Ε. ΜΗΤΣΙΟΥ ΕΙΣΗΓΗΣΗ Ημερίδα 18-4-2010
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H BOHHTIKH YNAPTHH
fi ANAYH
T B fi
.
A fi -
fi
fi ,
, fi-
-
. T fi -
, fi .
( fi) -
OIA BOHHTIKH -
.
Bfi fi fi () -
. A fi fi -
.
: K f(x) 0, fi
; M, , fi -
fi fi; A f(x) > 0 -
lnf(x);
Efi fi fi fi (
fi), -
. fi
, fi
.
T fi -
, .
: A fi -
-
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fi
Bolzano - Weirstrass.
fi ... Lagrange
fi-
. Rolle.
fi ... fi
fi (x1, x
2) g(x
1, x
2) fi fi
x, fi -
.
- .
1
N 32
23.
32
; 23 2 ln 3 ; 3 ln 2
ln 3
3;
ln 2
2
1
2ln3
3;
1
2ln2
2
ln3
3;
ln2
2.
To f(x1) ; f(x
2). fi
f(x) =lnx
x (0, +) f(x) =
2 - lnx
2x x.
x 0 2 3 e2 +
f(x) + O
f(x)
f(3) > f(2)
ln3
3>
ln2
2
32
> 23
: -
!!!
36
> 32
= 3 > 2 2 = 23
32 3
> 23 3
32
> 23
!!
-
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f [0, 1] (0, 1)
f(0) = 0 f(1) = 1. N fi:
2
1, 2 (0, 1) : f(1) f(2) = 1.
fi fi [0, 1]
; -
fi fi.
fi fi fi
f(x) -
xo (0, 1).
To .
fi cf
.
: y = - x + 1.
g(x) = f(x) - (- x + 1) = f(x) + x - 1
[0, 1] g(0) = - 1 g(1) = 1.
. olzano - Weirstrass,
xo (0, 1) : g(xo) = 0 f(xo) = - xo + 1.
fi fi
... Lagrange [0, x] [x
o, 1].
1 (0, xo) : f(1) =f(xo) - f(0)
xo - 0=
f(xo)
xo 2 (xo, 1)
fi 1 : f(2) =f(1) - f(x)
1 - xo=
1 - f(xo)
1 - xo
E f(1)
f(2) =
f(xo)
xo
1 - f(xo)
1 - xo =
- xo + 1
xo
1 - (- xo + 1)
1 - xo =
=1 - xo
xo
x
1 - xo= 1
-
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f [, ] (, )
f()
f(). N fi 1, 2
3
f(1) f(2) =f() - f()
-
2
f -
fi (, f()), (, f()).
-
fi
-
. -
c.
fi
-
c .
H :
y - f()
x - =
f() - f()
- y =
f() - f()
- (x - ) + f().
fi (x) = f(x) -f() - f()
- (x - ) - f()
[, ] () = f() - f() () = f() - f()
fi f() f() fi -
xo (, ) (xo) = 0,
f(x) =f() - f()
- (x - ) + f(). f -
.M.T. [, xo] [xo, ] ,
1, 2 1 (, xo) 2 (xo, ) fi 1 2,
f(1) =f(x) - f()
x - =
f() - f() -
(x - ) + f() - f()
x - =
-
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5
=f() - f()
- +
f() - f()
x - = f() - f()
- x + -
( - )(x - )=
f() - f()
- - xo
xo -
f(2) =f() - f(x)
- x=
f() -f() - f()
- (x - ) - f()
- x=
f() - f()
- x -
- x
Ofi f(1) f(2) =f() - f()
-
2
.
[1, e] (1, e)
f(1) = 2 f(e) = e + 1 ... 1,
2 (1, e) , -
f(1) f(
2) = 1.
4
fi fi fi (2) -
fi (e, 2) (1, e + 1)
y - 2x - e
= e + 1 - 21 - e
y = - x + e + 2.
(x) = f(x) + x - e - 2
[1, e] (1) = 1 - e, (2) = e - 1,
fi
xo(1, e)
(xo) = 0
f(xo) = - xo + e + 2. Efi ...
[1, xo] [x
o, e],
1,
2 -
,
f(1) =f(xo) - f(1)
xo - 1=
- xo + e + 2 - 2
xo - 1=
e - xo
xo - 1
f(2) =f(e) - f(xo)
e - xo=
e + 1 + xo - e - 2
e - xo=
xo - 1
e - xofi f(1)f(2) = 1
-
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f R
f(x) x + (1) xIR f(x) x + (2)... y = x + -
f(cf) (x
o, f(x
o)).
5
f [, ] f() = f() = 0.
fi (, ) (, f())
fi ( + 1, 0).
6
(x) = f(x) - x - 0 fi (1) -
R xo.
(xo) = f(xo) - xo - = 0 fi (2) fi (x) (xo) = 0 xIR xo (xo) = 0.
fi . Fermat (xo) = 0.
(x) = f(x) - (xo) = 0 f(x) - = 0 f(x) = .
(xo, f(x
o)) y - f(x
o) = f(x)(x - xo)
y - (xo
+ ) = (x - xo) y = x - xo + xo +
y = x + . y = x + F (xo, f(xo)).
(, f()) y - f() = f()(x - )
fi ( + 1, 0) fi
0 - f() = f()( + 1 - ) f() + f() = 0.
fi f(x) + f(x) = 0 [, ]
f(x)ex + (ex)f(x) = 0 (f(x)ex) = 0.
fi . Rolle [, ] (x) = f(x)ex.
H [, ] fi
() = f()e = 0 () = f()e = 0.
. Rolle fi (, )
-
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7
() = 0 f()e + e f() = 0 f() = - f()
(, f())
y - f() = f()(x - ) y = f() - f()(x - ).
To M( + 1, 0) fi f() - f()( + 1 - ) = 0.
(, ) fi -
fi ( + 1, 0).
f [, ] (, ).
(, ) (, f())
(, f()) [, ]. fi
xo
(, ) ,
f (xo, f(x
o)) fi .
fi -
-
cf.
7
(xo, f(x
o)) : y - f(x
o) = f(xo)(x - xo).
A () fi (, ),
. - f(xo) = f(xo)( - xo), fi
: - f(x) = f(x)( - x) (1) (, ).
. fi (1) -
= 0
fi
. Rolle.
-
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f(x)(x - ) - f(x) + = 0
f(x)(x - ) - f(x) - = 0
f(x) -
(x - ) - f(x) - (x - )= 0
f(x) - (x - ) - f(x) - (x - )
(x - )2= 0
E (1)
x fi
[, ]
f(x) -
x -
= 0
(x) = f(x) -
x - , x[, ]
[, ] (, ) -
.
() =f() -
- = AM () =
f() -
- = BM, fi MAB
AM = BM () = ().
H fi . Rolle xo(, ) : (xo) = 0
(1) (, ),
cf (x
o, f(x
o)) x
o(, ) -
fi (, ).
:
2x(ex - 1) + (1 - )ex + = 0
R.
8
A .
(1 - )ex + = - 2x ex - 1 - ex = - 2x ex - 1 - ex
1 - ex = - 2x ex - 1 - ex ( )
=2x ex - 1 + ex
ex - 1 = 2x +
ex
ex - 1, x 0
-
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9
f(x) = 2x +ex
ex - 1
y = x 0, IR.
: g(x) = 2x(ex - 1) + (1 - )ex + ,
,
fi xx,
f(x) , -
, fi fi y = cf.
E f(x) = 2 -ex
ex - 12 .
f(x) = 0 2 ex - 12
= ex 2e2x - 5ex - 2 = 0 ex = 2
ex =1
2 x = ln2 x = - ln2 f(ln2) = 2 + 2ln2, f(- ln2) = - 1 - 2ln2.
x - - ln2 0 ln2 +
f(x) + O O +
f(x)
+ +
T.M T.E
f(- ln2) = - 1 - 2ln2 f(ln2) = 2 + 2ln2
f fi
.
-
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fi
< - 1 - 2ln2 > 2 + 2ln2 -
1 x1
< - ln2 < x2
< 0 , 2 0 < x1
< ln2 < x2
.
= - 1 - 2ln2 xo
= - ln2
= 2 + 2ln2 xo
= ln2
- 1 - 2ln2 < < 2 = 2ln2 .
f R f(0) = 1
:
) , 0.
9
ln(x + 1) o
x
f(t)dt ex - 1 x > -1
fi , 0
) A g(x) =1
2ln(x + 1) + ex - 1 -
cf fi A(- 1, - 1).
) fi fi fi
( , ) . Fermat.
To . Fermat . . Bolzano -
Weirstrass, . Roll ... Lagrange -
. fi . . Fermat fi.
fi (f(x) f(xo) f(x) f(xo) -fi fi) fi (f(xo) = 0). Fermat
A f ,
xo fi ,
xo
fi fi xo.
} fi f(xo) = 0. fi ().
-
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(x) =o
x
f(t)dt - ln(x + 1)
F(x) =o
x
f(t)dt - ex + 1 fi
(x) 0 F(x) 0.
(0) = 0 F(0) = 0. (x) (0) F(x) F(0).
fi fi!
fi ;
, x > -1
, fi.
A < 0 fi x + 1 > 0 x > - 1 x < -1
,
x > -1
fi -
1
< 0.
fi .
F xo
= 0, fi fi f -
, -
fi xo
= 0 -1
, + .
. Fermat, (0) = 0
F(0) = 0.
(x) = f(x) -
x + 1 F(x) = f(x) - ex fi
(0) = 0
F(0) = 0
f(0) - = 0
f(0) - = 0
1 - = 0
1 - = 0 = = 1
) g(x) =1
2ln(x + 1) + ex - 1
H : y - g(xo) = g(xo)(x - xo), xo > - 1
A: A - 1- g(xo) = g(xo)(- 1 - xo)
g(xo)(1 + xo) - g(xo) - 1 = 0 (1)
g(x) = 1
2 1
x + 1+ ex
-
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12/12
12
(1) 1
2
1
x + 1+ ex (1 + xo) -
1
2ln(xo + 1) + e
xo - 1 - 1 = 0
1
x + 1 + e
x
(1 + xo) - ln(xo + 1) - e
xo
+ 1 - 2 = 0
1 + (1 + xo)ex - ln(xo + 1) - e
xo + 1 - 2 = 0
(1 + xo)ex - ln(xo + 1) - e
xo = 0
E xo
... () -
(x) = (1 + x)ex - ln(x + 1) - ex, x > - 1 ,
, (- 1, +).
.
E (x) = ex + (1 + x)ex -1
x + 1- ex = (1 + x)ex -
1
x + 1
(x) = ex + (1 + x)ex +1
x + 1 2= (2 + x)ex +
1
x + 1 2> 0, x > - 1
x - 1 0 +
(x) +
(x) O +
(x) + +
0
E
(0) = 0 (x) < 0, x(- 1, 0)
(x) > 0, x > 0.
fi xo
= 0 -
fi , (0) = 0.
(x) xo
= 0, fi fi xo
> - 1
g fi (- 1, 1).
: y - g(0) = g(0)(x - 0)
: y - 0 = 1 . x
: y = x
+
