Universidade Federal do Rio de Janeiro { Instituto de F...

$: Universidade Federal do Rio de Janeiro { Instituto de F sicafisica3.if.ufrj.br/old_versions/171/pf_f3unif_171_FINAL_GABA.pdf · Considere uma espira condutora, circular e xa, imersa$
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de FısicaFısica III-A – 2017/1 – Prova Final: 12/06/2017

Versao: A

Formulario

~F e = q ~E , ~E = k0q

r2r

(k0 =

1

4πε0

),

∮S

~E ·d~A =Qint

ε0, ~E = − ~∇V , V = k0

q

r, U = k0

qq′

r,

C = Q/V , U =1

2QV , uE =

1

2ε0E

2 , I =

∫S

~J ·d~A , ~J = nq~v , ~J = σ~E , V = RI , P = V I ,

~Fm = q~v × ~B , d~Fm = Id~ × ~B ,

∮S

~B ·d~A = 0 , d ~B =µ0

4π

Id~ × r

r2,∮

C

~B · d~ = µ0Ienc + µ0ε0dΦE

dt, Eind = −dΦB

dt,

∫dx

(x2 + a2)3/2=

1

a2x√

x2 + a2+ const.

Secao 1. Falso ou Verdadeiro (10×0,3 = 3,0 pontos)

Indique com V se a afirmacao e verdadeira, ou F, se falsa. Note que ha a seguinte PENALIZACAO: cada questaoerradamente indicada correspondera a uma diminuicao de 0,2 ponto da nota do estudante obtida nestasecao. Caso nao queira correr o risco de penalizacao, deixe a resposta em branco!

Considere uma superfıcie esferica de raio R e duas partıculas com cargas q1 e q2. A primeira esta localizada nocentro da superfıcie, enquanto a segunda, em um ponto a uma distancia 3R do centro. De acordo com a lei deGauss, o fluxo do campo eletrostatico atraves dessa superfıcie e (q1 − q2)/ε0.

A forca que um campo magnetico exerce sobre uma partıcula carregada nao pode alterar o modulo de suavelocidade, mesmo que o movimento da partıcula nao seja circular uniforme.

O potencial eletrostatico diminui ao longo de uma linha de campo eletrostatico, quando se segue o sentido dessalinha.

Em um condutor em equilıbrio eletrostatico, partıculas carregadas em excesso se distribuem uniformemente emseu interior.

A integral de linha, em um caminho fechado, do campo eletrico associado a um campo magnetico nao-estacionarioe sempre nula.

Considere uma espira condutora, circular e fixa, imersa em uma regiao de campo magnetico externo uniforme e

nao estacionario ~Bext(t), perpendicular ao plano da espira. Pela lei de Lenz, o campo magnetico produzido pela

corrente induzida no centro da espira pode ter o mesmo sentido de ~Bext(t), no interior da espira.

A lei de Ampere e sempre valida para distribuicoes de correntes estacionarias.

Considere uma placa plana, condutora, espessa, infinita, em equilıbrio eletrostatico, e um ponto P imediatamentefora da placa. O vetor campo eletrico em P e perpendicular a superfıcie da placa e seu modulo e dado por |σ|/(2ε0),sendo σ a densidade superficial de carga em um ponto da placa proximo a P.

Um fio condutor cilındrico, circular, reto, com diametro de 1 mm e comprimento de 1 m tera uma resistenciaeletrica quatro vezes maior que um fio de mesmo material e forma, com diametro de 2 mm e comprimento de 2 m.

Um dipolo eletrico, situado em uma regiao de um campo eletrostatico uniforme, sofrera uma forca na direcao esentido do campo se estiver alinhado com ele e uma forca nula, se estiver perpendicular a ele.

Secao 2. Multipla escolha (6×0,7 = 4,2 pontos)

1

1. Uma barra isolante fina e posicionada sobre o eixo Oxde um sistema de coordenadas, como mostrado na fi-gura abaixo. o eixo Oy e perpendicular a barra e aorigem O do sistema coincide com o seu ponto medio.A distribuicao de cargas na barra e tal que sua me-tade a direita esta uniformemente carregada com umadensidade linear de carga λ (λ > 0) e sua metadea esquerda esta uniformemente carregada com umadensidade linear de carga −λ. Sobre essa situacao,considere as seguintes afirmativas:(I) Para todos os pontos sobre o eixo Oy, o campoeletrico aponta no sentido negativo de Ox.(II) Para pontos sobre o eixoOy, e possıvel determinara intensidade do campo eletrico conhecendo apenas opotencial eletrico sobre esses pontos.Sao corretas as afirmativas:

(a) Apenas I.

(b) Apenas II.

(c) Nenhuma delas.

(d) Todas elas.

2. Um anel circular isolante de raio R possui uma cargaq > 0 uniformemente distribuıda sobre seu com-primento. Uma partıcula de carga −q e massa mencontra-se inicialmente em repouso sobre o eixo doanel, em um ponto muito afastado de seu centro. Des-prezando a acao da gravidade, os modulos da veloci-dade e da aceleracao dessa partıcula quando ela passapelo centro do anel valem, respectivamente:

(a)q√

2πε0mRe 0;

(b)q√

2πε0mRe

q2

4πε0mR2;

(c)q

2√πε0mR

e 0;

(d)q

2√πε0mR

eq2

4πε0mR2;

(e) 0 e 0.

3. Uma espira retangular, rıgida, condutora e um fio re-tilıneo, infinito, pelo qual passa uma corrente quase-estacionaria i(t) = αt (α > 0) encontram-se nummesmo plano, z = 0. No instante t = 0 a espirapossui velocidade ~v = vy, (v > 0), como mostrado nafigura abaixo.

Desconsiderando o efeito da gravidade, qual graficomelhor representa o movimento da espira logo apos oinstante t = 0?

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f) Nenhum dos graficos anteriores.

4. Um capacitor cilındrico e formado por um cilindrocondutor de raio a e comprimento L, com L � a,coaxial a uma casca cilındrica espessa, tambem con-dutora, de raio interno 2a, raio externo 4a e com-primento L. A capacitancia desse capacitor e dadapor:

(a) 2πln(4)ε0L,

(b) 2πln(2)ε0L,

(c) 2πε0L,

(d) 2πε0L/ln(2),

(e) 2πε0L/ln(4),

2

5. Uma esfera condutora de raio a, em equilıbrio ele-trostatico, possui carga −Q. Uma casca esferica es-pessa, condutora, de raio interno 2a e raio externo 4a,concentrica a esfera, possui carga 2Q, como mostra afigura abaixo. Considerando o potencial eletrico nulono infinito, a que distancia finita do centro da esferao potencial tambem e nulo?

(a)3

2a;

(b)4

3a;

(c)5

4a;

(d)6

5a;

(e)7

6a;

(f) Nao ha nenhuma posicao, a uma distancia fi-nita do centro da esfera, em que o potencialseja nulo.

6. Um cilindro circular macico, infinito e condutor, deraio R, possui uma densidade de corrente estacionaria,dada por ~J(r) = krz, onde k e uma constante posi-tiva, r e a distancia ao eixo do cilindro e z e um vetorunitario cuja direcao e paralela ao eixo do cilindro.Assinale a alternativa cujo grafico melhor representao comportamento do modulo do campo magnetico Bproduzido pelo cilindro como funcao da distancia r.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Secao 3. Questoes discursivas (1×2,8 = 2,8 pontos)

Todas as respostas devem ter justificativas!

1.

3

[2,8 pontos]Considere um fio infinito formado por dois trechosretilıneos semi-infinitos e perpendiculares entre si, ligadospor um arco de circunferencia de raio R (um quarto decircunferencia). Por esse fio flui uma corrente estacionariaI, como mostrado na Figura 1. Utilize o sistema de eixoscartesianos desenhado na Figura 1. Com essa escolha,um dos trechos retilıneos e paralelo ao eixo Oy, enquantoo outro e paralelo ao eixo Ox, e o arco de circunferenciatem centro na origem O.

(a) Determine a contribuicao ~Ba ao campo magnetico naorigem O do sistema de coordenadas indicado na Figura1, devido ao trecho do fio correspondente ao arco decircunferencia. Indique o modulo, a direcao e o sentidode ~Ba. [1,0 ponto]

(b) Determine a contribuicao ~Bh ao campo magnetico naorigem O do sistema de coordenadas indicado na Figura1, devido ao trecho horizontal do fio. Indique o modulo,a direcao e o sentido de ~Bh. [1,2 ponto]

(c) Determine o campo magnetico ~B (modulo, direcaoe sentido) produzido pelo fio completo, na origem O dosistema de coordenadas. [0,6 ponto]

Figura 1: Questao discursiva 1.

4

Gabarito para Versao A


F Considere uma superfıcie esferica de raio R e duas partıculas com cargas q1 e q2. A primeira esta localizada nocentro da superfıcie, enquanto a segunda, em um ponto a uma distancia 3R do centro. De acordo com a lei deGauss, o fluxo do campo eletrostatico atraves dessa superfıcie e (q1 − q2)/ε0.

V A forca que um campo magnetico exerce sobre uma partıcula carregada nao pode alterar o modulo de suavelocidade, mesmo que o movimento da partıcula nao seja circular uniforme.

V O potencial eletrostatico diminui ao longo de uma linha de campo eletrostatico, quando se segue o sentido dessalinha.

F Em um condutor em equilıbrio eletrostatico, partıculas carregadas em excesso se distribuem uniformemente emseu interior.

F A integral de linha, em um caminho fechado, do campo eletrico associado a um campo magnetico nao-estacionarioe sempre nula.

V Considere uma espira condutora, circular e fixa, imersa em uma regiao de campo magnetico externo uniforme e



V A lei de Ampere e sempre valida para distribuicoes de correntes estacionarias.

F Considere uma placa plana, condutora, espessa, infinita, em equilıbrio eletrostatico, e um ponto P imediatamentefora da placa. O vetor campo eletrico em P e perpendicular a superfıcie da placa e seu modulo e dado por |σ|/(2ε0),sendo σ a densidade superficial de carga em um ponto da placa proximo a P.

F Um fio condutor cilındrico, circular, reto, com diametro de 1 mm e comprimento de 1 m tera uma resistenciaeletrica quatro vezes maior que um fio de mesmo material e forma, com diametro de 2 mm e comprimento de 2 m.

F Um dipolo eletrico, situado em uma regiao de um campo eletrostatico uniforme, sofrera uma forca na direcao esentido do campo se estiver alinhado com ele e uma forca nula, se estiver perpendicular a ele.


1. (a)

2. (a)

3. (b)

4. (d)

5. (b)

6. (d)


1. Resolucao:(a) Uma diferencial do campo magnetico produzido pelo arco de circunferencia e dada pela lei de Biot-Savart:

d~Ba =µ0

4π

Id~l× r

r2,

d ~Ba =µ0I

4π

|d~l|R2

z,

1

~Ba =µ0I

4πR2z

∫ π2

0

Rdθ,

→ ~Ba =µ0I

8Rz.

(b) Uma diferencial do campo magnetico produzido pelo segmento paralelo ao eixo x e dada pela lei de Biot-Savart:

d~Bh =µ0

4π

Id~l× r

r2.

De acordo com a Figura 2, temos:

d~Bh =µ0Iz

4π

senφ

(x2 +R2)dx,

mas senφ = sen(θ) = R/√x2 +R2, assim:

d~Bh =µ0IRz

4π

∫ ∞

0

dx

(x2 +R2)32

.

Pelo formulario fornecido: ∫ ∞

0

dx

(x2 +R2)32

=

(1

R2

x√x2 +R2

)∞

0

=1

R2,

assim:

→ ~Bh =µ0I

4πRz.

(c) O campo ~B de todo o fio na origem do sistema de coordenadas e dado por:

~B = 2~Bh + ~Ba,

pois o campo produzido pelo segmento semi-infinito de fio paralelo ao eixo y e igual a ~Bh, logo:

→ ~B =µ0I

2πR

(1 +

π

4

)z.

�

2


Versao: B

Formulario

~F e = q ~E , ~E = k0q

r2r

(k0 =

1

4πε0

),

∮S

~E ·d~A =Qint

ε0, ~E = − ~∇V , V = k0

q

r, U = k0

qq′

r,

C = Q/V , U =1

2QV , uE =

1

2ε0E

2 , I =

∫S


~Fm = q~v × ~B , d~Fm = Id~ × ~B ,

∮S

~B ·d~A = 0 , d ~B =µ0

4π

Id~ × r

r2,∮

C


dt, Eind = −dΦB

dt,

∫dx

(x2 + a2)3/2=

1

a2x√

x2 + a2+ const.
















1


(a)3

2a;

(b)4

3a;

(c)5

4a;

(d)6

5a;

(e)7

6a;



(a)

(b)

(c)

(d)

(e)


(a) 2πln(4)ε0L,

(b) 2πln(2)ε0L,

(c) 2πε0L,

(d) 2πε0L/ln(2),

(e) 2πε0L/ln(4),

2


(a) Apenas I.

(b) Apenas II.

(c) Nenhuma delas.

(d) Todas elas.


(a)q√

2πε0mRe 0;

(b)q√

2πε0mRe

q2

4πε0mR2;

(c)q

2√πε0mR

e 0;

(d)q

2√πε0mR

eq2

4πε0mR2;

(e) 0 e 0.



(a)

(b)

(c)

(d)

(e)




1.

3






4

Gabarito para Versao B















1. (b)

2. (d)

3. (d)

4. (a)

5. (a)

6. (b)



d~Ba =µ0

4π

Id~l× r

r2,

d ~Ba =µ0I

4π

|d~l|R2

z,

1

~Ba =µ0I

4πR2z

∫ π2

0

Rdθ,

→ ~Ba =µ0I

8Rz.


d~Bh =µ0

4π

Id~l× r

r2.


d~Bh =µ0Iz

4π

senφ

(x2 +R2)dx,


d~Bh =µ0IRz

4π

∫ ∞

0

dx

(x2 +R2)32

.


0

dx

(x2 +R2)32

=

(1

R2

x√x2 +R2

)∞

0

=1

R2,

assim:

→ ~Bh =µ0I

4πRz.


~B = 2~Bh + ~Ba,


→ ~B =µ0I

2πR

(1 +

π

4

)z.

�

2


Versao: C

Formulario

~F e = q ~E , ~E = k0q

r2r

(k0 =

1

4πε0

),

∮S

~E ·d~A =Qint

ε0, ~E = − ~∇V , V = k0

q

r, U = k0

qq′

r,

C = Q/V , U =1

2QV , uE =

1

2ε0E

2 , I =

∫S


~Fm = q~v × ~B , d~Fm = Id~ × ~B ,

∮S

~B ·d~A = 0 , d ~B =µ0

4π

Id~ × r

r2,∮

C


dt, Eind = −dΦB

dt,

∫dx

(x2 + a2)3/2=

1

a2x√

x2 + a2+ const.
















1


(a)3

2a;

(b)4

3a;

(c)5

4a;

(d)6

5a;

(e)7

6a;



(a)q√

2πε0mRe 0;

(b)q√

2πε0mRe

q2

4πε0mR2;

(c)q

2√πε0mR

e 0;

(d)q

2√πε0mR

eq2

4πε0mR2;

(e) 0 e 0.



(a)

(b)

(c)

(d)

(e)


2


(a)

(b)

(c)

(d)

(e)


(a) 2πln(4)ε0L,

(b) 2πln(2)ε0L,

(c) 2πε0L,

(d) 2πε0L/ln(2),

(e) 2πε0L/ln(4),


(a) Apenas I.

(b) Apenas II.

(c) Nenhuma delas.

(d) Todas elas.



1.

3






4

Gabarito para Versao C















1. (b)

2. (a)

3. (b)

4. (d)

5. (d)

6. (a)



d~Ba =µ0

4π

Id~l× r

r2,

d ~Ba =µ0I

4π

|d~l|R2

z,

1

~Ba =µ0I

4πR2z

∫ π2

0

Rdθ,

→ ~Ba =µ0I

8Rz.


d~Bh =µ0

4π

Id~l× r

r2.


d~Bh =µ0Iz

4π

senφ

(x2 +R2)dx,


d~Bh =µ0IRz

4π

∫ ∞

0

dx

(x2 +R2)32

.


0

dx

(x2 +R2)32

=

(1

R2

x√x2 +R2

)∞

0

=1

R2,

assim:

→ ~Bh =µ0I

4πRz.


~B = 2~Bh + ~Ba,


→ ~B =µ0I

2πR

(1 +

π

4

)z.

�

2


Versao: D

Formulario

~F e = q ~E , ~E = k0q

r2r

(k0 =

1

4πε0

),

∮S

~E ·d~A =Qint

ε0, ~E = − ~∇V , V = k0

q

r, U = k0

qq′

r,

C = Q/V , U =1

2QV , uE =

1

2ε0E

2 , I =

∫S


~Fm = q~v × ~B , d~Fm = Id~ × ~B ,

∮S

~B ·d~A = 0 , d ~B =µ0

4π

Id~ × r

r2,∮

C


dt, Eind = −dΦB

dt,

∫dx

(x2 + a2)3/2=

1

a2x√

x2 + a2+ const.
















1


(a)

(b)

(c)

(d)

(e)



(a)

(b)

(c)

(d)

(e)


2


(a)q√

2πε0mRe 0;

(b)q√

2πε0mRe

q2

4πε0mR2;

(c)q

2√πε0mR

e 0;

(d)q

2√πε0mR

eq2

4πε0mR2;

(e) 0 e 0.


(a) Apenas I.

(b) Apenas II.

(c) Nenhuma delas.

(d) Todas elas.


(a)3

2a;

(b)4

3a;

(c)5

4a;

(d)6

5a;

(e)7

6a;



(a) 2πln(4)ε0L,

(b) 2πln(2)ε0L,

(c) 2πε0L,

(d) 2πε0L/ln(2),

(e) 2πε0L/ln(4),



1.

3






4

Gabarito para Versao D















1. (d)

2. (b)

3. (a)

4. (a)

5. (b)

6. (d)



d~Ba =µ0

4π

Id~l× r

r2,

d ~Ba =µ0I

4π

|d~l|R2

z,

1

~Ba =µ0I

4πR2z

∫ π2

0

Rdθ,

→ ~Ba =µ0I

8Rz.


d~Bh =µ0

4π

Id~l× r

r2.


d~Bh =µ0Iz

4π

senφ

(x2 +R2)dx,


d~Bh =µ0IRz

4π

∫ ∞

0

dx

(x2 +R2)32

.


0

dx

(x2 +R2)32

=

(1

R2

x√x2 +R2

)∞

0

=1

R2,

assim:

→ ~Bh =µ0I

4πRz.


~B = 2~Bh + ~Ba,


→ ~B =µ0I

2πR

(1 +

π

4

)z.

�

2

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