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Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de FısicaFısica III-A – 2017/1 – Prova Final: 12/06/2017
Versao: A
Formulario
~F e = q ~E , ~E = k0q
r2r
(k0 =
1
4πε0
),
∮S
~E ·d~A =Qint
ε0, ~E = − ~∇V , V = k0
q
r, U = k0
qq′
r,
C = Q/V , U =1
2QV , uE =
1
2ε0E
2 , I =
∫S
~J ·d~A , ~J = nq~v , ~J = σ~E , V = RI , P = V I ,
~Fm = q~v × ~B , d~Fm = Id~ × ~B ,
∮S
~B ·d~A = 0 , d ~B =µ0
4π
Id~ × r
r2,∮
C
~B · d~ = µ0Ienc + µ0ε0dΦE
dt, Eind = −dΦB
dt,
∫dx
(x2 + a2)3/2=
1
a2x√
x2 + a2+ const.
Secao 1. Falso ou Verdadeiro (10×0,3 = 3,0 pontos)
Indique com V se a afirmacao e verdadeira, ou F, se falsa. Note que ha a seguinte PENALIZACAO: cada questaoerradamente indicada correspondera a uma diminuicao de 0,2 ponto da nota do estudante obtida nestasecao. Caso nao queira correr o risco de penalizacao, deixe a resposta em branco!
Considere uma superfıcie esferica de raio R e duas partıculas com cargas q1 e q2. A primeira esta localizada nocentro da superfıcie, enquanto a segunda, em um ponto a uma distancia 3R do centro. De acordo com a lei deGauss, o fluxo do campo eletrostatico atraves dessa superfıcie e (q1 − q2)/ε0.
A forca que um campo magnetico exerce sobre uma partıcula carregada nao pode alterar o modulo de suavelocidade, mesmo que o movimento da partıcula nao seja circular uniforme.
O potencial eletrostatico diminui ao longo de uma linha de campo eletrostatico, quando se segue o sentido dessalinha.
Em um condutor em equilıbrio eletrostatico, partıculas carregadas em excesso se distribuem uniformemente emseu interior.
A integral de linha, em um caminho fechado, do campo eletrico associado a um campo magnetico nao-estacionarioe sempre nula.
Considere uma espira condutora, circular e fixa, imersa em uma regiao de campo magnetico externo uniforme e
nao estacionario ~Bext(t), perpendicular ao plano da espira. Pela lei de Lenz, o campo magnetico produzido pela
corrente induzida no centro da espira pode ter o mesmo sentido de ~Bext(t), no interior da espira.
A lei de Ampere e sempre valida para distribuicoes de correntes estacionarias.
Considere uma placa plana, condutora, espessa, infinita, em equilıbrio eletrostatico, e um ponto P imediatamentefora da placa. O vetor campo eletrico em P e perpendicular a superfıcie da placa e seu modulo e dado por |σ|/(2ε0),sendo σ a densidade superficial de carga em um ponto da placa proximo a P.
Um fio condutor cilındrico, circular, reto, com diametro de 1 mm e comprimento de 1 m tera uma resistenciaeletrica quatro vezes maior que um fio de mesmo material e forma, com diametro de 2 mm e comprimento de 2 m.
Um dipolo eletrico, situado em uma regiao de um campo eletrostatico uniforme, sofrera uma forca na direcao esentido do campo se estiver alinhado com ele e uma forca nula, se estiver perpendicular a ele.
Secao 2. Multipla escolha (6×0,7 = 4,2 pontos)
1
1. Uma barra isolante fina e posicionada sobre o eixo Oxde um sistema de coordenadas, como mostrado na fi-gura abaixo. o eixo Oy e perpendicular a barra e aorigem O do sistema coincide com o seu ponto medio.A distribuicao de cargas na barra e tal que sua me-tade a direita esta uniformemente carregada com umadensidade linear de carga λ (λ > 0) e sua metadea esquerda esta uniformemente carregada com umadensidade linear de carga −λ. Sobre essa situacao,considere as seguintes afirmativas:(I) Para todos os pontos sobre o eixo Oy, o campoeletrico aponta no sentido negativo de Ox.(II) Para pontos sobre o eixoOy, e possıvel determinara intensidade do campo eletrico conhecendo apenas opotencial eletrico sobre esses pontos.Sao corretas as afirmativas:
(a) Apenas I.
(b) Apenas II.
(c) Nenhuma delas.
(d) Todas elas.
2. Um anel circular isolante de raio R possui uma cargaq > 0 uniformemente distribuıda sobre seu com-primento. Uma partıcula de carga −q e massa mencontra-se inicialmente em repouso sobre o eixo doanel, em um ponto muito afastado de seu centro. Des-prezando a acao da gravidade, os modulos da veloci-dade e da aceleracao dessa partıcula quando ela passapelo centro do anel valem, respectivamente:
(a)q√
2πε0mRe 0;
(b)q√
2πε0mRe
q2
4πε0mR2;
(c)q
2√πε0mR
e 0;
(d)q
2√πε0mR
eq2
4πε0mR2;
(e) 0 e 0.
3. Uma espira retangular, rıgida, condutora e um fio re-tilıneo, infinito, pelo qual passa uma corrente quase-estacionaria i(t) = αt (α > 0) encontram-se nummesmo plano, z = 0. No instante t = 0 a espirapossui velocidade ~v = vy, (v > 0), como mostrado nafigura abaixo.
Desconsiderando o efeito da gravidade, qual graficomelhor representa o movimento da espira logo apos oinstante t = 0?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f) Nenhum dos graficos anteriores.
4. Um capacitor cilındrico e formado por um cilindrocondutor de raio a e comprimento L, com L � a,coaxial a uma casca cilındrica espessa, tambem con-dutora, de raio interno 2a, raio externo 4a e com-primento L. A capacitancia desse capacitor e dadapor:
(a) 2πln(4)ε0L,
(b) 2πln(2)ε0L,
(c) 2πε0L,
(d) 2πε0L/ln(2),
(e) 2πε0L/ln(4),
2
5. Uma esfera condutora de raio a, em equilıbrio ele-trostatico, possui carga −Q. Uma casca esferica es-pessa, condutora, de raio interno 2a e raio externo 4a,concentrica a esfera, possui carga 2Q, como mostra afigura abaixo. Considerando o potencial eletrico nulono infinito, a que distancia finita do centro da esferao potencial tambem e nulo?
(a)3
2a;
(b)4
3a;
(c)5
4a;
(d)6
5a;
(e)7
6a;
(f) Nao ha nenhuma posicao, a uma distancia fi-nita do centro da esfera, em que o potencialseja nulo.
6. Um cilindro circular macico, infinito e condutor, deraio R, possui uma densidade de corrente estacionaria,dada por ~J(r) = krz, onde k e uma constante posi-tiva, r e a distancia ao eixo do cilindro e z e um vetorunitario cuja direcao e paralela ao eixo do cilindro.Assinale a alternativa cujo grafico melhor representao comportamento do modulo do campo magnetico Bproduzido pelo cilindro como funcao da distancia r.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Secao 3. Questoes discursivas (1×2,8 = 2,8 pontos)
Todas as respostas devem ter justificativas!
1.
3
[2,8 pontos]Considere um fio infinito formado por dois trechosretilıneos semi-infinitos e perpendiculares entre si, ligadospor um arco de circunferencia de raio R (um quarto decircunferencia). Por esse fio flui uma corrente estacionariaI, como mostrado na Figura 1. Utilize o sistema de eixoscartesianos desenhado na Figura 1. Com essa escolha,um dos trechos retilıneos e paralelo ao eixo Oy, enquantoo outro e paralelo ao eixo Ox, e o arco de circunferenciatem centro na origem O.
(a) Determine a contribuicao ~Ba ao campo magnetico naorigem O do sistema de coordenadas indicado na Figura1, devido ao trecho do fio correspondente ao arco decircunferencia. Indique o modulo, a direcao e o sentidode ~Ba. [1,0 ponto]
(b) Determine a contribuicao ~Bh ao campo magnetico naorigem O do sistema de coordenadas indicado na Figura1, devido ao trecho horizontal do fio. Indique o modulo,a direcao e o sentido de ~Bh. [1,2 ponto]
(c) Determine o campo magnetico ~B (modulo, direcaoe sentido) produzido pelo fio completo, na origem O dosistema de coordenadas. [0,6 ponto]
Figura 1: Questao discursiva 1.
4
Gabarito para Versao A
Secao 1. Falso ou Verdadeiro (10×0,3 = 3,0 pontos)
F Considere uma superfıcie esferica de raio R e duas partıculas com cargas q1 e q2. A primeira esta localizada nocentro da superfıcie, enquanto a segunda, em um ponto a uma distancia 3R do centro. De acordo com a lei deGauss, o fluxo do campo eletrostatico atraves dessa superfıcie e (q1 − q2)/ε0.
V A forca que um campo magnetico exerce sobre uma partıcula carregada nao pode alterar o modulo de suavelocidade, mesmo que o movimento da partıcula nao seja circular uniforme.
V O potencial eletrostatico diminui ao longo de uma linha de campo eletrostatico, quando se segue o sentido dessalinha.
F Em um condutor em equilıbrio eletrostatico, partıculas carregadas em excesso se distribuem uniformemente emseu interior.
F A integral de linha, em um caminho fechado, do campo eletrico associado a um campo magnetico nao-estacionarioe sempre nula.
V Considere uma espira condutora, circular e fixa, imersa em uma regiao de campo magnetico externo uniforme e
nao estacionario ~Bext(t), perpendicular ao plano da espira. Pela lei de Lenz, o campo magnetico produzido pela
corrente induzida no centro da espira pode ter o mesmo sentido de ~Bext(t), no interior da espira.
V A lei de Ampere e sempre valida para distribuicoes de correntes estacionarias.
F Considere uma placa plana, condutora, espessa, infinita, em equilıbrio eletrostatico, e um ponto P imediatamentefora da placa. O vetor campo eletrico em P e perpendicular a superfıcie da placa e seu modulo e dado por |σ|/(2ε0),sendo σ a densidade superficial de carga em um ponto da placa proximo a P.
F Um fio condutor cilındrico, circular, reto, com diametro de 1 mm e comprimento de 1 m tera uma resistenciaeletrica quatro vezes maior que um fio de mesmo material e forma, com diametro de 2 mm e comprimento de 2 m.
F Um dipolo eletrico, situado em uma regiao de um campo eletrostatico uniforme, sofrera uma forca na direcao esentido do campo se estiver alinhado com ele e uma forca nula, se estiver perpendicular a ele.
Secao 2. Multipla escolha (6×0,7 = 4,2 pontos)
1. (a)
2. (a)
3. (b)
4. (d)
5. (b)
6. (d)
Secao 3. Questoes discursivas (1×2,8 = 2,8 pontos)
1. Resolucao:(a) Uma diferencial do campo magnetico produzido pelo arco de circunferencia e dada pela lei de Biot-Savart:
d~Ba =µ0
4π
Id~l× r
r2,
d ~Ba =µ0I
4π
|d~l|R2
z,
1
~Ba =µ0I
4πR2z
∫ π2
0
Rdθ,
→ ~Ba =µ0I
8Rz.
(b) Uma diferencial do campo magnetico produzido pelo segmento paralelo ao eixo x e dada pela lei de Biot-Savart:
d~Bh =µ0
4π
Id~l× r
r2.
De acordo com a Figura 2, temos:
d~Bh =µ0Iz
4π
senφ
(x2 +R2)dx,
mas senφ = sen(θ) = R/√x2 +R2, assim:
d~Bh =µ0IRz
4π
∫ ∞
0
dx
(x2 +R2)32
.
Pelo formulario fornecido: ∫ ∞
0
dx
(x2 +R2)32
=
(1
R2
x√x2 +R2
)∞
0
=1
R2,
assim:
→ ~Bh =µ0I
4πRz.
(c) O campo ~B de todo o fio na origem do sistema de coordenadas e dado por:
~B = 2~Bh + ~Ba,
pois o campo produzido pelo segmento semi-infinito de fio paralelo ao eixo y e igual a ~Bh, logo:
→ ~B =µ0I
2πR
(1 +
π
4
)z.
�
2
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de FısicaFısica III-A – 2017/1 – Prova Final: 12/06/2017
Versao: B
Formulario
~F e = q ~E , ~E = k0q
r2r
(k0 =
1
4πε0
),
∮S
~E ·d~A =Qint
ε0, ~E = − ~∇V , V = k0
q
r, U = k0
qq′
r,
C = Q/V , U =1
2QV , uE =
1
2ε0E
2 , I =
∫S
~J ·d~A , ~J = nq~v , ~J = σ~E , V = RI , P = V I ,
~Fm = q~v × ~B , d~Fm = Id~ × ~B ,
∮S
~B ·d~A = 0 , d ~B =µ0
4π
Id~ × r
r2,∮
C
~B · d~ = µ0Ienc + µ0ε0dΦE
dt, Eind = −dΦB
dt,
∫dx
(x2 + a2)3/2=
1
a2x√
x2 + a2+ const.
Secao 1. Falso ou Verdadeiro (10×0,3 = 3,0 pontos)
Indique com V se a afirmacao e verdadeira, ou F, se falsa. Note que ha a seguinte PENALIZACAO: cada questaoerradamente indicada correspondera a uma diminuicao de 0,2 ponto da nota do estudante obtida nestasecao. Caso nao queira correr o risco de penalizacao, deixe a resposta em branco!
Considere uma superfıcie esferica de raio R e duas partıculas com cargas q1 e q2. A primeira esta localizada nocentro da superfıcie, enquanto a segunda, em um ponto a uma distancia 3R do centro. De acordo com a lei deGauss, o fluxo do campo eletrostatico atraves dessa superfıcie e (q1 − q2)/ε0.
A integral de linha, em um caminho fechado, do campo eletrico associado a um campo magnetico nao-estacionarioe sempre nula.
Considere uma placa plana, condutora, espessa, infinita, em equilıbrio eletrostatico, e um ponto P imediatamentefora da placa. O vetor campo eletrico em P e perpendicular a superfıcie da placa e seu modulo e dado por |σ|/(2ε0),sendo σ a densidade superficial de carga em um ponto da placa proximo a P.
A lei de Ampere e sempre valida para distribuicoes de correntes estacionarias.
Um dipolo eletrico, situado em uma regiao de um campo eletrostatico uniforme, sofrera uma forca na direcao esentido do campo se estiver alinhado com ele e uma forca nula, se estiver perpendicular a ele.
Um fio condutor cilındrico, circular, reto, com diametro de 1 mm e comprimento de 1 m tera uma resistenciaeletrica quatro vezes maior que um fio de mesmo material e forma, com diametro de 2 mm e comprimento de 2 m.
Em um condutor em equilıbrio eletrostatico, partıculas carregadas em excesso se distribuem uniformemente emseu interior.
A forca que um campo magnetico exerce sobre uma partıcula carregada nao pode alterar o modulo de suavelocidade, mesmo que o movimento da partıcula nao seja circular uniforme.
Considere uma espira condutora, circular e fixa, imersa em uma regiao de campo magnetico externo uniforme e
nao estacionario ~Bext(t), perpendicular ao plano da espira. Pela lei de Lenz, o campo magnetico produzido pela
corrente induzida no centro da espira pode ter o mesmo sentido de ~Bext(t), no interior da espira.
O potencial eletrostatico diminui ao longo de uma linha de campo eletrostatico, quando se segue o sentido dessalinha.
Secao 2. Multipla escolha (6×0,7 = 4,2 pontos)
1
1. Uma esfera condutora de raio a, em equilıbrio ele-trostatico, possui carga −Q. Uma casca esferica es-pessa, condutora, de raio interno 2a e raio externo 4a,concentrica a esfera, possui carga 2Q, como mostra afigura abaixo. Considerando o potencial eletrico nulono infinito, a que distancia finita do centro da esferao potencial tambem e nulo?
(a)3
2a;
(b)4
3a;
(c)5
4a;
(d)6
5a;
(e)7
6a;
(f) Nao ha nenhuma posicao, a uma distancia fi-nita do centro da esfera, em que o potencialseja nulo.
2. Um cilindro circular macico, infinito e condutor, deraio R, possui uma densidade de corrente estacionaria,dada por ~J(r) = krz, onde k e uma constante posi-tiva, r e a distancia ao eixo do cilindro e z e um vetorunitario cuja direcao e paralela ao eixo do cilindro.Assinale a alternativa cujo grafico melhor representao comportamento do modulo do campo magnetico Bproduzido pelo cilindro como funcao da distancia r.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
3. Um capacitor cilındrico e formado por um cilindrocondutor de raio a e comprimento L, com L � a,coaxial a uma casca cilındrica espessa, tambem con-dutora, de raio interno 2a, raio externo 4a e com-primento L. A capacitancia desse capacitor e dadapor:
(a) 2πln(4)ε0L,
(b) 2πln(2)ε0L,
(c) 2πε0L,
(d) 2πε0L/ln(2),
(e) 2πε0L/ln(4),
2
4. Uma barra isolante fina e posicionada sobre o eixo Oxde um sistema de coordenadas, como mostrado na fi-gura abaixo. o eixo Oy e perpendicular a barra e aorigem O do sistema coincide com o seu ponto medio.A distribuicao de cargas na barra e tal que sua me-tade a direita esta uniformemente carregada com umadensidade linear de carga λ (λ > 0) e sua metadea esquerda esta uniformemente carregada com umadensidade linear de carga −λ. Sobre essa situacao,considere as seguintes afirmativas:(I) Para todos os pontos sobre o eixo Oy, o campoeletrico aponta no sentido negativo de Ox.(II) Para pontos sobre o eixoOy, e possıvel determinara intensidade do campo eletrico conhecendo apenas opotencial eletrico sobre esses pontos.Sao corretas as afirmativas:
(a) Apenas I.
(b) Apenas II.
(c) Nenhuma delas.
(d) Todas elas.
5. Um anel circular isolante de raio R possui uma cargaq > 0 uniformemente distribuıda sobre seu com-primento. Uma partıcula de carga −q e massa mencontra-se inicialmente em repouso sobre o eixo doanel, em um ponto muito afastado de seu centro. Des-prezando a acao da gravidade, os modulos da veloci-dade e da aceleracao dessa partıcula quando ela passapelo centro do anel valem, respectivamente:
(a)q√
2πε0mRe 0;
(b)q√
2πε0mRe
q2
4πε0mR2;
(c)q
2√πε0mR
e 0;
(d)q
2√πε0mR
eq2
4πε0mR2;
(e) 0 e 0.
6. Uma espira retangular, rıgida, condutora e um fio re-tilıneo, infinito, pelo qual passa uma corrente quase-estacionaria i(t) = αt (α > 0) encontram-se nummesmo plano, z = 0. No instante t = 0 a espirapossui velocidade ~v = vy, (v > 0), como mostrado nafigura abaixo.
Desconsiderando o efeito da gravidade, qual graficomelhor representa o movimento da espira logo apos oinstante t = 0?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f) Nenhum dos graficos anteriores.
Secao 3. Questoes discursivas (1×2,8 = 2,8 pontos)
Todas as respostas devem ter justificativas!
1.
3
[2,8 pontos]Considere um fio infinito formado por dois trechosretilıneos semi-infinitos e perpendiculares entre si, ligadospor um arco de circunferencia de raio R (um quarto decircunferencia). Por esse fio flui uma corrente estacionariaI, como mostrado na Figura 1. Utilize o sistema de eixoscartesianos desenhado na Figura 1. Com essa escolha,um dos trechos retilıneos e paralelo ao eixo Oy, enquantoo outro e paralelo ao eixo Ox, e o arco de circunferenciatem centro na origem O.
(a) Determine a contribuicao ~Ba ao campo magnetico naorigem O do sistema de coordenadas indicado na Figura1, devido ao trecho do fio correspondente ao arco decircunferencia. Indique o modulo, a direcao e o sentidode ~Ba. [1,0 ponto]
(b) Determine a contribuicao ~Bh ao campo magnetico naorigem O do sistema de coordenadas indicado na Figura1, devido ao trecho horizontal do fio. Indique o modulo,a direcao e o sentido de ~Bh. [1,2 ponto]
(c) Determine o campo magnetico ~B (modulo, direcaoe sentido) produzido pelo fio completo, na origem O dosistema de coordenadas. [0,6 ponto]
Figura 1: Questao discursiva 1.
4
Gabarito para Versao B
Secao 1. Falso ou Verdadeiro (10×0,3 = 3,0 pontos)
F Considere uma superfıcie esferica de raio R e duas partıculas com cargas q1 e q2. A primeira esta localizada nocentro da superfıcie, enquanto a segunda, em um ponto a uma distancia 3R do centro. De acordo com a lei deGauss, o fluxo do campo eletrostatico atraves dessa superfıcie e (q1 − q2)/ε0.
F A integral de linha, em um caminho fechado, do campo eletrico associado a um campo magnetico nao-estacionarioe sempre nula.
F Considere uma placa plana, condutora, espessa, infinita, em equilıbrio eletrostatico, e um ponto P imediatamentefora da placa. O vetor campo eletrico em P e perpendicular a superfıcie da placa e seu modulo e dado por |σ|/(2ε0),sendo σ a densidade superficial de carga em um ponto da placa proximo a P.
V A lei de Ampere e sempre valida para distribuicoes de correntes estacionarias.
F Um dipolo eletrico, situado em uma regiao de um campo eletrostatico uniforme, sofrera uma forca na direcao esentido do campo se estiver alinhado com ele e uma forca nula, se estiver perpendicular a ele.
F Um fio condutor cilındrico, circular, reto, com diametro de 1 mm e comprimento de 1 m tera uma resistenciaeletrica quatro vezes maior que um fio de mesmo material e forma, com diametro de 2 mm e comprimento de 2 m.
F Em um condutor em equilıbrio eletrostatico, partıculas carregadas em excesso se distribuem uniformemente emseu interior.
V A forca que um campo magnetico exerce sobre uma partıcula carregada nao pode alterar o modulo de suavelocidade, mesmo que o movimento da partıcula nao seja circular uniforme.
V Considere uma espira condutora, circular e fixa, imersa em uma regiao de campo magnetico externo uniforme e
nao estacionario ~Bext(t), perpendicular ao plano da espira. Pela lei de Lenz, o campo magnetico produzido pela
corrente induzida no centro da espira pode ter o mesmo sentido de ~Bext(t), no interior da espira.
V O potencial eletrostatico diminui ao longo de uma linha de campo eletrostatico, quando se segue o sentido dessalinha.
Secao 2. Multipla escolha (6×0,7 = 4,2 pontos)
1. (b)
2. (d)
3. (d)
4. (a)
5. (a)
6. (b)
Secao 3. Questoes discursivas (1×2,8 = 2,8 pontos)
1. Resolucao:(a) Uma diferencial do campo magnetico produzido pelo arco de circunferencia e dada pela lei de Biot-Savart:
d~Ba =µ0
4π
Id~l× r
r2,
d ~Ba =µ0I
4π
|d~l|R2
z,
1
~Ba =µ0I
4πR2z
∫ π2
0
Rdθ,
→ ~Ba =µ0I
8Rz.
(b) Uma diferencial do campo magnetico produzido pelo segmento paralelo ao eixo x e dada pela lei de Biot-Savart:
d~Bh =µ0
4π
Id~l× r
r2.
De acordo com a Figura 2, temos:
d~Bh =µ0Iz
4π
senφ
(x2 +R2)dx,
mas senφ = sen(θ) = R/√x2 +R2, assim:
d~Bh =µ0IRz
4π
∫ ∞
0
dx
(x2 +R2)32
.
Pelo formulario fornecido: ∫ ∞
0
dx
(x2 +R2)32
=
(1
R2
x√x2 +R2
)∞
0
=1
R2,
assim:
→ ~Bh =µ0I
4πRz.
(c) O campo ~B de todo o fio na origem do sistema de coordenadas e dado por:
~B = 2~Bh + ~Ba,
pois o campo produzido pelo segmento semi-infinito de fio paralelo ao eixo y e igual a ~Bh, logo:
→ ~B =µ0I
2πR
(1 +
π
4
)z.
�
2
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de FısicaFısica III-A – 2017/1 – Prova Final: 12/06/2017
Versao: C
Formulario
~F e = q ~E , ~E = k0q
r2r
(k0 =
1
4πε0
),
∮S
~E ·d~A =Qint
ε0, ~E = − ~∇V , V = k0
q
r, U = k0
qq′
r,
C = Q/V , U =1
2QV , uE =
1
2ε0E
2 , I =
∫S
~J ·d~A , ~J = nq~v , ~J = σ~E , V = RI , P = V I ,
~Fm = q~v × ~B , d~Fm = Id~ × ~B ,
∮S
~B ·d~A = 0 , d ~B =µ0
4π
Id~ × r
r2,∮
C
~B · d~ = µ0Ienc + µ0ε0dΦE
dt, Eind = −dΦB
dt,
∫dx
(x2 + a2)3/2=
1
a2x√
x2 + a2+ const.
Secao 1. Falso ou Verdadeiro (10×0,3 = 3,0 pontos)
Indique com V se a afirmacao e verdadeira, ou F, se falsa. Note que ha a seguinte PENALIZACAO: cada questaoerradamente indicada correspondera a uma diminuicao de 0,2 ponto da nota do estudante obtida nestasecao. Caso nao queira correr o risco de penalizacao, deixe a resposta em branco!
A lei de Ampere e sempre valida para distribuicoes de correntes estacionarias.
Em um condutor em equilıbrio eletrostatico, partıculas carregadas em excesso se distribuem uniformemente emseu interior.
Considere uma espira condutora, circular e fixa, imersa em uma regiao de campo magnetico externo uniforme e
nao estacionario ~Bext(t), perpendicular ao plano da espira. Pela lei de Lenz, o campo magnetico produzido pela
corrente induzida no centro da espira pode ter o mesmo sentido de ~Bext(t), no interior da espira.
O potencial eletrostatico diminui ao longo de uma linha de campo eletrostatico, quando se segue o sentido dessalinha.
Considere uma placa plana, condutora, espessa, infinita, em equilıbrio eletrostatico, e um ponto P imediatamentefora da placa. O vetor campo eletrico em P e perpendicular a superfıcie da placa e seu modulo e dado por |σ|/(2ε0),sendo σ a densidade superficial de carga em um ponto da placa proximo a P.
A integral de linha, em um caminho fechado, do campo eletrico associado a um campo magnetico nao-estacionarioe sempre nula.
A forca que um campo magnetico exerce sobre uma partıcula carregada nao pode alterar o modulo de suavelocidade, mesmo que o movimento da partıcula nao seja circular uniforme.
Um fio condutor cilındrico, circular, reto, com diametro de 1 mm e comprimento de 1 m tera uma resistenciaeletrica quatro vezes maior que um fio de mesmo material e forma, com diametro de 2 mm e comprimento de 2 m.
Um dipolo eletrico, situado em uma regiao de um campo eletrostatico uniforme, sofrera uma forca na direcao esentido do campo se estiver alinhado com ele e uma forca nula, se estiver perpendicular a ele.
Considere uma superfıcie esferica de raio R e duas partıculas com cargas q1 e q2. A primeira esta localizada nocentro da superfıcie, enquanto a segunda, em um ponto a uma distancia 3R do centro. De acordo com a lei deGauss, o fluxo do campo eletrostatico atraves dessa superfıcie e (q1 − q2)/ε0.
Secao 2. Multipla escolha (6×0,7 = 4,2 pontos)
1
1. Uma esfera condutora de raio a, em equilıbrio ele-trostatico, possui carga −Q. Uma casca esferica es-pessa, condutora, de raio interno 2a e raio externo 4a,concentrica a esfera, possui carga 2Q, como mostra afigura abaixo. Considerando o potencial eletrico nulono infinito, a que distancia finita do centro da esferao potencial tambem e nulo?
(a)3
2a;
(b)4
3a;
(c)5
4a;
(d)6
5a;
(e)7
6a;
(f) Nao ha nenhuma posicao, a uma distancia fi-nita do centro da esfera, em que o potencialseja nulo.
2. Um anel circular isolante de raio R possui uma cargaq > 0 uniformemente distribuıda sobre seu com-primento. Uma partıcula de carga −q e massa mencontra-se inicialmente em repouso sobre o eixo doanel, em um ponto muito afastado de seu centro. Des-prezando a acao da gravidade, os modulos da veloci-dade e da aceleracao dessa partıcula quando ela passapelo centro do anel valem, respectivamente:
(a)q√
2πε0mRe 0;
(b)q√
2πε0mRe
q2
4πε0mR2;
(c)q
2√πε0mR
e 0;
(d)q
2√πε0mR
eq2
4πε0mR2;
(e) 0 e 0.
3. Uma espira retangular, rıgida, condutora e um fio re-tilıneo, infinito, pelo qual passa uma corrente quase-estacionaria i(t) = αt (α > 0) encontram-se nummesmo plano, z = 0. No instante t = 0 a espirapossui velocidade ~v = vy, (v > 0), como mostrado nafigura abaixo.
Desconsiderando o efeito da gravidade, qual graficomelhor representa o movimento da espira logo apos oinstante t = 0?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f) Nenhum dos graficos anteriores.
2
4. Um cilindro circular macico, infinito e condutor, deraio R, possui uma densidade de corrente estacionaria,dada por ~J(r) = krz, onde k e uma constante posi-tiva, r e a distancia ao eixo do cilindro e z e um vetorunitario cuja direcao e paralela ao eixo do cilindro.Assinale a alternativa cujo grafico melhor representao comportamento do modulo do campo magnetico Bproduzido pelo cilindro como funcao da distancia r.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
5. Um capacitor cilındrico e formado por um cilindrocondutor de raio a e comprimento L, com L � a,coaxial a uma casca cilındrica espessa, tambem con-dutora, de raio interno 2a, raio externo 4a e com-primento L. A capacitancia desse capacitor e dadapor:
(a) 2πln(4)ε0L,
(b) 2πln(2)ε0L,
(c) 2πε0L,
(d) 2πε0L/ln(2),
(e) 2πε0L/ln(4),
6. Uma barra isolante fina e posicionada sobre o eixo Oxde um sistema de coordenadas, como mostrado na fi-gura abaixo. o eixo Oy e perpendicular a barra e aorigem O do sistema coincide com o seu ponto medio.A distribuicao de cargas na barra e tal que sua me-tade a direita esta uniformemente carregada com umadensidade linear de carga λ (λ > 0) e sua metadea esquerda esta uniformemente carregada com umadensidade linear de carga −λ. Sobre essa situacao,considere as seguintes afirmativas:(I) Para todos os pontos sobre o eixo Oy, o campoeletrico aponta no sentido negativo de Ox.(II) Para pontos sobre o eixoOy, e possıvel determinara intensidade do campo eletrico conhecendo apenas opotencial eletrico sobre esses pontos.Sao corretas as afirmativas:
(a) Apenas I.
(b) Apenas II.
(c) Nenhuma delas.
(d) Todas elas.
Secao 3. Questoes discursivas (1×2,8 = 2,8 pontos)
Todas as respostas devem ter justificativas!
1.
3
[2,8 pontos]Considere um fio infinito formado por dois trechosretilıneos semi-infinitos e perpendiculares entre si, ligadospor um arco de circunferencia de raio R (um quarto decircunferencia). Por esse fio flui uma corrente estacionariaI, como mostrado na Figura 1. Utilize o sistema de eixoscartesianos desenhado na Figura 1. Com essa escolha,um dos trechos retilıneos e paralelo ao eixo Oy, enquantoo outro e paralelo ao eixo Ox, e o arco de circunferenciatem centro na origem O.
(a) Determine a contribuicao ~Ba ao campo magnetico naorigem O do sistema de coordenadas indicado na Figura1, devido ao trecho do fio correspondente ao arco decircunferencia. Indique o modulo, a direcao e o sentidode ~Ba. [1,0 ponto]
(b) Determine a contribuicao ~Bh ao campo magnetico naorigem O do sistema de coordenadas indicado na Figura1, devido ao trecho horizontal do fio. Indique o modulo,a direcao e o sentido de ~Bh. [1,2 ponto]
(c) Determine o campo magnetico ~B (modulo, direcaoe sentido) produzido pelo fio completo, na origem O dosistema de coordenadas. [0,6 ponto]
Figura 1: Questao discursiva 1.
4
Gabarito para Versao C
Secao 1. Falso ou Verdadeiro (10×0,3 = 3,0 pontos)
V A lei de Ampere e sempre valida para distribuicoes de correntes estacionarias.
F Em um condutor em equilıbrio eletrostatico, partıculas carregadas em excesso se distribuem uniformemente emseu interior.
V Considere uma espira condutora, circular e fixa, imersa em uma regiao de campo magnetico externo uniforme e
nao estacionario ~Bext(t), perpendicular ao plano da espira. Pela lei de Lenz, o campo magnetico produzido pela
corrente induzida no centro da espira pode ter o mesmo sentido de ~Bext(t), no interior da espira.
V O potencial eletrostatico diminui ao longo de uma linha de campo eletrostatico, quando se segue o sentido dessalinha.
F Considere uma placa plana, condutora, espessa, infinita, em equilıbrio eletrostatico, e um ponto P imediatamentefora da placa. O vetor campo eletrico em P e perpendicular a superfıcie da placa e seu modulo e dado por |σ|/(2ε0),sendo σ a densidade superficial de carga em um ponto da placa proximo a P.
F A integral de linha, em um caminho fechado, do campo eletrico associado a um campo magnetico nao-estacionarioe sempre nula.
V A forca que um campo magnetico exerce sobre uma partıcula carregada nao pode alterar o modulo de suavelocidade, mesmo que o movimento da partıcula nao seja circular uniforme.
F Um fio condutor cilındrico, circular, reto, com diametro de 1 mm e comprimento de 1 m tera uma resistenciaeletrica quatro vezes maior que um fio de mesmo material e forma, com diametro de 2 mm e comprimento de 2 m.
F Um dipolo eletrico, situado em uma regiao de um campo eletrostatico uniforme, sofrera uma forca na direcao esentido do campo se estiver alinhado com ele e uma forca nula, se estiver perpendicular a ele.
F Considere uma superfıcie esferica de raio R e duas partıculas com cargas q1 e q2. A primeira esta localizada nocentro da superfıcie, enquanto a segunda, em um ponto a uma distancia 3R do centro. De acordo com a lei deGauss, o fluxo do campo eletrostatico atraves dessa superfıcie e (q1 − q2)/ε0.
Secao 2. Multipla escolha (6×0,7 = 4,2 pontos)
1. (b)
2. (a)
3. (b)
4. (d)
5. (d)
6. (a)
Secao 3. Questoes discursivas (1×2,8 = 2,8 pontos)
1. Resolucao:(a) Uma diferencial do campo magnetico produzido pelo arco de circunferencia e dada pela lei de Biot-Savart:
d~Ba =µ0
4π
Id~l× r
r2,
d ~Ba =µ0I
4π
|d~l|R2
z,
1
~Ba =µ0I
4πR2z
∫ π2
0
Rdθ,
→ ~Ba =µ0I
8Rz.
(b) Uma diferencial do campo magnetico produzido pelo segmento paralelo ao eixo x e dada pela lei de Biot-Savart:
d~Bh =µ0
4π
Id~l× r
r2.
De acordo com a Figura 2, temos:
d~Bh =µ0Iz
4π
senφ
(x2 +R2)dx,
mas senφ = sen(θ) = R/√x2 +R2, assim:
d~Bh =µ0IRz
4π
∫ ∞
0
dx
(x2 +R2)32
.
Pelo formulario fornecido: ∫ ∞
0
dx
(x2 +R2)32
=
(1
R2
x√x2 +R2
)∞
0
=1
R2,
assim:
→ ~Bh =µ0I
4πRz.
(c) O campo ~B de todo o fio na origem do sistema de coordenadas e dado por:
~B = 2~Bh + ~Ba,
pois o campo produzido pelo segmento semi-infinito de fio paralelo ao eixo y e igual a ~Bh, logo:
→ ~B =µ0I
2πR
(1 +
π
4
)z.
�
2
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de FısicaFısica III-A – 2017/1 – Prova Final: 12/06/2017
Versao: D
Formulario
~F e = q ~E , ~E = k0q
r2r
(k0 =
1
4πε0
),
∮S
~E ·d~A =Qint
ε0, ~E = − ~∇V , V = k0
q
r, U = k0
qq′
r,
C = Q/V , U =1
2QV , uE =
1
2ε0E
2 , I =
∫S
~J ·d~A , ~J = nq~v , ~J = σ~E , V = RI , P = V I ,
~Fm = q~v × ~B , d~Fm = Id~ × ~B ,
∮S
~B ·d~A = 0 , d ~B =µ0
4π
Id~ × r
r2,∮
C
~B · d~ = µ0Ienc + µ0ε0dΦE
dt, Eind = −dΦB
dt,
∫dx
(x2 + a2)3/2=
1
a2x√
x2 + a2+ const.
Secao 1. Falso ou Verdadeiro (10×0,3 = 3,0 pontos)
Indique com V se a afirmacao e verdadeira, ou F, se falsa. Note que ha a seguinte PENALIZACAO: cada questaoerradamente indicada correspondera a uma diminuicao de 0,2 ponto da nota do estudante obtida nestasecao. Caso nao queira correr o risco de penalizacao, deixe a resposta em branco!
Considere uma placa plana, condutora, espessa, infinita, em equilıbrio eletrostatico, e um ponto P imediatamentefora da placa. O vetor campo eletrico em P e perpendicular a superfıcie da placa e seu modulo e dado por |σ|/(2ε0),sendo σ a densidade superficial de carga em um ponto da placa proximo a P.
Considere uma espira condutora, circular e fixa, imersa em uma regiao de campo magnetico externo uniforme e
nao estacionario ~Bext(t), perpendicular ao plano da espira. Pela lei de Lenz, o campo magnetico produzido pela
corrente induzida no centro da espira pode ter o mesmo sentido de ~Bext(t), no interior da espira.
O potencial eletrostatico diminui ao longo de uma linha de campo eletrostatico, quando se segue o sentido dessalinha.
A integral de linha, em um caminho fechado, do campo eletrico associado a um campo magnetico nao-estacionarioe sempre nula.
A lei de Ampere e sempre valida para distribuicoes de correntes estacionarias.
Um fio condutor cilındrico, circular, reto, com diametro de 1 mm e comprimento de 1 m tera uma resistenciaeletrica quatro vezes maior que um fio de mesmo material e forma, com diametro de 2 mm e comprimento de 2 m.
Considere uma superfıcie esferica de raio R e duas partıculas com cargas q1 e q2. A primeira esta localizada nocentro da superfıcie, enquanto a segunda, em um ponto a uma distancia 3R do centro. De acordo com a lei deGauss, o fluxo do campo eletrostatico atraves dessa superfıcie e (q1 − q2)/ε0.
Um dipolo eletrico, situado em uma regiao de um campo eletrostatico uniforme, sofrera uma forca na direcao esentido do campo se estiver alinhado com ele e uma forca nula, se estiver perpendicular a ele.
Em um condutor em equilıbrio eletrostatico, partıculas carregadas em excesso se distribuem uniformemente emseu interior.
A forca que um campo magnetico exerce sobre uma partıcula carregada nao pode alterar o modulo de suavelocidade, mesmo que o movimento da partıcula nao seja circular uniforme.
Secao 2. Multipla escolha (6×0,7 = 4,2 pontos)
1
1. Um cilindro circular macico, infinito e condutor, deraio R, possui uma densidade de corrente estacionaria,dada por ~J(r) = krz, onde k e uma constante posi-tiva, r e a distancia ao eixo do cilindro e z e um vetorunitario cuja direcao e paralela ao eixo do cilindro.Assinale a alternativa cujo grafico melhor representao comportamento do modulo do campo magnetico Bproduzido pelo cilindro como funcao da distancia r.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
2. Uma espira retangular, rıgida, condutora e um fio re-tilıneo, infinito, pelo qual passa uma corrente quase-estacionaria i(t) = αt (α > 0) encontram-se nummesmo plano, z = 0. No instante t = 0 a espirapossui velocidade ~v = vy, (v > 0), como mostrado nafigura abaixo.
Desconsiderando o efeito da gravidade, qual graficomelhor representa o movimento da espira logo apos oinstante t = 0?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f) Nenhum dos graficos anteriores.
2
3. Um anel circular isolante de raio R possui uma cargaq > 0 uniformemente distribuıda sobre seu com-primento. Uma partıcula de carga −q e massa mencontra-se inicialmente em repouso sobre o eixo doanel, em um ponto muito afastado de seu centro. Des-prezando a acao da gravidade, os modulos da veloci-dade e da aceleracao dessa partıcula quando ela passapelo centro do anel valem, respectivamente:
(a)q√
2πε0mRe 0;
(b)q√
2πε0mRe
q2
4πε0mR2;
(c)q
2√πε0mR
e 0;
(d)q
2√πε0mR
eq2
4πε0mR2;
(e) 0 e 0.
4. Uma barra isolante fina e posicionada sobre o eixo Oxde um sistema de coordenadas, como mostrado na fi-gura abaixo. o eixo Oy e perpendicular a barra e aorigem O do sistema coincide com o seu ponto medio.A distribuicao de cargas na barra e tal que sua me-tade a direita esta uniformemente carregada com umadensidade linear de carga λ (λ > 0) e sua metadea esquerda esta uniformemente carregada com umadensidade linear de carga −λ. Sobre essa situacao,considere as seguintes afirmativas:(I) Para todos os pontos sobre o eixo Oy, o campoeletrico aponta no sentido negativo de Ox.(II) Para pontos sobre o eixoOy, e possıvel determinara intensidade do campo eletrico conhecendo apenas opotencial eletrico sobre esses pontos.Sao corretas as afirmativas:
(a) Apenas I.
(b) Apenas II.
(c) Nenhuma delas.
(d) Todas elas.
5. Uma esfera condutora de raio a, em equilıbrio ele-trostatico, possui carga −Q. Uma casca esferica es-pessa, condutora, de raio interno 2a e raio externo 4a,concentrica a esfera, possui carga 2Q, como mostra afigura abaixo. Considerando o potencial eletrico nulono infinito, a que distancia finita do centro da esferao potencial tambem e nulo?
(a)3
2a;
(b)4
3a;
(c)5
4a;
(d)6
5a;
(e)7
6a;
(f) Nao ha nenhuma posicao, a uma distancia fi-nita do centro da esfera, em que o potencialseja nulo.
6. Um capacitor cilındrico e formado por um cilindrocondutor de raio a e comprimento L, com L � a,coaxial a uma casca cilındrica espessa, tambem con-dutora, de raio interno 2a, raio externo 4a e com-primento L. A capacitancia desse capacitor e dadapor:
(a) 2πln(4)ε0L,
(b) 2πln(2)ε0L,
(c) 2πε0L,
(d) 2πε0L/ln(2),
(e) 2πε0L/ln(4),
Secao 3. Questoes discursivas (1×2,8 = 2,8 pontos)
Todas as respostas devem ter justificativas!
1.
3
[2,8 pontos]Considere um fio infinito formado por dois trechosretilıneos semi-infinitos e perpendiculares entre si, ligadospor um arco de circunferencia de raio R (um quarto decircunferencia). Por esse fio flui uma corrente estacionariaI, como mostrado na Figura 1. Utilize o sistema de eixoscartesianos desenhado na Figura 1. Com essa escolha,um dos trechos retilıneos e paralelo ao eixo Oy, enquantoo outro e paralelo ao eixo Ox, e o arco de circunferenciatem centro na origem O.
(a) Determine a contribuicao ~Ba ao campo magnetico naorigem O do sistema de coordenadas indicado na Figura1, devido ao trecho do fio correspondente ao arco decircunferencia. Indique o modulo, a direcao e o sentidode ~Ba. [1,0 ponto]
(b) Determine a contribuicao ~Bh ao campo magnetico naorigem O do sistema de coordenadas indicado na Figura1, devido ao trecho horizontal do fio. Indique o modulo,a direcao e o sentido de ~Bh. [1,2 ponto]
(c) Determine o campo magnetico ~B (modulo, direcaoe sentido) produzido pelo fio completo, na origem O dosistema de coordenadas. [0,6 ponto]
Figura 1: Questao discursiva 1.
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Gabarito para Versao D
Secao 1. Falso ou Verdadeiro (10×0,3 = 3,0 pontos)
F Considere uma placa plana, condutora, espessa, infinita, em equilıbrio eletrostatico, e um ponto P imediatamentefora da placa. O vetor campo eletrico em P e perpendicular a superfıcie da placa e seu modulo e dado por |σ|/(2ε0),sendo σ a densidade superficial de carga em um ponto da placa proximo a P.
V Considere uma espira condutora, circular e fixa, imersa em uma regiao de campo magnetico externo uniforme e
nao estacionario ~Bext(t), perpendicular ao plano da espira. Pela lei de Lenz, o campo magnetico produzido pela
corrente induzida no centro da espira pode ter o mesmo sentido de ~Bext(t), no interior da espira.
V O potencial eletrostatico diminui ao longo de uma linha de campo eletrostatico, quando se segue o sentido dessalinha.
F A integral de linha, em um caminho fechado, do campo eletrico associado a um campo magnetico nao-estacionarioe sempre nula.
V A lei de Ampere e sempre valida para distribuicoes de correntes estacionarias.
F Um fio condutor cilındrico, circular, reto, com diametro de 1 mm e comprimento de 1 m tera uma resistenciaeletrica quatro vezes maior que um fio de mesmo material e forma, com diametro de 2 mm e comprimento de 2 m.
F Considere uma superfıcie esferica de raio R e duas partıculas com cargas q1 e q2. A primeira esta localizada nocentro da superfıcie, enquanto a segunda, em um ponto a uma distancia 3R do centro. De acordo com a lei deGauss, o fluxo do campo eletrostatico atraves dessa superfıcie e (q1 − q2)/ε0.
F Um dipolo eletrico, situado em uma regiao de um campo eletrostatico uniforme, sofrera uma forca na direcao esentido do campo se estiver alinhado com ele e uma forca nula, se estiver perpendicular a ele.
F Em um condutor em equilıbrio eletrostatico, partıculas carregadas em excesso se distribuem uniformemente emseu interior.
V A forca que um campo magnetico exerce sobre uma partıcula carregada nao pode alterar o modulo de suavelocidade, mesmo que o movimento da partıcula nao seja circular uniforme.
Secao 2. Multipla escolha (6×0,7 = 4,2 pontos)
1. (d)
2. (b)
3. (a)
4. (a)
5. (b)
6. (d)
Secao 3. Questoes discursivas (1×2,8 = 2,8 pontos)
1. Resolucao:(a) Uma diferencial do campo magnetico produzido pelo arco de circunferencia e dada pela lei de Biot-Savart:
d~Ba =µ0
4π
Id~l× r
r2,
d ~Ba =µ0I
4π
|d~l|R2
z,
1
~Ba =µ0I
4πR2z
∫ π2
0
Rdθ,
→ ~Ba =µ0I
8Rz.
(b) Uma diferencial do campo magnetico produzido pelo segmento paralelo ao eixo x e dada pela lei de Biot-Savart:
d~Bh =µ0
4π
Id~l× r
r2.
De acordo com a Figura 2, temos:
d~Bh =µ0Iz
4π
senφ
(x2 +R2)dx,
mas senφ = sen(θ) = R/√x2 +R2, assim:
d~Bh =µ0IRz
4π
∫ ∞
0
dx
(x2 +R2)32
.
Pelo formulario fornecido: ∫ ∞
0
dx
(x2 +R2)32
=
(1
R2
x√x2 +R2
)∞
0
=1
R2,
assim:
→ ~Bh =µ0I
4πRz.
(c) O campo ~B de todo o fio na origem do sistema de coordenadas e dado por:
~B = 2~Bh + ~Ba,
pois o campo produzido pelo segmento semi-infinito de fio paralelo ao eixo y e igual a ~Bh, logo:
→ ~B =µ0I
2πR
(1 +
π
4
)z.
�
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