Σελίδα 1 από 3

Γ ΤΑΞΗ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

10-30-40-50-60 ΓΕΛ ΑΙΓΑΛΕΩ

ΚΥΡΙΑΚΗ 3 ΜΑΙΟΥ 2015

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑ Α

(Α1) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα και 0

x ένα εσωτερικό σημείο

του .Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο 0

x και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο

αυτό, να αποδείξετε ότι 0

f ( ) 0x ( Μονάδες 7 )

(Α2) Τι σημαίνει γεωμετρικά το Θεώρημα Μέσης Τιμής του

Διαφορικού Λογισμού ( Μονάδες 5 )

(Α3) Πότε η ευθεία y x λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης

μιας συνάρτησης f στο ; ( Μονάδες 3 )

(Α4) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ΄

ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση

(α) Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος δυο μιγαδικών αριθμών είναι το

άθροισμα των διανυσματικών ακτινών τους ( Μονάδες 2 )

(β) Αν οι συναρτήσεις f , g έχουν πεδίο ορισμού το και ορίζονται οι συνθέσεις

f g και fg , τότε αυτές οι συνθέσεις είναι υποχρεωτικά ίσες ( Μονάδες 2 )

(γ) Αν η συνάρτηση fg είναι συνεχής σε ένα διάστημα τότε και η συνάρτηση f

είναι συνεχής στο διάστημα και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο ( Μονάδες 2 )

(δ) Όταν μια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και στρέφει τα κοίλα

προς τα άνω ,τότε κατ’ανάγκη θα ισχύει f ( ) 0x για κάθε πραγματικό

αριθμό x ( Μονάδες 2 )

(ε) Αν η f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα και είναι ένα σημείο

του τότε f (t)dt f ( ) f ( )x

x /

( Μονάδες 2 )

Σελίδα 2 από 3

ΘΕΜΑ Β Δίνονται οι μιγαδικοί Z, W και ο πραγματικός αριθμός για τους οποίους ισχύουν

● Οι Z, W δεν είναι πραγματικοί αριθμοί ( 1 ) ● Z W και WZ ( 2 )

● Z W 1 ( 3 ) ● Z

WZ 1

( 4 )

(Β1) Να αποδείξετε ότι: Z W

WZ 1

( Μονάδες 5 )

(Β2) Να αποδείξετε ότι 1 και 1 ( Μονάδες 6 )

(Β3) Αν 1 και Z WIm( ),Im( ) το φανταστικό μέρος των μιγαδικών Z, W

αντίστοιχα , τότε να αποδείξετε ότι:

(Β3α) Z WIm( )Im( ) 0 . ( Μονάδες 7 )

(Β3β) Η εξίσωση:1

Z W(ln( 1))Im( ) (1 e )Im( ) 0xx , έχει μια τουλάχιστον ρίζα

ως προς x στο (0,1) ( Μονάδες 4 )

(Β4) Έστω Z, W , οι μιγαδικοί των προηγούμενων ερωτημάτων και 1 2 3

,u ,u u οι μιγαδικοί u

οι οποίοι επαληθεύουν την σχέση Z W u , με 1 2 3 1

u u u u

Τότε να αποδείξετε ότι: Οι εικόνες των μιγαδικών 1 2 3

,u ,u u δεν βρίσκονται

στην ίδια ευθεία. ( Μονάδες 3 )

ΘΕΜΑ Γ

Να αποδείξετε ότι

(Γ1) Η εξίσωση e 1 ln( 1)x x , έχει μοναδική ρίζα στο [0, ) ( Μονάδες 7 )

(Γ2) e 1 ln( 1)x x , για κάθε [0, )x ( Μονάδες 3 )

Δίνεται η συνάρτηση f : [0, ) . Για κάθε x υπάρχει μοναδικό 0

ώστε να ισχύει: e 1 f ( ) 2e 1 ln( 1) 1xx x x .Τότε να αποδείξετε ότι

(Γ3) f ( ) 2e 2xx x , για κάθε [0, )x ( Μονάδες 5 )

(Γ4) Η ευθεία ( ):y 2x , είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης f

C

της συνάρτησης f ( Μονάδες 5 )

(Γ5) Δεν υπάρχει ευθεία ( ) η οποία να εφάπτεται στη γραφική παράσταση

f

C της συνάρτησης f , η οποία να είναι παράλληλη με την ευθεία ( )

του ερωτήματος (Γ4) ( Μονάδες 5 )

Σελίδα 3 από 3

ΘΕΜΑ Δ

Δίνονται οι συναρτήσεις f , g : (0, ) ,για τις οποίες ισχύουν

●

e

2 21 1

f (t) e f (t)( ) dt dt

e 1t t

x

g x

● Η συνάρτηση f έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο και f ( )f ( ) 0x x

για κάθε x

● Η εξίσωση f ( ) 0x έχει μοναδική ρίζα την 1x

● 2 2 f ( )

(f ( )) f ( )f ( ) f ( )(f ( )) f ( )ex

x x x x x x

, για κάθε 1x

(Δ1) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο

και να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ( Μονάδες 6 )

(Δ2) Να υπολογίσετε την τιμή f (1) και να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι

κοίλη ( Μονάδες 6 )

Αν f ( ) lnx x , τότε

(Δ3) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο [1, e] ( Μονάδες 5 )

(Δ4) Να υπολογίσετε το εμβαδόν ( ) του χωρίου που περικλείεται από τη

γραφική παράσταση Cg

της συνάρτησης g , τον άξονα x x και τις

ευθείες 1x και ex ( Μονάδες 8 )