11οο Γυμνάσιο Γυμνάσιο ΛάρισαςΛάρισας

Ονοματεπώνυμο: Νάκας Αλέξανδρος

Εργασία στα μαθηματικά

Θέμα: Τα κανονικά πολύγωνα στη φύση στη τέχνη και στις επιστήμες

Τμήμα: Β2

Υπεύθυνος καθηγητής: Μωυσής Σαλτιέλ

Λίγα λόγια για τα κανονικά Λίγα λόγια για τα κανονικά πολύγωνα…πολύγωνα…

Κανονικά πολύγωνα λέγονται αυτά που έχουν όλες Κανονικά πολύγωνα λέγονται αυτά που έχουν όλες τις γωνίες και τις πλευρές τους ίσες μεταξύ τους. τις γωνίες και τις πλευρές τους ίσες μεταξύ τους.

Τα στοιχεία του κάθε κανονικού πολυγώνου είναι:Τα στοιχεία του κάθε κανονικού πολυγώνου είναι:

•Α) Ο περιγεγραμμένος κύκλος: Σε κάθε κανονικό πολύγωνο υπάρχει ένας κύκλος (Ο,ρ) που περνά από όλες τις κορυφές του. Το πολύγωνο λέμε ότι είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο (Ο,ρ).

Β) Η κεντρική γωνία ω: Β) Η κεντρική γωνία ω:

Κάθε επίκεντρη γωνία Κάθε επίκεντρη γωνία ω που σχηματίζεται αν ω που σχηματίζεται αν ενώσουμε το κέντρο ενώσουμε το κέντρο του πολυγώνου με δύο του πολυγώνου με δύο διαδοχικές κορυφές διαδοχικές κορυφές του λέγεται του λέγεται κεντρική κεντρική γωνία.γωνία.

Γ) Η γωνία φ του Γ) Η γωνία φ του πολυγώνου: πολυγώνου:

Γωνία φ ενός Γωνία φ ενός κανονικού πολυγώνου κανονικού πολυγώνου ονομάζουμε καθεμιά ονομάζουμε καθεμιά από τις ίσες γωνίες που από τις ίσες γωνίες που σχηματίζεται από δύο σχηματίζεται από δύο διαδοχικές πλευρές διαδοχικές πλευρές του.του.

Κατηγορίες κανονικών Κατηγορίες κανονικών πολυγώνωνπολυγώνων

Μερικά γνωστά Μερικά γνωστά κανονικά πολύγωνα κανονικά πολύγωνα είναι το ισόπλευρο είναι το ισόπλευρο τρίγωνο, το τετράγωνο, τρίγωνο, το τετράγωνο, το κανονικό πεντάγωνο το κανονικό πεντάγωνο και το κανονικό εξάγωνο.και το κανονικό εξάγωνο.

Τα κανονικά πολύγωνα στην φύση Τα κανονικά πολύγωνα στην φύση

Τα κανονικά πολύγωνα συναντώνται στην Φύση και γίνονται αντικείμενο μελέτης από Τα κανονικά πολύγωνα συναντώνται στην Φύση και γίνονται αντικείμενο μελέτης από διάφορους κλάδους των Φυσικών Επιστημών, όπως την Κρυσταλλογραφία (με ακτίνες Χ), διάφορους κλάδους των Φυσικών Επιστημών, όπως την Κρυσταλλογραφία (με ακτίνες Χ), την Κβαντομηχανική, την Κβαντική Χημεία. Για παράδειγμα, η Κρυσταλλογραφία με ακτίνες την Κβαντομηχανική, την Κβαντική Χημεία. Για παράδειγμα, η Κρυσταλλογραφία με ακτίνες Χ είναι οΧ είναι ο επιστημονικός κλάδος που ασχολείται με την επαναληπτική τοποθέτηση ίδιων επιστημονικός κλάδος που ασχολείται με την επαναληπτική τοποθέτηση ίδιων αντικειμένων, όπως αυτά συναντώνται στην Φύση. Αρκετές από τις ανακαλύψεις στην αντικειμένων, όπως αυτά συναντώνται στην Φύση. Αρκετές από τις ανακαλύψεις στην Κρυσταλλογραφία κατά τα μέσα του 20Κρυσταλλογραφία κατά τα μέσα του 20ουου αιώνα μοιάζουν με έργα τέχνης του αιώνα μοιάζουν με έργα τέχνης του M.C. Esher.M.C. Esher.

Τα σχήματα της κερήθραςΤα σχήματα της κερήθρας

Η κερήθρα είναι ένα φυσικό θαύμα αρχιτεκτονικής

Οι μέλισσες κατασκευάζουν τις κερήθρες τους σε Οι μέλισσες κατασκευάζουν τις κερήθρες τους σε κάθετη διεύθυνση, με τις εξαγωνικές σήραγγες να κάθετη διεύθυνση, με τις εξαγωνικές σήραγγες να τις διατρέχουν οριζόντια, ενώ οι σφήκες τις τις διατρέχουν οριζόντια, ενώ οι σφήκες τις κατασκευάζουν ακριβώς αντίθετα. Οι γραμμές, η κατασκευάζουν ακριβώς αντίθετα. Οι γραμμές, η μία πάνω στην άλλη, σχηματίζουν κανονικά μία πάνω στην άλλη, σχηματίζουν κανονικά εξάγωνα σε μία δισδιάστατη διάταξη. Τα εξάγωνα εξάγωνα σε μία δισδιάστατη διάταξη. Τα εξάγωνα αποτελούν μικρούς θαλάμους, ικανούς να αποτελούν μικρούς θαλάμους, ικανούς να φιλοξενήσουν μία προνύμφη ή λίγο μέλι.φιλοξενήσουν μία προνύμφη ή λίγο μέλι.

Ακόμα κανονικά πολύγωνα συναντάμε και στους ιστούς που υφαίνει η Ακόμα κανονικά πολύγωνα συναντάμε και στους ιστούς που υφαίνει η αράχνη για να πιάσει τα θύματά της.αράχνη για να πιάσει τα θύματά της.

Στο σώμα Στο σώμα του κροταλία του κροταλία επίσης επίσης βρίσκουμε βρίσκουμε κανονικά κανονικά πολύγωνα.πολύγωνα.

Κανονικά πολύγωνα στην θάλασσαΚανονικά πολύγωνα στην θάλασσα

Στα φυτά όπως τα νούφαρα και τις λειχήνες παρατηρούμε διαφόρων ειδών κανονικά πολύγωνα. Οι αστερίες αλλά και το σώμα του κάβουρα που το κέλυφος τους φτιάχνει ένα πολύγωνο.

Χελώνα

Στο καβούκι μιας χελώνας Στο καβούκι μιας χελώνας βρίσκουμε κανονικά βρίσκουμε κανονικά εξάγωναεξάγωνα

Η Χιονονιφάδα Η Χιονονιφάδα

Ιδωμένη με ένα μεγεθυντικό φακό, η ομορφιά της χιονονιφάδας αποκαλύπτεται: ένα μικροσκοπικό γεωμετρικό κόσμημα, μία ζωντανή ένδειξη της περίπλοκης μορφής και της γοητείας που κρύβουν τα σχήματα της φύσης

Το εξαγωνικό σχήμα επιλέγεται από την σχηματική προσαρμογή κι από την αναγκαιότητα της ύλης, έτσι ώστε να μην υπάρχουν κενά και η συγκέντρωση του ατμού σε σχηματισμούς χιονιού να γίνει πιο ομαλά.

Κανονικά πολύγωνα στον γαλαξία μαςΚανονικά πολύγωνα στον γαλαξία μας

Τα κανονικά πολύγωνα στην ΤέχνηΤα κανονικά πολύγωνα στην Τέχνη

Η χρήση κανονικών πολυγώνων στην Τέχνη και τη διακόσμηση Η χρήση κανονικών πολυγώνων στην Τέχνη και τη διακόσμηση αποτελεί κομμάτι πολλών αρχαίων πολιτισμών. Οι Σουμέριοι (περίπου αποτελεί κομμάτι πολλών αρχαίων πολιτισμών. Οι Σουμέριοι (περίπου 4000 π.Χ.) διακοσμούσαν τα σπίτια και τους ναούς τους με σχέδια από 4000 π.Χ.) διακοσμούσαν τα σπίτια και τους ναούς τους με σχέδια από επαναλαμβανόμενα κανονικά πολύγωνα. Ανάλογες διακοσμήσεις ή επαναλαμβανόμενα κανονικά πολύγωνα. Ανάλογες διακοσμήσεις ή ακόμη και εφαρμογές στις κατασκευές κτιρίων έχουν παρουσιαστεί ακόμη και εφαρμογές στις κατασκευές κτιρίων έχουν παρουσιαστεί στους Αιγύπτιους, τους Έλληνες, τους Μαυριτανούς, τους Ρωμαίους, στους Αιγύπτιους, τους Έλληνες, τους Μαυριτανούς, τους Ρωμαίους, τους Πέρσες, τους Άραβες, τους Βυζαντινούς, τους Ιάπωνες και τους τους Πέρσες, τους Άραβες, τους Βυζαντινούς, τους Ιάπωνες και τους Κινέζους. Χρησιμοποιούσαν διάφορες τεχνικές σχεδιασμού και ήταν Κινέζους. Χρησιμοποιούσαν διάφορες τεχνικές σχεδιασμού και ήταν έντονος ο "συμμετρικός" τρόπος χρωματισμού. έντονος ο "συμμετρικός" τρόπος χρωματισμού.

Σε αρκετούς πολιτισμούς η θρησκεία ήταν Σε αρκετούς πολιτισμούς η θρησκεία ήταν εκείνη που τους ώθησε σ' αυτό το είδος εκείνη που τους ώθησε σ' αυτό το είδος Τέχνης. Για παράδειγμα, η ισλαμική Τέχνης. Για παράδειγμα, η ισλαμική θρησκεία απαγορεύει την αναπαράσταση θρησκεία απαγορεύει την αναπαράσταση ζωντανών οργανισμών σε έργα τέχνης. Για ζωντανών οργανισμών σε έργα τέχνης. Για το λόγο αυτό, οι Μαυριτανοί δημιούργησαν το λόγο αυτό, οι Μαυριτανοί δημιούργησαν μόνο αφηρημένα γεωμετρικά σχήματα.μόνο αφηρημένα γεωμετρικά σχήματα.

Αντίθετα, οι Ρωμαίοι και άλλοι μεσογειακοί Αντίθετα, οι Ρωμαίοι και άλλοι μεσογειακοί λαοί χρησιμοποίησαν ως φόντο λαοί χρησιμοποίησαν ως φόντο συνδυασμούς κανονικών πολυγώνων, για να συνδυασμούς κανονικών πολυγώνων, για να τονίσουν αναπαραστάσεις με ανθρώπους ή τονίσουν αναπαραστάσεις με ανθρώπους ή σκηνές από τη φύση.σκηνές από τη φύση.

Το παλάτι της Alhambra στη Granada της Ισπανίας είναι το Το παλάτι της Alhambra στη Granada της Ισπανίας είναι το εξοχότερο, ίσως, δείγμα χρήσης των κανονικών εξοχότερο, ίσως, δείγμα χρήσης των κανονικών πολυγώνων στην Τέχνη. Έχει φτιαχτεί όλο με ψηφιδωτά πολυγώνων στην Τέχνη. Έχει φτιαχτεί όλο με ψηφιδωτά πάνω σε σχέδια που περιλαμβάνουν επαναλήψεις από πάνω σε σχέδια που περιλαμβάνουν επαναλήψεις από συνθέσεις κανονικών πολυγώνων. συνθέσεις κανονικών πολυγώνων.

Μωσαϊκό από τον Καθεδρικό ναό του Αγίου Μάρκου στην Βενετία

Επίχρυσο λιοντάρι που βρίσκεται στην πύλη της θεϊκής αγνότητας στο Πεκίνο

Πυραμίδα με Πυραμίδα με ισόπλευρα τρίγωνα.ισόπλευρα τρίγωνα.

ΠΥΡΓΟΣ ΤΟΥ ΑΪΦΕΛ

Συνδυασμός τριγώνων, τετραγώνων και Συνδυασμός τριγώνων, τετραγώνων και ρόμβων στο μεταλλικό σκελετό ρόμβων στο μεταλλικό σκελετό

Six Harmonies Pagoda Κίνα

Η σκεπή του κάθε ορόφου είναι κανονικό εξάγωνοΗ σκεπή του κάθε ορόφου είναι κανονικό εξάγωνο

Σπίτι από το Πυργί της ΧίουΣπίτι από το Πυργί της Χίου

Εκκλησία από το Πυργί της Χίου

Τοίχος σπιτιού από Τοίχος σπιτιού από το Πυργί της Χίου με το Πυργί της Χίου με κανονικά πολύγωνακανονικά πολύγωνα

Κίνα: ένα κτίριο με 1000 παράθυρα

Εδώ βλέπουμε τετράγωνα σε διάφορα μεγέθη.

Hearst tower (New York City)

Ισόπλευρα τρίγωνα σε διάφορους σχηματισμούς, όπως κανονικά εξάγωνα.

Μυκονιάτικος ΜύλοςΜυκονιάτικος Μύλος

Το κτίσμα είναι ένας Το κτίσμα είναι ένας κύλινδρος, η σκεπή κύλινδρος, η σκεπή ένας κώνος, και η ένας κώνος, και η φτερωτή ένα φτερωτή ένα κανονικό κανονικό πολύγωνο πολύγωνο (συνήθως (συνήθως δωδεκάγωνο)δωδεκάγωνο)

Κοσμήματα με χάντρες σχηματίζουν επίσης κανονικά Κοσμήματα με χάντρες σχηματίζουν επίσης κανονικά πολύγωναπολύγωνα

Τα κανονικά πολύγωνα στις επιστήμεςΤα κανονικά πολύγωνα στις επιστήμες

ΠρινΠριν από περίπου εκατό χρόνια οι από περίπου εκατό χρόνια οι μαθηματικοί απέδειξαν ότι η μαθηματικοί απέδειξαν ότι η κερήθρα είναι ο πιο κερήθρα είναι ο πιο αποτελεσματικός τρόπος για να αποτελεσματικός τρόπος για να στριμώξουμε κύκλους στο επίπεδο. στριμώξουμε κύκλους στο επίπεδο. Ο κύριος λόγος γι’ αυτό είναι ότι έξι Ο κύριος λόγος γι’ αυτό είναι ότι έξι κύκλοι ταιριάζουν ακριβώς γύρω κύκλοι ταιριάζουν ακριβώς γύρω από έναν άλλο κύκλο του ίδιου από έναν άλλο κύκλο του ίδιου μεγέθους και το σχήμα της μεγέθους και το σχήμα της κερήθρας επαναλαμβάνει αυτή τη κερήθρας επαναλαμβάνει αυτή τη δομή γύρω από κάθε κύκλο. δομή γύρω από κάθε κύκλο. Δημιουργούνται έτσι κανονικά Δημιουργούνται έτσι κανονικά σχήματα μεγάλης κλίμακας σχήματα μεγάλης κλίμακας υπακούοντας σε απλούς, τοπικούς υπακούοντας σε απλούς, τοπικούς κανόνες.κανόνες.

Όλοι οι μανάβηδες γνωρίζουν καλά πώς να πακετάρουν Όλοι οι μανάβηδες γνωρίζουν καλά πώς να πακετάρουν πορτοκάλια. Είναι συγκλονιστικό ότι οι μαθηματικοί πορτοκάλια. Είναι συγκλονιστικό ότι οι μαθηματικοί ανάλωσαν περισσότερα από 350 χρόνια για να ανάλωσαν περισσότερα από 350 χρόνια για να καταλάβουν ότι οι οπωροπώλες είχαν δίκιο. Στο τέλος του καταλάβουν ότι οι οπωροπώλες είχαν δίκιο. Στο τέλος του 2020ουου αιώνα, οι μανάβηδες δικαιώθηκαν… με την βοήθεια αιώνα, οι μανάβηδες δικαιώθηκαν… με την βοήθεια των υπολογιστών.των υπολογιστών.

Η ατομική δομή του Η ατομική δομή του γραφίτη αποτελείται γραφίτη αποτελείται από παράλληλα από παράλληλα επίπεδα εξαγώνων επίπεδα εξαγώνων που σχηματίζουν που σχηματίζουν στρώσεις.στρώσεις.

Το διαμάντι έχει βασική δομή Το διαμάντι έχει βασική δομή στην οποία κάθε άτομο στην οποία κάθε άτομο άνθρακα συνδέεται με άλλα άνθρακα συνδέεται με άλλα 4 άτομα γύρω του σε 4 άτομα γύρω του σε διάταξη τετραέδρου.διάταξη τετραέδρου.

ΔιαμάντιΔιαμάντι

ΝανοσωλήναςΝανοσωλήνας

Τα άτομα είναι διατεταγμένα σε εξάγωνα σαν τον Τα άτομα είναι διατεταγμένα σε εξάγωνα σαν τον γραφίτη.γραφίτη.

Πλακόστρωση με Πλακόστρωση με κανονικά πολύγωνακανονικά πολύγωνα

Πλακόστρωση με εξάγωναΠλακόστρωση με εξάγωνα

ΒιβλιογραφίΒιβλιογραφίαα

http://www.slideshare.net/http://www.slideshare.net/popiardv/polygonapopiardv/polygona

http://www.windmill-villa.gr/gr/http://www.windmill-villa.gr/gr/objects/view/157objects/view/157

http://documentarygr.blogspot.gr/http://documentarygr.blogspot.gr/2010/09/blog-post_2492.html2010/09/blog-post_2492.html

http://www.perierga.gr/http://www.perierga.gr/2012/03/%CE%AD%CE%BD%CE2012/03/%CE%AD%CE%BD%CE%B1%CF%82-%CF%83%CF%B1%CF%82-%CF%83%CF%80%CE%AC%CE%BD%CE%80%CE%AC%CE%BD%CE%B9%CE%BF%CF%82-%CE%B9%CE%BF%CF%82-%CE%BC%CE%BF%CE%B2-%CE%BC%CE%BF%CE%B2-%CE%B1%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CF%84%CE%B5%CF%81%CE%AF%CE%B5%CF%81%CE%AF%CE%B1%CF%82/%B1%CF%82/

http://mathstamelosb.blogspot.gr/http://mathstamelosb.blogspot.gr/2011/03/blog-post_9378.html2011/03/blog-post_9378.html

http://www.authorstream.com/Presentation/popiardv-1463499-final/

Σχολικό Βιβλίο