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Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de FısicaFısica III – 2017/1 – Segunda Prova: 29/05/2017

Versao: A

Formulario

~Fm = q~v × ~B , d~Fm = Id~ × ~B ,

∮S

~B ·d~A = 0 , d ~B =µ0

4π

Id~ × rr2

, ~τ = ~µ× ~B ,

I =

∫S

~J · d~A , ~J = qn~v , ~J = σ~E ,

∮C

~B · d~ = µ0Ienc + µ0ε0dΦE

dt, Eind = −dΦB

dt.

Secao 1. Falso ou Verdadeiro (10×0,3 = 3,0 pontos)

Indique com V se a afirmacao e verdadeira, ou F, se falsa. Note que ha a seguinte PENALIZACAO: cada questaoerradamente indicada correspondera a uma diminuicao de 0,2 ponto da nota do estudante obtida nestasecao. Caso nao queira correr o risco de penalizacao, deixe a resposta em branco!

Uma partıcula carregada pode ter um movimento retilıneo uniforme em uma regiao do espaco contendo camposeletrico e magnetico uniformes, se eles forem perpendiculares entre si.

Quando uma espira condutora e outra isolante, ambas rıgidas e em repouso, sao posicionadas perpendicularmentea um campo magnetico uniforme que varia no tempo, surge uma forca eletromotriz induzida apenas na espiracondutora.

Ao fazermos passar uma corrente estacionaria atraves das espiras helicoidais de uma mola feita de materialcondutor, as espiras se aproximam, como se a mola fosse comprimida.

Em um fio condutor ohmico dado, ao dobrarmos a diferenca de potencial entre suas extremidades, dobramos suaresistencia.

O fluxo do campo magnetico da Terra atraves da superfıcie correspondente ao territorio brasileiro e igual, emmodulo, ao fluxo do campo magnetico da Terra atraves da superfıcie correspondente a todo o resto do globoterrestre.

A lei de Ampere afirma que, para correntes estacionarias, o fluxo do campo magnetico atraves de uma superfıcieS e igual a µ0 vezes a corrente que atravessa S.

Uma espira retangular de metal, originalmente sem corrente, esta proxima de um fio longo e retilıneo, quetransporta corrente, com dois de seus lados paralelos ao fio. O fio e a espira se encontram no mesmo plano.Quando a corrente do fio esta diminuindo, a espira e atraıda pelo fio.

Para um condutor usual, como o cobre, o aumento da temperatura aumenta as vibracoes moleculares, provocandomaior espalhamento dos eletrons, o que faz com que sua resistividade diminua.

Se a circulacao do campo magnetico ao longo de um caminho fechado for nula, nao havera nenhuma partıculacarregada em movimento atravessando uma superfıcie aberta delimitada pela curva que descreve esse caminho.

A forca magnetica sobre uma espira carregando uma corrente estacionaria, localizada em uma regiao de campomagnetico uniforme e sempre nula, independentemente do formato da espira.

Secao 2. Multipla escolha (7×0,6 = 4,2 pontos)

1

1. Uma partıcula carregada com carga q > 0 se deslocacom velocidade constante ~v = −vy, (v > 0). Elaentao entra atraves da abertura A numa caixa que edividida em duas partes (chamadas 1 e 2), onde po-dem ser aplicados campos magneticos uniformes e es-tacionarios em cada uma delas. Na placa que separaas duas metades existe uma abertura B para permitira passagem da partıcula. Observa-se que em seguidaa partıcula sai da caixa atraves da abertura C com amesma velocidade ~v = −vy.Sejam B1 e B2 os modulos do campo magnetico naspartes 1 e 2, respectivamente, com B1 > 0 e B2 > 0.Dentre as opcoes abaixo, qual delas melhor descreveos vetores campo magnetico nas duas partes da caixa?

A

B

C

x

y

z v

1 2

(a) ~B1 = −B1z e ~B2 = B2z,

(b) ~B1 = B1z e ~B2 = −B2z,

(c) ~B1 = −B1z e ~B2 = −B2z,

(d) ~B1 = B1z e ~B2 = B2z,

(e) ~B1 = −B1x e ~B2 = B2y.

2. A figura abaixo mostra uma curva C fechada, orien-tada, e um trecho de um fio retilıneo, longo, pelo qualpassa uma corrente estacionaria de intensidade I, nosentido indicado.

Podemos afirmar que:

(a)∮C~B · d~l = µ0I;

(b)∮C~B · d~l = −µ0I;

(c)∮C~B · d~l = 2µ0I;

(d)∮C~B · d~l = −2µ0I;

(e)∮C~B · d~l = 0;

3. Um proton p e uma partıcula alfa α (formada por doisprotons e dois neutrons) penetram em uma regiao decampo magnetico uniforme, de forma que suas veloci-dades iniciais sao identicas e perpendiculares a direcaodo campo. Considerando que a massa do proton eaproximadamente igual a massa do neutron, a razaoentre os raios das trajetorias circulares do proton e dapartıcula alfa (Rp/Rα), nessa regiao, vale:

(a) 4

(b) 2

(c) 1

(d) 1/2

(e) 1/4

4. Um dipolo magnetico puntiforme, de momento de di-polo ~µ = µ0x (µ0 > 0), esta localizado na origem deum sistema de eixos cartesianos, como indicado na fi-gura abaixo. Em um dado instante, uma partıcula decarga positiva q tem vetor posicao ~r = ay e veloci-dade ~v = v0x, onde a e v0 sao constantes positivas.

Podemos afirmar que, no instante em questao, a forcamagnetica sobre a partıcula:

(a) tem sentido x;

(b) tem sentido −x;

(c) tem sentido y;

(d) tem sentido −y;

(e) tem sentido z;

(f) tem sentido −z;

(g) e nula.

2

5. Uma espira quadrada, de arestas de comprimento `,pela qual flui uma corrente estacionaria de intensi-dade I, esta no plano OXY, com dois de seus la-dos paralelos ao eixo OX, como mostrado na figuraabaixo. A corrente na espira flui no sentido horariopara um observador localizado no semi-eixo positivoOZ. Na regiao onde a espira se encontra ha umcampo magnetico constante (estacionario e uniforme)~B = B0x (B0 > 0).

O torque sobre a espira e dado por:

(a) ~τ = I`2B0y.

(b) ~τ = −I`2B0y.

(c) ~τ = I`2B0z.

(d) ~τ = −I`2B0z.

(e) ~τ = −1

2I`2B0y.

(f) ~τ =1

2I`2B0z.

(g) ~τ = −2I`2B0z.

(h) Nulo.

6. Quatro fios retilıneos e infinitos sao paralelos e carre-gam correntes estacionarias de mesma intensidade I,com sentidos indicados na figura abaixo.

Eles sao posicionados de forma que, num corte trans-versal, ocupam os vertices de um quadrado, comomostrado na figura. Sobre esse sistema, considere asseguintes afirmativas:(I) O campo magnetico no centro do quadrado temdirecao vertical e aponta para baixo.(II) A forca magnetica resultante sobre qualquer umdos fios tem direcao paralela a uma das diagonais doquadrado.

Sao VERDADEIRAS as afirmativas:

(a) I

(b) II

(c) Todas elas.

(d) Nenhuma delas.

7. Considere os dois fios condutores mostrados na figuraabaixo. Um deles e retilıneo e infinito, enquanto ooutro e retilıneo e infinito, exceto por uma parte do-brada na forma de um semicırculo de raio R. Os fioscarregam correntes estacionarias de intensidades I1 eI2 no mesmo sentido, respectivamente, e a distanciaentre eles tambem vale R. Qual deve ser a razao I1/I2para que o campo magnetico no centro do semicırculoseja nulo?

(a) π/2

(b) π

(c) 1/2

(d) 1

(e) 1/π

(f) O campo nunca pode ser nulo neste ponto, poisas correntes tem o mesmo sentido.

Secao 3. Questoes discursivas (1×2,8 = 2,8 pontos)

3

Todas as respostas devem ter justificativas!

1. [2,8 pontos]Uma barra metalica horizontal PQ, de comprimento ` emassa m, pode escorregar sem atrito sobre dois trilhosverticais condutores, que estao unidos por uma hastehorizontal fixa de resistencia R. As resistencias da barrae do trilho sao desprezıveis. O conjunto esta em umaregiao onde ha um campo magnetico ~B = −Bz constante(uniforme e estacionario, com B > 0). Suponha que,no instante t = 0, a barra tenha sido abandonada dorepouso e durante seu movimento ela nao tenha perdidoo contato com os trilhos verticais. Denote por g o moduloda acelaracao da gravidade (~g tem sentido y). Desprezequaisquer efeitos capacitivos ou indutivos no circuito.

(a) Determine o sentido da corrente induzida no circuito.[0,6 ponto]

(b) Calcule a intensidade da corrente induzida no circuitoem um instante generico t, em funcao de B, l, R e vy.Considere que em t = 0 a barra ocupava a posicao y = 0.[0,8 ponto]

(c) Determine a forca magnetica, ~Fm, (modulo, direcaoe sentido) atuando na barra, num instante de tempo t,quando a velocidade da mesma tem modulo vy. [0,6 ponto]

(d) Apos algum tempo, a barra entra em movimentouniforme (suponha que esse regime seja atingido antesda barra atingir o solo). Nesse regime, sua veloci-dade tem modulo vT (velocidade terminal). Obtenha aexpressao para vT em termos de B, l, R, m e g. [0,8 ponto]

Figura 1: Questao discursiva 1.

4

Gabarito para Versao A


V Uma partıcula carregada pode ter um movimento retilıneo uniforme em uma regiao do espaco contendo camposeletrico e magnetico uniformes, se eles forem perpendiculares entre si.

F Quando uma espira condutora e outra isolante, ambas rıgidas e em repouso, sao posicionadas perpendicularmentea um campo magnetico uniforme que varia no tempo, surge uma forca eletromotriz induzida apenas na espiracondutora.

V Ao fazermos passar uma corrente estacionaria atraves das espiras helicoidais de uma mola feita de materialcondutor, as espiras se aproximam, como se a mola fosse comprimida.

F Em um fio condutor ohmico dado, ao dobrarmos a diferenca de potencial entre suas extremidades, dobramossua resistencia.

V O fluxo do campo magnetico da Terra atraves da superfıcie correspondente ao territorio brasileiro e igual, emmodulo, ao fluxo do campo magnetico da Terra atraves da superfıcie correspondente a todo o resto do globoterrestre.

F A lei de Ampere afirma que, para correntes estacionarias, o fluxo do campo magnetico atraves de uma superfıcieS e igual a µ0 vezes a corrente que atravessa S.

V Uma espira retangular de metal, originalmente sem corrente, esta proxima de um fio longo e retilıneo, quetransporta corrente, com dois de seus lados paralelos ao fio. O fio e a espira se encontram no mesmo plano.Quando a corrente do fio esta diminuindo, a espira e atraıda pelo fio.

F Para um condutor usual, como o cobre, o aumento da temperatura aumenta as vibracoes moleculares, provocandomaior espalhamento dos eletrons, o que faz com que sua resistividade diminua.

F Se a circulacao do campo magnetico ao longo de um caminho fechado for nula, nao havera nenhuma partıculacarregada em movimento atravessando uma superfıcie aberta delimitada pela curva que descreve esse caminho.

V A forca magnetica sobre uma espira carregando uma corrente estacionaria, localizada em uma regiao de campomagnetico uniforme e sempre nula, independentemente do formato da espira.


1. (a)

2. (c)

3. (d)

4. (g)

5. (b)

6. (a)

7. (a)


1. Resolucao:(a) Orientando o vetor de area no sentido −z, temos que o fluxo do campo magnetico na espira formada pelosegmento PQ e pelo trilho e positivo e esta aumentando com o tempo. Assim, pela lei de Lenz, a corrente induzidano circuito, deve se opor ao aumento do fluxo, para isso, ela circula no sentido anti-horario. Nessa situacao, ocampo magnetico produzido pela corrente induzida na espira tem sentido contrario ao campo aplicado.

1

�

(b) Para encontrarmos a corrente induzida precisamos primeiramente determinar a fem induzida. Para tal utilizaremosa lei de Faraday. Para utilizarmos a lei de Faraday, orientamos o vetor de area no sentido −z de acordo com o sistemade coordenadas indicado na Figura 1. Para essa escolha de vetor de area, o sentido positivo da fem e horario, dado pelaregra da mao direita. O fluxo do campo magnetico e entao dado por:

ΦB =

∫S

~B · d~A =

∫S

(−Bz) · (−dAz),

ΦB = BA(t) = B`y(t).

Assim, a fem induzida, E, e dada por:

E = −dΦB

dt= −B`dy

dt= −B`vy(t).

O sinal negativo da fem significa que os sentidos reais, da fem e da corrente induzida, sao contrarios ao sentido positivoque foi definido quando fizemos a escolha do vetor de area para o calculo do fluxo. Ou seja, a fem e acorrente induzidapara este caso, tem sentido anti-horario, em acordo com o resultado encontrado utilizando a lei de Lenz. A intensidadeda corrente induzida iind que circula no trilho e na barra e dada por:

iind =|E|R,

→ iind =B`vyR

.

�

(c) A forca magnetica atuando na barra, quando a mesma se desloca com velocidade ~v = vyy, e dada por:

~F = iind~L× ~B =B`vyR

(−`x)× (−Bz),

→ ~Fm = −B2`2vyR

y.

�

(d) Apos decorrido um intervalo de tempo grande o suficiente, a soma da forca magnetica ~Fm = −iind`By com a forca

peso, ~P = mgy, atuando sobre a barra, anula-se. Nesta situacao a barra se desloca com velocidade constante vT , que eobtida igualando-se os modulos da forca peso e da forca magnetica atuando na barra. Ou seja:

mg =B`vTR× `B,

logo:

→ vT =mgR

B2`2.

�

2


Versao: B

Formulario

~Fm = q~v × ~B , d~Fm = Id~ × ~B ,

∮S

~B ·d~A = 0 , d ~B =µ0

4π

Id~ × rr2

, ~τ = ~µ× ~B ,

I =

∫S

~J · d~A , ~J = qn~v , ~J = σ~E ,

∮C


dt, Eind = −dΦB

dt.














1




(a) I

(b) II

(c) Todas elas.

(d) Nenhuma delas.



(a)∮C~B · d~l = µ0I;

(b)∮C~B · d~l = −µ0I;

(c)∮C~B · d~l = 2µ0I;

(d)∮C~B · d~l = −2µ0I;

(e)∮C~B · d~l = 0;



(a) ~τ = I`2B0y.

(b) ~τ = −I`2B0y.

(c) ~τ = I`2B0z.

(d) ~τ = −I`2B0z.

(e) ~τ = −1

2I`2B0y.

(f) ~τ =1

2I`2B0z.

(g) ~τ = −2I`2B0z.

(h) Nulo.

2


A

B

C

x

y

z v

1 2

(a) ~B1 = −B1z e ~B2 = B2z,

(b) ~B1 = B1z e ~B2 = −B2z,

(c) ~B1 = −B1z e ~B2 = −B2z,

(d) ~B1 = B1z e ~B2 = B2z,

(e) ~B1 = −B1x e ~B2 = B2y.


(a) 4

(b) 2

(c) 1

(d) 1/2

(e) 1/4


(a) π/2

(b) π

(c) 1/2

(d) 1

(e) 1/π




(a) tem sentido x;


(c) tem sentido y;


(e) tem sentido z;


(g) e nula.

3









4

Gabarito para Versao B













1. (a)

2. (c)

3. (b)

4. (a)

5. (d)

6. (a)

7. (g)



1

�


ΦB =

∫S

~B · d~A =

∫S

(−Bz) · (−dAz),



E = −dΦB

dt= −B`dy

dt= −B`vy(t).


iind =|E|R,

→ iind =B`vyR

.

�



(−`x)× (−Bz),

→ ~Fm = −B2`2vyR

y.

�



mg =B`vTR× `B,

logo:

→ vT =mgR

B2`2.

�

2


Versao: C

Formulario

~Fm = q~v × ~B , d~Fm = Id~ × ~B ,

∮S

~B ·d~A = 0 , d ~B =µ0

4π

Id~ × rr2

, ~τ = ~µ× ~B ,

I =

∫S

~J · d~A , ~J = qn~v , ~J = σ~E ,

∮C


dt, Eind = −dΦB

dt.














1


(a) 4

(b) 2

(c) 1

(d) 1/2

(e) 1/4


(a) π/2

(b) π

(c) 1/2

(d) 1

(e) 1/π




(a)∮C~B · d~l = µ0I;

(b)∮C~B · d~l = −µ0I;

(c)∮C~B · d~l = 2µ0I;

(d)∮C~B · d~l = −2µ0I;

(e)∮C~B · d~l = 0;



(a) ~τ = I`2B0y.

(b) ~τ = −I`2B0y.

(c) ~τ = I`2B0z.

(d) ~τ = −I`2B0z.

(e) ~τ = −1

2I`2B0y.

(f) ~τ =1

2I`2B0z.

(g) ~τ = −2I`2B0z.

(h) Nulo.

2


A

B

C

x

y

z v

1 2

(a) ~B1 = −B1z e ~B2 = B2z,

(b) ~B1 = B1z e ~B2 = −B2z,

(c) ~B1 = −B1z e ~B2 = −B2z,

(d) ~B1 = B1z e ~B2 = B2z,

(e) ~B1 = −B1x e ~B2 = B2y.



(a) tem sentido x;


(c) tem sentido y;


(e) tem sentido z;


(g) e nula.




(a) I

(b) II

(c) Todas elas.

(d) Nenhuma delas.

3









4

Gabarito para Versao C













1. (d)

2. (a)

3. (c)

4. (b)

5. (a)

6. (g)

7. (a)



1

�


ΦB =

∫S

~B · d~A =

∫S

(−Bz) · (−dAz),



E = −dΦB

dt= −B`dy

dt= −B`vy(t).


iind =|E|R,

→ iind =B`vyR

.

�



(−`x)× (−Bz),

→ ~Fm = −B2`2vyR

y.

�



mg =B`vTR× `B,

logo:

→ vT =mgR

B2`2.

�

2


Versao: D

Formulario

~Fm = q~v × ~B , d~Fm = Id~ × ~B ,

∮S

~B ·d~A = 0 , d ~B =µ0

4π

Id~ × rr2

, ~τ = ~µ× ~B ,

I =

∫S

~J · d~A , ~J = qn~v , ~J = σ~E ,

∮C


dt, Eind = −dΦB

dt.














1




(a) I

(b) II

(c) Todas elas.

(d) Nenhuma delas.



(a)∮C~B · d~l = µ0I;

(b)∮C~B · d~l = −µ0I;

(c)∮C~B · d~l = 2µ0I;

(d)∮C~B · d~l = −2µ0I;

(e)∮C~B · d~l = 0;


A

B

C

x

y

z v

1 2

(a) ~B1 = −B1z e ~B2 = B2z,

(b) ~B1 = B1z e ~B2 = −B2z,

(c) ~B1 = −B1z e ~B2 = −B2z,

(d) ~B1 = B1z e ~B2 = B2z,

(e) ~B1 = −B1x e ~B2 = B2y.

2


(a) π/2

(b) π

(c) 1/2

(d) 1

(e) 1/π




(a) tem sentido x;


(c) tem sentido y;


(e) tem sentido z;


(g) e nula.


(a) 4

(b) 2

(c) 1

(d) 1/2

(e) 1/4



(a) ~τ = I`2B0y.

(b) ~τ = −I`2B0y.

(c) ~τ = I`2B0z.

(d) ~τ = −I`2B0z.

(e) ~τ = −1

2I`2B0y.

(f) ~τ =1

2I`2B0z.

(g) ~τ = −2I`2B0z.

(h) Nulo.

3









4

Gabarito para Versao D













1. (a)

2. (c)

3. (a)

4. (a)

5. (g)

6. (d)

7. (b)



1

�


ΦB =

∫S

~B · d~A =

∫S

(−Bz) · (−dAz),



E = −dΦB

dt= −B`dy

dt= −B`vy(t).


iind =|E|R,

→ iind =B`vyR

.

�



(−`x)× (−Bz),

→ ~Fm = −B2`2vyR

y.

�



mg =B`vTR× `B,

logo:

→ vT =mgR

B2`2.

�

2

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