ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο

ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ 2.1 Τυχαίες µεταβλητές Πολλές φορές σε ένα πείραµα τύχης δεν µας ενδιαφέρει ο δειγµατοχώρος του (ο οποίος όπως είδαµε µπορεί να είναι και µη-αριθµητικό σύνολο), αλλά ένα σύ-νολο το οποίο είναι αποτέλεσµα µιας απεικόνισης (συνάρτησης) των στοιχείων του δειγµατοχώρου στους πραγµατικούς αριθµούς. Για να γίνει αυτό κατανοητό δίνουµε το παρακάτω παράδειγµα: έστω ότι ρίχνουµε δύο νοµίσµατα, τότε ως γνωστόν ο δειγµατοχώρος του πειράµατος είναι ίσος µε:

Ω = ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ

Ας υποθέσουµε ότι µας ενδιαφέρει ο αριθµός των Κ τα οποία εµφανίζονται, και ας συµβολίσουµε τον αριθµό αυτό µε Χ. Τότε εάν κατά την εκτέλεση του πει-ράµατος συµβεί το γεγονός ΚΚ, η αντίστοιχη τιµή του Χ είναι 2. Εάν συµβεί το γεγονός ΚΓ ή το ΓΚ, η αντίστοιχη τιµή του Χ είναι 1, και εάν τέλος συµβεί το γεγονός ΓΓ η αντίστοιχη τιµή του Χ είναι 0. Έτσι ορίσαµε έναν τρόπο µε την βοήθεια του οποίου, σε κάθε δειγµατοσηµείο αντιστοιχούµε έναν πραγµατικό αριθµό, µ’ άλλα λόγια ορίσαµε µια συνάρτηση Χ µε πεδίο ορισµού τον δειγµατο-χώρο και πεδίο τιµών το υποσύνολο 0, 1, 2 των πραγµατικών αριθµών.

Έτσι λοιπόν έχουµε τον παρακάτω ορισµό: Ορισµός 2.1.1 Μια τυχαία µεταβλητή Χ (χάριν συντοµίας τ.µ.), είναι µία συ-νάρτηση µε πεδίο ορισµού έναν δειγµατοχώρο Ω και πεδίο τιµών ένα υποσύνολο των πραγµατικών αριθµών ( δηλαδή η ℜ→Ω:X ).

Παρατήρηση 2.1.2 Στην πραγµατικότητα, αν θεωρήσουµε µια οποιαδήποτε συ-νάρτηση Χ µε πεδίο ορισµού έναν δειγµατοχώρο Ω (στον οποίο έχει οριστεί µια σ-άλγεβρα γεγονότων ) και πεδίο τιµών ένα υποσύνολο των πραγµατικών αριθµών, τότε η εν λόγω συνάρτηση θεωρείται ότι είναι µια τυχαία µεταβλητή εάν ικανοποιεί την συνθήκη: για κάθε πραγµατικό αριθµό

ℑ

x το σύνολο:

19

(2.1.3) )(/)],((1 xxX ≤Χ=−∞− ωω

είναι ένα γεγονός του Ω, αναφορικά µε την σ-άλγεβρα ℑ . Είναι φανερό ότι εάν σαν σ-άλγεβρα ℑ θεωρήσουµε το δυναµοσύνολο του Ω, τότε κάθε πραγµατική συνάρτηση του δειγµατοχώρου θεωρείται τυχαία µεταβλητή. Για τις εφαρµογές του εν λόγω συγγράµµατος θεωρούµε ότι, όλες οι πραγµα-τικές συναρτήσεις που ορίζονται σ’ έναν δειγµατοχώρο είναι τυχαίες µεταβλη-τές. Αν υποθέσουµε ότι στον δειγµατοχώρο Ω (µαζί µε την σ-άλγεβρα του ) ορίζεται ένα «µέτρο» πιθανότητας

ℑP και µια τυχαία µεταβλητή Χ, τότε µε την

βοήθεια της Χ ορίζουµε στο (στον οποίο χώρο είναι ορισµένη µια σ-άλγεβρα Β καλούµενη σ-άλγεβρα του Borel) ένα µέτρο πιθανότητας L, ως εξής:

ℜ

L (2.1.4) ))(/())(()( 1 AXPAXPA ∈== − ωω

για όλα τα Α Borel γεγονότα του ℜ . Το µέτρο πιθανότητας L καλείται νόµος ή κατάνοµή της τ.µ. Χ. Ορισµός 2.1.5 Έστω τώρα ότι δίνεται µια τ.µ. Χ, τότε ορίζουµε µια συνάρτηση

µε τύπο: ℜ→ℜ:F

(2.1.6) ))(:())],((()],(()( 1 xXPxXPxLxF ≤Ω∈=−∞=−∞= − ωω

Η συνάρτηση F καλείται συνάρτηση κατανοµής (distribution function) της τ.µ. Χ (συνήθως γράφουµε ). XF Εάν δυο τ.µ. Χ και Υ έχουν την ίδια συνάρτηση κατανοµής, δηλαδή , τότε λέµε ότι οι τ.µ. είναι ισόνοµες ή ταυτοτικά κατανεµηµένες.

YX FF =

Πρόταση 2.1.7 Η συνάρτηση κατανοµής XF της τ.µ. Χ έχει τις παρακάτω ιδιότητες: (1) 1)(0 ≤≤ xFX

(2) Η είναι αύξουσα. XF

(3) Η είναι συνεχής από δεξιά σε όλα τα XF ℜ∈x , δηλαδή: . )(lim)( tFxF X

xtX +→

=

(4) και 0)(lim)( ==−∞−∞→

xFF XxX 1)(lim)( ==+∞+∞→

xFF XxX .

(5) baaFbFbXaP XX ≤−=≤< ),()()(

20

2.2 ∆ιακριτές και συνεχείς τυχαίες µεταβλητές κατανοµές (Α) ∆ιακριτές τυχαίες µεταβλητές κατανοµές

Μια τυχαία µεταβλητή Χ καλείται διακριτή αν το πλήθος των τιµών της είναι ένα πεπερασµένο ή το πολύ αριθµήσιµο σύνολο και κάθε µια από αυτές τις τιµές έχει θετική πιθανότητα. ∆ηλαδή αν η Χ είναι µια διακριτή τ.µ. και παίρνει τις τιµές (ας υποθέσουµε ακόµα ότι: …… ,,,, 21 nxxx << 21 xx ) τότε οι πιθανό-τητες

,2,1,0))(/( =>== kpxXP kkωω .

Είναι φανερό ότι:

∑∑∞

=

∞

=

===11

1)(k

kkk

pxXP

Ορισµός 2.2.1 Η συνάρτηση που ορίζεται από τον τύπο:

⎪⎩

⎪⎨⎧ ==

===ύ

kxxpxXPxf

kk

Xαλλο0

,2,1,)( (2.2.2)

καλείται πυκνότητα πιθανότητας της τ.µ. Χ (probability density function). Είναι φανερό ότι η πυκνότητα πιθανότητας µιας τ.µ. ικανοποεί τις παρακάτω ιδιότητες:

(α) και 0)( ≥xf X

(β) 1)(1

=∑∞

=nX

nxf

Η πυκνότητα πιθανότητας και η συνάρτηση κατανοµής µιας τ.µ. συνδέονται ως εξής:

)()()(

)()(

1

11

−

−−

≤≤

−==≤−≤=≤<===

===≤= ∑∑

kXkX

kkkkkkX

xxkX

xxkX

xFxFxXPxXPxXxPxXPxf

xfxXPxXPxFkk

Αναφέρουµε παρακάτω ορισµένες πυκνότητες πιθανότητας, οι οποίες εµφα-νίζονται συνήθως στην πράξη και χρησιµοποιούνται στην συνέχεια του συγ-γράµµατος. Λέµε λοιπόν ότι µια τ.µ. Χ ακολουθεί:

(α) την διωνυµική κατανοµή (binomial distribution) µε παραµέτρους n και p (συµβολικά ), εάν η πυκνότητα πιθανότητάς της δίνεται από την:

);( pnBX ≈

21

nkppknk

nppkn

kXP knkknk ,,2,1,0,)1()!(!

!)1( =−−

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== −− (2.2.3)

(β) την κατανοµή Poisson (Poisson distribution) µε παράµετρο λ µε λ > 0 (συµβολικά )(λPX ≈ ) , εάν η πυκνότητα πιθανότητάς της ισούται µε:

,2,1,0,!

=== − kk

ekXPkλλ (2.2.4)

(γ) την γεωµετρική κατανοµή (geometrical distribution) µε παράµετρο r (µε 0<r<1), εάν η πυκνότητα πιθανότητάς της ισούται µε:

(2.2.5) ,2,1,)1( 1 =−== − krrkXP k

(Β) Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές κατανοµές

Έστω τώρα ότι το το πλήθος των τιµών µιας τ.µ. Χ είναι ένα µη-αριθµήσιµο σύνολο S, τέτοιο ώστε SxxXP ∈∀== ,0 . Η τ.µ. Χ καλείται, σ΄αυτή την περίπτωση συνεχής. Τις περισσότερες φορές υποθέτουµε ότι υπάρχει µια πραγµατική µη αρνητική συνάρτηση (η λεγόµενη πυκνότητα πιθανότητας) τέτοια ώστε: )(xf X

(2.2.6) ℜ∈∀= ∫∞−

xdttfxFx

XX ,)()(

Από τον ορισµό της πυκνότητας πιθανότητας, είναι εύκολο να δει κανείς ότι:

(2.2.7) 1)( =∫∞

∞−

dxxf X

ενώ dx

xdFxf XX

)()( = για όλα τα x για τα οποία η είναι συνεχής. )(xf X

Οι χρησιµότερες συνεχείς τ.µ. είναι αυτές των οποίων η πυκνότητα πιθανότη-τας δίνεται παρακάτω. Θα λέµε ότι µια τ.µ. Χ ακολουθεί:

(α) την οµοιόµορφη κατανοµή (uniform distribution) µε παραµέτρους α και β (συµβολικά ),( βαUX ≈ ), εάν η πυκνότητα πιθανότητάς της ορίζεται από την:

⎪⎩

⎪⎨⎧ <∈

−=ύ

xxf X

αλλο

βαβααβ

0

],,[1)( (2.2.8)

(β) την κανονική κατανοµή (normal distribution) µε παραµέτρους µ και σ (συµβολικά ) ), εάν η πυκνότητα πιθανότητάς της είναι ίση µε:

,( 2σµNX ≈

22

)(xf X 0,,,21 2

2

2)(

>ℜ∈ℜ∈=−

−σµ

σπσµ

xex

(2.2.9)

Εάν µ=0 και σ=1, τότε λέµε ότι η τ.µ. Χ ακολουθεί την τυπική κανονική κατανοµή (standard normal distribution).

(γ) την αρνητική εκθετική κατανοµή (negative exponential distribution) µε

παράµετρο λ , µε λ > 0, εάν η πυκνότητα πιθανότητάς της είναι ίση µε:

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤

>=

−

00

0)(

x

xexf

x

X

λλ (2.2.10)

(δ) την γάµµα κατανοµή (gamma distribution) µε παραµέτρους α και β µε α, β>0 εάν η πυκνότητα πιθανότητάς της ορίζεται από την σχέση:

=)(xf X

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤

>−

−

00

0)(1 1

x

xexx

aβα

βαΓ (2.2.11)

όπου η συνάρτηση: καλείται συνάρτηση γάµµα. Μπορεί να

δειχθεί ότι :

∫∞

−−=Γ0

1)( dtet tαα

)1()1()( −Γ−=Γ aaa απ’ όπου παίρνουµε )!1()( −=Γ nn , για n φυσικό. Η αρνητική εκθετική κατανοµή είναι ειδική περίπτωση της γάµµα κατανοµής για α=1 και β=1/λ. Ακόµα στην περίπτωση που το α=1/2 και β=2, τότε η γάµµα κατανοµή ονο-µάζεται χι-τετράγωνο µε έναν βαθµό ελευθερίας (συµβολικά ). 2

1χ Το παρακάτω θεώρηµα περιγράφει πως βρίσκουµε την πυκνότητα πιθανότη-τας µιας συνάρτησης µιας τ.µ., όταν είναι γνωστή η π.π. της (αρχικής) τ.µ. Θεώρηµα 2.2.12 (µετασχηµατισµός µιας τυχαίας µεταβλητής)

Έστω η τ.µ. Χ µε συνεχή (εκτός, ενδεχοµένως, πεπερασµένου πλήθους σηµείων) π.π. , η οποία είναι θετική για )(xf X Sx∈ και 0 για τα υπόλοιπα. Έστω

µια “αµφιµονοσήµαντη και επί” συνάρτηση. Υποθέτουµε ακόµα ότι η (υπάρχουσα) αντίστροφη συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη και η παράγωγός της είναι συνεχής. Εάν ορίσουµε την τ.µ.

TSg →:STg →− :1

)(XgY = , τότε η πυκνότη-τα πιθανότητας της δίνεται από την σχέση:

23

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈

∈⋅=

−−

'0

)()]([)(

11

Ty

Tyygdydygf

yf XY (2.2.13)

2.3 Αριθµητικά χαρακτηριστικά µιας τυχαίας µεταβλητής Έστω Χ µια τ.µ. και έστω ότι η πυκνότητα πιθανότητάς της είναι γνω-

στή. Τότε, τουλάχιστον θεωρητικά, µπορούµε να υπολογίσουµε όλες τις πιθανό-τητες οι οποίες µας ενδιαφέρουν. Από µαθηµατική άποψη όµως, υπάρχουν πολ-λές φορές δυσκολίες που κάνουν αυτούς τους υπολογισµούς αδύνατους. Γι΄ αυ-τό, δίνουµε παρακάτω ορισµένους αριθµούς που χαρακτηρίζουν την τ.µ. Χ ή την κατανοµή της.

)(xf X

Ορισµός 2.3.1 Η µέση τιµή (mean) ή µαθηµατική ελπίδα (expectation) µιας τ.µ. Χ µε πυκνότητα πιθανότητας είναι ο αριθµός: )(xf X

(2.3.2)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

∫

∑∞+

∞−

∞

=

ςσυνεχ

διακριτµ

ήXdxxfx

ήXxfxXE

X

nnXn

X

)(

)()( 1

µε την προυπόθεση ότι οι ποσότητες του δεξιού µέλους έχουν νόηµα (δηλαδή τόσο το άθροισµα όσο και το ολοκλήρωµα του δεξιού µέλους είναι πεπερασµέ-να). Εάν τώρα g είναι µια πραγµατική συνάρτηση, τότε η συνάρτηση είναι µια τ.µ. Η µέση τιµή της Υ, όταν υπάρχει, υπολογίζεται:

)(XgY =

(2.3.3)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

∫

∑∞+

∞−

∞

=

ςσυνεχ

διακριτ

ήXdxxfxg

ήXxfxgXgEYE

X

nnXn

)()(

)()()]([)( 1

Ορισµός 2.3.4 (α) Εάν g(x)=xr , τότε η µέση τιµή της )(XgY = καλείται ρο-πή r-τάξεως της τ.µ Χ.

(β) Εάν g(x) = (x−Ε(Χ))r , τότε η µέση τιµή της )(XgY = καλείται κεντρική ροπή r-τάξεως της τ.µ Χ.

Είναι φανερό ότι η ροπή πρώτης τάξεως µιας τ.µ είναι η µέση της τιµή, ενώ η

24

κεντρική ροπή πρώτης τάξης είναι πάντα µηδέν. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η κεντρική ροπή δεύτερης τάξης µιας τ.µ., η οποία καλείται διασπορά της τ.µ. ∆ηλαδή η διασπορά µιας τ.µ. Χ δίνεται από την σχέση:

σ2(Χ) = V(X) = E[(X−(EX))2] = E(X2)−(EX)2 (2.3.5)

Η τετραγωνική ρίζα της διασποράς καλείται τυπική απόκλιση της τ.µ. Η µέση τιµή καθώς και η διασπορά τ.µ µε κατανοµές αυτές που αναφέρθηκαν στην παράγραφο 2.2 δίνονται αναλυτικά στον πίνακα που υπάρχει στο τέλος του συγγράµµατος. Η παρακάτω ανισότητα δίνει ένα άνω φράγµα µιας ενδιαφέρουσας πιθανότη-τας µε την βοήθεια της µέσης τιµής και της διασποράς µιας τ.µ. Πρόταση 2.3.6 (Aνισότητα του Tchebichev)

Έστω Χ µια τ.µ. µε πεπερασµένη µέση τιµή ΕΧ και διασπορά σ2(Χ). Τότε για οιονδήποτε θετικό αριθµό c, έχουµε:

2

2 )(c

XcEXXP σ≤≥− (2.3.7)

Ορισµός 2.3.8 Η ροπογεννήτρια µιας τ.µ. Χ ορίζεται από την σχέση:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

∫

∑∞+

∞−

ςσυνεχ

διακριτ

ήXdxxfe

ήXxfe

eEtM

Xtx

xX

tx

tXX

)(

)(

)()( (2.3.9)

δοθέντος ότι οι ποσότητες στος δεξί µέλος, του ορισµού, είναι πεπερασµένες (συνήθως για t∈(–c, c), για κάποιο c> 0). Το παρακάτω θεώρηµα δίνει τις βασικές ιδιότητες της ροπογεννήτριας µιας τ.µ. Θεώρηµα 2.3.10 (α) 1)0( =XM (πάντα). Το σηµείο t=0 µπορεί να είναι και το µοναδικό σηµείο στο οποίο υπάρχει η ροπογεννήτρια µιας τ.µ.

(β) NnXEtMdtd n

tXn

n

∈== ),(|)( 0 (2.3.11)

µε την προυπόθεση ότι η ροπή nοστής τάξης του δεξιού µέλους είναι πεπερα-σµένη.

25

2.4 Πολυδιάστατες τυχαίες µεταβλητές: κατανοµές και ροπές Εάν είναι δυό 21 , XX διακριτές τ.µ. οι οποίες ορίζονται στον ίδιο πιθανοθεω-ρητικό χώρο Ω, και οι οποίες παίρνουν τιµές σ’ ένα σύνολο S. Ορισµός 2.4.1 (1) Εάν ορίσουµε µια συνάρτηση στο SxS, από τον τύπο:

),( 21, 21xxf XX

,),( 221121, 21xXxXPxxf XX === (2.4.2)

τότε η συνάρτηση αυτή καλείται από κοινού πυκνότητα πιθανότητας των τ.µ. , έχει δε τις παρακάτω ιδιότητες: 21 , XX

SxSxxxxfa XX ∈∀≥ ),(0),()( 2121, 21

(β) SBBxxfBXBXP XXBX BX

⊂∀=∈∈ ∑ ∑∈ ∈

2121,2211 ,),(,21

11 22

γεγονότα

και ιδιαίτερα: 1),( 21, 21

1 2

=∑∑∈ ∈

xxf XXSx Sx

(2) Η συνάρτηση που ορίζεται από την σχέση: )(1

xf X

∑=2

211),()( 21,1

xXXX xxfxf (2.4.3)

είναι η πυκνότητα πιθανότητας της τ.µ . Οι π.π. , καλού-νται περιθωριακές πυκνότητες πιθανότητας της .

1X )(1

xf X )(2

xf X

),( 21, 21xxf XX

(3) Η συνάρτηση ) που δίνεται από την σχέση: ,( 21, 21xxF XX

∑∑≤≤

=≤≤=22

21

11

21),(,),( 21,221121,

xtXX

xtXX ttfxXxXPxxF (2.4.4)

καλείται από κοινού συνάρτηση κατανοµής των τ.µ. οι δε ιδιότητες της είναι ανάλογες εκείνων της συνάρτησης κατανοµής µιας τ.µ.

21 , XX

(4) Εάν για κάθε τέτοιο ώστε ) >0 ορίσουµε την συνάρτηση

από την σχέση: 2x ( 22

xf X

)|( 2, 21xf XX ⋅

|)(

),()|( 2211

2

21,21,

2

21

21xXxXP

xfxxf

xxfX

XXXX ==== (2.4.5)

τότε η εν λόγω συνάρτηση καλείται δεσµευµένη (ή υπό συνθήκες) πυκνό-τητα πιθανότητας της τ.µ. δοθέντος ότι 1X 22 xX = .

26

Έστω τώρα δυο 21 , XX συνεχείς τ.µ. οι οποίες ορίζονται στον ίδιο πιθανο-θεωρητικό χώρο Ω, και οι οποίες παίρνουν τιµές σ’ ένα σύνολο S. Ορισµός 2.4.6 (1) Εάν υπάρχει µια συνάρτηση ) στο SxS τ.ω: ,( 21, 21

xxf XX

SxSxxxxfa XX ∈∀≥ ),(0),()( 2121, 21

(β) SBBdxdxxxfBXBXP XXBB

⊂∀=∈∈ ∫∫ 212121,2211 ,),(,21

21

(γεγονότα) και ιδιαίτερα:

1),( 21, 21=∫∫

+∞

∞−

+∞

∞−

xxf XX

τότε η συνάρτηση ) καλείται από κοινού πυκνότητα πιθανό-τητας των τ.µ. .

,( 21, 21xxf XX

21 , XX (2) Η συνάρτηση που ορίζεται από την σχέση: )(

1xf X

(2.4.7) 221,1 ),()(211

dxxxfxf XXX ∫+∞

∞−

=

είναι η πυκνότητα πιθανότητας της τ.µ . Οι π.π. , καλού-νται περιθωριακές πυκνότητες πιθανότητας της .

1X )(1

xf X )(2

xf X

),( 21, 21xxf XX

(3) Η συνάρτηση ) που ορίζεται από την σχέση: ,( 21, 21

xxF XX

(2.4.8) 2121,221121, ),(,),(21

21

21dtdtttfxXxXPxxF XX

xx

XX ∫∫∞−∞−

=≤≤=

καλείται από κοινού συνάρτηση κατανοµής των τ.µ. . 21 , XX (4) Εάν για κάθε τέτοιο ώστε ) >0 ορίσουµε την συνάρτηση

από την σχέση: 2x ( 22

xf X

)|( 2, 21xf XX ⋅

)(

),()|(

2

21,21,

2

21

21 xfxxf

xxfX

XXXX = (2.4.9)

τότε η εν λόγω συνάρτηση καλείται δεσµευµένη (ή υπό συνθήκες) πυκνό-τητα πιθανότητας της τ.µ. δοθέντος ότι 1X 22 xX = .

Όλοι οι παραπάνω ορισµοί γενικεύονται και στην περίπτωση που έχουµε πε-ρισσότερες από δυο τ.µ ( διακριτές ή συνεχείς).

Εάν δυο τ.µ. και 21 , XX ),( 21 XXgY = µία τ.µ. η οποία είναι συνάρτηση

27

των τ.µ. τότε: 21 , XX Ορισµός 2.4.10 Η µαθηµατική ελπίδα (ή µέση τιµή) της τ.µ. ορίζεται από την σχέση:

),( 21 XXgY =

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

∫∫

∑∑

∞+

∞−

∞+

∞−

ςσυνεχε

ςδιακριτ

ίXXdxdxxxfxxg

έXXxxfxxg

XXEgEY

XX

x xXX

212121,21

2121,21

21

,),(),(

,),(),(

),(

21

1 2

21

µε την προυπόθεση ότι οι ποσότητες του δεξιού µέλους έχουν νόηµα (δηλαδή είναι πεπερασµένες).

Ακόµα: Ορισµός 2.4.11 Η διασπορά της τ.µ. ),( 21 XXgY = ορίζεται από την σχέση:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

−

=

∫∫

∑∑

∞+

∞−

∞+

∞−

ςσυνεχε

ςδιακριτ

σίXXdxdxxxfXXEgxxg

έXXxxfXXEgxxg

Y

XX

x xXX

212121,2

2121

2121,2

2121

2

,),()],(),([

,),()],(),([

)(

21

1 2

21

όταν οι ποσότητες του δεξιού µέλους είναι πεπερασµένες. Ορισµός 2.4.12 Η από κοινού ροπογεννήτρια των τ.µ δίνεται από την:

21 , XX

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

∫∫

∑∑

∞+

∞−

+∞+

∞−

+

ςσυνεχε

ςδιακριτ

ίXXdxdxxxfe

έXXxxfe

ttM

XXxtxt

x xXX

xtxt

XX

212121,

2121,

21,

,),(

,),(

),(

21

2211

1 2

21

2211

21

Ο παραπάνω ορισµός µπορεί να γενικευτεί, εύκολα, και στην περίπτωση µιας τ.µ. . ),( 21 XXgY = Ορισµός 2.4.13 Η συνδιασπορά των τ.µ ορίζεται να είναι ο παρακά-τω αριθµός:

21 , XX

2121221121 )()])([(),( EXEXXXEEXXEXXEXXC −=−−=

Εάν 0),( 21 =XXC τότε οι τ.µ. καλούνται ασυσχέτιστες. 21 , XX Το παρακάτω θεώρηµα δίνει ένα άνω και κάτω φράγµα της συνδιασποράς δυο τ.µ.

28

Θεώρηµα 2.4.14 (Ανισότητα του Schwarz) Ισχύει:

2121),( 21 XXXX XXC σσσσ ≤≤−

Οι διασπορές τυχαίων µεταβλητών συνδέονται µε τις συνδιασπορές τους µε την βοήθεια της παρακάτω σχέσης. Θεώρηµα 2.4.15 (Ισότητα του Bienayme) Εάν njX j ,,1, = τ.µ. µε πεπε-ρασµένη διασπορά, τότε:

(2.4.16) ),(2)(1 1

21

2ji

n

j njiXn XXCXX

j∑ ∑= ≤<≤

+=++ σσ

Εάν οι τ.µ. είναι ανά δύο ασυσχέτιστες, τότε έχουµε: njX j ,,1, =

(2.4.17) ∑=

=++n

jXn j

XX1

21

2 )( σσ

Εάν στους ορισµούς η π.π. αντικατασταθεί από µια δεσµευµένη πυκνότητα, τότε η αντίστοιχη µέση τιµή και διασπορά λέγονται δεσµευµένη µέση τιµή και δεσµευµένη διασπορά αντίστοιχα, δηλαδή έχουµε τους παρακάτω ορισµούς:

Ορισµός 2.4.18 Η δεσµευµένη (ή υπό συνθήκες) µέση τιµή της τ.µ. δοθέντος ότι ορίζεται από την σχέση:

1X

22 xX =

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

∫

∑

∞+

∞−

ςσυνεχε

ςδιακριτ

ίXXdxxxfx

έXXxxfx

xXXE

XX

xXX

21121,1

2121,1

221

,)|(

,)|(

)|(

21

1

21

επίσης:

Ορισµός 2.4.19 Η δεσµευµένη (ή υπό συνθήκες) διασπορά της τ.µ. δο-θέντος ότι

1X ορίζεται από την σχέση 22 xX =

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

=−

==

∫

∑

∞+

∞−

ςσυνεχε

ςδιακριτ

σίXXdxxxfxXXEx

έXXxxfxXXEx

xXX

XX

XXx

21121,2

2211

2121,2

2211

2212

,)|()]|([

,)|()]|([

)|(

21

21

1

Παρατήρηση 2.4.20 Είναι φανερό από τον ορισµό 2.4.18 ότι η δεσµευµένη µε-ση τιµή της τ.µ. δοθέντος ότι 1X 22 xX = είναι µια συνάρτηση του , έστω φ(x), δηλαδή:

2x

29

)|()( 2212 xXXEx ==φ

Η τ.µ. )( 2Xφ παριστάνεται επίσης και σαν . ∆ηλαδή η τ.µ ορίζεται από την σχέση:

)|( 21 XXE)|( 21 XXE

)|()())(|( 2121 xXXExxXXE === φ

Επειδή η είναι µια τ.µ. έχει νόηµα να µιλάµε για την µέση τιµή της. )|( 21 XXE

Θεώρηµα 2.4.21 Ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:

)()]|([)(

]|),([)(]|),()([)(

)],([]|),([)(

12

212

121211121211

21121

XXXEiii

XXXgEXgXXXgXgEii

XXgEXXXgEEi

σσ ≤

=

=

µε την προυπόθεση ότι όλες οι ποσότητες που εµφανίζονται παραπάνω έχουν νόηµα. 2.5 Στοχαστική Ανεξαρτησία τ.µ. Ορισµός 2.5.1 Οι τ.µ καλούνται (στοχαστικά) ανεξάρτητες εάν: 21 , XX

,, 22112211 BXPBXPBXBXP ∈∈=∈∈ (2.5.2)

για οποιαδήποτε υποσύνολα (γεγονότα) των πραγµατικών αριθµών. 21 , BB Το παρακάτω θεώρηµα δίνει ισοδύναµους ορισµούς της ανεξαρτησίας δυο τ.µ. Θεώρηµα 2.5.3 Οι τ.µ είναι (στοχαστικά) ανεξάρτητες εάν και µό-νον εάν ισχύει µια από τις παρακάτω σχέσεις:

21 , XX

(α) )()(),( 2121, 2121xFxFxxF XXXX =

(β) )()(),( 2121, 2121xfxfxxf XXXX =

(γ) )()(),( 2121, 2121tMtMttM XXXX =

Άµεσες συνέπειες του ορισµού της ανεξαρτησίας δυό τυχαίων µεταβλητών δίνο-νται από την παρακάτω πρόταση.

Πρόταση 2.5.4. Εάν οι τ.µ. είναι (στοχαστικά) ανεξάρτητες, τότε: 21 , XX

(1) )]([)]([)]()([ 22112211 XgEXgEXgXgE =

Από το γεγονός αυτό, εύκολα µπορεί να δει κανείς (;) ότι: εάν δυο τ.µ. είναι

30

ανεξάρτητες τότε είναι και ασυσχέτιστες. Το αντίστροφο εν γένει δεν ισχύει.

(2) )()()(11

tMtMtMnn XXXX =++

(3) Εάν τότε οι τ.µ. είναι και αυτές ανεξάρτη-τες.

)(),( 222111 XgYXgY == 21 ,YY

Το ακόλουθο θεώρηµα είναι ένα από τα σπουδαιότερα αποτελέσµατα που συ-ναντά κανείς στη Θεωρία Πιθανοτήτων. Συνδέει την κατανοµή µιας συγκεκριµ-µένης συνάρτησης ανεξαρτήτων τ.µ. µε την κανονική κατανοµή φανερώνοντας έτσι την σπουδαιότητα της κανονικής κατανοµής.

Θεώρηµα 2.5.5 (Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα) Εάν οι είναι ανεξάρτητες και ταυτοτικά κατανεµηµένες τ.µ. µε πεπε-ρασµένη µέση τιµή και διασπορά και θέσουµε:

nXX ,,1

nn XXS ++= 1 (2.5.6)

τότε:

)()(

xxSESS

Pn

n

nn Φ∞→

→⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≤−σ

(2.5.7)

όπου Φ(x) η συνάρτηση κατανοµής την τυπικής κανονικής κατανοµής. Παρατήρηση 2.5.8 Ο τρόπος σύγκλισης που περιγράφεται στο παραπάνω θεώ-ρηµα λέγεται σύγκλιση κατά κατανοµή

Μ΄ άλλα λόγια το Κ.Ο.Θ. αναφέρει ότι:

)1,0()(

NSESS

n

nn ≈−σ

(2.5.9)

ή επειδή , έχουµε: 22 )(, σσµ SnES nn == n

)1,0(NnnSn ≈

−

σµ

(2.5.10)

ή ισοδύναµα:

) (2.5.11) ,( 2σµ nnNSn ≈

Τέλος, εάν nS

X nn = , έχουµε:

)1,0()(

NXn n ≈

−σ

µ (2.5.12)

31

ή ισοδύναµα:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≈

nNX n

2

, σµ . (2.5.13)

32

2.6 Ασκήσεις 2.6.1 Μια τ.µ. Χ έχει κατανοµή ( πυκνότητα) πιθανότητας που δίνεται από τον

πίνακα:

x 0 1 2 3 4

)(xp 161

164

166

164

161

(α) Να βρεθεί η συνάρτηση κατανοµής της Χ και να γίνει η γραφική της παράσταση.

(β) Να βρεθεί η µέση τιµή EX και η διασπορά ) της Χ. (XV

Λύση Η συνάρτηση κατανοµής της Χ είναι ίση µε:

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

≤

<≤

<≤

<≤

<≤

<

=≤=

x

x

x

x

x

x

xXPxFX

41

431615

321611

21165

10161

00

)(

η δε γραφική της παράσταση είναι

15/16

Fx(x)

10/16

5/16

0 1 2 3 4 x

Fx(x)

(β) Η µέση τιµή της είναι ίση µε:

21614

1643

1662

1641

1610

4

0=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅==⋅= ∑

=xxXPxEX

33

Ακόµα:

51614

1643

1662

1641

1610 2222

4

0

222 =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅==⋅= ∑=x

xXPxEX

άρα η διασπορά της είναι ίση µε: 125)()( 222 =−=−= EXEXXV

2.6.2 Η τυχαία µεταβλητή Χ έχει πυκνότητα πιθανότητας:

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ≤≤−=

αλλου

θθ

0

2,0)(

xxf X

(α) Να βρεθεί η σταθερά θ (έτσι ώστε η νάναι πυκνότητα πιθα-νότητας).

)(xf X

(β) Να βρεθούν οι πιθανότητες: (Ι) 21 ≤≤−Ρ X (ΙΙ) 5,1≥Ρ X

(γ) Να βρεθεί η σταθερά c τέτοια ώστε: 8,0=≥Ρ cX (δ) Να βρεθεί η µέση τιµή EX και η διασπορά ) της Χ. (XV

Λύση

(α) Ξέρουµε ότι για νάναι η πυκνότητα πιθανότητας θα πρέπει: )(xf X

5,214,012,012,01)( =⇒=⇒=⇒=⇒=−−

+∞

∞−∫∫ θθ

θ

θ

θ

θ

xdxdxxf X

δηλαδή:

⎩⎨⎧ ≤≤−

=αλλου0

5,25,22,0)(

xxf X

(β) (Ι) 6,02,02,0212

1

2

1

===≤≤−Ρ−−

∫ xdxX και:

(ΙΙ) 2,02,02,02,05,15,1

5,2

5,1

5,2

5,1

====≥Ρ ∫ ∫∞

xdxdxX

(γ) Έχουµε ότι:

5,145,2

8,0)5,2(2,02,08,02,02,08,05,25,2

−=⇒=−⇒

⇒=−=⇒==⇒=≥Ρ ∫ ∫∞

cc

cxdxdxcXc cc

(δ) Η µέση τιµή της X είναι ίση µε:

02

2,02,0)(5,2

5,2

5,2

5,2

2

====−

∞

∞− −∫ ∫

xdxxdxxfxEX X ;

34

Ακόµα:

08,23

2,02,0)(5,2

5,2

5,2

5,2

3222 ====

−

∞

∞− −∫ ∫

xdxxdxxfxEX X

και έτσι η διασπορά της X είναι ίση µε:

08,2008,2)()( 222 =−=−= EXEXXV

2.6.3 Εάν η τ.µ )(λPX ≈ τότε (α) ΕΧ=λ (β) σ2(Χ)=λ

Λύση (α) Έχουµε:

)!

(!

,)!1(

,!

00

1

100

ay

y

y

y

k

k

k

kk

ey

aeey

e

ke

kekkXPkEX

====

=−

====

∑∑

∑∑∑∞

=

−∞

=

−

−∞

=

−−∞

=

∞

=

λλλλ

λλλ

λλλ

λλ

(β) σ2(Χ) = E[(X−(EX))2] = E(X2)−(EX)2 ή σ2(Χ) = E[Χ(X−1)]+E(X)−(EX)2

Τώρα:

22

0

22

2

2

20

!)!2(

!)1()1()]1([

λλλλλλ

λ

λλλλ

λ

===−

=

=−==−=−

−∞

=

−−∞

=

−

−∞

=

∞

=

∑∑

∑∑

eey

ek

e

kekkkXPkkXXE

y

y

k

k

k

kk

οπότε

σ2(Χ) = E[Χ(X−1)]+E(X)−(EX)2 = λ2+λ−λ2 = λ .

2.6.4 Έστω ότι η τ.µ )(λPX ≈ .

(α) Να δειχθεί ότι λλ −=te

X etM )((β) Με την βοήθεια του (α) υπολογίστε την µέση τιµή και διασπορά

της Χ .

Λύση (α) ΄Εχουµε:

λλλλλλ λλ −−∞

=

−−∞

=

===== ∑∑tt ee

xt

k

x

x

txtXX eee

xee

xeeeEtM

!)(

!)()(

00

(β) Ξέρουµε: λλ λλλλ ==== =−

=−

= 000 |||)( tte

te

tX eeedtdtM

dtdEX

tt

ακόµα

35

λλλλ λλλλλλ +=+=== =−−

=−

=2

022

02

2

02

22 |)(||)( t

tetet

etX eeeee

dtdtM

dtdEX

ttt

οπότε σ2(Χ) = E(X2)−(EX)2 = λ2+λ−λ2 = λ

2.6.5 (∆ιωνυµική κατανοµή) Από την γενική απογραφή καταστηµάτων ενός

έτους, διαπιστώθηκε ότι 10% των καταστηµάτων λειτουργούσε χωρίς άδεια του αρµόδιου Υπουργείου. Επιλέγουµε 6 καταστήµατα τυχαία, ποιά η πιθανότητα: (α) ακριβώς 4 από αυτά να λειτουργούσαν χωρίς άδεια του Υπουργείου (β) τουλάχιστον 4 από αυτά να λειτουργούσαν χώρις άδεια του Υπουρ-

γείου (γ) το πολύ 3 από αυτά να λειτουργούσαν χώρις άδεια του Υπουργείου (δ) τουλάχιστον 4 από αυτά να λειτουργούσαν µε άδεια του Υπουργείου.

Λύση ∆ιωνυµικό πείραµα: (δυό δυνατά αποτελέσµατα)

¨επιτυχία¨=¨το κατάστηµα λειτουργούσε χωρίς την άδεια του αρµόδιου Υπουργείου¨

Ρ(«επιτυχίας») = 0,10 = p και n = 6 (αριθµός των επαναλήψεων)

Εάν Χ=αριθµός των καταστηµάτων που λειτουργούσαν χωρίς την άδεια του αρµόδιου Υπουργείου, τότε

(α) Ρ(Χ=4) = ...90,010,01590,010,0)!46(!4

!6 24464 =⋅⋅=⋅−⋅

−

η πιθανότητα µπορεί να υπολογιστεί µε την χρήση διωνυµικών πινά-κων(;)

(β) Ρ(Χ≥ 4) = Ρ(Χ=4) +Ρ(Χ=5) +Ρ(Χ=6) =

=⋅−⋅

+⋅−⋅

+⋅−⋅

−−− 666565464 90,010,0)!66(!6

!690,010,0)!56(!5

!690,010,0)!46(!4

!6 ...

(γ) Ρ(Χ≤ 3) = Ρ(Χ=3) +Ρ(Χ=2) +Ρ(Χ=1) +Ρ(Χ=0) = (ανάλογα µε το (β)) = ...

(δ) Ρ(τουλάχιστον 4 από αυτά να λειτουργούσαν µε άδεια του Υπουργείου) = Ρ(4 ή 5 ή 6 καταστήµατα λειτουργούσαν µε άδεια του Υπουργείου) = Ρ(2 ή 1 ή 0 καταστήµατα λειτουργούσαν χωρίς την άδεια του Υπουργείου )= Ρ(Χ ≤ 2) = Ρ(Χ =2)+ Ρ(Χ =1)+ Ρ(Χ =0) = .... (ανάλογα µε το (β))

2.6.6 (Κανονική κατανοµή) Το IQ αποτελεί δείκτη ευφυίας των ατόµων και

36

ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέση τιµή µ=100 και τυπική από-κλιση σ=15. Αν Χ είναι ο δείκτης ευφυίας ενός ατόµου, να βρεθούν οι παρακάτω πιθανότητες: (α) Ρ(Χ < 118) (β) Ρ(Χ > 112) (γ) Ρ(Χ < 94)

(δ) Ρ(Χ > 73) (ε) Ρ(100 < Χ < 112) (στ) Ρ(73 < Χ <118)

(ζ) Ρ(73 < Χ < 94)

Λύση Εχουµε:

(α) P(X < 118) = 884930,0)2,1(15

10011815

100=<=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

<− ΖΡΧΡ

(β) P(X > 112) = =<−=>=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

>− )8,0(1)8,0(

15100112

15100 ΖΡΖΡΧΡ

= 211855,0788145,01 =−

(γ) P(X < 94) = =>=−<=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

<− )4,0()4,0(

1510094

15100 ΖΡΖΡΧΡ

344578,0655422,01)4,0(1 =−=<Ρ−= Z

(µε χρήση των κανονικών πινάκων)

(δ) P(X > 73) = 964070,0)8,1()8,1(15

1007315

100=<=−>=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

>− ΖΡΖΡΧΡ

(ε) P( 100 < X < 112) = =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

<−

<−

15100112

15100

15100100 ΧΡ

288145,05,0788145,0)0()8,0()8,00( =−=<ΖΡ−<ΖΡ=<Ζ<Ρ=

(στ) P( 73 < X < 118) = =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

<−

<−

15100118

15100

1510073 ΧΡ

849,0964070,01884930,0

)8,1(1)2,1()8,1(1)2,1(

)8,1()2,1()8,1()2,1()2,18,1(

=+−

=<+−<=<−−<

=>−<=−<−<=<<−

ΖΡΖΡΖΡΖΡ

ΖΡΖΡΖΡΖΡΖΡ

(ζ) P( 73 < X < 94) = =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

<−

<−

1510094

15100

1510073 ΧΡ

308648,0655422,0964070,0)4,0()8,1(

)8,14,0()4,08,1(

=−=<−<

=<<=−<<−

ΖΡΖΡ

ΖΡΖΡ

37

2.6.7 (Τυπική κανονική κατανοµή) Αν Ζ≈Ν(0,1) να βρεθεί η σταθερά c στις παρακάτω περιπτώσεις: (α) P(Z < c) = 0,9554 (β) P(Z > c) = 0,0321 (γ) P(Z < c) = 0,3085 (δ) P( 1 < Z < c) = 0,1219

Λύση (α) P(Z < c)=0,9554 (c θετικό) από τους κανονικούς πίνακες c=1,70 ⇒

(β) P(Z > c)=0,0321 P(Z < c)=1−0,0321=0,9679⇒ ⇒(c θετικό) από τους κανονικούς πίνακες c=1,85

(γ) P(Z < c) = 0,3085 (c αρνητικό) ⇒

P(Z < c) = Ρ(Ζ > − c) ⇒ P(Z < −c) = 1− 0,3085=0,6915 από τους κανονικούς πίνακες −c=0,5 ⇒ c=−0,5

(δ) P(1<Z<c) = 0,1219 Ρ(Ζ < c)− Ρ(Ζ < 1) = P(Z < c)−0,841345 = 0,1219 Ρ(Ζ < c) = 0,963245 από τους κανονικούς πίνακες c=1,79.

⇒⇒

2.6.8 (Κατανοµή Poisson) Ένας εντοµολόγος µελετά τον αριθµό των ζωύφιων

στα φύλλα ενός δένδρου. Ο αριθµός αυτός ακολουθεί την κατανοµή Poisson µε παράµετρο λ=10. (α) Ποιά η πιθανότητα να πάρει ένα φύλλο µε τουλάχιστον 5 ζωύφια; (β) Ποιά η πιθανότητα να πάρει ένα φύλλο χωρίς κανένα ζωύφιο;

Λύση Εάν Χ= αριθµός των ζωύφιων σε ένα φύλλο του δένδρου, τότε X≈P(10)

και είναι γνωστό:

,....2,1,0,!

)( ===ΧΡ − xx

exxλλ

(α) 9707,00293,01)4(1)5(1)5( =−=≤ΧΡ−=<ΧΡ−=≥ΧΡ (από τους πίνακες Poisson µε λ=10 και κ=4).

(β) 0000045,0!0

10)0(0

10 ≈===ΧΡ −e

2.6.9 Ο αριθµός των µικροβίων Χ που βρίσκονται σ’ένα χώρο V είναι µια τ.µ.

X P(λ). Να προσδιορισθεί ο λ, αν είναι P(Χ > 0) = 0,999. ≈

Λύση Έχουµε:

P(Χ > 0) = 0,999 = 1−Ρ(Χ=0)⇒ Ρ(Χ=0) = 0,001⇒

9,6)001,0ln(001,0001,0!0

)0(0

≅−=⇒=⇒===ΧΡ −− λλ λλ ee

38

2.6.10 (Εκθετική κατανοµή) Η διάρκεια ζωής (σε χρόνια) µιας ηλεκτρικής

συσκευής έχει την (αρνητική) εκθετική κατανοµή µε παράµετρο λ=0,1. Ποιά η πιθανότητα ότι η εν λόγω ηλεκτρική συσκευή θα πρέπει ν’αντι-κατασταθεί όχι αργότερα από 5 χρόνια; Μετά από 7 χρόνια;

Λύση Εχουµε:

39,01,0)5( 01,051,05

0

1,05

0

≅+−=⋅=⋅=≤ΧΡ ⋅−⋅−−− ∫∫ eedxedxe xxλλ .

49,01,0)7( 7.0

7

1.0

7

1.0

7

≅=−=⋅=⋅=≥ −∞+⋅−+∞

−+∞

− ∫∫ eedxedxe xxxλλΧΡ

2.6.11 Εάν η τ.µ Χ ακολουθεί την γάµµα κατανοµή µε παραµέτρους α και β,

να βρεθεί η κατανοµή της τ.µ XY ln= .

Λύση Η π.π. της τ.µ. Χ, είναι ως γνωστόν ίση µε:

)(xf X =

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤

>−

−

00

0)(1 1

x

xexx

aβα

βαΓ

Εδώ: yyy ee

dydeygxxgTSg ==⇒=∞+−∞=→∞+= − )(&)(ln)(),,(),0(: 1

οπότε, από γνωστό θεώρηµα έχουµε:

)(yfY = ℜ∈=−−

− yeeeeyy ey

ay

ey

aβ

αβα

βαβα )(1)(

)(1 1

ΓΓ

2.6.12 Έστω Χ, Υ τ.µ µε από κοινού π.π. την:

⎪⎩

⎪⎨⎧ >

=+−

ύ

yxeyxf

yx

YXαλλο

λ λ

0

0,),(

)(2

,

Να δειχθεί ότι οι τ.µ. Χ, Υ είναι ανεξάρτητες

Λύση Οι περιθωριακές π.π. των τ.µ. Χ, Υ είναι ίσες µε:

0),()( )(2

0 0, >=== −+−

∞ ∞

∫ ∫ xedyedyyxfxf xyxYXX

λλ λλ

39

και (όµοια) 0),()( )(2

0 0, >=== −+−

∞ ∞

∫ ∫ yedxedxyxfyf yyxYXY

λλ λλ

Επειδή τώρα: )()(),( )(2

, yfxfeeeyxf YXyxyx

YX === −−+− λλλ λλλ

οι τ.µ. Χ, Υ είναι ανεξάρτητες.

2.6.13 (Κ.Ο.Θ.) Εργοστάσιο κατασκευάζει συσσωρευτές, η διάρκεια ζωής κάθε-

νός εκ των οποίων ακολουθεί την αρνητική εκθετική κατανοµή µε µέσο 300 ώρες. ∆ιαλέγουµε 20 από αυτούς τους συσσωρευτές τυχαία. Να υπο-λογιστεί η πιθανότητα (αυτοί ) να δουλεύουν συνολικά πάνω από 8000 ώρες.

Λύση

Έστω τ.µ. που εκφράζουν την διάρκεια ζωής (κάθενός εκ ) των 20 συσσωρευτών, τότε:

2021 ,,, XXX

3001&20,,2,1,)( ===≈ − λλ λ iexfX x

i

Η ζητούµενη πιθανότητα, µε την βοήθεια του Κ.Ο.Θ., γίνεται:

=>=>+++ 80008000 202021 SPXXXP

=>−

=−

>−

5,1)(

000.800.1

60008000)(

20

2

2020

202

2020

S

ESSP

S

ESSP

σσ

066,0933193,01)5,1(15,1)(

120

2

2020 =−=−=<−

− ΦS

ESSP

σ

γιατί: 60003002012020 120 =⋅=⋅=⋅=λ

EXES ώρες

και 000.800.130020120)(20)( 221

220

2 =⋅=⋅=⋅=λ

σσ XS ώρες2

2.6.14 Ένα κανονικό νόµισµα ρίχνεται ανεξάρτητα n φορές και έστω µια τ.µ.

που δηλώνει τον συνολικό αριθµό κεφαλών που εµφανίστηκαν. Υπολογί-στε την µικρότερη τιµή του n για την οποία έχουµε:

nS

95,01,05,0 ≥≤−nXP

όπου: nS

X nn =

Λύση Εάν θεωρήσουµε τις n ρίψεις σαν n ανεξάρτητες τ.µ. , τότε: nXXX ,,, 21

40

21

21

21)(,

21

211)(

&)21,(,,2,1),

21,1(

12

1

1

=⋅===⋅==

≈=⇒=≈ ∑=

XXE

nBXSniBXn

iini

σσµ

οπότε, µε την βοήθεια του Κ.Ο.Θ., η ζητούµενη πιθανότητα γίνεται:

1)2,0(2121,02

21,0121,0

21,021,0

21,021,0

21,021,0

1,0)(1,0

1,05,01,01,05,0

)(

−=−⋅≤=

=⋅≤−−⋅≤=

=⋅≥−⋅≤=

=⋅−≤−⋅≤=

=⋅≤≤⋅−=

=≤−≤−=

=≤−≤−=≤−

−=

nnZP

nZPnZP

nZPnZP

nZPnZP

nZnP

nXnnP

XPXP

nXnZ

n

nn

Φ

µσ

σµ

σσ

Επειδή θέλουµε:

9704,96

2,096,196,12,0975,0)2,0(95,01)2,0(2

≥⇒≥

⇒≥⇒≥⇒≥⇒≥−

nn

nnnn ΦΦ

2.6.15 Εάν ανεξάρτητες τ.µ. τέτοιες ώστεkXX ,,1 kjpnBX jj ,,1),,( =≈ .

Τότε η τ.µ. ),(1 pnBXXS kk ≈++= όπου knnn ++= 1 .

Λύση Χρησιµοποιώντας το µονοσήµαντο της αντιστοιχίας µεταξύ της πυκνότητας

πιθανότητας µιας τ.µ. και της ροπογεννήτριάς της, είναι αρκετό να δείξουµε ότι η ροπογεννήτρια της τ.µ. kk XXS ++= 1 είναι εκείνη µιας τ.µ. µε κατανοµή την ) . Από την ανεξαρτησία των τ.µ. έχουµε: ,( pnB kXX ,,1

ntntnt

XXXXS

qpeqpeqpe

tMtMtMtM

k

kkk

)()()(

)()()()(

1

11

+=++=

=== ++

και αυτή είναι η ροπογεννήτρια µιας ) τ.µ. µε ,( pnB knnn ++= 1 .

Παρατήρηση Η παραπάνω ιδιότητα καλείται αναπαραγωγική, µε την έν-

41

νοια ότι το άθροισµα ανεξάρτητων τυχαίων µεταβλητών µε την ίδιου τύπου κα-τανοµή έχει κατανοµή του ίδιου τύπου. Η κατανοµή Poisson, η κανονική κα-τανοµή, η γάµµα κατανοµή είναι µερικά παραδείγµατα κατανοµών που έχουν την ιδιότητα αυτή. Πράγµατι, µπορεί να αποδειχθεί µε τρόπο ανάλογο όπως πα-ραπάνω ότι, ισχύουν τα εξής:

(i) Εάν ανεξάρτητες τ.µ. τέτοιες ώστε kXX ,,1 kjPX jj ,,1),( =≈ λ . Τότε η τ.µ. )(1 λPXXS kk ≈++= όπου kλλλ ++= 1 .

(ii) Εάν ανεξάρτητες τ.µ. τέτοιες ώστε kXX ,,1

kjNX jjj ,,1),,( 2 =≈ σµ . Τότε η τ.µ.

όπου , .

),( 21 σµNXXS kk ≈++=

kµµµ ++= 122

12

kσσσ ++=

(iii) Εάν ανεξάρτητες τ.µ. τέτοιες ώστε kXX ,,1 kjX j ,,1, = ακολουθεί την γάµµα κατανοµή µε παραµέτρους . βα ,j

Τότε η τ.µ. kk XXS ++= 1 ακολουθεί την γάµµα κατανοµή µε παρα-µέτρους όπου βα, kααα ++= 1 .

Γενικά, η αναπαραγωγική ιδιότητα που περιγράψαµε παραπάνω δεν ισχύει. Για παράδειγµα εάν Χ, Υ είναι δυό ανεξάρτητες τ.µ. που ακολουθούν την οµοιό-µορφη κατανοµή, το άθροισµά τους Χ+Υ δεν ακολουθεί την οµοιόµορφη κατα-νοµή (αλλά µια κατανοµή που ονοµάζεται τριγωνική).

42