φυλλο εργασιας ακρότατα 1

1

Ορισμός : Θα λέμε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει

άό

έόστο σημείο x=xο , αν υπάρxει ανοιxτό διάστημα (α,β)

που περιέxει το xο τέτοιο ώστε

)()(

)()(

o

o

xfxf

xfxfγια κάθε x(α,β)

Δραστηριότητα 1 : Στις παρακάτω γραφικές παραστάσεις να βρείτε τα τοπικά ακρότατα (δηλαδή αν υπάρxει μια ζώνη

κάθετων ευθειών που περιβάλουν το xο μέσα στην οποία το f(xo) θα είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από τα υπόλοιπα f(x)).

1η γραφική

παράστασ

η

2η γραφική

παράστασ

η

3η

γραφική

παράστασ

η

Τοπικά

μέγιστο

Στο_____

το_____

Στο_____

το_____

Στο_____

το_____

Στο_____

το_____

Στο_____

το_____

Τοπικά

ελάxιστ

α

Στο_____

το_____

Στο_____

το_____

Στο_____

το_____

Στο_____

το_____

Στο_____

το_____

Στο_____

το_____

Τα εσωτερικά σημεία στα οποία είναι συνεxής αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη η συνάρτηση ,λέγονται γωνιακά σημεία.(εκεί δεν

ορίζεται η εξίσωση εφαπτομένης π.x. στη 2η γρ. παράσταση στο xο=1)

Δραστηριότητα 2.1: Ανοίξτε το αρχείο ακρότατα1 .

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

y´

y

0x´ x-1

1

1

-1

y´

y

0x´ x-2

-2

2

1 2

2,5

y´

y

0x´ x-1 1

23/2

-1

0.5

-2

2

ας προσπαθήσουμε να απαντήσουμε σε 2 ερωτήματα που γεννιούνται.

-ΕΡΩΤΗΜΑ 1:Σε κάθε εσωτερικό σημείο x0 του πεδίου ορισμού της f,όπου παρουσιάζει τοπικό

ακρότατο ισχύει f΄(xο)=0;

-ΕΡΩΤΗΜΑ 2: Σε κάθε εσωτερικό σημείο x0 του πεδίου ορισμού της f,όπου ισχύει f΄(xο)=0

η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο;

-Προσπαθήστε να εντοπίσετε το πρόσημο της f΄ και τη μονοτονία της f εκατέρωθεν του xο

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Τα σημεία στα οποία μηδενίζεται η πρώτη παράγωγος λέγονται στάσιμα σημεία.

Τα γωνιακά και στάσιμα σημεία λέγονται κρίσιμα σημεία της f.

Δραστηριότητα 2.2:. Υπάρχει f με εσωτερικό σημείο x0 του πεδίου ορισμού της ,όπου ισχύει f΄(xο)=0 και η f δεν παρουσιάζει

τοπικό ακρότατο;

…………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

ΓΙΑΤΙ ΙΣΧΥΕΙ ΑΥΤΟ;…………………………………………………………………………………

Παρατηρήστε το πρόσημο της f΄ και τη μονοτονία της f εκατέρωθεν του xο. Τι συμπεραίνετε;

…………………………………………………………………………………………………………

ΑΡΑ το εσωτερικό σημείο x0 του πεδίου ορισμού της f,όπου ισχύει f΄(xο)=0 είναι ΠΙΘΑΝΗ θέση τοπικού

ακρότατου.

Δραστηριότητα 3.1: Ανοίξτε το αρχείο ακρότατα 2 .

ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT: Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο x0 του

πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό , τότε f΄(xο)=0.

3

- Είναι η f παραγωγίσιμη στο (1,0);………………..

-Το σημείο είναι ……………………..

-Είναι το x 0=1 θέση τοπικού ακρότατου της f;……………………………………………………

- Παρατηρήστε το πρόσημο της f΄ και τη μονοτονία της f εκατέρωθεν του xο. Τι συμπεραίνετε ;

…………………………………………………………………………………………………………

Δραστηριότητα 3.2: Στο ίδιο αρχείο ακρότατα 2,ακολουθήστε τις οδηγίες .

- Είναι η f παραγωγίσιμη στο (1,0);………………………………………………………………….

-Το σημείο είναι ………………………………………………………………………………………


- Παρατηρήστε το πρόσημο της f΄ και τη μονοτονία της f εκατέρωθεν του xο. Τι συμπεραίνετε ;

…………………………………………………………………………………………………………

ΑΡΑ τα γωνιακά σημεία είναι ΠΙΘΑΝΕΣ θέσεις τοπικών ακρότατων.

Δραστηριότητα 3.3: Στο ίδιο αρχείο ακρότατα 2,

-Το x=-1 ανήκει στο πεδίο ορισμού της f;……………………………………………………….

-Ποια είναι η τιμή της f΄(-1);……………………………………………………………………….


ΠΙΘΑΝΕΣ ΘΕΣΕΙΣ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

4

Τ.Ε2

Τ.Μ2

Τ.Ε3

Τ.Μ1

Τ.Ε1

Tα άκρα διαστήματος όταν........................................................................................

Για να καταλήξουμε ότι ένα πιθανό ακρότατο είναι τελικά ακρότατο και να προσδιορίσουμε το είδος του τι

απαιτείται;……………………………………………….

ΕΧΟΥΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙ ΣΤΑ 2 ΑΡΧΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ;

ΚΡΙΤΗΡΙΟ 1ης

ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑ: Έστω συνεxής συνάρτηση f: (α,β)R και xο ένα κρίσιμο σημείο της .

i) Αν f ΄(x)>0 στο (α,xo) και f ΄(x)<0 στο ( xο,β), τότε το f(xo) είναι ____________

ii) Αν f ΄(x)<0 στο (α,xo) και f ΄(x)>0 στο (xo,β), τότε το f(xo) είναι ____________

iii) Aν f ΄(x) διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (α,xo) ( xο,β), τότε το f(xo) ____ είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως

____________ στο (α,β).

Δραστηριότητα 4:Δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης ορισμένη σε [α,β]

-Τα Τ.Ε1, ΤΜ3,είναι…………………………………………………………………

-Είναι δυνατόν ένα τοπικό μέγιστο να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο;

………………………………………………………………………………………..

-Έχει η συνάρτηση ολικό μέγιστο; ………………………………………………………………………..........................

-Έχει η συνάρτηση ολικό ελάχιστο; …………….………………………………………………………………….............

Δραστηριότητα 5 : Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα των συναρτήσεων:

α) f(x)= 2x+1

β) f(x)= x2+2x1

x ∞ +∞

f ΄

f

x ∞ +∞

f ΄

f

Τ.Μ3

χ χ

y

y

5

γ) f(x)=x33x , Α=[-2,2)

δ) f(x)=x42x

210

ε) f(x)=x36x

2+9x1

β) f(x)=1x2

3x

γ) f(x)=xlnx

Δραστηριότητα 6: Ανοίξτε το αρχείο ακρότατα 3.

x

f ΄

f

x ∞ +∞

f ΄

f

x ∞ +∞

f ΄

f

x

f ΄

f

x ∞ +∞

f ΄

f

6

-Ορίζεται η f΄΄;……………………………………………………………………………………..

-Ποια είναι η γραφική παράσταση της f΄΄;

-Τι τιμές έχει η f΄΄στα σημεία όπου η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο;............................

………………………………………………………………………………………………………..

Συνεπώς για συναρτήσεις που είναι τουλάχιστον δυο φορές παραγωγίσιμες μπορούμε να μελετήσουμε μόνο αν τα στάσιμα σημεία

τους είναι θέσεις τοπικών ακρότατων.

ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2ης

ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

΄Εστω συνεχής συνάρτηση f:Α->R και x0 ένα στάσιμο σημείο της f. Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο x0,τότε

παρουσιάζει τοπικό μέγιστο αν……………………………………

ενώ παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο αν………………………………………………………

-Γιατί είναι εύχρηστο το κριτήριο της 2ης

παραγώγου;…………………………………

…………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………….

Δραστηριότητα 7:Η τιμή πώλησης ενός μηχανικού εξαρτήματος είναι 100 Ευρώ. Το κόστος του συναρτήσει του χρόνου

κατασκευής (σε ώρες) προσεγγίζεται από τον τύπο της συνάρτησης:

Κ (t) = t2 + 250t

-1

α) Πότε πραγματοποιήθηκε το μέγιστο κέρδος Ρ(x);

β) Πόσο είναι αυτό;

Δραστηριότητα 8: Από όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα με εμβαδό 1600 m2, να βρείτε τις διαστάσεις εκείνου,

που έχει την μικρότερη περίμετρο.

Δραστηριότητα 9 :To κέρδος (σε ευρώ) μιας εταιρίας συναρμολόγησης Η/Υ, σε σχέση με το

πλήθος x των Η/Υ που πουλά μηνιαίως, δίνεται από τον τύπο:

P(x) = x2 + 400x 30.000, όπου 0 x 300.

α) Πότε ζημιώνεται η εταιρία;

β) Πόσους Η/Υ πρέπει να πουλά μηνιαίως η εταιρία, ώστε να μεγιστοποιήσει τα κέρδη της;

γ) Ποιο είναι το μέγιστο δυνατό κέρδος της εταιρίας;

φυλλο εργασιας ακρότατα 1

Education

Transcript of φυλλο εργασιας ακρότατα 1