ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑτα 2014 -15.pdf

1

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ.ΤΜΗΜΑ Γ3.1/12/2014

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ……………………………………………………………………………

ΘΕΜΑ 1

Να εξετάσετε τις παρακάτω προτάσεις ως προς το αληθές.

1.Η παράγωγος μιάς συνάρτησης εκφράζει την κλίση της εφαπτομένης αν υπάρχει Σ Λ

2.Το ολικό μέγιστο μιάς συνάρτησης f(χ) είναι εκείνο το σημείο Α(χ0,f(χ0)

για το οποίο ισχύει f(χ) f(χ0) Σ Λ

3.Για μια σύνθετη συνάρτηση f(g(x)) ισχύει ότι f(g(x))’=f’(g(x)).g’(x) Σ Λ

4.Aν για μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε διάστημα Δ ισχύει f’(x)>0 για κάθε χ εσωτερικό σημείο του Δ τότε είναι γνησίως αύξουσα. Σ Λ

5.Αν οι συναρτήσεις f(x),g(x) παραγωγίζονται τότε ισχύει

Σ Λ

ΘΕΜΑ 2

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x3+x-10

Α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού

Β)Αν f(α)=-10 να βρείτε το α

Γ)Να βρείτε το όριο

2

Δ)Να δείξετε ότι η τέμνει τον άξονα χχ’ σε ένα μόνο σημείο του οποίου να βρείτε τις συντεταγμένες.

ΘΕΜΑ 3

Δίνεται η συνάρτηση f(x)= xxxe −+ 23

Α)Να δείξετε ότι f(0)+f(1)=1+e-1

Β)Να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία

Γ)Αν ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης τυχαίου σημείου Μ(χ,ψ) είναι

χ

Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης τη χρονική στιγμή t0 κατά την οποία χ(t0)=0

3


ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ……………………………………………………………………………

ΘΕΜΑ 1

Να εξετάσετε τις παρακάτω προτάσεις ως προς το αληθές.

1.H παράγωγος μιάς συνάρτησης f(x) εκφράζει τον ρυθμό που μεταβάλλεται το ψ ως προς το χ Σ Λ

2.Αν ισχύει χ1<χ2 f(x1)<f(x2) για κάποια χ1,, ,χ2 τότε η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα Σ Λ

3.Το όριο πρέπει να το εξετάζουμε μόνο όταν χ0 ανήκει στο πεδίο ορισμού Σ Λ

4. H κλίση της εφαπτομένης της στο σημείο Μ(χ,ψ) είναι f’(χ) Σ Λ

5.Το πηλίκο συνεχών συναρτήσεων στο R είναι συνεχής συνάρτηση Σ Λ

ΘΕ ΜΑ 2

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x3+αχ2+2χ+1

Α)Να βρείτε που τέμνει η τον άξονα ψψ’

Β)Αν η διέρχεται από το σημείο Α(-1,-2) να δείξετε ότι α=0

Γ)Να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης στο Α

Δ) Να βρείτε το όριο

ΘΕΜΑ 3

4

Δίνεται η συνάρτηση

Α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού

Β)Να δείξετε ότι

Γ)Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία


ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ……………………………………………………………………………

ΘΕΜΑ 1

Α)Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο χ0 του πεδίου ορισμού της;

Β)Να δείξετε ότι αν οι συναρτήσεις f(x),g(x) είναι παραγωγίσιμες στο διάστημα Α

Τότε ισχύει (f(x)+g(x))’=(f(x))’+(g(x))’

ΘΕΜΑ 2

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=χ2+αχ+3 για την οποία ισχύει f(-1)-f’(-1)= 14

α) Να δείξετε ότι α=-4

β) Να βρείτε το όριο

γ)Να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της στο Α(4,f(4))

δ)Να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης που έχει κλίση 2

ΘΕΜΑ 3

5

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=αlnx-x2 για την οποία ισχύει f’(x)=-6

Α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού και να δείξετε ότι α=8

Β)Για την παραπάνω τιμή του α να βρείτε την μονοτονία


ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ……………………………………………………………………………

ΘΕΜΑ 1

α)Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής στο σημείο χ0 του πεδίου ορισμού της;

β)Αν η συνάρτηση f(x) είναι παραγωγίσιμη στο R και c ∈R να δείξετε ότι (cf(x))'=c(f(x))'

ΘΕΜΑ 2

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x3+αx2-β.

α)Αν f(1)=1 και f'(1)=5 να δείξετε ότι α=1 και β=1

β)Για τις παραπάνω τιμές των α,β να βρείτε την μονοτονία της f

γ)Αν για την συνεχή συνάρτηση g(x) ισχύει ότι g(x)(x-1)=f(x)-1 να βρείτε το g(1)

ΘΕΜΑ 3

Δίνεται η συνάρτηση 2( )3

x af xx−

=−

α)Να βρείτε το πεδίο ορισμού

6

β)Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο Α(2,0) να δείξετε ότι α=2

γ)Να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της γραφικής παράστασης στο Α


ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ……………………………………………………………………………

ΘΕΜΑ 1

Α)Έστω ότι οι τιμές ενός δείγματος τιμών ακολουθούν την κανονική κατανομή. Να αντιστοιχίσετε τα διαστήματα τιμών της στήλης Α με τα ποσοστά των παρατηρήσεων που βρίσκονται στα διαστήματα αυτά της στήλης Β.

Στήλη Α

1.

2.

3.

4.

Στήλη Β

α)

β)

γ)

δ)

7

Β)Να εξετάσετε τις παρακάτω προτάσεις ως προς το αληθές.

• Η αθροιστική σχετική συχνότητα της τιμής της μεταβλητής Χ εκφράζει το ποσοστό των παρατηρήσεων που είναι μεγαλύτερες από .

• Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποσοτικής μεταβλητής.

• Σ’ ένα δείγμα ν παρατηρήσεων η διάμεσος επηρεάζεται από τη μικρότερη και τη μεγαλύτερη παρατήρηση.

• Η διάμεσος δεν υπολογίζεται σε ποιοτικά δεδομένα

• Η διάμεσος ενός δείγματος τιμών δεν επηρεάζεται από τις ακραίες τιμές του δείγματος.

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται το ιστόγραμμα και το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων ,όπως και ο πίνακας συχνοτήτων ,ενός δείγματος παρατηρήσεων ομαδοποιημένων σε πέντε κλάσεις ίσου

8

πλάτους c.

Α)Να δείξετε ότι f2%=30

Β)Aν η διάμεσος είναι δ=14 να δείξετε ότι c=6

Γ)Να συμπληρώσετε τον πίνακα συχνοτήτων και να υπολογίσετε την μέση τιμή

Δ)Να κατασκευάσετε το πολύγωνο συχνοτήτων και να χαρακτηρίσετε την κατανομή ως προς την ασυμμετρία


ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ……………………………………………………………………………

ΘΕΜΑ 1

Α)Να εξετάσετε τις παρακάτω προτάσεις ως προς το αληθές.

Κλάσεις[….) Κέντρο κλάσης χι

Σχετική συχνότητα f i%

[0,…..) f1

[……..) f2

[……..) f3=3f1

[……..) f4

[……..) f5=f1

9

• Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση μόνο των ποιοτικών μεταβλητών.

• Σε μια κανονική κατανομή το εύρος των τιμών ισούται περίπου με , όπου η τυπική απόκλιση των τιμών.

• Η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση ενός δείγματος τιμών εκφράζονται με τις ίδιες μονάδες.

• Μεταξύ δυο δειγμάτων τιμών μιας μεταβλητής, αυτό που έχει μεγαλύτερο μέγεθος είναι περισσότερο αντιπροσωπευτικό.

• Η διάμεσος ενός δείγματος τιμών δεν επηρεάζεται από τις ακραίες τιμές του δείγματος

Β) Αν , οι τιμές ενός δείγματος τιμών μεγέθους

, , οι (απόλυτες) συχνότητες , ,

οι σχετικές συχνότητες και η μέση τιμή των τιμών,

τότε η διασπορά δίνεται από τον τύπο:

α.

β.

γ.

δ.

ΘΕΜΑ2

10

Δείγμα εννέα παρατηρήσεων χ1,χ2……χ9 είναι τοποθετημένες σε αύξουσα σειρά .

Α)Αν οι παρατηρήσεις χ1.χ2.χ3.χ4 έχουν εύρος 8, διάμεσο 7, χ2=χ3

και 324

1=∑

=iix να δείξετε ότι χ1=5, χ2=7, χ3=7 ,χ4=13

β)Αν χ5=13 να βρείτε την διάμεσο του δείγματος των 9 παρατηρήσεων

γ) Αν για τις παρατηρήσεις χ5,χ6,χ7,χ8,χ9 έχουμε 1039

5=∑

=iix να δείξετε

ότι η μέση τιμή και των 9 παρατηρήσεων είναι 15=x

δ)Αν∑=

=9

5

2 1769i

ix να δείξετε ότι s=2

ε)Για να μετατρέψουμε το δείγμα σε ομοιογενές, έχουμε δύο επιλογές

• Να αυξήσουμε τις τιμές κατά το ίδιο ποσοστό η

• Να αυξήσουμε τις τιμές κατά σταθερά c

Nα δικαιολογήσετε γιατί η δεύτερη επιλογή είναι προτιμότερη

Στ)Να υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή του c ώστε το δείγμα να γίνει ομογενές

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑτα 2014 -15.pdf

Documents

Transcript of ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑτα 2014 -15.pdf