Μαθηματικά Θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης

H Έλλειψη

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

• Ο Απολλώνιος ο Περγαίος (ή Περγεύς) υπήρξε ένας από τους μεγαλύτερους Έλληνες μαθηματικούς – γεωμέτρες καιαστρονόμους της αλεξανδρινής εποχής.Γεννήθηκε περί το 260 π.Χ. (ή σύμφωνα με άλλους μελετητές περί το 246 με 221 π.Χ.), στην Πέργη της Παμφηλίας, μια πόλη κοντά στην Αττάλεια της Μ. Ασίας. Σπούδασε και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια κοντά στους συνεχιστές του Ευκλείδη και συνέγραψε γύρω στα 21 έργα μαθηματικών, γεωμετρίας, αστρονομίας και μηχανικής, που χωρίζονταν σε υποκατηγορίες τόμων εκ των οποίων διασώθηκαν μόνο τέσσερα με γνωστότερο εξ’ αυτών το έργο «Κωνικά»το οποίο αποτελείται από 8 βιβλία.

Απολλώνιος ο Περγαίος

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

• Δίδαξε στο Μουσείο της Αλεξάνδρειας στην «Αίθουσα 5» εξ'ού και του προσδόθηκε το προσωνύμιο Απολλώνιος ο Ε’. Οι σύγχρονοι του έτρεφαν μεγάλο θαυμασμό για το έργο του, τόσον ώστε τόλμησε να ασκήσει κριτική σε έργα του Ευκλείδη και ενίοτε να προτείνει ριζικές τροποποιήσεις σε μερικά σημαντικά τμήματα των ευκλείδειων «Στοιχείων». Ο μαθηματικός – ιστορικός Πάππος ο Αλεξανδρινός (3ος αι. μ.Χ.) τον περιγράφει ως υπερόπτη στον χαρακτήρα αναφέροντας ότι υποτιμούσε τους άλλους γεωμέτρες, και ότι κατά πάσα πιθανότητα πυροδότησε εξ αφορμής αυτού τον Αρχιμήδη να αποστείλει δια αλληλογραφίας στον Ερατοσθένη, εκουσίως λαθεμένα θεωρήματα «για τον έλεγχο των γνώσεων εκείνων των καθηγητών του Μουσείου που θεωρούσαν τον εαυτό τους ως αυθεντίες». Εικάζεται ότι υπήρξε νεότερος του Αρχιμήδη σε ηλικία, γεγονός που προκύπτει απ’ το ότι ο Αρχιμήδης ονομάζει την παραβολή ως «ορθογωνίου κώνου τομή», ενώ απ’ την Απολλωνίου και έπειτα εποχή καθιερώθηκαν οι νεότερες ορολογίες «παραβολή», «έλλειψη», «υπερβολή».

Ορισμός Έλλειψης Έστω Ε' και Ε δύο σημεία ενός επιπέδου. Ονομάζεται έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε' και Ε ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από τα Ε' και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο του Ε'E . Το σταθερό αυτό άθροισμα το συμβολίζουμε, συνήθως, με 2α και την απόσταση των εστιών Ε' και Ε με 2γ. H απόσταση Ε'E ονομάζεται εστιακή απόσταση της έλλειψης.

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Σχεδίαση Ελλειψης

Πρακτικά μπορούμε να σχεδιάσουμε την έλλειψη ως εξής: Παίρνουμε ένα σχοινί μήκους 2α και στερεώνουμε τα άκρα του

στις εστίες Ε' και Ε. Αν τώρα με ένα μολύβι διατηρούμε το σχοινί τεντωμένο, τότε αυτό, κατά την κίνησή του, θα

διαγράψει την έλλειψη

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

•

Εξίσωση Ελλειψης

Έστω μια έλλειψη C με εστίες Ε' και Ε. Θα βρούμε την εξίσωση της έλλειψης ως προς σύστημα συντεταγμένων Oxy με άξονα των x την ευθεία Ε'E και άξονα των y τη μεσοκάθετο του Ε'E . Αν M(x,y) είναι ένα σημείο της έλλειψης C, τότε θα ισχύει

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Επειδή (E'E)=2γ. Οι εστίες Ε' και Ε θα έχουν συντεταγμένες (-γ,0) και (γ,0) αντιστοίχως. Επομένως,

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

(E'E)=2γ <2α γ<α Αν γ=0 τότε τα σημεία Ε,Ε΄συμπίπτουν οπότε η έλλειψη

γίνεται κύκλος με κέντρο Ε και ακτίνα α

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Αποδεικνύεται και το αντίστροφο, δηλαδή ότι κάθε σημείο M(x,y) , του οποίου οι συντεταγμένες επαληθεύουν την εξίσωση (4), είναι σημείο της έλλειψης C. Επομένως, η εξίσωση της έλλειψης C με εστίες τα σημεία E'( -γ,0), Ε(γ,0) , και σταθερό άθροισμα 2α είναι

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Σχόλιο : Η έλλειψη είναι η καμπύλη η οποία προκύπτει από την τομή ενός κώνου και ενός επιπέδου.

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Για παράδειγμα, η εξίσωση της έλλειψης με εστίες τα σημεία E'( -4,0) , E(4,0) και σταθερό άθροισμα 2α=10 είναι

Παράδειγμα 1

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Για παράδειγμα, η έλλειψη με εστίες E'(0, -4) , E(0,4) και σταθερό άθροισμα 2α=10 είναι

Παράδειγμα 2

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Παράδειγμα 3

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Η εξίσωση( χ2 /25)+(ψ2 /16)=1 είναι εξίσωση έλλειψης με α=5 και β=4 και γ=3. Επειδή ο μεγαλύτερος παρανομαστής είναι

κάτω από τον χ2 Οι εστίες βρίσκονται στον χ΄χ και είναι τα σημεία Ε΄(-3,0) και

Ε(3,0)Μεγάλος άξονας: 2 α=10,

Μικρός άξονας:2β=8

1. Να βρεθεί η εξίσωση της έλλειψης όταν έχει εστίες τα σημεία Ε΄(-4,0) και Ε(4,0) και διέρχεται από το σημείο Μ(4,9/5).

2. Να βρεθεί η εξίσωση της έλλειψης όταν έχει εστίες τα σημεία Ε΄(0,-5) και Ε(0,5)

3. Να βρεθεί η εξίσωση της έλλειψης όταν έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων, εστίες στον άξονα χ΄χ και διέρχεται από τα σημεία Μ1(1,1) και Μ2(2,1/2).

Ασκήσεις

Κοζαλάκης Ευστάθιος ΠΕ03

Διάλειμμα