Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

63
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής Μαθηματικά Ε΄ Τάξης - Ενότητα 3 - Κεφάλαιο 21 ΄΄ Στατιστική – Μέσος όρος ΄΄ http://e-taksh.blogspot.gr Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.1
  • Upload

    -
  • Category

    Education

  • view

    2.948
  • download

    3

Transcript of Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

Page 1: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής

Μαθηματικά Ε΄ Τάξης - Ενότητα 3 - Κεφάλαιο 21

΄΄ Στατιστική – Μέσος όρος ΄΄

http://e-taksh.blogspot.gr

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.1

Page 2: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

eva-edu

Πολλές φορές θέλουμε να καταλάβουμε ποια είναι περίπου η βασική τιμη

πολλών αριθμών. Σε τέτοιες περιπτώσεις χρησιμοποιούμε το Μέσο Όρο.

Για παράδειγμα θέλουμε να βρούμε πόσο ήταν ο Μέσος Όρος της θερμοκρασίας

για μια εβδομάδα.

Για να βρούμε το Μέσο όρο κάποιων αριθμών τους προσθέτουμε όλους μαζί

και αυτό που θα βρούμε το διαιρούμε με το πόσοι είναι αυτοί οι αριθμοί.

Παράδειγμα

Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται οι θερμοκρασίες για κάθε μέρα της εβδομάδας

που πέρασε. Να βρεις το Μέσο Όρο τους.

1) Προσθέτουμε όλες τις θερμοκρασίες

25+20+23+19+24+20+19 = 150

2) Οι μέρες της εβδομάδας είναι 7. Άρα διαιρούμε το 150 : 7 = 21,4 ˚

Απάντηση : Ο Μέσος Όρος της θερμοκρασίας είναι 21,4 ˚

ΗΜΕΡΕΣ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ

Δευτέρα 25 ˚

Τρίτη 20 ˚

Τετάρτη 23 ˚

Πέμπτη 19 ˚

Παρασκευή 24 ˚

Σάββατο 20 ˚

Κυριακή 19 ˚

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.2

Page 3: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

eva-edu

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται τα χρήματα που ξόδεψε κάθε μέρα η

Εύα στο σούπερ μάρκετ. Να βρείτε ο Μέσο Όρο των εξόδων της.

1)

2)

ΗΜΕΡΕΣ ΧΡΗΜΑΤΑ

Δευτέρα 4

Τρίτη 4

Τετάρτη 3

Πέμπτη 4

Παρασκευή 2

Σάββατο 4

Κυριακή 0

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.3

Page 4: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

Στατιστική – Μέσος όρος

Γιάννης Φερεντίνος Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.4

Page 5: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

Τι είναι ο μέσος όρος;

• Όταν έχουμε μια σειρά από μετρήσεις, οι οποίες αφορούν το ίδιο θέμα, μπορούμε να τις προσθέσουμε και να διαιρέσουμε το άθροισμα με το πλήθος των μετρήσεων.

• Ο αριθμός που προκύπτει ονομάζεται μέσος όρος των μετρήσεων

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.5

Page 6: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

Γιατί χρειαζόμαστε το μέσο όρο;

• Ο μέσος όρος είναι πολύ χρήσιμος σε διάφορες περιπτώσεις:

I. Αντιπροσωπεύει με σαφή τρόπο μια ομάδα μετρήσεων.

II. Διευκολύνει τη σύγκριση ανάμεσα σε δυο ή περισσότερες ομάδες μετρήσεων.

III. Επιτρέπει την πρόβλεψη μιας μέτρησης.

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.6

Page 7: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

Αντιπροσώπευση μιας ομάδας μετρήσεων (Μ.Ο.)

• Π.χ. Ένας μαθητής της Ε΄ Δημοτικού πήρε στο α΄ τρίμηνο τους εξής βαθμούς στα 10 μαθήματα :

Γλώσσα 9, Μαθηματικά 10, Φυσική 10, Ιστορία 9, Θρησκευτικά 10, Γεωγραφία 8, Κ.Π.Α. 9, Αγγλικά 9, Φυσική Αγωγή 10, Αισθ. Αγωγή 9

Ο μέσος όρος των μαθημάτων του είναι: 9+10+10+9+10+8+9+9+10+9 = 93 = 9,3 10 10 Ο μέσος όρος (Μ.Ο.) του είναι 9,3.

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.7

Page 8: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

Σύγκριση ανάμεσα σε ομάδες μετρήσεων

• Π.χ. Ένας άλλος συμμαθητής του πήρε τους εξής βαθμούς για το α΄ τρίμηνο:

Γλώσσα 10, Μαθηματικά 10, Φυσική 9, Ιστορία 10, Θρησκευτικά 10, Γεωγραφία 9, Κ.Π.Α. 9, Αγγλικά 9, Φυσική Αγωγή 9, Αισθ. Αγωγή 9

Για να βρούμε ποιος είχε την καλύτερη επίδοση υπολογίζουμε το μέσο όρο των βαθμών του:

10+10+9+10+10+9+9+9+9+9 = 94 = 9,4 10 10 Άρα ο β΄ μαθητής έχει καλύτερη επίδοση.

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.8

Page 9: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

Πρόβλεψη μιας μέτρησης

• Π.χ. Αν ένας παίχτης του μπάσκετ στους 8 προηγούμενους αγώνες της ομάδας του σημείωσε τους εξής πόντους :

14, 17, 15, 12, 6, 16, 17, 14 - Ο μέσος όρος είναι: 14+17+15+12+6+16+17+14 = 111 = 13,875 8 8 Στον επόμενο αγώνα είναι πιθανό να σημειώσει

περίπου 14 πόντους. Γιάννης Φερεντίνος

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.9

Page 10: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr - Μαθηματικά Ε΄

25

Μάθημα 25ο Στατιστική – Μέσος όρος

Όταν έχουμε μια σειρά από μετρήσεις, οι οποίες αφορούν το ίδιο θέμα, μπορούμε να τις

προσθέσουμε και να διαιρέσουμε το άθροισμα με το πλήθος των μετρήσεων. Ο αριθμός, ο οποίος προκύπτει με αυτόν τον τρόπο, ονομάζεται μέσος όρος των μετρήσεων.

Ο μέσος όρος είναι πολύ χρήσιμος σε διάφορες περιπτώσεις :

Αντιπροσωπεύει με σαφή τρόπο μια ομάδα μετρήσεων ( π.χ. ένας μαθητής της Ε΄ τάξης πήρε στο πρώτο τρίμηνο τους εξής βαθμούς : Γλώσσα 9, Μαθηματικά 10, Φυσική 10, Ιστορία 9, Θρησκευτικά 10, Γεωγραφία 8, Κοινωνική και Πολιτική Αγωγή 9, Φυσική Αγωγή 10, Αισθητική Αγωγή 9, Ξένη Γλώσσα 9. Ο μέσος όρος των βαθμών του είναι : 9 + 10 + 10 + 9 + 10 + 8 + 9 + 10 + 9 + 9 = 93 : 10 = 9,3 ).

Διευκολύνει τη σύγκριση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες ομάδες μετρήσεων ( π.χ. ένας άλλος μαθητής της Ε΄ τάξης πήρε στο πρώτο τρίμηνο τους εξής βαθμούς: Γλώσσα 10, Μαθηματικά 10, Φυσική 9, Ιστορία 10, Θρησκευτικά 10, Γεωγραφία 9, Κοινωνική και Πολιτική Αγωγή 9, Φυσική Αγωγή 9, Αισθητική Αγωγή 9, Ξένη Γλώσσα 9. Για να βρούμε αν είχε καλύτερη επίδοση από τον προηγούμενο μαθητή υπολογίζουμε το μέσο όρο των βαθμών του, ο οποίος είναι : 10 + 10 + 9 + 10 + 10 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 94 : 10 = 9,4.

Άρα ο δεύτερος μαθητής είχε καλύτερη επίδοση ). Επιτρέπει την πρόβλεψη μιας μέτρησης

( π.χ. αν ένας παίκτης του μπάσκετ στους 8 προηγούμενους αγώνες της ομάδας του σημείωσε τους εξής πόντους 14, 17, 15, 12, 6, 16, 17, 14, στον επόμενο αγώνα είναι πιθανό να σημειώσει 14 + 17 + 15 + 12 + 6 + 16 + 17 + 14 = 111 = 13,875 δηλαδή περίπου 14 πόντους ).

Να περιγράψουμε ένα πλήθος δεδομένων, με μία μόνο τιμή

( π.χ. Ο μέσος όρος ηλικίας των μαθητών της Ε΄ τάξης είναι 11 ετών ).

Μ.Ο. αριθμών =

ώή

ώά

Παράδειγμα

Το κυλικείο του σχολείου μας πούλησε τη Δευτέρα 50 τυρόπιτες, την Τρίτη 55, την Τετάρτη 45, την Πέμπτη 60 και την Παρασκευή 30 τυρόπιτες. Πόσες τυρόπιτες πούλησε κατά μέσο όρο αυτή την εβδομάδα ;

Λύση

ημέρες Δευτέρα Τρίτη Τετάρτη Πέμπτη Παρασκευή τυρόπιτες 50 55 45 60 30

Μ.Ο. =

ώή

ώά =

5

3060455550 =

5

240 = 48 τυρόπιτες

Απάντηση : Πούλησε κατά μέσο όρο 48 τυρόπιτες την ημέρα.

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.10

Page 11: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr - Μαθηματικά Ε΄

26

Ασκήσεις

1. Ένα προϊόν πωλείται σε 3 διαφορετικά καταστήματα στις παρακάτω τιμές : 18 €, 20 € και 22 €. Ποια είναι η μέση τιμή πώλησης του προϊόντος ;

2. Οι θερμοκρασίες, στις 12 το μεσημέρι, αυτή την εβδομάδα στην Αλεξάνδρεια ήταν οι

παρακάτω : τη Δευτέρα 10ο C, την Τρίτη 11ο C, την Τετάρτη 10ο C, την Πέμπτη 12ο C και την Παρασκευή 12ο C. Ποια είναι η μέση θερμοκρασία της εβδομάδας στην Αλεξάνδρεια ;

3. Στους πέντε αγώνες μπάσκετ του σχολικού πρωταθλήματος, ο καλύτερος παίκτης μας

σημείωσε 22, 18, 15, 10, 15 πόντους αντίστοιχα. Πόσους πόντους κατά μέσο όρο σημείωνε σε κάθε παιχνίδι ;

4. Ένα κατάστημα ηλεκτρικών ειδών εισέπραξε τον Ιανουάριο 12.000 €, το Φεβρουάριο

14.000 € και το Μάρτιο 16.000 €. Πόσα χρήματα εισέπραξε κατά μέσο όρο τον μήνα, το πρώτο τρίμηνο της χρονιάς ;

5. Αυτοί είναι οι επισκέπτες του Μουσείου της Βεργίνας για την εβδομάδα που πέρασε :

Δευτέρα Τρίτη Τετάρτη Πέμπτη Παρασκευή 230 300 320 420 285

Πόσοι ήταν κατά μέσο όρο οι επισκέπτες του Μουσείου την εβδομάδα που πέρασε ;

6. Να υπολογίσεις με τι βαθμό θα προαχθεί η Σοφία, που πήρε τους παρακάτω βαθμούς :

Θρησκευτικά 10, Γλώσσα 9, Μαθηματικά 8, Γεωγραφία 9, Αγγλικά 10, Φυσική 7, Ιστορία 8, Γυμναστική 10, Μουσική 9, Ζωγραφική 9.

7. Το περσινό Φθινόπωρο οι βροχές στην Ημαθία ήταν το Σεπτέμβρη 210 χιλιοστά, τον

Οκτώβρη 330 χιλιοστά και τον Νοέμβρη 420 χιλιοστά. Ποιος ήταν ο μέσος όρος βροχοπτώσεων αυτούς τους τρεις μήνες ;

8. Η Μαρία αρρώστησε με πυρετό κι η μαμά της της έβαλε θερμόμετρο. Το πρωί το

θερμόμετρο έδειξε 36,8 βαθμούς Κελσίου, το μεσημέρι 39,2 το απόγευμα 39,8 και το βράδυ 40. Ποιος ήταν κατά μέσο όρο ο πυρετός της την ημέρα αυτή ;

9. Η Βενετία παίρνοντας τη βαθμολογία του Α' τριμήνου λυπήθηκε γιατί εκτίμησε ότι η

βαθμολογία της ήταν χαμηλότερη από αυτήν του Α' τριμήνου της περσινής χρονιάς. Παρατήρησε τους βαθμούς της. Εκτίμησε σωστά ; Γιατί ;

Βαθμοί 2009 : Γλώσσα 8, Μαθηματικά 9, Ιστορία 10, Φυσική 8, Γεωγραφία 10, Θρησκευτικά 10, Αγωγή 10, Μουσική 10, Τεχνικά 10, Αγγλικά 8. Βαθμοί 2010 : Γλώσσα 9, Μαθηματικά 9, Ιστορία 9, Φυσική 9, Γεωγραφία 9, Θρησκευτικά 10, Αγωγή 9, Μουσική 9, Τεχνικά 10, Αγγλικά 10.

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.11

Page 12: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

Εγκύκλιος Παιδεία

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ Πολλές φορές χρειάζεται να περιγράψουμε ένα πλήθος δεδομένων με μια μόνο τιμή. Σε τέτοιες περιπτώσεις χρησιμοποιούμε το μέσο όρο. Ο μέσος όρος μας βοηθά στη σύγκριση, στην εκτίμηση και στην πρόβλεψη. Για να βρούμε το μέσο όρο ενός πλήθους αριθμών: βρίσκουμε το άθροισμά τους, διαιρούμε το άθροισμα που υπολογίσαμε με το πλήθος τους Μ. Ο. αριθμών= Άθροισμα αριθμών/Πλήθος αριθμών Παράδειγμα: Το κυλικείο του σχολείου μας πούλησε σε 5 μέρες τον παρακάτω αριθμό χυμών: Δευτέρα-=30 ,Τρίτη=35, Τετάρτη= 25, Πέμπτη= 45 και Παρασκευή= 15. Πόσους χυμούς πούλησε κατά μέσο όρο τη μέρα; Μ.Ο.=30+35+25+45+15=150 χυμούς 150/5=30 χυμούς τη μέρα Μπορούμε να κάνουμε και τις εκτιμήσεις μας για το ποιες μέρες πουλάει τους περισσότερους χυμούς, πόσους θα πουλήσει το χρόνο κλπ Να θυμάσαι: Ο μέσος όρος είναι αριθμός ανάμεσα στο μικρότερο και το μεγαλύτερο από τους αριθμούς του πλήθους Αν όλοι οι αριθμοί είναι ίδιοι, τότε και ο μέσος όρος είναι ίδιος με αυτούς.

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.12

Page 13: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

ΑΣΚΗΣΗ(email-1η ομάδα) Η Βενετία παίρνοντας τη βαθμολογία του Α' τριμήνου λυπήθηκε γιατί εκτίμησε ότι η βαθμολογία της ήταν χαμηλότερη από αυτήν του Α' τριμήνου της περσινής χρονιάς. Παρατήρησε τους βαθμούς της. Εκτίμησε σωστά; Γιατί; Βαθμοί 2007: Γλώσσα: 8, Μαθηματικά 9, Ιστορία: 10, Φυσική: 8, Γεωγραφία: 10, Θρησκευτικά:10, Αγωγή: 10, Μουσική: 10, Τεχνικά: 10, Αγγλικά: 8 Βαθμοί 2008: Γλώσσα: 9, Μαθηματικά: 9, Ιστορία: 9, Φυσική: 9, Γεωγραφία:9, Θρησκευτικά: 10, Αγωγή: 9, Μουσική: 9, Τεχνικά: 10, Αγγλικά: 10

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.13

Page 14: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

132

21. ÓôáôéóôéêÞ - ÌÝóïò ¼ñïò

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò áôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 20

• Ãéá íá åðéëÝãïõìå ôïí üñïöï óôïí ïðïßï ðñÝðåé íá áíÝâïõìå Þ êáôÝâïõìå.

• Äéüôé ìðïñåß íá ìåôáöÝñåé ìå áóöÜëåéá áíôéêåßìåíá âÜñïõò ìÝ÷ñé Ýíá óõãêåêñéìÝíï üñéï.

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò âôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 20

Ðéï æåóôÞ ðüëç åßíáé ôá ÉùÜííéíá.

ÓêÝöôïìáé: Ãéá íá âñïýìå ôï ìÝóï üñï åíüò ðëÞèïõò áñéèìþí äéáéñþ ôï Üèñïéóìá ôùí áñéèìþí ìå

ôï ðëÞèïò áõôþí ôùí áñéèìþí.

Êáé ëýíù: Ãéá ôç ËÜñéóá: Ì.Ï. åßíáé (12 + 19 + 20 + 22 + 14): 5 =87:5 = 17,4

Ãéá ôá ÉùÜííéíá Ì.Ï. åßíáé: (15 + 19 +19 + 19 +17): 5 = 89:5 = 17,8

Óôç ËÜñéóá åßíáé 17,4 êáé ôá ÉùÜííéíá åßíáé 17,8

• Ç êüêêéíç ãñáììÞ åßíáé ðÜíù áðü ôçí êáôþôåñç ôéìÞ êáé êÜôù áðü ôçí áíþôåñç. Óôéò èåñìïêñá-

óßåò ôçò ËÜñéóáò ïé ôéìÝò Ý÷ïõí ìåãÜëç äéáöïñÜ ìåôáîý ôïõò Þ üðùò áëëéþò ëÝìå ìåãÜëç äéáóðï-

ñÜ óå áíôßèåóç ìå ôéò èåñìïêñáóßåò ôùí Éùáííßíùí óôéò ïðïßåò õðÜñ÷åé ìéêñüôåñç äéáóðïñÜ.

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.14

Page 15: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

133

ÓôáôéóôéêÞ - ÌÝóïò ¼ñïò

¢óêçóç áÃíùñßæù üôé ï ìÝóïò üñïò çëéüëïõóôùí çìåñþí ôï êáëïêáßñé óôçí Èåóóáëï-

íßêç åßíáé 22 çìÝñåò. Áí ï Éïýíéïò Ý÷åé 20 çëéüëïõóôåò çìÝñåò êáé ï Éïýëéïò

Ý÷åé 21 çëéüëïõóôåò çìÝñåò,

• Ðüóåò çëéüëïõóôåò çìÝñåò ðñïâëÝðåôå íá Ý÷ïõìå ôïí Áýãïõóôï;

• Ìðïñïýìå íá ðñïâëÝøïõìå ðñïêáôáâïëéêÜ áí ï Áýãïõóôïò åßíáé ðåñéó-

óüôåñï Þ ëéãüôåñï çëéüëïõóôïò ìÞíáò áðü ôïí Éïýíéï êáé ôïí Éïýëéï;

ëýóç

• Ôïí Áýãïõóôï ðñïâëÝðåôáé íá Ý÷åé 25 çìÝñåò äéüôé ï Ì.Ï. ôïõ êáëïêáéñéïý åßíáé 22 çìÝñåò,äçëáäÞ óõíïëéêÜ (22÷3) çìÝñåò = 66 çìÝñåò çëéüëïõóôåò üëï ôï êáëïêáßñé.Ïðüôå ôïí Áýãïõóôï èá Ý÷ù 66 – (20 + 21) = (66 – 41) çìÝñåò = 25 çìÝñåò.

• ¢ñá ìðïñïýìå íá ðñïâëÝøïõìå ðñïêáôáâïëéêÜ üôé ï Áýãïõóôïò èá åßíáé ï ðéï çëéüëïõóôïòìÞíáò ôïõ êáëïêáéñéïý áöïý ï áñéèìüò ôùí çëéüëïõóôùí çìåñþí åßíáé ðåñéóóüôåñåò ôùíÜëëùí äýï ìçíþí êáé ìåãáëýôåñïò áðü ôï ìÝóï üñï, äçëáäÞ ôï 22.

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò ãôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 21

• Ï ìÝóïò üñïò âñï÷üðôùóçò áíá ìÞíá åßíáé 131 ÷éë. Üñá óõíïëéêÜ ôçí

Üíïéîç Ý÷ïõìå (131 ÷ 3) = 393÷éë.

¢ñá ôïí ÌÜúï Ý÷ïõìå 393 – (137 + 133) = (393 – 270)÷éë. = 123÷éë.

• Âåâáßùò äéüôé ï áñéèìüò ðñÝðåé íá åßíáé áñêåôÜ ìéêñüôåñïò ôùí õðüëïé-

ðùí êáé âåâáßùò ìéêñüôåñïò ôïõ 131.

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò äôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 21

• Ï Ì.Ï. ôùí ìáèçôþí ôçò ÓÔ΄ ôÜîçò óôá ó÷ïëåßá ðïõ öáßíïíôáé óôï äéÜ-

ãñáììá åßíáé (22 + 3 + 6 + 1 +19 + 28 + 3 + 14):8 = (96:8) = 12 ìáèçôÝò.

• 12 âéâëßá óå êÜèå ó÷ïëåßï èá äùñßóïõí áí âáóéóôïýí óôï Ì.Ï. ðïõ

õðïëüãéóá ðñïçãïõìÝíùò.

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.15

Page 16: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

134

ÓôáôéóôéêÞ - ÌÝóïò ¼ñïò

¢óêçóç âÏ ðáñáêÜôù ðßíáêáò äßíåé ôïõò ðüíôïõò ðïõ Ýâáëáí óå 5 ðáé÷íßäéá ìðÜóêåô ï Ëåùíßäáò êáé ï Ðáýëïò.

ÓõìðëÞñùóå üôé ëåßðåé óôïí ðßíáêá.

ëýóç

Ãéá ôïí Ëåùíßäá ï Ì.Ï. ôùí ðüíôùí ðïõ ðÝôõ÷å åßíáé (8 + 12 + 6 + 9 + 15):5 = (50:5) ðüíôïõò = 10 ðüíôïõò.Ãéá ôïí Ðáýëï ãíùñßæù üôé ï Ì.Ï. ôùí ðüíôùí ðïõ Ýâáëå åßíáé 11.¢ñá Ýâáëå óõíïëéêÜ (11 ÷ 5) ðüíôïé = 55 ðüíôïé.¢ñá óôïí 3ï áãþíá Ýâáëå 55 – (9 + 14 + 11 + 14) = (55 – 48)ðüíôïé = 7 ðüíôïé.

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò åôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 21

Ì.Ï.

óåéñÜ 1ç 2,5 3 0,5 0,25 1,25 1,5

óåéñÜ 2ç1

2

5

2

2

43 1 1,5

óåéñÜ 3ç1

20,5

4

21,5 3 1,5

Ãéá íá óõìðëçñþóù ôïí ðßíáêá õðïëüãéóá ôá åîÞò:

óåéñÜ 3ç: 5 ÷ 1,5 = 7,5

1 47,5 0,5 3 1,5

2 2

− + + + =

óåéñÜ 1ç: (2,5 + 3 + 0,5 + 0,25 + 1,25):5 = 7,5:5 = 1,5

óåéñÜ 2ç: 5 ÷ 1,5 = 7,5.

1 5 27,5 3 1

2 2 4

− + + + =

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.16

Page 17: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

Click t

o buy N

OW!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.com Clic

k to b

uy NOW

!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.c

omClick t

o buy N

OW!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.com Clic

k to b

uy NOW

!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.c

omClick t

o buy N

OW!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.com Clic

k to b

uy NOW

!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.c

omClick t

o buy N

OW!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.com Clic

k to b

uy NOW

!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.c

omClick t

o buy N

OW!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.com Clic

k to b

uy NOW

!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.c

omClick t

o buy N

OW!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.com Clic

k to b

uy NOW

!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.c

omClick t

o buy N

OW!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.com Clic

k to b

uy NOW

!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.c

omClick t

o buy N

OW!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.com Clic

k to b

uy NOW

!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.c

om

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.17

Γιώργος Μπαρούτας
Ορθογώνιο
Γιώργος Μπαρούτας
Πλαίσιο Κειμένου
Μάθημα 25ο Στατιστική – Μέσος όρος Όταν έχουμε μια σειρά από μετρήσεις, οι οποίες αφορούν το ίδιο θέμα, μπορούμε να τις προσθέσουμε και να διαιρέσουμε το άθροισμα με το πλήθος των μετρήσεων. Ο αριθμός, ο οποίος προκύπτει με αυτόν τον τρόπο, ονομάζεται μέσος όρος των μετρήσεων. Ο μέσος όρος είναι πολύ χρήσιμος σε διάφορες περιπτώσεις : -Αντιπροσωπεύει με σαφή τρόπο μια ομάδα μετρήσεων ( π.χ. ένας μαθητής της Ε΄ τάξης πήρε στο πρώτο τρίμηνο τους εξής βαθμούς : Γλώσσα 9, Μαθηματικά 10, Φυσική 10, Ιστορία 9, Θρησκευτικά 10, Γεωγραφία 8, Κοινωνική και Πολιτική Αγωγή 9, Φυσική Αγωγή 10, Αισθητική Αγωγή 9, Ξένη Γλώσσα 9. Ο μέσος όρος των βαθμών του είναι : 9 + 10 + 10 + 9 + 10 + 8 + 9 + 10 + 9 + 9 = 93 : 10 = 9,3 ). -Επιτρέπει την πρόβλεψη μιας μέτρησης ( π.χ. αν ένας παίκτης του μπάσκετ στους 8 προηγούμενους αγώνες της ομάδας του σημείωσε τους εξής πόντους 14, 17, 15, 12, 6, 16, 17, 14, στον επόμενο αγώνα είναι πιθανό να σημειώσει 14 + 17 + 15 + 12 + 6 + 16 + 17 + 14 = 111 111 : 8 = 13,875 δηλαδή περίπου 14 πόντους ). -Να περιγράψουμε ένα πλήθος δεδομένων, με μία μόνο τιμή ( π.χ. Ο μέσος όρος ηλικίας των μαθητών της Ε΄ τάξης είναι 11 ετών ). Μ.Ο. αριθμών = 1ο Παράδειγμα Το κυλικείο του σχολείου μας πούλησε τη Δευτέρα 30 τυρόπιτες, την Τρίτη 45, την Τετάρτη 60, την Πέμπτη 55 και την Παρασκευή 50 τυρόπιτες. Πόσες τυρόπιτες πούλησε κατά μέσο όρο αυτή την εβδομάδα ; Λύση Απάντηση: Πούλησε κατά μέσο όρο 48 τυρόπιτες την ημέρα . Παράδειγμα Το κυλικείο του σχολείου μας πούλησε τη Δευτέρα 30 τυρόπιτες, την Τρίτη 45, την Τετάρτη 60, την Πέμπτη 55 και την Παρασκευή 50 τυρόπιτες. Πόσες τυρόπιτες πούλησε κατά μέσο όρο αυτή την εβδομάδα ; Παράδειγμα Το κυλικείο του σχολείου μας πούλησε τη Δευτέρα 30 τυρόπιτες, την Τρίτη 45, την Τετάρτη 60, την Πέμπτη 55 και την Παρασκευή 50 τυρόπιτες. Πόσες τυρόπιτες πούλησε κατά μέσο όρο αυτή την εβδομάδα ;
Γιώργος Μπαρούτας
Σφραγίδα
Γιώργος Μπαρούτας
Γραφομηχανή
άθροισμα αριθμών 30+45+60+55+50 240 πλήθος αριθμών 5 5
Γιώργος Μπαρούτας
Γραφομηχανή
Μ.Ο. = = = = 48 τυρόπιτες
Γιώργος Μπαρούτας
Γραμμή
Γιώργος Μπαρούτας
Γραμμή
Γιώργος Μπαρούτας
Γραμμή
Γιώργος Μπαρούτας
Γραφομηχανή
άθροισμα αριθμών πλήθος αριθμών
Γιώργος Μπαρούτας
Γραμμή
Γιώργος Μπαρούτας
Πλαίσιο Κειμένου
2οΠαράδειγμα Το κυλικείο του σχολείου μας πούλησε τη Δευτέρα 30 τυρόπιτες, την Τρίτη 45, την Τετάρτη 60, και την Πέμπτη 55. Αν κατά μέσο όρο κάθε μέρα αυτή την εβδομάδα πουλούσε 48 τυρόπιτες, πόσες τυρόπιτες πούλησε την Παρασκευή;
Γιώργος Μπαρούτας
Σφραγίδα
Γιώργος Μπαρούτας
Γραφομηχανή
ημέρες Δευτέρα Τρίτη Τετάρτη Πέμπτη Παρασκευή Μ.Ο. τυρόπιτες 30 45 60 55 Χ; 48
Γιώργος Μπαρούτας
Γραφομηχανή
Χ = (Μέσος Όρος επί Πλήθος Αριθμών) βγάζω το μερικό Άθροισμα Αριθμών Χ = (Μ.Ο. Χ Π.Α.) - μ.Α.Α. Χ = (48 Χ 5) - (30+45+60+55) Χ = 240 - 190 Χ = 50 τυρόπιτες
Γιώργος Μπαρούτας
Γραφομηχανή
Απάντηση: Την Παρασκευή πούλησε 50 τυρόπιτες.
Xristos
Πλαίσιο κειμένου
Γεώργιος Μπαρούτας
Page 18: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

Click t

o buy N

OW!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.com Clic

k to b

uy NOW

!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.c

omClick t

o buy N

OW!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.com Clic

k to b

uy NOW

!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.c

omClick t

o buy N

OW!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.com Clic

k to b

uy NOW

!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.c

omClick t

o buy N

OW!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.com Clic

k to b

uy NOW

!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.c

omClick t

o buy N

OW!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.com Clic

k to b

uy NOW

!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.c

omClick t

o buy N

OW!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.com Clic

k to b

uy NOW

!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.c

omClick t

o buy N

OW!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.com Clic

k to b

uy NOW

!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.c

omClick t

o buy N

OW!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.com Clic

k to b

uy NOW

!PD

F-XChange Viewer

ww

w.docu-track.c

om

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.18

Γιώργος Μπαρούτας
Ορθογώνιο
Γιώργος Μπαρούτας
Πλαίσιο Κειμένου
Ασκήσεις 1. Ένα προϊόν πωλείται σε 3 διαφορετικά καταστήματα στις παρακάτω τιμές : 18 €, 20 € και 22 €. Ποια είναι η μέση τιμή πώλησης του προϊόντος; 2. Οι θερμοκρασίες αυτή την εβδομάδα στη Λάρισα ήταν οι παρακάτω : τη Δευτέρα 10 οC, την Τρίτη 11 οC, την Τετάρτη 10 οC, την Πέμπτη 12 οC και την Παρασκευή 12 οC. Ποια είναι η μέση θερμοκρασία της εβδομάδας στη Λάρισα; 3. Στους πέντε αγώνες μπάσκετ του σχολικού πρωταθλήματος, ο καλύτερος παίκτης μας σημείωσε 22, 18, 15, 10, 15 πόντους αντίστοιχα. Πόσους πόντους κατά μέσο όρο σημείωνε σε κάθε παιχνίδι; 4. Ένα κατάστημα ηλεκτρικών ειδών εισέπραξε τον Ιανουάριο 12.000 €, το Φεβρουάριο 14.000 € και το Μάρτιο 16.000 €. Πόσα χρήματα εισέπραξε κατά μέσο όρο τον μήνα, το πρώτο τρίμηνο της χρονιάς; 5. Αυτοί είναι οι επισκέπτες του Λαογραφικού Μουσείου Γόννων για την εβδομάδα που πέρασε: Πόσοι ήταν κατά μέσο όρο οι επισκέπτες του Μουσείου; 6. Να υπολογίσεις με τι βαθμό θα προαχθεί η Τάνια, που πήρε τους παρακάτω βαθμούς : Θρησκευτικά 10, Γλώσσα 9, Μαθηματικά 8, Γεωγραφία 9, Αγγλικά 10, Φυσική 7, Ιστορία 8, Γυμναστική 10, Μουσική 9, Ζωγραφική 9. 7. Το περσινό Φθινόπωρο οι βροχές στο Ν. Λάρισας ήταν: το Σεπτέμβρη 210 χιλιοστά, τον Οκτώβρη 330 χιλιοστά και τον Νοέμβρη 420 χιλιοστά. Ποιος ήταν ο μέσος όρος βροχοπτώσεων αυτούς τους τρεις μήνες ; 8. Η Νικολέττα αρρώστησε με πυρετό κι η μαμά της της έβαλε θερμόμετρο. Το πρωί το θερμόμετρο έδειξε 36,8 βαθμούς Κελσίου, το μεσημέρι 39,2 το απόγευμα 39,8 και το βράδυ 40. Ποιος ήταν κατά μέσο όρο ο πυρετός της την ημέρα αυτή ; 9. Η Όλγα παίρνοντας τη βαθμολογία του Α' τριμήνου λυπήθηκε γιατί εκτίμησε ότι η βαθμολογία της ήταν χαμηλότερη από αυτήν του Α' τριμήνου της περσινής χρονιάς. Παρατήρησε τους βαθμούς της. Εκτίμησε σωστά ; Γιατί ; Βαθμοί 2011 : Γλώσσα 8, Μαθηματικά 9, Ιστορία 10, Φυσική 8, Γεωγραφία 10, Θρησκευτικά 10, Αγωγή 10, Μουσική 10, Τεχνικά 10, Αγγλικά 8. Βαθμοί 2012 : Γλώσσα 9, Μαθηματικά 9, Ιστορία 9, Φυσική 9, Γεωγραφία 9, Θρησκευτικά 10, Αγωγή 9, Μουσική 9, Τεχνικά 10, Αγγλικά 10.
Γιώργος Μπαρούτας
Σφραγίδα
Xristos
Πλαίσιο κειμένου
Page 19: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

Nansy Tzg

Στατιστική - Μέσος όρος (1) 20/12/10

Πολλές φορές χρειάζεται να περιγράψουμε ένα πλήθος

δεδομένων με μια μόνο τιμή. Σε τέτοιες περιπτώσεις χρησιμοποιούμε το μέσο όρο (ή μέση τιμή).

Ο μέσος όρος μας βοηθά στη σύγκριση, στην εκτίμηση και στην

πρόβλεψη. Για να βρούμε το μέσο όρο (Μ.Ο.), προσθέτουμε τους αριθμούς

αυτούς και το άθροισμά τους το διαιρούμε με τον αριθμό που φανερώνει το πλήθος τους.

Άθροισμα αριθμών

Μ.Ο. = --------------------------------

Πλήθος αριθμών

Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α

Ο παρακάτω πίνακας δείχνει πόσους φυσικούς χυμούς πούλησε το κυλικείο ενός

σχολείου σε διάστημα μιας εβδομάδας.

Δευτέρα Τρίτη Τετάρτη Πέμπτη Παρασκευή

35 30 45 25 15

Βρίσκω το μέσο όρο (Μ.Ο.) των φυσικών χυμών που πούλησε τη μία μέρα.

Άθροισμα αριθμών 35 + 30 + 45 + 25 + 15 150

Μ.Ο. = --------------------------- = -------------------------------- = -------- = 30 Πλήθος αριθμών 5 5

Ο αριθμός 30 δείχνει περιληπτικά τις πωλήσεις χυμών την ημέρα.

Δευτέρα, 35

Τρίτη, 30

Τετάρτη, 45

Πέμπτη, 25

Παρσκευή, 15

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Δευτέρα Τρίτη Τετάρτη Πέμπτη Παρσκευή

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.19

Page 20: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

Nansy Tzg

Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

1. Μια ομάδα μπάσκετ σημείωσε στους πέντε πρώτους αγώνες που έδωσε τους παρακάτω πόντους:

α΄ αγώνας β΄ αγώνας γ΄ αγώνας δ΄ αγώνας ε΄ αγώνας

85 80 75 95 100

α.) Να δείξεις τους πόντους που πέτυχε η ομάδα σε ραβδόγραμμα.

65

70

75

80

85

90

95

100

α΄ αγ. β΄ αγ. γ΄ αγ. δ΄ αγ. ε΄ αγ.

β.) Πόσους πόντους κατά μέσο όρο πέτυχε η ομάδα σε κάθε αγώνα;

Λύση:

Απάντηση:

2. Μία ομάδα μπάσκετ έχει δώδεκα παίκτες. Οι δύο έχουν ανάστημα 2,14 μ., οι τρείς 2,09 μ., οι δύο 2,06 μ., οι τρεις 2,03 μ. και οι δύο 1,98 μ. Να βρεθεί η

μέση τιμή του αναστήματος των παικτών.

Λύση:

Απάντηση:

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.20

Page 21: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

Nansy Tzg

Όνομα: ………………………………………………………………………………………

Στατιστική - Μέσος όρος (2)

3. Ο Χρήστος πήρε σε δύο μαθήματα 10, σε τρία πήρε 9, σε ένα πήρε 8, σε

τρία πήρε 7 και σε δύο πήρε 6. Με τι βαθμό θα προβιβαστεί;

Λύση:

Απάντηση:

4. Η Μυρτώ κατέγραψε στον παρακάτω πίνακα τη θερμοκρασία της προηγούμενης βδομάδας. α.) Δείχνω με ραβδόγραμμα τα δεδομένα του πίνακα,

β.) Βρίσκω το Μ. Ο. της θερμοκρασίας.

Δευτέρα Τρίτη Τετάρτη Πέμπτη Παρασκευή Σάββατο Κυριακή

9,5ο C 10,5ο C 11ο C 11,5ο C 12,5ο C 13,5ο C 12ο C

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

ΔΕΥΤ. ΤΡ. ΤΕΤ. ΠΕΜΠ. ΠΑΡ. ΣΑΒΒ. ΚΥΡ.

Λύση:

Απάντηση:

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.21

Page 22: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

Nansy Tzg

5. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει πόσες τυρόπιτες πούλησε το κυλικείο ενός σχολείου τις πέντε εργάσιμες ημέρες μιας εβδομάδας. Βρίσκω το Μ. Ο. των

τυροπιτών που πούλησε τη μία μέρα και τον παρουσιάζω στο ραβδόγραμμα:

0

20

40

60

80

100

Δευτ. Τρ. Τετ. Πέμπ. Παρ.

Μ.Ο.:

……………………………………………………………………………………………… Απάντηση: ………………………………………………………………………………………..

6. Το Αρχαιολογικό Μουσείο Αθηνών επισκέφτηκαν τον Οκτώβριο 250 μαθητές,

τον Νοέμβριο 300 μαθητές, τον Δεκέμβριο 400 μαθητές και τον Φεβρουάριο 350 μαθητές. α.) Πόσοι μαθητές το μήνα, κατά μέσο όρο, επισκέφτηκαν το

Μουσείο; β.) Να συμπληρώσεις σωστά το ραβδόγραμμα.

Λύση:

Απάντηση:

0

100

200

300

400

500

Οκτ. Νοεμ. Δεκ. Ιαν. Φεβ.

Όνομα: ……………………………………………………………………………………………………….

Ημέρες Τυρόπιτες

Δευτέρα 70

Τρίτη 60

Τετάρτη 90

Πέμπτη 50

Παρασκευή 30

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.22

Page 23: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

www.akida.info

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ΄ 5η ΕΝΟΤΗΤΑ

Στατιστική - Μέσος όρος

ΣΤΟΧΟΙ

Οι μαθητές:

α) Να υπολογίζουν το μέσο όρο δεδομένων.

β) Να γνωρίσουν καταστάσεις καθημερινής ζωής στις οποίες χρησιμοποιείται ο μέσος όρος.

γ) Να λύνουν προβλήματα σχετικά με το μέσο όρο.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ

1. Δίνεται σε διαφάνεια το πιο κάτω πρόβλημα:

Είστε στην επιτροπή μιας ποδοσφαιρικής ομάδας, που ενδιαφέρεται ν΄αποκτήσει κεντρικό κυνηγό.

Η επιλογή θα γίνει ανάμεσα σε 4 ποδοσφαιριστές, που αγωνίζονται στο ίδιο πρωτάθλημα και έχουν

το ίδιο «κασέ». Στον πιο κάτω πίνακα δίνονται κάποιες χρήσιμες πληροφορίες για τον κάθε

ποδοσφαιριστή για τη χρονιά που πέρασε.

Ποδοσφαιριστής Σύνολο αγώνων Σύνολο τερμάτων

Α 15 18

Β 10 13

Γ 12 18

Δ 20 20

Ποιον από τους πιο πάνω ποδοσφαιριστές θα εισηγήσουν στα υπόλοιπα μέλη της επιτροπής, για να

μεταγραφεί στην ομάδα σου; Να δικαιολογήσεις την άποψή σου.

- Τα παιδιά συζητούν στην ομάδα τους, για να δώσουν λύση στο πιο πάνω πρόβλημα.

Αναμένεται πως (μεταξύ άλλων λύσεων) τα παιδιά θα βρουν το μέσο όρο τερμάτων που

σημείωσε ο κάθε ποδοσφαιριστής ανά αγώνα.

- Τα παιδιά ανακοινώνουν το αποτέλεσμα της εργασίας τους.

- Εξηγείται στα παιδιά ότι το πηλίκο της διαίρεσης:

Σύνολο τερμάτων : Σύνολο αγώνων = Μέσος όρος τερμάτων ανά αγώνα

- Ο Δ΄ποδοσφαιριστής σημείωνε ένα τέρμα σε κάθε αγώνα. Συμφωνείτε ή όχι με τη γνώμη αυτή;

Δικαιολογήστε τη γνώμη σας. (Γίνεται αναφορά στο ότι ο Δ΄ποδοσφαιριστής μπορεί σ΄έναν

αγώνα να σημείωσε ένα τέρμα , σε άλλο δύο, σε άλλο κανένα κτλ. Ο μέσος όρος όμως των

τερμάτων που σημείωσε ανά αγώνα ισούται με 1).

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.23

Page 24: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

www.akida.info

- Ποιος είναι ο πρώτος σκόρερ του κυπριακού πρωταθλήματος; Πόσα τέρματα σημείωσε στο

πρωτάθλημα τη φετινή χρονιά. (30 τέρματα) Αν αγωνίστηκε σε 25 αγώνες, μπορείτε νε βρείτε

το μέσο όρο των τερμάτων που πέτυχε ο ποδοσφαιριστής στο φετινό πρωτάθλημα;

Με την πρώτη δραστηριότητα αναμένεται να ξεκαθαριστεί η έννοια και ο τρόπος εύρεσης του

μέσου όρου δεδομένων.

2. Γνωρίζετε σε ποιες καταστάσεις από την καθημερινή μας ζωή, χρησιμοποιείται ο μέσος

όρος;

- Ακούονται οι γνώμες των παιδιών, χωρίς να σχολιάζονται.

- Τονίζεται στα παιδιά, ότι θα γνωρίσουν αυτές τις καταστάσεις μέσα από διάφορα προβλήματα,

που θα λύσουν στη συνέχεια.

3. Δίνεται το φύλλο εργασίας, στο οποίο υπάρχουν διάφορα προβλήματα. Τα παιδιά λύνουν

στην ομάδα τους τα προβλήματα αυτά. Ο δάσκαλος γυρνά από ομάδα σε ομάδα και

βοηθά τα παιδιά, όταν χρειάζεται. Σε προβλήματα που παρουσιαστούν δυσκολίες σε

αρκετά παιδιά, θα λυθούν (με συζήτηση) ενώπιον της τάξης.

Η Μαρία είναι αθλήτρια ολυμπιακής γυμναστικής. Στους τελευταίους αγώνες που έλαβε

μέρος οι κριτές της έδωσαν τις πιο κάτω βαθμολογίες:

1ος κριτής 2ος κριτής 3ος κριτής 4ος κριτής 5ος κριτής

8,4 8,6 9 9,2 8,8

Ποιος είναι ο μέσος όρος της βαθμολογίας της;

Στην τάξη του Μάριου, ο δάσκαλος, τους έκανε διαγώνισμα στα Μαθηματικά. Τα παιδιά

πήραν τους ακόλουθους βαθμούς:

17, 8 , 18, 19, 13, 12, 12, 14, 20, 5,

8, 19, 19, 19,16, 16, 15, 14, 11, 20

- Ποιος είναι ο μέσος όρος της τάξης στο διαγώνισμα των Μαθηματικών;

- Πόσα παιδιά πήραν πιο πάνω και πόσα πιο κάτω από το μέσο όρο;

- Ο Μάριος στο διαγώνισμα αυτό πήρε 12. Πόσα έπρεπε να πάρει ο Μάριος, ώστε ο μέσος όρος

της τάξης να γίνει 15;

- Πόσος θα ήταν ο μέσος όρος της τάξης, αν εκείνη τη μέρα που έγινε το διαγώνισμα, ο Μάριος

απουσίαζε;

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.24

Page 25: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

www.akida.info

Η Μετεωρολογική Υπηρεσία στις 22/3/2001 κατάγραψε τη θερμοκρασιία της Λευκωσίας 5

φορές την ημέρα και 5 τη νύχτα. Οι μετρήσεις φαίνονται στον πιο κάτω πίνακα:

Ημέρα 23 0 C 27

0 C 28

0 C 26

0 C 21

0 C

Νύχτα 11 0 C 11

0 C 12

0 C 14

0 C 12

0 C

Ποια θερμοκρασία ημέρας και ποια νύχτας έδωσε η Μετεωρολογική Υπηρεσία στα μέσα

μαζικής ενημέρωσης για το δελτίο καιρού, στις 22/3/2001;

Το αρτοπωλείο «Το μυρωδάτο ψωμί» είχε την περασμένη βδομάδα τις πιο κάτω πωλήσεις

ψωμιών:

Δευτέρα: 86 Τρίτη: 105 Τετάρτη: 111

Πέμπτη: 79 Παρασκευή: 208 Σάββατο: 125

- Βρες το μέσο όρο των πωλήσεων για τις 6 αυτές μέρες.

- Με τις πωλήσεις της Κυριακής ο μέσος όρος έγινε 120. Να βρεις πόσα ψωμιά πώλησε το

συγκεκριμένο αρτοπωλέιο την Κυριακή.

4. Εργασία από το βιβλίο:

- Σελ. 32: Α,Β, Γ

- Σελ. 33: Ε (προαιρετική)

5. Εργασία για το σπίτι:

΄Ο,τι μείνει από τις πιο πάνω εργασίες.

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.25

Page 26: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

www.akida.info

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ΄ 5η ΕΝΟΤΗΤΑ

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

Μέσος όρος

Να λύσετε τα πιο κάτω προβλήματα στο τετράδιό σας:

1. Η Μαρία είναι αθλήτρια ολυμπιακής γυμναστικής. Στους τελευταίους αγώνες που έλαβε

μέρος οι κριτές της έδωσαν τις πιο κάτω βαθμολογίες:

1ος κριτής 2ος κριτής 3ος κριτής 4ος κριτής 5ος κριτής

8,4 8,6 9 9,2 8,8

Ποιος είναι ο μέσος όρος της βαθμολογίας της;

2. Στην τάξη του Μάριου, ο δάσκαλος, τους έκανε διαγώνισμα στα Μαθηματικά. Τα παιδιά

πήραν τους ακόλουθους βαθμούς.

17, 8 , 18, 19, 13, 12, 12, 14, 20, 5,

8, 19, 19, 19,16, 16, 15, 14, 11, 20

- Ποιος είναι ο μέσος όρος της τάξης στο διαγώνισμα των Μαθηματικών;

- Πόσα παιδιά πήραν πιο πάνω και πόσα πιο κάτω από το μέσο όρο;

- Ο Μάριος στο διαγώνισμα αυτό πήρε 12. Πόσα έπρεπε να πάρει ο Μάριος, ώστε ο μέσος όρος

της τάξης να γίνει 15;

- Πόσος θα ήταν ο μέσος όρος της τάξης, αν εκείνη τη μέρα που έγινε το διαγώνισμα ο Μάριος

απουσίαζε;

3. Η Μετεωρολογική Υπηρεσία στις 22/3/2001 κατάγραψε τη θερμοκρασιία της Λευκωσίας 5

φορές την ημέρα και 5 τη νύχτα. Οι μετρήσεις φαίνονται στον πιο κάτω πίνακα:

Ημέρα 23 0 C 27

0 C 28

0 C 26

0 C 21

0 C

Νύχτα 11 0 C 11

0 C 12

0 C 14

0 C 12

0 C

Ποια θερμοκρασία ημέρας και ποια νύχτας έδωσε η Μετεωρολογική Υπηρεσία στα μέσα

μαζικής ενημέρωσης για το δελτίο καιρού, στις 22/3/2001;

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.26

Page 27: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

www.akida.info

4. Το αρτοπωλείο «Το μυρωδάτο ψωμί» είχε την περασμένη βδομάδα τις πιο κάτω πωλήσεις

ψωμιών:

Δευτέρα: 86 Τρίτη: 105 Τετάρτη: 111

Πέμπτη: 79 Παρασκευή: 208 Σάββατο: 125

- Βρες το μέσο όρο των πωλήσεων για τις 6 αυτές μέρες.

- Με τις πωλήσεις της Κυριακής ο μέσος όρος έγινε 120. Να βρεις πόσα ψωμιά πώλησε το

συγκεκριμένο αρτοπωλέιο την Κυριακή.

5. Εργασία από το βιβλίο:

- Σελ. 32: Α,Β, Γ

- Σελ. 33: Ε (προαιρετική)

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.27

Page 28: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

www.akida.info

Είστε στην επιτροπή μιας ποδοσφαιρικής ομάδας, που ενδιαφέρεται

ν΄αποκτήσει κεντρικό κυνηγό. Η επιλογή θα γίνει ανάμεσα σε 4

ποδοσφαιριστές, που αγωνίζονται στο ίδιο πρωτάθλημα και έχουν το ίδιο

«κασέ». Στον πιο κάτω πίνακα δίνονται κάποιες χρήσιμες πληροφορίες για

τον κάθε ποδοσφαιριστή για τη χρονιά που πέρασε.

Ποδοσφαιριστής Σύνολο αγώνων Σύνολο τερμάτων

Α 15 18

Β 10 13

Γ 12 18

Δ 20 20

Ποιον από τους πιο πάνω ποδοσφαιριστές θα εισηγήσουν στα

υπόλοιπα μέλη της επιτροπής , για να μεταγραφεί στην ομάδα σου; Να

δικαιολογήσεις την άποψή σου.

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.28

Page 29: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

www.akida.info

1. Η Μαρία είναι αθλήτρια ολυμπιακής γυμναστικής. Στους τελευταίους

αγώνες που έλαβε μέρος οι κριτές της έδωσαν τις πιο κάτω

βαθμολογίες:

1ος κριτής 2ος κριτής 3ος κριτής 4ος κριτής 5ος κριτής

8,4 8,6 9 9,2 8,8

Ποιος είναι ο μέσος όρος της βαθμολογίας της;

2. Στην τάξη του Μάριου, ο δάσκαλος, τους έκανε διαγώνισμα στα

Μαθηματικά. Τα παιδιά πήραν τους ακόλουθους βαθμούς.

17, 8 , 18, 19, 13, 12, 12, 14, 20, 5,

8, 19, 19, 19,16, 16, 15, 14, 11, 20

- Ποιος είναι ο μέσος όρος της τάξης στο διαγώνισμα των Μαθηματικών;

- Πόσα παιδιά πήραν πιο πάνω και πόσα πιο κάτω από το μέσο όρο;

- Ο Μάριος στο διαγώνισμα αυτό πήρε 12. Πόσα έπρεπε να πάρει ο

Μάριος, ώστε ο μέσος όρος της τάξης να γίνει 15;

- Πόσος θα ήταν ο μέσος όρος της τάξης, αν εκείνη τη μέρα που έγινε το

διαγώνισμα ο Μάριος απουσίαζε;

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.29

Page 30: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

www.akida.info

3. Η Μετεωρολογική Υπηρεσία στις 22/3/2001 κατάγραψε τη

θερμοκρασιία της Λευκωσίας 5 φορές την ημέρα και 5 τη νύχτα. Οι

μετρήσεις φαίνονται στον πιο κάτω πίνακα:

Ημέρα 23 0 C 27

0 C 28

0 C 26

0 C 21

0 C

Νύχτα 11 0 C 11

0 C 12

0 C 14

0 C 12

0 C

Ποια θερμοκρασία ημέρας και ποια νύχτας έδωσε η Μετεωρολογική

Υπηρεσία στα μέσα μαζικής ενημέρωσης για το δελτίο καιρού, στις

22/3/2001;

4. Το αρτοπωλείο «Το μυρωδάτο ψωμί» είχε την περασμένη βδομάδα τις

πιο κάτω πωλήσεις ψωμιών:

Δευτέρα: 86 Τρίτη: 105 Τετάρτη: 111

Πέμπτη: 79 Παρασκευή: 208 Σάββατο: 125

- Βρες το μέσο όρο των πωλήσεων για τις 6 αυτές μέρες.

- Με τις πωλήσεις της Κυριακής ο μέσος όρος έγινε 120. Να βρεις πόσα

ψωμιά πώλησε το συγκεκριμένο αρτοπωλέιο την Κυριακή.

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.30

Page 31: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

Nansy Tzg

Στατιστική – Μέσος όρος (3)

1. Βρίσκω το μέσο όρο των αριθμών: 8, 9, 5, 7, 3, 9, 6, 10.

2. Το κυλικείο ενός σχολείου πούλησε τη Δευτέρα 48 τυρόπιτες, την Τρίτη 40

τυρόπιτες, την Τετάρτη 44 τυρόπιτες, την Πέμπτη 51 τυρόπιτες και την Παρασκευή

52. Πόσες τυρόπιτες πουλάει κατά μέσο όρο την ημέρα;

Βρίσκω με ακρίβεια.

Κάνω οριζόντιο ραβδόγραμμα.

0 10 20 30 40 50 60

Δευτέρα

Τρίτη

Τετάρτη

Πέμπτη

Παρασκευή

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.31

Page 32: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

Nansy Tzg

3. Το ραβδόγραμμα δείχνει τον αριθμό των μαθητών που γράφτηκαν στην Α’ τάξη

από το 2001 έως το 2006 σε ένα δημοτικό σχολείο στο Ηράκλειο Κρήτης.

Α) βρίσκω το μέσο όρο των μαθητών που γράφτηκαν στην Α’ τάξη.

Β) Ποια σχολική χρονιά γράφτηκαν περισσότεροι μαθητές; ……………………………….

Γ) Ποια σχολική χρονιά γράφτηκαν οι λιγότεροι μαθητές; ………………………………….

Δ) Αυξήθηκε ή μειώθηκε ο αριθμός των μαθητών; …………………………………………….

Ε) Τι συμπέρασμα μπορώ να βγάλω; Τι μου κάνει εντύπωση;

………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………….

Όνομα: ………………………………………………………………………………………………………………………….

0

10

20

30

40

50

2001 - 2002 2002 - 2003 2003 - 2004 2004 - 2005 2005 - 2006

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.32

Page 33: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:ΙΜΣΙΡΙΔΟΥ ΜΑΡΙΑ Α.Ε.Μ: 1986 ΕΞΑΜΗΝΟ: Ε’ ΘΕΜΑ: «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ-ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ» ΣΧΟΛΕΙΟ: 1Ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΑΞΗ: Ε’ ΤΜΗΜΑ: Ε’2 ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΑΠΟΣΠΑΣΜΕΝΗ: ΚΑΠΠΑΤΟΥ ΝΑΤΑΣΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 27-01-2009

ΦΛΩΡΙΝΑ,2009

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.33

Page 34: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

2

4.ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

4.1 ΤΟ ΓΝΩΣΤΙΚΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ Το συγκεκριμένο γνωστικό αντικείμενο, το οποίο διδάχθηκε στην Πέμπτη(Ε’) Δημοτικού, προτείνεται από το σχολικό εγχειρίδιο ως η εικοστή πρώτη(21η) ενότητα αυτού και προσφέρεται με τον τίτλο «Στατιστική-μέσος όρος». Το γνωστικό αντικείμενο «Στατιστική-μέσος όρος» διδάσκεται μόνο στις δύο μεγαλύτερες τάξεις του Δημοτικού, την Ε’ και την Στ’. Στην Ε’ Δημοτικού η διδαχή του προτείνεται να πραγματοποιηθεί στην εικοστή πρώτη(21η) ενότητα του σχολικού εγχειριδίου, όπου και αποτελεί την πρώτη επαφή των μαθητών με τον όρο αυτό. Καμία άλλη αναφορά αυτού δεν πραγματοποιείται στην υπόλοιπη ύλη των Μαθηματικών της συγκεκριμένης τάξης. Οσον αφορά στην Στ΄Δημοτικού, η διδαχή του ίδιου γνωστικού αντικειμένου προτείνεται στην πέμπτη(5η) ενότητα του σχολικού εγχειριδίου και αποτελεί ένα είδος επανάληψης για τους μαθητές και τις μαθήτριες, αφού, όπως προαναφέρθηκε, αυτό διδάσκεται και εισάγεται ως μια καινούρια έννοια στην Ε΄ Δημοτικού. 4.2 ΤΑ ΥΛΙΚΑ ΚΑΙ ΕΠΟΠΤΙΚΑ ΜΕΣΑ Η συγκεκριμένη μαθησιακή διαδικασία στο μάθημα των Μαθηματικών αποτελείται από δύο μέρη. Το πρώτο μέρος της διδασκαλίας αυτής είναι εκείνο που πραγματοποιήθηκε μέσα στη σχολική αίθουσα, ενώ το δεύτερο μέρος της αποτελεί εκείνο που έλαβε χώρα μέσα στο εργαστήριο της πληροφορικής του σχολείου. Κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας μέσα στην αίθουσα, αρχικά δόθηκε στους μαθητές και τις μαθήτριες ένα φυλλάδιο το οποίο περιελάμβανε μια άσκηση σχετική με την εύρεση του μέσου όρου. Στη συνέχεια, χρησιμοποιήθηκαν τόσο το σχολικό εγχειρίδιο του μαθητή όσο και το Τετράδιο Εργασιών αυτού, ούτως ώστε να πραγματοποιηθούν οι δραστηριότητες που είχαν σχεδιαστεί να επιλυθούν. Αυτές τελικά επιλύθηκαν και με τη βοήθεια του πίνακα. Όσον αφορά το δεύτερο μέρος της μαθησιακής αυτής διαδικασίας, αρχικά δόθηκε στους μαθητές και τις μαθήτριες ένα φυλλάδιο με ένα πρόβλημα επίσης σχετικό με την εύρεση του μέσου όρου, αλλά και με οδηγίες ως προς τη χρήση των ηλεκτρονικών υπολογιστών για τις ανάγκες της δημιουργίας γραφικών παραστάσεων και εύρεσης του μέσου όρου, μέσω αυτών. Εν συνεχεία, τέθηκαν σε λειτουργία οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές. Τέλος, την ημέρα της διεξαγωγής της διδασκαλίας επικρατούσε στο σχολείο μία μικρή σύγχυση για το αν οι εκπαιδευτικοί θα προέβαιναν σε απεργία ή οχι. Επειδή, λοιπόν, δεν ήταν σίγουρη η δυνατότητα χρήσης των υπολογιστών, είχα ετοιμάσει ένα εφεδρικό φυλλάδιο για το ίδιο πρόβλημα, με τη διαφορά ότι η δημιουργία γραφικής παράστασης και μέσου όρου θα πραγματοποιούνταν με το χέρι. Το φυλλάδιο, δηλαδή, αυτό επρόκειτο να αντικαταστήσει την ενασχόληση των μαθητών και των μαθητριών με τους ηλεκτρονικούς υπολογιστές. Μιλώντας, λοιπόν, με αδρομέρεια, τα υλικά και τα μέσα που χρησιμοποιήθηκαν ήταν ο πίνακας με του μαρκαδόρους, το σχολικό εγχειρίδιο

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.34

Page 35: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

3

του μαθητή, το Τετράδιο Εργασιών του μαθητή, τα φυλλάδια με τις ασκήσεις και τις οδηγίες, το εφεδρικό φυλλάδιο και τέλος, οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές. 4.3 ΧΡΟΝΙΚΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ Όσον αφορά στον υπολογισμό του χρόνου διάρκειας της διδασκαλίας, αυτός χρειαζόταν να γίνει όσο το δυνατόν πιο ακριβής, ούτως ώστε η ροή της μαθησιακής διδικασίας να πραγματοποιηθεί ομαλά. Έτσι, αφού είχα στη διάθεσή μου μόνο μία διδακτική ώρα, σχεδίασα να δώσω αρχικά ένα φυλλάδιο με ένα δικό μου πρόβλημα και στη συνέχεια, να προβούμε μαζί με τους μαθητές και τις μαθήτριες σε μερικές μόνο από τις δραστηριότητες που προτείνονται τόσο από το σχολικό εγχειρίδιο του μαθητή όσο και από το Τετράδιο Εργασιών του. Αυτό, γιατί έχοντας σκοπό στη συνέχεια να μεταφέρω τους μαθητες στο εργαστήριο της πληροφορικής, έπρεπε να αφιερώσω περιορισμένο χρόνο από την διδακτική ώρα για τις παραπάνω δραστηριότητες. Υπολόγισα, λοιπόν, ότι οι δραστηριότητες των εγχειριδίων, αλλά και η επισημοποίηση της νέας γνώσης θα μας απασχολούσαν τα πρώτα είκοσι λεπτά(20΄) από το σύνολο των σαραντα-πέντε λεπτών(45΄) και τα υπόλοιπα λεπτά της διδακτικής ώρας θα αποσπούσε η μεταφορά στο εργαστήρι και η εργασία στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές. Το αποτέλεσμα, όμως, ήταν οι αρχικές δραστηριότητες και η επισημοποίηση της νέας γνώσης να καλύψουν περίπου τα δεκαπέντε λεπτά(15΄) της διδακτικής ώρας, λόγω των καλών επιδόσεων των μαθητών, κάτι που δεν ήταν αναμενόμενο να συμβεί σε τέτοιο βαθμό. Από την άλλη μεριά, η μεταφορά των μαθητών στο εργαστήριο της πληροφορικής, καθώς επίσης και η εργασία στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές διήρκεσαν για όλα τα εναπομείναντα λεπτά της ώρας αυτής. Στην περίπτωση που δεν ήταν δυνατή η χρήση των υπολογιστών, σχεδίασα να δώσω το εφεδρικό φυλλάδιο που προαναφέρθηκε και να κανω απλή αναφορά των δυνατοτήτων που μάς παρέχονται μέσω των υπολογιστών σε σχέση με τις γραφικές παραστάσεις και τον μέσο όρο, στον χρόνο που θα ακολουθούσε μετά τις αρχικές δραστηριότητες.

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.35

Page 36: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

4

4.4 ΣΚΟΠΟΙ ΚΑΙ ΣΤΟΧΟΙ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Ο κύριος διδακτικός σκοπός του μαθήματος ήταν οι μαθητές και οι μαθήτριες να μπορούν να λύνουν προβλήματα της καθημερινής ζωής όπου χρειάζεται να βρουν τον μέσο όρο των δεδομένων. Οι επιμέρους στόχοι της διδασκαλίας αυτής ήταν αρκετοί και πολύ σημαντικοί για τους μαθητές και τις μαθήτριες. Ένας,λοιπόν, από τους στόχους ήταν αυτοί να είναι ικανοί να κατανοούν την αναγκαιότητα της εύρεσης και της χρήσης του μέσου όρου όταν το πλήθος των μετρήσεων είναι πολύ μεγάλο. Επιπλέον,στόχο αποτέλεσε και το γεγονός να κατανοήσουν οι μαθητές και οι μαθήτριες την αξία του μέσου όρου σε σχέση με τη διατύπωση των υποθέσεων, αλλά και ότι ο ίδιος βοηθάει στην σύγκριση και την πρόβλεψη. Επιπροσθέτως, σημαντικό ήταν να κατανοήσουν ότι ο μέσος όρος ορίζεται ως το πηλίκο της διαίρεσης του αθροίσματος αριθμών με το πλήθος αυτών, αλλά και ότι ο μέσος όρος δεν αποτελεί πάντοτε και σε κάθε περίπτωση σωστό κριτήριο για τα δεδομένα που έχουμε. Οι τελικοί επιμέρους στόχοι του μαθήματος ήταν να μπορούν οι μαθητές και οι μαθήτριες να μετατρέπουν γραπτές περιγραφές δεδομένων σε γραφικές με τη βοήθεια του ηλεκτρονικού υπολογιστή,καθώς επίσης και να βρίσκουν τον μέσο όρο και πάλι μέσω του ηλεκτρονικού υπολογιστή,εκτός από την συνήθη διαδικασία που ακολουθείται. 4.5 ΠΡΟΫΠΑΡΧΟΥΣΕΣ-ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ Προκειμένου η διδασκαλία να στεφθεί με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη επιτυχία, απαιτείται να προϋπάρχουν στους μαθητές και τις μαθήτριες κάποιες γνώσεις, έτσι ώστε αυτοί να είναι ικανοί να ακολουθούν με μια συνέπεια τη ροή του μαθήματος. Έτσι,λοιπόν, οι γνώσεις που απαιτείται να προϋπάρχουν από την πλευρά των μαθητών όσον αφορά τη συγκεκριμένη ενότητα είναι οι ίδιοι να μπορούν να αναγνωρίζουν και να αποκωδικοποιούν, με κάποια ευκολία, γραφήματα και πίνακες δεδομένων, να μπορούν να χρησιμοποιούν τους νοερούς υπολογισμούς για μια γρήγορη εκτίμηση,αφού κάποιες υποθέσεις προηγούνται της ακριβής προσέγγισης των δεδομένων, καθώς επίσης και να είναι ικανοί να χειρίζονται, ως ένα βαθμό, τον ηλεκτρονικό υπολογιστή, ώστε να επιτευχθούν οι στόχοι που αφορούν τη μετατροπή γραπτών δεδομένων σε γραφικές μέσω ηλεκτρονικού υπολογιστή, αλλά και την εύρεση του μέσου όρου πάλι μέσω του υπολογιστή.

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.36

Page 37: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

5

4.6 ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ Στην πρώτη(1η) φάση της διδασκαλίας, με το πρόβλημα σύγκρισης των βαθμών των δύο μαθητών, εφαρμόστηκε η μέθοδος των ερωτοαποκρίσεων. Προκειμένου, δηλαδή, να διαπιστωθεί αν οι μαθητές και οι μαθήτριες γνώριζαν ότι αρχικά πρέπει να βρούμε τον μέσο όρο για να προχωρήσουμε στη σύγκριση των βαθμών, αλλά και αν γνώριζαν περίπου την διαδικασία εύρεσης αυτού, πραγματοποιήθηκε ένας διάλογος μεταξύ εμένα και των μαθητών/τριών. Όσον αφορά την δεύτερη(2η) και την τέταρτη(4η) φάση της μαθησιακής διαδικασίας, που περιλαμβάνουν δραστηριότητες από το σχολικό εγχειρίδιο του μαθητή, αλλά και από το Τετράδιο των Εργασιών του, δεν ανέθεσα αυτές να πραγματοποιηθούν ούτε ατομικά ούτε ομαδικά. Ξεκινήσαμε να επιλύουμε τις ασκήσεις αυτές όλοι μαζί-εγώ ρωτούσα και οι μαθητές και οι μαθήτριες απαντούσαν-, έτσι ώστε να προωθείται ο διάλογος. Έγραφα στον πίνακα τις πράξεις και τα αποτελέσματα, τα οποία έβρισκαν εκείνη τη στιγμή οι μαθητές και οι μαθήτριες, και στη συνέχεια τους παρείχα κάποιο διάστημα μέσα στο οποίο θα μπορούσαν να τα συμπληρώσουν και στα φυλλάδια και τα βιβλία τους. Στην τρίτη(3η) φάση της διδασκαλίας η μέθοδος που χρησιμοποιήθηκε είναι το μοντέλο της μεταφοράς. Προκειμένου να πραγματοποιηθεί η επισημοποίηση της καινούριας γνώσης, αναφέρθηκαν στους μαθητές και τις μαθήτριες όλες οι απαραίτητες πληροφορίες για τον μέσο όρο. Αναφέρθηκαν, δηλαδή, η ορολογία του, η διδικασία εύρεσης αυτού, πότε αυτός χρησιμοποιείται, γιατί είναι σημαντικός στα Μαθηματικά και συνεπώς στη ζωή μας, αλλά και ότι δεν αποτελεί πάντοτε το σωστότερο κριτήριο για τα δεδομένα μας. Όσον αφορά στην εργασία που έλαβε χώρα στο εργαστήριο της πληροφορικής, οι μαθητές και οι μαθήτριες πραγματοποίησαν αυτήν χωρισμένοι σε ομάδες. Η μέθοδος που χρησιμοποιήθηκε σε αυτό το κομμάτι της μαθησιακής διαδικασίας είναι το ανακαλυπτικό μοντέλο, αφού μέσα από τις οδηγίες που αναγράφονταν στα φυλλάδια και τις δικές μου παρεμβάσεις, οι μαθητές και οι μαθήτριες προσπαθούσαν να δημιουργήσουν την γραφική παράσταση και να βρουν τον μέσο όρο. Πειραματίζονταν, δηλαδή, να ανακαλύψουν από μόνοι τους(με μια μικρή ώθηση) τις συγκεκριμένες δυνατότητες που παρέχονται μέσω του υπολογιστή.

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.37

Page 38: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

6

4.7.ΠΟΡΕΙΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ 1η ΦΑΣΗ:Διερευνητική αξιολόγηση-Ανακοίνωση των στόχων Στη φάση αυτή θα πραγματοποιηθεί ένα πρόβλημα όπου χρειάζεται να γίνει σύγκριση ανάμεσα σε δύο παιδιά για το ποιος είναι καλύτερος μαθητής, ώστε να ελεγχθεί αν οι μαθητές γνωρίζουν ότι αρχικά πρέπει να βρεθεί ο μέσος όρος. Στη συνέχεια, θα ανακοινωθεί ο στόχος, δηλαδή ότι θα μάθουμε να βρίσκουμε τον μέσο όρο. 2η ΦΑΣΗ:Εισαγωγική δραστηριότητα Στη φάση αυτή θα ζητηθεί από τους μαθητές να πραγματοποιήσουν την δεύτερη δραστηριότητα του Τετραδίου Εργασιών, να αναγνωρίσουν και να αποκωδικοποιήσουν τα γραφήματα, να βρουν τον μέσο όρο θερμοκρασίας για κάθε πόλη και να τους συγκρίνουν μεταξύ τους. 3η ΦΑΣΗ:Επισημοποίηση της νέας γνώσης Θα ανακοινωθεί στους μαθητές ο τρόπος με τον οποίο βρίσκουμε τον μέσο όρο(είναι το πηλίκο της διαίρεσης του αθροίσματος αριθμών με το πλήθος αυτών), η χρησιμότητα και αναγκαιότητα αυτού, καθώς επίσης και το γεγονός ότι σε μερικές περιπτώσεις δεν αποτελεί σωστο κριτήριο. 4η ΦΑΣΗ:Άσκηση εφαρμογής και εμπέδωσης Οι μαθητές στη φάση αυτή θα προβούν στη διαδικασία να επιλύσουν την τέταρτη δραστηριότητα του Τετραδίου Εργασιών για περαιτέρω εφαρμογή του τρόπου εύρεσης του μέσου όρου, αλλά και εμπέδωσης της όχι πάντα χρησιμότητας αυτού. 5η ΦΑΣΗ:Αξιολόγηση Αξιολόγηση αποτελεί όλη η διδασκαλία, καθώς κατά τη διάρκεια αυτής γίνονται διάφορες ασκήσεις. Κάτι επιπλέον που θα γίνει στο τέλος είναι ότι θα χρησιμοποιηθούν οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές. Οι μαθητές θα έχουν μπροστά τους ένα φυλλάδιο με μία άσκηση, η οπόια θα περιέχει τα δεδομένα σε γραπτή περιγραφή. Οι μαθητές, λοιπόν, καλούνται να «περάσουν» τα δεδομένα αυτά στον υπολογιστή και στη συνέχεια, να φτιάξουν το αντίστοιχο γράφημα σε αυτόν, αλλά και να βρουν και τον μέσο ορο πάλι μέσω υπολογιστή. Για όλα αυτά θα υπάρχουν οδηγίες, οι οποίες θα αναγράφονται στο ίδιο φυλλάδιο. Σε περίπτωση που είναι αδύνατη η χρήση Η/Υ, θα γίνει απλή ενημέρωση ότι γράφημα και μέσος όρος υπάρχει τρόπος να γίνουν και στους Η/Υ και θα ζητηθεί από τους μαθητές να συμπληρώσουν τα δεδομένα,να σχεδιάσουν το γράφημα και να βρουν τον μέσο όρο πάνω σε ένα φυλλάδιο.

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.38

Page 39: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

7

4.8 ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Σχετικά με την αξιολόγηση, δεν χρησιμοποιήθηκε κάποιο φύλλο εργασίας προκειμένου να ελεγχθεί κατά πόσο οι μαθητές και οι μαθήτριες αφομοίωσαν την καινούρια γνώση. Αυτό έγινε, διότι δεν θα υπήρχε χρόνος να επιλυθεί ένα τέτοιο φύλλο εργασίας, αφού είχα σχεδιάσει στο τέλος της διδασκαλίας να αναφέρω και κάτι διαφορετικό, κάτι παραπάνω από αυτό που προσφέρεται από το σχολικό εγχειρίδιο: ότι είναι δυνατόν να δημιουργήσουμε γραφικές παραστάσεις, αλλά και να βρούμε τον μέσο όρο, όποτε αυτό μάς ζητάται, και μέσω των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Έτσι, λοιπόν, η διδασκαλία περιορίστηκε στην επίλυση κάποιων ασκήσεων. Αυτές, όμως, αποτέλεσαν ένα είδος αξιολόγησης, αφού ικανοποιούσαν τον γενικότερο σκοπό της συγκεκριμένης μαθησιακής διαδικασίας που ήταν η διαδικασία εύρεσης του μέσου όρου, αλλά και όλους τους υπόλοιπους σκοπούς και στόχους. Οι μαθητές και οι μαθήτριες φαίνεται να κατανόησαν από την αρχή όλα όσα αφορούν στον μέσο όρο και μάλιστα, μερικοί από αυτούς ήδη γνώριζαν την ορολογία του και τη διαδικασία που ακολουθείται με σκοπό την εύρεση αυτού. Επομένως, οι επιδόσεις τους ήταν ιδιαίτερα καλες. Κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας και ικανοποιήθηκαν οι σκοποί και οι στόχοι αυτής και γνωστοποιήθηκε κάτι καινούριο στους μαθητές και τις μαθήτριες οι οποίοι το αγνοούσαν παντελώς. Για τους παραπάνω λόγους και μετά από την ολοκλήρωση της μαθησιακής διαδικασίας, διαπιστώθηκε ότι η ύπαρξη ενός ξεχωριστού φύλλου εργασίας για τις ανάγκες της αξιολόγησης δεν ήταν και απαραίτητη.

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.39

Page 40: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

8

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.40

Page 41: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

9

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.41

Page 42: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

10

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.42

Page 43: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

11

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.43

Page 44: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

12

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.44

Page 45: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

13

ΕΦΤΑΣΕ Η ΜΕΡΑ ΤΩΝ ΒΑΘΜΩΝ!

Οι μαθητές του 1ου Πειραματικού Δημοτικού Σχολείου Φλώρινας παίρνουν σήμερα τους βαθμούς τους. Η Μαρία και ο Νικόλας από την Ε ΄ Δημοτικού θέλουν να συγκρίνουν τους βαθμούς τους, για να δουν ποιος από τους δύο είναι καλύτερος μαθητής. ΜΑΘΗΜΑΤΑ: ΒΑΘΜΟΙ

ΜΑΡΙΑΣ: ΒΑΘΜΟΙ ΝΙΚΟΛΑ:

ΓΛΩΣΣΑ 9 10 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 8 8 ΦΥΣΙΚΗ 5 7 ΙΣΤΟΡΙΑ 6 8 ΓΕΩΓΡΑΦΙΑ 8 8 ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΑΓΩΓΗ 6 10 ΓΥΜΝΑΣΤΙΚΗ 10 10 ΕΙΚΑΣΤΙΚΑ 10 10 ΜΟΥΣΙΚΗ 10 10 ΘΡΗΣΚΕΥΤΙΚΑ 8 10 ΑΓΓΛΙΚΑ 8 9 2η ΞΕΝΗ ΓΛΩΣΣΑ 8 8 Ποιος τελικά είναι καλύτερος μαθητής; Η Μαρία ή ο Νικόλας;

ΛΥΣΗ: ΕΚΤΙΜΩ ΟΤΙ: ΒΡΙΣΚΩ ΜΕ ΑΚΡΙΒΕΙΑ:

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.45

Page 46: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

14

ΚΑΙ ΤΩΡΑ ΟΛΟΙ ΣΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ!

Στον δημοτικό κινηματογράφο της Φλώρινας «ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ» οι εισπράξεις μιας εβδομάδας σε ευρώ(€) το Μάιο ήταν οι εξής:την Δευτέρα 400€, την Τρίτη 500€, την Τετάρτη 550€, την Πέμπτη 600€, την Παρασκευή 750€, το Σάββατο 550€ και την Κυριακή 600€. Αφού τοποθετήσετε τα παραπάνω δεδομένα στον πίνακα του Excel στον υπολογιστή, ακολουθήστε τα παρακάτω βήματα, για να φτιάξετε το γράφημα και να βρείτε τον μέσο όρο των εισπράξεων της εβδομάδας σε €.

ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΟΣ: ΒΗΜΑ 1ο:Τοποθετούμε τις εισπράξεις σε € που έγιναν δίπλα σε κάθε ημέρα στα κουτάκια του Excel. Κάθε φορά που πληκτρολογούμε έναν αριθμό, πατάμε αμέσως μετά το πλήκτρο enter. ΒΗΜΑ 2ο: «Τσεκάρουμε» όλο τον πίνακα που έχουμε φτιάξει. ΒΗΜΑ 3ο:Πηγαίνουμε στο πάνω μέρος της οθόνης και κάνουμε αριστερό «κλικ» στο μενού στην «Εισαγωγή». ΒΗΜΑ 4ο:Από τις επιλογές της «Εισαγωγής» κάνουμε αριστερό «κλικ» στην επιλογή «Γράφημα». ΒΗΜΑ 5ο:Στο παράθυρο που εμφανίζεται «τσεκάρουμε» την επιλογή «Στήλες» και από τις εικόνες που υπάρχουν δίπλα επιλέγουμε την πρώτη. ΒΗΜΑ 6ο:Κάνουμε αριστερό «κλικ» στην επιλογή «Επόμενο». Στο νέο παράθυρο που εμφανίζεται κάνουμε αριστερό «κλικ» πάλι στην επιλογή «Επόμενο».Το ίδιο και στο επόμενο παράθυρο που εμφανίζεται.Στο τελευταίο παράθυρο που εμφανίζεται κάνουμε αριστερό «κλικ» στην επιλογή «Τέλος».

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.46

Page 47: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

15

ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΥ ΜΕΣΟΥ ΟΡΟΥ: ΒΗΜΑ 1ο:Έτσι όπως έχουμε ήδη τοποθετημένες τις εισπράξεις σε € δίπλα στην κάθε ημέρα, «τσεκάρουμε» πατώντας αριστερό «κλικ» το κουτάκι B9, δηλαδή αυτό που βρίσκεται κάτω από τον αριθμό 600 της Κυριακής. ΒΗΜΑ 2ο:Πηγαίνουμε στο πάνω μέρος της οθόνης και κάνουμε αριστερό «κλικ» στο μενού στην «Εισαγωγή». ΒΗΜΑ 3ο:Από τις επιλογές της «Εισαγωγής» κάνουμε αριστερό «κλικ» στην επιλογή «Συνάρτηση». ΒΗΜΑ 4ο:Στο παράθυρο που εμφανίζεται «τσεκάρουμε» την επιλογή «AVERAGE»(Δηλαδή «Μέσος Όρος» στα ελληνικά) και κάνουμε αριστερό «κλικ» στην επιλογή «OK». ΒΗΜΑ 5ο:Στο παράθυρο που εμφανίζεται προσέχουμε αν στο επάνω μέρος γράφει την περιοχή που μας ενδιαφέρει, δηλαδή B2:B8(τις εισπράξεις από Δευτέρα εώς Κυριακή) και κάνουμε αριστερό «κλικ» στην επιλογή «OK».

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.47

Page 48: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

16

ΗΜΕΡΕΣ:

ΕΙΣΠΡΑΞΕΙΣ:

ΔΕΥΤΕΡΑ ΤΡΙΤΗ ΤΕΤΑΡΤΗ ΠΕΜΠΤΗ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ ΣΑΒΒΑΤΟ ΚΥΡΙΑΚΗ

ΓΡΑΦΗΜΑ:

ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ:

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.48

Page 49: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

17

Η ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ ( Μέσος όρος – Γραφική παράσταση )

Ημέρες Εισπράξεις Δευτέρα 400 Τρίτη 500 Τετάρτη 550 Πέμπτη 600 Παρασκευή 750 Σάββατο 800 Κυριακή 600 600

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.49

Page 50: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

Βασιλειάδου Νατάσα – ΠΕ70

Δραστηριότητα 12

Στατιστική Υπηρεσία Ε΄ τάξης

Τάξη: Ε΄

Μάθημα: Μαθηματικά

Κεφάλαιο 21: Στατιστική – Μέσος όρος

Στόχοι: Οι μαθητές χρησιμοποιώντας λογιστικά φύλλα EXCEL να βρίσκουν γρήγορα

τον μέσο όρο. Να μετατρέπουν γραπτές περιγραφές δεδομένων σε γραφικές.

Να κατανοήσουν την αξία του μέσου όρου στη σύγκριση δεδομένων.

Λογισμικό: Λογιστικά φύλλα EXCEL, επεξεργαστής κειμένου

Προαπαιτούμενες γνώσεις: Οι μαθητές γνωρίζουν ότι ο μέσος όρος είναι το πηλίκο της

διαίρεσης του αθροίσματος αριθμών με το πλήθος αυτών.

Επίσης έχουν εργαστεί στο παρελθόν με τα λογιστικά

φύλλα, χρειάζονται όμως καθοδήγηση.

Απαιτούμενος χρόνος: 15 λεπτά

Οι μαθητές εργάζονται σε ομάδες των τριών (3) ατόμων.

Φύλλο εργασίας

Από την επιφάνεια εργασία ανοίξτε τον φάκελο . Μέσα σ’ αυτόν θα βρείτε

τα Λογιστικά Φύλλα EXCEL, που θα χρειαστείτε για να λύσετε τα παρακάτω

προβλήματα. (Κάθε Λογιστικό Φύλλο αντιστοιχεί και σε ένα πρόβλημα.)

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1

Ανοίξτε το αρχείο . Ο πίνακας που δίνεται δείχνει τον αριθμό των

γεννήσεων σε ένα απομακρυσμένο χωριό τα έτη 2000 – 2005. Επιλέξτε το κελί Η6

, κάντε κλικ στο , επιλέξτε Μέσος όρος και πατήστε ENTER.

Πόσα παιδιά γεννήθηκαν κατά μέσο όρο; ………………….

Αποθηκεύστε το Λογιστικό Φύλλο στον φάκελο ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ με το όνομα Μ.Ο.1

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2

Ανοίξτε το αρχείο και δείτε τη θερμοκρασία που επικρατούσε στην

πόλη μας την πρώτη εβδομάδα του Νοεμβρίου. Επιλέξτε το κελί Β11 και εργαστείτε

όπως στο προηγούμενο πρόβλημα.

Ποια ήταν η μέση θερμοκρασία για τις μέρες αυτές; ……………………..

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.50

Page 51: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

Φτιάξτε ένα ραβδόγραμμα που να απεικονίζει τις θερμοκρασίες που επικρατούσαν

εκείνες τις μέρες. Επιλέξτε τα κελιά Β6 ως Β10, που δείχνουν τη θερμοκρασία, κάντε

κλικ στην Εισαγωγή Γραφήματος και επιλέξτε .

Αποθηκεύστε το Λογιστικό Φύλλο στον φάκελο ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ με το όνομα Μ.Ο.2

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3

Ανοίξτε το αρχείο . Η Μαρία και η Ελένη είναι μαθήτριες της Β΄

Γυμνασίου και αυτοί είναι οι βαθμοί τους.

Ποιος είναι ο μέσος όρος βαθμολογίας της Μαρίας το Α΄ τρίμηνο; ………………….

Είναι η Μαρία καλύτερη μαθήτρια από την Ελένη; …………………………….

Αποθηκεύστε το Λογιστικό Φύλλο στον φάκελο ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ με το όνομα Μ.Ο.3

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις γράψε Σ αν είναι σωστή και Λ αν είναι λάθος:

Ο μέσος όρος ενός πλήθους ακέραιων αριθμών είναι πάντα ακέραιος. ………….

Ο μέσος όρος μας βοηθά στη σύγκριση δεδομένων. ...………..

Μπορούμε να βρούμε το μέσο όρο οποιουδήποτε πλήθους αριθμών. ….……….

Ο μέσος όρος βοηθά να κάνουμε ασφαλείς προβλέψεις. ...………..

Αποθηκεύστε το φύλλο εργασίας στην επιφάνεια εργασίας του υπολογιστή με το όνομα

Στατιστική.

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.51

Page 52: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ

ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

Εργασία στο μάθημα: Διδακτική των Μαθηματικών Ονοματεπώνυμο: Κατριμπούζα Διδάμη

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.52

Page 53: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

Εργασία στο Μάθημα: Διδακτική των Μαθηματικών Κατριμπούζα Διδάμη

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ: ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ Το παρακάτω σχέδιο μαθήματος απευθύνεται στη κατάκτηση από τους μαθητές Ε’ Δημοτικού του γνωστικού αντικειμένου της Στατιστικής, και συγκεκριμένα του μέσου όρου. Στο σχολικό εγχειρίδιο το συγκεκριμένο θέμα εντοπίζεται στην 3η

ενότητα και στο 21ο κεφάλαιο. Το σχέδιο δεν μπορεί να υλοποιηθεί μόνο σε ένα 2ωρο καθώς περιλαμβάνει αρκετές δραστηριότητες (και εκτενή περιγραφή των κριτηρίων επιλογής τους) ώστε να κατανοηθεί όσο το δυνατόν περισσότερο η έννοια αυτή παράλληλα με την καλλιέργεια αρκετών δεξιοτήτων. Κύριος διδακτικός σκοπός του μαθήματος : Οι μαθητές και οι μαθήτριες να μπορούν να λύνουν προβλήματα της καθημερινής ζωής όπου χρειάζεται να βρουν τον μέσο όρο των δεδομένων. Στόχοι Διδασκαλίας: Σ1 : Να είναι ικανοί να κατανοούν την αναγκαιότητα της εύρεσης και της χρήσης του μέσου όρου όταν το πλήθος των μετρήσεων είναι πολύ μεγάλο. Σ2: Να κατανοήσουν οι μαθητές και οι μαθήτριες την αξία του μέσου όρου σε σχέση με τη διατύπωση των υποθέσεων, αλλά και ότι ο ίδιος βοηθάει στην σύγκριση και την πρόβλεψη. Σ3: Να κατανοήσουν ότι ο μέσος όρος ορίζεται ως το πηλίκο της διαίρεσης του αθροίσματος αριθμών με το πλήθος αυτών. Σ4: Να κατανοήσουν ότι ο μέσος όρος δεν αποτελεί πάντοτε και σε κάθε περίπτωση σωστό κριτήριο για τα δεδομένα που έχουμε. Προαπαιτούμενες γνώσεις: Προκειμένου η διδασκαλία να στεφθεί με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη επιτυχία, απαιτείται να προϋπάρχουν στους μαθητές και τις μαθήτριες κάποιες γνώσεις, έτσι ώστε αυτοί να είναι ικανοί να ακολουθούν με μια συνέπεια τη ροή του μαθήματος. Οι γνώσεις που απαιτείται να προϋπάρχουν από την πλευρά των μαθητών όσον αφορά τη συγκεκριμένη ενότητα είναι οι ίδιοι να μπορούν να αναγνωρίζουν και να αποκωδικοποιούν, με κάποια ευκολία, γραφήματα και πίνακες δεδομένων, να μπορούν να χρησιμοποιούν τους νοερούς υπολογισμούς για μια γρήγορη εκτίμηση, αφού κάποιες υποθέσεις προηγούνται της ακριβής προσέγγισης των δεδομένων και να μπορούν να διαιρούν φυσικούς ή δεκαδικούς με φυσικούς.

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.53

Page 54: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

Εργασία στο Μάθημα: Διδακτική των Μαθηματικών Κατριμπούζα Διδάμη

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1: Ερώτημα 1: ( ΒΙΩΝΟΝΤΑΣ ΤΟ ΓΝΩΣΤΟ) Επέλεξα την ακόλουθη δραστηριότητα διότι βασίζεται στις καθημερινές εμπειρίες των μαθητών και παράλληλα θα με βοηθήσει να οικοδομήσω τη νέα γνώση στις προϋπάρχουσες γνώσεις. Αποτελεί μια δραστηριότητα χαμηλού επιπέδου αλλά σε αυτό το αρχικό στάδιο μας διευκολύνει να αναδείξουμε αργότερα τη σπουδαιότητα εύρεσης του μέσου όρου. Η δραστηριότητα – ερώτημα είναι το εξής: Έχουμε δύο ομάδες παιδιών. Στην ομάδα Άλφα ανήκουν 7 παιδιά και το καθένα έχει 5 €, ενώ στην ομάδα Βήτα ανήκουν 10 παιδιά και το καθένα έχει 4 €. Ποια ομάδα έχει τα περισσότερα ευρώ; Σε ποια ομάδα τα παιδιά είναι πιο πλούσια; Με τις απαντήσεις που θα δώσουν οι μαθητές στα παραπάνω 2 ερωτήματα θα διαπιστώσουν ότι παρά το γεγονός ότι μια ομάδα μπορεί να έχει περισσότερα ευρώ, πιο πλούσια είναι τα παιδιά της άλλης ομάδας διότι το κάθε παιδί χωριστά έχει περισσότερα χρήματα. Ερώτημα 2: (ΒΙΩΝΟΝΤΑΣ ΤΟ ΝΕΟ)-­‐ Απευθύνεται στους στόχους Σ1,Σ2,Σ3 Επιλέγω να συνεχίσω στην ίδια δραστηριότητα ώστε να υπάρχει ένα κοινό σενάριο, μια κοινή ιστορία, τουλάχιστον στην αρχή της διδασκαλίας, ώστε οι μαθητές να ακολουθήσουν ένα συλλογισμό όπου βήμα-­‐βήμα θα τους οδηγήσει από αυτά τα οποία γνωρίζουν(όπως αυτά στο βιώνοντας το γνωστό) σε νέα γνωστικά αντικείμενα και συγκεκριμένα στο μέσο όρο. Η ακόλουθη είναι μια ανακαλυπτική δραστηριότητα καθώς μέσω αυτής, οι μαθητές οδηγούνται στο να ανακαλύψουν μόνοι τους τον αλγόριθμο του μέσου όρου καθώς επίσης και στο να κατανοήσουν το λόγο της δημιουργίας της συγκεκριμένης έννοιας από τους μαθηματικούς. Συνεχίζοντας, ως δεύτερο ερώτημα, λοιπόν, θέτω το εξής: Τώρα έχουμε δύο νέες ομάδες παιδιών. Ποια ομάδα έχει τα περισσότερα ευρώ; Σε ποια ομάδα τα παιδιά είναι πιο πλούσια; Απάντησε σύμφωνα με τα στοιχεία του παρακάτω πίνακα:

ΑΛΦΑ ΟΜΑΔΑ ΒΗΤΑ ΟΜΑΔΑ Παιδί 1 5€ Παιδί 1 3€ Παιδί 2 6€ Παιδί 2 4€ Παιδί 3 10€ Παιδί 3 3€ Παιδί 4 5€ Παιδί 4 3€ Παιδί 5 2€ Παιδί 5 7€ Παιδί 6 3€ Παιδί 6 1€ Παιδί 7 4€ Παιδί 7 10€

Παιδί 8 5€

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.54

Page 55: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

Εργασία στο Μάθημα: Διδακτική των Μαθηματικών Κατριμπούζα Διδάμη

Σ’ αυτήν την περίπτωση η συζήτηση ξεκινάει από τις ομοιότητες και τις διαφορές ανάμεσα στα δυο προβλήματα. Στόχος είναι να κατανοήσουν τα παιδιά πως στο δεύτερο πρόβλημα το δεύτερο ερώτημα είναι δυσκολότερο να απαντηθεί, επειδή δεν έχουν όλα τα παιδιά τα ίδια χρήματα. Επιχειρώ, δηλαδή, να ωθήσω τα παιδιά να σκεφτούν πως για να γίνει εφικτή η σύγκριση πρέπει να μοιράσουμε εκ νέου τα λεφτά στα παιδιά της κάθε ομάδας, ώστε όλα να έχουν τα ίδια χρήματα. Τότε θα καταστεί εύκολη. Αυτή τη δουλειά εξάλλου κάνει και ο μέσος όρος. Θα διατυπώσω τις εξής ερωτήσεις με την παρακάτω σειρά για να καθοδηγήσω τους μαθητές:

v Τι θέλετε να συγκρίνετε; v Ποιες ομοιότητες και ποιες διαφορές παρατηρείτε ανάμεσα στα δύο

προβλήματα; v Ποιο από τα δύο ερωτήματα του δεύτερου προβλήματος σας δυσκολεύει;

Για ποιον λόγο; v Τι θα μπορούσες να κάνεις για να διευκολύνεις τη σύγκριση; v Με ποιον ή ποιους τρόπους θα μπορούσες να μοιράσεις τα χρήματα στα

παιδιά της κάθε ομάδας, ώστε όλα να έχουν τα ίδια λεφτά; Τώρα, αν τα παιδιά γνωρίζουν καλά την έννοια της διαίρεσης μπορούν πολύ εύκολα να λύσουν το παραπάνω πρόβλημα, να βρουν δηλαδή πόσα λεφτά θα έχει το κάθε παιδί σε κάθε ομάδα, αν όλα τα παιδιά έχουν τα ίδια χρήματα. Επειδή συνήθως δε συμβαίνει αυτό, θα συνέχιζα με την εξής πρακτική. Έστω για την Άλφα Ομάδα: θα τους παρουσίαζα το παρακάτω σχέδιο και θα τους ζητούσα το εξής:

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.55

Page 56: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

Εργασία στο Μάθημα: Διδακτική των Μαθηματικών Κατριμπούζα Διδάμη

v Μετακινείστε έτσι τα ευρώ ώστε κάθε παιδί να έχει ίσο αριθμό ευρώ με τα άλλα παιδιά.(Δηλαδή δημιουργείστε ίσους -­‐ σε ύψος -­‐ «πύργους» ευρώ)

Παιδί 1 Παιδί2 Παιδί 3 Παιδί 4 Παιδί 5 Παιδί 6 Παιδί 7 Μοιράζοντας τα ευρώ σε κάθε παιδί όπως ζητήθηκε, οι μαθητές στην ουσία έχουν μετατρέψει το δεύτερο πρόβλημα και του έδωσαν τη μορφή που είχε το πρώτο πρόβλημα προκειμένου να το λύσουν, αφού φυσικά ακολουθήσουν την ίδια διαδικασία και για τα παιδιά της Βήτα Ομάδας. Με αυτό τον τρόπο θα μπορέσουν να απαντήσουν στα αρχικά ερωτήματα σύγκρισης. Τέλος, θέτω το εξής ερώτημα:

v Θα μπορούσα με τον παραπάνω τρόπο να συγκρίνω ποιας ομάδας τα παιδιά είναι πιο πλούσια αν είχα μεγαλύτερα νούμερα όπως αυτά του παρακάτω πίνακα; Αν όχι, βρες ένα γρήγορο τρόπο για να βρίσκεις τον αριθμό που αντιπροσωπεύει τα δεδομένα μιας ομάδας –μέσο όρο , εμπλέκοντας τις τέσσερις πράξεις.

ΑΛΦΑ ΟΜΑΔΑ ΒΗΤΑ ΟΜΑΔΑ

Παιδί 1 120€ Παιδί 1 583€ Παιδί 2 266€ Παιδί 2 244€ Παιδί 3 510€ Παιδί 3 453€ Παιδί 4 325€ Παιδί 4 963€ Παιδί 5 802€ Παιδί 5 847€ Παιδί 6 853€ Παιδί 6 241€ Παιδί 7 754€ Παιδί 7 510€

Παιδί 8 245€

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.56

Page 57: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

Εργασία στο Μάθημα: Διδακτική των Μαθηματικών Κατριμπούζα Διδάμη

Φυσικά, οι μαθητές θα πρέπει να είναι σε θέση να αντιστοιχίσουν τις πράξεις με ενέργειες πάνω στα χρήματα. Έτσι, η πρόσθεση όλων των τιμών αντιστοιχεί στην ένωση όλων των χρημάτων σε μια μεγάλη ομάδα, ενώ η διαίρεση ουσιαστικά είναι ο χωρισμός της μεγάλης ομάδας σε ίσους «πύργους» χρημάτων. Επέλεξα αυτό το ερώτημα διότι έτσι θα συνειδητοποιήσουν ότι δεν είναι εφικτό να χρησιμοποιούν την παραπάνω λογική του μοιράσματος στις περιπτώσεις που έχουμε μεγάλους αριθμούς και φυσικά δεν θα έχουμε πάντα μαζί μας τόσα κέρματα! Ως αποτέλεσμα, οι μαθητές καταλήγουν μόνοι τους στον αλγόριθμο του μέσου όρου (αφού εμείς αναφέρουμε άτυπα τον όρο <<μέσος όρος>>) και τη συνειδητοποίηση της χρησιμότητας της ύπαρξής του. Ερώτημα 3: (ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΗΣΗ ΜΕ ΟΝΟΜΑΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΕΝΟΙΟΛΟΓΗΣΗ ΜΕ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΠΟΙΗΣΗ)-­‐ Απευθύνεται στους στόχους Σ1,Σ2,Σ3 Αφού θα σημειώσουμε στο πίνακα όλες τις πιθανές στρατηγικές που θα προτείνουν οι μαθητές μου στο παραπάνω ερώτημα, θα κυκλώσω τον αριθμό που αντιστοιχεί στο μέσο όρο και ήταν η απάντηση που έδωσαν από μόνοι τους οι μαθητές στα παραπάνω ερωτήματα και θα ρωτήσω το εξής:

v Τι συμπεραίνετε, λοιπόν, ότι είναι ο μέσος όρος και που πιστεύετε ότι χρησιμοποιείται;

Όλη η τάξη θα ακούσει τις απαντήσεις σχετικά με το τι είναι και πού χρησιμεύει ο μέσος όρος και επειδή οι απαντήσεις ενδέχεται να είναι ασαφείς ή μη ολοκληρωμένες σε κάποιες περιπτώσεις, θα τους παρουσιάσω τα ακόλουθα ώστε όλοι οι μαθητές να αποκτήσουν μια ολοκληρωμένη γνώση πάνω στο θέμα:

Ο αριθμός που βρήκατε στα παραπάνω ερωτήματα με σκοπό να μπορείτε να συγκρίνετε σε ποια ομάδα τα παιδιά είναι πιο πλούσια, στα μαθηματικά ονομάζεται ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ. Ο ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ είναι πολύ χρήσιμος σε διάφορες περιπτώσεις:

v Όπως διαπιστώσατε μόνοι σας, μπορεί να αντιπροσωπεύσει μια ομάδα μετρήσεων (π.χ τα χρήματα που έχει «περίπου» κάθε παιδί σε μια ομάδα),

v διευκολύνει τη σύγκριση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες ομάδες και v επιτρέπει τη πρόβλεψη μιας μέτρησης.

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.57

Page 58: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

Εργασία στο Μάθημα: Διδακτική των Μαθηματικών Κατριμπούζα Διδάμη

Έπειτα θα θέσω στους μαθητές το εξής ερώτημα:

v Περιγράψτε μου τη στρατηγική που χρησιμοποιήσατε στο παραπάνω πρόβλημα όταν σας ζητήθηκε να βρείτε ένα γρήγορο τρόπο λύσης που να εμπλέκει κάποιες από τις τέσσερις πράξεις.

Οι μαθητές θα μου περιγράψουν ουσιαστικά τον αλγόριθμο του μέσου όρου, δηλαδή ότι αρχικά προσθέτουμε μια σειρά από μετρήσεις που αφορούν στο ίδιο θέμα και έπειτα διαιρούμε το άθροισμα με το πλήθος των μετρήσεων. Η δασκάλα, επιβεβαιώνοντας τα όσα είπαν και διαπίστωσαν οι μαθητές μόνοι τους θα γράψει στο πίνακα το τύπο υπολογισμού του μέσου όρου, κωδικοποιώντας τα λόγια των μαθητών:

Δραστηριότητα 2: (ΑΜΕΣΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ)-­‐ Απευθύνεται στους στόχους Σ1 και Σ3

Προκειμένου οι μαθητές να εξασκηθούν στη νέα γνώση και να μπορέσουν να αναπτύξουν μια οικειότητα με το νέο γνωστικό αντικείμενο, τη λειτουργία και το τύπο υπολογισμού του, ώστε να μπορέσουν αργότερα να εμβαθύνουν και να ασχοληθούν με δραστηριότητες υψηλότερου γνωστικού επιπέδου, επιλέγω στη παρούσα φάση να χρησιμοποιήσω μικρά προβλήματα υπολογισμού του μέσου όρου σε καταστάσεις της καθημερινής ζωής ώστε να διατηρείται και το ενδιαφέρον των μαθητών. Η δραστηριότητα είναι η εξής:

Απαντήστε στα παρακάτω ερωτήματα:

v Ένας σταθμός της Εθνικής Μετεωρολογικής Υπηρεσίας κατέγραψε σε μια μέρα τις θερμοκρασίες 17,5οC , 24,3οC , 30,7οC και 27,5οC. Ποια είναι η μέση θερμοκρασία της ημέρας αυτής;

v Το πρώτο εξάμηνο του 2003 οι γεννήσεις στη χώρα μας ήταν 66.116 και οι θάνατοι 47.012. Ποια ήταν η μέση μηνιαία αύξηση του πληθυσμού της χώρας για το διάστημα αυτό;

v Η μητέρα ζύγιζε το μωρό μια φορά το μήνα. Σε 5 μήνες το βάρος του μωρού αυξήθηκε κατά 3,5 κιλά. Πόση είναι η μέση μηνιαία αύξηση του βάρους του μωρού;

v Η Βενετία παίρνοντας τη βαθμολογία του Α' τριμήνου λυπήθηκε γιατί εκτίμησε ότι η βαθμολογία της ήταν χαμηλότερη από αυτήν του Α' τριμήνου

!"ή!"# !"#$%ώ!

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.58

Page 59: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

Εργασία στο Μάθημα: Διδακτική των Μαθηματικών Κατριμπούζα Διδάμη

της περσινής χρονιάς. Παρατήρησε τους βαθμούς της. Εκτίμησε σωστά; Γιατί; Βαθμοί 2007: Γλώσσα: 8, Μαθηματικά 9, Ιστορία: 10, Φυσική: 8, Γεωγραφία: 10, Θρησκευτικά:10, Αγωγή: 10, Μουσική: 10, Τεχνικά: 10, Αγγλικά: 8 Βαθμοί 2008: Γλώσσα: 9, Μαθηματικά: 9, Ιστορία: 9, Φυσική: 9, Γεωγραφία:9, Θρησκευτικά: 10, Αγωγή: 9, Μουσική: 9, Τεχνικά: 10, Αγγλικά: 10

Δραστηριότητα 3: (ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ)-­‐ Απευθύνεται στους στόχους Σ2, Σ3 και Σ4

Σε αυτό το στάδιο επέλεξα να βάλω μια δραστηριότητα η οποία να περιλαμβάνει τρία βασικά σημεία που προωθούν τους μαθητές στη λειτουργική ανάλυση σχετικά με το μέσο όρο. Αρχικά, θέλησα να συνδέσω τη νέα γνώση με προϋπάρχουσες γνώσεις των μαθητών όσον αφορά τη στατιστική σύμφωνα με το νέο πρόγραμμα σπουδών(2011)(ερώτημα β). Συγκεκριμένα, χρησιμοποίησα τη σύνδεση του μέσου όρου με τις γνώσεις τους στους διάφορους τρόπους αναπαράστασης των δεδομένων και στον υπολογισμό της επικρατούσας τιμής και της διαμέσου, που μαζί με το μέσο όρο αποτελούν τα μέτρα θέσης. (Οι μαθητές σύμφωνα με το νέο πρόγραμμα σπουδών που προτείνεται, έχουν διδαχθεί τα υπόλοιπα μέτρα θέσης σε προηγούμενες τάξεις.) Έπειτα, αποφάσισα για μια ακόμα φορά να ωθήσω τους μαθητές να συνειδητοποιήσουν τη λειτουργία, το ρόλο αλλά και τους περιορισμούς του γνωστικού αντικειμένου που πρέπει να κατακτήσουν(ερώτημα γ) και τέλος να αναλύσουν συλλογισμούς και λύσεις καταλήγοντας με επιχειρήματα στη καταλληλότερη μέθοδο( ερώτημα α). Ακολουθεί η υψηλού επιπέδου δραστηριότητα:

Το Υπουργείο Παιδείας αποφάσισε να δωρίσει βιβλία στους μαθητές που πηγαίνουν στην Ε΄ τάξη σε 8 σχολεία μιας πόλης. Ο Υπουργός πρότεινε να δώσουν τον ίδιο αριθμό βιβλίων σε όλα τα σχολεία, για αυτό και βασίστηκε στο μέσο όρο των μαθητών που είναι 15.

α)Ξέρουμε ότι τρία από τα σχολεία είχαν 5,8 και 11 μαθητές αντίστοιχα. Εκτιμείστε με ακρίβεια πόσους μαθητές θα μπορούσε να έχει κάθε ένα από τα υπόλοιπα σχολεία ώστε να διατηρείται ο μέσος όρος 15. Να παρακολουθήσετε στο πίνακα όλες τις στρατηγικές των συμμαθητών σας και να αναλύσετε το συλλογισμό τους.

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.59

Page 60: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

Εργασία στο Μάθημα: Διδακτική των Μαθηματικών Κατριμπούζα Διδάμη

(Οι μαθητές στο σημείο αυτό μπορεί να παρουσιάσουν διάφορους αριθμούς και στρατηγικές εύρεσής τους όπως π.χ. 5,8,11,25,22,29,15,15 γιατί 5+25=30, 8+22=30, 11+19= 30. Δηλαδή, να αναλύσουν το συλλογισμό και να συμπεράνουν ότι για κάθε ζευγάρι αριθμών το άθροισμα θα πρέπει να είναι 30 ή το άθροισμα 3 αριθμών να είναι 45, ή μπορώ να πάρω οποιουσδήποτε αριθμούς θέλω που να έχουν άθροισμα 120). Στο σημείο αυτό, έπειτα από κάθε απάντηση ενός μαθητή θα θέτω το εξής ερώτημα για να φανεί ο συλλογισμός: v Πώς σκέφτηκες; Ποιος είναι ο συλλογισμός σου; β)Έστω ότι οι μαθητές στα σχολεία είναι 5,8,11,25,22,19,15 και 15. Οργανώστε τα δεδομένα σε πίνακα και έπειτα αναπαραστήστε τα με όποιο τρόπο επιθυμείτε. Έπειτα, υπολογίστε την επικρατούσα τιμή και τη διάμεσο των δεδομένων και συζητείστε τι πληροφορίες μπορούμε να αντλήσουμε από το καθένα. γ)Τέλος, θεωρείτε ότι το κριτήριο του μέσου όρου με το οποίο μοιράστηκαν τα βιβλία ήταν το κατάλληλο; Αν όχι, πότε πιστεύετε ότι δεν αποτελεί κατάλληλο κριτήριο για τα δεδομένα μας;

Δραστηριότητα 4: (ΚΡΙΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ)-­‐ Απευθύνεται στο στόχο Σ2

Αναμφίβολα, είναι πλέον αποδεκτό ότι τα λάθη και οι παρανοήσεις στα μαθηματικά δεν αποτελούν εμπόδιο στη μάθηση, αλλά μια εξαιρετική αφορμή για εμβάθυνση στο γνωστικό αντικείμενο που διδάσκουμε. Σύμφωνα με έρευνες, οι μαθητές δυσκολεύονται και αρκετές φορές απαντούν εσφαλμένα όταν ρωτώνται ποια είναι η αναμενόμενη αξία της παρατήρησης μιας τυχαίας μεταβλητής για την οποία η μέση τιμή του πληθυσμού είναι γνωστή. Για αυτό το λόγο, επιλέγω τη συγκεκριμένη (υψηλού επιπέδου) δραστηριότητα που παρά το γεγονός ότι οι μαθητές μπορεί να δυσκολευτούν, θα αποτελέσει εξαιρετική αφορμή ώστε να συνειδητοποιήσουν ακόμα καλύτερα το ρόλο και τη λειτουργία του μέσου όρου. Θέτω λοιπόν το εξής πρόβλημα:

Γνωρίζεις ότι ο μέσος όρος της προφορικής βαθμολογίας όλων των μαθητών σε ένα μεγάλο δημοτικό σχολείο είναι 400. Διαλέγεις στη τύχη 5 μαθητές του σχολείου. Οι 4 από αυτούς τους μαθητές έχουν τις ακόλουθες προφορικές βαθμολογίες: 380, 400, 600, 400. Ποια νομίζεις ότι είναι η προφορική βαθμολογία του πέμπτου μαθητή;

Για καθοδήγηση των μαθητών θα μπορούσα αν χρειαζόταν να θέσω και τις εξής ερωτήσεις:

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.60

Page 61: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

Εργασία στο Μάθημα: Διδακτική των Μαθηματικών Κατριμπούζα Διδάμη

v Τι θέλεις να προβλέψεις; v Με ποιο τρόπο η πρόβλεψή σου θα είναι ακριβής; v Πώς σκέφτηκες;

Η «σωστή» απάντηση είναι το 400, ο μέσος όρος δηλαδή. Οι μαθητές ενδεχομένως να σκεφτούν ότι θα ήταν καλύτερο να υπολογίσουν τη βαθμολογία του τελευταίου μαθητή υπολογίζοντας τον αριθμό που θα «έκανε» το μέσο όρο των 5 βαθμολογιών 5 = 400, Άρα χ= 220). Ο αριθμός 220 είναι μια εκτίμηση αλλά όταν ζητάμε μια εκτίμηση-­‐ πρόβλεψη αναζητούμε την τιμή εκείνη που βρίσκεται πλησιέστερα στην πραγματική τιμή. Προκειμένου, λοιπόν, να την εντοπίζουμε λέμε την τιμή που αντιστοιχεί στο μέσο όρο ώστε να αποφύγουμε μεγάλες αποκλίσεις. Έτσι, οι μαθητές θα συνειδητοποιήσουν τη χρησιμότητα του μέσου όρου σε περιπτώσεις που χρειάζεται να προβλέψουμε και να κάνουμε εκτιμήσεις.

Δραστηριότητα 5: (ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ)-­‐ Απευθύνεται στους στόχους Σ1 και Σ2

Η καλλιέργεια της δημιουργικής σκέψης είναι ένας από τους κυρίαρχους στόχους του σύγχρονου σχολείου(παράλληλα με την καλλιέργεια της κριτικής σκέψης). Υπάρχουν ποικίλες πρακτικές για να επιτύχουμε τον παραπάνω στόχο, τις οποίες επιλέγουμε και προσαρμόζουμε ανάλογα με το γνωστικό αντικείμενο που διδάσκουμε κάθε φορά. Στην προκειμένη περίπτωση, λοιπόν, επέλεξα την ακόλουθη δραστηριότητα στην οποία ενσωμάτωσα τον καταιγισμό ιδεών, μια πρακτική που εφαρμόζεται για ομαδική λύση προβλημάτων και τονίζει τη ποσότητα των ιδεών, γιατί υποστηρίζει πως η ποσότητα «τρέφει» τη ποιότητα (ερώτημα γ). Η κριτική ασκείται αφού συγκεντρωθούν οι δυνατές ιδέες και χρειάζεται η επιλογή της καταλληλότερης. Παράλληλα, για να καταστεί η δραστηριότητα δημιουργική επέλεξα να βάλω τους μαθητές στο ρόλο μικρών ερευνητών για να ελκύσει το ενδιαφέρον τους και στα επιμέρους ερωτήματα εντάσσω τη χρήση εκ μέρους των μαθητών ποικίλων γραφικών αναπαραστάσεων που ήδη γνωρίζουν (ερώτημα β) καθώς και την παραλλαγή των δεδομένων στο τελευταίο ερώτημα. Η Δραστηριότητα είναι η ακόλουθη:

ΜΜΜΙΙΙΚΚΚΡΡΡΟΟΟΙΙΙ ΕΕΕΡΡΡΕΕΕΥΥΥΝΝΝΗΗΗΤΤΤΕΕΕΣΣΣ

Η τάξη σου αποφασίζει να διεξάγει μια έρευνα για τις ώρες ξεκούρασης και τις ώρες παιχνιδιού που έχετε όλοι οι μαθητές μέσα σε αυτή τη τάξη.

α)Συλλέξτε τα δεδομένα χωριστά για τις ώρες ξεκούρασης και χωριστά για τις ώρες παιχνιδιού και οργανώστε τα (θα εξυπηρετούσε η οργάνωση σε πίνακα). Γιατί αποφάσισες να οργανώσεις τα δεδομένα σου με αυτό τον τρόπο;

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.61

Page 62: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

Εργασία στο Μάθημα: Διδακτική των Μαθηματικών Κατριμπούζα Διδάμη

β)Αναπαραστήστε τα δεδομένα με τουλάχιστον 3 διαφορετικούς τρόπους (θα μπορούσατε να χρησιμοποιήσετε ραβδόγραμμα, σημειόγραμμα, εικονόγραμμα ή οποιοδήποτε άλλο τρόπο αναπαράστασης δεδομένων έχετε διδαχθεί). γ)Συγκρίνετε κατά μέσο όρο τις ώρες ξεκούρασης με τις ώρες παιχνιδιού που έχετε. Δουλέψτε ομαδικά καταγράφοντας τις ιδέες όλων των μαθητών σχετικά με το πώς θα γίνει η σύγκριση και στο τέλος επιλέξτε τη καταλληλότερη μέθοδο. δ)Αν ο μέσος όρος των ωρών ξεκούρασης των αγοριών ήταν ίσος με τον μέσο όρο ωρών ξεκούρασης των κοριτσιών, τι θα άλλαζε στις παραπάνω γραφικές παραστάσεις;

Δραστηριότητα 6: (ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ)-­‐ Απευθύνεται στους στόχους Σ1, Σ2, Σ3 και Σ4

Επιλέγω να οργανώσω και να διαθέτω ακόμα μία δραστηριότητα την οποία ονομάζω εναλλακτική και η οποία θα μπορούσε να φανεί χρήσιμη είτε για χρήση στη θέση των δραστηριοτήτων που προαναφέραμε είτε ως εργασία στο σπίτι για εξοικειωθούν οι μαθητές με το γνωστικό αντικείμενο και να χρησιμοποιηθεί και από το δάσκαλο ως μέσο τελικής αξιολόγησης. Η δραστηριότητα που ακολουθεί περιλαμβάνει ερωτήματα που μοιάζουν με αυτά με τα οποία ασχολήθηκαν οι μαθητές στην σχολική αίθουσα αλλά και ερωτήματα που βασίζονται σε συχνές παρανοήσεις των μαθητών πάνω στο θέμα του μέσου όρου. Να διευκρινίσουμε ότι η δραστηριότητα περιλαμβάνει ερωτήματα υψηλού γνωστικού επιπέδου αφού αποτελεί το μέσο της τελικής αξιολόγησης και οι μαθητές έχουν ασχοληθεί με το γνωστικό αντικείμενο του μέσου όρου στις προηγούμενες δραστηριότητες. Έτσι, αυτή η δραστηριότητα που ακολουθεί προσπαθούμε να είναι πιο σύνθετη.

Σε ένα ασανσέρ υπάρχουν 10 άτομα, 4 γυναίκες και 6 άντρες. Το μέσο βάρος των γυναικών είναι 75 κιλά και το μέσο βάρος των αντρών είναι 85 κιλά.

α)Ποιος είναι ο μέσος όρος του βάρους των δέκα ατόμων που βρίσκονται μέσα στο ασανσέρ; Πώς σκέφτηκες; (το συγκεκριμένο ερώτημα αποτελεί μια <<παρανόηση>> εκ μέρους των μαθητών-­‐ ακόμα και φοιτητών-­‐ οι οποίοι ! ) β)Αν βγουν από το ασανσέρ 2 γυναίκες, τότε ο μέσος όρος του βάρος των γυναικών μέσα στο ασανσέρ γίνεται 90. Ποιος είναι ο μέσος όρος του βάρους των 2 γυναικών που βγήκαν;

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.62

Page 63: Μαθηματικά Ε΄ 3.21. ΄΄Στατιστική – Μέσος όρος΄΄

Εργασία στο Μάθημα: Διδακτική των Μαθηματικών Κατριμπούζα Διδάμη

γ)Ποια μπορεί να είναι τα βάρη των υπόλοιπων 5 αντρών ώστε ο μέσος όρος του βάρους τους να είναι 85; Συμπλήρωσε τα υπόλοιπα βάρη: 80, …., …., …., …., …. δ)Ο μέσος όρος από το βάρος των τριών γυναικών είναι 80. Ποιο πρέπει να είναι το βάρος της τέταρτης γυναίκας για να έχουμε μέσο όρο 75; ε)Το ασανσέρ ξαφνικά χάλασε! Μέσα σε ένα κουτί ασφαλείας υπήρχαν μπουκάλια με νερό. Ένας κύριος είπε ότι για μοιραστούν ισάξια τα μπουκάλια πρέπει να βασιστούν στο μέσο όρο. Συμφωνείτε ότι σε αυτή τη περίπτωση ο μέσος όρος αποτελεί σωστό κριτήριο; Αιτιολογείστε την απάντησή σας και να λάβετε υπόψη σας ότι όσο αυξάνεται το βάρος ο οργανισμός χρειάζεται περισσότερο νερό.

Αξιολόγηση:

Αρχικά, πραγματοποιείται διαγνωστική αξιολόγηση μέσω του ερωτήματος 1 της δραστηριότητας 1 (Βιώνοντας το γνωστό). Ακολουθεί διαμορφωτική αξιολόγηση μέσω όλων των άλλων δραστηριοτήτων εκτός της εναλλακτικής, η οποία αξιολόγηση είναι ιδιαίτερα σημαντική καθώς αποτελεί μια ανατροφοδοτική διαδικασία για το σχεδιασμό της διδασκαλίας αφού ο δάσκαλος μπορεί να στηριχτεί στα αποτελέσματά της ώστε να αντιληφθεί αν πρέπει να αλλάξει κάτι στη δραστηριότητα ή να συνεχίσει την υλοποίησή της για να επιτευχθούν οι στόχοι της. Τέλος, μέσω της εναλλακτικής δραστηριότητας(η οποία μπορεί να δοθεί και ως εργασία για το σπίτι) πραγματοποιούμε τελική αξιολόγηση ώστε να λάβουμε πληροφορίες σχετικά με το αν εκπληρώθηκαν οι στόχοι που είχαμε εξ αρχής θέσει.

Βιβλιογραφία: Παραθέτω ορισμένες ενδεικτικές ηλεκτρονικές πηγές που χρησιμοποίησα και συμβουλεύτηκα ώστε να πραγματοποιήσω το παραπάνω σχεδιασμό:

v http://nrich.maths.org/6345 v http://www.mathsisfun.com/mean.html v http://www.ugr.es/~batanero/ARTICULOS/errors.PDF v www.daskalosk.gr v http://users.sch.gr/theoarvani v http://imerologiodaskalou.blogspot.gr/2011/01/blog-­‐post.html

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.63