ος

+ S+am︸ ︷︷ ︸2ος

+ Sminusadaggerm︸ ︷︷ ︸

3ος

+ Sminusam︸ ︷︷ ︸4ος

bull 1ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E gt 0 Επόμένως αυτός ο όρος μόνος τουδεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

bull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻︸ ︷︷ ︸

μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολ-λοί τρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτο-νιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται απόάθροισμα όρων όπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημανα απορροϕήσει ένα ϕωτόνιο υψηλής συχνότητας και να ανεβεί ενώ παράλληλαδημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο χαμηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi www≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

simsim≻ ff lt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 2ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο Αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

172

bull 3ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιοΚαι αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικάbull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 4ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο ΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E lt 0 Επόμένως και αυτός ο όροςμόνος του δεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολλοίτρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτονιανή αλλη-λεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται από άθροισμα όρωνόπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημα να απορροϕήσει έναϕωτόνιο χαμηλής συχνότητας και να κατεβεί ενώ παράλληλα δημιουργείται εκπέμ-πεται ϕωτόνιο υψηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

www≻ ff gt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

Αν αγνοήσουμε τον 1ο και 4ο όρο που ο καθένας μόνος του δεν διατηρεί τηνενέργεια τότε

UmE = ~gm

(S+am + Sminusa

daggerm

) (4174)

Η προσέγγιση είναι κατά κάποιο τρόπο ανάλογη της RWA (Rotating Wave Approxi-mation) του Κεϕαλαίου 3 Εκεί στις εξισώσεις Rabi κρατήσαμε μόνο τους αργούςόρους όπου ΗΜ πεδίο και το δισταθμικό σύστημα βρίσκονται σε περίπου συντονισμό

173

δηλαδή Ω ≃ ω Τότε κρατήσαμε τους αργούς όρους eplusmni(Ωminusω)t και αγνοήσαμε τουςγρήγορους όρους eplusmni(Ω+ω)tΣυνοπτικά ενώ για την ολική Χαμιλτονιανή ενός τρόπου m έχουμε την λεγόμενη

Χαμιλτονιανή Rabi

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4175)

κατά την παραπάνω συζήτηση αγνοούμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενουςcounter-rotating terms

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4176)

οπότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66]

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4177)

Στην ΄Ασκηση 1 (παραλείποντας τον δείκτη του ΗΜ τρόπου m απλότητα) βρί-σκουμε (Α) τι κάνουν οι όροι adaggera aadagger S+Sminus SminusS+ S+a

dagger S+a Sminusadagger Sminusa στις κα-

ταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩ και (Β) υπολογίζουμε τα ⟨adaggera⟩ ⟨aadagger⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨SminusS+⟩⟨S+a

dagger⟩ ⟨S+a⟩ ⟨Sminusadagger⟩ ⟨Sminusa⟩ για τις καταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩

174

49 Σύνοψη Χαμιλτονιανών

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Ακόμα είδαμε την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπίδραση ενός ΗΜ τρόπουm με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

Οπότε η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί (Εξ 4171)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

και οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩|darr nm⟩

Ακόμα αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενους counter-rotatingterms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam)

τότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66] (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm)

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

148

bull Ας λύσουμε αρχικά την Εξ 438 δοκιμάζοντας λύσεις της μορϕής eλz οπότεπροκύπτει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο

λ2 + k2 = 0rArr λ2 = minusk2 rArr λ = plusmnik πχ ας διαλέξουμε k isin real+

΄Αρα ουσιαστικά η λύση θα είναι της μορϕής

Z(z) = Aeikz +Beminusikz (440)

Z(0) = 0 συνοριακή συνθήκη 1 (441)

Z(L) = 0 συνοριακή συνθήκη 2 (442)

όπου λάβαμε υπ΄ όψιν τις συνοριακές συνθήκες 437 Από τις Εξ 440 και 441συνεπάγεται ότι A+B = 0rArr B = minusA οπότε η Εξ 440 γίνεται

Z(z) = Aeikz minus Aeminusikz = 2iA sin(kz) (443)

και εϕαρμόζοντας την Εξ 442

sin(kL) = 0rArr kL = mπm isin Z (444)

Δεδομένου όμως ότι διαλέξαμε παραπάνω k isin real+ θα πρέπει m isin N και για μημηδενική λύση θα πρέπει m isin N lowast οπότε k isin reallowast

+ Συνοπτικά το k εξαρτάται απόένα ϕυσικό μη μηδενικό δείκτη δηλαδή

km =mπ

Lm isin N lowast (445)

Αρα Zm(z) = 2Ai sin

(mπz

L

)Κι αν απαιτήσουμε οι Zm να είναι ορθοκανονικές

int L

0

dzZlowastm(z)Zl(z) = δml

rArr

rArrint L

0

dz | 2iA |2 sin(mπz

L

)sin

(lπz

L

)= δml rArr

int π

0

L

πdψ | 2iA |2 sin(mψ) sin(lψ) = δml

όπου ορίσαμε ψ = πzL οπότε dψ = π

Ldz Τότε

L

π4 | A |2

int π

0

dψ sin(mψ) sin(lψ) = δml

149

Αλλά int π

0

dψ sin(mψ) sin(lψ) =π

2δml (446)

ενώ ισχύει επίσης int π

0

dψ cos(mψ) cos(lψ) =π

2δml (447)

ΕπομένωςL

π4 | A |2 π

2δml = δml rArr| A |2=

1

2L

Ας διαλέξουμε κάτι βολικό πχ A =1radic2L

(minusi)

Συνεπώς

Zm(z) =

radic2

Lsin

(mπz

L

)(448)

bull Στη συνέχεια ας λύσουμε την Εξ 439 Ας ορίσουμε

ω = kc gt 0 (449)

οπότε ω2 = k2c2 Χρησιμοποιώντας την Εξ 445

ωm =mπc

Lm isin N lowast (450)

Δοκιμάζοντας λύσεις της μορϕής eλt προκύπτει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο

λ2 + ω2m = 0rArr λ = plusmniωm ωm isin reallowast

+ (451)

΄Αρα ουσιαστικά η λύση θα είναι της μορϕής

T (t) = Γeiωmt +∆eminusiωmt (452)

Κι αν θέσουμε την αρχική συνθήκη

T (0) = 0 (453)

προκύπτει Γ +∆ = 0rArr ∆ = minusΓ οπότε

T (t) = Γeiωmt minus Γeminusiωmt = 2iΓ sin(ωmt)rArr (454)

150

Tm(t) = 2iΓ sin

(mπc

Lt

)(455)

Κι αν απαιτήσουμε οι Tm να είναι ορθοκανονικές δηλαδήint κάτι0

dtT lowastm(t)Tl(t) = δml rArr

int κάτι0

dt | 2iΓ |2 sin(mπct

L

)sin

(lπct

L

)= δml rArr

rArr 4 | Γ |2int κάτι0

dt sin

(mπct

L

)sin

(lπct

L

)= δml

Θέτοντας χ = πctL οπότε dχ = πc

Ldt καταλήγουμε στη σχέση

4 | Γ |2 L

πc

int πcLmiddotκάτι

0

dχ sin(mχ) sin(lχ) = δml (456)

΄Αρα έχοντας υπ΄ όψη την Εξ 446 είναι βολικό να θέσουμε πcLmiddot κάτι = π rArr

κάτι =L

c= τ (457)

΄Ετσι ορισμένο το τ είναι ο χρόνος πτήσεως του ϕωτονίου διαμέσου της κοιλότητας(time of photon flight through cavity) άρα δεν ήταν παράλογο που το θέσαμε έτσιΣυνεπώς εν τέλει η ορθοκανονικοποίηση είναιint τ

0

dtT lowastm(t)Tl(t) = δml (458)

Τελικά έχουμε

4 | Γ |2 L

πc

int π

0

dχ sin(mχ) sin(lχ) = δml rArr| Γ |=radic

c

2L

Κι αν διαλέξουμε κάτι βολικό πχ Γ = (minusi)radic

c2L τελικά έχουμε

Tm(t) =

radic2c

Lsin

(mπc

Lt

)(459)

΄Αρα συνοψίζοντας με τη βοήθεια των Εξ 436 448 459 καταλήγουμε στην

Emx (z t) =

2radicc

LN sin

(mπz

L

)sin

(mπct

L

)(460)

151

΄Οσον αϕορά τις μονάδες θα πρέπει [2radicc

LN ] = V

m= N

CrArr

[N ] =Vradicms

(461)

Για να προσδιορίσουμε το μαγνητικό πεδίο θα χρησιμοποιήσουμε την Εξ 435 σεσυνδυασμό με την Εξ 460 οπότε προκύπτει

partBmy

partz= minus 1

c22radicc

LN sin

(mπzL

) mπcL

cos

(mπct

L

)rArr (462)

int zprime

0

dzpartBm

y

partz= minus 2mπradic

cL2N cos

(mπct

L

)int zprime

0

dz sin(mπz

L

)rArr (463)

Bmy (z

prime t)minusBmy (0 t) = minus

2mπradiccL2N cos

(mπct

L

)L

mπ

[minus cos

(mπzL

)]zprime0

rArr (464)

Bmy (z

prime t)minusBmy (0 t) =

2NradiccL

cos

(mπct

L

)[cos

(mπzprime

L

)minus1cos 0

] (465)

΄Αρα ορίζοντας κατάλληλα την τιμή του Bmy (0 t) προκύπτει

Bmy (z t) =

2NradiccL

cos(mπz

L

)cos

(mπct

L

)(466)

Για την πυκνότητα ενέργειας ισχύει

U =ϵ02E2 +

1

2micro0

B2 =ϵ02[E2 + c2B2] (467)

Σημειώνουμε ότι οι μονάδες για την πυκνότητα ενέργειας είναι [U ] = Jm3 Για πα-

ράδειγμα [ ϵ02E2] = F

mV2

m2 = CV2

Vm3 = Jm3 και [ B

2

2micro0] = T2A

Tm= TA

m= N

m2 = Nmm3 = J

m3 πχ λόγω των γνωστών σχέσεωνB = micro0H F = BIl και c2 = 1

ϵ0micro0 ΄Αρα από τις

Εξ 460 466 467 βρίσκουμε την πυκνότητα ενέργειας του m τρόπου

Um =ϵ02

4cN 2

L2

[sin2

(mπzL

)sin2

(mπct

L

)+ cos2

(mπzL

)cos2

(mπct

L

)] (468)

΄Αρα η ενέργεια του m τρόπου η οποία υπολογίζεται ολοκληρώνοντας την πυ-κνότητα ενέργειας του m τρόπου στην κοιλότητα όγκου V = LS

Εm =

intV=LS

d3r Um (469)

152

είναι

Εm =2ϵ0cN 2S

L2

[sin2

(mπct

L

)int L

0

dz sin2(mπz

L

)+ cos2

(mπct

L

)int L

0

dz cos2(mπz

L

)]

Θέτουμε ψ = πzLrArr dψ = π

Ldz άρα με τη βοήθεια των Εξ 446-447 τα ολοκληρώ-

ματα στο z γίνονται Lπ

int π0dψ sin2(mψ) = L

ππ2= L

2και L

π

int π0dψ cos2(mψ) = L

ππ2= L

2

Αντικαθιστούμε στην παραπάνω εξίσωση και τελικά έχοντας ακολουθήσει αυτή τηνκλασική προσέγγιση έχουμε

Εm =ϵ0cN 2S

L

[sin2

(mπct

L

)+ cos2

(mπct

L

)]=ϵ0cN 2S

L(470)

Ας δούμε τώρα λίγο αλλιώτικα την Εm

Εm =ϵ0cN 2S

L3

[L2 sin2

(mπct

L

)+ L2 cos2

(mπct

L

)] (471)

ορίζοντας ῾῾ γενικευμένη θέση και ταχύτητα ᾿᾿ Καλούμε λοιπόν ῾῾ γενικευμένη θέση ᾿᾿

qm(t) = L sin

(mπct

L

)(472)

και ῾῾ γενικευμένη ταχύτητα ᾿᾿

˙qm(t) = mπc cos

(mπct

L

)(473)

ούτως ώστε [qm(t)] = m και [ ˙qm(t)] = ms Τότε η Εξ 471 γράϕεται

Εm =ϵ0cN 2S

L3

[(qm(t))

2 +L2

m2π2c2( ˙qm(t))

2

] (474)

Θα μπορούσαμε εδώ να θεωρήσουμε μια αναλογία της Εξ 474 με Απλό ΑρμονικόΤαλαντωτή (ΑΑΤ) του οποίου η ενέργεια θα ήταν

Ε =K

2x2 +

M

2v2 =

K

2[x2 +

M

Kv2] (475)

Επομένωςϵ0cN 2S

L3=K

2 (476)

153

L2

m2π2c2=M

K (477)

Δηλαδή προκύπτει η ῾῾ σταθερά ελατηρίου ᾿᾿

K =2ϵ0cN 2S

L3 (478)

και η ῾῾ μάζα ᾿᾿ (η οποία σημειωτέο εξαρτάται από το m είναι δηλαδή διαϕορετική γιακάθε τρόπο του ΗΜ πεδίου m)

Mm =2ϵ0N 2S

cLm2π2 (479)

Μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι η Mm έχει διαστάσεις μάζας (θα χρειαστείκαι η Εξ 461) και πως ισχύει K = Mmω

2m ΄Αρα κλασικά υπάρχει μία τυπική

ομοιότητα με ΑΑΤ με κυκλική συχνότητα ωm (Εξ 450) και ῾῾ μάζα ᾿᾿ Mm (Εξ 479)δηλαδή η Εξ 471 ή 474 γράϕεται

Εm =Mmω

2m

2q2m +

Mm

2q2m (480)

Μπορούμε επομένως να πούμε ότι το κβαντικό αντίστοιχο για ένα τρόπο ΗΜπεδίου m δηλαδή η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m θα είναι

HΗΜ m =Mmω

2m

2q2m +

Mm

2˙q2m (481)

με ιδιοτιμές ενέργειας

Emnm = ~ωm(nm +1

2) (482)

όπου ο δείκτης m isin N lowast αϕορά τον τρόπο του ΗΜ πεδίου και ο δείκτης nm isin Nαϕορά τον αριθμό των ϕωτονίων στον τρόπο m Συνεπώς η Χαμιλτονιανή για όλουςτους τρόπους του ΗΜ πεδίου θα είναι

HΗΜ =summ

HΗΜ m (483)

Κατόπιν σημειώνουμε ότι από τις Εξ 460 και 472 συνεπάγεται ότι

Emx (z t) =

2radicc

L2N sin

(mπzL

)qm(t) (484)

154

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Emx (z t) =

2radicc

L2N sin

(mπzL

)qm(t) (485)

Επίσης από τις Εξ 466 και 473 συνεπάγεται ότι

Bmy (z t) =

2NLradicc

1

mπccos(mπz

L

)qm(t) (486)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Bmy (z t) =

2NLradicc

1

mπccos(mπz

L

)ˆqm(t) (487)

Από τις ΄Εξ 484 479 και 450 προκύπτει

Emx (z t) =

(2Mmωm

2

ϵ0V

)12

sin(mπz

L

)qm(t) (488)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Emx (z t) =

(2Mmωm

2

ϵ0V

)12

sin(mπz

L

)qm(t) (489)

Από τις ΄Εξ 486 479 και 450 προκύπτει

Bmy (z t) =

1

c

(2Mm

ϵ0V

)12

cos(mπz

L

)qm(t) (490)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Bmy (z t) =

1

c

(2Mm

ϵ0V

)12

cos(mπz

L

)ˆqm(t) (491)

Τέλος από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει όπως αναμενόταν [Ex

By] = [c]

155

44 Χαμιλτονιανή ΗΜ πεδίου με τελεστέςκαταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίων

Ας μιλήσουμε τώρα για τελεστές καταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίων (photoncreation and annihilation operators) Είναι τώρα εύκολο να κβαντωθεί η Χαμιλτο-νιανή που περιγράϕει το ΗΜ πεδίο αρκεί να εϕαρμοστεί η αντιστοιχία τελεστών

qm = qm (492)

pm = minusi~ part

partqm(493)

Εισάγουμε τους τελεστές

am =1radic

2Mm~ωm(Mmωmqm + ipm) ῾῾ καταστροϕής ᾿᾿ (494)

adaggerm =1radic

2Mm~ωm(Mmωmqm minus ipm) ῾῾ δημιουργίας ᾿᾿ (495)

Ισχύουν οι ιδιότητες[am a

daggerm]︸ ︷︷ ︸

μεταθέτης

= amadaggerm minus adaggermam = 1 (496)

[qm pm]︸ ︷︷ ︸μεταθέτης

= i~ (497)

΄Ετσι οι τελεστές qm pm μπορούν τώρα να γραϕούν

qm =

(~

2Mmωm

)12

(adaggerm + am) (498)

pm = i

(Mm~ωm

2

)12

(adaggerm minus am) (499)

Συνεπώς η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m είναι

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)(4100)

Ας συμβολίσουμε με |nm⟩ την κατάσταση του ΗΜ πεδίου με nm αριθμό ϕωτονίωνστον ΗΜ τρόπο m Λέμε ότι είναι μια ῾῾ κατάσταση ϕωτονικών αριθμών ᾿᾿ Τα |nm⟩αποτελούν ένα πλήρες σύστημα δηλαδή ισχύει ⟨nm|lm⟩ = δnl

156

Οι τελεστές adaggerm και am έχουν τις ιδιότητες

adaggerm |nm⟩ =radicnm + 1 |nm + 1⟩ (4101)

am |nm⟩ =radicnm |nm minus 1⟩ (4102)

am |0⟩ = |0⟩ (4103)

Από τις Εξ 4101 και 4102 προκύπτει

adaggermam |nm⟩ = nm |nm⟩ (4104)

δηλαδή ο τελεστής Nm = adaggermam μετρά τον αριθμό των ϕωτονίων του ΗΜ τρόπου mοπότε μπορεί να αποκληθεί τελεστής του αριθμού των ϕωτονίων στον ΗΜ τρόπο mΑκόμα επαγωγικά προκύπτει

|nm⟩ =1radicnm

(adaggerm)nm |0⟩ (4105)

Λόγω των Εξ 4100 και 4104 προκύπτει

HΗΜ m |nm⟩ = ~ωm(nm +1

2) |nm⟩ (4106)

δηλαδή η Χαμιλτονιανή HΗΜ m δίνει ιδιοτιμές ενέργειας

Emnm = ~ωm(nm +1

2) (4107)

Η θεμελιώδης κατάσταση του ΑΑΤ |0⟩ με ιδιοενέργεια 12~ωm αντιστοιχεί στο κενό

δηλαδή χωρίς σωμάτιο η 1η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |1⟩ με ιδιοενέργεια 32~ωm

αντιστοιχεί σε ένα σωμάτιο η 2η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |2⟩ με ιδιοενέργεια52~ωm αντιστοιχεί σε δύο σωμάτια κοκ Αυτά τα σωμάτια εν προκειμένω τα λέμεϕωτόνια Δημιουργούνται και καταστρέϕονται με τους τελεστές αναβιβάσεως καικαταβιβάσεως ξεκινώντας από ένα επίπεδο αναϕοράς που εδώ είναι το κενό Υπακού-ουν στις μποζονικές σχέσεις μεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράστασηείναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση (second quantization)Η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)= ~ωm

(Nm +

1

2

) (4108)

157

αγνοώντας τον όρο ~ωm

2 μπορεί να γραϕτεί

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm (4109)

Μπορούμε να έχουμε οσαδήποτε ϕωτόνια στην ενεργειακή κατάσταση ~ωm διότι εί-ναι μποζόνια Ο adaggerm είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζειτην ενέργεια δημιουργώντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωm εξ ού και η ονομασία τελε-στής δημιουργίας (creation operator) Ο am είναι τελεστής καταβιβάσεως (loweringoperator) διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωmεξ ού και η ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator)

Σχήμα 45 Σωμάτια (εδώ ϕωτόνια απεικονίζονται με πράσινες βούλες) δημιουργούνται και κατα-στρέϕονται μέσω των τελεστών αναβιβάσεως και καταβιβάσεως Υπακούουν στις μποζονικές σχέσειςμεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράσταση είναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση(second quantization) Ο αριθμός των ϕωτονίων είναι ίσος με τον αριθμό των κόμβων της ιδιοσυ-ναρτήσεως

Τέλος ας σημειώσουμε ότι από τις Εξ 489 και 498 προκύπτει

Emx (z t) =

(~ωmϵ0V

)12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4110)

ενώ από τις Εξ 491 και 499 προκύπτει

Bmy (z t) =

i

c

(~ωmϵ0V

)12

cos(mπz

L

)(adaggerm minus am) (4111)

158

45 Χαμιλτονιανή δισταθμικού συστήματοςμε σπίνορες

Θα περιγράψουμε την αναβίβαση και την καταβίβαση ενός ηλεκτρονίου μεταξύ τωνενεργειακών σταθμών ενός δισταθμικού συστήματος πχ ενός ατόμου με τη βοήθειασπινόρων (spinors) Σπίνορας είναι ένα διάνυσμα - στήλη με δύο συνιστώσες Αςαρχίσουμε με ορισμούς (πχ [62])

| ⟩ =

=

0

0

=| 0⟩ |darr⟩ =

bull

=

0

1

=| 1⟩ |uarr⟩ =

bull

=

1

0

=| 2⟩

(4112)Το πρώτο παριστά το άδειο δισταθμικό σύστημα το δεύτερο δηλώνει το δισταθμικόσύστημα με το ηλεκτρόνιο στην κάτω στάθμη όπου έχει ενέργεια E1 και το τρίτο δη-λώνει το δισταθμικό σύστημα με το ηλεκτρόνιο στην άνω στάθμη όπου έχει ενέργειαE2 Ας ορίσουμε τώρα τους τελεστές

S+ =

0 1

0 0

Sminus =

0 0

1 0

(4113)

για τους οποίους μάλιστα ισχύει Sdagger+ =

0 1

0 0

dagger

=

0 0

1 0

= Sminus Ας δούμε ποιό

είναι το αποτέλεσμα της δράσεώς τους στους σπίνορες που ορίσαμε μόλις προ ολίγου

S+ | 0⟩ =

0 1

0 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

S+ |darr⟩ =

0 1

0 0

0

1

=

1

0

=|uarr⟩ το ανεβάζει

S+ |uarr⟩ =

0 1

0 0

1

0

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

(4114)

159

Sminus | 0⟩ =

0 0

1 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

Sminus |darr⟩ =

0 0

1 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

Sminus |uarr⟩ =

0 0

1 0

1

0

=

0

1

=|darr⟩ το κατεβάζει

(4115)

΄Ετσι ο S+ ονομάζεται τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ενώ ο Sminus ονομάζε-ται τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) του ηλεκτρονίου Ας δούμε μερικέςακόμα ιδιότητες

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

= σx (4116)

που είναι ένας από τους πίνακες Pauli που παρατίθονται λίγο παρακάτω (Εξ 4133)Ακόμα

S+Sminus =

0 1

0 0

0 0

1 0

=

1 0

0 0

(4117)

SminusS+ =

0 0

1 0

0 1

0 0

=

0 0

0 1

(4118)

΄Αρα από τις Εξ 4117-4118 συνεπάγεται ότι

S+Sminus + SminusS+ =

1 0

0 1

= I (4119)

που είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας Μπορούμε να το γράψουμε και στη μορϕή

S+ Sminus = I (4120)

160

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4121)

ενώ [AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4122)

΄Οταν AB = 0 rArr AB + BA = 0 rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται ενώ όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οιποσότητες μετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση των ονομασίων ΄Οπωςθα δούμε παρακάτω η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσειςαντιμεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ηλεκτρόνια που είναι ϕερμιόνια ενώ ο με-ταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσεις μεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ϕωτόνιαπου είναι μποζόνια Συχνά στα ελληνικά συγγράμματα της δευτεροβάθμιας εκπαί-δευσης πολύ κακώς εδώ και δεκαετίες ονομάζεται ῾῾ αντιμεταθετική ᾿᾿ η μεταθετική(commutative) ιδιότητα χαθήκαμε δηλαδή στη μετάϕρασηΗ Χαμιλτονιανή του Δισταθμικού Συστήματος HΔΣ είναι η

E2S+Sminus + E1SminusS+ = E2

1 0

0 0

+ E1

0 0

0 1

=

E2 0

0 E1

(4123)

αϕού E2 0

0 E1

1

0

=

E2

0

= E2

1

0

(4124)

E2 0

0 E1

0

1

=

0

E1

= E1

0

1

(4125)

΄Αρα συνοπτικά δείξαμε ότι

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+ (4126)

Αν τώρα θέσουμε E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) οπότε

HΔΣ = ~ΩS+Sminus (4127)

161

Ο τελεστής S+Sminus μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη αϕού

S+Sminus | 1⟩ =

1 0

0 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ rArr S+Sminus | 1⟩ = 0 | 1⟩ (4128)

S+Sminus | 2⟩ =

1 0

0 0

1

0

=

1

0

=| 2⟩ rArr S+Sminus | 2⟩ = 1 | 2⟩ (4129)

Ο τελεστής SminusS+ μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην κάτω στάθμη αϕού

SminusS+ | 1⟩ =

0 0

0 1

0

1

=

0

1

=| 1⟩ rArr SminusS+ | 1⟩ = 1 | 1⟩ (4130)

SminusS+ | 2⟩ =

0 0

0 1

1

0

=

0

0

=| 0⟩ rArr SminusS+ | 2⟩ = 0 | 2⟩ (4131)

Παρατήρηση Συνοπτικά για τους τελεστές S+ και Sminus μπορούμε να αποδείξουμεότι (S+)

dagger = Sminus αλλά και ότι

S+ Sdagger+ = S+ Sminus = S+Sminus + SminusS+ = I

Sminus Sdaggerminus = Sminus S+ = SminusS+ + S+Sminus = I

S+ S+ = Sdaggerminus S

daggerminus = S+S+ + S+S+ = 0

Sminus Sminus = Sdagger+ S

dagger+ = SminusSminus + SminusSminus = 0

(4132)

όπου I είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας 2 times 2 και 0 είναι ο μηδενικός πίνακας2times2 Οι Εξ 4132 δείχνουν ότι οι τελεστές S+ και Sminus υπακούουν στις σχέσεις αντι-μεταθέσεως ϕερμιονίων που αναϕέρουμε στην Υποενότητα 462 της Ενότητας 46Ο S+ είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζει την ενέργειαδημιουργώντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού και η ονομασία τελεστής δημιουρ-γίας (creation operator) Ο Sminus είναι τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator)διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού καιη ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Μπορούμε να έχουμεμόνο ένα ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω διότι τα ηλεκτρόνια είναι ϕερμιόνια

162

Ας θυμηθούμε τώρα τους πίνακες Pauli σx σy σz και ας δούμε τη σχέση τους μετους τελεστές αναβιβάσεως και καταβιβάσεως ηλεκτρονίων S+ και Sminus αντιστοίχως

σx =

0 1

1 0

(4133)

σy =

0 minusi

i 0

(4134)

σz =

1 0

0 minus1

(4135)

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι ισχύει η ιδιότητα

[σx σy] = 2iσz (4136)

καθώς και οι κυκλικές εναλλαγές της Επίσης

σ2x = σ2

y = σ2z =

1 0

0 1

= I (4137)

και

σx σy = σxσy + σyσx = 0 (4138)

σy σz = σyσz + σzσy = 0

σz σx = σzσx + σxσz = 0

δηλαδή οι πίνακες Pauli αντιμετατίθονται Επί παραδείγματι

σx σy = σxσy + σyσx =0 1

1 0

0 minusi

i 0

+

0 minusi

i 0

0 1

1 0

=

i 0

0 minusi

+

minusi 0

0 i

=

0 0

0 0

= 0

Ακόμα μπορούμε να αποδείξουμε ότι

S+ + Sminus = σx

S+ minus Sminus = iσy

163

46 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων καισχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων

461 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων πχ ϕωτονίων

Ας ονομαστεί am ο τελεστής καταστροϕής μποζονίων και adaggerm ο τελεστήςδημιουργίας μποζονίων στην κατάσταση m Για τα μποζόνια ισχύουν οι σχέσειςμεταθέσεως (commutation relations)

[am aℓ] = 0

[adaggerm adaggerℓ] = 0

(4139)

[AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4140)

οπότε όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οι ποσότητεςμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας

462 Σχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων πχ ηλε-κτρονίων

Ας ονομαστεί ai ο τελεστής καταστροϕής ϕερμιονίων και adaggeri ο τελεστής δη-μιουργίας ϕερμιονίων στην κατάσταση i Για τα ϕερμιόνια ισχύουν οι σχέσεις αντι-μεταθέσεως (anticommutation relations)

ai adaggerj = δij

ai aj = 0

adaggeri adaggerj = 0

(4141)

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4142)

οπότε όταν AB = 0rArr AB+BA = 0rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας Αν εϕαρμόσουμετη σχέση adaggeri a

daggerj = 0 για την ίδια κατάσταση πχ i = j = r έχουμε adaggerr adaggerr =

0 rArr adaggerradaggerr = 0 που σημαίνει ότι

δεν μπορούμε να βάλουμε δύο ϕερμιόνια στην ίδια

κατάσταση πράγμα που είναι η απαγορευτική αρχή Pauli

164

47 Τελεστές κλίμακας (Ladder operators) [63]

Στη γραμμική άλγεβρα καθώς και στις εϕαρμογές της στην κβαντική μηχανική ορί-ζεται ο τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ο οποίος αυξάνει την ιδιοτιμή ενόςάλλου τελεστή και ο τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) ο οποίος μειώνειτην ιδιοτιμή ενός άλλου τελεστή Αυτοί συλλογικά ονομάζονται τελεστές κλίμα-κας (ladder operators) Στην κβαντομηχανική ο τελεστής αναβιβάσεως καλείταισυχνά τελεστής δημιουργίας (creation operator) και ο τελεστής καταβιβάσεως κα-λείται συχνά τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Γνωστές εϕαρμογέςτων τελεστών κλίμακας είναι στον απλό αρμονικό ταλαντωτή και στη στροϕορμήΣε πολλές περιοχές της ϕυσικής και της χημείας η χρήση αυτών των τελεστών αντίκυματοσυναρτήσεων είναι γνωστή ως δεύτερη κβάντωση (second quantization) [64]

165

48 Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεωςδισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου

΄Εστω δύο αντίθετα ηλεκτρικά ϕορτία q gt 0 και minusq lt 0 στα σημεία Θ και Α

αντιστοίχως Αν d =minusrarrΑΘ είναι το διάνυσμα θέσεως του θετικού ϕορτίου ως προς το

αρνητικό τότε η ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) ορίζεταιως

P = qd (4143)

πχ για το άτομο του υδρογόνου αν το Π παριστάνει τον πυρήνα και το Η παριστάνει

το ηλεκτρόνιο και ως συνήθως ορίσουμε r =minusrarrΠΗ τότε P = qd = e(minusr)rArr

P = minuser (4144)

Αυτό αποδίδεται άνω τμήμα του Σχήματος 46 Η δυναμική ενέργεια (potential

Σχήμα 46 ΄Ανω Ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) Κάτω (Ηλεκτρική) διπολικήροπή μεταβάσεως (transition (electric) dipole moment)

energy) UE του ηλεκτρικού διπόλου εντός ηλεκτρικού πεδίου E είναι

UE = minusP middot E (4145)

166

Ανάλογος με τον παραπάνω ορισμό μπορεί να δοθεί και για την περίπτωση της με-ταβάσεως ενός τμήματος του ηλεκτρονιακού νέϕους από μία αρχική σε μια τελική πε-ριοχή ΄Ετσι ορίζεται η (ηλεκτρική) διπολική ροπή μεταβάσεως [transition(electric) dipole moment] 1 Αυτό αποδίδεται στο κάτω τμήμα το Σχήματος 46Αν το ϕορτίο που μεταϕέρεται είναι minuse πάλι p = qd = e(minusr)rArr p = minuser Δηλαδήεννοείται ότι για την περιοχή 2 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμεί με μετά-βαση ϕορτίου minuse ενώ για την περιοχή 1 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμείμε μετάβαση ϕορτίου +eΟ τελεστής (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως [transition

(electric) dipole moment operator] σημειώνεται εναλλακτικά με ˆd ή ˆp Στη βάση τωνιδιοκαταστάσεων της ενέργειας του αδιατάρακτου ατόμου ή συστήματος ορίζεται ως

ˆd = ˆp =

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | (4146)

με τους επίσης εναλλακτικούς συμβολισμούς

dij = pij = minuse⟨Φi | ˆr | Φj⟩ (4147)

για το στοιχείο πίνακα της (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως μεταξύ των κα-ταστάσεων | Φi⟩ και | Φj⟩ Υπενθυμίζεται ότι ο τελεστής θέσεως (position operator)ˆr είναι τέτοιος ώστε

ˆr | r⟩ = r | r⟩ (4148)

Υπενθυμίζεται για τον συμβολισμό Dirac ότι

| A⟩ =

α1

α2

hArr ⟨A |= (αlowast1 αlowast

2) (4149)

Υπενθυμίζεται ακόμα ότι

⟨Φi | ˆr | Φj⟩ =sum

|rprime⟩|rprimeprime⟩

⟨Φi | rprime⟩⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩⟨rprimeprime | Φj⟩ =sum|rprime⟩

⟨Φi | rprime⟩ rprime ⟨rprime | Φj⟩

=sum|r⟩

⟨Φi | r⟩ r ⟨r | Φj⟩ =intdV Φi(r)

lowastrΦj(r)

1Η λέξη ῾῾ ηλεκτρική ᾿᾿ είναι εντός παρενθέσεως επειδή συνήθως επειδή εννοείται παραλείπεται

167

διότι⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩ = rprimeprime⟨rprime|rprimeprime⟩ = rprimeprimeδrprimerprimeprime (4150)

΄Αρα

d11 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ1(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4151)

d12 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ2(r) = 0 (4152)

d21 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ1(r) = 0 (4153)

d22 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ2(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4154)

Δηλαδή ενώ τα διαγώνια στοιχεία μηδενίζονται τα d12 και d21 δεν είναι (῾῾ εκ ταυτό-τητος ᾿᾿) μηδέν Ας δούμε τώρα ποιος είναι ο ˆp σε δισταθμικό σύστημα

ˆp = d11 | Φ1⟩⟨Φ1 | + d12 | Φ1⟩⟨Φ2 | + d21 | Φ2⟩⟨Φ1 | + d22 | Φ2⟩⟨Φ2 |

= d11

0

1

(0 1)+ d12

0

1

(1 0)+ d21

1

0

(0 1)+ d22

1

0

(1 0)

= 0 ⋆

d11︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

0 0

0 1

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

+ d12︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 0

1 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ d21︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 1

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ 0 ⋆

d22︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

1 0

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

Από τις Εξ (4152)-(4153) συμπεραίνουμε ότι d12 = d21 με την προϋπόθεση ότι οιΦi(r) είναι πραγματικές οπότε

ˆp = d12

0 1

1 0

(4155)

168

Ερώτηση Και τι κάνει ο τελεστής

0 1

1 0

Απάντηση0 1

1 0

0

1

=

1

0

0 1

1 0

1

0

=

0

1

Δηλαδή μεταϕέρει από τη μία ενεργειακή στάθμη στην άλλη όπως θα έπρεπε

Τώρα μπορεί να οριστεί ο τελεστής δυναμικής ενέργειας (potential e-nergy operator) Θεωρούμε ότι η αλληλεπίδραση δισταθμικού συστήματος - ΗΜπεδίου έχει τη μορϕή μηχανισμού ηλεκτρικού διπόλου Αγνοούμε άλλης μορϕής αλ-ληλεπιδράσεις όπως πχ ηλεκτρικού τετραπόλου ή μαγνητικού διπόλου Αϕού

UE = minusP middot E rArr

UmE = minusP middot Em (4156)

όπου ο δείκτης m δηλώνει τον m τρόπο του ΗΜ πεδίου ο αντίστοιχος τελεστήςμπορεί να οριστεί ως

UmE = minus ˆp middot ˆEm (4157)

Επομένως

UmE = minus

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | middotEmx (z t)i

i είναι το μοναδιαίο άνυσμα του άξονα x αϕού έχουμε υποθέσει αυτόν τον προσανα-τολισμό για το ηλεκτρικό πεδίο (δείτε Σχήμα 42) ΄Η λόγω της Εξ 4155

UmE = minusd12

0 1

1 0

middot Emx (z t)i (4158)

Αλλά

d12 middot i = minuseintdV Φ1(r)

lowast(r middot i)Φ2(r) = minusex12 = Px12 = P (4159)

169

Συνεπώς

UmE = ex12

0 1

1 0

Emx (z t) (4160)

Υπενθυμίζονται οι Εξ 4110 και 4111

Emx (z t) =

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4161)

Bmy (z t) =

(~ωmε0V

) 12 1

ccos(mπz

L

)i(adaggerm minus am) (4162)

από τις οποίες όμως στα πλαίσια των υποθέσεών μας χρειαζόμαστε τώρα μόνον τηνπρώτη Επίσης υπενθυμίζεται ότι

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

(4163)

΄Αρα εν τέλει

UmE = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4164)

Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε

~gm = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(4165)

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4166)

Αυτή είναι λοιπόν η Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συ-στήματος - ΗΜ πεδίου για τον ΗΜ τρόπο m Εάν βρισκόμαστε σταπλαίσια της ατομικής ϕυσικής τότε συμβολίζεται και Hm

AF όπου οι δείκτες σημαίνουνAtom-FieldΑπό την Εξ 4165 προκύπτει

~|gm| = |P |∣∣∣∣ (~ωm

ε0V

) 12

sin(mπz

L

) ∣∣∣∣ = |P| Em0 (4167)

170

όπου όμως το ῾῾ πλάτος ᾿᾿ Em0 εξαρτάται από τη θέση z του ατόμου στην κοιλότητα

είναι δηλαδή Em0 = Em

0 (z) Η |gm| (ή οποία συμβολίζεται και με ΩmR ) είναι η λεγόμενη

συχνότητα Rabi Εάν εννοείται σε ποιον ΗΜ τρόπο m αναϕερόμαστε μπορούμε ναχρησιμοποιήσουμε σκέτο το |g| ή το ΩR ΄Αρα

|gm| ή ΩmR =

|P|Em0

~(4168)

Για να μη γράϕουμε απόλυτα μπορούμε σε κάθε θέση να διαλέγουμε τη ϕάση τωνκυματοσυναρτήσεων τέτοια ώστε το g να είναι θετικό και πραγματικό [65] Συνοπτικά

gm ή ΩmR =

|P|Em0

~(4169)

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Τώρα συμπληρώνεται η εικόνα με την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπί-δραση ενός ΗΜ τρόπου m με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4170)

΄Αρα η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4171)

Επομένως οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩ (4172)

|darr nm⟩ (4173)

171

Ας δούμε λίγο προσεκτικότερα τη Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικούσυστήματος - ΗΜ πεδίου (Εξ 4166) Για έναν μοναδικό τρόπο m η Χαμιλτονιανήαυτή αναλυεται σε τέσσερις όρους

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) =

= ~gmS+adaggerm︸ ︷︷ ︸

1ος

+ S+am︸ ︷︷ ︸2ος

+ Sminusadaggerm︸ ︷︷ ︸

3ος

+ Sminusam︸ ︷︷ ︸4ος

bull 1ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E gt 0 Επόμένως αυτός ο όρος μόνος τουδεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

bull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻︸ ︷︷ ︸

μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολ-λοί τρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτο-νιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται απόάθροισμα όρων όπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημανα απορροϕήσει ένα ϕωτόνιο υψηλής συχνότητας και να ανεβεί ενώ παράλληλαδημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο χαμηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi www≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

simsim≻ ff lt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 2ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο Αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

172

bull 3ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιοΚαι αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικάbull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 4ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο ΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E lt 0 Επόμένως και αυτός ο όροςμόνος του δεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολλοίτρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτονιανή αλλη-λεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται από άθροισμα όρωνόπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημα να απορροϕήσει έναϕωτόνιο χαμηλής συχνότητας και να κατεβεί ενώ παράλληλα δημιουργείται εκπέμ-πεται ϕωτόνιο υψηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

www≻ ff gt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

Αν αγνοήσουμε τον 1ο και 4ο όρο που ο καθένας μόνος του δεν διατηρεί τηνενέργεια τότε

UmE = ~gm

(S+am + Sminusa

daggerm

) (4174)

Η προσέγγιση είναι κατά κάποιο τρόπο ανάλογη της RWA (Rotating Wave Approxi-mation) του Κεϕαλαίου 3 Εκεί στις εξισώσεις Rabi κρατήσαμε μόνο τους αργούςόρους όπου ΗΜ πεδίο και το δισταθμικό σύστημα βρίσκονται σε περίπου συντονισμό

173

δηλαδή Ω ≃ ω Τότε κρατήσαμε τους αργούς όρους eplusmni(Ωminusω)t και αγνοήσαμε τουςγρήγορους όρους eplusmni(Ω+ω)tΣυνοπτικά ενώ για την ολική Χαμιλτονιανή ενός τρόπου m έχουμε την λεγόμενη

Χαμιλτονιανή Rabi

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4175)

κατά την παραπάνω συζήτηση αγνοούμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενουςcounter-rotating terms

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4176)

οπότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66]

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4177)

Στην ΄Ασκηση 1 (παραλείποντας τον δείκτη του ΗΜ τρόπου m απλότητα) βρί-σκουμε (Α) τι κάνουν οι όροι adaggera aadagger S+Sminus SminusS+ S+a

dagger S+a Sminusadagger Sminusa στις κα-

ταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩ και (Β) υπολογίζουμε τα ⟨adaggera⟩ ⟨aadagger⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨SminusS+⟩⟨S+a

dagger⟩ ⟨S+a⟩ ⟨Sminusadagger⟩ ⟨Sminusa⟩ για τις καταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩

174

49 Σύνοψη Χαμιλτονιανών

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Ακόμα είδαμε την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπίδραση ενός ΗΜ τρόπουm με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

Οπότε η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί (Εξ 4171)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

και οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩|darr nm⟩

Ακόμα αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενους counter-rotatingterms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam)

τότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66] (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm)

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

149

Αλλά int π

0

dψ sin(mψ) sin(lψ) =π

2δml (446)

ενώ ισχύει επίσης int π

0

dψ cos(mψ) cos(lψ) =π

2δml (447)

ΕπομένωςL

π4 | A |2 π

2δml = δml rArr| A |2=

1

2L

Ας διαλέξουμε κάτι βολικό πχ A =1radic2L

(minusi)

Συνεπώς

Zm(z) =

radic2

Lsin

(mπz

L

)(448)

bull Στη συνέχεια ας λύσουμε την Εξ 439 Ας ορίσουμε

ω = kc gt 0 (449)

οπότε ω2 = k2c2 Χρησιμοποιώντας την Εξ 445

ωm =mπc

Lm isin N lowast (450)

Δοκιμάζοντας λύσεις της μορϕής eλt προκύπτει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο

λ2 + ω2m = 0rArr λ = plusmniωm ωm isin reallowast

+ (451)

΄Αρα ουσιαστικά η λύση θα είναι της μορϕής

T (t) = Γeiωmt +∆eminusiωmt (452)

Κι αν θέσουμε την αρχική συνθήκη

T (0) = 0 (453)

προκύπτει Γ +∆ = 0rArr ∆ = minusΓ οπότε

T (t) = Γeiωmt minus Γeminusiωmt = 2iΓ sin(ωmt)rArr (454)

150

Tm(t) = 2iΓ sin

(mπc

Lt

)(455)

Κι αν απαιτήσουμε οι Tm να είναι ορθοκανονικές δηλαδήint κάτι0

dtT lowastm(t)Tl(t) = δml rArr

int κάτι0

dt | 2iΓ |2 sin(mπct

L

)sin

(lπct

L

)= δml rArr

rArr 4 | Γ |2int κάτι0

dt sin

(mπct

L

)sin

(lπct

L

)= δml

Θέτοντας χ = πctL οπότε dχ = πc

Ldt καταλήγουμε στη σχέση

4 | Γ |2 L

πc

int πcLmiddotκάτι

0

dχ sin(mχ) sin(lχ) = δml (456)

΄Αρα έχοντας υπ΄ όψη την Εξ 446 είναι βολικό να θέσουμε πcLmiddot κάτι = π rArr

κάτι =L

c= τ (457)

΄Ετσι ορισμένο το τ είναι ο χρόνος πτήσεως του ϕωτονίου διαμέσου της κοιλότητας(time of photon flight through cavity) άρα δεν ήταν παράλογο που το θέσαμε έτσιΣυνεπώς εν τέλει η ορθοκανονικοποίηση είναιint τ

0

dtT lowastm(t)Tl(t) = δml (458)

Τελικά έχουμε

4 | Γ |2 L

πc

int π

0

dχ sin(mχ) sin(lχ) = δml rArr| Γ |=radic

c

2L

Κι αν διαλέξουμε κάτι βολικό πχ Γ = (minusi)radic

c2L τελικά έχουμε

Tm(t) =

radic2c

Lsin

(mπc

Lt

)(459)

΄Αρα συνοψίζοντας με τη βοήθεια των Εξ 436 448 459 καταλήγουμε στην

Emx (z t) =

2radicc

LN sin

(mπz

L

)sin

(mπct

L

)(460)

151

΄Οσον αϕορά τις μονάδες θα πρέπει [2radicc

LN ] = V

m= N

CrArr

[N ] =Vradicms

(461)

Για να προσδιορίσουμε το μαγνητικό πεδίο θα χρησιμοποιήσουμε την Εξ 435 σεσυνδυασμό με την Εξ 460 οπότε προκύπτει

partBmy

partz= minus 1

c22radicc

LN sin

(mπzL

) mπcL

cos

(mπct

L

)rArr (462)

int zprime

0

dzpartBm

y

partz= minus 2mπradic

cL2N cos

(mπct

L

)int zprime

0

dz sin(mπz

L

)rArr (463)

Bmy (z

prime t)minusBmy (0 t) = minus

2mπradiccL2N cos

(mπct

L

)L

mπ

[minus cos

(mπzL

)]zprime0

rArr (464)

Bmy (z

prime t)minusBmy (0 t) =

2NradiccL

cos

(mπct

L

)[cos

(mπzprime

L

)minus1cos 0

] (465)

΄Αρα ορίζοντας κατάλληλα την τιμή του Bmy (0 t) προκύπτει

Bmy (z t) =

2NradiccL

cos(mπz

L

)cos

(mπct

L

)(466)

Για την πυκνότητα ενέργειας ισχύει

U =ϵ02E2 +

1

2micro0

B2 =ϵ02[E2 + c2B2] (467)

Σημειώνουμε ότι οι μονάδες για την πυκνότητα ενέργειας είναι [U ] = Jm3 Για πα-

ράδειγμα [ ϵ02E2] = F

mV2

m2 = CV2

Vm3 = Jm3 και [ B

2

2micro0] = T2A

Tm= TA

m= N

m2 = Nmm3 = J

m3 πχ λόγω των γνωστών σχέσεωνB = micro0H F = BIl και c2 = 1

ϵ0micro0 ΄Αρα από τις

Εξ 460 466 467 βρίσκουμε την πυκνότητα ενέργειας του m τρόπου

Um =ϵ02

4cN 2

L2

[sin2

(mπzL

)sin2

(mπct

L

)+ cos2

(mπzL

)cos2

(mπct

L

)] (468)

΄Αρα η ενέργεια του m τρόπου η οποία υπολογίζεται ολοκληρώνοντας την πυ-κνότητα ενέργειας του m τρόπου στην κοιλότητα όγκου V = LS

Εm =

intV=LS

d3r Um (469)

152

είναι

Εm =2ϵ0cN 2S

L2

[sin2

(mπct

L

)int L

0

dz sin2(mπz

L

)+ cos2

(mπct

L

)int L

0

dz cos2(mπz

L

)]

Θέτουμε ψ = πzLrArr dψ = π

Ldz άρα με τη βοήθεια των Εξ 446-447 τα ολοκληρώ-

ματα στο z γίνονται Lπ

int π0dψ sin2(mψ) = L

ππ2= L

2και L

π

int π0dψ cos2(mψ) = L

ππ2= L

2

Αντικαθιστούμε στην παραπάνω εξίσωση και τελικά έχοντας ακολουθήσει αυτή τηνκλασική προσέγγιση έχουμε

Εm =ϵ0cN 2S

L

[sin2

(mπct

L

)+ cos2

(mπct

L

)]=ϵ0cN 2S

L(470)

Ας δούμε τώρα λίγο αλλιώτικα την Εm

Εm =ϵ0cN 2S

L3

[L2 sin2

(mπct

L

)+ L2 cos2

(mπct

L

)] (471)

ορίζοντας ῾῾ γενικευμένη θέση και ταχύτητα ᾿᾿ Καλούμε λοιπόν ῾῾ γενικευμένη θέση ᾿᾿

qm(t) = L sin

(mπct

L

)(472)

και ῾῾ γενικευμένη ταχύτητα ᾿᾿

˙qm(t) = mπc cos

(mπct

L

)(473)

ούτως ώστε [qm(t)] = m και [ ˙qm(t)] = ms Τότε η Εξ 471 γράϕεται

Εm =ϵ0cN 2S

L3

[(qm(t))

2 +L2

m2π2c2( ˙qm(t))

2

] (474)

Θα μπορούσαμε εδώ να θεωρήσουμε μια αναλογία της Εξ 474 με Απλό ΑρμονικόΤαλαντωτή (ΑΑΤ) του οποίου η ενέργεια θα ήταν

Ε =K

2x2 +

M

2v2 =

K

2[x2 +

M

Kv2] (475)

Επομένωςϵ0cN 2S

L3=K

2 (476)

153

L2

m2π2c2=M

K (477)

Δηλαδή προκύπτει η ῾῾ σταθερά ελατηρίου ᾿᾿

K =2ϵ0cN 2S

L3 (478)

και η ῾῾ μάζα ᾿᾿ (η οποία σημειωτέο εξαρτάται από το m είναι δηλαδή διαϕορετική γιακάθε τρόπο του ΗΜ πεδίου m)

Mm =2ϵ0N 2S

cLm2π2 (479)

Μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι η Mm έχει διαστάσεις μάζας (θα χρειαστείκαι η Εξ 461) και πως ισχύει K = Mmω

2m ΄Αρα κλασικά υπάρχει μία τυπική

ομοιότητα με ΑΑΤ με κυκλική συχνότητα ωm (Εξ 450) και ῾῾ μάζα ᾿᾿ Mm (Εξ 479)δηλαδή η Εξ 471 ή 474 γράϕεται

Εm =Mmω

2m

2q2m +

Mm

2q2m (480)

Μπορούμε επομένως να πούμε ότι το κβαντικό αντίστοιχο για ένα τρόπο ΗΜπεδίου m δηλαδή η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m θα είναι

HΗΜ m =Mmω

2m

2q2m +

Mm

2˙q2m (481)

με ιδιοτιμές ενέργειας

Emnm = ~ωm(nm +1

2) (482)

όπου ο δείκτης m isin N lowast αϕορά τον τρόπο του ΗΜ πεδίου και ο δείκτης nm isin Nαϕορά τον αριθμό των ϕωτονίων στον τρόπο m Συνεπώς η Χαμιλτονιανή για όλουςτους τρόπους του ΗΜ πεδίου θα είναι

HΗΜ =summ

HΗΜ m (483)

Κατόπιν σημειώνουμε ότι από τις Εξ 460 και 472 συνεπάγεται ότι

Emx (z t) =

2radicc

L2N sin

(mπzL

)qm(t) (484)

154

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Emx (z t) =

2radicc

L2N sin

(mπzL

)qm(t) (485)

Επίσης από τις Εξ 466 και 473 συνεπάγεται ότι

Bmy (z t) =

2NLradicc

1

mπccos(mπz

L

)qm(t) (486)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Bmy (z t) =

2NLradicc

1

mπccos(mπz

L

)ˆqm(t) (487)

Από τις ΄Εξ 484 479 και 450 προκύπτει

Emx (z t) =

(2Mmωm

2

ϵ0V

)12

sin(mπz

L

)qm(t) (488)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Emx (z t) =

(2Mmωm

2

ϵ0V

)12

sin(mπz

L

)qm(t) (489)

Από τις ΄Εξ 486 479 και 450 προκύπτει

Bmy (z t) =

1

c

(2Mm

ϵ0V

)12

cos(mπz

L

)qm(t) (490)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Bmy (z t) =

1

c

(2Mm

ϵ0V

)12

cos(mπz

L

)ˆqm(t) (491)

Τέλος από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει όπως αναμενόταν [Ex

By] = [c]

155

44 Χαμιλτονιανή ΗΜ πεδίου με τελεστέςκαταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίων

Ας μιλήσουμε τώρα για τελεστές καταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίων (photoncreation and annihilation operators) Είναι τώρα εύκολο να κβαντωθεί η Χαμιλτο-νιανή που περιγράϕει το ΗΜ πεδίο αρκεί να εϕαρμοστεί η αντιστοιχία τελεστών

qm = qm (492)

pm = minusi~ part

partqm(493)

Εισάγουμε τους τελεστές

am =1radic

2Mm~ωm(Mmωmqm + ipm) ῾῾ καταστροϕής ᾿᾿ (494)

adaggerm =1radic

2Mm~ωm(Mmωmqm minus ipm) ῾῾ δημιουργίας ᾿᾿ (495)

Ισχύουν οι ιδιότητες[am a

daggerm]︸ ︷︷ ︸

μεταθέτης

= amadaggerm minus adaggermam = 1 (496)

[qm pm]︸ ︷︷ ︸μεταθέτης

= i~ (497)

΄Ετσι οι τελεστές qm pm μπορούν τώρα να γραϕούν

qm =

(~

2Mmωm

)12

(adaggerm + am) (498)

pm = i

(Mm~ωm

2

)12

(adaggerm minus am) (499)

Συνεπώς η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m είναι

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)(4100)

Ας συμβολίσουμε με |nm⟩ την κατάσταση του ΗΜ πεδίου με nm αριθμό ϕωτονίωνστον ΗΜ τρόπο m Λέμε ότι είναι μια ῾῾ κατάσταση ϕωτονικών αριθμών ᾿᾿ Τα |nm⟩αποτελούν ένα πλήρες σύστημα δηλαδή ισχύει ⟨nm|lm⟩ = δnl

156

Οι τελεστές adaggerm και am έχουν τις ιδιότητες

adaggerm |nm⟩ =radicnm + 1 |nm + 1⟩ (4101)

am |nm⟩ =radicnm |nm minus 1⟩ (4102)

am |0⟩ = |0⟩ (4103)

Από τις Εξ 4101 και 4102 προκύπτει

adaggermam |nm⟩ = nm |nm⟩ (4104)

δηλαδή ο τελεστής Nm = adaggermam μετρά τον αριθμό των ϕωτονίων του ΗΜ τρόπου mοπότε μπορεί να αποκληθεί τελεστής του αριθμού των ϕωτονίων στον ΗΜ τρόπο mΑκόμα επαγωγικά προκύπτει

|nm⟩ =1radicnm

(adaggerm)nm |0⟩ (4105)

Λόγω των Εξ 4100 και 4104 προκύπτει

HΗΜ m |nm⟩ = ~ωm(nm +1

2) |nm⟩ (4106)

δηλαδή η Χαμιλτονιανή HΗΜ m δίνει ιδιοτιμές ενέργειας

Emnm = ~ωm(nm +1

2) (4107)

Η θεμελιώδης κατάσταση του ΑΑΤ |0⟩ με ιδιοενέργεια 12~ωm αντιστοιχεί στο κενό

δηλαδή χωρίς σωμάτιο η 1η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |1⟩ με ιδιοενέργεια 32~ωm

αντιστοιχεί σε ένα σωμάτιο η 2η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |2⟩ με ιδιοενέργεια52~ωm αντιστοιχεί σε δύο σωμάτια κοκ Αυτά τα σωμάτια εν προκειμένω τα λέμεϕωτόνια Δημιουργούνται και καταστρέϕονται με τους τελεστές αναβιβάσεως καικαταβιβάσεως ξεκινώντας από ένα επίπεδο αναϕοράς που εδώ είναι το κενό Υπακού-ουν στις μποζονικές σχέσεις μεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράστασηείναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση (second quantization)Η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)= ~ωm

(Nm +

1

2

) (4108)

157

αγνοώντας τον όρο ~ωm

2 μπορεί να γραϕτεί

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm (4109)

Μπορούμε να έχουμε οσαδήποτε ϕωτόνια στην ενεργειακή κατάσταση ~ωm διότι εί-ναι μποζόνια Ο adaggerm είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζειτην ενέργεια δημιουργώντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωm εξ ού και η ονομασία τελε-στής δημιουργίας (creation operator) Ο am είναι τελεστής καταβιβάσεως (loweringoperator) διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωmεξ ού και η ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator)

Σχήμα 45 Σωμάτια (εδώ ϕωτόνια απεικονίζονται με πράσινες βούλες) δημιουργούνται και κατα-στρέϕονται μέσω των τελεστών αναβιβάσεως και καταβιβάσεως Υπακούουν στις μποζονικές σχέσειςμεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράσταση είναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση(second quantization) Ο αριθμός των ϕωτονίων είναι ίσος με τον αριθμό των κόμβων της ιδιοσυ-ναρτήσεως

Τέλος ας σημειώσουμε ότι από τις Εξ 489 και 498 προκύπτει

Emx (z t) =

(~ωmϵ0V

)12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4110)

ενώ από τις Εξ 491 και 499 προκύπτει

Bmy (z t) =

i

c

(~ωmϵ0V

)12

cos(mπz

L

)(adaggerm minus am) (4111)

158

45 Χαμιλτονιανή δισταθμικού συστήματοςμε σπίνορες

Θα περιγράψουμε την αναβίβαση και την καταβίβαση ενός ηλεκτρονίου μεταξύ τωνενεργειακών σταθμών ενός δισταθμικού συστήματος πχ ενός ατόμου με τη βοήθειασπινόρων (spinors) Σπίνορας είναι ένα διάνυσμα - στήλη με δύο συνιστώσες Αςαρχίσουμε με ορισμούς (πχ [62])

| ⟩ =

=

0

0

=| 0⟩ |darr⟩ =

bull

=

0

1

=| 1⟩ |uarr⟩ =

bull

=

1

0

=| 2⟩

(4112)Το πρώτο παριστά το άδειο δισταθμικό σύστημα το δεύτερο δηλώνει το δισταθμικόσύστημα με το ηλεκτρόνιο στην κάτω στάθμη όπου έχει ενέργεια E1 και το τρίτο δη-λώνει το δισταθμικό σύστημα με το ηλεκτρόνιο στην άνω στάθμη όπου έχει ενέργειαE2 Ας ορίσουμε τώρα τους τελεστές

S+ =

0 1

0 0

Sminus =

0 0

1 0

(4113)

για τους οποίους μάλιστα ισχύει Sdagger+ =

0 1

0 0

dagger

=

0 0

1 0

= Sminus Ας δούμε ποιό

είναι το αποτέλεσμα της δράσεώς τους στους σπίνορες που ορίσαμε μόλις προ ολίγου

S+ | 0⟩ =

0 1

0 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

S+ |darr⟩ =

0 1

0 0

0

1

=

1

0

=|uarr⟩ το ανεβάζει

S+ |uarr⟩ =

0 1

0 0

1

0

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

(4114)

159

Sminus | 0⟩ =

0 0

1 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

Sminus |darr⟩ =

0 0

1 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

Sminus |uarr⟩ =

0 0

1 0

1

0

=

0

1

=|darr⟩ το κατεβάζει

(4115)

΄Ετσι ο S+ ονομάζεται τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ενώ ο Sminus ονομάζε-ται τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) του ηλεκτρονίου Ας δούμε μερικέςακόμα ιδιότητες

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

= σx (4116)

που είναι ένας από τους πίνακες Pauli που παρατίθονται λίγο παρακάτω (Εξ 4133)Ακόμα

S+Sminus =

0 1

0 0

0 0

1 0

=

1 0

0 0

(4117)

SminusS+ =

0 0

1 0

0 1

0 0

=

0 0

0 1

(4118)

΄Αρα από τις Εξ 4117-4118 συνεπάγεται ότι

S+Sminus + SminusS+ =

1 0

0 1

= I (4119)

που είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας Μπορούμε να το γράψουμε και στη μορϕή

S+ Sminus = I (4120)

160

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4121)

ενώ [AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4122)

΄Οταν AB = 0 rArr AB + BA = 0 rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται ενώ όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οιποσότητες μετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση των ονομασίων ΄Οπωςθα δούμε παρακάτω η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσειςαντιμεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ηλεκτρόνια που είναι ϕερμιόνια ενώ ο με-ταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσεις μεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ϕωτόνιαπου είναι μποζόνια Συχνά στα ελληνικά συγγράμματα της δευτεροβάθμιας εκπαί-δευσης πολύ κακώς εδώ και δεκαετίες ονομάζεται ῾῾ αντιμεταθετική ᾿᾿ η μεταθετική(commutative) ιδιότητα χαθήκαμε δηλαδή στη μετάϕρασηΗ Χαμιλτονιανή του Δισταθμικού Συστήματος HΔΣ είναι η

E2S+Sminus + E1SminusS+ = E2

1 0

0 0

+ E1

0 0

0 1

=

E2 0

0 E1

(4123)

αϕού E2 0

0 E1

1

0

=

E2

0

= E2

1

0

(4124)

E2 0

0 E1

0

1

=

0

E1

= E1

0

1

(4125)

΄Αρα συνοπτικά δείξαμε ότι

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+ (4126)

Αν τώρα θέσουμε E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) οπότε

HΔΣ = ~ΩS+Sminus (4127)

161

Ο τελεστής S+Sminus μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη αϕού

S+Sminus | 1⟩ =

1 0

0 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ rArr S+Sminus | 1⟩ = 0 | 1⟩ (4128)

S+Sminus | 2⟩ =

1 0

0 0

1

0

=

1

0

=| 2⟩ rArr S+Sminus | 2⟩ = 1 | 2⟩ (4129)

Ο τελεστής SminusS+ μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην κάτω στάθμη αϕού

SminusS+ | 1⟩ =

0 0

0 1

0

1

=

0

1

=| 1⟩ rArr SminusS+ | 1⟩ = 1 | 1⟩ (4130)

SminusS+ | 2⟩ =

0 0

0 1

1

0

=

0

0

=| 0⟩ rArr SminusS+ | 2⟩ = 0 | 2⟩ (4131)

Παρατήρηση Συνοπτικά για τους τελεστές S+ και Sminus μπορούμε να αποδείξουμεότι (S+)

dagger = Sminus αλλά και ότι

S+ Sdagger+ = S+ Sminus = S+Sminus + SminusS+ = I

Sminus Sdaggerminus = Sminus S+ = SminusS+ + S+Sminus = I

S+ S+ = Sdaggerminus S

daggerminus = S+S+ + S+S+ = 0

Sminus Sminus = Sdagger+ S

dagger+ = SminusSminus + SminusSminus = 0

(4132)

όπου I είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας 2 times 2 και 0 είναι ο μηδενικός πίνακας2times2 Οι Εξ 4132 δείχνουν ότι οι τελεστές S+ και Sminus υπακούουν στις σχέσεις αντι-μεταθέσεως ϕερμιονίων που αναϕέρουμε στην Υποενότητα 462 της Ενότητας 46Ο S+ είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζει την ενέργειαδημιουργώντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού και η ονομασία τελεστής δημιουρ-γίας (creation operator) Ο Sminus είναι τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator)διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού καιη ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Μπορούμε να έχουμεμόνο ένα ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω διότι τα ηλεκτρόνια είναι ϕερμιόνια

162

Ας θυμηθούμε τώρα τους πίνακες Pauli σx σy σz και ας δούμε τη σχέση τους μετους τελεστές αναβιβάσεως και καταβιβάσεως ηλεκτρονίων S+ και Sminus αντιστοίχως

σx =

0 1

1 0

(4133)

σy =

0 minusi

i 0

(4134)

σz =

1 0

0 minus1

(4135)

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι ισχύει η ιδιότητα

[σx σy] = 2iσz (4136)

καθώς και οι κυκλικές εναλλαγές της Επίσης

σ2x = σ2

y = σ2z =

1 0

0 1

= I (4137)

και

σx σy = σxσy + σyσx = 0 (4138)

σy σz = σyσz + σzσy = 0

σz σx = σzσx + σxσz = 0

δηλαδή οι πίνακες Pauli αντιμετατίθονται Επί παραδείγματι

σx σy = σxσy + σyσx =0 1

1 0

0 minusi

i 0

+

0 minusi

i 0

0 1

1 0

=

i 0

0 minusi

+

minusi 0

0 i

=

0 0

0 0

= 0

Ακόμα μπορούμε να αποδείξουμε ότι

S+ + Sminus = σx

S+ minus Sminus = iσy

163

46 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων καισχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων

461 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων πχ ϕωτονίων

Ας ονομαστεί am ο τελεστής καταστροϕής μποζονίων και adaggerm ο τελεστήςδημιουργίας μποζονίων στην κατάσταση m Για τα μποζόνια ισχύουν οι σχέσειςμεταθέσεως (commutation relations)

[am aℓ] = 0

[adaggerm adaggerℓ] = 0

(4139)

[AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4140)

οπότε όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οι ποσότητεςμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας

462 Σχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων πχ ηλε-κτρονίων

Ας ονομαστεί ai ο τελεστής καταστροϕής ϕερμιονίων και adaggeri ο τελεστής δη-μιουργίας ϕερμιονίων στην κατάσταση i Για τα ϕερμιόνια ισχύουν οι σχέσεις αντι-μεταθέσεως (anticommutation relations)

ai adaggerj = δij

ai aj = 0

adaggeri adaggerj = 0

(4141)

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4142)

οπότε όταν AB = 0rArr AB+BA = 0rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας Αν εϕαρμόσουμετη σχέση adaggeri a

daggerj = 0 για την ίδια κατάσταση πχ i = j = r έχουμε adaggerr adaggerr =

0 rArr adaggerradaggerr = 0 που σημαίνει ότι

δεν μπορούμε να βάλουμε δύο ϕερμιόνια στην ίδια

κατάσταση πράγμα που είναι η απαγορευτική αρχή Pauli

164

47 Τελεστές κλίμακας (Ladder operators) [63]

Στη γραμμική άλγεβρα καθώς και στις εϕαρμογές της στην κβαντική μηχανική ορί-ζεται ο τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ο οποίος αυξάνει την ιδιοτιμή ενόςάλλου τελεστή και ο τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) ο οποίος μειώνειτην ιδιοτιμή ενός άλλου τελεστή Αυτοί συλλογικά ονομάζονται τελεστές κλίμα-κας (ladder operators) Στην κβαντομηχανική ο τελεστής αναβιβάσεως καλείταισυχνά τελεστής δημιουργίας (creation operator) και ο τελεστής καταβιβάσεως κα-λείται συχνά τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Γνωστές εϕαρμογέςτων τελεστών κλίμακας είναι στον απλό αρμονικό ταλαντωτή και στη στροϕορμήΣε πολλές περιοχές της ϕυσικής και της χημείας η χρήση αυτών των τελεστών αντίκυματοσυναρτήσεων είναι γνωστή ως δεύτερη κβάντωση (second quantization) [64]

165

48 Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεωςδισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου

΄Εστω δύο αντίθετα ηλεκτρικά ϕορτία q gt 0 και minusq lt 0 στα σημεία Θ και Α

αντιστοίχως Αν d =minusrarrΑΘ είναι το διάνυσμα θέσεως του θετικού ϕορτίου ως προς το

αρνητικό τότε η ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) ορίζεταιως

P = qd (4143)

πχ για το άτομο του υδρογόνου αν το Π παριστάνει τον πυρήνα και το Η παριστάνει

το ηλεκτρόνιο και ως συνήθως ορίσουμε r =minusrarrΠΗ τότε P = qd = e(minusr)rArr

P = minuser (4144)

Αυτό αποδίδεται άνω τμήμα του Σχήματος 46 Η δυναμική ενέργεια (potential

Σχήμα 46 ΄Ανω Ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) Κάτω (Ηλεκτρική) διπολικήροπή μεταβάσεως (transition (electric) dipole moment)

energy) UE του ηλεκτρικού διπόλου εντός ηλεκτρικού πεδίου E είναι

UE = minusP middot E (4145)

166

Ανάλογος με τον παραπάνω ορισμό μπορεί να δοθεί και για την περίπτωση της με-ταβάσεως ενός τμήματος του ηλεκτρονιακού νέϕους από μία αρχική σε μια τελική πε-ριοχή ΄Ετσι ορίζεται η (ηλεκτρική) διπολική ροπή μεταβάσεως [transition(electric) dipole moment] 1 Αυτό αποδίδεται στο κάτω τμήμα το Σχήματος 46Αν το ϕορτίο που μεταϕέρεται είναι minuse πάλι p = qd = e(minusr)rArr p = minuser Δηλαδήεννοείται ότι για την περιοχή 2 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμεί με μετά-βαση ϕορτίου minuse ενώ για την περιοχή 1 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμείμε μετάβαση ϕορτίου +eΟ τελεστής (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως [transition

(electric) dipole moment operator] σημειώνεται εναλλακτικά με ˆd ή ˆp Στη βάση τωνιδιοκαταστάσεων της ενέργειας του αδιατάρακτου ατόμου ή συστήματος ορίζεται ως

ˆd = ˆp =

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | (4146)

με τους επίσης εναλλακτικούς συμβολισμούς

dij = pij = minuse⟨Φi | ˆr | Φj⟩ (4147)

για το στοιχείο πίνακα της (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως μεταξύ των κα-ταστάσεων | Φi⟩ και | Φj⟩ Υπενθυμίζεται ότι ο τελεστής θέσεως (position operator)ˆr είναι τέτοιος ώστε

ˆr | r⟩ = r | r⟩ (4148)

Υπενθυμίζεται για τον συμβολισμό Dirac ότι

| A⟩ =

α1

α2

hArr ⟨A |= (αlowast1 αlowast

2) (4149)

Υπενθυμίζεται ακόμα ότι

⟨Φi | ˆr | Φj⟩ =sum

|rprime⟩|rprimeprime⟩

⟨Φi | rprime⟩⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩⟨rprimeprime | Φj⟩ =sum|rprime⟩

⟨Φi | rprime⟩ rprime ⟨rprime | Φj⟩

=sum|r⟩

⟨Φi | r⟩ r ⟨r | Φj⟩ =intdV Φi(r)

lowastrΦj(r)

1Η λέξη ῾῾ ηλεκτρική ᾿᾿ είναι εντός παρενθέσεως επειδή συνήθως επειδή εννοείται παραλείπεται

167

διότι⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩ = rprimeprime⟨rprime|rprimeprime⟩ = rprimeprimeδrprimerprimeprime (4150)

΄Αρα

d11 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ1(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4151)

d12 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ2(r) = 0 (4152)

d21 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ1(r) = 0 (4153)

d22 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ2(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4154)

Δηλαδή ενώ τα διαγώνια στοιχεία μηδενίζονται τα d12 και d21 δεν είναι (῾῾ εκ ταυτό-τητος ᾿᾿) μηδέν Ας δούμε τώρα ποιος είναι ο ˆp σε δισταθμικό σύστημα

ˆp = d11 | Φ1⟩⟨Φ1 | + d12 | Φ1⟩⟨Φ2 | + d21 | Φ2⟩⟨Φ1 | + d22 | Φ2⟩⟨Φ2 |

= d11

0

1

(0 1)+ d12

0

1

(1 0)+ d21

1

0

(0 1)+ d22

1

0

(1 0)

= 0 ⋆

d11︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

0 0

0 1

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

+ d12︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 0

1 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ d21︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 1

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ 0 ⋆

d22︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

1 0

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

Από τις Εξ (4152)-(4153) συμπεραίνουμε ότι d12 = d21 με την προϋπόθεση ότι οιΦi(r) είναι πραγματικές οπότε

ˆp = d12

0 1

1 0

(4155)

168

Ερώτηση Και τι κάνει ο τελεστής

0 1

1 0

Απάντηση0 1

1 0

0

1

=

1

0

0 1

1 0

1

0

=

0

1

Δηλαδή μεταϕέρει από τη μία ενεργειακή στάθμη στην άλλη όπως θα έπρεπε

Τώρα μπορεί να οριστεί ο τελεστής δυναμικής ενέργειας (potential e-nergy operator) Θεωρούμε ότι η αλληλεπίδραση δισταθμικού συστήματος - ΗΜπεδίου έχει τη μορϕή μηχανισμού ηλεκτρικού διπόλου Αγνοούμε άλλης μορϕής αλ-ληλεπιδράσεις όπως πχ ηλεκτρικού τετραπόλου ή μαγνητικού διπόλου Αϕού

UE = minusP middot E rArr

UmE = minusP middot Em (4156)

όπου ο δείκτης m δηλώνει τον m τρόπο του ΗΜ πεδίου ο αντίστοιχος τελεστήςμπορεί να οριστεί ως

UmE = minus ˆp middot ˆEm (4157)

Επομένως

UmE = minus

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | middotEmx (z t)i

i είναι το μοναδιαίο άνυσμα του άξονα x αϕού έχουμε υποθέσει αυτόν τον προσανα-τολισμό για το ηλεκτρικό πεδίο (δείτε Σχήμα 42) ΄Η λόγω της Εξ 4155

UmE = minusd12

0 1

1 0

middot Emx (z t)i (4158)

Αλλά

d12 middot i = minuseintdV Φ1(r)

lowast(r middot i)Φ2(r) = minusex12 = Px12 = P (4159)

169

Συνεπώς

UmE = ex12

0 1

1 0

Emx (z t) (4160)

Υπενθυμίζονται οι Εξ 4110 και 4111

Emx (z t) =

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4161)

Bmy (z t) =

(~ωmε0V

) 12 1

ccos(mπz

L

)i(adaggerm minus am) (4162)

από τις οποίες όμως στα πλαίσια των υποθέσεών μας χρειαζόμαστε τώρα μόνον τηνπρώτη Επίσης υπενθυμίζεται ότι

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

(4163)

΄Αρα εν τέλει

UmE = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4164)

Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε

~gm = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(4165)

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4166)

Αυτή είναι λοιπόν η Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συ-στήματος - ΗΜ πεδίου για τον ΗΜ τρόπο m Εάν βρισκόμαστε σταπλαίσια της ατομικής ϕυσικής τότε συμβολίζεται και Hm

AF όπου οι δείκτες σημαίνουνAtom-FieldΑπό την Εξ 4165 προκύπτει

~|gm| = |P |∣∣∣∣ (~ωm

ε0V

) 12

sin(mπz

L

) ∣∣∣∣ = |P| Em0 (4167)

170

όπου όμως το ῾῾ πλάτος ᾿᾿ Em0 εξαρτάται από τη θέση z του ατόμου στην κοιλότητα

είναι δηλαδή Em0 = Em

0 (z) Η |gm| (ή οποία συμβολίζεται και με ΩmR ) είναι η λεγόμενη

συχνότητα Rabi Εάν εννοείται σε ποιον ΗΜ τρόπο m αναϕερόμαστε μπορούμε ναχρησιμοποιήσουμε σκέτο το |g| ή το ΩR ΄Αρα

|gm| ή ΩmR =

|P|Em0

~(4168)

Για να μη γράϕουμε απόλυτα μπορούμε σε κάθε θέση να διαλέγουμε τη ϕάση τωνκυματοσυναρτήσεων τέτοια ώστε το g να είναι θετικό και πραγματικό [65] Συνοπτικά

gm ή ΩmR =

|P|Em0

~(4169)

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Τώρα συμπληρώνεται η εικόνα με την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπί-δραση ενός ΗΜ τρόπου m με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4170)

΄Αρα η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4171)

Επομένως οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩ (4172)

|darr nm⟩ (4173)

171

Ας δούμε λίγο προσεκτικότερα τη Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικούσυστήματος - ΗΜ πεδίου (Εξ 4166) Για έναν μοναδικό τρόπο m η Χαμιλτονιανήαυτή αναλυεται σε τέσσερις όρους

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) =

= ~gmS+adaggerm︸ ︷︷ ︸

1ος

+ S+am︸ ︷︷ ︸2ος

+ Sminusadaggerm︸ ︷︷ ︸

3ος

+ Sminusam︸ ︷︷ ︸4ος

bull 1ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E gt 0 Επόμένως αυτός ο όρος μόνος τουδεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

bull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻︸ ︷︷ ︸

μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολ-λοί τρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτο-νιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται απόάθροισμα όρων όπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημανα απορροϕήσει ένα ϕωτόνιο υψηλής συχνότητας και να ανεβεί ενώ παράλληλαδημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο χαμηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi www≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

simsim≻ ff lt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 2ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο Αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

172

bull 3ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιοΚαι αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικάbull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 4ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο ΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E lt 0 Επόμένως και αυτός ο όροςμόνος του δεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολλοίτρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτονιανή αλλη-λεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται από άθροισμα όρωνόπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημα να απορροϕήσει έναϕωτόνιο χαμηλής συχνότητας και να κατεβεί ενώ παράλληλα δημιουργείται εκπέμ-πεται ϕωτόνιο υψηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

www≻ ff gt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

Αν αγνοήσουμε τον 1ο και 4ο όρο που ο καθένας μόνος του δεν διατηρεί τηνενέργεια τότε

UmE = ~gm

(S+am + Sminusa

daggerm

) (4174)

Η προσέγγιση είναι κατά κάποιο τρόπο ανάλογη της RWA (Rotating Wave Approxi-mation) του Κεϕαλαίου 3 Εκεί στις εξισώσεις Rabi κρατήσαμε μόνο τους αργούςόρους όπου ΗΜ πεδίο και το δισταθμικό σύστημα βρίσκονται σε περίπου συντονισμό

173

δηλαδή Ω ≃ ω Τότε κρατήσαμε τους αργούς όρους eplusmni(Ωminusω)t και αγνοήσαμε τουςγρήγορους όρους eplusmni(Ω+ω)tΣυνοπτικά ενώ για την ολική Χαμιλτονιανή ενός τρόπου m έχουμε την λεγόμενη

Χαμιλτονιανή Rabi

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4175)

κατά την παραπάνω συζήτηση αγνοούμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενουςcounter-rotating terms

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4176)

οπότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66]

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4177)

Στην ΄Ασκηση 1 (παραλείποντας τον δείκτη του ΗΜ τρόπου m απλότητα) βρί-σκουμε (Α) τι κάνουν οι όροι adaggera aadagger S+Sminus SminusS+ S+a

dagger S+a Sminusadagger Sminusa στις κα-

ταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩ και (Β) υπολογίζουμε τα ⟨adaggera⟩ ⟨aadagger⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨SminusS+⟩⟨S+a

dagger⟩ ⟨S+a⟩ ⟨Sminusadagger⟩ ⟨Sminusa⟩ για τις καταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩

174

49 Σύνοψη Χαμιλτονιανών

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Ακόμα είδαμε την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπίδραση ενός ΗΜ τρόπουm με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

Οπότε η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί (Εξ 4171)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

και οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩|darr nm⟩

Ακόμα αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενους counter-rotatingterms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam)

τότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66] (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm)

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

150

Tm(t) = 2iΓ sin

(mπc

Lt

)(455)

Κι αν απαιτήσουμε οι Tm να είναι ορθοκανονικές δηλαδήint κάτι0

dtT lowastm(t)Tl(t) = δml rArr

int κάτι0

dt | 2iΓ |2 sin(mπct

L

)sin

(lπct

L

)= δml rArr

rArr 4 | Γ |2int κάτι0

dt sin

(mπct

L

)sin

(lπct

L

)= δml

Θέτοντας χ = πctL οπότε dχ = πc

Ldt καταλήγουμε στη σχέση

4 | Γ |2 L

πc

int πcLmiddotκάτι

0

dχ sin(mχ) sin(lχ) = δml (456)

΄Αρα έχοντας υπ΄ όψη την Εξ 446 είναι βολικό να θέσουμε πcLmiddot κάτι = π rArr

κάτι =L

c= τ (457)

΄Ετσι ορισμένο το τ είναι ο χρόνος πτήσεως του ϕωτονίου διαμέσου της κοιλότητας(time of photon flight through cavity) άρα δεν ήταν παράλογο που το θέσαμε έτσιΣυνεπώς εν τέλει η ορθοκανονικοποίηση είναιint τ

0

dtT lowastm(t)Tl(t) = δml (458)

Τελικά έχουμε

4 | Γ |2 L

πc

int π

0

dχ sin(mχ) sin(lχ) = δml rArr| Γ |=radic

c

2L

Κι αν διαλέξουμε κάτι βολικό πχ Γ = (minusi)radic

c2L τελικά έχουμε

Tm(t) =

radic2c

Lsin

(mπc

Lt

)(459)

΄Αρα συνοψίζοντας με τη βοήθεια των Εξ 436 448 459 καταλήγουμε στην

Emx (z t) =

2radicc

LN sin

(mπz

L

)sin

(mπct

L

)(460)

151

΄Οσον αϕορά τις μονάδες θα πρέπει [2radicc

LN ] = V

m= N

CrArr

[N ] =Vradicms

(461)

Για να προσδιορίσουμε το μαγνητικό πεδίο θα χρησιμοποιήσουμε την Εξ 435 σεσυνδυασμό με την Εξ 460 οπότε προκύπτει

partBmy

partz= minus 1

c22radicc

LN sin

(mπzL

) mπcL

cos

(mπct

L

)rArr (462)

int zprime

0

dzpartBm

y

partz= minus 2mπradic

cL2N cos

(mπct

L

)int zprime

0

dz sin(mπz

L

)rArr (463)

Bmy (z

prime t)minusBmy (0 t) = minus

2mπradiccL2N cos

(mπct

L

)L

mπ

[minus cos

(mπzL

)]zprime0

rArr (464)

Bmy (z

prime t)minusBmy (0 t) =

2NradiccL

cos

(mπct

L

)[cos

(mπzprime

L

)minus1cos 0

] (465)

΄Αρα ορίζοντας κατάλληλα την τιμή του Bmy (0 t) προκύπτει

Bmy (z t) =

2NradiccL

cos(mπz

L

)cos

(mπct

L

)(466)

Για την πυκνότητα ενέργειας ισχύει

U =ϵ02E2 +

1

2micro0

B2 =ϵ02[E2 + c2B2] (467)

Σημειώνουμε ότι οι μονάδες για την πυκνότητα ενέργειας είναι [U ] = Jm3 Για πα-

ράδειγμα [ ϵ02E2] = F

mV2

m2 = CV2

Vm3 = Jm3 και [ B

2

2micro0] = T2A

Tm= TA

m= N

m2 = Nmm3 = J

m3 πχ λόγω των γνωστών σχέσεωνB = micro0H F = BIl και c2 = 1

ϵ0micro0 ΄Αρα από τις

Εξ 460 466 467 βρίσκουμε την πυκνότητα ενέργειας του m τρόπου

Um =ϵ02

4cN 2

L2

[sin2

(mπzL

)sin2

(mπct

L

)+ cos2

(mπzL

)cos2

(mπct

L

)] (468)

΄Αρα η ενέργεια του m τρόπου η οποία υπολογίζεται ολοκληρώνοντας την πυ-κνότητα ενέργειας του m τρόπου στην κοιλότητα όγκου V = LS

Εm =

intV=LS

d3r Um (469)

152

είναι

Εm =2ϵ0cN 2S

L2

[sin2

(mπct

L

)int L

0

dz sin2(mπz

L

)+ cos2

(mπct

L

)int L

0

dz cos2(mπz

L

)]

Θέτουμε ψ = πzLrArr dψ = π

Ldz άρα με τη βοήθεια των Εξ 446-447 τα ολοκληρώ-

ματα στο z γίνονται Lπ

int π0dψ sin2(mψ) = L

ππ2= L

2και L

π

int π0dψ cos2(mψ) = L

ππ2= L

2

Αντικαθιστούμε στην παραπάνω εξίσωση και τελικά έχοντας ακολουθήσει αυτή τηνκλασική προσέγγιση έχουμε

Εm =ϵ0cN 2S

L

[sin2

(mπct

L

)+ cos2

(mπct

L

)]=ϵ0cN 2S

L(470)

Ας δούμε τώρα λίγο αλλιώτικα την Εm

Εm =ϵ0cN 2S

L3

[L2 sin2

(mπct

L

)+ L2 cos2

(mπct

L

)] (471)

ορίζοντας ῾῾ γενικευμένη θέση και ταχύτητα ᾿᾿ Καλούμε λοιπόν ῾῾ γενικευμένη θέση ᾿᾿

qm(t) = L sin

(mπct

L

)(472)

και ῾῾ γενικευμένη ταχύτητα ᾿᾿

˙qm(t) = mπc cos

(mπct

L

)(473)

ούτως ώστε [qm(t)] = m και [ ˙qm(t)] = ms Τότε η Εξ 471 γράϕεται

Εm =ϵ0cN 2S

L3

[(qm(t))

2 +L2

m2π2c2( ˙qm(t))

2

] (474)

Θα μπορούσαμε εδώ να θεωρήσουμε μια αναλογία της Εξ 474 με Απλό ΑρμονικόΤαλαντωτή (ΑΑΤ) του οποίου η ενέργεια θα ήταν

Ε =K

2x2 +

M

2v2 =

K

2[x2 +

M

Kv2] (475)

Επομένωςϵ0cN 2S

L3=K

2 (476)

153

L2

m2π2c2=M

K (477)

Δηλαδή προκύπτει η ῾῾ σταθερά ελατηρίου ᾿᾿

K =2ϵ0cN 2S

L3 (478)

και η ῾῾ μάζα ᾿᾿ (η οποία σημειωτέο εξαρτάται από το m είναι δηλαδή διαϕορετική γιακάθε τρόπο του ΗΜ πεδίου m)

Mm =2ϵ0N 2S

cLm2π2 (479)

Μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι η Mm έχει διαστάσεις μάζας (θα χρειαστείκαι η Εξ 461) και πως ισχύει K = Mmω

2m ΄Αρα κλασικά υπάρχει μία τυπική

ομοιότητα με ΑΑΤ με κυκλική συχνότητα ωm (Εξ 450) και ῾῾ μάζα ᾿᾿ Mm (Εξ 479)δηλαδή η Εξ 471 ή 474 γράϕεται

Εm =Mmω

2m

2q2m +

Mm

2q2m (480)

Μπορούμε επομένως να πούμε ότι το κβαντικό αντίστοιχο για ένα τρόπο ΗΜπεδίου m δηλαδή η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m θα είναι

HΗΜ m =Mmω

2m

2q2m +

Mm

2˙q2m (481)

με ιδιοτιμές ενέργειας

Emnm = ~ωm(nm +1

2) (482)

όπου ο δείκτης m isin N lowast αϕορά τον τρόπο του ΗΜ πεδίου και ο δείκτης nm isin Nαϕορά τον αριθμό των ϕωτονίων στον τρόπο m Συνεπώς η Χαμιλτονιανή για όλουςτους τρόπους του ΗΜ πεδίου θα είναι

HΗΜ =summ

HΗΜ m (483)

Κατόπιν σημειώνουμε ότι από τις Εξ 460 και 472 συνεπάγεται ότι

Emx (z t) =

2radicc

L2N sin

(mπzL

)qm(t) (484)

154

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Emx (z t) =

2radicc

L2N sin

(mπzL

)qm(t) (485)

Επίσης από τις Εξ 466 και 473 συνεπάγεται ότι

Bmy (z t) =

2NLradicc

1

mπccos(mπz

L

)qm(t) (486)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Bmy (z t) =

2NLradicc

1

mπccos(mπz

L

)ˆqm(t) (487)

Από τις ΄Εξ 484 479 και 450 προκύπτει

Emx (z t) =

(2Mmωm

2

ϵ0V

)12

sin(mπz

L

)qm(t) (488)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Emx (z t) =

(2Mmωm

2

ϵ0V

)12

sin(mπz

L

)qm(t) (489)

Από τις ΄Εξ 486 479 και 450 προκύπτει

Bmy (z t) =

1

c

(2Mm

ϵ0V

)12

cos(mπz

L

)qm(t) (490)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Bmy (z t) =

1

c

(2Mm

ϵ0V

)12

cos(mπz

L

)ˆqm(t) (491)

Τέλος από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει όπως αναμενόταν [Ex

By] = [c]

155

44 Χαμιλτονιανή ΗΜ πεδίου με τελεστέςκαταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίων

Ας μιλήσουμε τώρα για τελεστές καταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίων (photoncreation and annihilation operators) Είναι τώρα εύκολο να κβαντωθεί η Χαμιλτο-νιανή που περιγράϕει το ΗΜ πεδίο αρκεί να εϕαρμοστεί η αντιστοιχία τελεστών

qm = qm (492)

pm = minusi~ part

partqm(493)

Εισάγουμε τους τελεστές

am =1radic

2Mm~ωm(Mmωmqm + ipm) ῾῾ καταστροϕής ᾿᾿ (494)

adaggerm =1radic

2Mm~ωm(Mmωmqm minus ipm) ῾῾ δημιουργίας ᾿᾿ (495)

Ισχύουν οι ιδιότητες[am a

daggerm]︸ ︷︷ ︸

μεταθέτης

= amadaggerm minus adaggermam = 1 (496)

[qm pm]︸ ︷︷ ︸μεταθέτης

= i~ (497)

΄Ετσι οι τελεστές qm pm μπορούν τώρα να γραϕούν

qm =

(~

2Mmωm

)12

(adaggerm + am) (498)

pm = i

(Mm~ωm

2

)12

(adaggerm minus am) (499)

Συνεπώς η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m είναι

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)(4100)

Ας συμβολίσουμε με |nm⟩ την κατάσταση του ΗΜ πεδίου με nm αριθμό ϕωτονίωνστον ΗΜ τρόπο m Λέμε ότι είναι μια ῾῾ κατάσταση ϕωτονικών αριθμών ᾿᾿ Τα |nm⟩αποτελούν ένα πλήρες σύστημα δηλαδή ισχύει ⟨nm|lm⟩ = δnl

156

Οι τελεστές adaggerm και am έχουν τις ιδιότητες

adaggerm |nm⟩ =radicnm + 1 |nm + 1⟩ (4101)

am |nm⟩ =radicnm |nm minus 1⟩ (4102)

am |0⟩ = |0⟩ (4103)

Από τις Εξ 4101 και 4102 προκύπτει

adaggermam |nm⟩ = nm |nm⟩ (4104)

δηλαδή ο τελεστής Nm = adaggermam μετρά τον αριθμό των ϕωτονίων του ΗΜ τρόπου mοπότε μπορεί να αποκληθεί τελεστής του αριθμού των ϕωτονίων στον ΗΜ τρόπο mΑκόμα επαγωγικά προκύπτει

|nm⟩ =1radicnm

(adaggerm)nm |0⟩ (4105)

Λόγω των Εξ 4100 και 4104 προκύπτει

HΗΜ m |nm⟩ = ~ωm(nm +1

2) |nm⟩ (4106)

δηλαδή η Χαμιλτονιανή HΗΜ m δίνει ιδιοτιμές ενέργειας

Emnm = ~ωm(nm +1

2) (4107)

Η θεμελιώδης κατάσταση του ΑΑΤ |0⟩ με ιδιοενέργεια 12~ωm αντιστοιχεί στο κενό

δηλαδή χωρίς σωμάτιο η 1η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |1⟩ με ιδιοενέργεια 32~ωm

αντιστοιχεί σε ένα σωμάτιο η 2η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |2⟩ με ιδιοενέργεια52~ωm αντιστοιχεί σε δύο σωμάτια κοκ Αυτά τα σωμάτια εν προκειμένω τα λέμεϕωτόνια Δημιουργούνται και καταστρέϕονται με τους τελεστές αναβιβάσεως καικαταβιβάσεως ξεκινώντας από ένα επίπεδο αναϕοράς που εδώ είναι το κενό Υπακού-ουν στις μποζονικές σχέσεις μεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράστασηείναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση (second quantization)Η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)= ~ωm

(Nm +

1

2

) (4108)

157

αγνοώντας τον όρο ~ωm

2 μπορεί να γραϕτεί

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm (4109)

Μπορούμε να έχουμε οσαδήποτε ϕωτόνια στην ενεργειακή κατάσταση ~ωm διότι εί-ναι μποζόνια Ο adaggerm είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζειτην ενέργεια δημιουργώντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωm εξ ού και η ονομασία τελε-στής δημιουργίας (creation operator) Ο am είναι τελεστής καταβιβάσεως (loweringoperator) διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωmεξ ού και η ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator)

Σχήμα 45 Σωμάτια (εδώ ϕωτόνια απεικονίζονται με πράσινες βούλες) δημιουργούνται και κατα-στρέϕονται μέσω των τελεστών αναβιβάσεως και καταβιβάσεως Υπακούουν στις μποζονικές σχέσειςμεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράσταση είναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση(second quantization) Ο αριθμός των ϕωτονίων είναι ίσος με τον αριθμό των κόμβων της ιδιοσυ-ναρτήσεως

Τέλος ας σημειώσουμε ότι από τις Εξ 489 και 498 προκύπτει

Emx (z t) =

(~ωmϵ0V

)12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4110)

ενώ από τις Εξ 491 και 499 προκύπτει

Bmy (z t) =

i

c

(~ωmϵ0V

)12

cos(mπz

L

)(adaggerm minus am) (4111)

158

45 Χαμιλτονιανή δισταθμικού συστήματοςμε σπίνορες

Θα περιγράψουμε την αναβίβαση και την καταβίβαση ενός ηλεκτρονίου μεταξύ τωνενεργειακών σταθμών ενός δισταθμικού συστήματος πχ ενός ατόμου με τη βοήθειασπινόρων (spinors) Σπίνορας είναι ένα διάνυσμα - στήλη με δύο συνιστώσες Αςαρχίσουμε με ορισμούς (πχ [62])

| ⟩ =

=

0

0

=| 0⟩ |darr⟩ =

bull

=

0

1

=| 1⟩ |uarr⟩ =

bull

=

1

0

=| 2⟩

(4112)Το πρώτο παριστά το άδειο δισταθμικό σύστημα το δεύτερο δηλώνει το δισταθμικόσύστημα με το ηλεκτρόνιο στην κάτω στάθμη όπου έχει ενέργεια E1 και το τρίτο δη-λώνει το δισταθμικό σύστημα με το ηλεκτρόνιο στην άνω στάθμη όπου έχει ενέργειαE2 Ας ορίσουμε τώρα τους τελεστές

S+ =

0 1

0 0

Sminus =

0 0

1 0

(4113)

για τους οποίους μάλιστα ισχύει Sdagger+ =

0 1

0 0

dagger

=

0 0

1 0

= Sminus Ας δούμε ποιό

είναι το αποτέλεσμα της δράσεώς τους στους σπίνορες που ορίσαμε μόλις προ ολίγου

S+ | 0⟩ =

0 1

0 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

S+ |darr⟩ =

0 1

0 0

0

1

=

1

0

=|uarr⟩ το ανεβάζει

S+ |uarr⟩ =

0 1

0 0

1

0

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

(4114)

159

Sminus | 0⟩ =

0 0

1 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

Sminus |darr⟩ =

0 0

1 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

Sminus |uarr⟩ =

0 0

1 0

1

0

=

0

1

=|darr⟩ το κατεβάζει

(4115)

΄Ετσι ο S+ ονομάζεται τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ενώ ο Sminus ονομάζε-ται τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) του ηλεκτρονίου Ας δούμε μερικέςακόμα ιδιότητες

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

= σx (4116)

που είναι ένας από τους πίνακες Pauli που παρατίθονται λίγο παρακάτω (Εξ 4133)Ακόμα

S+Sminus =

0 1

0 0

0 0

1 0

=

1 0

0 0

(4117)

SminusS+ =

0 0

1 0

0 1

0 0

=

0 0

0 1

(4118)

΄Αρα από τις Εξ 4117-4118 συνεπάγεται ότι

S+Sminus + SminusS+ =

1 0

0 1

= I (4119)

που είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας Μπορούμε να το γράψουμε και στη μορϕή

S+ Sminus = I (4120)

160

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4121)

ενώ [AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4122)

΄Οταν AB = 0 rArr AB + BA = 0 rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται ενώ όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οιποσότητες μετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση των ονομασίων ΄Οπωςθα δούμε παρακάτω η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσειςαντιμεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ηλεκτρόνια που είναι ϕερμιόνια ενώ ο με-ταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσεις μεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ϕωτόνιαπου είναι μποζόνια Συχνά στα ελληνικά συγγράμματα της δευτεροβάθμιας εκπαί-δευσης πολύ κακώς εδώ και δεκαετίες ονομάζεται ῾῾ αντιμεταθετική ᾿᾿ η μεταθετική(commutative) ιδιότητα χαθήκαμε δηλαδή στη μετάϕρασηΗ Χαμιλτονιανή του Δισταθμικού Συστήματος HΔΣ είναι η

E2S+Sminus + E1SminusS+ = E2

1 0

0 0

+ E1

0 0

0 1

=

E2 0

0 E1

(4123)

αϕού E2 0

0 E1

1

0

=

E2

0

= E2

1

0

(4124)

E2 0

0 E1

0

1

=

0

E1

= E1

0

1

(4125)

΄Αρα συνοπτικά δείξαμε ότι

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+ (4126)

Αν τώρα θέσουμε E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) οπότε

HΔΣ = ~ΩS+Sminus (4127)

161

Ο τελεστής S+Sminus μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη αϕού

S+Sminus | 1⟩ =

1 0

0 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ rArr S+Sminus | 1⟩ = 0 | 1⟩ (4128)

S+Sminus | 2⟩ =

1 0

0 0

1

0

=

1

0

=| 2⟩ rArr S+Sminus | 2⟩ = 1 | 2⟩ (4129)

Ο τελεστής SminusS+ μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην κάτω στάθμη αϕού

SminusS+ | 1⟩ =

0 0

0 1

0

1

=

0

1

=| 1⟩ rArr SminusS+ | 1⟩ = 1 | 1⟩ (4130)

SminusS+ | 2⟩ =

0 0

0 1

1

0

=

0

0

=| 0⟩ rArr SminusS+ | 2⟩ = 0 | 2⟩ (4131)

Παρατήρηση Συνοπτικά για τους τελεστές S+ και Sminus μπορούμε να αποδείξουμεότι (S+)

dagger = Sminus αλλά και ότι

S+ Sdagger+ = S+ Sminus = S+Sminus + SminusS+ = I

Sminus Sdaggerminus = Sminus S+ = SminusS+ + S+Sminus = I

S+ S+ = Sdaggerminus S

daggerminus = S+S+ + S+S+ = 0

Sminus Sminus = Sdagger+ S

dagger+ = SminusSminus + SminusSminus = 0

(4132)

όπου I είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας 2 times 2 και 0 είναι ο μηδενικός πίνακας2times2 Οι Εξ 4132 δείχνουν ότι οι τελεστές S+ και Sminus υπακούουν στις σχέσεις αντι-μεταθέσεως ϕερμιονίων που αναϕέρουμε στην Υποενότητα 462 της Ενότητας 46Ο S+ είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζει την ενέργειαδημιουργώντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού και η ονομασία τελεστής δημιουρ-γίας (creation operator) Ο Sminus είναι τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator)διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού καιη ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Μπορούμε να έχουμεμόνο ένα ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω διότι τα ηλεκτρόνια είναι ϕερμιόνια

162

Ας θυμηθούμε τώρα τους πίνακες Pauli σx σy σz και ας δούμε τη σχέση τους μετους τελεστές αναβιβάσεως και καταβιβάσεως ηλεκτρονίων S+ και Sminus αντιστοίχως

σx =

0 1

1 0

(4133)

σy =

0 minusi

i 0

(4134)

σz =

1 0

0 minus1

(4135)

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι ισχύει η ιδιότητα

[σx σy] = 2iσz (4136)

καθώς και οι κυκλικές εναλλαγές της Επίσης

σ2x = σ2

y = σ2z =

1 0

0 1

= I (4137)

και

σx σy = σxσy + σyσx = 0 (4138)

σy σz = σyσz + σzσy = 0

σz σx = σzσx + σxσz = 0

δηλαδή οι πίνακες Pauli αντιμετατίθονται Επί παραδείγματι

σx σy = σxσy + σyσx =0 1

1 0

0 minusi

i 0

+

0 minusi

i 0

0 1

1 0

=

i 0

0 minusi

+

minusi 0

0 i

=

0 0

0 0

= 0

Ακόμα μπορούμε να αποδείξουμε ότι

S+ + Sminus = σx

S+ minus Sminus = iσy

163

46 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων καισχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων

461 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων πχ ϕωτονίων

Ας ονομαστεί am ο τελεστής καταστροϕής μποζονίων και adaggerm ο τελεστήςδημιουργίας μποζονίων στην κατάσταση m Για τα μποζόνια ισχύουν οι σχέσειςμεταθέσεως (commutation relations)

[am aℓ] = 0

[adaggerm adaggerℓ] = 0

(4139)

[AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4140)

οπότε όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οι ποσότητεςμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας

462 Σχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων πχ ηλε-κτρονίων

Ας ονομαστεί ai ο τελεστής καταστροϕής ϕερμιονίων και adaggeri ο τελεστής δη-μιουργίας ϕερμιονίων στην κατάσταση i Για τα ϕερμιόνια ισχύουν οι σχέσεις αντι-μεταθέσεως (anticommutation relations)

ai adaggerj = δij

ai aj = 0

adaggeri adaggerj = 0

(4141)

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4142)

οπότε όταν AB = 0rArr AB+BA = 0rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας Αν εϕαρμόσουμετη σχέση adaggeri a

daggerj = 0 για την ίδια κατάσταση πχ i = j = r έχουμε adaggerr adaggerr =

0 rArr adaggerradaggerr = 0 που σημαίνει ότι

δεν μπορούμε να βάλουμε δύο ϕερμιόνια στην ίδια

κατάσταση πράγμα που είναι η απαγορευτική αρχή Pauli

164

47 Τελεστές κλίμακας (Ladder operators) [63]

Στη γραμμική άλγεβρα καθώς και στις εϕαρμογές της στην κβαντική μηχανική ορί-ζεται ο τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ο οποίος αυξάνει την ιδιοτιμή ενόςάλλου τελεστή και ο τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) ο οποίος μειώνειτην ιδιοτιμή ενός άλλου τελεστή Αυτοί συλλογικά ονομάζονται τελεστές κλίμα-κας (ladder operators) Στην κβαντομηχανική ο τελεστής αναβιβάσεως καλείταισυχνά τελεστής δημιουργίας (creation operator) και ο τελεστής καταβιβάσεως κα-λείται συχνά τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Γνωστές εϕαρμογέςτων τελεστών κλίμακας είναι στον απλό αρμονικό ταλαντωτή και στη στροϕορμήΣε πολλές περιοχές της ϕυσικής και της χημείας η χρήση αυτών των τελεστών αντίκυματοσυναρτήσεων είναι γνωστή ως δεύτερη κβάντωση (second quantization) [64]

165

48 Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεωςδισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου

΄Εστω δύο αντίθετα ηλεκτρικά ϕορτία q gt 0 και minusq lt 0 στα σημεία Θ και Α

αντιστοίχως Αν d =minusrarrΑΘ είναι το διάνυσμα θέσεως του θετικού ϕορτίου ως προς το

αρνητικό τότε η ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) ορίζεταιως

P = qd (4143)

πχ για το άτομο του υδρογόνου αν το Π παριστάνει τον πυρήνα και το Η παριστάνει

το ηλεκτρόνιο και ως συνήθως ορίσουμε r =minusrarrΠΗ τότε P = qd = e(minusr)rArr

P = minuser (4144)

Αυτό αποδίδεται άνω τμήμα του Σχήματος 46 Η δυναμική ενέργεια (potential

Σχήμα 46 ΄Ανω Ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) Κάτω (Ηλεκτρική) διπολικήροπή μεταβάσεως (transition (electric) dipole moment)

energy) UE του ηλεκτρικού διπόλου εντός ηλεκτρικού πεδίου E είναι

UE = minusP middot E (4145)

166

Ανάλογος με τον παραπάνω ορισμό μπορεί να δοθεί και για την περίπτωση της με-ταβάσεως ενός τμήματος του ηλεκτρονιακού νέϕους από μία αρχική σε μια τελική πε-ριοχή ΄Ετσι ορίζεται η (ηλεκτρική) διπολική ροπή μεταβάσεως [transition(electric) dipole moment] 1 Αυτό αποδίδεται στο κάτω τμήμα το Σχήματος 46Αν το ϕορτίο που μεταϕέρεται είναι minuse πάλι p = qd = e(minusr)rArr p = minuser Δηλαδήεννοείται ότι για την περιοχή 2 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμεί με μετά-βαση ϕορτίου minuse ενώ για την περιοχή 1 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμείμε μετάβαση ϕορτίου +eΟ τελεστής (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως [transition

(electric) dipole moment operator] σημειώνεται εναλλακτικά με ˆd ή ˆp Στη βάση τωνιδιοκαταστάσεων της ενέργειας του αδιατάρακτου ατόμου ή συστήματος ορίζεται ως

ˆd = ˆp =

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | (4146)

με τους επίσης εναλλακτικούς συμβολισμούς

dij = pij = minuse⟨Φi | ˆr | Φj⟩ (4147)

για το στοιχείο πίνακα της (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως μεταξύ των κα-ταστάσεων | Φi⟩ και | Φj⟩ Υπενθυμίζεται ότι ο τελεστής θέσεως (position operator)ˆr είναι τέτοιος ώστε

ˆr | r⟩ = r | r⟩ (4148)

Υπενθυμίζεται για τον συμβολισμό Dirac ότι

| A⟩ =

α1

α2

hArr ⟨A |= (αlowast1 αlowast

2) (4149)

Υπενθυμίζεται ακόμα ότι

⟨Φi | ˆr | Φj⟩ =sum

|rprime⟩|rprimeprime⟩

⟨Φi | rprime⟩⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩⟨rprimeprime | Φj⟩ =sum|rprime⟩

⟨Φi | rprime⟩ rprime ⟨rprime | Φj⟩

=sum|r⟩

⟨Φi | r⟩ r ⟨r | Φj⟩ =intdV Φi(r)

lowastrΦj(r)

1Η λέξη ῾῾ ηλεκτρική ᾿᾿ είναι εντός παρενθέσεως επειδή συνήθως επειδή εννοείται παραλείπεται

167

διότι⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩ = rprimeprime⟨rprime|rprimeprime⟩ = rprimeprimeδrprimerprimeprime (4150)

΄Αρα

d11 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ1(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4151)

d12 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ2(r) = 0 (4152)

d21 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ1(r) = 0 (4153)

d22 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ2(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4154)

Δηλαδή ενώ τα διαγώνια στοιχεία μηδενίζονται τα d12 και d21 δεν είναι (῾῾ εκ ταυτό-τητος ᾿᾿) μηδέν Ας δούμε τώρα ποιος είναι ο ˆp σε δισταθμικό σύστημα

ˆp = d11 | Φ1⟩⟨Φ1 | + d12 | Φ1⟩⟨Φ2 | + d21 | Φ2⟩⟨Φ1 | + d22 | Φ2⟩⟨Φ2 |

= d11

0

1

(0 1)+ d12

0

1

(1 0)+ d21

1

0

(0 1)+ d22

1

0

(1 0)

= 0 ⋆

d11︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

0 0

0 1

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

+ d12︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 0

1 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ d21︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 1

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ 0 ⋆

d22︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

1 0

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

Από τις Εξ (4152)-(4153) συμπεραίνουμε ότι d12 = d21 με την προϋπόθεση ότι οιΦi(r) είναι πραγματικές οπότε

ˆp = d12

0 1

1 0

(4155)

168

Ερώτηση Και τι κάνει ο τελεστής

0 1

1 0

Απάντηση0 1

1 0

0

1

=

1

0

0 1

1 0

1

0

=

0

1

Δηλαδή μεταϕέρει από τη μία ενεργειακή στάθμη στην άλλη όπως θα έπρεπε

Τώρα μπορεί να οριστεί ο τελεστής δυναμικής ενέργειας (potential e-nergy operator) Θεωρούμε ότι η αλληλεπίδραση δισταθμικού συστήματος - ΗΜπεδίου έχει τη μορϕή μηχανισμού ηλεκτρικού διπόλου Αγνοούμε άλλης μορϕής αλ-ληλεπιδράσεις όπως πχ ηλεκτρικού τετραπόλου ή μαγνητικού διπόλου Αϕού

UE = minusP middot E rArr

UmE = minusP middot Em (4156)

όπου ο δείκτης m δηλώνει τον m τρόπο του ΗΜ πεδίου ο αντίστοιχος τελεστήςμπορεί να οριστεί ως

UmE = minus ˆp middot ˆEm (4157)

Επομένως

UmE = minus

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | middotEmx (z t)i

i είναι το μοναδιαίο άνυσμα του άξονα x αϕού έχουμε υποθέσει αυτόν τον προσανα-τολισμό για το ηλεκτρικό πεδίο (δείτε Σχήμα 42) ΄Η λόγω της Εξ 4155

UmE = minusd12

0 1

1 0

middot Emx (z t)i (4158)

Αλλά

d12 middot i = minuseintdV Φ1(r)

lowast(r middot i)Φ2(r) = minusex12 = Px12 = P (4159)

169

Συνεπώς

UmE = ex12

0 1

1 0

Emx (z t) (4160)

Υπενθυμίζονται οι Εξ 4110 και 4111

Emx (z t) =

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4161)

Bmy (z t) =

(~ωmε0V

) 12 1

ccos(mπz

L

)i(adaggerm minus am) (4162)

από τις οποίες όμως στα πλαίσια των υποθέσεών μας χρειαζόμαστε τώρα μόνον τηνπρώτη Επίσης υπενθυμίζεται ότι

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

(4163)

΄Αρα εν τέλει

UmE = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4164)

Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε

~gm = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(4165)

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4166)

Αυτή είναι λοιπόν η Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συ-στήματος - ΗΜ πεδίου για τον ΗΜ τρόπο m Εάν βρισκόμαστε σταπλαίσια της ατομικής ϕυσικής τότε συμβολίζεται και Hm

AF όπου οι δείκτες σημαίνουνAtom-FieldΑπό την Εξ 4165 προκύπτει

~|gm| = |P |∣∣∣∣ (~ωm

ε0V

) 12

sin(mπz

L

) ∣∣∣∣ = |P| Em0 (4167)

170

όπου όμως το ῾῾ πλάτος ᾿᾿ Em0 εξαρτάται από τη θέση z του ατόμου στην κοιλότητα

είναι δηλαδή Em0 = Em

0 (z) Η |gm| (ή οποία συμβολίζεται και με ΩmR ) είναι η λεγόμενη

συχνότητα Rabi Εάν εννοείται σε ποιον ΗΜ τρόπο m αναϕερόμαστε μπορούμε ναχρησιμοποιήσουμε σκέτο το |g| ή το ΩR ΄Αρα

|gm| ή ΩmR =

|P|Em0

~(4168)

Για να μη γράϕουμε απόλυτα μπορούμε σε κάθε θέση να διαλέγουμε τη ϕάση τωνκυματοσυναρτήσεων τέτοια ώστε το g να είναι θετικό και πραγματικό [65] Συνοπτικά

gm ή ΩmR =

|P|Em0

~(4169)

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Τώρα συμπληρώνεται η εικόνα με την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπί-δραση ενός ΗΜ τρόπου m με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4170)

΄Αρα η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4171)

Επομένως οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩ (4172)

|darr nm⟩ (4173)

171

Ας δούμε λίγο προσεκτικότερα τη Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικούσυστήματος - ΗΜ πεδίου (Εξ 4166) Για έναν μοναδικό τρόπο m η Χαμιλτονιανήαυτή αναλυεται σε τέσσερις όρους

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) =

= ~gmS+adaggerm︸ ︷︷ ︸

1ος

+ S+am︸ ︷︷ ︸2ος

+ Sminusadaggerm︸ ︷︷ ︸

3ος

+ Sminusam︸ ︷︷ ︸4ος

bull 1ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E gt 0 Επόμένως αυτός ο όρος μόνος τουδεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

bull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻︸ ︷︷ ︸

μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολ-λοί τρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτο-νιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται απόάθροισμα όρων όπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημανα απορροϕήσει ένα ϕωτόνιο υψηλής συχνότητας και να ανεβεί ενώ παράλληλαδημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο χαμηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi www≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

simsim≻ ff lt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 2ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο Αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

172

bull 3ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιοΚαι αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικάbull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 4ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο ΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E lt 0 Επόμένως και αυτός ο όροςμόνος του δεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολλοίτρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτονιανή αλλη-λεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται από άθροισμα όρωνόπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημα να απορροϕήσει έναϕωτόνιο χαμηλής συχνότητας και να κατεβεί ενώ παράλληλα δημιουργείται εκπέμ-πεται ϕωτόνιο υψηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

www≻ ff gt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

Αν αγνοήσουμε τον 1ο και 4ο όρο που ο καθένας μόνος του δεν διατηρεί τηνενέργεια τότε

UmE = ~gm

(S+am + Sminusa

daggerm

) (4174)

Η προσέγγιση είναι κατά κάποιο τρόπο ανάλογη της RWA (Rotating Wave Approxi-mation) του Κεϕαλαίου 3 Εκεί στις εξισώσεις Rabi κρατήσαμε μόνο τους αργούςόρους όπου ΗΜ πεδίο και το δισταθμικό σύστημα βρίσκονται σε περίπου συντονισμό

173

δηλαδή Ω ≃ ω Τότε κρατήσαμε τους αργούς όρους eplusmni(Ωminusω)t και αγνοήσαμε τουςγρήγορους όρους eplusmni(Ω+ω)tΣυνοπτικά ενώ για την ολική Χαμιλτονιανή ενός τρόπου m έχουμε την λεγόμενη

Χαμιλτονιανή Rabi

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4175)

κατά την παραπάνω συζήτηση αγνοούμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενουςcounter-rotating terms

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4176)

οπότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66]

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4177)

Στην ΄Ασκηση 1 (παραλείποντας τον δείκτη του ΗΜ τρόπου m απλότητα) βρί-σκουμε (Α) τι κάνουν οι όροι adaggera aadagger S+Sminus SminusS+ S+a

dagger S+a Sminusadagger Sminusa στις κα-

ταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩ και (Β) υπολογίζουμε τα ⟨adaggera⟩ ⟨aadagger⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨SminusS+⟩⟨S+a

dagger⟩ ⟨S+a⟩ ⟨Sminusadagger⟩ ⟨Sminusa⟩ για τις καταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩

174

49 Σύνοψη Χαμιλτονιανών

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Ακόμα είδαμε την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπίδραση ενός ΗΜ τρόπουm με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

Οπότε η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί (Εξ 4171)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

και οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩|darr nm⟩

Ακόμα αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενους counter-rotatingterms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam)

τότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66] (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm)

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

151

΄Οσον αϕορά τις μονάδες θα πρέπει [2radicc

LN ] = V

m= N

CrArr

[N ] =Vradicms

(461)

Για να προσδιορίσουμε το μαγνητικό πεδίο θα χρησιμοποιήσουμε την Εξ 435 σεσυνδυασμό με την Εξ 460 οπότε προκύπτει

partBmy

partz= minus 1

c22radicc

LN sin

(mπzL

) mπcL

cos

(mπct

L

)rArr (462)

int zprime

0

dzpartBm

y

partz= minus 2mπradic

cL2N cos

(mπct

L

)int zprime

0

dz sin(mπz

L

)rArr (463)

Bmy (z

prime t)minusBmy (0 t) = minus

2mπradiccL2N cos

(mπct

L

)L

mπ

[minus cos

(mπzL

)]zprime0

rArr (464)

Bmy (z

prime t)minusBmy (0 t) =

2NradiccL

cos

(mπct

L

)[cos

(mπzprime

L

)minus1cos 0

] (465)

΄Αρα ορίζοντας κατάλληλα την τιμή του Bmy (0 t) προκύπτει

Bmy (z t) =

2NradiccL

cos(mπz

L

)cos

(mπct

L

)(466)

Για την πυκνότητα ενέργειας ισχύει

U =ϵ02E2 +

1

2micro0

B2 =ϵ02[E2 + c2B2] (467)

Σημειώνουμε ότι οι μονάδες για την πυκνότητα ενέργειας είναι [U ] = Jm3 Για πα-

ράδειγμα [ ϵ02E2] = F

mV2

m2 = CV2

Vm3 = Jm3 και [ B

2

2micro0] = T2A

Tm= TA

m= N

m2 = Nmm3 = J

m3 πχ λόγω των γνωστών σχέσεωνB = micro0H F = BIl και c2 = 1

ϵ0micro0 ΄Αρα από τις

Εξ 460 466 467 βρίσκουμε την πυκνότητα ενέργειας του m τρόπου

Um =ϵ02

4cN 2

L2

[sin2

(mπzL

)sin2

(mπct

L

)+ cos2

(mπzL

)cos2

(mπct

L

)] (468)

΄Αρα η ενέργεια του m τρόπου η οποία υπολογίζεται ολοκληρώνοντας την πυ-κνότητα ενέργειας του m τρόπου στην κοιλότητα όγκου V = LS

Εm =

intV=LS

d3r Um (469)

152

είναι

Εm =2ϵ0cN 2S

L2

[sin2

(mπct

L

)int L

0

dz sin2(mπz

L

)+ cos2

(mπct

L

)int L

0

dz cos2(mπz

L

)]

Θέτουμε ψ = πzLrArr dψ = π

Ldz άρα με τη βοήθεια των Εξ 446-447 τα ολοκληρώ-

ματα στο z γίνονται Lπ

int π0dψ sin2(mψ) = L

ππ2= L

2και L

π

int π0dψ cos2(mψ) = L

ππ2= L

2

Αντικαθιστούμε στην παραπάνω εξίσωση και τελικά έχοντας ακολουθήσει αυτή τηνκλασική προσέγγιση έχουμε

Εm =ϵ0cN 2S

L

[sin2

(mπct

L

)+ cos2

(mπct

L

)]=ϵ0cN 2S

L(470)

Ας δούμε τώρα λίγο αλλιώτικα την Εm

Εm =ϵ0cN 2S

L3

[L2 sin2

(mπct

L

)+ L2 cos2

(mπct

L

)] (471)

ορίζοντας ῾῾ γενικευμένη θέση και ταχύτητα ᾿᾿ Καλούμε λοιπόν ῾῾ γενικευμένη θέση ᾿᾿

qm(t) = L sin

(mπct

L

)(472)

και ῾῾ γενικευμένη ταχύτητα ᾿᾿

˙qm(t) = mπc cos

(mπct

L

)(473)

ούτως ώστε [qm(t)] = m και [ ˙qm(t)] = ms Τότε η Εξ 471 γράϕεται

Εm =ϵ0cN 2S

L3

[(qm(t))

2 +L2

m2π2c2( ˙qm(t))

2

] (474)

Θα μπορούσαμε εδώ να θεωρήσουμε μια αναλογία της Εξ 474 με Απλό ΑρμονικόΤαλαντωτή (ΑΑΤ) του οποίου η ενέργεια θα ήταν

Ε =K

2x2 +

M

2v2 =

K

2[x2 +

M

Kv2] (475)

Επομένωςϵ0cN 2S

L3=K

2 (476)

153

L2

m2π2c2=M

K (477)

Δηλαδή προκύπτει η ῾῾ σταθερά ελατηρίου ᾿᾿

K =2ϵ0cN 2S

L3 (478)

και η ῾῾ μάζα ᾿᾿ (η οποία σημειωτέο εξαρτάται από το m είναι δηλαδή διαϕορετική γιακάθε τρόπο του ΗΜ πεδίου m)

Mm =2ϵ0N 2S

cLm2π2 (479)

Μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι η Mm έχει διαστάσεις μάζας (θα χρειαστείκαι η Εξ 461) και πως ισχύει K = Mmω

2m ΄Αρα κλασικά υπάρχει μία τυπική

ομοιότητα με ΑΑΤ με κυκλική συχνότητα ωm (Εξ 450) και ῾῾ μάζα ᾿᾿ Mm (Εξ 479)δηλαδή η Εξ 471 ή 474 γράϕεται

Εm =Mmω

2m

2q2m +

Mm

2q2m (480)

Μπορούμε επομένως να πούμε ότι το κβαντικό αντίστοιχο για ένα τρόπο ΗΜπεδίου m δηλαδή η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m θα είναι

HΗΜ m =Mmω

2m

2q2m +

Mm

2˙q2m (481)

με ιδιοτιμές ενέργειας

Emnm = ~ωm(nm +1

2) (482)

όπου ο δείκτης m isin N lowast αϕορά τον τρόπο του ΗΜ πεδίου και ο δείκτης nm isin Nαϕορά τον αριθμό των ϕωτονίων στον τρόπο m Συνεπώς η Χαμιλτονιανή για όλουςτους τρόπους του ΗΜ πεδίου θα είναι

HΗΜ =summ

HΗΜ m (483)

Κατόπιν σημειώνουμε ότι από τις Εξ 460 και 472 συνεπάγεται ότι

Emx (z t) =

2radicc

L2N sin

(mπzL

)qm(t) (484)

154

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Emx (z t) =

2radicc

L2N sin

(mπzL

)qm(t) (485)

Επίσης από τις Εξ 466 και 473 συνεπάγεται ότι

Bmy (z t) =

2NLradicc

1

mπccos(mπz

L

)qm(t) (486)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Bmy (z t) =

2NLradicc

1

mπccos(mπz

L

)ˆqm(t) (487)

Από τις ΄Εξ 484 479 και 450 προκύπτει

Emx (z t) =

(2Mmωm

2

ϵ0V

)12

sin(mπz

L

)qm(t) (488)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Emx (z t) =

(2Mmωm

2

ϵ0V

)12

sin(mπz

L

)qm(t) (489)

Από τις ΄Εξ 486 479 και 450 προκύπτει

Bmy (z t) =

1

c

(2Mm

ϵ0V

)12

cos(mπz

L

)qm(t) (490)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Bmy (z t) =

1

c

(2Mm

ϵ0V

)12

cos(mπz

L

)ˆqm(t) (491)

Τέλος από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει όπως αναμενόταν [Ex

By] = [c]

155

44 Χαμιλτονιανή ΗΜ πεδίου με τελεστέςκαταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίων

Ας μιλήσουμε τώρα για τελεστές καταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίων (photoncreation and annihilation operators) Είναι τώρα εύκολο να κβαντωθεί η Χαμιλτο-νιανή που περιγράϕει το ΗΜ πεδίο αρκεί να εϕαρμοστεί η αντιστοιχία τελεστών

qm = qm (492)

pm = minusi~ part

partqm(493)

Εισάγουμε τους τελεστές

am =1radic

2Mm~ωm(Mmωmqm + ipm) ῾῾ καταστροϕής ᾿᾿ (494)

adaggerm =1radic

2Mm~ωm(Mmωmqm minus ipm) ῾῾ δημιουργίας ᾿᾿ (495)

Ισχύουν οι ιδιότητες[am a

daggerm]︸ ︷︷ ︸

μεταθέτης

= amadaggerm minus adaggermam = 1 (496)

[qm pm]︸ ︷︷ ︸μεταθέτης

= i~ (497)

΄Ετσι οι τελεστές qm pm μπορούν τώρα να γραϕούν

qm =

(~

2Mmωm

)12

(adaggerm + am) (498)

pm = i

(Mm~ωm

2

)12

(adaggerm minus am) (499)

Συνεπώς η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m είναι

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)(4100)

Ας συμβολίσουμε με |nm⟩ την κατάσταση του ΗΜ πεδίου με nm αριθμό ϕωτονίωνστον ΗΜ τρόπο m Λέμε ότι είναι μια ῾῾ κατάσταση ϕωτονικών αριθμών ᾿᾿ Τα |nm⟩αποτελούν ένα πλήρες σύστημα δηλαδή ισχύει ⟨nm|lm⟩ = δnl

156

Οι τελεστές adaggerm και am έχουν τις ιδιότητες

adaggerm |nm⟩ =radicnm + 1 |nm + 1⟩ (4101)

am |nm⟩ =radicnm |nm minus 1⟩ (4102)

am |0⟩ = |0⟩ (4103)

Από τις Εξ 4101 και 4102 προκύπτει

adaggermam |nm⟩ = nm |nm⟩ (4104)

δηλαδή ο τελεστής Nm = adaggermam μετρά τον αριθμό των ϕωτονίων του ΗΜ τρόπου mοπότε μπορεί να αποκληθεί τελεστής του αριθμού των ϕωτονίων στον ΗΜ τρόπο mΑκόμα επαγωγικά προκύπτει

|nm⟩ =1radicnm

(adaggerm)nm |0⟩ (4105)

Λόγω των Εξ 4100 και 4104 προκύπτει

HΗΜ m |nm⟩ = ~ωm(nm +1

2) |nm⟩ (4106)

δηλαδή η Χαμιλτονιανή HΗΜ m δίνει ιδιοτιμές ενέργειας

Emnm = ~ωm(nm +1

2) (4107)

Η θεμελιώδης κατάσταση του ΑΑΤ |0⟩ με ιδιοενέργεια 12~ωm αντιστοιχεί στο κενό

δηλαδή χωρίς σωμάτιο η 1η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |1⟩ με ιδιοενέργεια 32~ωm

αντιστοιχεί σε ένα σωμάτιο η 2η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |2⟩ με ιδιοενέργεια52~ωm αντιστοιχεί σε δύο σωμάτια κοκ Αυτά τα σωμάτια εν προκειμένω τα λέμεϕωτόνια Δημιουργούνται και καταστρέϕονται με τους τελεστές αναβιβάσεως καικαταβιβάσεως ξεκινώντας από ένα επίπεδο αναϕοράς που εδώ είναι το κενό Υπακού-ουν στις μποζονικές σχέσεις μεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράστασηείναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση (second quantization)Η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)= ~ωm

(Nm +

1

2

) (4108)

157

αγνοώντας τον όρο ~ωm

2 μπορεί να γραϕτεί

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm (4109)

Μπορούμε να έχουμε οσαδήποτε ϕωτόνια στην ενεργειακή κατάσταση ~ωm διότι εί-ναι μποζόνια Ο adaggerm είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζειτην ενέργεια δημιουργώντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωm εξ ού και η ονομασία τελε-στής δημιουργίας (creation operator) Ο am είναι τελεστής καταβιβάσεως (loweringoperator) διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωmεξ ού και η ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator)

Σχήμα 45 Σωμάτια (εδώ ϕωτόνια απεικονίζονται με πράσινες βούλες) δημιουργούνται και κατα-στρέϕονται μέσω των τελεστών αναβιβάσεως και καταβιβάσεως Υπακούουν στις μποζονικές σχέσειςμεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράσταση είναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση(second quantization) Ο αριθμός των ϕωτονίων είναι ίσος με τον αριθμό των κόμβων της ιδιοσυ-ναρτήσεως

Τέλος ας σημειώσουμε ότι από τις Εξ 489 και 498 προκύπτει

Emx (z t) =

(~ωmϵ0V

)12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4110)

ενώ από τις Εξ 491 και 499 προκύπτει

Bmy (z t) =

i

c

(~ωmϵ0V

)12

cos(mπz

L

)(adaggerm minus am) (4111)

158

45 Χαμιλτονιανή δισταθμικού συστήματοςμε σπίνορες

Θα περιγράψουμε την αναβίβαση και την καταβίβαση ενός ηλεκτρονίου μεταξύ τωνενεργειακών σταθμών ενός δισταθμικού συστήματος πχ ενός ατόμου με τη βοήθειασπινόρων (spinors) Σπίνορας είναι ένα διάνυσμα - στήλη με δύο συνιστώσες Αςαρχίσουμε με ορισμούς (πχ [62])

| ⟩ =

=

0

0

=| 0⟩ |darr⟩ =

bull

=

0

1

=| 1⟩ |uarr⟩ =

bull

=

1

0

=| 2⟩

(4112)Το πρώτο παριστά το άδειο δισταθμικό σύστημα το δεύτερο δηλώνει το δισταθμικόσύστημα με το ηλεκτρόνιο στην κάτω στάθμη όπου έχει ενέργεια E1 και το τρίτο δη-λώνει το δισταθμικό σύστημα με το ηλεκτρόνιο στην άνω στάθμη όπου έχει ενέργειαE2 Ας ορίσουμε τώρα τους τελεστές

S+ =

0 1

0 0

Sminus =

0 0

1 0

(4113)

για τους οποίους μάλιστα ισχύει Sdagger+ =

0 1

0 0

dagger

=

0 0

1 0

= Sminus Ας δούμε ποιό

είναι το αποτέλεσμα της δράσεώς τους στους σπίνορες που ορίσαμε μόλις προ ολίγου

S+ | 0⟩ =

0 1

0 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

S+ |darr⟩ =

0 1

0 0

0

1

=

1

0

=|uarr⟩ το ανεβάζει

S+ |uarr⟩ =

0 1

0 0

1

0

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

(4114)

159

Sminus | 0⟩ =

0 0

1 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

Sminus |darr⟩ =

0 0

1 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

Sminus |uarr⟩ =

0 0

1 0

1

0

=

0

1

=|darr⟩ το κατεβάζει

(4115)

΄Ετσι ο S+ ονομάζεται τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ενώ ο Sminus ονομάζε-ται τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) του ηλεκτρονίου Ας δούμε μερικέςακόμα ιδιότητες

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

= σx (4116)

που είναι ένας από τους πίνακες Pauli που παρατίθονται λίγο παρακάτω (Εξ 4133)Ακόμα

S+Sminus =

0 1

0 0

0 0

1 0

=

1 0

0 0

(4117)

SminusS+ =

0 0

1 0

0 1

0 0

=

0 0

0 1

(4118)

΄Αρα από τις Εξ 4117-4118 συνεπάγεται ότι

S+Sminus + SminusS+ =

1 0

0 1

= I (4119)

που είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας Μπορούμε να το γράψουμε και στη μορϕή

S+ Sminus = I (4120)

160

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4121)

ενώ [AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4122)

΄Οταν AB = 0 rArr AB + BA = 0 rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται ενώ όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οιποσότητες μετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση των ονομασίων ΄Οπωςθα δούμε παρακάτω η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσειςαντιμεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ηλεκτρόνια που είναι ϕερμιόνια ενώ ο με-ταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσεις μεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ϕωτόνιαπου είναι μποζόνια Συχνά στα ελληνικά συγγράμματα της δευτεροβάθμιας εκπαί-δευσης πολύ κακώς εδώ και δεκαετίες ονομάζεται ῾῾ αντιμεταθετική ᾿᾿ η μεταθετική(commutative) ιδιότητα χαθήκαμε δηλαδή στη μετάϕρασηΗ Χαμιλτονιανή του Δισταθμικού Συστήματος HΔΣ είναι η

E2S+Sminus + E1SminusS+ = E2

1 0

0 0

+ E1

0 0

0 1

=

E2 0

0 E1

(4123)

αϕού E2 0

0 E1

1

0

=

E2

0

= E2

1

0

(4124)

E2 0

0 E1

0

1

=

0

E1

= E1

0

1

(4125)

΄Αρα συνοπτικά δείξαμε ότι

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+ (4126)

Αν τώρα θέσουμε E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) οπότε

HΔΣ = ~ΩS+Sminus (4127)

161

Ο τελεστής S+Sminus μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη αϕού

S+Sminus | 1⟩ =

1 0

0 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ rArr S+Sminus | 1⟩ = 0 | 1⟩ (4128)

S+Sminus | 2⟩ =

1 0

0 0

1

0

=

1

0

=| 2⟩ rArr S+Sminus | 2⟩ = 1 | 2⟩ (4129)

Ο τελεστής SminusS+ μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην κάτω στάθμη αϕού

SminusS+ | 1⟩ =

0 0

0 1

0

1

=

0

1

=| 1⟩ rArr SminusS+ | 1⟩ = 1 | 1⟩ (4130)

SminusS+ | 2⟩ =

0 0

0 1

1

0

=

0

0

=| 0⟩ rArr SminusS+ | 2⟩ = 0 | 2⟩ (4131)

Παρατήρηση Συνοπτικά για τους τελεστές S+ και Sminus μπορούμε να αποδείξουμεότι (S+)

dagger = Sminus αλλά και ότι

S+ Sdagger+ = S+ Sminus = S+Sminus + SminusS+ = I

Sminus Sdaggerminus = Sminus S+ = SminusS+ + S+Sminus = I

S+ S+ = Sdaggerminus S

daggerminus = S+S+ + S+S+ = 0

Sminus Sminus = Sdagger+ S

dagger+ = SminusSminus + SminusSminus = 0

(4132)

όπου I είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας 2 times 2 και 0 είναι ο μηδενικός πίνακας2times2 Οι Εξ 4132 δείχνουν ότι οι τελεστές S+ και Sminus υπακούουν στις σχέσεις αντι-μεταθέσεως ϕερμιονίων που αναϕέρουμε στην Υποενότητα 462 της Ενότητας 46Ο S+ είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζει την ενέργειαδημιουργώντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού και η ονομασία τελεστής δημιουρ-γίας (creation operator) Ο Sminus είναι τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator)διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού καιη ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Μπορούμε να έχουμεμόνο ένα ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω διότι τα ηλεκτρόνια είναι ϕερμιόνια

162

Ας θυμηθούμε τώρα τους πίνακες Pauli σx σy σz και ας δούμε τη σχέση τους μετους τελεστές αναβιβάσεως και καταβιβάσεως ηλεκτρονίων S+ και Sminus αντιστοίχως

σx =

0 1

1 0

(4133)

σy =

0 minusi

i 0

(4134)

σz =

1 0

0 minus1

(4135)

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι ισχύει η ιδιότητα

[σx σy] = 2iσz (4136)

καθώς και οι κυκλικές εναλλαγές της Επίσης

σ2x = σ2

y = σ2z =

1 0

0 1

= I (4137)

και

σx σy = σxσy + σyσx = 0 (4138)

σy σz = σyσz + σzσy = 0

σz σx = σzσx + σxσz = 0

δηλαδή οι πίνακες Pauli αντιμετατίθονται Επί παραδείγματι

σx σy = σxσy + σyσx =0 1

1 0

0 minusi

i 0

+

0 minusi

i 0

0 1

1 0

=

i 0

0 minusi

+

minusi 0

0 i

=

0 0

0 0

= 0

Ακόμα μπορούμε να αποδείξουμε ότι

S+ + Sminus = σx

S+ minus Sminus = iσy

163

46 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων καισχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων

461 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων πχ ϕωτονίων

Ας ονομαστεί am ο τελεστής καταστροϕής μποζονίων και adaggerm ο τελεστήςδημιουργίας μποζονίων στην κατάσταση m Για τα μποζόνια ισχύουν οι σχέσειςμεταθέσεως (commutation relations)

[am aℓ] = 0

[adaggerm adaggerℓ] = 0

(4139)

[AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4140)

οπότε όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οι ποσότητεςμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας

462 Σχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων πχ ηλε-κτρονίων

Ας ονομαστεί ai ο τελεστής καταστροϕής ϕερμιονίων και adaggeri ο τελεστής δη-μιουργίας ϕερμιονίων στην κατάσταση i Για τα ϕερμιόνια ισχύουν οι σχέσεις αντι-μεταθέσεως (anticommutation relations)

ai adaggerj = δij

ai aj = 0

adaggeri adaggerj = 0

(4141)

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4142)

οπότε όταν AB = 0rArr AB+BA = 0rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας Αν εϕαρμόσουμετη σχέση adaggeri a

daggerj = 0 για την ίδια κατάσταση πχ i = j = r έχουμε adaggerr adaggerr =

0 rArr adaggerradaggerr = 0 που σημαίνει ότι

δεν μπορούμε να βάλουμε δύο ϕερμιόνια στην ίδια

κατάσταση πράγμα που είναι η απαγορευτική αρχή Pauli

164

47 Τελεστές κλίμακας (Ladder operators) [63]

Στη γραμμική άλγεβρα καθώς και στις εϕαρμογές της στην κβαντική μηχανική ορί-ζεται ο τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ο οποίος αυξάνει την ιδιοτιμή ενόςάλλου τελεστή και ο τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) ο οποίος μειώνειτην ιδιοτιμή ενός άλλου τελεστή Αυτοί συλλογικά ονομάζονται τελεστές κλίμα-κας (ladder operators) Στην κβαντομηχανική ο τελεστής αναβιβάσεως καλείταισυχνά τελεστής δημιουργίας (creation operator) και ο τελεστής καταβιβάσεως κα-λείται συχνά τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Γνωστές εϕαρμογέςτων τελεστών κλίμακας είναι στον απλό αρμονικό ταλαντωτή και στη στροϕορμήΣε πολλές περιοχές της ϕυσικής και της χημείας η χρήση αυτών των τελεστών αντίκυματοσυναρτήσεων είναι γνωστή ως δεύτερη κβάντωση (second quantization) [64]

165

48 Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεωςδισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου

΄Εστω δύο αντίθετα ηλεκτρικά ϕορτία q gt 0 και minusq lt 0 στα σημεία Θ και Α

αντιστοίχως Αν d =minusrarrΑΘ είναι το διάνυσμα θέσεως του θετικού ϕορτίου ως προς το

αρνητικό τότε η ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) ορίζεταιως

P = qd (4143)

πχ για το άτομο του υδρογόνου αν το Π παριστάνει τον πυρήνα και το Η παριστάνει

το ηλεκτρόνιο και ως συνήθως ορίσουμε r =minusrarrΠΗ τότε P = qd = e(minusr)rArr

P = minuser (4144)

Αυτό αποδίδεται άνω τμήμα του Σχήματος 46 Η δυναμική ενέργεια (potential

Σχήμα 46 ΄Ανω Ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) Κάτω (Ηλεκτρική) διπολικήροπή μεταβάσεως (transition (electric) dipole moment)

energy) UE του ηλεκτρικού διπόλου εντός ηλεκτρικού πεδίου E είναι

UE = minusP middot E (4145)

166

Ανάλογος με τον παραπάνω ορισμό μπορεί να δοθεί και για την περίπτωση της με-ταβάσεως ενός τμήματος του ηλεκτρονιακού νέϕους από μία αρχική σε μια τελική πε-ριοχή ΄Ετσι ορίζεται η (ηλεκτρική) διπολική ροπή μεταβάσεως [transition(electric) dipole moment] 1 Αυτό αποδίδεται στο κάτω τμήμα το Σχήματος 46Αν το ϕορτίο που μεταϕέρεται είναι minuse πάλι p = qd = e(minusr)rArr p = minuser Δηλαδήεννοείται ότι για την περιοχή 2 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμεί με μετά-βαση ϕορτίου minuse ενώ για την περιοχή 1 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμείμε μετάβαση ϕορτίου +eΟ τελεστής (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως [transition

(electric) dipole moment operator] σημειώνεται εναλλακτικά με ˆd ή ˆp Στη βάση τωνιδιοκαταστάσεων της ενέργειας του αδιατάρακτου ατόμου ή συστήματος ορίζεται ως

ˆd = ˆp =

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | (4146)

με τους επίσης εναλλακτικούς συμβολισμούς

dij = pij = minuse⟨Φi | ˆr | Φj⟩ (4147)

για το στοιχείο πίνακα της (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως μεταξύ των κα-ταστάσεων | Φi⟩ και | Φj⟩ Υπενθυμίζεται ότι ο τελεστής θέσεως (position operator)ˆr είναι τέτοιος ώστε

ˆr | r⟩ = r | r⟩ (4148)

Υπενθυμίζεται για τον συμβολισμό Dirac ότι

| A⟩ =

α1

α2

hArr ⟨A |= (αlowast1 αlowast

2) (4149)

Υπενθυμίζεται ακόμα ότι

⟨Φi | ˆr | Φj⟩ =sum

|rprime⟩|rprimeprime⟩

⟨Φi | rprime⟩⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩⟨rprimeprime | Φj⟩ =sum|rprime⟩

⟨Φi | rprime⟩ rprime ⟨rprime | Φj⟩

=sum|r⟩

⟨Φi | r⟩ r ⟨r | Φj⟩ =intdV Φi(r)

lowastrΦj(r)

1Η λέξη ῾῾ ηλεκτρική ᾿᾿ είναι εντός παρενθέσεως επειδή συνήθως επειδή εννοείται παραλείπεται

167

διότι⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩ = rprimeprime⟨rprime|rprimeprime⟩ = rprimeprimeδrprimerprimeprime (4150)

΄Αρα

d11 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ1(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4151)

d12 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ2(r) = 0 (4152)

d21 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ1(r) = 0 (4153)

d22 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ2(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4154)

Δηλαδή ενώ τα διαγώνια στοιχεία μηδενίζονται τα d12 και d21 δεν είναι (῾῾ εκ ταυτό-τητος ᾿᾿) μηδέν Ας δούμε τώρα ποιος είναι ο ˆp σε δισταθμικό σύστημα

ˆp = d11 | Φ1⟩⟨Φ1 | + d12 | Φ1⟩⟨Φ2 | + d21 | Φ2⟩⟨Φ1 | + d22 | Φ2⟩⟨Φ2 |

= d11

0

1

(0 1)+ d12

0

1

(1 0)+ d21

1

0

(0 1)+ d22

1

0

(1 0)

= 0 ⋆

d11︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

0 0

0 1

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

+ d12︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 0

1 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ d21︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 1

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ 0 ⋆

d22︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

1 0

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

Από τις Εξ (4152)-(4153) συμπεραίνουμε ότι d12 = d21 με την προϋπόθεση ότι οιΦi(r) είναι πραγματικές οπότε

ˆp = d12

0 1

1 0

(4155)

168

Ερώτηση Και τι κάνει ο τελεστής

0 1

1 0

Απάντηση0 1

1 0

0

1

=

1

0

0 1

1 0

1

0

=

0

1

Δηλαδή μεταϕέρει από τη μία ενεργειακή στάθμη στην άλλη όπως θα έπρεπε

Τώρα μπορεί να οριστεί ο τελεστής δυναμικής ενέργειας (potential e-nergy operator) Θεωρούμε ότι η αλληλεπίδραση δισταθμικού συστήματος - ΗΜπεδίου έχει τη μορϕή μηχανισμού ηλεκτρικού διπόλου Αγνοούμε άλλης μορϕής αλ-ληλεπιδράσεις όπως πχ ηλεκτρικού τετραπόλου ή μαγνητικού διπόλου Αϕού

UE = minusP middot E rArr

UmE = minusP middot Em (4156)

όπου ο δείκτης m δηλώνει τον m τρόπο του ΗΜ πεδίου ο αντίστοιχος τελεστήςμπορεί να οριστεί ως

UmE = minus ˆp middot ˆEm (4157)

Επομένως

UmE = minus

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | middotEmx (z t)i

i είναι το μοναδιαίο άνυσμα του άξονα x αϕού έχουμε υποθέσει αυτόν τον προσανα-τολισμό για το ηλεκτρικό πεδίο (δείτε Σχήμα 42) ΄Η λόγω της Εξ 4155

UmE = minusd12

0 1

1 0

middot Emx (z t)i (4158)

Αλλά

d12 middot i = minuseintdV Φ1(r)

lowast(r middot i)Φ2(r) = minusex12 = Px12 = P (4159)

169

Συνεπώς

UmE = ex12

0 1

1 0

Emx (z t) (4160)

Υπενθυμίζονται οι Εξ 4110 και 4111

Emx (z t) =

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4161)

Bmy (z t) =

(~ωmε0V

) 12 1

ccos(mπz

L

)i(adaggerm minus am) (4162)

από τις οποίες όμως στα πλαίσια των υποθέσεών μας χρειαζόμαστε τώρα μόνον τηνπρώτη Επίσης υπενθυμίζεται ότι

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

(4163)

΄Αρα εν τέλει

UmE = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4164)

Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε

~gm = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(4165)

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4166)

Αυτή είναι λοιπόν η Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συ-στήματος - ΗΜ πεδίου για τον ΗΜ τρόπο m Εάν βρισκόμαστε σταπλαίσια της ατομικής ϕυσικής τότε συμβολίζεται και Hm

AF όπου οι δείκτες σημαίνουνAtom-FieldΑπό την Εξ 4165 προκύπτει

~|gm| = |P |∣∣∣∣ (~ωm

ε0V

) 12

sin(mπz

L

) ∣∣∣∣ = |P| Em0 (4167)

170

όπου όμως το ῾῾ πλάτος ᾿᾿ Em0 εξαρτάται από τη θέση z του ατόμου στην κοιλότητα

είναι δηλαδή Em0 = Em

0 (z) Η |gm| (ή οποία συμβολίζεται και με ΩmR ) είναι η λεγόμενη

συχνότητα Rabi Εάν εννοείται σε ποιον ΗΜ τρόπο m αναϕερόμαστε μπορούμε ναχρησιμοποιήσουμε σκέτο το |g| ή το ΩR ΄Αρα

|gm| ή ΩmR =

|P|Em0

~(4168)

Για να μη γράϕουμε απόλυτα μπορούμε σε κάθε θέση να διαλέγουμε τη ϕάση τωνκυματοσυναρτήσεων τέτοια ώστε το g να είναι θετικό και πραγματικό [65] Συνοπτικά

gm ή ΩmR =

|P|Em0

~(4169)

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Τώρα συμπληρώνεται η εικόνα με την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπί-δραση ενός ΗΜ τρόπου m με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4170)

΄Αρα η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4171)

Επομένως οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩ (4172)

|darr nm⟩ (4173)

171

Ας δούμε λίγο προσεκτικότερα τη Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικούσυστήματος - ΗΜ πεδίου (Εξ 4166) Για έναν μοναδικό τρόπο m η Χαμιλτονιανήαυτή αναλυεται σε τέσσερις όρους

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) =

= ~gmS+adaggerm︸ ︷︷ ︸

1ος

+ S+am︸ ︷︷ ︸2ος

+ Sminusadaggerm︸ ︷︷ ︸

3ος

+ Sminusam︸ ︷︷ ︸4ος

bull 1ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E gt 0 Επόμένως αυτός ο όρος μόνος τουδεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

bull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻︸ ︷︷ ︸

μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολ-λοί τρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτο-νιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται απόάθροισμα όρων όπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημανα απορροϕήσει ένα ϕωτόνιο υψηλής συχνότητας και να ανεβεί ενώ παράλληλαδημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο χαμηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi www≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

simsim≻ ff lt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 2ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο Αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

172

bull 3ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιοΚαι αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικάbull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 4ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο ΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E lt 0 Επόμένως και αυτός ο όροςμόνος του δεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολλοίτρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτονιανή αλλη-λεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται από άθροισμα όρωνόπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημα να απορροϕήσει έναϕωτόνιο χαμηλής συχνότητας και να κατεβεί ενώ παράλληλα δημιουργείται εκπέμ-πεται ϕωτόνιο υψηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

www≻ ff gt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

Αν αγνοήσουμε τον 1ο και 4ο όρο που ο καθένας μόνος του δεν διατηρεί τηνενέργεια τότε

UmE = ~gm

(S+am + Sminusa

daggerm

) (4174)

Η προσέγγιση είναι κατά κάποιο τρόπο ανάλογη της RWA (Rotating Wave Approxi-mation) του Κεϕαλαίου 3 Εκεί στις εξισώσεις Rabi κρατήσαμε μόνο τους αργούςόρους όπου ΗΜ πεδίο και το δισταθμικό σύστημα βρίσκονται σε περίπου συντονισμό

173

δηλαδή Ω ≃ ω Τότε κρατήσαμε τους αργούς όρους eplusmni(Ωminusω)t και αγνοήσαμε τουςγρήγορους όρους eplusmni(Ω+ω)tΣυνοπτικά ενώ για την ολική Χαμιλτονιανή ενός τρόπου m έχουμε την λεγόμενη

Χαμιλτονιανή Rabi

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4175)

κατά την παραπάνω συζήτηση αγνοούμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενουςcounter-rotating terms

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4176)

οπότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66]

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4177)

Στην ΄Ασκηση 1 (παραλείποντας τον δείκτη του ΗΜ τρόπου m απλότητα) βρί-σκουμε (Α) τι κάνουν οι όροι adaggera aadagger S+Sminus SminusS+ S+a

dagger S+a Sminusadagger Sminusa στις κα-

ταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩ και (Β) υπολογίζουμε τα ⟨adaggera⟩ ⟨aadagger⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨SminusS+⟩⟨S+a

dagger⟩ ⟨S+a⟩ ⟨Sminusadagger⟩ ⟨Sminusa⟩ για τις καταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩

174

49 Σύνοψη Χαμιλτονιανών

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Ακόμα είδαμε την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπίδραση ενός ΗΜ τρόπουm με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

Οπότε η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί (Εξ 4171)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

και οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩|darr nm⟩

Ακόμα αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενους counter-rotatingterms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam)

τότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66] (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm)

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

152

είναι

Εm =2ϵ0cN 2S

L2

[sin2

(mπct

L

)int L

0

dz sin2(mπz

L

)+ cos2

(mπct

L

)int L

0

dz cos2(mπz

L

)]

Θέτουμε ψ = πzLrArr dψ = π

Ldz άρα με τη βοήθεια των Εξ 446-447 τα ολοκληρώ-

ματα στο z γίνονται Lπ

int π0dψ sin2(mψ) = L

ππ2= L

2και L

π

int π0dψ cos2(mψ) = L

ππ2= L

2

Αντικαθιστούμε στην παραπάνω εξίσωση και τελικά έχοντας ακολουθήσει αυτή τηνκλασική προσέγγιση έχουμε

Εm =ϵ0cN 2S

L

[sin2

(mπct

L

)+ cos2

(mπct

L

)]=ϵ0cN 2S

L(470)

Ας δούμε τώρα λίγο αλλιώτικα την Εm

Εm =ϵ0cN 2S

L3

[L2 sin2

(mπct

L

)+ L2 cos2

(mπct

L

)] (471)

ορίζοντας ῾῾ γενικευμένη θέση και ταχύτητα ᾿᾿ Καλούμε λοιπόν ῾῾ γενικευμένη θέση ᾿᾿

qm(t) = L sin

(mπct

L

)(472)

και ῾῾ γενικευμένη ταχύτητα ᾿᾿

˙qm(t) = mπc cos

(mπct

L

)(473)

ούτως ώστε [qm(t)] = m και [ ˙qm(t)] = ms Τότε η Εξ 471 γράϕεται

Εm =ϵ0cN 2S

L3

[(qm(t))

2 +L2

m2π2c2( ˙qm(t))

2

] (474)

Θα μπορούσαμε εδώ να θεωρήσουμε μια αναλογία της Εξ 474 με Απλό ΑρμονικόΤαλαντωτή (ΑΑΤ) του οποίου η ενέργεια θα ήταν

Ε =K

2x2 +

M

2v2 =

K

2[x2 +

M

Kv2] (475)

Επομένωςϵ0cN 2S

L3=K

2 (476)

153

L2

m2π2c2=M

K (477)

Δηλαδή προκύπτει η ῾῾ σταθερά ελατηρίου ᾿᾿

K =2ϵ0cN 2S

L3 (478)

και η ῾῾ μάζα ᾿᾿ (η οποία σημειωτέο εξαρτάται από το m είναι δηλαδή διαϕορετική γιακάθε τρόπο του ΗΜ πεδίου m)

Mm =2ϵ0N 2S

cLm2π2 (479)

Μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι η Mm έχει διαστάσεις μάζας (θα χρειαστείκαι η Εξ 461) και πως ισχύει K = Mmω

2m ΄Αρα κλασικά υπάρχει μία τυπική

ομοιότητα με ΑΑΤ με κυκλική συχνότητα ωm (Εξ 450) και ῾῾ μάζα ᾿᾿ Mm (Εξ 479)δηλαδή η Εξ 471 ή 474 γράϕεται

Εm =Mmω

2m

2q2m +

Mm

2q2m (480)

Μπορούμε επομένως να πούμε ότι το κβαντικό αντίστοιχο για ένα τρόπο ΗΜπεδίου m δηλαδή η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m θα είναι

HΗΜ m =Mmω

2m

2q2m +

Mm

2˙q2m (481)

με ιδιοτιμές ενέργειας

Emnm = ~ωm(nm +1

2) (482)

όπου ο δείκτης m isin N lowast αϕορά τον τρόπο του ΗΜ πεδίου και ο δείκτης nm isin Nαϕορά τον αριθμό των ϕωτονίων στον τρόπο m Συνεπώς η Χαμιλτονιανή για όλουςτους τρόπους του ΗΜ πεδίου θα είναι

HΗΜ =summ

HΗΜ m (483)

Κατόπιν σημειώνουμε ότι από τις Εξ 460 και 472 συνεπάγεται ότι

Emx (z t) =

2radicc

L2N sin

(mπzL

)qm(t) (484)

154

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Emx (z t) =

2radicc

L2N sin

(mπzL

)qm(t) (485)

Επίσης από τις Εξ 466 και 473 συνεπάγεται ότι

Bmy (z t) =

2NLradicc

1

mπccos(mπz

L

)qm(t) (486)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Bmy (z t) =

2NLradicc

1

mπccos(mπz

L

)ˆqm(t) (487)

Από τις ΄Εξ 484 479 και 450 προκύπτει

Emx (z t) =

(2Mmωm

2

ϵ0V

)12

sin(mπz

L

)qm(t) (488)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Emx (z t) =

(2Mmωm

2

ϵ0V

)12

sin(mπz

L

)qm(t) (489)

Από τις ΄Εξ 486 479 και 450 προκύπτει

Bmy (z t) =

1

c

(2Mm

ϵ0V

)12

cos(mπz

L

)qm(t) (490)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Bmy (z t) =

1

c

(2Mm

ϵ0V

)12

cos(mπz

L

)ˆqm(t) (491)

Τέλος από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει όπως αναμενόταν [Ex

By] = [c]

155

44 Χαμιλτονιανή ΗΜ πεδίου με τελεστέςκαταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίων

Ας μιλήσουμε τώρα για τελεστές καταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίων (photoncreation and annihilation operators) Είναι τώρα εύκολο να κβαντωθεί η Χαμιλτο-νιανή που περιγράϕει το ΗΜ πεδίο αρκεί να εϕαρμοστεί η αντιστοιχία τελεστών

qm = qm (492)

pm = minusi~ part

partqm(493)

Εισάγουμε τους τελεστές

am =1radic

2Mm~ωm(Mmωmqm + ipm) ῾῾ καταστροϕής ᾿᾿ (494)

adaggerm =1radic

2Mm~ωm(Mmωmqm minus ipm) ῾῾ δημιουργίας ᾿᾿ (495)

Ισχύουν οι ιδιότητες[am a

daggerm]︸ ︷︷ ︸

μεταθέτης

= amadaggerm minus adaggermam = 1 (496)

[qm pm]︸ ︷︷ ︸μεταθέτης

= i~ (497)

΄Ετσι οι τελεστές qm pm μπορούν τώρα να γραϕούν

qm =

(~

2Mmωm

)12

(adaggerm + am) (498)

pm = i

(Mm~ωm

2

)12

(adaggerm minus am) (499)

Συνεπώς η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m είναι

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)(4100)

Ας συμβολίσουμε με |nm⟩ την κατάσταση του ΗΜ πεδίου με nm αριθμό ϕωτονίωνστον ΗΜ τρόπο m Λέμε ότι είναι μια ῾῾ κατάσταση ϕωτονικών αριθμών ᾿᾿ Τα |nm⟩αποτελούν ένα πλήρες σύστημα δηλαδή ισχύει ⟨nm|lm⟩ = δnl

156

Οι τελεστές adaggerm και am έχουν τις ιδιότητες

adaggerm |nm⟩ =radicnm + 1 |nm + 1⟩ (4101)

am |nm⟩ =radicnm |nm minus 1⟩ (4102)

am |0⟩ = |0⟩ (4103)

Από τις Εξ 4101 και 4102 προκύπτει

adaggermam |nm⟩ = nm |nm⟩ (4104)

δηλαδή ο τελεστής Nm = adaggermam μετρά τον αριθμό των ϕωτονίων του ΗΜ τρόπου mοπότε μπορεί να αποκληθεί τελεστής του αριθμού των ϕωτονίων στον ΗΜ τρόπο mΑκόμα επαγωγικά προκύπτει

|nm⟩ =1radicnm

(adaggerm)nm |0⟩ (4105)

Λόγω των Εξ 4100 και 4104 προκύπτει

HΗΜ m |nm⟩ = ~ωm(nm +1

2) |nm⟩ (4106)

δηλαδή η Χαμιλτονιανή HΗΜ m δίνει ιδιοτιμές ενέργειας

Emnm = ~ωm(nm +1

2) (4107)

Η θεμελιώδης κατάσταση του ΑΑΤ |0⟩ με ιδιοενέργεια 12~ωm αντιστοιχεί στο κενό

δηλαδή χωρίς σωμάτιο η 1η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |1⟩ με ιδιοενέργεια 32~ωm

αντιστοιχεί σε ένα σωμάτιο η 2η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |2⟩ με ιδιοενέργεια52~ωm αντιστοιχεί σε δύο σωμάτια κοκ Αυτά τα σωμάτια εν προκειμένω τα λέμεϕωτόνια Δημιουργούνται και καταστρέϕονται με τους τελεστές αναβιβάσεως καικαταβιβάσεως ξεκινώντας από ένα επίπεδο αναϕοράς που εδώ είναι το κενό Υπακού-ουν στις μποζονικές σχέσεις μεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράστασηείναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση (second quantization)Η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)= ~ωm

(Nm +

1

2

) (4108)

157

αγνοώντας τον όρο ~ωm

2 μπορεί να γραϕτεί

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm (4109)

Μπορούμε να έχουμε οσαδήποτε ϕωτόνια στην ενεργειακή κατάσταση ~ωm διότι εί-ναι μποζόνια Ο adaggerm είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζειτην ενέργεια δημιουργώντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωm εξ ού και η ονομασία τελε-στής δημιουργίας (creation operator) Ο am είναι τελεστής καταβιβάσεως (loweringoperator) διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωmεξ ού και η ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator)

Σχήμα 45 Σωμάτια (εδώ ϕωτόνια απεικονίζονται με πράσινες βούλες) δημιουργούνται και κατα-στρέϕονται μέσω των τελεστών αναβιβάσεως και καταβιβάσεως Υπακούουν στις μποζονικές σχέσειςμεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράσταση είναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση(second quantization) Ο αριθμός των ϕωτονίων είναι ίσος με τον αριθμό των κόμβων της ιδιοσυ-ναρτήσεως

Τέλος ας σημειώσουμε ότι από τις Εξ 489 και 498 προκύπτει

Emx (z t) =

(~ωmϵ0V

)12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4110)

ενώ από τις Εξ 491 και 499 προκύπτει

Bmy (z t) =

i

c

(~ωmϵ0V

)12

cos(mπz

L

)(adaggerm minus am) (4111)

158

45 Χαμιλτονιανή δισταθμικού συστήματοςμε σπίνορες

Θα περιγράψουμε την αναβίβαση και την καταβίβαση ενός ηλεκτρονίου μεταξύ τωνενεργειακών σταθμών ενός δισταθμικού συστήματος πχ ενός ατόμου με τη βοήθειασπινόρων (spinors) Σπίνορας είναι ένα διάνυσμα - στήλη με δύο συνιστώσες Αςαρχίσουμε με ορισμούς (πχ [62])

| ⟩ =

=

0

0

=| 0⟩ |darr⟩ =

bull

=

0

1

=| 1⟩ |uarr⟩ =

bull

=

1

0

=| 2⟩

(4112)Το πρώτο παριστά το άδειο δισταθμικό σύστημα το δεύτερο δηλώνει το δισταθμικόσύστημα με το ηλεκτρόνιο στην κάτω στάθμη όπου έχει ενέργεια E1 και το τρίτο δη-λώνει το δισταθμικό σύστημα με το ηλεκτρόνιο στην άνω στάθμη όπου έχει ενέργειαE2 Ας ορίσουμε τώρα τους τελεστές

S+ =

0 1

0 0

Sminus =

0 0

1 0

(4113)

για τους οποίους μάλιστα ισχύει Sdagger+ =

0 1

0 0

dagger

=

0 0

1 0

= Sminus Ας δούμε ποιό

είναι το αποτέλεσμα της δράσεώς τους στους σπίνορες που ορίσαμε μόλις προ ολίγου

S+ | 0⟩ =

0 1

0 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

S+ |darr⟩ =

0 1

0 0

0

1

=

1

0

=|uarr⟩ το ανεβάζει

S+ |uarr⟩ =

0 1

0 0

1

0

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

(4114)

159

Sminus | 0⟩ =

0 0

1 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

Sminus |darr⟩ =

0 0

1 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

Sminus |uarr⟩ =

0 0

1 0

1

0

=

0

1

=|darr⟩ το κατεβάζει

(4115)

΄Ετσι ο S+ ονομάζεται τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ενώ ο Sminus ονομάζε-ται τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) του ηλεκτρονίου Ας δούμε μερικέςακόμα ιδιότητες

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

= σx (4116)

που είναι ένας από τους πίνακες Pauli που παρατίθονται λίγο παρακάτω (Εξ 4133)Ακόμα

S+Sminus =

0 1

0 0

0 0

1 0

=

1 0

0 0

(4117)

SminusS+ =

0 0

1 0

0 1

0 0

=

0 0

0 1

(4118)

΄Αρα από τις Εξ 4117-4118 συνεπάγεται ότι

S+Sminus + SminusS+ =

1 0

0 1

= I (4119)

που είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας Μπορούμε να το γράψουμε και στη μορϕή

S+ Sminus = I (4120)

160

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4121)

ενώ [AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4122)

΄Οταν AB = 0 rArr AB + BA = 0 rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται ενώ όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οιποσότητες μετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση των ονομασίων ΄Οπωςθα δούμε παρακάτω η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσειςαντιμεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ηλεκτρόνια που είναι ϕερμιόνια ενώ ο με-ταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσεις μεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ϕωτόνιαπου είναι μποζόνια Συχνά στα ελληνικά συγγράμματα της δευτεροβάθμιας εκπαί-δευσης πολύ κακώς εδώ και δεκαετίες ονομάζεται ῾῾ αντιμεταθετική ᾿᾿ η μεταθετική(commutative) ιδιότητα χαθήκαμε δηλαδή στη μετάϕρασηΗ Χαμιλτονιανή του Δισταθμικού Συστήματος HΔΣ είναι η

E2S+Sminus + E1SminusS+ = E2

1 0

0 0

+ E1

0 0

0 1

=

E2 0

0 E1

(4123)

αϕού E2 0

0 E1

1

0

=

E2

0

= E2

1

0

(4124)

E2 0

0 E1

0

1

=

0

E1

= E1

0

1

(4125)

΄Αρα συνοπτικά δείξαμε ότι

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+ (4126)

Αν τώρα θέσουμε E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) οπότε

HΔΣ = ~ΩS+Sminus (4127)

161

Ο τελεστής S+Sminus μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη αϕού

S+Sminus | 1⟩ =

1 0

0 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ rArr S+Sminus | 1⟩ = 0 | 1⟩ (4128)

S+Sminus | 2⟩ =

1 0

0 0

1

0

=

1

0

=| 2⟩ rArr S+Sminus | 2⟩ = 1 | 2⟩ (4129)

Ο τελεστής SminusS+ μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην κάτω στάθμη αϕού

SminusS+ | 1⟩ =

0 0

0 1

0

1

=

0

1

=| 1⟩ rArr SminusS+ | 1⟩ = 1 | 1⟩ (4130)

SminusS+ | 2⟩ =

0 0

0 1

1

0

=

0

0

=| 0⟩ rArr SminusS+ | 2⟩ = 0 | 2⟩ (4131)

Παρατήρηση Συνοπτικά για τους τελεστές S+ και Sminus μπορούμε να αποδείξουμεότι (S+)

dagger = Sminus αλλά και ότι

S+ Sdagger+ = S+ Sminus = S+Sminus + SminusS+ = I

Sminus Sdaggerminus = Sminus S+ = SminusS+ + S+Sminus = I

S+ S+ = Sdaggerminus S

daggerminus = S+S+ + S+S+ = 0

Sminus Sminus = Sdagger+ S

dagger+ = SminusSminus + SminusSminus = 0

(4132)

όπου I είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας 2 times 2 και 0 είναι ο μηδενικός πίνακας2times2 Οι Εξ 4132 δείχνουν ότι οι τελεστές S+ και Sminus υπακούουν στις σχέσεις αντι-μεταθέσεως ϕερμιονίων που αναϕέρουμε στην Υποενότητα 462 της Ενότητας 46Ο S+ είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζει την ενέργειαδημιουργώντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού και η ονομασία τελεστής δημιουρ-γίας (creation operator) Ο Sminus είναι τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator)διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού καιη ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Μπορούμε να έχουμεμόνο ένα ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω διότι τα ηλεκτρόνια είναι ϕερμιόνια

162

Ας θυμηθούμε τώρα τους πίνακες Pauli σx σy σz και ας δούμε τη σχέση τους μετους τελεστές αναβιβάσεως και καταβιβάσεως ηλεκτρονίων S+ και Sminus αντιστοίχως

σx =

0 1

1 0

(4133)

σy =

0 minusi

i 0

(4134)

σz =

1 0

0 minus1

(4135)

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι ισχύει η ιδιότητα

[σx σy] = 2iσz (4136)

καθώς και οι κυκλικές εναλλαγές της Επίσης

σ2x = σ2

y = σ2z =

1 0

0 1

= I (4137)

και

σx σy = σxσy + σyσx = 0 (4138)

σy σz = σyσz + σzσy = 0

σz σx = σzσx + σxσz = 0

δηλαδή οι πίνακες Pauli αντιμετατίθονται Επί παραδείγματι

σx σy = σxσy + σyσx =0 1

1 0

0 minusi

i 0

+

0 minusi

i 0

0 1

1 0

=

i 0

0 minusi

+

minusi 0

0 i

=

0 0

0 0

= 0

Ακόμα μπορούμε να αποδείξουμε ότι

S+ + Sminus = σx

S+ minus Sminus = iσy

163

46 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων καισχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων

461 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων πχ ϕωτονίων

Ας ονομαστεί am ο τελεστής καταστροϕής μποζονίων και adaggerm ο τελεστήςδημιουργίας μποζονίων στην κατάσταση m Για τα μποζόνια ισχύουν οι σχέσειςμεταθέσεως (commutation relations)

[am aℓ] = 0

[adaggerm adaggerℓ] = 0

(4139)

[AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4140)

οπότε όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οι ποσότητεςμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας

462 Σχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων πχ ηλε-κτρονίων

Ας ονομαστεί ai ο τελεστής καταστροϕής ϕερμιονίων και adaggeri ο τελεστής δη-μιουργίας ϕερμιονίων στην κατάσταση i Για τα ϕερμιόνια ισχύουν οι σχέσεις αντι-μεταθέσεως (anticommutation relations)

ai adaggerj = δij

ai aj = 0

adaggeri adaggerj = 0

(4141)

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4142)

οπότε όταν AB = 0rArr AB+BA = 0rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας Αν εϕαρμόσουμετη σχέση adaggeri a

daggerj = 0 για την ίδια κατάσταση πχ i = j = r έχουμε adaggerr adaggerr =

0 rArr adaggerradaggerr = 0 που σημαίνει ότι

δεν μπορούμε να βάλουμε δύο ϕερμιόνια στην ίδια

κατάσταση πράγμα που είναι η απαγορευτική αρχή Pauli

164

47 Τελεστές κλίμακας (Ladder operators) [63]

Στη γραμμική άλγεβρα καθώς και στις εϕαρμογές της στην κβαντική μηχανική ορί-ζεται ο τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ο οποίος αυξάνει την ιδιοτιμή ενόςάλλου τελεστή και ο τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) ο οποίος μειώνειτην ιδιοτιμή ενός άλλου τελεστή Αυτοί συλλογικά ονομάζονται τελεστές κλίμα-κας (ladder operators) Στην κβαντομηχανική ο τελεστής αναβιβάσεως καλείταισυχνά τελεστής δημιουργίας (creation operator) και ο τελεστής καταβιβάσεως κα-λείται συχνά τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Γνωστές εϕαρμογέςτων τελεστών κλίμακας είναι στον απλό αρμονικό ταλαντωτή και στη στροϕορμήΣε πολλές περιοχές της ϕυσικής και της χημείας η χρήση αυτών των τελεστών αντίκυματοσυναρτήσεων είναι γνωστή ως δεύτερη κβάντωση (second quantization) [64]

165

48 Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεωςδισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου

΄Εστω δύο αντίθετα ηλεκτρικά ϕορτία q gt 0 και minusq lt 0 στα σημεία Θ και Α

αντιστοίχως Αν d =minusrarrΑΘ είναι το διάνυσμα θέσεως του θετικού ϕορτίου ως προς το

αρνητικό τότε η ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) ορίζεταιως

P = qd (4143)

πχ για το άτομο του υδρογόνου αν το Π παριστάνει τον πυρήνα και το Η παριστάνει

το ηλεκτρόνιο και ως συνήθως ορίσουμε r =minusrarrΠΗ τότε P = qd = e(minusr)rArr

P = minuser (4144)

Αυτό αποδίδεται άνω τμήμα του Σχήματος 46 Η δυναμική ενέργεια (potential

Σχήμα 46 ΄Ανω Ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) Κάτω (Ηλεκτρική) διπολικήροπή μεταβάσεως (transition (electric) dipole moment)

energy) UE του ηλεκτρικού διπόλου εντός ηλεκτρικού πεδίου E είναι

UE = minusP middot E (4145)

166

Ανάλογος με τον παραπάνω ορισμό μπορεί να δοθεί και για την περίπτωση της με-ταβάσεως ενός τμήματος του ηλεκτρονιακού νέϕους από μία αρχική σε μια τελική πε-ριοχή ΄Ετσι ορίζεται η (ηλεκτρική) διπολική ροπή μεταβάσεως [transition(electric) dipole moment] 1 Αυτό αποδίδεται στο κάτω τμήμα το Σχήματος 46Αν το ϕορτίο που μεταϕέρεται είναι minuse πάλι p = qd = e(minusr)rArr p = minuser Δηλαδήεννοείται ότι για την περιοχή 2 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμεί με μετά-βαση ϕορτίου minuse ενώ για την περιοχή 1 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμείμε μετάβαση ϕορτίου +eΟ τελεστής (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως [transition

(electric) dipole moment operator] σημειώνεται εναλλακτικά με ˆd ή ˆp Στη βάση τωνιδιοκαταστάσεων της ενέργειας του αδιατάρακτου ατόμου ή συστήματος ορίζεται ως

ˆd = ˆp =

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | (4146)

με τους επίσης εναλλακτικούς συμβολισμούς

dij = pij = minuse⟨Φi | ˆr | Φj⟩ (4147)

για το στοιχείο πίνακα της (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως μεταξύ των κα-ταστάσεων | Φi⟩ και | Φj⟩ Υπενθυμίζεται ότι ο τελεστής θέσεως (position operator)ˆr είναι τέτοιος ώστε

ˆr | r⟩ = r | r⟩ (4148)

Υπενθυμίζεται για τον συμβολισμό Dirac ότι

| A⟩ =

α1

α2

hArr ⟨A |= (αlowast1 αlowast

2) (4149)

Υπενθυμίζεται ακόμα ότι

⟨Φi | ˆr | Φj⟩ =sum

|rprime⟩|rprimeprime⟩

⟨Φi | rprime⟩⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩⟨rprimeprime | Φj⟩ =sum|rprime⟩

⟨Φi | rprime⟩ rprime ⟨rprime | Φj⟩

=sum|r⟩

⟨Φi | r⟩ r ⟨r | Φj⟩ =intdV Φi(r)

lowastrΦj(r)

1Η λέξη ῾῾ ηλεκτρική ᾿᾿ είναι εντός παρενθέσεως επειδή συνήθως επειδή εννοείται παραλείπεται

167

διότι⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩ = rprimeprime⟨rprime|rprimeprime⟩ = rprimeprimeδrprimerprimeprime (4150)

΄Αρα

d11 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ1(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4151)

d12 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ2(r) = 0 (4152)

d21 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ1(r) = 0 (4153)

d22 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ2(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4154)

Δηλαδή ενώ τα διαγώνια στοιχεία μηδενίζονται τα d12 και d21 δεν είναι (῾῾ εκ ταυτό-τητος ᾿᾿) μηδέν Ας δούμε τώρα ποιος είναι ο ˆp σε δισταθμικό σύστημα

ˆp = d11 | Φ1⟩⟨Φ1 | + d12 | Φ1⟩⟨Φ2 | + d21 | Φ2⟩⟨Φ1 | + d22 | Φ2⟩⟨Φ2 |

= d11

0

1

(0 1)+ d12

0

1

(1 0)+ d21

1

0

(0 1)+ d22

1

0

(1 0)

= 0 ⋆

d11︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

0 0

0 1

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

+ d12︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 0

1 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ d21︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 1

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ 0 ⋆

d22︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

1 0

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

Από τις Εξ (4152)-(4153) συμπεραίνουμε ότι d12 = d21 με την προϋπόθεση ότι οιΦi(r) είναι πραγματικές οπότε

ˆp = d12

0 1

1 0

(4155)

168

Ερώτηση Και τι κάνει ο τελεστής

0 1

1 0

Απάντηση0 1

1 0

0

1

=

1

0

0 1

1 0

1

0

=

0

1

Δηλαδή μεταϕέρει από τη μία ενεργειακή στάθμη στην άλλη όπως θα έπρεπε

Τώρα μπορεί να οριστεί ο τελεστής δυναμικής ενέργειας (potential e-nergy operator) Θεωρούμε ότι η αλληλεπίδραση δισταθμικού συστήματος - ΗΜπεδίου έχει τη μορϕή μηχανισμού ηλεκτρικού διπόλου Αγνοούμε άλλης μορϕής αλ-ληλεπιδράσεις όπως πχ ηλεκτρικού τετραπόλου ή μαγνητικού διπόλου Αϕού

UE = minusP middot E rArr

UmE = minusP middot Em (4156)

όπου ο δείκτης m δηλώνει τον m τρόπο του ΗΜ πεδίου ο αντίστοιχος τελεστήςμπορεί να οριστεί ως

UmE = minus ˆp middot ˆEm (4157)

Επομένως

UmE = minus

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | middotEmx (z t)i

i είναι το μοναδιαίο άνυσμα του άξονα x αϕού έχουμε υποθέσει αυτόν τον προσανα-τολισμό για το ηλεκτρικό πεδίο (δείτε Σχήμα 42) ΄Η λόγω της Εξ 4155

UmE = minusd12

0 1

1 0

middot Emx (z t)i (4158)

Αλλά

d12 middot i = minuseintdV Φ1(r)

lowast(r middot i)Φ2(r) = minusex12 = Px12 = P (4159)

169

Συνεπώς

UmE = ex12

0 1

1 0

Emx (z t) (4160)

Υπενθυμίζονται οι Εξ 4110 και 4111

Emx (z t) =

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4161)

Bmy (z t) =

(~ωmε0V

) 12 1

ccos(mπz

L

)i(adaggerm minus am) (4162)

από τις οποίες όμως στα πλαίσια των υποθέσεών μας χρειαζόμαστε τώρα μόνον τηνπρώτη Επίσης υπενθυμίζεται ότι

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

(4163)

΄Αρα εν τέλει

UmE = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4164)

Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε

~gm = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(4165)

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4166)

Αυτή είναι λοιπόν η Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συ-στήματος - ΗΜ πεδίου για τον ΗΜ τρόπο m Εάν βρισκόμαστε σταπλαίσια της ατομικής ϕυσικής τότε συμβολίζεται και Hm

AF όπου οι δείκτες σημαίνουνAtom-FieldΑπό την Εξ 4165 προκύπτει

~|gm| = |P |∣∣∣∣ (~ωm

ε0V

) 12

sin(mπz

L

) ∣∣∣∣ = |P| Em0 (4167)

170

όπου όμως το ῾῾ πλάτος ᾿᾿ Em0 εξαρτάται από τη θέση z του ατόμου στην κοιλότητα

είναι δηλαδή Em0 = Em

0 (z) Η |gm| (ή οποία συμβολίζεται και με ΩmR ) είναι η λεγόμενη

συχνότητα Rabi Εάν εννοείται σε ποιον ΗΜ τρόπο m αναϕερόμαστε μπορούμε ναχρησιμοποιήσουμε σκέτο το |g| ή το ΩR ΄Αρα

|gm| ή ΩmR =

|P|Em0

~(4168)

Για να μη γράϕουμε απόλυτα μπορούμε σε κάθε θέση να διαλέγουμε τη ϕάση τωνκυματοσυναρτήσεων τέτοια ώστε το g να είναι θετικό και πραγματικό [65] Συνοπτικά

gm ή ΩmR =

|P|Em0

~(4169)

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Τώρα συμπληρώνεται η εικόνα με την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπί-δραση ενός ΗΜ τρόπου m με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4170)

΄Αρα η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4171)

Επομένως οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩ (4172)

|darr nm⟩ (4173)

171

Ας δούμε λίγο προσεκτικότερα τη Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικούσυστήματος - ΗΜ πεδίου (Εξ 4166) Για έναν μοναδικό τρόπο m η Χαμιλτονιανήαυτή αναλυεται σε τέσσερις όρους

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) =

= ~gmS+adaggerm︸ ︷︷ ︸

1ος

+ S+am︸ ︷︷ ︸2ος

+ Sminusadaggerm︸ ︷︷ ︸

3ος

+ Sminusam︸ ︷︷ ︸4ος

bull 1ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E gt 0 Επόμένως αυτός ο όρος μόνος τουδεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

bull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻︸ ︷︷ ︸

μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολ-λοί τρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτο-νιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται απόάθροισμα όρων όπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημανα απορροϕήσει ένα ϕωτόνιο υψηλής συχνότητας και να ανεβεί ενώ παράλληλαδημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο χαμηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi www≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

simsim≻ ff lt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 2ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο Αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

172

bull 3ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιοΚαι αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικάbull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 4ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο ΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E lt 0 Επόμένως και αυτός ο όροςμόνος του δεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολλοίτρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτονιανή αλλη-λεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται από άθροισμα όρωνόπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημα να απορροϕήσει έναϕωτόνιο χαμηλής συχνότητας και να κατεβεί ενώ παράλληλα δημιουργείται εκπέμ-πεται ϕωτόνιο υψηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

www≻ ff gt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

Αν αγνοήσουμε τον 1ο και 4ο όρο που ο καθένας μόνος του δεν διατηρεί τηνενέργεια τότε

UmE = ~gm

(S+am + Sminusa

daggerm

) (4174)

Η προσέγγιση είναι κατά κάποιο τρόπο ανάλογη της RWA (Rotating Wave Approxi-mation) του Κεϕαλαίου 3 Εκεί στις εξισώσεις Rabi κρατήσαμε μόνο τους αργούςόρους όπου ΗΜ πεδίο και το δισταθμικό σύστημα βρίσκονται σε περίπου συντονισμό

173

δηλαδή Ω ≃ ω Τότε κρατήσαμε τους αργούς όρους eplusmni(Ωminusω)t και αγνοήσαμε τουςγρήγορους όρους eplusmni(Ω+ω)tΣυνοπτικά ενώ για την ολική Χαμιλτονιανή ενός τρόπου m έχουμε την λεγόμενη

Χαμιλτονιανή Rabi

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4175)

κατά την παραπάνω συζήτηση αγνοούμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενουςcounter-rotating terms

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4176)

οπότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66]

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4177)

Στην ΄Ασκηση 1 (παραλείποντας τον δείκτη του ΗΜ τρόπου m απλότητα) βρί-σκουμε (Α) τι κάνουν οι όροι adaggera aadagger S+Sminus SminusS+ S+a

dagger S+a Sminusadagger Sminusa στις κα-

ταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩ και (Β) υπολογίζουμε τα ⟨adaggera⟩ ⟨aadagger⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨SminusS+⟩⟨S+a

dagger⟩ ⟨S+a⟩ ⟨Sminusadagger⟩ ⟨Sminusa⟩ για τις καταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩

174

49 Σύνοψη Χαμιλτονιανών

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Ακόμα είδαμε την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπίδραση ενός ΗΜ τρόπουm με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

Οπότε η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί (Εξ 4171)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

και οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩|darr nm⟩

Ακόμα αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενους counter-rotatingterms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam)

τότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66] (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm)

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

153

L2

m2π2c2=M

K (477)

Δηλαδή προκύπτει η ῾῾ σταθερά ελατηρίου ᾿᾿

K =2ϵ0cN 2S

L3 (478)

και η ῾῾ μάζα ᾿᾿ (η οποία σημειωτέο εξαρτάται από το m είναι δηλαδή διαϕορετική γιακάθε τρόπο του ΗΜ πεδίου m)

Mm =2ϵ0N 2S

cLm2π2 (479)

Μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε ότι η Mm έχει διαστάσεις μάζας (θα χρειαστείκαι η Εξ 461) και πως ισχύει K = Mmω

2m ΄Αρα κλασικά υπάρχει μία τυπική

ομοιότητα με ΑΑΤ με κυκλική συχνότητα ωm (Εξ 450) και ῾῾ μάζα ᾿᾿ Mm (Εξ 479)δηλαδή η Εξ 471 ή 474 γράϕεται

Εm =Mmω

2m

2q2m +

Mm

2q2m (480)

Μπορούμε επομένως να πούμε ότι το κβαντικό αντίστοιχο για ένα τρόπο ΗΜπεδίου m δηλαδή η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m θα είναι

HΗΜ m =Mmω

2m

2q2m +

Mm

2˙q2m (481)

με ιδιοτιμές ενέργειας

Emnm = ~ωm(nm +1

2) (482)

όπου ο δείκτης m isin N lowast αϕορά τον τρόπο του ΗΜ πεδίου και ο δείκτης nm isin Nαϕορά τον αριθμό των ϕωτονίων στον τρόπο m Συνεπώς η Χαμιλτονιανή για όλουςτους τρόπους του ΗΜ πεδίου θα είναι

HΗΜ =summ

HΗΜ m (483)

Κατόπιν σημειώνουμε ότι από τις Εξ 460 και 472 συνεπάγεται ότι

Emx (z t) =

2radicc

L2N sin

(mπzL

)qm(t) (484)

154

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Emx (z t) =

2radicc

L2N sin

(mπzL

)qm(t) (485)

Επίσης από τις Εξ 466 και 473 συνεπάγεται ότι

Bmy (z t) =

2NLradicc

1

mπccos(mπz

L

)qm(t) (486)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Bmy (z t) =

2NLradicc

1

mπccos(mπz

L

)ˆqm(t) (487)

Από τις ΄Εξ 484 479 και 450 προκύπτει

Emx (z t) =

(2Mmωm

2

ϵ0V

)12

sin(mπz

L

)qm(t) (488)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Emx (z t) =

(2Mmωm

2

ϵ0V

)12

sin(mπz

L

)qm(t) (489)

Από τις ΄Εξ 486 479 και 450 προκύπτει

Bmy (z t) =

1

c

(2Mm

ϵ0V

)12

cos(mπz

L

)qm(t) (490)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Bmy (z t) =

1

c

(2Mm

ϵ0V

)12

cos(mπz

L

)ˆqm(t) (491)

Τέλος από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει όπως αναμενόταν [Ex

By] = [c]

155

44 Χαμιλτονιανή ΗΜ πεδίου με τελεστέςκαταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίων

Ας μιλήσουμε τώρα για τελεστές καταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίων (photoncreation and annihilation operators) Είναι τώρα εύκολο να κβαντωθεί η Χαμιλτο-νιανή που περιγράϕει το ΗΜ πεδίο αρκεί να εϕαρμοστεί η αντιστοιχία τελεστών

qm = qm (492)

pm = minusi~ part

partqm(493)

Εισάγουμε τους τελεστές

am =1radic

2Mm~ωm(Mmωmqm + ipm) ῾῾ καταστροϕής ᾿᾿ (494)

adaggerm =1radic

2Mm~ωm(Mmωmqm minus ipm) ῾῾ δημιουργίας ᾿᾿ (495)

Ισχύουν οι ιδιότητες[am a

daggerm]︸ ︷︷ ︸

μεταθέτης

= amadaggerm minus adaggermam = 1 (496)

[qm pm]︸ ︷︷ ︸μεταθέτης

= i~ (497)

΄Ετσι οι τελεστές qm pm μπορούν τώρα να γραϕούν

qm =

(~

2Mmωm

)12

(adaggerm + am) (498)

pm = i

(Mm~ωm

2

)12

(adaggerm minus am) (499)

Συνεπώς η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m είναι

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)(4100)

Ας συμβολίσουμε με |nm⟩ την κατάσταση του ΗΜ πεδίου με nm αριθμό ϕωτονίωνστον ΗΜ τρόπο m Λέμε ότι είναι μια ῾῾ κατάσταση ϕωτονικών αριθμών ᾿᾿ Τα |nm⟩αποτελούν ένα πλήρες σύστημα δηλαδή ισχύει ⟨nm|lm⟩ = δnl

156

Οι τελεστές adaggerm και am έχουν τις ιδιότητες

adaggerm |nm⟩ =radicnm + 1 |nm + 1⟩ (4101)

am |nm⟩ =radicnm |nm minus 1⟩ (4102)

am |0⟩ = |0⟩ (4103)

Από τις Εξ 4101 και 4102 προκύπτει

adaggermam |nm⟩ = nm |nm⟩ (4104)

δηλαδή ο τελεστής Nm = adaggermam μετρά τον αριθμό των ϕωτονίων του ΗΜ τρόπου mοπότε μπορεί να αποκληθεί τελεστής του αριθμού των ϕωτονίων στον ΗΜ τρόπο mΑκόμα επαγωγικά προκύπτει

|nm⟩ =1radicnm

(adaggerm)nm |0⟩ (4105)

Λόγω των Εξ 4100 και 4104 προκύπτει

HΗΜ m |nm⟩ = ~ωm(nm +1

2) |nm⟩ (4106)

δηλαδή η Χαμιλτονιανή HΗΜ m δίνει ιδιοτιμές ενέργειας

Emnm = ~ωm(nm +1

2) (4107)

Η θεμελιώδης κατάσταση του ΑΑΤ |0⟩ με ιδιοενέργεια 12~ωm αντιστοιχεί στο κενό

δηλαδή χωρίς σωμάτιο η 1η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |1⟩ με ιδιοενέργεια 32~ωm

αντιστοιχεί σε ένα σωμάτιο η 2η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |2⟩ με ιδιοενέργεια52~ωm αντιστοιχεί σε δύο σωμάτια κοκ Αυτά τα σωμάτια εν προκειμένω τα λέμεϕωτόνια Δημιουργούνται και καταστρέϕονται με τους τελεστές αναβιβάσεως καικαταβιβάσεως ξεκινώντας από ένα επίπεδο αναϕοράς που εδώ είναι το κενό Υπακού-ουν στις μποζονικές σχέσεις μεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράστασηείναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση (second quantization)Η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)= ~ωm

(Nm +

1

2

) (4108)

157

αγνοώντας τον όρο ~ωm

2 μπορεί να γραϕτεί

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm (4109)

Μπορούμε να έχουμε οσαδήποτε ϕωτόνια στην ενεργειακή κατάσταση ~ωm διότι εί-ναι μποζόνια Ο adaggerm είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζειτην ενέργεια δημιουργώντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωm εξ ού και η ονομασία τελε-στής δημιουργίας (creation operator) Ο am είναι τελεστής καταβιβάσεως (loweringoperator) διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωmεξ ού και η ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator)

Σχήμα 45 Σωμάτια (εδώ ϕωτόνια απεικονίζονται με πράσινες βούλες) δημιουργούνται και κατα-στρέϕονται μέσω των τελεστών αναβιβάσεως και καταβιβάσεως Υπακούουν στις μποζονικές σχέσειςμεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράσταση είναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση(second quantization) Ο αριθμός των ϕωτονίων είναι ίσος με τον αριθμό των κόμβων της ιδιοσυ-ναρτήσεως

Τέλος ας σημειώσουμε ότι από τις Εξ 489 και 498 προκύπτει

Emx (z t) =

(~ωmϵ0V

)12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4110)

ενώ από τις Εξ 491 και 499 προκύπτει

Bmy (z t) =

i

c

(~ωmϵ0V

)12

cos(mπz

L

)(adaggerm minus am) (4111)

158

45 Χαμιλτονιανή δισταθμικού συστήματοςμε σπίνορες

Θα περιγράψουμε την αναβίβαση και την καταβίβαση ενός ηλεκτρονίου μεταξύ τωνενεργειακών σταθμών ενός δισταθμικού συστήματος πχ ενός ατόμου με τη βοήθειασπινόρων (spinors) Σπίνορας είναι ένα διάνυσμα - στήλη με δύο συνιστώσες Αςαρχίσουμε με ορισμούς (πχ [62])

| ⟩ =

=

0

0

=| 0⟩ |darr⟩ =

bull

=

0

1

=| 1⟩ |uarr⟩ =

bull

=

1

0

=| 2⟩

(4112)Το πρώτο παριστά το άδειο δισταθμικό σύστημα το δεύτερο δηλώνει το δισταθμικόσύστημα με το ηλεκτρόνιο στην κάτω στάθμη όπου έχει ενέργεια E1 και το τρίτο δη-λώνει το δισταθμικό σύστημα με το ηλεκτρόνιο στην άνω στάθμη όπου έχει ενέργειαE2 Ας ορίσουμε τώρα τους τελεστές

S+ =

0 1

0 0

Sminus =

0 0

1 0

(4113)

για τους οποίους μάλιστα ισχύει Sdagger+ =

0 1

0 0

dagger

=

0 0

1 0

= Sminus Ας δούμε ποιό

είναι το αποτέλεσμα της δράσεώς τους στους σπίνορες που ορίσαμε μόλις προ ολίγου

S+ | 0⟩ =

0 1

0 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

S+ |darr⟩ =

0 1

0 0

0

1

=

1

0

=|uarr⟩ το ανεβάζει

S+ |uarr⟩ =

0 1

0 0

1

0

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

(4114)

159

Sminus | 0⟩ =

0 0

1 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

Sminus |darr⟩ =

0 0

1 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

Sminus |uarr⟩ =

0 0

1 0

1

0

=

0

1

=|darr⟩ το κατεβάζει

(4115)

΄Ετσι ο S+ ονομάζεται τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ενώ ο Sminus ονομάζε-ται τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) του ηλεκτρονίου Ας δούμε μερικέςακόμα ιδιότητες

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

= σx (4116)

που είναι ένας από τους πίνακες Pauli που παρατίθονται λίγο παρακάτω (Εξ 4133)Ακόμα

S+Sminus =

0 1

0 0

0 0

1 0

=

1 0

0 0

(4117)

SminusS+ =

0 0

1 0

0 1

0 0

=

0 0

0 1

(4118)

΄Αρα από τις Εξ 4117-4118 συνεπάγεται ότι

S+Sminus + SminusS+ =

1 0

0 1

= I (4119)

που είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας Μπορούμε να το γράψουμε και στη μορϕή

S+ Sminus = I (4120)

160

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4121)

ενώ [AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4122)

΄Οταν AB = 0 rArr AB + BA = 0 rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται ενώ όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οιποσότητες μετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση των ονομασίων ΄Οπωςθα δούμε παρακάτω η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσειςαντιμεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ηλεκτρόνια που είναι ϕερμιόνια ενώ ο με-ταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσεις μεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ϕωτόνιαπου είναι μποζόνια Συχνά στα ελληνικά συγγράμματα της δευτεροβάθμιας εκπαί-δευσης πολύ κακώς εδώ και δεκαετίες ονομάζεται ῾῾ αντιμεταθετική ᾿᾿ η μεταθετική(commutative) ιδιότητα χαθήκαμε δηλαδή στη μετάϕρασηΗ Χαμιλτονιανή του Δισταθμικού Συστήματος HΔΣ είναι η

E2S+Sminus + E1SminusS+ = E2

1 0

0 0

+ E1

0 0

0 1

=

E2 0

0 E1

(4123)

αϕού E2 0

0 E1

1

0

=

E2

0

= E2

1

0

(4124)

E2 0

0 E1

0

1

=

0

E1

= E1

0

1

(4125)

΄Αρα συνοπτικά δείξαμε ότι

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+ (4126)

Αν τώρα θέσουμε E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) οπότε

HΔΣ = ~ΩS+Sminus (4127)

161

Ο τελεστής S+Sminus μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη αϕού

S+Sminus | 1⟩ =

1 0

0 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ rArr S+Sminus | 1⟩ = 0 | 1⟩ (4128)

S+Sminus | 2⟩ =

1 0

0 0

1

0

=

1

0

=| 2⟩ rArr S+Sminus | 2⟩ = 1 | 2⟩ (4129)

Ο τελεστής SminusS+ μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην κάτω στάθμη αϕού

SminusS+ | 1⟩ =

0 0

0 1

0

1

=

0

1

=| 1⟩ rArr SminusS+ | 1⟩ = 1 | 1⟩ (4130)

SminusS+ | 2⟩ =

0 0

0 1

1

0

=

0

0

=| 0⟩ rArr SminusS+ | 2⟩ = 0 | 2⟩ (4131)

Παρατήρηση Συνοπτικά για τους τελεστές S+ και Sminus μπορούμε να αποδείξουμεότι (S+)

dagger = Sminus αλλά και ότι

S+ Sdagger+ = S+ Sminus = S+Sminus + SminusS+ = I

Sminus Sdaggerminus = Sminus S+ = SminusS+ + S+Sminus = I

S+ S+ = Sdaggerminus S

daggerminus = S+S+ + S+S+ = 0

Sminus Sminus = Sdagger+ S

dagger+ = SminusSminus + SminusSminus = 0

(4132)

όπου I είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας 2 times 2 και 0 είναι ο μηδενικός πίνακας2times2 Οι Εξ 4132 δείχνουν ότι οι τελεστές S+ και Sminus υπακούουν στις σχέσεις αντι-μεταθέσεως ϕερμιονίων που αναϕέρουμε στην Υποενότητα 462 της Ενότητας 46Ο S+ είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζει την ενέργειαδημιουργώντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού και η ονομασία τελεστής δημιουρ-γίας (creation operator) Ο Sminus είναι τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator)διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού καιη ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Μπορούμε να έχουμεμόνο ένα ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω διότι τα ηλεκτρόνια είναι ϕερμιόνια

162

Ας θυμηθούμε τώρα τους πίνακες Pauli σx σy σz και ας δούμε τη σχέση τους μετους τελεστές αναβιβάσεως και καταβιβάσεως ηλεκτρονίων S+ και Sminus αντιστοίχως

σx =

0 1

1 0

(4133)

σy =

0 minusi

i 0

(4134)

σz =

1 0

0 minus1

(4135)

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι ισχύει η ιδιότητα

[σx σy] = 2iσz (4136)

καθώς και οι κυκλικές εναλλαγές της Επίσης

σ2x = σ2

y = σ2z =

1 0

0 1

= I (4137)

και

σx σy = σxσy + σyσx = 0 (4138)

σy σz = σyσz + σzσy = 0

σz σx = σzσx + σxσz = 0

δηλαδή οι πίνακες Pauli αντιμετατίθονται Επί παραδείγματι

σx σy = σxσy + σyσx =0 1

1 0

0 minusi

i 0

+

0 minusi

i 0

0 1

1 0

=

i 0

0 minusi

+

minusi 0

0 i

=

0 0

0 0

= 0

Ακόμα μπορούμε να αποδείξουμε ότι

S+ + Sminus = σx

S+ minus Sminus = iσy

163

46 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων καισχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων

461 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων πχ ϕωτονίων

Ας ονομαστεί am ο τελεστής καταστροϕής μποζονίων και adaggerm ο τελεστήςδημιουργίας μποζονίων στην κατάσταση m Για τα μποζόνια ισχύουν οι σχέσειςμεταθέσεως (commutation relations)

[am aℓ] = 0

[adaggerm adaggerℓ] = 0

(4139)

[AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4140)

οπότε όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οι ποσότητεςμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας

462 Σχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων πχ ηλε-κτρονίων

Ας ονομαστεί ai ο τελεστής καταστροϕής ϕερμιονίων και adaggeri ο τελεστής δη-μιουργίας ϕερμιονίων στην κατάσταση i Για τα ϕερμιόνια ισχύουν οι σχέσεις αντι-μεταθέσεως (anticommutation relations)

ai adaggerj = δij

ai aj = 0

adaggeri adaggerj = 0

(4141)

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4142)

οπότε όταν AB = 0rArr AB+BA = 0rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας Αν εϕαρμόσουμετη σχέση adaggeri a

daggerj = 0 για την ίδια κατάσταση πχ i = j = r έχουμε adaggerr adaggerr =

0 rArr adaggerradaggerr = 0 που σημαίνει ότι

δεν μπορούμε να βάλουμε δύο ϕερμιόνια στην ίδια

κατάσταση πράγμα που είναι η απαγορευτική αρχή Pauli

164

47 Τελεστές κλίμακας (Ladder operators) [63]

Στη γραμμική άλγεβρα καθώς και στις εϕαρμογές της στην κβαντική μηχανική ορί-ζεται ο τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ο οποίος αυξάνει την ιδιοτιμή ενόςάλλου τελεστή και ο τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) ο οποίος μειώνειτην ιδιοτιμή ενός άλλου τελεστή Αυτοί συλλογικά ονομάζονται τελεστές κλίμα-κας (ladder operators) Στην κβαντομηχανική ο τελεστής αναβιβάσεως καλείταισυχνά τελεστής δημιουργίας (creation operator) και ο τελεστής καταβιβάσεως κα-λείται συχνά τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Γνωστές εϕαρμογέςτων τελεστών κλίμακας είναι στον απλό αρμονικό ταλαντωτή και στη στροϕορμήΣε πολλές περιοχές της ϕυσικής και της χημείας η χρήση αυτών των τελεστών αντίκυματοσυναρτήσεων είναι γνωστή ως δεύτερη κβάντωση (second quantization) [64]

165

48 Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεωςδισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου

΄Εστω δύο αντίθετα ηλεκτρικά ϕορτία q gt 0 και minusq lt 0 στα σημεία Θ και Α

αντιστοίχως Αν d =minusrarrΑΘ είναι το διάνυσμα θέσεως του θετικού ϕορτίου ως προς το

αρνητικό τότε η ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) ορίζεταιως

P = qd (4143)

πχ για το άτομο του υδρογόνου αν το Π παριστάνει τον πυρήνα και το Η παριστάνει

το ηλεκτρόνιο και ως συνήθως ορίσουμε r =minusrarrΠΗ τότε P = qd = e(minusr)rArr

P = minuser (4144)

Αυτό αποδίδεται άνω τμήμα του Σχήματος 46 Η δυναμική ενέργεια (potential

Σχήμα 46 ΄Ανω Ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) Κάτω (Ηλεκτρική) διπολικήροπή μεταβάσεως (transition (electric) dipole moment)

energy) UE του ηλεκτρικού διπόλου εντός ηλεκτρικού πεδίου E είναι

UE = minusP middot E (4145)

166

Ανάλογος με τον παραπάνω ορισμό μπορεί να δοθεί και για την περίπτωση της με-ταβάσεως ενός τμήματος του ηλεκτρονιακού νέϕους από μία αρχική σε μια τελική πε-ριοχή ΄Ετσι ορίζεται η (ηλεκτρική) διπολική ροπή μεταβάσεως [transition(electric) dipole moment] 1 Αυτό αποδίδεται στο κάτω τμήμα το Σχήματος 46Αν το ϕορτίο που μεταϕέρεται είναι minuse πάλι p = qd = e(minusr)rArr p = minuser Δηλαδήεννοείται ότι για την περιοχή 2 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμεί με μετά-βαση ϕορτίου minuse ενώ για την περιοχή 1 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμείμε μετάβαση ϕορτίου +eΟ τελεστής (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως [transition

(electric) dipole moment operator] σημειώνεται εναλλακτικά με ˆd ή ˆp Στη βάση τωνιδιοκαταστάσεων της ενέργειας του αδιατάρακτου ατόμου ή συστήματος ορίζεται ως

ˆd = ˆp =

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | (4146)

με τους επίσης εναλλακτικούς συμβολισμούς

dij = pij = minuse⟨Φi | ˆr | Φj⟩ (4147)

για το στοιχείο πίνακα της (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως μεταξύ των κα-ταστάσεων | Φi⟩ και | Φj⟩ Υπενθυμίζεται ότι ο τελεστής θέσεως (position operator)ˆr είναι τέτοιος ώστε

ˆr | r⟩ = r | r⟩ (4148)

Υπενθυμίζεται για τον συμβολισμό Dirac ότι

| A⟩ =

α1

α2

hArr ⟨A |= (αlowast1 αlowast

2) (4149)

Υπενθυμίζεται ακόμα ότι

⟨Φi | ˆr | Φj⟩ =sum

|rprime⟩|rprimeprime⟩

⟨Φi | rprime⟩⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩⟨rprimeprime | Φj⟩ =sum|rprime⟩

⟨Φi | rprime⟩ rprime ⟨rprime | Φj⟩

=sum|r⟩

⟨Φi | r⟩ r ⟨r | Φj⟩ =intdV Φi(r)

lowastrΦj(r)

1Η λέξη ῾῾ ηλεκτρική ᾿᾿ είναι εντός παρενθέσεως επειδή συνήθως επειδή εννοείται παραλείπεται

167

διότι⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩ = rprimeprime⟨rprime|rprimeprime⟩ = rprimeprimeδrprimerprimeprime (4150)

΄Αρα

d11 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ1(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4151)

d12 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ2(r) = 0 (4152)

d21 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ1(r) = 0 (4153)

d22 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ2(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4154)

Δηλαδή ενώ τα διαγώνια στοιχεία μηδενίζονται τα d12 και d21 δεν είναι (῾῾ εκ ταυτό-τητος ᾿᾿) μηδέν Ας δούμε τώρα ποιος είναι ο ˆp σε δισταθμικό σύστημα

ˆp = d11 | Φ1⟩⟨Φ1 | + d12 | Φ1⟩⟨Φ2 | + d21 | Φ2⟩⟨Φ1 | + d22 | Φ2⟩⟨Φ2 |

= d11

0

1

(0 1)+ d12

0

1

(1 0)+ d21

1

0

(0 1)+ d22

1

0

(1 0)

= 0 ⋆

d11︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

0 0

0 1

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

+ d12︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 0

1 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ d21︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 1

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ 0 ⋆

d22︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

1 0

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

Από τις Εξ (4152)-(4153) συμπεραίνουμε ότι d12 = d21 με την προϋπόθεση ότι οιΦi(r) είναι πραγματικές οπότε

ˆp = d12

0 1

1 0

(4155)

168

Ερώτηση Και τι κάνει ο τελεστής

0 1

1 0

Απάντηση0 1

1 0

0

1

=

1

0

0 1

1 0

1

0

=

0

1

Δηλαδή μεταϕέρει από τη μία ενεργειακή στάθμη στην άλλη όπως θα έπρεπε

Τώρα μπορεί να οριστεί ο τελεστής δυναμικής ενέργειας (potential e-nergy operator) Θεωρούμε ότι η αλληλεπίδραση δισταθμικού συστήματος - ΗΜπεδίου έχει τη μορϕή μηχανισμού ηλεκτρικού διπόλου Αγνοούμε άλλης μορϕής αλ-ληλεπιδράσεις όπως πχ ηλεκτρικού τετραπόλου ή μαγνητικού διπόλου Αϕού

UE = minusP middot E rArr

UmE = minusP middot Em (4156)

όπου ο δείκτης m δηλώνει τον m τρόπο του ΗΜ πεδίου ο αντίστοιχος τελεστήςμπορεί να οριστεί ως

UmE = minus ˆp middot ˆEm (4157)

Επομένως

UmE = minus

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | middotEmx (z t)i

i είναι το μοναδιαίο άνυσμα του άξονα x αϕού έχουμε υποθέσει αυτόν τον προσανα-τολισμό για το ηλεκτρικό πεδίο (δείτε Σχήμα 42) ΄Η λόγω της Εξ 4155

UmE = minusd12

0 1

1 0

middot Emx (z t)i (4158)

Αλλά

d12 middot i = minuseintdV Φ1(r)

lowast(r middot i)Φ2(r) = minusex12 = Px12 = P (4159)

169

Συνεπώς

UmE = ex12

0 1

1 0

Emx (z t) (4160)

Υπενθυμίζονται οι Εξ 4110 και 4111

Emx (z t) =

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4161)

Bmy (z t) =

(~ωmε0V

) 12 1

ccos(mπz

L

)i(adaggerm minus am) (4162)

από τις οποίες όμως στα πλαίσια των υποθέσεών μας χρειαζόμαστε τώρα μόνον τηνπρώτη Επίσης υπενθυμίζεται ότι

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

(4163)

΄Αρα εν τέλει

UmE = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4164)

Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε

~gm = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(4165)

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4166)

Αυτή είναι λοιπόν η Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συ-στήματος - ΗΜ πεδίου για τον ΗΜ τρόπο m Εάν βρισκόμαστε σταπλαίσια της ατομικής ϕυσικής τότε συμβολίζεται και Hm

AF όπου οι δείκτες σημαίνουνAtom-FieldΑπό την Εξ 4165 προκύπτει

~|gm| = |P |∣∣∣∣ (~ωm

ε0V

) 12

sin(mπz

L

) ∣∣∣∣ = |P| Em0 (4167)

170

όπου όμως το ῾῾ πλάτος ᾿᾿ Em0 εξαρτάται από τη θέση z του ατόμου στην κοιλότητα

είναι δηλαδή Em0 = Em

0 (z) Η |gm| (ή οποία συμβολίζεται και με ΩmR ) είναι η λεγόμενη

συχνότητα Rabi Εάν εννοείται σε ποιον ΗΜ τρόπο m αναϕερόμαστε μπορούμε ναχρησιμοποιήσουμε σκέτο το |g| ή το ΩR ΄Αρα

|gm| ή ΩmR =

|P|Em0

~(4168)

Για να μη γράϕουμε απόλυτα μπορούμε σε κάθε θέση να διαλέγουμε τη ϕάση τωνκυματοσυναρτήσεων τέτοια ώστε το g να είναι θετικό και πραγματικό [65] Συνοπτικά

gm ή ΩmR =

|P|Em0

~(4169)

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Τώρα συμπληρώνεται η εικόνα με την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπί-δραση ενός ΗΜ τρόπου m με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4170)

΄Αρα η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4171)

Επομένως οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩ (4172)

|darr nm⟩ (4173)

171

Ας δούμε λίγο προσεκτικότερα τη Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικούσυστήματος - ΗΜ πεδίου (Εξ 4166) Για έναν μοναδικό τρόπο m η Χαμιλτονιανήαυτή αναλυεται σε τέσσερις όρους

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) =

= ~gmS+adaggerm︸ ︷︷ ︸

1ος

+ S+am︸ ︷︷ ︸2ος

+ Sminusadaggerm︸ ︷︷ ︸

3ος

+ Sminusam︸ ︷︷ ︸4ος

bull 1ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E gt 0 Επόμένως αυτός ο όρος μόνος τουδεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

bull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻︸ ︷︷ ︸

μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολ-λοί τρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτο-νιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται απόάθροισμα όρων όπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημανα απορροϕήσει ένα ϕωτόνιο υψηλής συχνότητας και να ανεβεί ενώ παράλληλαδημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο χαμηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi www≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

simsim≻ ff lt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 2ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο Αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

172

bull 3ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιοΚαι αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικάbull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 4ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο ΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E lt 0 Επόμένως και αυτός ο όροςμόνος του δεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολλοίτρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτονιανή αλλη-λεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται από άθροισμα όρωνόπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημα να απορροϕήσει έναϕωτόνιο χαμηλής συχνότητας και να κατεβεί ενώ παράλληλα δημιουργείται εκπέμ-πεται ϕωτόνιο υψηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

www≻ ff gt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

Αν αγνοήσουμε τον 1ο και 4ο όρο που ο καθένας μόνος του δεν διατηρεί τηνενέργεια τότε

UmE = ~gm

(S+am + Sminusa

daggerm

) (4174)

Η προσέγγιση είναι κατά κάποιο τρόπο ανάλογη της RWA (Rotating Wave Approxi-mation) του Κεϕαλαίου 3 Εκεί στις εξισώσεις Rabi κρατήσαμε μόνο τους αργούςόρους όπου ΗΜ πεδίο και το δισταθμικό σύστημα βρίσκονται σε περίπου συντονισμό

173

δηλαδή Ω ≃ ω Τότε κρατήσαμε τους αργούς όρους eplusmni(Ωminusω)t και αγνοήσαμε τουςγρήγορους όρους eplusmni(Ω+ω)tΣυνοπτικά ενώ για την ολική Χαμιλτονιανή ενός τρόπου m έχουμε την λεγόμενη

Χαμιλτονιανή Rabi

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4175)

κατά την παραπάνω συζήτηση αγνοούμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενουςcounter-rotating terms

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4176)

οπότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66]

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4177)

Στην ΄Ασκηση 1 (παραλείποντας τον δείκτη του ΗΜ τρόπου m απλότητα) βρί-σκουμε (Α) τι κάνουν οι όροι adaggera aadagger S+Sminus SminusS+ S+a

dagger S+a Sminusadagger Sminusa στις κα-

ταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩ και (Β) υπολογίζουμε τα ⟨adaggera⟩ ⟨aadagger⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨SminusS+⟩⟨S+a

dagger⟩ ⟨S+a⟩ ⟨Sminusadagger⟩ ⟨Sminusa⟩ για τις καταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩

174

49 Σύνοψη Χαμιλτονιανών

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Ακόμα είδαμε την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπίδραση ενός ΗΜ τρόπουm με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

Οπότε η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί (Εξ 4171)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

και οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩|darr nm⟩

Ακόμα αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενους counter-rotatingterms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam)

τότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66] (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm)

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

154

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Emx (z t) =

2radicc

L2N sin

(mπzL

)qm(t) (485)

Επίσης από τις Εξ 466 και 473 συνεπάγεται ότι

Bmy (z t) =

2NLradicc

1

mπccos(mπz

L

)qm(t) (486)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Bmy (z t) =

2NLradicc

1

mπccos(mπz

L

)ˆqm(t) (487)

Από τις ΄Εξ 484 479 και 450 προκύπτει

Emx (z t) =

(2Mmωm

2

ϵ0V

)12

sin(mπz

L

)qm(t) (488)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Emx (z t) =

(2Mmωm

2

ϵ0V

)12

sin(mπz

L

)qm(t) (489)

Από τις ΄Εξ 486 479 και 450 προκύπτει

Bmy (z t) =

1

c

(2Mm

ϵ0V

)12

cos(mπz

L

)qm(t) (490)

οπότε το κβαντικό ανάλογο είναι

Bmy (z t) =

1

c

(2Mm

ϵ0V

)12

cos(mπz

L

)ˆqm(t) (491)

Τέλος από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει όπως αναμενόταν [Ex

By] = [c]

155

44 Χαμιλτονιανή ΗΜ πεδίου με τελεστέςκαταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίων

Ας μιλήσουμε τώρα για τελεστές καταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίων (photoncreation and annihilation operators) Είναι τώρα εύκολο να κβαντωθεί η Χαμιλτο-νιανή που περιγράϕει το ΗΜ πεδίο αρκεί να εϕαρμοστεί η αντιστοιχία τελεστών

qm = qm (492)

pm = minusi~ part

partqm(493)

Εισάγουμε τους τελεστές

am =1radic

2Mm~ωm(Mmωmqm + ipm) ῾῾ καταστροϕής ᾿᾿ (494)

adaggerm =1radic

2Mm~ωm(Mmωmqm minus ipm) ῾῾ δημιουργίας ᾿᾿ (495)

Ισχύουν οι ιδιότητες[am a

daggerm]︸ ︷︷ ︸

μεταθέτης

= amadaggerm minus adaggermam = 1 (496)

[qm pm]︸ ︷︷ ︸μεταθέτης

= i~ (497)

΄Ετσι οι τελεστές qm pm μπορούν τώρα να γραϕούν

qm =

(~

2Mmωm

)12

(adaggerm + am) (498)

pm = i

(Mm~ωm

2

)12

(adaggerm minus am) (499)

Συνεπώς η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m είναι

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)(4100)

Ας συμβολίσουμε με |nm⟩ την κατάσταση του ΗΜ πεδίου με nm αριθμό ϕωτονίωνστον ΗΜ τρόπο m Λέμε ότι είναι μια ῾῾ κατάσταση ϕωτονικών αριθμών ᾿᾿ Τα |nm⟩αποτελούν ένα πλήρες σύστημα δηλαδή ισχύει ⟨nm|lm⟩ = δnl

156

Οι τελεστές adaggerm και am έχουν τις ιδιότητες

adaggerm |nm⟩ =radicnm + 1 |nm + 1⟩ (4101)

am |nm⟩ =radicnm |nm minus 1⟩ (4102)

am |0⟩ = |0⟩ (4103)

Από τις Εξ 4101 και 4102 προκύπτει

adaggermam |nm⟩ = nm |nm⟩ (4104)

δηλαδή ο τελεστής Nm = adaggermam μετρά τον αριθμό των ϕωτονίων του ΗΜ τρόπου mοπότε μπορεί να αποκληθεί τελεστής του αριθμού των ϕωτονίων στον ΗΜ τρόπο mΑκόμα επαγωγικά προκύπτει

|nm⟩ =1radicnm

(adaggerm)nm |0⟩ (4105)

Λόγω των Εξ 4100 και 4104 προκύπτει

HΗΜ m |nm⟩ = ~ωm(nm +1

2) |nm⟩ (4106)

δηλαδή η Χαμιλτονιανή HΗΜ m δίνει ιδιοτιμές ενέργειας

Emnm = ~ωm(nm +1

2) (4107)

Η θεμελιώδης κατάσταση του ΑΑΤ |0⟩ με ιδιοενέργεια 12~ωm αντιστοιχεί στο κενό

δηλαδή χωρίς σωμάτιο η 1η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |1⟩ με ιδιοενέργεια 32~ωm

αντιστοιχεί σε ένα σωμάτιο η 2η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |2⟩ με ιδιοενέργεια52~ωm αντιστοιχεί σε δύο σωμάτια κοκ Αυτά τα σωμάτια εν προκειμένω τα λέμεϕωτόνια Δημιουργούνται και καταστρέϕονται με τους τελεστές αναβιβάσεως καικαταβιβάσεως ξεκινώντας από ένα επίπεδο αναϕοράς που εδώ είναι το κενό Υπακού-ουν στις μποζονικές σχέσεις μεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράστασηείναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση (second quantization)Η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)= ~ωm

(Nm +

1

2

) (4108)

157

αγνοώντας τον όρο ~ωm

2 μπορεί να γραϕτεί

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm (4109)

Μπορούμε να έχουμε οσαδήποτε ϕωτόνια στην ενεργειακή κατάσταση ~ωm διότι εί-ναι μποζόνια Ο adaggerm είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζειτην ενέργεια δημιουργώντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωm εξ ού και η ονομασία τελε-στής δημιουργίας (creation operator) Ο am είναι τελεστής καταβιβάσεως (loweringoperator) διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωmεξ ού και η ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator)

Σχήμα 45 Σωμάτια (εδώ ϕωτόνια απεικονίζονται με πράσινες βούλες) δημιουργούνται και κατα-στρέϕονται μέσω των τελεστών αναβιβάσεως και καταβιβάσεως Υπακούουν στις μποζονικές σχέσειςμεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράσταση είναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση(second quantization) Ο αριθμός των ϕωτονίων είναι ίσος με τον αριθμό των κόμβων της ιδιοσυ-ναρτήσεως

Τέλος ας σημειώσουμε ότι από τις Εξ 489 και 498 προκύπτει

Emx (z t) =

(~ωmϵ0V

)12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4110)

ενώ από τις Εξ 491 και 499 προκύπτει

Bmy (z t) =

i

c

(~ωmϵ0V

)12

cos(mπz

L

)(adaggerm minus am) (4111)

158

45 Χαμιλτονιανή δισταθμικού συστήματοςμε σπίνορες

Θα περιγράψουμε την αναβίβαση και την καταβίβαση ενός ηλεκτρονίου μεταξύ τωνενεργειακών σταθμών ενός δισταθμικού συστήματος πχ ενός ατόμου με τη βοήθειασπινόρων (spinors) Σπίνορας είναι ένα διάνυσμα - στήλη με δύο συνιστώσες Αςαρχίσουμε με ορισμούς (πχ [62])

| ⟩ =

=

0

0

=| 0⟩ |darr⟩ =

bull

=

0

1

=| 1⟩ |uarr⟩ =

bull

=

1

0

=| 2⟩

(4112)Το πρώτο παριστά το άδειο δισταθμικό σύστημα το δεύτερο δηλώνει το δισταθμικόσύστημα με το ηλεκτρόνιο στην κάτω στάθμη όπου έχει ενέργεια E1 και το τρίτο δη-λώνει το δισταθμικό σύστημα με το ηλεκτρόνιο στην άνω στάθμη όπου έχει ενέργειαE2 Ας ορίσουμε τώρα τους τελεστές

S+ =

0 1

0 0

Sminus =

0 0

1 0

(4113)

για τους οποίους μάλιστα ισχύει Sdagger+ =

0 1

0 0

dagger

=

0 0

1 0

= Sminus Ας δούμε ποιό

είναι το αποτέλεσμα της δράσεώς τους στους σπίνορες που ορίσαμε μόλις προ ολίγου

S+ | 0⟩ =

0 1

0 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

S+ |darr⟩ =

0 1

0 0

0

1

=

1

0

=|uarr⟩ το ανεβάζει

S+ |uarr⟩ =

0 1

0 0

1

0

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

(4114)

159

Sminus | 0⟩ =

0 0

1 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

Sminus |darr⟩ =

0 0

1 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

Sminus |uarr⟩ =

0 0

1 0

1

0

=

0

1

=|darr⟩ το κατεβάζει

(4115)

΄Ετσι ο S+ ονομάζεται τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ενώ ο Sminus ονομάζε-ται τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) του ηλεκτρονίου Ας δούμε μερικέςακόμα ιδιότητες

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

= σx (4116)

που είναι ένας από τους πίνακες Pauli που παρατίθονται λίγο παρακάτω (Εξ 4133)Ακόμα

S+Sminus =

0 1

0 0

0 0

1 0

=

1 0

0 0

(4117)

SminusS+ =

0 0

1 0

0 1

0 0

=

0 0

0 1

(4118)

΄Αρα από τις Εξ 4117-4118 συνεπάγεται ότι

S+Sminus + SminusS+ =

1 0

0 1

= I (4119)

που είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας Μπορούμε να το γράψουμε και στη μορϕή

S+ Sminus = I (4120)

160

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4121)

ενώ [AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4122)

΄Οταν AB = 0 rArr AB + BA = 0 rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται ενώ όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οιποσότητες μετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση των ονομασίων ΄Οπωςθα δούμε παρακάτω η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσειςαντιμεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ηλεκτρόνια που είναι ϕερμιόνια ενώ ο με-ταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσεις μεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ϕωτόνιαπου είναι μποζόνια Συχνά στα ελληνικά συγγράμματα της δευτεροβάθμιας εκπαί-δευσης πολύ κακώς εδώ και δεκαετίες ονομάζεται ῾῾ αντιμεταθετική ᾿᾿ η μεταθετική(commutative) ιδιότητα χαθήκαμε δηλαδή στη μετάϕρασηΗ Χαμιλτονιανή του Δισταθμικού Συστήματος HΔΣ είναι η

E2S+Sminus + E1SminusS+ = E2

1 0

0 0

+ E1

0 0

0 1

=

E2 0

0 E1

(4123)

αϕού E2 0

0 E1

1

0

=

E2

0

= E2

1

0

(4124)

E2 0

0 E1

0

1

=

0

E1

= E1

0

1

(4125)

΄Αρα συνοπτικά δείξαμε ότι

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+ (4126)

Αν τώρα θέσουμε E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) οπότε

HΔΣ = ~ΩS+Sminus (4127)

161

Ο τελεστής S+Sminus μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη αϕού

S+Sminus | 1⟩ =

1 0

0 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ rArr S+Sminus | 1⟩ = 0 | 1⟩ (4128)

S+Sminus | 2⟩ =

1 0

0 0

1

0

=

1

0

=| 2⟩ rArr S+Sminus | 2⟩ = 1 | 2⟩ (4129)

Ο τελεστής SminusS+ μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην κάτω στάθμη αϕού

SminusS+ | 1⟩ =

0 0

0 1

0

1

=

0

1

=| 1⟩ rArr SminusS+ | 1⟩ = 1 | 1⟩ (4130)

SminusS+ | 2⟩ =

0 0

0 1

1

0

=

0

0

=| 0⟩ rArr SminusS+ | 2⟩ = 0 | 2⟩ (4131)

Παρατήρηση Συνοπτικά για τους τελεστές S+ και Sminus μπορούμε να αποδείξουμεότι (S+)

dagger = Sminus αλλά και ότι

S+ Sdagger+ = S+ Sminus = S+Sminus + SminusS+ = I

Sminus Sdaggerminus = Sminus S+ = SminusS+ + S+Sminus = I

S+ S+ = Sdaggerminus S

daggerminus = S+S+ + S+S+ = 0

Sminus Sminus = Sdagger+ S

dagger+ = SminusSminus + SminusSminus = 0

(4132)

όπου I είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας 2 times 2 και 0 είναι ο μηδενικός πίνακας2times2 Οι Εξ 4132 δείχνουν ότι οι τελεστές S+ και Sminus υπακούουν στις σχέσεις αντι-μεταθέσεως ϕερμιονίων που αναϕέρουμε στην Υποενότητα 462 της Ενότητας 46Ο S+ είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζει την ενέργειαδημιουργώντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού και η ονομασία τελεστής δημιουρ-γίας (creation operator) Ο Sminus είναι τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator)διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού καιη ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Μπορούμε να έχουμεμόνο ένα ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω διότι τα ηλεκτρόνια είναι ϕερμιόνια

162

Ας θυμηθούμε τώρα τους πίνακες Pauli σx σy σz και ας δούμε τη σχέση τους μετους τελεστές αναβιβάσεως και καταβιβάσεως ηλεκτρονίων S+ και Sminus αντιστοίχως

σx =

0 1

1 0

(4133)

σy =

0 minusi

i 0

(4134)

σz =

1 0

0 minus1

(4135)

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι ισχύει η ιδιότητα

[σx σy] = 2iσz (4136)

καθώς και οι κυκλικές εναλλαγές της Επίσης

σ2x = σ2

y = σ2z =

1 0

0 1

= I (4137)

και

σx σy = σxσy + σyσx = 0 (4138)

σy σz = σyσz + σzσy = 0

σz σx = σzσx + σxσz = 0

δηλαδή οι πίνακες Pauli αντιμετατίθονται Επί παραδείγματι

σx σy = σxσy + σyσx =0 1

1 0

0 minusi

i 0

+

0 minusi

i 0

0 1

1 0

=

i 0

0 minusi

+

minusi 0

0 i

=

0 0

0 0

= 0

Ακόμα μπορούμε να αποδείξουμε ότι

S+ + Sminus = σx

S+ minus Sminus = iσy

163

46 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων καισχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων

461 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων πχ ϕωτονίων

Ας ονομαστεί am ο τελεστής καταστροϕής μποζονίων και adaggerm ο τελεστήςδημιουργίας μποζονίων στην κατάσταση m Για τα μποζόνια ισχύουν οι σχέσειςμεταθέσεως (commutation relations)

[am aℓ] = 0

[adaggerm adaggerℓ] = 0

(4139)

[AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4140)

οπότε όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οι ποσότητεςμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας

462 Σχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων πχ ηλε-κτρονίων

Ας ονομαστεί ai ο τελεστής καταστροϕής ϕερμιονίων και adaggeri ο τελεστής δη-μιουργίας ϕερμιονίων στην κατάσταση i Για τα ϕερμιόνια ισχύουν οι σχέσεις αντι-μεταθέσεως (anticommutation relations)

ai adaggerj = δij

ai aj = 0

adaggeri adaggerj = 0

(4141)

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4142)

οπότε όταν AB = 0rArr AB+BA = 0rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας Αν εϕαρμόσουμετη σχέση adaggeri a

daggerj = 0 για την ίδια κατάσταση πχ i = j = r έχουμε adaggerr adaggerr =

0 rArr adaggerradaggerr = 0 που σημαίνει ότι

δεν μπορούμε να βάλουμε δύο ϕερμιόνια στην ίδια

κατάσταση πράγμα που είναι η απαγορευτική αρχή Pauli

164

47 Τελεστές κλίμακας (Ladder operators) [63]

Στη γραμμική άλγεβρα καθώς και στις εϕαρμογές της στην κβαντική μηχανική ορί-ζεται ο τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ο οποίος αυξάνει την ιδιοτιμή ενόςάλλου τελεστή και ο τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) ο οποίος μειώνειτην ιδιοτιμή ενός άλλου τελεστή Αυτοί συλλογικά ονομάζονται τελεστές κλίμα-κας (ladder operators) Στην κβαντομηχανική ο τελεστής αναβιβάσεως καλείταισυχνά τελεστής δημιουργίας (creation operator) και ο τελεστής καταβιβάσεως κα-λείται συχνά τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Γνωστές εϕαρμογέςτων τελεστών κλίμακας είναι στον απλό αρμονικό ταλαντωτή και στη στροϕορμήΣε πολλές περιοχές της ϕυσικής και της χημείας η χρήση αυτών των τελεστών αντίκυματοσυναρτήσεων είναι γνωστή ως δεύτερη κβάντωση (second quantization) [64]

165

48 Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεωςδισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου

΄Εστω δύο αντίθετα ηλεκτρικά ϕορτία q gt 0 και minusq lt 0 στα σημεία Θ και Α

αντιστοίχως Αν d =minusrarrΑΘ είναι το διάνυσμα θέσεως του θετικού ϕορτίου ως προς το

αρνητικό τότε η ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) ορίζεταιως

P = qd (4143)

πχ για το άτομο του υδρογόνου αν το Π παριστάνει τον πυρήνα και το Η παριστάνει

το ηλεκτρόνιο και ως συνήθως ορίσουμε r =minusrarrΠΗ τότε P = qd = e(minusr)rArr

P = minuser (4144)

Αυτό αποδίδεται άνω τμήμα του Σχήματος 46 Η δυναμική ενέργεια (potential

Σχήμα 46 ΄Ανω Ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) Κάτω (Ηλεκτρική) διπολικήροπή μεταβάσεως (transition (electric) dipole moment)

energy) UE του ηλεκτρικού διπόλου εντός ηλεκτρικού πεδίου E είναι

UE = minusP middot E (4145)

166

Ανάλογος με τον παραπάνω ορισμό μπορεί να δοθεί και για την περίπτωση της με-ταβάσεως ενός τμήματος του ηλεκτρονιακού νέϕους από μία αρχική σε μια τελική πε-ριοχή ΄Ετσι ορίζεται η (ηλεκτρική) διπολική ροπή μεταβάσεως [transition(electric) dipole moment] 1 Αυτό αποδίδεται στο κάτω τμήμα το Σχήματος 46Αν το ϕορτίο που μεταϕέρεται είναι minuse πάλι p = qd = e(minusr)rArr p = minuser Δηλαδήεννοείται ότι για την περιοχή 2 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμεί με μετά-βαση ϕορτίου minuse ενώ για την περιοχή 1 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμείμε μετάβαση ϕορτίου +eΟ τελεστής (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως [transition

(electric) dipole moment operator] σημειώνεται εναλλακτικά με ˆd ή ˆp Στη βάση τωνιδιοκαταστάσεων της ενέργειας του αδιατάρακτου ατόμου ή συστήματος ορίζεται ως

ˆd = ˆp =

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | (4146)

με τους επίσης εναλλακτικούς συμβολισμούς

dij = pij = minuse⟨Φi | ˆr | Φj⟩ (4147)

για το στοιχείο πίνακα της (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως μεταξύ των κα-ταστάσεων | Φi⟩ και | Φj⟩ Υπενθυμίζεται ότι ο τελεστής θέσεως (position operator)ˆr είναι τέτοιος ώστε

ˆr | r⟩ = r | r⟩ (4148)

Υπενθυμίζεται για τον συμβολισμό Dirac ότι

| A⟩ =

α1

α2

hArr ⟨A |= (αlowast1 αlowast

2) (4149)

Υπενθυμίζεται ακόμα ότι

⟨Φi | ˆr | Φj⟩ =sum

|rprime⟩|rprimeprime⟩

⟨Φi | rprime⟩⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩⟨rprimeprime | Φj⟩ =sum|rprime⟩

⟨Φi | rprime⟩ rprime ⟨rprime | Φj⟩

=sum|r⟩

⟨Φi | r⟩ r ⟨r | Φj⟩ =intdV Φi(r)

lowastrΦj(r)

1Η λέξη ῾῾ ηλεκτρική ᾿᾿ είναι εντός παρενθέσεως επειδή συνήθως επειδή εννοείται παραλείπεται

167

διότι⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩ = rprimeprime⟨rprime|rprimeprime⟩ = rprimeprimeδrprimerprimeprime (4150)

΄Αρα

d11 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ1(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4151)

d12 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ2(r) = 0 (4152)

d21 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ1(r) = 0 (4153)

d22 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ2(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4154)

Δηλαδή ενώ τα διαγώνια στοιχεία μηδενίζονται τα d12 και d21 δεν είναι (῾῾ εκ ταυτό-τητος ᾿᾿) μηδέν Ας δούμε τώρα ποιος είναι ο ˆp σε δισταθμικό σύστημα

ˆp = d11 | Φ1⟩⟨Φ1 | + d12 | Φ1⟩⟨Φ2 | + d21 | Φ2⟩⟨Φ1 | + d22 | Φ2⟩⟨Φ2 |

= d11

0

1

(0 1)+ d12

0

1

(1 0)+ d21

1

0

(0 1)+ d22

1

0

(1 0)

= 0 ⋆

d11︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

0 0

0 1

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

+ d12︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 0

1 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ d21︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 1

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ 0 ⋆

d22︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

1 0

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

Από τις Εξ (4152)-(4153) συμπεραίνουμε ότι d12 = d21 με την προϋπόθεση ότι οιΦi(r) είναι πραγματικές οπότε

ˆp = d12

0 1

1 0

(4155)

168

Ερώτηση Και τι κάνει ο τελεστής

0 1

1 0

Απάντηση0 1

1 0

0

1

=

1

0

0 1

1 0

1

0

=

0

1

Δηλαδή μεταϕέρει από τη μία ενεργειακή στάθμη στην άλλη όπως θα έπρεπε

Τώρα μπορεί να οριστεί ο τελεστής δυναμικής ενέργειας (potential e-nergy operator) Θεωρούμε ότι η αλληλεπίδραση δισταθμικού συστήματος - ΗΜπεδίου έχει τη μορϕή μηχανισμού ηλεκτρικού διπόλου Αγνοούμε άλλης μορϕής αλ-ληλεπιδράσεις όπως πχ ηλεκτρικού τετραπόλου ή μαγνητικού διπόλου Αϕού

UE = minusP middot E rArr

UmE = minusP middot Em (4156)

όπου ο δείκτης m δηλώνει τον m τρόπο του ΗΜ πεδίου ο αντίστοιχος τελεστήςμπορεί να οριστεί ως

UmE = minus ˆp middot ˆEm (4157)

Επομένως

UmE = minus

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | middotEmx (z t)i

i είναι το μοναδιαίο άνυσμα του άξονα x αϕού έχουμε υποθέσει αυτόν τον προσανα-τολισμό για το ηλεκτρικό πεδίο (δείτε Σχήμα 42) ΄Η λόγω της Εξ 4155

UmE = minusd12

0 1

1 0

middot Emx (z t)i (4158)

Αλλά

d12 middot i = minuseintdV Φ1(r)

lowast(r middot i)Φ2(r) = minusex12 = Px12 = P (4159)

169

Συνεπώς

UmE = ex12

0 1

1 0

Emx (z t) (4160)

Υπενθυμίζονται οι Εξ 4110 και 4111

Emx (z t) =

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4161)

Bmy (z t) =

(~ωmε0V

) 12 1

ccos(mπz

L

)i(adaggerm minus am) (4162)

από τις οποίες όμως στα πλαίσια των υποθέσεών μας χρειαζόμαστε τώρα μόνον τηνπρώτη Επίσης υπενθυμίζεται ότι

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

(4163)

΄Αρα εν τέλει

UmE = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4164)

Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε

~gm = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(4165)

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4166)

Αυτή είναι λοιπόν η Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συ-στήματος - ΗΜ πεδίου για τον ΗΜ τρόπο m Εάν βρισκόμαστε σταπλαίσια της ατομικής ϕυσικής τότε συμβολίζεται και Hm

AF όπου οι δείκτες σημαίνουνAtom-FieldΑπό την Εξ 4165 προκύπτει

~|gm| = |P |∣∣∣∣ (~ωm

ε0V

) 12

sin(mπz

L

) ∣∣∣∣ = |P| Em0 (4167)

170

όπου όμως το ῾῾ πλάτος ᾿᾿ Em0 εξαρτάται από τη θέση z του ατόμου στην κοιλότητα

είναι δηλαδή Em0 = Em

0 (z) Η |gm| (ή οποία συμβολίζεται και με ΩmR ) είναι η λεγόμενη

συχνότητα Rabi Εάν εννοείται σε ποιον ΗΜ τρόπο m αναϕερόμαστε μπορούμε ναχρησιμοποιήσουμε σκέτο το |g| ή το ΩR ΄Αρα

|gm| ή ΩmR =

|P|Em0

~(4168)

Για να μη γράϕουμε απόλυτα μπορούμε σε κάθε θέση να διαλέγουμε τη ϕάση τωνκυματοσυναρτήσεων τέτοια ώστε το g να είναι θετικό και πραγματικό [65] Συνοπτικά

gm ή ΩmR =

|P|Em0

~(4169)

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Τώρα συμπληρώνεται η εικόνα με την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπί-δραση ενός ΗΜ τρόπου m με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4170)

΄Αρα η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4171)

Επομένως οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩ (4172)

|darr nm⟩ (4173)

171

Ας δούμε λίγο προσεκτικότερα τη Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικούσυστήματος - ΗΜ πεδίου (Εξ 4166) Για έναν μοναδικό τρόπο m η Χαμιλτονιανήαυτή αναλυεται σε τέσσερις όρους

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) =

= ~gmS+adaggerm︸ ︷︷ ︸

1ος

+ S+am︸ ︷︷ ︸2ος

+ Sminusadaggerm︸ ︷︷ ︸

3ος

+ Sminusam︸ ︷︷ ︸4ος

bull 1ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E gt 0 Επόμένως αυτός ο όρος μόνος τουδεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

bull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻︸ ︷︷ ︸

μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολ-λοί τρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτο-νιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται απόάθροισμα όρων όπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημανα απορροϕήσει ένα ϕωτόνιο υψηλής συχνότητας και να ανεβεί ενώ παράλληλαδημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο χαμηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi www≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

simsim≻ ff lt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 2ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο Αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

172

bull 3ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιοΚαι αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικάbull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 4ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο ΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E lt 0 Επόμένως και αυτός ο όροςμόνος του δεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολλοίτρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτονιανή αλλη-λεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται από άθροισμα όρωνόπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημα να απορροϕήσει έναϕωτόνιο χαμηλής συχνότητας και να κατεβεί ενώ παράλληλα δημιουργείται εκπέμ-πεται ϕωτόνιο υψηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

www≻ ff gt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

Αν αγνοήσουμε τον 1ο και 4ο όρο που ο καθένας μόνος του δεν διατηρεί τηνενέργεια τότε

UmE = ~gm

(S+am + Sminusa

daggerm

) (4174)

Η προσέγγιση είναι κατά κάποιο τρόπο ανάλογη της RWA (Rotating Wave Approxi-mation) του Κεϕαλαίου 3 Εκεί στις εξισώσεις Rabi κρατήσαμε μόνο τους αργούςόρους όπου ΗΜ πεδίο και το δισταθμικό σύστημα βρίσκονται σε περίπου συντονισμό

173

δηλαδή Ω ≃ ω Τότε κρατήσαμε τους αργούς όρους eplusmni(Ωminusω)t και αγνοήσαμε τουςγρήγορους όρους eplusmni(Ω+ω)tΣυνοπτικά ενώ για την ολική Χαμιλτονιανή ενός τρόπου m έχουμε την λεγόμενη

Χαμιλτονιανή Rabi

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4175)

κατά την παραπάνω συζήτηση αγνοούμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενουςcounter-rotating terms

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4176)

οπότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66]

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4177)

Στην ΄Ασκηση 1 (παραλείποντας τον δείκτη του ΗΜ τρόπου m απλότητα) βρί-σκουμε (Α) τι κάνουν οι όροι adaggera aadagger S+Sminus SminusS+ S+a

dagger S+a Sminusadagger Sminusa στις κα-

ταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩ και (Β) υπολογίζουμε τα ⟨adaggera⟩ ⟨aadagger⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨SminusS+⟩⟨S+a

dagger⟩ ⟨S+a⟩ ⟨Sminusadagger⟩ ⟨Sminusa⟩ για τις καταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩

174

49 Σύνοψη Χαμιλτονιανών

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Ακόμα είδαμε την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπίδραση ενός ΗΜ τρόπουm με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

Οπότε η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί (Εξ 4171)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

και οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩|darr nm⟩

Ακόμα αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενους counter-rotatingterms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam)

τότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66] (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm)

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

155

44 Χαμιλτονιανή ΗΜ πεδίου με τελεστέςκαταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίων

Ας μιλήσουμε τώρα για τελεστές καταστροϕής και δημιουργίας ϕωτονίων (photoncreation and annihilation operators) Είναι τώρα εύκολο να κβαντωθεί η Χαμιλτο-νιανή που περιγράϕει το ΗΜ πεδίο αρκεί να εϕαρμοστεί η αντιστοιχία τελεστών

qm = qm (492)

pm = minusi~ part

partqm(493)

Εισάγουμε τους τελεστές

am =1radic

2Mm~ωm(Mmωmqm + ipm) ῾῾ καταστροϕής ᾿᾿ (494)

adaggerm =1radic

2Mm~ωm(Mmωmqm minus ipm) ῾῾ δημιουργίας ᾿᾿ (495)

Ισχύουν οι ιδιότητες[am a

daggerm]︸ ︷︷ ︸

μεταθέτης

= amadaggerm minus adaggermam = 1 (496)

[qm pm]︸ ︷︷ ︸μεταθέτης

= i~ (497)

΄Ετσι οι τελεστές qm pm μπορούν τώρα να γραϕούν

qm =

(~

2Mmωm

)12

(adaggerm + am) (498)

pm = i

(Mm~ωm

2

)12

(adaggerm minus am) (499)

Συνεπώς η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m είναι

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)(4100)

Ας συμβολίσουμε με |nm⟩ την κατάσταση του ΗΜ πεδίου με nm αριθμό ϕωτονίωνστον ΗΜ τρόπο m Λέμε ότι είναι μια ῾῾ κατάσταση ϕωτονικών αριθμών ᾿᾿ Τα |nm⟩αποτελούν ένα πλήρες σύστημα δηλαδή ισχύει ⟨nm|lm⟩ = δnl

156

Οι τελεστές adaggerm και am έχουν τις ιδιότητες

adaggerm |nm⟩ =radicnm + 1 |nm + 1⟩ (4101)

am |nm⟩ =radicnm |nm minus 1⟩ (4102)

am |0⟩ = |0⟩ (4103)

Από τις Εξ 4101 και 4102 προκύπτει

adaggermam |nm⟩ = nm |nm⟩ (4104)

δηλαδή ο τελεστής Nm = adaggermam μετρά τον αριθμό των ϕωτονίων του ΗΜ τρόπου mοπότε μπορεί να αποκληθεί τελεστής του αριθμού των ϕωτονίων στον ΗΜ τρόπο mΑκόμα επαγωγικά προκύπτει

|nm⟩ =1radicnm

(adaggerm)nm |0⟩ (4105)

Λόγω των Εξ 4100 και 4104 προκύπτει

HΗΜ m |nm⟩ = ~ωm(nm +1

2) |nm⟩ (4106)

δηλαδή η Χαμιλτονιανή HΗΜ m δίνει ιδιοτιμές ενέργειας

Emnm = ~ωm(nm +1

2) (4107)

Η θεμελιώδης κατάσταση του ΑΑΤ |0⟩ με ιδιοενέργεια 12~ωm αντιστοιχεί στο κενό

δηλαδή χωρίς σωμάτιο η 1η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |1⟩ με ιδιοενέργεια 32~ωm

αντιστοιχεί σε ένα σωμάτιο η 2η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |2⟩ με ιδιοενέργεια52~ωm αντιστοιχεί σε δύο σωμάτια κοκ Αυτά τα σωμάτια εν προκειμένω τα λέμεϕωτόνια Δημιουργούνται και καταστρέϕονται με τους τελεστές αναβιβάσεως καικαταβιβάσεως ξεκινώντας από ένα επίπεδο αναϕοράς που εδώ είναι το κενό Υπακού-ουν στις μποζονικές σχέσεις μεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράστασηείναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση (second quantization)Η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)= ~ωm

(Nm +

1

2

) (4108)

157

αγνοώντας τον όρο ~ωm

2 μπορεί να γραϕτεί

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm (4109)

Μπορούμε να έχουμε οσαδήποτε ϕωτόνια στην ενεργειακή κατάσταση ~ωm διότι εί-ναι μποζόνια Ο adaggerm είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζειτην ενέργεια δημιουργώντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωm εξ ού και η ονομασία τελε-στής δημιουργίας (creation operator) Ο am είναι τελεστής καταβιβάσεως (loweringoperator) διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωmεξ ού και η ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator)

Σχήμα 45 Σωμάτια (εδώ ϕωτόνια απεικονίζονται με πράσινες βούλες) δημιουργούνται και κατα-στρέϕονται μέσω των τελεστών αναβιβάσεως και καταβιβάσεως Υπακούουν στις μποζονικές σχέσειςμεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράσταση είναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση(second quantization) Ο αριθμός των ϕωτονίων είναι ίσος με τον αριθμό των κόμβων της ιδιοσυ-ναρτήσεως

Τέλος ας σημειώσουμε ότι από τις Εξ 489 και 498 προκύπτει

Emx (z t) =

(~ωmϵ0V

)12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4110)

ενώ από τις Εξ 491 και 499 προκύπτει

Bmy (z t) =

i

c

(~ωmϵ0V

)12

cos(mπz

L

)(adaggerm minus am) (4111)

158

45 Χαμιλτονιανή δισταθμικού συστήματοςμε σπίνορες

Θα περιγράψουμε την αναβίβαση και την καταβίβαση ενός ηλεκτρονίου μεταξύ τωνενεργειακών σταθμών ενός δισταθμικού συστήματος πχ ενός ατόμου με τη βοήθειασπινόρων (spinors) Σπίνορας είναι ένα διάνυσμα - στήλη με δύο συνιστώσες Αςαρχίσουμε με ορισμούς (πχ [62])

| ⟩ =

=

0

0

=| 0⟩ |darr⟩ =

bull

=

0

1

=| 1⟩ |uarr⟩ =

bull

=

1

0

=| 2⟩

(4112)Το πρώτο παριστά το άδειο δισταθμικό σύστημα το δεύτερο δηλώνει το δισταθμικόσύστημα με το ηλεκτρόνιο στην κάτω στάθμη όπου έχει ενέργεια E1 και το τρίτο δη-λώνει το δισταθμικό σύστημα με το ηλεκτρόνιο στην άνω στάθμη όπου έχει ενέργειαE2 Ας ορίσουμε τώρα τους τελεστές

S+ =

0 1

0 0

Sminus =

0 0

1 0

(4113)

για τους οποίους μάλιστα ισχύει Sdagger+ =

0 1

0 0

dagger

=

0 0

1 0

= Sminus Ας δούμε ποιό

είναι το αποτέλεσμα της δράσεώς τους στους σπίνορες που ορίσαμε μόλις προ ολίγου

S+ | 0⟩ =

0 1

0 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

S+ |darr⟩ =

0 1

0 0

0

1

=

1

0

=|uarr⟩ το ανεβάζει

S+ |uarr⟩ =

0 1

0 0

1

0

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

(4114)

159

Sminus | 0⟩ =

0 0

1 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

Sminus |darr⟩ =

0 0

1 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

Sminus |uarr⟩ =

0 0

1 0

1

0

=

0

1

=|darr⟩ το κατεβάζει

(4115)

΄Ετσι ο S+ ονομάζεται τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ενώ ο Sminus ονομάζε-ται τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) του ηλεκτρονίου Ας δούμε μερικέςακόμα ιδιότητες

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

= σx (4116)

που είναι ένας από τους πίνακες Pauli που παρατίθονται λίγο παρακάτω (Εξ 4133)Ακόμα

S+Sminus =

0 1

0 0

0 0

1 0

=

1 0

0 0

(4117)

SminusS+ =

0 0

1 0

0 1

0 0

=

0 0

0 1

(4118)

΄Αρα από τις Εξ 4117-4118 συνεπάγεται ότι

S+Sminus + SminusS+ =

1 0

0 1

= I (4119)

που είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας Μπορούμε να το γράψουμε και στη μορϕή

S+ Sminus = I (4120)

160

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4121)

ενώ [AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4122)

΄Οταν AB = 0 rArr AB + BA = 0 rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται ενώ όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οιποσότητες μετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση των ονομασίων ΄Οπωςθα δούμε παρακάτω η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσειςαντιμεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ηλεκτρόνια που είναι ϕερμιόνια ενώ ο με-ταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσεις μεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ϕωτόνιαπου είναι μποζόνια Συχνά στα ελληνικά συγγράμματα της δευτεροβάθμιας εκπαί-δευσης πολύ κακώς εδώ και δεκαετίες ονομάζεται ῾῾ αντιμεταθετική ᾿᾿ η μεταθετική(commutative) ιδιότητα χαθήκαμε δηλαδή στη μετάϕρασηΗ Χαμιλτονιανή του Δισταθμικού Συστήματος HΔΣ είναι η

E2S+Sminus + E1SminusS+ = E2

1 0

0 0

+ E1

0 0

0 1

=

E2 0

0 E1

(4123)

αϕού E2 0

0 E1

1

0

=

E2

0

= E2

1

0

(4124)

E2 0

0 E1

0

1

=

0

E1

= E1

0

1

(4125)

΄Αρα συνοπτικά δείξαμε ότι

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+ (4126)

Αν τώρα θέσουμε E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) οπότε

HΔΣ = ~ΩS+Sminus (4127)

161

Ο τελεστής S+Sminus μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη αϕού

S+Sminus | 1⟩ =

1 0

0 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ rArr S+Sminus | 1⟩ = 0 | 1⟩ (4128)

S+Sminus | 2⟩ =

1 0

0 0

1

0

=

1

0

=| 2⟩ rArr S+Sminus | 2⟩ = 1 | 2⟩ (4129)

Ο τελεστής SminusS+ μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην κάτω στάθμη αϕού

SminusS+ | 1⟩ =

0 0

0 1

0

1

=

0

1

=| 1⟩ rArr SminusS+ | 1⟩ = 1 | 1⟩ (4130)

SminusS+ | 2⟩ =

0 0

0 1

1

0

=

0

0

=| 0⟩ rArr SminusS+ | 2⟩ = 0 | 2⟩ (4131)

Παρατήρηση Συνοπτικά για τους τελεστές S+ και Sminus μπορούμε να αποδείξουμεότι (S+)

dagger = Sminus αλλά και ότι

S+ Sdagger+ = S+ Sminus = S+Sminus + SminusS+ = I

Sminus Sdaggerminus = Sminus S+ = SminusS+ + S+Sminus = I

S+ S+ = Sdaggerminus S

daggerminus = S+S+ + S+S+ = 0

Sminus Sminus = Sdagger+ S

dagger+ = SminusSminus + SminusSminus = 0

(4132)

όπου I είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας 2 times 2 και 0 είναι ο μηδενικός πίνακας2times2 Οι Εξ 4132 δείχνουν ότι οι τελεστές S+ και Sminus υπακούουν στις σχέσεις αντι-μεταθέσεως ϕερμιονίων που αναϕέρουμε στην Υποενότητα 462 της Ενότητας 46Ο S+ είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζει την ενέργειαδημιουργώντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού και η ονομασία τελεστής δημιουρ-γίας (creation operator) Ο Sminus είναι τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator)διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού καιη ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Μπορούμε να έχουμεμόνο ένα ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω διότι τα ηλεκτρόνια είναι ϕερμιόνια

162

Ας θυμηθούμε τώρα τους πίνακες Pauli σx σy σz και ας δούμε τη σχέση τους μετους τελεστές αναβιβάσεως και καταβιβάσεως ηλεκτρονίων S+ και Sminus αντιστοίχως

σx =

0 1

1 0

(4133)

σy =

0 minusi

i 0

(4134)

σz =

1 0

0 minus1

(4135)

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι ισχύει η ιδιότητα

[σx σy] = 2iσz (4136)

καθώς και οι κυκλικές εναλλαγές της Επίσης

σ2x = σ2

y = σ2z =

1 0

0 1

= I (4137)

και

σx σy = σxσy + σyσx = 0 (4138)

σy σz = σyσz + σzσy = 0

σz σx = σzσx + σxσz = 0

δηλαδή οι πίνακες Pauli αντιμετατίθονται Επί παραδείγματι

σx σy = σxσy + σyσx =0 1

1 0

0 minusi

i 0

+

0 minusi

i 0

0 1

1 0

=

i 0

0 minusi

+

minusi 0

0 i

=

0 0

0 0

= 0

Ακόμα μπορούμε να αποδείξουμε ότι

S+ + Sminus = σx

S+ minus Sminus = iσy

163

46 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων καισχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων

461 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων πχ ϕωτονίων

Ας ονομαστεί am ο τελεστής καταστροϕής μποζονίων και adaggerm ο τελεστήςδημιουργίας μποζονίων στην κατάσταση m Για τα μποζόνια ισχύουν οι σχέσειςμεταθέσεως (commutation relations)

[am aℓ] = 0

[adaggerm adaggerℓ] = 0

(4139)

[AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4140)

οπότε όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οι ποσότητεςμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας

462 Σχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων πχ ηλε-κτρονίων

Ας ονομαστεί ai ο τελεστής καταστροϕής ϕερμιονίων και adaggeri ο τελεστής δη-μιουργίας ϕερμιονίων στην κατάσταση i Για τα ϕερμιόνια ισχύουν οι σχέσεις αντι-μεταθέσεως (anticommutation relations)

ai adaggerj = δij

ai aj = 0

adaggeri adaggerj = 0

(4141)

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4142)

οπότε όταν AB = 0rArr AB+BA = 0rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας Αν εϕαρμόσουμετη σχέση adaggeri a

daggerj = 0 για την ίδια κατάσταση πχ i = j = r έχουμε adaggerr adaggerr =

0 rArr adaggerradaggerr = 0 που σημαίνει ότι

δεν μπορούμε να βάλουμε δύο ϕερμιόνια στην ίδια

κατάσταση πράγμα που είναι η απαγορευτική αρχή Pauli

164

47 Τελεστές κλίμακας (Ladder operators) [63]

Στη γραμμική άλγεβρα καθώς και στις εϕαρμογές της στην κβαντική μηχανική ορί-ζεται ο τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ο οποίος αυξάνει την ιδιοτιμή ενόςάλλου τελεστή και ο τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) ο οποίος μειώνειτην ιδιοτιμή ενός άλλου τελεστή Αυτοί συλλογικά ονομάζονται τελεστές κλίμα-κας (ladder operators) Στην κβαντομηχανική ο τελεστής αναβιβάσεως καλείταισυχνά τελεστής δημιουργίας (creation operator) και ο τελεστής καταβιβάσεως κα-λείται συχνά τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Γνωστές εϕαρμογέςτων τελεστών κλίμακας είναι στον απλό αρμονικό ταλαντωτή και στη στροϕορμήΣε πολλές περιοχές της ϕυσικής και της χημείας η χρήση αυτών των τελεστών αντίκυματοσυναρτήσεων είναι γνωστή ως δεύτερη κβάντωση (second quantization) [64]

165

48 Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεωςδισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου

΄Εστω δύο αντίθετα ηλεκτρικά ϕορτία q gt 0 και minusq lt 0 στα σημεία Θ και Α

αντιστοίχως Αν d =minusrarrΑΘ είναι το διάνυσμα θέσεως του θετικού ϕορτίου ως προς το

αρνητικό τότε η ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) ορίζεταιως

P = qd (4143)

πχ για το άτομο του υδρογόνου αν το Π παριστάνει τον πυρήνα και το Η παριστάνει

το ηλεκτρόνιο και ως συνήθως ορίσουμε r =minusrarrΠΗ τότε P = qd = e(minusr)rArr

P = minuser (4144)

Αυτό αποδίδεται άνω τμήμα του Σχήματος 46 Η δυναμική ενέργεια (potential

Σχήμα 46 ΄Ανω Ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) Κάτω (Ηλεκτρική) διπολικήροπή μεταβάσεως (transition (electric) dipole moment)

energy) UE του ηλεκτρικού διπόλου εντός ηλεκτρικού πεδίου E είναι

UE = minusP middot E (4145)

166

Ανάλογος με τον παραπάνω ορισμό μπορεί να δοθεί και για την περίπτωση της με-ταβάσεως ενός τμήματος του ηλεκτρονιακού νέϕους από μία αρχική σε μια τελική πε-ριοχή ΄Ετσι ορίζεται η (ηλεκτρική) διπολική ροπή μεταβάσεως [transition(electric) dipole moment] 1 Αυτό αποδίδεται στο κάτω τμήμα το Σχήματος 46Αν το ϕορτίο που μεταϕέρεται είναι minuse πάλι p = qd = e(minusr)rArr p = minuser Δηλαδήεννοείται ότι για την περιοχή 2 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμεί με μετά-βαση ϕορτίου minuse ενώ για την περιοχή 1 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμείμε μετάβαση ϕορτίου +eΟ τελεστής (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως [transition

(electric) dipole moment operator] σημειώνεται εναλλακτικά με ˆd ή ˆp Στη βάση τωνιδιοκαταστάσεων της ενέργειας του αδιατάρακτου ατόμου ή συστήματος ορίζεται ως

ˆd = ˆp =

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | (4146)

με τους επίσης εναλλακτικούς συμβολισμούς

dij = pij = minuse⟨Φi | ˆr | Φj⟩ (4147)

για το στοιχείο πίνακα της (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως μεταξύ των κα-ταστάσεων | Φi⟩ και | Φj⟩ Υπενθυμίζεται ότι ο τελεστής θέσεως (position operator)ˆr είναι τέτοιος ώστε

ˆr | r⟩ = r | r⟩ (4148)

Υπενθυμίζεται για τον συμβολισμό Dirac ότι

| A⟩ =

α1

α2

hArr ⟨A |= (αlowast1 αlowast

2) (4149)

Υπενθυμίζεται ακόμα ότι

⟨Φi | ˆr | Φj⟩ =sum

|rprime⟩|rprimeprime⟩

⟨Φi | rprime⟩⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩⟨rprimeprime | Φj⟩ =sum|rprime⟩

⟨Φi | rprime⟩ rprime ⟨rprime | Φj⟩

=sum|r⟩

⟨Φi | r⟩ r ⟨r | Φj⟩ =intdV Φi(r)

lowastrΦj(r)

1Η λέξη ῾῾ ηλεκτρική ᾿᾿ είναι εντός παρενθέσεως επειδή συνήθως επειδή εννοείται παραλείπεται

167

διότι⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩ = rprimeprime⟨rprime|rprimeprime⟩ = rprimeprimeδrprimerprimeprime (4150)

΄Αρα

d11 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ1(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4151)

d12 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ2(r) = 0 (4152)

d21 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ1(r) = 0 (4153)

d22 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ2(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4154)

Δηλαδή ενώ τα διαγώνια στοιχεία μηδενίζονται τα d12 και d21 δεν είναι (῾῾ εκ ταυτό-τητος ᾿᾿) μηδέν Ας δούμε τώρα ποιος είναι ο ˆp σε δισταθμικό σύστημα

ˆp = d11 | Φ1⟩⟨Φ1 | + d12 | Φ1⟩⟨Φ2 | + d21 | Φ2⟩⟨Φ1 | + d22 | Φ2⟩⟨Φ2 |

= d11

0

1

(0 1)+ d12

0

1

(1 0)+ d21

1

0

(0 1)+ d22

1

0

(1 0)

= 0 ⋆

d11︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

0 0

0 1

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

+ d12︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 0

1 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ d21︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 1

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ 0 ⋆

d22︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

1 0

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

Από τις Εξ (4152)-(4153) συμπεραίνουμε ότι d12 = d21 με την προϋπόθεση ότι οιΦi(r) είναι πραγματικές οπότε

ˆp = d12

0 1

1 0

(4155)

168

Ερώτηση Και τι κάνει ο τελεστής

0 1

1 0

Απάντηση0 1

1 0

0

1

=

1

0

0 1

1 0

1

0

=

0

1

Δηλαδή μεταϕέρει από τη μία ενεργειακή στάθμη στην άλλη όπως θα έπρεπε

Τώρα μπορεί να οριστεί ο τελεστής δυναμικής ενέργειας (potential e-nergy operator) Θεωρούμε ότι η αλληλεπίδραση δισταθμικού συστήματος - ΗΜπεδίου έχει τη μορϕή μηχανισμού ηλεκτρικού διπόλου Αγνοούμε άλλης μορϕής αλ-ληλεπιδράσεις όπως πχ ηλεκτρικού τετραπόλου ή μαγνητικού διπόλου Αϕού

UE = minusP middot E rArr

UmE = minusP middot Em (4156)

όπου ο δείκτης m δηλώνει τον m τρόπο του ΗΜ πεδίου ο αντίστοιχος τελεστήςμπορεί να οριστεί ως

UmE = minus ˆp middot ˆEm (4157)

Επομένως

UmE = minus

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | middotEmx (z t)i

i είναι το μοναδιαίο άνυσμα του άξονα x αϕού έχουμε υποθέσει αυτόν τον προσανα-τολισμό για το ηλεκτρικό πεδίο (δείτε Σχήμα 42) ΄Η λόγω της Εξ 4155

UmE = minusd12

0 1

1 0

middot Emx (z t)i (4158)

Αλλά

d12 middot i = minuseintdV Φ1(r)

lowast(r middot i)Φ2(r) = minusex12 = Px12 = P (4159)

169

Συνεπώς

UmE = ex12

0 1

1 0

Emx (z t) (4160)

Υπενθυμίζονται οι Εξ 4110 και 4111

Emx (z t) =

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4161)

Bmy (z t) =

(~ωmε0V

) 12 1

ccos(mπz

L

)i(adaggerm minus am) (4162)

από τις οποίες όμως στα πλαίσια των υποθέσεών μας χρειαζόμαστε τώρα μόνον τηνπρώτη Επίσης υπενθυμίζεται ότι

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

(4163)

΄Αρα εν τέλει

UmE = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4164)

Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε

~gm = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(4165)

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4166)

Αυτή είναι λοιπόν η Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συ-στήματος - ΗΜ πεδίου για τον ΗΜ τρόπο m Εάν βρισκόμαστε σταπλαίσια της ατομικής ϕυσικής τότε συμβολίζεται και Hm

AF όπου οι δείκτες σημαίνουνAtom-FieldΑπό την Εξ 4165 προκύπτει

~|gm| = |P |∣∣∣∣ (~ωm

ε0V

) 12

sin(mπz

L

) ∣∣∣∣ = |P| Em0 (4167)

170

όπου όμως το ῾῾ πλάτος ᾿᾿ Em0 εξαρτάται από τη θέση z του ατόμου στην κοιλότητα

είναι δηλαδή Em0 = Em

0 (z) Η |gm| (ή οποία συμβολίζεται και με ΩmR ) είναι η λεγόμενη

συχνότητα Rabi Εάν εννοείται σε ποιον ΗΜ τρόπο m αναϕερόμαστε μπορούμε ναχρησιμοποιήσουμε σκέτο το |g| ή το ΩR ΄Αρα

|gm| ή ΩmR =

|P|Em0

~(4168)

Για να μη γράϕουμε απόλυτα μπορούμε σε κάθε θέση να διαλέγουμε τη ϕάση τωνκυματοσυναρτήσεων τέτοια ώστε το g να είναι θετικό και πραγματικό [65] Συνοπτικά

gm ή ΩmR =

|P|Em0

~(4169)

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Τώρα συμπληρώνεται η εικόνα με την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπί-δραση ενός ΗΜ τρόπου m με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4170)

΄Αρα η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4171)

Επομένως οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩ (4172)

|darr nm⟩ (4173)

171

Ας δούμε λίγο προσεκτικότερα τη Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικούσυστήματος - ΗΜ πεδίου (Εξ 4166) Για έναν μοναδικό τρόπο m η Χαμιλτονιανήαυτή αναλυεται σε τέσσερις όρους

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) =

= ~gmS+adaggerm︸ ︷︷ ︸

1ος

+ S+am︸ ︷︷ ︸2ος

+ Sminusadaggerm︸ ︷︷ ︸

3ος

+ Sminusam︸ ︷︷ ︸4ος

bull 1ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E gt 0 Επόμένως αυτός ο όρος μόνος τουδεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

bull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻︸ ︷︷ ︸

μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολ-λοί τρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτο-νιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται απόάθροισμα όρων όπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημανα απορροϕήσει ένα ϕωτόνιο υψηλής συχνότητας και να ανεβεί ενώ παράλληλαδημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο χαμηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi www≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

simsim≻ ff lt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 2ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο Αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

172

bull 3ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιοΚαι αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικάbull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 4ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο ΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E lt 0 Επόμένως και αυτός ο όροςμόνος του δεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολλοίτρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτονιανή αλλη-λεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται από άθροισμα όρωνόπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημα να απορροϕήσει έναϕωτόνιο χαμηλής συχνότητας και να κατεβεί ενώ παράλληλα δημιουργείται εκπέμ-πεται ϕωτόνιο υψηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

www≻ ff gt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

Αν αγνοήσουμε τον 1ο και 4ο όρο που ο καθένας μόνος του δεν διατηρεί τηνενέργεια τότε

UmE = ~gm

(S+am + Sminusa

daggerm

) (4174)

Η προσέγγιση είναι κατά κάποιο τρόπο ανάλογη της RWA (Rotating Wave Approxi-mation) του Κεϕαλαίου 3 Εκεί στις εξισώσεις Rabi κρατήσαμε μόνο τους αργούςόρους όπου ΗΜ πεδίο και το δισταθμικό σύστημα βρίσκονται σε περίπου συντονισμό

173

δηλαδή Ω ≃ ω Τότε κρατήσαμε τους αργούς όρους eplusmni(Ωminusω)t και αγνοήσαμε τουςγρήγορους όρους eplusmni(Ω+ω)tΣυνοπτικά ενώ για την ολική Χαμιλτονιανή ενός τρόπου m έχουμε την λεγόμενη

Χαμιλτονιανή Rabi

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4175)

κατά την παραπάνω συζήτηση αγνοούμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενουςcounter-rotating terms

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4176)

οπότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66]

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4177)

Στην ΄Ασκηση 1 (παραλείποντας τον δείκτη του ΗΜ τρόπου m απλότητα) βρί-σκουμε (Α) τι κάνουν οι όροι adaggera aadagger S+Sminus SminusS+ S+a

dagger S+a Sminusadagger Sminusa στις κα-

ταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩ και (Β) υπολογίζουμε τα ⟨adaggera⟩ ⟨aadagger⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨SminusS+⟩⟨S+a

dagger⟩ ⟨S+a⟩ ⟨Sminusadagger⟩ ⟨Sminusa⟩ για τις καταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩

174

49 Σύνοψη Χαμιλτονιανών

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Ακόμα είδαμε την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπίδραση ενός ΗΜ τρόπουm με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

Οπότε η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί (Εξ 4171)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

και οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩|darr nm⟩

Ακόμα αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενους counter-rotatingterms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam)

τότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66] (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm)

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

156

Οι τελεστές adaggerm και am έχουν τις ιδιότητες

adaggerm |nm⟩ =radicnm + 1 |nm + 1⟩ (4101)

am |nm⟩ =radicnm |nm minus 1⟩ (4102)

am |0⟩ = |0⟩ (4103)

Από τις Εξ 4101 και 4102 προκύπτει

adaggermam |nm⟩ = nm |nm⟩ (4104)

δηλαδή ο τελεστής Nm = adaggermam μετρά τον αριθμό των ϕωτονίων του ΗΜ τρόπου mοπότε μπορεί να αποκληθεί τελεστής του αριθμού των ϕωτονίων στον ΗΜ τρόπο mΑκόμα επαγωγικά προκύπτει

|nm⟩ =1radicnm

(adaggerm)nm |0⟩ (4105)

Λόγω των Εξ 4100 και 4104 προκύπτει

HΗΜ m |nm⟩ = ~ωm(nm +1

2) |nm⟩ (4106)

δηλαδή η Χαμιλτονιανή HΗΜ m δίνει ιδιοτιμές ενέργειας

Emnm = ~ωm(nm +1

2) (4107)

Η θεμελιώδης κατάσταση του ΑΑΤ |0⟩ με ιδιοενέργεια 12~ωm αντιστοιχεί στο κενό

δηλαδή χωρίς σωμάτιο η 1η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |1⟩ με ιδιοενέργεια 32~ωm

αντιστοιχεί σε ένα σωμάτιο η 2η διεγερμένη κατάσταση του ΑΑΤ |2⟩ με ιδιοενέργεια52~ωm αντιστοιχεί σε δύο σωμάτια κοκ Αυτά τα σωμάτια εν προκειμένω τα λέμεϕωτόνια Δημιουργούνται και καταστρέϕονται με τους τελεστές αναβιβάσεως καικαταβιβάσεως ξεκινώντας από ένα επίπεδο αναϕοράς που εδώ είναι το κενό Υπακού-ουν στις μποζονικές σχέσεις μεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράστασηείναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση (second quantization)Η Χαμιλτονιανή του ΗΜ πεδίου για τον τρόπο m

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)= ~ωm

(Nm +

1

2

) (4108)

157

αγνοώντας τον όρο ~ωm

2 μπορεί να γραϕτεί

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm (4109)

Μπορούμε να έχουμε οσαδήποτε ϕωτόνια στην ενεργειακή κατάσταση ~ωm διότι εί-ναι μποζόνια Ο adaggerm είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζειτην ενέργεια δημιουργώντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωm εξ ού και η ονομασία τελε-στής δημιουργίας (creation operator) Ο am είναι τελεστής καταβιβάσεως (loweringoperator) διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωmεξ ού και η ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator)

Σχήμα 45 Σωμάτια (εδώ ϕωτόνια απεικονίζονται με πράσινες βούλες) δημιουργούνται και κατα-στρέϕονται μέσω των τελεστών αναβιβάσεως και καταβιβάσεως Υπακούουν στις μποζονικές σχέσειςμεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράσταση είναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση(second quantization) Ο αριθμός των ϕωτονίων είναι ίσος με τον αριθμό των κόμβων της ιδιοσυ-ναρτήσεως

Τέλος ας σημειώσουμε ότι από τις Εξ 489 και 498 προκύπτει

Emx (z t) =

(~ωmϵ0V

)12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4110)

ενώ από τις Εξ 491 και 499 προκύπτει

Bmy (z t) =

i

c

(~ωmϵ0V

)12

cos(mπz

L

)(adaggerm minus am) (4111)

158

45 Χαμιλτονιανή δισταθμικού συστήματοςμε σπίνορες

Θα περιγράψουμε την αναβίβαση και την καταβίβαση ενός ηλεκτρονίου μεταξύ τωνενεργειακών σταθμών ενός δισταθμικού συστήματος πχ ενός ατόμου με τη βοήθειασπινόρων (spinors) Σπίνορας είναι ένα διάνυσμα - στήλη με δύο συνιστώσες Αςαρχίσουμε με ορισμούς (πχ [62])

| ⟩ =

=

0

0

=| 0⟩ |darr⟩ =

bull

=

0

1

=| 1⟩ |uarr⟩ =

bull

=

1

0

=| 2⟩

(4112)Το πρώτο παριστά το άδειο δισταθμικό σύστημα το δεύτερο δηλώνει το δισταθμικόσύστημα με το ηλεκτρόνιο στην κάτω στάθμη όπου έχει ενέργεια E1 και το τρίτο δη-λώνει το δισταθμικό σύστημα με το ηλεκτρόνιο στην άνω στάθμη όπου έχει ενέργειαE2 Ας ορίσουμε τώρα τους τελεστές

S+ =

0 1

0 0

Sminus =

0 0

1 0

(4113)

για τους οποίους μάλιστα ισχύει Sdagger+ =

0 1

0 0

dagger

=

0 0

1 0

= Sminus Ας δούμε ποιό

είναι το αποτέλεσμα της δράσεώς τους στους σπίνορες που ορίσαμε μόλις προ ολίγου

S+ | 0⟩ =

0 1

0 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

S+ |darr⟩ =

0 1

0 0

0

1

=

1

0

=|uarr⟩ το ανεβάζει

S+ |uarr⟩ =

0 1

0 0

1

0

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

(4114)

159

Sminus | 0⟩ =

0 0

1 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

Sminus |darr⟩ =

0 0

1 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

Sminus |uarr⟩ =

0 0

1 0

1

0

=

0

1

=|darr⟩ το κατεβάζει

(4115)

΄Ετσι ο S+ ονομάζεται τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ενώ ο Sminus ονομάζε-ται τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) του ηλεκτρονίου Ας δούμε μερικέςακόμα ιδιότητες

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

= σx (4116)

που είναι ένας από τους πίνακες Pauli που παρατίθονται λίγο παρακάτω (Εξ 4133)Ακόμα

S+Sminus =

0 1

0 0

0 0

1 0

=

1 0

0 0

(4117)

SminusS+ =

0 0

1 0

0 1

0 0

=

0 0

0 1

(4118)

΄Αρα από τις Εξ 4117-4118 συνεπάγεται ότι

S+Sminus + SminusS+ =

1 0

0 1

= I (4119)

που είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας Μπορούμε να το γράψουμε και στη μορϕή

S+ Sminus = I (4120)

160

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4121)

ενώ [AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4122)

΄Οταν AB = 0 rArr AB + BA = 0 rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται ενώ όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οιποσότητες μετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση των ονομασίων ΄Οπωςθα δούμε παρακάτω η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσειςαντιμεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ηλεκτρόνια που είναι ϕερμιόνια ενώ ο με-ταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσεις μεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ϕωτόνιαπου είναι μποζόνια Συχνά στα ελληνικά συγγράμματα της δευτεροβάθμιας εκπαί-δευσης πολύ κακώς εδώ και δεκαετίες ονομάζεται ῾῾ αντιμεταθετική ᾿᾿ η μεταθετική(commutative) ιδιότητα χαθήκαμε δηλαδή στη μετάϕρασηΗ Χαμιλτονιανή του Δισταθμικού Συστήματος HΔΣ είναι η

E2S+Sminus + E1SminusS+ = E2

1 0

0 0

+ E1

0 0

0 1

=

E2 0

0 E1

(4123)

αϕού E2 0

0 E1

1

0

=

E2

0

= E2

1

0

(4124)

E2 0

0 E1

0

1

=

0

E1

= E1

0

1

(4125)

΄Αρα συνοπτικά δείξαμε ότι

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+ (4126)

Αν τώρα θέσουμε E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) οπότε

HΔΣ = ~ΩS+Sminus (4127)

161

Ο τελεστής S+Sminus μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη αϕού

S+Sminus | 1⟩ =

1 0

0 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ rArr S+Sminus | 1⟩ = 0 | 1⟩ (4128)

S+Sminus | 2⟩ =

1 0

0 0

1

0

=

1

0

=| 2⟩ rArr S+Sminus | 2⟩ = 1 | 2⟩ (4129)

Ο τελεστής SminusS+ μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην κάτω στάθμη αϕού

SminusS+ | 1⟩ =

0 0

0 1

0

1

=

0

1

=| 1⟩ rArr SminusS+ | 1⟩ = 1 | 1⟩ (4130)

SminusS+ | 2⟩ =

0 0

0 1

1

0

=

0

0

=| 0⟩ rArr SminusS+ | 2⟩ = 0 | 2⟩ (4131)

Παρατήρηση Συνοπτικά για τους τελεστές S+ και Sminus μπορούμε να αποδείξουμεότι (S+)

dagger = Sminus αλλά και ότι

S+ Sdagger+ = S+ Sminus = S+Sminus + SminusS+ = I

Sminus Sdaggerminus = Sminus S+ = SminusS+ + S+Sminus = I

S+ S+ = Sdaggerminus S

daggerminus = S+S+ + S+S+ = 0

Sminus Sminus = Sdagger+ S

dagger+ = SminusSminus + SminusSminus = 0

(4132)

όπου I είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας 2 times 2 και 0 είναι ο μηδενικός πίνακας2times2 Οι Εξ 4132 δείχνουν ότι οι τελεστές S+ και Sminus υπακούουν στις σχέσεις αντι-μεταθέσεως ϕερμιονίων που αναϕέρουμε στην Υποενότητα 462 της Ενότητας 46Ο S+ είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζει την ενέργειαδημιουργώντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού και η ονομασία τελεστής δημιουρ-γίας (creation operator) Ο Sminus είναι τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator)διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού καιη ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Μπορούμε να έχουμεμόνο ένα ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω διότι τα ηλεκτρόνια είναι ϕερμιόνια

162

Ας θυμηθούμε τώρα τους πίνακες Pauli σx σy σz και ας δούμε τη σχέση τους μετους τελεστές αναβιβάσεως και καταβιβάσεως ηλεκτρονίων S+ και Sminus αντιστοίχως

σx =

0 1

1 0

(4133)

σy =

0 minusi

i 0

(4134)

σz =

1 0

0 minus1

(4135)

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι ισχύει η ιδιότητα

[σx σy] = 2iσz (4136)

καθώς και οι κυκλικές εναλλαγές της Επίσης

σ2x = σ2

y = σ2z =

1 0

0 1

= I (4137)

και

σx σy = σxσy + σyσx = 0 (4138)

σy σz = σyσz + σzσy = 0

σz σx = σzσx + σxσz = 0

δηλαδή οι πίνακες Pauli αντιμετατίθονται Επί παραδείγματι

σx σy = σxσy + σyσx =0 1

1 0

0 minusi

i 0

+

0 minusi

i 0

0 1

1 0

=

i 0

0 minusi

+

minusi 0

0 i

=

0 0

0 0

= 0

Ακόμα μπορούμε να αποδείξουμε ότι

S+ + Sminus = σx

S+ minus Sminus = iσy

163

46 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων καισχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων

461 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων πχ ϕωτονίων

Ας ονομαστεί am ο τελεστής καταστροϕής μποζονίων και adaggerm ο τελεστήςδημιουργίας μποζονίων στην κατάσταση m Για τα μποζόνια ισχύουν οι σχέσειςμεταθέσεως (commutation relations)

[am aℓ] = 0

[adaggerm adaggerℓ] = 0

(4139)

[AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4140)

οπότε όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οι ποσότητεςμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας

462 Σχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων πχ ηλε-κτρονίων

Ας ονομαστεί ai ο τελεστής καταστροϕής ϕερμιονίων και adaggeri ο τελεστής δη-μιουργίας ϕερμιονίων στην κατάσταση i Για τα ϕερμιόνια ισχύουν οι σχέσεις αντι-μεταθέσεως (anticommutation relations)

ai adaggerj = δij

ai aj = 0

adaggeri adaggerj = 0

(4141)

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4142)

οπότε όταν AB = 0rArr AB+BA = 0rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας Αν εϕαρμόσουμετη σχέση adaggeri a

daggerj = 0 για την ίδια κατάσταση πχ i = j = r έχουμε adaggerr adaggerr =

0 rArr adaggerradaggerr = 0 που σημαίνει ότι

δεν μπορούμε να βάλουμε δύο ϕερμιόνια στην ίδια

κατάσταση πράγμα που είναι η απαγορευτική αρχή Pauli

164

47 Τελεστές κλίμακας (Ladder operators) [63]

Στη γραμμική άλγεβρα καθώς και στις εϕαρμογές της στην κβαντική μηχανική ορί-ζεται ο τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ο οποίος αυξάνει την ιδιοτιμή ενόςάλλου τελεστή και ο τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) ο οποίος μειώνειτην ιδιοτιμή ενός άλλου τελεστή Αυτοί συλλογικά ονομάζονται τελεστές κλίμα-κας (ladder operators) Στην κβαντομηχανική ο τελεστής αναβιβάσεως καλείταισυχνά τελεστής δημιουργίας (creation operator) και ο τελεστής καταβιβάσεως κα-λείται συχνά τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Γνωστές εϕαρμογέςτων τελεστών κλίμακας είναι στον απλό αρμονικό ταλαντωτή και στη στροϕορμήΣε πολλές περιοχές της ϕυσικής και της χημείας η χρήση αυτών των τελεστών αντίκυματοσυναρτήσεων είναι γνωστή ως δεύτερη κβάντωση (second quantization) [64]

165

48 Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεωςδισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου

΄Εστω δύο αντίθετα ηλεκτρικά ϕορτία q gt 0 και minusq lt 0 στα σημεία Θ και Α

αντιστοίχως Αν d =minusrarrΑΘ είναι το διάνυσμα θέσεως του θετικού ϕορτίου ως προς το

αρνητικό τότε η ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) ορίζεταιως

P = qd (4143)

πχ για το άτομο του υδρογόνου αν το Π παριστάνει τον πυρήνα και το Η παριστάνει

το ηλεκτρόνιο και ως συνήθως ορίσουμε r =minusrarrΠΗ τότε P = qd = e(minusr)rArr

P = minuser (4144)

Αυτό αποδίδεται άνω τμήμα του Σχήματος 46 Η δυναμική ενέργεια (potential

Σχήμα 46 ΄Ανω Ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) Κάτω (Ηλεκτρική) διπολικήροπή μεταβάσεως (transition (electric) dipole moment)

energy) UE του ηλεκτρικού διπόλου εντός ηλεκτρικού πεδίου E είναι

UE = minusP middot E (4145)

166

Ανάλογος με τον παραπάνω ορισμό μπορεί να δοθεί και για την περίπτωση της με-ταβάσεως ενός τμήματος του ηλεκτρονιακού νέϕους από μία αρχική σε μια τελική πε-ριοχή ΄Ετσι ορίζεται η (ηλεκτρική) διπολική ροπή μεταβάσεως [transition(electric) dipole moment] 1 Αυτό αποδίδεται στο κάτω τμήμα το Σχήματος 46Αν το ϕορτίο που μεταϕέρεται είναι minuse πάλι p = qd = e(minusr)rArr p = minuser Δηλαδήεννοείται ότι για την περιοχή 2 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμεί με μετά-βαση ϕορτίου minuse ενώ για την περιοχή 1 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμείμε μετάβαση ϕορτίου +eΟ τελεστής (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως [transition

(electric) dipole moment operator] σημειώνεται εναλλακτικά με ˆd ή ˆp Στη βάση τωνιδιοκαταστάσεων της ενέργειας του αδιατάρακτου ατόμου ή συστήματος ορίζεται ως

ˆd = ˆp =

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | (4146)

με τους επίσης εναλλακτικούς συμβολισμούς

dij = pij = minuse⟨Φi | ˆr | Φj⟩ (4147)

για το στοιχείο πίνακα της (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως μεταξύ των κα-ταστάσεων | Φi⟩ και | Φj⟩ Υπενθυμίζεται ότι ο τελεστής θέσεως (position operator)ˆr είναι τέτοιος ώστε

ˆr | r⟩ = r | r⟩ (4148)

Υπενθυμίζεται για τον συμβολισμό Dirac ότι

| A⟩ =

α1

α2

hArr ⟨A |= (αlowast1 αlowast

2) (4149)

Υπενθυμίζεται ακόμα ότι

⟨Φi | ˆr | Φj⟩ =sum

|rprime⟩|rprimeprime⟩

⟨Φi | rprime⟩⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩⟨rprimeprime | Φj⟩ =sum|rprime⟩

⟨Φi | rprime⟩ rprime ⟨rprime | Φj⟩

=sum|r⟩

⟨Φi | r⟩ r ⟨r | Φj⟩ =intdV Φi(r)

lowastrΦj(r)

1Η λέξη ῾῾ ηλεκτρική ᾿᾿ είναι εντός παρενθέσεως επειδή συνήθως επειδή εννοείται παραλείπεται

167

διότι⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩ = rprimeprime⟨rprime|rprimeprime⟩ = rprimeprimeδrprimerprimeprime (4150)

΄Αρα

d11 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ1(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4151)

d12 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ2(r) = 0 (4152)

d21 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ1(r) = 0 (4153)

d22 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ2(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4154)

Δηλαδή ενώ τα διαγώνια στοιχεία μηδενίζονται τα d12 και d21 δεν είναι (῾῾ εκ ταυτό-τητος ᾿᾿) μηδέν Ας δούμε τώρα ποιος είναι ο ˆp σε δισταθμικό σύστημα

ˆp = d11 | Φ1⟩⟨Φ1 | + d12 | Φ1⟩⟨Φ2 | + d21 | Φ2⟩⟨Φ1 | + d22 | Φ2⟩⟨Φ2 |

= d11

0

1

(0 1)+ d12

0

1

(1 0)+ d21

1

0

(0 1)+ d22

1

0

(1 0)

= 0 ⋆

d11︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

0 0

0 1

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

+ d12︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 0

1 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ d21︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 1

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ 0 ⋆

d22︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

1 0

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

Από τις Εξ (4152)-(4153) συμπεραίνουμε ότι d12 = d21 με την προϋπόθεση ότι οιΦi(r) είναι πραγματικές οπότε

ˆp = d12

0 1

1 0

(4155)

168

Ερώτηση Και τι κάνει ο τελεστής

0 1

1 0

Απάντηση0 1

1 0

0

1

=

1

0

0 1

1 0

1

0

=

0

1

Δηλαδή μεταϕέρει από τη μία ενεργειακή στάθμη στην άλλη όπως θα έπρεπε

Τώρα μπορεί να οριστεί ο τελεστής δυναμικής ενέργειας (potential e-nergy operator) Θεωρούμε ότι η αλληλεπίδραση δισταθμικού συστήματος - ΗΜπεδίου έχει τη μορϕή μηχανισμού ηλεκτρικού διπόλου Αγνοούμε άλλης μορϕής αλ-ληλεπιδράσεις όπως πχ ηλεκτρικού τετραπόλου ή μαγνητικού διπόλου Αϕού

UE = minusP middot E rArr

UmE = minusP middot Em (4156)

όπου ο δείκτης m δηλώνει τον m τρόπο του ΗΜ πεδίου ο αντίστοιχος τελεστήςμπορεί να οριστεί ως

UmE = minus ˆp middot ˆEm (4157)

Επομένως

UmE = minus

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | middotEmx (z t)i

i είναι το μοναδιαίο άνυσμα του άξονα x αϕού έχουμε υποθέσει αυτόν τον προσανα-τολισμό για το ηλεκτρικό πεδίο (δείτε Σχήμα 42) ΄Η λόγω της Εξ 4155

UmE = minusd12

0 1

1 0

middot Emx (z t)i (4158)

Αλλά

d12 middot i = minuseintdV Φ1(r)

lowast(r middot i)Φ2(r) = minusex12 = Px12 = P (4159)

169

Συνεπώς

UmE = ex12

0 1

1 0

Emx (z t) (4160)

Υπενθυμίζονται οι Εξ 4110 και 4111

Emx (z t) =

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4161)

Bmy (z t) =

(~ωmε0V

) 12 1

ccos(mπz

L

)i(adaggerm minus am) (4162)

από τις οποίες όμως στα πλαίσια των υποθέσεών μας χρειαζόμαστε τώρα μόνον τηνπρώτη Επίσης υπενθυμίζεται ότι

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

(4163)

΄Αρα εν τέλει

UmE = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4164)

Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε

~gm = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(4165)

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4166)

Αυτή είναι λοιπόν η Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συ-στήματος - ΗΜ πεδίου για τον ΗΜ τρόπο m Εάν βρισκόμαστε σταπλαίσια της ατομικής ϕυσικής τότε συμβολίζεται και Hm

AF όπου οι δείκτες σημαίνουνAtom-FieldΑπό την Εξ 4165 προκύπτει

~|gm| = |P |∣∣∣∣ (~ωm

ε0V

) 12

sin(mπz

L

) ∣∣∣∣ = |P| Em0 (4167)

170

όπου όμως το ῾῾ πλάτος ᾿᾿ Em0 εξαρτάται από τη θέση z του ατόμου στην κοιλότητα

είναι δηλαδή Em0 = Em

0 (z) Η |gm| (ή οποία συμβολίζεται και με ΩmR ) είναι η λεγόμενη

συχνότητα Rabi Εάν εννοείται σε ποιον ΗΜ τρόπο m αναϕερόμαστε μπορούμε ναχρησιμοποιήσουμε σκέτο το |g| ή το ΩR ΄Αρα

|gm| ή ΩmR =

|P|Em0

~(4168)

Για να μη γράϕουμε απόλυτα μπορούμε σε κάθε θέση να διαλέγουμε τη ϕάση τωνκυματοσυναρτήσεων τέτοια ώστε το g να είναι θετικό και πραγματικό [65] Συνοπτικά

gm ή ΩmR =

|P|Em0

~(4169)

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Τώρα συμπληρώνεται η εικόνα με την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπί-δραση ενός ΗΜ τρόπου m με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4170)

΄Αρα η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4171)

Επομένως οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩ (4172)

|darr nm⟩ (4173)

171

Ας δούμε λίγο προσεκτικότερα τη Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικούσυστήματος - ΗΜ πεδίου (Εξ 4166) Για έναν μοναδικό τρόπο m η Χαμιλτονιανήαυτή αναλυεται σε τέσσερις όρους

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) =

= ~gmS+adaggerm︸ ︷︷ ︸

1ος

+ S+am︸ ︷︷ ︸2ος

+ Sminusadaggerm︸ ︷︷ ︸

3ος

+ Sminusam︸ ︷︷ ︸4ος

bull 1ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E gt 0 Επόμένως αυτός ο όρος μόνος τουδεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

bull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻︸ ︷︷ ︸

μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολ-λοί τρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτο-νιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται απόάθροισμα όρων όπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημανα απορροϕήσει ένα ϕωτόνιο υψηλής συχνότητας και να ανεβεί ενώ παράλληλαδημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο χαμηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi www≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

simsim≻ ff lt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 2ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο Αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

172

bull 3ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιοΚαι αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικάbull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 4ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο ΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E lt 0 Επόμένως και αυτός ο όροςμόνος του δεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολλοίτρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτονιανή αλλη-λεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται από άθροισμα όρωνόπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημα να απορροϕήσει έναϕωτόνιο χαμηλής συχνότητας και να κατεβεί ενώ παράλληλα δημιουργείται εκπέμ-πεται ϕωτόνιο υψηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

www≻ ff gt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

Αν αγνοήσουμε τον 1ο και 4ο όρο που ο καθένας μόνος του δεν διατηρεί τηνενέργεια τότε

UmE = ~gm

(S+am + Sminusa

daggerm

) (4174)

Η προσέγγιση είναι κατά κάποιο τρόπο ανάλογη της RWA (Rotating Wave Approxi-mation) του Κεϕαλαίου 3 Εκεί στις εξισώσεις Rabi κρατήσαμε μόνο τους αργούςόρους όπου ΗΜ πεδίο και το δισταθμικό σύστημα βρίσκονται σε περίπου συντονισμό

173

δηλαδή Ω ≃ ω Τότε κρατήσαμε τους αργούς όρους eplusmni(Ωminusω)t και αγνοήσαμε τουςγρήγορους όρους eplusmni(Ω+ω)tΣυνοπτικά ενώ για την ολική Χαμιλτονιανή ενός τρόπου m έχουμε την λεγόμενη

Χαμιλτονιανή Rabi

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4175)

κατά την παραπάνω συζήτηση αγνοούμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενουςcounter-rotating terms

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4176)

οπότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66]

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4177)

Στην ΄Ασκηση 1 (παραλείποντας τον δείκτη του ΗΜ τρόπου m απλότητα) βρί-σκουμε (Α) τι κάνουν οι όροι adaggera aadagger S+Sminus SminusS+ S+a

dagger S+a Sminusadagger Sminusa στις κα-

ταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩ και (Β) υπολογίζουμε τα ⟨adaggera⟩ ⟨aadagger⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨SminusS+⟩⟨S+a

dagger⟩ ⟨S+a⟩ ⟨Sminusadagger⟩ ⟨Sminusa⟩ για τις καταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩

174

49 Σύνοψη Χαμιλτονιανών

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Ακόμα είδαμε την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπίδραση ενός ΗΜ τρόπουm με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

Οπότε η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί (Εξ 4171)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

και οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩|darr nm⟩

Ακόμα αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενους counter-rotatingterms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam)

τότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66] (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm)

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

157

αγνοώντας τον όρο ~ωm

2 μπορεί να γραϕτεί

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm (4109)

Μπορούμε να έχουμε οσαδήποτε ϕωτόνια στην ενεργειακή κατάσταση ~ωm διότι εί-ναι μποζόνια Ο adaggerm είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζειτην ενέργεια δημιουργώντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωm εξ ού και η ονομασία τελε-στής δημιουργίας (creation operator) Ο am είναι τελεστής καταβιβάσεως (loweringoperator) διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ϕωτόνιο με ενέργεια ~ωmεξ ού και η ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator)

Σχήμα 45 Σωμάτια (εδώ ϕωτόνια απεικονίζονται με πράσινες βούλες) δημιουργούνται και κατα-στρέϕονται μέσω των τελεστών αναβιβάσεως και καταβιβάσεως Υπακούουν στις μποζονικές σχέσειςμεταθέσεως (δείτε Ενότητα 46) Αυτή η αναπαράσταση είναι γνωστή και ως δεύτερη κβάντωση(second quantization) Ο αριθμός των ϕωτονίων είναι ίσος με τον αριθμό των κόμβων της ιδιοσυ-ναρτήσεως

Τέλος ας σημειώσουμε ότι από τις Εξ 489 και 498 προκύπτει

Emx (z t) =

(~ωmϵ0V

)12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4110)

ενώ από τις Εξ 491 και 499 προκύπτει

Bmy (z t) =

i

c

(~ωmϵ0V

)12

cos(mπz

L

)(adaggerm minus am) (4111)

158

45 Χαμιλτονιανή δισταθμικού συστήματοςμε σπίνορες

Θα περιγράψουμε την αναβίβαση και την καταβίβαση ενός ηλεκτρονίου μεταξύ τωνενεργειακών σταθμών ενός δισταθμικού συστήματος πχ ενός ατόμου με τη βοήθειασπινόρων (spinors) Σπίνορας είναι ένα διάνυσμα - στήλη με δύο συνιστώσες Αςαρχίσουμε με ορισμούς (πχ [62])

| ⟩ =

=

0

0

=| 0⟩ |darr⟩ =

bull

=

0

1

=| 1⟩ |uarr⟩ =

bull

=

1

0

=| 2⟩

(4112)Το πρώτο παριστά το άδειο δισταθμικό σύστημα το δεύτερο δηλώνει το δισταθμικόσύστημα με το ηλεκτρόνιο στην κάτω στάθμη όπου έχει ενέργεια E1 και το τρίτο δη-λώνει το δισταθμικό σύστημα με το ηλεκτρόνιο στην άνω στάθμη όπου έχει ενέργειαE2 Ας ορίσουμε τώρα τους τελεστές

S+ =

0 1

0 0

Sminus =

0 0

1 0

(4113)

για τους οποίους μάλιστα ισχύει Sdagger+ =

0 1

0 0

dagger

=

0 0

1 0

= Sminus Ας δούμε ποιό

είναι το αποτέλεσμα της δράσεώς τους στους σπίνορες που ορίσαμε μόλις προ ολίγου

S+ | 0⟩ =

0 1

0 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

S+ |darr⟩ =

0 1

0 0

0

1

=

1

0

=|uarr⟩ το ανεβάζει

S+ |uarr⟩ =

0 1

0 0

1

0

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

(4114)

159

Sminus | 0⟩ =

0 0

1 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

Sminus |darr⟩ =

0 0

1 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

Sminus |uarr⟩ =

0 0

1 0

1

0

=

0

1

=|darr⟩ το κατεβάζει

(4115)

΄Ετσι ο S+ ονομάζεται τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ενώ ο Sminus ονομάζε-ται τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) του ηλεκτρονίου Ας δούμε μερικέςακόμα ιδιότητες

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

= σx (4116)

που είναι ένας από τους πίνακες Pauli που παρατίθονται λίγο παρακάτω (Εξ 4133)Ακόμα

S+Sminus =

0 1

0 0

0 0

1 0

=

1 0

0 0

(4117)

SminusS+ =

0 0

1 0

0 1

0 0

=

0 0

0 1

(4118)

΄Αρα από τις Εξ 4117-4118 συνεπάγεται ότι

S+Sminus + SminusS+ =

1 0

0 1

= I (4119)

που είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας Μπορούμε να το γράψουμε και στη μορϕή

S+ Sminus = I (4120)

160

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4121)

ενώ [AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4122)

΄Οταν AB = 0 rArr AB + BA = 0 rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται ενώ όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οιποσότητες μετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση των ονομασίων ΄Οπωςθα δούμε παρακάτω η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσειςαντιμεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ηλεκτρόνια που είναι ϕερμιόνια ενώ ο με-ταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσεις μεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ϕωτόνιαπου είναι μποζόνια Συχνά στα ελληνικά συγγράμματα της δευτεροβάθμιας εκπαί-δευσης πολύ κακώς εδώ και δεκαετίες ονομάζεται ῾῾ αντιμεταθετική ᾿᾿ η μεταθετική(commutative) ιδιότητα χαθήκαμε δηλαδή στη μετάϕρασηΗ Χαμιλτονιανή του Δισταθμικού Συστήματος HΔΣ είναι η

E2S+Sminus + E1SminusS+ = E2

1 0

0 0

+ E1

0 0

0 1

=

E2 0

0 E1

(4123)

αϕού E2 0

0 E1

1

0

=

E2

0

= E2

1

0

(4124)

E2 0

0 E1

0

1

=

0

E1

= E1

0

1

(4125)

΄Αρα συνοπτικά δείξαμε ότι

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+ (4126)

Αν τώρα θέσουμε E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) οπότε

HΔΣ = ~ΩS+Sminus (4127)

161

Ο τελεστής S+Sminus μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη αϕού

S+Sminus | 1⟩ =

1 0

0 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ rArr S+Sminus | 1⟩ = 0 | 1⟩ (4128)

S+Sminus | 2⟩ =

1 0

0 0

1

0

=

1

0

=| 2⟩ rArr S+Sminus | 2⟩ = 1 | 2⟩ (4129)

Ο τελεστής SminusS+ μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην κάτω στάθμη αϕού

SminusS+ | 1⟩ =

0 0

0 1

0

1

=

0

1

=| 1⟩ rArr SminusS+ | 1⟩ = 1 | 1⟩ (4130)

SminusS+ | 2⟩ =

0 0

0 1

1

0

=

0

0

=| 0⟩ rArr SminusS+ | 2⟩ = 0 | 2⟩ (4131)

Παρατήρηση Συνοπτικά για τους τελεστές S+ και Sminus μπορούμε να αποδείξουμεότι (S+)

dagger = Sminus αλλά και ότι

S+ Sdagger+ = S+ Sminus = S+Sminus + SminusS+ = I

Sminus Sdaggerminus = Sminus S+ = SminusS+ + S+Sminus = I

S+ S+ = Sdaggerminus S

daggerminus = S+S+ + S+S+ = 0

Sminus Sminus = Sdagger+ S

dagger+ = SminusSminus + SminusSminus = 0

(4132)

όπου I είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας 2 times 2 και 0 είναι ο μηδενικός πίνακας2times2 Οι Εξ 4132 δείχνουν ότι οι τελεστές S+ και Sminus υπακούουν στις σχέσεις αντι-μεταθέσεως ϕερμιονίων που αναϕέρουμε στην Υποενότητα 462 της Ενότητας 46Ο S+ είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζει την ενέργειαδημιουργώντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού και η ονομασία τελεστής δημιουρ-γίας (creation operator) Ο Sminus είναι τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator)διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού καιη ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Μπορούμε να έχουμεμόνο ένα ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω διότι τα ηλεκτρόνια είναι ϕερμιόνια

162

Ας θυμηθούμε τώρα τους πίνακες Pauli σx σy σz και ας δούμε τη σχέση τους μετους τελεστές αναβιβάσεως και καταβιβάσεως ηλεκτρονίων S+ και Sminus αντιστοίχως

σx =

0 1

1 0

(4133)

σy =

0 minusi

i 0

(4134)

σz =

1 0

0 minus1

(4135)

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι ισχύει η ιδιότητα

[σx σy] = 2iσz (4136)

καθώς και οι κυκλικές εναλλαγές της Επίσης

σ2x = σ2

y = σ2z =

1 0

0 1

= I (4137)

και

σx σy = σxσy + σyσx = 0 (4138)

σy σz = σyσz + σzσy = 0

σz σx = σzσx + σxσz = 0

δηλαδή οι πίνακες Pauli αντιμετατίθονται Επί παραδείγματι

σx σy = σxσy + σyσx =0 1

1 0

0 minusi

i 0

+

0 minusi

i 0

0 1

1 0

=

i 0

0 minusi

+

minusi 0

0 i

=

0 0

0 0

= 0

Ακόμα μπορούμε να αποδείξουμε ότι

S+ + Sminus = σx

S+ minus Sminus = iσy

163

46 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων καισχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων

461 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων πχ ϕωτονίων

Ας ονομαστεί am ο τελεστής καταστροϕής μποζονίων και adaggerm ο τελεστήςδημιουργίας μποζονίων στην κατάσταση m Για τα μποζόνια ισχύουν οι σχέσειςμεταθέσεως (commutation relations)

[am aℓ] = 0

[adaggerm adaggerℓ] = 0

(4139)

[AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4140)

οπότε όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οι ποσότητεςμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας

462 Σχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων πχ ηλε-κτρονίων

Ας ονομαστεί ai ο τελεστής καταστροϕής ϕερμιονίων και adaggeri ο τελεστής δη-μιουργίας ϕερμιονίων στην κατάσταση i Για τα ϕερμιόνια ισχύουν οι σχέσεις αντι-μεταθέσεως (anticommutation relations)

ai adaggerj = δij

ai aj = 0

adaggeri adaggerj = 0

(4141)

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4142)

οπότε όταν AB = 0rArr AB+BA = 0rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας Αν εϕαρμόσουμετη σχέση adaggeri a

daggerj = 0 για την ίδια κατάσταση πχ i = j = r έχουμε adaggerr adaggerr =

0 rArr adaggerradaggerr = 0 που σημαίνει ότι

δεν μπορούμε να βάλουμε δύο ϕερμιόνια στην ίδια

κατάσταση πράγμα που είναι η απαγορευτική αρχή Pauli

164

47 Τελεστές κλίμακας (Ladder operators) [63]

Στη γραμμική άλγεβρα καθώς και στις εϕαρμογές της στην κβαντική μηχανική ορί-ζεται ο τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ο οποίος αυξάνει την ιδιοτιμή ενόςάλλου τελεστή και ο τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) ο οποίος μειώνειτην ιδιοτιμή ενός άλλου τελεστή Αυτοί συλλογικά ονομάζονται τελεστές κλίμα-κας (ladder operators) Στην κβαντομηχανική ο τελεστής αναβιβάσεως καλείταισυχνά τελεστής δημιουργίας (creation operator) και ο τελεστής καταβιβάσεως κα-λείται συχνά τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Γνωστές εϕαρμογέςτων τελεστών κλίμακας είναι στον απλό αρμονικό ταλαντωτή και στη στροϕορμήΣε πολλές περιοχές της ϕυσικής και της χημείας η χρήση αυτών των τελεστών αντίκυματοσυναρτήσεων είναι γνωστή ως δεύτερη κβάντωση (second quantization) [64]

165

48 Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεωςδισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου

΄Εστω δύο αντίθετα ηλεκτρικά ϕορτία q gt 0 και minusq lt 0 στα σημεία Θ και Α

αντιστοίχως Αν d =minusrarrΑΘ είναι το διάνυσμα θέσεως του θετικού ϕορτίου ως προς το

αρνητικό τότε η ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) ορίζεταιως

P = qd (4143)

πχ για το άτομο του υδρογόνου αν το Π παριστάνει τον πυρήνα και το Η παριστάνει

το ηλεκτρόνιο και ως συνήθως ορίσουμε r =minusrarrΠΗ τότε P = qd = e(minusr)rArr

P = minuser (4144)

Αυτό αποδίδεται άνω τμήμα του Σχήματος 46 Η δυναμική ενέργεια (potential

Σχήμα 46 ΄Ανω Ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) Κάτω (Ηλεκτρική) διπολικήροπή μεταβάσεως (transition (electric) dipole moment)

energy) UE του ηλεκτρικού διπόλου εντός ηλεκτρικού πεδίου E είναι

UE = minusP middot E (4145)

166

Ανάλογος με τον παραπάνω ορισμό μπορεί να δοθεί και για την περίπτωση της με-ταβάσεως ενός τμήματος του ηλεκτρονιακού νέϕους από μία αρχική σε μια τελική πε-ριοχή ΄Ετσι ορίζεται η (ηλεκτρική) διπολική ροπή μεταβάσεως [transition(electric) dipole moment] 1 Αυτό αποδίδεται στο κάτω τμήμα το Σχήματος 46Αν το ϕορτίο που μεταϕέρεται είναι minuse πάλι p = qd = e(minusr)rArr p = minuser Δηλαδήεννοείται ότι για την περιοχή 2 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμεί με μετά-βαση ϕορτίου minuse ενώ για την περιοχή 1 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμείμε μετάβαση ϕορτίου +eΟ τελεστής (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως [transition

(electric) dipole moment operator] σημειώνεται εναλλακτικά με ˆd ή ˆp Στη βάση τωνιδιοκαταστάσεων της ενέργειας του αδιατάρακτου ατόμου ή συστήματος ορίζεται ως

ˆd = ˆp =

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | (4146)

με τους επίσης εναλλακτικούς συμβολισμούς

dij = pij = minuse⟨Φi | ˆr | Φj⟩ (4147)

για το στοιχείο πίνακα της (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως μεταξύ των κα-ταστάσεων | Φi⟩ και | Φj⟩ Υπενθυμίζεται ότι ο τελεστής θέσεως (position operator)ˆr είναι τέτοιος ώστε

ˆr | r⟩ = r | r⟩ (4148)

Υπενθυμίζεται για τον συμβολισμό Dirac ότι

| A⟩ =

α1

α2

hArr ⟨A |= (αlowast1 αlowast

2) (4149)

Υπενθυμίζεται ακόμα ότι

⟨Φi | ˆr | Φj⟩ =sum

|rprime⟩|rprimeprime⟩

⟨Φi | rprime⟩⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩⟨rprimeprime | Φj⟩ =sum|rprime⟩

⟨Φi | rprime⟩ rprime ⟨rprime | Φj⟩

=sum|r⟩

⟨Φi | r⟩ r ⟨r | Φj⟩ =intdV Φi(r)

lowastrΦj(r)

1Η λέξη ῾῾ ηλεκτρική ᾿᾿ είναι εντός παρενθέσεως επειδή συνήθως επειδή εννοείται παραλείπεται

167

διότι⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩ = rprimeprime⟨rprime|rprimeprime⟩ = rprimeprimeδrprimerprimeprime (4150)

΄Αρα

d11 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ1(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4151)

d12 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ2(r) = 0 (4152)

d21 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ1(r) = 0 (4153)

d22 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ2(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4154)

Δηλαδή ενώ τα διαγώνια στοιχεία μηδενίζονται τα d12 και d21 δεν είναι (῾῾ εκ ταυτό-τητος ᾿᾿) μηδέν Ας δούμε τώρα ποιος είναι ο ˆp σε δισταθμικό σύστημα

ˆp = d11 | Φ1⟩⟨Φ1 | + d12 | Φ1⟩⟨Φ2 | + d21 | Φ2⟩⟨Φ1 | + d22 | Φ2⟩⟨Φ2 |

= d11

0

1

(0 1)+ d12

0

1

(1 0)+ d21

1

0

(0 1)+ d22

1

0

(1 0)

= 0 ⋆

d11︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

0 0

0 1

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

+ d12︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 0

1 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ d21︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 1

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ 0 ⋆

d22︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

1 0

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

Από τις Εξ (4152)-(4153) συμπεραίνουμε ότι d12 = d21 με την προϋπόθεση ότι οιΦi(r) είναι πραγματικές οπότε

ˆp = d12

0 1

1 0

(4155)

168

Ερώτηση Και τι κάνει ο τελεστής

0 1

1 0

Απάντηση0 1

1 0

0

1

=

1

0

0 1

1 0

1

0

=

0

1

Δηλαδή μεταϕέρει από τη μία ενεργειακή στάθμη στην άλλη όπως θα έπρεπε

Τώρα μπορεί να οριστεί ο τελεστής δυναμικής ενέργειας (potential e-nergy operator) Θεωρούμε ότι η αλληλεπίδραση δισταθμικού συστήματος - ΗΜπεδίου έχει τη μορϕή μηχανισμού ηλεκτρικού διπόλου Αγνοούμε άλλης μορϕής αλ-ληλεπιδράσεις όπως πχ ηλεκτρικού τετραπόλου ή μαγνητικού διπόλου Αϕού

UE = minusP middot E rArr

UmE = minusP middot Em (4156)

όπου ο δείκτης m δηλώνει τον m τρόπο του ΗΜ πεδίου ο αντίστοιχος τελεστήςμπορεί να οριστεί ως

UmE = minus ˆp middot ˆEm (4157)

Επομένως

UmE = minus

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | middotEmx (z t)i

i είναι το μοναδιαίο άνυσμα του άξονα x αϕού έχουμε υποθέσει αυτόν τον προσανα-τολισμό για το ηλεκτρικό πεδίο (δείτε Σχήμα 42) ΄Η λόγω της Εξ 4155

UmE = minusd12

0 1

1 0

middot Emx (z t)i (4158)

Αλλά

d12 middot i = minuseintdV Φ1(r)

lowast(r middot i)Φ2(r) = minusex12 = Px12 = P (4159)

169

Συνεπώς

UmE = ex12

0 1

1 0

Emx (z t) (4160)

Υπενθυμίζονται οι Εξ 4110 και 4111

Emx (z t) =

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4161)

Bmy (z t) =

(~ωmε0V

) 12 1

ccos(mπz

L

)i(adaggerm minus am) (4162)

από τις οποίες όμως στα πλαίσια των υποθέσεών μας χρειαζόμαστε τώρα μόνον τηνπρώτη Επίσης υπενθυμίζεται ότι

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

(4163)

΄Αρα εν τέλει

UmE = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4164)

Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε

~gm = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(4165)

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4166)

Αυτή είναι λοιπόν η Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συ-στήματος - ΗΜ πεδίου για τον ΗΜ τρόπο m Εάν βρισκόμαστε σταπλαίσια της ατομικής ϕυσικής τότε συμβολίζεται και Hm

AF όπου οι δείκτες σημαίνουνAtom-FieldΑπό την Εξ 4165 προκύπτει

~|gm| = |P |∣∣∣∣ (~ωm

ε0V

) 12

sin(mπz

L

) ∣∣∣∣ = |P| Em0 (4167)

170

όπου όμως το ῾῾ πλάτος ᾿᾿ Em0 εξαρτάται από τη θέση z του ατόμου στην κοιλότητα

είναι δηλαδή Em0 = Em

0 (z) Η |gm| (ή οποία συμβολίζεται και με ΩmR ) είναι η λεγόμενη

συχνότητα Rabi Εάν εννοείται σε ποιον ΗΜ τρόπο m αναϕερόμαστε μπορούμε ναχρησιμοποιήσουμε σκέτο το |g| ή το ΩR ΄Αρα

|gm| ή ΩmR =

|P|Em0

~(4168)

Για να μη γράϕουμε απόλυτα μπορούμε σε κάθε θέση να διαλέγουμε τη ϕάση τωνκυματοσυναρτήσεων τέτοια ώστε το g να είναι θετικό και πραγματικό [65] Συνοπτικά

gm ή ΩmR =

|P|Em0

~(4169)

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Τώρα συμπληρώνεται η εικόνα με την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπί-δραση ενός ΗΜ τρόπου m με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4170)

΄Αρα η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4171)

Επομένως οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩ (4172)

|darr nm⟩ (4173)

171

Ας δούμε λίγο προσεκτικότερα τη Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικούσυστήματος - ΗΜ πεδίου (Εξ 4166) Για έναν μοναδικό τρόπο m η Χαμιλτονιανήαυτή αναλυεται σε τέσσερις όρους

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) =

= ~gmS+adaggerm︸ ︷︷ ︸

1ος

+ S+am︸ ︷︷ ︸2ος

+ Sminusadaggerm︸ ︷︷ ︸

3ος

+ Sminusam︸ ︷︷ ︸4ος

bull 1ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E gt 0 Επόμένως αυτός ο όρος μόνος τουδεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

bull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻︸ ︷︷ ︸

μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολ-λοί τρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτο-νιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται απόάθροισμα όρων όπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημανα απορροϕήσει ένα ϕωτόνιο υψηλής συχνότητας και να ανεβεί ενώ παράλληλαδημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο χαμηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi www≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

simsim≻ ff lt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 2ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο Αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

172

bull 3ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιοΚαι αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικάbull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 4ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο ΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E lt 0 Επόμένως και αυτός ο όροςμόνος του δεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολλοίτρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτονιανή αλλη-λεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται από άθροισμα όρωνόπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημα να απορροϕήσει έναϕωτόνιο χαμηλής συχνότητας και να κατεβεί ενώ παράλληλα δημιουργείται εκπέμ-πεται ϕωτόνιο υψηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

www≻ ff gt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

Αν αγνοήσουμε τον 1ο και 4ο όρο που ο καθένας μόνος του δεν διατηρεί τηνενέργεια τότε

UmE = ~gm

(S+am + Sminusa

daggerm

) (4174)

Η προσέγγιση είναι κατά κάποιο τρόπο ανάλογη της RWA (Rotating Wave Approxi-mation) του Κεϕαλαίου 3 Εκεί στις εξισώσεις Rabi κρατήσαμε μόνο τους αργούςόρους όπου ΗΜ πεδίο και το δισταθμικό σύστημα βρίσκονται σε περίπου συντονισμό

173

δηλαδή Ω ≃ ω Τότε κρατήσαμε τους αργούς όρους eplusmni(Ωminusω)t και αγνοήσαμε τουςγρήγορους όρους eplusmni(Ω+ω)tΣυνοπτικά ενώ για την ολική Χαμιλτονιανή ενός τρόπου m έχουμε την λεγόμενη

Χαμιλτονιανή Rabi

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4175)

κατά την παραπάνω συζήτηση αγνοούμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενουςcounter-rotating terms

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4176)

οπότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66]

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4177)

Στην ΄Ασκηση 1 (παραλείποντας τον δείκτη του ΗΜ τρόπου m απλότητα) βρί-σκουμε (Α) τι κάνουν οι όροι adaggera aadagger S+Sminus SminusS+ S+a

dagger S+a Sminusadagger Sminusa στις κα-

ταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩ και (Β) υπολογίζουμε τα ⟨adaggera⟩ ⟨aadagger⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨SminusS+⟩⟨S+a

dagger⟩ ⟨S+a⟩ ⟨Sminusadagger⟩ ⟨Sminusa⟩ για τις καταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩

174

49 Σύνοψη Χαμιλτονιανών

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Ακόμα είδαμε την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπίδραση ενός ΗΜ τρόπουm με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

Οπότε η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί (Εξ 4171)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

και οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩|darr nm⟩

Ακόμα αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενους counter-rotatingterms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam)

τότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66] (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm)

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

158

45 Χαμιλτονιανή δισταθμικού συστήματοςμε σπίνορες

Θα περιγράψουμε την αναβίβαση και την καταβίβαση ενός ηλεκτρονίου μεταξύ τωνενεργειακών σταθμών ενός δισταθμικού συστήματος πχ ενός ατόμου με τη βοήθειασπινόρων (spinors) Σπίνορας είναι ένα διάνυσμα - στήλη με δύο συνιστώσες Αςαρχίσουμε με ορισμούς (πχ [62])

| ⟩ =

=

0

0

=| 0⟩ |darr⟩ =

bull

=

0

1

=| 1⟩ |uarr⟩ =

bull

=

1

0

=| 2⟩

(4112)Το πρώτο παριστά το άδειο δισταθμικό σύστημα το δεύτερο δηλώνει το δισταθμικόσύστημα με το ηλεκτρόνιο στην κάτω στάθμη όπου έχει ενέργεια E1 και το τρίτο δη-λώνει το δισταθμικό σύστημα με το ηλεκτρόνιο στην άνω στάθμη όπου έχει ενέργειαE2 Ας ορίσουμε τώρα τους τελεστές

S+ =

0 1

0 0

Sminus =

0 0

1 0

(4113)

για τους οποίους μάλιστα ισχύει Sdagger+ =

0 1

0 0

dagger

=

0 0

1 0

= Sminus Ας δούμε ποιό

είναι το αποτέλεσμα της δράσεώς τους στους σπίνορες που ορίσαμε μόλις προ ολίγου

S+ | 0⟩ =

0 1

0 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

S+ |darr⟩ =

0 1

0 0

0

1

=

1

0

=|uarr⟩ το ανεβάζει

S+ |uarr⟩ =

0 1

0 0

1

0

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

(4114)

159

Sminus | 0⟩ =

0 0

1 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

Sminus |darr⟩ =

0 0

1 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

Sminus |uarr⟩ =

0 0

1 0

1

0

=

0

1

=|darr⟩ το κατεβάζει

(4115)

΄Ετσι ο S+ ονομάζεται τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ενώ ο Sminus ονομάζε-ται τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) του ηλεκτρονίου Ας δούμε μερικέςακόμα ιδιότητες

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

= σx (4116)

που είναι ένας από τους πίνακες Pauli που παρατίθονται λίγο παρακάτω (Εξ 4133)Ακόμα

S+Sminus =

0 1

0 0

0 0

1 0

=

1 0

0 0

(4117)

SminusS+ =

0 0

1 0

0 1

0 0

=

0 0

0 1

(4118)

΄Αρα από τις Εξ 4117-4118 συνεπάγεται ότι

S+Sminus + SminusS+ =

1 0

0 1

= I (4119)

που είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας Μπορούμε να το γράψουμε και στη μορϕή

S+ Sminus = I (4120)

160

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4121)

ενώ [AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4122)

΄Οταν AB = 0 rArr AB + BA = 0 rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται ενώ όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οιποσότητες μετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση των ονομασίων ΄Οπωςθα δούμε παρακάτω η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσειςαντιμεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ηλεκτρόνια που είναι ϕερμιόνια ενώ ο με-ταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσεις μεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ϕωτόνιαπου είναι μποζόνια Συχνά στα ελληνικά συγγράμματα της δευτεροβάθμιας εκπαί-δευσης πολύ κακώς εδώ και δεκαετίες ονομάζεται ῾῾ αντιμεταθετική ᾿᾿ η μεταθετική(commutative) ιδιότητα χαθήκαμε δηλαδή στη μετάϕρασηΗ Χαμιλτονιανή του Δισταθμικού Συστήματος HΔΣ είναι η

E2S+Sminus + E1SminusS+ = E2

1 0

0 0

+ E1

0 0

0 1

=

E2 0

0 E1

(4123)

αϕού E2 0

0 E1

1

0

=

E2

0

= E2

1

0

(4124)

E2 0

0 E1

0

1

=

0

E1

= E1

0

1

(4125)

΄Αρα συνοπτικά δείξαμε ότι

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+ (4126)

Αν τώρα θέσουμε E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) οπότε

HΔΣ = ~ΩS+Sminus (4127)

161

Ο τελεστής S+Sminus μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη αϕού

S+Sminus | 1⟩ =

1 0

0 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ rArr S+Sminus | 1⟩ = 0 | 1⟩ (4128)

S+Sminus | 2⟩ =

1 0

0 0

1

0

=

1

0

=| 2⟩ rArr S+Sminus | 2⟩ = 1 | 2⟩ (4129)

Ο τελεστής SminusS+ μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην κάτω στάθμη αϕού

SminusS+ | 1⟩ =

0 0

0 1

0

1

=

0

1

=| 1⟩ rArr SminusS+ | 1⟩ = 1 | 1⟩ (4130)

SminusS+ | 2⟩ =

0 0

0 1

1

0

=

0

0

=| 0⟩ rArr SminusS+ | 2⟩ = 0 | 2⟩ (4131)

Παρατήρηση Συνοπτικά για τους τελεστές S+ και Sminus μπορούμε να αποδείξουμεότι (S+)

dagger = Sminus αλλά και ότι

S+ Sdagger+ = S+ Sminus = S+Sminus + SminusS+ = I

Sminus Sdaggerminus = Sminus S+ = SminusS+ + S+Sminus = I

S+ S+ = Sdaggerminus S

daggerminus = S+S+ + S+S+ = 0

Sminus Sminus = Sdagger+ S

dagger+ = SminusSminus + SminusSminus = 0

(4132)

όπου I είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας 2 times 2 και 0 είναι ο μηδενικός πίνακας2times2 Οι Εξ 4132 δείχνουν ότι οι τελεστές S+ και Sminus υπακούουν στις σχέσεις αντι-μεταθέσεως ϕερμιονίων που αναϕέρουμε στην Υποενότητα 462 της Ενότητας 46Ο S+ είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζει την ενέργειαδημιουργώντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού και η ονομασία τελεστής δημιουρ-γίας (creation operator) Ο Sminus είναι τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator)διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού καιη ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Μπορούμε να έχουμεμόνο ένα ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω διότι τα ηλεκτρόνια είναι ϕερμιόνια

162

Ας θυμηθούμε τώρα τους πίνακες Pauli σx σy σz και ας δούμε τη σχέση τους μετους τελεστές αναβιβάσεως και καταβιβάσεως ηλεκτρονίων S+ και Sminus αντιστοίχως

σx =

0 1

1 0

(4133)

σy =

0 minusi

i 0

(4134)

σz =

1 0

0 minus1

(4135)

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι ισχύει η ιδιότητα

[σx σy] = 2iσz (4136)

καθώς και οι κυκλικές εναλλαγές της Επίσης

σ2x = σ2

y = σ2z =

1 0

0 1

= I (4137)

και

σx σy = σxσy + σyσx = 0 (4138)

σy σz = σyσz + σzσy = 0

σz σx = σzσx + σxσz = 0

δηλαδή οι πίνακες Pauli αντιμετατίθονται Επί παραδείγματι

σx σy = σxσy + σyσx =0 1

1 0

0 minusi

i 0

+

0 minusi

i 0

0 1

1 0

=

i 0

0 minusi

+

minusi 0

0 i

=

0 0

0 0

= 0

Ακόμα μπορούμε να αποδείξουμε ότι

S+ + Sminus = σx

S+ minus Sminus = iσy

163

46 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων καισχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων

461 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων πχ ϕωτονίων

Ας ονομαστεί am ο τελεστής καταστροϕής μποζονίων και adaggerm ο τελεστήςδημιουργίας μποζονίων στην κατάσταση m Για τα μποζόνια ισχύουν οι σχέσειςμεταθέσεως (commutation relations)

[am aℓ] = 0

[adaggerm adaggerℓ] = 0

(4139)

[AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4140)

οπότε όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οι ποσότητεςμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας

462 Σχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων πχ ηλε-κτρονίων

Ας ονομαστεί ai ο τελεστής καταστροϕής ϕερμιονίων και adaggeri ο τελεστής δη-μιουργίας ϕερμιονίων στην κατάσταση i Για τα ϕερμιόνια ισχύουν οι σχέσεις αντι-μεταθέσεως (anticommutation relations)

ai adaggerj = δij

ai aj = 0

adaggeri adaggerj = 0

(4141)

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4142)

οπότε όταν AB = 0rArr AB+BA = 0rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας Αν εϕαρμόσουμετη σχέση adaggeri a

daggerj = 0 για την ίδια κατάσταση πχ i = j = r έχουμε adaggerr adaggerr =

0 rArr adaggerradaggerr = 0 που σημαίνει ότι

δεν μπορούμε να βάλουμε δύο ϕερμιόνια στην ίδια

κατάσταση πράγμα που είναι η απαγορευτική αρχή Pauli

164

47 Τελεστές κλίμακας (Ladder operators) [63]

Στη γραμμική άλγεβρα καθώς και στις εϕαρμογές της στην κβαντική μηχανική ορί-ζεται ο τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ο οποίος αυξάνει την ιδιοτιμή ενόςάλλου τελεστή και ο τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) ο οποίος μειώνειτην ιδιοτιμή ενός άλλου τελεστή Αυτοί συλλογικά ονομάζονται τελεστές κλίμα-κας (ladder operators) Στην κβαντομηχανική ο τελεστής αναβιβάσεως καλείταισυχνά τελεστής δημιουργίας (creation operator) και ο τελεστής καταβιβάσεως κα-λείται συχνά τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Γνωστές εϕαρμογέςτων τελεστών κλίμακας είναι στον απλό αρμονικό ταλαντωτή και στη στροϕορμήΣε πολλές περιοχές της ϕυσικής και της χημείας η χρήση αυτών των τελεστών αντίκυματοσυναρτήσεων είναι γνωστή ως δεύτερη κβάντωση (second quantization) [64]

165

48 Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεωςδισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου

΄Εστω δύο αντίθετα ηλεκτρικά ϕορτία q gt 0 και minusq lt 0 στα σημεία Θ και Α

αντιστοίχως Αν d =minusrarrΑΘ είναι το διάνυσμα θέσεως του θετικού ϕορτίου ως προς το

αρνητικό τότε η ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) ορίζεταιως

P = qd (4143)

πχ για το άτομο του υδρογόνου αν το Π παριστάνει τον πυρήνα και το Η παριστάνει

το ηλεκτρόνιο και ως συνήθως ορίσουμε r =minusrarrΠΗ τότε P = qd = e(minusr)rArr

P = minuser (4144)

Αυτό αποδίδεται άνω τμήμα του Σχήματος 46 Η δυναμική ενέργεια (potential

Σχήμα 46 ΄Ανω Ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) Κάτω (Ηλεκτρική) διπολικήροπή μεταβάσεως (transition (electric) dipole moment)

energy) UE του ηλεκτρικού διπόλου εντός ηλεκτρικού πεδίου E είναι

UE = minusP middot E (4145)

166

Ανάλογος με τον παραπάνω ορισμό μπορεί να δοθεί και για την περίπτωση της με-ταβάσεως ενός τμήματος του ηλεκτρονιακού νέϕους από μία αρχική σε μια τελική πε-ριοχή ΄Ετσι ορίζεται η (ηλεκτρική) διπολική ροπή μεταβάσεως [transition(electric) dipole moment] 1 Αυτό αποδίδεται στο κάτω τμήμα το Σχήματος 46Αν το ϕορτίο που μεταϕέρεται είναι minuse πάλι p = qd = e(minusr)rArr p = minuser Δηλαδήεννοείται ότι για την περιοχή 2 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμεί με μετά-βαση ϕορτίου minuse ενώ για την περιοχή 1 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμείμε μετάβαση ϕορτίου +eΟ τελεστής (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως [transition

(electric) dipole moment operator] σημειώνεται εναλλακτικά με ˆd ή ˆp Στη βάση τωνιδιοκαταστάσεων της ενέργειας του αδιατάρακτου ατόμου ή συστήματος ορίζεται ως

ˆd = ˆp =

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | (4146)

με τους επίσης εναλλακτικούς συμβολισμούς

dij = pij = minuse⟨Φi | ˆr | Φj⟩ (4147)

για το στοιχείο πίνακα της (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως μεταξύ των κα-ταστάσεων | Φi⟩ και | Φj⟩ Υπενθυμίζεται ότι ο τελεστής θέσεως (position operator)ˆr είναι τέτοιος ώστε

ˆr | r⟩ = r | r⟩ (4148)

Υπενθυμίζεται για τον συμβολισμό Dirac ότι

| A⟩ =

α1

α2

hArr ⟨A |= (αlowast1 αlowast

2) (4149)

Υπενθυμίζεται ακόμα ότι

⟨Φi | ˆr | Φj⟩ =sum

|rprime⟩|rprimeprime⟩

⟨Φi | rprime⟩⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩⟨rprimeprime | Φj⟩ =sum|rprime⟩

⟨Φi | rprime⟩ rprime ⟨rprime | Φj⟩

=sum|r⟩

⟨Φi | r⟩ r ⟨r | Φj⟩ =intdV Φi(r)

lowastrΦj(r)

1Η λέξη ῾῾ ηλεκτρική ᾿᾿ είναι εντός παρενθέσεως επειδή συνήθως επειδή εννοείται παραλείπεται

167

διότι⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩ = rprimeprime⟨rprime|rprimeprime⟩ = rprimeprimeδrprimerprimeprime (4150)

΄Αρα

d11 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ1(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4151)

d12 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ2(r) = 0 (4152)

d21 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ1(r) = 0 (4153)

d22 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ2(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4154)

Δηλαδή ενώ τα διαγώνια στοιχεία μηδενίζονται τα d12 και d21 δεν είναι (῾῾ εκ ταυτό-τητος ᾿᾿) μηδέν Ας δούμε τώρα ποιος είναι ο ˆp σε δισταθμικό σύστημα

ˆp = d11 | Φ1⟩⟨Φ1 | + d12 | Φ1⟩⟨Φ2 | + d21 | Φ2⟩⟨Φ1 | + d22 | Φ2⟩⟨Φ2 |

= d11

0

1

(0 1)+ d12

0

1

(1 0)+ d21

1

0

(0 1)+ d22

1

0

(1 0)

= 0 ⋆

d11︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

0 0

0 1

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

+ d12︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 0

1 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ d21︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 1

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ 0 ⋆

d22︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

1 0

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

Από τις Εξ (4152)-(4153) συμπεραίνουμε ότι d12 = d21 με την προϋπόθεση ότι οιΦi(r) είναι πραγματικές οπότε

ˆp = d12

0 1

1 0

(4155)

168

Ερώτηση Και τι κάνει ο τελεστής

0 1

1 0

Απάντηση0 1

1 0

0

1

=

1

0

0 1

1 0

1

0

=

0

1

Δηλαδή μεταϕέρει από τη μία ενεργειακή στάθμη στην άλλη όπως θα έπρεπε

Τώρα μπορεί να οριστεί ο τελεστής δυναμικής ενέργειας (potential e-nergy operator) Θεωρούμε ότι η αλληλεπίδραση δισταθμικού συστήματος - ΗΜπεδίου έχει τη μορϕή μηχανισμού ηλεκτρικού διπόλου Αγνοούμε άλλης μορϕής αλ-ληλεπιδράσεις όπως πχ ηλεκτρικού τετραπόλου ή μαγνητικού διπόλου Αϕού

UE = minusP middot E rArr

UmE = minusP middot Em (4156)

όπου ο δείκτης m δηλώνει τον m τρόπο του ΗΜ πεδίου ο αντίστοιχος τελεστήςμπορεί να οριστεί ως

UmE = minus ˆp middot ˆEm (4157)

Επομένως

UmE = minus

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | middotEmx (z t)i

i είναι το μοναδιαίο άνυσμα του άξονα x αϕού έχουμε υποθέσει αυτόν τον προσανα-τολισμό για το ηλεκτρικό πεδίο (δείτε Σχήμα 42) ΄Η λόγω της Εξ 4155

UmE = minusd12

0 1

1 0

middot Emx (z t)i (4158)

Αλλά

d12 middot i = minuseintdV Φ1(r)

lowast(r middot i)Φ2(r) = minusex12 = Px12 = P (4159)

169

Συνεπώς

UmE = ex12

0 1

1 0

Emx (z t) (4160)

Υπενθυμίζονται οι Εξ 4110 και 4111

Emx (z t) =

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4161)

Bmy (z t) =

(~ωmε0V

) 12 1

ccos(mπz

L

)i(adaggerm minus am) (4162)

από τις οποίες όμως στα πλαίσια των υποθέσεών μας χρειαζόμαστε τώρα μόνον τηνπρώτη Επίσης υπενθυμίζεται ότι

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

(4163)

΄Αρα εν τέλει

UmE = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4164)

Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε

~gm = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(4165)

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4166)

Αυτή είναι λοιπόν η Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συ-στήματος - ΗΜ πεδίου για τον ΗΜ τρόπο m Εάν βρισκόμαστε σταπλαίσια της ατομικής ϕυσικής τότε συμβολίζεται και Hm

AF όπου οι δείκτες σημαίνουνAtom-FieldΑπό την Εξ 4165 προκύπτει

~|gm| = |P |∣∣∣∣ (~ωm

ε0V

) 12

sin(mπz

L

) ∣∣∣∣ = |P| Em0 (4167)

170

όπου όμως το ῾῾ πλάτος ᾿᾿ Em0 εξαρτάται από τη θέση z του ατόμου στην κοιλότητα

είναι δηλαδή Em0 = Em

0 (z) Η |gm| (ή οποία συμβολίζεται και με ΩmR ) είναι η λεγόμενη

συχνότητα Rabi Εάν εννοείται σε ποιον ΗΜ τρόπο m αναϕερόμαστε μπορούμε ναχρησιμοποιήσουμε σκέτο το |g| ή το ΩR ΄Αρα

|gm| ή ΩmR =

|P|Em0

~(4168)

Για να μη γράϕουμε απόλυτα μπορούμε σε κάθε θέση να διαλέγουμε τη ϕάση τωνκυματοσυναρτήσεων τέτοια ώστε το g να είναι θετικό και πραγματικό [65] Συνοπτικά

gm ή ΩmR =

|P|Em0

~(4169)

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Τώρα συμπληρώνεται η εικόνα με την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπί-δραση ενός ΗΜ τρόπου m με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4170)

΄Αρα η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4171)

Επομένως οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩ (4172)

|darr nm⟩ (4173)

171

Ας δούμε λίγο προσεκτικότερα τη Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικούσυστήματος - ΗΜ πεδίου (Εξ 4166) Για έναν μοναδικό τρόπο m η Χαμιλτονιανήαυτή αναλυεται σε τέσσερις όρους

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) =

= ~gmS+adaggerm︸ ︷︷ ︸

1ος

+ S+am︸ ︷︷ ︸2ος

+ Sminusadaggerm︸ ︷︷ ︸

3ος

+ Sminusam︸ ︷︷ ︸4ος

bull 1ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E gt 0 Επόμένως αυτός ο όρος μόνος τουδεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

bull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻︸ ︷︷ ︸

μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολ-λοί τρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτο-νιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται απόάθροισμα όρων όπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημανα απορροϕήσει ένα ϕωτόνιο υψηλής συχνότητας και να ανεβεί ενώ παράλληλαδημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο χαμηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi www≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

simsim≻ ff lt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 2ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο Αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

172

bull 3ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιοΚαι αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικάbull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 4ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο ΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E lt 0 Επόμένως και αυτός ο όροςμόνος του δεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολλοίτρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτονιανή αλλη-λεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται από άθροισμα όρωνόπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημα να απορροϕήσει έναϕωτόνιο χαμηλής συχνότητας και να κατεβεί ενώ παράλληλα δημιουργείται εκπέμ-πεται ϕωτόνιο υψηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

www≻ ff gt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

Αν αγνοήσουμε τον 1ο και 4ο όρο που ο καθένας μόνος του δεν διατηρεί τηνενέργεια τότε

UmE = ~gm

(S+am + Sminusa

daggerm

) (4174)

Η προσέγγιση είναι κατά κάποιο τρόπο ανάλογη της RWA (Rotating Wave Approxi-mation) του Κεϕαλαίου 3 Εκεί στις εξισώσεις Rabi κρατήσαμε μόνο τους αργούςόρους όπου ΗΜ πεδίο και το δισταθμικό σύστημα βρίσκονται σε περίπου συντονισμό

173

δηλαδή Ω ≃ ω Τότε κρατήσαμε τους αργούς όρους eplusmni(Ωminusω)t και αγνοήσαμε τουςγρήγορους όρους eplusmni(Ω+ω)tΣυνοπτικά ενώ για την ολική Χαμιλτονιανή ενός τρόπου m έχουμε την λεγόμενη

Χαμιλτονιανή Rabi

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4175)

κατά την παραπάνω συζήτηση αγνοούμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενουςcounter-rotating terms

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4176)

οπότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66]

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4177)

Στην ΄Ασκηση 1 (παραλείποντας τον δείκτη του ΗΜ τρόπου m απλότητα) βρί-σκουμε (Α) τι κάνουν οι όροι adaggera aadagger S+Sminus SminusS+ S+a

dagger S+a Sminusadagger Sminusa στις κα-

ταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩ και (Β) υπολογίζουμε τα ⟨adaggera⟩ ⟨aadagger⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨SminusS+⟩⟨S+a

dagger⟩ ⟨S+a⟩ ⟨Sminusadagger⟩ ⟨Sminusa⟩ για τις καταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩

174

49 Σύνοψη Χαμιλτονιανών

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Ακόμα είδαμε την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπίδραση ενός ΗΜ τρόπουm με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

Οπότε η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί (Εξ 4171)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

και οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩|darr nm⟩

Ακόμα αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενους counter-rotatingterms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam)

τότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66] (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm)

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

159

Sminus | 0⟩ =

0 0

1 0

0

0

=

0

0

=| 0⟩ τίποτε

Sminus |darr⟩ =

0 0

1 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ το πετά έξω

Sminus |uarr⟩ =

0 0

1 0

1

0

=

0

1

=|darr⟩ το κατεβάζει

(4115)

΄Ετσι ο S+ ονομάζεται τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ενώ ο Sminus ονομάζε-ται τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) του ηλεκτρονίου Ας δούμε μερικέςακόμα ιδιότητες

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

= σx (4116)

που είναι ένας από τους πίνακες Pauli που παρατίθονται λίγο παρακάτω (Εξ 4133)Ακόμα

S+Sminus =

0 1

0 0

0 0

1 0

=

1 0

0 0

(4117)

SminusS+ =

0 0

1 0

0 1

0 0

=

0 0

0 1

(4118)

΄Αρα από τις Εξ 4117-4118 συνεπάγεται ότι

S+Sminus + SminusS+ =

1 0

0 1

= I (4119)

που είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας Μπορούμε να το γράψουμε και στη μορϕή

S+ Sminus = I (4120)

160

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4121)

ενώ [AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4122)

΄Οταν AB = 0 rArr AB + BA = 0 rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται ενώ όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οιποσότητες μετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση των ονομασίων ΄Οπωςθα δούμε παρακάτω η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσειςαντιμεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ηλεκτρόνια που είναι ϕερμιόνια ενώ ο με-ταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσεις μεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ϕωτόνιαπου είναι μποζόνια Συχνά στα ελληνικά συγγράμματα της δευτεροβάθμιας εκπαί-δευσης πολύ κακώς εδώ και δεκαετίες ονομάζεται ῾῾ αντιμεταθετική ᾿᾿ η μεταθετική(commutative) ιδιότητα χαθήκαμε δηλαδή στη μετάϕρασηΗ Χαμιλτονιανή του Δισταθμικού Συστήματος HΔΣ είναι η

E2S+Sminus + E1SminusS+ = E2

1 0

0 0

+ E1

0 0

0 1

=

E2 0

0 E1

(4123)

αϕού E2 0

0 E1

1

0

=

E2

0

= E2

1

0

(4124)

E2 0

0 E1

0

1

=

0

E1

= E1

0

1

(4125)

΄Αρα συνοπτικά δείξαμε ότι

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+ (4126)

Αν τώρα θέσουμε E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) οπότε

HΔΣ = ~ΩS+Sminus (4127)

161

Ο τελεστής S+Sminus μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη αϕού

S+Sminus | 1⟩ =

1 0

0 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ rArr S+Sminus | 1⟩ = 0 | 1⟩ (4128)

S+Sminus | 2⟩ =

1 0

0 0

1

0

=

1

0

=| 2⟩ rArr S+Sminus | 2⟩ = 1 | 2⟩ (4129)

Ο τελεστής SminusS+ μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην κάτω στάθμη αϕού

SminusS+ | 1⟩ =

0 0

0 1

0

1

=

0

1

=| 1⟩ rArr SminusS+ | 1⟩ = 1 | 1⟩ (4130)

SminusS+ | 2⟩ =

0 0

0 1

1

0

=

0

0

=| 0⟩ rArr SminusS+ | 2⟩ = 0 | 2⟩ (4131)

Παρατήρηση Συνοπτικά για τους τελεστές S+ και Sminus μπορούμε να αποδείξουμεότι (S+)

dagger = Sminus αλλά και ότι

S+ Sdagger+ = S+ Sminus = S+Sminus + SminusS+ = I

Sminus Sdaggerminus = Sminus S+ = SminusS+ + S+Sminus = I

S+ S+ = Sdaggerminus S

daggerminus = S+S+ + S+S+ = 0

Sminus Sminus = Sdagger+ S

dagger+ = SminusSminus + SminusSminus = 0

(4132)

όπου I είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας 2 times 2 και 0 είναι ο μηδενικός πίνακας2times2 Οι Εξ 4132 δείχνουν ότι οι τελεστές S+ και Sminus υπακούουν στις σχέσεις αντι-μεταθέσεως ϕερμιονίων που αναϕέρουμε στην Υποενότητα 462 της Ενότητας 46Ο S+ είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζει την ενέργειαδημιουργώντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού και η ονομασία τελεστής δημιουρ-γίας (creation operator) Ο Sminus είναι τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator)διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού καιη ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Μπορούμε να έχουμεμόνο ένα ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω διότι τα ηλεκτρόνια είναι ϕερμιόνια

162

Ας θυμηθούμε τώρα τους πίνακες Pauli σx σy σz και ας δούμε τη σχέση τους μετους τελεστές αναβιβάσεως και καταβιβάσεως ηλεκτρονίων S+ και Sminus αντιστοίχως

σx =

0 1

1 0

(4133)

σy =

0 minusi

i 0

(4134)

σz =

1 0

0 minus1

(4135)

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι ισχύει η ιδιότητα

[σx σy] = 2iσz (4136)

καθώς και οι κυκλικές εναλλαγές της Επίσης

σ2x = σ2

y = σ2z =

1 0

0 1

= I (4137)

και

σx σy = σxσy + σyσx = 0 (4138)

σy σz = σyσz + σzσy = 0

σz σx = σzσx + σxσz = 0

δηλαδή οι πίνακες Pauli αντιμετατίθονται Επί παραδείγματι

σx σy = σxσy + σyσx =0 1

1 0

0 minusi

i 0

+

0 minusi

i 0

0 1

1 0

=

i 0

0 minusi

+

minusi 0

0 i

=

0 0

0 0

= 0

Ακόμα μπορούμε να αποδείξουμε ότι

S+ + Sminus = σx

S+ minus Sminus = iσy

163

46 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων καισχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων

461 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων πχ ϕωτονίων

Ας ονομαστεί am ο τελεστής καταστροϕής μποζονίων και adaggerm ο τελεστήςδημιουργίας μποζονίων στην κατάσταση m Για τα μποζόνια ισχύουν οι σχέσειςμεταθέσεως (commutation relations)

[am aℓ] = 0

[adaggerm adaggerℓ] = 0

(4139)

[AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4140)

οπότε όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οι ποσότητεςμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας

462 Σχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων πχ ηλε-κτρονίων

Ας ονομαστεί ai ο τελεστής καταστροϕής ϕερμιονίων και adaggeri ο τελεστής δη-μιουργίας ϕερμιονίων στην κατάσταση i Για τα ϕερμιόνια ισχύουν οι σχέσεις αντι-μεταθέσεως (anticommutation relations)

ai adaggerj = δij

ai aj = 0

adaggeri adaggerj = 0

(4141)

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4142)

οπότε όταν AB = 0rArr AB+BA = 0rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας Αν εϕαρμόσουμετη σχέση adaggeri a

daggerj = 0 για την ίδια κατάσταση πχ i = j = r έχουμε adaggerr adaggerr =

0 rArr adaggerradaggerr = 0 που σημαίνει ότι

δεν μπορούμε να βάλουμε δύο ϕερμιόνια στην ίδια

κατάσταση πράγμα που είναι η απαγορευτική αρχή Pauli

164

47 Τελεστές κλίμακας (Ladder operators) [63]

Στη γραμμική άλγεβρα καθώς και στις εϕαρμογές της στην κβαντική μηχανική ορί-ζεται ο τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ο οποίος αυξάνει την ιδιοτιμή ενόςάλλου τελεστή και ο τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) ο οποίος μειώνειτην ιδιοτιμή ενός άλλου τελεστή Αυτοί συλλογικά ονομάζονται τελεστές κλίμα-κας (ladder operators) Στην κβαντομηχανική ο τελεστής αναβιβάσεως καλείταισυχνά τελεστής δημιουργίας (creation operator) και ο τελεστής καταβιβάσεως κα-λείται συχνά τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Γνωστές εϕαρμογέςτων τελεστών κλίμακας είναι στον απλό αρμονικό ταλαντωτή και στη στροϕορμήΣε πολλές περιοχές της ϕυσικής και της χημείας η χρήση αυτών των τελεστών αντίκυματοσυναρτήσεων είναι γνωστή ως δεύτερη κβάντωση (second quantization) [64]

165

48 Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεωςδισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου

΄Εστω δύο αντίθετα ηλεκτρικά ϕορτία q gt 0 και minusq lt 0 στα σημεία Θ και Α

αντιστοίχως Αν d =minusrarrΑΘ είναι το διάνυσμα θέσεως του θετικού ϕορτίου ως προς το

αρνητικό τότε η ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) ορίζεταιως

P = qd (4143)

πχ για το άτομο του υδρογόνου αν το Π παριστάνει τον πυρήνα και το Η παριστάνει

το ηλεκτρόνιο και ως συνήθως ορίσουμε r =minusrarrΠΗ τότε P = qd = e(minusr)rArr

P = minuser (4144)

Αυτό αποδίδεται άνω τμήμα του Σχήματος 46 Η δυναμική ενέργεια (potential

Σχήμα 46 ΄Ανω Ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) Κάτω (Ηλεκτρική) διπολικήροπή μεταβάσεως (transition (electric) dipole moment)

energy) UE του ηλεκτρικού διπόλου εντός ηλεκτρικού πεδίου E είναι

UE = minusP middot E (4145)

166

Ανάλογος με τον παραπάνω ορισμό μπορεί να δοθεί και για την περίπτωση της με-ταβάσεως ενός τμήματος του ηλεκτρονιακού νέϕους από μία αρχική σε μια τελική πε-ριοχή ΄Ετσι ορίζεται η (ηλεκτρική) διπολική ροπή μεταβάσεως [transition(electric) dipole moment] 1 Αυτό αποδίδεται στο κάτω τμήμα το Σχήματος 46Αν το ϕορτίο που μεταϕέρεται είναι minuse πάλι p = qd = e(minusr)rArr p = minuser Δηλαδήεννοείται ότι για την περιοχή 2 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμεί με μετά-βαση ϕορτίου minuse ενώ για την περιοχή 1 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμείμε μετάβαση ϕορτίου +eΟ τελεστής (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως [transition

(electric) dipole moment operator] σημειώνεται εναλλακτικά με ˆd ή ˆp Στη βάση τωνιδιοκαταστάσεων της ενέργειας του αδιατάρακτου ατόμου ή συστήματος ορίζεται ως

ˆd = ˆp =

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | (4146)

με τους επίσης εναλλακτικούς συμβολισμούς

dij = pij = minuse⟨Φi | ˆr | Φj⟩ (4147)

για το στοιχείο πίνακα της (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως μεταξύ των κα-ταστάσεων | Φi⟩ και | Φj⟩ Υπενθυμίζεται ότι ο τελεστής θέσεως (position operator)ˆr είναι τέτοιος ώστε

ˆr | r⟩ = r | r⟩ (4148)

Υπενθυμίζεται για τον συμβολισμό Dirac ότι

| A⟩ =

α1

α2

hArr ⟨A |= (αlowast1 αlowast

2) (4149)

Υπενθυμίζεται ακόμα ότι

⟨Φi | ˆr | Φj⟩ =sum

|rprime⟩|rprimeprime⟩

⟨Φi | rprime⟩⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩⟨rprimeprime | Φj⟩ =sum|rprime⟩

⟨Φi | rprime⟩ rprime ⟨rprime | Φj⟩

=sum|r⟩

⟨Φi | r⟩ r ⟨r | Φj⟩ =intdV Φi(r)

lowastrΦj(r)

1Η λέξη ῾῾ ηλεκτρική ᾿᾿ είναι εντός παρενθέσεως επειδή συνήθως επειδή εννοείται παραλείπεται

167

διότι⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩ = rprimeprime⟨rprime|rprimeprime⟩ = rprimeprimeδrprimerprimeprime (4150)

΄Αρα

d11 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ1(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4151)

d12 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ2(r) = 0 (4152)

d21 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ1(r) = 0 (4153)

d22 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ2(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4154)

Δηλαδή ενώ τα διαγώνια στοιχεία μηδενίζονται τα d12 και d21 δεν είναι (῾῾ εκ ταυτό-τητος ᾿᾿) μηδέν Ας δούμε τώρα ποιος είναι ο ˆp σε δισταθμικό σύστημα

ˆp = d11 | Φ1⟩⟨Φ1 | + d12 | Φ1⟩⟨Φ2 | + d21 | Φ2⟩⟨Φ1 | + d22 | Φ2⟩⟨Φ2 |

= d11

0

1

(0 1)+ d12

0

1

(1 0)+ d21

1

0

(0 1)+ d22

1

0

(1 0)

= 0 ⋆

d11︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

0 0

0 1

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

+ d12︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 0

1 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ d21︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 1

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ 0 ⋆

d22︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

1 0

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

Από τις Εξ (4152)-(4153) συμπεραίνουμε ότι d12 = d21 με την προϋπόθεση ότι οιΦi(r) είναι πραγματικές οπότε

ˆp = d12

0 1

1 0

(4155)

168

Ερώτηση Και τι κάνει ο τελεστής

0 1

1 0

Απάντηση0 1

1 0

0

1

=

1

0

0 1

1 0

1

0

=

0

1

Δηλαδή μεταϕέρει από τη μία ενεργειακή στάθμη στην άλλη όπως θα έπρεπε

Τώρα μπορεί να οριστεί ο τελεστής δυναμικής ενέργειας (potential e-nergy operator) Θεωρούμε ότι η αλληλεπίδραση δισταθμικού συστήματος - ΗΜπεδίου έχει τη μορϕή μηχανισμού ηλεκτρικού διπόλου Αγνοούμε άλλης μορϕής αλ-ληλεπιδράσεις όπως πχ ηλεκτρικού τετραπόλου ή μαγνητικού διπόλου Αϕού

UE = minusP middot E rArr

UmE = minusP middot Em (4156)

όπου ο δείκτης m δηλώνει τον m τρόπο του ΗΜ πεδίου ο αντίστοιχος τελεστήςμπορεί να οριστεί ως

UmE = minus ˆp middot ˆEm (4157)

Επομένως

UmE = minus

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | middotEmx (z t)i

i είναι το μοναδιαίο άνυσμα του άξονα x αϕού έχουμε υποθέσει αυτόν τον προσανα-τολισμό για το ηλεκτρικό πεδίο (δείτε Σχήμα 42) ΄Η λόγω της Εξ 4155

UmE = minusd12

0 1

1 0

middot Emx (z t)i (4158)

Αλλά

d12 middot i = minuseintdV Φ1(r)

lowast(r middot i)Φ2(r) = minusex12 = Px12 = P (4159)

169

Συνεπώς

UmE = ex12

0 1

1 0

Emx (z t) (4160)

Υπενθυμίζονται οι Εξ 4110 και 4111

Emx (z t) =

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4161)

Bmy (z t) =

(~ωmε0V

) 12 1

ccos(mπz

L

)i(adaggerm minus am) (4162)

από τις οποίες όμως στα πλαίσια των υποθέσεών μας χρειαζόμαστε τώρα μόνον τηνπρώτη Επίσης υπενθυμίζεται ότι

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

(4163)

΄Αρα εν τέλει

UmE = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4164)

Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε

~gm = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(4165)

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4166)

Αυτή είναι λοιπόν η Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συ-στήματος - ΗΜ πεδίου για τον ΗΜ τρόπο m Εάν βρισκόμαστε σταπλαίσια της ατομικής ϕυσικής τότε συμβολίζεται και Hm

AF όπου οι δείκτες σημαίνουνAtom-FieldΑπό την Εξ 4165 προκύπτει

~|gm| = |P |∣∣∣∣ (~ωm

ε0V

) 12

sin(mπz

L

) ∣∣∣∣ = |P| Em0 (4167)

170

όπου όμως το ῾῾ πλάτος ᾿᾿ Em0 εξαρτάται από τη θέση z του ατόμου στην κοιλότητα

είναι δηλαδή Em0 = Em

0 (z) Η |gm| (ή οποία συμβολίζεται και με ΩmR ) είναι η λεγόμενη

συχνότητα Rabi Εάν εννοείται σε ποιον ΗΜ τρόπο m αναϕερόμαστε μπορούμε ναχρησιμοποιήσουμε σκέτο το |g| ή το ΩR ΄Αρα

|gm| ή ΩmR =

|P|Em0

~(4168)

Για να μη γράϕουμε απόλυτα μπορούμε σε κάθε θέση να διαλέγουμε τη ϕάση τωνκυματοσυναρτήσεων τέτοια ώστε το g να είναι θετικό και πραγματικό [65] Συνοπτικά

gm ή ΩmR =

|P|Em0

~(4169)

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Τώρα συμπληρώνεται η εικόνα με την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπί-δραση ενός ΗΜ τρόπου m με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4170)

΄Αρα η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4171)

Επομένως οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩ (4172)

|darr nm⟩ (4173)

171

Ας δούμε λίγο προσεκτικότερα τη Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικούσυστήματος - ΗΜ πεδίου (Εξ 4166) Για έναν μοναδικό τρόπο m η Χαμιλτονιανήαυτή αναλυεται σε τέσσερις όρους

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) =

= ~gmS+adaggerm︸ ︷︷ ︸

1ος

+ S+am︸ ︷︷ ︸2ος

+ Sminusadaggerm︸ ︷︷ ︸

3ος

+ Sminusam︸ ︷︷ ︸4ος

bull 1ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E gt 0 Επόμένως αυτός ο όρος μόνος τουδεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

bull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻︸ ︷︷ ︸

μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολ-λοί τρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτο-νιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται απόάθροισμα όρων όπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημανα απορροϕήσει ένα ϕωτόνιο υψηλής συχνότητας και να ανεβεί ενώ παράλληλαδημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο χαμηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi www≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

simsim≻ ff lt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 2ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο Αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

172

bull 3ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιοΚαι αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικάbull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 4ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο ΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E lt 0 Επόμένως και αυτός ο όροςμόνος του δεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολλοίτρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτονιανή αλλη-λεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται από άθροισμα όρωνόπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημα να απορροϕήσει έναϕωτόνιο χαμηλής συχνότητας και να κατεβεί ενώ παράλληλα δημιουργείται εκπέμ-πεται ϕωτόνιο υψηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

www≻ ff gt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

Αν αγνοήσουμε τον 1ο και 4ο όρο που ο καθένας μόνος του δεν διατηρεί τηνενέργεια τότε

UmE = ~gm

(S+am + Sminusa

daggerm

) (4174)

Η προσέγγιση είναι κατά κάποιο τρόπο ανάλογη της RWA (Rotating Wave Approxi-mation) του Κεϕαλαίου 3 Εκεί στις εξισώσεις Rabi κρατήσαμε μόνο τους αργούςόρους όπου ΗΜ πεδίο και το δισταθμικό σύστημα βρίσκονται σε περίπου συντονισμό

173

δηλαδή Ω ≃ ω Τότε κρατήσαμε τους αργούς όρους eplusmni(Ωminusω)t και αγνοήσαμε τουςγρήγορους όρους eplusmni(Ω+ω)tΣυνοπτικά ενώ για την ολική Χαμιλτονιανή ενός τρόπου m έχουμε την λεγόμενη

Χαμιλτονιανή Rabi

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4175)

κατά την παραπάνω συζήτηση αγνοούμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενουςcounter-rotating terms

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4176)

οπότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66]

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4177)

Στην ΄Ασκηση 1 (παραλείποντας τον δείκτη του ΗΜ τρόπου m απλότητα) βρί-σκουμε (Α) τι κάνουν οι όροι adaggera aadagger S+Sminus SminusS+ S+a

dagger S+a Sminusadagger Sminusa στις κα-

ταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩ και (Β) υπολογίζουμε τα ⟨adaggera⟩ ⟨aadagger⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨SminusS+⟩⟨S+a

dagger⟩ ⟨S+a⟩ ⟨Sminusadagger⟩ ⟨Sminusa⟩ για τις καταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩

174

49 Σύνοψη Χαμιλτονιανών

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Ακόμα είδαμε την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπίδραση ενός ΗΜ τρόπουm με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

Οπότε η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί (Εξ 4171)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

και οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩|darr nm⟩

Ακόμα αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενους counter-rotatingterms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam)

τότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66] (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm)

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

160

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4121)

ενώ [AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4122)

΄Οταν AB = 0 rArr AB + BA = 0 rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται ενώ όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οιποσότητες μετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση των ονομασίων ΄Οπωςθα δούμε παρακάτω η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσειςαντιμεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ηλεκτρόνια που είναι ϕερμιόνια ενώ ο με-ταθέτης χρησιμοποιείται στις σχέσεις μεταθέσεως τις οποίες ακολουθούν τα ϕωτόνιαπου είναι μποζόνια Συχνά στα ελληνικά συγγράμματα της δευτεροβάθμιας εκπαί-δευσης πολύ κακώς εδώ και δεκαετίες ονομάζεται ῾῾ αντιμεταθετική ᾿᾿ η μεταθετική(commutative) ιδιότητα χαθήκαμε δηλαδή στη μετάϕρασηΗ Χαμιλτονιανή του Δισταθμικού Συστήματος HΔΣ είναι η

E2S+Sminus + E1SminusS+ = E2

1 0

0 0

+ E1

0 0

0 1

=

E2 0

0 E1

(4123)

αϕού E2 0

0 E1

1

0

=

E2

0

= E2

1

0

(4124)

E2 0

0 E1

0

1

=

0

E1

= E1

0

1

(4125)

΄Αρα συνοπτικά δείξαμε ότι

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+ (4126)

Αν τώρα θέσουμε E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) οπότε

HΔΣ = ~ΩS+Sminus (4127)

161

Ο τελεστής S+Sminus μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη αϕού

S+Sminus | 1⟩ =

1 0

0 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ rArr S+Sminus | 1⟩ = 0 | 1⟩ (4128)

S+Sminus | 2⟩ =

1 0

0 0

1

0

=

1

0

=| 2⟩ rArr S+Sminus | 2⟩ = 1 | 2⟩ (4129)

Ο τελεστής SminusS+ μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην κάτω στάθμη αϕού

SminusS+ | 1⟩ =

0 0

0 1

0

1

=

0

1

=| 1⟩ rArr SminusS+ | 1⟩ = 1 | 1⟩ (4130)

SminusS+ | 2⟩ =

0 0

0 1

1

0

=

0

0

=| 0⟩ rArr SminusS+ | 2⟩ = 0 | 2⟩ (4131)

Παρατήρηση Συνοπτικά για τους τελεστές S+ και Sminus μπορούμε να αποδείξουμεότι (S+)

dagger = Sminus αλλά και ότι

S+ Sdagger+ = S+ Sminus = S+Sminus + SminusS+ = I

Sminus Sdaggerminus = Sminus S+ = SminusS+ + S+Sminus = I

S+ S+ = Sdaggerminus S

daggerminus = S+S+ + S+S+ = 0

Sminus Sminus = Sdagger+ S

dagger+ = SminusSminus + SminusSminus = 0

(4132)

όπου I είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας 2 times 2 και 0 είναι ο μηδενικός πίνακας2times2 Οι Εξ 4132 δείχνουν ότι οι τελεστές S+ και Sminus υπακούουν στις σχέσεις αντι-μεταθέσεως ϕερμιονίων που αναϕέρουμε στην Υποενότητα 462 της Ενότητας 46Ο S+ είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζει την ενέργειαδημιουργώντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού και η ονομασία τελεστής δημιουρ-γίας (creation operator) Ο Sminus είναι τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator)διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού καιη ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Μπορούμε να έχουμεμόνο ένα ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω διότι τα ηλεκτρόνια είναι ϕερμιόνια

162

Ας θυμηθούμε τώρα τους πίνακες Pauli σx σy σz και ας δούμε τη σχέση τους μετους τελεστές αναβιβάσεως και καταβιβάσεως ηλεκτρονίων S+ και Sminus αντιστοίχως

σx =

0 1

1 0

(4133)

σy =

0 minusi

i 0

(4134)

σz =

1 0

0 minus1

(4135)

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι ισχύει η ιδιότητα

[σx σy] = 2iσz (4136)

καθώς και οι κυκλικές εναλλαγές της Επίσης

σ2x = σ2

y = σ2z =

1 0

0 1

= I (4137)

και

σx σy = σxσy + σyσx = 0 (4138)

σy σz = σyσz + σzσy = 0

σz σx = σzσx + σxσz = 0

δηλαδή οι πίνακες Pauli αντιμετατίθονται Επί παραδείγματι

σx σy = σxσy + σyσx =0 1

1 0

0 minusi

i 0

+

0 minusi

i 0

0 1

1 0

=

i 0

0 minusi

+

minusi 0

0 i

=

0 0

0 0

= 0

Ακόμα μπορούμε να αποδείξουμε ότι

S+ + Sminus = σx

S+ minus Sminus = iσy

163

46 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων καισχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων

461 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων πχ ϕωτονίων

Ας ονομαστεί am ο τελεστής καταστροϕής μποζονίων και adaggerm ο τελεστήςδημιουργίας μποζονίων στην κατάσταση m Για τα μποζόνια ισχύουν οι σχέσειςμεταθέσεως (commutation relations)

[am aℓ] = 0

[adaggerm adaggerℓ] = 0

(4139)

[AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4140)

οπότε όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οι ποσότητεςμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας

462 Σχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων πχ ηλε-κτρονίων

Ας ονομαστεί ai ο τελεστής καταστροϕής ϕερμιονίων και adaggeri ο τελεστής δη-μιουργίας ϕερμιονίων στην κατάσταση i Για τα ϕερμιόνια ισχύουν οι σχέσεις αντι-μεταθέσεως (anticommutation relations)

ai adaggerj = δij

ai aj = 0

adaggeri adaggerj = 0

(4141)

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4142)

οπότε όταν AB = 0rArr AB+BA = 0rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας Αν εϕαρμόσουμετη σχέση adaggeri a

daggerj = 0 για την ίδια κατάσταση πχ i = j = r έχουμε adaggerr adaggerr =

0 rArr adaggerradaggerr = 0 που σημαίνει ότι

δεν μπορούμε να βάλουμε δύο ϕερμιόνια στην ίδια

κατάσταση πράγμα που είναι η απαγορευτική αρχή Pauli

164

47 Τελεστές κλίμακας (Ladder operators) [63]

Στη γραμμική άλγεβρα καθώς και στις εϕαρμογές της στην κβαντική μηχανική ορί-ζεται ο τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ο οποίος αυξάνει την ιδιοτιμή ενόςάλλου τελεστή και ο τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) ο οποίος μειώνειτην ιδιοτιμή ενός άλλου τελεστή Αυτοί συλλογικά ονομάζονται τελεστές κλίμα-κας (ladder operators) Στην κβαντομηχανική ο τελεστής αναβιβάσεως καλείταισυχνά τελεστής δημιουργίας (creation operator) και ο τελεστής καταβιβάσεως κα-λείται συχνά τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Γνωστές εϕαρμογέςτων τελεστών κλίμακας είναι στον απλό αρμονικό ταλαντωτή και στη στροϕορμήΣε πολλές περιοχές της ϕυσικής και της χημείας η χρήση αυτών των τελεστών αντίκυματοσυναρτήσεων είναι γνωστή ως δεύτερη κβάντωση (second quantization) [64]

165

48 Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεωςδισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου

΄Εστω δύο αντίθετα ηλεκτρικά ϕορτία q gt 0 και minusq lt 0 στα σημεία Θ και Α

αντιστοίχως Αν d =minusrarrΑΘ είναι το διάνυσμα θέσεως του θετικού ϕορτίου ως προς το

αρνητικό τότε η ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) ορίζεταιως

P = qd (4143)

πχ για το άτομο του υδρογόνου αν το Π παριστάνει τον πυρήνα και το Η παριστάνει

το ηλεκτρόνιο και ως συνήθως ορίσουμε r =minusrarrΠΗ τότε P = qd = e(minusr)rArr

P = minuser (4144)

Αυτό αποδίδεται άνω τμήμα του Σχήματος 46 Η δυναμική ενέργεια (potential

Σχήμα 46 ΄Ανω Ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) Κάτω (Ηλεκτρική) διπολικήροπή μεταβάσεως (transition (electric) dipole moment)

energy) UE του ηλεκτρικού διπόλου εντός ηλεκτρικού πεδίου E είναι

UE = minusP middot E (4145)

166

Ανάλογος με τον παραπάνω ορισμό μπορεί να δοθεί και για την περίπτωση της με-ταβάσεως ενός τμήματος του ηλεκτρονιακού νέϕους από μία αρχική σε μια τελική πε-ριοχή ΄Ετσι ορίζεται η (ηλεκτρική) διπολική ροπή μεταβάσεως [transition(electric) dipole moment] 1 Αυτό αποδίδεται στο κάτω τμήμα το Σχήματος 46Αν το ϕορτίο που μεταϕέρεται είναι minuse πάλι p = qd = e(minusr)rArr p = minuser Δηλαδήεννοείται ότι για την περιοχή 2 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμεί με μετά-βαση ϕορτίου minuse ενώ για την περιοχή 1 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμείμε μετάβαση ϕορτίου +eΟ τελεστής (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως [transition

(electric) dipole moment operator] σημειώνεται εναλλακτικά με ˆd ή ˆp Στη βάση τωνιδιοκαταστάσεων της ενέργειας του αδιατάρακτου ατόμου ή συστήματος ορίζεται ως

ˆd = ˆp =

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | (4146)

με τους επίσης εναλλακτικούς συμβολισμούς

dij = pij = minuse⟨Φi | ˆr | Φj⟩ (4147)

για το στοιχείο πίνακα της (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως μεταξύ των κα-ταστάσεων | Φi⟩ και | Φj⟩ Υπενθυμίζεται ότι ο τελεστής θέσεως (position operator)ˆr είναι τέτοιος ώστε

ˆr | r⟩ = r | r⟩ (4148)

Υπενθυμίζεται για τον συμβολισμό Dirac ότι

| A⟩ =

α1

α2

hArr ⟨A |= (αlowast1 αlowast

2) (4149)

Υπενθυμίζεται ακόμα ότι

⟨Φi | ˆr | Φj⟩ =sum

|rprime⟩|rprimeprime⟩

⟨Φi | rprime⟩⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩⟨rprimeprime | Φj⟩ =sum|rprime⟩

⟨Φi | rprime⟩ rprime ⟨rprime | Φj⟩

=sum|r⟩

⟨Φi | r⟩ r ⟨r | Φj⟩ =intdV Φi(r)

lowastrΦj(r)

1Η λέξη ῾῾ ηλεκτρική ᾿᾿ είναι εντός παρενθέσεως επειδή συνήθως επειδή εννοείται παραλείπεται

167

διότι⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩ = rprimeprime⟨rprime|rprimeprime⟩ = rprimeprimeδrprimerprimeprime (4150)

΄Αρα

d11 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ1(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4151)

d12 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ2(r) = 0 (4152)

d21 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ1(r) = 0 (4153)

d22 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ2(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4154)

Δηλαδή ενώ τα διαγώνια στοιχεία μηδενίζονται τα d12 και d21 δεν είναι (῾῾ εκ ταυτό-τητος ᾿᾿) μηδέν Ας δούμε τώρα ποιος είναι ο ˆp σε δισταθμικό σύστημα

ˆp = d11 | Φ1⟩⟨Φ1 | + d12 | Φ1⟩⟨Φ2 | + d21 | Φ2⟩⟨Φ1 | + d22 | Φ2⟩⟨Φ2 |

= d11

0

1

(0 1)+ d12

0

1

(1 0)+ d21

1

0

(0 1)+ d22

1

0

(1 0)

= 0 ⋆

d11︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

0 0

0 1

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

+ d12︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 0

1 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ d21︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 1

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ 0 ⋆

d22︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

1 0

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

Από τις Εξ (4152)-(4153) συμπεραίνουμε ότι d12 = d21 με την προϋπόθεση ότι οιΦi(r) είναι πραγματικές οπότε

ˆp = d12

0 1

1 0

(4155)

168

Ερώτηση Και τι κάνει ο τελεστής

0 1

1 0

Απάντηση0 1

1 0

0

1

=

1

0

0 1

1 0

1

0

=

0

1

Δηλαδή μεταϕέρει από τη μία ενεργειακή στάθμη στην άλλη όπως θα έπρεπε

Τώρα μπορεί να οριστεί ο τελεστής δυναμικής ενέργειας (potential e-nergy operator) Θεωρούμε ότι η αλληλεπίδραση δισταθμικού συστήματος - ΗΜπεδίου έχει τη μορϕή μηχανισμού ηλεκτρικού διπόλου Αγνοούμε άλλης μορϕής αλ-ληλεπιδράσεις όπως πχ ηλεκτρικού τετραπόλου ή μαγνητικού διπόλου Αϕού

UE = minusP middot E rArr

UmE = minusP middot Em (4156)

όπου ο δείκτης m δηλώνει τον m τρόπο του ΗΜ πεδίου ο αντίστοιχος τελεστήςμπορεί να οριστεί ως

UmE = minus ˆp middot ˆEm (4157)

Επομένως

UmE = minus

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | middotEmx (z t)i

i είναι το μοναδιαίο άνυσμα του άξονα x αϕού έχουμε υποθέσει αυτόν τον προσανα-τολισμό για το ηλεκτρικό πεδίο (δείτε Σχήμα 42) ΄Η λόγω της Εξ 4155

UmE = minusd12

0 1

1 0

middot Emx (z t)i (4158)

Αλλά

d12 middot i = minuseintdV Φ1(r)

lowast(r middot i)Φ2(r) = minusex12 = Px12 = P (4159)

169

Συνεπώς

UmE = ex12

0 1

1 0

Emx (z t) (4160)

Υπενθυμίζονται οι Εξ 4110 και 4111

Emx (z t) =

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4161)

Bmy (z t) =

(~ωmε0V

) 12 1

ccos(mπz

L

)i(adaggerm minus am) (4162)

από τις οποίες όμως στα πλαίσια των υποθέσεών μας χρειαζόμαστε τώρα μόνον τηνπρώτη Επίσης υπενθυμίζεται ότι

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

(4163)

΄Αρα εν τέλει

UmE = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4164)

Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε

~gm = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(4165)

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4166)

Αυτή είναι λοιπόν η Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συ-στήματος - ΗΜ πεδίου για τον ΗΜ τρόπο m Εάν βρισκόμαστε σταπλαίσια της ατομικής ϕυσικής τότε συμβολίζεται και Hm

AF όπου οι δείκτες σημαίνουνAtom-FieldΑπό την Εξ 4165 προκύπτει

~|gm| = |P |∣∣∣∣ (~ωm

ε0V

) 12

sin(mπz

L

) ∣∣∣∣ = |P| Em0 (4167)

170

όπου όμως το ῾῾ πλάτος ᾿᾿ Em0 εξαρτάται από τη θέση z του ατόμου στην κοιλότητα

είναι δηλαδή Em0 = Em

0 (z) Η |gm| (ή οποία συμβολίζεται και με ΩmR ) είναι η λεγόμενη

συχνότητα Rabi Εάν εννοείται σε ποιον ΗΜ τρόπο m αναϕερόμαστε μπορούμε ναχρησιμοποιήσουμε σκέτο το |g| ή το ΩR ΄Αρα

|gm| ή ΩmR =

|P|Em0

~(4168)

Για να μη γράϕουμε απόλυτα μπορούμε σε κάθε θέση να διαλέγουμε τη ϕάση τωνκυματοσυναρτήσεων τέτοια ώστε το g να είναι θετικό και πραγματικό [65] Συνοπτικά

gm ή ΩmR =

|P|Em0

~(4169)

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Τώρα συμπληρώνεται η εικόνα με την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπί-δραση ενός ΗΜ τρόπου m με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4170)

΄Αρα η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4171)

Επομένως οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩ (4172)

|darr nm⟩ (4173)

171

Ας δούμε λίγο προσεκτικότερα τη Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικούσυστήματος - ΗΜ πεδίου (Εξ 4166) Για έναν μοναδικό τρόπο m η Χαμιλτονιανήαυτή αναλυεται σε τέσσερις όρους

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) =

= ~gmS+adaggerm︸ ︷︷ ︸

1ος

+ S+am︸ ︷︷ ︸2ος

+ Sminusadaggerm︸ ︷︷ ︸

3ος

+ Sminusam︸ ︷︷ ︸4ος

bull 1ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E gt 0 Επόμένως αυτός ο όρος μόνος τουδεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

bull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻︸ ︷︷ ︸

μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολ-λοί τρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτο-νιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται απόάθροισμα όρων όπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημανα απορροϕήσει ένα ϕωτόνιο υψηλής συχνότητας και να ανεβεί ενώ παράλληλαδημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο χαμηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi www≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

simsim≻ ff lt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 2ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο Αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

172

bull 3ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιοΚαι αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικάbull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 4ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο ΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E lt 0 Επόμένως και αυτός ο όροςμόνος του δεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολλοίτρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτονιανή αλλη-λεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται από άθροισμα όρωνόπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημα να απορροϕήσει έναϕωτόνιο χαμηλής συχνότητας και να κατεβεί ενώ παράλληλα δημιουργείται εκπέμ-πεται ϕωτόνιο υψηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

www≻ ff gt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

Αν αγνοήσουμε τον 1ο και 4ο όρο που ο καθένας μόνος του δεν διατηρεί τηνενέργεια τότε

UmE = ~gm

(S+am + Sminusa

daggerm

) (4174)

Η προσέγγιση είναι κατά κάποιο τρόπο ανάλογη της RWA (Rotating Wave Approxi-mation) του Κεϕαλαίου 3 Εκεί στις εξισώσεις Rabi κρατήσαμε μόνο τους αργούςόρους όπου ΗΜ πεδίο και το δισταθμικό σύστημα βρίσκονται σε περίπου συντονισμό

173

δηλαδή Ω ≃ ω Τότε κρατήσαμε τους αργούς όρους eplusmni(Ωminusω)t και αγνοήσαμε τουςγρήγορους όρους eplusmni(Ω+ω)tΣυνοπτικά ενώ για την ολική Χαμιλτονιανή ενός τρόπου m έχουμε την λεγόμενη

Χαμιλτονιανή Rabi

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4175)

κατά την παραπάνω συζήτηση αγνοούμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενουςcounter-rotating terms

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4176)

οπότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66]

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4177)

Στην ΄Ασκηση 1 (παραλείποντας τον δείκτη του ΗΜ τρόπου m απλότητα) βρί-σκουμε (Α) τι κάνουν οι όροι adaggera aadagger S+Sminus SminusS+ S+a

dagger S+a Sminusadagger Sminusa στις κα-

ταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩ και (Β) υπολογίζουμε τα ⟨adaggera⟩ ⟨aadagger⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨SminusS+⟩⟨S+a

dagger⟩ ⟨S+a⟩ ⟨Sminusadagger⟩ ⟨Sminusa⟩ για τις καταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩

174

49 Σύνοψη Χαμιλτονιανών

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Ακόμα είδαμε την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπίδραση ενός ΗΜ τρόπουm με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

Οπότε η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί (Εξ 4171)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

και οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩|darr nm⟩

Ακόμα αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενους counter-rotatingterms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam)

τότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66] (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm)

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

161

Ο τελεστής S+Sminus μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη αϕού

S+Sminus | 1⟩ =

1 0

0 0

0

1

=

0

0

=| 0⟩ rArr S+Sminus | 1⟩ = 0 | 1⟩ (4128)

S+Sminus | 2⟩ =

1 0

0 0

1

0

=

1

0

=| 2⟩ rArr S+Sminus | 2⟩ = 1 | 2⟩ (4129)

Ο τελεστής SminusS+ μετρά τον αριθμό των ηλεκτρονίων στην κάτω στάθμη αϕού

SminusS+ | 1⟩ =

0 0

0 1

0

1

=

0

1

=| 1⟩ rArr SminusS+ | 1⟩ = 1 | 1⟩ (4130)

SminusS+ | 2⟩ =

0 0

0 1

1

0

=

0

0

=| 0⟩ rArr SminusS+ | 2⟩ = 0 | 2⟩ (4131)

Παρατήρηση Συνοπτικά για τους τελεστές S+ και Sminus μπορούμε να αποδείξουμεότι (S+)

dagger = Sminus αλλά και ότι

S+ Sdagger+ = S+ Sminus = S+Sminus + SminusS+ = I

Sminus Sdaggerminus = Sminus S+ = SminusS+ + S+Sminus = I

S+ S+ = Sdaggerminus S

daggerminus = S+S+ + S+S+ = 0

Sminus Sminus = Sdagger+ S

dagger+ = SminusSminus + SminusSminus = 0

(4132)

όπου I είναι ο διαγώνιος μοναδιαίος πίνακας 2 times 2 και 0 είναι ο μηδενικός πίνακας2times2 Οι Εξ 4132 δείχνουν ότι οι τελεστές S+ και Sminus υπακούουν στις σχέσεις αντι-μεταθέσεως ϕερμιονίων που αναϕέρουμε στην Υποενότητα 462 της Ενότητας 46Ο S+ είναι τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) διότι αναβιβάζει την ενέργειαδημιουργώντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού και η ονομασία τελεστής δημιουρ-γίας (creation operator) Ο Sminus είναι τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator)διότι καταβιβάζει την ενέργεια καταστρέϕοντας ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω εξ ού καιη ονομασία τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Μπορούμε να έχουμεμόνο ένα ηλεκτρόνιο με ενέργεια ~Ω διότι τα ηλεκτρόνια είναι ϕερμιόνια

162

Ας θυμηθούμε τώρα τους πίνακες Pauli σx σy σz και ας δούμε τη σχέση τους μετους τελεστές αναβιβάσεως και καταβιβάσεως ηλεκτρονίων S+ και Sminus αντιστοίχως

σx =

0 1

1 0

(4133)

σy =

0 minusi

i 0

(4134)

σz =

1 0

0 minus1

(4135)

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι ισχύει η ιδιότητα

[σx σy] = 2iσz (4136)

καθώς και οι κυκλικές εναλλαγές της Επίσης

σ2x = σ2

y = σ2z =

1 0

0 1

= I (4137)

και

σx σy = σxσy + σyσx = 0 (4138)

σy σz = σyσz + σzσy = 0

σz σx = σzσx + σxσz = 0

δηλαδή οι πίνακες Pauli αντιμετατίθονται Επί παραδείγματι

σx σy = σxσy + σyσx =0 1

1 0

0 minusi

i 0

+

0 minusi

i 0

0 1

1 0

=

i 0

0 minusi

+

minusi 0

0 i

=

0 0

0 0

= 0

Ακόμα μπορούμε να αποδείξουμε ότι

S+ + Sminus = σx

S+ minus Sminus = iσy

163

46 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων καισχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων

461 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων πχ ϕωτονίων

Ας ονομαστεί am ο τελεστής καταστροϕής μποζονίων και adaggerm ο τελεστήςδημιουργίας μποζονίων στην κατάσταση m Για τα μποζόνια ισχύουν οι σχέσειςμεταθέσεως (commutation relations)

[am aℓ] = 0

[adaggerm adaggerℓ] = 0

(4139)

[AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4140)

οπότε όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οι ποσότητεςμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας

462 Σχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων πχ ηλε-κτρονίων

Ας ονομαστεί ai ο τελεστής καταστροϕής ϕερμιονίων και adaggeri ο τελεστής δη-μιουργίας ϕερμιονίων στην κατάσταση i Για τα ϕερμιόνια ισχύουν οι σχέσεις αντι-μεταθέσεως (anticommutation relations)

ai adaggerj = δij

ai aj = 0

adaggeri adaggerj = 0

(4141)

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4142)

οπότε όταν AB = 0rArr AB+BA = 0rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας Αν εϕαρμόσουμετη σχέση adaggeri a

daggerj = 0 για την ίδια κατάσταση πχ i = j = r έχουμε adaggerr adaggerr =

0 rArr adaggerradaggerr = 0 που σημαίνει ότι

δεν μπορούμε να βάλουμε δύο ϕερμιόνια στην ίδια

κατάσταση πράγμα που είναι η απαγορευτική αρχή Pauli

164

47 Τελεστές κλίμακας (Ladder operators) [63]

Στη γραμμική άλγεβρα καθώς και στις εϕαρμογές της στην κβαντική μηχανική ορί-ζεται ο τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ο οποίος αυξάνει την ιδιοτιμή ενόςάλλου τελεστή και ο τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) ο οποίος μειώνειτην ιδιοτιμή ενός άλλου τελεστή Αυτοί συλλογικά ονομάζονται τελεστές κλίμα-κας (ladder operators) Στην κβαντομηχανική ο τελεστής αναβιβάσεως καλείταισυχνά τελεστής δημιουργίας (creation operator) και ο τελεστής καταβιβάσεως κα-λείται συχνά τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Γνωστές εϕαρμογέςτων τελεστών κλίμακας είναι στον απλό αρμονικό ταλαντωτή και στη στροϕορμήΣε πολλές περιοχές της ϕυσικής και της χημείας η χρήση αυτών των τελεστών αντίκυματοσυναρτήσεων είναι γνωστή ως δεύτερη κβάντωση (second quantization) [64]

165

48 Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεωςδισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου

΄Εστω δύο αντίθετα ηλεκτρικά ϕορτία q gt 0 και minusq lt 0 στα σημεία Θ και Α

αντιστοίχως Αν d =minusrarrΑΘ είναι το διάνυσμα θέσεως του θετικού ϕορτίου ως προς το

αρνητικό τότε η ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) ορίζεταιως

P = qd (4143)

πχ για το άτομο του υδρογόνου αν το Π παριστάνει τον πυρήνα και το Η παριστάνει

το ηλεκτρόνιο και ως συνήθως ορίσουμε r =minusrarrΠΗ τότε P = qd = e(minusr)rArr

P = minuser (4144)

Αυτό αποδίδεται άνω τμήμα του Σχήματος 46 Η δυναμική ενέργεια (potential

Σχήμα 46 ΄Ανω Ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) Κάτω (Ηλεκτρική) διπολικήροπή μεταβάσεως (transition (electric) dipole moment)

energy) UE του ηλεκτρικού διπόλου εντός ηλεκτρικού πεδίου E είναι

UE = minusP middot E (4145)

166

Ανάλογος με τον παραπάνω ορισμό μπορεί να δοθεί και για την περίπτωση της με-ταβάσεως ενός τμήματος του ηλεκτρονιακού νέϕους από μία αρχική σε μια τελική πε-ριοχή ΄Ετσι ορίζεται η (ηλεκτρική) διπολική ροπή μεταβάσεως [transition(electric) dipole moment] 1 Αυτό αποδίδεται στο κάτω τμήμα το Σχήματος 46Αν το ϕορτίο που μεταϕέρεται είναι minuse πάλι p = qd = e(minusr)rArr p = minuser Δηλαδήεννοείται ότι για την περιοχή 2 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμεί με μετά-βαση ϕορτίου minuse ενώ για την περιοχή 1 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμείμε μετάβαση ϕορτίου +eΟ τελεστής (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως [transition

(electric) dipole moment operator] σημειώνεται εναλλακτικά με ˆd ή ˆp Στη βάση τωνιδιοκαταστάσεων της ενέργειας του αδιατάρακτου ατόμου ή συστήματος ορίζεται ως

ˆd = ˆp =

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | (4146)

με τους επίσης εναλλακτικούς συμβολισμούς

dij = pij = minuse⟨Φi | ˆr | Φj⟩ (4147)

για το στοιχείο πίνακα της (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως μεταξύ των κα-ταστάσεων | Φi⟩ και | Φj⟩ Υπενθυμίζεται ότι ο τελεστής θέσεως (position operator)ˆr είναι τέτοιος ώστε

ˆr | r⟩ = r | r⟩ (4148)

Υπενθυμίζεται για τον συμβολισμό Dirac ότι

| A⟩ =

α1

α2

hArr ⟨A |= (αlowast1 αlowast

2) (4149)

Υπενθυμίζεται ακόμα ότι

⟨Φi | ˆr | Φj⟩ =sum

|rprime⟩|rprimeprime⟩

⟨Φi | rprime⟩⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩⟨rprimeprime | Φj⟩ =sum|rprime⟩

⟨Φi | rprime⟩ rprime ⟨rprime | Φj⟩

=sum|r⟩

⟨Φi | r⟩ r ⟨r | Φj⟩ =intdV Φi(r)

lowastrΦj(r)

1Η λέξη ῾῾ ηλεκτρική ᾿᾿ είναι εντός παρενθέσεως επειδή συνήθως επειδή εννοείται παραλείπεται

167

διότι⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩ = rprimeprime⟨rprime|rprimeprime⟩ = rprimeprimeδrprimerprimeprime (4150)

΄Αρα

d11 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ1(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4151)

d12 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ2(r) = 0 (4152)

d21 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ1(r) = 0 (4153)

d22 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ2(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4154)

Δηλαδή ενώ τα διαγώνια στοιχεία μηδενίζονται τα d12 και d21 δεν είναι (῾῾ εκ ταυτό-τητος ᾿᾿) μηδέν Ας δούμε τώρα ποιος είναι ο ˆp σε δισταθμικό σύστημα

ˆp = d11 | Φ1⟩⟨Φ1 | + d12 | Φ1⟩⟨Φ2 | + d21 | Φ2⟩⟨Φ1 | + d22 | Φ2⟩⟨Φ2 |

= d11

0

1

(0 1)+ d12

0

1

(1 0)+ d21

1

0

(0 1)+ d22

1

0

(1 0)

= 0 ⋆

d11︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

0 0

0 1

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

+ d12︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 0

1 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ d21︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 1

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ 0 ⋆

d22︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

1 0

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

Από τις Εξ (4152)-(4153) συμπεραίνουμε ότι d12 = d21 με την προϋπόθεση ότι οιΦi(r) είναι πραγματικές οπότε

ˆp = d12

0 1

1 0

(4155)

168

Ερώτηση Και τι κάνει ο τελεστής

0 1

1 0

Απάντηση0 1

1 0

0

1

=

1

0

0 1

1 0

1

0

=

0

1

Δηλαδή μεταϕέρει από τη μία ενεργειακή στάθμη στην άλλη όπως θα έπρεπε

Τώρα μπορεί να οριστεί ο τελεστής δυναμικής ενέργειας (potential e-nergy operator) Θεωρούμε ότι η αλληλεπίδραση δισταθμικού συστήματος - ΗΜπεδίου έχει τη μορϕή μηχανισμού ηλεκτρικού διπόλου Αγνοούμε άλλης μορϕής αλ-ληλεπιδράσεις όπως πχ ηλεκτρικού τετραπόλου ή μαγνητικού διπόλου Αϕού

UE = minusP middot E rArr

UmE = minusP middot Em (4156)

όπου ο δείκτης m δηλώνει τον m τρόπο του ΗΜ πεδίου ο αντίστοιχος τελεστήςμπορεί να οριστεί ως

UmE = minus ˆp middot ˆEm (4157)

Επομένως

UmE = minus

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | middotEmx (z t)i

i είναι το μοναδιαίο άνυσμα του άξονα x αϕού έχουμε υποθέσει αυτόν τον προσανα-τολισμό για το ηλεκτρικό πεδίο (δείτε Σχήμα 42) ΄Η λόγω της Εξ 4155

UmE = minusd12

0 1

1 0

middot Emx (z t)i (4158)

Αλλά

d12 middot i = minuseintdV Φ1(r)

lowast(r middot i)Φ2(r) = minusex12 = Px12 = P (4159)

169

Συνεπώς

UmE = ex12

0 1

1 0

Emx (z t) (4160)

Υπενθυμίζονται οι Εξ 4110 και 4111

Emx (z t) =

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4161)

Bmy (z t) =

(~ωmε0V

) 12 1

ccos(mπz

L

)i(adaggerm minus am) (4162)

από τις οποίες όμως στα πλαίσια των υποθέσεών μας χρειαζόμαστε τώρα μόνον τηνπρώτη Επίσης υπενθυμίζεται ότι

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

(4163)

΄Αρα εν τέλει

UmE = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4164)

Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε

~gm = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(4165)

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4166)

Αυτή είναι λοιπόν η Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συ-στήματος - ΗΜ πεδίου για τον ΗΜ τρόπο m Εάν βρισκόμαστε σταπλαίσια της ατομικής ϕυσικής τότε συμβολίζεται και Hm

AF όπου οι δείκτες σημαίνουνAtom-FieldΑπό την Εξ 4165 προκύπτει

~|gm| = |P |∣∣∣∣ (~ωm

ε0V

) 12

sin(mπz

L

) ∣∣∣∣ = |P| Em0 (4167)

170

όπου όμως το ῾῾ πλάτος ᾿᾿ Em0 εξαρτάται από τη θέση z του ατόμου στην κοιλότητα

είναι δηλαδή Em0 = Em

0 (z) Η |gm| (ή οποία συμβολίζεται και με ΩmR ) είναι η λεγόμενη

συχνότητα Rabi Εάν εννοείται σε ποιον ΗΜ τρόπο m αναϕερόμαστε μπορούμε ναχρησιμοποιήσουμε σκέτο το |g| ή το ΩR ΄Αρα

|gm| ή ΩmR =

|P|Em0

~(4168)

Για να μη γράϕουμε απόλυτα μπορούμε σε κάθε θέση να διαλέγουμε τη ϕάση τωνκυματοσυναρτήσεων τέτοια ώστε το g να είναι θετικό και πραγματικό [65] Συνοπτικά

gm ή ΩmR =

|P|Em0

~(4169)

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Τώρα συμπληρώνεται η εικόνα με την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπί-δραση ενός ΗΜ τρόπου m με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4170)

΄Αρα η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4171)

Επομένως οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩ (4172)

|darr nm⟩ (4173)

171

Ας δούμε λίγο προσεκτικότερα τη Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικούσυστήματος - ΗΜ πεδίου (Εξ 4166) Για έναν μοναδικό τρόπο m η Χαμιλτονιανήαυτή αναλυεται σε τέσσερις όρους

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) =

= ~gmS+adaggerm︸ ︷︷ ︸

1ος

+ S+am︸ ︷︷ ︸2ος

+ Sminusadaggerm︸ ︷︷ ︸

3ος

+ Sminusam︸ ︷︷ ︸4ος

bull 1ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E gt 0 Επόμένως αυτός ο όρος μόνος τουδεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

bull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻︸ ︷︷ ︸

μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολ-λοί τρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτο-νιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται απόάθροισμα όρων όπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημανα απορροϕήσει ένα ϕωτόνιο υψηλής συχνότητας και να ανεβεί ενώ παράλληλαδημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο χαμηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi www≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

simsim≻ ff lt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 2ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο Αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

172

bull 3ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιοΚαι αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικάbull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 4ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο ΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E lt 0 Επόμένως και αυτός ο όροςμόνος του δεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολλοίτρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτονιανή αλλη-λεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται από άθροισμα όρωνόπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημα να απορροϕήσει έναϕωτόνιο χαμηλής συχνότητας και να κατεβεί ενώ παράλληλα δημιουργείται εκπέμ-πεται ϕωτόνιο υψηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

www≻ ff gt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

Αν αγνοήσουμε τον 1ο και 4ο όρο που ο καθένας μόνος του δεν διατηρεί τηνενέργεια τότε

UmE = ~gm

(S+am + Sminusa

daggerm

) (4174)

Η προσέγγιση είναι κατά κάποιο τρόπο ανάλογη της RWA (Rotating Wave Approxi-mation) του Κεϕαλαίου 3 Εκεί στις εξισώσεις Rabi κρατήσαμε μόνο τους αργούςόρους όπου ΗΜ πεδίο και το δισταθμικό σύστημα βρίσκονται σε περίπου συντονισμό

173

δηλαδή Ω ≃ ω Τότε κρατήσαμε τους αργούς όρους eplusmni(Ωminusω)t και αγνοήσαμε τουςγρήγορους όρους eplusmni(Ω+ω)tΣυνοπτικά ενώ για την ολική Χαμιλτονιανή ενός τρόπου m έχουμε την λεγόμενη

Χαμιλτονιανή Rabi

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4175)

κατά την παραπάνω συζήτηση αγνοούμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενουςcounter-rotating terms

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4176)

οπότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66]

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4177)

Στην ΄Ασκηση 1 (παραλείποντας τον δείκτη του ΗΜ τρόπου m απλότητα) βρί-σκουμε (Α) τι κάνουν οι όροι adaggera aadagger S+Sminus SminusS+ S+a

dagger S+a Sminusadagger Sminusa στις κα-

ταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩ και (Β) υπολογίζουμε τα ⟨adaggera⟩ ⟨aadagger⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨SminusS+⟩⟨S+a

dagger⟩ ⟨S+a⟩ ⟨Sminusadagger⟩ ⟨Sminusa⟩ για τις καταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩

174

49 Σύνοψη Χαμιλτονιανών

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Ακόμα είδαμε την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπίδραση ενός ΗΜ τρόπουm με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

Οπότε η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί (Εξ 4171)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

και οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩|darr nm⟩

Ακόμα αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενους counter-rotatingterms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam)

τότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66] (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm)

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

162

Ας θυμηθούμε τώρα τους πίνακες Pauli σx σy σz και ας δούμε τη σχέση τους μετους τελεστές αναβιβάσεως και καταβιβάσεως ηλεκτρονίων S+ και Sminus αντιστοίχως

σx =

0 1

1 0

(4133)

σy =

0 minusi

i 0

(4134)

σz =

1 0

0 minus1

(4135)

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι ισχύει η ιδιότητα

[σx σy] = 2iσz (4136)

καθώς και οι κυκλικές εναλλαγές της Επίσης

σ2x = σ2

y = σ2z =

1 0

0 1

= I (4137)

και

σx σy = σxσy + σyσx = 0 (4138)

σy σz = σyσz + σzσy = 0

σz σx = σzσx + σxσz = 0

δηλαδή οι πίνακες Pauli αντιμετατίθονται Επί παραδείγματι

σx σy = σxσy + σyσx =0 1

1 0

0 minusi

i 0

+

0 minusi

i 0

0 1

1 0

=

i 0

0 minusi

+

minusi 0

0 i

=

0 0

0 0

= 0

Ακόμα μπορούμε να αποδείξουμε ότι

S+ + Sminus = σx

S+ minus Sminus = iσy

163

46 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων καισχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων

461 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων πχ ϕωτονίων

Ας ονομαστεί am ο τελεστής καταστροϕής μποζονίων και adaggerm ο τελεστήςδημιουργίας μποζονίων στην κατάσταση m Για τα μποζόνια ισχύουν οι σχέσειςμεταθέσεως (commutation relations)

[am aℓ] = 0

[adaggerm adaggerℓ] = 0

(4139)

[AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4140)

οπότε όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οι ποσότητεςμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας

462 Σχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων πχ ηλε-κτρονίων

Ας ονομαστεί ai ο τελεστής καταστροϕής ϕερμιονίων και adaggeri ο τελεστής δη-μιουργίας ϕερμιονίων στην κατάσταση i Για τα ϕερμιόνια ισχύουν οι σχέσεις αντι-μεταθέσεως (anticommutation relations)

ai adaggerj = δij

ai aj = 0

adaggeri adaggerj = 0

(4141)

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4142)

οπότε όταν AB = 0rArr AB+BA = 0rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας Αν εϕαρμόσουμετη σχέση adaggeri a

daggerj = 0 για την ίδια κατάσταση πχ i = j = r έχουμε adaggerr adaggerr =

0 rArr adaggerradaggerr = 0 που σημαίνει ότι

δεν μπορούμε να βάλουμε δύο ϕερμιόνια στην ίδια

κατάσταση πράγμα που είναι η απαγορευτική αρχή Pauli

164

47 Τελεστές κλίμακας (Ladder operators) [63]

Στη γραμμική άλγεβρα καθώς και στις εϕαρμογές της στην κβαντική μηχανική ορί-ζεται ο τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ο οποίος αυξάνει την ιδιοτιμή ενόςάλλου τελεστή και ο τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) ο οποίος μειώνειτην ιδιοτιμή ενός άλλου τελεστή Αυτοί συλλογικά ονομάζονται τελεστές κλίμα-κας (ladder operators) Στην κβαντομηχανική ο τελεστής αναβιβάσεως καλείταισυχνά τελεστής δημιουργίας (creation operator) και ο τελεστής καταβιβάσεως κα-λείται συχνά τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Γνωστές εϕαρμογέςτων τελεστών κλίμακας είναι στον απλό αρμονικό ταλαντωτή και στη στροϕορμήΣε πολλές περιοχές της ϕυσικής και της χημείας η χρήση αυτών των τελεστών αντίκυματοσυναρτήσεων είναι γνωστή ως δεύτερη κβάντωση (second quantization) [64]

165

48 Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεωςδισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου

΄Εστω δύο αντίθετα ηλεκτρικά ϕορτία q gt 0 και minusq lt 0 στα σημεία Θ και Α

αντιστοίχως Αν d =minusrarrΑΘ είναι το διάνυσμα θέσεως του θετικού ϕορτίου ως προς το

αρνητικό τότε η ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) ορίζεταιως

P = qd (4143)

πχ για το άτομο του υδρογόνου αν το Π παριστάνει τον πυρήνα και το Η παριστάνει

το ηλεκτρόνιο και ως συνήθως ορίσουμε r =minusrarrΠΗ τότε P = qd = e(minusr)rArr

P = minuser (4144)

Αυτό αποδίδεται άνω τμήμα του Σχήματος 46 Η δυναμική ενέργεια (potential

Σχήμα 46 ΄Ανω Ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) Κάτω (Ηλεκτρική) διπολικήροπή μεταβάσεως (transition (electric) dipole moment)

energy) UE του ηλεκτρικού διπόλου εντός ηλεκτρικού πεδίου E είναι

UE = minusP middot E (4145)

166

Ανάλογος με τον παραπάνω ορισμό μπορεί να δοθεί και για την περίπτωση της με-ταβάσεως ενός τμήματος του ηλεκτρονιακού νέϕους από μία αρχική σε μια τελική πε-ριοχή ΄Ετσι ορίζεται η (ηλεκτρική) διπολική ροπή μεταβάσεως [transition(electric) dipole moment] 1 Αυτό αποδίδεται στο κάτω τμήμα το Σχήματος 46Αν το ϕορτίο που μεταϕέρεται είναι minuse πάλι p = qd = e(minusr)rArr p = minuser Δηλαδήεννοείται ότι για την περιοχή 2 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμεί με μετά-βαση ϕορτίου minuse ενώ για την περιοχή 1 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμείμε μετάβαση ϕορτίου +eΟ τελεστής (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως [transition

(electric) dipole moment operator] σημειώνεται εναλλακτικά με ˆd ή ˆp Στη βάση τωνιδιοκαταστάσεων της ενέργειας του αδιατάρακτου ατόμου ή συστήματος ορίζεται ως

ˆd = ˆp =

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | (4146)

με τους επίσης εναλλακτικούς συμβολισμούς

dij = pij = minuse⟨Φi | ˆr | Φj⟩ (4147)

για το στοιχείο πίνακα της (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως μεταξύ των κα-ταστάσεων | Φi⟩ και | Φj⟩ Υπενθυμίζεται ότι ο τελεστής θέσεως (position operator)ˆr είναι τέτοιος ώστε

ˆr | r⟩ = r | r⟩ (4148)

Υπενθυμίζεται για τον συμβολισμό Dirac ότι

| A⟩ =

α1

α2

hArr ⟨A |= (αlowast1 αlowast

2) (4149)

Υπενθυμίζεται ακόμα ότι

⟨Φi | ˆr | Φj⟩ =sum

|rprime⟩|rprimeprime⟩

⟨Φi | rprime⟩⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩⟨rprimeprime | Φj⟩ =sum|rprime⟩

⟨Φi | rprime⟩ rprime ⟨rprime | Φj⟩

=sum|r⟩

⟨Φi | r⟩ r ⟨r | Φj⟩ =intdV Φi(r)

lowastrΦj(r)

1Η λέξη ῾῾ ηλεκτρική ᾿᾿ είναι εντός παρενθέσεως επειδή συνήθως επειδή εννοείται παραλείπεται

167

διότι⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩ = rprimeprime⟨rprime|rprimeprime⟩ = rprimeprimeδrprimerprimeprime (4150)

΄Αρα

d11 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ1(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4151)

d12 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ2(r) = 0 (4152)

d21 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ1(r) = 0 (4153)

d22 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ2(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4154)

Δηλαδή ενώ τα διαγώνια στοιχεία μηδενίζονται τα d12 και d21 δεν είναι (῾῾ εκ ταυτό-τητος ᾿᾿) μηδέν Ας δούμε τώρα ποιος είναι ο ˆp σε δισταθμικό σύστημα

ˆp = d11 | Φ1⟩⟨Φ1 | + d12 | Φ1⟩⟨Φ2 | + d21 | Φ2⟩⟨Φ1 | + d22 | Φ2⟩⟨Φ2 |

= d11

0

1

(0 1)+ d12

0

1

(1 0)+ d21

1

0

(0 1)+ d22

1

0

(1 0)

= 0 ⋆

d11︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

0 0

0 1

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

+ d12︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 0

1 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ d21︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 1

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ 0 ⋆

d22︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

1 0

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

Από τις Εξ (4152)-(4153) συμπεραίνουμε ότι d12 = d21 με την προϋπόθεση ότι οιΦi(r) είναι πραγματικές οπότε

ˆp = d12

0 1

1 0

(4155)

168

Ερώτηση Και τι κάνει ο τελεστής

0 1

1 0

Απάντηση0 1

1 0

0

1

=

1

0

0 1

1 0

1

0

=

0

1

Δηλαδή μεταϕέρει από τη μία ενεργειακή στάθμη στην άλλη όπως θα έπρεπε

Τώρα μπορεί να οριστεί ο τελεστής δυναμικής ενέργειας (potential e-nergy operator) Θεωρούμε ότι η αλληλεπίδραση δισταθμικού συστήματος - ΗΜπεδίου έχει τη μορϕή μηχανισμού ηλεκτρικού διπόλου Αγνοούμε άλλης μορϕής αλ-ληλεπιδράσεις όπως πχ ηλεκτρικού τετραπόλου ή μαγνητικού διπόλου Αϕού

UE = minusP middot E rArr

UmE = minusP middot Em (4156)

όπου ο δείκτης m δηλώνει τον m τρόπο του ΗΜ πεδίου ο αντίστοιχος τελεστήςμπορεί να οριστεί ως

UmE = minus ˆp middot ˆEm (4157)

Επομένως

UmE = minus

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | middotEmx (z t)i

i είναι το μοναδιαίο άνυσμα του άξονα x αϕού έχουμε υποθέσει αυτόν τον προσανα-τολισμό για το ηλεκτρικό πεδίο (δείτε Σχήμα 42) ΄Η λόγω της Εξ 4155

UmE = minusd12

0 1

1 0

middot Emx (z t)i (4158)

Αλλά

d12 middot i = minuseintdV Φ1(r)

lowast(r middot i)Φ2(r) = minusex12 = Px12 = P (4159)

169

Συνεπώς

UmE = ex12

0 1

1 0

Emx (z t) (4160)

Υπενθυμίζονται οι Εξ 4110 και 4111

Emx (z t) =

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4161)

Bmy (z t) =

(~ωmε0V

) 12 1

ccos(mπz

L

)i(adaggerm minus am) (4162)

από τις οποίες όμως στα πλαίσια των υποθέσεών μας χρειαζόμαστε τώρα μόνον τηνπρώτη Επίσης υπενθυμίζεται ότι

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

(4163)

΄Αρα εν τέλει

UmE = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4164)

Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε

~gm = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(4165)

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4166)

Αυτή είναι λοιπόν η Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συ-στήματος - ΗΜ πεδίου για τον ΗΜ τρόπο m Εάν βρισκόμαστε σταπλαίσια της ατομικής ϕυσικής τότε συμβολίζεται και Hm

AF όπου οι δείκτες σημαίνουνAtom-FieldΑπό την Εξ 4165 προκύπτει

~|gm| = |P |∣∣∣∣ (~ωm

ε0V

) 12

sin(mπz

L

) ∣∣∣∣ = |P| Em0 (4167)

170

όπου όμως το ῾῾ πλάτος ᾿᾿ Em0 εξαρτάται από τη θέση z του ατόμου στην κοιλότητα

είναι δηλαδή Em0 = Em

0 (z) Η |gm| (ή οποία συμβολίζεται και με ΩmR ) είναι η λεγόμενη

συχνότητα Rabi Εάν εννοείται σε ποιον ΗΜ τρόπο m αναϕερόμαστε μπορούμε ναχρησιμοποιήσουμε σκέτο το |g| ή το ΩR ΄Αρα

|gm| ή ΩmR =

|P|Em0

~(4168)

Για να μη γράϕουμε απόλυτα μπορούμε σε κάθε θέση να διαλέγουμε τη ϕάση τωνκυματοσυναρτήσεων τέτοια ώστε το g να είναι θετικό και πραγματικό [65] Συνοπτικά

gm ή ΩmR =

|P|Em0

~(4169)

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Τώρα συμπληρώνεται η εικόνα με την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπί-δραση ενός ΗΜ τρόπου m με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4170)

΄Αρα η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4171)

Επομένως οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩ (4172)

|darr nm⟩ (4173)

171

Ας δούμε λίγο προσεκτικότερα τη Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικούσυστήματος - ΗΜ πεδίου (Εξ 4166) Για έναν μοναδικό τρόπο m η Χαμιλτονιανήαυτή αναλυεται σε τέσσερις όρους

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) =

= ~gmS+adaggerm︸ ︷︷ ︸

1ος

+ S+am︸ ︷︷ ︸2ος

+ Sminusadaggerm︸ ︷︷ ︸

3ος

+ Sminusam︸ ︷︷ ︸4ος

bull 1ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E gt 0 Επόμένως αυτός ο όρος μόνος τουδεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

bull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻︸ ︷︷ ︸

μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολ-λοί τρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτο-νιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται απόάθροισμα όρων όπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημανα απορροϕήσει ένα ϕωτόνιο υψηλής συχνότητας και να ανεβεί ενώ παράλληλαδημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο χαμηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi www≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

simsim≻ ff lt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 2ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο Αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

172

bull 3ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιοΚαι αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικάbull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 4ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο ΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E lt 0 Επόμένως και αυτός ο όροςμόνος του δεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολλοίτρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτονιανή αλλη-λεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται από άθροισμα όρωνόπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημα να απορροϕήσει έναϕωτόνιο χαμηλής συχνότητας και να κατεβεί ενώ παράλληλα δημιουργείται εκπέμ-πεται ϕωτόνιο υψηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

www≻ ff gt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

Αν αγνοήσουμε τον 1ο και 4ο όρο που ο καθένας μόνος του δεν διατηρεί τηνενέργεια τότε

UmE = ~gm

(S+am + Sminusa

daggerm

) (4174)

Η προσέγγιση είναι κατά κάποιο τρόπο ανάλογη της RWA (Rotating Wave Approxi-mation) του Κεϕαλαίου 3 Εκεί στις εξισώσεις Rabi κρατήσαμε μόνο τους αργούςόρους όπου ΗΜ πεδίο και το δισταθμικό σύστημα βρίσκονται σε περίπου συντονισμό

173

δηλαδή Ω ≃ ω Τότε κρατήσαμε τους αργούς όρους eplusmni(Ωminusω)t και αγνοήσαμε τουςγρήγορους όρους eplusmni(Ω+ω)tΣυνοπτικά ενώ για την ολική Χαμιλτονιανή ενός τρόπου m έχουμε την λεγόμενη

Χαμιλτονιανή Rabi

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4175)

κατά την παραπάνω συζήτηση αγνοούμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενουςcounter-rotating terms

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4176)

οπότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66]

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4177)

Στην ΄Ασκηση 1 (παραλείποντας τον δείκτη του ΗΜ τρόπου m απλότητα) βρί-σκουμε (Α) τι κάνουν οι όροι adaggera aadagger S+Sminus SminusS+ S+a

dagger S+a Sminusadagger Sminusa στις κα-

ταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩ και (Β) υπολογίζουμε τα ⟨adaggera⟩ ⟨aadagger⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨SminusS+⟩⟨S+a

dagger⟩ ⟨S+a⟩ ⟨Sminusadagger⟩ ⟨Sminusa⟩ για τις καταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩

174

49 Σύνοψη Χαμιλτονιανών

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Ακόμα είδαμε την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπίδραση ενός ΗΜ τρόπουm με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

Οπότε η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί (Εξ 4171)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

και οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩|darr nm⟩

Ακόμα αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενους counter-rotatingterms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam)

τότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66] (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm)

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

163

46 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων καισχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων

461 Σχέσεις μεταθέσεως μποζονίων πχ ϕωτονίων

Ας ονομαστεί am ο τελεστής καταστροϕής μποζονίων και adaggerm ο τελεστήςδημιουργίας μποζονίων στην κατάσταση m Για τα μποζόνια ισχύουν οι σχέσειςμεταθέσεως (commutation relations)

[am aℓ] = 0

[adaggerm adaggerℓ] = 0

(4139)

[AB] ή [AB]minus είναι ο μεταθέτης (commutator) που ορίζεται ως

[AB] = AB minusBA (4140)

οπότε όταν [AB] = 0 rArr AB minus BA = 0 rArr AB = BA δηλαδή οι ποσότητεςμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας

462 Σχέσεις αντιμεταθέσεως ϕερμιονίων πχ ηλε-κτρονίων

Ας ονομαστεί ai ο τελεστής καταστροϕής ϕερμιονίων και adaggeri ο τελεστής δη-μιουργίας ϕερμιονίων στην κατάσταση i Για τα ϕερμιόνια ισχύουν οι σχέσεις αντι-μεταθέσεως (anticommutation relations)

ai adaggerj = δij

ai aj = 0

adaggeri adaggerj = 0

(4141)

AB ή [AB]+ είναι η αγκύλη Poisson ή αντιμεταθέτης (anticommutator) πουορίζεται ως

AB = AB +BA (4142)

οπότε όταν AB = 0rArr AB+BA = 0rArr AB = minusBA δηλαδή οι ποσότητες A Bαντιμετατίθονται πράγμα που δείχνει την προέλευση της ονομασίας Αν εϕαρμόσουμετη σχέση adaggeri a

daggerj = 0 για την ίδια κατάσταση πχ i = j = r έχουμε adaggerr adaggerr =

0 rArr adaggerradaggerr = 0 που σημαίνει ότι

δεν μπορούμε να βάλουμε δύο ϕερμιόνια στην ίδια

κατάσταση πράγμα που είναι η απαγορευτική αρχή Pauli

164

47 Τελεστές κλίμακας (Ladder operators) [63]

Στη γραμμική άλγεβρα καθώς και στις εϕαρμογές της στην κβαντική μηχανική ορί-ζεται ο τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ο οποίος αυξάνει την ιδιοτιμή ενόςάλλου τελεστή και ο τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) ο οποίος μειώνειτην ιδιοτιμή ενός άλλου τελεστή Αυτοί συλλογικά ονομάζονται τελεστές κλίμα-κας (ladder operators) Στην κβαντομηχανική ο τελεστής αναβιβάσεως καλείταισυχνά τελεστής δημιουργίας (creation operator) και ο τελεστής καταβιβάσεως κα-λείται συχνά τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Γνωστές εϕαρμογέςτων τελεστών κλίμακας είναι στον απλό αρμονικό ταλαντωτή και στη στροϕορμήΣε πολλές περιοχές της ϕυσικής και της χημείας η χρήση αυτών των τελεστών αντίκυματοσυναρτήσεων είναι γνωστή ως δεύτερη κβάντωση (second quantization) [64]

165

48 Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεωςδισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου

΄Εστω δύο αντίθετα ηλεκτρικά ϕορτία q gt 0 και minusq lt 0 στα σημεία Θ και Α

αντιστοίχως Αν d =minusrarrΑΘ είναι το διάνυσμα θέσεως του θετικού ϕορτίου ως προς το

αρνητικό τότε η ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) ορίζεταιως

P = qd (4143)

πχ για το άτομο του υδρογόνου αν το Π παριστάνει τον πυρήνα και το Η παριστάνει

το ηλεκτρόνιο και ως συνήθως ορίσουμε r =minusrarrΠΗ τότε P = qd = e(minusr)rArr

P = minuser (4144)

Αυτό αποδίδεται άνω τμήμα του Σχήματος 46 Η δυναμική ενέργεια (potential

Σχήμα 46 ΄Ανω Ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) Κάτω (Ηλεκτρική) διπολικήροπή μεταβάσεως (transition (electric) dipole moment)

energy) UE του ηλεκτρικού διπόλου εντός ηλεκτρικού πεδίου E είναι

UE = minusP middot E (4145)

166

Ανάλογος με τον παραπάνω ορισμό μπορεί να δοθεί και για την περίπτωση της με-ταβάσεως ενός τμήματος του ηλεκτρονιακού νέϕους από μία αρχική σε μια τελική πε-ριοχή ΄Ετσι ορίζεται η (ηλεκτρική) διπολική ροπή μεταβάσεως [transition(electric) dipole moment] 1 Αυτό αποδίδεται στο κάτω τμήμα το Σχήματος 46Αν το ϕορτίο που μεταϕέρεται είναι minuse πάλι p = qd = e(minusr)rArr p = minuser Δηλαδήεννοείται ότι για την περιοχή 2 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμεί με μετά-βαση ϕορτίου minuse ενώ για την περιοχή 1 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμείμε μετάβαση ϕορτίου +eΟ τελεστής (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως [transition

(electric) dipole moment operator] σημειώνεται εναλλακτικά με ˆd ή ˆp Στη βάση τωνιδιοκαταστάσεων της ενέργειας του αδιατάρακτου ατόμου ή συστήματος ορίζεται ως

ˆd = ˆp =

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | (4146)

με τους επίσης εναλλακτικούς συμβολισμούς

dij = pij = minuse⟨Φi | ˆr | Φj⟩ (4147)

για το στοιχείο πίνακα της (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως μεταξύ των κα-ταστάσεων | Φi⟩ και | Φj⟩ Υπενθυμίζεται ότι ο τελεστής θέσεως (position operator)ˆr είναι τέτοιος ώστε

ˆr | r⟩ = r | r⟩ (4148)

Υπενθυμίζεται για τον συμβολισμό Dirac ότι

| A⟩ =

α1

α2

hArr ⟨A |= (αlowast1 αlowast

2) (4149)

Υπενθυμίζεται ακόμα ότι

⟨Φi | ˆr | Φj⟩ =sum

|rprime⟩|rprimeprime⟩

⟨Φi | rprime⟩⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩⟨rprimeprime | Φj⟩ =sum|rprime⟩

⟨Φi | rprime⟩ rprime ⟨rprime | Φj⟩

=sum|r⟩

⟨Φi | r⟩ r ⟨r | Φj⟩ =intdV Φi(r)

lowastrΦj(r)

1Η λέξη ῾῾ ηλεκτρική ᾿᾿ είναι εντός παρενθέσεως επειδή συνήθως επειδή εννοείται παραλείπεται

167

διότι⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩ = rprimeprime⟨rprime|rprimeprime⟩ = rprimeprimeδrprimerprimeprime (4150)

΄Αρα

d11 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ1(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4151)

d12 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ2(r) = 0 (4152)

d21 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ1(r) = 0 (4153)

d22 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ2(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4154)

Δηλαδή ενώ τα διαγώνια στοιχεία μηδενίζονται τα d12 και d21 δεν είναι (῾῾ εκ ταυτό-τητος ᾿᾿) μηδέν Ας δούμε τώρα ποιος είναι ο ˆp σε δισταθμικό σύστημα

ˆp = d11 | Φ1⟩⟨Φ1 | + d12 | Φ1⟩⟨Φ2 | + d21 | Φ2⟩⟨Φ1 | + d22 | Φ2⟩⟨Φ2 |

= d11

0

1

(0 1)+ d12

0

1

(1 0)+ d21

1

0

(0 1)+ d22

1

0

(1 0)

= 0 ⋆

d11︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

0 0

0 1

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

+ d12︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 0

1 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ d21︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 1

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ 0 ⋆

d22︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

1 0

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

Από τις Εξ (4152)-(4153) συμπεραίνουμε ότι d12 = d21 με την προϋπόθεση ότι οιΦi(r) είναι πραγματικές οπότε

ˆp = d12

0 1

1 0

(4155)

168

Ερώτηση Και τι κάνει ο τελεστής

0 1

1 0

Απάντηση0 1

1 0

0

1

=

1

0

0 1

1 0

1

0

=

0

1

Δηλαδή μεταϕέρει από τη μία ενεργειακή στάθμη στην άλλη όπως θα έπρεπε

Τώρα μπορεί να οριστεί ο τελεστής δυναμικής ενέργειας (potential e-nergy operator) Θεωρούμε ότι η αλληλεπίδραση δισταθμικού συστήματος - ΗΜπεδίου έχει τη μορϕή μηχανισμού ηλεκτρικού διπόλου Αγνοούμε άλλης μορϕής αλ-ληλεπιδράσεις όπως πχ ηλεκτρικού τετραπόλου ή μαγνητικού διπόλου Αϕού

UE = minusP middot E rArr

UmE = minusP middot Em (4156)

όπου ο δείκτης m δηλώνει τον m τρόπο του ΗΜ πεδίου ο αντίστοιχος τελεστήςμπορεί να οριστεί ως

UmE = minus ˆp middot ˆEm (4157)

Επομένως

UmE = minus

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | middotEmx (z t)i

i είναι το μοναδιαίο άνυσμα του άξονα x αϕού έχουμε υποθέσει αυτόν τον προσανα-τολισμό για το ηλεκτρικό πεδίο (δείτε Σχήμα 42) ΄Η λόγω της Εξ 4155

UmE = minusd12

0 1

1 0

middot Emx (z t)i (4158)

Αλλά

d12 middot i = minuseintdV Φ1(r)

lowast(r middot i)Φ2(r) = minusex12 = Px12 = P (4159)

169

Συνεπώς

UmE = ex12

0 1

1 0

Emx (z t) (4160)

Υπενθυμίζονται οι Εξ 4110 και 4111

Emx (z t) =

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4161)

Bmy (z t) =

(~ωmε0V

) 12 1

ccos(mπz

L

)i(adaggerm minus am) (4162)

από τις οποίες όμως στα πλαίσια των υποθέσεών μας χρειαζόμαστε τώρα μόνον τηνπρώτη Επίσης υπενθυμίζεται ότι

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

(4163)

΄Αρα εν τέλει

UmE = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4164)

Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε

~gm = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(4165)

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4166)

Αυτή είναι λοιπόν η Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συ-στήματος - ΗΜ πεδίου για τον ΗΜ τρόπο m Εάν βρισκόμαστε σταπλαίσια της ατομικής ϕυσικής τότε συμβολίζεται και Hm

AF όπου οι δείκτες σημαίνουνAtom-FieldΑπό την Εξ 4165 προκύπτει

~|gm| = |P |∣∣∣∣ (~ωm

ε0V

) 12

sin(mπz

L

) ∣∣∣∣ = |P| Em0 (4167)

170

όπου όμως το ῾῾ πλάτος ᾿᾿ Em0 εξαρτάται από τη θέση z του ατόμου στην κοιλότητα

είναι δηλαδή Em0 = Em

0 (z) Η |gm| (ή οποία συμβολίζεται και με ΩmR ) είναι η λεγόμενη

συχνότητα Rabi Εάν εννοείται σε ποιον ΗΜ τρόπο m αναϕερόμαστε μπορούμε ναχρησιμοποιήσουμε σκέτο το |g| ή το ΩR ΄Αρα

|gm| ή ΩmR =

|P|Em0

~(4168)

Για να μη γράϕουμε απόλυτα μπορούμε σε κάθε θέση να διαλέγουμε τη ϕάση τωνκυματοσυναρτήσεων τέτοια ώστε το g να είναι θετικό και πραγματικό [65] Συνοπτικά

gm ή ΩmR =

|P|Em0

~(4169)

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Τώρα συμπληρώνεται η εικόνα με την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπί-δραση ενός ΗΜ τρόπου m με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4170)

΄Αρα η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4171)

Επομένως οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩ (4172)

|darr nm⟩ (4173)

171

Ας δούμε λίγο προσεκτικότερα τη Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικούσυστήματος - ΗΜ πεδίου (Εξ 4166) Για έναν μοναδικό τρόπο m η Χαμιλτονιανήαυτή αναλυεται σε τέσσερις όρους

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) =

= ~gmS+adaggerm︸ ︷︷ ︸

1ος

+ S+am︸ ︷︷ ︸2ος

+ Sminusadaggerm︸ ︷︷ ︸

3ος

+ Sminusam︸ ︷︷ ︸4ος

bull 1ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E gt 0 Επόμένως αυτός ο όρος μόνος τουδεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

bull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻︸ ︷︷ ︸

μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολ-λοί τρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτο-νιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται απόάθροισμα όρων όπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημανα απορροϕήσει ένα ϕωτόνιο υψηλής συχνότητας και να ανεβεί ενώ παράλληλαδημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο χαμηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi www≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

simsim≻ ff lt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 2ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο Αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

172

bull 3ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιοΚαι αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικάbull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 4ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο ΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E lt 0 Επόμένως και αυτός ο όροςμόνος του δεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολλοίτρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτονιανή αλλη-λεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται από άθροισμα όρωνόπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημα να απορροϕήσει έναϕωτόνιο χαμηλής συχνότητας και να κατεβεί ενώ παράλληλα δημιουργείται εκπέμ-πεται ϕωτόνιο υψηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

www≻ ff gt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

Αν αγνοήσουμε τον 1ο και 4ο όρο που ο καθένας μόνος του δεν διατηρεί τηνενέργεια τότε

UmE = ~gm

(S+am + Sminusa

daggerm

) (4174)

Η προσέγγιση είναι κατά κάποιο τρόπο ανάλογη της RWA (Rotating Wave Approxi-mation) του Κεϕαλαίου 3 Εκεί στις εξισώσεις Rabi κρατήσαμε μόνο τους αργούςόρους όπου ΗΜ πεδίο και το δισταθμικό σύστημα βρίσκονται σε περίπου συντονισμό

173

δηλαδή Ω ≃ ω Τότε κρατήσαμε τους αργούς όρους eplusmni(Ωminusω)t και αγνοήσαμε τουςγρήγορους όρους eplusmni(Ω+ω)tΣυνοπτικά ενώ για την ολική Χαμιλτονιανή ενός τρόπου m έχουμε την λεγόμενη

Χαμιλτονιανή Rabi

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4175)

κατά την παραπάνω συζήτηση αγνοούμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενουςcounter-rotating terms

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4176)

οπότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66]

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4177)

Στην ΄Ασκηση 1 (παραλείποντας τον δείκτη του ΗΜ τρόπου m απλότητα) βρί-σκουμε (Α) τι κάνουν οι όροι adaggera aadagger S+Sminus SminusS+ S+a

dagger S+a Sminusadagger Sminusa στις κα-

ταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩ και (Β) υπολογίζουμε τα ⟨adaggera⟩ ⟨aadagger⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨SminusS+⟩⟨S+a

dagger⟩ ⟨S+a⟩ ⟨Sminusadagger⟩ ⟨Sminusa⟩ για τις καταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩

174

49 Σύνοψη Χαμιλτονιανών

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Ακόμα είδαμε την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπίδραση ενός ΗΜ τρόπουm με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

Οπότε η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί (Εξ 4171)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

και οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩|darr nm⟩

Ακόμα αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενους counter-rotatingterms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam)

τότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66] (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm)

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

164

47 Τελεστές κλίμακας (Ladder operators) [63]

Στη γραμμική άλγεβρα καθώς και στις εϕαρμογές της στην κβαντική μηχανική ορί-ζεται ο τελεστής αναβιβάσεως (raising operator) ο οποίος αυξάνει την ιδιοτιμή ενόςάλλου τελεστή και ο τελεστής καταβιβάσεως (lowering operator) ο οποίος μειώνειτην ιδιοτιμή ενός άλλου τελεστή Αυτοί συλλογικά ονομάζονται τελεστές κλίμα-κας (ladder operators) Στην κβαντομηχανική ο τελεστής αναβιβάσεως καλείταισυχνά τελεστής δημιουργίας (creation operator) και ο τελεστής καταβιβάσεως κα-λείται συχνά τελεστής καταστροϕής (annihilation operator) Γνωστές εϕαρμογέςτων τελεστών κλίμακας είναι στον απλό αρμονικό ταλαντωτή και στη στροϕορμήΣε πολλές περιοχές της ϕυσικής και της χημείας η χρήση αυτών των τελεστών αντίκυματοσυναρτήσεων είναι γνωστή ως δεύτερη κβάντωση (second quantization) [64]

165

48 Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεωςδισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου

΄Εστω δύο αντίθετα ηλεκτρικά ϕορτία q gt 0 και minusq lt 0 στα σημεία Θ και Α

αντιστοίχως Αν d =minusrarrΑΘ είναι το διάνυσμα θέσεως του θετικού ϕορτίου ως προς το

αρνητικό τότε η ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) ορίζεταιως

P = qd (4143)

πχ για το άτομο του υδρογόνου αν το Π παριστάνει τον πυρήνα και το Η παριστάνει

το ηλεκτρόνιο και ως συνήθως ορίσουμε r =minusrarrΠΗ τότε P = qd = e(minusr)rArr

P = minuser (4144)

Αυτό αποδίδεται άνω τμήμα του Σχήματος 46 Η δυναμική ενέργεια (potential

Σχήμα 46 ΄Ανω Ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) Κάτω (Ηλεκτρική) διπολικήροπή μεταβάσεως (transition (electric) dipole moment)

energy) UE του ηλεκτρικού διπόλου εντός ηλεκτρικού πεδίου E είναι

UE = minusP middot E (4145)

166

Ανάλογος με τον παραπάνω ορισμό μπορεί να δοθεί και για την περίπτωση της με-ταβάσεως ενός τμήματος του ηλεκτρονιακού νέϕους από μία αρχική σε μια τελική πε-ριοχή ΄Ετσι ορίζεται η (ηλεκτρική) διπολική ροπή μεταβάσεως [transition(electric) dipole moment] 1 Αυτό αποδίδεται στο κάτω τμήμα το Σχήματος 46Αν το ϕορτίο που μεταϕέρεται είναι minuse πάλι p = qd = e(minusr)rArr p = minuser Δηλαδήεννοείται ότι για την περιοχή 2 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμεί με μετά-βαση ϕορτίου minuse ενώ για την περιοχή 1 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμείμε μετάβαση ϕορτίου +eΟ τελεστής (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως [transition

(electric) dipole moment operator] σημειώνεται εναλλακτικά με ˆd ή ˆp Στη βάση τωνιδιοκαταστάσεων της ενέργειας του αδιατάρακτου ατόμου ή συστήματος ορίζεται ως

ˆd = ˆp =

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | (4146)

με τους επίσης εναλλακτικούς συμβολισμούς

dij = pij = minuse⟨Φi | ˆr | Φj⟩ (4147)

για το στοιχείο πίνακα της (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως μεταξύ των κα-ταστάσεων | Φi⟩ και | Φj⟩ Υπενθυμίζεται ότι ο τελεστής θέσεως (position operator)ˆr είναι τέτοιος ώστε

ˆr | r⟩ = r | r⟩ (4148)

Υπενθυμίζεται για τον συμβολισμό Dirac ότι

| A⟩ =

α1

α2

hArr ⟨A |= (αlowast1 αlowast

2) (4149)

Υπενθυμίζεται ακόμα ότι

⟨Φi | ˆr | Φj⟩ =sum

|rprime⟩|rprimeprime⟩

⟨Φi | rprime⟩⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩⟨rprimeprime | Φj⟩ =sum|rprime⟩

⟨Φi | rprime⟩ rprime ⟨rprime | Φj⟩

=sum|r⟩

⟨Φi | r⟩ r ⟨r | Φj⟩ =intdV Φi(r)

lowastrΦj(r)

1Η λέξη ῾῾ ηλεκτρική ᾿᾿ είναι εντός παρενθέσεως επειδή συνήθως επειδή εννοείται παραλείπεται

167

διότι⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩ = rprimeprime⟨rprime|rprimeprime⟩ = rprimeprimeδrprimerprimeprime (4150)

΄Αρα

d11 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ1(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4151)

d12 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ2(r) = 0 (4152)

d21 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ1(r) = 0 (4153)

d22 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ2(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4154)

Δηλαδή ενώ τα διαγώνια στοιχεία μηδενίζονται τα d12 και d21 δεν είναι (῾῾ εκ ταυτό-τητος ᾿᾿) μηδέν Ας δούμε τώρα ποιος είναι ο ˆp σε δισταθμικό σύστημα

ˆp = d11 | Φ1⟩⟨Φ1 | + d12 | Φ1⟩⟨Φ2 | + d21 | Φ2⟩⟨Φ1 | + d22 | Φ2⟩⟨Φ2 |

= d11

0

1

(0 1)+ d12

0

1

(1 0)+ d21

1

0

(0 1)+ d22

1

0

(1 0)

= 0 ⋆

d11︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

0 0

0 1

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

+ d12︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 0

1 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ d21︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 1

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ 0 ⋆

d22︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

1 0

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

Από τις Εξ (4152)-(4153) συμπεραίνουμε ότι d12 = d21 με την προϋπόθεση ότι οιΦi(r) είναι πραγματικές οπότε

ˆp = d12

0 1

1 0

(4155)

168

Ερώτηση Και τι κάνει ο τελεστής

0 1

1 0

Απάντηση0 1

1 0

0

1

=

1

0

0 1

1 0

1

0

=

0

1

Δηλαδή μεταϕέρει από τη μία ενεργειακή στάθμη στην άλλη όπως θα έπρεπε

Τώρα μπορεί να οριστεί ο τελεστής δυναμικής ενέργειας (potential e-nergy operator) Θεωρούμε ότι η αλληλεπίδραση δισταθμικού συστήματος - ΗΜπεδίου έχει τη μορϕή μηχανισμού ηλεκτρικού διπόλου Αγνοούμε άλλης μορϕής αλ-ληλεπιδράσεις όπως πχ ηλεκτρικού τετραπόλου ή μαγνητικού διπόλου Αϕού

UE = minusP middot E rArr

UmE = minusP middot Em (4156)

όπου ο δείκτης m δηλώνει τον m τρόπο του ΗΜ πεδίου ο αντίστοιχος τελεστήςμπορεί να οριστεί ως

UmE = minus ˆp middot ˆEm (4157)

Επομένως

UmE = minus

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | middotEmx (z t)i

i είναι το μοναδιαίο άνυσμα του άξονα x αϕού έχουμε υποθέσει αυτόν τον προσανα-τολισμό για το ηλεκτρικό πεδίο (δείτε Σχήμα 42) ΄Η λόγω της Εξ 4155

UmE = minusd12

0 1

1 0

middot Emx (z t)i (4158)

Αλλά

d12 middot i = minuseintdV Φ1(r)

lowast(r middot i)Φ2(r) = minusex12 = Px12 = P (4159)

169

Συνεπώς

UmE = ex12

0 1

1 0

Emx (z t) (4160)

Υπενθυμίζονται οι Εξ 4110 και 4111

Emx (z t) =

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4161)

Bmy (z t) =

(~ωmε0V

) 12 1

ccos(mπz

L

)i(adaggerm minus am) (4162)

από τις οποίες όμως στα πλαίσια των υποθέσεών μας χρειαζόμαστε τώρα μόνον τηνπρώτη Επίσης υπενθυμίζεται ότι

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

(4163)

΄Αρα εν τέλει

UmE = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4164)

Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε

~gm = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(4165)

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4166)

Αυτή είναι λοιπόν η Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συ-στήματος - ΗΜ πεδίου για τον ΗΜ τρόπο m Εάν βρισκόμαστε σταπλαίσια της ατομικής ϕυσικής τότε συμβολίζεται και Hm

AF όπου οι δείκτες σημαίνουνAtom-FieldΑπό την Εξ 4165 προκύπτει

~|gm| = |P |∣∣∣∣ (~ωm

ε0V

) 12

sin(mπz

L

) ∣∣∣∣ = |P| Em0 (4167)

170

όπου όμως το ῾῾ πλάτος ᾿᾿ Em0 εξαρτάται από τη θέση z του ατόμου στην κοιλότητα

είναι δηλαδή Em0 = Em

0 (z) Η |gm| (ή οποία συμβολίζεται και με ΩmR ) είναι η λεγόμενη

συχνότητα Rabi Εάν εννοείται σε ποιον ΗΜ τρόπο m αναϕερόμαστε μπορούμε ναχρησιμοποιήσουμε σκέτο το |g| ή το ΩR ΄Αρα

|gm| ή ΩmR =

|P|Em0

~(4168)

Για να μη γράϕουμε απόλυτα μπορούμε σε κάθε θέση να διαλέγουμε τη ϕάση τωνκυματοσυναρτήσεων τέτοια ώστε το g να είναι θετικό και πραγματικό [65] Συνοπτικά

gm ή ΩmR =

|P|Em0

~(4169)

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Τώρα συμπληρώνεται η εικόνα με την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπί-δραση ενός ΗΜ τρόπου m με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4170)

΄Αρα η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4171)

Επομένως οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩ (4172)

|darr nm⟩ (4173)

171

Ας δούμε λίγο προσεκτικότερα τη Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικούσυστήματος - ΗΜ πεδίου (Εξ 4166) Για έναν μοναδικό τρόπο m η Χαμιλτονιανήαυτή αναλυεται σε τέσσερις όρους

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) =

= ~gmS+adaggerm︸ ︷︷ ︸

1ος

+ S+am︸ ︷︷ ︸2ος

+ Sminusadaggerm︸ ︷︷ ︸

3ος

+ Sminusam︸ ︷︷ ︸4ος

bull 1ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E gt 0 Επόμένως αυτός ο όρος μόνος τουδεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

bull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻︸ ︷︷ ︸

μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολ-λοί τρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτο-νιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται απόάθροισμα όρων όπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημανα απορροϕήσει ένα ϕωτόνιο υψηλής συχνότητας και να ανεβεί ενώ παράλληλαδημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο χαμηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi www≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

simsim≻ ff lt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 2ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο Αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

172

bull 3ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιοΚαι αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικάbull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 4ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο ΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E lt 0 Επόμένως και αυτός ο όροςμόνος του δεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολλοίτρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτονιανή αλλη-λεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται από άθροισμα όρωνόπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημα να απορροϕήσει έναϕωτόνιο χαμηλής συχνότητας και να κατεβεί ενώ παράλληλα δημιουργείται εκπέμ-πεται ϕωτόνιο υψηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

www≻ ff gt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

Αν αγνοήσουμε τον 1ο και 4ο όρο που ο καθένας μόνος του δεν διατηρεί τηνενέργεια τότε

UmE = ~gm

(S+am + Sminusa

daggerm

) (4174)

Η προσέγγιση είναι κατά κάποιο τρόπο ανάλογη της RWA (Rotating Wave Approxi-mation) του Κεϕαλαίου 3 Εκεί στις εξισώσεις Rabi κρατήσαμε μόνο τους αργούςόρους όπου ΗΜ πεδίο και το δισταθμικό σύστημα βρίσκονται σε περίπου συντονισμό

173

δηλαδή Ω ≃ ω Τότε κρατήσαμε τους αργούς όρους eplusmni(Ωminusω)t και αγνοήσαμε τουςγρήγορους όρους eplusmni(Ω+ω)tΣυνοπτικά ενώ για την ολική Χαμιλτονιανή ενός τρόπου m έχουμε την λεγόμενη

Χαμιλτονιανή Rabi

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4175)

κατά την παραπάνω συζήτηση αγνοούμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενουςcounter-rotating terms

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4176)

οπότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66]

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4177)

Στην ΄Ασκηση 1 (παραλείποντας τον δείκτη του ΗΜ τρόπου m απλότητα) βρί-σκουμε (Α) τι κάνουν οι όροι adaggera aadagger S+Sminus SminusS+ S+a

dagger S+a Sminusadagger Sminusa στις κα-

ταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩ και (Β) υπολογίζουμε τα ⟨adaggera⟩ ⟨aadagger⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨SminusS+⟩⟨S+a

dagger⟩ ⟨S+a⟩ ⟨Sminusadagger⟩ ⟨Sminusa⟩ για τις καταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩

174

49 Σύνοψη Χαμιλτονιανών

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Ακόμα είδαμε την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπίδραση ενός ΗΜ τρόπουm με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

Οπότε η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί (Εξ 4171)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

και οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩|darr nm⟩

Ακόμα αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενους counter-rotatingterms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam)

τότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66] (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm)

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

165

48 Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεωςδισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου

΄Εστω δύο αντίθετα ηλεκτρικά ϕορτία q gt 0 και minusq lt 0 στα σημεία Θ και Α

αντιστοίχως Αν d =minusrarrΑΘ είναι το διάνυσμα θέσεως του θετικού ϕορτίου ως προς το

αρνητικό τότε η ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) ορίζεταιως

P = qd (4143)

πχ για το άτομο του υδρογόνου αν το Π παριστάνει τον πυρήνα και το Η παριστάνει

το ηλεκτρόνιο και ως συνήθως ορίσουμε r =minusrarrΠΗ τότε P = qd = e(minusr)rArr

P = minuser (4144)

Αυτό αποδίδεται άνω τμήμα του Σχήματος 46 Η δυναμική ενέργεια (potential

Σχήμα 46 ΄Ανω Ηλεκτρική διπολική ροπή (electric dipole moment) Κάτω (Ηλεκτρική) διπολικήροπή μεταβάσεως (transition (electric) dipole moment)

energy) UE του ηλεκτρικού διπόλου εντός ηλεκτρικού πεδίου E είναι

UE = minusP middot E (4145)

166

Ανάλογος με τον παραπάνω ορισμό μπορεί να δοθεί και για την περίπτωση της με-ταβάσεως ενός τμήματος του ηλεκτρονιακού νέϕους από μία αρχική σε μια τελική πε-ριοχή ΄Ετσι ορίζεται η (ηλεκτρική) διπολική ροπή μεταβάσεως [transition(electric) dipole moment] 1 Αυτό αποδίδεται στο κάτω τμήμα το Σχήματος 46Αν το ϕορτίο που μεταϕέρεται είναι minuse πάλι p = qd = e(minusr)rArr p = minuser Δηλαδήεννοείται ότι για την περιοχή 2 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμεί με μετά-βαση ϕορτίου minuse ενώ για την περιοχή 1 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμείμε μετάβαση ϕορτίου +eΟ τελεστής (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως [transition

(electric) dipole moment operator] σημειώνεται εναλλακτικά με ˆd ή ˆp Στη βάση τωνιδιοκαταστάσεων της ενέργειας του αδιατάρακτου ατόμου ή συστήματος ορίζεται ως

ˆd = ˆp =

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | (4146)

με τους επίσης εναλλακτικούς συμβολισμούς

dij = pij = minuse⟨Φi | ˆr | Φj⟩ (4147)

για το στοιχείο πίνακα της (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως μεταξύ των κα-ταστάσεων | Φi⟩ και | Φj⟩ Υπενθυμίζεται ότι ο τελεστής θέσεως (position operator)ˆr είναι τέτοιος ώστε

ˆr | r⟩ = r | r⟩ (4148)

Υπενθυμίζεται για τον συμβολισμό Dirac ότι

| A⟩ =

α1

α2

hArr ⟨A |= (αlowast1 αlowast

2) (4149)

Υπενθυμίζεται ακόμα ότι

⟨Φi | ˆr | Φj⟩ =sum

|rprime⟩|rprimeprime⟩

⟨Φi | rprime⟩⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩⟨rprimeprime | Φj⟩ =sum|rprime⟩

⟨Φi | rprime⟩ rprime ⟨rprime | Φj⟩

=sum|r⟩

⟨Φi | r⟩ r ⟨r | Φj⟩ =intdV Φi(r)

lowastrΦj(r)

1Η λέξη ῾῾ ηλεκτρική ᾿᾿ είναι εντός παρενθέσεως επειδή συνήθως επειδή εννοείται παραλείπεται

167

διότι⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩ = rprimeprime⟨rprime|rprimeprime⟩ = rprimeprimeδrprimerprimeprime (4150)

΄Αρα

d11 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ1(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4151)

d12 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ2(r) = 0 (4152)

d21 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ1(r) = 0 (4153)

d22 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ2(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4154)

Δηλαδή ενώ τα διαγώνια στοιχεία μηδενίζονται τα d12 και d21 δεν είναι (῾῾ εκ ταυτό-τητος ᾿᾿) μηδέν Ας δούμε τώρα ποιος είναι ο ˆp σε δισταθμικό σύστημα

ˆp = d11 | Φ1⟩⟨Φ1 | + d12 | Φ1⟩⟨Φ2 | + d21 | Φ2⟩⟨Φ1 | + d22 | Φ2⟩⟨Φ2 |

= d11

0

1

(0 1)+ d12

0

1

(1 0)+ d21

1

0

(0 1)+ d22

1

0

(1 0)

= 0 ⋆

d11︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

0 0

0 1

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

+ d12︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 0

1 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ d21︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 1

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ 0 ⋆

d22︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

1 0

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

Από τις Εξ (4152)-(4153) συμπεραίνουμε ότι d12 = d21 με την προϋπόθεση ότι οιΦi(r) είναι πραγματικές οπότε

ˆp = d12

0 1

1 0

(4155)

168

Ερώτηση Και τι κάνει ο τελεστής

0 1

1 0

Απάντηση0 1

1 0

0

1

=

1

0

0 1

1 0

1

0

=

0

1

Δηλαδή μεταϕέρει από τη μία ενεργειακή στάθμη στην άλλη όπως θα έπρεπε

Τώρα μπορεί να οριστεί ο τελεστής δυναμικής ενέργειας (potential e-nergy operator) Θεωρούμε ότι η αλληλεπίδραση δισταθμικού συστήματος - ΗΜπεδίου έχει τη μορϕή μηχανισμού ηλεκτρικού διπόλου Αγνοούμε άλλης μορϕής αλ-ληλεπιδράσεις όπως πχ ηλεκτρικού τετραπόλου ή μαγνητικού διπόλου Αϕού

UE = minusP middot E rArr

UmE = minusP middot Em (4156)

όπου ο δείκτης m δηλώνει τον m τρόπο του ΗΜ πεδίου ο αντίστοιχος τελεστήςμπορεί να οριστεί ως

UmE = minus ˆp middot ˆEm (4157)

Επομένως

UmE = minus

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | middotEmx (z t)i

i είναι το μοναδιαίο άνυσμα του άξονα x αϕού έχουμε υποθέσει αυτόν τον προσανα-τολισμό για το ηλεκτρικό πεδίο (δείτε Σχήμα 42) ΄Η λόγω της Εξ 4155

UmE = minusd12

0 1

1 0

middot Emx (z t)i (4158)

Αλλά

d12 middot i = minuseintdV Φ1(r)

lowast(r middot i)Φ2(r) = minusex12 = Px12 = P (4159)

169

Συνεπώς

UmE = ex12

0 1

1 0

Emx (z t) (4160)

Υπενθυμίζονται οι Εξ 4110 και 4111

Emx (z t) =

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4161)

Bmy (z t) =

(~ωmε0V

) 12 1

ccos(mπz

L

)i(adaggerm minus am) (4162)

από τις οποίες όμως στα πλαίσια των υποθέσεών μας χρειαζόμαστε τώρα μόνον τηνπρώτη Επίσης υπενθυμίζεται ότι

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

(4163)

΄Αρα εν τέλει

UmE = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4164)

Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε

~gm = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(4165)

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4166)

Αυτή είναι λοιπόν η Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συ-στήματος - ΗΜ πεδίου για τον ΗΜ τρόπο m Εάν βρισκόμαστε σταπλαίσια της ατομικής ϕυσικής τότε συμβολίζεται και Hm

AF όπου οι δείκτες σημαίνουνAtom-FieldΑπό την Εξ 4165 προκύπτει

~|gm| = |P |∣∣∣∣ (~ωm

ε0V

) 12

sin(mπz

L

) ∣∣∣∣ = |P| Em0 (4167)

170

όπου όμως το ῾῾ πλάτος ᾿᾿ Em0 εξαρτάται από τη θέση z του ατόμου στην κοιλότητα

είναι δηλαδή Em0 = Em

0 (z) Η |gm| (ή οποία συμβολίζεται και με ΩmR ) είναι η λεγόμενη

συχνότητα Rabi Εάν εννοείται σε ποιον ΗΜ τρόπο m αναϕερόμαστε μπορούμε ναχρησιμοποιήσουμε σκέτο το |g| ή το ΩR ΄Αρα

|gm| ή ΩmR =

|P|Em0

~(4168)

Για να μη γράϕουμε απόλυτα μπορούμε σε κάθε θέση να διαλέγουμε τη ϕάση τωνκυματοσυναρτήσεων τέτοια ώστε το g να είναι θετικό και πραγματικό [65] Συνοπτικά

gm ή ΩmR =

|P|Em0

~(4169)

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Τώρα συμπληρώνεται η εικόνα με την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπί-δραση ενός ΗΜ τρόπου m με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4170)

΄Αρα η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4171)

Επομένως οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩ (4172)

|darr nm⟩ (4173)

171

Ας δούμε λίγο προσεκτικότερα τη Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικούσυστήματος - ΗΜ πεδίου (Εξ 4166) Για έναν μοναδικό τρόπο m η Χαμιλτονιανήαυτή αναλυεται σε τέσσερις όρους

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) =

= ~gmS+adaggerm︸ ︷︷ ︸

1ος

+ S+am︸ ︷︷ ︸2ος

+ Sminusadaggerm︸ ︷︷ ︸

3ος

+ Sminusam︸ ︷︷ ︸4ος

bull 1ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E gt 0 Επόμένως αυτός ο όρος μόνος τουδεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

bull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻︸ ︷︷ ︸

μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολ-λοί τρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτο-νιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται απόάθροισμα όρων όπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημανα απορροϕήσει ένα ϕωτόνιο υψηλής συχνότητας και να ανεβεί ενώ παράλληλαδημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο χαμηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi www≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

simsim≻ ff lt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 2ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο Αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

172

bull 3ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιοΚαι αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικάbull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 4ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο ΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E lt 0 Επόμένως και αυτός ο όροςμόνος του δεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολλοίτρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτονιανή αλλη-λεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται από άθροισμα όρωνόπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημα να απορροϕήσει έναϕωτόνιο χαμηλής συχνότητας και να κατεβεί ενώ παράλληλα δημιουργείται εκπέμ-πεται ϕωτόνιο υψηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

www≻ ff gt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

Αν αγνοήσουμε τον 1ο και 4ο όρο που ο καθένας μόνος του δεν διατηρεί τηνενέργεια τότε

UmE = ~gm

(S+am + Sminusa

daggerm

) (4174)

Η προσέγγιση είναι κατά κάποιο τρόπο ανάλογη της RWA (Rotating Wave Approxi-mation) του Κεϕαλαίου 3 Εκεί στις εξισώσεις Rabi κρατήσαμε μόνο τους αργούςόρους όπου ΗΜ πεδίο και το δισταθμικό σύστημα βρίσκονται σε περίπου συντονισμό

173

δηλαδή Ω ≃ ω Τότε κρατήσαμε τους αργούς όρους eplusmni(Ωminusω)t και αγνοήσαμε τουςγρήγορους όρους eplusmni(Ω+ω)tΣυνοπτικά ενώ για την ολική Χαμιλτονιανή ενός τρόπου m έχουμε την λεγόμενη

Χαμιλτονιανή Rabi

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4175)

κατά την παραπάνω συζήτηση αγνοούμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενουςcounter-rotating terms

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4176)

οπότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66]

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4177)

Στην ΄Ασκηση 1 (παραλείποντας τον δείκτη του ΗΜ τρόπου m απλότητα) βρί-σκουμε (Α) τι κάνουν οι όροι adaggera aadagger S+Sminus SminusS+ S+a

dagger S+a Sminusadagger Sminusa στις κα-

ταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩ και (Β) υπολογίζουμε τα ⟨adaggera⟩ ⟨aadagger⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨SminusS+⟩⟨S+a

dagger⟩ ⟨S+a⟩ ⟨Sminusadagger⟩ ⟨Sminusa⟩ για τις καταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩

174

49 Σύνοψη Χαμιλτονιανών

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Ακόμα είδαμε την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπίδραση ενός ΗΜ τρόπουm με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

Οπότε η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί (Εξ 4171)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

και οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩|darr nm⟩

Ακόμα αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενους counter-rotatingterms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam)

τότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66] (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm)

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

166

Ανάλογος με τον παραπάνω ορισμό μπορεί να δοθεί και για την περίπτωση της με-ταβάσεως ενός τμήματος του ηλεκτρονιακού νέϕους από μία αρχική σε μια τελική πε-ριοχή ΄Ετσι ορίζεται η (ηλεκτρική) διπολική ροπή μεταβάσεως [transition(electric) dipole moment] 1 Αυτό αποδίδεται στο κάτω τμήμα το Σχήματος 46Αν το ϕορτίο που μεταϕέρεται είναι minuse πάλι p = qd = e(minusr)rArr p = minuser Δηλαδήεννοείται ότι για την περιοχή 2 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμεί με μετά-βαση ϕορτίου minuse ενώ για την περιοχή 1 τελική μείον αρχική κατάσταση ισοδυναμείμε μετάβαση ϕορτίου +eΟ τελεστής (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως [transition

(electric) dipole moment operator] σημειώνεται εναλλακτικά με ˆd ή ˆp Στη βάση τωνιδιοκαταστάσεων της ενέργειας του αδιατάρακτου ατόμου ή συστήματος ορίζεται ως

ˆd = ˆp =

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | (4146)

με τους επίσης εναλλακτικούς συμβολισμούς

dij = pij = minuse⟨Φi | ˆr | Φj⟩ (4147)

για το στοιχείο πίνακα της (ηλεκτρικής) διπολικής ροπής μεταβάσεως μεταξύ των κα-ταστάσεων | Φi⟩ και | Φj⟩ Υπενθυμίζεται ότι ο τελεστής θέσεως (position operator)ˆr είναι τέτοιος ώστε

ˆr | r⟩ = r | r⟩ (4148)

Υπενθυμίζεται για τον συμβολισμό Dirac ότι

| A⟩ =

α1

α2

hArr ⟨A |= (αlowast1 αlowast

2) (4149)

Υπενθυμίζεται ακόμα ότι

⟨Φi | ˆr | Φj⟩ =sum

|rprime⟩|rprimeprime⟩

⟨Φi | rprime⟩⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩⟨rprimeprime | Φj⟩ =sum|rprime⟩

⟨Φi | rprime⟩ rprime ⟨rprime | Φj⟩

=sum|r⟩

⟨Φi | r⟩ r ⟨r | Φj⟩ =intdV Φi(r)

lowastrΦj(r)

1Η λέξη ῾῾ ηλεκτρική ᾿᾿ είναι εντός παρενθέσεως επειδή συνήθως επειδή εννοείται παραλείπεται

167

διότι⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩ = rprimeprime⟨rprime|rprimeprime⟩ = rprimeprimeδrprimerprimeprime (4150)

΄Αρα

d11 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ1(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4151)

d12 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ2(r) = 0 (4152)

d21 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ1(r) = 0 (4153)

d22 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ2(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4154)

Δηλαδή ενώ τα διαγώνια στοιχεία μηδενίζονται τα d12 και d21 δεν είναι (῾῾ εκ ταυτό-τητος ᾿᾿) μηδέν Ας δούμε τώρα ποιος είναι ο ˆp σε δισταθμικό σύστημα

ˆp = d11 | Φ1⟩⟨Φ1 | + d12 | Φ1⟩⟨Φ2 | + d21 | Φ2⟩⟨Φ1 | + d22 | Φ2⟩⟨Φ2 |

= d11

0

1

(0 1)+ d12

0

1

(1 0)+ d21

1

0

(0 1)+ d22

1

0

(1 0)

= 0 ⋆

d11︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

0 0

0 1

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

+ d12︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 0

1 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ d21︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 1

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ 0 ⋆

d22︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

1 0

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

Από τις Εξ (4152)-(4153) συμπεραίνουμε ότι d12 = d21 με την προϋπόθεση ότι οιΦi(r) είναι πραγματικές οπότε

ˆp = d12

0 1

1 0

(4155)

168

Ερώτηση Και τι κάνει ο τελεστής

0 1

1 0

Απάντηση0 1

1 0

0

1

=

1

0

0 1

1 0

1

0

=

0

1

Δηλαδή μεταϕέρει από τη μία ενεργειακή στάθμη στην άλλη όπως θα έπρεπε

Τώρα μπορεί να οριστεί ο τελεστής δυναμικής ενέργειας (potential e-nergy operator) Θεωρούμε ότι η αλληλεπίδραση δισταθμικού συστήματος - ΗΜπεδίου έχει τη μορϕή μηχανισμού ηλεκτρικού διπόλου Αγνοούμε άλλης μορϕής αλ-ληλεπιδράσεις όπως πχ ηλεκτρικού τετραπόλου ή μαγνητικού διπόλου Αϕού

UE = minusP middot E rArr

UmE = minusP middot Em (4156)

όπου ο δείκτης m δηλώνει τον m τρόπο του ΗΜ πεδίου ο αντίστοιχος τελεστήςμπορεί να οριστεί ως

UmE = minus ˆp middot ˆEm (4157)

Επομένως

UmE = minus

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | middotEmx (z t)i

i είναι το μοναδιαίο άνυσμα του άξονα x αϕού έχουμε υποθέσει αυτόν τον προσανα-τολισμό για το ηλεκτρικό πεδίο (δείτε Σχήμα 42) ΄Η λόγω της Εξ 4155

UmE = minusd12

0 1

1 0

middot Emx (z t)i (4158)

Αλλά

d12 middot i = minuseintdV Φ1(r)

lowast(r middot i)Φ2(r) = minusex12 = Px12 = P (4159)

169

Συνεπώς

UmE = ex12

0 1

1 0

Emx (z t) (4160)

Υπενθυμίζονται οι Εξ 4110 και 4111

Emx (z t) =

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4161)

Bmy (z t) =

(~ωmε0V

) 12 1

ccos(mπz

L

)i(adaggerm minus am) (4162)

από τις οποίες όμως στα πλαίσια των υποθέσεών μας χρειαζόμαστε τώρα μόνον τηνπρώτη Επίσης υπενθυμίζεται ότι

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

(4163)

΄Αρα εν τέλει

UmE = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4164)

Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε

~gm = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(4165)

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4166)

Αυτή είναι λοιπόν η Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συ-στήματος - ΗΜ πεδίου για τον ΗΜ τρόπο m Εάν βρισκόμαστε σταπλαίσια της ατομικής ϕυσικής τότε συμβολίζεται και Hm

AF όπου οι δείκτες σημαίνουνAtom-FieldΑπό την Εξ 4165 προκύπτει

~|gm| = |P |∣∣∣∣ (~ωm

ε0V

) 12

sin(mπz

L

) ∣∣∣∣ = |P| Em0 (4167)

170

όπου όμως το ῾῾ πλάτος ᾿᾿ Em0 εξαρτάται από τη θέση z του ατόμου στην κοιλότητα

είναι δηλαδή Em0 = Em

0 (z) Η |gm| (ή οποία συμβολίζεται και με ΩmR ) είναι η λεγόμενη

συχνότητα Rabi Εάν εννοείται σε ποιον ΗΜ τρόπο m αναϕερόμαστε μπορούμε ναχρησιμοποιήσουμε σκέτο το |g| ή το ΩR ΄Αρα

|gm| ή ΩmR =

|P|Em0

~(4168)

Για να μη γράϕουμε απόλυτα μπορούμε σε κάθε θέση να διαλέγουμε τη ϕάση τωνκυματοσυναρτήσεων τέτοια ώστε το g να είναι θετικό και πραγματικό [65] Συνοπτικά

gm ή ΩmR =

|P|Em0

~(4169)

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Τώρα συμπληρώνεται η εικόνα με την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπί-δραση ενός ΗΜ τρόπου m με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4170)

΄Αρα η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4171)

Επομένως οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩ (4172)

|darr nm⟩ (4173)

171

Ας δούμε λίγο προσεκτικότερα τη Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικούσυστήματος - ΗΜ πεδίου (Εξ 4166) Για έναν μοναδικό τρόπο m η Χαμιλτονιανήαυτή αναλυεται σε τέσσερις όρους

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) =

= ~gmS+adaggerm︸ ︷︷ ︸

1ος

+ S+am︸ ︷︷ ︸2ος

+ Sminusadaggerm︸ ︷︷ ︸

3ος

+ Sminusam︸ ︷︷ ︸4ος

bull 1ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E gt 0 Επόμένως αυτός ο όρος μόνος τουδεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

bull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻︸ ︷︷ ︸

μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολ-λοί τρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτο-νιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται απόάθροισμα όρων όπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημανα απορροϕήσει ένα ϕωτόνιο υψηλής συχνότητας και να ανεβεί ενώ παράλληλαδημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο χαμηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi www≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

simsim≻ ff lt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 2ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο Αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

172

bull 3ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιοΚαι αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικάbull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 4ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο ΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E lt 0 Επόμένως και αυτός ο όροςμόνος του δεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολλοίτρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτονιανή αλλη-λεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται από άθροισμα όρωνόπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημα να απορροϕήσει έναϕωτόνιο χαμηλής συχνότητας και να κατεβεί ενώ παράλληλα δημιουργείται εκπέμ-πεται ϕωτόνιο υψηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

www≻ ff gt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

Αν αγνοήσουμε τον 1ο και 4ο όρο που ο καθένας μόνος του δεν διατηρεί τηνενέργεια τότε

UmE = ~gm

(S+am + Sminusa

daggerm

) (4174)

Η προσέγγιση είναι κατά κάποιο τρόπο ανάλογη της RWA (Rotating Wave Approxi-mation) του Κεϕαλαίου 3 Εκεί στις εξισώσεις Rabi κρατήσαμε μόνο τους αργούςόρους όπου ΗΜ πεδίο και το δισταθμικό σύστημα βρίσκονται σε περίπου συντονισμό

173

δηλαδή Ω ≃ ω Τότε κρατήσαμε τους αργούς όρους eplusmni(Ωminusω)t και αγνοήσαμε τουςγρήγορους όρους eplusmni(Ω+ω)tΣυνοπτικά ενώ για την ολική Χαμιλτονιανή ενός τρόπου m έχουμε την λεγόμενη

Χαμιλτονιανή Rabi

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4175)

κατά την παραπάνω συζήτηση αγνοούμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενουςcounter-rotating terms

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4176)

οπότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66]

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4177)

Στην ΄Ασκηση 1 (παραλείποντας τον δείκτη του ΗΜ τρόπου m απλότητα) βρί-σκουμε (Α) τι κάνουν οι όροι adaggera aadagger S+Sminus SminusS+ S+a

dagger S+a Sminusadagger Sminusa στις κα-

ταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩ και (Β) υπολογίζουμε τα ⟨adaggera⟩ ⟨aadagger⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨SminusS+⟩⟨S+a

dagger⟩ ⟨S+a⟩ ⟨Sminusadagger⟩ ⟨Sminusa⟩ για τις καταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩

174

49 Σύνοψη Χαμιλτονιανών

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Ακόμα είδαμε την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπίδραση ενός ΗΜ τρόπουm με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

Οπότε η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί (Εξ 4171)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

και οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩|darr nm⟩

Ακόμα αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενους counter-rotatingterms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam)

τότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66] (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm)

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

167

διότι⟨rprime | ˆr | rprimeprime⟩ = rprimeprime⟨rprime|rprimeprime⟩ = rprimeprimeδrprimerprimeprime (4150)

΄Αρα

d11 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ1(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4151)

d12 = minuse⟨Φ1 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ1(r)

lowastrΦ2(r) = 0 (4152)

d21 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ1⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ1(r) = 0 (4153)

d22 = minuse⟨Φ2 | ˆr | Φ2⟩ = minuseintdV Φ2(r)

lowastrΦ2(r)︸ ︷︷ ︸περιττή

= 0 ⋆ (4154)

Δηλαδή ενώ τα διαγώνια στοιχεία μηδενίζονται τα d12 και d21 δεν είναι (῾῾ εκ ταυτό-τητος ᾿᾿) μηδέν Ας δούμε τώρα ποιος είναι ο ˆp σε δισταθμικό σύστημα

ˆp = d11 | Φ1⟩⟨Φ1 | + d12 | Φ1⟩⟨Φ2 | + d21 | Φ2⟩⟨Φ1 | + d22 | Φ2⟩⟨Φ2 |

= d11

0

1

(0 1)+ d12

0

1

(1 0)+ d21

1

0

(0 1)+ d22

1

0

(1 0)

= 0 ⋆

d11︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

0 0

0 1

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

+ d12︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 0

1 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ d21︸︷︷︸μη διαγώνιο στοιχείο

0 1

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα αντιδιαγώνιου πίνακα

+ 0 ⋆

d22︸︷︷︸διαγώνιο στοιχείο

1 0

0 0

︸ ︷︷ ︸

τμήμα διαγώνιου πίνακα

Από τις Εξ (4152)-(4153) συμπεραίνουμε ότι d12 = d21 με την προϋπόθεση ότι οιΦi(r) είναι πραγματικές οπότε

ˆp = d12

0 1

1 0

(4155)

168

Ερώτηση Και τι κάνει ο τελεστής

0 1

1 0

Απάντηση0 1

1 0

0

1

=

1

0

0 1

1 0

1

0

=

0

1

Δηλαδή μεταϕέρει από τη μία ενεργειακή στάθμη στην άλλη όπως θα έπρεπε

Τώρα μπορεί να οριστεί ο τελεστής δυναμικής ενέργειας (potential e-nergy operator) Θεωρούμε ότι η αλληλεπίδραση δισταθμικού συστήματος - ΗΜπεδίου έχει τη μορϕή μηχανισμού ηλεκτρικού διπόλου Αγνοούμε άλλης μορϕής αλ-ληλεπιδράσεις όπως πχ ηλεκτρικού τετραπόλου ή μαγνητικού διπόλου Αϕού

UE = minusP middot E rArr

UmE = minusP middot Em (4156)

όπου ο δείκτης m δηλώνει τον m τρόπο του ΗΜ πεδίου ο αντίστοιχος τελεστήςμπορεί να οριστεί ως

UmE = minus ˆp middot ˆEm (4157)

Επομένως

UmE = minus

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | middotEmx (z t)i

i είναι το μοναδιαίο άνυσμα του άξονα x αϕού έχουμε υποθέσει αυτόν τον προσανα-τολισμό για το ηλεκτρικό πεδίο (δείτε Σχήμα 42) ΄Η λόγω της Εξ 4155

UmE = minusd12

0 1

1 0

middot Emx (z t)i (4158)

Αλλά

d12 middot i = minuseintdV Φ1(r)

lowast(r middot i)Φ2(r) = minusex12 = Px12 = P (4159)

169

Συνεπώς

UmE = ex12

0 1

1 0

Emx (z t) (4160)

Υπενθυμίζονται οι Εξ 4110 και 4111

Emx (z t) =

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4161)

Bmy (z t) =

(~ωmε0V

) 12 1

ccos(mπz

L

)i(adaggerm minus am) (4162)

από τις οποίες όμως στα πλαίσια των υποθέσεών μας χρειαζόμαστε τώρα μόνον τηνπρώτη Επίσης υπενθυμίζεται ότι

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

(4163)

΄Αρα εν τέλει

UmE = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4164)

Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε

~gm = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(4165)

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4166)

Αυτή είναι λοιπόν η Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συ-στήματος - ΗΜ πεδίου για τον ΗΜ τρόπο m Εάν βρισκόμαστε σταπλαίσια της ατομικής ϕυσικής τότε συμβολίζεται και Hm

AF όπου οι δείκτες σημαίνουνAtom-FieldΑπό την Εξ 4165 προκύπτει

~|gm| = |P |∣∣∣∣ (~ωm

ε0V

) 12

sin(mπz

L

) ∣∣∣∣ = |P| Em0 (4167)

170

όπου όμως το ῾῾ πλάτος ᾿᾿ Em0 εξαρτάται από τη θέση z του ατόμου στην κοιλότητα

είναι δηλαδή Em0 = Em

0 (z) Η |gm| (ή οποία συμβολίζεται και με ΩmR ) είναι η λεγόμενη

συχνότητα Rabi Εάν εννοείται σε ποιον ΗΜ τρόπο m αναϕερόμαστε μπορούμε ναχρησιμοποιήσουμε σκέτο το |g| ή το ΩR ΄Αρα

|gm| ή ΩmR =

|P|Em0

~(4168)

Για να μη γράϕουμε απόλυτα μπορούμε σε κάθε θέση να διαλέγουμε τη ϕάση τωνκυματοσυναρτήσεων τέτοια ώστε το g να είναι θετικό και πραγματικό [65] Συνοπτικά

gm ή ΩmR =

|P|Em0

~(4169)

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Τώρα συμπληρώνεται η εικόνα με την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπί-δραση ενός ΗΜ τρόπου m με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4170)

΄Αρα η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4171)

Επομένως οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩ (4172)

|darr nm⟩ (4173)

171

Ας δούμε λίγο προσεκτικότερα τη Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικούσυστήματος - ΗΜ πεδίου (Εξ 4166) Για έναν μοναδικό τρόπο m η Χαμιλτονιανήαυτή αναλυεται σε τέσσερις όρους

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) =

= ~gmS+adaggerm︸ ︷︷ ︸

1ος

+ S+am︸ ︷︷ ︸2ος

+ Sminusadaggerm︸ ︷︷ ︸

3ος

+ Sminusam︸ ︷︷ ︸4ος

bull 1ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E gt 0 Επόμένως αυτός ο όρος μόνος τουδεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

bull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻︸ ︷︷ ︸

μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολ-λοί τρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτο-νιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται απόάθροισμα όρων όπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημανα απορροϕήσει ένα ϕωτόνιο υψηλής συχνότητας και να ανεβεί ενώ παράλληλαδημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο χαμηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi www≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

simsim≻ ff lt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 2ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο Αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

172

bull 3ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιοΚαι αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικάbull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 4ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο ΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E lt 0 Επόμένως και αυτός ο όροςμόνος του δεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολλοίτρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτονιανή αλλη-λεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται από άθροισμα όρωνόπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημα να απορροϕήσει έναϕωτόνιο χαμηλής συχνότητας και να κατεβεί ενώ παράλληλα δημιουργείται εκπέμ-πεται ϕωτόνιο υψηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

www≻ ff gt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

Αν αγνοήσουμε τον 1ο και 4ο όρο που ο καθένας μόνος του δεν διατηρεί τηνενέργεια τότε

UmE = ~gm

(S+am + Sminusa

daggerm

) (4174)

Η προσέγγιση είναι κατά κάποιο τρόπο ανάλογη της RWA (Rotating Wave Approxi-mation) του Κεϕαλαίου 3 Εκεί στις εξισώσεις Rabi κρατήσαμε μόνο τους αργούςόρους όπου ΗΜ πεδίο και το δισταθμικό σύστημα βρίσκονται σε περίπου συντονισμό

173

δηλαδή Ω ≃ ω Τότε κρατήσαμε τους αργούς όρους eplusmni(Ωminusω)t και αγνοήσαμε τουςγρήγορους όρους eplusmni(Ω+ω)tΣυνοπτικά ενώ για την ολική Χαμιλτονιανή ενός τρόπου m έχουμε την λεγόμενη

Χαμιλτονιανή Rabi

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4175)

κατά την παραπάνω συζήτηση αγνοούμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενουςcounter-rotating terms

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4176)

οπότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66]

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4177)

Στην ΄Ασκηση 1 (παραλείποντας τον δείκτη του ΗΜ τρόπου m απλότητα) βρί-σκουμε (Α) τι κάνουν οι όροι adaggera aadagger S+Sminus SminusS+ S+a

dagger S+a Sminusadagger Sminusa στις κα-

ταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩ και (Β) υπολογίζουμε τα ⟨adaggera⟩ ⟨aadagger⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨SminusS+⟩⟨S+a

dagger⟩ ⟨S+a⟩ ⟨Sminusadagger⟩ ⟨Sminusa⟩ για τις καταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩

174

49 Σύνοψη Χαμιλτονιανών

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Ακόμα είδαμε την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπίδραση ενός ΗΜ τρόπουm με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

Οπότε η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί (Εξ 4171)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

και οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩|darr nm⟩

Ακόμα αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενους counter-rotatingterms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam)

τότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66] (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm)

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

168

Ερώτηση Και τι κάνει ο τελεστής

0 1

1 0

Απάντηση0 1

1 0

0

1

=

1

0

0 1

1 0

1

0

=

0

1

Δηλαδή μεταϕέρει από τη μία ενεργειακή στάθμη στην άλλη όπως θα έπρεπε

Τώρα μπορεί να οριστεί ο τελεστής δυναμικής ενέργειας (potential e-nergy operator) Θεωρούμε ότι η αλληλεπίδραση δισταθμικού συστήματος - ΗΜπεδίου έχει τη μορϕή μηχανισμού ηλεκτρικού διπόλου Αγνοούμε άλλης μορϕής αλ-ληλεπιδράσεις όπως πχ ηλεκτρικού τετραπόλου ή μαγνητικού διπόλου Αϕού

UE = minusP middot E rArr

UmE = minusP middot Em (4156)

όπου ο δείκτης m δηλώνει τον m τρόπο του ΗΜ πεδίου ο αντίστοιχος τελεστήςμπορεί να οριστεί ως

UmE = minus ˆp middot ˆEm (4157)

Επομένως

UmE = minus

Nsumi=1

Nsumj=1

dij | Φi⟩⟨Φj | middotEmx (z t)i

i είναι το μοναδιαίο άνυσμα του άξονα x αϕού έχουμε υποθέσει αυτόν τον προσανα-τολισμό για το ηλεκτρικό πεδίο (δείτε Σχήμα 42) ΄Η λόγω της Εξ 4155

UmE = minusd12

0 1

1 0

middot Emx (z t)i (4158)

Αλλά

d12 middot i = minuseintdV Φ1(r)

lowast(r middot i)Φ2(r) = minusex12 = Px12 = P (4159)

169

Συνεπώς

UmE = ex12

0 1

1 0

Emx (z t) (4160)

Υπενθυμίζονται οι Εξ 4110 και 4111

Emx (z t) =

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4161)

Bmy (z t) =

(~ωmε0V

) 12 1

ccos(mπz

L

)i(adaggerm minus am) (4162)

από τις οποίες όμως στα πλαίσια των υποθέσεών μας χρειαζόμαστε τώρα μόνον τηνπρώτη Επίσης υπενθυμίζεται ότι

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

(4163)

΄Αρα εν τέλει

UmE = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4164)

Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε

~gm = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(4165)

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4166)

Αυτή είναι λοιπόν η Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συ-στήματος - ΗΜ πεδίου για τον ΗΜ τρόπο m Εάν βρισκόμαστε σταπλαίσια της ατομικής ϕυσικής τότε συμβολίζεται και Hm

AF όπου οι δείκτες σημαίνουνAtom-FieldΑπό την Εξ 4165 προκύπτει

~|gm| = |P |∣∣∣∣ (~ωm

ε0V

) 12

sin(mπz

L

) ∣∣∣∣ = |P| Em0 (4167)

170

όπου όμως το ῾῾ πλάτος ᾿᾿ Em0 εξαρτάται από τη θέση z του ατόμου στην κοιλότητα

είναι δηλαδή Em0 = Em

0 (z) Η |gm| (ή οποία συμβολίζεται και με ΩmR ) είναι η λεγόμενη

συχνότητα Rabi Εάν εννοείται σε ποιον ΗΜ τρόπο m αναϕερόμαστε μπορούμε ναχρησιμοποιήσουμε σκέτο το |g| ή το ΩR ΄Αρα

|gm| ή ΩmR =

|P|Em0

~(4168)

Για να μη γράϕουμε απόλυτα μπορούμε σε κάθε θέση να διαλέγουμε τη ϕάση τωνκυματοσυναρτήσεων τέτοια ώστε το g να είναι θετικό και πραγματικό [65] Συνοπτικά

gm ή ΩmR =

|P|Em0

~(4169)

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Τώρα συμπληρώνεται η εικόνα με την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπί-δραση ενός ΗΜ τρόπου m με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4170)

΄Αρα η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4171)

Επομένως οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩ (4172)

|darr nm⟩ (4173)

171

Ας δούμε λίγο προσεκτικότερα τη Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικούσυστήματος - ΗΜ πεδίου (Εξ 4166) Για έναν μοναδικό τρόπο m η Χαμιλτονιανήαυτή αναλυεται σε τέσσερις όρους

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) =

= ~gmS+adaggerm︸ ︷︷ ︸

1ος

+ S+am︸ ︷︷ ︸2ος

+ Sminusadaggerm︸ ︷︷ ︸

3ος

+ Sminusam︸ ︷︷ ︸4ος

bull 1ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E gt 0 Επόμένως αυτός ο όρος μόνος τουδεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

bull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻︸ ︷︷ ︸

μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολ-λοί τρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτο-νιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται απόάθροισμα όρων όπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημανα απορροϕήσει ένα ϕωτόνιο υψηλής συχνότητας και να ανεβεί ενώ παράλληλαδημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο χαμηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi www≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

simsim≻ ff lt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 2ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο Αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

172

bull 3ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιοΚαι αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικάbull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 4ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο ΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E lt 0 Επόμένως και αυτός ο όροςμόνος του δεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολλοίτρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτονιανή αλλη-λεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται από άθροισμα όρωνόπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημα να απορροϕήσει έναϕωτόνιο χαμηλής συχνότητας και να κατεβεί ενώ παράλληλα δημιουργείται εκπέμ-πεται ϕωτόνιο υψηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

www≻ ff gt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

Αν αγνοήσουμε τον 1ο και 4ο όρο που ο καθένας μόνος του δεν διατηρεί τηνενέργεια τότε

UmE = ~gm

(S+am + Sminusa

daggerm

) (4174)

Η προσέγγιση είναι κατά κάποιο τρόπο ανάλογη της RWA (Rotating Wave Approxi-mation) του Κεϕαλαίου 3 Εκεί στις εξισώσεις Rabi κρατήσαμε μόνο τους αργούςόρους όπου ΗΜ πεδίο και το δισταθμικό σύστημα βρίσκονται σε περίπου συντονισμό

173

δηλαδή Ω ≃ ω Τότε κρατήσαμε τους αργούς όρους eplusmni(Ωminusω)t και αγνοήσαμε τουςγρήγορους όρους eplusmni(Ω+ω)tΣυνοπτικά ενώ για την ολική Χαμιλτονιανή ενός τρόπου m έχουμε την λεγόμενη

Χαμιλτονιανή Rabi

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4175)

κατά την παραπάνω συζήτηση αγνοούμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενουςcounter-rotating terms

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4176)

οπότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66]

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4177)

Στην ΄Ασκηση 1 (παραλείποντας τον δείκτη του ΗΜ τρόπου m απλότητα) βρί-σκουμε (Α) τι κάνουν οι όροι adaggera aadagger S+Sminus SminusS+ S+a

dagger S+a Sminusadagger Sminusa στις κα-

ταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩ και (Β) υπολογίζουμε τα ⟨adaggera⟩ ⟨aadagger⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨SminusS+⟩⟨S+a

dagger⟩ ⟨S+a⟩ ⟨Sminusadagger⟩ ⟨Sminusa⟩ για τις καταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩

174

49 Σύνοψη Χαμιλτονιανών

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Ακόμα είδαμε την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπίδραση ενός ΗΜ τρόπουm με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

Οπότε η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί (Εξ 4171)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

και οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩|darr nm⟩

Ακόμα αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενους counter-rotatingterms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam)

τότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66] (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm)

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

169

Συνεπώς

UmE = ex12

0 1

1 0

Emx (z t) (4160)

Υπενθυμίζονται οι Εξ 4110 και 4111

Emx (z t) =

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(adaggerm + am) (4161)

Bmy (z t) =

(~ωmε0V

) 12 1

ccos(mπz

L

)i(adaggerm minus am) (4162)

από τις οποίες όμως στα πλαίσια των υποθέσεών μας χρειαζόμαστε τώρα μόνον τηνπρώτη Επίσης υπενθυμίζεται ότι

S+ + Sminus =

0 1

0 0

+

0 0

1 0

=

0 1

1 0

(4163)

΄Αρα εν τέλει

UmE = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4164)

Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε

~gm = ex12

(~ωmε0V

) 12

sin(mπz

L

)(4165)

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4166)

Αυτή είναι λοιπόν η Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συ-στήματος - ΗΜ πεδίου για τον ΗΜ τρόπο m Εάν βρισκόμαστε σταπλαίσια της ατομικής ϕυσικής τότε συμβολίζεται και Hm

AF όπου οι δείκτες σημαίνουνAtom-FieldΑπό την Εξ 4165 προκύπτει

~|gm| = |P |∣∣∣∣ (~ωm

ε0V

) 12

sin(mπz

L

) ∣∣∣∣ = |P| Em0 (4167)

170

όπου όμως το ῾῾ πλάτος ᾿᾿ Em0 εξαρτάται από τη θέση z του ατόμου στην κοιλότητα

είναι δηλαδή Em0 = Em

0 (z) Η |gm| (ή οποία συμβολίζεται και με ΩmR ) είναι η λεγόμενη

συχνότητα Rabi Εάν εννοείται σε ποιον ΗΜ τρόπο m αναϕερόμαστε μπορούμε ναχρησιμοποιήσουμε σκέτο το |g| ή το ΩR ΄Αρα

|gm| ή ΩmR =

|P|Em0

~(4168)

Για να μη γράϕουμε απόλυτα μπορούμε σε κάθε θέση να διαλέγουμε τη ϕάση τωνκυματοσυναρτήσεων τέτοια ώστε το g να είναι θετικό και πραγματικό [65] Συνοπτικά

gm ή ΩmR =

|P|Em0

~(4169)

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Τώρα συμπληρώνεται η εικόνα με την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπί-δραση ενός ΗΜ τρόπου m με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4170)

΄Αρα η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4171)

Επομένως οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩ (4172)

|darr nm⟩ (4173)

171

Ας δούμε λίγο προσεκτικότερα τη Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικούσυστήματος - ΗΜ πεδίου (Εξ 4166) Για έναν μοναδικό τρόπο m η Χαμιλτονιανήαυτή αναλυεται σε τέσσερις όρους

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) =

= ~gmS+adaggerm︸ ︷︷ ︸

1ος

+ S+am︸ ︷︷ ︸2ος

+ Sminusadaggerm︸ ︷︷ ︸

3ος

+ Sminusam︸ ︷︷ ︸4ος

bull 1ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E gt 0 Επόμένως αυτός ο όρος μόνος τουδεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

bull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻︸ ︷︷ ︸

μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολ-λοί τρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτο-νιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται απόάθροισμα όρων όπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημανα απορροϕήσει ένα ϕωτόνιο υψηλής συχνότητας και να ανεβεί ενώ παράλληλαδημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο χαμηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi www≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

simsim≻ ff lt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 2ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο Αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

172

bull 3ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιοΚαι αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικάbull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 4ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο ΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E lt 0 Επόμένως και αυτός ο όροςμόνος του δεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολλοίτρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτονιανή αλλη-λεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται από άθροισμα όρωνόπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημα να απορροϕήσει έναϕωτόνιο χαμηλής συχνότητας και να κατεβεί ενώ παράλληλα δημιουργείται εκπέμ-πεται ϕωτόνιο υψηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

www≻ ff gt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

Αν αγνοήσουμε τον 1ο και 4ο όρο που ο καθένας μόνος του δεν διατηρεί τηνενέργεια τότε

UmE = ~gm

(S+am + Sminusa

daggerm

) (4174)

Η προσέγγιση είναι κατά κάποιο τρόπο ανάλογη της RWA (Rotating Wave Approxi-mation) του Κεϕαλαίου 3 Εκεί στις εξισώσεις Rabi κρατήσαμε μόνο τους αργούςόρους όπου ΗΜ πεδίο και το δισταθμικό σύστημα βρίσκονται σε περίπου συντονισμό

173

δηλαδή Ω ≃ ω Τότε κρατήσαμε τους αργούς όρους eplusmni(Ωminusω)t και αγνοήσαμε τουςγρήγορους όρους eplusmni(Ω+ω)tΣυνοπτικά ενώ για την ολική Χαμιλτονιανή ενός τρόπου m έχουμε την λεγόμενη

Χαμιλτονιανή Rabi

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4175)

κατά την παραπάνω συζήτηση αγνοούμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενουςcounter-rotating terms

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4176)

οπότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66]

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4177)

Στην ΄Ασκηση 1 (παραλείποντας τον δείκτη του ΗΜ τρόπου m απλότητα) βρί-σκουμε (Α) τι κάνουν οι όροι adaggera aadagger S+Sminus SminusS+ S+a

dagger S+a Sminusadagger Sminusa στις κα-

ταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩ και (Β) υπολογίζουμε τα ⟨adaggera⟩ ⟨aadagger⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨SminusS+⟩⟨S+a

dagger⟩ ⟨S+a⟩ ⟨Sminusadagger⟩ ⟨Sminusa⟩ για τις καταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩

174

49 Σύνοψη Χαμιλτονιανών

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Ακόμα είδαμε την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπίδραση ενός ΗΜ τρόπουm με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

Οπότε η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί (Εξ 4171)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

και οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩|darr nm⟩

Ακόμα αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενους counter-rotatingterms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam)

τότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66] (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm)

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

170

όπου όμως το ῾῾ πλάτος ᾿᾿ Em0 εξαρτάται από τη θέση z του ατόμου στην κοιλότητα

είναι δηλαδή Em0 = Em

0 (z) Η |gm| (ή οποία συμβολίζεται και με ΩmR ) είναι η λεγόμενη

συχνότητα Rabi Εάν εννοείται σε ποιον ΗΜ τρόπο m αναϕερόμαστε μπορούμε ναχρησιμοποιήσουμε σκέτο το |g| ή το ΩR ΄Αρα

|gm| ή ΩmR =

|P|Em0

~(4168)

Για να μη γράϕουμε απόλυτα μπορούμε σε κάθε θέση να διαλέγουμε τη ϕάση τωνκυματοσυναρτήσεων τέτοια ώστε το g να είναι θετικό και πραγματικό [65] Συνοπτικά

gm ή ΩmR =

|P|Em0

~(4169)

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam = ~ωmNm

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Τώρα συμπληρώνεται η εικόνα με την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπί-δραση ενός ΗΜ τρόπου m με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4170)

΄Αρα η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) (4171)

Επομένως οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩ (4172)

|darr nm⟩ (4173)

171

Ας δούμε λίγο προσεκτικότερα τη Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικούσυστήματος - ΗΜ πεδίου (Εξ 4166) Για έναν μοναδικό τρόπο m η Χαμιλτονιανήαυτή αναλυεται σε τέσσερις όρους

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) =

= ~gmS+adaggerm︸ ︷︷ ︸

1ος

+ S+am︸ ︷︷ ︸2ος

+ Sminusadaggerm︸ ︷︷ ︸

3ος

+ Sminusam︸ ︷︷ ︸4ος

bull 1ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E gt 0 Επόμένως αυτός ο όρος μόνος τουδεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

bull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻︸ ︷︷ ︸

μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολ-λοί τρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτο-νιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται απόάθροισμα όρων όπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημανα απορροϕήσει ένα ϕωτόνιο υψηλής συχνότητας και να ανεβεί ενώ παράλληλαδημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο χαμηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi www≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

simsim≻ ff lt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 2ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο Αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

172

bull 3ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιοΚαι αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικάbull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 4ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο ΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E lt 0 Επόμένως και αυτός ο όροςμόνος του δεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολλοίτρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτονιανή αλλη-λεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται από άθροισμα όρωνόπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημα να απορροϕήσει έναϕωτόνιο χαμηλής συχνότητας και να κατεβεί ενώ παράλληλα δημιουργείται εκπέμ-πεται ϕωτόνιο υψηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

www≻ ff gt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

Αν αγνοήσουμε τον 1ο και 4ο όρο που ο καθένας μόνος του δεν διατηρεί τηνενέργεια τότε

UmE = ~gm

(S+am + Sminusa

daggerm

) (4174)

Η προσέγγιση είναι κατά κάποιο τρόπο ανάλογη της RWA (Rotating Wave Approxi-mation) του Κεϕαλαίου 3 Εκεί στις εξισώσεις Rabi κρατήσαμε μόνο τους αργούςόρους όπου ΗΜ πεδίο και το δισταθμικό σύστημα βρίσκονται σε περίπου συντονισμό

173

δηλαδή Ω ≃ ω Τότε κρατήσαμε τους αργούς όρους eplusmni(Ωminusω)t και αγνοήσαμε τουςγρήγορους όρους eplusmni(Ω+ω)tΣυνοπτικά ενώ για την ολική Χαμιλτονιανή ενός τρόπου m έχουμε την λεγόμενη

Χαμιλτονιανή Rabi

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4175)

κατά την παραπάνω συζήτηση αγνοούμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενουςcounter-rotating terms

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4176)

οπότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66]

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4177)

Στην ΄Ασκηση 1 (παραλείποντας τον δείκτη του ΗΜ τρόπου m απλότητα) βρί-σκουμε (Α) τι κάνουν οι όροι adaggera aadagger S+Sminus SminusS+ S+a

dagger S+a Sminusadagger Sminusa στις κα-

ταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩ και (Β) υπολογίζουμε τα ⟨adaggera⟩ ⟨aadagger⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨SminusS+⟩⟨S+a

dagger⟩ ⟨S+a⟩ ⟨Sminusadagger⟩ ⟨Sminusa⟩ για τις καταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩

174

49 Σύνοψη Χαμιλτονιανών

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Ακόμα είδαμε την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπίδραση ενός ΗΜ τρόπουm με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

Οπότε η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί (Εξ 4171)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

και οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩|darr nm⟩

Ακόμα αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενους counter-rotatingterms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam)

τότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66] (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm)

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

171

Ας δούμε λίγο προσεκτικότερα τη Χαμιλτονιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικούσυστήματος - ΗΜ πεδίου (Εξ 4166) Για έναν μοναδικό τρόπο m η Χαμιλτονιανήαυτή αναλυεται σε τέσσερις όρους

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am) =

= ~gmS+adaggerm︸ ︷︷ ︸

1ος

+ S+am︸ ︷︷ ︸2ος

+ Sminusadaggerm︸ ︷︷ ︸

3ος

+ Sminusam︸ ︷︷ ︸4ος

bull 1ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E gt 0 Επόμένως αυτός ο όρος μόνος τουδεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

bull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻︸ ︷︷ ︸

μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολ-λοί τρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτο-νιανή αλληλεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται απόάθροισμα όρων όπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημανα απορροϕήσει ένα ϕωτόνιο υψηλής συχνότητας και να ανεβεί ενώ παράλληλαδημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιο χαμηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi www≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

simsim≻ ff lt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 2ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο ανεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο Αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

172

bull 3ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιοΚαι αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικάbull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 4ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο ΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E lt 0 Επόμένως και αυτός ο όροςμόνος του δεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολλοίτρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτονιανή αλλη-λεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται από άθροισμα όρωνόπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημα να απορροϕήσει έναϕωτόνιο χαμηλής συχνότητας και να κατεβεί ενώ παράλληλα δημιουργείται εκπέμ-πεται ϕωτόνιο υψηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

www≻ ff gt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

Αν αγνοήσουμε τον 1ο και 4ο όρο που ο καθένας μόνος του δεν διατηρεί τηνενέργεια τότε

UmE = ~gm

(S+am + Sminusa

daggerm

) (4174)

Η προσέγγιση είναι κατά κάποιο τρόπο ανάλογη της RWA (Rotating Wave Approxi-mation) του Κεϕαλαίου 3 Εκεί στις εξισώσεις Rabi κρατήσαμε μόνο τους αργούςόρους όπου ΗΜ πεδίο και το δισταθμικό σύστημα βρίσκονται σε περίπου συντονισμό

173

δηλαδή Ω ≃ ω Τότε κρατήσαμε τους αργούς όρους eplusmni(Ωminusω)t και αγνοήσαμε τουςγρήγορους όρους eplusmni(Ω+ω)tΣυνοπτικά ενώ για την ολική Χαμιλτονιανή ενός τρόπου m έχουμε την λεγόμενη

Χαμιλτονιανή Rabi

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4175)

κατά την παραπάνω συζήτηση αγνοούμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενουςcounter-rotating terms

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4176)

οπότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66]

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4177)

Στην ΄Ασκηση 1 (παραλείποντας τον δείκτη του ΗΜ τρόπου m απλότητα) βρί-σκουμε (Α) τι κάνουν οι όροι adaggera aadagger S+Sminus SminusS+ S+a

dagger S+a Sminusadagger Sminusa στις κα-

ταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩ και (Β) υπολογίζουμε τα ⟨adaggera⟩ ⟨aadagger⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨SminusS+⟩⟨S+a

dagger⟩ ⟨S+a⟩ ⟨Sminusadagger⟩ ⟨Sminusa⟩ για τις καταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩

174

49 Σύνοψη Χαμιλτονιανών

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Ακόμα είδαμε την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπίδραση ενός ΗΜ τρόπουm με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

Οπότε η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί (Εξ 4171)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

και οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩|darr nm⟩

Ακόμα αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενους counter-rotatingterms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam)

τότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66] (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm)

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

172

bull 3ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και δημιουργείται εκπέμπεται ϕωτόνιοΚαι αυτός ο όρος ακόμα κι αν υπάρχει μόνο ένας τρόπος (m) μπορεί ναδιατηρεί την ενέργεια Σχηματικάbull

︸ ︷︷ ︸πριν

bull

simsim≻

︸ ︷︷ ︸μετά

bull 4ος ΟΡΟΣ Το ηλεκτρόνιο κατεβαίνει και καταστρέϕεται απορροϕάται ϕω-τόνιο ΄Αρα η μεταβολή της ενέργειας ∆E lt 0 Επόμένως και αυτός ο όροςμόνος του δεν διατηρεί την ενέργεια και ϕαντάζει παράλογος Σχηματικά

simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

︸ ︷︷ ︸μετά

Πλην όμως είναι δυνατόν να κρατηθούν τέτοιοι όροι όταν υποστηρίζονται πολλοίτρόποι (m) άρα πολλές συχνότητες (Εξ 450) Δηλαδή όταν η Χαμιλτονιανή αλλη-λεπιδράσεως δισταθμικού συστήματος - ΗΜ πεδίου αποτελείται από άθροισμα όρωνόπως η Εξ 4166 Τότε είναι δυνατόν το δισταθμικό σύστημα να απορροϕήσει έναϕωτόνιο χαμηλής συχνότητας και να κατεβεί ενώ παράλληλα δημιουργείται εκπέμ-πεται ϕωτόνιο υψηλότερης συχνότητας Σχηματικά

fi simsim≻

bull

︸ ︷︷ ︸

πριν

bull

www≻ ff gt fi

︸ ︷︷ ︸μετά

Αν αγνοήσουμε τον 1ο και 4ο όρο που ο καθένας μόνος του δεν διατηρεί τηνενέργεια τότε

UmE = ~gm

(S+am + Sminusa

daggerm

) (4174)

Η προσέγγιση είναι κατά κάποιο τρόπο ανάλογη της RWA (Rotating Wave Approxi-mation) του Κεϕαλαίου 3 Εκεί στις εξισώσεις Rabi κρατήσαμε μόνο τους αργούςόρους όπου ΗΜ πεδίο και το δισταθμικό σύστημα βρίσκονται σε περίπου συντονισμό

173

δηλαδή Ω ≃ ω Τότε κρατήσαμε τους αργούς όρους eplusmni(Ωminusω)t και αγνοήσαμε τουςγρήγορους όρους eplusmni(Ω+ω)tΣυνοπτικά ενώ για την ολική Χαμιλτονιανή ενός τρόπου m έχουμε την λεγόμενη

Χαμιλτονιανή Rabi

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4175)

κατά την παραπάνω συζήτηση αγνοούμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενουςcounter-rotating terms

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4176)

οπότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66]

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4177)

Στην ΄Ασκηση 1 (παραλείποντας τον δείκτη του ΗΜ τρόπου m απλότητα) βρί-σκουμε (Α) τι κάνουν οι όροι adaggera aadagger S+Sminus SminusS+ S+a

dagger S+a Sminusadagger Sminusa στις κα-

ταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩ και (Β) υπολογίζουμε τα ⟨adaggera⟩ ⟨aadagger⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨SminusS+⟩⟨S+a

dagger⟩ ⟨S+a⟩ ⟨Sminusadagger⟩ ⟨Sminusa⟩ για τις καταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩

174

49 Σύνοψη Χαμιλτονιανών

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Ακόμα είδαμε την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπίδραση ενός ΗΜ τρόπουm με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

Οπότε η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί (Εξ 4171)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

και οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩|darr nm⟩

Ακόμα αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενους counter-rotatingterms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam)

τότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66] (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm)

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

173

δηλαδή Ω ≃ ω Τότε κρατήσαμε τους αργούς όρους eplusmni(Ωminusω)t και αγνοήσαμε τουςγρήγορους όρους eplusmni(Ω+ω)tΣυνοπτικά ενώ για την ολική Χαμιλτονιανή ενός τρόπου m έχουμε την λεγόμενη

Χαμιλτονιανή Rabi

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4175)

κατά την παραπάνω συζήτηση αγνοούμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενουςcounter-rotating terms

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4176)

οπότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66]

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4177)

Στην ΄Ασκηση 1 (παραλείποντας τον δείκτη του ΗΜ τρόπου m απλότητα) βρί-σκουμε (Α) τι κάνουν οι όροι adaggera aadagger S+Sminus SminusS+ S+a

dagger S+a Sminusadagger Sminusa στις κα-

ταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩ και (Β) υπολογίζουμε τα ⟨adaggera⟩ ⟨aadagger⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨SminusS+⟩⟨S+a

dagger⟩ ⟨S+a⟩ ⟨Sminusadagger⟩ ⟨Sminusa⟩ για τις καταστάσεις | darr n⟩ και | uarr n⟩

174

49 Σύνοψη Χαμιλτονιανών

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Ακόμα είδαμε την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπίδραση ενός ΗΜ τρόπουm με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

Οπότε η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί (Εξ 4171)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

και οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩|darr nm⟩

Ακόμα αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενους counter-rotatingterms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam)

τότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66] (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm)

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

174

49 Σύνοψη Χαμιλτονιανών

Μέχρι τώρα είδαμε την Εξ 4100 στην Ενότητα 44 η οποία περιγράϕει έναν ΗΜτρόπο m δηλαδή την

HΗΜ m = ~ωm(adaggermam +

1

2

)

η οποία αγνοώντας τον όρο ~ωm

2γίνεται η Εξ 4109

HΗΜ m = ~ωmadaggermam

Ακόμα είδαμε την Εξ 4126 στην Ενότητα 45 η οποία περιγράϕει ένα δισταθμικόσύστημα δηλαδή την

HΔΣ = E2S+Sminus + E1SminusS+

η οποία θέτοντας E1 = 0rArr E2 = ~Ω (θυμηθείτε την Εξ 353) γίνεται η Εξ 4127

HΔΣ = ~ΩS+Sminus

Ακόμα είδαμε την Εξ 4166 η οποία περιγράϕει την αλληλεπίδραση ενός ΗΜ τρόπουm με ένα δισταθμικό σύστημα δηλαδή την

UmE = ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

Οπότε η Χαμιλτονιανή που περιγράϕει έναν ΗΜ τρόπο m ένα δισταθμικό σύστημακαι την μεταξύ τους αλληλεπίδραση (ονομάζεται συχνά Χαμιλτονιανή Rabi) μπορείνα γραϕτεί (Εξ 4171)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+ + Sminus)(a

daggerm + am)

και οι ολικές ιδιοκαταστάσεις (ηλεκτρονίου και ΗΜ τρόπου m) είναι

|uarr nm⟩|darr nm⟩

Ακόμα αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση τους λεγόμενους counter-rotatingterms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam)

τότε λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings [66] (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm)

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

175

410 Μέσες (αναμενόμενες) τιμές μεγεθών γιατη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings

Υπενθυμίζουμε πως ϕτάσαμε στη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings Η ολική Χαμιλ-τονιανή (ενός τρόπου m) είναι η λεγόμενη Χαμιλτονιανή Rabi (Εξ 4175)

HmR = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+a

daggerm + S+am + Sminusa

daggerm + Sminusam) (4178)

και αν αγνοήσουμε σε πρώτη προσέγγιση λεγόμενους counter-rotating terms (Εξ 4176)

Hcounter-rotating = ~gm(S+adaggerm + Sminusam) (4179)

λαμβάνουμε τη λεγόμενη Χαμιλτονιανή Jaynes-Cummings (Εξ 4177)

HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4180)

Ας υπολογίσουμε τώρα τα ⟨adaggermam⟩ ⟨S+Sminus⟩ ⟨S+am⟩ ⟨Sminusadaggerm⟩ για τις καταστάσεις

bull (Α) |ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr n⟩+ c2(t) |uarr nminus 1⟩

bull (Ε) |ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr n+ 1⟩+ c2(t) |uarr n⟩

Περίπτωση (Α)

⟨adaggermam⟩(A) = ⟨ψA(t)|adaggermam|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

adaggermam

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|adaggermam| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|adaggermam| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|adaggermam| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|adaggermam| uarr nminus 1⟩= |c1|2

radicnradicn⟨darr n| darr n⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨darr n| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1radicnradicn⟨uarr nminus 1| darr n⟩+ |c2|2

radicnminus 1

radicnminus 1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩

= n|c1|2 middot 1 + clowast1c2(nminus 1) middot 0 + clowast2c1n middot 0 + (nminus 1)|c2|2 middot 1= n|c1|2 + n|c2|2 minus |c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)minus |c2|2 = nminus |c2|2 rArr

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

176

⟨adaggermam⟩(A) = nminus |c2(t)|2 (4181)

⟨S+Sminus⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+Sminus|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+Sminus

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+Sminus| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+Sminus| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+Sminus| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+Sminus| uarr nminus 1⟩

= |c1|2 middot 0 + clowast1c20⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1 middot 0 + |c2|2

1⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩ rArr

⟨S+Sminus⟩(A) = |c2(t)|2 (4182)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(A) + ⟨S+Sminus⟩(A) = n (4183)

⟨S+am⟩(A) = ⟨ψA(t)|S+am|ψA(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

S+am

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|S+am| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|S+am| uarr nminus 1⟩+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|S+am| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|S+am| uarr nminus 1⟩

= |c1|2radicn0⟨darr n| uarr nminus 1⟩+ clowast1c2

radicnminus 1

0

⟨darr n|S+| uarr nminus 2⟩

+ clowast2c1radicn⟨uarr nminus 1| uarr nminus 1⟩+ |c2|2

radicnminus 1

0

⟨uarr nminus 1|S+| uarr nminus 2⟩ rArr

⟨S+am⟩(A) = clowast2(t)c1(t)radicn (4184)

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

177

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = ⟨ψA(t)|Sminusa

daggerm|ψA(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n|+ clowast2 ⟨uarr nminus 1|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n⟩+ c2 |uarr nminus 1⟩

= |c1|2⟨darr n|Sminusa

daggerm| darr n⟩+ clowast1c2⟨darr n|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

+ clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminusadaggerm| darr n⟩+ |c2|2⟨uarr nminus 1|Sminusa

daggerm| uarr nminus 1⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n|Sminus| darr n+ 1⟩+ clowast1c2

radicn⟨darr n| darr n⟩

+

0

clowast2c1⟨uarr nminus 1|Sminus| darr n+ 1⟩radicn+ 1 +

0

|c2|2⟨uarr nminus 1| darr n⟩radicnrArr

⟨Sminusadaggerm⟩(A) = clowast1(t)c2(t)

radicn (4185)

Περίπτωση (Ε)

⟨adaggermam⟩(E) = ⟨ψE(t)|adaggermam|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

adaggermam

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|adaggermam| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|adaggermam| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|adaggermam| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|adaggermam| uarr n⟩

= |c1|2radicn+ 1

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩+

0

clowast1c2n⟨darr n+ 1| uarr n⟩

+0

clowast2c1(n+ 1)⟨uarr n| darr n+ 1⟩+ |c2|2n⟨uarr n| uarr n⟩= |c1|2(n+ 1) + n|c2|2 = n

(|c1|2 + |c2|2

)+ |c1|2 rArr

⟨adaggermam⟩(E) = n+ |c1(t)|2 (4186)

⟨S+Sminus⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+Sminus|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+Sminus

c1 ⟨darr n+ 1|+ c2 ⟨uarr n|

= |c1|2 middot 0 +

0clowast1c2⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast2c1 middot 0 +1

|c2|2⟨uarr n| uarr n⟩ rArr

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

178

⟨S+Sminus⟩(E) = |c2(t)|2 (4187)

΄Αρα

⟨adaggermam⟩(E) + ⟨S+Sminus⟩(E) = n+ 1 (4188)

⟨S+am⟩(E) = ⟨ψE(t)|S+am|ψE(t)⟩ ==clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

S+am

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|S+am| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|S+am| uarr n⟩+ clowast2c1⟨uarr n|S+am| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|S+am| uarr n⟩

=0

|c1|2radicn+ 1⟨darr n+ 1| uarr n⟩+ clowast1c2 middot 0 + clowast2c1

radicn+ 1⟨uarr n| uarr n⟩+ |c2|2 middot 0rArr

⟨S+am⟩(E) = clowast2(t)c1(t)radicn+ 1 (4189)

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = ⟨ψE(t)|Sminusa

daggerm|ψE(t)⟩ =

=clowast1 ⟨darr n+ 1|+ clowast2 ⟨uarr n|

Sminusa

daggerm

c1 |darr n+ 1⟩+ c2 |uarr n⟩

= |c1|2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| darr n+ 1⟩+ clowast1c2⟨darr n+ 1|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

+ clowast2c1⟨uarr n|Sminusadaggerm| darr n+ 1⟩+ |c2|2⟨uarr n|Sminusa

daggerm| uarr n⟩

=

0

|c1|2radicn+ 2⟨darr n+ 1| uarr n+ 2⟩+ clowast1c2

radicn+ 1⟨darr n+ 1| darr n+ 1⟩

+ clowast2c1 middot 0 +0

|c2|2⟨uarr n| darr n+ 1⟩radicn+ 1rArr

⟨Sminusadaggerm⟩(E) = clowast1(t)c2(t)

radicn+ 1 (4190)

Θα χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις που αποδείξαμε παραπάνω στα επόμενα Υπο-κεϕάλαια 411-412

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

179

411 Απορρόϕηση ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα απορροϕήσεως ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται απότις εξισώσεις

|ΨA(t)⟩ = c1(t) |darr nm⟩+ c2(t) |uarr nm minus 1⟩ (4191)

i~part

partt|ΨA(t)⟩ = H |ΨA(t)⟩ (4192)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4193)

και τις αρχικές συνθήκες

c1(0) = 1 c2(0) = 0 (4194)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨA(t)⟩ = i~c1 |darr nm⟩+ i~c2 |uarr nm minus 1⟩ (4195)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨA(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm)(c1 |darr nm⟩+ c2 |uarr nm minus 1⟩) =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~Ω middot 0 + c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm + c1~gm middot 0+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ c2~gm middot 0 + ~gm |darr nm⟩radicnmc2 =

c1~ωmnm |darr nm⟩+ c1~gm |uarr nm minus 1⟩radicnm+

c2~ωm(nm minus 1) |uarr nm minus 1⟩+ c2~Ω |uarr nm minus 1⟩+ ~gm |darr nm⟩radicnmc2

Επιδρώντας με ⟨darr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmnmc1 + ~gm

radicnmc2

rArr

ic1 = nmωmc1 + gmradicnmc2 (4196)

Επιδρώντας με ⟨uarr nminus 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gm

radicnmc1 + ~ωm(nm minus 1)c2 + ~Ωc2

rArr

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

180

ic2 = gmradicnmc1 + [Ω + (nm minus 1)ωm]c2 (4197)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

nmωm gmradicnm

gmradicnm Ω + (nm minus 1)ωm

c1c2

(4198)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm=

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2mnm

]12 (4199)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2n

]12 (4200)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4198) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]cos(Ωnt) + i

Ωminus ω2Ωn

sin (Ωnt)

(4201)

και

c2(t) = exp

[minusi(nω +

Ωminus ω2

)t

]minusigradicn

Ωn

sin (Ωnt)

rArr

| c2(t) |2=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4202)

Οπότε

| c1(t) |2= 1minus | c2(t) |2= (4203)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2 sin2(Ωnt)

Ω2n

(4204)

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

181

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 47 Ο δείκτης (A) σημαίνει απορρόϕηση (absorption) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(A)

=ng2

Ω2n

sin2(Ωnt) (4205)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2

συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 48 και καλούνται συχνά ταλαντώσεις Rabi Το πλάτος των ταλαντώσεων

Σχήμα 47 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(A)

= nminus ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4204) (4205) (4199) είναι

A =g2n

Ω2n

=g2n(

ωminusΩ2

)2+ g2n

(4206)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

182

Σχήμα 48 Απορρόϕηση ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του

αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(A)

= ng2

Ω2nsin2(Ωnt)

Επειδή sin2(Ωnt) =12minus 1

2cos(2Ωnt) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn

=π

Ωn

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2n

]12 (4207)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

183

412 Εκπομπή ϕωτονίου

Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα εκπομπής ενός ϕωτονίου που περιγράϕεται από τιςεξισώσεις

|ΨE(t)⟩ = c1(t) |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩ (4208)

i~part

partt|ΨE(t)⟩ = H |ΨE(t)⟩ (4209)

H = HmJC = ~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gm(S+am + Sminusa

daggerm) (4210)

και τις αρχικές συνθήκεςc1(0) = 0 c2(0) = 1 (4211)

Το αριστερό μέρος της χρονοεξαρτημένης εξισώσεως Schrodinger Α΄ γίνεται

Α΄ = i~part

partt|ΨE(t)⟩ = i~c1 |darr nm + 1⟩+ i~c2 |uarr nm⟩ (4212)

ενώ το δεξιό Δ΄

Δ΄ = H |ΨE(t)⟩ =(~ωmadaggermam + ~ΩS+Sminus + ~gmS+am + ~gmSminusa

daggerm) (c1 |darr nm + 1⟩+ c2 |uarr nm⟩) =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~Ωc1 middot 0 + ~gmc1 |uarr nm⟩radicnm + 1 + ~gmc1 middot 0+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2 middot 0 + ~gmc2 |darr nm + 1⟩radicnm + 1 =

~ωmc1(nm + 1) |darr nm + 1⟩+ ~gmc1radicnm + 1 |uarr nm⟩+

~ωmc2nm |uarr nm⟩+ ~Ωc2 |uarr nm⟩+ ~gmc2radicnm + 1 |darr nm + 1⟩

(4213)Επιδρώντας με ⟨darr n+ 1| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c1το δεξιό μέρος γίνεται ~ωmc1(nm + 1) + ~gmc2

radicnm + 1

rArr

ic1 = ωm(nm + 1)c1 + gmradicnm + 1c2 (4214)

Επιδρώντας με ⟨uarr n| στα Α΄ και Δ΄

το αριστερό μέρος γίνεται i~c2το δεξιό μέρος γίνεται ~gmc1

radicnm + 1 + ~ωmc2nm + ~Ωc2

rArr

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

184

ic2 = gmradicnm + 1c1 + (nmωm + Ω)c2 (4215)

Δηλαδή καταλήγουμε στο Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων

i

c1c2

=

(nm + 1)ωm gmradicnm + 1

gmradicnm + 1 Ω + nmωm

c1c2

(4216)

Ορίζουμε τώρα τη γενικευμένη συχνότητα Rabi

Ωnm+1 =

[(ωm minus Ω

2

)2

+ g2m(nm + 1)

]12 (4217)

ή παραλείποντας για απλότητα το δείκτη m που δηλώνει τον ΗΜ τρόπο

Ωn+1 =

[(ω minus Ω

2

)2

+ g2(n+ 1)

]12 (4218)

Επιλύοντας το Σύστημα Διαϕορικών Εξισώσεων (4216) πχ με τη μέθοδο τωνΙδιοτιμών (δείτε Παράρτημα Βʹ) προκύπτει

c1(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [minusigradicn+ 1

Ωn+1

sin(Ωn+1t)

](4219)

και

c2(t) = exp

[minusi((n+ 1)ω +

Ωminus ω2

)t

] [cos(Ωn+1t)minus i

Ωminus ω2Ωn+1

sin (Ωn+1t)

]rArr

| c1(t) |2=(n+ 1)g2

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4220)

και| c2(t) |2= 1minus | c1(t) |2= (4221)

΄Αρα ⟨adaggermam

⟩(E)

= n+g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4222)

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

185

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ϕωτονίων στην κοιλότητα συ-ναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονται στοΣχήμα 49 Ο δείκτης (E) σημαίνει εκπομπή (emission) Επίσης

⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+ 1)

Ω2n+1

sin2(Ωn+1t) (4223)

δηλαδη η μέση (αναμενόμενη) τιμή του αριθμού των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμηE2 συναρτήσει του χρόνου θα πραγματοποιεί ταλαντώσεις οι οποίες απεικονίζονταιστο Σχήμα 410

Σχήμα 49 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ϕωτονίων στην κοιλότητα⟨adaggermam

⟩(E)

= n+ g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

΄Οπως στην περίπτωση της απορροϕήσεως ϕωτονίου έτσι και στην περίπτωση εκ-πομπής ϕωτονίου το πλάτος των ταλαντώσεων A όπως ϕαίνεται από τις Εξ (4222)(4223) (4217) είναι

A =g2(n+ 1)

Ω2n+1

=g2(n+ 1)(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

(4224)

Επομένως

bull Για Ω = ω (συντονισμός) =rArr A = 1

bull Για Ω = ω (μη συντονισμός) =rArr A lt 1

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων

186

Σχήμα 410 Εκπομπή ϕωτονίου Η χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής του αριθμού

των ηλεκτρονίων στην άνω στάθμη E2⟨S+Sminus

⟩(E)

= 1minus g2(n+1)Ω2

n+1sin2(Ωn+1t)

Επειδή sin2(Ωn+1t) =12minus 1

2cos(2Ωn+1t) η περίοδος των ταλαντώσεων είναι

T =2π

2Ωn+1

=π

Ωn+1

=π[(

ωminusΩ2

)2+ g2(n+ 1)

]12 (4225)

Στο συντονισμό (ω = Ω) μεγιστοποιείται η περίοδος σε T = πgradicn+1

Συμπερασματικά η συχνότητα Rabi g και ο αποσυντονισμός (detuning) που ο-ρίσαμε στην Εξ 358 ως ∆ = ω minus Ω καθορίζουν το πλάτος και την περίοδο τωνταλαντώσεων